micro-ondes - cours, examens...3.4. longueur d’onde 117 3.5. lignes chargÉes 118 3.5.1....
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R O U P EG
MICRO-ONDES
Daniel COURIVAUD – SIGTEL - Groupe ESIEE - 2002
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./ 01234 5627 84 9311:7;< =
SOMMAIRE
1. PARAMETRES S 13
1.1. MATRICE CARACTÉRISTIQUE D’UN QUADRIPÔLE LINÉAIRE 141.1.1. CONVENTIONS 141.1.2. MATRICE IMPÉDANCE 141.1.2.1. Définition et signification des paramètres impédance 151.1.2.2. Impédance d’entrée 151.1.2.3. Association de quadripôles 151.1.3. MATRICE ADMITTANCE 161.1.3.1. Définition et signification des paramètres admittance 161.1.3.2. Admittance d’entrée 171.1.3.3. Association de quadripôles 171.1.4. MATRICE HYBRIDE 171.1.4.1. Définition et signification des paramètres hybrides 181.1.4.2. Impédance d’entrée 181.1.5. MATRICE CHAÎNE 191.1.5.1. Définition et signification des paramètres 191.1.5.2. Impédance d’entrée 201.1.5.3. Association de quadripôles 201.1.6. GÉNÉRALISATION À DES MULTIPÔLES 201.1.7. PROBLÈME DES HAUTES FRÉQUENCES 201.2. PARAMÈTRES S 231.2.1. ONDES INCIDENTES ET RÉFLÉCHIES 231.2.2. PARAMÈTRES S GÉNÉRALISÉS 261.2.3. APPLICATION À UN QUADRIPÔLE 291.2.4. DÉFINITION 301.2.5. GRAPHE DE FLUENCE 321.2.6. COEFFICIENT DE RÉFLEXION 321.2.7. NOTION DE PUISSANCE 361.2.7.1. Le dipôle 361.2.7.2. Le générateur 371.2.7.3. Pertes d’insertion 411.3. PROPRIÉTÉS 431.3.1. LA RÉCIPROCITÉ 431.3.2. LA SYMÉTRIE 431.3.3. L’UNILATÉRALITÉ 441.3.4. L’IDÉALITÉ 441.3.5. LE QUADRIPÔLE RÉCIPROQUE PASSIF SANS PERTES 451.3.6. DÉCALAGE DES PLANS DE RÉFÉRENCE 461.4. STABILITÉ DES QUADRIPÔLES 501.5. TRANSFERT DE PUISSANCE DANS LES CIRCUITS MICROONDES 551.5.1. PERTES PAR DÉSADAPTATION 551.5.2. GAINS EN PUISSANCE DES QUADRIPÔLES 57
>? @ABCD EFBG HD ICAAJGKL M
1.5.2.1. Calcul du gain transducique avec les graphes 581.5.2.2. Calcul littéral du gain transducique 601.5.2.3. Relations entre les gains en puissance 611.5.2.4. Relation entre gain transducique et pertes pardésadaptation 611.5.2.5. Expression du gain transducique en fonction desparamètres chaîne 621.5.2.6. Gain transducique unilatéral 631.5.3. GAIN EN TENSION 651.5.3.1. Relation entre gain en tension et gain transducique 67
2. DISPOSITIFS MICROONDES 69
2.1. L’ATTÉNUATEUR 702.1.1. FONCTIONNEMENT 702.1.2. TECHNOLOGIE 702.1.2.1. Eléments localisés 712.1.2.2. Guide d’onde 722.1.2.3. Circuits intégrés 732.1.3. APPLICATIONS 732.1.3.1. Protection d’un appareil de mesure 732.1.3.2. Masquage d’une désadaptation 742.2. LE DÉPHASEUR 752.2.1. FONCTIONNEMENT 752.2.2. TECHNOLOGIE 752.2.2.1. Eléments localisés 752.2.2.2. Eléments distribués 782.2.2.3. Circuits intégrés 782.2.3. APPLICATIONS 792.3. L’ISOLATEUR 802.3.1. FONCTIONNEMENT 802.3.2. TECHNOLOGIE 802.3.2.1. Technologie hybride 802.3.2.2. Circuits intégrés 802.3.3. APPLICATIONS 812.4. LE CIRCULATEUR 822.4.1. FONCTIONNEMENT 822.4.2. TECHNOLOGIE 822.4.3. APPLICATIONS 842.4.3.1. Duplexage 842.4.3.2. Amplification à résistance négative 852.5. DIVISEURS. COMBINEURS DE PUISSANCE 862.5.1. FONCTIONNEMENT 862.5.2. TECHNOLOGIE 882.5.2.1. Diviseur résistif 882.5.2.2. Diviseur combineur Wilkinson 902.5.3. APPLICATIONS 91
NO PQRST UVRW XT YSQQZW[\ ]
2.5.3.1. Boucle à verrouillage de phase 912.5.3.2. Amplification de puissance 912.6. COUPLEUR BIDIRECTIONNEL 922.6.1. FONCTIONNEMENT 922.6.2. TECHNOLOGIE 942.6.2.1. Guides d’ondes 942.6.2.2. Coupleur microstrip 952.6.3. APPLICATIONS 952.6.3.1. Contrôle de niveau, asservissement 952.6.3.2. Mesure d’un coefficient de réflexion 962.7. JONCTIONS HYBRIDES 972.7.1. FONCTIONNEMENT 972.7.2. TECHNOLOGIE 992.7.2.1. Technologie microstrip 992.7.2.2. Autres technologies 1002.7.3. CALCUL DES MATRICES S DES DISPOSITIFS PRÉSENTANT UN AXEDE SYMÉTRIE 1002.7.4. CALCUL DE LA MATRICE S DE LA JONCTION BRANCHLINE 1032.7.5. APPLICATIONS 1072.7.5.1. Jonctions 90° 1072.7.5.2. Jonctions 180° 109
3. PROPAGATION SUR LES LIGNES DE TRANSMISSION 111
3.1. PARAMÈTRES DESCRIPTIFS 1123.2. LIGNES SANS PERTES 1153.3. VITESSES DE PROPAGATION 1163.4. LONGUEUR D’ONDE 1173.5. LIGNES CHARGÉES 1183.5.1. COEFFICIENTS DE RÉFLEXION 1193.5.2. TAUX D’ONDE STATIONNAIRE 1203.5.3. IMPÉDANCE D’ENTRÉE 1223.5.4. LIGNE EN CIRCUIT OUVERT 1233.5.5. LIGNE EN COURT CIRCUIT 1243.5.6. TRONÇON DE LIGNE QUART D’ONDE 125
4. LIGNES DE TRANSMISSION MICROONDES 127
4.1. LA LIGNE COAXIALE 1284.2. LA LIGNE MICROSTRIP 1304.2.1. IMPÉDANCE CARACTÉRISTIQUE 1304.2.2. LONGUEUR D’ONDE GUIDÉE 1314.2.3. PERTES 1334.2.3.1. Pertes diélectriques 1334.2.3.2. Pertes ohmiques 1334.2.4. DISPERSION 134
^_ `abcd efbg hd icaajgkl m
4.2.5. RAYONNEMENT 1354.2.6. RÉSONANCE TRANSVERSE 1354.2.7. LE CIRCUIT OUVERT 1364.2.8. LES COUDES 1364.2.9. LA JONCTION DE LIGNES MICROSTRIP 1374.2.10. AUTRES DISCONTINUITÉS 1394.3. AUTRES LIGNES 140
5. L’ABAQUE DE SMITH ET SES APPLICATIONS 141
5.1. L’ABAQUE DE SMITH 1425.1.1. LA CHARGE 50 OHMS 1465.1.2. LA CHARGE CAPACITIVE 1465.1.3. LA CHARGE INDUCTIVE 1475.1.4. LE CIRCUIT RÉSONANT PARALLÈLE 1485.1.5. LE CIRCUIT RÉSONANT SÉRIE 1485.1.6. LE COURT CIRCUIT 1495.1.7. LE CIRCUIT OUVERT 1495.2. LES APPLICATIONS DE L’ABAQUE DE SMITH 1505.2.1. CONVERSION IMPÉDANCE-COEFFICIENT DE RÉFLEXION 1505.2.2. CONVERSION IMPÉDANCE ADMITTANCE 1505.2.3. IMPÉDANCES À PARTIE RÉELLE NÉGATIVE 1525.3. L’ADAPTATION 1535.3.1. L’ADAPTATION À ÉLÉMENTS LOCALISÉS 1545.3.1.1. L’inductance série 1545.3.1.2. La capacité série 1555.3.1.3. L’inductance parallèle 1555.3.1.4. La capacité parallèle 1565.3.1.5. Exemple 1575.3.1.6. Notion de sélectivité 1605.3.1.7. Topologies des réseaux d'adaptation 1615.3.1.7.1. Topologies série parallèle 1645.3.1.7.2. Topologies parallèle série 1685.3.2. L’ADAPTATION À ÉLÉMENTS DISTRIBUÉS 1735.3.2.1. Le tronçon de ligne sans pertes 1735.3.2.2. Le stub court circuit 1765.3.2.3. Le stub circuit ouvert 1775.3.2.4. Le transformateur quart d’onde 1785.3.2.5. Le changement d’impédance de normalisation 1795.3.2.6. Adaptation simple stub 1815.3.2.7. Adaptation double stub 185
6. ANNEXES 189
6.1. LES RELATIONS DE PASSAGE ENTRE LES DIFFÉRENTESREPRÉSENTATIONS D’UN QUADRIPOLE 190
no pqrst uvrw xt ysqqzw|
6.1.1. ZIJ = F (YIJ) 1906.1.2. ZIJ = F (A, B, C, D) 1916.1.3. ZIJ = F (SIJ) 1916.1.4. YIJ = F (ZIJ) 1926.1.5. YIJ = F (A, B, C, D) 1926.1.6. YIJ = F (SIJ) 1936.1.7. A, B, C, D = F (ZIJ) 1936.1.8. A, B, C, D = F (YIJ) 1946.1.9. A, B, C, D = F (SIJ) 1946.1.10. SIJ = F (ZIJ) 1956.1.11. SIJ = F (YIJ) 1966.1.12. SIJ = F (A, B, C, D) 1966.2. QUELQUES MATRICES ÉLÉMENTAIRES 1976.2.1. L’IMPÉDANCE SÉRIE 1976.2.2. L’ADMITTANCE PARALLÈLE 1986.2.3. LE TRANSFORMATEUR IDÉAL 1996.2.4. LE TRONÇON DE LIGNE SANS PERTES 2006.3. LES GRAPHES DE FLUENCE 201
7. BIBLIOGRAPHIE 205
~
Table des figures
Figure 1-1 :Orientation des tensions et des courants
Figure 1-2 : Quadripôles en série¢¡
Figure 1-3 : Quadripôles en parallèle¤£
Figure 1-4 : Quadripôles en cascade ¥§¦Figure 1-5 : Générateur chargé ¥§¨Figure 1-6: Décomposition en signaux incidents et réfléchis ¥ ¡Figure 1-7 : Ondes incidentes et réfléchies ¨©¦Figure 1-8 : Réflexion sur un dipôle ¨©¨Figure 1-9 : Réflexion d’un quadripôle chargé ¨ Figure 1-10: Graphe de fluence d'un quadripôle chargé ¨ ¡Figure 1-11 : Puissance délivrée à un dipôle ¨ £Figure 1-12 : Générateur chargé ¨ £Figure 1-13: Graphe de fluence d'un générateur chargé ¨«ªFigure 1-14 : Pertes d’insertion d’un quadripôle
¬Figure 1-15: Plans de référence d'un quadripôle
§£Figure 1-16: Insertion de quadripôles connus aux accès du quadripôle àmesurer
§£Figure 1-17 : Conventions pour l’étude des quadripôles non réciproques
¡ ¦Figure 1-18 : Cercles de stabilité
¡ ¥Figure 1-19 : Zones de stabilité et d’instabilité
¡ ¥Figure 1-20 : Stabilité inconditionnelle
¡ ¨Figure 1-21 : Pertes par désadaptation
¡©¡Figure 1-22 : Puissances mises en jeu
¡£Figure 1-23: Graphe de fluence d'un quadripôle alimenté et chargé
¡ ªFigure 1-24: Conventions pour le calcul du gain en tension ® ¡Figure 2-1 : Topologies d’atténuateurs résistifs
£¯Figure 2-2 : Atténuateur en té ponté
£ ¥Figure 2-3 : Protection d’un appareil de mesure
£ ¨Figure 2-4 : Masquage d’une désadaptation
£°Figure 2-5 : Topologies de déphaseurs
£ ®Figure 2-6: Structure en pi
£ ®Figure 2-7 : Déphaseur 90° à 1 GHz
£«±Figure 2-8 : Modulateur QAM
£ ªFigure 2-9 : Protection d’une source avec un isolateur idéal
±²Figure 2-10 : Protection d’une source avec un isolateur réél
±²Figure 2-11 : Circulateur idéal
± ¥Figure 2-12 : Equivalence entre circulateur chargé et isolateur
± ¨Figure 2-13 : Dépendance de l’isolation en fonction de la charge
± ¨Figure 2-14 : Duplexeur
±¢Figure 2-15 : Amplification à résistance négative
±©¡Figure 2-16 : Diviseur de puissance
± ®
³´ µ¶·¸¹ º»·¼ ½¹ ¾¸¶¶¿¼ÀÁ ÂÃ
Figure 2-17 : Combineur de puissance ÄÅFigure 2-18 : Diviseur de puissance résistif Ä©ÄFigure 2-19 : Bilan de puissance ÄÆFigure 2-20 : Diviseur de Wilkinson ÆÇFigure 2-21 : Prélévement de puissance pour un asservissement ƯÈFigure 2-22 : Combinaison de puissance ƯÈFigure 2-23 : Coupleur bidirectionnel Æ¢ÉFigure 2-24 : Coupleur microstrip Æ«ÊFigure 2-25 : Contrôle de niveau et asservissement Æ©ËFigure 2-26 : Mesure d’un coefficient de réflexion Æ©ËFigure 2-27 : Jonction hybride Æ©ÅFigure 2-28 : Jonction branchline Æ©ÆFigure 2-29 : Coupleur de Lange Æ©ÆFigure 2-30 : Jonction «rat - race» ÈÇ©ÇFigure 2-31 : Jonction branchline de base ÈÇÌFigure 2-32 : Décomposition en 2 quadripôles de modes pair et impair ÈÇÌFigure 2-33 : Décomposition en 4 coefficients de réflexion élémentaires ÈǧÊFigure 2-34 : Jonction 90° c hargée ÈÇ«ÅFigure 2-35 : Atténuateur équilibré ÈǧÄFigure 2-36 : Amplificateur équilibré ÈǧÄFigure 2-37 : Jonction 180° c hargée ÈÇ«ÆFigure 2-38 : Mélangeur équilibré ÈÇ«ÆFigure 3-1 : Modèle électrique d’un tronçon de ligne de transmission È©ÈÍÉFigure 3-2 : Ligne de transmission excitée et chargée È©È¢ÄFigure 3-3 : Régime d’ondes stationnaires ÈÍÉ©ÉFigure 3-4 : Impédance d’entrée d’une ligne en circuit ouvert ÈÍÉ«ÌFigure 3-5 : Impédance d’entrée d’une ligne en court circuit ÈÍɯÊFigure 3-6 : Ligne quart d’onde chargée ÈÍɯÊFigure 4-1 :Structure transversale d’une ligne coaxiale ÈÍɯÄFigure 4-2 : Ligne microstrip ÈΩÇFigure 4-3 : Concept de permittivité diélectrique effective ÈΰÉFigure 4-4 : Effet de peau ÈΩÎFigure 4-5 : Le circuit ouvert ÈΫËFigure 4-6 : Schéma équivalent d’un coude ÈΫËFigure 4-7 : Réduction de la capacité parasite ÈΫÅFigure 4-8 : Changement d’impédance caractéristique ÈΫÅFigure 4-9 : Jonction de 3 lignes microstrip ÈΫÅFigure 4-10 : Jonction de 4 lignes microstrip ÈΧÄFigure 4-11 : Microcoupure dans une ligne microstrip ÈΫÆFigure 4-12 : Encoche dans une ligne microstrip ÈΫÆFigure 4-13 : Ligne triplaque È Ì«ÇFigure 4-14 : Ligne coplanaire È Ì«ÇFigure 4-15 : Ligne à fente È Ì«Ç
ÏÐ ÑÒÓÔÕ Ö×ÓØ ÙÕ ÚÔÒÒÛØÜÝ ÞßÞ
Figure 5-1 : Plan des impédances complexes à áâFigure 5-2: Charge 50 ohms à á§ãFigure 5-3: Lieu des charges capacitives à á§äFigure 5-4 : Lieu des charges inductives à á§äFigure 5-5 : Le circuit résonant parallèle à á²åFigure 5-6 : Le circuit résonant série à á²åFigure 5-7 : Le court circuit à á§æFigure 5-8 : Le circuit ouvert à á§æFigure 5-9 : Le coefficient de réflexion à¢ç°èFigure 5-10 : Conversion impédance - admittance à¢ç²àFigure 5-11 : Abaque en admittance à¢ç²àFigure 5-12 : Impédance à partie réelle négative à¢ç¤âFigure 5-13 : Adaptation d’une charge complexe à¢ç°éFigure 5-14 : Insertion d’un réseau d’adaptation à¢ç°éFigure 5-15 : Ajout d’une inductance série à¢ç¢áFigure 5-16 : Ajout d’une capacité série à¢ç©çFigure 5-17 : Ajout d’une inductance parallèle à¢çãFigure 5-18 : Ajout d’une capacité parallèle à¢çãFigure 5-19 : Adaptation d’une charge à¢çäFigure 5-20 : Parcours sur l’abaque de Smith à¢ç©åFigure 5-21 : Solutions normalisées par rapport à 50 ohms à¢çæFigure 5-22 : Solutions dénormalisées par rapport à 50 ohms et 1 GHz à¤ãèFigure 5-23 : Augmentation de la sélectivité d’un réseau d’adaptation à¤ã¯àFigure 5-24 – Topologie série parallèle à¤ã¢âFigure 5-25 – Topologie parallèle série à¤ã¢âFigure 5-26 – Lieu des points pouvant être adaptés avec une topologie sérieparallèle, et parallèle série à¤ãéFigure 5-27 – Décomposition de l’abaque de Smith en 3 zones à¤ãéFigure 5-28 – Topologie L série, L parallèle à¤ã°áFigure 5-29 – Topologie L série, C parallèle à¤ã«çFigure 5-30 – Topologie C série, L parallèle à¤ã©ãFigure 5-31 – Topologie C série, C parallèle à¤ã©äFigure 5-32 – Topologie L parallèle, L série à¤ã«åFigure 5-33 – Topologie L parallèle, C série à¤ã©æFigure 5-34 – Topologie C parallèle, L série à¤äèFigure 5-35 – Topologie C parallèle, C série à¤ä¯àFigure 5-36 – Synthèse des réseaux d’adaptation possibles en fonction de lacharge à adapter à¤ä¢âFigure 5-37 : Tronçon de ligne sans pertes chargé à¤äéFigure 5-38 : Déplacements sur l’abaque de Smith à¤äéFigure 5-39 : Déplacements vers le générateur à¤ä°áFigure 5-40 : Tronçon de ligne chargé à¤ä«çFigure 5-41 : Module du coefficient de réflexion à¤ä«ç
êë ìíîïð ñòîó ôð õïííöó÷ø ùú
Figure 5-42 : Stub λ/8 en court circuit û¤ü©üFigure 5-43 : Stub λ/8 en circuit ouvert û¤ü«ýFigure 5-44 : Exemple de transformateur quart d’onde û¤ü©þFigure 5-45 : Tronçons de ligne d’impédances caractéristiques différentes û¢ý°ÿFigure 5-46 : Adaptation simple stub û¢ý²ûFigure 5-47 : Exemple d’adaptation simple stub û¢ýFigure 5-48 : Première solution de l’adaptation simple stub û¢ýFigure 5-49 : Seconde solution de l’adaptation simple stub û¢ýFigure 5-50 : Adaptation double stub û¢ýFigure 5-51 : Exemple d’adaptation double stub û¢ýFigure 5-52 : Première solution de l’adaptation double stub û¢ý©ýFigure 5-53 : Seconde solution de l’adaptation double stub û¢ý©ýFigure 6-1 : L’impédance série û¤þ©üFigure 6-2 : L’admittance parallèle û¤þ«ýFigure 6-3 : Le transformateur idéal û¤þ©þFigure 6-4 : Le tronçon de ligne sans pertes §ÿ©ÿFigure 6-5 : Graphe de fluence d’un quadripôle §ÿFigure 6-6 : Graphe de fluence d’un générateur §ÿFigure 6-7 : Graphe de fluence d’une charge §ÿFigure 6-8 : Graphe de fluence d’un quadripôle alimenté et chargé §ÿ
!"#$&% ')(
1. PARAMETRES S
*+ ,-./0 12.3 40 5/ -!-6#37&8 9&:
1.1. Matrice caractéristique d’un qu adripôle linéaire
Un quadripôle linéaire (dont le comportement ne dépend pas de
l’amplitude du signal d’excitation) peut être caractérisé de plusieurs
façons différentes suivant le choix des paramètres dépendants et
indépendants. La majorité de ces paramètres concerne les tensions
et les courants.
