etude de fonction complète -...
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Etude de fonction complète :
f (x) = (x + 2)2(x− 1)
1. Domaine :CE : Il n’y en a pas. Le domaine est donc R
2. Zéros :f(x) = 0
⇔ (x+ 2)2(x− 1) = 0
⇔{
x = −2x = 1
Les zéros sont donc x = −2 et x = 1 (qui sont tous les deux dans le domaine de définitionde la fonction).
3. Intersection avec l’axe 0y : f(0) = −4.4. Parité : Les zéros n’étant pas symétriques par rapport à x=0, la fonction n’est donc ni paire
ni impaire.5. Signe : Le signe est résumé dans le tableau de signe suivant :
x -2 1(x+ 2)2 + 0 + +(x− 1) - - 0 +f(x) - 0 - 0 +
6. Asymptotes
(a) Asymptote verticale : il n’y en a pas car aucun point n’est rejeté du domaine.(b) Il n’y a pas d’asymptote horizontale ni oblique car on est en présence d’une fonction
rationnelle et le degré du numérateur et supérieur au degré du dénominateur de plusd’une unité.
7. Dérivée première : On a successivement :
f ′(x) = [(x+ 2)2(x− 1)]′
= 2(x+ 2)(x− 1) + (x+ 2)2
= (x+ 2)3x
Le tableau de signe de la dérivée première est détaillé ci-dessous
x -2 0(x+ 2) - 0 + +3x - - 0 +
f ′(x) + 0 - 0 +↗ M ↘ m ↗
(-2,0) (0,-4)
Ce tableau est le tableau de variation de la fonction f(x).
8. Dérivée seconde : Lorsque que l’on redérive la fonction obtenue au point 7, on obtient :
f ′′(x) = 6(x+ 1)
Le tableau de signe de la dérivée seconde est :
x -1(x+ 1) - 0 +f ′′(x) - PI +
∩ (-1,-2) ∪
9. Tableau récapitulatif :Le tableau récapitulatif du comportement de la fonction est présenté ci-dessous.
x -2 -1 0 1f ′(x) + 0 - - 0 + +f ′′(x) - - 0 + + +f(x) ↗ M ↘ PI ↘ m ↗ 0 ↗
∩ ∩ ∩ ∩ ∩
Le graphe de la fonction est le suivant 1
1. Il doit être dessiné à l’aide de la calculatrice graphique avant de démarrer l’étude car tous les résultatsdes calculs peuvent y être vérifiés ! !
Etude de fonction complète :
f (x) =x3
x2 − 1
1. Domaine :CE : x2 − 1 6= 0⇔ x 6= ±1. Le domaine est donc R\ {−1, 1}
2. Zéros :f(x) = 0
⇔ x3
x2 − 1= 0
⇔ x = 0
Le zéro est donc x = 0 (qui est dans le domaine de définition de la fonction).3. Intersection avec l’axe 0y : f(0) = 0.
4. Parité : f(−x) = (−x)3
(−x)2 − 1
−x3
x2 − 1= f(x). La fonction est impaire.
5. Signe : Le signe est résumé dans le tableau de signe suivant :
x -1 0 1x3 - - 0 + +
x2 − 1 + 0 - - 0 +f(x) - @ + 0 - @ 0
6. Asymptotes
(a) Asymptote verticale : On a limx→−1
f(x) =1
0= ±∞ et lim
x→1f(x) =
−10
= ±∞. Il y adonc deux AV : {
AV1 ≡ x = −1AV2 ≡ x = 1
De plus, le tableau de signe de f(x) permet de trouver limx→−1−
f(x) = −∞lim
x→−1+f(x) = +−∞
et {limx→1−
f(x) = −∞limx→1+
f(x) = +−∞
(b) Il n’y a pas d’asymptote horizontale car on est en présence d’une fonction rationnelleet le degré du numérateur et supérieur au degré du dénominateur.
