alors est conservative et le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement de a et de b :...
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alors est conservative et le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement de A et de B :
Définition. Travail d’une force le long du parcours Travail
PP x
dE E (F =- si une seule dimension)
dxF grad
""""""""""""""
AB
B. Rossetto
AB AB
W F. dl.cos F dl""""""""""""""""""""""""""""
dl""""""""""""""
F
A
B
F""""""""""""""P
H Propriété. S’il existe EP tel que
Energie potentielle. On définit l’énergie potentielle duchamp de force conservative comme une primitive:
Energie cinétique. L’énergie cinétique d’une particule de masse m dont le module de la vitesse est v est définie par Ek=(1/2)mv2.
PE (+cte) F dl""""""""""""""""""""""""""""
ÉnergieF""""""""""""""
EuroMed Management, ESCT
P PW E (B)-E (A)
1
Energie potentielle accumulée par un ressort
Travail de la force de rappel lors du déplacement par rapport à la position d’équilibre
""""""""""""""F
x2
0
1W = -k x dx k x
2
Energie potentielle :
x
2p
1E = k x
2
Energie potentielle accumulée par la dénivellation zz
0
W = -mg dx = mgzTravail : , énergie potentielle : pE = mgz
EuroMed Management, ESCT B. Rossetto 2
Em = Ep + Ek
Définition
EuroMed Management, ESCT B. Rossetto
L’énergie mécanique Em est égale à la somme de l’énergie potentielle Ep et de l’énergie cinétique Ek
Théorème La variation (négative) d’énergie mécanique lors d’un parcours est égale au travail des forces non conservatives, dont l’énergie est dissipée sous forme thermique.
""""""""""""""""""""""""""""B
m p kA
ΔE = ΔE + ΔE = F.dl
AB
En l’absence de forces dissipatives (non conservatives), l’énergie mécanique se conserve (théorème de conservation de l’énergie mécanique)
3
EuroMed Management, ESCT B. Rossetto 4
Au départ, le pendule est porté à la hauteur h. Son énergie potentielle est donc Ep = mgh. Il est relâché avec une vitesse nulle. Son énergie cinétique est donc nulle.
On lâche le pendule. La force de pesanteur confère de la vitesse à la masse. A la verticale, l’énergie potentielle est entièrement transformée en énergie cinétique
L’énergie cinétique s’est à son tour transformée en énergie potentielle. Le pendule est revenu à la hauteur h, mais, sous l’effet de l’inertie, l’angle de rotation a changé de sens.
Le pendule revient en position verticale et va rejoindre sa position initiale. Le mouvement se poursuivrait indéfiniment s’il n’y avait les frottements de l’axe et de l’air, faibles il est vrai.
hh
h
v""""""""""""""
v""""""""""""""
mg
mg
Le pendule simple : description du phénomène
EuroMed Management, ESCT B. Rossetto 5
Le pendule simple: les équations. L’oscillateur harmonique
2
2
d gsin 0
dt
l
ddt
L""""""""""""""
h
mg
L’application du principe fondamental de la dynamique
T""""""""""""""
conduit à , soit pour petit
2 ..
2
d g g0 ou 0
dt
l l
C’est l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique qui, avec les
conditions initiales et , a pour solution
l
max
g(t) cos( t)
l
max(0) .
(0) 0
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L’oscillateur harmonique amorti
Quelques caractéristiques du mouvement sinusoïdal
_12pulsation : 2 f (rad/sec ou s )
T
1fréquence : f 1 Hz
T
période : T 1 s0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0
t
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
y En bleu est représentéeune période de
maxy(t) y cos( t)
et en rouge :
maxy(t) y sin( t)
avec ymax = 1 et avec les éléments suivants :
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L’oscillateur harmonique amorti
2
2
d x f dx kx 0
dt m dt m
ddt
v F"""""""""""""" """"""""""""""
L’application du principe fondamental de la dynamique
conduit à l’équation différentielle
qui s’écrit
Avec les conditions initiales et , la solution est
t 2max n n 0 0x(t) x e cos( t), où 1 z et z
maxx(0) x.
x(0) 0
22
0 0 02
d x dx k f 12z x 0, avec et z
dt dt m 2 km
f
m
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L’oscillateur harmonique amorti
Oscillations amorties
1 2 3 4 5 6 7t
0 .5
0 .5
1 .0
y
αt-e
C’est le cas de l’équipage mobiled’une suspension de véhiculeLa pesanteur ne fait que déplacer le pointde repos. Seule la masse inerte intervient
f
k
m
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Oscillateur harmonique amorti mû par une entrée extérieure
Résonance 1, z = 0,04)
Lorsque la fréquence de l’entrée est égale à la fréquence propre n du système, il y a résonance
L’amplitude de l’oscillation croît de manière très importante (plus quedécuplée dans la figure ci-contre).
f
mmF cos( t )
20 40 60 80 100t
10
5
0
5
10
y