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Fonction exponentielle
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Les savoir-faire
La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle Fonction exponentielle
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Lycée Louise Michel (Gisors)
Fonction exponentielle
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Les savoir-faire
La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Les savoir-faire
240. Connaître le sens de variation, le signe et la représentationgraphique de exp.
241. Transformer une expression en utilisant les propriétés de lafonction exponentielle.
242. Résoudre des équations ou inéquations contenant desexponentielles.
243. Représenter graphiquement les fonctions t 7−→ e−kt ett 7−→ ekt (k > 0)
244. Modéliser une situation par une croissance, une décroissanceexponentielle.
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Définition
Propriété
Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle quef(0) = 1 et f ′ = f . Pour tout x ∈ R :
f(x) × f(−x) = 1 et f(x) 6= 0
Fonction exponentielle
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Définition
Propriété
Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle quef(0) = 1 et f ′ = f . Pour tout x ∈ R :
f(x) × f(−x) = 1 et f(x) 6= 0
Théorème
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telleque f ′ = f et f(0) = 1.
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Définition
Propriété
Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle quef(0) = 1 et f ′ = f . Pour tout x ∈ R :
f(x) × f(−x) = 1 et f(x) 6= 0
Théorème
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telleque f ′ = f et f(0) = 1.
Définition
La fonction exponentielle est la fonction notée exp définiesur R par : exp’(x) = exp(x) et exp(0) = 1.
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Relation fonctionnelle
Premières propriétés
Pour tout x ∈ R :
Fonction exponentielle
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Relation fonctionnelle
Premières propriétés
Pour tout x ∈ R :
exp(−x) = .
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Relation fonctionnelle
Premières propriétés
Pour tout x ∈ R :
exp(−x) =1
exp(x).
exp(x) > .
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Relation fonctionnelle
Premières propriétés
Pour tout x ∈ R :
exp(−x) =1
exp(x).
exp(x) > 0.
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Relation fonctionnelle
Premières propriétés
Pour tout x ∈ R :
exp(−x) =1
exp(x).
exp(x) > 0.
Relations fonctionnelles
Pour tous réels x et y :
exp(x + y) = .
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Relation fonctionnelle
Premières propriétés
Pour tout x ∈ R :
exp(−x) =1
exp(x).
exp(x) > 0.
Relations fonctionnelles
Pour tous réels x et y :
exp(x + y) = exp(x) × exp(y).
exp(x − y) = .
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Relation fonctionnelle
Premières propriétés
Pour tout x ∈ R :
exp(−x) =1
exp(x).
exp(x) > 0.
Relations fonctionnelles
Pour tous réels x et y :
exp(x + y) = exp(x) × exp(y).
exp(x − y) =exp(x)
exp(y).
Pour tout n ∈ Z : exp(nx) = .
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Relation fonctionnelle
Premières propriétés
Pour tout x ∈ R :
exp(−x) =1
exp(x).
exp(x) > 0.
Relations fonctionnelles
Pour tous réels x et y :
exp(x + y) = exp(x) × exp(y).
exp(x − y) =exp(x)
exp(y).
Pour tout n ∈ Z : exp(nx) = (exp(x))n
.
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Notation e
Définition
On note e l’image de 1 par la fonction exp. Ainsi, exp(1) = e.Ce nombre est appelé constante de Neper ou nombre d’Euler.
Remarque : Le nombre e est irrationnel et vautapproximativement 2, 718.
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La fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Notation e
Définition
On note e l’image de 1 par la fonction exp. Ainsi, exp(1) = e.Ce nombre est appelé constante de Neper ou nombre d’Euler.
Remarque : Le nombre e est irrationnel et vautapproximativement 2, 718.
Notation
Pour tout p ∈ Z, exp(p) = exp(p × 1) = (exp(1)p) = ep.En généralisant cette écriture :Pour tout x ∈ R, exp(x) = ex.
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Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Notation e
Définition
On note e l’image de 1 par la fonction exp. Ainsi, exp(1) = e.Ce nombre est appelé constante de Neper ou nombre d’Euler.
Remarque : Le nombre e est irrationnel et vautapproximativement 2, 718.
Notation
Pour tout p ∈ Z, exp(p) = exp(p × 1) = (exp(1)p) = ep.En généralisant cette écriture :Pour tout x ∈ R, exp(x) = ex.
Exemples
Simplifier les écritures suivantes :
A =e4
× e4
e5et B =
(
e5)
−6
× e3. Vidéo
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Compléments sur la fonctionexponentielle
Variations
Propriété
La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonctionexp est strictement croissante sur R.
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Compléments sur la fonctionexponentielle
Variations
Propriété
La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonctionexp est strictement croissante sur R.
Conséquences
Pour tous réels a et b :
ea = eb ⇐⇒ ; ea < eb ⇐⇒
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Compléments sur la fonctionexponentielle
Variations
Propriété
La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonctionexp est strictement croissante sur R.
Conséquences
Pour tous réels a et b :
ea = eb ⇐⇒ a = b ; ea < eb ⇐⇒
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Étude de la fonction exponentielle
Compléments sur la fonctionexponentielle
Variations
Propriété
La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonctionexp est strictement croissante sur R.
Conséquences
Pour tous réels a et b :
ea = eb ⇐⇒ a = b ; ea < eb ⇐⇒ a < b
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Compléments sur la fonctionexponentielle
Tableau de variations et courbe
x
exp’(x)
exp(x)
−∞ +∞
+
00
+∞+∞
0
1
1
e
−3 −2 −1 1 2
2
3
4
5
O
e0 = 1
e1 = e ≃ 2, 718
y = exp(x)
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Compléments sur la fonctionexponentielle
Exemples
Dérivée
Dériver les fonctions définies par :1. f(x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3.
h(x) =ex
xVidéo
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Exemples
Dérivée
Dériver les fonctions définies par :1. f(x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3.
h(x) =ex
xVidéo
Equations, inéquations
1. Résoudre l’équation ex2
−3− e−2x = 0. Vidéo
2. Résoudre l’inéquation e4x−1 > 1. Vidéo
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Compléments sur la fonctionexponentielle
Compléments sur la fonction exponentielle
Dérivée de eax+b
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.La fonction définie par f(x) = eax+b est dérivable sur I etadmet pour dérivée :
f ′(x) =
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Compléments sur la fonction exponentielle
Dérivée de eax+b
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.La fonction définie par f(x) = eax+b est dérivable sur I etadmet pour dérivée :
f ′(x) = aeax+b
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