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RR. V - PRINCIPE DE MOINDRE ACTION RELATIVISTE 1. Principe de Hamilton et lagrangien • On suppose ici qu'on peut raisonner pour un point matériel à l'aide de coor-données généralisées {qi} et que le principe de Hamilton peut s'écrire comme en mécanique non relativiste à l'aide d'un “lagrangien” L ({qi}, {qi

•}, t). Pour simplifier l'écriture, on écrira souvent L (q, q•, t) en sous-entendant les sommations sur les différents termes correspondants. • En considérant qu'à deux instants t1 et t2 les positions du système corres-

pondent à q(t1) et q(t2) données, on définit alors l'action : S = L q, q•, t( ) dtt1

t2∫ .

◊ remarque : ici q et q• représentent des fonctions q(t) et q•(t) cherchées. • Les équations du mouvement sont ensuite données par les relations d'Euler-

Lagrange (déduites de δS = 0) : ∂L∂qi

−∂L∂qi

•

#

$%%

&

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•

= 0.

2. Formulation analogue à celle de la mécanique non relativiste 2.1. Point matériel isolé • L'homogénéité et l'isotropie de l'espace imposent que le lagrangien ne dé-pende que de la norme de la vitesse : L = L (v2). • L'invariance par changement de référentiel galiléen impose que l'action soit un scalaire vis à vis de la transformation de Lorentz ; ceci impose une expres-

sion de la forme : S ∝ ds∫ = 1−β2 c dt∫ , avec β = vc

.

◊ remarque : le minimum de l'action correspond ainsi à un mouvement dont la durée propre pour le point étudié est extrémale.

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• Pour les faibles vitesses : c 1−β2 ≈ c - v2

2c doit redonner la limite non

relativiste L ≈ m2

v2.

Or, les lois sont inchangées si on ajoute un terme égal à la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction f(M, t) ; c'est le cas pour toute constante.

On peut donc considérer : L = -mc2 1−β2 et S = -mc ds∫ .

◊ remarque : par construction, ceci concerne une particule matérielle ; la description corpusculaire d'un photon nécessite une étude plus approfondie. 2.2. Impulsion et énergie

• L'impulsion relativiste correspond à : pi = ∂L∂xi•

(avec des coordonnées

cartésiennes) ; ainsi : p

= γ m v

avec γ = 1

1−β2.

• De même qu'en mécanique non relativiste, le hamiltonien peut être défini par : H = pixi•∑ - L = p

• v

- L = γ m c2 = m2c4 + c2p2 (exprimé en fonction de l'impulsion).

Il correspond à l'énergie “massi-cinétique” : E = m2c4 + c2p2 = γ m c2 ; cette quantité est constante pour tout système dont le lagrangien (le hamilto-nien) ne dépend pas explicitement du temps. 2.3. Interaction avec un champ électromagnétique • L'expérience montre que les effets d'un champ électromagnétique peuvent être exprimés à l'aide d'un potentiel scalaire V et d'un potentiel vecteur A

.

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◊ remarque : cela correspond à un quadrivecteur A

= ( Vc

; A

) mais on

considère d'abord ici l'approche calquée sur la mécanique non relativiste. • Pour une particule de charge q, on peut utiliser : S = -mc ds∫ - q Aα dxα∫ = L dt∫ ;

L = -mc2 1−β2 + qA

• v

- qV. ◊ remarque : on retrouve l'analogie avec L = Ec - Ep, où Ep = qV est l’énergie potentielle en électrostatique non relativiste. • On en déduit une impulsion généralisée P

= p

+ qA

, puis pour le hamilto-nien (en fonction de l'impulsion généralisée) décrivant l’énergie “totale” : H = pixi•∑ - L = P

• v

- L = γ m c2 + qV = m2c4 + c2.(P− qA)2 + qV.

2.4. Équations du mouvement • Le mouvement est décrit par les relations d'Euler-Lagrange, qui peuvent ici

s’écrire ceci sous la forme : dP

dt = ∇L = q∇

(A• v) - q∇

V , avec par ailleurs :

∇(A• v) = (v

•∇)A

+ v× (∇×A) (puisque xi et xi

• sont des variables indépen-dantes). En outre, puisque la particule se déplace, la variation de A

en un point fixe

donné est : ∂A

∂t = dA

dt - (v•∇)A

; ceci donne finalement :

dp

dt = qE

+ q v×B

avec E

= -∇V - ∂A

∂t ; B

= ∇×A

.

