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INITIATION A LA MODELISATION ET AUX PERFORMANCES DES ROBOTS
EDITION: 2006
IMPRESSION: OCTOBRE 2007 H. DEMOUVEAU UTILISATION INTERNE
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Initiation la modlisation
& aux performances
des Robots
Anne 2007-2008 H.DEMOUVEAU
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Modlisation Robotique2007 Table des Matires
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Table des Matires
CHAP.1. Les ARCHITECTURES DE ROBOT 1 1. Avant propos............................................................................................................ 1
1.1 Mcanismes motorisation unique ......................................................................... 1 1.2 Mcanismes poly-articuls ...................................................................................... 1
2. Particularits d'un ROBOT....................................................................................... 1 2.1 Dfinition d'un ROBOT ............................................................................................ 1 2.2 Les architectures de type srie................................................................................ 1 2.3 Les architectures de type parallle .......................................................................... 2
3. Familles de structures poly-articules ..................................................................... 3 3.1 Les architectures sries :......................................................................................... 3
3.1.1 Les architectures sries avec boucles cinmatiques: 3 3.1.2 Les architectures sries arborescentes: 4
3.2 Les architectures parallles .................................................................................... 4 4. Nature des articulations utilises en robotique ........................................................ 6 5. Morphologie des robots ........................................................................................... 7
5.1 Les architectures sries........................................................................................... 7 5.1.1 Sous-ensembles constituant un robot 8 5.1.2 Schma cinmatique des 12 principaux porteurs 8 5.1.3 Noms des principales architectures 10
5.2 Les architectures parallles ................................................................................... 14 5.2.1 Introduction 14 5.2.2 La plateforme de GOUGH 14 5.2.3 Diffrentes familles 15 5.2.4 robots pleinement parallles planaires 16 5.2.5 Organisations types des architectures parallles 20
CHAP.2. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION 23 1. Introduction ............................................................................................................ 23 2. Rappels mathmatiques ........................................................................................ 24
2.1 Expression de changement de repre................................................................... 25 2.2 Expression de transformation de vecteur dans un repre ..................................... 28
3. Utilisation des matrices homognes. .................................................................... 29 3.1 Changement de repre d'une matrice de transformation. ..................................... 29 3.2 Transformations successives dans un repre Ri................................................... 30 3.3 Succession de changements de repres............................................................... 30
4. Expression de quelques transformations l'aide des matrices homognes. ........ 31 4.1 Rotation autour d'axe privilgi, ou translation pure.............................................. 31 4.2 Composition de rotation ou de rotation/translation autour d'un axe unique........... 31 4.3 Rotation autour d'un axe quelconque U d'un angle exprim dans un repre Ri 31
5. Expression de transformations diffrentielles ........................................................ 33 6. Expressions du positionnement d'un point dans un repre Rg.............................. 35
6.1 Coordonnes cartsiennes.................................................................................... 35 6.2 Coordonnes cylindriques ..................................................................................... 35 6.3 Coordonnes sphriques....................................................................................... 36
7. Orientation d'un solide dans l'espace .................................................................... 36 7.1 Systme des angles d'Euler (Prcession, Nutation, Rotation propre) ................... 36 7.2 Angles Aronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) Norme AFNOR E61-101 ........... 37 7.3 Angles de Bryant (1 ,2 ,3 ) .............................................................................. 38 7.4 La mthode des quaternions (Hamilton 1843) ou paramres d'Euler : ................. 39
7.4.1 Expression des cosinus directeurs en fonction des quaternions : 39 7.4.2 Expression des quaternions en fonction des cosinus directeurs : 39
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Modlisation Robotique2007 Table des Matires
CHAP.3. MODELISATION GEOMETRIQUE 43 1. Introduction ............................................................................................................ 43 2. Paramtrage de DENAVIT HARTENBERG modifie par KHALIL ........................ 44
2.1 Description de structures gomtriques de robots ................................................ 44 2.2 Conventions de mise en place des repres :......................................................... 45
3. Modle gomtrique direct du robot : .................................................................... 47 3.1 Exemple de dtermination de modle gomtrique direct du robot : .................... 47 3.2 Cas des robots incluants des arborescences : ...................................................... 50 3.3 Cas des robots incluant des boucles fermes : ..................................................... 52
4. Modle gomtrique inverse ................................................................................. 54 4.1 Robot rsoluble:..................................................................................................... 54 4.2 Mthode de Paul.................................................................................................... 55 4.3 Ides de la mthode de Pieper.............................................................................. 58 4.4 Prsentation des calculs de la mthode de Pieper............................................... 59
4.4.1 Reprsentation de trois liaisons rotodes concourantes 59 4.4.2 Cas des robots possdant trois articulations prismatiques 62
5. Mthode numrique............................................................................................... 62 6. Mthode gnrale permettant de dterminer le modle inverse explicite ............. 64
CHAP.4. MODELISATION CINEMATIQUE 67 1. Introduction ............................................................................................................ 67 2. Modle diffrentiel direct........................................................................................ 67 3. Dtermination de la matrice Jacobienne du modle.............................................. 68
3.1 Mthode explicite directe ....................................................................................... 68 3.1.1 Principe de calcul : 70
3.2 Mthode analytique ............................................................................................... 70 3.3 Mthode diffrentielle ............................................................................................ 71
4. Relation Variables articulaires/ Coordonnes oprationnelles .............................. 73 4.1 Utilisation des angles d'Euler................................................................................. 73
5. Modle diffrentiel chanes arborescentes ......................................................... 74 6. Modle diffrentiel de structures chanes possdant des boucles fermes ....... 74 7. Modle diffrentiel inverse (tude des cas rguliers) ............................................ 76
7.1 1re mthode de calcul ........................................................................................... 76 7.2 2me mthode de calcul .......................................................................................... 76
CHAP.5. IDENTIFICATION DES ERREURS DE ROBOTS 79 1. Principales causes d'erreurs (Positionnement statique) ........................................ 79
1.1 Erreurs de quantification et de calcul..................................................................... 79 1.2 Erreurs d'talonnage.............................................................................................. 79 1.3 Erreurs cinmatiques de type systmatique.......................................................... 79 1.4 Erreurs cinmatiques de type alatoire ................................................................. 79
2. Nature des erreurs................................................................................................. 80 3. Nature de trajectoires assures par un robot ........................................................ 80 4. Prcision d'un robot en fonction du mode de programmation ............................... 80
4.1 Programmation On-Line (par apprentissage) ........................................................ 80 4.2 Programmation analytique..................................................................................... 80 4.3 Programmation Off-Line ........................................................................................ 80
5. Caractristiques gnrales .................................................................................... 82 5.1 Charge ................................................................................................................... 82
5.1.1 Charge nominale 82 5.1.2 Charge limite 82
5.2 L'espace de travail ................................................................................................. 82 5.3 Dfinition de la vitesse........................................................................................... 82 5.4 Dfinition de l'acclration ..................................................................................... 82
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Modlisation Robotique2007 Table des Matires
5.5 Dfinition de temps de dplacement minimal ........................................................ 82 5.6 Rsolution.............................................................................................................. 82
6. Caractristiques pour la programmation en ligne .................................................. 83 6.1 Caractristiques de pose locale............................................................................. 83
6.1.1 Exactitude de positionnement 83 6.1.2 Exactitude d'orientation 84 6.1.3 Rptabilit de pose locale 84 6.1.4 La rptabilit maximale 84 6.1.5 La rptabilit statistique 85 6.1.6 Exactitude Multi-directionnelle 85
6.2 Temps de Stabilisation .......................................................................................... 86 6.3 Dpassement en Position...................................................................................... 86
7. Exactitude et Rptabilit Bipose .......................................................................... 87 7.1 Exactitude Bipose .................................................................................................. 87 7.2 Rptabilit Bipose................................................................................................ 87
8. Caractristiques de trajectoire et de dplacement ................................................ 88 8.1 Exactitude de trajectoire ....................................................................................... 88
8.1.1 Exactitude de positionnement 88 8.1.2 Exactitude d'orientation 88
8.2 Rptabilit de trajectoire ...................................................................................... 89 8.2.1 Rptabilit de positionnement 89 8.2.2 Rptabilit d'orientation 89
8.3 Raccordement de trajectoire.................................................................................. 89 8.3.1 Erreur d'arrondi 90 8.3.2 Dpassement 90
8.4 Exactitude et Rptabilit de vitesse..................................................................... 90 8.4.1 Exactitude de vitesse de trajectoire 90 8.4.2 Rptabilit en vitesse 90 8.4.3 Fluctuation de vitesse 90
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Modlisation Robotique2007 Table des Matires
Robot SMART NM 2-0 COMAU Capacit Charge 45 kg Rptabilit +/-0.06 mm
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
CHAP.1. Les ARCHITECTURES DE ROBOT
1. Avant propos Comme les statistiques l'indiquent, les applications en robotique sont trs diverses, et trouver des morphologies adaptes chacune, est un problme qui s'il est envisag de cette faon est insoluble . Ainsi rsoudre le problme des structures par les fonctions raliser n'est pas envisageable.
1.1 Mcanismes motorisation unique Des tentatives de recherches ont t effectues pour raliser des mcanismes mouvements complexes l'aide d'une seule motorisation. Ces dveloppements rests marginaux n'ont pas abouti pour des raisons de complexit et de cot d'tude, Celle ci tait faire pour chaque application.
1.2 Mcanismes poly-articuls Un deuxime axe, plus prometteur a t celui des architectures poly-articules, qui correspond aux mcanismes les plus couramment installs dans les entreprises. Il est intressant afin de clarifier la notion de robot de se reporter sa dfinition . Cette dfinition a t fixe par l'AFRI : Association Franaise de la Robotique Industrielle
2. Particularits d'un ROBOT
2.1 Dfinition d'un ROBOT Un robot est un manipulateur plusieurs degrs de liberts, command en position, reprogrammable, polyvalent. Il est capable de manipuler des matriaux, pices, outils, ou dispositifs spcialiss, au cours de mouvements variables en vue de l'excution d'une varit de tches. Son unit de commande utilise un dispositif de mmoire et ventuellement de perception et d'adaptation l'environnement et aux circonstances. Ces machines polyvalentes sont gnralement tudies pour effectuer la mme fonction de faon cyclique, et peuvent tre adaptes d'autres fonctions sans modification permanente du matriel.