1.1.1. Conventions
Les courants et les tensions utilisés dans ce cours sont les suivants
:
Q
I
V
1
1
I 2
V2
Figure 1-1 :Orientation des tensions etdes courants
1.1.2. Matrice impédance
Les tensions sont exprimées en fonction des courants par
l’intermédiaire des paramètres impédances.
IZ+IZ = V
IZ+IZ = V
2211
2121111
222
Sous forme matricielle:
[Z][I] = [V]
;< =>?@A BC?D EA F@ >!>G#DH&I J)K
1.1.2.1. Définition et signification des
paramètres impédance
Les 4 paramètres Zij sont définis comme suit :
11
I =0
1
112
I =0
1
2
21
I =0
2
122
I =0
2
2
Z = V
I Z =
V
I
Z = V
I Z =
V
I
2 1
2 1
La mesure de ces paramètres nécessite des références de charge
en circuit ouvert.
1.1.2.2. Impédance d’entrée
L’impédance d’entrée du quadripôle chargé par ZL s’écrit:
in 1112 21
L 22Z = Z -
Z Z
Z + Z
1.1.2.3. Association de quadripôles
Z
Z
1
2
Figure 1-2 : Quadripôles en série
LM NOPQR STPU VR WQ O!OX#UY&Z [)\
1.1.3. Matrice admittance
Les courants sont exprimés en fonction des tensions par
l’intermédiaire des paramètres admittance
I = Y V + Y V
I = Y V + Y V
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
Sous forme matricielle
[ I ] = [Y] [V]
1.1.3.1. Définition et signification des
paramètres admittance
Les 4 paramètres Yij sont définis comme suit :
11
V =0
1
112
V =0
1
2
21
V =0
2
122
V =0
2
2
Y = I
V Y =
I
V
Y = I
V Y =
I
V
2 1
2 1
La mesure de ces paramètres nécessite des références de charge
en court circuit.
Y11 représente l’admittance d’entrée lorsque la sortie est court
circuitée
Y22 représente l’admittance de sortie lorsque l’entrée est court
circuitée
]^ _`abc deaf gc hb `!`i#fj&k l)m
1.1.3.2. Admittance d’entrée
L’admittance d’entrée du quadripôle chargé par YL s’écrit :
in 1112 21
L 22Y = Y -
Y Y
Y + Y
1.1.3.3. Association de quadripôles
Y
Y
1
2
Figure 1-3 : Quadripôles en parallèle
1.1.4. Matrice hybride
La tension d’entrée et le courant de sortie sont exprimés en fonction
de la tension de sortie et du courant d’entrée
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V = H I + H V
I = H I + H V
Sous forme matricielle :
V
I [H] =
I
V
2
1
2
1
no pqrst uvrw xt ys q!qz#w&| ~
1.1.4.1. Définition et signification des
paramètres hybrides
Les 4 paramètres Hij sont définis comme suit :
11
V =0
1
112
I =0
1
2
21
V =0
2
122
I =0
2
2
H = V
I H =
V
V
H = I
I H =
I
V
2 1
2 1
La mesure de ces paramètres nécessite des références de charge
en circuit ouvert et court circuit.
H11 représente l’impédance d’entrée lorsque la sortie est court
circuitée.
H12 représente le gain en tension lorsque l’entrée est en circuit
ouvert.
H21 représente le gain en courant lorsque la sortie est en court
circuit.
H22 représente l’admittance de sortie lorsque l’entrée est en
circuit ouvert.
1.1.4.2. Impédance d’entrée
L’impédance d’entrée du quadripôle chargé par ZL s’écrit :
in 1112 21 L
22 LZ = H -
H H Z
1+ H Z
!#& )
1.1.5. Matrice chaîne
Aucune des représentations évoquées jusqu’à présent ne permet la
décorrélation de l’entrée et de la sortie. La matrice chaîne comble
cette lacune en permettant d’exprimer la tension et le courant à
l’entrée en fonction de la tension et du courant à la sortie.
V = AV - B I
I = CV - D I
1 2 2
1 2 2
Sous forme matricielle
1
1
2
2
V
I = [C]
V
- I
1.1.5.1. Définition et signification des
paramètres
Les quatre paramètres chaîne sont définis comme suit :
A représente le gain en tension inverse lorsque la sortie est en
circuit ouvert
B et C représentent une impédance et une admittance de
transfert
D représente l'opposé du gain en courant inverse lorsque la
sortie est en court circuit.
!#& ¢¡
1.1.5.2. Impédance d’entrée
L’impédance d’entrée du quadripôle charge par ZL s’écrit
inL
LZ =
AZ + B
CZ + D
1.1.5.3. Association de quadripôles
C C1 2
C3
Figure 1-4 : Quadripôles en cascade
1.1.6. Généralisation à des multipôles
Le formalisme utilisé par les matrices impédances et admittance
peut être étendu sans aucun problème à des multipôles. La relation
matricielle est identique.
1.1.7. Problème des hautes fréquences
Les fréquences de l’ordre de grandeur de quelques GHz ont ceci
de particulier qu’elles mettent en jeu des longueurs d’onde
comparables aux dimensions du circuit ce qui ne permet pas
d’utiliser les hypothèses simplificatrices du formalisme employé en
basse fréquence. Ceci implique que :
• La mesure directe des courants et des tensions n’est
pas possible à cause de la fréquence très élevée des
signaux. Les appareils de mesure doivent intégrer des
étages de conversion.
£¤ ¥¦§¨© ª«§¬ © ®¨ ¦!¦¯#¬°&± ²³
• A chaque mesure doit être associée une référence
géométrique, appelée plan de référence, rendue
nécessaire par le fait que ces grandeurs peuvent
varier rapidement sur quelques centimètres.
• Les références en circuit ouvert sont difficiles à
réaliser du fait des dimensions physiques proches de
la longueur d’onde. Le rayonnement est alors difficile
à éviter
• Les transistors peuvent ne pas supporter des court
circuits (courant maximum) et des circuits ouverts
(tension maximum) à leurs extrémités.
La caractérisation des circuits électriques fait souvent appel à des
grandeurs qui varient peu en fonction de la position de la sonde de
mesure, ce qui est le cas de la tension et du courant aux
fréquences basses. Aux fréquences plus élevées, la grandeur
invariante est la puissance transportée sur la ligne, sous réserve
que cette dernière soit correctement dimensionnée. Ce sera la
grandeur fondamentale mesurée en hyperfréquences. Elle présente
l’avantage de pouvoir être mesurée directement.
Par contre, celle ci s’exprime de façon complexe en fonction des
paramètres tension - courant :
( )P VI=1
2Re *
Il faut donc introduire de nouveaux paramètres caractéristiques
permettant de manipuler aisément les puissances mises en jeu et
rendant mieux compte des phénomènes physiques.
´µ ¶·¸¹º »¼¸½ ¾º ¿¹ ·!·À#½Á& âÃ
ÄÅ ÆÇÈÉÊ ËÌÈÍ ÎÊ ÏÉ Ç!ÇÐ#ÍÑ&Ò ÓÔ
1.2. Paramètres S
1.2.1. Ondes incidentes et réfléchies
Lorsque les dimensions du circuit ne sont plus très grandes devant
la longueur d’onde, un phénomène de propagation du signal
électrique apparaît, ce qui introduit la notion de signaux incidents et
réfléchis. Considérons le circuit ci dessous :
Z S
ZL
VS
VL
I
Figure 1-5 : Générateur chargé
Le courant circulant dans la maille s’écrit :
LS
S
ZZ
VI
+=
La tension aux bornes de la charge s’écrit :
LS
SLL ZZ
VZV
+=
La puissance délivrée à la charge s’en déduit :
( ) ( )22
2
*
2)(
2
1
SLSL
LSLL
XXRR
RVIVReP
+++=⋅=
ÕÖ ×ØÙÚÛ ÜÝÙÞ ßÛ àÚ Ø!Øá#Þâ&ã ä¢å
On recherche la valeur de XL qui maximise PL :
( )( ) ( )( ) SL
SLSL
SLSL
L
L XXXXRR
XXVR
X
P −=⇔=+++
+−=∂∂
02
2 222
2
Dans ce cas, la puissance délivrée à la charge se met sous la forme
suivante :
( )2
2
2SL
LS
XXLRR
RVP
SL +=
−=
On cherche alors la valeur de RL qui maximise à nouveau PL :
( ) ( )( ) SL
SL
SLLSLS
L
XXLRR
RR
RRRRRV
R
PSL =⇔=
++−+=
∂
∂−= 0
2
2 4
22
On en déduit que le générateur délivre sa puissance maximum s’il
est chargé par son impédance conjuguée. Dans ce cas, cette
puissance vaut :
S
SLLS R
VPZZ
8
2
* =⇔=
Acceptons maintenant le fait que tout signal électrique (tension ou
courant) présent sur un circuit dont les dimensions ne sont pas très
grande devant la longueur d’onde, subit un phénomène de
propagation.
Il peut donc se décomposer en signaux incident et réfléchi :
RI
RI
III
VVV
−=+=
æç èéêëì íîêï ðì ñë é!éò#ïó&ô õö
ZS
ZL
VS
VI
VR
II
IR
Figure 1-6: Décomposition en signauxincidents et réfléchis
Il est clair que la puissance délivrée à la charge par le générateur
sera maximum s’il n’y a pas de signal réfléchi, c’est à dire si la
charge est conjuguée de l’impédance interne du générateur. Dans
ce cas :
IRI
IRI
IIII
VVVV
=−==+=
Sur la charge :
*
*
*
1
SSSI
SS
SSIL
ZZVII
ZZ
ZVVV
+==
+==
On en déduit les termes réfléchis dans le cas général :
( )( )( )
( )( )LSSS
SLSIR
LSSS
SLSSIR
ZZZZ
ZZVIII
ZZZZ
ZZZVVVV
++−
=−=
++−
=−=
*
*
*
*
÷ø ùúûüý þÿû ý ü ú!ú
On vérifie aisément que les tension et courant réfléchis s’annulent
lorsque le générateur est chargé par son impédance interne
conjuguée.
Les signaux incidents et réfléchis sont reliés entre eux
par l’impédance interne du générateur:
RSR
ISI
IZV
IZV
⋅=⋅= *
Cette impédance est appelée impédance de normalisation et on la
note souvent Z0.
RR
II
IZV
IZV
⋅=⋅=
0
0
1.2.2. Paramètres S généralisés
Les paramètres S répondent à la nécessité d’un nouvel outil de
caractérisation des circuits linéaires aux fréquences microondes.
D’un point de vue purement mathématique, les paramètres qu’ils
relient sont issus d’une combinaison linéaire des tensions et des
courants aux N accès du circuit et représentent des ondes
incidentes aj et réfléchies bj.
Au jième accès, l’onde sortante s’écrit comme une combinaison
linéaire des ondes entrantes à chacun des autres accès :
∑=
N
kkjkj aS=b
1
!"#$ %&
Les paramètres a et b sont définis par :
jRjj
j
jIjj
j
IZZ
b
IZZ
a
⋅+
=
⋅+
=
2
2*00
*00
Z0j est l’impédance de normalisation du jième port, c’est à dire
l’impédance interne du générateur connecté au port j.
Les relations inverses conduisent à :
jjj
jR
jjj
jI
bZZ
I
aZZ
I
⋅+
=
⋅+
=
*00
*00
2
2
Le courant rentrant par l’accès j s’écrit :
( )jjjj
jRjIj baZZ
III −⋅+
=−=*00
2
La tension présente à l’accès j se met sous la forme :
( )jjjjjj
jRjjIjjRjIj ZbZaZZ
IZIZVVV 0*0*
000
*0
2 ⋅+⋅⋅+
=⋅+=+=⋅
'( )*+,- ./+0 1- 2, *!*3045 67
Les expressions de Ij et Vj ci dessus nous permettent de relier les
paramètres a et b à chacun des accès aux tensions et courants à
ces mêmes accès :
( )
( )*00
*0
*00
0
2
2
jj
jjjj
jj
jjjj
ZZ
IZVb
ZZ
IZVa
+
⋅−=
+
⋅+=
REMARQUE :
La dimension de ces paramètres a et b est une racine carrée de
puissance. On verra par la suite que cette formulation permet de
traiter de façon extrêmement simple les problèmes de transfert de
puissance dans les circuits micro-ondes.
L’origine de la définition de a et b fait appel aux courants incident et
réfléchi. On les appellera donc les ondes incidente et réfléchie.
Z0j, l’impédance de normalisation à l’accès j est complexe dans le
cas général. Si on appelle R0j et X0j les parties réelle et imaginaire
de Z0j, les paramètres a et b se mettent sous la forme suivante :
j
jjjj
j
jjjj
R
IZVb
R
IZVa
0
*0
0
0
2
2
⋅−=
⋅+=
89 :;<=> ?@<A B> C= ;!;DAEF GH
Si l’impédance de normalisation est purement réelle, Z0j = R0j :
j
jjjj
j
jjjj
R
IRVb
R
IRVa
0
0
0
0
2
2
⋅−=
⋅+=
Si l’impédance de normalisation est purement réelle et commune à
tous les accès, Z0j = R0 :
0
0
0
0
2
2
R
IRVb
R
IRVa
jjj
jjj
⋅−=
⋅+=
Sauf indication contraire, nous nous placerons dans ce cas dans la
suite de ce document.
1.2.3. Application à un quadripôle
Dans le cas général, les ondes incidentes et réfléchies prennent la
forme suivante :
)Z(R2
I Z-V = b )Z(R2
I Z-V = b
)Z(R2
I Z+V = a )Z(R2
I Z+V = a
2e
222
1e
1*11
1
2e
2222
1e
1111
*2
Z1 et Z2 sont les impédances de normalisation aux accès 1 et 2.
IJ KLMNO PQMR SO TN L!LURVW XZY
Q
I
V
1
1
I 2
V2
a1
b1
a2
b2
Figure 1-7 : Ondes incidentes et réfléchies
• a1 et b1 sont les ondes incidente et réfléchie à l’accès
1
• a2 et b2 sont les ondes incidente et réfléchie à l’accès
2
Pour un quadripôle possédant une impédance de normalisation
purement résistive et commune aux 2 accès, on écrira :
11 0 1
02
2 0 2
0
11 0 1
02
2 0 2
0
a = V + R I
2 R a =
V + R I
2 R
b = V - R I
2 R b =
V - R I
2 R
Aux fréquences microondes, R0 est très souvent prise égale à 50
ohms.
1.2.4. Définition
Comme on l’a vu précédemment, les paramètres S relient entre
elles les ondes incidentes et réfléchies. Pour un quadripôle :
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
b = S a + S a
b = S a + S a
[\ ]^_`a bc_d ea f` ^!^gdhi jk
111
12S =
b
a lorsque a = 0.
C’est le rapport de l’onde réfléchie sur l’onde incidente à l’entrée du
quadripôle lorsque l’onde incidente à l’accès 2 est nulle. D’un point
de vue terminologie le rapport d’une onde réfléchie à une onde
incidente s’appelle un coefficient de réflexion. C’est la fraction
d’énergie réfléchie par le quadripôle dont on comprend bien qu’elle
devra être minimisée pour favoriser le transfert du signal à la sortie
du quadripôle.
121
21S =
b
a lorsque a = 0
C’est le «gain» inverse du quadripôle lorsque l’onde incidente à
l’accès 1 est nulle.
212
12S =
b
a lorsque a = 0
C’est le «gain» direct du quadripôle lorsque l’onde incidente à
l’accès 2 est nulle.
222
21S =
b
a lorsque a = 0
C’est le coefficient de réflexion à la sortie du quadripôle lorsque
l’onde incidente à l’accès 1 est nulle.
lm nopqr stpu vr wq o!oxuyz Z|
La mesure des paramètres S nécessite donc d’annuler tour à tour,
non pas des tensions et des courants comme pour les paramètres
descriptifs classiques mais des ondes incidentes. La nullité des
ondes a1 ou a2 se traduit par :
IR- = V 0 = a
IR- = V 0 = a
2022
1011
⇔⇔
Dans le cas général, on aura :
IZ- = V 0 = a j0jjj ⇔
Ces conditions sont réalisées lorsque l’accès considéré est chargé
par son impédance de normalisation ce qui évite d’utiliser des
références en circuit ouvert ou en court circuit.
1.2.5. Graphe de fluence
Les graphes de fluence permettent d’analyser de façon graphique
les circuits micro-ondes. On se reportera à l’annexe 5.3 pour une
présentation de cette technique.
1.2.6. Coefficient de réflexion
Dans le domaine tension-courant un dipôle est caractérisé par son
impédance Z (rapport entre tension et courant). Son équivalent
dans le formalisme des paramètres S s’appelle le coefficient de
réflexion Γ (rapport entre onde réfléchie et onde incidente).
~ !
I
V
a
b
ZL
Figure 1-8 : Réflexion sur un dipôle
Le passage entre les deux domaines est immédiat :
R2
I Z- V = b
R2
IZ + V = a
0
0
0
*0
Z + Z
Z- Z = IZ+V
I Z- V =
a
b =
0L
L
0
*0
*0Γ
Le coefficient de réflexion quantifie en amplitude et en phase
l’énergie réfléchie par le dipôle. Il existe un autre formalisme, issu
de la théorie des lignes de transmission, permettant de mesurer
l’énergie réfléchie : le Taux d’Onde Stationnaire . Cependant, celui-
ci ne donne aucune indication sur la phase de signal réfléchi. Sa
définition est la suivante :
TOS = 1+| |
1-| |
ΓΓ
! Z
Exercice :
Que peut on dire du coefficient de réflexion et du TOS des dipôles
suivants : résistance 50 Ω, résistance 100 Ω, résistance 25 Ω, court
circuit, circuit ouvert, inductance sans perte, capacité sans perte ?
Pour un quadripôle caractérisé par ses paramètres S et chargé par
un coefficient de réflexion ΓL, le coefficient de réflexion à l’entrée
s’écrit :
in1
1L
2
2
= b
a avec =
a
bΓ Γ
On utilise la définition des paramètres S
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
b = S a + S a
b = S a + S a
Qa1
b1
a2
b2
ZL
L
i n
Figure 1-9 : Réflexion d’un quadripôle chargé
On obtient : ΓΓΓ
L22
L211211
1
1in
S-1SS + S =
a
b =
Une charge sera dite adaptée si elle ne réfléchit aucune puissance (
Γ = 0).
¡ ¢£¤¥¦ §¨¤© ª¦ «¥ £!£¬©® ¯°
Dans le cas où l’impédance de charge ΓL est égale à l’impédance
de normalisation, le coefficient de réflexion à l’entrée d’un
quadripôle chargé est égal à S11. Sinon, un terme correctif tient
compte des réflexions en sortie.
On peut également calculer l’expression du coefficient de réflexion
d’un quadripôle chargé avec la théorie des graphes .
a b1 2
S1 1
S2 2
S2 1
S1 2
a2b1
±L
±
Figure 1-10: Graphe de fluence d'unquadripôle chargé
Le coefficient de réflexion Γin se définit par :
a
b = 1
1inΓ
La variable dépendante est b1. La variable indépendante est a1.
Les chemins entre a1 et b1 sont :
C1=S11
C2=S21.ΓL.S12
²³ ´µ¶·¸ ¹º¶» ¼¸ ½· µ!µ¾»¿À ÁÂ
Il n’y a qu’une seule boucle du premier ordre :
ΣL1= S22.ΓL
Il n’y a pas de boucle du second ordre :
ΣL2= 0
Le seul autre terme non nul est ΣL11 :
ΣL11 = S22.ΓL
D’après la règle de Mason :
[ ] [ ]
[ ]L
L
L
LL
321
22
212
12
111
S-1
SSS
S-1
SSS-1S
...+L-L+L-1
...+...+L+L-1C+...-L+L-1C=T
ΓΓ+=
ΓΓ+Γ=
ΣΣΣΣΣΣΣ
22
211211
22
12212211
1.2.7. Notion de puissance
1.2.7.1. Le dipôle
Dans le domaine tension courant, lorsque la tension et le courant
sont exprimés en valeur crête, la puissance délivrée à un dipôle
s’écrit :
P = 1
2 R (V I )e
*
ÃÄ ÅÆÇÈÉ ÊËÇÌ ÍÉ ÎÈ Æ!ÆÏÌÐÑ ÒÓ
I
V
a
b
ZL
Figure 1-11 : Puissance délivrée à undipôle
Dans le formalisme d’onde la puissance délivrée se met sous la
forme :
( )P = 1
2 |a| -|b| 2 2
Cette relation s’interprète de la façon suivante : la puissance
dissipée par un dipôle est égale à la différence entre la puissance
incidente et la puissance réfléchie par ce dipôle.
1.2.7.2. Le générateur
Le générateur de puissance a pour vocation de délivrer une onde
entretenue d’amplitude constante et indépendante de la charge
connectée à ses bornes.
