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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
ENSTA - COURSMS 204DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES:
ONDES ET VIBRATIONS
Amphi 3
ENSTA – MS 204 – 2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – cours 3
Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
RAPPELS
Milieu fini : analyse globale.Le problème est constitué d’une EDP assortie de conditions auxlimites.
Formalisme des ondes propagatives n’est plus adapté. méthode :
1. Séparation des variables temps et espace.2. Résolution du problème spatial concept de mode propre.
Dans ce cours : Modes propres : cas général Orthogonalité Projection modale Méthode générale de résolution
ENSTA – MS 204 – 2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – cours 3
Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
DÉFINITIONS
Milieu Ω, de frontière ∂Ω. Soit w(x, t) le déplacement recherché.
∀ x ∈ Ω, ∀ t :∂2w
∂t2+ L(w(x, t)) = 0.
∀ x ∈ ∂Ω, ∀ t : Bi(w(x, t)) = 0, i = 1... p.
L : opérateur spatial d’ordre p exprimant les diverses forces.Exemples :–Corde de tension uniforme T : L ≡ −c2 ∂2
∂x2 .
–Poutre en flexion : L ≡ EIρS
∂4
∂x4 .
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
NOTIONS DE THÉORIE SPECTRALE
Recherche d’une solution à variables séparées :
w(x, t) = q(t)φ(x).
Problème de Sturm-Liouville :
∀ x ∈ Ω, L(φ(x)) = ω2φ(x)
∀ x ∈ ∂Ω, Bi(φ(x)) = 0, i = 1... p.
Problème aux valeurs propres. Modes propres ⇔ fonctions diagonalisant l’opérateur L. cadre mathématique : théorie spectrale. Solution : infinité dénombrable de modes propres
φ1, φ2, ... et de pulsations propres ω1, ω2, ... .
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
CALCUL DES MODES PROPRES :EXEMPLES
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 1 : POUTRE EN FLEXION
équation locale (modèle d’Euler-Bernoulli) :
∂2w
∂t2= −
EI
ρS
∂4w
∂x4.
Description des conditions aux limites :obtenues comme limites des deux cas suivants :
x=0 x
w(x,t)
K f
x=0 x
w(x,t)
Kr
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
POUTRE EN FLEXION : CONDITIONS AUX LIMITES
Description des conditions aux limites :
x=0 x
w(x,t)
K f
x=0 x
w(x,t)
Kr
EI
[
∂3w
∂x3
]
x=0,t
+Kfw(0, t) = 0 EI
[
∂2w
∂x2
]
x=0,t
+Kr
[
∂w
∂x
]
x=0,t
= 0
En faisant tendre les raideurs vers 0 et ∞, on obtient quatreconditions aux limites standards.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
POUTRE EN FLEXION : CONDITIONS AUX LIMITES encastré :
w(0, t) =∂w
∂x= 0.
libre :∂2w
∂x2=
∂3w
∂x3= 0.
rotulé :w(0, t) =
∂2w
∂x2= 0.
glissant :∂w
∂x=
∂3w
∂x3= 0.
appui glissantrotulé
encastrélibre
(a) (b)
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
POUTRE EN FLEXION : MODES PROPRES
Problème de Sturm-Liouville : équation aux valeurs propres :
∂4φ
∂x4=ρS
EIω2φ.
Solution générale :
φ(x) = a1 cos(kx) + a2 sin(kx) + a3ch(kx) + a4sh(kx),
équation de dispersion :
k4 =ρS
EIω2.
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DéfinitionsExemples
POUTRE EN FLEXION : CAS ENCASTRÉ-LIBRE
cas de la poutre encastrée en x = 0, libre en x = L :
φ(x = 0) =
(
∂φ
∂x
)
x=0
= 0,
(
∂2φ
∂x2
)
x=L
=
(
∂3φ
∂x3
)
x=L
= 0.
condition en x = 0 =⇒ a3 = −a1, et a4 = −a2. condition en x = L :
(cos kL+ chkL) a1+(sin kL+ shkL) a2 = 0,
(sin kL− shkL) a1−(cos kL+ chkL) a2 = 0.