On lit dans la premire phrase plusieurs degrs de liberts. On peut alors aborder ce problme en se posant les questions suivantes : Quel est nombre de degrs de liberts utiliser ? Quelle est la nature des liaisons utiliser ? Comment les organiser les une par rapport aux autres ? Deux familles d'architectures ont t dveloppes :
2.2 Les architectures de type srie Les mcaniques de cette famille se composent globalement d'un assemblage de corps successifs relis par des articulations.
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
Remarque : Une autre spcificit est que ces mcanismes peuvent tre pilots en position et vitesse par des modles de commande de mme nature.
2.3 Les architectures de type parallle Bien que crs il y a plus longtemps, ces mcanismes sont industrialiss depuis moins longtemps. Les raisons principales, sont des problmes de modlisation, de mise au point des commandes, et des puissances de calcul que require leur pilotage.
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
3. Familles de structures poly-articules
3.1 Les architectures sries : Les architectures sries simples :
Elles reposent sur le principe d'une succession des corps rigides relis entre eux par des articulations.
Robot S10
Structure srie6 articulations
3.1.1 Les architectures sries avec boucles cinmatiques:
Pour des raisons de robustesse, ces articulations principales peuvent s'ajouter des articulations complmentaires qui constituent des boucles cinmatiques qui permettent de rigidifier la structure, ce qui permet la manipulation de charges plus leves. Dans certains cas, les actionneurs sont reports la base du robot, diminuant ainsi les masses globales en mouvement. Il est alors ncessaire d'inclure des boucles cinmatiques pour transfrer le mouvement vers l'articulation concerne.
Robot Kuka 601r6 degrs de libert boucles fermes
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
Robot S420
Structure srie avec boucle6 articulations
Les boucles que l'on trouve le plus frquemment sont les paralllogrammes, et les triangles
Robot Kuka 250RStructure boucle
ferme
3.1.2 Les architectures sries arborescentes: Dans certains cas un robot peut possder plusieurs extrmits, on parlera alors de architectures arborescentes.
3.2 Les architectures parallles Dfinition d'un ROBOT PARALLELE
Un robot parallle est constitu d'un ensemble de chanes cinmatiques lies l'une de leur extrmit un corps de rfrence la base, et l'autre extrmit une plate-forme mobile destine recevoir l'organe terminal On dsigne par point d'articulation les jonctions des chanes cinmatiques avec soit la base, soit la plate-forme mobile
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
Ces architectures prsentent comme avantage une grande rigidit, pour une masse totale relativement rduite, tout en ayant un ratio masse utile/masse en mouvement lev compar aux architectures srie. Ces architectures sont peu nombreuses car les mthodes de calcul de leur "Modle mathmatique" sont complexes, et l'tude de mcanismes n'est pas vidente. Ainsi chaque nouvelle architecture, un dveloppement complet de la commande est a raliser, ce qui rend la rentabilit de tels projets plus hasardeuse. Cependant certaines solutions existent comme le robot DELTA.
Le robot TRICEPT HP1
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
A ces deux principales familles de robot peuvent s'en rajouter d'autres, telles que les robots mobiles, et les robots grands nombres de degrs de libert.
4. Nature des articulations utilises en robotique Si on se rfre la thorie de mcanismes, on connat les diffrents types d'articulations disponibles, et leurs caractristiques. Ces articulations ont chacune un certain nombre de degrs de mobilit, chaque interdiction de mouvement entranant de la part de la liaison, une transmission d'effort (blocage d'une translation) ou une transmission de moment (blocage d'une rotation). Pour les robots architecture srie deux types de liaisons sont utiliss : la liaison pivot et la liaison prismatique. L'avantage qu'elles prsentent, est qu'elles ne laissent qu'une seule possibilit de mouvement plus facile contrler.
Dsignation Torseur Cinmatique Torseur Statique Reprsentation en perpective
Liaison
Pivot
Liaison
Glissire
Liaison
Hlicodale
LiaisonRotule(sphrique)
{000 0 0 Rz}{Tx00 0 0 0}
{000 RxRyRz }
{ FxFyFz MxMy 0 }{ 0FyFz MxMyMz}
{00Tz 0 0Rz(tz)} { FxFyFz MxMyMz}{ FxFyFz 0 0 0 }
De plus elles sont capables de supporter des sollicitations sauf dans la direction du mouvement. Les structures seront globalement plus solides, et moins dformables. Ce qui est une ncessit en robotique, si l'on dsire atteindre des positions avec une prcision suffisante, et ce indpendamment de la charge encaisse par le robot.
Symboles de la liaison prismatiqueSymboles de la liaison rotode
Choix retenus frquemment Pour des transmissions de mouvements
En gnral, la liaison hlicodale est utilise pour assurer une transformation de mouvement Rotation/Translation, au niveau des motorisations. Elle se retrouve dans les boucle cinmatiques.
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
Pour les robots architecture parallle vient s'ajouter la liaison rotule. Les contraintes de rigidit, et de motorisation des architectures sont diffrentes de celles des robots de type srie.
5. Morphologie des robots
5.1 Les architectures sries Pour faire assurer par l'effecteur des mouvements, on comprend qu'il faille un nombre de degrs de mobilit au moins gal au nombre de degrs de libert impos par la trajectoire effectuer. Tout degr de libert supplmentaire apportera des facilits lors de la programmation de trajectoires
RepreAtelier
MouvementsRepre Effecteur6 degrs de libert
1
2
> D L effecteur
Lorsque la tche excuter se situe dans un espace 2 dimensions : dplacements plans, deux degrs de libert suffisent satisfaire tous les besoins. Les solutions sont multiples : Rotation / Rotation Translation / Translation Rotation / Translation Translation / Rotation Cependant l'indication du type des articulations retenues ne suffit pas. En effet leur organisation dans l'espace est importante : Si les axes de translations sont confondus, ou parallles, les mouvements gnrs ne se font que dans un espace une dimension. Ainsi :
Les types d'articulations, le nombre d'articulations, leurs orientations relatives dans l'espace participent la caractrisation d'un robot.
Si pour un systme voluant dans un espace deux dimensions le problme est relativement simple cerner, il n'en va pas de mme pour un problme dans l'espace trois dimensions. A la question : Quelles sont les solutions envisageables en fonction du nombre d'articulations associes, on trouve les rsultats suivants :
Nombre des degrs de libert
Nombres de combinaisons
Nombres de structures
2 62=36 8 3 63=216 36 4 64=1296 168 5 65=7776 776 6 66=46656 3508
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
Si ces combinaisons on enlve celles qui assurent des dplacements dans des espaces de dimension infrieure au nombre d'articulations, on trouve les nombres de solutions dans le tableau ci-dessus. Ce nombre reste cependant lev, et faire un choix adapt dans cet ensemble est toujours compliqu. Hors l'exprience montre que les mcanismes diffrents rencontrs dans le milieu industriel sont peu nombreux.
5.1.1 Sous-ensembles constituant un robot Pour analyser plus facilement ce problme, il convient de partager le robot en deux sous ensembles : Le porteur : En gnral il est constitu des trois premiers degrs de libert du mcanisme en partant de sa base. Sa fonction : Amener l'effecteur en un point dsir de son espace oprationnel. Le poignet : Il est constitu des degrs de libert restants. Souvent la mcanique de ces lments est beaucoup plus lgre. Sa fonction : Orienter l'effecteur aux environs du point atteint par le porteur.
PORTEUR
POIGNET
3 articulations
1, 2 ou 3 articulations
5.1.2 Schma cinmatique des 12 principaux porteurs Si on observe les possibilits de combinaisons avec trois articulations, on constate que 36 structures sont possibles. Si on retient celles qui mathmatiquement sont diffrentes seules 12+1 subsistent, qui ne sont pas redondantes [Milenkovic 83]. Ces architectures de porteur sont symbolises sur la figure suivante, l'aide des conventions prsentes prcdemment (celles avec une astrie sont celles retrouves le plus frquemment).
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
RRR RRP
RPR
PPR RPP PRR PPP
*1* *2*
*4* *5*
*3*
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
5.1.3 Noms des principales architectures
*1* : architecture anthropomorphe *2* : architecture sphrique
*4* : architecture cylindrique *5* : architecture cartsienne
*3* : architecture torique *5* : architecture SCARA
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Les versions correspondantes industrielles s'apparentent presque toutes ces 5 architectures, seuls des dcalages de positionnement dans l'espace dus des contraintes d'assemblage des corps les un par rapport aux autres peuvent les diffrencier. A ces solutions est venu se rajouter un dernier modle : Le Simplified Compliant Assembly Robot Arm : SCARA Ce robot est du type RRP+R
Robot SCARA
RRP+R
De conception plus rcente, ce robot a fait l'objet d'une recherche d'un mcanisme performant pour raliser des cycles de Pick and Place. Aprs comparaison d'architectures diffrentes pour des trajectoires types, cette organisation des articulations a donn les meilleurs rsultats en terme de vitesse.
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
De la mme faon on peut obtenir diffrentes architectures de poignet 1, 2 ou 3 articulations permettant diffrentes orientations. Dans ce cas l'articulation retenue est la Rotode. (On peut y trouver l une certaine analogie avec le poignet humain).
1 articulation 2 articulationsconcourantes
2 articulationsnon concourantes
3 articulationsconcourantes
3 articulationsnon concourantes
"Rotule"
3 articulations concourantes
3 articulations
non concourantes
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
Les statistiques d'utilisation des robots en fonction de leur morphologie, donnent les rsultats suivants [AFRI 96] :
Rpartition par type coordonnes
CARTESIEN et //20%
2940 robots
SCARA9%
1044 robots
ANTROPOMORPHE
64%9140 robots
CYLINDRIQUE7%
1252 robots
Le graphe ci-dessus indique le nombre de robots installs en France en fonction de leur morphologie. Il fait ressortir la prdominance des architectures antropomorphes, et des architectures cartsiennes, bien adaptes la manutention, et au dchargement de machines. L'architecture antropomorphe se rapprochant le plus du bras humain, elle se prte bien la manipulation.( la Nature fait bien les choses!!!...).
