Analyse dynamique de l’interaction

pont–véhicules pour les ponts routiers.

I. Aspects numériques

Kamel Henchi, Mario Fafard et Martin Talbot

Résumé: Dans cet article, nous présentons une méthode générale et efficace pour l’analyse dynamique des ponts routiersavec la prise en compte de l’interaction pont–véhicules et du profil de la route d’une manière très réaliste. Dans cetteapproche, la structure du pont peut être modélisée par éléments finis d’une façon tridimensionnelle en utilisant des élémentsde coques et de poutres. Le modèle de véhicule est représenté d’une manière discrète à partir des équations de Lagrange. Cetteméthode utilise la technique de la superposition modale pour les composantes du pont, avec une correction du déplacementbasée sur la méthode d’accélération modale. La méthode de résolution des équations de mouvement de chaque système pontet véhicules est celle de Newmark β et la solution est obtenue à partir d’un processus itératif des forces d’interaction entre lepont et les véhicules. Un exemple académique simple est présenté pour montrer la validité de l’algorithme ainsi développé.

Mots clés : coque, dynamique, éléments finis, interaction, pont, rugosité, véhicule.

Abstract: In this paper, a general and efficient procedure for the dynamic analysis of road bridges is presented, that takes intoaccount bridge–vehicle interaction and the road profile in a realistic way. With this approach, the bridge structure can bemodeled with a tridimensional finite element method using shell and beam elements. The vehicle model is represented using adiscrete method based on Lagrange equations. This method uses the modal superposition technique for the bridgecomponents, with a correction for the displacement based on the method of modal acceleration. The Newmark-β method isused to solve the movement equations of each bridge and vehicles system and the solution is obtained through an iterativeprocess of the interactive forces between the bridge and the vehicles. A simple academic example is presented to show thevalidity of the proposed algorithm.

Key words: shell, dynamics, finite elements, interaction, bridge, roughness, vehicle.[Journal translation]

1. Introduction

La prédiction de la réponse dynamique des ponts qui résulte dupassage de charges vives le long des travées est un problèmeimportant dans le domaine de l’analyse et de la conception desponts. Les charges mobiles (véhicules) traversant les ponts àdes vitesses normales provoquent des contraintes (déplace-ments, vitesses, accélérations, déformations, etc.) plus impor-tantes que celles induites par des véhicules qui demeurent enposition statique. Au début des années 1950, plusieurs pontsont été testés expérimentalement (Fenves et al. 1962) pourélaborer un facteur d’amplification dynamique noté par la suiteFAD. Les méthodes existantes utilisées pour prévoir la réponse

dynamique sont basées sur des abaques et des formules empiri-ques simples qui dépendent de la longueur et du comportementstatique du pont ainsi que du chargement (Bakht et Jaeger1990, 1992). La future norme canadienne (Canadian highwaybridge design code, CHBDC) a adopté une méthode de déter-mination du FAD en fonction du nombre d’essieux présentssimultanément sur le pont, ce qui permet, d’une façon indi-recte, de tenir compte de la masse totale appliquée sur le pontet de la portée de celui-ci. Les normes de l’American Associa-tion of State Highway and Transportation Officials (AASHTO1989) utilisent, pour les ponts-routes, un FAD = 1 +15,24/(L + 38,1), où L est la longueur de la travée (en mètres).La dernière édition de cette norme utilise maintenant un FADégal à 1,33 quelque soit les caractéristiques dynamiques dupont (Nowak 1995).

Or, la réponse dynamique réelle du pont due aux véhiculesmobiles dépend, en général, des facteurs suivants : (i) les ca-ractéristiques des véhicules telles que l’amortissement et lasuspension; (ii) la vitesse, la masse et le type de véhicule(espacement des essieux, etc.); (iii) les caractéristiques desponts et de leurs fondations, telles que l’amortissement et lesfréquences de vibration; (iv) la rugosité du profil de la route(tablier); (v) l’intensité du trafic routier et (vi) la position trans-versale des véhicules sur le pont.

Dans le contexte de la conception d’un nouveau pont où lescaractéristiques dynamiques ne sont pas connues à priori, il

Reçu le 12 novembre 1996. Révision acceptée le 2 juillet 1997.

K. Henchi1 et M. Fafard. Groupe interdisciplinaire derecherche en éléments finis, Département de génie civil,Université Laval, Sainte-Foy, QC G1K 7P4, Canada.M. Talbot. Direction des structures, ministère des Transports,930, chemin Sainte-Foy, Québec, QC G1S 4X9, Canada.