Dans le cas général, un générateur est représenté par :
a
b
ÔL
ÔS
bS
bS
Figure 1-12 : Générateur chargé
ÕÖ ×ØÙÚÛ ÜÝÙÞ ßÛ àÚ Ø!ØáÞâã äå
L’onde incidente a est la somme de l’onde directe bS délivrée par le
générateur et de l’onde b réfléchie sur l’impédance interne du
générateur
a + bb + b = a LSSSS ΓΓ=Γ
Si l’une des charges ΓL ou ΓS est adaptée, l’onde réfléchie b ΓS
n’existe pas et la seule énergie délivrée à la charge est celle fournie
par le générateur.
La puissance disponible d’un générateur est la puissance maximale
qu’il peut délivrer si la charge est choisie de façon optimale (elle doit
être conjuguée de l’impédance interne du générateur).
Cette condition de transfert maximum de puissance s’écrit :
S L* = Γ Γ
Dans le domaine tension courant, on a vu que cette condition
s’écrivait :
Z = Z *LS
L’onde b réfléchie par la charge se met sous la forme :
b = aLΓ
On en déduit l’expression de l’onde directe a :
ΓΓ SL
S
-1b = a
æç èéêëì íîêï ðì ñë é!éòïóô õö
Remarque :
L’onde directe a peut également être vue comme la superposition
de plusieurs termes issus de réflexions successives sur la charge et
le générateur :
( ) ( )nSLSSLSSLSS bbbba ΓΓ++ΓΓ+ΓΓ+= ÷
2
Cette suite géométrique de raison ΓLΓS converge vers :
ΓΓ SL
S
-1b = a
Avec la théorie des graphes :
a
b
bs1
øs
ø øL
ø
Figure 1-13: Graphe de fluence d'ungénérateur chargé
La variable indépendante est bs, la variable dépendante est a.
Le seul chemin entre bs et a est :
C1=1
Il n’y a qu’une seule boucle du premier ordre :
ΣL1= ΓS.ΓL
ùú ûüýþÿ ý ÿ þ ü!ü
Il n’y a pas de boucle du second ordre :
ΣL2= 0
Tous les autres termes sont nuls.
D’après la règle de Mason :
[ ] [ ]LS321
22
212
12
111
-1...+L-L+L-1
...+...+L+L-1C+...-L+L-1C=TΓΓ
=ΣΣΣ
ΣΣΣΣ 1
Si la condition de transfert maximum de puissance est satisfaite,
l’onde directe devient :
||1-b = a
2S
S
Γ
La puissance délivrée par le générateur à la charge s’écrit alors :
||1-
|b|
2
1=)||(1- |a|
2
1 = )|b|-|a(|
2
1 = P 2
S
2S2
L222
avΓ
Γ
Rappel :
Dans le domaine tension courant, cette condition s’écrit :
S
2S
avR
|V| = P8
!"#$%& ' ()
1.2.7.3. Pertes d’insertion
Les pertes d’insertion d’un quadripôle se définissent comme le
rapport de la puissance délivrée à la charge PL sur la puissance
disponible du générateur Pav.
Qa1
b1
a2
b2
PL
Figure 1-14 : Pertes d’insertion d’unquadripôle
La puissance délivrée à la charge s’écrit :
( )L 22
22
P = 1
2 |b | - |a |
Dans le cas particulier où la charge est l’impédance de référence
(ΓL = 0)
L 22
P = 1
2 |b |
Egalement dans le cas particulier où l’impédance interne du
générateur est égale à l’impédance de référence (ΓS = 0), la
puissance disponible du générateur s’écrit :
av 12
P = 1
2 |a |
*+ ,-./0 12.3 4 0 5"/#-$-637 8 9:
Les pertes d’insertion d’un quadripôle inséré entre deux
impédances égales à l’impédance de normalisation s’écrivent :
IL = b
a = |S |
22
121
2
;< =>?@A BC?D E A F"@#>$>GDH I JK
1.3. Propriétés
1.3.1. La réciprocité
Les quadripôles présentant un transfert énergétique interne
identique dans les deux sens sont dit réciproques. Les conditions
suivantes traduisent la réciprocité d’un quadripôle :
12 21 c
12 21 12 21
Z = Z = 1
Y = Y S = S
∆
Pratiquement, tous les quadripôles passifs ne contenant pas de
matériaux ferrimagnétiques sont réciproques. En particulier les
quadripôles réalisés à partir de résistances, inductances, capacités,
tronçons de ligne de transmission, etc... sont réciproques.
1.3.2. La symétrie
Les quadripôles présentant des propriétés électriques identiques
lorsque l’on inverse l’entrée et la sortie sont dits symétriques. La
symétrie implique donc la réciprocité alors que l’inverse n’est pas
vrai.
Ceci se traduit par les conditions suivantes, une fois que les
conditions sur la réciprocité sont satisfaites :
11 22
11 22 11 22
Z = Z A = D
Y = Y S = S
La symétrie électrique s’accompagne d’une symétrie topologique
souvent plus rapide à mettre en évidence.
LM NOPQR STPU V R W"Q#O$OXUY Z [[
1.3.3. L’unilatéralité
L’unilatéralité d’un quadripôle est un cas particulier de non
réciprocité. Non seulement le transfert interne d’énergie n’est pas
identique dans les deux sens, mais en plus il est nul pour l’une des
deux directions de propagation du signal. Les conditions électriques
à satisfaire sont les suivantes :
12 c
12 12
Z = 0 = 0
Y = 0 S = 0
∆
Le transistor est un exemple typique de quadripôle unilatéral (pour
peu que l’on soit loin de sa fréquence de coupure) puisqu’il
n’amplifie le signal que dans un sens.
1.3.4. L’idéalité
Un quadripôle est dit idéal lorsqu’il ne dissipe aucune puissance de
façon interne. La non transmission d’énergie, dans toute ou partie
d’une bande de fréquence, pour un quadripôle de ce type ne peut
provenir que de la réflexion de cette puissance. Cette propriété se
traduit par :
unitaire) dite alors est Smatrice (la[1] = ][S[S]
)j( = Y
)j( = Z
*t
ij
ij
\\
]^ _`abc deaf g c h"b#`$`ifj k lm
Pour un quadripôle, deux relations importantes, mettant en
évidence le bilan de puissance dans les sens direct et inverse, sont
issues de cette dernière expression :
1
12
22
2
12
2
21
2
11
=+
=+
SS
SS
La troisième indique que les phases de chacun des paramètres ne
sont pas indépendantes :
022*2112
*11 =+ SSSS
En ce qui concerne la matrice chaîne, sa diagonale principale est
purement réelle, l’autre étant purement imaginaire.
Les quadripôles formés d’éléments inductifs et capacitifs, lorsqu’ils
sont utilisés très loin de leur fréquence de résonance, peuvent être
considérés idéaux. L’observation de leur coefficient de qualité à la
fréquence de travail fournit alors des renseignements précieux.
De la même manière les quadripôles formés de tronçons de ligne
de transmission sont souvent considérés sans pertes s’ils sont
correctement choisis dans leur type, leurs dimensions et leur
fréquence de travail.
1.3.5. Le quadripôle réciproque passif sans pertes
L’étude du cas particulier que représente cette famille de
quadripôles est justifiée par son emploi intensif lors de la conception
des réseaux d’adaptation micro-ondes.
no pqrst uvrw x t y"s#q$qzw | ~
Le développement de la relation d’unitarité de la matrice [S] conduit
à :
0 = S S + S S
1 = |S| + |S|
1 = |S| + |S|
*2212
*1211
222
212
212
211
On en déduit que les modules des paramètres S11 et S22 d’un
quadripôle réciproque passif sans pertes sont égaux.
La troisième relation permet d’établir une relation entre les phases
des paramètres S11 , S12 et S22. Cette relation se simplifie si le
quadripôle est symétrique.
1211 22
= +
2 +
2Φ
Φ Φ π
La caractérisation des circuits linéaires en haute fréquence doit
donc utiliser un formalisme différent tenant compte du phénomène
de propagation proche des phénomènes optiques.
1.3.6. Décalage des plans de référence
Aux fréquences microondes, la longueur d’onde est du même ordre
de grandeur que la taille du circuit. Il en résulte une variation rapide
des tensions et des courants incidents et réfléchis aux accès des
circuits. La mesure des paramètres S qui en découle nécessite la
détermination des plans de mesure également appelés plans de
référence. De façon pratique, ceux ci sont fixés par le système de
mesure : pour l’analyseur de réseau vectoriel il s’agira des
connecteurs utilisés pour la calibration.
"#$
S
P2P1
Figure 1-15: Plans de référence d'unquadripôle
Si on souhaite connaître les paramètres S définis par rapport à
d’autres plans de référence, tout se passe comme si la mesure était
effectuée dans les conditions indiquées sur la figure ci dessous.
P2
P1
P'1
P'2
[ S']
[ S]
Figure 1-16: Insertion de quadripôles connus aux accès du quadripôle à mesurer
Intuitivement on comprend bien que la connaissance des
quadripôles insérés à chacun des accès, associée à la
connaissance des paramètres S du quadripôle initial permet de
caractériser complètement le quadripôle global.
"#$
Ce problème est particulièrement simple à résoudre lorsque les
quadripôles insérés aux accès sont des lignes de transmission
d’impédance caractéristique l’impédance de référence du système
de mesure (50 ohms dans la quasi totalité des cas). Il suffit en effet
de définir la matrice caractéristique de déplacement des plans de
référence :
[ ]
= −
−
2
1
exp0
0expl
l
Dγ
γ
¡£¢ ¤¦¥¨§ ©«ª¦¬®¯¤°¥±©²³¥´¢¶µ·¢¹¸·º´¬®¸»© ¼·©¥½ ¬®¾ª¦¬®¿À¸·§ ¢¯Á¯¢Â¤»Ã·ºÄ§ ©Å§Æ½ ¼²»¢ÈÇȧ1 et l2 les
longueurs des tronçons de ligne aux accès 1 et 2.
La matrice S du quadripôle global s’écrit alors :
[ ] [ ][ ][ ]DSDS ='
Cette relation s’étend sans aucun problème aux systèmes à n
accès. La matrice de déplacement s’écrit alors :
[ ]
=
−
−
nl
l
D
γ
γ
exp00
00
00
00exp 1
ÉÊË
ËÊÉ
ÌÍ ÎÏÐÑÒ ÓÔÐÕ Ö Ò ×"Ñ#Ï$ÏØÕÙ Ú ÛÜ
Les paramètres S dans les nouveaux plans de référence
s’expriment de la façon suivante :
( )
=
=+−
−
ji
i
ll
ijij
liiii
SS
SSγ
γ
exp
exp'
2'
En pratique, c’est très souvent la relation réciproque que l’on utilise.
Elle permet en effet de connaître les paramètres S d’un dispositif
dans des plans qui ne sont pas accessibles à la mesure. C’est
notamment le cas pour les circuits intégrés MMIC. Cette opération
s’appelle le « deembedding ».
ÝÞ ßàáâã äåáæ ç ã è"â#à$àéæê ë ì±í
1.4. Stabili té des quadripôles
L’étude des quadripôles non réciproques est fondamentale pour
l’étude de la plupart des circuits micro-ondes, et plus précisément
pour les circuits actifs (amplificateurs, oscillateurs, etc ...).
Considérons donc un quadripôle quelconque (caractérisé par ses
paramètres S) chargé par deux impédances quelconques.
S î L
î 2î 1
î S
Figure 1-17 : Conventions pour l’étudedes quadripôles non réciproques
Puisque le quadripôle est caractérisé par sa matrice [S], on peut
écrire :
1 1112 21 L
22 L
11 S L
22 L
= S +S S
1- S =
S -
1- SΓ
ΓΓ
∆ ΓΓ
2 2212 21 S
11 S
22 S S
11 S
= S +S S
1- S =
S -
1- SΓ
ΓΓ
∆ ΓΓ
Si les charges sont passives (c’est-à-dire à partie réelle positive) la
condition de stabilité d’un quadripôle se traduit par |Γ1| < 1 et |Γ2| <
1. Autrement dit, un quadripôle stable ne peut pas réfléchir plus
d’énergie qu’il n’en reçoit.
ïð ñòóôõ ö÷óø ù õ ú"ô#ò$òûøü ý þÿ
La première condition (respectivement la deuxième condition) peut
s’écrire
|S - |<|1- S | (respectivement |S - |<|1S | ).11 s L 22 L 22 s s 11 s∆ Γ Γ ∆ Γ Γ
On peut déterminer la frontière d’instabilité en résolvant les
équations |Γ1| = 1 et |Γ2| = 1 dans les plans de ΓL et ΓS. Les
solutions sont des cercles (appelés cercles de stabilité) dont les
équations caractéristiques sont :
L22 S 11
* *
222
S2
12 21
222
S2 -
( S - S )
|S | -| | =
S S
|S | -| |Γ
∆∆ ∆
S11 S 22
* *
112
S2
12 21
112
S2 -
( S - S )
|S | -| | =
S S
|S | -| |Γ
∆∆ ∆
Les valeurs de ΓL (respectivement ΓS ) conduisant à |Γ1| = 1
(respectivement |Γ2| = 1 ) forment un cercle de centre
122 S 11
* *
222
S2C =
( S - S )
|S | -| |
∆∆
(Respectivement 211 S 22
* *
112
S2C =
( S - S )
|S | -| |
∆∆
)
et de rayon 112 21
222
S2R =
S S
|S | -| |∆(Respectivement 2
12 21
112
S2R =
S S
|S | -| |∆)
appelé cercle de stabilité en sortie (respectivement cercle de stabilité en entrée).
A un point de fréquence, on peut mesurer les paramètres S d’un
quadripôle, et connaissant les charges, calculer les équations des
cercles de stabilité pour les représenter sur l’abaque de Smith.
Figure 1-18 : Cercles de stabilité
L’intersection des cercles de stabilité en sortie (respectivement en
entrée) avec l’abaque de Smith forme une zone qui est la partie
instable de l’abaque si |S11| < 1 (respectivement |S22| < 1 ) et la
partie stable si |S11| > 1 (respectivement |S22| > 1 ).
Les deux cas de figure sont représentés sur la figure ci dessous.
zo n e in stab les i |S | < 1
1 1
zo n e stab les i |S | > 1
1 1
Figure 1-19 : Zones de stabilité etd’instabilité
Si la charge de sortie (respectivement d’entrée) est une charge 50
ohms, le coefficient de réflexion en entrée (respectivement en
sortie) est égal à S11 (respectivement S22). La stabilité de la zone
! "#$%& '($) *& +%##,)-. /10
incluant le centre de l’abaque est donc dictée par les coefficients de
réflexion propres du quadripôle. Cette zone sera donc stable si |S11|
< 1 (respectivement |S22| < 1 ) et instable si |S11| > 1
(respectivement |S22| > 1 ).
La stabilité inconditionnelle d’un quadripôle est acquise lorsque
aucune charge passive (en sortie ou en entrée) ne conduit à un
coefficient de réflexion (en entrée ou en sortie) de module supérieur
à un. Dans les cas les plus courants, les quadripôles utilisés aux
hyperfréquences ont des coefficients de réflexion propres de
module inférieur à l’unité, et on obtient la stabilité inconditionnelle
lorsque les cercles de stabilité sont complètement à l’extérieur de
l’abaque, ou l’entourent complètement. La Figure 1.14 est une
illustration de cette propriété de la stabilité inconditionnelle des
quadripôles.
zo n e s tab le
Figure 1-20 : Stabilité inconditionnelle
23 45678 9:6; <8 =755>;?@ AB
Ces conditions s’écrivent :
1|<S| si 1 > |R-|C||
.
1|<S| si 1 > |R-|C||
2222
1111
REMARQUE :
Si les coefficients de réflexion propres du quadripôle ont un module
supérieur à l’unité, il ne peut pas y avoir de stabilité inconditionnelle
puisque le centre de l’abaque est instable par définition.
On peut également traduire les conditions de stabilité
inconditionnelle en introduisant K, le facteur de stabilité de Rollett:
2112
22
22
2
11
2
1
SS
SSK s∆+−−
=
Les conditions nécessaires et suffisantes s’écrivent alors sous l’une
ou l’autre des trois formes suivantes:
<∆>
>∆−−+=
>
>−
>−
>
1
1
01
1
1
1
1
22
22
2
11
2112
2
22
2112
2
11
S
s
K
SSB
K
SSS
SSS
K
CD EFGHI JKGL MI NHFFOLPQ R1R
1.5. Transfert de puissance dans les c ircuits
microond es
Lors de la conception de circuit micro-ondes, on utilise plusieurs
grandeurs caractéristiques du transfert de puissance que l’on va
détailler maintenant.
1.5.1. Pertes par désadaptation
Le calcul des pertes par désadaptation utilise les conventions de la
figure 1.21.
PLP
A VS
Figure 1-21 : Pertes par désadaptation
Les pertes par désadaptation ML (Mismatch Loss) se définissent
comme le rapport de la puissance effectivement délivrée à la
charge sur la puissance disponible de la source:
AVS
L
P
PML =
ST UVWXY Z[W\ ]Y ^XVV_\`a b1c
On a vu précédemment que la puissance disponible d’un
générateur de coefficient de réflexion interne ΓS s’écrit :
2
2
12
1
S
SAVS
bP
Γ−=
La puissance délivrée à la charge vaut :
( ) ( )22
1
2
1
2
1 12
1
2
1LL abaP Γ−=−=
On voit que les pertes par désadaptation font apparaître le rapport
a1/bS:
( )( )222
1 11 LSSb
aML Γ−Γ−=
Ce rapport vaut :
LSSb
a
ΓΓ−=
1
11
Finalement les pertes par désadaptation s’écrivent :
( )( )2
22
1
11
LS
LSMLΓΓ−
Γ−Γ−=
Exemple :
Les pertes par désadaptation entre une charge 40 Ω et une charge
60 Ω valent : dB 18.004.1 ==ML
de fghij klhm nj oiggpmqr s1t
1.5.2. Gains en puissance des quadripôles
On définit le gain transducique GT comme le rapport de la
puissance délivrée à la charge sur la puissance disponible du
générateur. Le gain en puissance GP représente le rapport de la
puissance délivrée à la charge sur la puissance entrant
effectivement dans le quadripôle. Enfin, le gain disponible se définit
comme le rapport de la puissance disponible du quadripôle sur la
puissance disponible du générateur.
S
Pi n
PA VN
PLP
A VS
Figure 1-22 : Puissances mises en jeu
uv wxyz |y~ zxx~
Ces différents gains s’expriment en fonction des paramètres S du
quadripôle et des coefficients de réflexion de source et de charge
(les différentes expressions provenant de la façon de calculer les
gains) :
( ) ( )( )( )
||1-|S|
S
||1-
P
PG
S-1
||1-|S|
P
PG
-1
||1-|S|
S
||1-
S-1
||1-|S|
||1-
SSS-1S-1
||1-|S|||1-
P
P= G
2
221
S
2S
AVS
AVNA
L22
2L2
21
IN
LP
L2
2L2
21
S
2S
L22
2L2
21
S
2S
LSL22S11
2L
221
2S
AVS
LT
ΓΓ−Γ==
ΓΓ
Γ−==
ΓΓΓ
Γ−Γ=
ΓΓ
ΓΓ−Γ=
ΓΓ−ΓΓΓΓ=
22
11
22
1
22
11
22
1
2
2112
1
1
1
1
11
Le gain transducique est toujours inférieur ou égal au gain
disponible GA (respectivement au gain en puissance GP), l’égalité
n’étant assurée que pour un transfert de puissance optimum en
sortie (respectivement en entrée).
1.5.2.1. Calcul du gain transducique avec les
graphes
On peut établir la formule du gain transducique en utilisant la
théorie des graphes.
1
a b1 2
S1 1
S2 2
S2 1
S1 2 a2b1
bs1
s
L
Figure 1-23: Graphe de fluence d'unquadripôle alimenté et chargé
Le gain transducique est le rapport entre la puissance délivrée à la
charge PL et la puissance disponible du générateur PAVS.
