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Bton prcontraint
Cours et exer cices
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Sommaire I
INTRODUCTION GENERALE .................................................................................................... 01
CHA P I : G E NE RA LI TE S SUR LA P RE CONTRA INTE
1. INTRODUCTION .....................................................................................................................04
2. PRINCIPE DE LA PRECONTRAINTE..................................................................................... 043. MODES DE LA PRECONTRAINTE ......................................................................................... 05
3.1. Prcontrainte par pr tension............................................................................................05
3.2. Prcontrainte par post tension ..........................................................................................06
3.3. Comparaison des deux procds ...................................................................................... 08
4. AVANTAGES ET INCONVENIENTS ........................................................................................ 09
4.1. Avantages...........................................................................................................................09
4.2. Inconvnients .....................................................................................................................09
5. SYSTEMES DE PRECONTRAINTE .........................................................................................09
6.DOMAINE DAPPLICATION .................................................................................................. 09
7. REGLEMENTS .........................................................................................................................10
8. APPLICATIONS .......................................................................................................................10
C H A P I I : C AR A CT E RI ST I Q U E S D E S M A T E R I A U X
1. CARACTERISTIQUES MECANIQUES : BETON ....................................................................16
1.1. Qualits requises................................................................................................................16
1.2. Rsistance la compression .............................................................................................. 16
1.3. Rsistance la traction......................................................................................................16
1.4. Dformations longitudinales instantanes.........................................................................17
1.5. Diagramme contrainte dformation ..................................................................................17
1.6. Dformations diffres.......................................................................................................18
2. CARACTERISTIQUES MECANIQUES : ARMATURES ..........................................................22
2.1. Armatures passives ...........................................................................................................22
2.2. Armatures actives .............................................................................................................23
3. APPLICATIONS .......................................................................................................................27
C H A P I I I : SO L L I C I T A T I O N S E T SE CT I O N S D E C AL C U L
1. PRINCIPE DE JUSTIFICATION .............................................................................................30
1.1 Etat limite ultime (ELU) .................................................................................................... 30
1.2 Etat limite de service (ELS) ............................................................................................... 30
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Sommaire II
2. ACTIONS...................................................................................................................................30
2.1. Dfinition .......................................................................................................................... 30
2.2. Types dactions .................................................................................................................30
2.3. Valeurs reprsentatives des actions ..................................................................................31
3. SOLLICITATIONS.....................................................................................................................32
3.1. Dfinition .......................................................................................................................... 32
3.2. Sollicitations de calcul lELU ........................................................................................32
3.3. Sollicitations de calcul lELS .........................................................................................33
3.4. Valeurs de i.....................................................................................................................33
3.5. Charges routires ..............................................................................................................34
4. SECTIONS DE CALCUL ..........................................................................................................38
4.1. Caractristiques gomtriques des sections ....................................................................39
4.2. Types de sections ..............................................................................................................40
5. APPLICATIONS .......................................................................................................................42
CHA P IV : P E RTE S DE P RE CONTRA INTE
1. DEFINITION ............................................................................................................................49
2. TYPES DE PERTES .................................................................................................................49
3. TENSION A LORIGINE .........................................................................................................49
4. PERTE DE TENSION (POST - TENSION) .............................................................................49
4.1. Pertes de tension instantanes ..........................................................................................49
4.2. Pertes de tension diffres .............................................................................................. 53
5. APPLICATIONS .......................................................................................................................55
C H A P V : D I M E N SI O N N E M E N T D E L A P RE CO NT R AI N T E
1. OBJECTIF DU DIMENSIONNEMENT ...................................................................................60
2. DIAGRAMME DE VERIFICATION .........................................................................................60
3. DONNEES DE BASE ..............................................................................................................61
4. APPROCHE DE LA PRECONTRAINTE ................................................................................ 61
4.1. Cble moyen fictif ..............................................................................................................61
4.2. Centre de pression ............................................................................................................62
4.3. Noyau limite ......................................................................................................................62
4.4. Excentricit du cble moyen fictif......................................................................................63
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Sommaire III
5. FUSEAU DE PASSAGE ......................................................................................................... 64
6. NOTION DE SECTION CRITIQUE .........................................................................................64
6.1. Section sous critique .........................................................................................................64
6.2. Section critique ................................................................................................................. 64
6.3. Section sur critique ............................................................................................................64
7. EVALUATION DE LA PRECONTRAINTE ..............................................................................65
7.1. Cas de section sous critique et critique .............................................................................65
7.2. Cas de section sur critique ................................................................................................65
7.3. Cas particulier ..................................................................................................................66
8. SECTION MINIMALE DE BETON ......................................................................................... 66
8.1. Cas de section sous critique et critique .............................................................................66
8.2. Cas de section sur critique ................................................................................................67
9. APPLICATIONS .......................................................................................................................67
C H A P V I : J U ST I F I C AT I O N D E S SE C TI O N S C OU R AN T E S
1. JUSTIFICATION VIS A VIS DES SOLLICITATIONS NORMALES.........................................71
1.1. Justification lELS ..........................................................................................................71
1.2. Justification lELU .........................................................................................................74
2. JUSTIFICATION VIS A VIS DES SOLLICITATIONS TANGENTES ......................................75
2.1. Justification lELS ..........................................................................................................76
2.2. Justification lELU .........................................................................................................77
2.3. Justification du bton ....................................................................................................... 79
3. DISPOSTIONS CONSTRUCTIVES ..........................................................................................79
4. APPLICATIONS .......................................................................................................................81
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ........................................................................................ 85
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Introduction gnrale 1
I ntroduction gnral e
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Introduction gnrale 2
L 'ide de soumettre le bton un effort de compression permanent lui permettant
de travailler en flexion sans qu'il n'en rsulte de traction avait t mise ds la fin
du XIXme sicle. Sa ralisation s'tait cependant heurte aux proprits mcaniques
insuffisantes des aciers de l'poque, ainsi qu'aux consquences mal matrises
des dformations diffres du bton soumis des efforts permanents importants.
C'est seulement la fin des annes 1920 que les progrs dans la fabrication des aciers
durs et une meilleure connaissance du comportement diffr du bton ont permis
Eugne F r eyssinet de mettre au point le bton prcontraint, dans lequel les efforts
de compression permanents sont obtenus l'aide d'armatures en acier fortement tendues.
Dans un lment en bton arm, l'armature en acier est destine se substituer
entirement au bton dans les zones tendues, lorsque celui-ci se fissure par suite
d'allongement. Sous charge, les allongements communs des armatures du bton
deviennent trop grands, le bton se fissure (micro fissures), l'acier supporte alors seul
tout l'effort de traction. Dans un lment poutre en bton prcontraint, l'acier
prcontraint quilibre les efforts des charges extrieures et vite ainsi au bton de se
fissurer sous les charges d'exploitation. La compression initiale introduite grce la
prcontrainte des poutres s'oppose aux tractions engendres par les charges
et surcharges appliques.
Par rapport aux bton arm classique, le bton prcontraint comporte un ajout de cble
permettant de raliser des structures beaucoup plus lgres, donc de trs grande porte,
l ou le bton arm se serait croul sous son propre poids.
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 3
Gnrali ts sur la prcontrainte
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 4
1. INTRODUCTION
Le bton est un matriau htrogne qui prsente une trs bonne rsistance
la compression, par contre, il a une trs mauvaise rsistance la traction.
Cest ainsi quune poutre reposant sur deux appuis, soumise leffet de son poids
propre (G) et dune charge dexploitation (Q) , subit des contraintes de flexion qui se
traduisent par une zone comprime en partie suprieure et par une zone tendue en partie
infrieure (Figure I.1).
FigureI.1
La poutre subit galement des contraintes de cisaillement dues aux efforts tranchants qui
se produisent vers les appuis. Ces contraintes occasionnent des fissures 45 que
le bton ne peut reprendre seul.
Dans ce cas de figure, deux solutions sont possibles :
Solution N1: Lajout dune quantit darmatures capable de reprendre les efforts de
traction dans le bton (Principe du bton arm).
FigureI.2
Solution N2 : Lapplication dun effort de compression axial qui soppose
aux contraintes de traction dues aux chargements (Principe du bton prcontraint).
FigureI.3
2. PRINCIPE DE LA PRECONTRAINTE
La prcontrainte a pour objectif, en imposant aux lments un effort de compression axial
judicieusement appliqu, de supprimer (ou fortement limiter) les sollicitations de traction
dans le bton (Figure I.4).
G,Q
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 5
FigureI.4
Cette prcontrainte peut tre :
Une prcontrainte partielle : autorisation des contraintes de traction limites.
Une prcontrainte totale : limination totale des contraintes de traction.
3. MODE DE PRECONTRAINTE
Pour raliser lopration deprcontrainte, il existe deux possibilits.
3.1. Prcon tr ai nte par pr -tension
Dans ce procd, les cbles de prcontrainte sont tendus entre deux massifs solidement
ancrs avant le coulage du bton (Figure I.5). Cette technique est surtout employe sur
les bancs de prfabrication, pour raliser des lments rptitifs.
FigureI.5
G,Q
Effet de la flexion + Effet de la prcontrainte = Elment prcontraint
P P
Com ression
ise en tension
Coulage du bton
Libration des cbles
Poutre prcontrainte
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 6
Etapes gnral es de ral isation
Mise en tension des cbles.
