lec 07_récursi

Structures de donnéesLeçon n. 1 – Introduction et vue d’ensemble

Prof. A. EL FAKERENSIAS - UNIVERSITE MOHAMMED V SOUISSI

Leçon n° 7 – Structures de données linéaires : la récursivité

STRUCTURES DE

DONNÉES

STRUCTURES DE

DONNÉES

STRUCTURES DE DONNÉES LINÉAIRES:

LA RÉCURSIVITÉ

STRUCTURES DE DONNÉES LINÉAIRES:

LA RÉCURSIVITÉ

Plan de la leçonPlan de la leçon

Concept de la récursivité Concept de la récursivité

Récursivité : exemples Récursivité : exemples

Simulation de la récursivité Simulation de la récursivité

Conceptde la récursivité

Concept de la récursivitéConcept de la récursivité

Une fonction récursive estune fonction qui s’appelleelle-même

Le miroir vu dans le miroir Le miroir vu dans le miroir

Intérêt Intérêt Permet d’écrire des programmes

beaucoup plus lisibles Permet d’écrire des programmes

beaucoup plus lisibles Proche du formalisme de

récurrence en mathématique Proche du formalisme de

récurrence en mathématique Indispensable dans le traitement

des types récursifs Indispensable dans le traitement

des types récursifs Indispensable pour le principe

de diviser pour résoudre Indispensable pour le principe

de diviser pour résoudre

ExempleExemple

0! = 1! = 1n! = n*(n-1)! 0! = 1! = 1n! = n*(n-1)!

Calcul de la factorielleCalcul de la factorielle

Version itérative Version itérative

Par accumulation du produitPar accumulation du produitint factorielle (int n){

int p=1;for (int i=n ; i>1 ; i--)

p *= i;return p;

Tout près de la définition mathématique

Version récursive Version récursive

RécursifRécursifint f (int n){ if( n==0) return 1; //cas de base else return n *f(n-1);}

D’abord le cas de base D’abord le cas de base

Version récursive Version récursive

RécursifRécursifint f (int n){ if( n==0) return 1; //cas de base else return n *f(n-1);}

Ensuite la relation de récurrence Ensuite la relation de récurrence

La récursivité ne marche que si on atteint le cas de base

RécursifRécursifint f (int n){ if( n==0) return 1; //cas de base else return f(n+1)/(n+1);}

Comment fonctionneun programme récursif ?Comment fonctionneun programme récursif ?

On demande à l’ordinateur d’exécuter f(3)

On stocke dans une pile le fait qu’on veut cette valeur

mais qu’on ne pourrala calculer qu’après avoir obtenu la valeur de f(2)

On stocke dans une pile le fait qu’on veut cette valeur

mais qu’on ne pourrala calculer qu’après avoir obtenu la valeur de f(2)

Comment fonctionneun programme récursif ?Comment fonctionneun programme récursif ?

Comment fonctionneun programme récursifComment fonctionneun programme récursif

On empile les appels jusqu’à demander la valeur de f(0)

f(3)nn ff

33 ???? f(3)nn ff

22 ??f(2)

f(3)nn ff

On dépile les appels pourpouvoir calculer la valeur de f(3)

33 ??22 22

33 6633 ??22 ??11 11

33 ??22 ??11 ??00 11

On dépile les appels pourpouvoir calculer la valeur de f(3)

Cas simple de récursivité terminale

A propos de la factorielle A propos de la factorielle

Boucle déguisée Boucle déguisée

Dans d’autres cas la récursivité à un plus grand apport

Tour de Hanoï: la légendeTour de Hanoï: la légende

Jeu inspiré par une fausselégende créée

par le mathématicienEdouard Lucas

Jeu inspiré par une fausselégende créée

par le mathématicienEdouard Lucas

Récursivité : exemplesRécursivité : exemples

AA BB CC

Les moines d’un temple doivent transférer une tour de 64 disques

Il disposent de trois piquets au total Il disposent de trois piquets au total

AA BB CC

Ils doivent respecter deux règlesIls doivent respecter deux règles

Ne déplacer qu'un seul disque à la fois

AA BB CC

Un disque doit être empilé sur un autre de dimension supérieureUn disque doit être empilé sur un autre de dimension supérieure

AA BB CC

Tour de HanoïTour de Hanoï

Selon la légende, Selon la légende,

ils auront terminés dans … 10 milliards d'années !!

Avec 3 disquesAvec 3 disques

AA BB CC

AA BB CCAA BB CC

AA BB CC

Exercice: avec 4 disquesExercice: avec 4 disques

AA BB CC

AA CCBB

Avec n disquesAvec n disques

AA CCBB22

void tour(int n, A,B,C ) {if (n==1) {

printf("%d=>%d\n",A,C); return;}tour(n-1, A,C,B ) ;printf("%d=>%d\n",A,C);tour(n-1, B,A,C ) ;return;

void tour(int n, A,B,C ) {if (n==1) {

printf("%d=>%d\n",A,C); return;}tour(n-1, A,C,B ) ;printf("%d=>%d\n",A,C);tour(n-1, B,A,C ) ;return;

