filtrage et edp - École des mines d'alèsmontesin/courspdf/edp.pdf · 3. edp et restauration...
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Filtrage et EDPFiltrage et EDP
Philippe Montesinos
EMA/LGI2P - Site EERIE
Parc Scientifique G. Besse - 30035 Nîmes Cedex 1- France
http://www.lgi2p.ema.fr
2
Plan
1. Eléments de filtrage linéaire2. Les analyses multi-échelle3. EDP et Restauration d ’images4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur
3
1. Eléments Filtrage Linéaire.- Convolution- Filtrage par Transformée- Filtrage optimal- Filtrage récursif- Espace échelle
Plan
2. Les analyses multi-échelle3. EDP et Restauration d ’ images4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur
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1.1 - 1.2 Convolution et Filtrage par Transformée
- Filtrage linéaire cas général : Filtrage fréquentiel : T
ransformée
Filt
rage
spa
tial :
Con
volu
tion
*
=
FFT
FFT -1
X=
5
Filtre Gaussien : filtrage fréquentielImplémentation par FFT
6
X
Dans l ’espace des fréquences
7
Filtrage fréquentiel
8
Travaux de CannyTravaux de Canny
- Filtres optimaux en détection de contour rapport signal sur bruit, localisation, réponse unique
1.3 Filtrage Optimal
- Contour Idéal: Step-edge + bruit blanc gaussien (1D)
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1.3 Filtrage Optimal
Canny dérivée première de la gaussienne
Dérivée par ≠ finies Dérivée gaussienne σ = 10
10
1.3 Filtres Récursifs (1986-1987)
• Si la TZ d ’un filtre est une fraction rationnelle:alors le filtre peut être implanté de manière récursive
- filtre Gaussien (séparable mais non récursif)
- filtre exponentiel (séparable et récursif)
Deriche filtre exponentiel(solution particulière de Canny)
11
Filtre Gaussien (approximation récursive à l ’ordre 4)
Equation optimisée aux sens des moindres carrés.
Deriche 1994: Filtre gaussien récursif
12
Filtre Gaussien (approximation récursive à l’ordre 4)
13
Filtre de lissage gaussien (isotrope):
Espace échelle: Koenderink
Dépend du paramètre :
On étudie la position des contours En fonction de
14X
I(X)X
Espace échelle
15
Espace échelle
Transition : Diffusion Isotrope Diffusion Anisotrope
l Diffusion isotrope
Equation de la chaleur : équation aux dérivées partielles (EDP)
La solution de cette EDP est la convolution de l’ image initiale par une gaussienne
),,(),,(0
tyxGItyxIt
∗=
ut
u ∆=∂∂
=u )( x, y, 0 u0 ( x, y )
)4
)(exp(
4
1),,(
22
t
yx
ttyxG
+−=
π
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Résumé
Filtrage linéaire gaussien : 4 implémentations possibles
• Convolution• Filtrage fréquentiel• Equations de récurrence• Equation de la chaleur
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Plan
1. Eléments Filtrage Linéaire.
2. Les analyses multi-échelle- Définition- Axiomatisation- Classification des Equations aux Dérivées Partielles
3. EDP et Restauration d ’ images4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur
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2. Une Axiomatisation de l’analyse multi-échelle
Définition
Image :
Opérateur :
R2
RI :( x, y ) I( x, y )
Tt
: R R
I0
( x, y ) I ( x, y, t) = T ( I ( x, y ) )0t
Image initiale Suite continue d’images dans le temps
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Axiomes architecturaux
Récursivité et Structure Pyramidale :
L’image à une échelle t+h peut être obtenue directement à partir de l’image à l’échelle t sans passer par l ’image initiale.
- Les hautes échelles ne doivent pas influencer les basses échelles.
ststts TTTTts ο,, /, =∃≤∀
20
Comparaison et Comparaison locale:
Si une image U est plus claire qu ’une autre image V, alors cet ordre doit être réspecté au cours de l ’analyse.
Axiomes architecturaux
)())(())(()()()( 00 mVmmJTmITmVmmJmISi ∈∀≥∈∀≥
21
Régularité:
L ’évolution d ’une image régulière (forme quadratique par exemple) doit se faire de façon régulière.