On peut mettre PL et PAVS sous la forme suivante :
( ) ( )22
2
2
2
2
2 12
1
2
1LL babP Γ−=−=
2
2
12
1
S
SAVS
bP
Γ−=
Le calcul du gain transducique se réduit donc au calcul de la
fonction de transfert entre bs et b2 :
( )( )222
2 11 LSSAVS
LT b
b
P
PG Γ−Γ−==
Le seul chemin entre bs et b2 est :
C1 = S21
Les boucles du premier ordre sont : ΓSS11, ΓLS22 et S12S21ΓSΓL
Il existe ici une boucle du second ordre : ΓSS11ΓLS22
¡ ¢ £¤¡¥¦ §¨
On en déduit la fonction de transfert entre bs et b2 :
( ) 221121122211
212
1 SSSSSS
S
b
b
LSLSLSS ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−=
Le gain transducique s’en déduit par factorisation du dénominateur :
( )( ) ( ) ( )( )( ) 2
21122211
22
21
222
2
2
11
1111
LSLS
LSLS
SAVS
LT
SSSS
S
b
b
P
PG
ΓΓ−Γ−Γ−
Γ−Γ−=Γ−Γ−==
1.5.2.2. Calcul littéral du gain transducique
Cette façon de procéder diffère uniquement par la manière de
calculer la fonction de transfert entre bS et b2. Il s’agit ici de la
décomposer comme suit :
SS b
a
a
b
b
b 1
1
22 ⋅=
Les équations qui régissent le comportement d’un quadripôle
alimenté et chargé sont rappelées ci dessous :
Γ=Γ=
+=+=
22
11
2221212
2121111
ba
ba
aSaSb
aSaSb
L
S
On en déduit :
LS
S
a
b
Γ−=
22
21
1
2
1
On a également vu (paragraphe 1.2.7.2) que l’onde directe émise
par un générateur (bS, ΓS) vers une charge ΓL se mettait sous la
forme :
©ª «¬®¯ °±² ³¯ ´®¬¬µ²¶· ¸¹
1ΓΓ SL
S
-1b = a
Ici la charge est égale à Γ1, le coefficient de réflexion d’entrée du
quadripôle chargé par ΓL:
ΓΓ=
ΓΓ SSS
S
-1b
a
-1b = a
1
1
11
1où d'
On aboutit à une autre forme du gain transducique :
( )( ) ( ) ( )( )( ) 2
221
22
21
222
2
1
2
1
2
11
1111
LS
LSLS
SAVS
LT
S
S
b
a
a
b
P
PG
Γ−ΓΓ−
Γ−Γ−=Γ−Γ−==
1.5.2.3. Relations entre les gains en puissance
Les trois gains sont bien entendu reliés entre eux, et la seule
connaissance du gain transducique (le plus général des trois) suffit
pour retrouver les deux autres puisqu’il tient compte du quadripôle
lui-même, mais aussi des deux impédances de charge. En effet, le
gain en puissance (respectivement le gain disponible) s’obtient en
supposant l’adaptation d’entrée (respectivement de sortie) idéale
dans la formule du gain transducique. Les adaptations idéales en
entrée et en sortie se traduisent par Γ1 = Γ*S et Γ2 = Γ*
L .
1.5.2.4. Relation entre gain transducique et
pertes par désadaptation
Le calcul des pertes par désadaptation peut être effectué à l’aide du
gain transducique d’un quadripôle particulier dont les paramètres S
sont donnés ci dessous :
S11 = 0, S12 = 1, S21 = 1 et S22 = 0
º» ¼½¾¿À Á¾à ÄÀ Å¿½½ÆÃÇÈ ÉÊ
On obtient alors :
( )( )2
22
1
111
LS
LST ML
GΓΓ−
Γ−Γ−==
1.5.2.5. Expression du gain transducique en
fonction des paramètres chaîne
En fonction des paramètres chaîne, la tension et le courant à
l’entrée du quadripôle s’expriment en fonction de la tension et du
courant à la sortie :
221
221
DICVI
BIAVV
−=−=
Si la sortie est chargée par ZL, on a :
22 IZV L−=
ce qui permet d’écrire :
( )( ) 21
21
IDCZI
IBAZV
L
L
+−=+−=
La puissance disponible du générateur vaut :
2
2
22
11
2
888I
R
DZZCZBAZ
R
IZV
R
EP
S
SLSL
S
S
S
SAVS
+++=
+==
La puissance dissipée dans la charge s’écrit :
ËÌ ÍÎÏÐÑ ÒÓÏÔ ÕÑ ÖÐÎÎ×ÔØÙ Ú1Û
2
22
1IRP LL =
Le gain transducique s’en déduit :
2
4
SLSL
LS
AVS
LT
DZZCZBAZ
RR
P
PG
+++==
1.5.2.6. Gain transducique unilatéral
Une simplification importante intervient pour les quadripôles
unilatéraux (S12 = 0). Le gain transducique associé (appelé gain
transducique unilatéral) se simplifie de la façon suivante :
TUS
2
11 S2 21
2 L2
22 L2G =
1-| |
|1- S | |S |
1-| |
|1- S |
ΓΓ
ΓΓ
Puisqu’il n’y a plus de réaction de la sortie sur l’entrée, on peut
donner une signification physique aux trois termes qui composent
ce gain. Le premier caractérise le transfert d’énergie entre le source
et le quadripôle, le second représente le gain propre du quadripôle,
alors que le troisième mesure la désadaptation en sortie.
ÜÝ Þßàáâ ãäàå æâ çáßßèåéê ëì
Si les adaptations en entrée et en sortie sont parfaites (ΓS = S*11 et
ΓL = S*22) le gain unilatéral sera maximum et vaudra :
TUmax11
2 212
222G =
1
1-|S | |S |
1
1-|S |
Lorsque l’on calcule des circuits amplificateurs aux fréquences
micro-ondes (quelques GHz), on utilise souvent cette formule pour
approximer le gain maximum que l’on peut espérer tirer de
l’amplificateur si le transistor peut être considéré unilatéral (|S12| < -
20 dB).
Exemple :
Considérons un transistor MESFET AsGa possédant les
paramètres S suivants à 1 GHz (transistor Avantek ATF-25735) :
S11=0.94 exp –j 45° S12=0.04 exp –j 64°
S21=4.61 exp j 142° S22=0.52 exp –j 20°
Le gain du transistor entre deux charges 50 ohms vaut :
dB 3.1325.212
2150 ===Ω SG
íî ïðñòó ôõñö ÷ó øòððùöúû ü1ý
Si on place le transistor entre ses deux charges complexes
conjuguées, le gain vaut alors :
dB 244.13.133.9
25037.125.2159.8
1
1
1
12
22
2
212
11
max
=++==××=
−−=
SS
SGtu
Favoriser le transfert de puissance aux accès augmente le gain et
ceci d’autant plus que le coefficient de réflexion propre du transistor
est éloigné de 50 ohms.
1.5.3. Gain en tension
On peut exprimer les tensions à l’entrée et à la sortie d’un
quadripôle en fonction des ondes incidentes et réfléchies aux
accès.
V2
V1
VS
þi n
þS
Zi n
ZS þ
LZ
L
Figure 1-24: Conventions pour le calculdu gain en tension
ÿ
Si R0 est la résistance de normalisation :
( )( )
+=
+=
2202
1101
baRV
baRV
On peut définir une forme de gain en tension du quadripôle de la
façon suivante :
11
22
1
2
ba
ba
V
VGV +
+==
On peut calculer ce gain en tension avec la théorie des graphes en
introduisant la variable indépendante bS :
SS
SSV
b
b
b
ab
b
b
a
ba
ba
V
VG
11
22
11
22
1
2
+
+=
++
==
Il ne reste plus qu’à calculer les 4 fonctions de transfert
élémentaires.
Les boucles du premier ordre sont : ΓSS11, ΓLS22 et S12 S21ΓSΓL
Il n’y a qu’une boucle du second ordre : ΓSS11ΓLS22
Avec la règle de Mason on obtient :
( ) 221121122211
212
1 SSSSSS
S
b
a
LSLSLS
L
S ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−Γ
=
( ) 221121122211
212
1 SSSSSS
S
b
b
LSLSLSS ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−=
!"#$ % &"' ($ )#!!*'+, -.
( ) 221121122211
221
1
1
SSSSSS
S
b
a
LSLSLS
L
S ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−Γ−
=
( )( ) 221121122211
211222111
1
1
SSSSSS
SSSS
b
b
LSLSLS
LL
S ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ−Γ+Γ−
=
On en déduit le gain en tension :
( )( ) LLL
LV SSSSS
SG
Γ+Γ−+Γ−Γ+
=2112221122
21
11
1
On peut en tirer l’expression du gain en tension G’V défini comme le
rapport entre la tension de sortie V2 et la tension aux bornes du
générateur non chargé VS :
( ) ( )( )
( )( ) LLL
L
inS
Sin
Sin
inV
SS
VSSSSS
S
ZZ
ZG
V
V
V
V
V
VG
Γ+Γ−+Γ−Γ+
ΓΓ−Γ−Γ+
=+
===2112221122
211
1
22'
11
1
12
11
1.5.3.1. Relation entre gain en tension et gain
transducique
On rappelle que le gain transducique est défini comme le rapport de
la puissance délivrée à la charge sur la puissance disponible du
générateur.
Avec les conventions utilisées, et en posant :
)(
)(
LL
SS
ZReR
ZReR
==
/0 12345 6 738 95 :422;8<= >?
On obtient :
2'2
2
2
2
2
2
44
8
2
1
VL
S
SL
S
S
S
L
AVS
LT G
R
R
V
V
R
R
R
V
R
V
P
PG ====
@A BCDEF G HDI JF KECCLIMN OP
2. DISPOSITIFS MICROONDES
QR STUVW X YUZ [W \VTT]Z^_ `ba
2.1. L’atténuateur
2.1.1. Fonctionnement
L’atténuateur idéal est un quadripôle réciproque, dissipatif
parfaitement adapté. En conséquence, sa matrice S s’écrit :
S = 0 S
S 0 avec |S |< 1
12
12
12
Lorsqu’un tel quadripôle est inséré entre deux charges égales à la
résistance de normalisation, l’atténuation introduite vaut : A = 20 log
|S21| dB
En pratique, on tient compte d’une éventuelle désadaptation, d’un
déphasage parasite voire d’une dépendance en fonction de la
fréquence.
2.1.2. Technologie
Les atténuateurs microondes peuvent être fixes ou variables voire
commandables par un signal logique suivant la technologie et la
topologie employées pour les concevoir.
cd efghi j kgl mi nhffolpq r s
2.1.2.1. Eléments localisés
Les structures les plus courantes sont les structures en pi et en té.
Z1Z2
Z3
Z1 Z2
Z3
Figure 2-1 : Topologies d’atténuateursrésistifs
Les valeurs des résistances sont fonction de l’atténuation souhaitée
et des impédances de fermeture.
• Pour la structure en pi:
ZZ
A
1-A
2 = Z
Z-1-A
1+A
Z
1 = Z
Z-1-A
1+A
Z
1 = Z
outin3
3out
2
3in
1
tu vwxyz |x ~z yww b
• Pour la structure en té :
1-A
AZZ2 = Z
Z-1-A
1+AZ = Z
Z-1-A
1+AZ = Z
outin3
3out2
3in1
Si on souhaite une plus grande latitude dans le choix des
composants, ou une puissance dissipée plus importante, la
structure en té ponté peut être utilisée :
Rc
Rs R s
R p
Figure 2-2 : Atténuateur en té ponté
2.1.2.2. Guide d’onde
Un guide d’onde sous la coupure met en jeu des ondes
évanescentes dont l’atténuation dépend de la fréquence de travail
et de la distance parcourue. En faisant varier cette distance par des
dispositifs micrométriques on règle avec précision l’atténuation
introduite dans le signal.
2.1.2.3. Circuits intégrés
Les transistors MESFET utilisés dans les circuits intégrés MMIC
peuvent être utilisés comme résistance commandable pour former
des atténuateurs en pi ou en té.
2.1.3. Applications
Voici une liste non exhaustive des applications d’un atténuateur.
2.1.3.1. Protection d’un appareil de mesure
Un atténuateur peut être utilisé pour protéger un dispositif contre les
trop fortes puissances. Il est courant d’introduire une telle protection
dans une chaîne de mesure où les récepteurs sont toujours limités
en puissance d’entrée (analyseur de spectre, analyseur de réseau
vectoriel).
> 10 d B
40 d B m 30 dB mm ax !
Figure 2-3 : Protection d’un appareil demesure
¡¢£¤ ¥b¦
2.1.3.2. Masquage d’une désadaptation
En introduisant un atténuateur en amont d’un dispositif désadapté
(de manière permanente ou accidentelle), on affaiblit le signal
réfléchi ce qui a pour effet d’améliorer la protection de la source.
10 d B10 d B m
| § | = 1
- 1 0 dB m 0 dB m
0 dB m
Figure 2-4 : Masquage d’unedésadaptation
L’inconvénient réside dans l’affaiblissement simultané du signal
réfléchi mais également du signal incident.
¨© ª«¬® ¯ °¬± ²® ³««´±µ¶ ·¸
2.2. Le déphaseur
2.2.1. Fonctionnement
Le déphaseur idéal est un quadripôle réciproque non dissipatif,
parfaitement adapté. Sa matrice S est donc de la forme :
S = 0
0
j
j
Φ
Φ
exp
exp
Lorsqu’un tel déphaseur est inséré entre deux charges égales à la
résistance de normalisation, le déphasage introduit vaut : Arg (S21)
= φ.
En pratique on tient compte d’une éventuelle désadaptation, d’une
atténuation parasite, voire d’une dépendance en fonction de la
fréquence.
2.2.2. Technologie
Les déphaseurs microondes peuvent être fixes ou variables voire
commandables par un signal logique suivant la technologie et la
topologie employées pour les concevoir.
2.2.2.1. Eléments localisés
Les structures en pi, passe haut ou passe bas permettent
d’apporter un déphasage positif ou négatif.
¹º »¼½¾¿ À Á½Â ÿ ľ¼¼ÅÂÆÇ ÈÉ
Figure 2-5 : Topologies de déphaseurs
Exemple :
On souhaite réaliser un déphaseur 90° sy métrique, sans pertes,
adapté fonctionnant à la fréquence de 1 GHz à partir d’une
topologie en pi. On prendra les conventions de la figure suivante :
3.2 p F
8 n H8 n H
Figure 2-6: Structure en pi
La matrice S du déphaseur se met sous la forme suivante :
=
°
°
0j
j0
0
0 = S
j
j
D
exp
exp
90
90
La matrice chaîne permet de cascader facilement des éléments
série et parallèle en utilisant les matrices élémentaires fournies en
annexes.
ÊË ÌÍÎÏÐ Ñ ÒÎÓ ÔÐ ÕÏÍÍÖÓ×Ø ÙÙ
La matrice chaîne du circuit en pi s’écrit :
++
+
yzyzy
zyz = CC
1)2(
1
En utilisant les formules de passage des paramètres S vers les
paramètres chaîne également données en annexe, on obtient :
−
−
0j
j0 = CD
En égalant les matrices CC et CD, on obtient les impédances
normalisées:
jy
jz
−=−=
L’élément série est donc une capacité alors que les éléments
parallèles sont des inductances :
ω
ω
jLjy
jCjz
50
50
1
=−=
=−=
En dénormalisant par rapport à 50 ohms et 1 GHz, on obtient la
structure finale.
ÚÛ ÜÝÞßà á âÞã äà åßÝÝæãçè éê
3.2 p F
8 n H8 n H
Figure 2-7 : Déphaseur 90° à 1 GHz
2.2.2.2. Eléments distribués
Aux fréquences microondes, les dimensions du circuit ne sont ni
très petites devant la longueur d’onde (comme c’est le cas aux
basses fréquences), ni très grandes (comme c’est le cas en
optique). Un déphasage significatif est donc apporté dès que le
signal se propage sur quelques centimètres. On comprend bien
qu’un tronçon de ligne de transmission permet de réaliser cette
fonction.
Un cable coaxial dont le diélectrique central possède une
permittivité diélectrique relative de 2.1 apporte un déphasage de
90ë
à 1 Ghz s’il mesure 5.2 cm.
2.2.2.3. Circuits intégrés
Les topologies utilisées en éléments localisés sont directement
transposable, dans leur principe, aux circuits intégrés MMIC.
ìí îïðñò ó ôðõ öò ÷ñïïøõùú ûü
2.2.3. Applications
Un déphaseur 90° peut être utilisé dans un modulateur
hyperfréquences pour générer deux signaux en quadrature.
90°
+
V o ie I
V o ie Q
Figure 2-8 : Modulateur QAM
Ce type de modulateur se retrouve par exemple dans les émetteurs
de radiocommunications spatiales ou terrestres. On le retrouve
également dans la partie démodulation des récepteurs
correspondants.
ýþ ÿ
2.3. L’isolateur
2.3.1. Fonctionnement
L’isolateur idéal est un quadripôle dissipatif parfaitement adapté.
Si on prend la convention d’un transfert d’énergie de l’accès 1 vers
l’accès 2, sa matrice S s’écrit :
0
0 = S
1
0
Par définition, un tel dispositif est non réciproque puisqu’il transmet
parfaitement le signal dans un sens, alors qu’il l’atténue infiniment
dans l’autre sens.
En pratique, on tient compte d’une éventuelle désadaptation, d’une
atténuation dans le sens direct, d’une atténuation non infinie dans le
sens inverse et d’une dépendance en fonction de la fréquence.
2.3.2. Technologie
2.3.2.1. Technologie hybride
Les isolateurs passifs sont réalisés à partir de morceaux de ferrites
montés sur support et connectorisés. Les ferrites sont des
matériaux dont le comportement dépend de l’orientation du champ
électrique qui lui est appliqué.
2.3.2.2. Circuits intégrés
On peut utiliser les S12 des transistors MESFET pour réaliser des
isolateurs MMIC qui ont l’avantage d’avoir une taille réduite mais
présentent l’inconvénient d’accepter une puissance relativement
faible sous peine de destruction.
!"# $%! & '# (" )&*+ ,-
2.3.3. Applications
La principale application d’un isolateur consiste à protéger une
source d’un circuit de charge éventuellement désadapté.
10 d B m
| . | = 1
0 m W 1 0 dB m
1 0 dB m
Figure 2-9 : Protection d’une sourceavec un isolateur idéal
Un isolateur idéal apporte une protection parfaite de la source sans
affaiblir le signal incident.
En pratique on tient compte des imperfections de cet isolateur. On
suppose que sa matrice S s’écrit sous la forme suivante :
−
−
0
0 = S
dB 1
dB 20
On obtient alors le diagramme de transfert de puissance suivant :
10 d B m
| . | = 1
-11 dB m 9 dB m
9 dB m- 1 d B
- 20 dB
Figure 2-10 : Protection d’une sourceavec un isolateur réél
/0 12345 673 8 95 :422;8<= >?
2.4. Le circulateur
2.4.1. Fonctionnement
Un circulateur idéal est un hexapôle non dissipatif parfaitement
adapté. Sa matrice S s’écrit :
=
010
001
100
S
La distribution des signaux est conforme à la figure suivante :
1 2
3
Figure 2-11 : Circulateur idéal
En pratique, on tient compte d’une éventuelle désadaptation, d’une
atténuation dans le sens direct, d’une isolation non infinie dans le
sens inverse et d’une dépendance en fonction de la fréquence.
2.4.2. Technologie
D’un point de vue technologique, le circulateur met en oeuvre des
techniques identiques à celles utilisées pour les isolateurs. Très
souvent, les isolateurs hybrides sont constitués de circulateurs dont
l’un des accès est chargé par 50 ohms.
@A BCDEF GHD I JF KECCLIMN OQP
1 2
3
Figure 2-12 : Equivalence entrecirculateur chargé et isolateur
Suivant les imperfections de la charge, l’isolation équivalente varie
de la façon suivante :
T O S
Iso lat io n
1 2 3 4
0 d B
20 d B
Figure 2-13 : Dépendance de l’isolationen fonction de la charge
RS TUVWX YZV [ \X ]WUU^[_` ab
2.4.3. Applications
Voici une liste non exhaustive des applications mettant en jeu des
circulateurs.
2.4.3.1. Duplexage
Deux circulateurs peuvent être utilisés pour partager une antenne
entre un émetteur et un récepteur.
A n ten n e
Emet teu r
Récep teu r
50 o h ms
Figure 2-14 : Duplexeur
L’isolation entre émetteur et récepteur peut être relativement
importante (30 à 40 dB).
cd efghi jkg l mi nhffolpq rQs
2.4.3.2. Amplification à résistance négative
Aux fréquences élevées, les composants actifs ne sont pas toujours
disponibles et les amplificateurs peuvent être réalisés à partir de
dispositifs à résistance négative à base de diodes Gunn par
exemple.
I n p u tR < 0
O u t p u t
Figure 2-15 : Amplification à résistancenégative
tu vwxyz |x ~z yww Q
2.5. Diviseurs. Combineurs de puissance
2.5.1. Fonctionnement
Les diviseurs et combineurs de puissance sont des dispositifs
possédant au minimum trois accès. Lorsqu’ils sont utilisés en
diviseurs, il y a un accès d’entrée et deux ou plusieurs accès de
sortie. Les accès de sortie peuvent être isolés ou non. Lorsqu’ils
sont utilisés en combineurs, il y a deux ou plusieurs accès d’entrée
et un accès de sortie.
Pour le cas particulier d’un dispositif à 3 accès, la matrice S d’un
diviseur de puissance idéal dont les accès sont isolés est la
suivante (s’ils ne le sont pas, les paramètres S32 et S23 sont non
nuls):
S =
0 S S
S 0 0
S 0 0
21 31
21
31
La convention prise pour les accès est la suivante :
Diviseur1
2
3
Figure 2-16 : Diviseur de puissance
Q
Pour un combineur de puissance à 3 accès, la matrice S s’écrit :
0
00
00
32
32
SS
S
S
= S
31
31
La convention prise pour les accès est précisée dans la figure ci-
dessous.
Combineur
1
2
3
Figure 2-17 : Combineur de puissance
Si l’isolation entre les accès 2 et 3 (dans le cas de l’utilisation en
diviseur de puissance) n’est pas infinie., le paramètre S23 est non
nul. Les paramètres S23 et S32 ne sont nuls que si les accès 2 et 3
sont isolés.
