caractérisation de la physique des structures en béton
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Caractérisation de la vulnérabilité
physique des structures en béton armé
à l'aide d'approches numériques
Projet ANR MOPERA
Session de formation : « Méthodes statistiques pour la gestion à long terme du risque avalanche »
D. Bertrand – Maître de Conférences à l’INSA de Lyon
Laboratoire LGCIE (Labo. de Génie Civil et Ingénierie Environnementale)
P. Favier et I. Ousset – Doctorantes Irstea/INSA
N. Eckert – Chargé de Recherches Irstea
M. Naaim – Dir. de Recherches Irstea 1
Plan
• Contexte – La « mesure » du risque
– Caractérisation de l’aléa et de la vulnérabilité de l’enjeu exposé
• Le béton armé – Description physique et mécanique
• Les approches de modélisation – « Ingénieur GC » : BAEL ou EC2
– Equivalence Masse-ressort
– Méthode des Eléments Finis (FEM)
• Récapitulatif/Conclusion
2
Contexte
3 La « mesure » du risque
Analyse de l’aléa Analyse de la vulnerabilité
de l’enjeu
Analyse du risque
Contexte
4 La « mesure » du risque
Mécanique des fluides : modèles
de propagation (cf. M. Naaim)
Analyse de la vulnerabilité
de l’enjeu
Analyse du risque
Contexte
5 La « mesure » du risque
Mécanique des fluides : modèles
de propagation (cf. M. Naaim)
Mécanique des structures : objet de
l’intervention
Analyse du risque
Contexte
6 La « mesure » du risque
Mécanique des fluides : modèles
de propagation (cf. M. Naaim)
Mécanique des structures : objet de
l’intervention
Méthodes statistiques :
Théorie statistique du risque (cf. N. Eckert, / P. Favier)
Fiabilité des structures (cf. P. Favier)
Contexte
7 L’aléa : l’avalanche de neige
Champ de pression
Avalanche multi-couches Interaction avec un obstacle
Interface
Méca. Flu. / Méca. Struct.
Contexte
8 L’aléa : mesures expérimentales in-situ
Sovilla et al. (2007)
Profil de pression suivant
la hauteur – Evolution
dans le temps
Temps (s)
Hau
teu
r (m
)
Schaer et Issler (2001)
Evolution temporelle de la
pression sur un mât de 20m
20
m 1
2
Pre
ssio
n (
kP
a)
Mesures in-situ très utiles pour le choix du profil de
pression a appliquer mais restant encore trop peu
nombreuses pour être utilisées de manière statistique
Hypothèse de calcul : champ de
pression uniformément réparti
(sens de la sécurité) et temps
caractéristiques de variation
moyens respectés
Thibert et al. (2008)
Contexte
9 Les enjeux et leurs vulnérabilités
- Technologie de structure (elements
structuraux, assemblage, etc.)
- Properties mécaniques des matériaux utilisés
Maçonnerie
Béton armé
Structures métalliques
Structures bois
Exemple de structures
de bâtiment
Contexte
10 Exemple de structures en béton armé
Structures de protection Structures “non conventionnelles”
Structures de bâtiment
Le béton armé
11 Aspects physiques et mécaniques
Un essai de flexion décrivant la phénoménologie
Poutre BA
Armatures en
acier
Béton
Fissures
Le béton armé
12 Aspects physiques et mécaniques
Un matériau composite
Réponse du béton
Réponse de l’acier
Traction simple Compression simple
fc ≈ 10 ft (comportement
dissymétrique) fc= ft=
Traction / Compression simple
(comportement symétrique)
fu fy
fy ≈ 400 MPa
Le béton armé
13 Structure de bâtiment usuelle
Le béton armé
14 Classes d’éléments structuraux
Poutre Poteau
Dalle/Plancher
Voile/Refend
Le béton armé
15 Réponse mécanique usuelle d’un élément BA
Déplacement
Fo
rce
Phase 1 : Etat non fissuré
Phase 3 : Ecoulement
plastique des aciers
Phase 2 :
Développement de la
fissuration
Force
Déplacement dd1 dd2 dd3 dd4
Le béton armé
16 Définition de la vulnérabilité structurelle dans MOPERA
Courbe de capacité de la structure (ou PUSHOVER)
Identification de niveaux de dommage (dd1, dd2, dd3, etc.)
