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A LA DÉCOUVERTE DES NOMBRES DE BERNOULLI

Par

Cardoso Filipe, Hublet Magali, Petit Elise & Soares Francisco

Dédra-math-isons, 22 avril 09

Collège Saint-Michel Professeur responsable : M. Bolly

QUESTION DE DÉPART On peut montrer que :

Peut-on écrire

Sous forme d’un polynôme

En clair, comment arriver à ces coefficients

SOMME DES N PREMIERS ENTIERS

Posons l’égalité

Si on remplace successivement X par 1, 2,…, n

…

+ __________________________________

SOMME DES N PREMIERS CARRÉS

Par la même méthode, on arrive à :

SOMME DES N PREMIERS CUBES

Pour

On obtient :

TRIANGLE DE PASCAL

BINOME DE NEWTON

On veut généraliser le produit suivant :

Pour ce faire, observons les résultats quand n vaut 1,2,3,…

Coefficients des termes = suite des nombres du triangle de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Suite de termes de type (n et p entiers naturels) :

ET

= terme ligne n colonne p

On arrive donc à :

Grâce à la méthode vue précédemment, on obtient :

En changeant légèrement le tableau, on a :

Première observation:

(pour k ≥ 1 car un terme en k = 1)

Donc, coefficient =

Coefficient = ?

Liste des coefficients pour :

En multipliant par 6, on obtient:

3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36

On les retrouve dans le triangle de Pascal :

k+1/ p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

On peut écrire les coefficients sous la forme :

On obtient donc, pour k 2 :

Le coefficient pour est nul pour tous les polynômes de la liste.

Liste des coefficients de pour :

En multipliant par 30, on obtient :

On obtient :

Il existerait donc une suite de nombres particuliers :

Les sont appelés « Nombres de Faulhaber »

On peut déjà généraliser :

Comment calculer ?

En posant n = 1 dans la formule de Faulhaber, on a :

On obtient alors :

Grâce à cette relation fondamentale, on dispose d’une série d’équations que l’on peut résoudre successivement.

Introduisons la série génératrice exponentielle des nombres de Faulhaber

D’autre part,

La relation suivante peut donc être vérifiée :

Euler introduit une autre série génératrice :

Coefficients = Nombres de Bernoulli

Etablissons une relation entre les nombres de Bernoulli et ceux de Faulhaber.

En comparant les coefficients de B(-x) et de F(x) :

Les premiers nombres de Bernoulli sont donc les suivants :

On peut donc généraliser la somme des n premières puissances d’entiers à l’aide des nombres de Bernoulli.

( Rappelons que )

Nous sommes à présent capables de répondre à notre question défi initiale…

Donc :

On peut donc écrire ce polynôme de la manière suivante :

Et nous sommes tous très contents !