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3. Formulation quadrivectorielle 3.1. Propriétés de base • Les différences entre les conventions de notation “classique” et quadrivecto-rielle font apparaître des ambiguïtés dans les signes de certaines quantités si on les définit à partir du principe de moindre action. Pour contourner ces difficultés, certains physiciens n’utilisent que les proprié-tés de base du principe de Hamilton. On applique ici cette démarche à l’étude d’une particule chargée en interaction avec un champ électromagnétique fixé.

• Avec Uα = dxα

dτ (où τ est le temps propre), l’action peut s’écrire :

S = -mc ds∫ - q AαUα dτ∫ = -mc ηαβdxαdxβ∫ - q Aα dxα∫ .

Ceci donne :

δS = -mcηαβdxα δ(dxβ)

ηµνdxµdxν∫ - q Aα δ(dxα )∫ = - (mUα + qAα ) d(δxα )∫ .

L'intégration par parties donne :

δS = - (mUα + qAα ) δxα⎡⎣

⎤⎦ + ηαβ

d(mUα + qAα )dσ

δxβ∫ dσ .

Pour des δxα nuls aux extrémités du mouvement :

δS = ηαβd(mUα + qAα )

dσδxβ∫ dσ .

Pour des δxα quelconques durant le mouvement, la condition δS = 0 impose

les équations du mouvement : d(mUα + qAα )dσ

= 0 ; en particulier une quadri-

vitesse constante pour un point matériel isolé : dUα

dσ = 0.

◊ remarque : on paramètre généralement par τ, mais ici un paramètre σ “quel-conque” peut convenir.

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◊ remarque : la description d'un photon nécessite d'utiliser un autre paramètre car d τ = 0 (Uα n’est pas défini) ; la méthode doit être adaptée pour éviter qu'un terme (quel qu'il soit) proportionnel à d τ apparaisse au dénominateur. 3.2. Formulation la plus “simplement ressemblante” • Ceci suggère qu'on peut raisonner en paramétrant par τ et que le principe de Hamilton peut s'écrire à l'aide d'un “lagrangien” L ({xα}, {xα•}, τ), avec

xα• = dxα

dτ = Uα.

Pour un point isolé, on utilise généralement :

L = -mc ηαβUαUβ = -mc2 et S = -mc ηαβU

αUβ dτ∫ . Cette écriture est formelle puisque ηαβU

αUβ = c, mais pour appliquer le principe de Hamilton il faut distinguer la quadri-distance ds (dans l'action), qu’il faut exprimer en fonction des coordonnées, elles mêmes paramétrées éventuellement en fonction de τ (ou s). Pour contourner cette ambiguïté, on peut choisir un paramètre σ “arbitraire”,

en notant L ({xα}, {xα•}, σ) = -mc ηαβU αU β , avec xα• = dxα

dσ = Uα, quitte à

considérer ensuite la limite σ → τ par continuité. • Les équations du mouvement sont ensuite données par les relations d'Euler-

Lagrange (déduites de δS = 0) : ∂L∂xα

− ∂L∂U α

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟•

= 0.

Puisque ∂L∂xα

= 0, ceci donne pour un point matériel isolé :

∂L∂U α = - mcUα

UβU β = -m dxα

dσdσdτ

= -mUα = Cste.

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• Si alors on conserve la méthode de Hamilton pour définir un quadrivecteur

énergie-impulsion, on obtient la grandeur généralisée : Pα = ∂L∂U α = -mUα.

Or l'énergie-impulsion relativiste pα = mUα obtenue précédemment par une autre méthode fait apparaître un signe pour le moins étrange : Pα = -pα (ou l'analogue pour les coordonnées covariantes, car la métrique ηαβ n'influence pas les équations). • Cette étrangeté vient du fait que l'impulsion construite pour et selon les conventions de la mécanique non relativiste ne respecte pas les notations quadrivectorielles.

Quand on écrit : Pi “=” ∂L∂U i (avec i = 1 ; 2 ; 3), on l'interprète comme ce qui

devrait s'écrire : Pi “=” ∂L∂U i avec des indices co/contravariants. Or ceci est

incohérent puisque dans un changement de coordonnées (typiquement une transformation de Lorentz) la grandeur contravariante Pi subit la transforma-

tion inverse de celle pour la quantité covariante ∂L∂U i .