=⇒ cos kL = −1/chkL
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DéfinitionsExemples
POUTRE EN FLEXION : CAS ENCASTRÉ-LIBRE
Résolution graphique et fréquences propres :
0 2 4 6 8 10 12 14 16
−1
0
1
Lk
ωn =
√
EI
ρSk2n
Application numérique : Poutre en aluminium,épaisseur 1 cm, longueur 30 cm.
n 1 2 3 4kn L 1.8751 4.6941 7.8547 10.9955
(3π/2 = 4.7124) (5π/2 = 7.8540) (7π/2 = 10.9956)fn (Hz) 90.7 568.6 1592 3120
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
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DéfinitionsExemples
POUTRE EN FLEXION : CAS ENCASTRÉ-LIBRE Déformées modales :
φn(x) = a1
[
cos knx− chknx+sin knL− shknL
cos knL+ chknL(sinknx− shknx)
]
0
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
POUTRE EN FLEXION : CAS GLISSANT-ROTULÉ Pulsations propres et modes propres :
ωn =
√
EI
ρS
(2n+ 1)2π2
4, φn(x) =
√
2
[
cos knx+cos knL
chknLchknx
]
.
0
0
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
APPLICATION : ACCORD DES BARRES DE VIBRAPHONE barre de vibraphone : poutre libre-libre. vibration de flexion dispersive : fréquences propres non-harmoniques. On peut calculer le profil adapté afin que les premières fréquences
propres aient un rapport harmonique. Exemple ci-dessous (Henrique etAntunes, 2002).
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
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DéfinitionsExemples
EXEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT
x
y
z
H
l
L
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT
x
y
z
H
l
L
Équation locale : ∆φ = 0.
condition aux limites :–bords immobiles :∂φ∂x
∣
∣
∣
x=0
= ∂φ∂x
∣
∣
∣
x=L= ∂φ
∂y
∣
∣
∣
y=0
= ∂φ∂y
∣
∣
∣
y=l= ∂φ
∂z
∣
∣
∣
z=0
= 0.
–surface libre : ∂2φ∂t2 + g ∂φ
∂z
∣
∣
∣
z=H= 0.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT
Solution à variables séparées :φ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)eiωt = A(x)B(y)C(z)eiωt.
L’équation locale montre que : A′′
A + B′′
B + C′′
C = 0, soit :
A′′
A= −
(
B′′
B+C′′
C
)
= −α2
Soit, avec les conditions aux limites en x :
An(x) = a1 cosnπx
L
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT
Idem pour B :B′′
B= α2
−
C′′
C= −β2
Avec les CL en y :
Bm(y) = b1 cosmπy
l
Pour C :C′′
C= α2 + β2 = γ2
La condition au fond en z = 0 impose :
C(z) = c chγz
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT
la condition de surface libre donne les pulsations propres :
ωn,m =√
gγn,mtanh(γn,mH)
Avec :
γn,m =
√
n2π2
L2+m2π2
l2.
Déformées modales :
ψn,m(x, y, z) = cosnπx
Lcos
mπy
lchγn,mz
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT
Déformations de la surface libre :
0
1
2 0
0.5
1−1
−0.5
0
0.5
1
0
1
2 0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2 0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
00.5
11.5
2 0
0.5
1−1
0
1
x y xy
x y xy
mode (2,1)mode (1,0)
mode (2,2) mode (4,2)
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
MODES PROPRES: CALCUL NUMÉRIQUE
Lorsque le problème de Sturm-Liouville n’est pas solubleanalytiquement : Résolution numérique.(méthodes des éléments finis, des différences finies, ...)
