algèbre - jonathan harter · 2021. 3. 10. · sommaire algèbre chapitrealg.1 —...

Sommaire

Algèbre

Chapitre ALG.1 — Espaces Vectoriels 1

1. Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Combinaisons linéaires & Sous-espaces vectoriels . . . . . 7

2. Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1. Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Extraction & Complétion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Sous-espaces et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Structure de K-espace vectoriel sur ℒK(E,F) et puissances 334.3. Image & Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4. Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5. Cas particulier de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . 41

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1. Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2. Familles de vecteurs et dimension . . . . . . . . . . . . . . 475.3. Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.5. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Chapitre ALG.2 — Matrices 1

1. L’algèbre des matrices. Calcul Matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Échelonnement et algorithme de Gauß-Jordan des matrices 81.4. Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Et en Python? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Représentation matricielle d’objets linéaires . . . . . . . . . . . . . 202.1. Matrice d’un vecteur, d’une famille . . . . . . . . . . . . . 202.2. Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Opérations endomorphiques & opérations sur les matrices 292.4. Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1. Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2. Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3. Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Chapitre ALG.3 — Diagonalisation 1

1. Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Pour un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Pour une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Calcul effectif en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Utilisation d’un polynôme annulateur . . . . . . . . . . . . 101.5. Et en Python? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Critère de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1. Familles de vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Critère de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1. Calculs des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . 183.2. Calculs de racines de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Calculs de commutants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4. Résolution de systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . 22

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1. Calculs d’éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2. Pour des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3. Pour des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4. Autour des polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . 254.5. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chapitre ALG.4 — Produit scalaire euclidien 1

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Norme & Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1. Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Familles orthogonales & orthonormales . . . . . . . . . . . 112.3. Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormale . . 132.4. Diagonalisation des matrices symétriques réelles . . . . . . 15

3. Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1. Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés . . . 25

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1. Inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Diagonalisation de matrices symétriques . . . . . . . . . . 274.3. Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Chapitre ALG.5 — Nombres complexes & Trigono-métrie 1

1. Définition de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Notation exponentielle d’un imaginaire pur . . . . . . . . . 62.3. Exponentielle générale e𝑧 et forme exponentielle . . . . . . 72.4. Complément – racines 𝑛-ièmes d’un complexe [H.P] . . . 9

3. Trigonométrie & Applications des nombres complexes . . . . . . . 133.1. En trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Résolution d’équations du second degré . . . . . . . . . . 18

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2. Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3. Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4. Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5. Planche A-ENV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.6. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chapitre ALG.6 — Polynômes 1

1. Définition de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Propriétés du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Polynôme dérivé & primitivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Formule de TAYLOR pour les polynômes [H.P] . . . . . . . 6

3. Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2. Existence de racines & Comptage . . . . . . . . . . . . . . 103.3. Relations coefficients/racines . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1. Racines & Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Familles classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3. Applications linéaire & Polynômes . . . . . . . . . . . . . . 164.4. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Analyse

Chapitre ANA.7 — Fonctions de la variable réelle 1

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1. Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1. Généralités et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . 193.2. Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3. Extrema et théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2. Développement géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3. Développements obtenus par la formule de Taylor-Young. . 314.4. Développements obtenus par primitivation . . . . . . . . . 344.5. Développements obtenus par produits . . . . . . . . . . . 354.6. Composition de développements limités . . . . . . . . . . 37

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1. Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4. Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Chapitre ANA.8 — Équations différentielles 1

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Équations différentielles linéaires scalaires . . . . . . . . . . . . . 4

2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Équations différentielles linéaires du 1er ordre . . . . . . . 82.3. Équations différentielles linéaires du 2nd ordre à coeffi-

cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Technique du changement de fonction inconnue . . . . . 16

3. Quelques modèles de dynamique des populations . . . . . . . . . 173.1. Modèle malthusien : évolution libre . . . . . . . . . . . . . 183.2. Modèle logistique de Verhulst : évolution sous capacité de

milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3. Modèle de Gompertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4. Modèle proies-prédateurs de Lotka-Volterra : compétition

entre deux populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194. Résolution approchée par la méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . 205. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.1. Résolution par changement de fonction inconnue ou nonclassique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2. Avec contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chapitre ANA.9 — Suites & Séries Numériques 1

1. Suites Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Généralités sur les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Théorèmes de convergence par majoration, minoration et

encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Suites extraites des termes pairs et impairs . . . . . . . . . 101.5. Théorèmes de convergence par monotonie . . . . . . . . . 101.6. Suites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Séries Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Séries de signe constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Séries à termes quelconques & Convergence absolue . . . 302.4. Plan d’étude d’une série numérique . . . . . . . . . . . . . 332.5. Séries doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1. Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Chapitre ANA.10 — Intégration 1

1. Primitives & Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Intégrale sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Lien entre primitive et intégrale . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Calculs de primitives et d’intégrales . . . . . . . . . . . . . 91.6. Sommes de Riemann & Intégration Numérique . . . . . . . 15

2. Intégration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 182.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Propriétés des intégrales convergentes . . . . . . . . . . . 262.3. Calculs d’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Intégrales de fonctions de signe constant . . . . . . . . . . 292.5. Fonctions de signe quelconque & Convergence absolue . . 312.6. Plan d’étude d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1. Intégrales sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chapitre ANA.11 — Fonctions de plusieurs va-riables 1

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Que doit-on généraliser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1. Norme euclidienne sur R𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1. Dérivées directionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3. Fonctions 𝒞1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4. Fonctions 𝒞2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5. Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3. Dérivabilité & Équations aux dérivées partielles . . . . . . 244.4. Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Aléatoire

Chapitre ALEA.12 — Espaces probabilisés 1

1. Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Listes, Permutations, Combinaisons . . . . . . . . . . . . . 7

2. Axiomatique des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1. Motivation du formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Espace probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Univers & Espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Espace probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Résultat d’existence de probabilités . . . . . . . . . . . . . 192.6. Conditionnement & Indépendance d’évènements . . . . . 20

3. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Fonction de répartition & Loi . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1. Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2. Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chapitre ALEA.13 — Variables aléatoires discrètes 1

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Loi & fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Propriétés des variables aléatoires réelles discrètes . . . . . 9

1.4. Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. Espérance, Variance, Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Moments d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1. Loi uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Loi de BERNOULLI & binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Loi Hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4. Loi Géométrique & Absence de mémoire . . . . . . . . . . 333.5. Loi de POISSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6. Bilan des lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Pour 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Chapitre ALEA.14 — Vecteurs aléatoires discrets 1

1. Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Couples aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Couples aléatoires discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1. Système complet associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Loi marginale, conjointe, conditionnelle . . . . . . . . . . 62.3. Sommes de variables aléatoires réelles discrètes indépen-

dantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Espérance, Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1. Révisions sur les calculs de sommes doubles . . . . . . . . 243.2. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Univers-image fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4. Univers-image dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


Chapitre ALEA.15 — Variables aléatoires à densité 1

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Loi, fonction de répartition et univers-image . . . . . . . . 51.3. Propriétés des variables aléatoires réelles à densité . . . . . 111.4. Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Espérance, Variance, Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1. Espérance d’une variable à densité . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Moments d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1. Loi uniforme sur [𝑎,𝑏] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4. Bilan des lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Études de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3. Autour de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4. Somme de variables aléatoires réelles à densité indépen-

dantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Chapitre ALEA.16 — Théorèmes limites probabi-listes 1

1. Inégalités de concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1. Moyenne et variance empirique . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Loi limite de la centrée/réduite : le théorème central limite 12

3. Approximations de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1. Conséquences du théorème central limite . . . . . . . . . 163.2. Conséquences de calculs directs . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1. Inégalités de concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2. Théorèmes limites & Approximations . . . . . . . . . . . . 254.3. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chapitre ALEA.17 — Statistiques 1

1. La Statistique : position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Où apparaît l’aléatoire? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Statistiques descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Statistique inférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Statistiques descriptives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1. Univariées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Bivariées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Statistiques inférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1. Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Estimation par Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 283.3. Test de conformité à la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1. Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4. Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Annexes

Chapitre ANN.18 — L’alphabet grec 1

Chapitre ANN.19 — Résumé desméthodes 2

1. En Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. En Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83. En Aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chapitre ANN.20 — Annexe – Questions de coursposées au concours A-ENV 18

1. Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182. Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203. Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204. Probabilités & Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chapitre ANN.21 — Notes de statistiques pour lesTIPE 1

1. Principe de la statistique inférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Comment estimer un paramètre? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Construction d’estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Construction d’intervalles de confiance pour des paramètres 3

3. Tests statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. Trouver des relations linéaires entre paramètres . . . . . . . . . . . 66. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7. Révisions d’Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. Révisions d’Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89. Révisions de Probabilités & Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . 810. Algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911. Et pour le début de l’année? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Quelques remarques à propos de l’utilisation de ce polycopié

1 — Les énoncés et faits hors-programme, mais très classiques parfois, seront in-diqués par le logo [H.P] . Si vous souhaitez les utiliser à un concours, il faut doncen connaître la preuve ou la méthode mise en jeu.2 — Lespreuvesdéjà tapées sont généralementdesdémonstrationsnonexigiblesen BCPST, mais qui peuvent être lues en seconde (voir troisième) lecture, ou enpremière pour les plus à l’aise/ et 5/2.3 — Quelques éléments1 relatifs à l’application informatique des Mathéma-tiques (simulations, calculs matriciels, approximations d’intégrales ou de solu-tions d’équations différentielles, etc.) seront indiqués par le logoTERMINALPython .4 — En revanche, l’Informatique (Algorithmique notamment) fera l’objet d’unpolycopié séparé.5 — Une liste de questions de cours émises par le SCAV est disponible en fin depolycopié. Nous nous en servirons surtout en fin d’année, mais elle peut dores etdéjà vous aider à cibler les points les plus importants du cours. Elle sera actualiséeen Novembre afin de tenir compte du rapport mis à disposition.

1Tous les détails sont à retrouver dans le polycopié d’Informatique

Les 12 commandements du cours de Mathématiques (et des devoirs associés)

1 — Tu n’oublieras jamais les liens logiques entre les lignes.2 — Tu ne diviseras jamais sans t’assurer que ce n’est pas par zéro.3 — Tu placeras bien les parenthèses et les barres de fractions dans tes calculs.4 — Tu ne multiplieras pas une inégalité par un nombre dont tu ne connais pasle signe.5 — Tu ne compareras jamais deux complexes.6 — Tu n’écriras jamais de logarithme d’un nombre complexe.7 — Tuneconfondras jamais𝑓 et𝑓(𝑥), (𝑢𝑛) et𝑢𝑛. En revanche, enBPCST, tupour-ras confondre P et 𝑥 ⟼ P(𝑥) si P est un polynôme.8 — Tu n’écriras jamais de probabilités strictement négatives ou strictement su-périeures à 1.9 — Tu n’appliqueras jamais de formule des probabilités totales sans préciser desystème complet d’évènements.10 — Tu n’écriras jamais de nouvelle variable sans l’avoir introduite au préalable(même si ce sont celles de ton cours !).11 — Tu ne parleras pas des variables muettes comme des autres.12 — Tu écriras des phrases complètes et sensées.13 — Tu utiliseras une écriture lisible.14 — Tu répondras à la question et tu encadreras le résultat final .

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Version du 16 avril 2021

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Première partie

Algèbre

/ Lycée Louis BARTHOU – Pau 9 BCPST2 2020 / 2021 Creative-Commons

Chapitre ALG.1. Espaces Vectoriels

CHAPITRE ALG.1Espaces Vectoriels

Résumé&Plan Beaucoup de notions ci-dessous ont déjà été exposées en première année pour l’espace vectorielK𝑛

avec K = R ou C. Le but est ici de généraliser à un espace quelconque, que nous appellerons espace vectoriel. C’est unensemble muni de deux lois vérifiant certaines propriétés. Nous verrons que cet objet est une abstraction de beaucoupde choses que vous connaissez déjà : l’ensemble des polynômes, les espaces de fonctions continues (ou dérivables, ...),les espaces de suites, et beaucoup d’autres choses. Nous commencerons par la définition d’espace et de sous-espace vec-toriel, ensuite les bases qui généralisent la notion de repère linéaire que vous connaissez en géométrie depuis le collège,et enfin la notion de dimension.Nous allons considérer pour terminer des applications entre les espaces vectoriels, qui seront des applications entre lesdeux ensembles sous-jacents et vérifiant une propriété ad hoc dite de linéarité. Ces applications seront aussi des appli-cations en tant qu’ensembles : il est donc important de revoir le chapitre de première année traitant du sujet (notiond’injectivité, surjectivité, bijectivité, d’application réciproque etc.).

