cosmologie relativiste relativité générale principe cosmologique (homogénéité, isotropie)...
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Cosmologie relativiste
relativité générale principe cosmologique (homogénéité, isotropie) fluides parfaits
Modèles de Friedmann-Lemaître
Les équations du champ
• tenseur métrique gab (a, b = 0,
1,2,3) --> symétrique
• intervalle ds :
• équations du champ d’Einstein
Représentation mathématique des univers de Friedmann-
Lemaître
€
ds2 = gabdx adx b
R
ab = tenseur de courbure de Ricci
R = contraction du tenseur de Ricci
Λ = constantecosmologique T
ab = tenseur impulsion-énergie
€
κ ≡8πG
c4≈ 2,07.10−43 kg−1.m−1.s2
€
Rab −1
2Rgab + Λgab = κTab
€
=g00c2dt 2 + 2g01cdtdx + ...+ g11dx 2 + 2g12dxdy + ...+ g22dy 2 + ...+ g33dz2 + ...
A - Homogénéité et isotropie
• homogénéité
• isotropie
Les simplifications cosmologiques
€
ρ(x, t) = ρ(t)observations
Homogénéité : répartition uniforme
quasars
galaxies (Las Campanas survey)
Isotropie : comptage des radiosources
Isotropie
Fond micro-ondes à 2.728 K
A - Homogénéité et isotropie
• homogénéité
• isotropie
==> espace à courbure constante
Les simplifications cosmologiques
€
ds2 = −c2dt2 + R2(t)dr 2
1− kr 2+ r 2(dθ 2 + sin2θdϕ 2 )
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥Métrique FLRW
:
r , θ , ϕ = coordonnées sphériques k = +1 (espace elliptique) k = 0 (espace euclidien) k = - 1 (espace hyperbolique).
k / R
2
( t ) = courbure de l'espace R(t) = facteur d’échelle
€
ds2 = −c2dt2 + R2(t) dχ 2 + f 2(χ )(dθ 2 + sin2θdϕ 2 )[ ],
où r ≡ f (χ ) = sin χ (si k = +1),
χ (si k = 0),
shχ (si k = −1).
Autre forme :
€
ρ(x, t) = ρ(t)
B - Contenu matériel
• fluide parfait
Tenseur
impulsion-énergie :
Coordonnées comobiles :
€
Tab = ρ +p
c2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟uaub + pgab
€
T00 = ρc2
Tαα = gαα p pour α = 1,2,3.
ρ = densité d’énergie p = pression u
a = quadrivecteur-vitesse.
• 3 fonctions inconnues
==> trois relations indépendantes
Les équations de Friedmann-Lemaître
Équation d’état du fluide :
• matière non relativiste (« poussière »)
• matière relativiste (« rayonnement »)
• constante cosmologique (« énergie noire »)
€
˙ R 2
R2=
8πG
3ρ +
Λc 2
3−
kc 2
R2
€
˙ ̇ R
R= −
4πG
3(ρ +
3p
c2)+
Λc2
3
€
p = 0 ⇒ ρ ∝1
R3
€
p =ρc2
3⇒ ρ ∝
1
R4
€
p = −wρc 2
€
p = p(ρ)
(1)(2)(3)
Lemaître (1927)
k=+1
Solutions de Friedmann-Lemaître (1922-1931)
Solutions particulières
€
R =1
ΛE
= const
Univers statique d’Einstein (1917) courbure : + 1 Matière : = const, =0p
Constantecosmologique : Ë Dynamique : non
€
Λ=ΛE
Univers fermé de Friedmann (1922) courbure : +1 Matière : t) variable, p=0 Constante cosmologique : 0 Dynamique : expansion-contraction
Univers ouvert de Friedmann (1924) courbure : - 1 Matière : t) variable, p=0 Constante cosmologique : 0 Dynamique : expansion perpétuelle décélérée
Univers sphérique de Lemaître-Eddington (1927) courbure: +1 Matière : variables Constante cosmologique : Dynamique : expansion perpétuelle accélérée (pas de big bang)
€
ρ(t), p(t)
€
Λ=ΛE
Univers hésitant de Lemaître (1931) courbure: +1 Matière : variables Constante cosmologique : Dynamique : expansion perpétuelle décélérée puis accélérée
€
ρ(t), p(t)
€
Λ > ΛE
Univers euclidien d'Einstein-de Sitter (1932) courbure : 0 Matière : t) variable, p =0 Constante cosmologique : 0 Dynamique : expansi on perpétuelle décélérée
R ( t ) = R
0
3 H
0
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠
2 / 3
, ρ ( t ) =
3 H
2
( t )
8 π G
où R0 et H0 = valeurs actuelles.