Coulage du bton.
La libration des cbles aprs le durcissement du bton.
Par adhrence, la prcontrainte de compression est transmise au bton.
Dune faon plus dtaille, la mthode de prcontrainte par pr-tension suit les cycles
suivants :
nettoyage des moules ;
mise en place dhuile de dcoffrage sur les moules ;
droulement des armatures actives et blocage aux extrmits dans des plaques ;
mise en place des armatures passives ;
mise en place des moules dans leur position finale;
mise en place des dviateurs ventuels ;
mise en tension des armatures par des vrins ;
mise en place du bton par pont- roulant ou grue ;
lissage de la partie suprieure ;
vibration du bton ;
tuvage ou chauffage du bton ;
dcoffrage ;
d-tension des armatures actives ;
dcoupage des fils situs entre deux lments prfabriqus ;
manutention et stockage.
3.2. Pr contrainte par post-tension
Ce procd consiste tendre les cbles de prcontrainte, aprs coulage et durcissement
du bton, en prenant appui sur la pice comprimer (Figure I.6). Cette techniqueest utilise pour les ouvrages importants est, gnralement, mise en ouvre sur chantier.
La prcontrainte par post tension se prsente sous deux formes :
Une prcontrainte par post-tension interne
Une prcontrainte par post-tension externe
Etapes gnral es de ral isation
Placement des gaines dans le coffrage.
Coulage du bton.
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 7
Aprs le durcissement du bton, la mise en tension des cbles.
Le blocage se fait par diffrents systmes de cales sur une zone de bton frett.
Linjection dun coulis de ciment.
FigureI.6
La mise en tension peut tre faite en tendant lacier aux deux extrmits de la pice
(actif - actif) ou en tendant une seule extrmit uniquement (actifpassif) (Figure I.7).
FigureI.7
Linjection est une opration extrmement importante, car elle assure un double rle:
1) La protection des armatures de prcontrainte contre la corrosion.
2)Lamlioration de ladhrence entre les armatures et les gaines.
Lopration de linjection doit tre ralise ds que possible aprs la mise en tension
des armatures. Le produit dinjection doit rpondre aux impratifs suivants:
avoir une assez faible viscosit pour couler facilement et pntrer dans toutes
les ouvertures et entre fils des cbles de prcontrainte ;
conserver cette faible viscosit pendant un dlai suffisant pour que linjection puisse
seffectuer dans de bonnes conditions avant le dbut de prise;
aprs durcissement, avoir une rsistance suffisante pour assurer efficacement
ladhrence de larmature au bton ;
prsenter un retrait minimal ;
ne pas tre agressif vis-vis de lacier de prcontrainte.
Placement des gaines
Coulage du bton
ise en tension
Poutre prcontrainte
Actif - Actif
Actif - Passif
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 8
Le produit dinjection tait autrefois un mortier form de ciment, de sable et de leau;
aujourdhui le sable est peu prs compltement abandonn, au profit de coulis
de ciment CPA, comportant un adjuvant.
Lensemble dun procd de prcontrainte comprend, gnralement, les lments
suivants :
a)- Dispositif dancrage:on distingue, principalement, deux types dancrage:
Ancrage actif, situ lextrmit de la mise en tension.
Ancrage passif (ancrage mort), situ lextrmit oppose la mise en tension.
b)- L es coupleur s :dispositif permettant les prolongements des armatures.
c)- M atriels de mi se en tension : vrins, pompes dinjection, pompe dalimentation
des vrins etc.
d)- Les accessoir es :gaines,tubes dinjection etc.
3.3. Comparai son des deux pr ocds
Une comparaison entre les deux procds (post-tension et pr-tension) permet
de constater les observations suivantes :
Pr-tension
1)Lconomie des gaines,des dispositifs dancrage et de lopration de linjection.
2) La ncessite des installations trs lourdes ce qui limite, par voie de consquence,
le choix des formes.
3) La simplicit de la ralisation du procd.
4) Une bonne collaboration du bton et des armatures.
5)La difficult de ralisation des tracs courbes darmatures.
6)Limpossibilit de rgler leffort dans les armatures aprs la mise en tension.
Post- tension
1) Ne demande aucune installation fixe puisque ; cest sur la pice elle mme que
sappuie le vrin de prcontrainte.
2) Elle permet le choix des diffrentes formes.
3) La possibilit de rgler leffort de prcontrainte, ce qui permet dadapter le procd
lvolution de la masse de louvrage.
4)La facilit de ralisation des tracs courbes darmatures deprcontrainte.
A ct de ces procds classiques, il existe des procds spciaux qui sont rservs
certainsouvrages ou qui font appel dautres principes pour la mise en tension :
Prcontrainte par enroulement
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 9
Prcontrainte par compression externe
Mise en tension par dilatation thermique
Mise en tension par expansion du bton
4. AVANTAGES ET I NCONVENI ENTS
4.1. Avantages
1) Une compensation partielle ou complte des actions des charges.
2) Une conomie apprciable des matriaux.
3) Augmentation des ports conomiques.
4) Une rduction des risques de corrosion.
4.2. I nconvnients
1) La ncessit de matriaux spcifiques.2)La ncessit de main duvre qualifi.
3)La ncessit dquipements particuliers.
4) Risque de rupture vide par excs de compression.
5) Un calcul relativement complexe.
5. SYSTEMES DE PRECONTRAINTE
Les systmes de prcontrainte font lobjet de brevet et sont fabriqus par leurs
exploitants. Les principaux systmes sont :
Systme F r eyssinet :
Ce systme utilise des cbles composs de torons T 13, T 13 S, T 15 et T 15 S. La lettre T
est remplace par la lettre K (exemple 12 K 15)
Systme PA C :
Ce systme utilise des cbles composs de 1 37 T 13, T 13 S , T15 ou T 15 S.
Systme CI PEC :
Ce systme utilise des cbles 4 T 13 19 T 13, 4 T 15 27 T 15, normaux et super.
Systme VSL :
Ce systme utilise des units 3 T 12 55 T 13 , 3 T 15 37 T 15, normales ou super. Leur
dnomination est de la forme 5-n pour n T 13 et 6-n pour n T 15.(exemple :6-37
reprsente un cble ou un ancrage 37 T 15).
6. DOMAINE DAPPLICATION
Linvention du bton prcontraint est due lingnieur franais Eugne Freyssinet.
Les premires applications pratiques sont tentes en 1933. Dans les annes qui suivent,les performances exceptionnelles de ce nouveau concept sont brillamment dmontres.
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 10
Grce ces avantages le bton prcontraint est utilis dans les ouvrages dart
et les btiments de dimensions importantes : il est dutilisation courante pour les ponts
et dun emploi trs rpandu pour les poutrelles prfabriques des planchers de btiments.
On le retrouve dans de nombreux autres types douvrages, parmi lesquels nous citerons
les rservoirs ,les pieux de fondation et tirants dancrage, certains ouvrages maritimes,les barrages, les enceintes de racteurs nuclaires...
7. REGLEMENTATIONS
IP1 : Instruction Provisoire n1 du 12 Aot 1965
IP2 : Instruction Provisoire n2 du 13 Aot 1973
BPEL 91 : Bton prcontraint aux tats limites
Euro code 2 : (Bton Arm et Bton prcontraint ).
8. APPLI CATIONS
Application 1
Soit une poutre de section B et avec un moment dinertie I soumise un moment
flchissant M et un effort de prcontrainte centr P1.
Dterminer le digramme des contraintes.
Dduire lexpression de leffort de prcontrainte P1.
Application n um rique
Soit la section rectangulaire (50,120) cm soumise un moment extrieur M=0.80 MNm.
Dterminer la valeur de P1.
Schmatiser le digramme des contraintes.
Prcontrainte centre
h
Vs
Vi
P1P1
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 11
Solution
1. Digramme des contraintes
2.Valeur de P1:Du diagramme des contraintes, on a :
0BP
IMVi 1
BI
MViP1
AN :P1=4MN
Application 2
Soit une poutre de section B et avec un moment dinertie I soumise un moment flchissantM et un effort de prcontrainte P2excentr de e .
Prcontrainte excentre
h
Vs
ViP2P2
Vs
Vi
+ =
I
MVi
I
MVsBP
IMVs 1
0
h
BP1
B
P1
1.2
0.6
0.6
+ =
0
0.56.67
- 6.67
6.67
6.67
13.33
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 12
Dterminer le digramme des contraintes.
Dduire lexpression de leffort de prcontrainte P2.
Application n um rique
Soit la section rectangulaire (50,120) cm soumise un moment extrieur M=0.80 MNm.
Dans le deuxime cas de prcontrainte excentre,en supposant que lon puisse excentrer
au maximum de e= - 0.45 m la position du cble.
Dterminer la valeur de P1.
Schmatiser le digramme des contraintes.
Solution
1. Digramme des contraintes
2. Valeur de P2:
Du diagramme des contraintes, on a :
0IeViP
BP
IMVi 22
I
eViB1I
MViP2
AN :P2= 1.231 MN
1.2
Vs
Vi
+ =
IMVi
IMVs
IeVsP
BP
IMVs 22
0
h
BP2
BP2
IeVsP2
IeViP2
+
0.6
0.6
+ =
0
0.56.67
- 6.67
2.05
2.05
4.10
+
4.62
-4.62
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 13
Constatation :
Il est claire que grce lexcentrement de la prcontrainte, on a diminu leffort de
prcontrainte de 4 1.231 MN et la contrainte maximum du bton de 13.34 4.1 MPa,
do une conomie substantielle dacier et de bton.