W

1. Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Combinaisons linéaires & Sous-espaces vectoriels . . . . . 7

2. Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4. Extraction & Complétion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Sous-espaces et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2. Structure de K-espace vectoriel sur ℒK(E,F) et puissances 33

4.3. Image & Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4. Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40



4.5. Cas particulier de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . 41

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1. Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2. Familles de vecteurs et dimension . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3. Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


Le travail est l’activité vitale propre au travailleur,l’expression personnelle de sa vie.

—Emmanuel Kant

Commençons par introduire une notation, qui nous servira dans la plupart deschapitres d’Algèbre qui suivront.

Notation (Ensemble des applications)Σ

Soient E,F deux ensembles. On notera EF (ou ℱ(F,E)) l’ensemble des appli-cations de F dans E.

Exemple 1— Par exemple, CN (resp. RN) désigne l’ensemble des suites à valeurscomplexes (resp. à valeurs réelles). Et RR = ℱ(R,R) l’ensemble des fonctions de Rdans R, RR2 l’ensemble des fonctions de deux variables à valeurs réelles.

CadreCOGS

Dans tout le chapitre, l’ensemble K désignera R ouC.Ainsi, tous les énon-cés faisant intervenir K sont vrais que K soit égal à R ou C.

Intérêt des raisonnements algébriques Ce chapitre — ainsi que quelques autrespendant l’année— s’inscrit dans le domaine de l’Algèbre enMathématiques, dontla vocation principale est l’étude d’ensembles munis de lois, et la recherche d’uncadre commun à plusieurs objets mathématiques. Une fois ce cadre dégagé (voirlaDéfinitionALG.1.1 ci-dessous)nous l’étudierons endétail.Tous les résultats éta-blis dans cette étude se transmettront donc automatiquement aux objets qui vé-rifient la Définition ALG.1.1.

Comment mémoriser facilement les définitions ? Gardez à l’esprit que toutes lesnotionsqui vont êtreprésentées, quoiqueabstraites àpremière vue, sontdes géné-ralisations de quelque chose de concret que vous connaissez déjà. Ainsi l’essencedes définitions sera de facto beaucoup plus évidente à assimiler.

1. STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL

Commençons par citer deux premiers exemples d’ensembles munis de lois.

Exemple 2— Cas de R ou C Considérons un premier exemple, celui des en-sembles R ou C. Nous pouvons additionner, grâce à la loi + classique (rappelonsque l’on additionne deux complexes en additionnant les parties réelles d’une part,et imaginaires d’autrepart), deux réels oudeux complexes.Nouspouvons aussi :

1 — multiplier tout complexe par un réel, i.e. on définit une loi

⋅||||||

R ×C, ⟶ C

(λ,𝑧) ⟼ λ𝑧.Un tel ensemble muni de lois, ici C muni de + et ⋅,

sera noté (C,+, ⋅), et nous dirons que (C,+, ⋅) est un R -espace vectoriel puisque .multiplie uniquement les complexes par des éléments de R.2 — On pourrait aussi utiliser les lois suivantes sur C : conserver la loi + précé-dente, mais utiliser



.||||||

C ×C ⟶ C

(λ,𝑧) ⟼ λ𝑧comme multiplication. Avec ce choix on dira que (C,+, ⋅) a

une structure de C -espace vectoriel.

Exemple 3— Casdeℱ(R,R) Considéronsun secondexemple, celui de l’ensembledes fonctions de R dans R noté ℱ(R,R). Nous pouvons additionner, grâce à la loi+ classique des fonctions 𝑓,𝑔, on définit alors une fonction 𝑓+𝑔 ∶ 𝑥 ⟼ (𝑓+𝑔)(𝑥).Nous pouvons aussi multiplier toute fonction par un réel, i.e. on définit une loi

⋅||||||

R ×ℱ(R,R), ⟶ ℱ(R,R)

(λ,𝑓) ⟼ λ𝑓.On définit alors un ensemble muni de deux lois

(ℱ(R,R),+, ⋅) qui va porter lui aussi le nom d’ R - espace vectoriel.

Fixons déjà le vocabulaire dans ces exemples : l’opération + sera appelée opéra-tion interne sur E (exemple : lorsque l’on additionne dans C deux complexes, onobtient un nombre complexe), l’ensemble C (ou R dans 1)) sera appelé le corpsde base.

1.1. Généralités

Définition ALG.1.1 | Groupe commutatif & espace vectorielOnappelleK-espace vectoriel (ou espace vectoriel surK) tout triplet (E,+, ⋅) où :1 — (E,+) est un groupe commutatif i.e. :(i) + est une loi interne :

+||||||

E×E ⟶ E

(𝑥,𝑦) ⟼ 𝑥+𝑦.

(ii) + est associative : ∀𝑥,𝑦,𝑧 ∈ E, (𝑥+𝑦)+𝑧 = 𝑥+(𝑦+𝑧),(iii) (existenced’unélémentneutre0E pour+ :) ∀𝑥 ∈ E, 𝑥+0E = 0E+𝑥,(iv) tout élément de E est inversible pour + : ∀𝑥 ∈ E, ∃𝑦 ∈ E, 𝑥 +𝑦 =

𝑦+𝑥 = 0E. L’élément 𝑦 inverse de 𝑥 sera noté −𝑥.

(v) la loi + est commutative, i.e. ∀𝑥,𝑦 ∈ E, 𝑥+𝑦 = 𝑦+𝑥.2 — La loi ⋅ est une loi de externe

⋅||||||

K×E ⟶ E

(λ,𝑥) ⟼ λ⋅𝑥

telle que pour tout (λ,μ) ∈ K2 et tout (𝑥,𝑦) ∈ E2 on ait les règles de calcul sui-vantes entre + et ⋅ :(i) (λ+μ) ⋅𝑥 = λ ⋅𝑥+μ ⋅𝑥,(ii) λ ⋅ (𝑥+𝑦) = λ ⋅𝑥+λ ⋅𝑦,(iii) (λ×μ) ⋅𝑥 = λ ⋅ (μ ⋅𝑥),(iv) 1 ⋅𝑥 = 𝑥.Les éléments de K sont appelés les scalaires, les éléments de E sont les vec-teurs, K est le corps de base, la loi + est appelée addition et la loi ⋅ est appeléemultiplication par un scalaire. L’élément neutre de E pour la loi + est appelévecteur nul, et on le notera toujours 0E comme précédemment.

Remarque 1.1 — Et en 1ère année? Le seul espace vectoriel qui a été étudié estK𝑛 avec 𝑛 ⩾ 1, c’est celui de la géométrie euclidienne. En 2ème année, nous neferons que généraliser les définitions déjà vues l’année dernière.

Attention×

Première erreur àbannir dèsmaintenant : vouspouvezmultiplier les vecteurs𝑥 ∈ Epar des scalairesλ ∈ K,maispasmultiplier deux vecteurs𝑥,𝑦 ∈ E entreeux, en règle générale.a

On impose toutes ces propriétés afin de pouvoir faire des calculs dans l’espaceE. Rassurez-vous, nous n’aurons pas la plupart du temps à vérifier l’ensemble desaxiomespourmontrer qu’unensemble est unespace vectoriel.Donnons sansplustarder quelques exemples d’espaces vectoriels.

aMême si dans certains espaces vectoriels c’est possible, par exemple il est possible de multiplierdeux polynômes ou deux matrices.



Exemple 4— Dans les exemples qui suivent, nous vérifierons uniquement lesaxiomes de 1).

1 — (En géométrie euclidienne) (R2,+, ⋅) est leR-espace vectoriel de la géomé-trieplane (ses éléments sont les «vecteurs»duplan). La loi de compositionexterneest donnée par :

R×R2||||||

R×R2 ⟶ R2,

(λ, (𝑥,𝑦)) ⟼ (λ𝑥,λ𝑦).

De même, (R3,+, ⋅) est le R-espace vectoriel de la géométrie de l’espace.Soit maintenant 𝑛 ⩾ 1 un entier. Précisez les lois internes et externes pour faire de(K𝑛,+, ⋅) un K-espace vectoriel.PEN-FANCY

2 — Les ensembles usuels dematrices sont des espaces vectoriels, nous reverronscela dans le Chapitre ALG.2.3 — L’ensemble

K[X] = {𝑥 ∈ K⟼𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑥𝑘, (𝑎0,…𝑎𝑛) ∈K𝑛+1,𝑛 ∈N}

des polynômes est un K-espace vectoriel. Préciser les lois.PEN-FANCY

4 — L’ensemble KN = ℱ(N,K) des suites à valeurs dans K indexées par N est unK-espace vectoriel. Préciser les lois.PEN-FANCY

5 — L’ensemble K est un K-espace vectoriel. Préciser les lois.PEN-FANCY



6 — (Restrictionàunsous-ensembledeK) ToutC-espacevectoriel esta fortioriun R-espace vectoriel (comme par exemple : C, C[X], etc).PEN-FANCY En effet, si E un C-espace vectoriel. Il suffit de restreindre la loi externe

⋅ ∶C×E ⟶ E, à ⋅||R×C ∶R×E ⟶ E,

et on vérifie ensuite facilement que cette restriction définit une R-loi externe surE.

Remarque 1.2— Le seul espace vectoriel réduit à un singleton i.e. ({𝑥0} ,+, ⋅) nepeut être que ({0E} ,+, ⋅). Pourquoi?

PEN-FANCY

Produit cartésien d’espaces vectoriels. Soient E1,…,E𝑛 des ensembles. On rap-pelle que l’ensemble E1×⋯×E𝑛 est appelé le produit cartésien des E𝑖, 𝑖 ∈ J1, 𝑛K, etses éléments sont notés (𝑥1,…,𝑥𝑛) avec 𝑥1 ∈ E1,…,𝑥𝑛 ∈ E𝑛. En d’autres termes :

E1 ×⋯×E𝑛 = {(𝑥1,…,𝑥𝑛), 𝑥1 ∈ E1,…,𝑥𝑛 ∈ E𝑛} .

Proposition ALG.1.1 | Produit cartésienSoient E1,…,E𝑛 des K-espaces vectoriels. On munit E = E1 ×…×E𝑛 de deuxlois + et . de la manière suivante :

1 — (Addition coordonnée par coordonnée)

+||||||

E×E ⟶ E,

((𝑥1,…𝑥𝑛), (𝑦1,…,𝑦𝑛)) ⟼ (𝑥1 +𝑦1,…,𝑥𝑛 +𝑦𝑛).2 — (Multiplication coordonnée par coordonnée par un scalaire)

.||||||

K×E ⟶ E,

(λ, (𝑦1,…,𝑦𝑛) ⟼ (λ.𝑦1,…,λ.𝑦𝑛).Alors :

(E1 ×…×E𝑛,+, .) est un K-espace vectoriel, avec pour élément neutre0E1×…×E𝑛 = (0E1 ,…,0E𝑛 ).

Autrement dit, le neutre du produit cartésien est le 𝑛-uplet des neutres.

Remarque 1.3— En exercice, posez-vous la question suivante : que désignent lessymboles +, . dans la proposition précédente?

Exemple 5— On retrouve que K𝑛 est un K-espace vectoriel.

Preuve Vérifions par exemple les axiomes de 1).

PEN-FANCY



Espaces fonctionnels.