Ces circuits sont généralement réversibles mais l’analyse de leur
comportement lorsqu’ils sont utilisée en combineurs de puissance
n’est simple, en général, que si les signaux à recombiner ont même
amplitude et même phase. Dans le cas contraire, il faut faire le
calcul littéral à partir de l’expression des ondes incidentes et
réfléchies.
¡¢£¤ ¥¦¥
2.5.2. Technologie
2.5.2.1. Diviseur résistif
En éléments localisés, on peut utiliser la structure symétrique
suivante :
R
R
R
Figure 2-18 : Diviseur de puissancerésistif
Lorsque ce dispositif est utilisé entre des charges 50 Ω, on peut
montrer (en calculant l’impédance d’entrée du circuit à un des accès
lorsque les deux autres sont chargés par 50 ohms) que le
coefficient de réflexion à l’un des trois accès s’écrit :
11 22 33S = S = S = R- 50 / 3
R+ 50
La transmission entre deux des trois accès se calcule en fermant
l’un des accès sur 50 ohms et en calculant le transfert de puissance
entre les deux autres (avec la matrice chaîne par exemple) :
50)+3(R
100 = S = S = S 323121
§¨ ©ª«¬ ®¯« ° ± ²¬ªª³°´µ ¶Q·
Si on choisit des résistances égales à 16.7 Ω, la matrice S devient :
S =
0 1 / 2 1 / 2
1 / 2 0 1 / 2
1 / 2 1 / 2 0
Quel que soit l’accès utilisé, la puissance appliquée à cet accès est
parfaitement divisée entre les deux autres accès, sans aucune
réflexion parasite. Ceci s’effectue au détriment de la moitié de la
puissance incidente qui est dissipée dans les résistances internes
au circuit. Les accès de sortie ne sont pas isolés.
16.7 ¸ 16.7 ¸
16.7 ¸1 0 m W 2 .5 m W
2 .5 mW
5 m W
Figure 2-19 : Bilan de puissance
¹º »¼½¾¿ ÀÁ½  ÿ ľ¼¼ÅÂÆÇ ÈQÉ
2.5.2.2. Diviseur combineur Wilkinson
En éléments distribués, on utilise la jonction de Wilkinson :
100 Ê 50 Ê
70.7 Ë
70.7 Ì
Í / 4
Í / 4
1
2
3
Figure 2-20 : Diviseur de Wilkinson
La matrice S s’écrit :
0021/-
0021/-
21/-21/-0
= S
Lorsqu’il est utilisé en diviseur de puissance, ce circuit est sans
pertes malgré la résistance de 100 ohms entre les accès 2 et 3.
Ceci provient du fait que les deux signaux arrivant aux accès 2 et 3
ont même amplitude et même phase ce qui conduit à une chute de
potentiel nulle à travers la résistance. Les accès de sortie de ce
diviseur sont isolés.
ÎÏ ÐÑÒÓÔ ÕÖÒ × ØÔ ÙÓÑÑÚ×ÛÜ ÝÞ
2.5.3. Applications
2.5.3.1. Boucle à verrouillage de phase
On cherche à prélever une partie du signal d’un oscillateur pour
l’asservir.
PL L
Figure 2-21 : Prélévement de puissancepour un asservissement
Le calcul des résistances doit tenir compte de la puissance
maximum admissible par la PLL qui se situe souvent autour de 0
dBm.
2.5.3.2. Amplification de puissance
On peut combiner deux signaux issus d’amplificateurs pour obtenir
une puissance de sortie plus importante, tout en utilisant les
amplificateurs dans leur zone linéaire.
1 0 m W1 0 dB m
5 m W7 dB m
5 m W7 dB m
5 0 m W1 7 dB m
5 0 m W1 7 dB m
1 0 0 m W2 0 dB m
Figure 2-22 : Combinaison de puissance
ßà áâãäå æçã è éå êäââëèìí îQï
2.6. Coup leur bidirectionn el
2.6.1. Fonctionnement
Les coupleurs bidirectionnels sont des dispositifs à 4 accès
permettant de prélever une fraction calibrée de la puissance
incidente et réfléchie. La matrice S idéale d’un tel coupleur que l’on
suppose réciproque et adapté s’écrit de façon générale:
0SSS
S0SS
SS0S
SSS0
= S
34
34
2414
2313
242312
141312
La convention prise pour les accès est la suivante :
1
2
3
4
1 3
42
Figure 2-23 : Coupleur bidirectionnel
Si on fait l’hypothèse que le circuit est sans pertes, la condition
d’unitarité de la matrice S s’applique :
[ ]1. * =SSt
En développant, on obtient :
ðñ òóôõö ÷øô ù úö ûõóóüùýþ ÿ
=++
=++
=++
=++
1
1
1
1
2
34
2
24
2
14
2
34
2
23
2
13
2
24
2
23
2
12
2
14
2
13
2
12
SSS
SSS
SSS
SSS
En soustrayant 2 à 2 les deux premières équations puis les deux
dernières, il vient :
+=+
+=+2
24
2
14
2
23
2
13
2
24
2
23
2
14
2
13
SSSS
SSSS
On en déduit :
2314 SS =
En introduisant cette relation dans le système d’équations issu de la
relation d’unitarité, on aboutit à :
=++
=++
=++
=++
1
1
1
1
2
34
2
24
2
14
2
34
2
14
2
13
2
24
2
14
2
12
2
14
2
13
2
12
SSS
SSS
SSS
SSS
Les deux premières équations conduisent à :
2413 SS =
Cette nouvelle égalité permet de faire évoluer le système
d’équations vers :
!
=++
=++
1
12
34
2
14
2
13
2
14
2
13
2
12
SSS
SSS
ce qui permet d’écrire :
3412 SS =
En résumé, un coupleur bidirectionnel présente donc les
caractéristiques suivantes :
=
=
=
3412
2413
2314
SS
SS
SS
La première propriété est la symétrie de couplage. La troisième est
la symétrie d’isolation.
D’un point de vue terminologie on introduit les notions suivantes :
Pertes d’insertion S31, S13
Couplage S41 , S32
Isolation S21 , S43
Directivité S41 / S21
2.6.2. Technologie
2.6.2.1. Guides d’ondes
Deux tronçons de guide d’onde rectangulaire sont superposés pour
réaliser le dispositif à 4 accès. Le couplage énergétique entre les
"# $%&' ( )*&+ ,( -'%%.+/0 12
deux guides est réalisé à l’aide de trous dont la forme, l’espacement
et la position déterminent les caractéristiques électriques.
2.6.2.2. Coupleur microstrip
Deux tronçons de lignes microstrip sont gravés sur un substrat.
s
w
3 / 4
Figure 2-24 : Coupleur microstrip
Le couplage électromagnétique entre les deux lignes est fonction de
la longueur l du coupleur, de la largeur w des lignes microstrip qui le
composent et de l’espacement entre ces lignes. Comme tout calcul
analytique exact est impossible, les dimensions sont calculées soit
à l’aide de formules empiriques soit par des techniques d’analyse
numérique.
2.6.3. Applications
Les applications des coupleurs bidirectionnels utilisent le fait que la
fraction de puissance prélevée est très faible (-10 dB, -20 dB), ce
qui ne perturbe quasiment pas la voie directe.
2.6.3.1. Contrôle de niveau, asservissement
Un coupleur directionnel permet de prélever une partie de la
puissance émise par une source soit pour l’afficher après
45 6789 : ;<8= >: ?977@=AB CD
compensation des coefficients de couplage, soit pour générer un
signal d’asservissement.
50 ohm s
50 ohm s
Figure 2-25 : Contrôle de niveau etasservissement
2.6.3.2. Mesure d’un coefficient de réflexion
Le coupleur bidirectionnel est symétrique, ce qui assure l’égalité des
coefficients de couplage S41 et S32. Le montage suivant permet
donc de mesurer le coefficient de réflexion d’une charge en
évaluant le rapport des signaux α et β.
E F G H I
G I
Figure 2-26 : Mesure d’un coefficient deréflexion
JK LMNO P QRNS TP UOMMVSWX YZ
2.7. Jonctions hybrides
2.7.1. Fonctionnement
Les jonctions hybrides sont un cas particulier des coupleurs
bidirectionnels étudiés précédemment. Ils en possèdent donc toutes
les propriétés mais ils ont pour particularité de diviser en deux
parties égales un signal incident, ces deux fractions de signal se
retrouvant en opposition de phase ou en quadrature suivant le cas.
D’autre part ces 4 accès sont regroupés par paires et les deux
accès de chaque paire sont isolés l’un de l’autre. La matrice S d’une
jonction hybride s’écrit donc :
00SS
00SS
SS00
SS00
= S
2414
2313
2423
1413
avec 2
124231413 ==== SSSS
Puisque la puissance est équirépartie entre les accès 3 et 4, l’accès
2 est complètement isolé.
La convention prise pour les accès est la suivante :
1
2
3
4
Figure 2-27 : Jonction hybride
On peut montrer qu’il n’existe que deux matrices satisfaisant
l’équirépartition en puissance.
[\ ]^_` a bc_d ea f`^^gdhi jk
001j
00j1
1j00
j100
2
1 = S90
001-1
0011
1-100
1100
2
1 = S180
La jonction hybride 90° est entièrement symétrique. Le signal
d’entrée peut être appliqué indifféremment à l’accès 1 et à l’accès
2, les accès 3 et 4 seront toujours en quadrature. Par contre, la
jonction hybride 180° possède une voie «somme» et une voie
«différence». Un signal appliqué à l’accès 1 sera divisé en deux
signaux identiques en amplitude et en phase que l’on retrouvera sur
les accès 3 et 4 : l’accès 1 est dit voie somme ou voie Σ. Un signal
appliqué à l’accès 2 sera divisé en deux signaux identiques en
amplitude mais en opposition de phase sur les accès 3 et 4.
L’accès 2 est dit voie différence ou voie ∆.
lm nopq r stpu vr wqooxuyz
2.7.2. Technologie
2.7.2.1. Technologie microstrip
La jonction «branchline» est une jonction 90° formée de quatre
tronçons de ligne quart d’onde.
50 |
50 | 50 |
50 |
50 | 50 |
35.36 |
35.36 |
/ 4
/ 4
Figure 2-28 : Jonction branchline
Le coupleur de Lange est également une jonction 90° :
1
2
3
4
w
s
~ / 4
Figure 2-29 : Coupleur de Lange
La jonction «rat race» est une jonction 180° :
50 Ω
35.36 λ / 4
λ / 4
50 Ω
50 Ω50 Ωλ / 4
λ / 4
1
2
3
4
Figure 2-30 : Jonction «rat - race»
2.7.2.2. Autres technologies
Aux fréquences RF on réalise des jonctions à partir de
transformateurs permettant ainsi de réduire la taille de ces
dispositifs. En technologie MMIC, de telles jonctions sont réalisées
en éléments localisés.
2.7.3. Calcul des matrices S des dispositifs
présentant un axe de symétrie
La matrice S de ce type de structure se calcule à l’aide de la théorie
des modes pairs et impairs. Celle ci s’applique à tout dispositif à 2n
accès possédant un plan de symétrie.
¡¢¡
Ce dispositif est décrit par sa matrice S :
[ ]
=
nn a
a
S
b
b
2
1
2
1 ££
On considère alors le demi dispositif dont on va exciter les n accès
symétriques 2 à 2 par des signaux en phase (respectivement en
opposition de phase). On sera dans un mode de fonctionnement dit
mode pair (respectivement mode impair). Dans le plan de symétrie
les signaux auront parcouru physiquement le même trajet et seront
en phase (respectivement en opposition de phase). On obtiendra
alors un maximum de tension et un nul de courant (respectivement
un nul de tension et un maximum de courant) ce qui est équivalent
à placer une charge en circuit ouvert (respectivement en court
circuit) dans le plan de symétrie. Chaque demi multipôle de mode
pair et impair est donc décrit par sa matrice de mode pair ou impair.
Cette matrice est une matrice carrée de n lignes et n colonnes.
pour le premier demi multipôle :
[ ]
=
np
p
p
np
p
a
a
S
b
b ££ 11
et [ ]
=
ni
i
i
ni
i
a
a
S
b
b ££ 11
pour le second demi multipôle
[ ]
=
++
np
np
p
np
np
a
a
S
b
b
2
1
2
1 ££ et [ ]
=
++
ni
ni
i
ni
ni
a
a
S
b
b
2
1
2
1 ££
¤¥ ¦§¨© ª «¬¨ ®ª ¯©§§°±² ³´µ
Le théorème de superposition des circuits linéaires nous permet
d’obtenir le fonctionnement global du multipôle en superposant les
deux modes. On écrit :
+
=
ni
i
np
p
n a
a
a
a
a
a
2
1
2
1
2
1 ¶¶¶ et
+
=
ni
i
np
p
n b
b
b
b
b
b
2
1
2
1
2
1 ¶¶¶
D’après la définition des modes pair et impair, on peut écrire :
=
+
np
np
np
p
a
a
a
a
2
11 ¶¶ et
−=
+
ni
ni
ni
i
a
a
a
a
2
11 ¶¶
ce qui conduit à
[ ]
=
np
p
p
np
p
a
a
S
b
b ¶¶ 11
et [ ]
=
ni
i
i
ni
i
a
a
S
b
b ¶¶ 11
[ ]
=
+
np
p
p
np
np
a
a
S
b
b ¶¶ 1
2
1
et [ ]
−=
+
ni
i
i
ni
ni
a
a
S
b
b ¶¶ 1
2
1
On en déduit :
+
=
+
n
n
nnp
p
a
a
a
a
a
a
2
111
2
1¶¶¶
et
−
=
+
n
n
nni
i
a
a
a
a
a
a
2
111
2
1¶¶¶
·¸ ¹º»¼ ½ ¾¿»À Á½ ¼ººÃÀÄÅ ÆÇÈ
On peut alors écrire :
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )
−+
+=
+
n
n
ip
n
ip
n a
a
SS
a
a
SS
b
b
2
111
2
1
2
1 ÉÉÉ
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )
++
−=
++
n
n
ip
n
ip
n
n
a
a
SS
a
a
SS
b
b
2
11
2
1
2
1
2
1 ÉÉÉ
La matrice S du multipôle s’écrit donc comme une combinaison des
matrices S de modes pair et impair des demi multipôles :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
+−−+
=ipip
ipip
SSSS
SSSSS
2
1
2.7.4. Calcul de la matrice S de la jonction
branchline
Avec la décomposition en modes pair et impair, il devient simple de
calculer la matrice S de la jonction branchline, et ce d’autant plus
qu’elle présente deux axes de symétrie, ce qui conduira au calcul
de 4 coefficients de réflexion élémentaires.
ÊË ÌÍÎÏ Ð ÑÒÎÓ ÔÐ ÕÏÍÍÖÓ×Ø ÙÚÛ
La jonction de base est présentée ci dessous :
50 Ü
35.36 Ü
Ý / 4
50 ÜÝ / 4
Ý / 4
35.36 ÜÝ / 4
Figure 2-31 : Jonction branchline debase
Un premier axe de symétrie nous conduit à 2 quadripôles de modes
pair et impair Qp et Qi :
50 ÜÝ / 8
35.36 ÜÝ / 4
50 ÜÝ / 8
35.36 ÜÝ / 4
Q P Q I
Figure 2-32 : Décomposition en 2quadripôles de modes pair et impair
Þß àáâã ä åæâç èä éãááêçëì íîï
Chacun de ces deux quadripôles va conduire à 2 coefficients de
réflexion :
50 ðñ / 8
35.36 ðñ / 8
50 ðñ / 8
35.36 ðñ / 8
50 ðñ / 8
35.36 ðñ / 8
50 ðñ / 8
35.36 ðñ / 8
òP P
ò ò
ò
P I I I
I P
Figure 2-33 : Décomposition en 4coefficients de réflexion élémentaires
La matrice S globale s’écrira donc sous la forme suivante :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
+−−+
=IPIP
IPIP
SSSS
SSSSS
2
1
avec
[ ] [ ]
Γ+ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+Γ
=
Γ+ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+Γ
=iiipiiip
iiipiiipI
pipppipp
pipppippP SS
2
1 et
2
1
De façon plus synthétique :
iiippipp
iiippipp
iiippipp
iiippipp
SSSS
SSSS
SSSS
SSSS
Γ+Γ−Γ−Γ====
Γ−Γ−Γ+Γ====
Γ−Γ+Γ−Γ====
Γ+Γ+Γ+Γ====
23324114
42243113
43342112
44332211
óô õö÷ø ù úû÷ü ýù þøööÿü
Le calcul des coefficients de réflexion élémentaires Γpp, Γpi, Γip et Γii,
se fait à partir de l’équation de l’impédance d’entrée d’une ligne
chargée détaillée dans le chapitre sur les lignes de transmission.
L’admittance d’entrée normalisée d’une ligne λ/8 en court circuit
vaut C
ecc
Z
Zjy 0=
L’admittance d’entrée normalisée d’une ligne λ/8 en circuit ouvert
vaut C
eco
Z
Zjy 0−=
L’impédance caractéristique des lignes série (respectivement des
lignes parallèles) vaut 50 ohms (respectivement 35.35 ohms).
On peut globaliser le résultat des calculs dans le tableau suivant :
Dipôle pp Dipôle pi Dipôle ip Dipôle ii
Admittance
d’entrée
normalisée
( )21+j ( )21−j ( )21+−j ( )21−−j
Coeff icient
de
réflexion
associé
( )( )211
211
+++−
j
j ( )( )211
211
−+−−
j
j ( )( )211
211
−−−+
j
j ( )( )211
211
+−++
j
j
! "#$
La matrice S s’en déduit :
[ ]
−−−−
−−−−
=
001
010
010
100
2
1
j
j
j
j
S
On remet la matrice sous sa forme canonique en permutant deux à
deux les lignes et les colonnes et en ajoutant un déphasage de π/2
sur chacun des accès, ce qui revient à augmenter la longueur des
lignes d’accès.
2.7.5. Applications
2.7.5.1. Jonctions 90°
On peut montrer qu’une jonction 90° idéale, lorsqu’elle est chargée
sur ses accès 3 et 4, présente la matrice S (du dipôle équivalent)
suivante :
S = 1
2
- j( + )
j( + ) -
3 4 3 4
3 4 4 3
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
90°
1
2
%3
4%
Figure 2-34 : Jonction 90° chargée
Si les deux charges sont égales strictement, le dipôle équivalent est
parfaitement adapté, quelle que soit la charge ρ = ρ3 = ρ4.
&' ( )*+, -.*/ 0, 1+))2/34 567
S = 0 j
j 0
ρ
ρ
Le coefficient de réflexion ρ est alors transformé en coefficient de
transmission. On se sert de cette propriété pour réaliser des circuits
équilibrés.
90°
1
2
AdB
AdB
Figure 2-35 : Atténuateur équilibré
Deux jonctions 90° permettent de réaliser un amplificateur équilibré.
50 8
50 8
En t rée
So rt ie
Figure 2-36 : Amplificateur équilibré
La matrice S de ce montage est la suivante :
0Sj
Sj0 = S
21
12
9: ; <=>? @A=B C? D><<EBFG HIJ
Les paramètres S12 et S21 sont ceux de chacun des amplificateurs.
Quels que soient les paramètres S11 et S22, le montage est toujours
parfaitement adapté.
2.7.5.2. Jonctions 180°
On peut montrer qu’une jonction 180° idéale, lorsqu’elle est chargée
sur ses accès 3 et 4, présente la matrice S (du dipôle équivalent)
suivante :
S = 1
2
+ -
- +
3 4 3 4
3 4 3 4
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
180°
1
2
K3
4K
Figure 2-37 : Jonction 180° chargée
Cette configuration ne présente pas un réel intérêt. On utilise plutôt
la jonction 180° pour réaliser un mélangeur équilibré.
180°
RF
O L
L
M
IF
R F + O L
R F - O L
Figure 2-38 : Mélangeur équilibré
NO P QRST UVRW XT YSQQZW[\ ]^]_
`a b cdef ghdi jf kecclimn o^o^o
3. PROPAGATION SUR LES LIGNES
DE TRANSMISSION
pq r stuv wxty zv uss|y~ ^
On va considérer des lignes de transmission pour lesquelles la
propagation s’effectue de manière homogène (les lignes de champ
sont contenues dans un diélectrique homogène).
3.1. Paramètres descriptifs
Un modèle simple est décrit ci-dessous :
L
C G
R
Figure 3-1 : Modèle électrique d’untronçon de ligne de transmission
Les paramètres du modèle (L , R , C et G) sont les paramètres
primaires de la ligne et permettent d’exprimer la variation de tension
et de courant apportée par le tronçon élémentaire.