Univers à densité sous-critique (~1990) courbure : -1 Matière : t) et p(t) variables Constante cosmologique : 0
Dynamique : expansion perpétuelle décélérée
Univers « provisoirement standard » (2000) courbure : voisine de 0 Matière : t) et p(t) variables Constante cosmologique : oui
Dynamique : expansion perpétuelle accélérée
Variantes exotiques
Univers de de Sitter (1917)courbure : +1Matière : ρ = 0, p = 0Constante cosmologiqu e : oui
Dynamique :
€
R(t) ∝ exp Λ / 3t
(effe t d e laconstant e cosmologiqu)e
Univers oscillatoire d’Einstein-Tolman (1931) courbure : +1 Matière : (t) variable, p = 0
Constantecosmologique : oui Dynamique : cycle perpétuel ’d expansions-
contractions
Modèle de l’état stationnaire (1948) courbure : ±1 Matière : constant + énergie exotique Dynamique : expansion
(création continue)
Paramètres cosmologiques
€
H ( t) ≡˙ R (t)
R(t) Paramètre de Hubble-Lemaître
€
Ωm =8πGρ m
3H 2 Paramètre de densité de matière
€
ΩΛ =Λc2
3H 2 Paramètre de densité d’énergie noire
€
Ω≡Ωm + ΩΛ
€
(1)⇒ Ω =1+kc 2
R2H 2Paramètre de densité
Valeurs d’aujourd’hui :
€
Ω0 =1+kc 2
R02H0
2
€
Ω0 =1⇔ k = 0 (espace euclidien)
Ω0 <1⇔ k < 0 (espace hyperbolique)
Ω0 >1⇔ k > 0 (espace sphérique)
€
Ω0 =ρ 0
ρ crit
€
ρcrit =3H0
2
8πG≈10−29 g /cm3
fermé
ouvert
Modèles de big Modèles de big bangbang
Tests cosmologiques
• Expansion
• Age de l’univers
•Abondances des éléments légers
• Rayonnement de fond
Décalage Décalage vers le vers le rouge !rouge !
Expansion et décalage spectral
€
1 + z ≡λ 0
λ em
=R(t0 )
R(tem)
expansi onË z > 0 décalage vers le rouge
Si z <<1 : z ≈
v
r
c
⇒ v
r
≈ cz ≈ H
0
× d
« Loi de Hubble-Lemaître »
Exemples : • z varie de 0 à ~ 6 pour les galaxies
• z ~ 1100 pour le rayonnement de fond
1929
1995
2004
Pour résumer…
• Effet Doppler: conduit à des paradoxes• Lumière "fatiguée » : conduit à des paradoxes• Expansion de l'univers : explication retenue
N.B. Des mouvements "particuliers" de quelques centaines de km/s s'y superposent, dûs aux différences locales de densité.
€
H0 ≈ 70kms−1Mpc−1
Exemple : les amas de galaxies restent liés
Age de l’univers• âge des étoiles / éléments
(radiochimie, âge des amas globulaires,
refroidissement des naines blanches…) ==> t* ~ 14 - 16 109 ans• âge théorique :
dépend de H0, k, Ω0, Λ
Age et décalage vers le rouge
0 = temps présent
Facteur d’échelle
€
R =R0
1+ z
€
dt =dR˙ R
=R0dz
(1+ z)2
1˙ R
€
˙ R = RH =R0
1+ zH0 f (z)
€
f (z) = Ω0m (1+ z)3 + Ω0
rad (1+ z)4 + Ω0k (1+ z)2 + Ω0
Λ
€
dt =1
H0
dz
(1+ z) f (z)
temps de regard en arrière
€
t(z) =1
H0
dx
(1+ x) f (x)0
z
∫
Âge de l’univers
€
t(z = ∞) =1
H0
F(Ω) ≈14 ×109 années
€
2 ˙ R ̇ ̇ R =8πG
3˙ ρ R2 + 2ρR ˙ R [ ] +
2
3R ˙ R Λ
€
€
dS = 0 ⇒ R3T 3 = const
€
T ∝1
R
Thermodynamique cosmiqueDérivons (1) par rapport
au temps
€
3P ˙ R R2 + 3ρ ˙ R R2 + ˙ ρ R3 = 0
€
Pd(R3) + d(ρR3) = PdV + dU€
˙ ρ R˙ R
+ 2ρ = −(ρ + 3P)
Injectons dans (2):
€
dU = TdS − PdV ⇒ dS = 0
L’expansion de l’univers est adiabatique
€
s(T) =2π
45T 3
• L’essentiel de l’entropie de l’univers se trouve dans le rayonnement
Donc l’univers se refroidit:
€
T ∝1
R∝1+ z
comme
€
R(t)∝ t1/ 2 T ∝ t−1/ 2
Aujourd’hui T ~ 3 K
à t = 1 seconde T = 1 MeV
Fusions nucléaires possibles
Le big bang est chaud
Les éléments légers (D,He, Li) formés dans les 3 premières minutes !