Proposition ALG.1.2 | Espaces de fonctions

Soient F un ensemble non vide et E un K-espace vectoriel. L’ensemble E F

des fonctions de F dans E, muni des lois :

1 — ∀(𝑓,𝑔) ∈ (ℱ(F,E))2, (𝑓 +𝑔)||||||

F ⟶ E

𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥),

2 — ∀λ ∈K, ∀𝑓 ∈ ℱ(F,E), (λ ⋅ 𝑓)||||||

F ⟶ E

𝑥 ⟼ λ⋅𝑓(𝑥)est un K-espace vectoriel. Son élément neutre est donc 0ℱ(F,E), i.e. la fonction

nulle||||||

F ⟶ E

𝑥 ⟼ 0E.

On additionne simplement «𝑥 par 𝑥», de-même pour la multiplication.

Preuve Vérifier les différents axiomes.

Remarque 1.4— Il faut bien comprendre que dans la Proposition ALG.1.2, il est

nécessaire que l’espace d’arrivée soit un espace vectoriel pour donner un sens à𝑓(𝑥) +𝑔(𝑥), λ𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ F, (𝑓,𝑔) ∈ ℱ(F,E) et λ ∈ R. En revanche, on voitbien que ce n’est pas indispensable pour l’espace de départ.

Exemple 6— Soit I un intervalle non trivial de R. L’ensemble RI est muni d’unestructure de R-espace vectoriel. C’est un cas particulier de la Proposition ALG.1.2puisque R possède une structure de R-espace vectoriel.

Règles de calculs secondaires.

Proposition ALG.1.3 | Autres règles de calcul dans un K-espace vectorielSoit E un K-espace vectoriel. Pour tout (λ,μ) ∈K2 et tout (𝑥,𝑦) ∈ E2, on a :1 — (Développement d’une expression ) (λ−μ)⋅𝑥 = λ⋅𝑥−μ⋅𝑥, λ⋅(𝑥−𝑦) = λ ⋅𝑥−λ ⋅𝑦,2 — (Multiplication par zéro) 0K ⋅ 𝑥 = 0E, λ ⋅ 0E = 0E,3 — (Multiplication par l’opposé) (−λ) ⋅ 𝑥 = −(λ ⋅𝑥) = λ ⋅ (−𝑥),4 — (Produit nul) λ ⋅𝑥 = 0E ⟺ (λ = 0K ou 𝑥 = 0E).

Remarque 1.5— La dernière assertion n’a a priori rien d’évident, d’ailleurs elleest même fausse pour d’autres ensembles que K = R ou C, mais dans notre cadre(cf. début de chapitre) ce sera toujours le cas.

Preuve Par exemple, pour 4) :

Caret-right si λ ≠ 0K, PEN-FANCY alors on peut multiplier par 1λ à gauche : 1

λ (λ𝑥) =1λ0E = 0E d’où 𝑥 = 0E,

Caret-right sinon λ = 0K.

Maintenant que le cadre est posé, regardons ce que l’on peut faire avec les vec-teurs, i.e. les éléments d’un espace vectoriel. En combinant les deux lois définiesplus haut (additive et scalaire-multiplicative), on arrive directement à la notion decombinaison linéaire.



1.2. Combinaisons linéaires & Sous-espaces vectoriels

Définition ALG.1.2 | Combinaison linéaire de vecteursSoit E un K-espace vectoriel.1 — (Pour une famille finie de vecteurs) Soient 𝑥1,…,𝑥𝑛 des vecteurs deE. On appelle combinaison linéaire des vecteurs 𝑥1, ..., 𝑥𝑛 tout vecteur 𝑥 ∈ E

s’écrivant sous la forme 𝑥 =𝑛∑𝑘=1

λ𝑘 𝑥𝑘 où pour tout𝑘 ∈ J1, 𝑛K, on a λ𝑘 ∈ K .

L’ensemble des combinaisons linéaires d’une famille de vecteurs (𝑥1,…,𝑥𝑛)est noté Vect K (𝑥1,…,𝑥𝑛). C’est donc :

VectK (𝑥1,…,𝑥𝑛) = {𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑥𝑖, (λ1,…,λ𝑛) ∈K𝑛}.

2 — (Pour une famille quelconque de vecteurs) Soit (𝑥𝑖)𝑖∈I une famille devecteurs deE indexée par un ensemble I quelconque. On appelle combinaisonlinéaire des vecteurs (𝑥𝑖)𝑖∈I toute combinaison linéaire finie de ces vecteurs.L’ensembledes combinaisons linéaires d’une famille de vecteurs (𝑥𝑖)𝑖∈I est no-té VectK (𝑥𝑖)𝑖∈I.

Remarque 1.6— À propos de K Dans la suite nous noterons K en indice uni-quement lorsque le contexte l’impose. Sous les notations précédentes (en 1) parexemple), supposons que E est un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel. A-t-on une inclusion entre les deux ensembles ci-dessous? Et pourquoi?

VectR (𝑥1,…,𝑥𝑛) VectC (𝑥1,…,𝑥𝑛) .

PEN-FANCY

Méthode (Montrer l’appartenance «à un Vect»)WRENCH

Pour montrer que 𝑥 ∈ VectK (𝑥𝑖)𝑖∈I, on cherche λ1,…,λ𝑛 des scalaires, tels

que : 𝑥 =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑥𝑖. En particulier, si E =K𝑛, on tombe sur la résolution d’un

système linéaire.

Exemple 7— Est-on combinaison linéaire de?

1 — Est-ce que le vecteur 𝑢 = (3,3) est combinaison linéaire des vecteurs 𝑎 =(1,1), 𝑏 = (1,0) et 𝑐 = (0,1)? Y a-t-il unicité de l’écriture de 𝑢 comme combinai-son linéaire de 𝑎, 𝑏 et 𝑐?PEN-FANCY

2 — Le vecteur 𝑢 = (−1,2,2) de R3 est-il combinaison linéaire des vecteurs 𝑎 =(1,1,0), 𝑏 = (−2,1,3) et 𝑐 = (1,0,−1)?



PEN-FANCY

3 — Dans 𝔐2 (R),⎛

⎝

−1 2

2 0

⎞

⎠n’est pas combinaison linéaire des vecteurs

⎛

⎝

1 1

0 0

⎞

⎠,⎛

⎝

−2 1

3 2

⎞

⎠et

⎛

⎝

1 0

−1 1

⎞

⎠.

PEN-FANCY

4 — Dans RR, montrer que 𝑥 ⟼ cos2𝑥 est combinaison linéaire de 𝑥 ⟼1 et 𝑥 ⟼ cos(2𝑥)?PEN-FANCY



5 — DansRN⋆, la suite (1)𝑛∈N⋆ est-elle combinaison linéairede (𝑛)𝑛∈N⋆ et ( 1𝑛 )

𝑛∈N⋆?

PEN-FANCY

6 — Dans R[X], peut-on avoir P ∈ Vect(1,P′)?PEN-FANCY

Attention (Identification)×

On retiendra du premier exemple qu’a priori onne peut pas identifier dema-nière systématiquea :

(𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘 =𝑛∑𝑘=1

μ𝑘𝑥𝑘) ⇏ (∀𝑘 ∈ J1 , 𝑛K, λ𝑘 = μ𝑘) .

Exemple 8— Toute fonction polynomiale P de degré inférieur ou égal à 𝑛 estcombinaison linéaire de 1, X, X2, ..., X𝑛, puisqu’il peut être écrit sous la forme

P =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘X𝑘, où les 𝑎𝑘 sont dans K. On peut donc résumer cela en :

VectK(1,X,…,X𝑛) =K𝑛[X].

Sous-espaces vectoriels. La structure de sous-espace vectoriel aura un intérêtpour justifier qu’un ensemble est un espace vectoriel. En effet, nous allons voirque si un ensemble est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel, alors cesous-ensemble est aussi un espace vectoriel (et il est plus facile de vérifier la pro-priété de sous-espace vectoriel que d’espace vectoriel).

Définition ALG.1.3 | Sous-espace vectorielOn appelle sous-espace vectoriel d’unK-espace vectoriel E tout ensemble F telque :1 — F ⊂ E,2 — 0E ∈ F,3 — F est stable par combinaison linéaire : ∀(λ,μ) ∈ K2, ∀(𝑥,𝑦) ∈

aNous appellerons plus tard famille libre toute famille où c’est le cas.



F2, λ𝑥+μ𝑦 ∈ F.

Voici la proposition principale, qui nous permettra de vérifier facilement que desensembles sont des espaces vectoriels.

Proposition ALG.1.4

Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel, et F un sous-espace vectoriel de (E,+, .).Alors : (F, +||F×F, .

||K×F) est un K-espace vectoriel.

Preuve Simple vérification des axiômes de la Définition ALG.1.1.

Méthode (Montrer qu’un ensemble n’est pas un espace vectoriel)WRENCH

Pour montrer qu’un ensemble n’est pas un espace vectoriel, on peut montrerqu’il n’est pas un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de référence.En

Caret-right vérifiant qu’il ne contient pas le neutre dudit ensemble de référence.Caret-right Ou, on montre qu’il n’est pas stable par combinaison linéaire.

Remarque 1.7— Économie de rédaction L’énorme intérêt de la notion de sous-espace vectoriel réside dans la proposition précédente : une économie dans la ré-daction.Eneffet, il nous suffiradevérifierqu’une structureestun sous-espacevec-toriel d’unespacevectoriel ducours (fait quevousavez ledroit d’utiliser sans argu-ment supplémentaire), pour justifier la structure espace vectoriel. Ce qui semblebeaucoup plus rapide que la vérification de la Définition ALG.1.1.

Exemple 9— dans K𝑛.

1 — UnK-espace vectorielE admet toujours comme sous-espaces vectoriels {0E}et E lui-même.2 — L’ensemble {λ(2,3) = (2λ,3λ) ∈R2, λ ∈R} est un sous-espace vectoriel deR2

appelé droite vectorielle de vecteur directeur (2,3).1

PEN-FANCY

1Mais la Définition/Proposition ALG.1.1 généralise cela.

3 — L’ensemble {λ(1,2,0) = (λ,2λ,0) ∈R3, λ ∈R} est un sous-espace vectoriel deR3 appelé droite vectorielle de vecteur directeur (1,2,0).4 — L’ensemble {λ(1,2,0)+μ(1,0,1) = (λ+μ,2λ,μ) ∈R3, (λ,μ) ∈R2} est un sous-espace vectoriel deR3 appeléplan vectoriel de vecteurs directeurs (1,2,0) et (1,0,1).5 — L’ensemble F = {(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈C4, 𝑥+𝑦+𝑧+𝑡 = 0,𝑥−𝑦 = 0} est un sous-espace vectoriel de C4.PEN-FANCY

Exemple 10— dans des espaces de fonctions

1 — Soient I un intervalle non trivial de R et 𝑛 ∈N∪{∞}. L’ensemble 𝒞𝑛(I,R) desfonctions 𝒞𝑛 est un sous-espace vectoriel de RI.PEN-FANCY



2 — L’ensemble F = {𝑓 ∈ 𝒞1(R,R), ∀𝑥 ∈R, 𝑓′(𝑥) = 3𝑓(𝑥)} est un sous-espace vec-toriel de 𝒞1(R,R). Montrons-le de deux manières. Que reconnaît-on?