Axiomes architecturaux
0mSi I est une forme quadratique au voisinage d ’un point
lorsque alors ne doit dépendre que desvaleurs de a, p et A.
)()(2
1)()( 000 mmAmmmmpamI tt −−+−+=
0→h ))((, mIT htt +
22
Théorème fondamental
Si une analyse multi-échelle vérifie les axiomes :
• architecture pyramidale• comparaison locale• régularité
alors
est une solution de viscosité de l ’EDP suivante :
),)((),,( yxITtyxI t=
)(ITt
),,,,),(( tyxIIIHFt
I ∇=∂∂
),()0,,( 0 yxIyxI =avec et F une fonction non décroissante.
0
23
Invariance morphologique:
L’analyse doit commuter avec tout changement de contraste (fonction croissante).
Seule la notion d’isophote est importante.
Classification des Equations aux Dérivées Partielles
.)()( ,, croissantefonctiongITgIgT thttthtt ∀= ++
24
Invariance euclidienne ou affine:
L’analyse doit être invariante pour toute transformation
où A est une matrice non singulière de dans
et B est un vecteur de .
Classification
BABA FpardéfinieF ,22
, : ℜ→ℜ2ℜ2ℜ
2ℜ
)()( ,,,, BAhttBAhtt FITFIT οο ++ = tt
25
Linéarité:
L’opérateur est linéaire par rapport a ses arguments
Classification
26
EDP (1)
Si une analyse multi-échelle vérifie les axiomes de :
• linéarité• invariance euclidienne• structure pyramidale• comparaison locale
alors
est solution de l’équation de la chaleur
),)((),,( 0 yxITtyxI t=
27
Equation de la chaleur : dt = 0.5
T=0 T=10 T=20
T=100 T=500
28
Si une analyse multi-échelle vérifie les axiomes
• architecturaux • invariance euclidienne et morphologique
alors la solution
est solution de viscosité de l’EDP suivante : (EMSS)
),)((),,( 0 yxITtyxI t=
EDP (2)
G : fonction non décroissante par rapport à la première variable s
29
Un cas particulier intéressant : G(s,t) = s.t
EDP (3)
Avec :
Diffusion anisotrope selon les isophotes : MCM
30
EMSS : dt = 0.5
T=0 T=10 T=20
T=50 T=200 T=500
31
EMSS : dt = 0.5
T=500 T=1000 T=10000
Formes circulaires
32
Il existe une seule analyse multi-échelle vérifiant les axiomes architecturaux avec la propriété :
• invariance affine et morphologique.
EDP (4)
Qui peut être réécrite de la manière suivante :
Evolution invariante affine des isophotes
33
AMSS : dt = 0.05
Formes elliptiques
T=0 T=100 T=200
T=400
34
AMSS : dt = 0.05
Formes elliptiques
T=0 T=100T=50
T=200 T=400
35
Plan
1. Eléments Filtrage Linéaire.2. Les analyses multi-échelle
3. EDP et Restauration d ’ images- Approches Variationnelles- Approche Perona-Malik- Approche Alvarez-Lions-Morel
4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur
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Soit I une image bruitée donnée par:
Avec :• I l’image bruitée.
• l ’image originale.
• P un opérateur de dégradation linéaire(en général une convolution) représentant le flou de l ’image.
• un bruit gaussien.
ν+= 0IPI
ν
0I
Approches Variationnelles
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0IRetrouver à partie de revient à minimiser l ’énergie E définie par:
Avec est une fonction de régularisation à choisir et un nombre strictement positif.
Ω∇Φ+−=Ω
dIIPIIE )(2
1)( 0 λ
Φ
I
λ
Approches Variationnelles
38
Minimisation de E : Equation d’Euler LagrangeMinimisation de E : Equation d’Euler Lagrange
Approches Variationnelles
39
ou encore:
0))('))((''()( 0 =∇∇∇Φ+∇Φ+−∗
ηηζζλ II
IIIIIPIP
Approches Variationnelles
0))('()( 0 =∇∇∇Φ+−∗
I
IIdivIPIP λ
∗P• est l ’opérateur adjoint de P.
• div est l ’opérateur divergence.
