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—LAT EXprosper—
Séminaire fluides compressibles, 8 février 2010, Chevaleret
Un solveur well-balanced entropique pour le système deshallow water Savage-Hutter 2d avec termes de courbure
François BOUCHUT
CNRS & LAMA
Université Paris-Est Marne-la-Vallée
et
Anne MANGENEY
Institut de Physique du Globe de Paris
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 1
—LAT EXprosper—
Plan
⊲ Partie 1. Modélisation des écoulements granulaires denses : les
modèles de type Savage et Hutter
⊲ Les modèles de Saint Venant, de Savage et Hutter, de Bouchut,
Mangeney, Perthame, Vilotte
⊲ Dérivation à partir des équations d’Euler incompressible
⊲ Modélisation de la friction
⊲ Le cas bidimensionnel
⊲ Partie 2. Méthode de volumes finis well-balanced
⊲ Formulation quasilinéaire
⊲ Solveur intégrant la géométrie
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 2
—LAT EXprosper—
Réferences : modélisation des avalanches granulaires
⊲ S.B. Savage, K. Hutter, The dynamics of avalanches of granularmaterials from initiation to run-out, Acta Mech. 86 (1991), 201-223.
⊲ J.M.N.T. Gray, M. Wieland, K. Hutter, Gravity driven free surface flow ofgranular avalanches over complex basal topography, Proc. R. Soc.Lond. A 455 (1999), 1841-1874.
⊲ F. Bouchut, A. Mangeney-Castelnau, B. Perthame, J.-P. Vilotte, A newmodel of Saint Venant and Savage-Hutter type for gravity driven shallowwater flows, C.R. Acad. Sci. Paris, série I 336 (2003), 531-536.
⊲ F. Bouchut, M. Westdickenberg, Gravity driven shallow water models forarbitrary topography, Comm. in Math. Sci. 2 (2004), 359-389.
⊲ O. Pouliquen, Y. Forterre, Friction law for dense granular flows:application to the motion of a mass down a rough inclined plane, J. FluidMech. 453 (2002), 133-151.
⊲ I. Luca, Y.C. Tai, C.Y. Kuo, Non-Cartesian, topography-based avalancheequations and approximations of gravity driven flows of ideal andviscous fluids, Math. Models Methods Appl. Sci. 19 (2009), 127-171.
⊲ E.D. Fernández-Nieto, F. Bouchut, D. Bresch, M.J. Castro Díaz, A.Mangeney, A new Savage-Hutter type model for submarine avalanchesand generated tsunami, J. Comput. Phys. 227 (2008), 7720-7754.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 3
—LAT EXprosper—
Partie 1. Les modèles de type Savage et Hutter
Contexte : écoulement unidimensionnel d’un fluide (eau dans une rivière) ou
d’un milieu granulaire dense (sable, lave de volcan) sur une pente régulière.
z(x) : topographie
h(t, x) : épaisseur de l’écoulement, u(t, x) : vitesse
équilibre au repos
Equations sur h et u ?
⊲ Des hypothèses sont nécessaires pour dériver un modèle, à partir d’un
système de Navier-Stokes. En particulier, il faut une couche mince,
h << L dimension typique des phénomènes à étudier.
⊲ Hypothèses sur la topographie z pour simplifier les équations,
⊲ Modélisation des phénomènes de friction,
⊲ Modélisation des mélanges (ex. avalanche solide/liquide)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 4
—LAT EXprosper—
Le modèle de Saint Venant (shallow water) pour les rivières
La coordonnée x est mesurée horizontalement.
x
z(x) : altitude de la topographie
h(t, x) : épaisseur verticale de l’écoulement
u(t, x) : vitesse horizontale
Les équations sont
∂th + ∂x(hu) = 0,
∂t(hu) + ∂x(hu2 + gh2/2) + ghzx = 0,
(1)
avec g constante de la gravitation, zx = dz/dx est la pente.
Hypothèse essentielle en plus de couche mince : pente faible zx << 1.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 5
—LAT EXprosper—
Le modèle de Saint Venant : propriétés
Propriétés du modèle de Saint Venant :
⊲ Le système est hyperbolique,
⊲ Il admet une entropie convexe, l’énergie. L’inégalité associée s’écrit
∂t(hu2/2+ gh2/2+ ghz) + ∂x
((hu2/2+ gh2 + ghz)u
)≤ 0. (2)
⊲ La masse totale est conservée
d
dt
∫h dx = 0, (3)
⊲ l’épaisseur h reste positive ou nulle, et le cas "à sec" h = 0 est bien
rendu par les équations,
⊲ Les équilibres au repos
u ≡ 0, h(x) + z(x) = cste (4)
sont des solutions stationnaires du système.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 6
—LAT EXprosper—
Le modèle de Savage et Hutter pour les écoulements sur pente
La coordonnée x est toujours mesurée horizontalement.