Caret-right (1ère Méthode)PEN-FANCY

Caret-right (2èmeMéthode)PEN-FANCY

3 — L’ensemble F = {𝑓 ∈ 𝒞1(R∗+,R), ∀𝑥 ∈R∗

+, 𝑓′(𝑥) = 3𝑓(𝑥)2} est-il un sous-espace vectoriel de 𝒞1(R,R)? Indication : Commencer par trouver une fonctionnon nulle dans cet ensemble.PEN-FANCY

4 — L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogènesur un intervalle I (du premier ou du second ordre) est un sous-espace vectorielde ℱ(I,K)2. Nous le montrerons dans le Chapitre ANA.8 de révisions.5 — Soit E = ℱ(R,R). Montrer que l’ensemble F = P des fonctions paires de Rdans R et l’ensemble I des fonctions impaires de R dans R sont des sous-espacesvectoriels de E.PEN-FANCY

6 — Soit E = 𝒞0([0,1],R). Montrer que l’ensemble F = {𝑓 ∈ E, ∫1

0𝑓(𝑡)d𝑡 = 0} est

un sous-espace vectoriel de E.PEN-FANCY

2Ceci généralise donc l’exemple précédent



Exemple 11— dans des espaces de suites

1 — Soit (𝑎,𝑏) ∈ R2. L’ensemble F = {(𝑢𝑛) ∈RN, ∀𝑛 ⩾ 0, 𝑢𝑛+2 = 𝑎𝑢𝑛+1 +𝑏𝑢𝑛} estun sous-espace vectoriel deRN. Pourriez-vous là encore imaginer deuxméthodes?PEN-FANCY

2 — L’ensemble F = {(𝑢𝑛) ∈RN, 𝑢𝑛 =𝑛→∞

o(1)} est un sous-espace vectoriel deRN. Peut-on remplacer (1)𝑛 (dans le o(.)) par une autre suite?PEN-FANCY

3 — L’ensemble des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire est unsous-espace vectoriel de KN.

Exemple 12— dans des espaces de colonnes L’ensemble des solutions d’un sys-tème linéaire homogène à coefficients dans K et à 𝑝 inconnues est un sous-espace vectoriel de K𝑝.

Définition/Proposition ALG.1.1 | Un «Vect» est un espace vectoriel.Soient E un K-espace vectoriel et (𝑥𝑖)𝑖∈I une famille de vecteurs de E indexéepar un ensemble I.Alors :

Vect (𝑥𝑖)𝑖∈I est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant (𝑥𝑖)𝑖∈I.Lorsque la famille est réduite à un unique vecteur 𝑢 ∈ E, on appelle Vect(𝑢) ladroite vectorielle engendrée par 𝑢.

Méthode (Montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel)WRENCH

Il y a, la plupart du temps, deux possibilités :1 — justifier qu’il est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de réfé-rence (K𝑛, de polynômes, de fonctions, de suites ...).2 — Montrer que l’ensemble s’écrit comme Vect d’une famille.

Preuve Faisons la preuve dans le cas I = J1 , 𝑛K, i.e. le cas où (𝑥𝑖)𝑖∈I =(𝑥1,…,𝑥𝑛). Il y a deux choses à montrer :

Caret-right Montrons que Vect (𝑥1,…,𝑥𝑛) est un sous-espace vectoriel de E conte-nant (𝑥1,…,𝑥𝑛).

PEN-FANCY



Caret-right Montrons que Vect (𝑥1,…,𝑥𝑛) est le plus petit vérifiant cette propriété.Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que 𝑥𝑖 ∈ F pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K,montrons que Vect (𝑥1,…,𝑥𝑛) ⊂ F.

PEN-FANCY

Intersection & Réunion d’espaces vectoriels.

Proposition ALG.1.5

Soit E un K-espace vectoriel.1 — Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E est encore un sous-espace vectoriel de E.2 — Une réunion de sous-espaces vectoriels de E n’est en général pas unsous-espace vectoriel de E.

Preuve1 — Considérons, pour simplifier la rédaction, une famille finie F1,…,F𝑛 desous-espaces vectoriels de E. Montrons que F = F1 ∩ ⋯ ∩ F𝑛 est un sous-espace vectoriel de E.

PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

Cas particulier : description des sous-espaces vectoriels de K𝑛 = R𝑛 ou C𝑛. De fa-çon générale, il existe principalement trois types de description des sous-espacesde K𝑛, que nous avons déjà rencontrées dans des précédents exemples. Vous de-vez savoir passer de l’une à l’autre.

1 — (Paramétrisation linéaire du sous-espace) Il s’agit de préciser une famillede vecteurs qui l’engendre. Par exemple,

F = Vect(𝑎,𝑏) ⊂K3 où 𝑎 = (1,2,1) et 𝑏 = (0,1,1),

la famille (𝑎,𝑏) engendre l’espace vectoriel F.2 — (Description du sous-espace par équations linéaires) Ce sont des équa-tions sur les coordonnées des vecteurs, qui caractérisent les vecteurs du sous-espace. Par exemple

G = {(𝑥,𝑦,𝑧) ∈K3, 𝑥+𝑦+𝑧 = 0 et 𝑥 = 𝑦} ⊂K3.

On pourrait montrer de manière générale que tout sous-espace vectoriel de K𝑛

peut être exprimé avec l’une ou l’autre des descriptions. Mais plus concrètement,nous suivrons la méthode suivante.

Méthode (Lien entre paramétrisation & équations cartésiennes)WRENCH

Caret-right Paramétrisation → Équations implicites / cartésiennes : résolutiond’un système en les paramètres,

Caret-right Équations implicites / cartésiennes → Paramétrisation : voir toutesles inconnues comme des paramètres sauf une.



Exemple 13— Un exemple Reprenons les deux espaces vectoriels définis plushaut, qui sont des sous-espaces vectoriels de E =R4.

1 — F = Vect(𝑎,𝑏) ⊂ K4 où 𝑎 = (1,2,1,1) et 𝑏 = (0,1,1,1). Détermi-ner un système d’équations caractérisant F.PEN-FANCY

2 — G = {(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈K4, 𝑥+𝑦+𝑧+𝑡 = 0 et 𝑥 = 𝑦} ⊂ K4. Déterminer uneforme paramétrique de G.PEN-FANCY

D’autres exemples seront traités en TD.

2. FAMILLES DE VECTEURS

Notation (Famille/Ensemble ?)Σ

Soit E un ensemble et 𝑥1, ...,𝑥𝑛 ∈ E avec 𝑛 ∈ N. Rappelons les deux notationssuivantes :1 — (𝑥1,…,𝑥𝑛) désigne le𝑛-uplet 𝑥1,…,𝑥𝑛 donc a priori (𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑛) ≠(𝑥2,𝑥1,𝑥3,…,𝑥𝑛). On parle de famille.2 — {𝑥1,…,𝑥𝑛} désigne l’ensemble formé des éléments 𝑥1,…,𝑥𝑛 donc apriori

{𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑛} = {𝑥2,𝑥1,𝑥3,…,𝑥𝑛} .

On parle d’ensemble, et dans ce cas l’ordre des éléments n’a aucune impor-tance.

L’objectif de cette section est cette fois-ci d’abstraire la notion de repère du plani.e. la faculté de caractériser, et de manière unique, les vecteurs par des coordon-nées.Le vocabulaire général pour les espaces vectoriels est plutôt le suivant : les repèresseront appelés des bases et le nombre d’éléments d’un repère sera appelé la di-mension.

2.1. Famille libre

Définition ALG.1.4 | Famille libre/liée1 — (Pour une famille finie de vecteurs) Soit (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 une famille finie devecteurs d’un K-espace vectoriel E. On dit que (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 est une famille librede vecteurs deE, ou que les vecteurs𝑥1, ...,𝑥𝑛 sont linéairement indépendants,si :

∀(λ𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 ∈K𝑛, [𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘 = 0E ⟹ ∀𝑘 ∈ J1 , 𝑛K, λ𝑘 = 0].



2 — (Pour une famille quelconque de vecteurs) Soit (𝑥𝑖)𝑖∈I une famille devecteurs de E indexée par un ensemble I. On dit que (𝑥𝑖)𝑖∈I est libre dans E sitoute sous-famille finie est libre. Si ce n’est pas le cas, on dit que la famille estliée.

Remarque 2.1— Lien avec l’identificationQuitte à remplacerλ𝑖 parλ𝑖−μ𝑖 dansla définition, nous pouvons aussi dire que : (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 une famille finie de vecteursd’un K-espace vectoriel E si l’on peut identifier deux combinaisons linéaires

∀(λ𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛, (μ𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 ∈K𝑛, [𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘 =𝑛∑𝑘=1

μ𝑘𝑥𝑘 ⟹ ∀𝑘 ∈ J1 , 𝑛K, λ𝑘 = μ𝑘].

En effet,

PEN-FANCY

Remarque 2.2— Négation de la liberté

∃(λ𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 ∈K𝑛, [𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘 = 0E], mais ∃𝑘 ∈ J1 , 𝑛K, λ𝑘 ≠ 0.

Méthode (Montrer la liberté/liaison d’une famille)WRENCH

1 — Pour montrer qu’une famille (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 est libre, on écrit :

«Soit (λ𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 ∈ K𝑛 tel que𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘 = 0E. Alors [...] donc les λ𝑘 sont tous

nuls.» En général, l’étape [...] consiste en les arguments suivants :Caret-right Dans R𝑛 ou C𝑛 : on résout un système linéaire.Caret-right Dans RI, RN on fait de l’analyse (limites, dérivation, etc.).

2 — Pour montrer qu’une famille (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 est liée, on écrit :

« [...]. Posons alors λ1 = ..., ..., λ𝑛 = ... : on a alors𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘 = 0E, mais les λ𝑘ne sont pas tous nuls.»

Exemple 14—

1 — On considère les vecteurs de R3 suivants 𝑥1 = (1,0,2), 𝑥2 = (0,1,1) et 𝑥3 =(1,0,1). La famille (𝑥1,𝑥2,𝑥3) est-elle libre?

PEN-FANCY

2 — Montrons que (cos,sin) est libre dans ℱ(R,R).PEN-FANCY



3 — Montrons que (1, (2𝑛)𝑛, (3𝑛)𝑛) est libre dans RN. Généraliser.PEN-FANCY

Attention (Égalité à zéro dans un espace vectoriel de fonctions)×

L’égalité λcos+μsin= 0ℱ(R,R), signifie que :

∀𝑥 ∈R, λcos(𝑥)+μsin(𝑥) = 0,

puisque la fonction 0ℱ(R,R) est la fonction nulle. Le quantificateur «∀» est icifondamental pour démontrer la liberté, attention auxoublis ou auxmélangesdans votre rédaction. La même remarque s’applique aussi aux suites.

Plus généralement, nous avons :

Égalité Signification

Pour des uplets : (𝑥1,…,𝑥𝑛) = (𝑦1,…,𝑦𝑛) ∀𝑖 ∈ {1, ...,𝑛}, 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖,

Pour des suites : (𝑢𝑛) = (𝑣𝑛) ∀𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛.

Pour des polynômes :𝑛∑𝑘=1

𝑎𝑘X𝑘 =𝑛∑𝑘=1

𝑏𝑘X𝑘 ∀𝑘 ∈ {1, ...,𝑛},𝑎𝑘 = 𝑏𝑘,

Pour des fonctions : 𝑓 = 𝑔 ∀𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

CadreCOGS

Dans la suite sur les familles libres nous travaillerons uniquement avecdes familles finies, même si l’ensemble des résultats s’adaptent aux fa-milles quelconques.

Proposition ALG.1.6 | Propriétés des familles liéesSoit (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 une famille finie de vecteurs d’un K-espace vectoriel E.1 — Si l’un des vecteurs 𝑥𝑘0 est nul, alors la famille (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 est liée.2 — Si l’un des vecteurs 𝑥𝑘0 apparaît plus d’une fois dans la famille (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛,alors celle-ci est liée.

Preuve

PEN-FANCY



Proposition ALG.1.7 | Caractérisation des familles liéesSoit (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 une famille finie de vecteurs d’un K-espace vectoriel E. La fa-mille (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 est liée⟺ un de ses vecteurs s’exprime comme combinaison linéaire des autresvecteurs de la famille :

∃𝑘0 ∈ J1 , 𝑛K, ∃(λ𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 ∈K𝑛, 𝑥𝑘0 = ∑1⩽𝑘⩽𝑛𝑘≠𝑘0

λ𝑘𝑥𝑘.

Preuve

PEN-FANCY

Remarque 2.3—

Caret-right Dans R2 ou R3, un couple (𝑢,𝑣) de vecteurs liés est un couple de vecteurscolinéaires.

Caret-right Dans un R3, un triplet (𝑢,𝑣,𝑤) de vecteurs liés est un triplet de vecteurs co-planaires.

Passons à un exemple fondamental de famille libre de polynômes.

Famille échelonnée de polynômes.

