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Master - Automatique - Chap. II : 1
Chapitre II : Les outils mathématiques
II-1 Les signaux analogiques et
échantillonnés
II-2 Produits de signaux
II-3 Transformées de Fourier
II-4 Transformée de Laplace
II-5 Transformation en Z
Master - Automatique - Chap. II : 2
Chapitre II : Les outils mathématiques
II-1 Les signaux - Les différents états d’un signal
1 Signal analogique
Il est représenté par une fonction continue f(t) de la variable continue t (f et t prenant leurs valeurs dans ).
t
f
2 Signal échantillonné
Il est obtenu à partir d’un signal analogique par discrétisation de la variable générique t. C’est donc une suite de valeur f(kT) prélevée sur f(t) aux instants t=kT (k est entier etT période d’échantillonnage)
Symbole de l’opération échantillonnage :f(t) f(kT), fe(t), fk T
Le modèle mathématique d‘un échantillon de valeur f(kT) est la distribution singulière de Dirac kT=(t-kT) d’amplitude f(kT). Un signal échantillonné s’écrit donc :
k
kTk
kTk
e tftfkTtkTftf
fe(t)=f(t).T t
fe
1 2 3 4 5 6 7Peigne de Dirac
Master - Automatique - Chap. II : 3
3 Signal numérique
c’est une suite de nombres obtenue à partir d’un signal échantillonné après discrétisation de l’amplitude f(kT) de l’échantillon (c’est donc le nombre mis en mémoire dans l’ordinateur). f(kT) ne peut prendre qu’une suite de valeurs séparées du pas de quantification q. L’exemple le plus courant est celui des signaux délivrés par un convertisseur analogique-numérique (CAN) et traités ensuite par un ordinateur.
Le modèle mathématique du signal numérique est le même que celui du signal échantillonné. Cependant le signal numérique peut etre décomposé en 2 contribution.
Signal Numérique = Signal Echantillonné + bruit de quantification de variance
On supposera dans la suite du cours que q<<1, aussi ne fera-t-on pas de différence entre un signal numérique et un signal échantillonné.
12q2
4 Signal quantifié (Convertisseur Numérique Analogique CNA)
C’est le signal obtenu après le convertisseur numérique analogique. Il peut être obtenu aussi à partir de f(t) après quantification de l’amplitude de f au pas q (troncature, arrondi, ....).
Master - Automatique - Chap. II : 4
tf(t)
Continu Discret
Continu Analogique Echantillonné
discretQuantifié
(CNA)Numérique
(CAN)
II-2 Produits de signaux
1 Le produit de convolution
a Définition
Le produit de convolution modélise la relation entrée sortie d’un système linéaire invariant (SLI)
dtgftftgtgtftz
h(t) représente la réponse impulsionnelle du système considéréL’élément neutre du produit de convolution est la distribution de Dirac:
tethts
2121
0
tttt
0t
0
ttftf
tftf
Master - Automatique - Chap. II : 5
b Convolution de signaux discrets (échantillonnés)
nnmnm
mmTm
mmT
nnmn
n,mmTnmne
k,nTknkn
kkTk
nnTne
eee
kkTe
nnTe
gfz avec z
gfgftz
nmk encore ou knm posons
gfgftz
tgtftz
kTgtg
nTftf Le produit de convolution de 2 signaux échantillonnés est un signal échantillonné dont la suite des échantillons est :
n
nnmnm
TnmgmTfmTz
ou
gfz
2 Produit Scalaire de deux signaux analogiques
Soit f et g deux fonctions réelles ou complexes, le produit scalaire de ces deux fonctions est :
P est un nombre réel ou complexe. On dit que P représente la projection de f sur g.
Si P=0, on dit que les deux fonctions sont orthogonales.
