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Outils et méthodologie d’étude des systèmes

électriques polyphasés

Généralisation de la méthode des vecteurs

d’espace

Directeur de thèse : Christian Rombaut

• Introduction

• Caractérisation vectorielle des modulateurs

• Association Modulateur - Sources

• Commande d’une machine pentaphasée

• Conclusion

Formalismes existants

Quels outils ?

Exemples d’utilisation

IntroductionPlan

Étude des systèmes électriques

• Formalisme matriciel

• Phaseurs complexes ou vecteurs d’espace

Introduction Formalismes existants

:matrice

3dimensiondeespaceun'd

etVecteurs

Formalisme matriciel

• Espaces vectoriels

Formalisme matriciel

• Espaces vectoriels

• Applications linéaires d’espaces vectoriels ou

morphismes

2321 eaaveca)t(va)t(v1)t(vcv

• Commande des onduleurs

• Équations des machines électriques

• Utilisation des connaissances de géométrie

Phaseurs complexes

• Pour les systèmes triphasés :

Multiplication par exp(j).

• Rotation plane d’angle 1

0 et 7

Est-il nécessaire d’introduire de nouveaux outils?

OUI, si

Introduction Quels outils ?

Synthèse de méthodes généralisables

• Noyau et image d’un morphisme

• Barycentre et produit mixte

• Produit scalaire et vectoriel

Au service d’un formalisme vectoriel

• les modulateurs d’énergie

• les systèmes électriques polyphasés

Un formalisme vectoriel pour étudier :

Une généralisation de la méthode des phaseurs complexes

Machine triphasée avec q barres rotoriques.

Plus généralement, morphismes à matrice rectangulaire

Noyau et image d’un morphisme

Alimentation d’une charge triphasée par onduleur

de tension deux niveaux

Plus généralement, détermination et exploitation des

degrés de liberté de commande d’un modulateur

Introduction Exemples d’utilisation

Barycentre et produit mixte

Calcul des durées de conduction des interrupteurs d’un

onduleur

Prise en compte des durées minimales

de conduction des interrupteurs d’un

onduleur de courant

zone in terd ite

Produit scalaire et vectoriel

Prise en compte des saturations de commande d’un

onduleur

Calcul des durées de conduction des interrupteurs

Expression du couple d’une machine électrique

Modèle du modulateur étudié

Familles et espaces vectoriels associés

Pour une commande « aux valeurs moyennes »

Caractérisation vectorielle des modulateurs Plan

Caractérisation vectorielle des modulateurs Modèle du modulateur étudié

p sources de courantic1 ic2 ic3

Référence de potentiel

ksourcesdetension

p tensions

p sources de courant

k courants

k sources de tension

Associer deux espaces au MODULATEUR

Caractérisation vectorielle des modulateurs Familles et espaces vectoriels associés

Espace de dimension p

Espace de dimension k

Du côté des

p sources de courant

Du côté des

k sources de tension

Base orthonormée : cp2c1cc x,...,x,xB

Modulateur côté sources de courant

cpcp2c2c1c1cc xv...xvxvv

cpcp2c2c1c1cc xi...xixii

cpcp2c2c1c1cc xv...xvxvv

Modulateur côté sources de courant

Différentes valeurs de vck

Famille de vecteurs tension

3 sources de courant

ic2ic3

sources

tension

Référence de potentiel

Exemple : onduleur triphasé deux niveaux

vc1 = ± E

vc2 = ± E

vc3 = ± E

. xE xE xEOM; xE xE- xEOM

;xE xE- xE-OM;xE xE xE-OM

;xE- xE xE-OM;xE- xE xEOM

;xE- xE- xEOM; xE- xE- xE-OM

3c2c1c73c2c1c6

3c2c1c53c2c1c4

3c2c1c33c2c1c2

3c2c1c13c2c1c0

3c3c2c2c1c1cc xvxvxvv

. xE xE xEv; xE xE- xEv

;xE xE- xE-v;xE xE xE-v

;xE- xE xE-v;xE- xE xEv

;xE- xE- xEv; xE- xE- xE-v

3c2c1c7c3c2c1c6c

3c2c1c5c3c2c1c4c

3c2c1c3c3c2c1c2c

3c2c1c1c3c2c1c0c

Représentation graphique : 8 points, sommets d’un cube

Exemple : onduleur triphasé deux niveaux

3c3c2c2c1c1c xvxvxvOM

vc1 = ± E vc2 = ± E vc3 = ± E

23 combinaisons

(E,E,-E)

(E,E,E)

(E,-E,-E)

(E,-E, E)