Définition ALG.1.5 | Famille échelonnée de polynômesSoient P0,…,P𝑛 ∈K[X]. Alors on dit que (P0,…,P𝑛) est une famille échelonnéede polynômes si :

deg(P0) < deg(P1) < ⋯ < deg(P𝑛).

On dit encore que (P0,…,P𝑛) est échelonnée si la propriété précédente estvraie une fois les polynômes ordonnés par degrés croissants dans la famille.

Exemple 15— Les familles ci-dessous sont-elles échelonnées?

1 — (X2,X−1,10),2 — (X(X−1)(X−2),X, (X+1)4 −X4).

PEN-FANCY



Théorème ALG.1.1 | Familles échelonnées de polynômesToute famille finie de polynômes de degrés échelonnés non nuls de K[X] estlibre.

Preuve

PEN-FANCY

Attention×

La réciproque est fausse : il existe des familles libres non échelonnées de po-lynômes (voir l’exemple ci-après).

Exemple 16— Montrer que la famille (X(X− 1),X(X− 2), (X − 1)(X− 2)) est unefamille libre de R2[X]. Est-elle échelonnée?

PEN-FANCY



2.2. Familles génératrices

Définition ALG.1.6 | Famille génératriceSoit F un sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel E. On appelle famillegénératrice de F toute famille (𝑥𝑖)𝑖∈I, où I est un ensemble, de vecteurs de Ftelle que F = Vect (𝑥𝑖)𝑖∈I.Autrement dit, tout vecteur de F peut s’écrire comme combinaison linéairefinie d’éléments de (𝑥𝑖)𝑖∈I. On dit aussi que F est engendré par les 𝑥𝑖 pour 𝑖 ∈ I.

Ainsi, pour montrer qu’un espace vectoriel est de dimension finie on exhibe unefamille génératrice finie.

Définition ALG.1.7 | Dimension finieSoit F un sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel E. On dit que F est dedimension finie s’il existe une famille finie engendrant F.

Attention×

Nous n’avons pas encore défini ce qu’est la dimension d’un espace de dimen-sion finie, seulement la propriété de «dimension finie.

Méthode (Montrer qu’une famille est génératrice)WRENCH

Pour montrer qu’une famille (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 de vecteurs de F est une famille géné-ratrice de F, on écrit :«Soit 𝑥 ∈ F. Alors cherchons λ1, ..., λ𝑛 tels que 𝑥 =

𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘. [...] On a donc

déterminé des λ𝑖 qui conviennent, la famille est génératrice.»En général, l’étape [...] consiste en les arguments suivants :

Caret-right Dans R𝑛 ou C𝑛 : on résout un système linéaire.Caret-right Dans RI, RN on fait de l’analyse (limites, dérivation, etc.).

Exemple 17—

1 — Soit E = R2. On considère les vecteurs de R2 suivants 𝑥1 = (1,1), 𝑥2 = (1,2) et𝑥3 = (1,3). La famille (𝑥1,𝑥2,𝑥3) est-elle une famille génératrice de R2 ?

PEN-FANCY

2 — Soit E = 𝒞1(R,R). Donnons une famille génératrice de F = {𝑦 ∈ E, 𝑦′ = 2𝑦}.

PEN-FANCY

3 — Soit E = RN. Donnons une famille génératrice de F ={(𝑢𝑛) ∈ E, ∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = 5𝑢𝑛}.

PEN-FANCY



2.3. Base

Définition ALG.1.8 | BaseSoit E unK-espace vectoriel. On appelle base de E toute famille (𝑥𝑖)𝑖∈I, où I estun ensemble de vecteurs de E qui est à la fois une famille libre, et une famillegénératrice de E.

Définition/Proposition ALG.1.2 | Base et décomposition en coordonnées.Coordonnées d’un vecteur.

Une famille finie (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 de vecteurs de E est une base de Esi et seulement si tout vecteur de E s’écrit de façon unique comme combi-naison linéaire des 𝑥𝑘.

Soit𝑥 ∈ E, et (λ𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 telle que𝑥 =𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘. Pour tout𝑘 ∈ J1, 𝑛K, la constante

λ𝑘 s’appelle la 𝑘-ième coordonnée de 𝑥 dans la base (𝑥1,…,𝑥𝑛).

Preuve

PEN-FANCY

En Mathématiques, l’adjectif canonique après «base» signifie parfois « la plussimple».

Définition/Proposition ALG.1.3 | Bases canoniques de K𝑛, K𝑛[𝑥]Soit 𝑛 ⩾ 1 un entier.1 — (Dans K𝑛.) Soient les vecteurs suivants de K𝑛 :

𝑒1 = (1,0,0, ...,0), 𝑒2 = (0,1,0, ...,0), 𝑒3 = (0,0,1, ...,0), ..., 𝑒𝑛 = (0,0,0, ...,1).

On vérifie que (𝑒𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 est une base de K𝑛, appelée base canonique de K𝑛.Autrement dit, 𝑒𝑘 s’écrit plus simplement : 𝑒𝑘 = (δ𝑗,𝑘)1⩽𝑗⩽𝑛.

2 — (Dans K𝑛[X]) La famille (X𝑘)0⩽𝑘⩽𝑛

= (1,X,X2, ...,X𝑛) est une base deK𝑛[X], appelée base canonique de K𝑛[X].

Preuve Faisons la preuve pour K𝑛[X], elle est similaire pour K𝑛.

PEN-FANCY

Exemple 18—

1 — Montrer que la famille ((1,1), (1,−2)) est une base de R2.



PEN-FANCY

2 — Montrer que la famille (X2 +X,X2 +1,X+1) est une base de R2[X].

PEN-FANCY

3 — On note E = {(𝑢𝑛) ∈RN, ∀𝑛 ∈N,𝑢𝑛+2 = −𝑢𝑛+1 −𝑢𝑛}. Déterminer une basede E.PEN-FANCY

2.4. Extraction & Complétion

Il est possible de construire des bases à l’aide de familles libres (en complétant),et de familles génératrices (en extrayant). Nous allons établir deux faits princi-paux :

1 — toute famille libre peut être complétée en une base (de-même, toute famillegénératrice peut être diminuée en une base),2 — toutes les bases ont même cardinal ; cet entier, nous allons l’appeler la di-mension.



Proposition ALG.1.8 | Augmentation d’une famille libre finieSoient ℒ = (ℓ1, ...,ℓ𝑛) une famille libre d’un K-espace vectoriel E, et ℓ𝑛+1 ∈E.Siℓ𝑛+1 ∉ Vectℒ, alors ℒ′ = (ℓ1, ...,ℓ𝑛,ℓ𝑛+1)est encoreune famille libre.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 19— Dans R3, on considère ℒ = (ℓ1,ℓ2) = ((2,1,0), (1,−1,0)). Que direde ℓ3 = (2,3,1)?

PEN-FANCY

Proposition ALG.1.9 | Diminution d’une famille génératrice finieSoit 𝒢 = (𝑔1,…,𝑔𝑛+1) une famille génératrice d’un K-espace vectoriel E.a

Si 𝑔𝑛+1 ∈ Vect (𝑔1, ...,𝑔𝑛), alors 𝒢′ = (𝑔1, ...,𝑔𝑛) est encore une famille géné-ratrice de E.

Preuve

PEN-FANCY

aDit autrement, l’espace vectoriel E est de dimension finie.



Remarque 2.4— Autrement dit, onpeut augmenter une famille libre finie (enunenouvelle famille libre) en ajoutant un vecteur qui n’est pas combinaison linéairede ceux de la famille.D’autre part, on peut diminuer une famille génératrice finie (en une nouvelle fa-mille génératrice) en retirant un vecteur qui est combinaison linéaire des autres.

Exemple 20— On considère le sous-espace de R3 suivant E = Vect (𝑔1,𝑔2,𝑔3), où𝑔1 = (2,1,3), 𝑔2 = (1,0,1). Que dire de 𝑔3 = (1,1,2)?

PEN-FANCY

Algorithme de la base incomplète.

Théorème ALG.1.2 | Algorithme de la base incomplète

Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie, ℒ = (ℓ1, ...,ℓ𝑝) une famille

librefiniedeE et𝒢 = (𝑔1, ...,𝑔𝑞)une famille génératricefiniedeE. Alors il existeune base de la forme

ℬ = ( ℓ1, ...,ℓ𝑝⎵⎵⎵⎵⎵⎵proviennent deℒ,

, ℓ𝑝+1, ...,ℓ𝑛⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵proviennent de𝒢

).

La preuve ci-dessous fournit en outre un algorithme pour construire une basecomme supra. Si E = {0E} alors E ne possède aucune famille libre, le résultat pré-cédent ne s’applique donc pas.

Preuve1 — Construction algorithmique de la base ℬ– ce théorème repose surun algorithme simple et fondamental dit de la base incomplète. Nous allonscompléter peu à peu la famille libre ℒ = (ℓ1, ...,ℓ𝑝) à l’aide de certains vec-

teurs parmi 𝒢 = (𝑔1, ...,𝑔𝑞) en prenant soin de conserver la liberté à chaqueajout.

Caret-right Commençons par considérer ℬ = ℒ.Caret-right Ensuite, pour 𝑘 ∈ J1 , 𝑞K, si (ℬ,𝑔𝑘) est encore libre on modifie ℬ :

ℬ ⟵ (ℬ,𝑔𝑘) où (ℬ,𝑔𝑘) désigne la famille ℬ augmentée de 𝑔𝑘. Si-



non nous ne faisons rien.Puisque 𝑘 par 𝑘 la famille est libre, la base ℬ obtenue à l’arrivée est encorelibre.2 — La familleℬainsi construite convient– en effet, nous savonsdéjà queℬ est une famille libre, il reste donc à montrer qu’elle est génératrice.

PEN-FANCY Or, par hypothèse, la famille 𝒢 génère E donc il suffit de montrer quechaque 𝑔𝑖 pour 𝑖 ∈ J1 , 𝑞K est combinaison linéaire des éléments de ℬ notésℓ𝑖 avec 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K.Soit donc 𝑖 ∈ J1 , 𝑞K. Si 𝑔𝑖 ∈ ℬ alors évidemment il est combinaison linéairede lui-même.Sinon,𝑔𝑖 ∉ ℬ, cela signifiequ’à l’étape𝑘 = 𝑖de l’algorithmenousn’avonspasajouté 𝑔𝑖 dans la famille ℬ parce qu’il était combinaison linéaire d’élémentsde ℬ. C’est donc terminé.

Remarque 2.5— Autrement dit, on peut compléter une famille libre finie en unebase en ajoutant des vecteurs puisés dans une famille génératrice finie.

Théorème ALG.1.3 | Base incomplète/extraîteSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie et tel que E ≠ {0E}.1 — Théorème de la base incomplète :

Toute famille libre finie de E peut être complétée en une base de E.

2 — Théorème de la base extraite :

De toute famille génératrice finie de E on peut extraire une base de E.

En particulier, E admet une base.

Preuve1 — SiE est de dimensionfinie, alorsEpossède une famille génératrice finie𝒢. Ainsi, si ℒ est une famille libre finie, nous pouvons lui appliquer l’algo-rithme de la base incomplète donné par le Théorème ALG.1.2 précédent.2 — Soit 𝒢 une famille génératrice finie de E. Puisque E ≠ {0E}, nous pou-vons choisir un élément 𝑥 ≠ 0E dans E. Il suffit alors d’appliquer le Théo-rème ALG.1.2 précédent à la famille (𝑥)∪𝒢, qui donne le résultat.

Exemple 21— La famille ((1,−5,7)(2,6,8)) est une base de F =

Vect ((1,−5,7), (2,6,8), (3,1,15), (1,11,1)).

PEN-FANCY

Exemple 22— On considère la famille de R4 suivante :

𝒢 = ((1,0,2,1), (2,1,3,2), (1,1,1,1), (0,1,−1,−1), (2,0,4,3)) .

Déterminons une base de Vect𝒢, extraite de 𝒢.

