trc2 optique ondulatoire 1011
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8/3/2019 TRC2 Optique Ondulatoire 1011
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III.1) Description des ondes
III.2) Interfrences
III.3) Diffraction
Chapitre III: Optique ondulatoire
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8/3/2019 TRC2 Optique Ondulatoire 1011
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III.1) Description des ondes
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Onde plane harmonique progressive Un signal quelconque peut-tre dcompos en une srie
de signaux harmoniques (Srie de Fourier)
E = E0cos(t-kx) = Re{E} = Re{E0exp[j (t-kx)]}
Visualisation du mme point si (t-kx) = constante
Image un temps donn: t1E0
-E0
x1
-
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Onde plane harmonique progressive Un signal quelconque peut-tre dcompos en une srie
de signaux harmoniques (Srie de Fourier)
E = E0cos(t-kx) = Re{E} = Re{E0exp[j (t-kx)]}
Visualisation du mme point si (t-kx) = constante
Image un temps donn: t2 > t1E0
-E0
x1 x2
-
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Onde plane harmonique progressive Un signal quelconque peut-tre dcompos en une srie
de signaux harmoniques (Srie de Fourier)
E = E0cos(t-kx) = Re{E} = Re{E0exp[j (t-kx)]}
Visualisation du mme point si (t-kx) = constante
Image un temps donn: t3 > t2 > t1E0
-E0
x1 x2 x3
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Onde plane harmonique progressive Pour le point bleu:
E = E0cos(t-kx1)
Pour le point rouge:
E = E0cos(t-kx2) = E0cos(t-kx1-k(x2-x1))
= Re{E0exp[j (t-kx1)-jkl)]} dphasage de -kl
Image un temps donn: tE0
-E0
x1 x2
l
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n2
volution de lamplitude travers un dioptre Rappel:
k=EH dans un milieu isotrope
Ei et Hi, onde incidente dans le milieu n1 Eret Hr, onde rflchie dans le milieu n1 Et et Ht, onde transmise dans le milieu n2
Cas dune incidence normale
EiEr Et
Hi Hr Ht
n1
-
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n2
volution de lamplitude travers un dioptre Coefficient de rflexion: = Er/ Ei
Coefficient de transmission: = Et / Ei
On obtient alors les coefficients de Fresnel:
= (n1-n2)/(n2+n1)
= 2n1/(n2+n1)
EiEr Et
Hi Hr Ht
n1
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Coefficient de Fresnel en intensit Rappel:
I EE*
R = * = [(n1-n2)/(n2+n1)]2
T = * = [2n1/(n2+n1)]2
Attention R + T 1, on a R+(n2/n1)T = 1
car I
IR+IT = Ii IR/ Ii +IT/ Ii = 1
/ + / = 1
R + (n2/ n1) / = 1 R + (n2/ n1)T = 1
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IV.2) Interfrences
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Onde progressive et rgressive Cas de 2 signaux se dplaant lun vers lautre
signal rsultant est la somme algbrique des 2 signaux
Exprience 1 Exprience 2( Reprsentation de lamplitude du champ E suivant x)
t1
t2
t3
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Cas avec un miroir
Rflexion dun miroir parfait:
Ei+Er= Et = 0 donc Ei = - Erdonc = -1 et R = 1
En x0, superposition de deux ondes planes: Progressive: Ei.cos(t-kx)
Rgressive: Ei.cos(t-kx-) avec = -2k(L-x)
E(t) E2(t)
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Onde plane stationnaire Avec deux ondes planes harmoniques de sens opposs
on a:
E = Ei.cos(t-kx) + Ei.cos(t-kx-)
E2 = [Ei.cos(t-kx) + Ei.cos(t-kx-) ]2
= Ei2
[cos
2
(t-kx) +
2
.cos
2
(t-kx-)+ 2.cos(t-kx-).cos(t-kx)]= Ei2[cos2(t-kx) + 2.cos2(t-kx-)