Un bras bloqué à +E

8 sommets du cube

Caractérisation vectorielle des modulateurs d ’énergie

MLI régulière symétrique

t0/2 t1/2 t2/2 t1/2 t2/2 t0/2

Tension instantanée vc1

MLI régulière

symétrique

t0 /2 t1 /2 t2 /2 t3 /2 t1 /2 t2 /2 t0 /2

MLI régulière

symétrique

Examen des points activés

(E,E,-E)

(E,E,E)

(-E,-E,-E)

(E,-E,-E)

dimension p

Famille de vecteurs tensioncrv

Résumons

Côté source de courant

T)1k( cT1

tdt)t(v)kT(v

1rcrrr v de activationd' durée et ttT avec

Valeur moyenne à kT de la tension

1rrrr M de activationd' durée et ttT avec

Caractérisation vectorielle des modulateurs Pour une commande “ aux valeurs moyennes ”

• M barycentre des N points Mr

• tr/T coordonnées barycentriques

M appartient au polyèdre défini par les points Mr.

Dans l’exemple étudié, cube :

M barycentre des N points Mr

qkji ttttT

M7ti, tj, tk, tq ??

Exemple de 4 points non coplanaires

Exemple : décomposition barycentrique de M sur 4 points non coplanaires

Appliquons l’opérateur

qjk OMOMOMXX

à chaque membre de l’équation

OMOMOMOM

OMOMOMOMTt

scoplanairenon ,M,M,MM si 0OMOMOMOM qkjiqjki

identiques ursdeux vecte si0dcba

Propriétés

(x, y,z) coordonnées de M

() constantes

OMOMOMOM

OMOMOMOMTt

ti = x + y + z +

3 additions, 3 multiplications : commande temps réel

Caractérisation vectorielle des modulateurs Résumé

Caractérisation vectorielle indépendante de la charge

Généralisation aisée Charge ?

Coordonnées barycentriques

Produit mixte

Formulation générale des durées d’activationAlgorithme adapté au calcul temps réel

• Introduction

• Caractérisation vectorielle des modulateurs

• Association Modulateur - Sources

Espaces vectoriels associés aux sources

Alimenter c’est créer un morphisme

Exploitation des propriétés d’un morphisme

Association modulateur - sources

Espaces vectoriels associés aux sources

cncn2c2c1c1cc su...susuu

cncn2c2c1c1cc sj...sjsjj

• uck tension aux bornes de la phase n°k

• jck courant au sein de la phase n°k

n phases de la source de courant

Modulateur impose p tensions vck

Relations entre les p tensions vck et n tensions uck

ccc uv AMorphisme Ac

uc1 = vc1 – vc3 ; uc2 = vc2 – vc1 ; uc3 = vc3 – vc2 ;

Exemples :

Pour un couplage triangle

vc1 ic1

uc1 uc2 uc3

p = 3 n = 3

Exemples :

Pour un couplage étoile

uc1 = vc1 – vcN ; uc2 = vc2 – vcN ; uc3 = vc3 – vcN ;

p = 3 n = 3 ic3

uc1 uc2 uc3

jc2 jc3

Exemples :

Pour un couplage étoile avec neutre sorti

uc1 = vc1 – 0 ; uc2 = vc2 – 0 ; uc3 = vc3 – 0 ;

uc1 uc2 uc3

jc2 jc3

p = 3 n = 3

vcN = 0

Exemples :

Couplage avec neutre sorti

uc1 uc2

p = 2 n = 3

uc1 = vc1 – vCN ; uc2 = vc2 – vCN ; uc3 = – vCN ;

EncEcp

ckvcku

Synthèse d’une commande

Analyse des degrés de liberté de la commande

Phaseur complexe : caractérisation incomplète

Application à la commande de l’onduleur triphasé

On cherche à imposer les tensions uck aux bornes des

n phases de la source de courant.

cncu E donc désireOn

Solution ? ? cpcv E

Ce vecteur doit appartenir à Im Ecpcu

ccc uv A alors oui Si

Im Ecp

• Si Ac est bijectif :

cc uv -1

• Si Ac non bijectif

Décomposition de Ecp en somme de deux espaces

orthogonaux : Ecp = Ker Ac cAKer

(KerAc)

Im Ecpcréfu

Morphisme bijectif Acr : cpKer EA Imc

)v ( ) v ( ccccr AA

huv cc

crAÉlément du noyau de Ac

(KerAc)

Im Ecpcréfu

cc uv -1

Analyse des degrés de liberté cu donc désireOn

cvsolution unesupposeOn

liberté de degré de pas:vsolution seule Une c

liberté de degré de présence:v solutionsPlusieurs c

dim Ker Ac : nombre de degrés de liberté

Exemple :

