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Filtrage et EDPFiltrage et EDP

Philippe Montesinos

EMA/LGI2P - Site EERIE

Parc Scientifique G. Besse - 30035 Nîmes Cedex 1- France

http://www.lgi2p.ema.fr

2

Plan

1. Eléments de filtrage linéaire2. Les analyses multi-échelle3. EDP et Restauration d ’images4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur

3

1. Eléments Filtrage Linéaire.- Convolution- Filtrage par Transformée- Filtrage optimal- Filtrage récursif- Espace échelle

Plan

2. Les analyses multi-échelle3. EDP et Restauration d ’ images4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur

4

1.1 - 1.2 Convolution et Filtrage par Transformée

- Filtrage linéaire cas général : Filtrage fréquentiel : T

ransformée

Filt

rage

spa

tial :

Con

volu

tion

*

=

FFT

FFT -1

X=

5

Filtre Gaussien : filtrage fréquentielImplémentation par FFT

6

X

Dans l ’espace des fréquences

7

Filtrage fréquentiel

8

Travaux de CannyTravaux de Canny

- Filtres optimaux en détection de contour rapport signal sur bruit, localisation, réponse unique

1.3 Filtrage Optimal

- Contour Idéal: Step-edge + bruit blanc gaussien (1D)

9

1.3 Filtrage Optimal

Canny dérivée première de la gaussienne

Dérivée par ≠ finies Dérivée gaussienne σ = 10

10

1.3 Filtres Récursifs (1986-1987)

• Si la TZ d ’un filtre est une fraction rationnelle:alors le filtre peut être implanté de manière récursive

- filtre Gaussien (séparable mais non récursif)

- filtre exponentiel (séparable et récursif)

Deriche filtre exponentiel(solution particulière de Canny)

11

Filtre Gaussien (approximation récursive à l ’ordre 4)

Equation optimisée aux sens des moindres carrés.

Deriche 1994: Filtre gaussien récursif

12

Filtre Gaussien (approximation récursive à l’ordre 4)

13

Filtre de lissage gaussien (isotrope):

Espace échelle: Koenderink

Dépend du paramètre :

On étudie la position des contours En fonction de

14X

I(X)X

Espace échelle

15

Espace échelle

Transition : Diffusion Isotrope Diffusion Anisotrope

l Diffusion isotrope

Equation de la chaleur : équation aux dérivées partielles (EDP)

La solution de cette EDP est la convolution de l’ image initiale par une gaussienne

),,(),,(0

tyxGItyxIt

∗=

ut

u ∆=∂∂

=u )( x, y, 0 u0 ( x, y )

)4

)(exp(

4

1),,(

22

t

yx

ttyxG

+−=

π

16

Résumé

Filtrage linéaire gaussien : 4 implémentations possibles

• Convolution• Filtrage fréquentiel• Equations de récurrence• Equation de la chaleur

17

Plan

1. Eléments Filtrage Linéaire.

2. Les analyses multi-échelle- Définition- Axiomatisation- Classification des Equations aux Dérivées Partielles

3. EDP et Restauration d ’ images4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur

18

2. Une Axiomatisation de l’analyse multi-échelle

Définition

Image :

Opérateur :

R2

RI :( x, y ) I( x, y )

Tt

: R R

I0

( x, y ) I ( x, y, t) = T ( I ( x, y ) )0t

Image initiale Suite continue d’images dans le temps

19

Axiomes architecturaux

Récursivité et Structure Pyramidale :

L’image à une échelle t+h peut être obtenue directement à partir de l’image à l’échelle t sans passer par l ’image initiale.

- Les hautes échelles ne doivent pas influencer les basses échelles.

ststts TTTTts ο,, /, =∃≤∀

20

Comparaison et Comparaison locale:

Si une image U est plus claire qu ’une autre image V, alors cet ordre doit être réspecté au cours de l ’analyse.

Axiomes architecturaux

)())(())(()()()( 00 mVmmJTmITmVmmJmISi ∈∀≥∈∀≥

21

Régularité:

L ’évolution d ’une image régulière (forme quadratique par exemple) doit se faire de façon régulière.