+ .cos(2t-2kx-) + .cos()]
comme I = 0 et = 1/2
I = Ii[1/2+ 2/2 + .cos()]
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Onde plane stationnaireI = Ii[1/2+ 2/2 + .cos()]
Si la rflexion est parfaite cest dire = -1 et R=1: I = Ii[1 - cos()] = Ii[1- cos2(/2) + sin2(/2)]
I = Ii[1- (1-sin2(/2)) + sin2(/2)] = 2Iisin2(/2)
On rappelle que = 2k(L-x)
I = 2Iisin2(k(L-x))
Amplitude indpendante du temps do la notion destationnaire
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volution de lintensit avec = -1 I = 2Iisin2(k(L-x)) = 2Iisin2(2(L-x)/)
L
2Ii
0
Ii
x
L- p/2L- (2p+1)/4
Londe incidente
est phase avec
londe rflchie
Londe incidenteest opposition de
phase avec londe
rflchie
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volution de lintensit avec 0 > > -1 I = Ii/2[1+ 2 + 2.cos(4(L-x)/)]
L
2Ii
0
Ii (1+2)
x
L- p/2L- (2p+1)/4
[Ii(1-)2]/2
[Ii(1+)2]/2
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Facteur de visibilit Oscillation de lintensit suivant x entre deux valeurs:
Imax = (Ii/2).(1- )2 et Imin = (Ii/2).(1+)2 si 0 > > -1
On caractrise le contraste des franges dinterfrence par
le facteur de visibilit : = (Imax- Imin)/(Imax+ Imin) = -4 / (2+22) = -2 / (1+2)
Si = -1 alors = 1 Si = 0 alors = 0
Plus est grand, plus le contraste des franges est grand
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Interfrences de 2 points synchrones Deux points synchrones gnrent des ondes sphriques
qui vont interfrer ensemble:
Image un instant donn t
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Interfrences avec la cuve ondes volution de lamplitude des vagues un instant donn
dans une cuve ondes avec 2 points synchrones:
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Interfrences dans le domaine optique volution du carr du champ:
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Interfrences dans le domaine optique volution du carr du champ:
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Interfrences dans le domaine optique volution de la moyenne du carr du champ:
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Obtention de deux sources synchrones Par division du front donde:
S 2 sources synchrones S1 et S2On suppose les fentes idales
Par division damplitude:
S
S1
S2fente
fente
S miroir semi-rflchissant
miroir
S1 S2
Sources virtuelles
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Fentes de Young (diviseur de fronts dondes)
S1 et S2 sont considres comme deux nouvelles sourcesponctuelles synchrones (cas de fentes troites)
S sur laxe de symtrie rayons en phase en S1 et S2
Conditions paraxiales vrifies si lcran est loin des 2fentes (interfrences dondes planes)
SS1
S2fente
fente
Zonedinterfrences
Axede symtrie
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Dmonstration avec la cuve ondes volution de lamplitude des vagues un instant donn
dans une cuve ondes:
Onde sphrique incidente Onde planeincidente
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Conditions dinterfrences En S1: E1=Acos(t)
En S2: E2=Acos(t)
Champ rsultant en M:EM= E1(M)+E2(M) = A[cos(t-kd1)+cos(t-kd2)]
EcranD
d2
d1M
y
0a
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Conditions dinterfrences Intensit rsultante dans le cas:
I = = < A2[cos(t-kd1)+cos(t-kd2)]2>
= A2[1/2+1/2+0+cos(kd2-kd1)] = A2[cos(k(d2-d1))+1]= 2A2cos2(k(d2-d1)/2)
= 2A2cos2(k/2)
Avec = d2-d1 diffrence de chemin optique parcouru
