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ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d ’état des systèmes en temps
discret
1
Notion d ’état interne
Notion d ’état interne
Solution générale de l ’équation d ’état
Discrétisation de la forme de commande
Stabilité
Gouvernabilité (définition, critère direct)
Observabilité (définition et critère direct)
Forme de Commande
Passage RE donne FT
Retour d ’état
Observons le processus du premier ordre )()( tetsdt
dsRC
A partir de l ’instant t = 0, on applique l ’entrée e(t) connue, et on calcule la sortie s(t) qui en résulte soit :
1
1
)(
)(
RCppE
pS
t RCRCt dteeRC
sets0
// )(1
)0()(
Pour t > 0, on voit que s(t) dépend non seulement de e(t) mais encore de la valeur de la sortie à l ’instant t = 0, ou condition initiale s(0)
On dira que s(0) est l ’état du processus à l ’instant t = 0. On voit que pour un premier ordre, sortie et état sont confondus.
Etendre le résultat si l ’instant initial est t = t0 non nul :
Démontrer le résultat trouvé pour s(t) :
Simulation avec Matlab
Découplage des variables d ’état
Choix des valeurs propres
Asservissement
ou
t
t
RCRCtt dteeRC
tsetts0
0 )(1
)()( /0
/)(0
RCtehsthts
pERCpsRCpRCpS
pEpSsppSRC
/))(*()0()()(
)()1()0()1()(
)()())0()((11
RC
t
eRCp
RCLth
)1
()( 1avec
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ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d ’état des systèmes en temps
discret
2
Illustration de la notion d ’état interne
Time (sec.)
Am
plitu
de
Initial Condition Results
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (sec.)
Am
plit
ude
Initial Condition Results
0 5 10 15 20 25 30
-1
-0.5
0
0.5
1
)0()0( sortieétat )0()0( sortieétat
Les deux simulations ci-dessus illustrent l ’existence d ’un état interne dans le cas du retour à l ’équilibre 0 à entrée de commande nulle. Commenter :
Simulation gaucheordre1=tf(1,[1 1])ordre1=ss(ordre1)hold oninitial(1,ordre1)initial(2,ordre1)initial(0.5,ordre1)
Simulation droite :o2=ss(tf(1,[1 .2 1]))hold oninitial([0,1]’,o2,30)initial([1,1]’,o2,30)initial([-1,1]’,o2,30)
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3
Forme de commande de la représentation d ’état
Mais il faut noter que tout changement de base dans l ’espace d ’état (ici Rn) conduit à une représentation d ’état différente du même processus
Trouver la forme de commande de Cobaye, avec un vecteur d ’état à préciser, Vérifier que la représentation d ’état n ’est pas unique
Plus généralement, pour un processus d ’ordre n, on se ramène à ce cas en constituant le vecteur d ’état avec la sortie s(t) et les n-1 premières dérivées :
On obtient alors la FORME DE COMMANDE de la représentation d ’état
)(
)()(
ts
tstX
)()(01)(
)()()(50
0)(
100
10)(
tCXtXts
tBetAXtetXtX
)(')(010)(
)(')()(5
0)(
100
10)(
tXCtXts
teBtAXtetXtX
Seconde représentation
Cette notion est généralisable à tout processus donné par n équations différentielles du premier degré, en regroupant les n sorties dans un vecteur d ’état interne.