Remarque Pour diminuer les cots de conception, les fabricants ont tendance partir d'une architecture type de dcliner une famille complte de robot de charge et zone de travail diffrentes. L'avantage vident est que cette famille ne ncessitera le dveloppement que d'une seule commande qui pourra tre paramtre
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
5.2 Les architectures parallles
5.2.1 Introduction Un ingnieur dnomm Pollard fut le premier dposer un brevet de mcanisme pour peindre automatiquement les carrosseries de voitures en 1938. C'est la premire ide de robot industriel ( structure parallle ). Le concept ne put aboutir faute de moyens lectroniques et informatiques adquats pour le commander. Le mcanisme (que l'on nomme maintenant Tripode) comprenait trois chanes cinmatiques. Les mobilits d'orientations taient assures par un poignet trois degrs de libert en srie avec la structure parallle.
5.2.2 La plateforme de GOUGH
Dans les annes cinquante, Gough, un ingnieur mcanique du domaine aronautique conut un mcanisme architecture parallle dont le but tait de tester les pneus des avions l'aide d'une plate-forme mobile. Il est le premier avoir mis au point une architecture six chanes cinmatiques que l'on nomme maintenant Hexapodes. On prte Stewart d'avoir adapt la plate-forme de Gough au domaine des simulateurs de vols en proposant une structure parallle commande comme base mobile.
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
5.2.3 Diffrentes familles
Pour distinguer les architectures on identifie :
1) les robots pleinement parallles : Architecture pour laquelle le nombre de chanes cinmatiques est strictement gal au nombre de degrs de libert de la plate-forme, chaque chane ne comporte qu'un seul actionneur.
2) les robots parallles hybrides:
Lorsque l'on met en srie plusieurs architectures parallles
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
Les architectures pleinement parallles se divisent en deux familles :
Les architectures planaires trois degrs de libert (2 translations une rotation perpendiculaire au plan matrialis par les translations) Les architectures spatiales trois ou six degrs de libert
5.2.4 robots pleinement parallles planaires
Chane cinmatiquePlate-
Articulation Rotule
Bas
1) Nombre de degrs de libert En gnral les architectures parallles possdent des chanes cinmatiques identiques L'objectif atteindre est : Un actionneur par chane cinmatique Lorsque les actionneurs sont bloqus la plate-forme est bloque : Mobilit = 0 2) Formule de GRBBER
Pour identifier la mobilit d'un mcanisme, fortiori une structure parallle, on peut utiliser la formule gnrale de Grbber.
=
+=n
1jdi1nLNm )( c
Elle exprime la mobilit m d'un mcanisme en fonction de : L nombre de solides du mcanisme (rfrentiel compris) n nombre d'articulations qui relient les solides entre eux di nombre de degrs de liberts des articulations Elle permet pour le problme qui nous intresse, d'identifier et de construire les solutions de mcanisme dont on aura impos la mobilit de la plate-forme.
Structures parallles planes (on ne traite que des structures avec un minimum de trois mobilits) Dans ce cas : N=3 Hypothses Les articulations utilises pour une structure plane ne peuvent tre que des articulations 1 ddl o on perd la planit de la structure on tudie des structures pleinement parallles on pose n1 le nombre de solides par chanes
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
c devient :
=+=
n
1jdi1nL3m )(
dans ce cas : m=3
2n3L 1 += (2 correspond aux solides que sont la base et la plate-forme ) )( 1n3n 1 +=
)( 1n3di 1n
1j+=
= les articulations ont 1 ddl
c devient : )())(( 1n311n32n33m 111 ++++=
)()( 1n323m 1 ++= )1n33m +=
Comme m=3, nous obtenons : 2n1 =
CONCLUSION : Toutes les solutions planes de structures pleinement parallles ont des chanes constitues de 2 solides relis entre eux par des articulations 1ddl
Structures pleinement parallles spatiaux
A priori dans ce cas m peut tre gal 3,4,5,6 Formule de Grbber
=
+=n
1jdi1nLNm )( c
A
B
D
Boucle1 C
avec : L nombre de solides du mcanisme (rfrentiel compris) n nombre d'articulations qui relient les solides entre eux di nombre de degrs de liberts des articulations N=6 A ce niveau de calcul intgrons une nouvelle variable : B nombre de boucles cinmatiques du robot Dfinition Une boucle cinmatique est un chemin virtuel travers le mcanisme, qui permet en partant d'une articulation de revenir sur cette mme articulation Pour identifier le nombre de boucles d'une structure, ds qu'un chemin a t parcouru, on ouvre la boucle un endroit quelconque de cette boucle, et on procde ainsi jusqu' ce qu'on ne puisse plus trouver de chemins supplmentaires Pour une structure pleinement parallle, on a la relation B=m-1, en effet il y a une chane de plus qu'il n'y a de boucles cinmatiques. Ainsi la formule de Grbber devient :
=
+++++=n
1j11 di11n1B2n1BNm )))(()(( c
soit
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
=
+=n
1jdiBNm )(
si on appelle d le nombre de ddl de chaque chane cinmatique, la formule devient :
dmBNm += )( avec =
=n
1jdidm
structure spatiale : mobilit = 3
d326m += )( Actionneurs bloqus on souhaite une mobilit nulle Si on pose (1 correspond la mobilit contrle par l'actionneur) 1dd =Mcanisme bloqu, nous aurons : d3260 += )( ) 4d = Dclinaison des mcanismes envisageables : Chanes cinmatiques un solide par chane
Articulation Base/solide solide/plate-forme
Nbre de ddl 1 3
Nbre de ddl 2 2
Nbre de ddl 3 1
Chanes cinmatiques 2 solides par chane
Articulation Base/solide1 solide1/solide2 solide2/plateforme
Nbre de ddl 1 1 2
Nbre de ddl 2 1 1
Nbre de ddl 1 2 1
Chanes cinmatiques 3 solides par chane
Articulation Base/solide1 solide1/solide2
Solide2/solide3
Solide3/plateforme
Nbre de ddl 1 1 1 1 structure spatiale : mobilit = 6
d656m += )( Actionneurs bloqus on souhaite une mobilit nulle Si on pose (1 correspond la mobilit contrle par l'actionneur) 1dd =Mcanisme bloqu, nous aurons : d6560 += )( ) 5d = Dclinaison des mcanismes envisageables :
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
Chanes cinmatiques un solide par chane
Articulation Base/solide solide/plate-forme Nbre de ddl 1 4 Nbre de ddl 2 3 Nbre de ddl 3 2 Nbre de ddl 4 1
Une combinaison classiquement retenue pour les chanes un solide est la (2,3) :
Liaison prismatique motorise
Rotule Cardan
Chanes cinmatiques 2 solides par chane
Articulation Base/solide1 solide1/solide2 solide2/plateforme Nbre de ddl 1 1 3 Nbre de ddl 1 3 1 Nbre de ddl 3 1 1 Nbre de ddl 2 1 2 Nbre de ddl 2 2 1 Nbre de ddl 1 2 2
.. on peut ainsi dcliner toutes les solutions jusqu' 4 solides par chane relis par des articulations un ddl La mthode propose est une mthode tout fait gnrale qui prsente un certain nombre de dysfonctionnements pouvant conduire des erreurs soit en ignorant des degrs de libert, soit en ne prenant pas en compte les relations gomtriques entre les articulations. Une tude supplmentaire sera ncessaire pour ces cas spcifiques.
19
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
5.2.5 Organisations types des architectures parallles
SSM (Simplified Symmtric Manipulator) TSSM (Triangular Simplified Symmtric Manipulator) MSSM (Minimal Simplified Symmtric Manipulator)
SSM TSSM
MSSM
Quelques exemples d'architectures parallles Une structure planaire 3-PRR, Mobilit = 3 Les liaisons prismatiques de la base sont motorises.
20
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
Une architecture spatiale Un mcanisme propos par Lambert. Mobilit = 3 Les triangles articuls proches de la base sont motoriss.
Le robot utilisant des chanes de type R-RSS propos par Hunt en 1983 Mobilit = 6
Dans la suite de ce cours, nous nous intresserons aux robots de type srie, avec ou sans boucles cinmatiques fermes, et aux robots architectures arborescentes. La particularit de ces robots, est qu'il est possible de leur appliquer une mthode gnrale de calcul d'un systme d'quations grant leurs mouvements qui ne dpendent pas de leur morphologie.
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Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot
L'il agile (un mcanisme parallle sphrique 3 ddl) ( Source : U LAVAL Labo Robotique) L'il agile possde un espace atteignable en orientation suprieur celui de l'oeil humain. La camra miniature attache l'organe terminal peut tre pointe dans un cne de vision de 140 degrs avec 30 degrs en torsion. De plus, en raison de sa faible inertie et de sa raideur inhrente, le mcanisme peut atteindre des vitesses angulaires suprieures 1000 degrs par seconde et des acclrations angulaires suprieures 20 000 degrs par seconde carre, ce qui est largement au-del des possibilits de l'oeil humain La version simplifie de l'il agile 2 ddl Une version simplifie l'orientation de la camra (la plate-forme mobile) est connue par un angle d'lvation et un angle d'azimut, il n'y a donc pas de torsion.
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Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
CHAP.2. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION
1. Introduction En robotique on associe tout lment d'un poste de travail un ou plusieurs repres propres Ces repres sont positionns de telle sorte que les axes et origines correspondent des directions privilgies, qui ont un rle dans l'excution de la tche : centre de gravit d'une pice, axe d'articulation, direction d'insertion d'une pice sur un support, extrmit active d'un outil, point de positionnement de point de saisie, de dpose d'une pice,...point important d'une trajectoire.
fig 2.0
RepreOutil
Axe 3
Axe4
Axe5Axe6
Axe2
Axe1Repere
Plateau Depart
ReprePlateau Dpose
Repre Robot
RepreDposeRepres
Saisie
Les mouvements du robot sont assurs par ses articulations. Ainsi la configuration articulaire de sa structure, dtermine la position de l'outil dans l'environnement de travail. Il est alors utile de paramtrer les diffrentes contraintes de positionnement de faon la plus homogne qui soit.