(c) Asymptote oblique :la division euclidienne de numérateur par le dénominateur donne
f(x) = x+x
x2 − 1
Lorsque x tend vers l’infini 2, le troisième terme(
x
x2 − 1
)tend vers zéro car le degré
du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. Dès lors, on peut affirmer quesi x tend vers l’infini la fonction tend vers la fonction g(x) = x qui se représente gra-phiquement par une droite. On est en présence de la définition d’une asymptote 3.Dèslors, la droite d’équation y = x est asymptote oblique de la fonction f(x).
7. Dérivée première : On a successivement :
f ′(x) =
[x3
x2 − 1
]′=
3x2(x2 − 1)− x3(2x)
(x2 − 1)2
=x2 (3x2 − 3− 2x2)
(x2 − 1)2
=x2 (x2 − 3)
(x2 − 1)2
Le tableau de signe de la dérivée première est détaillé ci-dessous (on aurait pu se contenterde construire la partie du tableau correspondant à x ≥ 0.
x −√3 -1 0 1
√3
x2 + + + 0 + + +(x2 − 3) + 0 - - - - 0 +(x2 − 1)2 + + 0 + + 0 + +f ′(x) + 0 - @ - 0 - @ - 0 +
↗ M ↘ ↘ TH ↘ ↘ m ↗(−√3,−3√3
2
)(0, 0)
(√3,
3√3
2
)Ce tableau est le tableau de variation de la fonction f(x).
8. Dérivée seconde : Lorsque que l’on redérive la fonction obtenue au point 7, on obtient :
f ′′(x) =2x(x2 + 3)
(x2 − 1)3
Le tableau de signe de la dérivée seconde est :
x 0 1x 0 + +
(x2 − 1)3 - 0 +f ′′(x) PI - @ +
(0, 0) ∩ ∪
9. Tableau récapitulatif :Le tableau récapitulatif du comportement de la fonction est présenté ci-dessous.
2. ce qui correspond à la situation d’une asymptote3. "droite de laquelle un courbe se rapproche indéfiniment sans jamais la toucher"
x 0 1√3
f ′(x) 0 - @ - 0 +f ′′(x) 0 - @ + +f(x) TH / PI ↘ @ ↘ m ↗
(0, 0) ∩ ∪ ∪
Le graphe de la fonction est le suivant 4
4. Il doit être dessiné à l’aide de la calculatrice graphique avant de démarrer l’étude car tous les résultatsdes calculs peuvent y être vérifiés ! !
Etude de fonction complète :
f (x) = |x + 2|√1− x
1. Domaine :CE : 1− x ≥ 0⇔ x ≤ 1. Le domaine est donc −∞, 1]
2. Zéros :f(x) = 0
⇔{
x = −2x = 1
Lse zéros sont donc x = −2 et x = 1 (qui sont dans le domaine de définition de la fonction).3. Intersection avec l’axe 0y : f(0) = 2.4. Parité : Vu le domaine et les zéros, la fonction n’est ni paire ni impaire.5. Signe : La fonction est toujours positive (en raison de la présence de la valeur absolue et de
la racine)6. Asymptotes
(a) Il n’y a aucun point rejeté du domaine, donc pas d’asymptote verticale(b) Il n’y a pas d’asymptote horizontale 5 car lim
x→−∞f(x) = +∞.
(c) Il n’y a pas d’asymptote oblique car m = limx→−∞
f(x)
x= +∞.
7. Dérivée première : Le calcul de la dérivée première est complexe en raison de la présence dela valeur absolue. En effet, la fonction étudiée est en réalité composée de deux fonctions :
f(x) =
{(−x− 2)
√1− x si x ≤ −2
(x+ 2)√1− x si x > −2
Il faudrait donc calculer deux dérivées (qui se ressemblent) et faire un tableau de signe pourchaque sous-fonction.Le calcul peut être simplifié par l’introduction de la fonction sign(x) définie par
sign(x) ={−1 si x ≤ 01 si x > 0
Avec l’introduction de cette fonction, la fonction valeur absolue de x s’écrit :
|x| = sign(x).x
et f(x) s’écritf(x) = sign(x+ 2)(x+ 2)
√1− x
Le calcul de la dérivée donne 6 :f ′(x) =
[sign(x+ 2)(x+ 2)
√1− x
]′= sign(x+ 2)
[(x+ 2)
√1− x
]′= sign(x+ 2)
[√1− x+ (x+ 2)
−12√1− x
]= sign(x+ 2)
[2− 2x− x− 2
2√1− x
]= sign(x+ 2)
[−3x
2√1− x
]5. Le calcul en +∞ est inutile puisqu’il n’appartient pas au domaine de définition6. puisque sign(x+2) est une constante
Le tableau de signe de la dérivée première est détaillé ci-dessous.
