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Collège Voltaire, 2017-2018

Mathématiques / Exercices / 2ème

Polynôme etfraction rationnelle

h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-polynome.pdf

Table des matièresSérie 34..................................................................................................................................................................... 3

Identifier un polynôme..............................................................................................................3Déterminer le degré et les zéros d'un polynôme.......................................................................3Écrire un polynôme sous forme factorisée à partir des zéros du polynôme..............................3

Série 35..................................................................................................................................................................... 7Introduire la division polynomiale............................................................................................7Comprendre le vocabulaire : diviseur,reste, dividende et quotient...........................................7Trouver les zéros d'un polynôme et factoriser un polynôme.....................................................7Résoudre des équations polynomiale (degré > 2).....................................................................7Résoudre un problème à l'aide d'une équation polynomiale (degré >2)...................................7

Série 36................................................................................................................................................................... 13Effectuez la division polynomiale à l'aide de la méthode de Horner......................................13

Série 37 2MA /Travail de groupe / Polynôme / mars 2018........................................................................14Diviser et multiplier des polynômes........................................................................................14

Série 38 2MA /Travail de groupe / Polynôme / mars 2018........................................................................14Diviser et multiplier des polynômes........................................................................................14

Série 39................................................................................................................................................................... 15Résoudre des inéquations polynomiale (degré > 2)................................................................15Résoudre un problème à l'aide d'une inéquation polynomiale (degré >2)..............................15

Série 40................................................................................................................................................................... 17Faire le tableau des signes d'un polynôme..............................................................................17Montrer le lien entre tableau des signes et la graphe d'un polynôme......................................17Trouver les zéros d'un polynôme par graphique et par factorisation à l'aide de la division....17 Trouver l'expression algébrique du polynôme à l'aide de sa représentation graphique.........17Esquisser la représentation graphique d'un polynôme (degré > 2).........................................17

Série 41 2MA / Travail de groupe / Polynôme / mars 2018.......................................................................23

www.dcpe.net/ eleve/ volt1234

Faire le lien entre la représentation graphique et le tableau des signes...................................23Série 42.................................................................................................................................................................. 24

Résoudre des équations et des inéquations avec des fractions rationnelles............................24Résoudre un problème à l'aide de fraction rationnelle (équation et inéquation).....................24Déterminer le domaine de définition d'une fonction rationnelle ou avec une racine carrée...24

Série 43.................................................................................................................................................................. 29Trouver le domaine de définition et les zéros d'une fonction rationnelle...............................29Faire le tableau des signes du fonction rationnelle.................................................................29Faire le lien entre la fonction rationnelle et sa représentation graphique................................29Résoudre une équation ou inéquation à l'aide du graphique d'une fonction rationnelle.........29

Série 44.................................................................................................................................................................. 32Trouver le domaine de définition,les zéros et l'ordonnée à l'origine d'une fonction rationnelle.................................................................................................................................................32Faire le tableau des signes d'une fonction rationnelle.............................................................32Trouver les asymptotes et montrer le comportement de la fonction au voisinage des asymptotes...............................................................................................................................32Tracer le graphe d'une fonction rationnelle.............................................................................32

Série 45 2MA1 /Travail de groupe / Polynôme / Mai 2018........................................................................34Étudier des fonctions rationnelles (fonction homographique)................................................34

Série 46.................................................................................................................................................................. 35Révision et exercices supplémentaires....................................................................................35

Série 34

Objectifs✔ Identifier un polynôme✔ Déterminer le degré et les zéros d'un polynôme ✔ Écrire un polynôme sous forme factorisée à partir des zéros du polynôme

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1.Les expressions suivantes définissent-elles des polynômes ? Justifiez votre réponse. Si oui donnez leur degré :

a)A(x)= 2x2 +6x-3

b)B(t)=(t2+ 2 )(2+t)

c)C(x)= 5 x3−3 x

√5

d) D(x)= √25+x2

e) E(x)= x-1

f) F(x)= 5 +3

g) G(x)=3

x−1+x

2

h) H(x)=x−7x−7

i) I(y)= (2y2-5)2-25y2

j) J(f)=f-5f

Ex.2.Quel est le degré des expressions algébriques ci-dessous ?