Application 3
Soit une poutre de section rectangulaire (50x120) cm dun lment de classe I soumise
aux moments Mmin=1.25 MNm et Mmax=3.2 MNm .
La valeur de la prcontrainte et de son excentricit sont donnes gales P=5.1 MN
et eo= - 0.44m.
Dterminer le diagramme des contraintes sous moments maximum et minimum.
Solution
Sous moment mini mum
Effort de prcontrainte centr = 8.5 MPa
Effort de prcontrainte de flexion =(+ ou -) 18.70 MPa
Effort de flexion du moment min = (+ ou -) 10.42 MPa
1.2
0.6
0.6
=
0
0.56.67
- 6.67
4.10
+
6.67
- 2.57
0.6
0.6
+ =
0.510.42
- 10.42
8.5
8.5
+
18.70
-18.70
16.78
0.22
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CHAPITRE 1 : Gnralits sur la prcontrainte 14
Sous moment m aximum
Effort de prcontrainte centr = 8.5 MPa
Effort de prcontrainte de flexion =(+ ou -) 18.70 MPa
Effort de flexion du moment max = (+ ou -) 26.67 MPa
Application 4
Soit une poutre de section rectangulaire (100, h) cm soumise la prcontrainte.
Dterminer la hauteur de la poutre.
Dterminer la force de prcontrainte.
Dterminer lexcentricit de la force de prcontrainte.
Contrainte limite du bton :
Traction =0
Compression =1200 t/m2
NB :On nglige le poids propre de la poutre
6 tf 6 tf
4 m 4 m 4 m
0.6
0.6
+ =
0.53
0.526.67
- 26.67
8.5
8.5
16.47
+
18.70
-18.70
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 15
Caractristiques des matriaux
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 16
1. CARACTERI STI QUES M ECANI QUES : BE TON
Le bton est un matriau htrogne compos dun mlange de liant, granulats, eau
et ventuellement dadjuvants. Sa rsistance mcanique est influence par plusieurs
facteurs :
qualit du ciment
dosage en ciment
teneur en eau
lge du bton
la temprature
lhumidit
la dure de chargement
1.1. Qual its r equises
Une rsistance leve en compression.
L'tanchit et la non-agressivit chimique.
Une faible sensibilit aux effets des dformations diffres.
Une bonne maniabilit.
1.2. Rsistance la compr ession
Le bton est dfini par la valeur de sa rsistance la compression l'gede 28 jours, dite rsistance caractristique spcifie . Celle-ci, note fc28 .
Pour les sollicitations qui s'exercent sur un bton g de moins de 28 jours, on se rfre
la rsistance caractristique fcj. Les rgles BAEL et BPEL donnent, pour un ge j28
jours et pour un bton non trait thermiquement :
si fc28 40 MPa
28ccj fj83,076,4
jf
et si f c28 > 40 MPa
28ccj fj95,040,1
jf
Au-del de j=28 jours, on admet pour les calculs que fcj = fc28
1.3. Rsistance la tr action
La rsistance caractristique la traction, l'ge de j jours, note ftj ,
est conventionnellement dfinie par la formule :
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 17
ftj = 0,6 + 0,06 fcj
ftj et fcj sont exprimes en MPa (ou N/mm)
1.4. Dformations longi tudinal es instantanes
A dfaut de rsultats exprimentaux probants, on adopte pour le modulede dformation longitudinale instantane du bton not Eij, une valeur conventionnelle
gale :
3 cjij f11000E
Le module de dformation longitudinale diffre Evj est donn par :
3 cjj f3700Ev
1.5. Di agramme Contr ainte - Dformation
Le diagramme caractristique contrainte-dformation du bton a l'allure schmatise sur
la figure II.1 dite " parabole - rectangle".
Fig u r e I I . 1
Le diagramme de calcul comporte un arc de parabole du second degr depuis l'origine
des coordonnes et jusqu' son sommet de coordonnes bc = 2%o et d'une contrainte
de compression de bton donne par : bc= 0,85. fcj/.b
Le coefficient prend en compte la dure probable d'application de la combinaison
d'actions .
= 1 t24 heures
= 0,9 1 h t24 h
= 0,85 t 1 h
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 18
Lorsqu'on a besoin d'une valuation plus prcise des dformations et dfaut
de donnes exprimentales probantes, il est ncessaire d'adopter le diagramme suivant
(Figure II.2) :
Fig u r e I I . 2
En prenant en compte :
- la valeur du module tangent l'origine pour lequel on conserve la formule :
3cjij f11000E
- la valeur de la dformation au maximum de contrainte, appel pic de contrainte, que
l'on peut valuer par la formule : 3 cj3
0b f10.62,0
- la valeur de la rsistance la compression du bton fcj.
1.6. Dfor mation s di f fres
1.6.1. Retrait
Le retrait est le raccourcissement du bton non charg, au cours de son durcissement.
Son importance dpend dun certain nombre de paramtres :
lhumidit de lair ambiant;
les dimensions de la pice ;
la quantit darmatures;
la quantit deau;
le dosage en ciment ;
le temps.
La dformation relative de retrait qui se dveloppe dans un intervalle de temps (t1 , t)
peut tre value au moyen de la formule :
r (t1, t) =r[r(t) - r(t1)]
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 19
avec :
r :la dformation finale de retrait
r(t) : la loi d'volution du retrait, qui varie de 0 1 lorsque le temps t, compt partir
de la fabrication du bton, varie de zro l'infini.
La loi d'volution du retrait est donne par:
mr9t
ttr
t : l'ge du bton, en jours, compt partir du jour de fabrication, et rm le rayon moyen
de la pice, exprim en centimtres :
rm= B/u
B: Laire de section
u: Le primtre de la section
Dans le cas des btons de structures prcontraintes, raliss avec du ciment Portland,
la dformation finale de retrait peut tre value par la formule :
r = ks0
Le coefficient ksdpend du pourcentage des armatures adhrentess = As /B , rapport
de la section des armatures passives longitudinales (et, dans le cas de la pr-tension,
des armatures de prcontrainte adhrentes) la section transversale de la pice.
Il s'exprime par la formule :s
s2011k
Le coefficient0
dpend des conditions ambiantes et des dimensions de la pice.
On prendra dans l'eau :
0
= - 60.10-6
et dans l'air :
6
mh0
10.r310
80
6100
oh
est l'hygromtrie ambiante moyenne, exprime en pourcentage d'humidit relative.
En l'absence de donnes plus prcises, on peut prendre pour des ouvrages l'air libre :
h
= 55 dans le quart Sud-Est de la France
h
= 70 dans le reste de la France.
A dfaut de rsultats exprimentaux le retrait final r est donn par les valeurs
forfaitaires suivantes :
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 20
En France :
1,5 10-4 dans les climats humides,
2 10-4 en climat humide, ce qui est le cas en France, sauf en son quart Sud-Est,
3 10-4 en climat tempr sec, comme dans le quart Sud-Est de la France,
4 10-4 en climat chaud et sec,
5 10-4 en climat trs sec ou dsertique.
En Algrie :
2 10-4 en climat humide Zone A de la carte de zonage climatique de lAlgrie
3 10-4 en climat tempr sec Zone B
4 10-4 en climat chaud et sec Zones B,C,D1
5 10-4 en climat trs sec ou dsertique Zones D2 et D3.
1.6.2. Fluage
Le fluage correspond une dformation croissante dans le temps sous contrainte
constante. Il dpend dun certains nombres de paramtres :
lpaisseur moyenne de la pice ;
la contrainte applique ;
le dosage en ciment ;
la teneur en eau ;
lhumidit;
la temprature ;
lage de mise en tension.
La dformation de fluage l'instant t d'un bton soumis l'ge j = t1 - t0
une contrainte constante1 est exprime sous la forme :
fl =icKfl(t1 - t0). f(t - t1)
t0 : date du btonnage,
t1 : date de mise en charge ;
ic :dformation conventionnelle instantane sous l'effet de la contrainte 1
ic =1/Ei28
Kfl: coefficient de fluage, qui dpend notamment de l'ge (t1 - t0) du bton au moment
o il subit la contrainte 1 ;
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 21
f(t - t1) : une fonction de la dure du chargement (t - t1), exprime en jours, qui varie
de 0 1 quand cette dure varie de 0 l'infini.
On peut galement mettrefl sous la forme :
fl =i(t1 - t0)f(t - t1)i :la dformation relle instantane : i =1/Eij ;
= Kfl Eij /Ei28 le rapport entre la dformation finale du fluage et la dformation
relle instantane.
Dans les cas courants, on peut prendre = 2. La loi d'volution de fluage f(t - t1 )
est donne par la formule :
m1
11
r5tt
ttttf
Dans laquelle la dure de chargement (t - t1) est exprime en jours et le rayon moyen rm
en centimtres.
1.6.3. Coeff ici ent de poisson
Le coefficient de poisson du bton est pris gal :
0,20 en zones non fissures
zro en zones fissures
1.6.4. Coeff icient de dilatation therm ique
A dfaut de rsultats exprimentaux, le coefficient de dilatation thermique est pris gal
10-5 par degr C.
