7/23/2019 Algbre multilinaire

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Algbre multilinaire

Pour les articles homonymes, voirAlgbre (homo-

nymie).

En mathmatiques, lalgbre multilinaire tend les m-

thodes de lalgbre linaire. Tout comme lalgbre linaire

est btie sur le concept devecteuret dveloppe la tho-

rie des espaces vectoriels, lalgbre multilinaire est b-

tie sur le concept detenseuret dveloppe la thorie des

espaces tensoriels. Dans les applications, de nombreux

types de tenseurs surviennent. La thorie se veut exhaus-

tive et comprend l'tude d'un certain nombre d'espaces etl'expos de leurs relations.

1 Historique de la notion dalgbre

multilinaire

L'algbre multilinaire a des racines varies plongeant

dans ce qui a t appel au XIXe sicle lanalyse ten-sorielleou le calcul tensorieldes champs tensoriels.Elle sest dveloppe partir de lutilisation des tenseurs

engomtrie diffrentielle, enrelativit gnrale, et dansde nombreuses branches des mathmatiques appliques.

Vers le milieu du XXe sicle, ltude des tenseurs est

reformule plus abstraitement. Le trait dalgbre mul-tilinaire du groupe Bourbaki (le chapitre 3 du livred'Algbre, intitul plus prcismentAlgbres tensorielles,algbres extrieures, algbres symtriques) est particuli-rement influent en fait le termealgbre multilinaireaprobablement t invent l.

Une des raisons de cette nouvelle formulation est une nou-

velle aire dapplication, lalgbre homologique. Le dve-

loppement de latopologie algbrique durant les annes

1940 donne une incitation additionnelle au dveloppe-ment dun traitement purement algbrique du produit ten-

soriel. Le calcul des groupes homologiques du produit

de deux espaces topologiques utilise le produit tenso-

riel ; mais c'est seulement dans les cas les plus simples,

tel que celui dun tore, que les groupes homologiques

peuvent tre calculs directement de cette faon (voir le

thorme de Knneth). Les phnomnes topologiques,

assez subtils, sont la source dune nouvelle rflexion sur

les concepts fondamentaux du calcul tensoriel.

Le matriel organiser est dense, incluant des ides re-

montant Hermann Gnther Grassmann, et des ides ve-

nant de la thorie desformes diffrentielles qui avaientmen lacohomologie de De Rham, ainsi qu des no-

tions plus lmentaires telles que leproduit extrieurqui

gnralise leproduit vectoriel.

La description qui rsulte du travail deBourbaki, axio-

matique, rejette entirement l'approche vectorielle (uti-

lise par exemple dans la construction des quaternions),

cest--dire, dans le cas gnral, la relation entre les es-

paces tensoriels et lesgroupes de Lie. Bourbaki suit, au

contraire, une approche nouvelle base sur la thorie des

catgories[1], dans laquelle le groupe de Lie ne fournit

qu'une description secondaire. Puisque cela mne un

traitement beaucoup plus rigoureux, il ny aura probable-

ment, en mathmatiques, plus de retour en arrire.

Cette approche revient essentiellement dfinir leses-paces tensoriels comme les constructions requises dansle but de rduire les problmes multilinaires des pro-

blmes linaires. Cette attaque purement algbrique ne

transfre aucune intuition gomtrique.

Le bnfice de cette formalisation est quen rexprimant

des problmes en termes dalgbre multilinaire, il y a

une meilleure solution claire et bien dfinie : les

contraintes que la solution exerce sont exactement celles

dont on a besoin en pratique. En gnral il ny a pas besoin

dinvoquer une quelconque construction ad hoc, ide go-mtrique ou autre pour coordonner des systmes. Dans le

vocabulaire de la thorie des catgories, tout est entire-

mentnaturel.

2 Conclusion sur lapproche abs-

traite

En principe lapproche abstraite peut recouvrir tout cequi est fait via lapproche traditionnelle. En pratique ce-

la peut ne pas sembler si simple. Dautre part la notion

de transformation naturelle est compatible avec le prin-cipe dela covariance gnrale dela relativit gnrale. Cedernier fait affaire auxchamps tensoriels(les tenseurs va-

riant de point en point sur une varit), maisla covariance

affirme que le langage des tenseurs est essentiel la for-

mulation propre de larelativit gnrale.

Quelques dcennies plus tard le point de vue plus abstrait

venant de la thorie des catgories fut li lapproche qui

avait t dveloppe dans lesannes 1930par Hermann

Weyl(dans son livre clbr et difficileLes groupes clas-siques). En un sens, cela complta la thorie, regroupantles points de vue anciens et nouveaux.