a) A(x)= x5 +6x-3

b) B(x)= (x2+1)(5-2x)+2x3

c) C(x)= 50

d) D(x)= (x2+1)(5-2x)

e) E(x)= (4x+1)2 +(4x-1)2

f) F(x)= (4x+1)2 -(4x-1)2

g) G(x)= (x+1)(x2-1)x(1-x)2

h) H(x)= 5 +3

2MA / Polynôme et fraction rationnelle / Février 2018

Ex.3.Quels sont les zéros des expressions algébriques ci-dessous ?

a) A(x)= x+6

b) B(x)= x2+3x+1

c) C(x)= 5

d) D(x)= (x2-1)(5-2x)

e) E(x)=0

Ex.4.Connaissant les 3 polynôme ci-dessous , déterminez :A(x)=-x2+3x+7 B(x)=-2+5x2-x4 C(x)=(x+2)2

a) le polynôme D(x)= 3A(x)-2B(x)+C(x)

b) le degré de E(x)=A(x)•B(x)

c) le polynôme: F(x)= x•B(x)-A(x)

d) le degré du polynôme : H(x)=[C(x)]4

e) le polynôme E(x)= A(x)•B(x)

f) le polynôme P(x)=-3B(x)-1

4A(x)

Remarque : donnez les polynômes sous forme réduite.

Ex.5.Trouvez deux polynômes A et B satisfaisant aux conditions suivantes :

a) A et B sont de degré 3 , leur somme aussi , leur différence est de degré 2

b) Le degré de A•B est 4 , celui de A+ B est 3

Ex.6.Le nombre 2 est-il un zéro des polynômes ci-dessous ?

a) A(x)=3x2-5x+7

b) B(x)=(x-1)3-1

c) C(x)= (x2+x6+x8)(x-2)+(x-2)(x+1))

d) D(x)= x5-9x+4

Ex.7. Parmi les polynômes ci-dessous, le(s)quel(s) correspond(ent) à cette description :

‘’le polynôme a 3 zéros. Les zéros sont -3,-2 et 2. Le degré du polynôme est 5’’ ?

A(x) = (x+3)3(x+2)2 B(x)= (x+3) (x+2)(x-2) C(x)= (x+3)3 (x2-4) D(x)= 5(x+3)(x+2)(x-2) (x2+1) E(x)= [(x+3)(x+2)(x-2)]2

Ex.8.Trouvez les polynômes A(x), B(x) et C(x) avec les propriétés suivantes.

a) Les zéros de A(x) sont 1 ; -1 et -5. b) Le polynôme B(x) est de degré 4 et les zéros de B(x) sont uniquement 1 et-2.

c) Un polynôme C(x) de degré 5 et le seul zéro de C(x) est -1

2Dans cet exercice, il y a une infinité de réponses justes. À vous d’en trouver une.

Série 35

Objectifs✔ Introduire la division polynomiale✔ Comprendre le vocabulaire : diviseur,reste, dividende et quotient✔ Trouver les zéros d'un polynôme et factoriser un polynôme ✔ Résoudre des équations polynomiale (degré > 2)✔ Résoudre un problème à l'aide d'une équation polynomiale (degré >2)

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1. Effectuez les divisions suivantes :

a) x3−x2

−14 x+24x−2 Le polynôme P(x)= x3-x2-14x+24 est-il divisible par x-2 ? Est-il possible de factoriser : P(x)= x3-x2-14x+24 ?

Indication: aidez-vous de la division.

b) x3

−3 x2+5 x−1

x2−1

Le polynôme P(x)= x3-3x2+5x-1 est-il divisible par x2-1 ? Est-il possible de factoriser : P(x)= x3-3x2+5x-1 ?

Indication: aidez-vous de la division.

2MA / Polynôme et fraction rationnelle / Février 2018

Ex.2. Soit le polynôme : P(x)= x4 +3x3 -19x2 -27x + 90

a) Divisez le polynôme P(x) [dividende] par D(x) = x+1 [diviseur]

b) Divisez le polynôme P(x) par D(x) = x-2

c) Divisez le polynôme P(x) par D(x) = x

d) Divisez le polynôme P(x) par D(x) = x+5

e) Divisez le polynôme P(x) par D(x) = x + 3

f) Par quel(s) polynôme(s) P(x) est-il divisible ?

g) Calculez P(-1) , P(2) , P(0), P(-5) et P(-3). Que remarquez-vous ?

h) Comment est-il possible de vérifier rapidement qu’un polynôme P(x) est divisible par un diviseur D(x) ?

i) Factorisez au maximum P(x) (factorisation complète). Donnez le zéros de P(x).

h) Comment est-il possible de vérifier rapidement que la factorisation est juste?