Couplage avec neutre sorti

Analyse des degrés de liberté

uc1 = vc1

uc2 = vc2 uc3 = vc3

uc1 uc2 uc3

jc2 jc3

• dim Ker Ac = 0

• pas de degré de liberté

cc uv -1

uc1 uc2 uc3

jc2 jc3

Exemple :

Couplage triangle

• dim Ker Ac = 1

• Ker Ac droite

de vecteur

3c2c1c xxx

Analyse des degrés de liberté

Un degré de liberté :

« homopolaire »

Direction du noyau

(KerAc)

Phaseurs complexes : caractérisation incomplète

cAKerProjection sur

• Décomposition d’un vecteur en deux composantes

• Abandon de la composante qui appartient au noyau Ker Ac

Ecp = Ker Ac cAKer

Cas triphasé des couplages étoile et triangle

Noyau : droite de vecteur directeur 3c2c1c xxx

planKer cA

p3c3cp2c2cp1c1cp xvxvxvOM

3c3c2c2c1c1c xvxvxvOM

Projection

Projection du cube

2c1ccp evev1v3

p3c3cp2c2cp1c1cp xvxvxvOM

p1c1ccpp

M0pet M7p

M3p M2p

M6pM5p

Phaseurs complexes : caractérisation géométrique incomplète

Incomplète ?

Image par Ac du cube engendré par les points Mr ?

M3i M2i

M6iM5i

M0i et M7i

Source triphasée de courant en étoile

M0i et M7i

Source triphasée de courant en triangle

Aux valeurs moyennes : étoile ou triangle

Commande de l’onduleur triphasé

doit appartenir à l’image du cubecu

Aux valeurs moyennes : étoile ou triangle

huv cc

noyaudu vecteur havec

• avec injection d’harmonique 3 ou d’homopolaire :

cc uv -1

crA• classique : 0h donc

doit donc appartenir

• au cube

• au plan d’équation

0xxx.vh 3c2c1cc

Classique aux valeurs moyennes

vc1+ vc2 + vc3 = 0

Cette intersection définit un hexagone [P1, P2, P3, P4, P5, P6]

0 imposes'on donc -1

huv cc A

Commande de l’onduleur triphaséClassique aux valeurs moyennes

Direction du noyau (homopolaire)

x c 2 p

x c 1 p

x c 3 p

OM 1 p

M 3 p M 2 p

M 6 pM 5 p

Aux valeurs moyennes avec homopolaire

huv cc

Exemple : un vecteur de consigne d’amplitude constante.

Il décrit un cercle.

• décrit un cercle inscrit dans l’hexagone [M1p … M6p]

• appartient au cylindre inscrit dans le cube

x c 2 p

x c 1 p

x c 3 p

OM 1 p

M 3 p M 2 p

M 6 pM 5 p

M0p et M7p

Trace dans le plan de

x c 2 p

x c 1 p

x c 3 p

OM 1 p

M 3 p M 2 p

M 6 pM 5 p

M0p et M7p

Homopolaire non nul

R /2 E = 0 ,6 5

Homopolaire non nul

x c 2 p

x c 1 p

x c 3 p

OM 1 p

M 3 p M 2 p

M 6 pM 5 p

P1 P2M2p

Résumé

Méthode de synthèse d’une commande

Comment déterminer et exploiter les degrés de liberté d’une commande

Lien avec le phaseur complexe

Commandes de l’onduleur triphasé

Commande d’une machine pentaphasée

expression du flux

commande « optimale »

machine diphasée « équivalente »?