PEN-FANCY



3. DIMENSION

3.1. Généralités

Nous admettons dans cette dernière section ce résultat, appelé aussi lemme deSteinitz dont la preuve est technique, et qui permet de comparer le nombre d’élé-ments d’une famille libre par rapport au nombre d’éléments d’une famille géné-ratrice.

Lemme ALG.1.1 | de SteinitzSoient E un K-espace vectoriel de dimension finie, ℒ une famille libre et 𝒢une famille génératrice finie de E. Alors :

# ℒ ⩽ # 𝒢.

Preuve Admis.

Définition/Proposition ALG.1.4 | DimensionSoit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases de E ont lemême nombre d’éléments, on l’appelle la dimension de E, et notée dimE aveccomme convention ad hoc dim{0E} = 0.

Preuve Soient ℬ et ℬ′ deux bases de E ayant respectivement 𝑛 et 𝑛′

éléments.

PEN-FANCY

Définition ALG.1.9 | Droite vectorielle, plan &HyperplanSoit E un espace vectoriel de dimension finie. Un sous-espace vectoriel F de Eest appelé :

Caret-right droite vectorielle si dimF = 1,Caret-right plan vectoriel si dimF = 2,Caret-right hyperplan si dimF = dimE−1.

Attention (Confusion cardinal/dimension)×

Ne pas confondre les notions de cardinal et de dimension! Une famille a uncertain cardinalmais pas de dimension, et par contre un espace vectoriel (dedimensionfinie) a une dimensionmais est toujours de cardinal infini lorsqueK=R ou C (sauf {0}). On a toujours, si ℬ est une base de E :

dimE = # ℬ.

Exemple 23—

1 — dimKK𝑛 = 𝑛 (notamment dimKK= 1).2 — dimCC2 = 2, mais dimRC2 = 4. Pourquoi?PEN-FANCY

3 — dimKK𝑛[X] = 𝑛+ 1 .4 — Dans E =K𝑛, tout sous-espace défini par une équation linéaire non triviale.

F = {(𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 ∈ E, 𝑎1𝑥1 +...+𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0} (où les 𝑎𝑘 ∈K ne sont pas tous nuls),

est un hyperplan. Pour le prouver, il suffit d’en obtenir une famille génératrice.



PEN-FANCY

5 — L’ensemble des solutions réelles d’une équation différentielle linéaire ho-mogène normalisée d’ordre un est un R-espace vectoriel de dimension un. Nousle reverrons dans le Chapitre ANA.8. Par exemple, déterminer la dimension de{𝑦 ∈ 𝒟1(R,R), 𝑦′ = 2𝑦}.

PEN-FANCY

6 — L’ensemble des solutions réelles d’une équation différentielle linéaire homo-gène d’ordre deux à coefficients constants est unR-espace vectoriel de dimensiondeux. Nous le reverrons dans le Chapitre ANA.9. Par exemple, déterminer la di-mension de {(𝑢𝑛) ∈RN, ∀𝑛 ∈N,𝑢𝑛+2 = 3𝑢𝑛}.

PEN-FANCY

Enfin, un résultat fondamental qui nous permet de gagner du temps en pratique :lorsque le nombre d’éléments d’une famille est égal à la dimension de l’espace enquestion (encore faut-il la connaître, on l’utilisera donc que dans ce cas), il suffitde prouver le caractère générateur OU libre.

Théorème ALG.1.4SoientE unK-espace vectoriel dedimensionfinie𝑛 ≠ 0 etℱ une famille finietelle que # ℱ = dimE. Alors :

ℱ est une base de E ⟺ ℱ est une famille libre de E⟺ ℱ est une famille génératrice de E.

Preuve Dans un K-espace vectoriel de dimension finie 𝑛 ≠ 0, si unefamille ℱ de 𝑛 vecteurs est libre (resp. génératrice), on peut la compléter enune base d’après le théorème de la base incomplète (resp. en extraire unebase d’après le théorème de la base extraite).Le résultat est une famille de𝑛 vecteurspardéfinitionde ladimension, cequiveut dire qu’on n’a en fait ajouté (resp. ôté) aucun vecteur à ℬ. Conclusion :ℬ était une base dès le départ.

Remarque 3.1— Et en général, on préfère souvent montrer qu’une famille estlibre... c’est souvent plus rapide.

Exemple 24—

1 — La famille de polynômes ℱ = (1,X−𝑎,(X−𝑎)2, (X−𝑎)3) est une base deK3[X].



PEN-FANCY

2 — La famille ((0,1,2), (1,2,0), (2,0,1)) est une base de R3.PEN-FANCY

Dimension d’un produit cartésien.

Proposition ALG.1.10 | Cas de deux espaces vectorielsSoient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Alors E×F est dedimension finie et : dim(E×F) = dimE+dimF.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 25— La famille ((1,0), (X,0), (X2,0) , (0,1), (0,X)) est une base de R2[X]×R1[X].

PEN-FANCY



3.2. Sous-espaces et dimension

Proposition ALG.1.11

Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vecto-riel de E. Alors :1 — F est de dimension finie, et : dimK F ⩽ dimK E.2 — dimK F = dimK E ⟺ F = E.

Preuve Admise.

3.3. Rang

Définition ALG.1.10 | Rang d’une famille de vecteursSoit (𝑥1, ...,𝑥𝑛) une famille finie d’unK-espace vectoriel E. On appelle rang surK de la famille (𝑥1,…,𝑥𝑛), et on note RgK (𝑥1,…,𝑥𝑛), la dimension sur K deVectK (𝑥1,…,𝑥𝑛) :

RgK (𝑥1,…,𝑥𝑛) = dimKVectK (𝑥1,…,𝑥𝑛) .

Exemple 26—

1 — Dans K[X], on a : RgK(1,X,X2,X3) = 4.2 — Dans K[X], on a : RgK(0K[X],X,2X,3X) = 1.3 — Dans R3, on a : RgR((1,1,0), (0,0,1)) = 2.4 — Dans R3, on a : RgR((1,1,0), (0,0,1), (1,1,1)) = 2.5 — Dans RN, calculer : RgR ((2𝑛) , (𝑛2𝑛)).

PEN-FANCY

4. APPLICATIONS LINÉAIRES

Les espaces vectoriels sont en particulier des ensembles, on peut donc tout àfait considérer des applications entre eux. Mais pour pouvoir faire des calculs, ilvaut que notre définition tienne compte des opérations +, .. On va donc suppo-ser qu’une application linéaire transforme les sommes en sommes et les produitsavec un scalaire en produits.

Avant de passer à la définition, souvenez-vous que vous connaissez déjà desexemples d’applications linéaires. En l’occurence celles vues en troisième : en ef-fet, si E = F = R, alors 𝑥 ∈ E ⟼ λ𝑥 ∈ F sera une application linéaire au sens de ladéfinition qui suit, pour tout λ ∈R.



4.1. Généralités

Définition ALG.1.11 | Application linéaireSoient (E,+E, .E) et (F,+F, .F)deuxK-espaces vectoriels. On appelle applicationK -linéaire (parfois aussi morphisme linéaire) de E dans F toute application𝑢 ∶ E ⟶ F telle que :

∀(𝑥,𝑦) ∈ E2, ∀(λ,μ) ∈ K 2, 𝑢(λ.E𝑥+E μ.E𝑦) = λ.F𝑢(𝑥)+F μ.F𝑢(𝑦),

On note :Caret-right ℒK(E,F) l’ensembledes applicationsK-linéairesdeEdansF, ouplus sim-

plement ℒ(E,F) s’il n’y a pas d’ambiguïté.Caret-right Lorsque E = F, on dit que 𝑢 est un endomorphisme.Caret-right Si F = K alors on dit que 𝑢 est une forme linéaire sur E, on note parfois

ℒK(E,K) = E⋆ appelé espace dual de E.

Remarque 4.1 — De façon équivalente, l’application 𝑢 ∶ E ⟶ F est linéaire si etseulement si elle est compatible avec la somme et la multiplication par un sca-laire :

∀(𝑥,𝑦) ∈ E2, 𝑢(𝑥+E 𝑦) = 𝑢(𝑥)+F 𝑢(𝑦),∀λ ∈K, ∀𝑥 ∈ E, 𝑢(λ.E𝑥) = λ.F𝑢(𝑥).

Remarque 4.2— Abus de notation Puisqu’il s’agit de notre définition initiale,nous notons très correctement en indices les espaces vectoriels auxquels sont at-tachées les opérations (+E, .E,+F, .F ...). À partir demaintenant, nousnoterons sim-plement +, .. Ainsi, avec cet abus, la définition supra se réecrit :

∀(𝑥,𝑦) ∈ E2, ∀(λ,μ) ∈ K 2, 𝑢(λ.𝑥+μ𝑦) = λ.𝑢(𝑥)+μ.𝑢(𝑦).

Proposition ALG.1.12 | Le neutre est envoyé sur le neutreSoient (E,+E, .E) et (F,+F, .F) deux K-espaces vectoriels et 𝑢 ∶ E ⟶ F une ap-plication linéaire. Alors :

𝑢(0E) = 0F.

Preuve Faire simplementλ = μ = 0 et𝑥 = 𝑦 = 0E dans ladéfinitiond’uneapplication linéaire.

Méthode (Montrer qu’une application n’est pas linéaire)WRENCH

Pour montrer qu’une application n’est pas linéaire, on peut :Caret-right vérifier si l’égalité 𝑢(0E) = 0F est vérifiée.Caret-right Si c’est le cas, on trouve λ,μ ∈ K et 𝑥,𝑦 ∈ E tels que : 𝑢(λ.𝑥 + μ𝑦) ≠

λ.𝑢(𝑥)+μ.𝑢(𝑦).

Exemple 27— Contre... Les applications ci-dessous sont-elles linéaires?

1 — 𝑓 ∶||||||

R3 ⟶ R2,

(𝑥1,…,𝑥𝑛) ⟼ (𝑥+𝑦+𝑧+1,𝑧),

PEN-FANCY

2 — 𝑔 ∶||||||

R3 ⟶ R,

(𝑥1,…,𝑥𝑛) ⟼ 𝑥2 +𝑦+𝑧.

PEN-FANCY



Définition ALG.1.12 | Identité et homothétie

Caret-right IdE ∶||||||

E ⟶ E

𝑥 ⟼ 𝑥est un endomorphisme de E, appelé endomor-

phisme identité (ou endomorphisme identique).Caret-right Pour tout λ ∈ K, l’application λ IdE est un endomorphisme de E appelé

homothétie de rapport λ.

Commençons par quelques premiers exemples.

Exemple 28— Dans K𝑛 Soit 𝑛 ⩾ 1 un entier.

1 — π𝑖 ∶||||||

K𝑛 ⟶ K

(𝑥1,…,𝑥𝑛) ⟼ 𝑥𝑖est, pour tout 𝑖 ∈ J1, 𝑛K, une forme linéaire sur

K𝑛 appelée 𝑖-ème projection canonique.PEN-FANCY

Plus généralement, l’application qui à un vecteur associe sa 𝑖-ème coordonnéedans une base fixée est toujours linéaire, nous le montrerons dans la propositionqui suit.

2 — μ ∶||||||

K𝑛 ⟶ K

(𝑥1,…,𝑥𝑛) ⟼ 1𝑛 ∑𝑛

𝑖=1𝑥𝑖est une forme linéaire sur K𝑛 appelée

moyenne en statistiques.PEN-FANCY

3 — L’application 𝑓 définie pour tout (𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3 par 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = (𝑥−2𝑦+𝑧,2𝑥+3𝑦−5𝑧,𝑥+𝑦+𝑧) est linéaire.PEN-FANCY



Proposition ALG.1.13 | Dépendance linéairedes coordonnéesd’unvecteurSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle et ℬ = (𝑒1,…,𝑒𝑛)une base de E avec 𝑛 ⩾ 1. Si 𝑥 ∈ E, notons λ𝑖(𝑥) la 𝑖-ème coordonnée de 𝑥dans la base ℬ avec 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K. Alors l’application

πℬ𝑖

||||||

E ⟶ K

𝑥 ⟼ λ𝑖(𝑥)est une forme inéaire.