Ex.3.Soit T(x) = x3 + x2 +x + 1

P(x) = x3 +2x2 -5x - 6

G(x) = x4 - 2x3 - 4x2 + 2x + 3

F(x) = x3 - 9x2 + 11x + 21

a) Déterminez les zéros des polynômes T(x), P(x), G(x) et F(x).

b) Factorisez au maximum T(x), P(x), G(x) et F(x).

b) Résolvez les équations: T(x) = 0

P(x) = 0

G(x) = 0

F(x) = 0

Ex.4. Trouvez les polynômes suivants :

a) 2 ; 1 et 5 sont des zéros de B(x) et le degré de B(x) est de 5.

b) D(x) est de degré 3, et 2 est le seul zéro de D(x). D(0)=32.

Ex.5.

P(x) est-il divisible par D(x) ? Si oui donnez une factorisation complète de P(x).

a) P(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 D(x)= x +1

b) P(x)= x3 -2x2 -2x -3 D(x)= x +4

c) P(x)= x3 +5x2 +7x +2 D(x)= x +2

Donnez les zéros de P(x) pour chaque exemple factorisable.

Ex.6.Factorisez au maximum (factorisation complète) les polynômes ci-dessous, en observant les indications :

a) A(x) = x4 -2x3 -3x2 -x + 3 A(3) = 0

b) B(x) = x3 -2x2 -7x - 4 4 est un zéro de B(x)

c) C(x) = x3 + x2 -17x + 15 -5 est un zéro de C(x)

d) D(x)= 2x3 -3x2 -3x + 2 D(x) est divisible par 2x-1

Ex.7. Vrai ou faux ? Justifiez.

a) Deux polynômes qui ont les mêmes zéros sont égaux.

b) Un polynôme qui admet deux zéros distincts est de degré 2.

c) Certains polynômes de degré 7 possèdent 14 zéros distincts.

Ex.8.Déterminez un polynôme P de quatrième degré satisfaisant aux cinq conditions suivantes :

a) P(-2)=0b) Le polynôme P est divisible par x+1c) Le polynôme P admet le facteur x dans sa décomposition en facteurs (factorisation)d) Le reste de la division du polynôme P par x-3 est 180e) 2 est un zéro du polynôme P

Ex.9.

Résolvez l’équation suivante : 3x5 - 15x3 = - 12x

Ex.10. Zéro degré

Si la température des cinq premiers jours de l’année évolue de la manière suivante :T(x)= x3 - 7x2 +14x - 8 , alors quand la température sera-t-elle de 0 °C ?

Remarques : • T(x) est la température en °C

• x est le jour de l’année x=0 (31 décembre, minuit) x=1 (1 janvier, minuit)

x=2 (2 janvier,minuit)…….x=5 (5janvier, minuit)

Série 36

Objectifs✔ Effectuez la division polynomiale à l'aide de la méthode de Horner

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1.Déterminez le quotient et le reste de la division en utilisant le schéma de Horner.

a) x4+ x3

+x2+x+1

x−1 b) x5

+1x+1

c) 6 x3

−7 x2+1

x−23

Ex.2. Montrez à l’aide du schéma de Horner que P(x)= x6 -6x5+15x4-20x3-6x+1 n’est pas divisible par x-1.

Ex.3.Calculez le reste de la division 5x100 +7x5 – x + 47 par x-1

Série 36

Objectifs

✔ Effectuez la division polynomiale à l'aide de la méthode de Horner

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1.Déterminez le quotient et le reste de la division en utilisant le schéma de Horner.

a) x4+ x3

+x2+x+1

x−1 b) x5

+1x+1

c) 6 x3

−7 x2+1

x−23

Ex.2. Montrez à l’aide du schéma de Horner que P(x)= x6 -6x5+15x4-20x3-6x+1 n’est pas divisible par x-1.