x
z(x) : altitude de la topographie
h(t, x) : épaisseur normale de l’écoulement
u(t, x) : vitesse tangentielle
Les équations sont
∂t(h
cos θ) + ∂x(hu) = 0,
∂t(hu
cos θ) + ∂x(hu
2 + gh2
2cos θ) + gzx(h−
h2
2cos θ θx) = 0,
(5)
où θ(x) est l’angle entre l’horizontale et la tangente à la topographie,
tan θ = zx, −π/2 < θ < π/2. (6)
Hypothèse essentielle en plus de couche mince : pente à faible variation
(courbure petite) θx << 1/L. Bon modèle pour les pentes presque constantes.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 7
—LAT EXprosper—
Le modèle de Savage et Hutter : propriétés
Propriétés du modèle de Savage et Hutter :
⊲ Le système est hyperbolique,
⊲ Il admet une entropie convexe, l’énergie. L’inégalité associée s’écrit
∂t
(hu2/2+ g h2
2 cos θ + ghz
cos θ
)+ ∂x
((hu2/2+ gh2 cos θ + ghz)u
)≤ 0.
(7)⊲ La masse totale est conservée
d
dt
∫h
cos θdx = 0, (8)
⊲ l’épaisseur h reste positive ou nulle, et le cas "à sec" h = 0 est bien
rendu par les équations,
⊲ Les équilibres au repos
u ≡ 0, h(x) cos θ(x) + z(x) = cste (9)
sont des solutions stationnaires du système.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 8
—LAT EXprosper—
Le modèle de Savage et Hutter : propriétés
Identités algébriques :
⊲ En combinant les deux équations on trouve pour les solutions régulières
∂tu
cos θ+ ∂x
(u2/2+ hg cos θ + gz
)= 0. (10)
⊲ On en déduit immédiatement avec l’équation de masse que u = 0 et
h cos θ + z = cst est une solution stationnaire.
⊲ D’autre part, multipliant l’équation de masse par u2/2+ hg cos θ + gz et
(10) par hu on trouve l’inégalité d’entropie.
∂t
(hu2/2+ g h2
2 cos θ + ghz
cos θ
)+ ∂x
((hu2/2+ gh2 cos θ + ghz)u
)≤ 0.
(11)⊲ Le modèle (5) est en fait légèrement différent de celui introduit par
Savage et Hutter, il inclut en plus le terme en cos θ θxh2/2. Notons que
cos θ θx est la courbure de la topographie. C’est ce (petit) terme qui
permet d’avoir l’inégalité d’entropie et les solutions stationnaires aurepos.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 9
—LAT EXprosper—
Le modèle de Bouchut, Mangeney, Perthame, Vilotte
Mêmes notations géométriques.
x
z(x) : altitude de la topographie
h(t, x) : épaisseur normale de l’écoulement
u(t, x) : vitesse tangentielle
Les équations sont (sous forme non conservative)
∂th− h2
2 θXcos θ
+ ∂x
(ln(1− hθX)
−θXu
)= 0,
∂tu
cos θ+ ∂x
(u2
2
1
(1− hθX)2+ hg cos θ + gz
)= 0,
(12)
où tan θ = zx, et θX = cos θ θx. Pas d’autre hypothèse que celle de couchemince.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 10
—LAT EXprosper—
Le modèle de BMPV : propriétés
Propriétés du modèle :
⊲ Le système est hyperbolique,
⊲ Il admet une entropie convexe, l’énergie.
⊲ La masse totale est conservée
d
dt
∫h− h2
2 θXcos θ
dx = 0, (13)
⊲ l’épaisseur h reste positive ou nulle, et le cas "à sec" h = 0 est bien
rendu par les équations,
⊲ Les équilibres au repos
u ≡ 0, h(x) cos θ(x) + z(x) = cste (14)
sont des solutions stationnaires du système.
⊲ la densité de masse h− h2
2 θX ne reste pas nécessairement positive. Cela
est dû à l’impossibilité géométrique de définir h (solution multivaluée).
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 11
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Dérivation des modèles : coordonnées
⊲ On définit l’abscisse curviligne X(x) sur la topographie par
dX = dx/ cos θ. Ceci définit un changement de variable, et on a
cos θ dX = dx, ∂X = cos θ ∂x. (15)Les modèles peuvent alors se réécrire en variable t,X, car une équation
∂t(A/ cos θ) + ∂xB = 0 devient ∂tA + ∂XB = 0.