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Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
2. Rappels mathmatiques
fig 2.1
P2
Yo
Zo
Xo
Ro
Y1 Z1
X1
R1
P2Ro
R1
P1Ro
T10
Deux oprations sont possibles sur les points de l'espace oprationnel R0 : Des changements de repres : Expression de positions de points par rapport des rfrentiels diffrents : Position d'un point d'une pice par rapport cette pice, et positionnement de ce point par rapport une rfrence Atelier Des transformations faites sur des points : Changement de positions de points par rapport un mme rfrentiel : Position d'une pice lie un convoyeur de distribution dans un atelier, qui a subi un dplacement
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Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
2.1 Expression de changement de repre
Fig 2.2
Yo
Zo
Xo
Ro
Z1
Y1
X1
R1
P1Ro
P1R1
T10
rotationtranslation
O
Oo
1
Soient les repres R0, R1 et P1 un point.
Ce point s'exprime par ses coordonnes dans le repre R0 : { }000 P1P1P1 Z,Y,X Cherchons un oprateur de changement de repre : Ce changement peut toujours se ramener une translation, associe une rotation autour d'un axe privilgi. D'aprs la figure 2.2 :
1POOO1PO 1100 += rrr
+
=
00
00
00
0
0
0
0
0
0
1O1P
1O1P
1O1P
1O
1O
1O
1P
1P
1P
ZZYYXX
ZYX
ZYX
si on exprime , en fonction des vecteurs directeurs du repre R1 dans le repre R0 : 1PO1r
1111111 zZP1+ y YP1+x 1XP1PO rrrr =
+
+
=
z
y
x
1
z
y
x
1
z
y
x
1
00
00
00
aaa
Znnn
Ysss
1XZZYYXX
1P1PP
1O1P
1O1P
1O1P
On peut mettre la relation sous forme matricielle :
+
=
1
1
1
zzz
yyy
xxx
0
0
0
0
0
0
1P
1P
1P
1O
1O
1O
1P
1P
1P
ZYX
ZYX
ZYX
ansansans
le premier oprateur exprime la translation 10OOr
la matrice [3x3] traduit la rotation pour passer du repre R0 au repre R1 . Les vecteurs colonnes sont l'expression des cosinus directeurs ( coordonnes des vecteurs directeurs X1, Y1, Z1 exprims dans le repre {R0, X0, Y0, Z0}).
L'quation ainsi obtenue fournit la relation de changement de repre de R1 R0 du vecteur r r (expression des coordonnes de P1 dans les repres R0 et R1). 1R/1P 0R/1PL'inconvnient de cette criture est qu'elle ncessite une somme et un produit matriciel.
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Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
En cas de changements de repres successifs la mise en quation devient trs rapidement lourde grer, de plus le nombre d'oprations arithmtiques excuter est lev. Il y a ici intrt de regrouper cette transformation dans un seul oprateur : La matrice Homogne Mise en forme de la matrice de passage d'un repre 0 un repre 1 : Soit la matrice suivante :
s n as n as n a
x x x
y y y
z z z
XYZ
O
O
O
1
1
1
0
0
0
0 0 0 1
On retrouve dans ce formalisme la matrice [3x3] caractrisant la rotation, et le vecteur colonne caractrisant la translation. Cet espace est quatre dimensions , il ncessite une nouvelle expression des vecteurs et des points
Yo
Zo
Xo
O
P1V1
00
0
0
1P
1P
1P
ZYX
est l'expression du vecteur V1 dans le repre R0
10
0
0
1P
1P
1P
ZYX
est l'expression du point P1 dans le repre R0
Un changement de repre s'exprime maintenant par un unique produit de matrices[4x4] [4x1]
=
0ZYX
1000XXX
ansansans
0ZYX
j
j
j
Oj
Oj
Oj
zzz
yyy
xxx
i
i
i
1P
1P
1P
1P
1P
1P
i
i
i
changement de repre Rj Ri
On note ce changement de repre : i jT
Cette matrice est appele Matrice de passage de Ri Rj Remarque :
La matrice homogne i reprsente les caractristiques du repre Rj dans le repre Ri : jT [s, n, a] sont les cosinus directeurs du repre Rj exprims dans Ri
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Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
XYZ
Oj
Oj
Oj
i
i
i
1
est l'expression des coordonnes de Oj dans le repre Ri.
[ ] [ ][ ]
[ ][ ] Ri dans Oj Oi deon translatide 3x1 matrice ji
Ri / Rj derotation de 3x3 matrice j
jij
OO A
1000OO A ii
L'criture du changement inverse peut s'exprimer directement partir des expressions prcdentes : Repartons de l'espace trois dimensions. Le changement inverse s'obtient en inversant l'quation :
=
0
0
0
0
0
0
1
1
1
zzz
yyy
xxx
1O
1O
1O
1P
1P
1P
1P
1P
1P
ZYX
ZYX
ZYX
ansansans
La matrice [s n a] est dfinie positive (cf A1), son inverse correspond donc sa transpose, et permet d'obtenir l'quation suivante :
=
ZYX
ZYX
ZYX
0
0
0
0
0
0
zyx
zyx
zyx
1
1
1
1O
1O
1O
1P
1P
1P
1P
1P
1P
aaannnsss
[ ] [ ]
=
0
0
0
10t
0
0
0
10t
1
1
1
1O
1O
1O
1P
1P
1P
Pl
1P
1P
ZYX
A ZYX
AZYX
Si on met nouveau cette transformation sous forme matricielle [4x4], on obtient :
changement de repre R0 R1
1ZYX
=
1ZYX
0
0
0
zyz
zyy
zyx
1
1
1
P1
P1
P1
1OO
1OO
1OO
P1
P1
P1
1000ZYX
aaannnsss
Matrice de passage de R1 R0en fait la matrice de changement inverse se met sous la forme gnrale suivante :
[ ] [ ] [ ] i 0 0
-1
i i
0 0 Aj OiOj
tAj t Aj OiOj
0 1 0 1
=
changement de repre RiRj
On notera ce changement de repre : j iT
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Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
2.2 Expression de transformation de vecteur dans un repre
Yi
Zi
Xi
Ri
Zj
Yj
Xj
RjP1
Ri
P2 Rj
Tji
rotationtranslation
P2Ri
fig 2.1
L'oprateur utilis est le mme, mais le rsultat est diffrent. En effet si nous repartons du rsultat ci avant :
Rj
0ZYX
0ZYX
j
j
j
Ri
i
i
i
2P
2P
2P
2P
2P
2P
Tji
=
Changement de Rj Ri ( cf fig2.1)
Ri
Ri
0ZYX
0ZYX
i
i
i
i
i
i
1P
1P
1P
2P
2P
2P
Tji
=
transformation de P1 en P2 dans le repre Ri (cf fig2.1)
En fait nous avons galit des coordonnes de P1 exprimes dans Ri, et de P2 exprimes dans Rj
Rj
0ZYX
0ZYX
j
j
j
Ri
i
i
i
2P
2P
2P
1P
1P
1P
=
En conclusion nous dirons qu'un mme oprateur matriciel peut caractriser : - soit une transformation de vecteur pour passer de P1 en P2 dans Ri. - soit un changement de repre de Rj dans Ri pour le vecteur OiP2 exprim dans Rj
Il est not [ i T j ] Quelques proprits : tout produit de matrice est possible la condition suivante le nombre de colonnes de la premire matrice est gal au nombre de lignes de la seconde [nxp][pxm]=[nxm] Matrice carre: Le produit de matrice est transitif:
[T1] [T2] [T3]=([T1] [T2]) [T3]= [T1] ([T2] [T3])
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Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
En gnral le produit de matrice n'est pas commutatif
[T1] [T2] [T2] [T1] on peut scinder le produit de deux matrices en produits de sous matrices , ce qui permet de simplifier l'criture
[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]
A BC D
A BC2 D
A A B C2 A B B DC A D C2 C B D D
1 11 1
2 22
1 2 1 1 2 1 21 2 1 1 2 1 2
=
+ ++ +
ce qui dans le cas des matrices homognes se traduit par :
[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]
A B A B A A B A B1 10 0 0 1
2 20 0 0 1
1 2 1 1 20 0 0 1
=
+
3. Utilisation des matrices homognes.
3.1 Changement de repre d'une matrice de transformation. Une matrice de transformation peut s'exprimer elle-mme dans des repres diffrents. Soit [M] cette matrice de transformation :
[ ]Rj
Rj
0ZYX
02Z
YX
j
j
j
j
j
j
1P
1P
1P
P
2P
2P
M
=
si nous exprimons ces vecteurs dans la base i nous obtenons
[ ]Rj
Rj
0ZYX
0ZYX
j
j
j
j
j
j
1P
1P
1P
2P
2P
2P
M Tji Tji
=
que nous pouvons crire aussi :
[ ]Rj
Ri
0ZYX
0ZYX
j
j
j
1-
i
i
i
1P
1P
1P
2P
2P
2P
Tji TjiM Tji
=
soit :
[ ]Ri
Ri
0ZYX
0ZYX
i
i
i
1-
i
i
i
1P
1P
1P
2P
2P
2P
TjiM Tji
=
nous en concluons :
29
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Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
Le changement de repre de Rj Ri d'une matrice de transformation s'obtient par la relation suivante :
[ ] [ ] iTj iTj -1M MRi Rj= 3.2 Transformations successives dans un repre Ri
Yi
Zi
Xi
Ri
Zj
Yj
Xj
RjP1Ri
P3Rk
T1 P3Ri
Zk
YkXkRk
T2
T3
Les deux transformations successives se caractrisent par les relations suivantes :
[ ]Ri0
iZiYiX
1T
Ri0i"Zi"Yi"X
1P
1P
1P
1P
1P
1P
=
puis [ ]
Ri0i"Zi"Yi"X
2T
Ri0iZiYiX
1P
1P
1P
2P
2P
2P
=
on obtient donc :
[ ] [ ]Ri0
iZiYiX
T T
Ri0iZiYiX
1P
1P
1P
2P
2P
2P
12
=
ATTENTION : dans le cas d'une transformation, la multiplication des matrices se fait gauche, en effet la transformation est ralise dans le repre Ri.