L ’équation d ’état est une équation différentielle matricielle de degré un
)(51.02
2
tedt
ds
dt
sd
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4
Solution générale de l ’équation d ’état
Pour résoudre l ’équation d ’état, on peut utiliser la transformée de Laplace comme dans le cas d ’une équation différentielle scalaire sans oublier qu ’elle est matricielle :
)()(
)()0()(
)(~][)0(][)(~
)(~)(~
)0()(~
)()()(
0
)(
11
tCXts
dBeeXetX
peBApIXApIpX
peBpXAXpXp
tBetAXtX
t tAAt
Adapter le résultat si on débute en t = t0 :)()(
)()()()()(0
00
tCXts
dBettXtttXt
t
est une exponentielle de matrice
On retrouve les deux termes
)(])[( 11 tApILe At
Calculer l ’exponentielle matricielle associée au processus Cobaye:
t
t
AtAt
e
eFe
p
pppLe10
102
1
010
11,
10
10
10
11
p
p
ppApI
ppApIp
pApI
0
110
10
1)(
10,100
1
21
2
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5
Discrétisation de la forme de commande
Discrétiser Cobaye sous la forme de commande si T= 0.01 seconde
)1(52
15
)10(
50)10(
501
)(10
102
1 1
T
T
L
e
eTG
pp
ppp
BApI
On aboutit à une représentation d ’état en temps discret avec le vecteur d ’état :
9.0,01.0 1.010 eesT T
n
nn s
sX
C ’est un cas particulier de la solution générale de l ’équation d ’état, où l ’entrée e(t) est constante par morceaux. Si par exemple entre 0 et T, e(t) = e0 constante, on pose :
p
epe 0)(~
p
epe n)(~
Pour résoudre entre T et 2T, X1 devient la condition initiale, et l ’entréedevient e1, d ’où X2, etc ... On fera donc en général :
neTntnTe ))1((
T
T
AT
e
eFe
10
10
010
11
On résout alors l ’équation d ’état entre 0 et T avec l ’entrée e0 et la condition initiale X0, on prélève le résultat à l ’instant T soit X1=X(T) qui donne s1=s(T)
nnn
nnnnn
XCXnTss
eXGeFXX
01)(
5.0
0
9.00
01.011
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6
Représentation d ’état et fonction de transfert en z
Cas multivariable, on aboutit à une « matrice de transfert »
On calcule la fonction de transfert en transformant l ’équation d ’état à conditions initiales nulles :
)(~][)(~)(~][)(
~0)0(),(~)0()(
~)(
)(~)(~
))0()(~
(
1
1
zeGFzICzs
zeGFzIzX
XzeGzXzXFzI
zeGzXFXzXz
Cas monovariable (une entrée, une sortie),on aboutit à une fonction de transfert:
GFzICze
zszT 1][
)(~)(~
)(
Calculer la fonction de transfert de COBAYE discrétisé à partir de la représentation d ’état obtenue précédemment
Représentation d ’état et fonction de transfert sont deux représentations équivalentes
)9.0)(1(
005.0)(
10
01.09.0
)9.0)(1(
1)(
9.00
01.01
1
1
zzGFzIC
z
z
zzFzI
z
zFzI
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7
Pôles et valeurs propres d ’un processus Stabilité EBSB
Les pôles de la fonction de transfert sont les valeurs propres de la matrice d ’état. Ce sont les racines du polynôme caractéristique :
Cobaye est-il stable au sens EBSB ?
Conséquence: un système en temps discret est stable au sens EBSB si et seulement si ses valeurs propres sont de module strictement inférieur à un, c ’est à dire se trouvent toutes à l ’intérieur du cercle unité strictement.
)9.0)(1(,9.00
01.01
zzFzIF
Non, puisqu ’on trouve une valeur propre de module unité
Comparer les valeurs propres et les pôles de COBAYE discrétisé.
L ’ordre n du processus, degré du dénominateur de la fonction de transfert et du polynôme caractéristique, donne les dimensions de la matrice d ’état (n,n)
Quel est le polynôme caractéristique de COBAYE discrétisé ?
Ils sont identiques, 9.0,1 21 zz
)(zPFzI
En effet, )()()( 1 zTGFzIadjFzI
CGFzIC
est donc égal au dénominateur de )(zT)(zPFzI
9.09.1)( 2 zzzP
Polynôme caractéristique
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8
Définition de la gouvernabilité (et critère direct)
A quelle condition puis-je amener un processus discret de l’état X0 jusqu’à l ’état XN en N périodes d ’échantillonnage en utilisant son entrée ?
TNNNN
N eeeetGGFGFavecXFX
GeFGeXFGeFXXX
GeFXXX
11021
0
1002
1121
0010
......
...
Dans le cas particulier où N est l ’ordre du processus, et si est carrée, inversible égale de rang N, la solution est :
matrice de gouvernabilité vecteur de commande
)( 01 XFXE N
N
Si le rang de est égal à l ’ordre du processus, il existe une solution E à ce problème, le processus est alors « entièrement gouvernable ».
Cobaye est il entièrement gouvernable ? Calculer la succession des commandes permettant de rejoindre un état final Xf=[1,0] ’ depuis l’état X0=[0,0] ’ ?
5.045.0
0005.0GFG est de rang 2, donc Cobaye est entièrement gouvernable
fXGFGE 1)( Pour rejoindre Xf quelconque en 2T depuis 0, appliquer :
RESULTAT
PROBLEME
Mise enéquation
Ici
2180
0200
005.045.0
05.0
0025.0
11GFG
1
01
180
200
e
eXGFGE f
et
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9
Observabilité (définition et critère direct)
Si on peut en observant seulement la sortie d ’un processus en reconstituerl ’état en un temps fini, le processus sera dit « entièrement observable ».