Ex.3.Calculez le reste de la division 5x100 +7x5 – x + 47 par x-1

2MA / Polynôme et fraction rationnelle / Février 2018

2MA / Polynôme et fraction rationnelle / Février 2018

Série 37 2MA /Travail de groupe / Polynôme / mars 2018

Objectifs✔ Diviser et multiplier des polynômes

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma2-polynome.pdf

Série 38 2MA /Travail de groupe / Polynôme / mars 2018

Objectifs✔ Diviser et multiplier des polynômes

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma2-polynomesuite.pdf

Série 39

Objectifs✔ Résoudre des inéquations polynomiale (degré > 2)✔ Résoudre un problème à l'aide d'une inéquation polynomiale (degré >2)

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1. Résolvez les inéquations suivantes :

a) (x-2) (2x+5) (3-x) > 0

b) (x-2)2 (x+3) ≤ 0

c) 2x4 + 8x3 < -2x2 + 12x

d) (x2 +1) (x+2) (x-3)(8x+2) ≥ 0

Ex.2.Soit G(x) =3 x4 - x3 + 3 x2 - x et F(x) = -2x3 + 5x2 + 2 x - 5

Résolvez les inéquations:

G(x) > 0 F(x) < 0

Ex.3. Va-t-il neiger ?

Si la température des cinq premiers jours de l’année évolue de la manière suivanteT(x)= x3 - 7x2 + 14x - 8 , alors quand la température sera-t-elle inférieure à 0 °C ?

Remarques : • T(x) est la température en °C

• x est le jour de l’année x=0 (31 décembre, minuit) x=1 (1 janvier, minuit)

x=2 (2 janvier,minuit)…….x=5 (5 janvier, minuit)

Indication : la factorisation de ce polynôme est à chercher dans une série précédente

2MA / Polynôme et fraction rationnelle / Février 2018

Ex.4.

Un troupeau de 100 cerfs est introduit sur une petite île. Tout d’abord le troupeau granditrapidement, mais par la suite les ressources en nourriture baissent et la population diminue.Supposons que le nombre P(x) de cerfs après x années est donné par

P(x) = – x4 + 21x2 + 100 , où x > 0

a) Déterminez la valeur de x pour laquelle P(x) > 0 .

b) La population de cerfs va-t-elle s’éteindre ? Si oui,quand?

Réponse

Ex.4a) -x4 + 21x2 + 100 > 0

x4 - 21x2 - 100 < 0 posons t=x 2 t2 - 21t - 100 < 0 =841 et les zéros sont -4 ou+25

(t+4)(t-25) < 0(x2+4)(x2-25) < 0(x2+4)(x-5)(x+5) < 0

x - ∞ -5 5 ∞x-5 - - - 0 +x+5 - 0 + + +x2+4 + + + + +

(x2+4)(x-5) (x+5) + 0 - 0 +

x> O (année toujours positive), donc S=]0 ;5[

b)oui, après 5 ans

Série 40

Objectifs✔ Faire le tableau des signes d'un polynôme✔ Montrer le lien entre tableau des signes et la graphe d'un polynôme ✔ Trouver les zéros d'un polynôme par graphique et par factorisation à l'aide de la division✔ Trouver l'expression algébrique du polynôme à l'aide de sa représentation graphique ✔ Esquisser la représentation graphique d'un polynôme (degré > 2)

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1.a) Faites le tableau des signes du polynôme : F(x)= x2 + x - 6b) Montrez les points communs entre le tableau des signes et la représentation graphique de F.

Représentation graphique de F

2MA / Polynôme et fraction rationnelle / Mars 2018

Ex.2.

Le graphe ci-dessous pourrait-il être celui du polynôme G(x )= x3 + 6x2 + 5x – 12 ? Justifiez à l’aide des zéros du polynôme G, du tableau des signes de G et G(O).

Ex.3.Représentation graphique du polynôme T

a) Trouvez les zéros du polynôme T à l’aide de la représentation graphique. b) Le polynôme est–il divisible par x+1 ? Le polynôme T est–il divisible par x-1 ? c) Peut-on factoriser le polynôme T par x+2 ?d) Proposez un polynôme T de degré 3 sous forme factorisée à l’aide des zéros de T.e) Vérifiez que T(0) du graphe et de l’expression algébrique soit le même.f) Faites le tableau des signes de T trouvé au point (d). Vérifiez la cohérence avec le

graphe.