⊲ On a tan θ = zx, et il faut supposer z(x) assez régulier.
⊲ On définit pour chaque temps t le domaine Ωt du plan occuppé par le
volume de fluide. Il est délimité par le fond et la surface libre. Un point
M dans Ωt peut être repéré par sa projection orthogonale sur le fond
(donc par X ou x), et par sa distance au fond Z, 0 < Z < h(t,X).
x
M
1
2
(X)
X
X
Xz(x)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 12
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Dérivation des modèles : coordonnées
⊲ On a
M = (x, z(x)) + Z(− sin θ(x), cos θ(x)), (16)
et donc
∇X,ZM =
(J cos θ − sin θ
J sin θ cos θ
), J = 1− ZθX = det∇X,ZM. (17)
⊲ On suppose que (X,Z) 7→ M est un difféomorphisme (J > 0), ce qui
caractérise l’admissibilité du système de coordonnées.
⊲ Le volume de fluide compris entre deux abscisses X1 et X2 est∫
X1<X<X2
dM =∫ X2
X1
∫ h(t,X)
0J dXdZ, (18)
donc la densité de fluide par rapport à X est∫ h(t,X)
0J dZ = h− h2
2θX . (19)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 13
—LAT EXprosper—
Dérivation des modèles : équations d’Euler
⊲ On part des équations d’Euler incompressible dans le domaine occuppé
par le fluide,
∂t~U + (~U · ∇M)~U + ∇MP = −~g, (20)
avec la condition d’incompressibilité
divM ~U = 0, (21)
où ~U est le champ de vitesse, P la pression, et ~g = (0, g).
⊲ Les conditions aux limites sont
~U ·~n = 0 au fond (Z = 0), (22)
P = 0 à la surface libre (Z = h(t,X)), (23)
⊲ Il faut une loi d’évolution de la surface libre (bord supérieur de Ωt), qui
dépend du temps :
La surface libre est advectee a la vitesse ~U.Cela peut s’écrire
∂t(1IM∈Ωt) + divM(1IM∈Ωt
~U) = 0 à travers la surface libre. (24)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 14
—LAT EXprosper—
Dérivation des modèles : équations d’Euler en référentiel mobile
⊲⊲ On transforme les équations en variable t,X,Z, et on représente ~U par
ses composantes dans le repère mobile attaché à la topographie, Ucomposante tangentielle, W composante normale. On trouve
∂XU + ∂Z(JW) = 0,
∂t(JU) +U∂XU + JW∂ZU + ∂XP = −Jg sin θ +UWθX,
∂t(JW) +U∂XW + JW∂ZW + J∂ZP = −Jg cos θ −U2θX .
(25)
⊲ Les conditions aux limites sont
W(t,X,Z = 0) = 0, P(t,X,Z = h(t,X)) = 0. (26)
⊲ Pour la surface libre, on écrit que 1IM∈Ωt= 1I0<Z<h(t,X) et ∂t J = 0, d’où
∂t(1IZ<h(t,X)J)+ ∂X(1IZ<h(t,X)U)+ ∂Z(1IZ<h(t,X)JW) = 0 à travers la surface libre.
(27)Prenant la partie proportionnelle à δ(Z− h(t,X)), il vient
J∂th +U∂Xh = JW pour Z = h(t,X). (28)
Combinant avec l’intégrale en Z de ∂t J + ∂XU + ∂Z(JW) = 0, on trouve
∂t
∫ h
0J dZ + ∂X
∫ h
0U dZ = 0. (29)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 15
—LAT EXprosper—
Dérivation des modèles : intégration des équations
⊲ Soit ε l’ordre de grandeur de h/L, où L est une longueur caractéristique.
Les hypothèses sont que ε est assez petit, et
⊲ Couche mince h/L = O(ε),
⊲ Courbure petite θX = O(ε) pour SH,
⊲ Pente petite θ = O(ε) pour SV.
⊲ Les équations s’intègrent comme suit :
⊲ L’équation d’incompressibilité et la condition aux limites sur W
définit W(t,X,Z),
⊲ l’équation d’accélaration normale en ∂tW permet de définir ∂ZP, et
avec la condition aux limites sur P celà définit P(t,X,Z),
⊲ l’équation d’accélération tangentielle en ∂tU est l’équation
principale, et il faut trouver un profil compatible en Z de U(t,X,Z),
en terme d’une fonction u(t,X). Cela donne une équation sur
u(t,X),
⊲ l’équation de surface libre donne l’équation de masse sur h(t,X).