3.3 Succession de changements de repres
Yi
Zi
Xi
Ri
Zj
Yj
Xj
Rj
P1Ri P1RkTj
i
P1Rj Zk
YkXkRk
Tkj
Tki Tj
i Tkj=
30
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Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
La figure reprsente deux changements de repres successifs, nous avons donc les relations suivantes :
Rj0jZjYjX
Tji
Ri0iZiYiX
1P
1P
1P
1P
1P
1P
=
puis
Rk0kZkYkX
Tj
Rj0j1ZjYjX
1P
1P
1P
P
1P
1P
k
=
on obtient donc :
Rk0ZYX
Tj Ti
Ri0iZiYiX
k
k
k
kj1P
1P
1P
1P
1P
1P
=
changement de repre de Rk Ri
ATTENTION : dans le cas d'un changement de repre, la multiplication des matrices se fait droite, en effet le changement de repre de Rj dans Rk s'exprime dans le repre Rj. La gnralisation de changements successifs de repres est immdiate. Le changement de repre de Rk dans R0 s'exprime par le produit de matrices suivant :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0T = 0T 1T ......... k - 2 T k -1T k 1 2 k - 1 k Matrice de passage de R0 Rk 4. Expression de quelques transformations l'aide des matrices
homognes.
4.1 Rotation autour d'axe privilgi, ou translation pure (voir exercices d'application)
4.2 Composition de rotation ou de rotation/translation autour d'un axe unique (voir exercices d'application)
4.3 Rotation autour d'un axe quelconque U d'un angle exprim dans un repre Ri on note cette transformation ROT(u,)
Zi
Yi
Xi
Ri
U
S
T
R
j
Considrons le repre {Rj, S ,T ,U } Les directions S et T sont dtermines de la faon suivante : S est dans le plan Xi, Yi Le plan est perpendiculaire U et S est perpendiculaire T
31
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
Zi
Yi
Xi
Ri
U
Y'i
Z'i
Yi
Xi
Ri
U
Y'i
X'i
Zi
X'i
Z'i
S
T
La Passage du repre {Ri ,Xi ,Yi ,Zi } dans le repre {Rj ,S ,T ,U } peut se traduire l'aide de deux rotations lmentaires :
ROT(zi,)ROT(x'i,) qui exprime le repre Rj dans Ri S T U
s n as n as n a
C -SS C C -S
S C
x x x
y y y
z z z
=
000
0 0 0 1
00
0 0 1
000
0 0 0 1
1 0 000
000
0 0 0 1
{Rj ,S ,T ,U } = [ ]iT i' . [ ] i T j'Ceci nous permet d'exprimer les coordonnes de U en fonction des variables , :
UxUyUz
S S-C S
C
0 0
=
Expression des cosinus directeurs en fonction des coordonnes de U, et de l'angle : La rotation Rot(zj,) d'un vecteur exprim au dpart dans le repre Rj revient la rotation Rot(u,) de ce mme vecteur exprim au dpart dans le repre Ri En fait nous avons la relation :
Rot(u,) i = i Rot(z,) T j T jdonc
Rot u Rot zRi Rjj( , ) ( , ) = iTj iTj -1
Rot(u,) = Rot(z,)Rot(x,) Rot(z,) Rot(x,-)Rot(z,-) S T U
C -S C S SS C C -C S
S C
C -SS C
C S-S C C C SS S -C S C
0
000
0 0 0 1
00
0 0 1
000
0 0 0 1
0 000
0 0 0 1
en dveloppant on trouve :
32
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
C -S CS C C
S
C -SS C
C S-S C C C S
Uy Uz
UxUyUz Ux0
000
0 0 0 1
00
0 0 1
000
0 0 0 1
0 000
0 0 0 1
C C -S C S -C -S C CS C + C C S -S + C C C
S S S C
C S-S C C C S
Uy Uz
S UxS Uy
Uz Ux
000
0 0 0 1
0 000
0 0 0 1
Soit aprs simplifications :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1- C + C 1- C - UzS 1- C + UyS1- C + UzS 1- C + C 1- C - UxS1- C - UyS 1- C + UxS 1- C + C
U x UxUy UxUzUxUy U y UyUzUxUz UyUz U z
2
2
2
000
0 0 0 1
Remarque : La sous matrice [3x3]est une matrice de rotation, elle est donc orthogonale dfinie positive, sa matrice inverse est donc sa transpose. On peut retrouver cette matrice l'aide de l'expression suivante :
( ) sinUcosIcos1UU 3t),( )++= RiuRot avec
=
UxUxUyUx0Uz
UyUz0U)
Comment retrouver l'axe et l'angle d'une rotation caractrise par sa matrice homogne ?
s n as n as n a
x x x
y y y
z z z
000
0 0 0 1
On procde par analogie avec les termes de la matrice prcdente avec la somme des termes diagonaux, et la diffrence des termes extra-diagonaux
Cela permet de retrouver les termes de U dans le repre Ri, et la valeur de l'angle 5. Expression de transformations diffrentielles Lorsqu'on applique un dplacement lmentaire un repre Rj dans l'espace Ri, ce dplacement peut se dcomposer en une translation puis une rotation lmentaires. Si ces transformations sont exprimes dans le repre Ri, on a la relation suivante : iT j + d i = Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d)[i ] (multiplication gauche) T j T jL'expression de la transforme diffrentielle est gale :
d i = (Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d)- I )[i ] T j T j
33
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
Si ces transformations sont exprimes dans le repre Rj, on a la relation suivante : iT j + d i = [i ]Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d) (multiplication droite) T j T jL'expression de la transforme diffrentielle est gale :
d i = [i ](Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d)- I ) T j T jSi on se place dans le cas de petits dplacements, les expressions de (Trans(dx,dy,dz) et Rot(u,d) peuvent se linariser : Expression de Rot(u,d) partir de l'expression de Rot(u,)
11
1
1
0 0 0 dzdydx
UxdUyd-Uxd-UzdUydUzd-
Expression de Trans(dx,dy,dz)
1 0 00 1 00 0 10 0 0 1
dxdydz
d'o le rsultat :
(Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d)- I )= 0 0 0 0 dzdydx
0UxdUyd-Uxd-0UzdUydUzd-0
Si les dplacements sont exprims dans Ri
[d i ]Ri = T j
0 0 0 0 dzdydx
0UxdUyd-Uxd-0UzdUydUzd-0
[i ] T j
Si les dplacements sont exprims dans Rj
[d i ]Rj = [i ]T j T j
0 0 0 0 dzdydx
0UxdUyd-Uxd-0UzdUydUzd-0
Dans la matrice ci dessus, le dplacement lmentaire et la rotation lmentaire sont donns respectivement par :
= =UzdUydUxd
dzdydx
jjet jd
j
34
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
On peut de la mme faon caractriser une matrice de changement de repres pour ces transformations lmentaires :
=
iiid
i
iAjOiOjiA
jiA
j
jj
jdj
0
Les matrices homognes utilisent les coordonnes cartsiennes, et les cosinus directeurs pour exprimer la positon et l'attitude d'un repre par rapport un autre. Cependant suivant les problmes rencontrs, cette mthode de reprsentation de l'espace n'est pas judicieuse et on peut lui prfrer d'autres principes de paramtrisation. Dans ce cas se pose le problme de passage d'une mthode de paramtrage une autre. Pour obtenir la situation d'un corps solide dans l'espace Rg, nous avons besoin de deux types d'informations : - La position d'un point de rfrence de ce solide (origine d'un repre Rs attach ce solide). L'orientation de ce repre Rs par rapport un repre li l'espace Rg.