NB : pour amliorer la mise en place du bton, ses caractristiques ou sa durabilit, on
peut tre amen ajouter des adjuvants en faible quantit lors de la confection du bton.
On utilise plus spcialement :
les acclrateurs de prise
les retardateurs de prise
les acclrateurs de durcissement
les entraneurs dair
les plastifiants
les hydrofuges de masse
les antigels.
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 22
2. CARACTERISTIQUES MECANIQUES : ARMATURES
Les aciers utiliss en prcontrainte sont de deux natures diffrentes :
les aciers actifs qui crent et maintiennent la prcontrainte ;
les aciers passif ncessaires pour le montage , pour reprendre les efforts tranchants,
et pour limiter la fissuration.
2.1. Armatur es passives
Ce sont des armatures identiques celles utilises dans le bton arm, ils ne sont mis en
tension que par la dformation de l'lment.
2.1.1. Descri ption des dif frents types d' aciers
Les aciers gnralement utiliss sont classs en plusieurs catgories :
Barres rondes lisses.
Barres haute adhrence.
Fils (Fils Haute adhrence et fils lisses).
Treillis souds.
Dune faon gnrale, on distingue pour les armatures passives en bton prcontraint :
Les aciers passifs longitudinaux
Les aciers passifs transversaux
2.1.2 Car actres des armatu res passivesLes caractres des armatures passives prendre en compte dans les calculs sont
les suivants :
Section nominale de l'armature
Module de dformation longitudinale
Le module de dformation longitudinale de l'acier Es est pris gal 200 000 MPa.
Limite d'lasticit garantie
L'acier est dfini par la valeur garantie de sa limite d'lasticit, note fe .
Le tableau II.1 donne les dsignations conventionnelles , les nuances et les limites
dlasticit actuellement sur le march.
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 23
Type Dsignation Limit e dlasticit
Ronds lisses FeE215
FeE235
215
235
Barres HA FeE400
FeE500
400
500
Fils trfils HA et
Treillis souds HA
FeTE500
TSHA
500
Treillis souds lisses TSL 500
Tableau I I .1
Diagramme Contraintes -Dformations
Fig u r e I I . 3
Laptitude de l'armature rester solidaire au bton
Cette aptitude est caractrise par les coefficients d'adhrence dits de fissuration et de
scellement dsigns respectivement par et.
Coefficients de fissuration : =1 ronds lisses
=1.6 barres HA ou fils HA de diamtre suprieur ou gal 6mm
=1.3 fils HA de diamtre infrieur 6mm
Coefficients de scellement : =1 ronds lisses
=1.5 barres HA ou de fils HA
2.2. Ar matur es actives
Les aciers actifs sont les aciers de la prcontrainte, ils sont mis des tensions.
A l'inverse des armatures de bton arm qui se contentent d'un acier de qualit courante,
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 24
les armatures de prcontrainte exige un acier satisfaisant un certain nombre de
conditions. Elles ont t classs par :
catgorie : fils, barres, torons.
classe de rsistance.
2.2.1. Qual i ts requi ses
Une rsistance mcanique leve.
Une ductilit suffisante.
Une bonne rsistance la corrosion.
Une faible relaxation.
Un cot aussi bas que possible.
2.2.2 Car actres gom triqu esLesf i ls
Les fils sont des armatures dont la plus grande dimension transversale est infrieure
12.5mm ;ils sont livrs en couronnes.
On distingue :
les fils dacier ronds et lisse de symbole L,
les fils autres que ronds et lisses de symbole L.
Les fils sont dfinis par leur diamtre nominal auquel correspond une section nominaleconventionnelle, suivant le tableau II.2
Diamtre 4 5 6 7 8 10 12.2
Section 12.6 19.6 28.3 38.5 50.3 78.5 117
Tableau II.2
L es barr es
Les barres sont dfinies comme des armatures rondes et lisses de diamtre suprieur
12.5mm, ou non rondes ou non lisses ne pouvant tre livres en couronnes.
Les caractres gomtriques sont le diamtre et la section conventionnellement dfinie
suivant le tableau II.3.
Diamtre 20 22 26 32 36
Section 314 380 531 804 1018
Tableau II.3
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 25
L es torons
Un toron est un assemblage de 3 ou 7 fils enrouls en hlice et rpartis en une couche,
ventuellement autour dun fil central.
Les torons sont caractriss par le nombre de leur fils , par leur diamtre, et par leur
section. Le tableau II.4 fournit les valeurs correspondantes.
Type 3fils 7fils 7fils 7fils
standard
7fils
standard
7fils
super
7fils
super
Diamtre 5.2 6.85 9.3 12.5 15.2 12.9 15.7
Section 13.6 28.2 52 93 139 100 150
Tableau II.4
2.2.3. Caractres de calcul
Les caractres des armatures de prcontrainte prendre en compte dans les calculs
sont :
section nominale de l'armature ;
la contrainte maximale garantie rupture f prg
la contrainte la limite conventionnelle d'lasticit fpeg
coefficient de relaxation1000
1000 = 2,5 % pour la classe TBR (Trs Basse Relaxation)
1000= 8 % pour la classe RN (Relaxation Normale)
adhrence au bton ;
coefficient de dilatation thermique 10-5 par degr C.
module de dformation longitudinale :
Ep = 200 000 MPa pour les fils et les barres
Ep = 190 000 MPa pour les torons
diagramme efforts-dformations.
Les diagrammes utiliser conventionnellement pour les calculs sont donns
respectivement :
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 26
Pour les fils trfils et les torons
Fig u r e I I . 4
Pour fpeg9,0p Ep
pp
Pour fpeg9,0p
5
9,0fpeg
p100
Ep
pp
Pour les fils tremps et revenus et pour les barres :
Fig u r e I I . 5
pour:Ep
fpegp pEpp si non fpegp
Ce dernier diagramme est tolr pour les fils trfils et torons si on ne recherche pas
une grande prcision.
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 27
3. APPLI CATIONS
Application 1
Dterminer , pour un bton de fc28= 30 MPa, les caractristiques suivantes :
La rsistance la compression au jour j= 7 et 90 jours
La rsistance la traction au jour j= 7 et 90 jours
Module de dformation longitudinal instantan au jour j= 7 et 90 jours
Module de dformation longitudinal diffr au jour j= 7 et 90 jours
Solution
La rsistance la compression au jour j= 7 et 90 jours
j= 7 jours : 28c7c fj83,076,4
jf = 20.04 MPa
j=90 jours : fc90=fc28= 30 MPa
La rsistance la traction au jour j= 7 et 90 jours
j= 7 jours : ft7=0.6+0.06 fc7=1.80 MPa
j= 90 jours : ft90=ft28=0.6+0.06 fc28=2.4 MPa
Module de dformation longitudinal instantan au jour j= 7 et 90 jours
j= 7 jours : 3 7c7i f11000E =30056.3 MPa
j= 90 jours : 3 28c90i f11000E =34179.6 MPa
Application 2
Pour un bton fc28= 35 MPa :
Dterminer la contrainte limite de compression ultime en situation courante
et accidentelle.
Dterminer la contrainte limite de compression en service
Tracer le digramme contraintedformation du bton
A dfaut de donnes exprimentales probantes, dans le cas o on a besoin d'une
valuation plus prcise des dformations, tracer le diagramme contrainte
dformation du bton.
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CHAPITRE 2 : Caractristiques des matriaux 28
Application 3
Pour un acier passif FeE400 :
Dterminer la contrainte limite ultime en situation courante et accidentelle.
Dterminer la contrainte limite en service dans le cas dune fissurationprjudiciable et trs prjudiciable.
Tracer le digramme contrainte dformation de lacier
Application 4
Pour un acier actif fpeg=1583MPa :
Tracer le digramme contrainte dformation de lacier
Application 5
Dterminer la dformation de retrait dune poutre de section (0.30, 0.70)m mise en
tension j=7 jours dans les conditions suivantes :
Un climat humide Zone A
Un climat tempr sec Zone B
Un climat chaud et sec zones B,C etD1.
Un climat trs sec ou dsertique zones D2 et D3
Note:Voir le rglement algrien CBA93
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 29
Solli citations et sections de calcul
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 30
1. PRINCI PE DE JUSTI FI CATION
Les calculs justificatifs sont tabli suivant la mthode des tats limites. Un tat limite
est un tat pour lequel une condition requise dune construction (ou dun de ses lments)
est strictement satisfaite et cesserait de ltre en cas de variation dfavorable dune
des actions appliques.1.1. Etat limi te ultime (ELU)
Le dpassement de cet tat conduit la ruine de la structure. Au del de ltat limite
ultime, la rsistance des matriaux bton et acier est atteinte, la scurit nest plus
garantie et la structure risque de seffondrer. On distingue:
Etat limite de rsistance de lun des matriaux.
Etat limite de lquilibre statique.
Etat limite de stabilit de forme : flambement
1.2. Etat li mite de service (EL S)
Ltat limite de service atteint remet en cause laptitude au service de la structure
(fissures, fuites, dsordres divers). Cet tat est dfini en tenant compte des conditions
dexploitations et /ou de durabilit. On distingue :
Etat limite douverture des fissures : risque douverture des fissures.