=> Donc = k avec k=2n/ avec longueur donde dans levide et n lindice de rfraction du milieu
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Conditions dinterfrences = d2-d1 = asin() avec le cercle de rayon d1 centr en M
tg() = (y+a/2)/D = y/D +a/2D comme a
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Franges dinterfrences sur lcran Valeurs principales (p entier: ordre dinterfrence)
volution de I (y ou k ou ou )
SombresDestructives(p+1/2)/a(2p+1)/2(2p+1)/20
BrillantesConstructivesp/app1
FrangesInterfrencesk/2Cos(k/2)
3206420
3D/a2D/aD/a03/a2/a/a0
ky
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Interfrences en lumire blanche La position des franges dpend de
Cas avec 3 radiations diffrentes:
1= 0,5 m, 2 = 0,6 m et 3 = 0,7 m
Frange centraleblanche
1re
frange brillanteirise
2me frange brillanteirise
Confusion des frangesblanc dordre suprieur
y
0
-
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Interfrences en lumire blanche La position des franges dpend de
Cas avec 3 radiations diffrentes:
1= 0,5 m, 2 = 0,6 m et 3 = 0,7 m
Frange centraleblanche
1re
frange brillanteirise
2me frange brillanteirise
Confusion des frangesblanc dordre suprieur
y
0
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Interfrences avec N fentes idales M rsulte de linterfrence de N rayons quasi-parallle
converge linfini ou si D >> 1
= a.sin()
Si EM = Re[EM ] alors EM = A.exp[j(t-kdi)]
avec di+1 = di +
D
d0
d1
ad2
i=0
N-1
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Interfrences avec N fentes idalesE
M= A.exp[j(t-kd0)]. exp[j(-ik)]
Suite gomtrique: Un+1 = Un.rIci la raison r = exp[j(-k)]
Comme Un = U0.(1-rN)/(1-r) avec N: nb de termes E
M= A. exp[j(t-kd0)] (1- exp[j(-N)])/(1- exp[j(-)])
I = < E2M > = EME*M= A2[(1-e-jN)/(1-e-j)].[(1-ejN)/(1- ej)]
= A2[(ejN/2-e-jN/2)/(ej/2-e-j/2)].[(e-jN/2-ejN/2)/(e-j/2 - ej/2)]
= A2[sin(N/2)/sin(/2)]2
i=0
N-1
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Interfrences avec N fentes idales Figure dinterfrences pour N = 2, 4 et 8
2 fentes
3/a2/a/a0 Sin() 1
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Position des pics sur lcran
= a.sin() = sin()/mavec m = 1/a le nombre de fentes par mm
Interfrence constructive si = p avec p = 0, 1, 2 avec p lordre dinterfrence du spectre
Si p = 0 = 0, les rayons ne sont pas dvies
Ceci est vrai pour tous les
D
d1 a
d2
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Interfrences avec N fentes idales Si sin() = mp, comme sin() 1 alors
le nombre de pics observables est limit p 1/(m)
Exemples: m = 500 traits/mm et = 0,5 m, on a pmax = 3
m = 100 traits/mm et = 0,5 m, on a pmax = 19
p = 3, r = 48,6
p = 2, r = 30
p = 1, r = 14,5p = 0, r = 0p = -1, r = -14,5p = -2, r = -30
p = -3, r = -48,6
p = 15, r = 48,6
p = 10, r = 30
p = 5, r = 14,5p = 0, r = 0p = -5, r = -14,5p = -10, r = -30
p = -15, r = -48,6
p = 19, r = 72
p = -19, r = -72
-
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Applications des rseaux Analyse spectrale optique:
La position des pics est fortement diffrente avec
Dispersion suprieure au prisme
Tlcommunications optiques:
Filtrage en longueurs donde, dmultiplexage
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Interfromtre de Perot-Fabry Utilisation de deux miroirs non-parfaits:
Coefficient de rflexion 1 et 2miroir L
1 et 1miroir
E0
Eri = .E0 Eti = .E0
2 et 2
Interfrences entre
diffrents rayons
Quelles sont les valeurs de et de ?