Exemple 1 : modes propres de la table d’harmonie d’uneguitare :
181 Hz 289 Hz 309 Hz 448 Hz 532 Hz 586 Hz
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
MODES PROPRES: CALCUL NUMÉRIQUE
Exemple 2 : modes propres d’un moteur Vulcain de fusée Ariane :
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
MODES PROPRES: CALCUL NUMÉRIQUE
Exemple 2 : modes propres d’un moteur Vulcain de fusée Ariane :
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
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DéfinitionsExemples
Exemple 3 : modes propres d’un modèle de cœur humain :
maillage du coeur humain mode 1
mode 2 mode 3
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Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
MODES PROPRES: MESURE EXPÉRIMENTALE
Fort contenu physique de la notion de mode propre :Ils sont facilement mesurables ! Analyse modale (Amphi 5).
A chaque déformée modale est associée une pulsation propre.Si l’on excite le système à cette fréquence : Phénomène de résonance. Seul le mode excité va répondre. Mesure aisée de la déformée modale.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
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DéfinitionsExemples
MODES PROPRES: MESURE EXPÉRIMENTALE
Exemple 1 : Poutre encastrée-libre, mode 2:
0 0.5 1
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
47 48 49
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
x
t [adim]
disp
lace
men
t w
X1 X2
Numerical simulation, model composed of two NNMs
Experimental measurement (Pai & Lee, JSV, 2003)
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT
Illustration expérimentale :
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 3 : GUITARE
Mesure expérimentale par interférométrie holographique,comparée au calcul numérique :
181 Hz 289 Hz 309 Hz 448 Hz 532 Hz 586 Hz
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 4 : PLAQUE CIRCULAIRE À BORD LIBRE
Comparaison théorie/expérience, mesure réalisée à l’UME parvibrométrie laser à balayage.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsExemples
EXEMPLE 5 : ARCHE
Modes propres d’une arche :
R
α
EI, Sρ
(symétrique)mode 1
(antisymétrique)mode 2
“Mesure” expérimentale sur un pont en construction...
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
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DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux
ORTHOGONALITÉ
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux
FORMULATION
Réécriture de la dynamique sous la forme :
∀x ∈ Ω,∂2
∂t2[M(w(x, t))] +K(w(x, t)) = 0
Exemple : Poutre en flexion, section non-uniforme :
∂2
∂t2[ρS(x)w(x, t)] = −
∂2
∂x2
(
EI(x)∂2w
∂x2
)
M : opérateur de masse. K : opérateur de raideur.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux
FORMULATION
Le problème de Sturm-Liouville se réécrit :
∀ x ∈ Ω, K(φ(x)) = ω2M(φ(x)),
∀ x ∈ ∂Ω, Bi(φ(x)) = 0, i = 1... p.
K et M : opérateurs d’ordre au plus p.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux
DÉFINITION D’ UN PRODUIT SCALAIRE
Soit :
< f |g >=
∫
Ω
fgdΩ.
agissant sur l’ensemble des fonctions admissibles. bilinéaire symétrique défini positif c’est un produit scalaire.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux
DÉFINITION : OPÉRATEURS AUTO-ADJOINT
Les opérateurs K et M sont auto-adjoints ssi :
< f |K(g) > =< K(f)|g >,
< f |M(g) > =<M(f)|g > .
Les opérateurs K et M sont définis positifs ssi :
< f | K(f) > ≥ 0, et < f |M(f) > ≥ 0.
< f | K(f) > = 0 =⇒ f = 0.
Si K et M sont définis positifs, on peut définir :
< f |g >K =
∫
Ω
fK(g)dΩ,
< f |g >M =
∫
Ω
fM(g)dΩ.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
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DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux
MODES PROPRES: ORTHOGONALITÉ Soient deux fonctions propres φp et φq ,
de valeurs propres ω2p et ω2
q :
K(φp) = ω2pM(φp),
K(φq) = ω2qM(φq).
Si le problème est auto-adjoint, il vient :
(
ω2p − ω2
q
)
∫
Ω
φqM(φp)dΩ = 0.