Axiomes architecturaux

0mSi I est une forme quadratique au voisinage d ’un point

lorsque alors ne doit dépendre que desvaleurs de a, p et A.

)()(2

1)()( 000 mmAmmmmpamI tt −−+−+=

0→h ))((, mIT htt +

22

Théorème fondamental

Si une analyse multi-échelle vérifie les axiomes :

• architecture pyramidale• comparaison locale• régularité

alors

est une solution de viscosité de l ’EDP suivante :

),)((),,( yxITtyxI t=

)(ITt

),,,,),(( tyxIIIHFt

I ∇=∂∂

),()0,,( 0 yxIyxI =avec et F une fonction non décroissante.

0

23

Invariance morphologique:

L’analyse doit commuter avec tout changement de contraste (fonction croissante).

Seule la notion d’isophote est importante.

Classification des Equations aux Dérivées Partielles

.)()( ,, croissantefonctiongITgIgT thttthtt ∀= ++

24

Invariance euclidienne ou affine:

L’analyse doit être invariante pour toute transformation

où A est une matrice non singulière de dans

et B est un vecteur de .

Classification

BABA FpardéfinieF ,22

, : ℜ→ℜ2ℜ2ℜ

2ℜ

)()( ,,,, BAhttBAhtt FITFIT οο ++ = tt

25

Linéarité:

L’opérateur est linéaire par rapport a ses arguments

Classification

26

EDP (1)

Si une analyse multi-échelle vérifie les axiomes de :

• linéarité• invariance euclidienne• structure pyramidale• comparaison locale

alors

est solution de l’équation de la chaleur

),)((),,( 0 yxITtyxI t=

27

Equation de la chaleur : dt = 0.5

T=0 T=10 T=20

T=100 T=500

28

Si une analyse multi-échelle vérifie les axiomes

• architecturaux • invariance euclidienne et morphologique

alors la solution

est solution de viscosité de l’EDP suivante : (EMSS)

),)((),,( 0 yxITtyxI t=

EDP (2)

G : fonction non décroissante par rapport à la première variable s

29

Un cas particulier intéressant : G(s,t) = s.t

EDP (3)

Avec :

Diffusion anisotrope selon les isophotes : MCM

30

EMSS : dt = 0.5

T=0 T=10 T=20

T=50 T=200 T=500

31

EMSS : dt = 0.5

T=500 T=1000 T=10000

Formes circulaires

32

Il existe une seule analyse multi-échelle vérifiant les axiomes architecturaux avec la propriété :

• invariance affine et morphologique.

EDP (4)

Qui peut être réécrite de la manière suivante :

Evolution invariante affine des isophotes

33

AMSS : dt = 0.05

Formes elliptiques

T=0 T=100 T=200

T=400

34

AMSS : dt = 0.05

Formes elliptiques

T=0 T=100T=50

T=200 T=400

35

Plan

1. Eléments Filtrage Linéaire.2. Les analyses multi-échelle

3. EDP et Restauration d ’ images- Approches Variationnelles- Approche Perona-Malik- Approche Alvarez-Lions-Morel

4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur

36

Soit I une image bruitée donnée par:

Avec :• I l’image bruitée.

• l ’image originale.

• P un opérateur de dégradation linéaire(en général une convolution) représentant le flou de l ’image.

• un bruit gaussien.

ν+= 0IPI

ν

0I

Approches Variationnelles

37

0IRetrouver à partie de revient à minimiser l ’énergie E définie par:

Avec est une fonction de régularisation à choisir et un nombre strictement positif.

Ω∇Φ+−=Ω

dIIPIIE )(2

1)( 0 λ

Φ

I

λ

Approches Variationnelles

38

Minimisation de E : Equation d’Euler LagrangeMinimisation de E : Equation d’Euler Lagrange

Approches Variationnelles

39

ou encore:

0))('))((''()( 0 =∇∇∇Φ+∇Φ+−∗

ηηζζλ II

IIIIIPIP

Approches Variationnelles

0))('()( 0 =∇∇∇Φ+−∗

I

IIdivIPIP λ

∗P• est l ’opérateur adjoint de P.

• div est l ’opérateur divergence.