Les commentaires sur le contenu de cet article doivent êtreenvoyés au directeur scientifique de la Revue avant le 30 juin1998 (voir l’adresse au verso du plat supérieur).

1. Auteur correspondant (tél. : (418) 656-2131, poste 6274;téléc. : (418) 656-2928; mél. : kamel.henchi@giref.ulaval.ca).

Can. J. Civ. Eng. 25 : 161–173 (1998)

161

est, à notre avis, correct d’adopter des FAD spécifiés par lesnormes car ils sont simples à estimer. Cependant, dans le con-texte de l’évaluation d’un pont existant, il est important d’ac-corder plus d’effort afin d’estimer le ou les FAD les plusréa-listes parce que ce facteur peut atteindre des valeurs rela-tivement importantes (typiquement de 20 à 50% de la chargestatique de conception actuelle). Ce facteur est donc détermi-nant dans la prise de décision de nature économique d’uningénieur. En effet, la valeur de ce facteur peut faire la dif-férence entre un renforcement ou non d’un pont ou encoreentre un renforcement et son remplacement.

Plusieurs auteurs ont abordé les aspects analytiques etnumériques de la charge dynamique exercée sur les ponts(poutres) (Veletsos et Huang 1970; Biggs 1964; Huang 1960;Fryba 1972; Ting et al. 1974; Hutton et Cheung 1979; Hwanget Nowak 1991; Henchi et al. 1997a, 1997b). La majorité deces auteurs ont utilisé des modèles pont–véhicules simplifiés.Ceux-ci modélisent le pont par une poutre dans le plan, et levéhicule par une force constante ou par des systèmes dy-namiques simples à 1 ou 2 dl. Wang et al.(1992a) ont démon-tré numériquement que les ponts sont fortement influencés parla distribution des charges au niveau des essieux et que leseffets ne sont pas les mêmes sur toutes les poutres transversalesdu pont (fig. 1). Ceci démontre bien que l’effort maximum dechaque poutre n’est pas nécessairement le même sur une sec-tion donnée.

Depuis environ un siècle, plusieurs recherches ont étémenées pour étudier la dynamique des ponts et pour modéliser,d’une façon réaliste, la force d’interaction pont–véhicule. Lespremières recherches se sont concentrées sur le développe-ment de solutions analytiques pour des cas simples de forcesmobiles (tableau 1, fig. 2). Plus tard, le développement rapidede l’informatique a permis aux chercheurs d’atteindre un nou-veau niveau de précision sur la modélisation de la force d’in-teraction. Ainsi, Biggs et al. (1959) ont modélisé le systèmedynamique pont–véhicule par une poutre sur appuis simplestraversée par un modèle simple de véhicule à un seul degré deliberté. Puis, d’autres modèles de véhicules plus complexes ontété développés, soit des modèles à 2 et 4 dl en deux dimensions(Huang 1960; Hutton et Cheung 1979; Veletsos et Huang1970; Hwang et Nowak 1991), ainsi que des modèles à 7 et11 dl en trois dimensions (Fafard et al. 1993, 1998; Henchi1995; Wang et al. 1992a, 1992b). Récemment Henchi et al.(1997a, 1997b) ont développé des modèles basés sur des for-mulations exactes du comportement des poutres continues(ponts multitravées) sous convois de forces et masses mobiles,basés sur l’approche des rigidités dynamiques exactes avecl’intégration des équations de mouvement dans l’espace desfréquences en utilisant l’algorithme de la transformée deFourier (FFT).

Jusqu’à maintenant, il n’existe aucun consensus interna-tional quant au calcul du FAD et certaines divergences existententre les recommandations de différentes normes nationalesde calcul des ponts. Ceci est dû au fait que le FAD dépendde plusieurs paramètres dont, entre autres, la portée, les pre-mières fréquences propres du pont, l’état de la structure,les types d’appuis, l’état du profil de la chaussée, la vitesse,les caractéristiques dynamiques des véhicules, les pointsde mesure, etc. (Akoussah et al. 1997). L’amplificationdynamique, résultant du passage d’un véhicule sur unpont est donnée par

AD =Rmax

D − RmaxS

RmaxS

où RmaxD est la réponse dynamique maximale (effort tranchant,

réaction d’appuis, déformation) et RmaxS est la réponse statique

maximale. Le facteur (1 + AD) représente le facteur d’ampli-fication dynamique. Généralement, ce FAD est obtenu defaçon expérimentale en mesurant des déplacements aux en-droits jugés important sur le pont (Biggs et al. 1956; Fleminget Romualdi 1961; Fenves et al. 1962; Paultre et al. 1992).Parfois, ce facteur est également obtenu à partir de mesures desdéformations. La prédiction d’un FAD adéquat et de la réponsedynamique n’est pas évidente, surtout pour des ouvrages com-plexes.