Si f=g, P représente l’énergie de f (Ef).
gfdttgtfP
dttfdttftfffEP2
f
Master - Automatique - Chap. II : 6
Exemple : La Transformée de Fourier (voir II-3) représente l’ensemble des projections d’une fonction f(t) sur la base des fonction cissoïdale (qui forment une base de fonctions orthonormée).
t2je
Remarque : On peut définir le produit scalaire de 2 signaux numériques :
k
kTgkTfP
k
kTj2e ekTfF
3 Energie et Puissance
Les produits précédents n’existent que si au moins l’un des signaux est dit à énergie finie.
k
2
2
f
kTf
dttfE
2N
2Nk
2
N
2T
2T
2
Tf
kTfT1N
1 lim
dttfT1
limP
Donc la Transformée de Fourier d’un signal échantillonné s’écrit :
FFT
Master - Automatique - Chap. II : 7
II-3 Transformée de Fourier
1 Définition
deFFTFtf
dtetfFtfTF
t2j1
t2j
F() existe si f(t) est absolument sommableQuelques cas particuliers :
1TF eTF 02j
TF[ ]=T 1/T
1
T
nn Tn T
nT1
T1
2 Propriétés principales
FejFFImjFReF F de phase : F avec
FF
de impaires F et FIm
de paires F et FRe réelle est tf Si
impaire pure imaginaire Fimpaire réelle est tf Si
paire réelle Fpaire réelle est tf Si
2jeF=tfTF
Y.XZtytx=tz TF
Convolution (l’un au moins des signaux est d’énergie finie) :
Retard :
dXdttx 22
Energie:
Master - Automatique - Chap. II : 8
k
kT2jee
kkTe
ekTf=F=tfTF
kTf=tfTransformée de Fourier d’un signal échantillonné :
On remarque que la TF d’un signal échantillonnée est périodique de période . Le développement précédent est le développement en série de Fourier complexe de Fe() ; les f(kT) sont les coefficients de ce développement et donc :
T1
T21
T21
kT2je deFkTf
3 Conséquences de l'échantillonnage et Théorème de Shannon
L'échantillonnage est une nécessité pour pouvoir traiter les signaux analogiques par calculateur numériques (traitement plus simple et moins coûteux), la contre partie est la perte d’information entraînée par L'échantillonnage.La suite numérique f(kT) est censée représenter la signal analogique f(t). Or on vient de voir que la TF de fe() =Fe() est périodique de période (T période d'échantillonnage) alors que F() n’a aucune raison de l'être. L'échantillonnage dans le domaine temporel se traduit par une périodisation de spectre dans le domaine fréquentiel.
T1e
Master - Automatique - Chap. II : 9
Relation entre Fe() et F()
fe(t)=f(t).T
Fe() = F()*1/T
1
T
n TnT
1F TF
n
e TnF
T1
F
Fe() est le répétition périodique de F(), qui représente le motif élémentaire, avec la période T1e
Exemple:Fe()
T
F
M ee/2
T
FFe
Dans l’exemple ci-dessus, on voit que , dans ce cas il n ’est pas possible de
connaître F() à partir de Fe() donc il est impossible de remonter à f(t) à partir de la
suite des f(kT). Ce problème est provoqué par le repliement des signaux.
Master - Automatique - Chap. II : 10
Fe() T
F
M ee/2
A l’inverse dans le cas ci-dessous on constate que les deux signaux sont identiques car M
e
2
La suite f(kT) est une représentation suffisante de f(t), si :
1- f(t) doit-être à bande limité (donc existence de M)
2- la fréquence d’échantillonnage doit vérifiée :
f(t) peut alors être extrait de f(kT) à partir d’un filtre passe bas de gain T et donc la
fréquence de coupure vaut
Théorème de Shannon
Me 2
2e
Fe() T
F
M ee/2
Master - Automatique - Chap. II : 11
Remarque : En pratique, le signal f(t) n’est pas à bande limitée. De plus fréquemment un signal est entaché de bruit à large spectre. On aura donc toujours recouvrement des fréquences du à la périodisation du spectre du signal échantillonné.Donc pour éviter le repliement du spectre autour de e/2 (appelée fréquence de Nyquist).
- Il est nécessaire de décider qu’il existe une fréquence maximum M au delà de laquelle f(t) ne contient plus d’information utile.