• 5 phases au stator et au rotor décalées de

• Régulièrement construite

• Linéaire du point de vue magnétique

• Approximation au premier harmonique d’espace

Hypothèses sur la machine

Commande d’une machine pentaphaséeExpression du flux

j r4 j r5

5e4e3e2e1e

5d4d3d2d1d

5c4c3c1c1c

5b4b3b2b1b

5a4a3a2a1a

1s5s4s3s2s

2s1s5s4s3s

3s2s1s5s4s

4s3s2s1s5s

5s4s3s2s1s

1r5r4r3r2r

2r1r5r4r3r

3r2r1r5r4r

4r3r2r1r5r

5r4r3r2r1r

5e5d5c5b5a

4e4d4c4b4a

3e3d3c3b3a

2e2d2c2b2a

1e1d1c1b1a

)j(f)j(f rsrssss

)j(f)j(f rrrsrsr

• , base orthonormée de vecteurs

propres

c0 m,m,m,m,m

plan plandroite

c00rr mJmJmJmJmJj

c00ss mJmJmJmJmJj

2sssss3s3s2s2s1s1ssss JM2

5jJJJ)j(f

22r11rsrrsr bJbJM2

42s31ssrsrs bJbJM2

2rrrrr3r3r2r2r1r1rrrr JM2

5jJJJ)j(f

22r11rsr2ssssss bJbJM2

42s31ssr2rrrrrr bJbJM2

Vecteurs d’un même

plan Inductances de fuite

Faible participation au flux Forte participation au flux car r est grand

Mutuelles cycliques

Un espace scindé en 3 sous espaces vectoriels orthogonaux

2c1 m,mPlan engendré par

Composantes significatives des

« Consacrer toute son énergie » à ce plan

Annuler les autres composantes du courant statorique :

Js0, Js3 et Js4

Sans couplage entre ces espaces

À même niveau de pertes Joule, + de flux

• annulation de Js0, Js3 et Js4

• Js0 = js1 + js2 + js3 + js4 + js5

Commande d’une machine pentaphaséeCommande « optimale »

Simple connexion « mécanique » des 5

bobines statoriques

En étoile sans neutre sorti

Par contre :

5s4s3s2s1sc3s3s j8

2cosj6

2cosj4

2cosj2

5s4s3s2sc4s4s j8

2sinj6

2sinj4

2sinj2

Commande adéquate du modulateur

« Notion de couplage électrique » ?

Commande d’une machine pentaphaséeCommande « optimale »

Annuler, aux valeurs moyennes, Js3 et Js4

Définition d’une machine diphasée équivalente

Commande d’une machine pentaphasée Machine diphasée « équivalente »?

Si Js0 = 0, <Js3> = 0 et < Js4 > = 0

5544332211 p)t(xp)t(xp)t(xp)t(xp)t(xx

2c1 m,mplanledans

ckk sdeprojectionp

Commande d’une machine pentaphasée Machine diphasée « équivalente »?

2321 a)t(xa)t(xa)t(xa)t(x1)t(x

eaavec

Commande d’une machine pentaphaséeRésumé

Multitude des transformations matricielles ?

Multitude de choix de bases possibles

Unicité de la décomposition de l’espace

en 3 sous espaces vectoriels orthogonaux

Critères d’une commande « optimale » :

Ne pas exciter deux des trois sous espaces

Machine diphasée « équivalente » aux valeurs moyennes

Origine du formalisme ?

Conclusion

Onduleur de courant en M.L.I.

Condensateurs - Machine Asynchrone

Conclusion

• de l’ensemble Machine Asynchrone - Condensateurs

• de l’onduleur de courant

Caractérisation vectorielle :

Saturation de l’amplificateur « linéaire »?

Saturation des boucles d’asservissement de tension ?

Deux phénomènes de résonance ?

R s l s l 2

R 2 /gLC

Caractérisation de l’onduleur de courant : 6 vecteurs

Conclusion

Moyens de calculs limités par un microcontroleur HC16

Prise en compte des non linéarités de l’onduleur

Conclusion

Optimisation de la détermination des durées de conduction

• Recherche du secteur et calcul des durées :

3 multiplications et 2 additions

Vectoriellement

Conclusion

Un formalisme vectoriel qui bénéficie

• des propriétés graphiques et géométriques de la théorie des

« vecteurs d’espace » qu’il généralise

• de la puissance du traitement matriciel.

Onduleur « monophasé »

Onduleurs triphasés de tension et de courant

Supports géométriques conceptuels

pour la synthèse de méthodes générales

Conclusion

Commande de systèmes polyphasés tant

• pour les modulateurs

• pour les sources

Conclusion

Étude vectorielle des modulateurs et des sources

• Méthode de synthèse d’une commande (morphisme)

• Analyse et exploitation des degrés de liberté (noyau d’un morphisme)

• Calcul temps réel des durées de conduction (barycentre et produit mixte)

•Prise en compte des saturations d’un modulateur (produit vectoriel et produit mixte)

• Commande en instantané (DTC) par distance euclidienne

Domaines d’application ?

• Machines polyphasées de forte puissance

Usage d’onduleurs « standards » grâce au fractionnement de la puissance avec moins

de problèmes thermiques et de CEM

• Machines polyphasées de petite puissance

Bobinages simples et onduleurs intégrés (SmartPower)

Conclusion

• Actionneur tridimensionnel : rotule piézoélectrique ?

Conclusion

• Commande de modulateurs d’énergie

Modulateur à n bras deux niveaux

Modulateur multiniveaux

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