6. Expressions du positionnement d'un point dans un repre Rg.
6.1 Coordonnes cartsiennes (X, Y, Z ) exprimes dans Rg
6.2 Coordonnes cylindriques
Z
Y
X
Rg
P
r
Le passage de coordonnes cylindriques en coordonnes cartsiennes se traduit par :
X rY r
Z Z
r X Y
AYX
Z Z
==
=
= +=
=
cossin
tan
Si nous inversons le systme
2 2
35
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
6.3 Coordonnes sphriques
Z
Y
X
R
P
r
Passage coordonnes sphriques cartsiennes
( )
=
=++=
===
sinZYtanA
0= avec 0= 0 avec XYtanA
ZYXr
: systme le inversons nous sicosrZ
sinsinrYsincosrX
222
7. Orientation d'un solide dans l'espace Mthode des Cosinus Directeurs
= et
s n as n as n a
x .x y .x z .xx .y y .y z .yx .z y .z z .z
x x x
y y y
z z z
j i j i j i
j i j i j i
j i j i j i
=
XiYiZi
XjYjZj
iAj
Cette matrice indique les coordonnes des vecteurs directeurs d'un repre Rj, dans un repre Ri Pour passer d'une orientation de repre Ri une orientation d'un autre repre Rj , trois rotations lmentaires sont suffisantes. Diffrentes conventions existent, qui sont utilises en robotique. Conventions couramment utilises en robotique: Systme des angles d' Euler (Prcession, Nutation, Rotation propre) Angles Aronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) ou en anglais (Yaw, Pitch, Roll)
Angles de Briant ,1, ,2, ,3 7.1 Systme des angles d'Euler (Prcession, Nutation, Rotation propre)
Prcession Rotation autour de Z pour ramener X dans le plan XnYn finalX1 cette droite ainsi obtenue s'appelle droite nodale Nutation Rotation autour de X1 pour ramener Y1 dans le plan Xn Yn final ce qui a pour effet de ramener Z1 confondu avec Zn finalZ2 Rotation propre Rotation autour de Z2 pour ramener les axes X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux
36
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
O
droiteN
Z
YX
Yn
Zn
XnO
droite X1=X2
Z1Y2
Z2
Z
YX
YnZn
XnO
X1
Z1
Y1
Z
YX
Yn
Zn
Xn
droite X2
Y2
O
Z2
Nutation Rotation Prcession
Expression des cosinus directeurs en fonction des angles d'EULER
iC -S 0S C 00 0 1
1 0 00 C -S0 S C
C -S 0S C0 0
Aj =
01
iC C -S C S -C S -S C C S SS C + C C S -S + C C -C S
S S S C CAj S C
s n as n as n a
x x x
y y y
z z z
= =
7.2 Angles Aronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) Norme AFNOR E61-101
Y
Z
X
LACET
TANGAGE
ROULIS
(Lorsque le dplacement se fait suivant Z, et que Y est choisi vertical ) Roulis Rotation autour de Z pour ramener X dans le plan Xn Zn finalX1 Tangage Rotation autour de X1 pour ramener Z1 dans le plan Xn Zn final ce qui
a pour effet de ramenerY1 confondu avec Yn finalY2 Lacet Rotation autour de Y2 pour ramener X2 et Z2 confondus avec les axes Xn Zn finaux
37
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
Y1
YnZ
Y X
Zn
Xn
O
X1
Z1
Lacet
Y1
Tangage
YnZ
YX
Zn
Xn
O
X1 X2
Z1
Y2
Z2 Z2
Roulis
YnZ
YX
Zn
Xn
O
X2
Y2
Expression des cosinus directeurs en fonction des angles aronautiques
iC -S 0S C 00 0 1
1 0 00 C -S0 S C
C 0 S0 1 0
-S 0 CAj =
iC C -S S S -S C C S -S S S C - C S S C C S S - C S
-C S S CAj
CC
C
s n as n as n a
x x x
y y y
z z z
= =
7.3 Angles de Bryant (1 ,2 ,3 ) 1 Rotation autour de X pour ramener Y dans le plan Xn Yn finalY1 2 Rotation autour de Y1 pour ramener X1 dans le plan Xn Yn final ce qui a pour effet de ramener Z1confondu avec Zn finalZ2 3 Rotation autour de Z2 final pour ramener X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux
Y1
1
YnZ
Y
X
Zn
Xn
O
X1
Z1
1
2Y1
YnZ
Y
X
Zn
Xn
O
X1
Z1
2
Z2
X2
Y13 YnZ
Y
X
Zn
Xn
O
X1
Z1Z2
X2
3 Expression des cosinus directeurs en fonction des angles de Bryant
i1 0 00 C -S 0 S C
C 0 S 0 1 0
-S 0 C
C -S 0S C 0
0 0Aj =
1
1 1
1 1
2 2
2 2
3 33 3
38
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
C 2 C 3 -C 2 S 3 S 2
C 1 S 3+S 1 S 2C 3 C 1 C 3-S 1 S 2S 3 -S 1 C 2S 1 S 3- C 1 S 2C 3 S 1 C 3+ C 1 S 2S 3 C 1 C 2
=s n as n as n a
x x x
y y y
z z z
7.4 La mthode des quaternions (Hamilton 1843) ou paramres d'Euler : On peut exprimer une rotation comprise entre 0 U U180 par quatre paramtres indpendants : 1, 2, 3, 4 dont les caractristiques sont les suivantes : Soit une rotation ROT{ } ,Ur avec Uv vecteur unitaire
1 = cos 2
,
=
2 = UxS2
3 = UyS2
4 = UzS2
avec { } rotation de vecteur UzUyUxU t=v
remarques :
la rotation dtermine se situe toujours 0 U U 180 (ce implique 0U1U1) 1 2 + 3 + 42 2 2 2+ = 1
7.4.1 Expression des cosinus directeurs en fonction des quaternions :
nous connaissons l'expression du matrice de rotation ROT{ } ,Ur en fonction de et : Uv( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1-C +C 1-C - UzS 1-C + UyS1-C + UzS 1-C +C 1-C - UxS1-C - UyS 1-C + UxS 1-C + C
U x UxUy UxUz
UxUy U y UyUzUxUz UyUz U z
22
2
( )cos 12 = 2 1 ( )2 1 2 = Ux sin ( )( ) 2 = 1
2Ux 1- cos 2 2 ( )( ) sco -1UxUy
21=3 2
( )2 1 3 = Uy sin ( )( ) sco -1Uy21=3 22 ( )( ) sco -1UxUz
21=4 2
( )2 1 4 = Uz sin ( )( ) 4 = 12
Uz 1- cos 2 2 ( )( ) sco -1UyUz21=4 3
par substitution, nous obtenons :
( ) ( ) (( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
12 22 2 3 1 4 2 4 1 3
2 3 1 4 12 32 3 4 1 2
2 4 1 3 3 4 + 1 2 12 42
2 1 2 2
2 2 1 2
2 2 2
+ ++ + +
)
1
7.4.2 Expression des quaternions en fonction des cosinus directeurs :
1 = 12
ax + ny + sz + 1 (trace de la matrice, 6180) ( ) ( ) ( )4 2 2 = ax - ny - sz +1 avec 1,12 , ,2 3 3
39
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
( ) (4 1 2 3 2 = nz - ay avec 3,2 , ) donc :
2 = 12
Sgn(nz - ay) sx ny az + 1 de mme nous trouvons :
3 = 12
Sgn(ax - sz) ny sx az + 1
4 = 12
Sgn(sy - nx) az sx ny + 1
40
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
Annexe A1
Une matrice A = nxn est dite dfinie positive si X= n et X0 XtAX>0
A2 Changement de repres de dplacements lmentaires
Nous avons exprims dans le repre Re ee
ee , d
Que nous voulons exprimer dans le repre Rn nn
nn , d
Pour cela nous pouvons exprimer le changement de repres d'une matrice de transformation De la faon suivante
TT ne
ee
enn = n
cd
T0 0 0 0dT
0 0 0 0d n
eee
ee
en
nn
n
=
)) n
0 0 0A
0 0 0 0d
0 0 0AA
0 0 0 0d ne
ee
ennn
nn
n
=
1
OeOn1OeOn eTeTe
))
On obtient donc les relations suivantes
0 0 0
dAAAA 0 0 0 0d e
ene
enne
enn
nn
n
+=
0
OeOn TeTeeTe)))
soit :
( ) dAdAA
ee
ee
nnn
nee
nnn
+==
OeOnTe
eTe
)))
( ) dAAd A eeneennn ee
nnn
+==
TeTe
Te
OeOn
Remarque Si on dveloppe la premire relation
nee
nnn AA eTe = ))Nous obtenons les relations suivantes entre les coordonnes des vecteurs rotations
++=++=++=
ze
zye
yxe
xn
ze
zye
yxe
xn
ze
zye
yxe
xn
aaaznnnysssx
soit sous forme matricielle ee
nnn A = Te
Passage en criture matricielle de dimension 6
A
A
n
n
nn
nn
Ree
e
e
e
e
e
3
3Te
Te
Rnn
n
n
n
n
n
zyx
dzdydx
I0OeOnI
00
zyx
dzdydx
d
=
=
41
-
Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes
42
avec
OeOnOeOn
OeOnOeOn
OeOnOeOn
matrice de pr-produit vectoriel du vecteur OeOn exprim
dans Re
=
0XYX0Z
YZ0OeOn
SmartCartesian Robot R-G(HMZT) ADEPT Capacit Charge 5,5 kg Rptabilit +/-0.01 mm
Robot VIPER S650 ADEPT Capacit Charge 5 kg Rptabilit +/-0.02 mm Vitesse Max au centre d'outil 8.2m/s
-
Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
CHAP.3. MODELISATION GEOMETRIQUE
1. Introduction Il s'agit ici de rsoudre le problme suivant : Je connais les variables articulaires d'une structure articule, qu'elle est la position atteinte par l'effecteur dans l'espace oprationnel ? ou encore Trouver la relation
XYZ
F
=
1 2......
n -1 n
dans le cas o l'on utilise les coordonnes cartsiennes, , , . dpend de la convention adopte. Ce problme peut se rsoudre de faon directe sans faire appel une mthode particulire Exemple : Soit la structure plane suivante, trois articulations rotodes parallles d'axe vertical
L1
L2
L3
1
2
3R0
Y
X
La rsolution des quations est relativement simple :
( ) (( ) (
X
Y
+ +
= + + + + += + + + + +=
L C L C L C
L S L S L S
1 1 2 1 2 3 1 2 3
1 1 2 1 2 3 1 2 3
1 2 3
))
Cette criture relativement simple ncessite de dterminer correctement les origines des articulations et les sens conventionnels positifs
43
-
Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
Si l'on souhaite inverser ce systme d'quation, le problme devient un peu plus compliqu. De plus les solutions ne sont pas uniques, plusieurs configurations ( ) 1 2 3, , i correspondent une mme position dans l'espace oprationnel.
( ) ( )( ) ( )
X (1)
Y (2)
+ + (3)
= + + = + +=
L C L C L C
L S L S L S
3 1 1 2 1 2
3 1 1 2 1 2
1 2 3
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
(1) + (2) C C S
L Y
+ +
2 2 = +
= + +=
23 3 1
1 23 1 1 2 1 2
1 2 3
2 2 2 2X L Y L L LL
L S L S L S
2
La solution prsente pourrait tre celle retenue pour dterminer le modle d'un robot. Pourtant elle a l'inconvnient de ne pas tre gnrale, et doit tre recommence, pour chaque structure mcanique articule. La mthode prsente ci-aprs, pallie ce problme, et consiste en une mthode systmatique, pouvant s'appliquer certaines familles de robots, reprsentant la grande majorit de ceux rencontres dans le milieu industriel.
2. Paramtrage de DENAVIT HARTENBERG modifie par KHALIL En 1955 une premire mthode de paramtrage a t mise au point par DENAVIT HARTENBERG. Cependant cette mthode, bien adapte pour des structures sries simples, prsentait certaines indterminations sur des structures arborescentes ou incluant des boucles fermes. En 1976 Khalil a propos une adaptation de ces paramtres permettant ainsi de lever toute ambigut, et ce, quelques soient les types d'architectures reprsents ci-dessous :
Srie simple Srie avec boucleSrie avecarborescence
2.1 Description de structures gomtriques de robots La mthode repose sur un ensemble de conventions respecter, qui permettent de gnraliser les calculs Dans un premier temps il s'agit de lier chaque corps solide du robot un repre
44
-
Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
C0
C1
C2C3
Cn
R0
Reff
z1
z2
z3z4
zn-1
En utilisant les matrices homognes de changement de repres nous pouvons crire : 0 0
11
22
31T T T T T Teff
nn
neff=
Ceci revient passer du repre Reff au repre R0 en choisissant un parcours intgrant chaque corps solide du robot. Chaque corps se positionne et s'oriente par rapport au prcdent, en fonction de l'articulation qui le met en mouvement, les matrices passant d'un repre au repre suivant, dpendent de la valeur que prend la variable articulaire. A partir de cette constatation, il convient de mettre en place une convention pour mettre en place les repres par rapport aux corps solides du robot, et toutes les matrices de passage de repre seront du mme type, et pourront tre dtermines de faon paramtre.