Dans ce qui suit, nous allons présenter une approchegénérale basée sur la méthode des éléments finis pour étudierle comportement dynamique des ponts sous véhicules mobiles,en prenant en compte le phénomène de l’interactionpont–véhicules–rugosité d’une manière détaillée et réaliste. Cemodèle permettra par la suite d’étudier le comportement dy-namique du pont sollicité par différents types de véhicules. DesFAD pourraient être obtenus numériquement en mesurant soitdes déplacements soit des déformations.

2. Formulation du problème

Le modèle d’interaction pont–véhicules requiert la prise encompte des trois aspects suivants lors de la simulation (fig. 3) :(i) la structure du pont; (ii) le véhicule comme source d’exci-tation et (iii) la rugosité (imperfection) de la surface de la routecomme interface entre le véhicule et le pont.

La structure du pont est représentée par un modèled’éléments finis, constitué de coques et de poutres. Le véhiculeest représenté par un ensemble d’éléments de masses–ressorts–amortisseurs.

2.1. Rugosité du profil de la routeCompte tenu des imperfections et des irrégularités qui nepeuvent manquer d’apparaître sur une route, le microprofil

Fig. 1. Influence de la distribution transversale de la charge sur laréponse en déplacement de la section A–A.

Can. J. Civ. Eng. Vol. 25, 1998162

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de la chaussée est considéré comme une fonction aléatoire descoordonnées spatiales. Les mesures expérimentales de plu-sieurs ponts (Honda et al. 1982) ont montré que le profil sta-tique de la rugosité de la surface du pont, r(x), peut êtreconsidéré comme un processus aléatoire stationnaire gaussiende moyenne nulle. La fonction densité spectrale de puissance(DSP) Sr (fonction de la fréquence spatiale fs = ωs/2π) associéeà ce processus est donnée par

[1] Sr(ωs) = Ar

ωs

ωs0

−2

où Ar est le coefficient de rugosité (m3/cycle), ωs0 = 1/(2π), lafréquence de discontinuité (cycle/m) et ωs, le nombre d’onde(cycle/m).

À partir de la DSP, la surface du profil de la route estgénérée à partir de l’équation 2, en utilisant l’algorithme FFTavec la simulation de Monte Carlo (Wang et al. 1992a) pourgénérer un nombre aléatoire ϕ distribué uniformément entre 0et 2π. La forme discrète du profil de la route est donnée par(Henchi 1995) :

[2] r(x) = ∑k=1

N4Ar

2πk

Lcωs0

−22πLc

12

cos ωsk x − ϕk

avec ∆ωs = 2π /Lc , ωsk = k∆ωs, et Lc en général égale audouble de la longueur du pont, où ϕk est l’angle de phase. Lafigure 4 illustre un profil de surface typique en corrélation avecles observations expérimentales.

2.2. Modèles des véhiculesLe modèle du véhicule présenté à la figure 5 (Fafard et al.1993; Savard et al. 1993; Veletsos et Huang 1970; Wang et al.1992a) est ici développé. Les équations du mouvement dusystème sont obtenues en utilisant la formulation des équationsde Lagrange (Clough et Penzien 1993), telle que donnée par

[3]ddt

∂T

∂q.

i

−∂T

∂qi

+∂V

∂qi

−∂Wd

∂q.

i

= Qi

et ce, pour chaque coordonnée généralisée du véhicule. Dansl’équation 3, T et V sont, respectivement, les énergies cinétiqueet potentielle du système, qi est la coordonnée généralisée, Wdest l’énergie de dissipation du système et Qi est la forcegénéralisée correspondante.