Pour des valeurs propres différentes :Les fonctions propres φp et φq sont orthogonales au sens del’opérateur de masse M :
< φp|φq >M = 0
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux
MODES PROPRES: ORTHOGONALITÉ
En reportant dans les équations de départ, il vient :∫
Ω
φqK(φp)dΩ = 0
Les fonctions propres φp et φq sont orthogonales au sens del’opérateur de raideur K.
< φp|φq >K= 0
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux
MODES PROPRES: ORTHOGONALITÉ
Quand p = q :
< φp |φp >M = mp,
< φp |φp >K = kp,
On appelle :–mp la masse modale du mode p.–kp la raideur modale .
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux
MODES PROPRES: NORMALISATION
Normalisation des fonctions propres par rapport à M :
∀ p,
∫
Ω
φpM(φp)dΩ = 1,
fixe la valeurs des constantes multiplicatives. base orthonormée. modes normaux du système .
Soit finalement :
∀ (p, q), < φp |φq >M = δp,q< φp |φq >K = ω2
pδp,q(1)
avec ω2p =
kp
mp.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
Expansion modaleProblème temporelMéthode générale
ESPACE MODAL
Résultats précédents :La famille des modes propres forme une base de projection.
Idée générale : projeter l’EDP sur la base des modes normauxdu système.(Le problème est résolu en espace).
Expansion modale : solution cherchée sous la forme :
w(x, t) =
+∞∑
p=1
Xp(t)φp(x).
Xp(t) : amplitude modale du mode p.
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Projection modaleConclusion
Expansion modaleProblème temporelMéthode générale
MÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION
EDP gouvernant la dynamique :
∀x ∈ Ω,∂2
∂t2[M(w(x, t))] +K(w(x, t)) = p(x, t)
avec p(x, t) : efforts extérieurs. On insère le développement :
w(x, t) =
+∞∑
p=1
Xp(t)φp(x).
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Projection modaleConclusion
Expansion modaleProblème temporelMéthode générale
MÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION
Dans le cas non-normé, il reste :
∀n ≥ 1, mnXn + knXn = Fn(t)
avec Fn(t) la force modale :
Fn(t) =
∫
Ω
p(x, t)φn(x)dΩ.
On est passé d’une EDP à une infinité d’oscillateurs linéairesdécouplés.
Il ne reste plus qu’un problème aux valeurs initiales, simple àrésoudre.
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
Expansion modaleProblème temporelMéthode générale
ESPACEPHYSIQUE
Inconnue : déplacement w(x, t). Dynamique : régie par une EDP
(équation locale).
+ conditions aux limites
+ conditions initiales
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
Expansion modaleProblème temporelMéthode générale
ESPACEMODAL
Inconnues : déplacements modaux (généralisés) : Xn(t). Dynamique : infinité d’oscillateurs linéaires découplés :
m1X1+k1X1 = F1(t)
m2X2+k2X2 = F2(t)
....
mnXn+knXn = Fn(t)
....
+ conditions initiales
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Modes propres : cas généralOrthogonalité
Projection modaleConclusion
Expansion modaleProblème temporelMéthode générale
MÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION
ESPACE MODALESPACE PHYSIQUE
problème :EDP sur w(x,t)+ conditions aux limites+ conditions initiales
PROJECTIONForces généralisées :
n Φn(x)F (t) = < p(x,t) | >
déplacements généralisésX n
Résolutiondu problèmeaux valeurs initiales
X (t)n
MODALERECOMBINAISON
w(x,t)= Σ X (t)n Φn (x)
SOLUTION
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CONCLUSION
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Projection modaleConclusion
CONCLUSION
Milieu fini Formalisme des modes propres. cadre général : problème de Sturm-Liouville. Exemples et généralité du concept. Propriété d’orthogonalité des modes propres. Méthode générale de résolution
Prochain cours : résolution de la dynamique :
Xn + µXn + ω2nXn = Fn(t)
Systèmes discrets.
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