Il faudrait donc adapter la méthode et définir maintenant les “impulsions con-

juguées” par Pi = - ∂L∂U i , correspondant à : P i = ηii Pi = pi = mUi (sans

sommation sur les indices, avec ηii = -1). • Étant donné que η00 = +1, il faut vérifier que le signe est le même pour la

composante P0 = - ∂L∂U 0 (décrite à l'aide du hamiltonien H dans la formula-

tion non quadrivectorielle). En mécanique non relativiste, les notations de Hamilton-Jacobi correspondent à : dS(xi ; t) = -H dt + Σ pi dxi (sans indices co/contravariants). Cela corres-

pond à pi = ∂iS et Hc

= -∂0S.

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La généralisation semble devoir s’écrire : dS(xα) = L dτ = -pα dxα. Ainsi, le cas non relativiste correspondrait en fait plutôt à : pi = - ηij ∂jS (avec indices co/contravariants).

La formulation relativiste peut d'ailleurs s’écrire : dS = -mc ds = -m dxαdτ

dxα

correspondant effectivement à : pα = -∂αS = mUα = - ∂L∂U α .

• Rien n'interdit de raisonner avec les quantités Pα = ∂L∂U α = -mUα même s'il

peut être parfois ambigu de les nommer “impulsions". Après tout, quand on raisonne avec une variable angulaire, l'impulsion généralisée conjuguée est un moment cinétique ; donc le signe étrange rencontré ici n'a en fin de compte rien de rédhibitoire.

• Certains physiciens choisissent alors de conserver la définition pα = ∂L∂U α

mais imposent le signe “usuel” en changeant le signe de l’action (seule la condition d’extremum est utilisée, il suffit de renommer en “principe d’action stationnaire”). Les relations d’Euler-Lagrange ne sont pas modifiées ; seule la limite du lagrangien aux faibles vitesses change de signe par rapport à l’expression non relativiste (mais l’important est surtout la limite des lois du mouvement). • D’autres conservent le signe de l’action, mais choisissent de raisonner avec

l’énergie-impulsion : Pα = pα = - ∂L∂U α = mUα ; c'est ce qui est proposé ici.

• Si on cherche alors une formulation hamiltonienne, il faut l'adapter aux nota-

tions : dL = ∂L∂xα

dxα + ∂L∂U α dUα.

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Compte tenu des équations du mouvement :

∂L∂xα

= ddσ

∂L∂U α = - pα• ;

dL = - pα• dxα - pα dUα = - pα• dxα - d(pαUα) + Uα dpα ; dH = d(pαUα + L) = - pα• dxα + Uα dpα.

On retrouve la formulation hamiltonienne : pα• = - ∂H∂xα

; Uα = ∂H∂pα

.

• Pour un point isolé : H = pαUα + L = mcUαU α

UβU β + L = mc UαU α + L = 0.

Cette relation semble sans intérêt, il est vrai que la grandeur énergie est dans ce cas décrite par p0. ◊ remarque : en choisissant (seulement) maintenant de paramétrer par τ et en utilisant le fait qu'alors L = -mc2, on peut obtenir H = c pαp

α - mc2 qui

donne ∂H∂pα

= cpα

pβpβ

= pα

m = Uα ; le résultat est conforme à ce qu'on

pourrait attendre, mais le “bricolage formel” peut toutefois difficilement être considéré comme totalement satisfaisant. ◊ remarque : certaines difficultés de “transition” à partir du cas non relativiste sont liées à la paramétrisation par τ ; il faut l'utiliser avec circonspection. & exercices n° I, II et III.

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3.3. Interaction avec un champ électromagnétique • Pour une particule de charge q, on peut utiliser : L = -mc UαU α - q AαUβ.

• On en déduit une quadri-impulsion généralisée : Pα = - ∂L∂U α = mUα + q Aα

(correspondant à P

= p

+ q A

). • Les équations d'Euler-Lagrange donnent ensuite les équations du mouve-

ment : dPαdσ

= - ∂L∂xα

= q Uβ ∂αAβ.

Ceci peut s'écrire plus “usuellement” : dPαdτ

= q Uβ ∂αAβ.

• Par ailleurs dPαdτ

= dpαdτ

+ q dAαdτ

; en outre Aα(xβ) ne dépend pas expli-

citement de τ : dAαdτ

= ∂βAα dxβ

dτ.