• Composition quasi-identique dans toutes les directions• Domination extrême de l'hydrogène (90% des noyaux) et de l'hélium (10%),les autres éléments ne sont présents qu'à l'état de traces
Abondance des éléments dans l’univers
Gamow : Tous les éléments sont synthétisés lors du big bang.Hoyle : Tous les éléments sont synthétisés dans les étoiles.
€
n + p → D + γ
D + p→3He + γ3He+3He→4He + 2p
...
Nucléosynthèse primordiale & neutrinos
€
Ωbaryons < 0.04€
p + ν e ⇔ n + e+
n + ν e ⇔ p + e−
n ⇔ p + e− + ν e
...
Rayonnement de fond
QuickTime™ et un décompresseurPhoto - JPEG sont requis pour visualiser
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z = z = 11001100
z = 0z = 0
Arno Penzias & Robert Wilson (1965)
Corps noir cosmologique
Projection de Mollweide
T = 2.728 K
Direction du Direction du mouvement : mouvement : plus chaudplus chaud
Plan galactique
DipDipôle : ôle : T +/- 3.353 mK
Plan galactique
DipDipôle soustraitôle soustrait
Fluctuations : 10Fluctuations : 10-5-5 K K
Anisotropies de Température
• COBE/DMR (1992) • WMAP (2003)
T = 2.728 K, fluctuations 10 K
Resolution 7°
Resolution 10’
WMAP (2003)WMAP (2003)
Accélération de l’expansion (1998)
Le contenu en matière/énergie de
l’univers
• Supernovae• Anisotropies du fond diffus• Amas de galaxies, lentilles gravitationnelles
Age : 13,7 ± 0.2 milliards d’annéesPremière lumière : 380 000 ansPremières étoiles : 200 millions annéesTaux d’expansion : H0 = 70 km/s/Mpc
Paramètres de l’univers Paramètres de l’univers (2003)(2003)
Destin:Expansion perpétuelle accéléréeExpansion perpétuelle accélérée
Contenu énergie-matière :• 0,3 % « matière visible » (étoiles)
Courbure:
€
Ω0 =1.11± 0.13
• 4% « matière sombre baryonique » • 24% « matière sombre exotique »• 72% « énergie noire»
La matière sombre
€
Ω0 = Ωm + ΩΛ
~ 1 ~ 0.3 ~ 0.7
€
Ωm = Ωvis + Ωdm
~ 0.30 ~ 0.005 ~ 0.30
€
Ωdm = Ωbar + Ωnbar
~ 0.30 ~ 0.05 ~ 0.25(nucléosynthès
e)
« MACHOs »
« WIMPs »
« chauds »(neutrinos…)
« froids »(axions…)
Evidences pour la matière sombre baryonique
€
Ωbar = Ωdyn
• courbes de rotation des galaxies
• dynamique des amas de galaxies (viriel)
Mirage Mirage gravitationgravitation
nelnel
€
Ωdyn >10 − 30Ωvis
Recherche des MACHOs
• Expériences EROS (1990-1999)
• Nuages moléculaires froids ?
MAssive Compact Halo Objects•Jupiters•Trous noirs• Naines brunes & blanches
Recherche des WIMPs
• Neutralinos (GUT), etc…•Expérience DAMA (Gran Sasso)•Expérience EDELWEISS I (2000-2003) : rien•Expérience EDELWEISS II (2006-) : 100 fois plus sensible
Qu’est-ce que l’énergie noire ?
1. Une vraie constante cosmologiqueLe terme avec la constante cosmologique peut être interprétée comme la densité d’énergie du vide d’équation d’état ΛΛ −= ρp
€
Rab −1
2Rgab = κTab − Λgab
2. Un champ scalaire (Quintessence) variable au cours du temps
3. Energie du vide quantique
4. Dimensions supplémentaires, branes, ?
Problème = Big Rip !
t
ρ
€
ρm ∝ R−3
€
ρΛ =const
décélération
accélération
€
ρΛ >>ρm ⇒˙ R
R
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
≅8πG
3ρ Λ ≡ ω2 = const ⇒ R ∝ eωt
Quel futur pour
l’univers ?
Contenu énergie-matière
aujourd’hui:
72%
28%
MATIERE
Origine de la Origine de la lumièrelumière
Cosmologie et Cosmologie et hautes hautes
énergiesénergies
3 minutes : H, D, He
0,000 000 000 01 sec: bosons W,Z
CERN : LH CERN : LH CollisionnerCollisionner
Unification et cosmologieUnification et cosmologie
Observation des galaxies
Observation micro-ondes
Observation des abondances
Expériences CERN
Modèles théoriques
Limites de la physique
théories
Unification des interactions à grand T
relative
strength
temperature (K)T
2410 28103210
gravity
electromagnetic
weak nuclear
strong nuclear
electroweakGUT
superstrings
Fluctuations Fluctuations primordialesprimordiales
Fluctuations quantiques?Fluctuations quantiques?