Soit :
40
peut s ’écrire sous la forme:
avec:
La direction de diffusion dépend du choix de la fonction de régularisation
ηηηζζζ IcIct
I +=∂∂
I
IcetIc
∇∇Φ
=∇Φ=)('
)('' ηζ
ηζη ⊥∇∇= et
I
I
Φ
Approches Variationnelles
41
Approches Variationnelles
Evidement pour:
équation de la chaleur
= = 1
42
Approches Variationnelles
, ≥ 0Dans les cas ou:
Schémas de diffusion anisotrope
ηηηζζζ IcIct
I +=∂∂
43
• c : fonction de seuillage régulière, telle que c(0)=1, c(x) >= 0 et c(x) tend vers 0 lorsque x tend vers l’ infini.
),()0,,(
))((
0 yxIyxI
uIcdivt
I
=
∇∇=∂∂
Approche de Perona - Malik
Exemples:
44
Approche de Perona - Malik
=
Convergence : ?
Équation de la chaleur inverse< 0
=:
45
• Difficultés:
Pas de régularisation
- Inhibition de la diffusion pour les vrais arrêtes, et aussi pour les fausses dues au bruit.
- Convergence pas assurée
Version améliorée.
Approche de Perona - Malik
46
Approche : Perona – Malik amélioré
),()0,,(
))((
0 yxIyxI
uIcdivt
I
=
∇∇=∂∂
Régulartisation gaussienne
47
Approche de Perona - Malik
100 itérations
48
Restauration : Perona – Malik amélioré
49
Approche: Alvarez & Morel:
e: petit coefficient numérique
),()0,,(
))((
0 yxIyxI
uIcdivt
I
=
∇∇=∂∂ +∆−=∂∂
DI
DIdivDIDIhIDIhDGIg
t
I()()(1()*( σ
50
Approche: Alvarez & Morel:
),()0,,(
))((
0 yxIyxI
uIcdivt
I
=
∇∇=∂∂ +∆−=∂∂
DI
DIdivDIDIhIDIhDGIg
t
I()()(1()*( σ
),()0,,(
))((
0 yxIyxI
uIcdivt
I
=
∇∇=∂∂
Ou encore:
51
Approche: Alvarez & Morel:
Interprétation géométrique :
52
Approche: Alvarez & Morel:
53
Ø Méthode donne de très bons résultats.
Ø Méthode limite parmi les méthodes de régularisation sélectives del’ image.
Ø Bonne Interprétation géométrique.
Approche: Alvarez & Morel:
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Filtre de Chocs
Modèle d ’ Osher & Rudin:
),()0,,(
.)(
0 yxIyxI
IIsignt
I
=
∇−=∂∂
ηη
01
01)(
<−≥=
xsi
xsixsign
avec sign est la fonction définie par:
55
Restauration : Filtre de chocs (marginal)
56
1. Eléments Filtrage Linéaire.2. Les analyses multi-échelle3. EDP et Restauration d ’ images
4. EDP et détection de contours.- Filtrage PES- Détection de contours basée sur le PES- PES Amélioré- Un nouveau schéma de détection de contours
5. Cas de la couleur
Plan
57
4. EDP et détection de contours.
Restauration Diffuser avec :
Segmentation : dériver dans la direction η
Diffuser avec :
58
4.1 Filtrage PES
Filtrage anisotrope : PES
Propriétés d’ invariance:
• Non invariance Morphologique
• Invariance Euclidienne
• Non Linéarité
59
Pes10 itérations
4.1 Filtrage PES
60
4.1 Filtrage PES
Pes20 itérations
Pes100 itérations
61
4.2 Détection de contours basée sur le PES
- Image lissée à l’échelle t1
- Image lissée à l’échelle t2
I t1
I t2
t1
t2
<( )
- Soustraction: sII t2
- I t1
- Passages par zéro: sI zI
62
4.2 Détection de contours basée sur le PES
Dérivée seconde 1D géodésique
Quel est l’opérateur différentiel implicitement mis en oeuvre: ?
63
4.2 Détection de contours basée sur le PES
Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre: ?