Nous appliquons l’équation 3 pour n’importe quel modèlede véhicule. Les équations du mouvement de ce dernier sontalors sous la forme suivante :

[4] [Mv]Z

+ [Cv]Z

+ [Kv]Z = Fg + F−int

Auteur Année Problème étudié

Willis 1849 Cas 2 expérimentalStokes 1883 Cas 2 expérimentalKrylov 1905 Cas 1Timoshenko 1908 Cas 1 avec F(t) = F0 sin(ωt)Inglis 1934 Cas 3Biggs et al. 1956 Cas 2 expérimentalFryba 1972 Cas 1 + cas 2 + cas théorique

Résolutions numériques et éléments finisHuang 1960 Cas 3 + véhicules à 2 et 4 dlFenves et al. 1962 Cas 3 + véhicules à 2 et 4 dlVeletsos et Huang 1970 Cas 3 + véhicules à 7 dlTing et al. 1974 Cas 2Hutton et Cheung 1979 Cas 3 + véhicules à 7 dlHwang et Nowak 1991 Cas 3 + véhicules à 7 dl + rugositéWang et al. 1992a Cas 3 + véhicules à 11 dl + rugositéFafard et al. 1993 Cas 3 en trois dimensions + rugositéHenchi 1995 Cas 3 en trois dimensions + rugosité

Résolutions numériques basées sur l’approche d’éléments finisdynamiques exacte

Henchi et al. 1997a Cas 1 (ponts multitravées)Henchi et al. 1997b Cas 1 + cas 2 (ponts multitravées)

Nota : Les cas 1 à 3 sont illustrés en figure 2.

Tableau 1.Sommaire des travaux relatifs aux charges mobiles. Fig. 2. Travaux relatifs aux charges mobiles; trois cas simples (voirtableau 1).

Henchi et al. 163

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où F−int est le vecteur de la force d’interaction appliquéepar le pont, Fg, le vecteur force causé par les effets de lagravité (les symboles sont définis dans la liste en fin dudocument).

2.3. Modèle du pont

2.3.1. Équation d’équilibre dans l’espace modalLes équations d’équilibre dynamique pour un pont de formequelconque modélisé par éléments finis (coques, plaques oupoutres) sont données (Clough et Penzien 1993; Batoz et Dhatt1992) par

[5] [Mb]U

+ [Cb]U

+ [Kb]U = Fbvint

Les matrices [Mb], [Kb] et [Cb] représentent, respectivement,les matrices de masse, de rigidité et d’amortissement dusystème global et Fbv

int représente le vecteur des forces d’in-teraction pont–véhicules.

La projection de l’équation 5 dans l’espace modal de di-mension r nous donne

[6] [I]y + [χ]y + [Ω]y = [Φ]TFbvint

Fig. 3. Interaction pont–véhicules.

Fig. 4. Profil de la route généré à partir de l’équation 2.

Fig. 5. Modèle de véhicule discret tridimensionnel avec 7 dl.

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Fig. 6. Modélisation de l’interaction pont–véhicule et évaluation du déplacement relatif (avec prise en compte de la rugosité de lasurface du pont).

Fig. 7. Représentation de la force d’interaction en chaque point de contact : cas d’un véhicule à deux essieux.

Henchi et al. 165

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où

[I] =

J

1J

rxr

; [χ] =

J

2ξiωi

J

rxr

et

[Ω] =

Jωi

2

J

rxr

[7a] U = ∑j=1

r

Φj yj = [Φ] y

[7b] [Ω] = [Φ]T[Kb] [Φ]

[7c] [I] = [Φ]T[Mb] [Φ]

[7d] [χ] = [Φ]T[Cb] [Φ]

et l’amortissement est exprimé de telle manière que

[7e] [Cb] = a[Mb] + b[Kb]

[7f] a + bωj2 = 2ξjωj

[Φ] est la matrice des r vecteurs propres M-orthonormés. Engénéral, chaque noeud possède 6 dl correspondant aux troisrotations et aux trois translations.

2.3.2. Réduction de l’erreur de la troncature modaleLa troncature modale et le choix adéquat du nombre de modes(r) n’est pas automatique car r dépend de la distribution spa-tiale du chargement qui peut exciter aussi les modes élevés. Unmauvais choix de r peut engendrer des erreurs très importantessur la réponse dynamique surtout, et en particulier, pour lesefforts internes et les accélérations (Henchi 1991). La prise encompte des modes élevés est donc souvent souhaitable. Cepen-dant, si ces fréquences sont très élevées par rapport aux hautesfréquences du chargement, la réponse due à ces fréquences estalors principalement statique (Cornwell et al. 1983).L’équation 7 devient ici :

[8] U(t) = ∑j=1

r

Φj yj + ∑j=r+1

N

Φj yjS

L’équation du mouvement pour un seul mode est donnée par

[9] yj + 2ξjωjy

j + ωj2 yj = Φj

T F(x,t) = pj (t)

La réponse statique causée par les modes élevés (yj = y j ≈ 0)est :

[10] yjS =

ΦjT F(x,t)ωj

2

L’équation 8 devient :

