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Roland Charnay - 2004-2005 1
Apprentissages numériques Apprentissages numériques de l’école au collège de l’école au collège
Conférence donnée à Angers
le 2 février 2005
par Roland CHARNAY, IUFM de Lyon
À la demande de l’Inspection Pédagogique Régionale
de l’académie de Nantes
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Apprentissages numériques Apprentissages numériques de l’école au collège de l’école au collège
Enjeux, difficultés, évolutions
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Autour de 3 réflexionsAutour de 3 réflexions
Les enjeux de ces apprentissages sur l’ensemble de la scolarité obligatoire
Les connaissances attendues des élèves au terme de l’école primaire (programmes actuels)
Les difficultés constatées, à partir de l’analyse des évaluations à l’entrée en Sixième
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Organisation des programmesOrganisation des programmesCycle 3 de l’école primaire Collège
Exploitation de données numériques
Organisation et gestion de données, fonctions
Connaissance des nombres entiers naturels
Nombres et calculConnaissance des fractions simples et des nombres décimaux
Calcul
Espace et géométrie Géométrie
Grandeurs et mesure Grandeurs et mesure
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PlanPlan
L’apprentissage des nombres et de leurs désignations
L’apprentissage du calcul
La résolution de problèmes, avec un intérêt plus particulier pour la proportionnalité
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Les nombres Les nombres et leurs désignationset leurs désignations
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Entiers naturelsEntiers naturels
Numération décimale et ordre sur ces nombres : depuis le CP
Valeur positionnelle des chiffres peu évaluée à l'entrée en Sixième
Deux résultats
– Ecris en chiffres 25 dizaines 40,8 %
– relation désignations orale-chiffrée relativement bien acquise 80 % à 90 %
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Quelle explication pour Quelle explication pour 25 dizaines25 dizaines ? ?
Une remarque : Ecris en chiffres 7 unités 4 dixièmes est mieux réussi (54,8 %)
Une explication : les termes comme dizaine… renvoient à une position et non à une valeur
C'est la valeur positionnelle qui importe…
… Et les relations entre valeurs
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Pour les écritures, pas de différence Pour les écritures, pas de différence fondamentale entre naturels et décimauxfondamentale entre naturels et décimaux
2 4 1 7
100 fois plus
100 fois moins
2 4, 1 7
100 fois plus
100 fois moins
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DécimauxDécimauxNumération décimale et ordre : depuis le CM1
repris au collègeEvaluations : difficultés pour 25 % à 50 % des
élèvesAu primaire comme au collège
– travail insuffisant sur la compréhension– trop axé sur les techniques : revenir au sens chaque fois
que c'est possible (ex 7 x0,1 : c'est 7 dixièmes)– marquant de manière insuffisante les ruptures avec les
entiers
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Ruptures principalesRuptures principales
Relativement à l'ordre– procédure de comparaison– intercalation
Relativement à des procédures de calcul– notamment multiplication et division par 10,
100…
Relativement au "sens" des opérations
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FractionsFractions
Approche limitée à l'école primaire
• une seule signification : 5/3 c’est 5 fois 1/3
• travail par le raisonnement (sans techniques)
Peu évalué à l'entrée en Sixième
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Au collège : une place centrale et des difficultés nouvelles
Nouvelle signification, comme quotient : 7/3 c’est le tiers de 7
Comprendre l'équivalence : 7 fois le tiers de 1, c’est pareil que le tiers de 7
7/3 est un nombre et non un calcul à effectuerConception plus théorique : 7/3 est le nombre
qui multiplié par 3 donne 7 Fractions avec des décimaux au numérateur et
au dénominateur
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Des difficultés Des difficultés et un travail à faire au collègeet un travail à faire au collège
Le mot "quotient"
– désigne le résultat d'un calcul au cycle 3
– désigne aussi un nombre (sans calcul) au collège
L'équivalence des 2 significations de 7/3
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Evolution de la notion de nombre Evolution de la notion de nombre au cours de la scolaritéau cours de la scolarité
Des entiers naturels aux décimaux : – renoncer à l’idée de nombres qui se suivent – accepter l’intercalation "sans fin"
Passage aux fractions quotients :– accepter qu’un nombre ne s’exprime pas
nécessairement par une suite de chiffresPassage aux négatifs :
– renoncer au fait qu’un nombre exprime une quantité ou la mesure d’une grandeur
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Le calculLe calcul
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Deux questionsDeux questions
Quels sont les besoins en calcul du futur acteur social et professionnel ?
Quels sont les besoins en calcul pour l’apprentissage des mathématiques ?
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Apprendre à calculer…Apprendre à calculer…
apprendre à rendre calculables des situations par un travail de modélisation (cf. résolution de problèmes)
apprendre à traiter des calculs– de façon automatisée ou raisonnée – pour aboutir à un résultat exact ou approché
apprendre à organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine
(Cf. initiation à l’usage du tableur au collège)
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Quel calcul ?Quel calcul ?