∂∂+−=
∂∂
∂∂+−=
∂∂
t
VCGV
z
It
ILRI
z
V
^
Si on suppose une dépendance harmonique en fonction du temps
( )( )
( )( )
++=∂∂
++=∂∂
IjCGjLRz
I
VjCGjLRz
V
ωω
ωω
2
2
2
2
On introduit la constante de propagation γ qui est un des deux
paramètres secondaires
γ ω ω α β = (R+ jL )(G+ jC ) = + j
La constante de propagation γ fait intervenir une atténuation α
exprimée en neper/m et une constante de phase β exprimée en
rad/m, qui dépendent généralement de la fréquence et de la
structure de la ligne de transmission.
Les solutions au système d’équations différentielles s’expriment
alors de manière simple
( )( )
+=+=
−
−
tjzr
zi
tjzr
zi
IIzI
VVzVωγγ
ωγγ
expexpexp)(
expexpexp)(
Le terme Vi exp- représente l’onde incidente se propageant dans
le sens des z croissants. Le terme Vr exp représente l’onde
réfléchie se propageant dans le sens des z décroissants.
En ce qui concerne le courant, les termes incident et réfléchi
s’expriment en fonction des tensions incidente et réfléchie.
( )∂∂V
z = - (R+ jL ) I = - V + V i
- zr
z j tω γ γγ γ ωexp exp exp
¡¢£¤ ¥^¥¦
On en déduit
( )
( )
I = R+ jL
V -V
= G+ jC
R+ jL V -V
i- z
rz j t
i- z
rz j t
γω
ωω
γ γ ω
γ γ ω
exp exp exp
exp exp exp
Le rapport entre tension et courant incidents d’une part et tension et
courant réfléchis d’autre part est constant et représente l’impédance
caractéristique de la ligne qui est l’autre paramètre secondaire de la
ligne.
0i
i
r
rZ =
V
I = -
V
I =
R+ jL
G+ jC
ωω
§¨ © ª«¬ ®¯«° ± ²¬ªª³°´µ ¶^¶·
3.2. Lignes sans pertes
Si on peut faire l’approximation d’un conducteur parfait (R = 0) et
d’un diélectrique sans pertes (G = 0) les paramètres secondaires γ
et Zc se simplifient
=
==
C
LZ
LC
0
0
ωβα
Dans la pratique on peut souvent faire l’approximation d’une ligne
sans pertes pour peu que le support de transmission soit adapté à
la fréquence de travail. Toutefois, à la frontière du domaine de
validité de cette hypothèse, on dispose des approximations
suivantes :
≈
≈
+≈
C
LZ
LCC
G
L
RLC
0
22ωβ
ωωωα
¸¹ º »¼½¾ ¿À¼Á ¾ ý»»ÄÁÅÆ Ç^ÇÈ
3.3. Vitesses de propagation
La phase de l’onde incidente reste constante entre deux points
espacés de dz si ωdt - βdz = 0.
La vitesse de phase se définit de la manière suivante :
pV = dz
dt = =
1
LC
ωβ
Dans l’air ou dans le vide la vitesse de phase est égale à la vitesse
de la lumière.
c = V p
Dans un diélectrique défini par sa permittivité relative εr la vitesse de
phase est modifiée de la manière suivante :
ε r
p
c = V
Lorsque la vitesse de phase n’est pas constante en fonction de la
fréquence, le support de transmission est dit dispersif.
Les signaux véhiculés sur les lignes de transmission sont très
rarement des porteuses pures et la vitesse de phase est inadaptée.
On introduit alors la vitesse de groupe qui est représentative de la
vitesse de propagation de l’énergie.
βω
d
d = V g
ÉÊ Ë ÌÍÎÏ ÐÑÍÒ ÓÏ ÔÎÌÌÕÒÖ× Ø^ØÙ
La dépendance de Vg en fonction de la fréquence introduit une
dispersion dite de temps de groupe.
3.4. Longu eur d’ond e
Les ondes directes et réfléchies se propagent avec une constante
de phase qui s’écrit :
j( t - z)ω βexp
La longueur d’onde λ est la distance séparant deux points dont la
phase est identique à 2π près.
ω β ω β λ πt - z = t - (z+ )+ 2
On en tire
λπβ
πω
= 2
= 2 v
= v
f
Dans l’air ou dans le vide la longueur d’onde s’écrit
0 = c
fλ
Si l’onde électromagnétique se propage de manière homogène
dans un diélectrique de permittivité relative εr , la longueur d’onde
s’écrit
gr
0
r
= v
f =
c
f = λ
ελε
ÚÛ Ü ÝÞßà áâÞã äà åßÝÝæãçè é^éëê
3.5. Lignes chargées
La tension et le courant présents sur la ligne sont composés de
termes incidents et réfléchis :
( )( ) tj
zr
zitjz
rz
i
tjzr
zi
Z
VVIIzI
VVzV
ωγγ
ωγγ
ωγγ
expexpexp
expexpexp)(
expexpexp)(
0
−=+=
+=−
−
−
Par la suite la dépendance harmonique en fonction du temps sera
implicite.
On considère une ligne de transmission d’impédance
caractéristique Zc, de longueur l excitée par un générateur
d’impédance interne ZS et chargée par une impédance ZL.
Z , l0 Z
LZ
S
Figure 3-2 : Ligne de transmissionexcitée et chargée
La référence est prise au niveau de la charge.
ìí î ïðñò óôðõ öò ÷ñïïøõùú û^ûü
3.5.1. Coefficients de réflexion
Sur la charge (z = 0) la tension et le courant s’écrivent :
−=+=
+=
0Z
VVIII
VVV
ririL
riL
L’impédance de charge ZL peut se mettre sous la forme :
LL
L0
i r
i r0
r
i
r
i
0L
LZ =
V
I = Z
V + V
V -V = Z
1+V
V
1-V
V
= Z1+
1-
ΓΓ
ΓL représente le coefficient de réflexion associé à la charge ZL et est
égal au rapport de l’onde réfléchie sur l’onde incidente.
La relation réciproque permet d’écrire
Z+Z
Z-Z = 0L
0LL
L =Γ θρ exp
On utilise souvent l’impédance normalisée zL
LL
0z =
Z
Z
Les relations précédentes s’écrivent :
LL
L
LL
L
z = 1+
1-
= z -1
z + 1
ΓΓ
Γ
ýþ ÿ
Une onde se propageant sur une ligne d’impédance caractéristique
Z0 chargée également par Z0 ne se réfléchit pas sur la charge
puisqu’elle ne subit aucune discontinuité. Le coefficient de réflexion
de la charge est donc nul, ce qui se traduit par un régime d’ondes
progressives sur cette ligne.
On peut exprimer simplement le coefficient de réflexion en chaque
point de la ligne par le rapport de l’ordre réfléchi sur l’onde incidente
(z)r
z
i- z
r
i
2 zL
2 z = V
V =
V
V = Γ Γ
γ
γγ γexp
expexp exp
A l’entrée de la ligne (z = - l)
in L-2 l = Γ Γ γexp
3.5.2. Taux d’onde stationnaire
Le taux d’onde stationnaire s’exprime comme le rapport de la
tension maximum présente sur la ligne sur la tension minimum
également présente sur la ligne
VSWR = V
V =
|V |+|V |
|V |-|V | =
1+| |
1-| |i r
i r
L
L
max
min
ΓΓ
Le TOS sur la ligne ne dépend que de la charge de la ligne.
Si cette charge est différente de l’impédance caractéristique de la
ligne, il va se produire une onde réfléchie au niveau de la charge
!"#$ %&" ' ($ )#!!*'+, -.-
qui va générer un régime d’ondes stationnaires avec des noeuds et
des ventres, dont le TOS permet de caractériser l'amplitude.
zjiL
zji
zjr
zji VVVVzV ββββ expexpexpexp)( Γ+=+= −−
On pose LjLL
θρ exp=Γ .
L'amplitude de la tension résultante s'écrit:
( ) ( )LLLizj
Li zVVzV θβρρβ +++=Γ+= 2cos21exp1 22
On peut mettre en évidence les points suivants:
• La tension résultante varie entre les deux extrema
Vmax et Vmin utilisés dans la définition du TOS
• L'écart entre deux maxima (ou entre deux minima est
égal à une demi longueur d'onde)
• La variation de tension autour des minima est
beaucoup plus marquée qu'autour des maxima
• L'écart entre un minimum et un maximum est égal à
un quart de longueur d'onde.
/0 12345 673 8 95 :422;8<= >??
V
V
m ax
m i n
@/ 2
@/ 4
@/ 4
Figure 3-3 : Régime d’ondesstationnaires
Suivant la nature de la charge, la forme de la tension résultante va
présenter des minima très marqués pour une réflexion totale, et
beaucoup moins marqués au fur et à mesure que la charge se
rapproche de 50 ohms.
Dans le cas particulier où ΓL est réel et positif zL l’est aussi et on
peut écrire :
VSWR = 1+| |
1-| | =
1+
1- = z
L
L
L
LL
ΓΓ
ΓΓ
3.5.3. Impédance d’entrée
A l’entrée d’une ligne d’impédance caractéristique Z0 de longueur l
chargée par un coefficient de réflexion ΓL :
in L-2 l = Γ Γ γexp
Dans le cas d’une ligne sans pertes :
in L-2j l = Γ Γ βexp
AB CDEFG HIE J KG LFDDMJNO PQR
Dans le domaine tension courant, l’impédance d’entrée s’écrit :
in 0in
in0
L-2j l
L-2j lZ = Z
1+
1- = Z
1+
1-
ΓΓ
ΓΓ
β
β
exp
exp
En développant cette expression, on trouve :
in 0L 0
0 LZ = Z
Z + j Z tg l
Z + j Z tg l
ββ
3.5.4. Ligne en circuit ouvert
L’impédance d’entrée d’une ligne de transmission en circuit ouvert
s’écrit:
in0
Z = Z
jtg lβ
L’impédance est capacitive si
2k 4
< l < (2k + 1)4
λ λ
Elle est inductive si
(2k + 1) 4
< l < (2k + 2) 4
λ λ
ST UVWXY Z[W \ ]Y ^XVV_\`a bcd
Im(Zi n
βlπ/ 2 π 3π/ 2 2 π
)
Figure 3-4 : Impédance d’entrée d’uneligne en circuit ouvert
La ligne en circuit ouvert passe d’un comportement capacitif à un
comportement inductif tous les quart de longueur d’onde.
3.5.5. Ligne en court circuit
L’impédance d’entrée d’une ligne en court circuit s’écrit
in 0Z = j Z tg lβ
L’impédance d’entrée est inductive si
2k4
< l < (2k + 1)4
λ λ
Elle est capacitive si
(2k + 1) 4
< l < (2k + 2)4
λ λ
ef ghijk lmi n ok pjhhqnrs tuv
Im(Zi n
βlπ/ 2
π
3π/ 2
2 π
)
Figure 3-5 : Impédance d’entrée d’uneligne en court circuit
Comme la ligne en circuit ouvert, l’impédance d’entrée est inductive
et capacitive tous les quart de longueur d’onde.
3.5.6. Tronçon de ligne quart d’onde
Une ligne de transmission de longueur quart d’onde à la fréquence
de fonctionnement possède un comportement d’inverseur
d’impédance.
wL
Z =i n
wL
w02
w x y z 0
Figure 3-6 : Ligne quart d’onde chargée
Son impédance d’entrée s’écrit :
in 0L 0
0 L
02
LZ = Z
Z + j Z tg l
Z + j Z tg l =
Z
Z
ββ
| ~
En particulier si l’impédance de charge est un circuit ouvert
(respectivement un court circuit) l’impédance à l’entrée de la ligne
est un court circuit (respectivement un circuit ouvert).
4. LIGNES DE TRANSMISSION
MICROONDES
¡ ¢£¤¥¦ §¨¤ © ª¦ «¥££¬©® ¯°±
4.1. La ligne coaxiale
La géométrie de la ligne coaxiale est décrite ci-dessous :
a
b
Figure 4-1 :Structure transversale d’uneligne coaxiale
La capacité linéique est donné par :
C = 2
lnb
a
= C F / mr 0
r 0
π ε εε
C0 représente la capacité linéique si le diélectrique est de l’air.
Si le diélectrique est de l’air, la vitesse de phase est égale à la
vitesse de la lumière
v = 1
LC = c
0
²³ ´µ¶·¸ ¹º¶ » ¼¸ ½·µµ¾»¿À ÁÂÃ
On en déduit l’inductance linéique, qui est indépendante du
diélectrique
L = 1
C c02
L’impédance caractéristique de la ligne s’en déduit :
00 r r
Z = L
C =
1
c.C
60
b
aε ε_ ln
ÄÅ ÆÇÈÉÊ ËÌÈ Í ÎÊ ÏÉÇÇÐÍÑÒ ÓÕÔ×Ö
4.2. La ligne microstrip
La géométrie de la ligne microstrip est la suivante :
w h
Figure 4-2 : Ligne microstrip
Contrairement à la ligne coaxiale, la propagation sur les lignes
microstrip se fait de façon inhomogène, les lignes de champ se
refermant à la fois à travers l’air et à travers le substrat. De façon
rigoureuse, la présence d’un champ longitudinal interdit de traiter la
ligne microstrip comme une structure de propagation TEM.
Toutefois tant que la fréquence n’est pas trop élevée on travaillera
avec l’approximation dite quasi TEM.
4.2.1. Impédance caractéristique
Le calcul de l’impédance caractéristique d’une ligne microstrip n’est
pas un calcul exact et de nombreuses formules empiriques sont
disponibles dans la littérature scientifique, dont celle de Wheeler :
0r
Z = 42.4
(1+ A)ε
ln
ØÙ ÚÛÜÝÞ ßàÜ á âÞ ãÝÛÛäáåæ çÕèç
Le paramètre A est la racine positive de l’équation du second degré
suivante :
2 r
r
2r
r
2
A -7 + 4
11
8h
w A-
+ 1
0.81
8h
w = 0
εε
εε
En pratique le calcul de l’impédance caractéristique d’une ligne
microstrip à partir de ses dimensions géométriques s’appelle
analyse et s’effectue avec un logiciel de CAO (LineCalc par
exemple). Le processus inverse qui consiste à générer une
structure géométrique de ligne étant donné son impédance
caractéristique s’appelle synthèse et s’effectue également à l’aide
de la CAO.
La formule empirique proposée ci-dessus montre que l’impédance
caractéristique d’une ligne microstrip diminue lorsque le rapport w/h
augmente et lorsque εr augmente.
4.2.2. Longueur d’onde guidée
Le caractère inhomogène de la propagation d’un signal
hyperfréquence sur une ligne microstrip rend impossible le calcul
analytique de la longueur d’onde comme cela était possible pour la
ligne coaxiale. On introduit alors le concept de permittivité effective
en égalant les propriétés électriques des deux structures suivantes,
la seconde étant homogène.
éê ëìíîï ðñí ò óï ôîììõòö÷ øÕù×ú
ûr
û ü ýr
ûef f
p ro p ag at io nin h o mo g èn e
p ro p ag at io nh o mo g èn e
Figure 4-3 : Concept de permittivitédiélectrique effective
εeff est une valeur de permittivité intermédiaire entre celle du
substrat et celle de l’air.
1 < < eff rε ε
Il n’existe pas de méthode exacte de calcul de εeff, la CAO étant ici
encore d’un grand secours. Toutefois, pour le dimensionnement
rapide des circuits microstrip on pourra prendre l’approximation
suivante :
2
+1 r
effεε ≈
La longueur d’onde guidée est alors reliée simplement à la longueur
d’onde dans le vide.
g0
eff
= λλε
þÿ
4.2.3. Pertes
Les pertes constatées lors de la propagation sur une ligne
microstrip peuvent avoir deux origines: les pertes dans le
diélectrique et les pertes dans le conducteur.
4.2.3.1. Pertes diélectriques
Le substrat sur lequel est déposé le diélectrique est caractérisé non
seulement par sa permittivité relative εr mais également par sa
tangente de perte tanδ
Les pertes diélectriques associées (en nepers par mètre) s’écrivent
δ
ε
ελεπ
α tan.1
-1
1-1
.
r
eff
0
effd ≈
4.2.3.2. Pertes ohmiques
La densité de courant dans un conducteur décroît
exponentiellement dès que l’on s’éloigne de la surface. Cette
propriété est connue sous le nom d’effet de peau.
J0
D en s ité d eco u ran t
D istan ce
e
J0
Figure 4-4 : Effet de peau
"! #$%&' ()%* +' ,&$$-*./ 0132
L’épaisseur de peau est la distance de la surface du conducteur à
la profondeur à laquelle la densité de courant est réduite d’un
rapport 1/e.
δωµσ
= 2
Tout se passe comme si la densité de courant était uniforme entre 0
et δ et nulle ailleurs. On considère que la propagation s’effectue
uniquement dans le conducteur si celui-ci a une épaisseur d’au
moins 5 δ.
4.2.4. Dispersion
La faible longueur d’onde des signaux hyperfréquence devant les
dimensions géométriques de la ligne microstrip rend obsolètes les
approximations quasi statiques utilisées en général pour résoudre
les équations de raccordement des champs à l’interface air
diélectrique.
On ne peut en particulier considérer la permittivité diélectrique
effective et l’impédance caractéristique constantes lorsque la
fréquence augmente. En pratique, on considère que l’effet dispersif
ne peut plus être négligé au delà de la fréquence précisée ci-
dessous (h est en mm)
GHz
0
r
f = 0.95 Z
h -1ε
Au delà de cette limite la permittivité effective évolue de la façon
suivante (h est en m) :
4"5 6789: ;<8= >: ?977@=AB CDE
eff rr effdc
2
T
T
r
effdc
0
0
= --
1+ff
avec f = Z
2 h
ε εε ε
εε µ
De façon analogue, l’impédance caractéristique augmente en
fonction de la fréquence, et ce d’autant plus vite que la permittivité
diélectrique du substrat est grande.
4.2.5. Rayonnement
Le rayonnement d’une ligne microstrip est un effet parasite dû à la
structure ouverte d’une telle ligne. La puissance rayonnée doit être
minimisée lors de la conception du circuit pour éviter des couplages
parasites.
Le pourcentage de puissance rayonnée par rapport à la puissance
incidente sera d’autant plus important que la fréquence sera élevée,
l’impédance caractéristique sera faible et le substrat épais.
4.2.6. Résonance transverse
Lorsque la largeur de la ligne microstrip approche λ/2 à la
fréquence de travail, la propagation s’effectue en mode quasi TEM
dans le sens transverse et plus du tout sur la longueur de la ligne.
La fréquence de résonance transverse est donnée par
h)+( 2
c f
r ωε≈
F"G HIJKL MNJO PL QKIIROST UVW
4.2.7. Le circuit ouvert
Laisser la ligne microstrip en circuit ouvert provoque un léger
rayonnement électromagnétique qui se traduit par un allongement
fictif de la longueur initiale
Xl
Figure 4-5 : Le circuit ouvert
Pratiquement, on retrouvera un court circuit à λ/4 + ∆l de l’extrémité
de la ligne. La correction ∆l est d’autant plus importante que la
largeur de la ligne augmente.
4.2.8. Les coudes
Aux fréquences microondes, la moindre capacité parasite peut avoir
un effet non négligeable sur le fonctionnement du circuit. Les règles
de dessin sont donc particulièrement contraignantes. Le schéma
équivalent d’un coude est donné ci-dessous :
C
LL
Figure 4-6 : Schéma équivalent d’uncoude
Y"Z [\]^_ `a]b c_ d^\\ebfg hij
Il est courant de réduire la capacité parasite en choisissant le layout
suivant :
LL
C' < C
Figure 4-7 : Réduction de la capacitéparasite
4.2.9. La jonction de lignes microstrip
La jonction de deux, trois ou quatre lignes microstrip de largeurs
éventuellement différentes provoque des discontinuités
géométriques se traduisant par un rayonnement électromagnétique
que l’on peut modéliser par un schéma équivalent approprié.
Figure 4-8 : Changement d’impédancecaractéristique
Figure 4-9 : Jonction de 3 lignesmicrostrip
k"l mnopq rsot uq vpnnwtxy z|
Figure 4-10 : Jonction de 4 lignesmicrostrip
"~
4.2.10. Autres discontinuités
Figure 4-11 : Microcoupure dans uneligne microstrip
Figure 4-12 : Encoche dans une lignemicrostrip
"
4.3. Autres lignes
Figure 4-13 : Ligne triplaque
Figure 4-14 : Ligne coplanaire
Figure 4-15 : Ligne à fente
¡"¢ £¤¥¦§ ¨©¥ª «§ ¬¦¤¤ª®¯ °±°
5. L’ABA QUE DE SMITH ET SES
APPLICATIONS
²"³ ´µ¶·¸ ¹º¶» ¼¸ ½·µµ¾»¿À ÁÂÃ
L’abaque de Smith est un outil graphique développé par un
ingénieur des Bell Labs dans les années 30 permettant, entre autre,
de réaliser rapidement le passage du domaine d’onde au domaine
tension-courant de façon rapide et efficace.
5.1. L’abaque de Smith
L’abaque de Smith représente le coefficient de réflexion tracé en
format polaire (module et phase). Les coefficients de réflexion des
circuits passifs seront donc inscrits dans un disque de rayon unitaire
correspondant à la réflexion totale ( |Γ| = 1).
