la fonction dutilité associée à la relation de préférence elle permet, pour le plus grand...

La fonction d’utilité associée à la relation de préférence

Elle permet, pour le plus grand bonheur des micro-économistes en herbe, de résoudre des

problèmes d’optimisation grâce aux mathématiques

Une fonction d'utilité est une manière d'attribuer une valeur à chaque panier de consommation en accord

avec les préférences du consommateurs.

)y;x(U)y,x(U)y;x()y;x( 1111

U(Q) Q:U

La fonction d'utilité

Soit un panier Q de deux biens (x,y)

Multiplicité des fonctions d'utilités

La fonction d'utilité est un concept ordinal (par opposition à un concept cardinal).

Uln,e,a,baU,U U0

La fonction d’utilité d’un individu n’est pas unique. Le choix de la fonction est arbitraire. Seul importe le

respect de l’ordre de préférence.

Toute transformation monotone croissante d'une fonction d'utilité donne une nouvelle fonction d'utilité permettant de représenter les mêmes

préférences.

Les courbes d'indifférence correspondent aux courbes de niveau de la fonction d'utilité.

La courbe d'indifférence de niveau k correspond à l'ensemble des couples (x,y)

tels que : kxxu );( 21

Fonction d'utilité et courbe d'indifférence

5

Ex: y.x)y;x(U yk

yk)y;x(U

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 10 20 30

x1

x2

k=50 k=10 k=5

Carte d’indifférence

x

y

6

Le taux marginal de substitution et fonction d'utilité

xU

y,xUmx

alors xx x.y,xUmU

Pour déterminer le TMS, on cherche yx et tels que

car l’utilité est constante sur la courbe d’indifférence. On en déduit:

01 y.y,xUmx.y,xUmU yx

y,xUm

y,xUmxy

y

x

)y,xUmy,xUm

xy

TMSy

xx/y

Si

Exemple : fonction d'utilité Cobb-Douglas

2121 // y.x)y,xU

x

y)y,xUmy,xUm

xy

y,xTMSy

xx/y

y.xy,xU)y,xV 2

Soit V une seconde fonction d'utilité transformée monotone de U

x

yy,xVmy,xVm

xy

y,xTMSy

xx/y

Résumé de la première séance

• Une fonction d'utilité attribue une valeur à chaque panier de consommation en adéquation avec les préférences du consommateur.

• Pour un même ordre de préférence, il est possible de construire plusieurs fonctions d'utilité par transformations monotones croissantes de la fonction (intérêt dans la simplification des calculs).

• Le taux marginal de substitution des biens (TMS) mesure la pente d'une courbe d'indifférence. Il indique la quantité d'un bien qu'un consommateur doit recevoir pour compenser, du point de vue de sa satisfaction, la quantité perdue d'un autre bien.

• Le taux marginal de substitution du bien x au bien y est égal au rapport des utilités marginales.

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 9

Nous avons déjà considéré les préférences. Il nous faut maintenant

poser le problème des ressources rares.

2) La contrainte budgétaire

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 10

La principale ressource du consommateur n’est autre que son budget. Ce budget étant limité, il

agit comme une contrainte sur le choix du consommateur.

Ce budget est d’abord considéré comme fixe (il pourra ensuite être augmenté si le

consommateur augmente son offre de travail)

La contrainte budgétaire

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 11

La contrainte budgétaire

• Chaque consommateur dispose d’un revenu (R) pour financer ses achats

• On ne prend pas en compte la possibilité d’épargner une partie du revenu pour le dépenser plus tard (cadre d’analyse statique)

• Le consommateur maximise donc son utilité en dépensant l’intégralité de son revenu (il sature sa contrainte)

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 12

La contrainte budgétaire

Lorsqu’il n’a que 2 biens, cette contrainte devient :

n

ixix xpR

i

La contrainte d’un consommateur s’écrit:

yx ypxpR

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 13

Nb repas

Dépenses Repas

Nb Films

Dépenses ciné

0 0 5 502 10 4 404 20 3 306 30 2 208 40 1 1010 50 0 0

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12

Nb Repas

NB

Film

s

Prix de la séance (y) : 10

Prix du repas (x) : 5

R = 5 x+ 10 y = 50

Revenu : 50

AB

C

D

E

F

La droite de budget

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 14

Bien Y

Bien X

max1x

max1

1

Rx

P Quantité maximale que l’agent

peut consommer de bien y

La droite de budget (Construction graphique)

ypR

ymax maxy

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 15

Bien y

Bien x

max2

2

Rx

P

Quantité maximum que l’agent peut consommer de bien x

Quantité maximum que l’agent peut consommer de bien x

La droite de budget (construction graphique)

xpR

xmax

maxy

maxx

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 16

La droite de budget (construction graphique)

Bien y

Bien x

Droite de Budget

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 17

Bien y

Bien x

Elle a pour origine = R/Py

Elle a pour pente = ΔV / ΔH

= - (R/Py) / (R/Px)

= - (R/Py) × (Px/R)

= - (Px / Py)

Elle s’écrit:

yy

x

pR

xpp

y

R/py

R/px

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 18

La contrainte budgétaire

Bien y

Bien 2max2x

max1x

Droite de Budget

Ensemble budgétaire

La modification de la contrainte budgétaire sous l’action du revenu

Le revenu augmente

Le revenu diminue

R/px

R/py

X

Y

JP BIASUTTI 19Microéconomie - consommateur

La modification de la contrainte budgétaire lorsque le prix de x se modifie

R/px

R/py

x

y

R/px’R/px’’

Px diminue

Px augmente

JP BIASUTTI 20Microéconomie - consommateur

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 21

Le choix du consommateur

max2x

Quel panier choisir ?