x -2 0 1sign(x+ 2) - + +−3x + + 0 -√1− x + + + 0f ′(x) - + 0 - @
↘ PA ↗ M ↘ TV(-2,0) (0, 2) (−1, 0)
Ce tableau est le tableau de variation de la fonction f(x).8. Dérivée seconde : Lorsque que l’on redérive la fonction obtenue au point 7, on obtient :
f ′′(x) = sign(x+ 2)
[3(x− 2)
4√
(1− x)3
]
Le tableau de signe de la dérivée seconde est :
x -2 1sign(x+ 2) - +
x− 2 - -√(1− x)3 + + 0f ′′(x) + PA - @
∪ ∩
9. Tableau récapitulatif :Le tableau récapitulatif du comportement de la fonction est présenté ci-dessous.
x -2 0 1f ′(x) - + 0 - @f ′′(x) + - - @f(x) ↘ PA ↗ M ↘ TV
∪ (-2,0) ∩ (0, 2) ∩ (−1, 0)
Le graphe de la fonction est le suivant 7
7. Il doit être dessiné à l’aide de la calculatrice graphique avant de démarrer l’étude car tous les résultatsdes calculs peuvent y être vérifiés ! !
Etude de fonction complète :
f (x) =√
x2 − 5x + 4
1. Domaine :CE : x2 − 5x+ 4 ≥ 0. Le domaine est donc −∞, 1] ∪ [4,+∞
2. Zéros :f(x) = 0
⇔{
x = 1x = 4
Lse zéros sont donc x = 1 et x = 4 (qui sont dans le domaine de définition de la fonction).3. Intersection avec l’axe 0y : f(0)@ car 0/∈ domf .4. Parité : Vu le domaine et les zéros, la fonction n’est ni paire ni impaire.5. Signe : La fonction est toujours positive (en raison de la présence de la racine)6. Asymptotes
(a) Il n’y a aucun point rejeté du domaine, donc pas d’asymptote verticale(b) Il n’y a pas d’asymptote horizontale car lim
x→±∞f(x) = +∞.
(c) On a m = limx→±∞
f(x)
x=∞∞
(F.I.)En levant l’indétermination, on obtient m = ±1.De plus, comme p = lim
x→±∞[f(x)−mx], on trouve p = ∓5
2. On a donc deux asymptotes
obliques : AOg ≡ y = −x+
5
2
AOd ≡ y = x− 5
2
7. Dérivée première :Le calcul de la dérivée donne :
f ′(x) =[√
x2 − 5x+ 4]′
=(x2 − 5x+ 4)′
2√x2 − 5x+ 4
=2x− 5
2√x2 − 5x+ 4
Cette fonction s’annule en x =5
2qui est en dehors du domaine de f(x).
f ′(x) est négative si x <5
2et positive après.
8. Dérivée seconde : Lorsque que l’on redérive la fonction obtenue au point 7, on obtient :
f ′′(x) ==−9
4√
(x2 − 5x+ 4)3
qui est toujours négative.
9. Tableau récapitulatif :Le tableau récapitulatif du comportement de la fonction est présenté ci-dessous.
x 1 4f ′(x) - @ @ +f ′′(x) - @ @ -f(x) ↘ 0 0 ↗
∩ TV TV ∪
Le graphe de la fonction est le suivant 8
8. Il doit être dessiné à l’aide de la calculatrice graphique avant de démarrer l’étude car tous les résultatsdes calculs peuvent y être vérifiés ! !