[11] U(t) = ∑j=1

r

Φj yj + ∑j=r+1

N

ΦjΦj

T F(x,t)ωj

2

Or, on a :

[12] ∑j=1

r

ΦjΦj

T F(x,t)ωj

2+ ∑

j=r+1

N

ΦjΦj

T F(x,t)ωj

2

=U−s=[K]−1F(x,t)

Ceci permet d’écrire :

[13] ∑j=r+1

N

ΦjΦj TF(x,t)

ωj2

= [K]−1 F(x,t)

− ∑j=1

r

ΦjΦj

TF(x,t)ωj

2

Des équations 13 et 11, on obtient :

[14] U(t) = ∑j=1

r

Φjyj −

ΦjTF(x,t)ωj

2

+ [K]−1 F(x,t)

En utilisant l’équation 9, l’équation 14 se réécrit :

[15] U(t) = [K]−1F(x,t) − ∑j=1

r

Φj

yj + 2ξjωj y j

ωj2

L’équation 15 représente la superposition modale basée sur lesaccélérations, d’où le nom accélération modale de la méthode.Cette méthode s’avère très intéressante pour les problèmes devéhicule mobile car ce dernier change de position à chaqueinstant et, par conséquent, la distribution spatiale du vecteurchargement change aussi. Ce changement peut parfois en-traîner une excitation des modes supérieurs à ceux inclus dansla base modale choisie.

2.4. Interaction pont–véhiculesLa force d’interaction pont–véhicules est évaluée en chaquepoint de contact i entre les pneus du camion et le pont. Cetteforce est donnée par

[16] Fiint = −Fbvi

int = kpiδi + cpiδ.

i

où kpi et cpi représentent, respectivement, la rigidité et l’amor-tissement de la roue i en contact avec la structure (fig. 6 et 7),δi est le déplacement relatif entre la roue i en contact et lastructure (fig. 7) défini par

δi = − zi − (− ri) − (−w−i )

Pont* Véhicule

Paramètre Valeur Paramètre Valeur

L (m) 1,1938 g (m/s2) 9,81ρ (kg/m3) 2,9602×103 M (kg) 9,06A (m2) 0,51×10–2 k (N/m) 8,346×108

I (m4) 0,9448×10–8 c (N⋅s/m) 173,15E (N/m2) 10,48×1010 r(x) 0∆t (s) 3×10–5 α T1/τ = T1v/L

0,001ξ 0,0

*Lin et Trethewey (1990).

Tableau 2.Données du problème.

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Notre étude Lin et Trethewey (1990)

α = T1/τ ∆* M† ∆*

0,1 1,018 1,013 1,0280,5 1,2069 1,117 1,2061,0 1,526 1,04 1,5331,5 1,452 1,107 1,4602,0 1,297 1,056 1,307

*FAD calculé à partir des déplacements.†FAD calculé à partir des moments.

Tableau 3.Facteurs d’amplification dynamique pour une poutre

Fig. 8. Algorithme de résolution du modèle découplé (itératif) d’interaction pont–véhicules.

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zi est le déplacement vertical de la masse mi reliée à la roue aupoint de contact i, ri est la valeur de la rugosité du profil sousla roue au point de contact i et w−i est le déplacement vertical dupont au point de contact i d’abscisse curviligne si avec la rouei :

w−i = ∑i=1

NN

Niwie

et wie sont les déplacements des noeuds voisins au point de

contact i roue–pont et NN est le nombre de noeuds par élément.L’équation du mouvement dans l’espace modal est donnée

par

[I] y + [χ] y + [Ω]y = [Φ]TFbvint

où le vecteur des forces d’interaction exercées par lesvéhicules sur le pont est

[17] Fbvint = ∑

i=1

np

N i Fbviint

où Ni est le vecteur des fonctions de forme évalué à la posi-tion de la roue i et np est le nombre total de roues en contactavec le pont. Les forces sont évaluées en chaque point de con-tact pont–roue par

[18] Fbviint = kpi[zi − (w−i + ri)] + cpi[z

i − (w−

i + ri)]

où

[19] r(xi) + w−i = o N p io wep + r(xi)

[20] w−

i + r(xi) = w− ,xi

x + w−,t + r(xi) = o N,xp iwv

+ o N p iw,t + r,xv

En remplaçant w−i, w−

i, r(xi) et r(xi) dans [18] on obtient :

[21] Fbviint = kpi[zi − (o N p i[Φ]y + ri)]

+ cpizi − [(v o N,xp i[Φ]y + o Np i[Φ]y ) + ri]