Bien y

Bien x

U=10

U=20

U=5

P

Panier optimal

U

L’équilibre du consommateur

Q*(panier d’ équilibre)

X*

Y*

x

Y

JP BIASUTTI 22Microéconomie - consommateur

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 23

Le choix du consommateur

Bien y

Bien xmax2x

max1x

U=10

P

La droite de budget est tangente à U au point P

Définition du TMS au point P

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 24

Le choix du consommateur

Récapitulatif

Le panier optimal P se situe au point de tangence entre U et la droite de budget

Donc, au point P, la pente de U est égale à la pente de la droite de budget

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 25

Le choix du consommateur

Récapitulatif

La pente de U au point P est égale, par définition, au TMS au point P ( 1)

Donc, au point P, le TMS est égal à la pente de la droite de budget

Rappel: Utilité marginale et TMS

1 1 2 2

1 2

2 1

U Um x Um x 0

x Um

x Um

Le TMS est égal au rapport des utilités marginales (Par convention, on considère la valeur absolue du TMS)

y

x

yx

UmUm

xy

)(

yUmxUmU

0

JP BIASUTTI 26Microéconomie - consommateur

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 27

Le choix du consommateur

Récapitulatif

La pente de la droite de budget est égale à – Py / Px (rapport des prix)

Donc, au point P, le TMS est égal au rapport des prix

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 28

Le choix du consommateur

Conclusion

Le consommateur choisit le panier P qui maximise son utilité en égalisant le TMS (le rapport des utilités marginales) au rapport des prix

pyUmy

pxUmx

soit

pypx

UmxUmy

pypx

UmyUmx

TMS

A l’optimum, le consommateur ne souhaite plus modifier la composition de son panier de

consommation.

Le taux d'échange pour lequel il est indifférent est égal au taux d'échange entre les bien établi par le marché,

c’est-à-dire au rapport des prix.

Le taux d’échange objectif est égal au taux d’échange subjectif du consommateur.

y

xx/y p

py/)y,x(Ux/)y,x(U

xy

)y,x(TMS

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 30

Signification de la concavité des préférences sur le choix du consommateur

Qrepas

Qfilms

A

D

E

C

B

En cas de concavité des préférences, le

consommateur rationnel choisira une solution en

coin.

La convexité des préférences assure que les

consommateur a une préférence pour les

mélanges.

U1

Les modifications de l’équilibre du consommateur (effet de la variation du revenu)

Q*

X*

y*

Bien X

Bien Y

Q’*

X’*

y’*

U2

Le revenu R augmente

JP BIASUTTI 31Microéconomie - consommateur

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 32

Les effets sur la demande d'une variation du revenu

Bien y

Bien x

P

U=10

U=15

P'

U=18

P''

Chemin d'expansion du revenu(Courbe de consommation -

revenu)

U1

Les modifications de l’équilibre du consommateur (effet de la variation des prix relatifs)

Q*

x*

y*

Bien x

Bien y

U2

x’*

y’*

Le prix px augmente

Q’*

JP BIASUTTI 33Microéconomie - consommateur

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 34

Le chemin d’expansion du prix

Bien y

Bien x

U=15

P'

U=10

P

U=20

P''

Chemin d'expansion du prix(Courbe de consommation – prix)

La variation du prix d’un bien a deux effets:

Supposons que px diminue et que py reste constant,

– Effet substitution (ou effet-prix):

Si le pouvoir d’achat du consommateur reste constant,

alors le consommateur va substituer du bien x au bien y car le bien x est « plus intéressant » que le bien y (le prix relatif du bien x a diminué)

– Effet revenu (ou effet pouvoir d’achat du revenu):

La variation du prix entraîne une modification du pouvoir d’achat que le consommateur répercute sur ses achats. La baisse de px l’incite à consommer plus de bien x et plus de bien y

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 36

La variation du prix et l’effet de substitution (méthode de Hicks)

Bien y

Bien x

U=15

P'

U=10

P

P’’

ΔX’ΔX

ΔX = q2 – q0 Effet de substitution

q0 q2

ΔX’ = q1 – q2 Effet revenu

q1

Effet de substitution

Effet de revenu

La variation du prix et l’effet de substitution (méthode de Slutsky)

Bien y

Bien x

U=15

P'

U=10

P

ΔX’ΔX

U=12

P’’

ΔX = q2 – q0 Effet de substitution

q0 q2

ΔX’ = q1 – q2 Effet revenu

q1

Effet de substitution

Effet de revenu

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 38

Les deux décompositions visent à isoler: - un effet de substitution (effet de compensation)

- un effet revenu (gain de pouvoir d’achat)

Les deux décompositions font différentes hypothèses :

H: Utilité ou satisfaction est constanteS: Budget (ou pouvoir d’achat) est tenu constant

Les deux décompositions ont des résultats différents :

H: Surestime l’effet revenu S: Surestime l’effet de substitution

Comparaisons entre les décomposition Hicks et Slutsky

JP BIASUTTI Microéconomie - consommateur 39

La fonction de demande

Ensemble des autres

biens

DVD

Quantité demandée de DVD

Prix du DVD

E2

E3

40 E’1

70 E’2

30E’3

E1