2.2 Conventions de mise en place des repres : Les corps solides des robots sont reprs de C0: la base, Cn : solide final, en gnral la platine de fixation de l'outil. Les articulations sont numrotes de 1 j en partant de la base. L'articulation i relie le corps i-1 au corps i A chaque corps est li de faon rigide un repre Ri dont l'indice i correspond celui du corps Ci L'axe Zi-1 est confondu avec l'axe d'articulation du corps Ci-1
L'axe Xi-1 est la perpendiculaire commune aux axes Zi-1, Zi
L'axe Yi-1 se dduit de Xi-1 et Zi-1 pour que le repre soit orthonorm direct, mais il est inutilis par la suite, donc on ne le reprsente pas.
45
-
Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
Oi-1 Xi-1
Zi-1 Oi
Xi
Zi
Xi-1
diOi-1
Xi
Zi-1
Oi
ri
Zi
Convention et Paramtres de DENAVIT-HARTENBERG
Modifis par KHALIL (76)
Architecture srie
i
i
Ci-1
Ci
Ne pas reprsenter l'axe Yi (pas utilis dans la convention)
Puis un ensemble de paramtres communs, qui permettront de dterminer un chemin particulier reliant le repre d'un corps celui du corps le prcdant : Paramtres de DENAVIT-HARTENBERG On appelle di la distance entre Zi-1 et Zi, le long de Xi-1 Cette distance est constante, et correspond la distance minimale sparant deux axes d'articulations conscutives
On appelle , i l'angle autour de Xi-1 qu'il y a entre les directions dtermines par Zi-1, et Zi Cet angle est constant. On appelle ri la distance entre Xi-1 et Xi, le long de Zi Si l'articulation est prismatique, cette distance est une variable articulaire de l'articulation i, sinon elle est constante
On appelle #i l'angle autour de Zi qu'il y a entre les directions dtermines par Xi-1, et Xi Si l'articulation est rotode, cet angle est la variable articulaire de l'articulation i, sinon elle est constante Remarque : les deux premiers paramtres sont constants et dfinissent la gomtrie des corps solides constituant le robot, ils correspondent paramtres gomtriques du robot Les deux derniers paramtres sont des variables, et ils dfinissent le type d'articulation qui relie les corps rigides. Dans la dfinition d'un robot ils peuvent frquemment tre relis en un seul de la forme suivante qi = i + i i ri avec i =1 si l'articulation est rotode et sinon i =0 La valeur de i peut servir identifier la nature de l'articulation En observant la figure, on s'aperoit que chaque paramtre caractrise une transformation lmentaire, et que si l'on associe chacune de ces transformations, on passe du repre Ri-1 au repre Ri. Ainsi l'expression du passage du repre Ri-1 au repre Ri se caractrise de la faon suivante : trans(Xi-1, di)rot(Xi-1, i)trans(Zi, ri)rot(Zi,i)
46
-
Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
La matrice rsultante exprime la matrice de passage de Ri-1 Ri c'est dire :
i i
diC SS C ri
C SS C
T =
1
1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
1 0 0 00 00 00 0 0 1
1 0 0 00 1 0 00 0 10 0 0 1
0 00
0 00 0 0 1
i i i i
i i i i 0
0 1
Soit l'expression gnrale de la matrice se met sous la forme :
i i
diC SS C
C SS C
riT =
1
1 0 00 00 00 0 0 1
0 00
00 0 0 1
i i
i i
i i i i 0
0 1
soit L'expression gnrale pour passer d'un corps solide i-1 un corps solide i est de la forme
i Ti
C S dS C S SS C C C
=
1
0
0 0 0 1
i i i C i i C i i i ri i S i i S i i i ri
i
avec :
di la distance entre Zi-1 et Zi, le long de Xi-1 i l'angle autour de Xi-1 entre les directions dtermines par Zi-1, et Zi ri la distance entre Xi-1 et Xi, le long de Zi i l'angle autour de Zi qu'il y a entre les directions dtermines par Xi-1, et Xi 3. Modle gomtrique direct du robot :
3.1 Exemple de dtermination de modle gomtrique direct du robot : Dans un premier temps il s'agit de reproduire exactement la morphologie du mcanisme en respectant toutes les donnes gomtriques du robot (position relative des articulations, orientation dans l'espace,...). La reprsentation faite, symbolise l'architecture dans une configuration particulire. Cette configuration doit tre simplifie au maximum, et correspond la configuration dite d'initialisation. Puis de lier cette symbolisation, les diffrents repres caractrisant chacun des corps du robot
47
-
Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
Z0,Z1
Z2
Z3Z5
Z4Z6
X0, X1
X2, X3
X5, X6 X4
120
700
220
600
110
A partir de cette reprsentation, il s'agit de dterminer les paramtres de D-H.
N repre 1 2 3 4 5 6
Nrepre antcdent 0 1 2 3 4 5
i 1 1 1 1 1 1 d i 0 d2 d3 d4 0 0
i 0 90 0 90 -90 90 r i 0 0 0 r4 r5 0
i 1 (0) 2 (90) 3 (0) 4 (0) 5 (0) 6 (0)
Une fois les paramtres dtermins, il faut crire les matrices de passages des repres
0
0 00 0
0 0 1 010 0 0
1
1
T
C SS C=
1
1 1
00 0 1 0
0 00 0 0 1
2
2 2
2T
C S d
S C=
2
2
0 0 0
3
3 3
T
C SS C=
3
3 3
01
0 00 0 0 1
4
4 4
0 0 4T
C S dr
S C=
4
4 4
5
5
0 0T
C Sr
S C=
5
5 5
0 01 0
0 00 0 0 1
6
6
0 0T
C S
S C=
6
6 6
1
2
00 0
0 0 1 01
d
3
4
0 010 0
0 0 0 1
5 5
48
-
Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
A partir de ces rsultats, il devient facile de calculer 0 0 1 2 3 4 56 1 2 3 4 5T T T T T T T6=
01
1
1
r +d
Cette matrice exprime le changement de repre de R6 R0
02 0
0 0 0
2
2
2T
C C C S S CS C S S C S
S C=
d 1 d
2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 2
00
0 0 0 1
3T
C C C S S C C CS C S S C S S C
S C S=
+ ++ +
+ +
) ) d + d ) ) d + d
2 3) 2 3) d
1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3
2 3
( (( (
( (
4 00
0 0 0
6
6 0
6 6
6T
C C C S SS C
S S C=
r
C S
5 6 5 5
5
5 6 5 5
3
0 0 0
6
6 6
6
6 6T
C C C S S C C S S C C S SS S C
S C C S C C S S C=
+ +
- - C S -r
C S S C r
4 5 6 4 4 5 6 4 4 5 4 5 4
5 6 5 5 4
4 5 6 4 4 5 6 4 4 5 4 5
d'o le modle gomtrique direct complet Sx C C C S C S S S C C
C C C S C S S S C C
C C S C C S S
= + + ++ + + +
+ + +
1 C 2 3)( 4 5 C 6 - 4 S 1 S 2 3) 5 C 6 + 1( C S
Nx = 1 C 2 3)( 4 5 S 6 - 4 C 1 S 2 3) S + 1( S C
Ax = 1 C 2 3) 4 5 1 S 2 3) + 1
4 5 6 4
5 4 5 6
5
( ) (
( ) (
( (
6
6
6
6 6
Sy = 1 C 2 3)( 4 5 C 6 - 4 S 1 S 2 3) 5 C 6 1( C S
Ny = 1 C 2 3)( 4 5 S 6 - 4 C 1 S 2 3) S 1( S C
Ay = 1 C 2 3) 4 5 1 S 2 3)
4 5
4 5 6 4
5 4 5 6
S
S C C S S S C S C C
S C C S S S C S C C
S C S S C
( ) (
( ) (
( (
+ + + + + + +
+ + +
6
6
6
6 6
5 4 5
5
5
4 5
+ 1
Sz = 2 3)( 4 5 C 6 - 4 S 2 3) 5 C 6
Nz = 2 3)( 4 5 S 6 - 4 C 2 3) S
Az = 2 3)( 4 5 ) 2 3)
Px = 1d2 + 1 2d3 + 1 C 2 3)( 4 r5 + d4) 1 S 2 3)r4 + 1 r
Py = 1d2 +
C S S
S C C S C S
S C C S C S
S C S C C
C C C C S C S C
S
( ) (
( ) (
( (
( (
+ + ++ ++ +
+ + +
6
6 6
S C S S S C C
S S S C
1 2d3 + 1 C 2 3)( 4 r5 + d4) 1 S 2 3)r4 r
Pz = d + 2 3)( 4 r5 + d4) 2 3)r4
1 4 5
2 3
( (
( (
+ + + + +
4
)
)
4
)
)
+
6
Pour simplifier la rsolution on peut scinder le problme en deux phases : 1) dtermination de la matrice des cosinus directeurs : 0 0 2 46 2 4A A A A= 2) dtermination des coordonnes de positionnement
XYZ
XYZ
XYZ
A40
40
40
20
20
20
2
42
42
42
0
= + et
XYZ
XYZ
XYZ
A A60
60
60
40
40
40
2 4
64
64
64
0 2
= +
49
-
Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
Lorsque l'quation de passage est dtermine, elle correspond la matrice globale de passage Atelier- Effecteur.
sx nx axsy ny aysz nz az
= 0 6T
XYZ
Eff
Eff
Eff0 0 0 1
Les expressions sx nx axsy ny aysz nz az
et
XYZ
Eff
Eff
Eff
dpendent des conventions d'orientation et de
positionnement retenues pour exprimer la position et l'attitude de l'effecteur dans l'espace oprationnel. on aboutit donc la relation :
XYZ
F
=
1 2......
n -1 n
qui est l'expression du modle gomtrique direct.