en fonction du déplacement atteint (dmax)
Définition d’un indice de dommage (dmax/ ddi)
17 Choix de l’objet d’étude
Voile BA qui « fonctionne » comme une dalle BA en
flexion simple (i.e. Moments de flexion et Tranchants # 0)
Approches de modélisation
18 Mode de ruine supposé
Chargement réparti + élancement des dalles considérées :
Mode de ruine en flexion est privilégié
=> dépassement des moments fléchissant admissibles
Réponse en flexion
(poutre « longue »)
Réponse en cisaillement
(poutre « courte »)
Approches de modélisation
Fissures
19 Définition des grandeurs
Approches de modélisation
Données nécessaires à chaque approche de
modélisation
- Géométrie de la dalle
- Pression de chargement (uniformément répartie)
- Conditions aux limites
- Caractéristiques mécaniques du béton et de l’acier
y
x
z
P
h
20 Définition des grandeurs
Approches de modélisation y
x
z
P
h
Données nécessaires à chaque approche de
modélisation
- Géométrie de la dalle
- Pression de chargement (uniformément répartie)
- Conditions aux limites
- Caractéristiques mécaniques du béton et de l’acier
21 Définition des grandeurs
Approches de modélisation y
x
z
P
h
Données nécessaires à chaque approche de
modélisation
- Géométrie de la dalle
- Pression de chargement (uniformément répartie)
- Conditions aux limites
- Caractéristiques mécaniques du béton et de l’acier
22 Définition des grandeurs
Approches de modélisation y
x
z
P
h
Données nécessaires à chaque approche de
modélisation
- Géométrie de la dalle
- Pression de chargement (uniformément répartie)
- Conditions aux limites
- Caractéristiques mécaniques du béton et de l’acier
Béton Acier
s
e e
s
23
Approche « Ingénieur GC »
Méthode - Calcul des efforts internes (Mxx et Myy)
- Localisation des moments de flexion maximaux (abaques : Pigeaud, Pücker, Bares (1969), etc.)
- Vérification de la résistance par équilibre de sections
Hypothèses - Conditions statiques
- Estimation des moments de flexion à partir d’une analyse élastique
Méthodologie
24
Approche « Ingénieur GC »
Méthode - Calcul des efforts internes (Mxx et Myy)
- Localisation des moments de flexion maximaux (abaques : Pigeaud, Pücker, Bares (1969), etc.)
- Vérification de la résistance par équilibre de sections
Approche classique de l’ingénieur (BAEL / EC2)
25
Approche « Ingénieur GC »
Méthode - Calcul des efforts internes (Mxx et Myy)
- Localisation des moments de flexion maximaux (abaques : Pigeaud, Pücker, Bares (1969), etc.)
- Vérification de la résistance par équilibre de sections
Equilibre de sections
Exemple de l’abaque de Barès (1969)
26
Approche « Ingénieur GC »
Méthode - Calcul des efforts internes (Mxx et Myy)
- Localisation des moments de flexion maximaux (abaques : Pigeaud, Pücker, Bares (1969), etc.)
- Vérification de la résistance par équilibre de sections
Equilibre de sections
x y
Mxx
Exemple avec une poutre soumise à un moment fléchissant Mxx
Vérif : Es-ce que Mxx est équilibré par la distribution de contraintes sxx ?