⊲ On néglige les termes en ε3 dans les équations sur h et hu.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 16
—LAT EXprosper—
Dérivation des modèles : hiérarchie
⊲ Le modèle SH se déduit de BMPV en négligeant les termes en ε3,
sachant que θX = O(ε). Le modèle SV se déduit de également de SH.
⊲ Les inégalités d’énergie peuvent se déduire à ε3 près de l’équation
d’énergie pour Euler incompressible.
⊲ La préservation des solutions d’équilibre au repos se déduit à ε3 près de
la solution triviale ~U = 0 des équations d’Euler avec surface librehorizontale.
⊲ La propriété d’exactitude pour l’inégalité d’énergie et les équilibres au
repos est en surplus, cela n’est pas une conséquence de la méthode de
dérivation des équations.
⊲ Le fait de tirer ∂ZP de l’équation d’accélération sur W est lié au fait qu’on
a fait en sorte de négliger l’accélération normale
∂t(JW) +U∂XW + JW∂ZW (30)
C’est l’hypothèse hydrostatique. Elle est cruciale pour pouvoir dériver
un modèle de couche mince.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 17
—LAT EXprosper—
Dérivation des modèles : le modèle de Savage et Hutter
Pour le modèle SH, les calculs se font comme suit.
⊲ On suppose ∂ZW borné, ce qui donne avec la condition d’annulation sur
le fond que W = O(ε), puisque 0 < Z < h et que h = O(ε). Comme
θX = O(ε), on a J = 1− ZθX = 1+O(ε2).
⊲ L’équation sur ∂ZP donne ∂ZP = −g cos θ +O(ε), qui s’intègre,
P = (h− Z)g cos θ +O(ε2). (31)
⊲ Reportant dans l’équation sur U on trouve
∂tU +U∂XU +W∂ZU + ∂X((h− Z)g cos θ) = −g sin θ +O(ε2). (32)
⊲ On cherche un profile de U(t,X,Z) indépendant de Z,
U(t,X,Z) = u(t,X) +O(ε2), (33)
et tenant compte de Z = O(ε) et θX = O(ε), on obtient
∂tu + ∂X(u2/2+ hg cos θ) = −g sin θ +O(ε2). (34)
Comme sin θ = ∂Xz, c’est bien l’équation désirée (10), à O(ε2) près.
⊲ L’équation de surface libre (29) donne l’équation de masse
∂th + ∂X(hu) = O(ε3). (35)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 18
—LAT EXprosper—
Dérivation des modèles : commentaires
⊲ Pour le modèle BMPV, le profil de U qui permet de résoudre le
problème n’est pas constant en Z, mais de la forme
U(t,X,Z) =u(t,X)
1− ZθX. (36)
⊲ Le modèle BMPV apparaît trop compliqué en pratique. De plus il n’est
valide que sous la condition 1− hθX > 0, qui n’est a priori pas
préservée par les équations. On lui préfère donc le modèle SH, sous la
forme présentée ici (avec le terme correcteur en θXh2/2).
⊲ On peut vérifier que pour le modèle BMPV, le profil (36) donne en fait
une solution exacte des équations d’Euler hydrostatique avec surface
libre, où on a seulement négligé l’accélération normale (et rien d’autre).
On a la même propriété pour le modèle SH avec le profil constant si on
fait l’hypothèse de pente constante, θX = 0. Ceci explique que les
modèles peuvent avoir une certaine validité même sans l’hypothèse decouche mince.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 19
—LAT EXprosper—
Modélisation de la friction
⊲ Force de friction des grains avec le fond, ou des grains entre eux.
⊲ Pour les avalanches : friction de Coulomb
x
z(x)
h(t, x) : épaisseur normale
u(t, x) : vitesse tangentielle~fn
~ft
Deux forces en jeu : la force de friction tangentielle ~ft, qui s’oppose à la
vitesse, et la force de réaction normale ~fn. La force de réaction ~fn est
telle que la couche de fluide glisse sans pénétrer la topographie. La
force de friction tangentielle doit vérifier les conditions de Coulomb
|~ft| ≤ µ|~fn|, |~ft| = µ|~fn| si la vitesse est non nulle, (37)
où µ = µ(h, u) ≥ 0 dépend du matériau.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 20
—LAT EXprosper—
Le modèle de Savage et Hutter avec friction de Coulomb
⊲ Le modèle de Savage et Hutter avec friction de Coulomb s’écrit
∂t(h
cos θ) + ∂x(hu) = 0,
∂t(hu
cos θ) + ∂x(hu
2 + gh2
2cos θ) + gzx(h−
h2
2cos θ θx)
= −µgh(sgn u)
(1+
u2θXg cos θ
)
+,
(38)
⊲ La partie positive impose la condition que la friction est dissipative.Notons que si la courbure θX est positive, la partie positive n’agit pas,
alors que si θX < 0 et si |u| est assez grand on trouve zéro (cela
correspond au décollement du fluide de la topographie).