On discrétise le temps, on choisit : t1
t2 = + ∆t
Schéma explicite (eq 1D):
Equation de la chaleur 1D
Solution = dérivée seconde d’une gaussienne
64
4.2 Détection de contours basée sur le PES
Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre: ?
On discrétise le temps, on choisit : t1
t2 = 0,
Fonction de répartitiongaussienne
Step - Edge
65
4.2 Détection de contours basée sur le PES
Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre: ?Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre: ?
Réponses impulsionnelles
G’ ’
+ intermédiaires
66
4.2 Détection de contours basée sur le PES
Localisation précise
G’ ’ Immunité au bruit
67
4.2 Détection de contours basée sur le PES
Sub-Pixel : T20 – T0
68
4.2 Détection de contours basée sur le PES
20-020-0 20-220-2
20-420-4 20-820-8 20-1820-18
69
4.3 PES Amélioré
On introduit une fonction g:
Exemple:
70
4.3 PES Amélioré
PES Amélioré 20-18PES Amélioré 20-1820-1820-18
71
4.4 Un nouveau schéma de détection de contours
Introduire une deuxième dimensionde lissage (sans perturber la détection)
Appliquer un schéma de restaurationAvant le PES:
- Alvarez
72
4.4 Un nouveau schéma de détection de contours
73
Coins préservés:
Détection de Contours +ApproximationPolygonale
74
Modèle numériquede terrainZone 1000x1000
75
Précisiondemi-pixelContours superposés
76
Précisiondemi-pixelApproximation Polygonale
77
Plan
1. Eléments de filtrage linéaire2. Les analyses multi-échelle3. EDP et Restauration d ’images4. EDP et détection de contours.5. Cas de la couleur
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5. Cas de la couleur
Définir ξ et η multi-spectral
Analyse de Di ’Zenzo
∃ ≠ normes de gradient.
79
Analyse de Di ’Zenzo:
Di ’Zenzo considère une image comme une surface telle que:
Soit :
avec :
Restauration d’Images Couleur
80
Restauration d’Images Couleur
La norme et l ’orientation du gradient couleur sont donnés par:
Avec:• montre la valeur de la plus grande et la plus petite
variation de l ’intensité lumineuse.• montre l ’orientation de la variation de l ’image
couleur.
Avec:• montre la valeur de la plus grande et la plus petite
variation de l ’intensité lumineuse.• montre l ’orientation de la variation de l ’image
couleur.
λλ
ηη
81
)sin,(cos ηη
λ
=∇
=∇ +
I
I
Pour Di ’Zenzo:
Pour Sapiro:
)sin,(cos ηη
λλ
=∇
−=∇ −+
I
I
Restauration d’Images Couleur
82
Image Synthétique:Image Synthétique:
Image OriginaleImage Originale MCM marginalMCM marginal MCM VectorielMCM Vectoriel
Restauration d’Images Couleur
83
Restauration d’Images Couleur
Sapiro:
• Vectoriel, • Pas d’arrêt aux coins.
84
Restauration d’Images Couleur
Blomgren:
• Scalaire, • Couleur prise en compte dans : ,• Pas d’arrêt aux coins
85
Restauration d’Images Couleur
Tchumperlé:
• Pas d’atténuation aux contours (anisotropie simple),• Pas d’atténuation aux coins,• Contrôle avec un gradient vectoriel,• Terme de réaction,• Terme d’attache aux données.
86
Restauration d’Images Couleur
Un nouveau schéma de restauration couleur
87
Un détecteur de coins couleur
Généralisation à l’opérateur de Kitchen-Rosenfeld :Généralisation à l’opérateur de Kitchen-Rosenfeld :
88
Kitchen - Rosenfeld Couleur
avec :avec :
89
Kitchen - Rosenfeld Couleur
et :et :
90
Résultats : Image Initiale
91
92
Résultats:notre Modèle
93
Résultats:Sapiro
94
Résultats:Sapiro
95
Résultats:Tchumperlé
96
Conclusion
ü Les analyses multi-échelleDéfinition des EDP et de leurs propriétés.
ü Restauration d ’images : Approches variationnelles EDP (basées sur l’EDP MCM).
ü Détection de contours :EDP (PES).
ü Cas de la couleur: direction de diffusion et diffusion vectorielles.