Ex.4. En sachant que P(0) = -3 et que le polynôme P est divisible par 3x+2, déterminez l’expression

algébrique du polynôme P de degré 3 représenté ci-dessous :

Ex.5.

Soit le polynôme T(x)= x3 –3x -2

a) Faites le tableau des signes de T(x)

b) Calculez T(-2) ,T(1),T(2) et T(2.5)

c) Esquissez la courbe de T pour x�[-2 ;2.5]

RéponsesEx.5. Soit le polynôme T(x)= x3 –3x -2

a) Les zéros de T(x) sont -1 et 2 , car T(-1)=0 et T(2)=0T(x)=(x-2) (x+1) (x+b) b=1 = (x-2) (x+1)2

x -� -1 2 +�(x-2) - - - 0 +(x+1)2 + 0 + + +

(x-2) (x+1)2 - 0 - 0 +

b) T(-2)=-4 , T(1)= -4 ,T(2)=0 et T(2.5)=6.125

c) La représentation graphique de T(x) :

Série 41 2MA / Travail de groupe / Polynôme / mars 2018

Objectifs✔ Faire le lien entre la représentation graphique et le tableau des signes

▶tg-ma2-polynome2.pdf

Série 42

Objectifs✔ Résoudre des équations et des inéquations avec des fractions rationnelles ✔ Résoudre un problème à l'aide de fraction rationnelle (équation et inéquation)✔ Déterminer le domaine de définition d'une fonction rationnelle ou avec une racine carrée

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1. Résolvez les équations suivantes sans oublier de donner le domaine de définition:

a) x−3x−5

=5

b) x−3x−5

=1

c) x−3x−5

=0

d) 5 x−1

5+3 x−2

3=

8 x−34

e) 12−

5x+8

=2

2x+2

f) 4

x+2+

7x+3

=37

x2+5 x+6

g) x+8x−1

+12 x

x2−1

=4+xx+1

h) x2

+2 x+1x2

+1=

x+2x

i) x4−16 x2

x+4=0

j) x4

−5x2+6

(x−√2)(x−√3)=0

k) 4x=

x2

x2+ x−

xx+1

l) Trouvez une équation avec :S= {10} D = ℝ \ {-3 ; 5}

Ex.2.

Résolvez les inéquations suivantes.

a) 2 x−1x+3

≥2 b) (2 x−3)(x2

−5x−6)

x2−2 x−15

≤0

c) x−2x−1

≤ x d)

x3−x

≥1

x+1

e)

13

x

x−2≤

6−23

x

x+1

2MA / Polynôme et fraction rationnelle / Mars 2018

Ex.3.Calculez le domaine de définition des expressions algébriques suivantes. Indiquez clairement les inéquations à résoudre.

G(x) = √2x−9+√5−x T(x) = √ 2 x+95−x

Ex.4.

Détermination du niveau thérapeutique minimal

Pour qu’un médicament ait un effet bénéfique, il faut que sa concentration dans le sang dépasse une certaine valeur, appelée niveau thérapeutique minimal. Admettons que la concentration C(x) en mg/l d’un certain médicament x heures après qu’on l’a pris oralement est donnée par :

C(x) = 20 x

x2+4

Si le niveau thérapeutique minimal est de 4 mg/l, déterminez quand ce niveau est dépassé. Indiquez clairement l’inéquation à résoudre.

Réponses Ex.1.

a) S={11

2 } D = ℝ \ {5}

b) S= ∅ D = ℝ \ {5}

c) S={3 } D = ℝ \ {5}

d) S= ∅ D = ℝ

e) S={-3 ;6} D = ℝ \ {-8,-1}

f) S={1 } D = ℝ \ {-3;-2}

g) S={2} D = ℝ \ {-1;1}

h) S= ∅ D = ℝ *

i) S={0;4} D = ℝ \ {-4}

j) S={- 2 ;- 3 } D = ℝ \ { 2 ; 3 }

k) S= ∅ D = ℝ \ {-1;0 }

l) correction en classe

Ex.2

a) S = ]– ; –3[ b) S = ]– ; –3[ [ −3

2 ; -1] ]5 ; 6] c) S = ]1 ; [

e) S = [–3 ; -1[ [1; 3[ f) S = ]–1 ; 2[ [3 ; 4]

E Ex.3

DG=[ 4.5 ; 5 ] DT=[ -4.5 ; 5 [E Ex.4

Le niveau est dépassé à partir de 1h jusqu’à 4 h après la prise du médicament

3 ( x−4 )( x−3 )