⊲ Le terme sgn u est multivalué lorsque u = 0. Notant sgn u = f (t, x), cela
signifie que
| f (t, x)| ≤ 1, f (t, x) = sgn u(t, x) si u(t, x) 6= 0. (39)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 21
—LAT EXprosper—
Le modèle de Savage et Hutter avec friction de Coulomb
⊲ L’équation associée à u est (pour les solutions régulières)
∂tu
cos θ+ ∂x
(u2/2+ hg cos θ + gz
)= −µg(sgn u)
(1+
u2θXg cos θ
)
+.
(40)⊲ Les équilibres au repos (solutions stationnaires avec u = 0) sont
caractérisées par
∂x (hg cos θ + gz) = −µg(sgn u). (41)
Mais comme sgn u est n’importe quelle fonction entre −1 et 1, cela se
simplifie en
|∂x (h cos θ + z) | ≤ µ. (42)
⊲ Si µ = 0 on retrouve la condition h cos θ + z = cste. Sinon, la condition
(42) signifie que la pente de la surface libre n’es pas trop grande.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 22
—LAT EXprosper—
Le modèle de Savage et Hutter avec friction de Coulomb
Commentaires sur les équilibres au repos
x
z(x)
h(t, x) : épaisseur normale de l’écoulement
y
h cos θ + z
⊲ La condition pour que la surface libre ait une pente au plus µ serait
|∂y (h cos θ + z) | ≤ µ. (43)
⊲ Comme y = x− h sin θ, on a dy/dx = 1− ∂x(h sin θ), et cette relation
diffère de l’équation des équilibres au repos du modèle,
|∂x (h cos θ + z) | ≤ µ. (44)
⊲ Ceci est un défaut du modèle SH avec friction. Il est dû à la dérivationnon complètement comprise de la friction à partir d’un système de
Navier-Stokes incompressible.
⊲ Ce problème n’arrive pas pour Saint Venant avec friction.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 23
—LAT EXprosper—
Le modèle de Savage et Hutter avec friction de Coulomb
Commentaires sur les équilibres au repos
⊲ Les équilibres au repos, caractérisés par
u = 0, |∂x (h cos θ + z) | ≤ µ. (45)
sont très nombreux ! Pour quasiment tous les problèmes de Cauchy, on
converge en temps fini vers un tel équilibre au repos.
⊲ La loi de friction µ = µ(h, u), dépendant du matériau, est très difficile à
déterminer. Pouliquen et Forterre donnent une dépendence en u à hfixé, de la forme
µ
uEn particulier, il y a une partie pour u petit pour laquelle dµ/du < 0. Elle
donne lieu à des équilibres au repos instables, avec des phénomènes
d’hystérésis.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 24
—LAT EXprosper—
Les modèles de Bouchut et Westdickenberg en deux dimensions
Contexte : écoulement sur une topographie bidimensionnelle z(x), où x ∈ R2
est la coordonnée horizontale. Les inconnues sont h(t, x), épaisseur normale
de l’écoulement, u(t, x) ∈ R2 vitesse de l’écoulement. Le matériau occuppe
un volume de R3 au dessus du graphe de z.
⊲ Description de la géométrie : on note ~n = (−s, c) la normale unitaire à la
topographie,
~n =
(− ∇xz√
1+|∇xz|2, 1√
1+|∇xz|2
)≡ (−s, c) ∈ R
2 × R. (46)
z(x)
−s
xx2
c~n
x1
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 25
—LAT EXprosper—
Les modèles de Bouchut et Westdickenberg en deux dimensions
⊲ Le scalaire c > 0 est le cosinus de l’angle entre ~n et la verticale. On a
s2 + c2 = 1, s et c remplacent sin θ et cos θ en 1d.
⊲ La courbure est un tenseur symétrique 2× 2 donné par H = c3∂2xxz.
⊲ La vitesse physique 3d s’écrit par ses composantes horizontales etverticales
V tg = (cu, stu) ∈ R3, (47)
qui vérifie V tg ·~n = 0. Autrement dit, u ∈ R2 paramétrise les vitesses
tangentielles V tg.
⊲ On a les modèles de Saint Venant (pour pente faible), Savage et Hutter
généralisé (pour courbure petite), et l’analogue de BMPV (sans
condition sur la topographie). Pour chacun on a des propriétés
similaires au cas 1d.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 26
—LAT EXprosper—
Le modèle SH généralisé en deux dimensions
⊲ Le modèle SH2d avec friction s’écrit (sous forme non conservative)
∂t(h/c) + ∇x ·(hu)
= 0, (48)
∂tu + cu · ∇xu + 1c
(I − s s
t)∇x
(g(hc + z)
)
= − 1
c(utHu) s +
1
c(stHu)u− gµc u√
c2|u|2 + (s · u)2
(1+
utHu
gc
)
+.