Etat limite de compression du bton : on limite volontairement la contrainte
de compression une valeur raisonnable.
Etat limite de dformation : flche maximale.
NB :Un ouvrage devra satisfaire la fois des conditions dtat limite ultime et dtat
limite de service.
2. ACTI ONS
2.1. D finiti on
Les actions sont lensemble des charges (forces, couples,)appliques la structure,
ainsi que les consquences des dformations statiques ou dtat (retrait, tassement
dappuis, variation de temprature , etc.) qui entranent des dformations de la structure.
2.2. Types dactions
Les trois types dactions appliques la structure sont les suivants :
1)Actions perm anentes : Les actions permanentes, notes G, reprsentent les actions
dont l'intensit est constante ou trs peu variable dans le temps. Elles comprennent :
Le poids propre des lments de la structure,
le poids des quipements fixes de toute nature (revtements de sols et de plafonds ;
cloisons etc.),
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 31
les efforts (poids, pousses, pressions) exercs par des terres, par des solides ou par
des liquides dont les niveaux varient peu ,
les dplacements diffrentiels des appuis,
les forces dues aux dformations (retrait, fluage,) imposes en permanence
la construction,
Dans la plupart des cas, le poids propre est reprsent par une valeur nominale unique,
G0, calcule partir des dessins du projet et des masses volumiques moyennes
des matriaux.
2)Actions vari ables : les actions variables, notes Q, reprsentent les actions dont
l'intensit varie frquemment et de faon importante dans le temps. Elles sont dfinies par
des textes rglementaires en vigueur , on distingue :
les charges d'exploitation (poids et effets annexes tels que force de freinage, forces
centrifuges, effets dynamiques),
les efforts (poids, pousses, pressions) exercs par des solides ou par des liquides dont
le niveau est variable,
les charges non permanentes appliques en cours d'excution (quipements
de chantier, engins, dpts de matriaux, etc.),
les actions climatiques : neige, vent, temprature, etc.
Les actions variables sont rparties en deux catgories :
Une action dite de base note Q1
Les autres actions ,dites daccompagnement et notes Qi (i>1)
Laction de base Qi est:
Laction unique si cest le cas
Si non :
La plus frquente
La plus leve
Lune ou lautre action variable
3)Actions accidentell es : Les actions accidentelles, notes FA
, provenant
de phnomnes rares, et ne sont considrer que si les documents dordre publique
ou le march le prvoient .Exemple : les sismes, les explosions ,les chocs.
2.3. Val eur s reprsentatives des actions
Les diffrentes valeurs de l'intensit des actions, dites valeurs reprsentatives, sont :
Qk : valeurs caractristiques de laction
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 32
0i
Qik: valeurs de combinaison
1i Qik: valeurs frquentes
2i Qik: valeurs quasi-permanentes
La prcontrainte est reprsente par une valeur de calcul Pdqui est : la plus dfavorable de deux valeurs caractristiques P1 et P2 pour les justifications
vis--vis des tats limites de service,
P1
(x, t) = 1,02 P0
- 0,80P (x, t)
P2
(x, t) = 0,98 P0
- 1,20P (x, t)
sa valeur probable Pm pour les justifications vis--vis des tats limites ultimes.
Pm
(x, t) = P0
-P (x, t)
P0
reprsentant la prcontrainte l'origine , correspondant la tensionp0 .
P (x, t) la perte de prcontrainte au point d'abscisse x, l'instant t.
3. SOLLI CITATI ONS
3.1. D finiti on
Les sollicitations sont les effets provoqus, en chaque point et sur chaque section
de la structure , par les actions.
3.2. Sollicitations de calcul lELU1) Combin aisons fondamentales
En rgle gnrale , les sollicitions de calcul considrer sont les suivantes :
p
.Pm+ 1,35.Gmax+ Gmin+Q1 Q1k+1,30i.Qik
avec :
Gmax: ensemble des actions permanentes dfavorables ;
Gmin
: ensemble des actions permanentes favorables ,
Q1k
: la valeur caractristique de l'action de base ;
0i
Qik
: la valeur de combinaison d'une action d'accompagnement.
p=1 dans la plupart des cas
Q1=1,5 dans le cas gnral
2) Combin aisons accidentelles
Pm+ FA+ Gmax+ Gmin+11Q1k+ 2i.Qik
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 33
avec :
FA: la valeur nominale de l'action accidentelle,
11
Q1k: la valeur frquente d'une action variable,
2i
Qik
: la valeur quasi-permanente d'une autre action variable.
3.3. Sollicitations de calcul lE.L.S
1) Combinaisons rar es
Pd+ Gmax+ Gmin+ Q1k+0iQik
2) Combinai sons frquentes
Pd+ Gmax+ Gmin +11Q1k+2iQik
3) Combin aisons quasi-permanentes
Pd+ Gmax+ Gmin+2i.Qik
3.4. Valeurs de i
1) Btiments
Tableau I I I .1
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 34
2) Pont route
Tableau I I I .2
3) Charges climatiques
Nature des charges 0 1 2
Vent 0.77 0.2 0
Neige : altitude < 500m
Altitude >500m
0.77
0.77
0.15
0.30
0
0.1
Temprature(variation
uniforme)
0.6 0.5 0
Tableau I I I .3
3.5. Char ges r outires
Les valeurs des charges routires, sont issues du fascicule spcial N 72- 21 bis ; Cahier
des prescriptions communes .
1)- Systme de char ges A
2)- Systme de char ges B
Le systme de charge B comporte 3 types de systmes de chargement :
systme Bc ( Figure III.1)
systme Bt ( Figure III.2)
systme Br ( Figure III.3)
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 35
Fig u r e I I I . 1
Fig u r e I I I . 2
Fig u r e I I I . 3
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 36
3)- Efforts de freinage
Les charges de chausse des systmes A et Bc sont susceptibles de dvelopper
des ractions de freinage, Ff efforts s'exerant la surface de la chausse, dans l'un ou
l'autre sens de circulation.
4)- F orces centr if uges
Par convention, les forces centrifuges Fc sont calcules uniquement partir du systme
Bc dans certaines conditions.
5)- Charges mil itaires
Sur les itinraires classs pour permettre la circulation des convois militaires de l'une des
classes M 80 ou 120, les ponts doivent tre calculs pour supporter les vhicules types ,
susceptibles dans certains cas d'tre plus dfavorables que les surcharges des systmes A
et B.
Le systme Mc se compose de vhicules types chenilles ;
Le systme Me se compose d'un groupe de deux essieux.
Convois M 80 :
Convoi Mc 80 (Figure III. 4)
Convoi Me 80 (Figure III. 5)
Convois M 120 :
Convoi Mc 120 (Figure III. 6) Convoi Me 120 (Figure III. 7)
Fig u r e I I I . 4
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 37
Fig u r e I I I . 5
Fig u r e I I I . 6
Fig u r e I I I . 7
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 38
6)- Charges exceptionn ell es
Sur les itinraires classs pour permettre la circulation de convois lourds exceptionnels
de l'un des types D ou E, les ponts doivent tre calculs pour supporter le vhicule-type
correspondant dcrit ci-aprs, susceptible dans certains cas d'tre plus dfavorable que
les charges des systmes A et B. Convoi type D (Figure III.7)
Convoi type E (Figure III.8)
Fig u r e I I I . 8
Fig u r e I I I . 9
7)- Charges sur les trottoir s
Les trottoirs et les pistes cyclables, qui leur sont assimiles, supportent des charges
diffrentes selon le rle de l'lment structural considr et selon qu'il s'agit de ponts
portant la fois une ou des chausses et un ou des trottoirs, ou de ponts rservs
exclusivement la circulation des pitons.
Charges locales
Charges gnrales
4. SECTI ONS DE CAL CUL
Dans le calcul des caractristiques gomtriques d'une section (position du centre
de gravit, aire, moments d'inertie...), on tient compte des dimensions que prsente
la section dans la phase considre.
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 39
4.1. Caractristi ques gomtr iques des sections
La rsolution des problmes dRDM fait appel des caractristiques gomtriques
des section droites des corps tudis. Le principe fondamental consiste dterminer
les contraintes qui agissent dans une section et de comparer la contrainte maximale avec
la contrainte limite : []
Traction simple =F/B
Flexion simple =M Y/I
Flexion compose=F/B + M Y/ I
Les caractristiques gomtriques tudier sont :
Aire de la section B [cm2]
Moments statiques Sx et Sy [cm3]
Moments dinertie axiaux Ix et Iy [cm4]
Moments dinertie centrifuges Ixy [cm4]
Moments dinertie polaires Ip [cm4]
Module de rsistance Wx et Wy [cm3]
Module de rsistance de torsion Wp [cm3]
Rayon de giration ix et iy [cm]
Rendement dune section
a). M oment statique
Les moment statiques de laire dune section par rapport aux axes X et Y sont donns par
les expressions :
A
x dAyS A
y dAxS
Si laxe X ou laxe Y passe par le centre de gravit de la section, les moments statiques
Sx et Sy sont nuls.
b). Moment dinertie
Les moment dinertie de laire dune section par rapport aux axes X et Y sont donns par
les formules :
dAyIx2
A dAxIy
2
A dAxyIxy
A y
Le moment dinertie polaire dune section est donn par:
Ip=Ix+Iy
-
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 40
Thorme :
Le moment dinertie axial dune section par rapport nimporte quel axe est gal au
moment dinertie de cette section par rapport laxe central parallle plus le produit
de laire de cette section par la distance au cdg de la section laxe considr.
c). M odul e de rsistance
Le module de rsistance est gal au quotient du moment dinertie axial par la distance
de laxe la fibre la plus loigne.
yIxWx IyWy
d). Rayon de gir ation
On appelle rayonde giration la quantit donne par lquation:
BIxix
BIyiy
e). Rendement dune section
Le rendement dune section est donn par:
BViVsI
4.2. Types de section
a). Section bruteCest la section du bton seul, telle qu'elle rsulte des dessins de coffrage, sans rduction
des conduits et ancrages ( Figure III.10). Elle est utilise pour l'valuation :
du poids propre d'une structure ;
des rigidits des diffrentes pices constituant la structure (en vue de calculer
les sollicitations hyperstatiques) ;
des dformations pour les parties d'ouvrages respectant les conditions de la classe II .