(x−2)( x+1)≤0

3 ( x2−7 x+12)

( x−2 )( x+1 )≤0

( x+3)( x−1 )

( x+1)(3−x )≥0

3 x2−21x+36

( x−2)( x+1)≤0

xx−2

−18−2 x

x+1≤0

x2+x−18 x+36+2x2

−4 x( x−2)( x+1)

≤0

x ( x+1)−(18−2 x )( x−2 )

( x−2 )(x+1 )≤0

xx−2

≤18−2x

x+1

1

3x

x−2≤

6−2

3x

x+1

x2+2x−3

( x+1)(3−x )≥0

x2+ x−3+x

( x+1)(3−x )≥0

3 ( x−4 )( x−3 )

(x−2)( x+1)≤0

x3−x

−1

x+1≥0

x3−x

≥1

x+1

Ex.2d)

S = [ –3 ; -1 [ [ 1 ; 3 [

2e)

S = ]–1 ; 2[ [3 ; 4]

x -3 -1 1 3 x+3 - 0 + + + + + + +x-1 - - - - - 0 + + +x+1 - - - 0 + + + + +3-x + + + + + + + 0 -

( x+3)( x−1 )

( x+1)(3−x )

- 0 + - 0 + -

x -1 2 3 4 3 + + + + + + + + +

x-4 - - - - - - - 0 +x-3 - - - - - 0 + + +x-2 - - - 0 + + + + +x+1 - 0 + + + + + + +

3 ( x−4 )( x−3 )

(x−2)( x+1)

+ - + 0 - 0 +

Exercice 3

Rappel: prendre la racine carrée d’un nombre négatif est impossible, par ex.: 4 = ? Quel nombre au carrée donne -4 ?

C’EST IMPOSSIBLE, car (-2)2=4 et 22=4, un nombre au carré est toujours positif.

G(x) = √2x−9+√5−x ,donc deux conditions à respecter:2x-9�0 et 5-x�0

2x �9 et -x�-5x �4.5 et x�5 Intersection des deux ensembles

DG=[ 4.5 ; 5 ]

T(x) = √ 2 x+95−x

, donc 2 9

5

x

x

�0

x -4.5 5 2x+9 - 0 + + +5-x + + + 0 -

2 9

5

x

x

- 0 + -

division par 0DT=[ -4.5 ; 5 [

Exercice 4

2

20

4

x

x > 4

2

20

4

x

x - 4 > 0

2

20

4

x

x -

2

2

4( 4)

4

x

x

> 0

2

2

4 20 16

4

x x

x

> 0

comme x2 + 4 est toujours positif, on peut multiplier les deux membres par x2 +4 sans changer le symble de comparaison

-4x2 + 20x -16 > 0

les zéros de -4x2 + 20x -16 sont 1 et 4, donc facorisant -4x2 + 20x -16= nombre (x-1) (x-4)= -4 (x-1) (x-4)

-4 (x-1) (x-4) > 0

S= ]1;4[ Le niveau est dépassé à partir de 1h jusqu’à 4 h après la prise du médicament

Autre résolution possible de l’exercice:

2

20

4

x

x > 4

2

20

4

x

x - 4 > 0

2

20

4

x

x -

2

2

4( 4)

4

x

x

> 0

2

2

4 20 16

4

x x

x

> 0

diviser par -4 les deux membres

2

2

5 4

4

x x

x

< 0

2

( 4)( 1)

4

x x

x

<0

S= ]1;4[ Le niveau est dépassé à partir de 1h jusqu’à 4 h après la prise dumédicament

x 1 4 -4 - - - - -x-1 - 0 + + +x-4 - - - 0 +

-4 (x-1) (x-4) - 0 + 0 -

x 1 4 x-4 - - - 0 +x-1 - 0 + + +x2+4 + + + + +

2

( 4)( 1)

4

x x

x

+ 0 - 0 +

Série 43

Objectifs✔ Trouver le domaine de définition et les zéros d'une fonction rationnelle✔ Faire le tableau des signes du fonction rationnelle ✔ Faire le lien entre la fonction rationnelle et sa représentation graphique ✔ Résoudre une équation ou inéquation à l'aide du graphique d'une fonction rationnelle

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1.