(49)⊲ Une nouveauté par rapport au 1d est la présence des termes de
courbure − 1c (u
tHu) s + 1c (s
tHu)u.
⊲ Les équilibres au repos sont donnés par
u = 0,(∇x(hc + z)t
)(I − ss
t)∇x(hc + z) ≤ µ2c2. (50)
⊲ Le système est invariant par rotation horizontale.
⊲ Pour le cas sans friction, on a le transport du tourbillon le long des
caractéristiques associées à u (il faut écrire les équations sous une
forme très particulière pour le voir...).
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 27
—LAT EXprosper—
Partie 2. Méthode de volumes finis well-balanced
Formulation quasilinéaire
⊲ Le modèle SH2d avec friction peut se généraliser comme suit :
∂th + ϑ∇x ·(hu)
= 0, (51)
∂t(hu) + ϑ∇x ·(huut
)+ ϑ I−s s
t
1−|s|2
(∇x
(p(h)ι
)+ h∇xZ + he(h)∇xι
)
= ϑ
(s · (u · ∇xs)
I − s st
1− |s|2 − s(u · ∇xs)t
)hu− ϑ
hgµ u√(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2
,
(52)avec Z = gz, e′(h) = p(h)/h2, (p(h) = gh2/2).
⊲ Les fonctions ϑ(x) > 0, ι(x) > 0, Z(x) ∈ R, s(x) ∈ RN , |s(x)| < 1 sont
données.
⊲ Les inconnues sont h(t, x) ≥ 0, u(t, x) ∈ RN .
⊲ Le cas physique correspond à ϑ = ι = c =√
1− |s|2, et
s = ∇xz/√
1+ |∇xz|2.
⊲ En "oubliant" ces relations on a un système quasilinéaire avec entropie.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 28
—LAT EXprosper—
Formulation quasilinéaire
⊲ L’inégalité d’entropie s’écrit
∂t
(h(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2
2+ he(h)ι + hZ
)
+ϑ∇x ·((
(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2
2+ (e(h) + p(h)/h)ι + Z
)hu
)
+ϑhgµ√
(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2 ≤ 0.
(53)⊲ Formulation géométrique : Vtg = (
√1− |s|2 u, s · u) ∈ R
N+1 vérifie
∂tVtg + ϑ u · ∇xV
tg + ϑ
√
1− |s|2 I − s st
1− |s|2s
∇x
((e(h) + p(h)/h)ι + Z
)
+ϑgµVtg
|Vtg| = −ϑ(u · ∇x~n) ·Vtg~n,
(54)avec ~n(x) = (−s,
√1− |s|2) ∈ R
N+1, |~n| = 1, Vtg ·~n = 0.
⊲ Equilibres au repos (µ = 0) : u = 0 et (e(h) + p(h)/h)ι + Z = cst.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 29
—LAT EXprosper—
Terme de courbure
⊲ Si on néglige les termes de pression et la friction, il reste
∂tVtg + ϑ u · ∇xV
tg = −ϑ(u · ∇x~n) ·Vtg~n, (55)
avec ~n = ~n(x), Vtg ·~n = 0.
⊲ Prenant le produit scalaire avec ~n on trouve
∂t(Vtg ·~n
)+ ϑ u · ∇x
(Vtg ·~n
)= 0, (56)
ce qui est cohérent avec la propriété Vtg ·~n = 0.
Le terme de courbure (membre de droite de (55)) représente une force
qui contraint le matériau à rester sur la topographie, il maintient une
vitesse tangente à la topographie.
⊲ En 1d les solutions stationnaires de (55) sont les fonctions Vtg(x) telles
que la trajectoire de (Vtg,~n) soit une courbe intégrale de
dVtg = −(d~n) ·Vtg~n. (57)
⊲ On va utiliser cette propriété pour discrétiser ce terme de courbure en
well-balanced, en faisant intervenir les courbes intégrales explicitement.Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 30
—LAT EXprosper—
Courbes intégrales
⊲ L’équation des courbes intégrales est
dVtg = −(d~n) ·Vtg~n, (58)
avec |~n| = 1, Vtg ·~n = 0. Notons qu’en prenant le produit scalaire avec
Vtg on trouve d(∣∣Vtg
∣∣2)
= 0 (conservation de l’énergie).