1

https://fr.wikipedia.org/wiki/Hermann_Weylhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Hermann_Weylhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Ann%C3%A9es_1930https://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_g%C3%A9n%C3%A9ralehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Covariant_et_contravarianthttps://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)https://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_tensorielhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_g%C3%A9n%C3%A9ralehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_relativit%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturellehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturellehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gorieshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gorieshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Liehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternionhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbakihttps://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectorielhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_ext%C3%A9rieurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Cohomologie_de_De_Rhamhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_diff%C3%A9rentiellehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Hermann_G%C3%BCnther_Grassmannhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_K%C3%BCnnethhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Torehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_cart%C3%A9sienhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Homologie_des_groupeshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_tensorielhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_tensorielhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie_alg%C3%A9briquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_homologiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbakihttps://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_de_math%C3%A9matiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_appliqu%C3%A9eshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_g%C3%A9n%C3%A9ralehttps://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentiellehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_tensorielhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_tensorielhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_tensoriellehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_tensoriellehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_tensorielhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectorielhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9airehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiqueshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_(homonymie)https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_(homonymie)

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2 6 NOTES ET RFRENCES

3 Contenu de lalgbre multili-

naire

Le contenu de lalgbre multilinaire a chang bien moins

que la prsentation, travers les ans. Voici dautres pages

qui y sont centralement pertinentes :

Espace dual

Oprateur bilinaire

Produit intrieur

Application multilinaire

Dterminant

Rgle de Cramer

Symbole de Kronecker

Contraction tensorielle

Tenseur mixte

Symbole de Levi-Civita

Algbre tensorielle

Algbre symtrique

Produit extrieur,Puissance extrieure

Algbre de Grassmann

Drive extrieure

Notation d'Einstein

Tenseur symtrique

Tenseur mtrique

4 Du point de vue des applications

Consultez ces articles pour certains moyens dans les-

quels les concepts de lalgbre multilinaire sont appli-

qus, dans diverses guises :

Tenseur dyadique

Notation bra-ket

algbre gomtrique

Algbre de Clifford

Pseudoscalaire

Pseudovecteur

Spineur

Produit extrieur

Nombre hypercomplexe

Courbure

5 Voir aussi

6 Notes et rfrences

[1] En fait, Bourbaki base son approche sur la notion de

proprit universelle, ce qui est moins gnral que la tho-rie des catgories, mais semble suffisant dans ce cas

Portail de lalgbre

https://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Alg%C3%A8brehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Propri%C3%A9t%C3%A9_universellehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Courburehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hypercomplexehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_ext%C3%A9rieurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Spineurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudovecteurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudoscalairehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Cliffordhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9om%C3%A9trique_(structure)https://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_bra-kethttps://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_dyadiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_m%C3%A9triquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_sym%C3%A9triquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_d%2527Einsteinhttps://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e_ext%C3%A9rieurehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Grassmannhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_ext%C3%A9rieurehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_ext%C3%A9rieurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_sym%C3%A9triquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_tensoriellehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Symbole_de_Levi-Civitahttps://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_mixtehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Contraction_tensoriellehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Symbole_de_Kroneckerhttps://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_Cramerhttps://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_(math%C3%A9matiques)https://fr.wikipedia.org/wiki/Application_multilin%C3%A9airehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_int%C3%A9rieurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_bilin%C3%A9airehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_dual

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7 Sources, contributeurs et licences du texte et de limage

7.1 Texte

Algbre multilinaire Source :https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_multilin%C3%A9aire?oldid=111321621Contributeurs :Orthogaffe, OsMoSe, Archibald, Phe, MedBot, Psychoslave, ADM, MFH, Dake, (anonyme), Diderobot, YurikBot, Gene.arboit, Flo, Lo-

veless, Jean-Luc W, Chlewbot, Peps, Liquid-aim-bot, Valvino, Juan Marquez, Dfeldmann, Speculos, TXiKiBoT, Mathieu Perrin, Allebor-

goBot, Ambigraphe, GLec, Alexbot, HerculeBot, Micbot, GrouchoBot, Anne Bauval, EmausBot, ElphiBot, Lydie Noria, Addbot, Jo888o,

M57885161 et Anonyme : 12

7.2 Images

Fichier:Arithmetic_symbols.svgSource :https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a3/Arithmetic_symbols.svgLicence :Pu-blic domainContributeurs :Travail personnelArtiste dorigine :Cetteimage vectoriellea t cre avecInkscapeparElembis, puis modifie la main.

Fichier:Disambig_colour.svgSource :https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Disambig_colour.svgLicence :Public do-mainContributeurs :Travail personnelArtiste dorigine :Bubs

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7.3 Licence du contenu

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