exx sxx / Forces
27
Approche « Ingénieur GC » Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée
à un mécanisme de rupture (analyse « parfaitement » plastique)
Théorie des lignes de rupture
P
Cas d’une
poutre en acier
28
Approche « Ingénieur GC » Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée
à un mécanisme de rupture (analyse « parfaitement » plastique)
Théorie des lignes de rupture
P
Développement d’un
moment plastique (Mp)
Cas d’une
poutre en acier
29
Approche « Ingénieur GC » Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée
à un mécanisme de rupture (analyse « parfaitement » plastique)
Théorie des lignes de rupture
P
Moment plastique
totalement développé
Cas d’une
poutre en acier
30
Approche « Ingénieur GC »
Théorie des lignes de rupture
Détermination de la charge ultime :
Wextérieur = Wintérieur P du = Mp q
où
- Mp est le moment plastique de la section
du le déplacement de la charge par rapport à sa position initiale
Exemple d’une rotule
plastique dans de l’acier
C’est un terme abusif
car la rotation n’est pas
libre (Mp = cte # 0)
Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée
à un mécanisme de rupture (analyse « parfaitement » plastique)
P
Moment plastique
totalement développé
31
Approche « Ingénieur GC »
Théorie des lignes de rupture
Appuis simples
Encastrement
Ligne de rupture « positive »
Ligne de rupture « négative »
Axes de rotation
Côté libre
Poteau
Axes de rotation
32
Approche « Ingénieur GC »
Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée
à un mécanisme de rupture (analyse « parfaitement » plastique)
Théorie des lignes de rupture
Théorème cinématique : Toute charge de ruine Qi à laquelle correspond un
mécanisme de ruine cinématiquement admissible est
supérieure ou égale à la charge ultime réelle Qu
Exemple :
optimisation par
rapport à a1
33
Approche « Masse-Ressort»
Méthode MR
Dalle simplement
appuyée
Champ de pression
dû à l’avalanche
h
b
y x
z
L/2 0
L x y
Avantages - Calcul dynamique
- Prise en compte des effets d’inertie potentiels
- Description dans le temps du chargement (P(t))
Inconvénients - Conditions aux limites réduites
- Problèmes 3D plus complexe à traiter
p(t)
p(t) L
34
Approche « Masse-Ressort»
Equivalence Masse-Ressort
L/2 0
L x y
p(t)
p(t) L
y
wo
Keq
Meq
Fext(t) = p(t) L
R
Meq wo
Equilibre mécanique
Meq wo = p(t) L – R
à résoudre dans le temps
35
Approche « Masse-Ressort»
Calcul de la masse équivalente
avec
dans le cas élastique
Exemple du cas élastique
Equivalence en termes d’énergie cinétique
36
Approche « Masse-Ressort»
Deux régimes principaux : Elastique et plastique
Extrait de
Biggs et al.
(1964)
37
Approche « Masse-Ressort»
Réponse supposée en Force-Déplacement
Deux régimes principaux
(Elastique et plastique)
Hypothèse : Courbe
Force-Déplacement
bilinéaire en statique
Force / Depl. sortie du domaine élastique
Force / Depl. ultime
Raideur en phase élastique
Raideur en phase plastique
38
Approche « Masse-Ressort»
Déduction a partir de la loi Moment-Courbure
En phase élastique
En statique
avec
Courbe construite à partir d’équilibre de la
section et des lois de comportement de l’acier
et du béton
En phase élasto-plastique
avec
5
384
39
Approche « Masse-Ressort»
Construction de la loi Moment-Courbure
Acier
Béton
eexc
z
dh
di
y
Fi
eexc
exx
sxx
Ea Ea
fy
Acier
exx
sxx
Eb
fc
Béton
ft supposée
nulle
es
ec
0
y
y
exx(y)
Compression Traction
xy
d h/2
Calcul des forces :
Discrétisation de la section Distribution de
déformations longitudinales
40
Approche « Masse-Ressort»
Equations du mouvement
Pour
Pour
(Phase élastique)
(Phase élasto-Plastique)
Equations différentielles résolues dans le temps à l’aide de
schémas d’intégrations de Newmark.
41
Approche « Masse-Ressort»
Illustration
Tfin
42
Approche « Masse-Ressort»
Illustration
Tfin=100s Tfin=10s
Tfin=1s Tfin=5s
Réponse dynamique Réponse plutôt dynamique
Réponse plutôt Quasi-statique Réponse Quasi-statique
Approche « Eléments finis »
43 Exemples FEM (Finite Element Method)
Contact de billes sur un arbre
Crash test auto
Simulation de la dent
déflectrice de Taconnaz
Structure de Bâtiment type
« Poteaux - Poutres »
Approche « Eléments finis »
44 Exemple de l’élasticité plane – Equations du problème
Equation d’équilibre
local en statique
Loi de comportement
Conditions aux limites
Approche « Eléments finis »
Forme variationnelle et discrétisation plane 45
Approche « Eléments finis »
46 Résolution élémentaire
Pour un élément e définis par le domaine we, on peut
écrire pour tout point M :
M
ième
composante
du champ
Nœuds de
l’élément
Valeur au nœud a de la composante i du
déplacement.