⊲ Etant donné ~n0, Vtg0, ~n1, on veut trouver Vtg1 tel qu’il existe une courbe
intégrale (~n(t),Vtg(t)) pour 0 ≤ t ≤ 1 telle que
~n(0) = ~n0, Vtg(0) = Vtg0, ~n(1) = ~n1, Vtg(1) = Vtg1. (59)
⊲ La valeur Vtg1 n’est pas unique car la forme différentielle de (58) n’est
pas intégrable : il n’existe pas de fonction ϕ(~n,Vtg) telle que (58) se
réécrive d(
ϕ(~n,Vtg))
= 0.
⊲ Cette situation est inhabituelle. Par exemple pour Saint Venant, les
équations des courbes intégrales d(hu) = 0, d(hu2 + gh2/2) + ghdz = 0
se réécriventd(hu) = 0, d
(u2/2+ g(h + z)
)= 0. (60)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 31
—LAT EXprosper—
Courbes intégrales : résolution
⊲ En pratique, on résout
dVtg
dt= − d~n
dt·Vtg
~n, 0 < t < 1 (61)
avec donnée initiale Vtg(0) = Vtg0, où ~n(t) est choisi tel que
|~n(t)| = 1, ~n(0) = ~n0, ~n(1) = ~n1. (62)
On en déduit Vtg1 = Vtg(1).
⊲ On obtient automatiquement
Vtg1 ·~n1 = 0,∣∣∣Vtg1
∣∣∣ =∣∣∣Vtg0
∣∣∣ . (63)
⊲ Pour résoudre (61) il suffit d’avoir pour tout t,
Vtg(t) ·~n(t) = 0,dVtg
dtcolinear to ~n(t). (64)
⊲ Prenant ~n(t) = ((1− t)~n0 + t~n1)/|...| (la géodésique), on trouve
Vtg1 = Vtg0 − Vtg0 ·~n11+~n0 ·~n1 (~n0 +~n1). (65)
Sachant que 1+~n0 ·~n1 = |~n0 +~n1|2/2,
Vtg1 est le symétrique de Vtg0 par rapport à l’hyperplan de normale
~n0 +~n1.Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 32
—LAT EXprosper—
Courbes intégrales : formule
⊲ La formule
Vtg1 = Vtg0 − Vtg0 ·~n11+~n0 ·~n1 (~n0 +~n1) (66)
vérifie ∣∣∣Vtg1∣∣∣ =
∣∣∣Vtg0∣∣∣ , Vtg1 ·~n1 = 0, (67)
et la propriété asymptotique quand ~n1 −~n0 tend vers 0
Vtg1 −Vtg0 = −Vtg0 ·(~n1 −~n0
)~n0 +O
(~n1 −~n0
)2. (68)
qui garantit la consistance avec
dVtg = −(d~n) ·Vtg~n, (69)
⊲ Reprenant la formulation initiale
~n =
(−s,
√1− |s|2
), Vtg =
(√1− |s|2 u, s · u
), (70)
partant de s et u on arrive à s∗ et u∗ ≡ (u)∗
s→s∗ donné par
√1− |s∗|2u∗ =
√1− |s|2u +
√1− |s∗|2u · s−
√1− |s|2u · s∗
1+ s · s∗ +√
1− |s|2√
1− |s∗|2(s + s
∗),
(71)et on a la conservation de l’énergie
(1− |s∗|2)|u∗|2 + (s∗ · u∗)2 = (1− |s|2)|u|2 + (s · u)2. (72)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 33
—LAT EXprosper—
Système 1d (résolution par interface)
⊲ Le modèle SH2d généralisé avec friction s’écrit par interface
∂th + ϑ∂x(hux
)= 0, (73)
∂t(hu) + ϑ∂x(huux
)+ ϑ I−s s
t
1−|s|2
(1
0
)(∂x(p(h)ι
)+ h∂xZ + he(h)∂x ι
)
= ϑ
(s · ∂xs
I − s st
1− |s|2 − s(∂xs)t
)huux − ϑ
hgµ u√(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2
.
(74)⊲ Les fonctions ϑ(x) > 0, ι(x) > 0, Z(x) ∈ R, s(x) ∈ R
N , |s(x)| < 1 sont
données.
⊲ L’inégalité d’entropie est
∂t
(h(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2
2+ he(h)ι + hZ
)
+ϑ∂x
(((1− |s|2)|u|2 + (s · u)2
2+ (e(h) + p(h)/h)ι + Z
)hux
)
+ϑhgµ√
(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2 ≤ 0.