Soit f(x)= 2 x+3x+1

a) Calculez le domaine de définition et les zéros de f.b) Faites le tableau des signes de f.c) Montrez les points communs entre le tableau des signes et le graphe de f.

d) Effectuez la division 2 x+3x+1

et montrez que f(x)= 2+1

x+1.

e) De quel nombre s’approche f(x)= 2+1

x+1, lorsque x devient un nombre très grand ?

f) Que pouvez-vous observer sur le graphique de f, lorsque x devient un nombre très grand ? g) Sur le graphique au verso, dessinez les droites : y = 2 (asymptote horizontale de f) et x = -1 (asymptote verticale de f)

Représentation graphique de f

2MA / Polynôme et fraction rationnelle / Mars 2018

Ex.2.Soit les représentations graphiques de f, g, h et p.

f g

h

p

a) Les graphes ci-dessus correspondent à quelles fonctions rationnelles ci-dessous ? Expliquez.

A(x)= x

x2−4

B(x)= x+5x−2

C(x)= 3−x

x2−4

D(x)= x−2x+5

b) Déterminez graphiquement le zéro de la fonction p.

c) Déterminez graphiquement le domaine de définition de la fonction p (voir les asymptotes verticales de p ).

d) Résolvez graphiquement : p(x) ≤ 0 e) Montrez les points communs entre la représentation graphique de p et le tableau des

signes de la fonction rationnelle A, B, C ou D correspondant à la fonction p. Vérifiez avecle tableau des signes les réponses des trois questions précédentes.

f) Montrez les points communs entre la représentation graphique de f et le tableau des signes de la fonction rationnelle A, B, C ou D selon la réponse à la question b correspondant à la fonction f.

g) À l’aide du tableau des signes correspondant à la fonction f, résolvez l’équation et l’inéquation suivante:

f(x)=0 et f(x) > 0

Réponses ex.1

f(x)= 2 3

1

x

x

a) Le domaine de f(x)? Le dénominateur ne doit pas être égal à zéro, donc x+1�0 � x�-1 Df= �\{-1}

Les zéros de f(x)? 2 3

1

x

x

=0 � 2x+3=0 � x=-3

2=-1.5 Le zéro de f est -

3

2b)

x -� -3/2 -1 +�2x+3 - 0 + + +x+1 - - - 0 +

2 3

1

x

x

+_ _ _ _ _

0 - +_ _ _ _ _

division par 0c)

d) 2x +3 x + 1 -[2x + 2] 1

2

Dividende = Quotient• Diviseur + Reste 2x -9 = 2 • (x+1) + 1

diviser par x+1 les deux membres2 3

1

x

x

= 2( 1) 1

1 1

x

x x

f(x) = 2 + 1

1x

e) Lorsque x devient très grand, f(x) s’approche de 2, car 1

1x tend vers

zéro.f) f(x) tend vers 2, lorsque x devient très grandg)

Série 44

Objectifs✔ Trouver le domaine de définition,les zéros et l'ordonnée à l'origine d'une fonction rationnelle✔ Faire le tableau des signes d'une fonction rationnelle ✔ Trouver les asymptotes et montrer le comportement de la fonction au voisinage des asymptotes✔ Tracer le graphe d'une fonction rationnelle

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1.

Soit f(x)= x2+x−2x−3

Étudiez cette fonction :a) Calculez le domaine de définition, les zéros de f et l'ordonnée à l'origine de f.b) Faites le tableau des signes de f.c) Trouvez l'asymptote verticale et montrez le comportement de la fonction au voisinage de

l'asymptote.d) Trouvez l'asymptote horizontale ou oblique et montrez le comportement de la fonction au

voisinage de l'asymptote.e) Faites la représentation graphique de la fonction f.

2MA / Polynôme et fraction rationnelle / Mars 2018

Ex.2.

Soit f(x)= x3

+1x2

−2 xÉtudiez cette fonction :a) Calculez le domaine de définition, les zéros de f et l'ordonnée à l'origine de f.b) Faites le tableau des signes de f.c) Trouvez l'asymptote verticale et montrez le comportement de la fonction au voisinage de

l'asymptote.d) Trouvez l'asymptote horizontale ou oblique et montrez le comportement de la fonction au

voisinage de l'asymptote.e) Faites la représentation graphique de la fonction f.