Soit :

40

peut s ’écrire sous la forme:

avec:

La direction de diffusion dépend du choix de la fonction de régularisation

ηηηζζζ IcIct

I +=∂∂

I

IcetIc

∇∇Φ

=∇Φ=)('

)('' ηζ

ηζη ⊥∇∇= et

I

I

Φ

Approches Variationnelles

41

Approches Variationnelles

Evidement pour:

équation de la chaleur

= = 1

42

Approches Variationnelles

, ≥ 0Dans les cas ou:

Schémas de diffusion anisotrope

ηηηζζζ IcIct

I +=∂∂

43

• c : fonction de seuillage régulière, telle que c(0)=1, c(x) >= 0 et c(x) tend vers 0 lorsque x tend vers l’ infini.

),()0,,(

))((

0 yxIyxI

uIcdivt

I

=

∇∇=∂∂

Approche de Perona - Malik

Exemples:

44

Approche de Perona - Malik

=

Convergence : ?

Équation de la chaleur inverse< 0

=:

45

• Difficultés:

Pas de régularisation

- Inhibition de la diffusion pour les vrais arrêtes, et aussi pour les fausses dues au bruit.

- Convergence pas assurée

Version améliorée.

Approche de Perona - Malik

46

Approche : Perona – Malik amélioré

),()0,,(

))((

0 yxIyxI

uIcdivt

I

=

∇∇=∂∂

Régulartisation gaussienne

47

Approche de Perona - Malik

100 itérations

48

Restauration : Perona – Malik amélioré

49

Approche: Alvarez & Morel:

e: petit coefficient numérique

),()0,,(

))((

0 yxIyxI

uIcdivt

I

=

∇∇=∂∂ +∆−=∂∂

DI

DIdivDIDIhIDIhDGIg

t

I()()(1()*( σ

50

Approche: Alvarez & Morel:

),()0,,(

))((

0 yxIyxI

uIcdivt

I

=

∇∇=∂∂ +∆−=∂∂

DI

DIdivDIDIhIDIhDGIg

t

I()()(1()*( σ

),()0,,(

))((

0 yxIyxI

uIcdivt

I

=

∇∇=∂∂

Ou encore:

51

Approche: Alvarez & Morel:

Interprétation géométrique :

52

Approche: Alvarez & Morel:

53

Ø Méthode donne de très bons résultats.

Ø Méthode limite parmi les méthodes de régularisation sélectives del’ image.

Ø Bonne Interprétation géométrique.

Approche: Alvarez & Morel:

54

Filtre de Chocs

Modèle d ’ Osher & Rudin:

),()0,,(

.)(

0 yxIyxI

IIsignt

I

=

∇−=∂∂

ηη

01

01)(

<−≥=

xsi

xsixsign

avec sign est la fonction définie par:

55

Restauration : Filtre de chocs (marginal)

56

1. Eléments Filtrage Linéaire.2. Les analyses multi-échelle3. EDP et Restauration d ’ images

4. EDP et détection de contours.- Filtrage PES- Détection de contours basée sur le PES- PES Amélioré- Un nouveau schéma de détection de contours

5. Cas de la couleur

Plan

57

4. EDP et détection de contours.

Restauration Diffuser avec :

Segmentation : dériver dans la direction η

Diffuser avec :

58

4.1 Filtrage PES

Filtrage anisotrope : PES

Propriétés d’ invariance:

• Non invariance Morphologique

• Invariance Euclidienne

• Non Linéarité

59

Pes10 itérations

4.1 Filtrage PES

60

4.1 Filtrage PES

Pes20 itérations

Pes100 itérations

61

4.2 Détection de contours basée sur le PES

- Image lissée à l’échelle t1

- Image lissée à l’échelle t2

I t1

I t2

t1

t2

<( )

- Soustraction: sII t2

- I t1

- Passages par zéro: sI zI

62

4.2 Détection de contours basée sur le PES

Dérivée seconde 1D géodésique

Quel est l’opérateur différentiel implicitement mis en oeuvre: ?

63

4.2 Détection de contours basée sur le PES

Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre: ?