- Il faut alors filtrer le signal analogique avant échantillonnage = utilisation d’un filtre passe bas anti-repliement dont le rôle est de couper les fréquences supérieures à M.Restitution du signal
On désire donc reconstituer un signal à temps continu à partir des valeurs aux instants nT. Pour cela il est nécessaire d’effectuer une interpolation entre 2 instants de discrétisation.1 Interpolateur idéal
Comme nous l’avons vu précédemment pour obtenir le signal f(t) à partir du signal échantillonné fe(kTe) il suffit d’éliminer les bandes translater de F() par une fonction fenêtre :
Fe()
F T
M ee/2
T1
eTF
Te
e
T
TFtftf.FF
ailleurs02
siT : Filtre
1
Master - Automatique - Chap. II : 12
La transformée de Fourier inverse du filtre est bien connue, notamment lorsque l’on veut calculer la diffraction d’une fente, donc on obtient la formule de l’interpolateur idéale :
k e
e
k e
e
k e
ekT
kkT
kkTe
e
eT
1
ktktsin
kTfkTt
kTtsinkTftf
ttsin
kTftfkTftff
ttsin
TF
Remarque : L’utilisation de la formule de l’interpolateur idéale est impossible en temps réel car pour calculer f(to) il faut connaître les valeurs de f(t) aux instants tel que kT>to2 Interpolateur réalisable en temps réel = Bloqueur d’ordre 0 (B0)
B0
Réponse impulsionnelle du B0
0
Tththtb0
Master - Automatique - Chap. II : 13
Exemple de filtre antirepliement:
filtre de Butterworth :
Représentation fréquencielle :
2T
j2T
j
0 e2T
csinTe
2T2T
sinTtbTF
T21
T1
T2
Filtre idéal
21n2fcf1
1G
filtre de Tchebychev : 212
n2 fcfC1
1G
: constante caractérisant l’ondulation dans la BP
Cn : polynôme de Tchebychev du premier ordre et de degré n
Master - Automatique - Chap. II : 14
II-4 Transformée de Laplace d’un signal analogique
1 Définition
La variable de Laplace est jrj2rp
jr
jr
pt1
rtpt
dpepFj2
1tfpFTL
etfTFdtetfpFtfTL r,rr si existe pF
Abscisses de convergence:
La transformée de Laplace (TL) définit ci-dessus est la TL bilatère, la TL monolatère ou TL (sans plus de précision) est :
0
ptdtetfpF
Il est à noter qu’une TL bilatère n’a de sens que si l’on précise le domaine de convergence de Re(p)=r
Exemple:
2,- et 2, différents econvergenc de domaine un dans mais
2-p
1 TL même ont tUe et tUe t2t2
Lorsqu’on travaille avec des sommes de signaux, l’intersection des domaines de convergence () doit être non nul pour que l’on puisse travailler avec la TL.
Master - Automatique - Chap. II : 15
a – Les signaux sont sommables en valeurs absolue alors est non vide puisque r=0. On pourra alors remplacer p par j, donc TL et TF se déduisent l’une de l’autre
b – Les signaux sont nuls t<0 (signaux causals) et sont de croissance au plus exponentielle alors la convergence de la TL est assurée. Donc est non vide puisque la borne supérieur est l’infini (+), pas de problèmes existence, par contre le passage à la Tf n’est pas assuré contrairement au cas précédent.