Simulationde la récursive

PourquoiPourquoi

Pour comprendre le principe Pour comprendre le principe

Simulation de la récursivitéSimulation de la récursivité

Pour les langages sansrécursivité

void f(A ) {1: if (C) {

instructions;return; }

2: f(A');3: instructions;4: return;

void f(A ) {1: if (C) {

instructions;return; }

2: f(A');3: instructions;4: return;

Les valeurs actuelles des paramètreset des variables locales seront

empilées pour traitements ultérieurs

Les valeurs actuelles des paramètreset des variables locales seront

empilées pour traitements ultérieurs

A chaque appel à f A chaque appel à f

f(A');f(A');

Les valeurs relatives à l'exécution actuelle de f seront restaurées

après dépilement

Les valeurs relatives à l'exécution actuelle de f seront restaurées

après dépilement

A chaque retour récursif sur f A chaque retour récursif sur f

return;return;

Adresse de retour Adresse de retour

Une fois l’appel terminé

Une fois l’appel terminé Deux approches Deux approches

void f(A ) {…

@ : f(A');

@+1 : instructions;

void f(A ) {…

@ : f(A');

@+1 : instructions;

Empiler la nouvelle adresse de retour Empiler la nouvelle adresse de retour

f(A');@+1 : instructions;

Pour revenir au niveau de l’exécutionde f

Choisie car elle simplifie le processus de traduction

Adresse de retour Adresse de retour

Version itérativede la tour de HanoiVersion itérative

de la tour de Hanoi

void tour(int n, A,B,C ) {1: if (n==1) {

printf("%d=>%d\n",A,C); return; }

2: tour(n-1, A,C,B ) ;3: printf("%d=>%d\n",A,C);4: tour(n-1, B,A,C ) ;5: return;

void tour(int n, A,B,C ) {1: if (n==1) {

printf("%d=>%d\n",A,C); return; }

2: tour(n-1, A,C,B ) ;3: printf("%d=>%d\n",A,C);4: tour(n-1, B,A,C ) ;5: return;

Déclaration du contexte Déclaration du contexte

Type abstrait Type abstrait

typedef struct _context {int n,A,B,C,add;

} context;void push(int

n,A,B,C,add);context pop(void);int empty(void);void raz(void);

typedef struct _context {int n,A,B,C,add;

} context;void push(int

n,A,B,C,add);context pop(void);int empty(void);void raz(void);

void tour(int n,A,B,C){ context cnt; raz();

1 : if(n == 1) { printf("%d=>%d\n",A,C); goto 5 : }

2 : // Appel récursif tour(n-1,A,C,B);/* Empiler les valeurs actuelles sur la

pile. retour à 3 une fois l’appel achevé */ push(n,A,B,C,3);

// Restaurer les paramètres n--; swap(B,C); // échange B et C

goto 1;3 : printf("%d=>%d\n",A,C);

void tour(int n,A,B,C){ context cnt; raz();

1 : if(n == 1) { printf("%d=>%d\n",A,C); goto 5 : }

2 : // Appel récursif tour(n-1,A,C,B);/* Empiler les valeurs actuelles sur la

pile. retour à 3 une fois l’appel achevé */ push(n,A,B,C,3);

// Restaurer les paramètres n--; swap(B,C); // échange B et C

goto 1;3 : printf("%d=>%d\n",A,C);

3 : printf("%d=>%d\n",A,C);4 : // tour(n-1,B,A,C);

retour à 5 une fois l’appel achevépush(n,A,B,C,5); n--; swap(A,B); goto 1;

5 : // Traduire le returnif(empty()) return;// Restaurer les valeurs de sommet sur

les piles. cnt = pop();n=cnt.n; A=cnt.A; B=cnt.B;

C=cnt.C; goto cnt.add;

3 : printf("%d=>%d\n",A,C);4 : // tour(n-1,B,A,C);

retour à 5 une fois l’appel achevépush(n,A,B,C,5); n--; swap(A,B); goto 1;

5 : // Traduire le returnif(empty()) return;// Restaurer les valeurs de sommet sur

les piles. cnt = pop();n=cnt.n; A=cnt.A; B=cnt.B;

C=cnt.C; goto cnt.add;

Représentation binaireReprésentation binaire

n = b0+b12+b222+…+bp2p, bi Є {0,1}n = b0+b12+b222+…+bp2p, bi Є {0,1}

Afficher à l’écran les chiffres binaires?Pour 13 on doit avoir 1101

(13)2=(6)2

1011101

Faire des divisions euclidiennes successives par 2

C’est simpleC’est simplevoid binaire (int n){ while( n!=0){ printf("%d ",n%2); n= n/2; } return ;}

Mais …Mais …AfficheAffiche 10111011 au lieu deau lieu de 11011101void binaire (int n){ while( n!=0){ printf("%d ",n%2); n= n/2; } return ;}

Programme récursif Programme récursif Arrêt: n , x/2n =0 Arrêt: n , x/2n =0

Affiche toujours Affiche toujours 10111011 au lieu de au lieu de 11011101void binRec (int n){ if( n > 0){ printf("%d ",n%2); binRec(n/2); } return ;}

131366

(13)(13)(6)(6)

11001111

void binRec (int n){ if( n > 0){ printf("%d ",n%2); binRec(n/2); } return ;}

Pourquoi ? Pourquoi ?

Inverser les deux instructions

STRUCTURES DE

DONNÉES

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DONNÉES

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