Finalement les équations du mouvement peuvent s'écrire : dpαdτ

= q Uβ Fαβ

avec un champ électromagnétique Fαβ = ∂αAβ - ∂βAα. ◊ remarque : le tenseur Fαβ comporte 16 composantes ; puisqu'il est antisymé-trique, les composantes diagonales sont nulles et seules six des autres sont indépendantes ; on les note par deux “pseudo-notations tri-vectorielles” : ◊ champ électrique : E

!" = c.(F10 ; F20 ; F30) ;

E1 = -∂1V - ∂A1

∂t = c ∂1A0 - c ∂0A1 ;

◊ champ magnétique : B!"

= (F32 ; F13 ; F21) ; B1 = ∂2A3 - ∂3A2 = ∂3A2 - ∂2A3. ◊ remarque : attention à ne pas confondre l'énergie et le champ E

!".

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3.4. Formulation quadratique

• La formulation relativiste peut s’écrire : dS = -mc ds = -m dxαdτ

dxα peut aussi

s'écrire : dS = -mc ds = -m dxαdτ

dxα

dτdτ.

Ceci suggère d'utiliser un lagrangien quadratique (parfois appelé “lagrangien

géodésique”), paramétré par τ, en ajustant le coefficient : L = -m2

UαUα.

◊ remarque : cette écriture formelle sans radical est plus pratique dans cer-tains calculs.

• Puisque ∂L∂xα

= 0, ceci donne pour un point matériel isolé la quadri-

impulsion : pα = - ∂L∂Uα = mUα = Cste.

• On obtient alors le hamiltonien H = pαUα + L = 12m

pαpα (on peut considé-

rer que H = m2

c2 représente “qualitativement” l'énergie de masse).

Ceci donne ∂H∂pα

= Uα ; les expressions proposées peuvent dont aussi être

utilisées avec la méthode hamiltonienne. ◊ remarque : pour les faibles vitesses, ce lagrangien ne tend pas vers l'ex-

pression non relativiste (facteur 12

) ; toutefois sa forme est analogue (vis à vis

de τ) à celle non relativiste (vis à vis de t), or τ tend vers t pour les faibles vitesses ; c'est pourquoi il est efficace de façon opportuniste. & exercices n° IV, V et VI.

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3.5. Description corpusculaire d'un photon • Le cas d'un photon peut être étudié à partir de celui d'une particule massive, en passant à la limite pour m → 0. Avec la notation quadratique, l'action d'une particule massive peut s'écrire :

S = -mc2

2ds2

dτ2dτ∫ = - 1

2pµ dxµ∫ avec l'impulsion pµ = mUµ = m

1−β2dxµ

dt.

L'indétermination de Uµ provient de la limite β → 1 quand m → 0 ; la limite

pour les photons correspond alors à substituer : m

1−β2 →

�

hνc2

.

Ceci donne : S = - hν2c2

UαU α dt∫ avec Uα = dxα

dt ; donc un lagrangien

L = - hν2c2

UαUα de forme analogue, mais avec une paramétrisation par t.

◊ remarque : pour les particules massives, le lagrangien peut être choisi afin de déterminer les variations des xi(t) ; l'usage de notations invariantes relati-vistes conduit à étudier les xα(s), non indépendantes puisque reliées par l'expression ds2 ; toutefois, on ne fait ainsi qu'introduire une équation de plus avec une inconnue de plus : il faut déterminer

�

ds∫ ; pour les photons, il n'y a

pas cette inconnue supplémentaire puisque

�

ds∫ = 0, par contre la contrainte supplémentaire impose d'utiliser la variable t pour paramétrer. ◊ remarque : seule la méthode quadratique permet de décrire les photons ; elle s'adapte à la relativité générale, mais avec un paramètre différent de t. ◊ remarque : on peut s'inquiéter du fait que la paramétrisation par t brise

l'invariance relativiste, mais la formulation S = - 12

pµ dxµ∫ la respecte.

12

• Puisque ∂L∂xα

= 0, ceci donne pour un photon la quadri-impulsion :

pα = - ∂L∂U α =

�

hνc2Uα = Cste.

• On obtient par ailleurs le hamiltonien H = pαUα + L = c2

2hνpαpα.

Ceci donne ∂H∂pα

= Uα ; pα• = - ∂H∂xα

= 0 ; les expressions proposées sont

donc conformes à l'usage “classique”. & exercice n° VII.