En fait les signaux auxquels nous sommes confrontés rentrent dans l’une des deux classes suivantes:
2 Propriétés de la TL
Linéarité
Le produit de convolution :
La dérivation :
pY.pXpZtytx=tz TL
dtetfpXtftx
pX.ptx
pXtx
pt
nTLn
TL
Quelques TL:
1tTL 0>pRe si p1
tUTL -a>pRe si ap
1tUeTL at
tyTL.btxaTLty.btx.aTL
ppFpX
: partie par intégrant En
0etf Donc
pRe si sommable est etf hypothèse Part
t
pt
pt
Master - Automatique - Chap. II : 16
Cas des fonctions rendues causales
0fppFtUtfTL
0ftUtfTLppFt0ftUtftf
tUtftf SoitTL
L'intégration
PpF
txTL
tftUdftUdftxt
t0t si 1tU
Théorème de la somme :
pFlimdttf
pFlimdtetflimdttf
converge dttf Si
0p
0p
pt
0p
Théorème de la valeur finale et initiale :
ppF0p
limtft
lim
ppFp
limtf0t
lim
pFTL
tf Si
Master - Automatique - Chap. II : 17
Théorème du retard :
ppp
pt
p
epFtfTLdeeftfTL
t posant en
dtetftfTL
epF= tfTL
Formule d’inversion pour les fonctions causales :
pF de pôles
pt epFde résidus= tf
ordred’ p pôle un pour
epFppdpd
!1-1
=r
i
pppt
i1-
1-
i iLe ième résidu a pour valeur :
Master - Automatique - Chap. II : 18
II-5 Transformation en Z (TZ)
1 Définition
Pour les signaux analogiques, l'outils mathématiques utilisé est la TL. L’une de ces propriétés notable est de remplacer le produit de convolution par un produit simple et de substituer l’opérateur dérivée (d/dt) par la seule multiplication de la variable p ... Un outil analogue a donc été développé pour le traitement des signaux échantillonnés :
- A une suite d'échantillons {xn} on fait correspondre X(Z) de la variable complexe où T est la période d'échantillonnage.
- Sachant que le modèle mathématique d’un signal échantillonné s’écrit:
pTeZ
k
pkTe
pkT
ke
ekTfpFTL la de linéarité la Par
ekTTL que sait On
kTkTftf
k
ke
pT
ZkTfZF
e=Z pose On
Remarque : est un opérateur avance du temps T, c’est-à-dire l’opérateur avance d’un échantillonLa TZ s’identifie à la TF pour . On dit que la TZ est TF évaluée sur le cercle unité.
pTeZ
1Z donceZ T2j
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2 Condition d’existence
1Ulim Cauchy aprèsd’ si converge U suite Une n1
nn0=n
n
Appliquons ce critère à F(Z)
1ZlimflimZflim si existe S
SSZfZfZfZF
1
kk1
kk
k1
kkk
2
210k
kk
1
k
kk
k
kk
econvergenc de Rayon RflimZ k1
kk
1ZlimkTflimZnTflim si existe ZnTf=Zf= S
-n=k pose on S Pour
kk1
k
n1
n
n1n
n1
k
kk1
1
R
nTflim
1Z si existe S
n1
n
1
RZ<R si existe ZF Donc -R+
R-
Remarque : Si f(kT) est causal R+
La zone de convergence est un anneau délimité par les rayons R- et R+ qui représentent l’équivalent des abscisses de convergence de la TL
Master - Automatique - Chap. II : 20
Exemples:
Définir les rayons de convergence des suites :
0k si 0
0k si TkkTr :rampe
0k si 0
0k si 1kTU
ax nn
3 Transformée en Z inverse
a - Formule d’inversion
mk C
1mk
C
1
C
1-m
mk
1mk1+
-=k
1mk1-m1-m
+
-=k
k
dZZkTfdZZmTf=dZZZF
originel’ entourant econvergenc de anneaul’ de (C) contour un sur Intégrons
ZkTfZmTfZkTf=ZZF Z par membre à membre smultiplion
ZkTf=ZF Soit
j2dZZ 1=résidu 0=Z pôledZZC
1
C
1
Master - Automatique - Chap. II : 21
cas les tous
dans nulle Intégrale
nulle est intégralel’ ,0résidu
2 ordred’ pole 0Z
m)k (car m>k donc 1-m>k01-m+k-
nulle intégralel’ pôle, de Pas1-m<k0>1-m+k-
dZZC
1mk
C
1m
C
1m
dZZZFj2
1mTf
mTf.j2dZZZF
Cette relation a valeur de définition
Cas des signaux causals
R+ = +,donc tous les pôles de F(z) sont à l’intérieurs du contours (c), on peut évaluer l’intégrale :
ZZF
de pôles
ZF de pôles
1m
ZZF
de résidus0f 0m
ZZF de résidusmTf 0mUniquement valable pour les
signaux causals
Master - Automatique - Chap. II : 22
Exercice: kT.hakTf : suivant causal signal le Soit kT
Trouver les rayons de convergence, l’expression de F(Z)
b – Inversion numérique directe pour un signal causal
0k
kZkTfZF
Si F(Z) se présente sous la forme d’un rapport de 2 polynômes en Z :
On calcul le quotient en divisant N(Z) par D(Z) suivant les puissance croissante de Z-1.