(75)Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 34
—LAT EXprosper—
Schéma de reconstruction hydrostatique
⊲ Notons U = (h, hu). Considérons un flux numérique F (Ul,Ur, ι, s) pour
le problème à s, ι,Z constants, qui est conservatif (ϑ ≡ 1, pas de
friction).
⊲ Etant donnés Ul ,Ur, sl , ιl ,Zl , sr, ιr,Zr, on définit s∗, ι∗,Z∗ des valeurs
"interface" (en particulier Z∗ = max(Zl ,Zr))
⊲ On définit u∗l = (ul)∗sl→s
∗ , u∗r = (ur)∗sr→s∗ , puis U∗
l = (h∗l , h∗l u
∗l ),
U∗r = (h∗r , h∗r u∗r ), avec
(e + p/h)(h∗l ) =((e + p/h)(hl)ιl + Zl − Z∗
)
+/ι∗,
(e + p/h)(h∗r ) =((e + p/h)(hr)ιr + Zr − Z∗
)
+/ι∗.
(76)
⊲ On définit les flux numériques par
Fl(Ul,Ur,∆Z, ιl , ιr, sl , sr)
=
F0(U∗l ,U
∗r , ι
∗, s∗)(F1(U∗
l ,U∗r , ι
∗, s∗) − I − s∗s∗t
1− |s∗|2
(1
0
)p(h∗l )ι∗
)∗
s∗→sl
+I − sl sl
t
1− |sl |2
(1
0
)p(hl)ιl
(77)
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 35
—LAT EXprosper—
Schéma de reconstruction hydrostatique
⊲ Flux à droite :
Fr(Ul,Ur,∆Z, ιl , ιr, sl , sr)
=
F0(U∗l ,U
∗r , ι
∗, s∗)(F1(U∗
l ,U∗r , ι
∗, s∗)− I − s∗s∗t
1− |s∗|2
(1
0
)p(h∗r )ι∗
)∗
s∗→sr
+I − sr sr
t
1− |sr|2
(1
0
)p(hr)ιr
(78)
⊲ Le schéma
Un+1i −Ui +
∆t
∆xiϑi
(F li+1/2 −F r
i−1/2
)= 0 (79)
vérifie :
⊲ la positivité de h sous condition de CFL,
⊲ la consistance pour les solutions régulières,
⊲ la conservativité pour ϑ, ι, Z, s réguliers,
⊲ la propriété well-balanced pour les solutions telles que u = 0,
(e(h) + p(h)/h)ι + Z = cst,
⊲ une inégalité d’entropie conservative semi-discrète (limite ∆t → 0).Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 36
—LAT EXprosper—
Inégalité d’entropie
⊲ Le flux (exact) du système conservatif à s, ι,Z constants est
F(U, ι, s) =
hux
huux +I − s s
t
1− |s|2
(1
0
)p(h)ι
(80)
⊲ Il a le couple entropie/flux d’entropie
η(U, ι, s) = h(1− |s|2)|u|2 + (s · u)2
2+ he(h)ι,
G(U, ι, s) =
((1− |s|2)|u|2 + (s · u)2
2+ (e(h) + p(h)/h)ι
)hux.
(81)
⊲ Le couple entropie/flux d’entropie pour le système complet est
η(U,Z, ι, s) = η(U, ι, s) + hZ, G(U,Z, ι, s) = G(U, ι, s) + huxZ.
(82)⊲ Si le flux numérique F (Ul,Ur, ι, s) pour le système conservatif admet
une inégalité d’entropie semi-discrète de flux d’entropie numérique
G(Ul ,Ur, ι, s), alors le schéma hydrostatique admet le flux d’entropie
numérique
G(Ul ,Ur,Zl ,Zr , ιl , ιr, sl , sr) = G(U∗l ,U
∗r , ι
∗, s∗) + F0(U∗l ,U
∗r , ι
∗, s∗)Z∗.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 37
—LAT EXprosper—
Commentaires sur le schéma hydrostatique avec courbure
⊲ L’inégalité d’entropie utilise de façon fondamentale la conservation de la
norme dans les courbes intégrales associées à la courbure.
⊲ La consistance utilise la consistance différentielle de ces courbesintégrales.
⊲ La formule des flux numériques est directement inspirée de l’inégalité
d’entropie à satisfaire.
Extensions :
⊲ La friction se traite par la méthode de topographie apparente
⊲ On passe à l’ordre deux par reconstruction de pentes, et définition d’un
flux centré dans le même esprit.
⊲ Le passage en deux dimensions (maillage cartésien) est immédiat.
Le code dénommé shaltop a été utilisé intensivement depuis 2004 (Anne
Mangeney) et s’avère extrêmement robuste.
Solveur pour le systeme de Savage-Hutter avec courbure – p. 38
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