Ex.3.

Soit la fonction : f ( x )=4

x2+1

Faites l'étude de la fonction f.

Série 45 2MA1 /Travail de groupe / Polynôme / Mai 2018

Objectifs✔ Étudier des fonctions rationnelles (fonction homographique)

Source:http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma2-polynome3.pdf

Série 46

Objectifs✔ Révision et exercices supplémentaires

▶ ex-ma2-polynome.pdf

Ex.1.

Développez chacun des polynômes puis réduire le résultat :a) (x+1)2=

b) (x+1)3=

c) (x+1)4=

En comparant avec le triangle de Pascal, que remarquez-vous ? Triangle de Pascal

etc.Réduisez les polynômes en vous aidant de votre observation :

d) (x+1)6=

e) (x-1)7=

Ex.2.Soit P(x)= x4 + 6x3 + 13 x2 + 12 x + 4

a) Trouvez les zéros de P(x)b) Factorisez complètement le polynôme P(x)c) Résolvez l’équation : P(x) = 0

d) Résolvez les inéquations : P(x)>0 ; P(x)<0 ; P(x)≥0 ; P(x)≤0 e) Déterminer le domaine de la fonction :

f(x)=1

( )P x g(x)= ( )P x p(x)=

5

( )P x

Ex.3.

Réduisez cette fraction :

11

1 311

1 31 3

xxxx

g

2MA / Polynôme et fraction rationelle / Mai 2018

Ex.4.Déterminez une fraction rationnelle f vérifiant simultanément les conditions suivantes.

Df = ℝ \{–2;3} Le dénominateur est de degré 3. Le numérateur est de degré 2 et ses zéros sont 0 et 3.

Ex.5. Résolvez les inéquations et donnez les domaines de définition:

a) −3 x−33−x

< 0 b) x3 x−4

≥14

c) x3−x2

x−1≤−1

Ex.6.Résolvez l’équation et donnez le domaine de définition:

2

4 11

33

x

xx x

Ex.7.

h( x ) =x3

x2−1 f (x )= x−1x g( x )=

x2+2x

x2−1a) Calculez le domaine de définition et les zéros de f(x), g(x) et h(x).

b) Déterminez le domaine de définition (voir les asymptotes verticales) et les zéros de la

fonction définie graphiquement ci-dessous.

c) Le graphe ci-dessous est-il celui de f(x), g(x) ou h(x) ? Justifiez.

Ex.8.

f est la fonction définie graphiquement ci-dessous.

a) Déterminez graphiquement le zéro de f(x).

b) Déterminez graphiquement le domaine de définition de f(x) (voir les asymptotes verticales de f(x)).

c) Résolvez graphiquement : f(x) 0

d) Sachant que la fonction f est f(x) = 4x

x32 , justifiez avec le tableau des signes les

réponses (a), (b) et (c).

Réponses

Exercice 1 Triangle de Pascal

a) (x+1)2= x2 +2x +1b) (x+1)3= x3 +3x2 +3x +1c) (x+1)4= x4+4x3 +6x2 +4x +1

d) (x+1)6= x6+6x5 +15x4+20x3 +15x2 +6x +1e) (x-1)7= x7 -7x6+21x5 -35x4+35x3 -21x2 +7x -1

Exercice 2

a) les zéros de P(x) sont -2 et -1.b) P(x)= (x+1)2(x+2)2

c) P(x) = 0 S={-2 ;-1} d)

−∞ -2 -1 +∞

x(x+1)2 + + + 0 +(x+2)2 + 0 + + +

(x+2)2 (x+1)2 + 0 + 0 +

P(x)>0 S = ℝ \{-2 ;-1}

P(x)<0 S = ∅

P(x)≥0 S = ℝ

P(x)≤0 S = {-2 ;-1}

e) Df = ℝ \{-2 ;-1} Dg= ℝ Dp = ∅

Exercice 34

3 1

x

x

Exercice 4

f(x) = x ( x−3)

( x+2)2( x−3 )Il y a d'autres possibilités…

Exercice 5a) D = ℝ \{ 3} S =]-1 :3[

b) D = ℝ \{ 4

3} S =] −∞ :-4[ U ]

4

3;+ ∞ [

c) D = ℝ \{ 1} S = ∅

Exercice 6D = ℝ \{ 0; 3} S ={2}