Ä = |
Ä | exp
j Å
Å
| Ä |
v
u
Figure 5-1 : Plan des impédancescomplexes
Pour une conversion facile vers le domaine des impédances, les
contours à partie réelle constante et à partie imaginaire constante
sont superposés à cette représentation polaire.
Æ"Ç ÈÉÊËÌ ÍÎÊÏ ÐÌ ÑËÉÉÒÏÓÔ ÕÖ×
Dans le système de coordonnées cartésiennes, le coefficient de
réflexion s’écrit:
Γ = u+ jν
La relation entre le coefficient de réflexion Γ et son impédance
normalisée associée est connue
( ) ( )Γ = u jvz - 1
z+ 1 =
(r + jx) - 1
(r + jx)+ 1
r x
r xj
x
r x+ = =
+ −+ +
++ +
2 2
2 2 2 2
1
1
2
1
En utilisant r et x comme paramètres, on obtient les relations
suivantes :
2
22
22
2
u -r
r + 1+ v =
1
(r + 1)
(u -1 ) + v -1
x=
1
x
Ces équations représentent les cercles à partie réelle d’impédance
constante (dans le premier cas) et à partie imaginaire d’impédance
constante (dans le second cas).
Ainsi le lieu des points à partie réelle r constante est un cercle de
centre
0 ;
1+r
ret de rayon 1
r + 1.
De même le lieu des points à partie imaginaire x constante est un
cercle de centre 1 ; 1
x
et de rayon 1
x.
L’abaque de Smith est donc constituée de l’ensemble des cercles à
partie réelle d’impédance constante ( ∞<< r0 ) et de la partie des
Ø"Ù ÚÛÜÝÞ ßàÜá âÞ ãÝÛÛäáåæ çèè
cercles à partie imaginaire d’impédance constante intersectant le
disque unitaire.
é"ê ëìíîï ðñíò óï ôîììõòö÷ øùú
Abaque de Smith
û"ü ýþÿ ÿ þþ
5.1.1. La charge 50 ohms
50 o h ms
Figure 5-2: Charge 50 ohms
Le coefficient de réflexion associé à la charge 50 ohms est nul.
5.1.2. La charge capacitive
La partie imaginaire du coefficient de réflexion d’une charge
capacitive est toujours négative (v < 0) puisque la réactance x est
négative. Son point représentatif se situe donc dans la partie
inférieure de l’abaque de Smith . Si elle est sans perte, elle est
placée sur le cercle extérieur (|Γ|=1 si r = 0).
La partie réelle u du coefficient de réflexion peut se mettre sous la
forme suivante :
( ) 22
2
1
21
xr
ru
+++−=
On voit que u tend vers 1 si la réactance x devient de plus en
négative. Le déplacement vers les réactances décroissantes est
indiqué sur la figure suivante.
!" # $%&'"() *+,
Part ie cap acit iv e
réactan cesd écro issan t es
x=0
x=1
Figure 5-3: Lieu des charges capacitives
5.1.3. La charge inductive
Avec un raisonnement similaire à celui utilisé pour la capacité, on
peut dire que la charge inductive se situe dans la partie supérieure
de l’abaque (réactance positive). Si elle est sans perte, elle est
placée sur le cercle extérieur.
u tend vers 1 si la réactance x devient de plus en positive. Le
déplacement vers les réactances croissantes est indiqué sur la
figure correspondante.
Part ie in d u ct iv e
réac tan cesc ro issan tes
x= 0
x=1
Figure 5-4 : Lieu des charges inductives
-. /0123 45!16 73 82%0&096:; <=>
5.1.4. Le circuit résonant parallèle
LC 50
o h ms
Figure 5-5 : Le circuit résonant parallèle
Aux fréquences basses le circuit est plutôt inductif, devient
purement résistif à la résonance (les susceptances s’annulent et
l’admittance équivalente vaut 0.02 siemens) puis possède un
comportement de plus en plus capacitif lorsque la fréquence
augmente.
5.1.5. Le circuit résonant série
L
C
50o h ms
Figure 5-6 : Le circuit résonant série
Aux fréquences basses le circuit est plutôt capacitif, devient
purement résistif à la résonance (les réactances s’annulent et
l’impédance équivalente vaut 50 ohms) puis possède un
?@ ABCDE FG!CH IE JD%B&BKHLM NOP
comportement de plus en plus inductif lorsque la fréquence
augmente.
5.1.6. Le court circuit
Co u rt c ircu it
Figure 5-7 : Le court circuit
La résistance r et la réactance x s’annulent simultanément. Le
coefficient de réflexion vaut alors -1.
5.1.7. Le circuit ouvert
La résistance r et la réactance x tendent simultanément vers l’infini.
Le coefficient de réflexion vaut alors 1.
Circu it o u v ert
Figure 5-8 : Le circuit ouvert
QR STUVW XY!UZ [W \V%T&T]Z^_ `badc
5.2. Les applications de l’abaque de Smith
5.2.1. Conversion impédance-coefficient de réflexion
Lorsque l’impédance est positionnée sur l’abaque de Smith, on peut
en déduire la valeur du coefficient de réflexion correspondant de
façon très simple.
| e |
f
Figure 5-9 : Le coefficient de réflexion
Le module du coefficient de réflexion est égal au rayon du cercle de
centre 0 passant par le point représentatif de l’impédance.
5.2.2. Conversion impédance admittance
Une impédance normalisée z s’écrit en fonction de son coefficient
de réflexion :
z = 1+
1-
ρρ
L’admittance normalisée y correspondante se met sous la forme:
y = 1-
1+
ρρ
gh ijklm no!kp qm rl%j&jsptu vbwv
Passer d’impédance en admittance sur l’abaque de Smith consiste
donc à changer ρ en -ρ, c’est-à-dire à effectuer une symétrie par
rapport au centre de l’abaque (on ajoute 180° de phase).
z
y
Figure 5-10 : Conversion impédance -admittance
Il est équivalent d’effectuer la symétrie, non plus sur le point
représentatif mais sur l’abaque elle-même. On obtient alors une
abaque en admittance formée de cercles à conductance constante
et d’arcs de cercle à susceptance constante.
Figure 5-11 : Abaque en admittance
xy z|~ !| ~ %& bd
5.2.3. Impédances à partie réelle négative
Le coefficient de réflexion associé à une impédance à partie réelle
négative est supérieur à 1 (génération d’énergie, dans les
oscillateurs par exemple) ce qui le situe en dehors de l’abaque de
Smith conventionnelle.
Figure 5-12 : Impédance à partie réellenégative
! %& b
5.3. L’adaptation
Si on considère un générateur d’impédance complexe quelconque
ZS connecté à une charge d’impédance complexe également
quelconque ZL , on peut montrer que le transfert optimum de
puissance intervient lorsque ZS = Z*L.
Z S
Z L Z S*=
Figure 5-13 : Adaptation d’une chargecomplexe
Si les deux impédances ne sont pas conjuguées l’une de l’autre, on
peut insérer un réseau d’adaptation de façon à ce que l’impédance
qui charge effectivement le générateur soit bien le conjugué de son
impédance interne.
Z SZ L
Z S*
Figure 5-14 : Insertion d’un réseaud’adaptation
¡¢£ ¤¥!¡¦ §£ ¨¢% & ©¦ª« ¬bd®
Dans le cas général, les réseaux d’adaptation sont constitués
d’éléments passifs discrets ou distribués selon la technologie
utilisée et la fréquence de travail. On peut toutefois trouver des
circuits adaptations actifs à base de transistors. C’est une solution
couramment retenue dans les circuits intégrés micro-ondes large
bande.
Rigoureusement, l’adaptation conjuguée de deux impédances n’est
réalisable qu’en un seul point de fréquence. Dès que la bande
dépasse 10 à 20% de la fréquence centrale, il s’agit de réaliser un
compromis sur la bande de travail. On fait alors appel à la CAO des
circuits linéaires (ADS à l’ESIEE).
5.3.1. L’adaptation à éléments localisés
5.3.1.1. L’inductance série
Ajouter une partie inductive à une impédance revient à augmenter
la réactance de celle-ci sans changer sa résistance.
L50
o h ms
Figure 5-15 : Ajout d’une inductancesérie
Lorsque L augmente, on se déplace dans le sens de la flèche.
¯° ±²³´µ ¶·!³¸ ¹µ º´%²&²»¸¼½ ¾b¿¿
5.3.1.2. La capacité série
Ajouter une partie capacitive à une impédance revient à diminuer la
réactance de celle-ci sans changer sa résistance.
50o h ms
C
Figure 5-16 : Ajout d’une capacité série
Lorsque C diminue, on se déplace dans le sens de la flèche.
5.3.1.3. L’inductance parallèle
Ajouter une partie inductive à une admittance revient à diminuer la
susceptance de celle-ci sans changer sa conductance.
ÀÁ ÂÃÄÅÆ ÇÈ!ÄÉ ÊÆ ËÅ%Ã&ÃÌÉÍÎ ÏbÐÑ
L50o h ms
Figure 5-17 : Ajout d’une inductanceparallèle
Lorsque L diminue, on se déplace dans le sens de la flèche.
5.3.1.4. La capacité parallèle
Ajouter une partie capacitive à une admittance revient à augmenter
la susceptance de celle-ci sans changer sa conductance.
50o h ms
C
Figure 5-18 : Ajout d’une capacitéparallèle
Lorsque C augmente, on se déplace dans le sens de la flèche.
ÒÓ ÔÕÖ×Ø ÙÚ!ÖÛ ÜØ Ý×%Õ&ÕÞÛßà ábâã
5.3.1.5. Exemple
On souhaite réaliser l’adaptation d’un dispositif d’impédance 10 Ω +
j 30 Ω à un générateur d’impédance interne 50 Ω.
Z L =10 + j30 Ω50 Ω
y ly2
z2
y 'z'
y1
z1
y= 1z= 1
Figure 5-19 : Adaptation d’une charge
(1) On place le point représentatif de l’impédance normalisée sur
l’abaque de Smith.
(2) On ajoute une capacité parallèle de valeur telle que l’impédance
équivalente présente une partie réelle égale à 1 (50 Ωä!åæ
(3) On compense la partie réactive résiduelle avec une inductance
série ou une capacité série.
çè éêëìí îï!ëð ñí òì%ê&êóðôõ öb÷ø
1
2
3
1
2
3
Figure 5-20 : Parcours sur l’abaque deSmith
Si on ne dispose pas d’une double abaque de Smith, il faut
effectuer des transitions entre les domaines impédance et
admittance. Les étapes sont alors les suivantes :
• On normalise ZL = 10 Ω + j 30 Ω par rapport à 50 Ω
• On place l’impédance normalisée z sur l’abaque de
Smith (zL = 0.2 + j 0.6)
• On en déduit la valeur de l’admittance équivalente par
symétrie par rapport à l’origine (yL = 0.5 - j 1.5)
• z’ doit être de la forme z’ = 1 + j ( ). Il existe deux
valeurs de y1 satisfaisant cette condition
y1 = + j
y’1 = + 2 j
• Ces deux valeurs conduisent après passage en
impédance à
ùú ûüýþÿ !ý ÿ þ%ü&ü
z’ = 1 + j
z’ = 1 - j
• La partie imaginaire est compensée par l’impédance
z2 qui prend elle aussi deux valeurs
z2 = - j
z’2 = + j
En conséquence, les deux solutions suivantes sont possibles :
1
1 0.2+ j0.6
1
2 0.2+ j0.6
Figure 5-21 : Solutions normalisées parrapport à 50 ohms
!" #$%&' ( ) *+-,
Si on dénormalise ces deux circuits par rapport à 50 Ω et 1 GHz, on
obtient :
3.2 p F
3.2 p F 10+ j30 .
8 n H
6.4 p F 10+ j30 .
Figure 5-22 : Solutions dénormaliséespar rapport à 50 ohms et 1 GHz
5.3.1.6. Notion de sélectivité
Les réseaux d'adaptation sont conçus à l'aide de composants
réactifs (dont le comportement est dépendant de la fréquence) et
introduisent donc une notion de sélectivité. Sans l'apport de la CAO,
ces circuits sont généralement conçus à fréquence unique et sont
prévus pour fonctionner en bande étroite. Le coefficient de qualité
est directement relié à la sélectivité de la façon suivante:
dBf
fQ
3
0
∆=
En utilisant un réseau d'adaptation à deux éléments, le concepteur
subit le coefficient de qualité qui ne dépend que des parties réelles
des impédances de source et de charge. Dans l'hypothèse où RL
est supérieure à RS, on obtient 1−=S
L
R
RQ
/0 12345 6738 9"5 :$4%2&2;8< = >?>
L'utilisation de réseaux d'adaptations à deux éléments conduit
généralement à des circuits peu sélectifs, c'est à dire à faible
coefficient de qualité. Par contre l'utilisation d'un réseau
d'adaptation à trois éléments (en pi ou en té) permet une plus
grande souplesse en proposant au concepteur la liberté de choisir
le coefficient de qualité compatible avec son application. La limite
du coefficient de qualité n'est alors fixée que par les valeurs
pratiques des composants discrets. D'une façon pratique on peut
voir l'adaptation à trois éléments localisés de la façon suivante:
RL SRR
Figure 5-23 : Augmentation de lasélectivité d’un réseau d’adaptation
Il s'agit alors d'adapter RL à RS en passant par une résistance
virtuelle intermédiaire R de valeur plus faible que RL et RS. Le
coefficient de qualité global s'écrit alors 1),max(
−=R
RRQ SL
5.3.1.7. Topologies des réseaux d'adaptation
En fonction de la nature de la charge ZL à adapter, il existe deux (un
circuit et son dual) ou quatre topologies (deux circuits et ses duaux)
valides pour l'adaptation.
@A BCDEF GHDI J"F K$E%C&CLIM N OP-Q
Dans le cas général, deux topologies permettent de réaliserl’adaptation d’une charge complexe quelconque, avec deséléments sans perte.
z
y zL2
1
y =1
Figure 5-24 – Topologie série parallèle
z
y yL
2
1
z=1
Figure 5-25 – Topologie parallèle série
Pour chacune de ces deux topologies, il existe deux solutionsqui correspondent aux deux intersections suivantes :
- Topologie série parallèle : intersections entre le cercle àpartie réelle de zL constante et le cercle à partie réelled’admittance égale à 1.- Topologie parallèle série : deux intersections entre le cercle àpartie réelle de yL constante et le cercle à partie réelled’impédance égale à 1.Il existe cependant des cas où ces intersections n’existent pas.On peut alors montrer que la topologie série parallèle
(respectivement parallèle série) ne permet d’adapter que descharges appartenant à la zone grisée décrite en figure 5.26.
RS TUVWX YZV[ \"X ]$W%U&U^[_ ` abc
ad ap tat io n p o ssib le av ec la to p o lo g ie série
p aral lèle
ad ap tat io n p o ssib le av ec la t o p o lo g ie
p aral lèle série
Figure 5-26 – Lieu des points pouvantêtre adaptés avec une topologie sérieparallèle, et parallèle série
En regroupant les informations ci dessus, il est possible dedécouper l’abaque de Smith en 3 zones distinctes :
Z o n e 1
Z o n e 2
Z o n e 3
Figure 5-27 – Décomposition del’abaque de Smith en 3 zones
Zone 1 : Soit Z1 le disque délimité par le cercle à partie réelled’admittance égale à 1. C’est le lieu des points représentatifs descharges passives pouvant être adaptées avec une topologie sérieparallèle (2 solutions)
de fghij klhm n"j o$i%g&gpmq r st-u
Zone 2 : Soit Z2 le disque délimité par le cercle à partie réelled’impédance égale à 1. C’est le lieu des points représentatifs descharges passives pouvant être adaptées avec une topologieparallèle série (2 solutions)
Zone 3 : Soit 213 ZZZv
= . C’est le lieu des points représentatifs descharges passives pouvant être adaptées avec une topologie sérieparallèle et une topologie parallèle série (4 solutions)
Examinons maintenant les différentes possibilités offertes parchacune des deux topologies pour des éléments à constanteslocalisées sans perte (L et C).
5.3.1.7.1. Topologies série parallèle
z
l ieu d es ch arg es co n ju g u ées
lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo g ie
Ly =1
Figure 5-28 – Topologie L série, Lparallèle
wx yz| ~ " $|%z&z
z
lieu d es ch arg es co n ju g u ées
lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo gie
Ly =1
Figure 5-29 – Topologie L série, Cparallèle
" $%&
z
lieu d es ch arg es co n ju g u ées
lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo gie
Ly =1
Figure 5-30 – Topologie C série, Lparallèle
¡¢£ ¤" ¥$%&¦£§ ¨ ©ª«
z
lieu d es ch arg es co n ju g u ées
lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo gie
Ly =1
Figure 5-31 – Topologie C série, Cparallèle
¬ ®¯°±² ³´°µ ¶"² ·$±%¯&¯¸µ¹ º »¼½
5.3.1.7.2. Topologies parallèle série
y
l ieu d es ch arg es co n ju g u ées
lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo g ie
Lz=1
Figure 5-32 – Topologie L parallèle, Lsérie
¾¿ ÀÁÂÃÄ ÅÆÂÇ È"Ä É$Ã%Á&ÁÊÇË Ì ÍÎÏ
y
lieu d es ch arg es co n ju g u ées
lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo gie
Lz=1
Figure 5-33 – Topologie L parallèle, Csérie
ÐÑ ÒÓÔÕÖ ×ØÔÙ Ú"Ö Û$Õ%Ó&ÓÜÙÝ Þ ßà-á
y
lieu d es ch arg es co n ju g u ées
lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo gie
Lz=1
Figure 5-34 – Topologie C parallèle, Lsérie
âã äåæçè éêæë ì"è í$ç%å&åîëï ð ñòñ
y
lieu d es ch arg es co n ju g u ées
lieu d es ch arg es p o u v an t êt re ad ap tées av ec cet te t o p o lo gie
Lz=1
Figure 5-35 – Topologie C parallèle, Csérie
óô õö÷øù úû÷ü ý"ù þ$ø%ö&öÿü
Figure 5-36 – Synthèse des réseauxd’adaptation possibles en fonction de lacharge à adapter
!"# $%'&
5.3.2. L’adaptation à éléments distribués
5.3.2.1. Le tronçon de ligne sans pertes
(L)L
0l
* = * expi n L
- 2 j + l
Figure 5-37 : Tronçon de ligne sanspertes chargé
Le module du coefficient de réflexion d’une ligne sans pertes de
longueur l et d’impédance caractéristique Zc est indépendant de la
longueur l. Sur l’abaque de Smith, on se déplace donc sur un cercle
à coefficient de réflexion constant (qui est un cercle de centre
l’origine des coordonnées si l’impédance de normalisation est
l’impédance caractéristique Zc de la ligne).
V ers le g én érateu r
V ers la ch arg e
Figure 5-38 : Déplacements surl’abaque de Smith
,- ./012 3405 62 71//8!59: ;<=
L’abaque de Smith est conçue de telle sorte qu’un déplacement de
λ/2 correspond à un tour (360° ). Ceci s’explique par le fait que
l’abaque de Smith permet de tracer des coefficients de réflexion et
non de transmission, ces derniers étant de préférence lus sur un
graphe de type polaire. Le déphasage est alors compté deux fois :
une fois vers la charge et une fois vers le générateur.
>/ 2
>/ 8
Figure 5-39 : Déplacements vers legénérateur
?@ ABCDE FGCH IE JDBBK!HLM NO'P
Exemple :
On considère un tronçon de ligne 50 Ω chargé par ZL = 10 Ω + j 30
Ω
10 + j30 Q50 Q , 90°
Figure 5-40 : Tronçon de ligne chargé
Le module du coefficient de réflexion de la charge se déduit du
rayon du cercle de centre 0 passant par le point représentatif de
cette charge.
0.74 expj 1 1 7 °
0.74 exp- j 6 3 °
Figure 5-41 : Module du coefficient deréflexion
RS TUVWX YZV[ \X ]WUU^![_` ab'c
L’angle associé à ce point représente deux fois la longueur
électrique de la ligne. A l’entrée du tronçon de ligne sans perte, on
retrouve donc
expexpdd
-j63-j180Lin 0.74 = = ρρ
5.3.2.2. Le stub court circuit
Un stub court circuit est un tronçon de ligne sans perte chargé par
un court circuit. Son impédance d’entrée s’écrit en fonction de
l’impédance caractéristique Zc , de la constante de propagation β et
de la longueur l.
in cZ = j Z tg lβ
L’impédance ramenée est purement imaginaire et sera utilisée pour
annuler la partie imaginaire de la charge à adapter elle même, ou le
plus souvent la partie imaginaire de la charge transformée par un
tronçon de ligne. Cette impédance peut être calculée à partir de
l’abaque de Smith.
ef ghijk lmin ok pjhhq!nrs tu'u
Exemple
L’impédance ramenée par un tronçon de ligne sans perte λ/8 court
circuitée vaut Zin = + j
v/ 8 v ers le g én érateu r
Figure 5-42 : Stub λ/8 en court circuit
5.3.2.3. Le stub circuit ouvert
Un stub circuit ouvert est un tronçon de ligne sans pertes chargé
par un circuit ouvert. Son impédance d’entrée s’écrit en fonction de
l’impédance caractéristique Zc , de la constante de propagation β et
de la longueur l.
inc
Z = Z
jtg lβ
L’impédance ramenée est purement imaginaire et sera utilisée pour
annuler la partie imaginaire de la charge à adapter elle même, ou le
plus souvent la partie imaginaire de la charge transformée par un
tronçon de ligne. Cette impédance peut être calculée à partir de
l’abaque de Smith.
wx yz| ~ |zz!