L’équation d’équilibre dynamique du véhicule est donnée parl’équation 4 et la force d’interaction pont–véhicules exercée

sur chaque roue (point de contact) est donnée par

[22] F−iint = kpi(w−i + ri) + cpi(w−

i + ri)

Le vecteur des charges est :

[23] F− int =

kp1(w−

1 + r1) + cp1(w−

1 + r1)

I

kpnp(w−

np + rnp) + cpnp(w−

np + rnp)

0

I

0

ndv

où kpi est la rigidité au niveau du pneu i, cpi est l’amortissementau niveau du pneu i et ndv est le nombre de degrés de libertépar véhicule (ndv = 7 et np = 4 pour le cas d’un véhicule isolé,fig. 5).

Si nous remplaçons w−i, w−

i, r(xi) et r(xi) dans [23], on obtientalors :

[24] F− int =

kp1(o N p 1[Φ]y + r1) + cp1(v o N,xp 1[Φ]y + o Np 1[Φ]y + r1)

I

kpnp(o N p np[Φ]y + rnp) + cpnp(vo N,xp np[Φ]y + o N p np[Φ]y + rnp)

0

I

0

ndv

Fig. 9. Véhicule mobile avec 1 dl.

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2.5. Méthode de résolution des problèmes d’interactionpont–véhicules

La résolution du modèle découplé d’interaction pont–véhiculesest effectuée à l’aide d’un algorithme itératif (Henchi 1995;Savard et al. 1993) les équations d’équilibre de chaquesystème, pont et véhicules. On utilise l’équation 6 pour le pontet l’équation 4 pour chaque véhicule. Avant d’entamer le pro-cessus de simulation proprement dit, on débute avec la con-struction des matrices [Mb], [Kb] et [Cb] du pont ainsi que lalecture et le calcul des conditions initiales de vibration. Uncalcul aux valeurs et vecteurs propres de la structure est néces-

saire si on utilise une analyse modale. Ensuite, on génère leprofil de la surface du pont correspondant, selon la méthodeprésentée.

L’algorithme de simulation comporte quatre boucles imbri-quées. La première boucle est celle sur des pas de temps, laseconde correspond aux itérations pour obtenir l’équilibre dusystème, la troisième est une boucle sur les convois et la qua-trième est une boucle sur les véhicules.

Le début de la simulation commence avec la boucle sur lespas de temps. Dans cette boucle, on définit des pas de temps∆t en fonction des valeurs des vitesses horizontales du véhicule

Fig. 10.Variation du rapport de la flèche dynamique sur la flèche statique maximale au centre de la poutre en fonction du temps et en fonctiondu rapport α = T1/τ.

Fig. 11.Variation du facteur d’amplification dynamique en fonction du rapport α = T1/τ.

Henchi et al. 169

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donné. Le processus itératif débute à l’itération k = 1 par uneapproximation de la configuration de la structure au pas detemps courant à partir de la solution précédente. Puis, on ap-plique une correction au cours des itérations suivantes jusqu’àla convergence. Avec chaque approximation de l’itération k,on calcule les vecteurs des forces d’interaction F−int et on résoutl’équation 4 pour chaque véhicule. Cela nous donne lesdéplacements et les vitesses des degrés de liberté de chaquevéhicule Z et Z

. Ces deux derniers vecteurs sont alors in-jectés dans l’équation 21 pour calculer le vecteur des forcesd’interaction exercées par les véhicules sur le pont. Ensuite,on intègre l’équation 6 par le schéma implicite de Newmark

pour obtenir les vecteurs U, U

et U

. La dernière étapeest celle du test de convergence entre le vecteur Uk calculérécemment et Uk–1 de l’itération k – 1 précédente; si

||Uk − Uk−1||||Uk−1||

≤ ε

alors, on passe au pas de temps suivant. Sinon, on passe à l’itéra-tion suivante telle que le vecteur Uk devient une approximationde l’itération prochaine et on refait le calcul jusqu’à la conver-gence. Généralement, le processus converge en deux itérations.La figure 8 illustre ce processus de résolution numérique.

Fig. 12.Variation du déplacement vertical Z de la masse, en fonction du rapport α = T1/τ et du temps.

Fig. 13.Variation du rapport de la charge dynamique à l’essieu sur la masse (mg), en fonction du temps et du rapport α = T1/τ.