CALCUL AUTOMATISE
CALCUL REFLECHI
OU RAISONNE
Résultat exactRésultat approché
Calcul mental
Résultats
Procédures
Procédures construiteschoix des arrondis
Calcul écritTechniques opératoires
Procédures construiteschoix des arrondis
Calcul instrumenté
Calculs usuelsEx : quotient et
reste avec
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Priorité au calcul mentalPriorité au calcul mental
Calcul d’usage, utile dans la vie ordinaire
Moyen privilégié de contrôle
Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul (choix et mise en œuvre d'une procédure adaptée)
Indispensable à l'acquisition de nouvelles connaissances, à leur représentation mentale
Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement
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Le domaine de laLe domaine de lamultiplication et de la divisionmultiplication et de la division
Naturels Décimaux
Multiplication
Cycle 2
Sens
Calcul mental
Cycle 3
Sens
Calculs mental et posé
Fin du cycle 3
Décimal par entier
Sens
Calculs mental et posé
Collège
Produit de 2 décimaux
Division
Cycle 3
Division euclidienne
Sens
Calculs mental et posé
Collège
Quotient décimal de 2 entiers
Quotient de 2 décimaux
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L'extension du calcul aux décimaux et aux L'extension du calcul aux décimaux et aux fractions suppose des restructurations de fractions suppose des restructurations de
connaissancesconnaissances
Sens de la multiplication – surtout liée, pour les entiers, à l'addition itérée
Sens de la division– liée, sur les entiers, au partage
Théorèmes implicites– La multiplication "agrandit"– La division "diminue"
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Compétences en calcul mental Compétences en calcul mental à l'entrée au collègeà l'entrée au collège
Mémorisation ou automatisationMémorisation ou automatisation
Peu évaluée– Difficultés avec tables de multiplication– Quart de cent 67 % (Eva 2000)– Cent divisé par quatre 61 % (Eva
2000)– Trente-sept divisé par dix 42 % (Eva 2003)– Trois fois zéro virgule cinq 44 % (Eva 2003)
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Calcul réfléchiCalcul réfléchi
Résultats contrastés sur les entiers 198 + 10 81 % (Eva 2003)
405 – 10 78 % (Eva 2003)
47 + 33 84 % (Eva 2003)
60 – 19 65 % (Eva 2003)
52 : 4 35 % (Eva 2000)
Résultats plus faibles avec les décimaux 1,7 + 2,3 61 % (Eva 2003)
2,5 x 4 44 % (Eva 2003)
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ConclusionConclusion
Nécessité de poursuivre au collège l’entraînement au calcul mental – sous ses 2 formes : mémorisé et réfléchi – et ses 2 types de résultats : exacts et approchés
Question des résultats nouveaux dont la mémorisation est utile (relatifs, carrés, racines carrées, puissances de nombres simples…)
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Résolution Résolution de problèmesde problèmes
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Quelques constats
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Evaluation 6Evaluation 6ee - 2003 - 2003
Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.
a) Combien y aura-t-il de pages complètes ?
b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?
Il y a ……… pages complètes. 54 %
Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %
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Procédures possiblesProcédures possibles
Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP)
Addition de 6 en 6 Addition (CE1)
Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2)
Division par 6 Division (CM1)
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Une questionUne question
Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…- ne pensent-ils pas…- n’osent-ils pas…- ne se croient-ils pas autorisés…
… (à) les utiliser pour répondre à la question?
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Sophie a dessiné et colorié trois étiquettes rectangulaires toutes identiques sur une plaque de carton, comme le montre le dessin. La plaque est rectangulaire et a pour longueur 12 cm et pour largeur 10 cm.
12 cm
10 cm
a) Calcule la longueur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 44 %b) Calcule la largeur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 23 %
22 % des élèves ont mesuré
Raisonnement Raisonnement (exemple 2 : éva 6(exemple 2 : éva 6ee, 2000), 2000)
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Deux pistes de travail Deux pistes de travail pour l'école et le collègepour l'école et le collège
inciter les élèves à initier des procédures de résolution originales, personnelles
travailler la capacité à déduire et à articuler différentes étapes par un raisonnement approprié.
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Le cas de la Le cas de la proportionnalitéproportionnalité
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Complexité liée à la variété des problèmesComplexité liée à la variété des problèmes
Types de problèmes
– Reconnaître la proportionnalité
– Recherche d'une quatrième proportionnelle
– Problème de comparaison (partie/tout ; partie 1/ partie 2)
– Proportionnalité "multiple" (ex : aire du triangle)
Types de contextes
– Proportionnalité fixée "socialement"
– Proportionnalité "intrinsèque" (physique, géométrie)
– Proportionnalité "fictive" (pourcentage, vitesse moyenne…)
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Complexité liée à la diversité des procéduresComplexité liée à la diversité des procédures
Propriétés utilisées implicitement ou explicitement– linéarité
– coefficient de proportionnalité
– égalité de rapports…
Sensibilité de ces procédures– aux grandeurs en relation (de même nature ou non)
– aux nombres en jeu
– au nombre de couples fournis
Procédures particulières utilisées dans d'autres disciplines
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Des niveaux Des niveaux de conceptualisation différentsde conceptualisation différents
Exemple :
Avec 120 kg de blé, on obtient 100 kg de farine ?