Exemple
L’impédance ramenée par un tronçon de ligne sans perte λ/8 en
circuit ouvert vaut zin = - j.
/ 8 v ers le g én érateu r
Figure 5-43 : Stub λ/8 en circuit ouvert
5.3.2.4. Le transformateur quart d’onde
L’impédance d’entrée d’un tronçon de ligne sans perte de longueur
quart d’onde chargé par une impédance de charge ZL s’écrit :
inc2
LZ =
Z
Z
Si l’impédance de charge ZL est purement réelle, l’impédance
ramenée est également purement réelle (en supposant que
l’impédance caractéristique de la ligne est elle aussi purement
réelle ce qui sera toujours le cas pour les lignes sans pertes).
! '
100
Z = 25 i n
/ 4, 50
Figure 5-44 : Exemple de transformateurquart d’onde
5.3.2.5. Le changement d’impédance de
normalisation
L’impédance de normalisation choisie pour l’abaque de Smith est
celle de la ligne de transmission. Il peut arriver que l’on ait besoin
de travailler avec des lignes d’impédance caractéristique
différentes. Il faut effectuer une opération de dénormalisation
renormalisation à chaque interface.
¡¢£¤ ¥¦¢§ ¨¤ ©£¡¡ª!§«¬ ®¯
Exemple
On considère le circuit de la figure 5-45 :
100 °
± / 8, 25 ° ± / 8, 50 °
z1
z2
Figure 5-45 : Tronçons de ligned’impédances caractéristiques
différentes
Pour obtenir l’impédance d’entrée à partir de l’abaque de Smith on
suit la démarche ci-dessous:
• On normalise l’impédance de charge par rapport à 50
Ω
LL
z = Z
50 = 2
• On tourne de λ/8 vers le générateur sur le cercle de
centre l’origine de l’abaque passant par zL , à partir de
zL
z1 = 0.8 - j 0.6
• On dénormalise z1 par rapport à 50 Ω
²³ ´µ¶·¸ ¹º¶» ¼¸ ½·µµ¾!»¿À ÁÂÁ
Z1 = 40 - j 30 Ω
• On renormalise Z1 par rapport à 25 Ω
z’ = Z
25 = 1.6- j1.21
1
• On tourne de λ/8 vers le générateur sur le cercle de
centre l’origine de l’abaque passant par z’1 à partir de
z’1
z2 = 0.425 - j 0.4
• On dénormalise z2 par rapport à 25 Ω
Z2 = 10.625 - j 10 Ω
5.3.2.6. Adaptation simple stub
Une ligne de transmission et un stub court circuit ou circuit ouvert
permettent d’adapter une charge complexe à 50 Ω
l , 50 Ã
d , 50 Ã
y
y
ys
d
Figure 5-46 : Adaptation simple stub
ÄÅ ÆÇÈÉÊ ËÌÈÍ ÎÊ ÏÉÇÇÐ!ÍÑÒ ÓÔÕ
Pour qu’il y ait adaptation y doit être égal à 1.
ys est purement imaginaire
sy = j( )±
yd doit donc être de la forme suivante :
dy = 1+ j( )
Exemple
On cherche à adapter l’impédance ZL = 30 + j 70 Ω avec un
dispositif simple stub. Les lignes ont une impédance caractéristique
de 50 Ω.
l , 50 Ö
d , 50 Ö
y
y
ys
d
30 + j70 Ö
Figure 5-47 : Exemple d’adaptationsimple stub
On normalise ZL par rapport à 50 Ω
LL
z = Z
50 = 0.6+ j1.4
×Ø ÙÚÛÜÝ ÞßÛà áÝ âÜÚÚã!àäå æçè
Par symétrie on en déduit l’admittance normalisée
yL = 0.26 - j 0.6
On se déplace vers le générateur sur un cercle de centre 0 passant
par yL (à partir de yL) jusqu’à rencontrer une admittance à partie
réelle unitaire. La première admittance vérifiant cette condition est :
yd = 1 + j 1.85
La longeur de ligne parcourue entre yL et yd vaut 0.275é λ
Le stub court circuit doit donc présenter une admittance d’entrée
permettant d’annuler la partie imaginaire de yd
yS = - j 1.85
La longueur êìëîíðïòñóëîôíñóëîíõöïø÷úùûïüïùý÷ÿþõ ñòïòñþõ ë ù ñ ï í ù ù õöï ûùl’abaque de Smith
l = 0.078 λ
!"#$%&')( *,+.-
La solution est donc:
0.078 / , 50 0
0.275 / , 50 0
y = 1
30 + j70 0
Figure 5-48 : Première solution del’adaptation simple stub
La seconde solution est obtenue de façon similaire :
0.078 / , 50 0
0.275 / , 50 0
y = 1
30 + j70 0
Figure 5-49 : Seconde solution del’adaptation simple stub
12 34567 895: ; 7 <"6#4$4=&:>)? @,A,B
5.3.2.7. Adaptation double stub
Pour des raisons pratiques (réglages à posteriori, connaissance
imprécise de l’impédance à adapter, etc...) on est parfois amené à
modifier légèrement les longueurs des lignes d’adaptation. Dans la
structure simple stub ceci est quasiment impossible du fait de la
ligne série. L’adaptation double stub apporte une réponse à ce
problème en fixant la longueur d de la ligne série et en reportant les
réglages sur deux stubs l1 et l2.
l 1, 50 C
d 1 , 50 C
y
y
ys1
d1
ys2
d 2 , 50 C
l 2, 50 C
yd2
Figure 5-50 : Adaptation double stub
On résout le problème en faisant les remarques suivantes :
• y’L est l’admittance de charge transformée par d1
• yd1 aura même partie réelle que y’L
• yd2 aura une partie réelle unitaire
Les solutions seront donc issues de l’intersection des deux cercles
suivants :
DE FGHIJ KLHM N J O"I#G$GP&MQ)R S,T,U
C1 : cercle à partie réelle d’admittance y’L constante
C2 : cercle à partie réelle d’admittance unitaire pivoté de
C2 vers la charge
Exemple :
On cherche à adapter l’impédance ZL = 30 - j 50 Ω à 50 Ω avec un
dispositif double stub.
l 1, 50 V
0.02 W , 50 V
y
y
ys1
d1
ys2
W / 8 , 50 V
l 2, 50 V
yd2
30 - j50 V
Figure 5-51 : Exemple d’adaptationdouble stub
On normalise ZL par rapport à 50 Ω
LL
z = Z
50 = 0.6- j
On se déplace de 0.02 λ vers le générateur
z’L = 0.48 - j 0.8
XY Z[\]^ _`\a b ^ c"]#[$[d&ae)f g,h,i
Par symétrie, on déduit l’admittance équivalente
y’L = 0.54 + j 0.92
On trace le cercle unitaire pivoté de λ/8 vers la charge
L’intersection avec le cercle à partie réelle d’admittance égale à
0.55 donne 2 solutions:
yd1 = 0.54 + j 1.9
y’d1 = 0.55 + j 0.19
On pivote ces deux points vers le générateur en tournant de jlknmporqsune ligne 50 Ω
yd2 = 1 - j 2.6
y’d2 = 1 + j 0.6
La longueur du second stub doit compenser la partie imaginaire
yl2 = + j 2.6 ce qui conduit à l2 = 0.442 λ
y’l2 = - j 0.6 ce qui conduit à l2 = 0.164 λ
La longueur du premier stub est donnée par la différence entre y’L
et yd
yl1 = j 0.98 ce qui conduit à l1 = 0.375 λ
y’l1 = - j 0.82 ce qui conduit à l1 = 0.14 λ
tu vwxyz |x ~ z "y#w$w&) ,
0.375 , 50
0.02 , 50
y = 1
/ 8 , 50
0.442 , 50
30 - j50
Figure 5-52 : Première solution del’adaptation double stub
0.140 , 50
0.02 , 50
y = 1
/ 8 , 50
0.164 , 50
30 - j50
Figure 5-53 : Seconde solution del’adaptation double stub
"#$&) ,,
6. ANNEXES
¡¢£ ¤ ¥"#$¦&£§)¨ ©.ª,«
6.1. Les relations de passage entre les différentes
représentations d’un qu adripole
Tous les paramètres descriptifs d’un quadripôle sont bien entendu
reliés entre eux par diverses relations développées ci-dessous.
Quelques unes d’entre elles sont issues d’une forme matricielle.
Certaines de ces transformations font intervenir le déterminant de
l’une des matrices descriptives du quadripôle en question. Lorsque
celui-ci se situe au dénominateur, il faut bien entendu s’assurer qu’il
n’est pas nul. Dans le cas contraire, la matrice correspondante
n’existe pas.
6.1.1. Zij = f (Yij)
La matrice impédance est l’inverse de la matrice admittance, ce qui
s’écrit :
[Z] = [Y ] -1
Sous une forme plus développée :
11 22
12 12
21 21
22 11
Z = Y
Y
Z = -
Y
Y
Z = -
Y
Y
Z = Y
Y
∆
∆
∆
∆
¬ ®¯°±² ³´°µ ¶ ² ·"±#¯$¯¸&µ¹)º ».¼»
6.1.2. Zij = f (A, B, C, D)
11
12
21
22
Z =
A
C
Z =
C
C
Z =
1
C
Z = D
C
∆
6.1.3. Zij = f (Sij)
On peut montrer que la matrice impédance est reliée à la matrice
de répartition par la relation suivante :
[Z] = ([1] + [S] ) ([1] - [S] )-1
En développant, on trouve :
1111 22 12 21
11 22 12 21
1212
11 22 12 21
2121
11 22 12 21
2211 22 12 21
11 22 12 21
Z = (1+ S ) (1- S )+ S S
(1- S ) (1- S ) - S S
Z = 2S
(1- S ) (1- S ) - S S
Z = 2S
(1- S ) (1- S ) - S S
Z = (1- S ) (1+ S )+ S S
(1- S ) (1- S ) - S S
½¾ ¿ÀÁÂÃ ÄÅÁÆ Ç Ã È"Â#À$ÀÉ&ÆÊ)Ë Ì.Í,Î
6.1.4. Yij = f (Zij)
La matrice admittance est l’inverse de la matrice impédance, ce qui
s’écrit
][Z =[Y] -1
Sous une forme plus développée :
1122
1212
2121
2211
Y = Z
Z
Y = - Z
Z
Y = - Z
Z
Y = Z
Z
∆
∆
∆
∆
6.1.5. Yij = f (A, B, C, D)
11
12
21
22
Y = D
B
Y = -C
B
Y = -1
B
Y = A
B
∆
ÏÐ ÑÒÓÔÕ Ö×ÓØ Ù Õ Ú"Ô#Ò$ÒÛ&ØÜ)Ý Þ.ßà
6.1.6. Yij = f (Sij)
La relation matricielle entre [Y] et [S] se met sous la forme :
[Y] = ([1] - [S] ) ([1] + [S] ) 1-
Si on pousse le calcul, cette égalité matricielle se traduit par :
1111 22 12 21
11 22 12 21
1212
11 22 12 21
2121
11 22 12 21
2211 22 12 21
11 22 12 21
Y = (1- S ) (1+ S )+ S S
(1+ S ) (1+ S ) - S S
Y = - 2S
(1+ S ) (1+ S ) - S S
Y = - 2S
(1+ S ) (1+ S ) - S S
Y = (1+ S ) (1- S )+ S S
(1+ S ) (1+ S ) - S S
6.1.7. A, B, C, D = f (Zij)
A = Z
Z
B = Z
Z
C = 1
Z
D = Z
Z
11
21
21
21
22
21
∆
áâ ãäåæç èéåê ë ç ì"æ#ä$äí&êî)ï ð.ñ,ò
6.1.8. A, B, C, D = f (Yij)
A = -Y
Y
B = -1
Y
C = - Y
Y
D = -Y
Y
22
21
21
21
11
21
∆
6.1.9. A, B, C, D = f (Sij)
A = (1+ S )(1- S )+ S S
2S
B = (1+ S )(1+ S ) - S S
2S
C = (1- S )(1- S ) - S S
2S
D = (1- S )(1+ S )+ S S
2S
11 22 12 21
21
11 22 12 21
21
11 22 12 21
21
11 22 12 21
21
óô õö÷øù úû÷ü ý ù þ"ø#ö$öÿ&ü
Si le circuit est adapté S11 = S22 = 0
A = 1+ S S
2S
B = 1- S S
2S
C = 1- S S
2S
D = 1+ S S
2S
12 21
21
12 21
21
12 21
21
12 21
21
6.1.10. Sij = f (Zij)
Les paramètres de répartition sont reliés aux paramètres
impédance par :
[S] = ([Z] - [1] ) ([Z] + [1] )-1
La forme développée donne les expressions suivantes :
1111 22 12 21
11 22 12 21
1212
11 22 12 21
2121
11 22 12 21
2211 22 12 21
11 22 12 21
S = ( Z -1)( Z + 1) - Z Z
( Z + 1)( Z + 1) - Z Z
S = 2Z
( Z + 1)( Z + 1) - Z Z
S = 2Z
( Z + 1)( Z + 1) - Z Z
S = ( Z + 1)( Z -1) - Z Z
( Z + 1)( Z + 1) - Z Z
!"# $%&
6.1.11. Sij = f (Yij)
Les paramètres de répartition sont reliés aux paramètres
admittance par :
[S] = ([1] - [Y] ) ([1] + [Y] )-1
La forme développée donne les expressions suivantes :
1111 22 12 21
11 22 12 21
1212
11 22 12 21
2121
11 22 12 21
2211 22 12 21
11 22 12 21
S = (1-Y )(1+ Y )+ Y Y
(1+ Y )(1+ Y ) -Y Y
S = - 2Y
(1+ Y )(1+ Y ) -Y Y
S = - 2Y
(1+ Y )(1+ Y ) -Y Y
S = (1+ Y )(1-Y )+ Y Y
(1+ Y )(1+ Y ) -Y Y
6.1.12. Sij = f (A, B, C, D)
11
12c
21
22
S = A+ B - C - D
A+ B+ C+ D
S = 2
A+ B+ C+ D
S = 2
A+ B+ C+ D
S = - A+ B - C+ D
A+ B+ C+ D
∆
'( )*+,- ./+0 1- 2,**3!045 678
6.2. Quelques matrices é lémentaires
6.2.1. L’impédance série
I
V
1
1
I 2
V2
Figure 6-1 : L’impédance série
[Y] =
1
Z-
1
Z
-1
Z
1
Z
[C] = 1 Z
0 1
[S] =
Z
Z + 2
2
Z + 2
2
Z + 2
Z
Z + 2
9: ;<=>? @A=B C? D><<E!BFG HIJ
6.2.2. L’admittance
parallèle
I
V
1
1
I 2
V2
Figure 6-2 : L’admittance parallèle
[Z] =
1
Y
1
Y
1
Y
1
Y
[C] = 1 0
Y 1
[S] =
-Y
Y+ 2
2
Y+ 2
2
Y+ 2-
Y
Y+ 2
KL MNOPQ RSOT UQ VPNNW!TXY Z[[
6.2.3. Le transformateur
idéal
I
V
1
1
I 2
V2
n 1
Figure 6-3 : Le transformateur idéal
Nous allons étudier ici la caractérisation d’un transformateur parfait
de rapport de transformation n.
[S] =
n -1
n + 1
2n
n + 1
2n
n + 11- n
n + 1
2
2 2
2
2
2
[C] =
n 0
0 1
n
\] ^_`ab cd`e fb ga__h!eij kll
6.2.4. Le tronçon de ligne sans pertes
I
V
1
1
I 2
V2
Zc
l
Figure 6-4 : Le tronçon de ligne sanspertes
[Y] = j
Z
- l 1
l
1
l
- lc
cot
sin
sin
cot
ββ
ββ
[Z] = - j Z
l 1
l
1
l
lc
cot
sin
sin
cot
ββ
ββ
[C] =
l j Z l
jl
Z
l
c
c
cos sin
sin cos
β β
β β
[S] = 0
0
-j l
- j l
β
β
exp
exp
mn opqrs tuqv ws xrppy!vz |~
6.3. Les graphes de fluence
Un graphe de fluence est un moyen élégant de représenter et
d’analyser le phénomène de réflexion et de transmission dans un
circuit microonde. En effet, une fois la topologie du graphe établie,
les relations entre les variables peuvent être déterminées à partir
des règles de Mason.
Plusieurs définitions sont nécessaires à la construction d’un graphe
de fluence :
• Chaque variable (dépendante ou indépendante) est
associée à un nœud.
• Les paramètres S sont représentés par des
branches.
• Les branches sont orientées de la variable
indépendante vers la variable dépendante. Les
variables indépendantes (respectivement
dépendantes) sont les ondes incidentes
(respectivement réfléchies).
• Un noeud est égal à la somme des branches
convergeant vers lui.
!
Le graphe de fluence d’un quadripôle caractérisé par ses
paramètres S est représenté sur la figure suivante :
a b1 2
S1 1
S2 2
S2 1
S1 2
a2b1
Figure 6-5 : Graphe de fluence d’unquadripôle
On peut également représenter les dipôles à l’aide des graphes de
fluence, et notamment le générateur et la charge.
bg
g
ag
bs
1
Figure 6-6 : Graphe de fluence d’ungénérateur
bL
L
aL
Figure 6-7 : Graphe de fluence d’unecharge
! ¡¢
On peut bien entendu combiner les trois représentations pour
représenter un générateur débitant dans un quadripôle chargé (cas
typique de l’amplificateur microonde). Le graphe correspondant est
présenté ci dessous:
a b1 2
S1 1
S2 2
S2 1
S1 2 a2b1
bs1
£s£ £
L£
Figure 6-8 : Graphe de fluence d’unquadripôle alimenté et chargé
Pour déterminer la fonction de transfert d’une variable dépendante
à une variable indépendante, on applique la formule de Mason.
Pour illustrer cette théorie, nous allons calculer la fonction de
transfert entre bs et b1 (les conventions sont celles de la Figure 8).
[ ] [ ]T =
C 1- L + L -... + C 1- L + L +...+...
1- L + L - L +...1 1
121
2 12
22
1 2 3
Σ Σ Σ ΣΣ Σ Σ
Les termes Ci sont les différents chemins possibles entre la variable
indépendante et la variable dépendante. Un chemin est défini
comme un circuit fermé que l’on parcoure dans le sens des flèches
sans passer deux fois par le même noeud. Dans le cas qui nous
intéresse, on aura :
1 11
2 21 L 12
C = S
C = S SΓ
¤¥ ¦§¨©ª «¬¨ ®ª ¯©§§°!±² ³´µ
Le terme Σ L1 représente la somme des boucles du premier ordre.
Une boucle du premier ordre est définie comme le produit des
branches rencontrées lors du parcours fermé d’un nœud vers ce
même nœud. Ici ΓS S11 , ΓL S22 et S21 ΓL S12 ΓS sont les seules
boucles du premier ordre.
Le terme Σ L2 représente la somme des boucles du deuxième
ordre. Une boucle du deuxième ordre est le produit de deux boucles
du premier ordre non adjacentes. La seule boucle du deuxième
ordre de notre exemple vaut S11 ΓS S22 ΓL . De la même façon, une
boucle du troisième ordre est égale au produit de trois boucles du
premier ordre non adjacentes. Il n’y a pas de boucles du troisième
ordre dans l’exemple qui nous intéresse.
Le terme Σ Lji représente la somme des boucles d’ordre j ne
touchant pas le chemin C1. Pour le graphe de la Figure 8 , on
obtient :
Σ Γ Σ Σ11
L 22 12
2iL = S , L = 0 et L = 0
La fonction de transfert recherchée s’écrit donc :
1
S
11 22 L 21 L 12
11 S 22 L 21 L 12 S 11 S 22 L
b
b =
S (1- S )+ S S
1- ( S + S + S S )+ S S
Γ ΓΓ Γ Γ Γ Γ Γ
¶· ¸¹º»¼ ½¾º¿ À¼ Á»¹¹Â!¿ÃÄ ÅÆÇ
7. BIBLIOGRAPHIE
ÈÉ ÊËÌÍÎ ÏÐÌÑ ÒÎ ÓÍËËÔ!ÑÕÖ ×ØÙ
Circuits passifs Léo ThourelCepadues Editions 1988
Transmission en espace libre et sur les lignes Paul F. CombesChapitres VIII, IX, X, XI, XIIDunod Université 1983
Microstrip Lines ans Slotlines K. C. Gupta, R. Garg, I. Bahl, P. BhartiaArtech House 1996
High Frequency Amplifiers Ralph S. CarsonChapitre 3John Wiley & Sons 1982
High Frequency Circuit Design and Measurements Peter C. L. YipChapitres 1, 2, 3, 4Chapman and Hall 1990
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