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Interfromtre de Perot-Fabry Utilisation de deux miroirs non-parfaits:
Coefficient de rflexion 1 et 2miroir L
1 et 1miroir
E0
Eri = .E0 Eti = .E0
2 et 2
Si tous les Eti sont en phase: 1 et 0
Si tous les Eri sont en phase: 0 et 1
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Transmission du Perot-Fabry Juste aprs le miroir: 1errayon: E1 = 1.2.E0
2eme
rayon: E2 = E1.1.2. e-j2kL
3eme rayon: E3 = E2.1.2. e-j2kL
qeme rayon: Eq = Eq-1.1.2. e-j2kL
Donc .E0 = 1.2.E0.(1.2)q. e-j2qkL
miroirL
1et 1 2 et 2
miroir
E0
.E0 .E0
q=0
N
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Transmission du Perot-Fabry .E0 = 1.2.E0. ri
= (1.2.E0).(1-rN+1)/(1-r) si |r| < 1 alors r 0
= (1.2)/(1-r).E0donc = 1.2/(1-r) = T/(1-Rej)
avec R = 1.2 , T = 1.2 et = -2kL
miroirL
miroir
E0
.E0 .E0
i=1
N
1et 1 2 et 2
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Transmission du Perot-Fabry En puissance, on a alors: ||2 = |T|2/|1-Rej|2= A0/(1+M.sin2(/2))
avec A0 = (T/1-R)2 et M = 4R/(1-R2)
La relation 1/(1+M.sin2(/2)) est appele une fonction
dAiry
Interfrence constructive pour = 2p
T/ A0 = 1 Interfrence destructive pour = (2p+1)
T/ A0 = 1/(1+M)
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Transmission du Prot-Fabry volution de linterfrence suivant R
Apparition de rsonances:Si = 2p alors ||2 = 1(4 /)L =2p = 2L/p
Exemple: p = 1, L=0.5 mLongueurs dondes filtres:1 = 1 m, 2 = 0.5 m,3 = 0.33 m
La finesse F des raies est: F = 2/ avec la largeur mi-
hauteur de la raie donc F = R/(1-R)
Dphasage en rad
Transmis
sion||2
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Interfrences observes dans la nature Lame mince (paisseur < dans le visible): Fine paisseur dune bulle de savon
Film dhuile sur une route mouille
Le dphasage dpend de:
La longueur donde Lincidence des rayons sur le film
Franges de couleur, dcomposition de la lumireblanche
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Rsonateur optique Si on produit des photons dans la cavit, dphasage dunaller-retour = 2kL+arg(1)+arg(2 ):
= 2p interfrences constructives, les photons avec correspondant rsonne dans la cavit
= (2p+1) interfrences destructives, les photonsavec correspondant ne rsonne pas dans la cavit(fuite quasi immdiate)
miroirL
1 2
miroir
1.E0 2.E0
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Analyse Spectrale haute rsolution Slection du analyser en changeant le dphasagedans la cavit
L0
1
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Analyse Spectrale haute rsolution Slection du analyser en changeant le dphasagedans la cavit
L0 L
1
1+
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Analyse Spectrale haute rsolution Slection du analyser en changeant le dphasagedans la cavit
Application capteur Variation dindice, mouvement
Modulateur, filtre accordable
L0 L
1
1+
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Couche anti-reflet Une lentille de verre renvoie environ 4% de la lumire
Dans ce cas on a une relation simple entre lindice du
substrat (verre) et du matriau (couche anti-reflet) dposer: n = (ns.nair) = ns 2k0ne = e = /(4n)
e
E0
Eri = .E0 0 Eti = .E0
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Cohrence temporelle Une source monochromatique pic de Dirac en Cela nexiste pas rellemment
Transforme de Fourier inverse cos(t) allant de +
Tout signal physique est limit dans le temps
0-0
0-0
0
t0-t0
+ -
1
1 1
=1/t0
-
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Lumire naturelle Les photons sont mis dune manire alatoire Train donde limit dans le temps
La lumire naturelle est donc une succession de trainsdonde dune dure compltement alatoire
0- 0
c
t
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Exemple avec les trous de Young Champ rsultant en M:EM= E1(M)+E2(M) = A[cos(t-kd1+(t))+cos(t-kd2)]
I = = E21(M)+E22(M) Lintensit est la mme quelque soit la position en y !!!