Pour qu ’un processus soit entièrement observable, le rang de la matrice d ’observabilité O ci-contre doit être égal à l’ordre du processus.
1
...NCF
CF
C
O
Cobaye discrétisé est-il entièrement observable ?
01.01
01
CF
CO est inversible, donc de rang deux,
Cobaye est entièrement observable
Observabilité et gouvernabilité sont deux propriétés duales: un calcul simplifié où l’entrée de commande est nulle mène au critère direct d’observabilité suivant :
Comment calculer l ’état de Cobaye à partir des sorties si l ’entrée est nulle ?
RESULTAT
PROBLEME
Mise enéquation
01
1
011
00
...
XCFs
CFXCXs
CXs
NN
0
1
1
0
...OX
s
s
s
S
N
Que devient le critère direct d ’observabilité si O est carrée ?
Il faut que O soit inversible dans ce cas
1
0110 s
sOSOXOn fera:
Par exemple, s0=1, s1=0 donne ?
1
1
0
1,
100100
01 10
1 OXO
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10
Découplage de l ’équation d ’état
Les informations sur la stabilité, la gouvernabilité et l ’observabilité se déduisent de l ’analyse détaillée des couplages des variables d ’état. Si on opère un changement de base dans l ’espace d ’état qui diagonalise la matrice d ’état, la matrice de changement de base P est constituée de vecteurs propres de F : X ’ étant le nouveau vecteur d ’état, c ’est X = P *X ’et X ’= inv(P) *X. La représentation d’état dans cette base est :
nnn
nnnnn
XCCPXs
eBXBePFPXPX
'''
'''' 111
Stabilité = composantes de la diagonale de module inférieur à un.gouvernabilité = matrice de commande sans ligne nulleobservabilité = matrice d ’observation sans colonne nulle
Pour l ’exemple suivant, discuter stabilité, gouvernabilité et observabilité sur les équations scalaires correspondantes : nn
nnn
Xs
eXX
11
2
1.
5.0
05.11
avec
n
nn b
aX
La forme est découplée d ’origine:les deux valeurs propres sont :La matrice de commande n ’a pas de ligne nulle : gouvernabilitéLa matrice d ’observation pas de colonne nulle: observabilité
5.0
5.1
2
1
z
z Instablestable
nnn
nnn
nnn
bas
ebb
eaa
25.0
1.05.1
1
1La première équation est divergente, la deuxième converge, e agit sur a et b,a et b interviennent dans s
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11
Il y a donc autant de représentations d ’état d ’un processus que de changements de base dans l ’espace d ’état. Cependant, il y a une seule fonction de transfert. Dans une base de vecteurs propres, les informations de stabilité, de gouvernabilité et d ’observabilité apparaissent en clair dans la représentation d ’état :
Nzzz ,...,, 21 1111 vzvFquetelv
s ’opère avec la matrice adjointe de F :Dans le cas où les valeurs propres sont simples (uniques), le calcul des vecteurs propres
)( 1 FIzadj
nnnnN XPXPXXvvvP 121 ','...
Découpler Cobaye discrétisé et discuter stabilité, observabilité et gouvernabilité :
se lit danspour 1z
Puis, on constitue la matrice de changement de base en juxtaposant les vecteurs propres
Calcul des vecteurs propres
10
01.09.0)(
z
zFzIadj
)(
10
1.01
10
1.01
1
1.0
1.00
01.00)(
0
1
00
01.01.0)(
1
121
22
11
IPPvérifier
PvvP
vFIzadj
vFIzadj
nn
nnn
Xs
eXX
CPCGPB
'1.01
5.0
05.0'
9.00
01'
1.01',5.0
05.0'
1
1
nnn
nnn
nnn
yxs
eyy
exx
1.0
5.09.0
05.0
1
1
> gouvernabilité, observabilité, et stabilité
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12
Asservissement et représentation d ’état
)( nnn scke
Sous forme matricielle, on pose : nnn XkKXks 0
nn
nBFnBFnnn
nnnn
CXs
eGXFGkcXGKFX
GkcGKXFXX
)(1
1
Appliquer à l ’asservissement de Cobaye discrétisé :
kG
kFkGK BFBF 5.0
0
9.02/
01.01,0
2
00
Etude du lieu des pôles ou valeurs propres de l ’asservissement :
Prenons le cas de la loi de commande suivantepour l ’asservissement de COBAYE :
On en déduit alors que la loi de commande modifie l’équation d ’état :
Calculer le polynôme caractéristique du système bouclé :
2/01.09.09.12 kzzFzI BF
)(20 éinstabilitk
)(10 doubleracinek
Cercle unité
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13
Retour d ’état
Supposons le vecteur d ’état de COBAYE entièrement connu et mesuré pour ses deux composantes
)( 211 kkKavecKXcke nnn
L ’équation d ’état est modifiée comme précédemment, mais les paramètres du retour d ’état permettent de fixer sans restriction les valeurs propres du système bouclé.
