analyse numérique

ESCE UM AVEIRO

Analyse Numérique

CP2

ENSA de TangerUniversité AbdelMalek Essaadi, Maroc

Méthodes numériques pour la résolution d’équations différentiellesENSA, Mai 2015

CP2 (ENSA de Tanger) Cours d’analyse numérique Tanger 1 / 21

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Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion


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Introduction

Plan

1 Introduction





6 Conclusion


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Introduction

- Certaines équations différentielles ne peuvent pas être résolues sousforme explicite. Ex. : dy

dt = y2 − t

- Cependant, on peut approximer la solution de ces équations par desméthodes numériques.

- Nous allons nous concentrer sur le problème de Cauchy et nousallons voir des méthodes d’approximation de type Euler, et RungeKutta.

- Par soucis de simplicité, nous allons nous restreindre aux méthodesà un pas.


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Introduction

Problème de Cauchy

HypothèsesSoit I un intervalle de IR non réduit à un point, soit t0 ∈ I.

f désigne une fonction continue sur I × IR à valeurs dans IR. Soity0 un réel donné.


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Introduction

Problème de Cauchy

DéfinitionOn appelle problème de Cauchy le problème suivant : Trouver y unefonction continue et dérivable sur I à valeurs réelles telle que :

∀t ∈ I, y′

(t) = f (t , y(t)), y(t0) = y0


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Méthode d’Euler

Plan

1 Introduction





6 Conclusion


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Méthode d’Euler

Méthode d’Euler

IntroductionSoit le problème différentiel suivant : trouver y telle que∀t ∈ [t0, t0 + T ] y

′

(t) = f (t , y(t)), y(t0) = y0

Nous supposons que f est continue sur [t0, t0 + T ]× IR et vérifie unehypothèse de Lipshitz :

∃L/∀t ∈ [t0, t0 + T ], |f (t , y) − f (t , z)| ≤ L|y − z|, ∀y , z ∈ IR

Nous allons voir que le problème de Cauchy admet une solutionunique qu’on va approcher de façon discrète.


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Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

DiscrétisationOn se donne une subdivision de [t0, t0 + T ] soit :

t0 < t1 < ... < tN = (t0 + T )

On pose hn = tn+1 − tn pour n = 0, ...,N − 1 le pas de discrétisation eton note h = maxhn

Solution numériqueSi y désigne la solution du problème de Cauchy, on :

y(tn+1) = y(tn) +∫ tn+1

tny

′

(t)dt = y(tn) +∫ tn+1

tnf (t , y(t))dt


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Méthode d’Euler


Schéma d’Euler

La méthode d’Euler s’écrit en remplaçant∫ tn+1

tnf (t , y(t))dt par

f (tn, yn).hn dans l’équation précédente.On remarque ici une approximation de l’intégrale par une méthode dequadrature.

Schéma d’Euler explicite et impliciteDans la solution précédente, on change seulement le terme f (., yn), onintroduit tn ou tn+1


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Méthode d’Euler


Schéma d’Euler explicite

yn+1 = yn + hnf (tn, yn)

Schéma d’Euler implicite

yn+1 = yn + hnf (tn+1, yn+1)


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Méthodes à un pas

Plan

1 Introduction





6 Conclusion


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Méthodes à un pas

Méthodes à un pas

DéfinitionConsidérons le problème de Cauchy avec la condition de Lipshitz et lamême subdivision de l’intervalle I.

Une méthode à un pas s’écrit :{

yn+1 = yn + hnΦ(tn, yn,hn),n ≥ 0y0 = η

On suppose que Φ est continue et ne dépend que de f .

Remarque : Φ(t , y ,h) = f (t , y) pour la méthode d’Euler.

ThéorèmeSi la méthode à un pas est stable et consistante, alors elle estconvergente.


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Définitions générales

Plan

1 Introduction





6 Conclusion


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Consistance, convergence, stabilité

ConsistanceLa méthode à un pas est consistance avec l’équation différentielleinitiale si pour toute solution du problème de Cauchy, on ait :

∑N−1i=0 |y(tn+1)− y(tn)− hnΦ(tn, y(tn),hn)| → 0 quand hn → 0.

Convergence

maxn|y(tn)− yn| → 0.


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Ordre d’une méthode à un pas

DéfinitionLa méthode à un pas est d’ordre p > 0 s’il existe un réel Kindépendant de y et de Φ tel que :

N−1∑

n=0

|y(tn+1)− y(tn)− hnΦ(tn, y(tn),hn)| ≤ Khp

pour toute solution y ∈ Cp+1[t0, t0 + T ¸] de l’équation y′

(t) = f (t , y(t))


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Exemple de méthodes à un pas

Méthode du développement de Taylor

voir les détails au tableau.

*Pour p = 1, on retrouve la méthode d’Euler.


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Méthode de Runge Kutta

Plan

1 Introduction





6 Conclusion


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Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodesd’approximation de solutions d’équations différentielles.

En 1901, elles ont été nommées en l’honneur des mathématiciensCarl Runge et Martin Wilhelm Kutta.

Ces méthodes reposent sur le principe d’itération : Une 1èreestimation de la solution est utilisée pour calculer une secondeplus précise.


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Méthode de Runge Kutta d’ordre q

Définition

tn,i = tn + cihn

yn,i = yn + hn

∑

1≤j<i

aijpn,j

pn,i = f (tn,i , yn,i)tn+1 = tn + hn

yn+1 = yn + hn

∑

1≤j<q

bjpn,j

On a toujours :∑

1≤j<i aij = ci ,∑

1≤j<q bj = 1.

**Pour les méthodes d’ordre 2 et 4, voir explications au tableau.


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Conclusion

Plan

1 Introduction





6 Conclusion


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Conclusion

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