Combien de kg de farine avec 900 kg de blé ?
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Raisonnement contextualisé 1Raisonnement contextualisé 1
Avec 120 kg de blé, 100 kg de farine
Avec 5 fois plus de blé, 5 fois plus de farineDonc avec 600 kg de blé, 500 kg de farine
Avec 300 kg de blé, 250 kg de farine
Avec 900 kg (600 kg + 300 kg) de blé, 750 kg de farine (500 kg +
250 kg)
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Raisonnement contextualisé 2Raisonnement contextualisé 2
Combien y a-t-il de fois 120 kg dans 900 kg ?
(par division : 7,5 fois)
Donc 7,5 fois plus de farine : 100 x 7,5 = 750
Les raisonnements 1 et 2 sont beaucoup plus difficiles si la question porte sur 90 kg de farine…
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Raisonnement contextualisé 3Raisonnement contextualisé 3
La masse de farine est 1,2 fois moins importante que celle de blé
Donc 900 : 1,2 = 750
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Premier niveau de conceptualisationPremier niveau de conceptualisation
Modélisation par un tableau de nombres
Donc changement de langage– langage ordinaire langage "numérisé"– Autre représentation du raisonnement
Permet une explicitation des propriétés utilisées (linéarité, coefficient)
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Deuxième niveau de conceptualisationDeuxième niveau de conceptualisation
Fonction linéaire
Nouveau langage (plus "algébrisé")
Autre formulation des propriétés– Exemple : f(λx) = λf(x)
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A l'école primaireA l'école primairePas d'enseignement de la proportionnalitéRésolution de problèmes, avec des procédures
"contextualisées" qui s'appuient implicitement :– sur les propriétés de linéarité– sur le passage par l'image de l'unité– sur le coefficient, lorsqu'il a une signification pour les
élèves
Pourcentage, échelle et vitesse – travaillés dans cet esprit– sans procédures spécifiques
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Exemple : 20 % de 350Exemple : 20 % de 350 (vente de croissants)(vente de croissants)
Pour 100 fabriqués 20 vendus
Pour 100 fabriqués 20 vendus
Pour 100 fabriqués 20 vendus
Pour 300 fabriqués 60 vendus
Pour 50 fabriqués 10 vendus
Pour 350 fabriqués 70 vendus
Appui sur le langage : 20 pour 100
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Pour 100 fabriqués 20 vendus Pour 300 fabriqués 60 vendus (3 fois plus)
Pour 50 fabriqués 10 vendus (la moitié)
Pour 350 fabriqués 70 vendus
Le nombre de pains vendus, c'est 1/5 du nombre de pains fabriqués (ou 5 fois moins)
1/5 de 350, c'est 70
Roland Charnay - 2004-2005 45
Au collègeAu collège
Difficulté de passer de l'expression verbale "prendre 20 pour 100"…
… à une procédure qui utilise :– le quotient 20 / 100– La multiplication
Ce passage n'a rien de "naturel"
Roland Charnay - 2004-2005 46
Au collège : évolution des procéduresAu collège : évolution des procédures
Sixième – passage par l’image de l’unité– rapport de linéarité, exprimé sous forme de quotient– coefficient de proportionnalité, exprimé sous forme de quotient
Cinquième– recours plus systématique aux quotients– travail sur des tableaux de nombres (décontextualisation)– première approche graphique
Quatrième– produit en croix (lié à égalité de quotients)– caractérisation graphique
Troisième– modélisation par une fonction linéaire
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Le cas de la multiplication de 2 Le cas de la multiplication de 2 nombres décimauxnombres décimaux
Rupture avec la multiplication par un entier (liée à l'addition itérée)
L'utilisation de procédures relatives à la proportionnalité précède souvent celle de la multiplication
– Ex : 2,750 kg à 32,50 € le kg en passant par 500 g et 250 g
– Cas plus "complexe" : 2,648 kg en utilisant la signification de chaque chiffre
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Relation avec de nombreux Relation avec de nombreux domaines du programmedomaines du programme
Graduation, diagramme, graphique
Mesure : changement d'unité, formules, grandeurs-produits, grandeurs-quotients
Géométrie : Thalès, agrandissement, réduction, cosinus
Et avec d'autres disciplines
Roland Charnay - 2004-2005 49
Quelques documentsQuelques documents
documents d’application des programmes de l’école primaire (notamment cycle 3)
document Articulation école-collègedocument Calcul mentaldocument Calculatricesdocument Calcul posédocument Problèmes pour chercher
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