Preuve

PEN-FANCY

On retient donc de la définition que, si 𝑢 est K -linéaire, on peut «sortir» les sca-laires de K et uniquement ceux-là. Nous utilisons ce fait dans les exemples quisuivent, où nous déterminons certains ensembles d’applications linéaires.

Exemple 29— Cas deℒK(K,K) (applications linéaires vues en classe de 3ème) Cesont les 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ λ𝑥 avec λ = 𝑓(1) ∈ C, et autrement dit, toute application linéaire

est une homothétie dans ce cas.

PEN-FANCY

Exemple 30— Déterminer ℒR(C,C).

PEN-FANCY



Exemple 31— Déterminer ℒK(K2,K) et ℒK(K2,K2).

PEN-FANCY

Exemple 32— Avec des polynômes, suites, ... Les applications suivantes sont li-néaires :

1 — D ∶||||||

K[X] ⟶ K[X]

P ⟼ P′,,

PEN-FANCY

2 — φ ∶||||||

𝒞0([0,1],R) ⟶ R

𝑓 ⟼ ∫1

0𝑓(𝑡)d𝑡,

PEN-FANCY



3 — ψ ∶||||||

ℱ(R,R) ⟶ R3

𝑓 ⟼ (𝑓(0),𝑓(1),𝑓(2)),

PEN-FANCY

4 — 𝑠𝑔 ∶||||||

RN ⟶ RN

(𝑢𝑛)𝑛∈N ⟼ (𝑢𝑛+1)𝑛∈N. L’application 𝑠𝑔 est généralement appe-

lée décalage gauche ou left shift. De-même on définit aussi 𝑠𝑑 décalage droite.PEN-FANCY

4.2. Structure de K-espace vectoriel sur ℒK(E,F) et puissances

Proposition ALG.1.14 | Opérations sur les applications linéaires— Struc-ture d’espace vectoriel

Soient E, F et G des K-espaces vectoriels.1 — (Combinaison linéaire) Soient (λ,μ) ∈ K2 et (𝑢,𝑣) ∈ ℒ(E,F)2. Alorsλ𝑢+μ𝑣 ∈ ℒ(E,F). Ces opérations définissent une structure de K-espace vec-toriel (ℒK(E,F),+, .).2 — (Composition) Soient 𝑢 ∈ ℒ(E,F) et 𝑣 ∈ ℒ(F,G). Alors : 𝑣 ∘ 𝑢 ∈ℒ(E,G).3 — (Restriction) Soient 𝑢 ∈ ℒ(E,F) et V un sous-espace vectoriel de E.Alors l’application

𝑢||V

||||||

V ⟶ F

𝑥 ⟼ 𝑢(𝑥)

est appelée application restreintea de 𝑢 à V. C’est une application linéaire deV dans F.

Preuve

PEN-FANCY

aPuisqu’une application est déterminée par : un ensemble de déparrt et d’arrivée, et une opérationd’association, il est important d’introduire une autre notation pour la restriction. Nous avonschangé l’ensemble de départ ici.



Attention×

Mêmesi𝑢||V et𝑢 coïncident surV, en tant qu’applicationelles sontdifférentes(puisque leur espace de départ n’est pas le même).

Exemple 33— On considère les applications :

𝑢 ∶||||||

R2 ⟶ R2

(𝑥,𝑦) ⟼ (0,𝑥)et 𝑣 ∶

||||||

R2 ⟶ R2

(𝑥,𝑦) ⟼ (𝑦,0)

Calculons 𝑢∘𝑣 et 𝑣 ∘𝑢. Que constate-t-on?

PEN-FANCY

Attention×

En général, on note plutôt 𝑢𝑣 pour des applications linéaires au lieu de 𝑢∘𝑣.Mais soyez méfiant vis-à-vis de cette notation, cela ne désigne en aucun casl’application produit 𝑥 ⟼ 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) qui n’a même aucun sens ici.a

Puissances d’un endomorphisme On se place désormais dans le cas d’endomor-phismes, i.e. lorsque E = F.

Définition ALG.1.13 | PuissancesSoit E un K-espace vectoriel, et 𝑓 ∈ ℒ(E). Alors on définit par récurrence l’en-domorphisme 𝑓𝑘 pour tout 𝑘 ∈∈N :

⎧⎨⎩

𝑓0 = IdE,

∀𝑘 ∈N, 𝑓𝑘+1 = 𝑓 ∘𝑓𝑘 = 𝑓𝑘 ∘𝑓.

Remarque 4.3— On suppose que 𝑓 est un endomorphisme, tout simplementpour que les composées aient un sens. On pourrait faire sans cette hypothèse etsupposer plus généralement que 𝑓(E) ⊂ F si 𝑓 ∶ E ⟶ F.

Proposition ALG.1.15 | Binôme de Newton pour les applications linéairesSoit (𝑢,𝑣) ∈ ℒ(E)2 tel que 𝑢 ∘ 𝑣 = 𝑣 ∘𝑢. Alors on a la formule du binôme deNewton :

∀𝑛 ∈N, (𝑢+𝑣)𝑛 =𝑛∑𝑘=0

⎛

⎝

𝑛

𝑘

⎞

⎠𝑢𝑘𝑣𝑛−𝑘.

Remarque 4.4— Sans hypothèse de commutativité sur 𝑢 ∈ ℒ(E) et 𝑣 ∈ ℒ(E), onpeut quand-même développer les quantités précédentes, mais les formules sontplus compliquées. Le faire ci-dessous pour (𝑢+𝑣)2 ou (𝑢−𝑣)2.

aPourquoi? Nous l’avons déjà vu : nous ne pouvons pas multiplier deux vecteurs entre eux.



PEN-FANCY

Preuve Par récurrence sur 𝑛.

PEN-FANCY

La formule qui suit, n’est, quant à elle, pas auprogrammedeBCPST. L’énoncén’estdonc pas à connaître par coeur, et la preuve est un exercice.

Proposition ALG.1.16 | Formule de BERNOULLI [H.P]Soit (𝑢,𝑣) ∈ ℒ(E)2 tel que 𝑢∘𝑣 = 𝑣 ∘𝑢. Alors :

∀𝑛 ∈N∗, 𝑢𝑛 −𝑣𝑛 = (𝑢−𝑣)𝑛−1∑𝑘=0

𝑢𝑛−1−𝑘𝑣𝑘.

En particulier, pour 𝑢 ∈ ℒ(E) et 𝑣 = IdE, on obtient :

∀𝑛 ∈N∗, IdE−𝑢𝑛 = (IdE−𝑢)𝑛−1∑𝑘=0

𝑢𝑘.

Preuve (Point clef — Téléscopage)

PEN-FANCY



4.3. Image & Noyau

La notion d’image d’application a déjà été rencontrée en première année, elle estdonc toujours en vigueur pour des applications en particulier linéaires, et forte-ment reliée à la surjectivité. Nous allons voir que l’injectivité peut dans ce cas êtrereformulée à l’aide de ce que nous appellerons le noyau ; mais bien entendu il esttoujours possible de recourir à la définition basique vue l’année dernière. C’est-à-dire une application 𝑓 ∶ E ⟶ F entre deux ensembles E et F est injective si

∀(𝑥,𝑥′) ∈ E2, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥′) ⟹ 𝑥 = 𝑥′.

Définition/Proposition ALG.1.5 | Image directe d’un espace vectorielSoient E et F des K-espaces vectoriels et 𝑢 ∈ ℒ(E,F) et V un sous-espace vec-toriel de E. Alors :

Caret-right l’ensemble 𝑢(V) = {𝑢(𝑥), 𝑥 ∈ V} est un sous-espace vectoriel de F, ap-pelé image directe de V par 𝑢.

Caret-right On appelle image de 𝑢, et on note Im𝑢, l’image directe de E par l’appli-cation 𝑢 :

Im𝑢 = 𝑢(E)( = {𝑢(𝑥), 𝑥 ∈ E} .)

C’est le sous-espace vectorielde F constitué des vecteurs qui sont l’imaged’un vecteur de E par 𝑢. En d’autres termes, pour 𝑦 ∈ F :

𝑦 ∈ Im𝑢 ⟺ ∃𝑥 ∈ E, 𝑦 = 𝑢(𝑥).

Preuve Montrons que 𝑢(V) est un sous-espace vectoriel de F.

PEN-FANCY

Attention×

Il est complètement faux de se passer de la linéarité dans l’énoncé précédent.Par exemple, 𝑢 ∶ 𝑥 ∈ R ⟼ 1+𝑥 n’est pas une application linéaire (zéro n’estpas envoyé sur zéro), et 𝑢({0}) = {1} n’est pas un sous-espace vectoriel de Rpuisqu’il ne contient pas zéro.

Passons maintenant à la définition du noyau.

Définition/Proposition ALG.1.6 | NoyauOn appelle noyau de 𝑢, et on le note Ker𝑢, l’ensemble :

Ker𝑢 = {𝑥 ∈ E, 𝑢(𝑥) = 0F} .

C’est le sous-espace vectoriel de E constitué des vecteurs ayant 0F pour imagepar 𝑢. Donc, pour 𝑥 ∈ E :

𝑥 ∈ Ker𝑢 ⟺ 𝑢(𝑥) = 0F.

Preuve Montrons que Ker (𝑢) est un sous-espace vectoriel de E.

PEN-FANCY



Remarque 4.5— On retient donc :

Caret-right le noyau est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ,Caret-right l’image est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée.

Exemple 34— Soient E et F des K-espaces vectoriels. Alors, on a : Im (0ℒ(E,F)) ={0F}, Ker (0ℒ(E,F)) = E, Im (IdE) = E et Ker (IdE) = {0E}.

PEN-FANCY

Proposition ALG.1.17 | Caractérisation de la surjectivité/injectivité pourles applications linéaires

Soient E et F des K-espaces vectoriels et 𝑢 ∈ ℒ(E,F). Alors :Caret-right 𝑢 est injective ⟺ Ker𝑢 = {0E},Caret-right 𝑢 est surjective ⟺ Im𝑢 = F.

PreuveCaret-right ⟹

PEN-FANCY

⟸

PEN-FANCY

Caret-right Pour la surjectivité, il n’y a rien à faire, c’est une conséquence du coursde 1ère année.

Attention×

Notezbienquedans lapreuveprécédente, la linéarité fut fondamentalepourécrire pour tous 𝑥,𝑥′ ∈ E :

𝑢(𝑥) = 𝑢(𝑥′) ⟺ 𝑢(𝑥−𝑥′) = 0F ⟺ 𝑥−𝑥′ ∈ Ker𝑢.

Pas question donc de calculer des noyaux pour montrer qu’une application



×NON linéaire est injective. Par exemple, il est clair que 𝑥 ∈ R ⟼ 𝑥2 ∈ R n’estpas injective et pourtant son «noyau» est réduit à zéro.

Une dernière proposition avant de regarder des exemples.

Proposition ALG.1.18 | Image directe d’un «Vect»SoientE etFdesK-espaces vectoriels,𝑢 ∈ ℒ(E,F) et (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 une famille finiede vecteurs de E. Alors :

𝑢(Vect (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛) = Vect (𝑢(𝑥𝑘))1⩽𝑘⩽𝑛 .

En particulier, si (𝑥1,…,𝑥𝑛) est une famille génératrice finie de E, alors :(𝑢(𝑥1),…,𝑢(𝑥𝑛)) est génératrice de Im𝑢, et est donc de dimension finie.

Méthode (Image d’une application si une famille génératrice de l’espace

de départ est connue)WRENCH

1 — On commence par chercher une famille génératrice 𝒢 de l’ensemble dedépart E.2 — On calcule les images de chacun des vecteurs de 𝒢.3 — Si l’on souhaite une base, on cherche à extraire une sous-famille libre.

Preuve (Point clef — Exploiter la linéarité de 𝑢)On a :

𝑦 ∈ 𝑢(Vect (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛) ⟺ il existe λ1,…,λ𝑛, 𝑦 = 𝑢(𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑥𝑖)

⟺linéarité

il existe λ1,…,λ𝑛, 𝑦 =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑢(𝑥𝑖)

⟺ 𝑦 ∈ Vect (𝑢(𝑥𝑘))1⩽𝑘⩽𝑛 .