On discrétise le temps, on choisit : t1

t2 = + ∆t

Schéma explicite (eq 1D):

Equation de la chaleur 1D

Solution = dérivée seconde d’une gaussienne

64

4.2 Détection de contours basée sur le PES

Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre: ?

On discrétise le temps, on choisit : t1

t2 = 0,

Fonction de répartitiongaussienne

Step - Edge

65

4.2 Détection de contours basée sur le PES

Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre: ?Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre: ?

Réponses impulsionnelles

G’ ’

+ intermédiaires

66

4.2 Détection de contours basée sur le PES

Localisation précise

G’ ’ Immunité au bruit

67

4.2 Détection de contours basée sur le PES

Sub-Pixel : T20 – T0

68

4.2 Détection de contours basée sur le PES

20-020-0 20-220-2

20-420-4 20-820-8 20-1820-18

69

4.3 PES Amélioré

On introduit une fonction g:

Exemple:

70

4.3 PES Amélioré

PES Amélioré 20-18PES Amélioré 20-1820-1820-18

71

4.4 Un nouveau schéma de détection de contours

Introduire une deuxième dimensionde lissage (sans perturber la détection)

Appliquer un schéma de restaurationAvant le PES:

- Alvarez

72

4.4 Un nouveau schéma de détection de contours

73

Coins préservés:

Détection de Contours +ApproximationPolygonale

74

Modèle numériquede terrainZone 1000x1000

75

Précisiondemi-pixelContours superposés

76

Précisiondemi-pixelApproximation Polygonale

77

Plan

1. Eléments de filtrage linéaire2. Les analyses multi-échelle3. EDP et Restauration d ’images4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur

78

5. Cas de la couleur

Définir ξ et η multi-spectral

Analyse de Di ’Zenzo

∃ ≠ normes de gradient.

79

Analyse de Di ’Zenzo:

Di ’Zenzo considère une image comme une surface telle que:

Soit :

avec :

Restauration d’Images Couleur

80

Restauration d’Images Couleur

La norme et l ’orientation du gradient couleur sont donnés par:

Avec:• montre la valeur de la plus grande et la plus petite

variation de l ’intensité lumineuse.• montre l ’orientation de la variation de l ’image

couleur.

Avec:• montre la valeur de la plus grande et la plus petite

variation de l ’intensité lumineuse.• montre l ’orientation de la variation de l ’image

couleur.

λλ

ηη

81

)sin,(cos ηη

λ

=∇

=∇ +

I

I

Pour Di ’Zenzo:

Pour Sapiro:

)sin,(cos ηη

λλ

=∇

−=∇ −+

I

I

Restauration d’Images Couleur

82

Image Synthétique:Image Synthétique:

Image OriginaleImage Originale MCM marginalMCM marginal MCM VectorielMCM Vectoriel

Restauration d’Images Couleur

83

Restauration d’Images Couleur

Sapiro:

• Vectoriel, • Pas d’arrêt aux coins.

84

Restauration d’Images Couleur

Blomgren:

• Scalaire, • Couleur prise en compte dans : ,• Pas d’arrêt aux coins

85

Restauration d’Images Couleur

Tchumperlé:

• Pas d’atténuation aux contours (anisotropie simple),• Pas d’atténuation aux coins,• Contrôle avec un gradient vectoriel,• Terme de réaction,• Terme d’attache aux données.

86

Restauration d’Images Couleur

Un nouveau schéma de restauration couleur

87

Un détecteur de coins couleur

Généralisation à l’opérateur de Kitchen-Rosenfeld :Généralisation à l’opérateur de Kitchen-Rosenfeld :

88

Kitchen - Rosenfeld Couleur

avec :avec :

89

Kitchen - Rosenfeld Couleur

et :et :

90

Résultats : Image Initiale

91

92

Résultats:notre Modèle

93

Résultats:Sapiro

94

Résultats:Sapiro

95

Résultats:Tchumperlé

96

Conclusion

ü Les analyses multi-échelleDéfinition des EDP et de leurs propriétés.

ü Restauration d ’images : Approches variationnelles EDP (basées sur l’EDP MCM).

ü Détection de contours :EDP (PES).

ü Cas de la couleur: direction de diffusion et diffusion vectorielles.