Etude de fonction complète :
f (x) =x2
x + 1− |x|
1. Domaine :CE : x+ 1 6= 0⇔ x 6= −1. Le domaine est donc R\ {−1}
2. Zéros : f(x) = 0⇔ x2
x+ 1− |x| = 0 Il faut résoudre une équation aux valeurs absolues. En
décomposant la fonction en deux parties, on a :
f(x) =
x2 + x(x+ 1)
x+ 1si x < 0
x2 − x(x+ 1)
x+ 1si x ≥ 0
ou
f(x) =
2x2 + x
x+ 1si x < 0
−xx+ 1
si x ≥ 0
Les solutions de l’équation f(x) = 0 sont donc x = −1
2et x = 0.
3. Intersection avec l’axe 0y : f(0) = 0.4. Parité : Vu le domaine et les zéros, la fonction n’est ni paire ni impaire.5. Signe : If faut étudier séparément le signe des deux "sous-fonctions". Le signe est résumé
dans le tableau de signe suivant dans le cas où x < 0 :
x -1 −1
22x2 + x + + 0 -x+ 1 - 0 + +f(x) - @ + 0 -
Remarquons que si x ≥ 0, la fonction est toujours négative.6. Asymptotes
(a) Asymptote verticale : On a limx→−1
f(x) =1
0= ±∞. Il y a donc une AV ≡ x = −1. De
plus, le tableau de signe de f(x) permet de trouver limx→−1−
f(x) = −∞lim
x→−1+f(x) = +−∞
(b) Asymptote horizontale : En se basant sur la décomposition de la fonction en "sous-fonctions", on peut calculer :
f(x) =
limx→−∞
2x2 + x
x+ 1= −∞ si x < 0
limx→−∞
−xx+ 1
= −1 si x ≥ 0
On a donc une AHg ≡ y = −1
(c) Asymptote oblique : Vu la présence de l’AH en +∞, on ne doit calculer une éventuelle
AO qu’en −∞. La division euclidienne de2x2 + x
x+ 1donne 2x−1+
1
x+ 1. L’explication
donnée dans le cadre de la fonction n◦1 permet de conclure que AOd ≡ y = 2x− 1.
7. Dérivée première : On a successivement :
f ′(x) =
[2x2 + x
x+ 1
]′si x < 0[
−xx+ 1
]′si x ≥ 0
et, après simplification :
f ′(x) =
2x2 + 4x+ 1
(x+ 1)2si x < 0
−1(x+ 1)2
si x ≥ 0
Le tableau de signe de la dérivée première si x < 0 est :
x −√2
2− 1 -1
√2
2− 1
2x2 + 4x+ 1 + 0 - - 0 +(x+ 1)2 + + 0 + +f ′(x) + 0 - @ - 0 +
↗ M ↘ ↘ m ↗(−√2
2− 1,−2
√2− 3
) (√2
2− 1, 2
√2− 3
)De plus, si x ≥ 0, la dérivée première est toujours négative et, dès lors, f(x) toujoursdécroissante.Remarquons que
limx→0
f ′(x) =
{−1 si x < 01 si x ≥ 0
On a donc un point anguleux en x = 0.8. Dérivée seconde : Lorsque que l’on redérive la fonction obtenue au point 7, on obtient :
f ′′(x) =2
(x+ 1)3
Le tableau de signe de la dérivée seconde est :
x -1(x+ 1)3 - 0 +f ′′(x) - @ +
∩ ∪
9. Tableau récapitulatif :Le tableau récapitulatif du comportement de la fonction est présenté ci-dessous.
x −√2
2− 1 -1
√2
2− 1 0
f ′(x) + 0 - @ - 0 + -f ′′(x) - - @ + + +f(x) ↗ M ↘ @ ↘ m ↗ PA ↘
∩
(−√2
2− 1,−2
√2− 3
)∩ ∪
(√2
2− 1, 2
√2− 3
)∪ (0,0) ∪
Le graphe de la fonction est le suivant 9
9. Il doit être dessiné à l’aide de la calculatrice graphique avant de démarrer l’étude car tous les résultatsdes calculs peuvent y être vérifiés ! !
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