3.2 Cas des robots incluants des arborescences : Dans ce cas, on considre l'une des branches comme principale, pour cette branche, le calcul et la mise en place de paramtres est identique celle d'une architecture srie. Pour ce qui est de la seconde branche, la numrotation se poursuit aprs celle de l'architecture srie. La mthode d'identification du robot fait alors appel deux paramtres supplmentaires qui vont permettre d'identifier un chemin de passage.
Paramtrisation de D-H modifie par Khalilstructure arborescente Zi-1
Zi
X'i-1
Xi-1
Zk
k
k
Pour respecter la convention, nous mettons en place l'axe X'i-1, perpendiculaire commune Zi-1, et Zk Les deux nouveaux paramtres sont alors identifis : k est la rotation autour de Zi-1, pour passer de Xi-1, X'i-1
50
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Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
k est la translation le long de Zi-1 pour passer de Xi-1 X'i-1 Le chemin retenu pour passer du repre Zi-1 Zk sera alors le suivant : Trans(Zi-1,k)Rot (Zi-1, .k) trans(X'i-1, dk)rot(X'i-1, ,k)trans(Zk, rk)rot(Zk,3k) La matrice de passage du repre i-1 au repre k obtenue, est la suivante :
i Tk
C SS C
C S dS C S SS C C C
k
k
k =
1
0 00 0
0 0 10 0 0 1
0
0 0 0 1
C C r S S r
k k
k k
k
k k
k k k k k k
k k k k k k
ce qui aprs rsolution donne le rsultat global suivant : Lors de la prsence d'une branche, la matrice de passage s'exprime de la faon suivante :
i Tk a pour ression C S C S S C SS C S C C S C
S C C C
+
+ + k
1
0 0 0
exp :
kC k kS k C k kS k kC k C k kS k kdk kS k rk kC k+ kS k C k kS k kC k C k kS k kdk kS k rk
k S k k S k k k rk
1
avec :
k est la rotation autour de Zi-1, pour passer de Xi-1, X'i-1 k est la translation le long de Zi-1 pour passer de Xi-1 X'i-1 dk la distance entre Zi-1 et Zk, le long de X'i-1 k l'angle autour de X'i-1 entre les directions dtermines par Zi-1, et Zk rk la distance entre X'i-1 et Xk, le long de Zk k l'angle autour de Zk qu'il y a entre les directions dtermines par X'i-1, et Xk Remarque :
Lorsque .k et k sont nuls, la matrice de pr-multiplication est la matrice identit, la matrice de passage est alors quivalente celle calcule pour une structure srie. Ces valeurs sont assez courantes, et correspondent au cas o X'i-1, et Xi-1 sont confondus.
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3.3 Cas des robots incluant des boucles fermes :
Mise en place des represBoucle ferme
Zn+1
Zk
Zi
Ck
Ci
Ci-1
Ck-1
Zn+2
Xi
Xk
Xi
Xn+1
Ouverture d'uneArticulation
Si un robot possde n+1 corps et L liaisons alors le nombre de boucles fermes est : b=L-n Dans un premier temps on dtermine une structure arborescente quivalente en ouvrant chaque boucle ferme au niveau de l'une de ses articulations, si possible non motorise, et de telle sorte que chacune des branches soit peu prs aussi longue. Puis on numrote les corps et les articulations de la mme faon que prcdemment : On commence par la branche principale On poursuit par les autres branches (branche par branche). On termine la numrotation par les articulations coupes virtuellement : On met en place sur ces articulations un repre d'indice ici n+1, li l'un des corps qui est rattach l'articulation (ici le corps retenu sera Ci). Cette mise en place respecte les conventions d'orientation dj vue prcdemment. Ainsi Zn+1 est port par l'articulation n+1, et Xn+1 est la perpendiculaire commune Zn+1 et Zi Nous pouvons donc l'aide des paramtres qui s'y rapportent dterminer une matrice de passage iTn+1. Cette matrice est constante, et dpend des paramtres gomtriques du corps Ci
de mme on pourrait dterminer la matrice de passage kTn+1 qui elle caractrise le passage du corps Ck au corps Ci. En fait pour que chaque paramtre ne soit associ qu'un changement de repre unique, on associe l'articulation n+1, un deuxime repre, identique au repre n+1 identifi ici n+2.
La matrice de passage kTn+1 est alors note kTn+2.
On caractrise alors la cinmatique de la boucle, par le fait que n+2Tn+1.est la matrice identit. En effet les deux repres sont fixes l'un par rapport l'autre.
Cette matrice peut aussi s'crire n+2Tk. kTk-1.k-1Tk-2....i-1Ti.iTn+1=.n+2Tn+1=Id4
Cette relation assure l'intgrit de la boucle de cinmatique ferme, en tablissant les quations que doivent vrifier les variables articulaires qui la constituent.
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La modlisation d'un robot comportant des boucles se passe donc de la faon suivante :
Numrotation des corps et des articulations de la chane principale Poursuite de la numrotation par les corps entrant dans la constitution des boucles Ouverture des boucles en une articulation privilgie (non motorise) transformation en une structure arborescente quivalente Mise en place des repres sur les articulations ouvertes Ecriture de la matrice de passage pour la chane principale Ecriture de la cinmatique des boucles fermes Mise en place des quations reliant les variables articulaires et les variables oprationnelles.
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4. Modle gomtrique inverse Il s'agit ici de rsoudre le problme suivant : Je connais les variables oprationnelles ( position atteinte par l'effecteur dans l'espace oprationnel )d'une structure articule, qu'elle est la configuration qui rpond ce problme ? ou encore Trouver la relation :
1 2 3 4 5 6
=
F
XYZ1 (ceci pour un robot 6 axes)
Lorsqu'il s'agit de robots 6 articulations, deux mthodes principales sont utilises qui permettent de dterminer une forme explicite du modle: La mthode de Paul Elle traite chaque cas particulier, et s'adapte la plupart des robots industriels La mthode de Pieper Cette mthode est adapte pour les robots ayant trois articulations rotodes d'axes concourants ou trois articulations prismatiques De faon gnrale le problme se pose sous la forme suivante : Atelier Atelier nT T T TEffecteur n Effecteur= 0 0 Avec :
AtelierT0 transformation du repre atelier au repre de base du robot 0Tn matrice caractrisant le robot nTEffecteur transformation du repre extrme du robot l'outil
4.1 Robot rsoluble: On dit qu'un robot est rsoluble, lorsque l'on peut calculer toutes les configurations permettant d'atteindre une situation donne Tous les robots moins de 6 degrs et 6 de libert sont rsolubles En particumlier, si un robot a 6 degrs de libert, il est rsoluble dans les cas suivants : -3 articulations du robot sont prismatiques -trois articulations du robot sont rotodes concourantes -1 articulation rotode et une articulation prismatique du robot sont coaxiales -2 paires d'articulations rotodes et prismatiques du robot sont d'axes concourants Quel est le nombre de solutions au problme ? Cas 1 : Absence de solutions La situation est en dehors de la zone accessible Cas 2 : Infinit de solutions
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Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
le robot est redondant vis vis de la tache (ex : robot 6 articulations manipulant une pice prsentant une symtrie de rvolution) Le robot a une redondance locale : position singulire(ex : plus de 3 axes rotodes deviennent parallles) Un robot est redondant lorsque le nombre de degrs de libert de l'organe terminal est infrieur au nombre de degrs de libert de l'espace articulaire Cas 3 : Solutions en nombre finies
4.2 Mthode de Paul Cette mthode consiste pr-multiplier gauche l'quation
sx nx axsy ny aysz nz az
= 0 6T
XYZ
Eff
Eff
Eff0 0 0 1
par J avec j variant de 1 6 J - 1TOn obtient donc :
1 0 1 00 6 = 1 6T
sx nx axsy ny aysz nz az
=
XYZ
Eff
Eff
Eff0 0 0 1
T T T
permet d'obtenir q1
la premire partie ne dpend que de q1, la seconde de q2, q3, q4, q5, q6 On poursuit ce calcul
2 11 0 2 11 00 6 = 2 6(q3, q4, q5, q6)T T T T T T
sx nx axsy ny aysz nz az
=
XYZ
Eff
Eff
Eff0 0 0 1
permet d'obtenir q2
5 44 0 5 6(q6)T T T
sx nx axsy ny aysz nz az
=
XYZ
Eff
Eff
Eff0 0 0 1
permet d'obtenir q5, q6
On identifie les paramtres par les quations les plus simples de chaque systme d'quations trouves en partant de q6, jusque q1 Remarque :
Le problme peut aussi se rsoudre en faisant la pr-multiplication droite par J avec j variant de 6 1
J - 1T
La rsolution des quations n'est pas immdiate pour qui n'a pas l'habitude de manipuler des quations trigonomtriques couramment. Cependant, des expressions types reviennent trs souvent. Il est intressant ici de les aborder, pour en permettre une rsolution rapide. Ces relations sont au nombre de dix, quant aux autres, elles peuvent dans la plupart des cas, se ramener aux cas que nous allons aborder.
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Modlisation Robotique Modlisation gomtrique
Equations types rsoudre :
Type 1 X ri Y = Type 2 ( ) ( )XSin i YCos i Z + = Type 3 ( )
( )X Sin i Y
X Cos i Y
1 1
2 2
==
Type 4 ( )( )
X Sin i Y
X Cos i Y
1 1
2 2
j
j
r
r
==
Type 5 ( )( )
X Sin i Y Z r
X Cos i Y Z r
j
j
1 1
2 2
1
2
= += +
Type 6 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
WSin j XCos i YSin i Z
WCos j XSin i YCos i Z
= +=
1
2
++
Type 7 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
W Sin j W Sin j XCos i YSin i Z
W Cos j W Cos j XSin i YCos i Z
1 2
1 2
+ = + =
1
2
++
Type 8 ( ) ( )( ) ( )
XCos i YCos i j Z
XSin i YSin i j Z
+ ++ + =
1
2
=
Type 9 ( )XCos i Y = Type 10 ( )XSin i Y =
Type 2 ( ) ( )XSin i YCos i Z
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