FigureII I .10
a
Bb =a * b b
-
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul
Bton prcontraint : Cours et exercices Abdelaziz Yazid Centre Universitaire de Bechar
41
b). Section nette
Cest la section totale du bton avec dduction des conduits et ancrages(Figure III.11).
Elle est utilise pour le calcul des contraintes l'ELS en classe I et II.
FigureII I .11
c). Secti on homogne
Cest la section obtenue en ajoutant section nette la section des armatures
longitudinales adhrente multiplie par un coefficient d'quivalence convenable n .
Section homogne = section nette +(section d'armatures longitudinales adhrentes)
x (Coefficient d'quivalence).
n = 5 : cas des actions de courte dure
n = 15 : cas des actions de longue dure
d). Section homogne rduite
Pour le calcul des contraintes en classe III , il y a lieu de faire intervenir des sections
homognes rduites, dfinies partir :
- de la seule partie comprime du bton de la section,
- de la section des armatures passives longitudinales multiplie par le coefficient
d'quivalence nv = 15,
- de la fraction de la section des armatures longitudinales de prcontrainte
multiplie par le coefficient d'quivalence nv = 15.
Section homognise et rduite = (Section du bton comprim seul)+ (section
d'armatures passives )x (nv) + (section d'armatures de prcontrainte) x (nv)x ()
avec :
= 1 : cas de pr-tension
= 0,5 : cas de post-tension avec injection de coulis
= 0: cas de la post-tension lorsque les armatures ne sont pas adhrentes .
a
Bn =Bb-BVb
-
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 42
e). Section d'enrobage
Cest la surface dlimite par le contour de la section et deux parallles laxe de flexion
considr encadrant lensemble des armatures de prcontrainte, une distance gale
minimale admise c (Figure III.12). Cette section est utilise pour certaines
vrifications en classe II.
c
c
FigureII I .12
5. APPLI CATIONS
Application 1
Dterminer, pour une poutre en T, les caractristiques gomtriques suivantes :
Laire de la section (B)
Le moment statique (S)
La distance de la fibre suprieure (Vs) et la distance de la fibre infrieure (Vi)
Le moment dinertie (I)
Le module de rsistance (W)
Le rayon de giration (i)
Le rendement de la section ()
0.90
1.00
0.40
0.20
-
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 43
Solution
Laire de la section
B = iB = 0.48 m2
Le moment statique
S= iidB =0.174 m3
La distance de la fibre suprieure (Vs)
Vs=S/B = 0.363 m
La distance de la fibre infrieure (Vi)
Vi=h-Vs=0.537 m
Le moment dinertie (I)
I=Ii +Bii2=0.03572 m4
Le module de rsistance (W)
Ws=I/Vs = 0.0984 m3
Wi=I/Vi= 0.0665 m3
Le rayon de giration (i)
BII =0.273 m
Le rendement de la section ()
BVsViI =0.382
Application 2
1). Soit une section avec les caractristiques suivantes :
hauteur h =110 cm ; surface B = 0.3912 m2
moment statique S =0.17315 m3 ; moment dinertie I= 0.131944 m4
Vs
Vi
-
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 44
1) . Dterminer les caractristiques de la section brute :
Distance de la fibre suprieure Vs [m]
Distance de la fibre infrieure Vi [m]
Moment dinertie par rapport au centre de gravit IG[m4]
Rendement de la section
2). Cette section comporte 4 gaines de 70 mm de diamtre situes respectivement
105 mm et 245 mm de la fibre infrieure. Le centre de gravit des gaines est 0.925 m
de la fibre suprieure.
Dterminer les caractristiques de la section nette:
Aire de la section Bn[m2]
Moment statique Sn[m3]
Distance de la fibre suprieure Vs [m]
Distance de la fibre infrieure Vi [m]
Moment dinertie par rapport laxe In[m4]
Moment dinertie par rapport au centre de gravit InG [m4]
Rendement de la sectionn
3). Les gaines contiennent chacune un Cble 9T15 de section 1251 mm2
. Le coefficientdquivalence est pris gal 5.
Dterminer les caractristiques de la section homogne :
Aire de la section Bh[m2]
Moment statique Sh [m3]
Distance de la fibre suprieure Vhs[m]
Distance de la fibre infrieure Vhi[m]
Moment dinertie par rapport laxe Ih[m4]
Moment dinertie par rapport au centre de gravit IhG [m4]
Rendement de la sectionh
Solution
Section brute
Distance de la fibre suprieure :
Vbs=Sb/Bb = 0.4426 m
-
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 45
Distance de la fibre infrieure :
Vbi=h-Vbs=0.6574 m
Moment dinertie par rapport au centre de gravit :
IbG
= I-Bb
Vbs
2= 0.055310 m
4
Rendement de la section
=IbG/BbVbsV bi= 0.486
Section nette
Aire de la section
Bn= BbB gaines = 0.37581 m2
Moment statique
Sn=SbB gaines V = 0.15891 m3
Distance de la fibre suprieure
Vns=Sn/Bn = 0.4228 m
Distance de la fibre infrieure
Vni=h-Vns=0.6772 m
Moment dinertie par rapport laxe
In = IB gaines V 2 =0.118776 m4
Moment dinertie par rapport au centre de gravit
InG = I - BnVns2
= 0.0516 m4
Rendement de la sectionn
=InG/BnVnsVn i =0.479
Section homogne
Aire de la section
Bh = Bn+nBp =0.40083 m2
Moment statique Sh [m3]
Sh=Sn+ n BpV = 0.182053 m3
Distance de la fibre suprieure
Vhs=Sh/Bh = 0.45419 m
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 46
Distance de la fibre infrieure
Vhi=h-Vhs=0.64581 m
Moment dinertie par rapport laxe
Ih = In+ n Bp V
2
=0.140184 m
4
Moment dinertie par rapport au centre de gravit
IhG = Ih+ BhVhs2=0.057497 [m
4]
Rendement de la sectionh
=IhG/BhVhsVh i =0.489
Application 3
Dterminer les caractristiques gomtriques de la section :
Laire de la section (B)
Le moment statique (S)
La distance de la fibre suprieure (Vs) et la distance de la fibre infrieure (Vi)
Le moment dinertie (I)
Le module de rsistance (W)
Le rayon de giration (i)
Le rendement de la section ()
0.6
1.55
0.18
0.21
1.4
0.3
0.18
0.06
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CHAPITRE 3 : Sollicitations et sections de calcul 47
Application 4
0,50
1,50
0,50
4,5010,00
0,28
1)- Dterminer les caractristiques gomtriques de la section .
La section brute du bton (B)
Le rendement de la section ()
Le moment quadratique de la section de bton (I)
Le module de rsistance (W)
Le rayon de giration (i)
2)- Dterminer le moment flchissant Mminet MMax
3)- Dterminer les contraintes limites du bton
En phase de construction j = 7 et 14 jours
En phases de service
Bton : fc28=35 MPa
= 30 KN / m
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 48
Pertes de prcontr ainte
-
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 49
1. DEFINITION
Dune faon gnrale, on dsigne sous le nom perte de tension ou perte
de prcontrainte toute diffrence entre leffort exerc lors de sa mise en tension
et leffort qui sexerce en un point donn dune armature un instant donn.
En post tension, leffort de prcontrainte varie la fois:
dans lespace, avec labscisse le long du cble, du fait de fortement;
dans le temps, cause du retrait et du fluage du bton et de la relaxation des aciers.
En pr tension, leffort de prcontrainte varie principalement dans le temps du fait
de lapplication successive des actions.
2. TYPES DE PERTE S
Les pertes de tension se divisent en deux groupes :
Les pertes de tension instantanes :se produisant lors de la mise en tension des cbles
de prcontrainte.
Pertes de tension diffres :se produisant dans un temps plus au moins long aprs
la mise en tension.
3. TENSI ON A L 'ORIGI NE
Les efforts de prcontrainte sont variables le long des armatures et dans le temps. Ils sont
valus partir de la valeur probable de la tension l'origine, note po .Ils ne
doivent pas non plus dpasser la plus faible des valeurs suivantes :
Min ( 0,80 fprg , 0 ,90 f peg ) en post-tension
Min (0,85 fprg , 0,95 f peg ) en pr-tension
4. PERTES DE TENSION (EN POST-TENSION)
4.1. Pertes de tension instantanes
Dans le cas de la post-tension, les armatures de prcontrainte subissent des pertes
de tension instantanes qui sont :
- les pertes de tension par frottement ;
- les pertes de tension par recul de l'ancrage ;
- les pertes de tension par dformations instantanes du bton.