Appliquer ce retour d ’état au cas de Cobaye et placer les valeurs propres en 0. Quel est alors le gain statique du système bouclé ?
1222
1211
005.05.09.0)5.09.1(
5.0
0
5.09.05.0
01.01
kkkzzGKF
ck
Xkk
X nnn
Pour deux valeur propres nulles, il suffit que le polynôme caractéristique soit
nTn
n
dt
dss
nTss
)(
La loi de commande suivante dite « retour d ’état » permet de fixer àvolonté les valeurs propres de la matrice d ’état du système bouclé : GKF
2z
D ’où le retour d ’état 2008.321 kkK
Note 1 : la réalisation du retour d ’état implique en pratique la connaissance du vecteur d ’état (on devra construire un filtre observateur si l ’état est partiellement inconnu)
Note 2 : en régime permanent de l ’équation d ’état, Xn=Xn+1. Sous la forme de commande,toutes les dérivées de s sont nulles en plus, d ’où les équations à écrire:
es
CXs
GekXGKFI
1)(
Avec ce retour d ’état le gain statique est unitaire11001000
1001001
1
n
nnnn
nnnn
nn
c
scss
csss
ss
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14
Choix des valeurs propres ou pôles
Pour déterminer les pôles / valeurs propres d ’un système en temps discret, on utilise les propriétés démontrées pour les pôles et valeurs propres continus sachant que :
Tpez Discret < | > Continu
Calculer les valeurs propres d ’un processus continu assurant l ’amortissement et le temps de réponse à 5% : stm r 3.0/3,2/2 0
Quel est donc le retour d ’état K imposant ces pôles à l ’asservissement de Cobaye ?
(Excepté pour le cas particulier de la réponse pile ou valeur propre z = 0)
14.011
07.011
07.007.0101.0
)07.0cos(2
1
ezzetezz
eeez ip
8681.0
8588.1
11
11
zz
zz
)1(07.72
2)1(101 iip
Avec T= 0.01s, quels sont les valeurs propres qui assurent le même comportement ?
• Un pôle réel
• 2 pôles complexes conjugués
10,0 r
aTrr zezap
TmiTm eemim2
00 1200 1
Tmumenteule Tm 20 1arg,mod 0
)0823.0868.1(21 kkK8681.08588.12 zzPoly car:
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15
Exemple de simulation avec Matlab
clc echo oncobaye=tf(50,[1 10 0])T=0.01% en temps continu rect=ss(cobaye)% Matlab choisit une base dans l'EEA=[0 1; 0 -10]B=[0;50]C=[1 0]marect=ss(A,B,C,0)
%discrétisation marectd=c2d(marect,T)%stabilitédamp(marectd)eig(marectd)%GouvernabilitéGouv=ctrb(marectd)Gou=[get(marectd,'b') ... get(marectd,'a')*get(marectd,'b')]
% ObservabilitéObs=obsv(marectd) % commande conventionnellerlocus(marectd)zgrid(sqrt(2)/2,10)zoom onk=rlocfind(marectd)%fonction de transfertftz=tf(marectd)% calcul d'un retour d'étatAd=get(marectd,'a')Bd=get(marectd,'b')
%choix des pôlespolc=5*sqrt(2)*[-1-i,-1+i]polz=exp(T*polc)%calcul du retourK=acker(Ad,Bd,polz)%construction du système boucléretour=ss(Ad-Bd*K,Bd*K(1),C,0,T)step(retour)%comparer avec le bouclage pour k=10retour10=ss(Ad-Bd*[10,0],10*Bd,C,0,T)step(retour10,'r',retour,'b')
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16
Comparaison de la commande proportion-nelle pour k=10 et du retour d ’état
Time (sec.)
Am
plitu
de
Step Response
0 0.5 1 1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
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