Galaxies, Galaxies, amasamas
Origine des Origine des structuresstructures
Inflation• GUT = l’unification des interactions autres que la
gravité (forte, faible, électromagnétique) devrait se produire vers
• Rupture spontanée de symétrie
• Une transition de phase devrait se produire durant l’ère GUT depuis un “faux vide” de densité d’énergie
vers un “vrai vide” avec
• est un champ scalaire tel que
€
ρφ ≈4σT 4
c 3≈1077 kg m−3
327 m kg 106 −−×≈ρ
€
kT ≈1015 GeV ou T ≈1028 K.
Englert, Guth, Linde (1980’s)
€
φ
€
ρφ =1
2˙ ϕ 2 + V ϕ( ) pφ =
1
2˙ ϕ 2 −V ϕ( )
Mécanisme de l’Inflation
• Avec l’ équation de Friedmann-Lemaître (1) devient
• Si R est grand, le terme dominant est:
qui a pour solution à grand t :
€
ρ =ρr + ρ m + ρ v où ρ r = B /a4, ρ m = C /a3, et ρφ = const,
€
1
R2
dR
dt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2
+ kc 2 ⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥=
8πG
3
B
a4+
C
a3+ ρφ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟.
€
1
R2
dR
dt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2
≅8πG
3ρφ ≡ ω2 = const
€
R = Aeωt
• Que vaut ? Estimation faux vide GUT: 10-35 s < t (inflation) < 10-32 s
€
ρφ ≈1077 gcm−3
€
Nombre de e - foldings? (exemple : e200 ≈1086)
€
expansion après inflation
€
expansion avant inflation
€
Très petite valeur de ρφ aujourd'hui.
s 10 35−
€
ère inflatoire
€
ρφ
€
R(t)
t
Prédictions de l’inflation
– (univers “presque plat”) – Homogénéité : toutes les régions du CMB ont été causalement reliées dans le passé
– Absence de monopoles magnétiques– Inflation des fluctuations quantiques ==> Spectre de fluctuations de densité compatibles avec observations CMB
€
Ω ≈1
Horizon et causalité
Suppression des Monopôles magnétiques
Space
Time
Problèmes de l’inflation
– Les modèles d’inflation calculables supposent l’homogénéité au départ!
– Le potentiel est arbitraire. On peut démontrer n’importe quoi! (épicycles)
€
V (φ)
ϕ
( )ϕV
Limites de la physique• Masse, longueur et temps de Planck:
1/ 28
1/ 235
3
1/ 244
5
2.2 10 kg,
1.6 10 m,
5.4 10 s.
P
P
P
cm
G
GL
c
Gt
c
−
−
−
⎛ ⎞≡ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞≡ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞≡ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠
h
h
h
2 ,P PkT m c=
€
TP =1.4 ×1032K
• Temperature de Planck:
• Au temps de Planck, écume d’espace-temps:
• Cosmologie quantique
• Supercordes, Théorie des Branes, M theory
• Théorie des boucles
gravité quantique : différentes approches
• Géométrodynamique quantique
Quantum Gravity
Quantum foam
(J. Wheeler)
Cosmologie quantiqueWavefunction of the
universe : Wheeler-De Witt equation
H(3g,) + R = 0
Solutions approchées dans le « mini-superespace »: • No-boundary solution (Hawking-Hartle)• Inflation chaotique (Linde, Vilenkin)
espace-temps --> superspace
3-geometry
universe worldline(3g) =
QuickTime™ et un décompresseurGIF sont requis pour visualiser
cette image.
Naissance spontanée de l’espace-temps par Naissance spontanée de l’espace-temps par fluctuation spontanée du vide (Linde, fluctuation spontanée du vide (Linde,
Vilenkin)Vilenkin)
Inflation chaotique
Mousse d’univers (multivers)
• Classification des particules
• Supercordes : supersymétrie+Pythagore !
Fermions
6 quarks
3 leptons
3 neutrinos
Bosons
photon
gluon
graviton
3 bosons faibles
supersymétrie
corde fermée
corde ouverte
String theory
Price to pay : extra-dimensions
Closed string
Open string
Veneziano, Green, Schwarz, Witten,
etc.
bulk
Loop quantum gravity
Atoms of space: 10-99 cm3
Spin networkAtoms of time : 10-43
secSpin foam
Ashtekhar, Smolin, Rovelli, Bojowald
Knot theory
Modèles de Pré-Big Bang ?
Gravité classique(singularité)
Gravité quantique ?(pas de singularité ?
Modèle pré-big bang
Trou noir
Big Bang
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