La valeur totale de ces pertes de tension instantanes, dans une section d'abscisse x
de l'armature, est note pi(x).
La tension au point d'abscisse x, aprs pertes de tension instantanes, appele tension
initiale , est note : pi (x) =po -pi(x)
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 50
4.1.1. Perte de tension par fr ottement
Ce type de perte se produit par fortement des cbles sur la gaine lors de la mise en
tension.
Le tension applique po lorigine diminue entre le point dapplication et un point
donne dabscisse x (Figure VI.1),sa nouvelle valeur est donne par la relation :
e)x( pop -(f+ x)
po : la tension lorigine;
e : la base des logarithmes npriens ;
f : coefficient de frottement en courbe (rd-1) ;
: somme des dviations angulaires arithmtiques du cble sur la distance x (rd) ;
: coefficient de frottement en ligne (m-1) ;
x : la distance de la section considre (m).
Figure IV.1
La perte de tension par frottement est estime par la formule:
frot(x)=po -p(x)=po (1-e -(f+x))
Si lexposant est faible, on peut admettre la relation suivante :
frot(x) po(f+ x)
Tableau V.1
p0
x
-
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 51
4.1.2 Perte de tension par recul de l' ancrage
Cette perte de tension rsulte du glissement de l'armature par rapport son ancrage,
du tassement ou de la dformation de l'ancrage.
Son influence diminue partir de lancrage jusqu sannuler une distance d
partir de laquelle la tension demeure inchange.
Figure IV.2
Le glissement lancrage g , qui dpend du type dancrage, est donne par
la relation :
dx)x()x(E
1g d
0p'p
p
En pratique, en assimilant les branches dexponentielle des droites , la perte par recule
dancrage peut tre value partire de laire dun tringle(Figure IV.3 ).
Figure IV.3
Dans ce cas, on a :
2d)(gE 1pApAp
(x)
x
g(x)
(x)
d
go
x
(x)
g (x)
(x)
d
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 52
Figure IV .4
Daprs la loi des tringles semblables IJL et INM on a:
AB
pBpA1pApA
ld2
La longueur du glissement du bloc dancrage est donne par:
pBpA
ABlgEd
4.1.3 Perte de tension par dfor mati ons instantan es du bton
La perte de tension qui rsulte des dformations instantanes du bton dues l'action
des armatures de prcontrainte et aux autres actions permanentes peut tre assimile une perte moyenne affectant chacune des armatures et gale dans une section donne :
xEE
n21nx b
ij
pracc
avec :
n : nombre de gaines
EP : module dlasticit des armatures;
Eij: module instantan du bton au jour j ;
b(x) : contrainte normale du bton :
nn
2
nb
I
xexM
I
xPe
BPx
P=(po- frot- recu) Ap
e(x) : excentricit du cble de prcontrainte.
I
M
L
N
x
(x)
A1
J
d
A
d
B
lAB
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 53
Remarque :
Le BPEL prconise de prendre un coefficient 2 pour les variations de contraintes
dues la contrainte relative la phase de mise en tension et aux actions permanentes
appliques simultanment cette mise en tension, et la valeur de 1 pour les variations
de contrainte dues aux actions permanentes postrieures cette phase de prcontrainte, ycompris celles dues aux armatures de prcontrainte mises en tension ultrieurement.
4.2. Pertes de tension di f fres
Dans le cas de la post-tension, les armatures de prcontrainte subissent des pertes
de tension diffres qui sont :
- Perte de tension due au retrait du bton
- Perte de tension due au fluage du bton
- Perte de tension due la relaxation de l'acier
La valeur totale de ces pertes de tension diffres, dans une section d'abscisse x
de l'armature, est note pd(x).
La tension au point d'abscisse x, aprs pertes de tension instantanes, appele tension
finale , est note : pf (x) =po -pi(x) -pd(x)
4.2.1 Perte de tension due au r etr ait du bton
La perte finale de tension due au retrait du bton est gale :
r = Epr[ r(t) - r(t1)]
r :retrait total du bton
t1 : l'ge du bton au moment de sa mise en prcontrainte
r(t) : une fonction traduisant l'volution du retrait en fonction du temps
Trs souvent, on peut ngliger r(t1) devant 1, ce qui conduit la formule simplifie
suivante :
rpr E
4.2.2 Perte de tension due au f luage du bton
Lorsqu'une pice est soumise, partir de sa mise en prcontrainte, des actions
permanentes subissant des variations dans le temps, la perte finale de tension due au
fluage du bton est prise gale :
fl = (bM +b
F) Ep/Eij
bM : contrainte maximale dans le bton ;aprs les pertes instantanes
bF
: contrainte finale dans le bton ;aprs les pertes diffres
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 54
Si bM 1,5
bF , il est loisible, titre de simplification, d'valuer la perte finale
de tension due au fluage du bton :
fl= 2,5b
F Ep/Eij
et comme Ep/Eij6, on aura donc :
fl= 15bF
4.2.3 Perte de tension due la r elaxation de l' acier
La perte finale de tension due la relaxation de l'acier est donne par :
xf
x
100
6x pi0
prg
pi1000rel
pi(x) :contrainte dans les armatures de prcontrainte ; aprs les pertes instantanes.
1000 : coefficient de relaxation 1000 h
fprg:contrainte limite garantie la rupture
0 tant un coefficient pris gal :
0,43 pour les armatures trs basse relaxation (TBR).
0,30 pour les armatures relaxation normale (RN).
0,35 pour les autres armatures.
4.2.4 Perte de tension dif fre totale
La formule donne pour la relaxation suppose que la longueur de larmature
est constante ; or la perte par relaxation est diminue par leffet du raccourcissement due
au retrait et fluage du bton.
Pour tenir compte de cette interaction, le BPEL propose de minorer forfaitairement
la relation par le coefficient 5/6.
Ainsi, La perte diffre finale est prise gale :
relflrd65
Lorsqu'il est ncessaire de tenir compte de l'volution des pertes de prcontrainte en
fonction du temps, on peut admettre que la valeur totale des pertes diffres d(t) ,
value j jours aprs la mise en tension du groupe d'armatures considr, suit la loi
suivante :
d(t) = r(j)d
La fonction r(j) tant identique la fonction r(t)
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte
Bton prcontraint : Cours et exercices Abdelaziz Yazid Centre Universitaire de Bechar
55
5.APPLICATIONS
Application 1
Soit une poutre de post- tension de longueur de 47.00 m soumise la prcontrainte par
4 cbles de 7T15 j = 8 jours.
Pour la section mi trave ,dterminer :
la tension lorigine
la perte due au frottement
la perte due au recul dancrage
la perte due la dformation instantane du bton
la perte instantane
la perte due au retrait du bton
la perte due au fluage du bton
la perte due la relaxation des aciers
la perte diffre
Dduire la valeur de :
La contrainte finale probable
La contrainte finale maximale
La contrainte finale minimale
Donnes :
=0.2984 rd f = 0.18 rd -1
= 0.002 m-1
g= 6mm bc = 12.4 MPa bM
= 15.3 MPa
bF
= 11.1 MPa f c28=35 MPa r= 3.10-4
fprg=1860 MPa fpeg=1660 MPa 1000=2.5 %
O =0.43 Ep=190000 MPa
Solution
La tension lorigine
po = Min( 0,80 fprg , 0 ,90 f peg )= 1488 MPa
La perte due au frottement
frot(x)=po -p(x)=po (1-e -(f+x))= 142.57 Mpa
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 56
La perte due au recul dancrage
frot
xgEd
= 13.71 m < x=23.5m rec = 0
La perte due la dformation instantane du bton
xEE
n21nx b
ij
pracc =27.47 MPa
la perte instantane
pi(x)=frot(x)+rec(x)+racc (x)= 170.04 MPa
La perte due au retrait du bton
rpr E =57 MPa
La perte due au fluage du bton
fl = (bM +b
F) Ep/Eij = 139.41 MPa
La perte due la relaxation des aciers
xf
x
100
6x pi0
prg
pi1000rel
=55.07 MPa
la perte diffre
relflrd65 =242. 37 MPa
La contrainte finale probable
p (x) =po -p(x)=1075.59 MPa
Application 2
Soit une poutre de pot tension de section rectangulaire (35x72)cm, de longueur de 15m
soumise la prcontrainte par 6 cbles j = 10 jours.
Pour la section mi trave (ep=-270 mm) ,dterminer :
la tension lorigine
la perte due au frottement
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 57
la perte due au recul dancrage
la perte due la dformation instantane du bton
la perte instantane
la perte due au retrait du bton
la perte due au fluage du bton
la perte due la relaxation des aciers
la perte diffre
Dduire la valeur de :
La contrainte finale probable
La contrainte finale maximale
La contrainte finale minimale
Donnes :
=0.072 rd f = 0.18 rd -1
= 0.002 m-1
g= 1mm Ei10 = 34 103 MPa Ap = 1672.2 mm2
fc28=35 MPa r= 3.10-4
fprg=1720 MPa fpeg=1460 MPa
1000=8 % O =0.3 Ep=190000 MPa
In=1.033 1010 mm4 Bn=0.250 106 mm 2
Application 3
Soit une poutre de 40 m de longueur, prcontrainte par des cbles forms de torons
trs basse relaxation avec une relaxation garantie 1000 heurs gale 2.5 % , de
limite dlasticit 1583 MPa et de contrainte de rupture garantie 1770 MPa. La mise en
tension a lieu 12 jours sur un bton de rsistance fc28 = 35 MPa.