La suite f(kT) est la suite des coefficients du quotient
ZDZN
ZF
Exemple: Rampe
1Z2Z
ZT
1ZTZ
ZF 22
32
321
21
21
1
1
Z3Z40
Z3Z6Z3
Z2Z30
Z2Z42
Z20
Z2Z
Z
1Z2Z2
321 Z3Z2Z
321 Z3Z2ZTZF
3, 2, 1, 0,
TkTf
Remarque : pour un signal causal degrés de N degrés de D
Master - Automatique - Chap. II : 23
4 Obtention de la TZ à partir de la TL
pF de pôles
pT1- eZ-1
pF de résiduspFTZZF
Exemple:
T
1p
pT1-1
pôles
pT1-
TLt
eZ
ZZF
eZ-11
eZ-1
pF de résidusZF : précédente formule la applique On
1p
1pFetf
5 Propriétés de la TZ
Linéarité : ktyTZ.bktxaTZkty.bktx.aTZ
Master - Automatique - Chap. II : 24
Avance / Retard :
ZF.Z
Z3fZ2f1fZ0fZ1ft1kfTZ
ZF.Z
Z1fZ0f1fZ2fZ3ft1kfTZ
Z2fZ1f0fZ1fZ2fktfTZ
2112
1
2112
2112
retard -
avance
ZF.ZtkkfTZ 0k0
Remarque : k0=1 correspond à l’avance ou le retard d’un échantillon. La variable Z joue le rôle d’opérateur avance au même titre que la variable p joue le rôle d’opérateur dérivation en TL
La variable Z-1 joue le rôle d’opérateur retard au même titre que la variable 1/p=p-1 joue le rôle d’opérateur intégration en TL
Master - Automatique - Chap. II : 25
Avance / Retard (suite) : Cas de la transformation monolatère ou d’une suite rendue causale
Le décalage à gauche (avance) fait disparaître un certain nombres d’échantillon:
1k0
1k0
00 Z1kfZ1f0fZFZtkkfTZ
Le décalage à droite (retard) fait apparaître un certain nombres d’échantillon qu’il faut ajouter :
00 k0
2k0 ZkfZ2fZ1fZFZtkkfTZ
Exemple:
0k si akT
0k si 1kTf
Rappel:
0k
kZkTfkTfTZ
2
22 ZZ
1ZZ
aTZT2kfTZ
0
2 0f1Z
ZaTZT1kfTZ
Retard:
Avance:
Master - Automatique - Chap. II : 26
Multiplication par ak :
aZ
FaZ
fZfafaTZ
aZ
FfaTZ
k
k
kk
kk
kk
k
kk On se déplace sur un rayon suivant la valeur de a.
Une des applications possible est de multiplier un signal par ak afin de modifier la position des pôles et des zéros de sa TZ
Multiplication par le temps (t) :
kTkTfTZ
k
k
k
1k
k
k
ZkTf.T.kT.Z
1ZkTf.k
dZZdF
: dérivée la Prenons
ZkTfZF
ZFdZd
Z.TkTkTfTZttfTZ
Valeurs limites
ZFlimflimZk0k
Valeurs initiales
ZFZ1limZF1Zlimflim 1
1Z1Zkk
Valeurs finales
Master - Automatique - Chap. II : 27
Produits de signaux
ZFZFf.fTZ
ZF.ZFffTZ
2121
2121
Equation de récurrence
tx ty
2kx1kxkx2ky1kykyT
2ky1ky2kyT
1kykyy
T1kyky
y
: approche On
xbxbxbyayaya
210210
012012
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