Fonction de forme (ou d’interpolation)
Approche « Eléments finis »
47 Exemple de fonction d’interpolation pour un TRI3
Fonctions de
forme linéaires.
Approche « Eléments finis »
48 Ecriture du système à résoudre
Sommation sur l’ensemble des éléments puis
obtention du système linéaire à résoudre
REMARQUE : Dans un problème de dynamique, apparaissent les
matrices de masse et d’amortissement (si considéré).
Approche « Eléments finis »
49 En Dynamique !!! Et avec les NL matérielles !
Où q / q / q sont les déplacements/vitesses/accélérations
des nœuds du maillage à l’instant n+1
En plus, en fonction du problème, prise en
compte des non linéarités : - Géométriques (grands déplacements/déformations)
- Matériau (plasticité / endommagement / etc.)
- Contact
Approche « Eléments finis »
50 Application aux cas des avalanches : Dent de Taconnaz
Approche « Eléments finis »
51 Modèle réduit (1/6) expérimental d’une dent de Taconnaz
Approche « Eléments finis »
52 Application aux cas des avalanches : Dent de Taconnaz
Eléments finis utilisés
Acier : SEG2
Beton : QUA8
Approche « Eléments finis »
53 Lois de comportement Acier et Béton (Exemple loi CEA)
Acier Béton
Surface de charge
Réponse uniaxiale Réponse uniaxiale
Surface de charge
Approche « Eléments finis »
54 Comparaison FEM / Expérience
Zones dégradées
Paramètres de simulation
Réponse de PUSHOVER
Approche « Eléments finis »
55 Effet du taux de renforcement sur la vulnérabilité de la structure
dmax : déplacement max. pour une pression donnée
du : déplacement max. ultime
Approche « Eléments finis »
56 Structure de bâtiment type « Poteaux-Poutres »
2.75m
3m
3m
3m
Poteau
Poutre
Pression
P(t)
GP4P3
GP4P2
GP4P1
GP4P0
GP7P3
GP7P2
GP7P1
GP7P0
LP43
LP42
LP41 LP71
LP72
LP73
Approche « Eléments finis »
57 Structure de bâtiment type « Poteaux-Poutres »
Section de poutre avec dalle
collaborante
Section de poteau
Béton
25cm
25cm
25cm
f13
Armature
d’acier
35cm
50cm
26.25cm
f8
f12
Approche « Eléments finis »
58 Structure de bâtiment type « Poteaux-Poutres »
Réponse Quasi-Statique (vitesse de sollicitation très faible)
Chargement appliqué
par une pression
évoluant de manière
linéaire et monotone
2
Approche « Eléments finis »
59 Effet de la vitesse de chargement en dynamique
Vitesse de chargement
augmente =>
développement
d’effets inertiels
Hypothèses de calcul fonction des temps caractéristiques de réponse de la structure et de
l’évolution dans le temps de la pression due à l’avalanche
Pression
Temps
tfin
Pmax =
60kPa
Récap. / Conclusion
60 Ce qu’il faut retenir
• Risque = Aléa x Vulnérabilité
• Vulnérabilité physique de structures de bâtiment ou de protection
en béton armé
• Plusieurs modèles plus ou moins sophistiqués disponibles
Equilibre de sections / Lignes de rupture
Modèle Masse-Ressort
Modèle éléments finis
• Courbes de vulnérabilité via des courbes de PUSHOVER
• Cadre statistique : estimation de la probabilité de défaillance via des
courbes de fragilité
Notion de fiabilité (cf. P. Favier)
Faisabilité des simulations : Adéquation nécessaire entre méthode fiabiliste et
modèles déterministes
Merci pour votre attention !
Des questions ?
ANR MOPERA
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