Le retrait final est gal r = 3.10-4 . le glissement de lancrage est de 5 mm,
les coefficients de frottement valent : f = 0.17 m-1 , = 0.0016 rd-1.
La contrainte au centre de gravit des armatures due laction des charges permanentes
existantes la mise en tension et laction de la prcontrainte vaut: 7.5 MPa .
La contrainte supplmentaire apporte par les actions permanentes appliques 50 jours
vaut 1 MPa. La contrainte finale valant 7.2 MPa.
Pour la section mi trave (x=20m ,=0.11 rd) ,dterminer :
la tension lorigine
la perte due au frottement
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CHAPITRE 4 : Pertes de prcontrainte 58
la perte due au recul dancrage
la perte due la dformation instantane du bton
la perte instantane
la perte due au retrait du bton
la perte due au fluage du bton
la perte due la relaxation des aciers
la perte diffre
Dduire la valeur de :
La contrainte finale probable
La contrainte finale maximale
La contrainte finale minimale
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CHAPITRE 5 : Dimensionnement de la prcontrainte 59
Dimensionnement de la pr contrainte
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CHAPITRE 5 : Dimensionnement de la prcontrainte
Bton prcontraint : Cours et exercices Abdelaziz Yazid Centre Universitaire de Bechar
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1. OBJECTIF DU DI MENSI ONNEMENT
Lobjectif du dimensionnement de la prcontrainte est de dterminer la force effective P
(aprs soustraction des pertes de tension ) qui doit rgner dans la section tudie afin
que les contraintes limites soient assures.
2. DIAGRAM M E DE VERIF I CATION
Les vrifications des contraintes peuvent se ramener aux deux cas suivants :
Cas 1: lment soumis la prcontrainte et un moment minimum Mm
FigureV.1
Cas 2: lment soumis la prcontrainte et un moment maximum MM
FigureV.2
Ces deux ensembles , un peu contradictoire , peuvent tre regroups sous forme du
diagramme de vrification suivant :
Mm
PP
PP
MM
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CHAPITRE 5 : Dimensionnement de la prcontrainte
Bton prcontraint : Cours et exercices Abdelaziz Yazid Centre Universitaire de Bechar
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FigureV.3
Avec:
s1 : contrainte limite la fibre suprieure sous chargement 1 (P et Mm)
s2 : contrainte limite la fibre suprieure sous chargement 2 (P et MM)
i1 : contrainte limite la fibre infrieure sous chargement 1 (P et Mm)
i2 : contrainte limite la fibre infrieure sous chargement 2 (P et MM)
3. DONNEES DE BASE
Les donnes de base du dimensionnement de la prcontrainte sont :
Les donnes gomtriques :
La gomtrie de la section
Laire de la section B
Moment dinertie I
Distance de la fibre suprieure Vs
Distance de la fibre infrieure Vi
Rendement de la section=I / B Vs Vi
Les contraintes limites :s1 ,s2 , i1,i2
4. APPROCHE DE LA PRECONTRAI NTE
4.1. Cble moyen f ictif
Les cbles de prcontrainte dans chaque section , forment un ensemble qui peut tre
assez complexe ; cest pour quoi, pour les calculs ,on remplace souvent cet ensemble par
un cble moyen fictif qui aurait , dans chaque section , le mme effet des cbles
rellement mis en place (Figure V.4 ).
s2s1
i2 i1
Vs
Vi
h
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CHAPITRE 5 : Dimensionnement de la prcontrainte 62
Figure V. 4
4.2. Centre de pression
Leffet dun effort de prcontrainte P excentr de eo et dun moment flchissant Mfest quivaut un effort de prcontrainte P, appliqu en point appel centre
de pression dordonne:
PM
ee f
o
Figure V. 5
4.3. Noyau limite
La contrainte dans une fibre dordonne y scrit en valeur algbrique, sous
la forme suivante :
yI
y)MPe(
BP
fO =I
yPe
BP = )
VsViey
1(BP
puisque=I / B Vs Vi
Dans le cas gnral, on doit avoir : C)y(t
Sur la fibre suprieure y= (+) Vs :
S1 )Vie1(BP S2
e
P
Mf
eo
P
-
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CHAPITRE 5 : Dimensionnement de la prcontrainte 63
Sur la fibre infrieure y= (-) Vi :
i2 )Vse1(
BP
i1
Ces deux doubles ingalits peuvent se mettre sous la forme suivante :
1P
BsVieP
Bs1Vi 21
PBi1Vse1
PBiVs 21
si on pose
-Bi = 1P
BiVs 1
Bs = 1
P
BsVi 2
-Ci=P
Bs1Vi 1
Cs =P
Bi1Vs 2
Le segment [- Bi, Bs] est le noyau limite de compression.
Le segment [- Ci,Cs] est le noyau limite de traction.
Le segment [- Di,Ds]= [- Bi,Bs] [- Ci,Cs] est le noyau limite au sens strict.
Remarque
En pratique, le concept de noyau au sens strict est lourd manier. Au niveau du pr
dimensionnement ,seule est facilement exploitable la notion de noyau de traction qui
permet de dfinir la prcontrainte P et son excentricit eo.
Le noyau de compression conditionne, pour sa part les caractristiques donner aux
section droites mais, pour effectuer leurs dimensionnement , il est beaucoup plus simple
dcrire directement, dans les zones dterminantes, le respect des contraintes limites
de compressions2eti1.4.4. Excentr icitdu cble moyen f icti f
On a: Pe=Pe+Mfe=eo+ PMf
-Ci e correspondant au cas de chargement 1 : Mf=Mm
-CiP
Me
fo eo
PMC mi
-
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CHAPITRE 5 : Dimensionnement de la prcontrainte 64
e Cs correspondant au cas de chargement 2 : Mf=MM
P
Me Mo CseoP
MCs M
Lexcentricit du cble moyen fictif doit tre comprise entre deux bornes:
P
MC mi eoP
MCs M
le cble moyen fictif doit passer lintrieure du segment eo1eo2 appel segment
de passage.
Le segment [- Bi - Mm/P, Bs -MM/P] est le noyau de passage de compression
Le segment [- Ci - Mm/P, Cs - MM/P] est le noyau de passage de traction
Le segment [-Di-Mm/P, Ds- MM/P]= [-Bi - Mm/P, Bs - MM/P] [ - C i - M m/P,
Cs -MM
/P] est le noyau de passage au sens strict.
5. FUSEAU DE PASSAGE
La zone qui , sur tout llment, est dlimit par lensemble des segments de passage
sappelle fuseau de passage.
FigureV.6
Pour que la prcontrainte dun lment soit possible ,il faut runir deux conditions:
Lexistence du segment de passage
Un enrobage suffisant
6. NOTION DE SECTION CRITIQUE
6.1. Section sous criti que :Si tout les segment de passage est lintrieure de la zone quipermet un enrobage suffisant, la section est dite sous critique.
6.2. Section critique :Dans le cas o ils serait possible que le segment de passage soit
rduit un point , la section est critique.
6.3. Section sur criti que :Si le segment de passage une de ses frontires dcoupe
la zone denrobage (segment ouvert),la section est dite sur critique.
Fuseau de passage
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CHAPITRE 5 : Dimensionnement de la prcontrainte 65
FigureV.7
7. EVALUATI ON DE L A PRECONTRAINTE
7.1. Cas de section sous critique et cri tique
Le segment de passages est limit un pointI
Mo
I
m
PMCse
PMCi , dou on tire:
CiCs
M
CiCs
MMP mMI
et comme :
I
2
PiB1VsCs
I
1
PsB1ViCi
on obtient :
h
sViiVsBM
P
112I
ou encore, puisqueVsViIB
:
h
sVsIi
ViIM
P12
I
7.2. Cas de section sur cri tique
1) Moment positif :
)diVi(PMCse
II
Mo
dou on tirediViCs
MP MII
De mme :PII= diVsVi
iViIM 2M
Section sous critique Section sur critiqueSection critique
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CHAPITRE 5 : Dimensionnement de la prcontrainte 66
2) M oment ngatif :
dVsPMCie
II
mo
Dou:
dsVsCiMP mII
De mme :
dsViVs
sVsIM
P1m
II
Remarque
si PI> PII la section est sous critique
si PI< PII la section est sur critique
7.3. Cas par ticul ier
Si on suppose s1= i2=o ,alors on a:
VsCs
ViCi
7.3.1. Section sous cri tique
hM
PI
7.3.2. Section sur critique
1) M oment positi f
PII= diVsViMM
2) M oment ngatif
dsViVs
MP mII
Par comparaison ,on peut constater les conomies obtenues sur leffort de prcontrainte
lorsquon tolre des contraintes de traction dans le bton (s1= i2
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CHAPITRE 5 : Dimensionnement de la prcontrainte 67
8.2. Cas dune section sur critique
1) M oment positi f
22 i
Vi
Vss
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