cranD
d2
d1M
y
0
a
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Quelques exemples de sources Temps de cohrence: cLongueur de cohrence (longueur du train donde): lc = cc
Largeur spectrale: c =1/ c
800 nm2,67 fs3,75.1014Soleil ( = 0,4 0,8 m)
300 m1 s1.106Monomode HeNe laser
20 cm0,67 ns1,5.109Multi. HeNe laser ( = 0,6 m)
600 m2 ps5.1011Lampe Sodium Basse
Pression
20 m67 fs1,5.1013DEL ( = 1 m, = 50 nm)
lcccSources
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III.3) Diffraction
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Mise en vidence du phnomne Onde diaphragme: a >>
Onde diffracte: a
a
-
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Schmatisation de lexprience Onde diaphragme: a >>
Onde diffracte: a
-
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Principe dHuyghens Une surface d onde peut tre dcompose comme unesuccession de sources ponctuelles
Image en M: somme des champs issus des diffrentessources secondaires du diaphragme
Interfrences qui produit une image de diffraction
Diaphragme
a/2
-a/2
cran
M
S1S2
S3S4
Plan donde PS
x
0
-
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Formulation mathmatique: Fresnel Si on considre seulement ces 4 sources:EM E1 exp[j(t)] + E2 exp[j(t-k)] + E3 exp[j(t-2k)] +E4exp[j(t-3k)]
Ce qui revient dire que pour N sources:EM = Ei.exp[j(t-ik)]
= E(x).exp[j(t-k(x))]dx
avec
- x allant de -a/2 et a/2 (ouverture du diaphragme)- E(x): amplitude du champ sur le plan donde PS- k(x): dphasage dun rayon par rapport au rayon issu
de la position x=0
i=1
N
-
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Cas dune fente de largeur a = k = kxsin()
Ondes secondairesde mme amplitude A
E= A.ej(t+kxsin( ))dx
= A ej(t) ejkxsin()dx = A ej(t) ejudu
= 2A/(ksin()) .ej(t).sin[kasin()/2] = Aa.sinc().ej(t)
avec = kasin()/2
I = = (Aa)2/2. sinc2() = I0. sinc2()
x = -a/2
a
x S1
S2
x = a/2
u = -kasin()/2
u = kasin()/2
x = -a/2
x = a/2
-
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Carte dintensit de la diffraction Minimum: = p = avec p = 1, 2, 3 . sin() = p/a avec y = D.tg()
Maximum: = 0 donc = 0 (faisceau direct) Exemple: D = 10 m et = 0.6 m
a / = 103a / = 102a / = 50a / = 10
-
8/3/2019 TRC2 Optique Ondulatoire 1011
63/68
Cas de deux fentes Schma
E= A.ej(t+kxsin( ))dx = A ej(t) [ ejkxsin()dx + ejkxsin()dx]
= 2Aa.sinc().cos(/2).ej(t)
avec = kasin()/2 et = kbsin()
I = = I0. sinc2(). cos2(/2)
x
b
P
S1
S2
P
x = (-a+b)/2
x = (a+b)/2
x = (-a-b)/2
x = (a-b)/2
Terme de diffraction Terme d interfrences
-
8/3/2019 TRC2 Optique Ondulatoire 1011
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Carte dintensit de la diffraction (b=5a)
2/a-/a-2/a 0 Sin()/a
/b
Diffraction
Interfrences 2 ondes
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8/3/2019 TRC2 Optique Ondulatoire 1011
65/68
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66/68
Diffraction travers un diaphragme circulaire
2Rairy = 1.22/ON 1.22/d
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8/3/2019 TRC2 Optique Ondulatoire 1011
67/68
Spararation de deux images
Rairy = 0.61/ON 0.61/d
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68/68
Consquences de la diffraction Diffraction des pares brises: Dpt de poussire, graisse,eau de pluie orients en arc de cercle
grce aux essuie-glace
Diffraction alatoire Contrairement lessuie-glace, une multitude de direction de
diffraction sont privilgies
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