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3. Exemple académique de validation

Dans cet exemple, nous évaluons la réponse dynamique au centred’une poutre encastrée aux extrémités, sous l’effet d’un véhiculemobile à 1 dl et à vitesses constantes (fig. 9 et tableau 2). Nousétudions aussi le comportement dynamique du déplacementvertical du véhicule. L’objectif est la validation et la mise enoeuvre de l’algorithme de l’interaction pont–véhicule pour lessystèmes à un seul degré de liberté. Nous avons comparé nosrésultats avec les résultats obtenus par Lin et Trethewey(1990), en utilisant un modèle d’éléments finis de type pou-tres minces sans amortissement.

La pulsation analytique de la poutre encastrée–encastrée estdonnée par

ωj = ξj2

EImlL

4

12

d’où

ω1 = 4,7312

EImlL

4

12

= 4,021 72 × 103 rad/s

La flèche et le moment statiques maximaux sont, respective-ment :

δmaxS = FL3

192EI= 0,795 mm

MmaxS = FL

8= 13,2631 N⋅m

La poutre est modélisée par 20 éléments de poutre linéairebidimensionnelle (2 noeuds et 2 dl par noeud). Une analysemodale avec les 10 premiers modes a été utilisée. Les condi-tions aux limites sont, en x = 0 et x = L, w = θy = 0. La poutreest considérée initialement au repos.

La méthode de résolution est celle de la figure 8 detolérance de convergence ε = 0,001, avec le schéma de New-mark, et le pas de temps d’intégration est ∆t = 3 × 10–5 s. Danscet exemple, la vitesse du véhicule est exprimée par leparamètre de vitesse α = T1/τ = T1v/L, où T1 est la périodefondamentale de la poutre (s) et τ est le temps de parcours dela poutre (s) (τ = L/v) et v est la vitesse de la charge mobile(m/s). Nous allons examiner différentes valeurs de α soit α =T1/τ = 0,1, 0,5, 1,0, 1,5 et 2,0.

La réponse dynamique au centre de la poutre est présentéeà la figure 10. Les FAD sont tabulés au tableau 3 et présentésà la figure 11; ils ont été calculés en utilisant deux types demesures différentes : le déplacement et le moment au centrede la poutre. Dans le cas du moment, ce facteur étant propor-tionnel à la courbure, il peut être estimé à partir de celle-ci. Onremarque (fig. 11) que les résultats obtenus à partir du présentmodèle sont en excellente concordance avec ceux obtenus parLin et Trethewey (1990). De même, tel que déjà observé pard’autres auteurs, les FAD calculés avec les moments sont plusfaibles que ceux obtenus avec des mesures de déplacements.

D’après la figure 10, on peut faire les remarques quisuivent. Si le rapport α = T1/τ = 0,1 (vitesse faible), la réponsedynamique est semblable à la réponse statique, ce qui estphysiquement prévisible. La figure 12 montre le déplacementZ(t) de la masse du système dynamique mobile. Ce déplace-ment est maximal pour une faible vitesse α = 0,1, et ce juste à

la position x/L située au centre de la poutre. Pour les autresvitesses, le maximum se produit pour des positions x/Lsupérieures à 0,5.

La figure 13 montre la variation du rapport de la force d’in-teraction F(t) sur la masse (mg). Celui-ci reste au voisinage de1,0 pour de basses vitesses (α = 0,1). Par contre, ce mêmerapport s’éloigne de 1 pour des vitesses plus importantes. Danscet exemple, on ne peut voir des différences extrêmes entre laforce d’interaction F(t) et la masse car le rapport de la massedu système mobile sur la masse de la poutre est égale à 0,50,ce qui n’est pas très important. Finalement, mentionnons quele processus itératif de la méthode découplée converge tou-jours en deux ou trois itérations.

4. Conclusion

Nous avons développé un modèle numérique de simulationdynamique de l’interaction pont–véhicule complet, avec laprise en compte de la rugosité du profil de la surface du pontet pour n’importe quel type de véhicules en deux et trois di-mensions. L’algorithme de l’interaction pont–véhiculesutilisant la méthode découplée donne de bons résultats. Ceux-ci se comparent bien aux résultats expérimentaux ou numéri-ques que l’on trouve dans la littérature (Henchi 1995). Lesrésultats de l’exemple académique comparés à ceux de Lin etTrethewey (1990) montrent la validité de l’algorithme (pourles exemples en trois dimensions, voir Henchi (1995) etAkoussah et al. (1997). Ainsi, cela valide la formulation etl’implantation de l’algorithme présenté. L’algorithmedéveloppé ici est utilisable pour n’importe quel type devéhicule avec la prise en compte de la rugosité du profil de laroute, alors que celui de Lin et Trethewey (1990) est valablepour un seul véhicule bien défini.

