mr lamloum mohamed

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

I. Définition :

3x + 2y = 31

7x – 4y = 3

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, cela revient à trouver deux valeurs qui vérifient les deux équations simultanément.

1ère équation

2ème équation

1ère inconnue

2ème inconnue

Un système

( S )

nom du système (facultatif )

Cette accolade signifie « et ».

Elle indique que les équations doivent être vérifiées simultanément

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Cherchons la solution de ce système.

1er cas, si x = 7 et y = 5 alors

• dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x 7 + 2 x 5 = 31

• dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 7 – 4 x 5 = 29

Conclusion : Si x = 7 et y = 5 alors les deux équations ne sont pas vérifiées simultanément. On dit que ( 7 ; 5 ) n’est pas une solution de ce système.

3x + 2y = 31

7x – 4y = 3( S )

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

3x + 2y = 31

7x – 4y = 3( S )

2ème cas, si x = 5 et y = 8 alors

• dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x 5 + 2 x 8 = 31

• dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 5 – 4 x 8 = 3

Conclusion : Si x = 5 et y = 8 alors les deux équations sont vérifiées simultanément. On dit que ( 5 ; 8 ) est une solution de ce système.

On note S = { ( 5 ; 8 ) }

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

II.Deux méthodes pour résoudre un système :

1. La méthode par substitution :

Substituer c’est remplacer.

Le but est d’isoler une inconnue dans une des deux équations et de la remplacer dans l’autre pour obtenir une équation avec une seule inconnue.

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

8x + y = 86

3x – 7y = 47( S )

Exemple :

3x – 7y = 47

y = 86 – 8x

y = 86 – 8x

3x – 602 + 56x = 47

On isole y

y = 86 – 8x

3x – 7( 86 – 8x ) = 47?

On remplace ypar 86 – 8x

On résout l’équation.

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

y = 86 – 8x

3x – 602 + 56x = 47

y = 86 – 8x

59x = 47 + 602

y = 86 – 8x

59x = 649

y = 86 – 8x

x = 64959

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

y = 86 – 8x

x = 64959

y = 86 – 8x

x = 11

Maintenant je remplace x par 11 dans la 1ère équation.

y = 86 – 8 x 11

x = 11

y = – 2

x = 11Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Ainsi x = 11 et y = – 2.

La solution de ce système est le couple ( 11 ; – 2 )

S = { ( 11 ; – 2 ) }

Vérifions :8x + y = 86

3x – 7y = 47( S )

8 x 11+ ( – 2 ) = 86

3 x 11 – 7 x ( – 2 ) = 47

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

2. La méthode par combinaisons linéaires :

Résoudre un système par combinaisons linéaires, c’est additionner ou soustraire des multiples des deux équations afin de faire disparaître une des deux inconnues.

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

2x + 9y = 25

3x – 7y = – 24 ( D )

Exemple :

( 1 )

( 2 )

– 6x + 14y = 48

( 1 )

( 2 )+

0 + 41y = 123

Ainsiy =

123

41 y = 3y = 3

x 3

x ( – 2 )

6x + 27y = 75

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Maintenant je remplace y par 3 dans l’équation ( 1 ) :

2x + 9y = 25

y = 3

( 1 )

2x + 9 x 3 = 25

2x + 27 = 25

2x = 25 – 27

2x = – 2

x = – 2

2 x = – 1 x = – 1

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Ainsi x = – 1 et y = 3

La solution de ce système est le couple ( – 1 ; 3 )

S = { ( − 1 ; 3 ) }

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

3. Un système particulier :

y = 15 – 2x

y = x + 4 ( E )

( 1 )

( 2 )

Ici on résout : 15 – 2x = x + 4

On obtient x =11

3

Puis on remplace x par dans une équation.

11

3

On obtient y =23

3 Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

III. Résoudre un problème avec un système :

Quand un problème comporte plusieurs inconnues il est parfois possible de le résoudre avec un système. Pour le traiter il faut respecter 4 étapes

( comme pour une équation )

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

550 personnes ont assisté à un spectacle.Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes.Les enfants paient demi-tarif.

Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

Exercice :

J’appelle x le nombre d’adultes et y le nombre d’enfants qui ont assisté au spectacle.

1ère étape : On choisit les inconnues

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

2ème étape : On mettre le problème en deux équations

550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550

L’ensemble des x adultes a payé 16x 16x + 8y = 6960

Les enfants paient demi-tarif : donc 8 DT par enfant,

L’ensemble des y enfants a payé 8y ??

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

550 personnes ont assisté à un spectacle.Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes.Les enfants paient demi-tarif.

Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

Exercice :

2ème étape : je trouve les deux équations qui correspondent au problème

x + y =550

16x + 8y = 6960

Donc

( S )

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

3ème étape : On résoudre le système

x + y = 550

16x + 8y = 6960

( 1 )

( 2 )

−16x − 16y = − 880016x + 8y = 6960

( 1 ) x ( – 16 )

( 2 )

0 – 8y = – 1840 donc y = = 230 – 1840

– 8

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

Maintenant je remplace y par 230 dans l’équation ( 1 ) :

x + y = 550

x + 230 = 550

x = 550 – 230

x = 320

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

4ème étape : Conclusion

320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

On vérifie le résultat obtenu

Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com

finMr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com