theoreme de thales

THEOREME DE THALES

3° Avon 2010Bernard Izard

Chapitre

04-TH

I - PROPORTIONNALITEII – LE THEOREMEIII- UNE CONSEQUENCEIV – LA RECIPROQUEV – AGRANDISSEMENT/ REDUCT.VI- CONSTRUCTIONSVI- DEMONSTRATION

Thalès est né vers ~624 à Milet.

Notes biographiques

Il est mort au même endroit vers ~546.

On lui attribut sans certitude le théorème qui porte son nom

Milet, colonie grecque d’Asie Mineure qui fait maintenant partie de la Turquie.

Qui était Thalès ?

On ne sait que très peu de choses sur les œuvres de Thalès dans la mesure où il n’a laissé aucun écrit .

Mort vers 80 ans , il était mathématicien grec mais aussi commerçant, astronome, ingénieur, savant, et philosophe . Fondateur de l’école ionienne, il fut le premier des 7 Sages de la Grèce . Il est considéré comme le premier mathématicien de l’histoire .

Que lui doit-on ?

Concernant les mathématiques, il est à l’origine de 4 Théorèmes de géométrie élémentaire :

Tout diamètre partage un cercle en deux parties égales et superposables

Les angles d’un triangle isocèle sont égaux

— Deux angles opposés par le sommet sont égaux

—Un angle inscrit dans un demi cercle est droit

-deux triangles sont congruent s’il on deux angles et le côtés compris égaux

Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Miletaurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre.

Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre.L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : «  A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »

Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. »

I PROPORTIONNALITE

A

B C

M N

(MN) // (BC)

Il y a proportionnalité entre les 2 triangles AMN et ABC

Triangle AMN

AM AN MN

Triangle ABC AB AC BC

Tableau de proportionnalité

AM AN MN

AB AC BC= =

II LE THEOREME DE THALES

1) Les configurations

Situation 4ème Situation papillon

2) L’énoncé du théorème

Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A

Soient B et M deux points de (d ), distincts de A.

Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A.

Alors

Ce théorème permet de calculer des longueurs.

BC

MN

AC

AN

AB

AM

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles

configura

tio

n

Ex1:E

DC

P R

B

A

BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm.

(CB) et (BD) se coupent en BC,P, B des points distincts de (CB)D,R,B des points distincts de (BD)

Comme (PR) et (CD) sont parallèles,

d’après le théorème de Thalès on a :

BC

BP

6

4

5

BR BR = 5 x 4 ÷ 6

3,33 cm.3

10

CD

PR

BD

BR

Les données sont celles de la figure(PR)//(CD). Calculer BR.Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près.

Remplaçons:

BC

BP

BR =

Config.

E

DC

P R

B

A

(ED)et(AC) sont 2 droites sécantes en BE,B,D points distincts de (ED)A,B,C points distincts de (AC)

Comme (EA) et (CD) sont parallèles d’après le théorème de Thalès on a :

DC

EA

BC

BA

BD

BE

65

2 EA EA = 6 x 2 ÷ 5

(produit en croix)EA = 2,4 cm.

Les données sont celles de la figure (EA)//(CD). Calculer EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près.

BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm.

Ex2:

III-VARIANTE (CONSÉQUENCE)

les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A Soient B et M deux points de (d ), distincts de A.Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A.

AM AN

AB ACSi alors

Si les rapports ne sont pas égaux alors les droites ne sont pas // car, le Th. de Thalès dit que si elles sont // les rapport doivent être égaux

Cette 2° forme du théorème (variante, conséquence ou contraposée) permet de prouver que des droites ne sont pas //

Ex: Dans la configuration de la figure ci-contre avec MI = 8 cm, MC = 12 cm, MJ = 13 cm, MB = 21 cm. Indiquer si les droites (IJ) et (CB) sont parallèles.

M

I

C

J

B

Nous sommes dans une configuration de Thalès

CM) et (BM) deux droites sécantes en M. C,I,M des points distincts de (CM). B,J,M des points distincts de (BM)

Comparons:

D’une part D’autre part

Car les produits en croix sont différents

8 2

12 3

MI

MC 13

21

MJ

MB

2 13

3 21

MI MJ

MC MBcomm

e(IJ) et (CB) ne sont pas // d’après la conséquence du Th. De Thalès

IV-RECIPROQUESoient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en

A.Soient B et M deux points de (d ), distincts de

A.Soient C et N deux points de (d’ ), distincts

de A.

AC

AN

AB

AMSi

si les points A, M,B et les points A, N,C sont dans le même ordre

Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.

et

Ex1: Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

4

3

CE

CA

4

3

12

9

6

5,4

CD

CB

On a

et

De plus les points A, C et E et les points B, C et D sont dans le même ordre

d’après la réciproque du théorème de Thalès,

(AB) et (DE) sont parallèles.

donc CD

CB

CE

CA

B

C

P

R

D

E

1,5

A

3

4,5

2

4

2,5

Ex2: Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ?

B

C

P

R

D

E

1,5

A

3

4,5

2

4

2,5

On a

et

(PR) et (DE) ne sont pas parallèles.

3

2

6

4

CD

CP

8

5

4

5,2

CE

CR

donc CE

CR

CD

CP

D’après la conséquence du théorème de Thalès.

II-AGRANDISSEMENT-REDUCTION

Ex1:

1cm

1cm

3cm

3cmX 3

Aire = 1x1

Aire = 1 cm²

Aire = 3x3

Aire = 9 cm²X 9

X 3²

Ex2:

X 3

X 9

X 27

1cm1c

m1cm

3cm

3cm

3cm

Aire totale =1x1x6

Aire totale = 6 cm²

Aire totale=3x3x6

Aire totale = 54 cm²X 3²

Volume = 1x1x1

Volume = 1 cm3

Volume = 3x3x3

Volume = 27 cm3

X 33

Ex3:

X 2

X 4

X 8

Aire base 3,14x05²

Aire base 0,785 cm² X 2²Volume 0,785x1

3

Volume 0,2617cm3

Volume 3,14x2

3

Volume 2,093cm3

X 23

Aire base 3,14x1²

Aire base 3,14 cm²

1cm

1cm

2cm

2cm

Longueurs

Si dans un agrandissement ou une réduction les dimensions sont dans le rapport k alors les aires sont dans le rapport k² et les volumes dans le rapport k3

Ex1: Une pizza pour une personne mesure 10 cm de diamètre. Combien de personnes peut-on prévoir avec une pizza de 30 cm de diamètre ?

Ex2: L’autopsie d’une cerise fait apparaître que le diamètre du noyau est exactement égal à l’épaisseur de sa chair. Si noyau et chair ont la même densité, combien faut-il de noyaux dans une balance pour équilibrer une cerise ?

Ex3: La Fée Jivaro réduit les humains au dixième de leur taille. Je mesurais 1,80 m et je pesais 80 kg. Après le sort de la Fée je ne mesure plus que 18 cm. Quel est mon poids actuel ?

9 personnes

27 noyaux

80g

Ex4: La Tour Eiffel mesure environ 300m et pèse environ 8000 tonnes. On construit un modèle réduit avec le même métal de 1m de hauteur. Quel est le poids de la maquette ?

0,3 kg

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FIN