Dans la référence Henchi et al. (1998), nous présentons uneapplication directe de l’algorithme développé avec unemodélisation complète et détaillée par éléments finis sur lepont de Senneterre, situé au Québec. Nous comparons lesrésultats expérimentaux (Savard et Halchini 1993) obtenus sursite par le laboratoire mobile du ministère des Transports duQuébec aux résultats numériques obtenus par éléments finis.

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Liste des symboles

a, b coefficients d’amortissement de RayleighAD amplification dynamiqueAr coefficient de rugosité spectrale (m3/cycle)ci amortissement lié à la masse de la suspension i

du véhiculecpi amortissement lié à la roue (pneu) i du véhicule[Cb] matrice d’amortissement du pont[Cv] matrice d’amortissement du véhiculeDSP densité spectrale de puissanceE module de Young (N/m2)fs fréquence spatialeFAD facteur d’amplification dynamiqueFbvi

int force d’interaction exercée par le pont sur levéhicule et évaluée au point de contact de laroue (pneu) i et du pont

Fg vecteur force dû aux effets de la pesanteur

F−iint force d’interaction exercée par le véhicule sur le

pont et évaluée au point de contact de la roue(pneu) i et du pont

g accélération due à la gravitéG centre de gravitéIα moments d’inertie de roulis du bloc rigide du

véhicule

Can. J. Civ. Eng. Vol. 25, 1998172

© 1998 CNRC Canada

Iθ moments d’inertie de tangage du bloc rigidedu véhicule

k indice de la périe de Fourierki rigidité liée à la masse de la suspension i du

véhiculekpi rigidité liée à la roue (pneu) i du véhicule[Kb] matrice de rigidité du pont[Kv] matrice de rigidité du véhiculeL longueur du pont (m)Lc longueur de calcul = 2L (m)ml masse par unité de longueur (kg/m)mi masse équivalente pour l’essieu i divisée par 2mv masse du corps rigide du véhicule[Mb] matrice de masse du pont[Mv] matrice de masse du véhiculendv nombre de degrés de liberté par véhiculenp nombre de roues (pneus) par véhicule[N] matrice des fonctions de formeNi vecteur des fonctions de forme évalué à la position de

contact i et du pont (structure)NN nombre de noeuds par élémentN,x dérivée de la fonction de forme par rapport à xpj(t) force généralisée du mode jqi coordonnée généralisée du système de la variable iQi force généralisée du système de la variable iRmax

D réponse dynamique maximaleRmax

S réponse statique maximaler(x) profil statique de la rugosité de la surface du pontsi espacement des essieux de la suspension i du

véhiculeSr(ωs) densité spectrale de puissance en fonction du

nombre d’ondeT énergie cinétique du systèmeT1 période fondamentale de la structure (s)U vecteur des déplacements aux noeudsU

vecteur des vitesses aux noeudsU

vecteur des accélérations aux noeudsv = x vitesse de la charge mobile (véhicule mobile) (m/s)

V énergie potentielle du systèmewc flèche au point cwc accélération au point cwe vecteur élémentaire des déplacements ww−i déplacement au point de contact i de la charge

mobile et du pontw−

i vitesse au point de contact i de la charge mobile etdu pont

Wd énergie de dissipation du systèmex position du véhicule mobilex vitesse de la charge mobile (véhicule mobile)yj déplacement généralisé du mode jy j vitesse généralisée du mode jyj accélération généralisée du mode jzvi déplacement du degré de liberté i du véhiculez vi vitesse du degré de liberté i du véhiculezvi accélération du degré de liberté i du véhiculeZ vecteur des déplacements des degrés de liberté du

véhiculeZ

vecteur des vitesses des degrés de liberté duvéhicule

Z

vecteur des accélérations des degrés de liberté duvéhicule

α paramètre de vitesse (sans unité)δi déplacement relatif entre la roue i en contact

et la structureδ

i vitesse relative entre la roue i en contact et lastructure

∆t pas de tempsε tolérance de convergence > 0,001θy rotation autour de l’axe Yξj amortissement du je modeρ masse volumiqueτ temps de parcours de la poutre (s)φj vecteur propre nodal correspondant au mode j[Φ] matrice modale des r vecteurs propresωs nombre d’onde (cycle/m)ωs0 fréquence de discontinuité (cycle/m)ϕk angle de phase

Henchi et al. 173

© 1998 CNRC Canada