Exemple 35— Déterminer une base de l’image de

𝑔 ∶||||||

R3 ⟶ R3

(𝑥,𝑦,𝑧) ⟼ (𝑥+2𝑦+𝑧,2𝑥+𝑦−𝑧,𝑥+2𝑦+𝑧).

PEN-FANCY

Passons à présent à des exemples de calculs de noyaux et d’images.

Exemple 36— Pour les applications ci-dessous, déterminerKer𝑢 et Im𝑢 en exhi-bant une famille génératrice. On admettra les linéarités.

1 — 𝑢 ∶||||||

R3 ⟶ R2

(𝑥,𝑦,𝑧) ⟼ (𝑥+𝑦−𝑧,𝑥−𝑦+2𝑧).

PEN-FANCY



2 — 𝑣 ∶||||||

R2 ⟶ R3

(𝑥,𝑦) ⟼ (2𝑥−𝑦,𝑦,−𝑥+𝑦).

PEN-FANCY

3 — D ∶||||||

𝒞1(I,R) ⟶ 𝒞0(I,R)

𝑓 ⟼ 𝑓′où I est un intervalle de R.

PEN-FANCY

4 — Ψ ∶||||||

RN ⟶ RN

(𝑢𝑛) ⟼ (𝑎𝑢𝑛)où 𝑎 ∈R.

PEN-FANCY

5 — (Décalages dans RN)

𝑠𝑑 ∶||||||

RN ⟶ RN

(𝑢0,𝑢1,𝑢2,𝑢3, ...) ⟼ (0,𝑢0,𝑢1,𝑢2, ...),

𝑠𝑔 ∶||||||

RN ⟶ RN

(𝑢0,𝑢1,𝑢2,𝑢3, ...) ⟼ (𝑢1,𝑢2, ...).

PEN-FANCY



Que valent 𝑠𝑑 ∘𝑠𝑔 et 𝑠𝑔 ∘𝑠𝑑 ?

PEN-FANCY

6 — T ∶||||||

R[X] ⟶ R[X]

P ⟼ P(X+1).

PEN-FANCY

4.4. Isomorphismes

Définition ALG.1.14 | Isomorphisme, AutomorphismeCaret-right On appelle isomorphisme entre deux espaces vectoriels E et F toute ap-

plication linéaire bijective de E dans F, dans ce cas on dit que E et F sontisomorphes.

Caret-right On appelle automorphisme de E tout endomorphisme bijectif de E, c’estdonc un isomorphisme de E dans E.

Définition ALG.1.15 | Groupe linéaire GL(E)Soit E un K-espace vectoriel, l’ensemble des automorphismes linéaires de Eest noté GL(E), et appelé groupe linéaire sur E.

Résumé♥

Caret-right morphisme = application linéaire,Caret-right endomorphisme = application linéaire + entre mêmes espaces,Caret-right isomorphisme = application linéaire + bijective,Caret-right automorphisme = application linéaire + bijective + entre mêmes

espaces.

Une application bijective 𝑢 ∈ ℱ(E,F) (i.e. injective et surjective de E dans F) pos-sède (voir cours de 1ère année) une application inverse 𝑢−1 ∈ ℱ(F,E), i.e. satisfai-sant :

𝑢∘𝑢−1 = IdF, 𝑢−1 ∘𝑢 = IdE .

Si celle de départ est linéaire, on montre que l’inverse l’est aussi comme le précisela Proposition ALG.1.19.

Proposition ALG.1.19 | Linéarité de l’inverseSoientE etFdesK-espaces vectoriels et𝑢 ∈ ℒ(E,F). Si𝑢 est un isomorphisme,alors 𝑢−1 ∈ ℒ(F,E) est un isomorphisme.



Preuve Il suffit de montrer que 𝑢−1 est linéaireelle aussi. En effet, soient 𝑦,𝑦′ ∈ F et λ,μ ∈ K, alors :𝑢−1(λ𝑦+μ𝑦′) = 𝑢−1(λ𝑢(𝑢−1(𝑦))+μ𝑢(𝑢−1(𝑦′)))= 𝑢−1 ∘𝑢(λ𝑢−1(𝑦)+μ𝑢−1(𝑦′))= λ𝑢−1(𝑦)+μ𝑢−1(𝑦′).

𝑢−1 ∘𝑢 = Id

𝑢 linéaire

Cette dernière égalité prouve bien la linéarité de 𝑢−1.

Proposition ALG.1.20 | Composée d’isomorphisme = isomorphismeSoient 𝑢 ∶ E ⟶ F et 𝑣 ∶ F ⟶ G deux isomorphismes deK-espaces vectoriels.Alors :

Caret-right 𝑣 ∘𝑢 est un isomorphisme de E dans G,Caret-right et : (𝑣 ∘𝑢)−1 = 𝑢−1 ∘𝑣−1.

Preuve

PEN-FANCY

4.5. Cas particulier de la dimension finie

4.5.1. Rang d’une application linéaire

Définition ALG.1.16 | Rang d’une application linéaireSoient E et F des K-espaces vectoriels et 𝑢 ∈ ℒ(E,F). On dit que 𝑢 est de rangfini si Im𝑢 est de dimension finie. On appelle alors rang de 𝑢 surK, et on noteRgK(𝑢), la dimension de Im𝑢 sur K :

RgK(𝑢) = dimK(Im𝑢)

La notion de rang décrite ici est fortement reliée à la notion de rang d’une famillede vecteurs définie précédemment. Le lien entre les deux apparaît avec le théo-rème suivant, qui pourra aussi s’écrire ultérieurement avec des matrices.

Théorème ALG.1.5 | Rang d’une application linéaire et rang d’une famillede vecteurs

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie 𝑛 ∈N∗, F un K-espace vec-toriel de dimension quelconque, ℬ = (𝑒1, ...,𝑒𝑛) une base de E et 𝑢 ∈ ℒ(E,F).Alors, 𝑢 est de rang fini et :

RgK(𝑢) = RgK(𝑢(ℬ)) = dimKVect (𝑢(𝑒1), ...,𝑢(𝑒𝑛)) .

Notez bien que lemembre de gauche du théorème précédent est la notion de rangd’application que l’on vient de définir, les deux membres de droite correspondentà la notion de rang d’une famille de vecteurs définie début de ce chapitre, commedimension «du vect».

Preuve Notons (𝑥1,…,𝑥𝑛)une famille génératrice finie deE. Alors, nousavons déjà établi que :

𝑢(E) = Vect(𝑢(𝑥1),…,𝑢(𝑥𝑛)).

Il suffit alors de passer à la dimension :

(RgK(𝑢) = )dimK(𝑢(E)) = dimKVect(𝑢(𝑥1),…,𝑢(𝑥𝑛)).



Propriétés du rang.

Proposition ALG.1.21 | Invariance du rang par composition avec un iso-morphisme

Soient E, E′, F et F′ des K-espaces vectoriels, 𝑣 ∈ ℒ(E,F) une application li-néaire de rang fini, 𝑢 ∈ ℒ(E′,E) et 𝑤 ∈ ℒ(F,F′) deux isomorphismes. Alors𝑣 ∘𝑢 et 𝑤∘𝑣 sont de rangs finis et :

RgK(𝑣) = RgK(𝑣 ∘𝑢) = RgK(𝑤 ∘𝑣).

Preuve Montrons que RgK(𝑣) = RgK(𝑣 ∘ 𝑢). Nous admettrons ladeuxième.Nous avons même une égalité entre ensembles :

Im(𝑣∘𝑢) = {(𝑣 ∘𝑢)(𝑥), 𝑥 ∈ E′} = {𝑣(𝑦), 𝑦 ∈ E} = Im(𝑣), puisque 𝑢 est bijective.

Donc a fortiori : dimIm(𝑣 ∘𝑢) = dim(Im𝑣).

Théorème ALG.1.6 | Théorème du rangSoient E unK-espace vectoriel de dimension finie, F unK-espace vectoriel dedimension quelconque, et 𝑢 ∈ ℒ(E,F). Alors 𝑢 est de rang fini et

dimK E = RgK(𝑢)+dimKKer𝑢

Attention×

Bien mettre la dimension de l’espace de départ dans le membre de droite.

Preuve Notons 𝑛 = dimE.1 — (Complétion d’une base de Ker𝑢) D’après le théorème de la baseincomplète, notant 𝑒1,…,𝑒𝑝 une base de Ker𝑢, il existe 𝑒𝑝+1,…,𝑒𝑛 des élé-ments de E tels que (𝑒1,…,𝑒𝑟,𝑒𝑟+1,…,𝑒𝑛) soit une base de E. Notons parailleurs S = Vect(𝑒𝑟+1,…,𝑒𝑛) l’espace vectoriel engendré pas les vecteurs quicomplètent.2 — (Il suffit de montrer que 𝑣 = 𝑢||S ∈ ℒ(S, Im𝑢) est un isomorphisme.)En effet, si c’est le cas, on a alors dimS = dimF, mais comme dimS +dimKer𝑢 = dimE, le résultat s’en suivra.Il est immédiat que𝑣 = 𝑢||S ∈ ℒ(S, Im𝑢),montrons donc le caractère bijectif.Soit 𝑥 ∈ Ker𝑣, i.e. 𝑥 ∈ S et 𝑥 ∈ Ker𝑢, or puisque (𝑒1,…,𝑒𝑟,𝑒𝑟+1,…,𝑒𝑛) est une

base de E, il existe un unique couple (𝑥K,𝑥S) ∈ Ker𝑢×S tel que 𝑥 = 𝑥K +𝑥S.Mais 𝑥 = 𝑥+0 et 𝑥 = 0+𝑥 sont deux autres décompositions (puisque 𝑥 ∈ Set 𝑥 ∈ Ker𝑢) donc par unicité : 𝑥K = 0 = 𝑥S donc 𝑥 = 0E.Reste à montrer la surjectivité. Soit 𝑦 ∈ Im𝑢, il existe 𝑥 ∈ E tel que 𝑢(𝑥) = 𝑦,mais commementionnéplus tôt il existe ununique couple (𝑥K,𝑥S) ∈ Ker𝑢×Stel que 𝑥 = 𝑥K +𝑥S, donc 𝑢(𝑥) = 0+𝑢(𝑥S), et finalement 𝑢(𝑥S) = 𝑦 justifiel’existence d’un antécédent dans S pour 𝑦.

Remarque 4.6— Majoration sur le rang On en déduit notamment que si 𝑢 ∈ℒ(E,F), dimK E = 𝑛 ∈N et dimK F = 𝑝 ∈N, alors

RgK 𝑢 ⩽min(𝑛,𝑝) .

En effet,

PEN-FANCY

Attention×

L’énoncé est faux en dimension infinie !

Théorème ALG.1.7Soient E et F deux K-espaces vectoriels de même dimension finie et 𝑢 ∈ℒ(E,F). Alors :

(i) 𝑢 est bijective ⟺ (ii) 𝑢 est injective ⟺ (iii) 𝑢est surjective.

Preuve Application immédiate du théorème du rang : d’après le théo-rème du rang, on a dimE = Rg𝑢+dimKer𝑢, donc

PEN-FANCY



Ce résultat paraît anecdotique, mais il est d’importance capitale dans la pratique :il permet de réduire bon nombre de problèmes à une preuve d’injectivité d’appli-cation linéaire (souvent relativement aisée). Voyons deux exemples.

Exemple 37— Existence d’un polynôme interpolateur Soient un entier 𝑛 ∈ Net une famille de 𝑛+1 réels distincts (𝑥𝑘)0⩽𝑘⩽𝑛 ∈ R𝑛+1. Montrons que pour toutefamille de réels (𝑦𝑘)0⩽𝑘⩽𝑛 ∈R𝑛+1 il existe un unique P ∈R𝑛[X] tel que :

∀𝑘 ∈ J0 , 𝑛K, P(𝑥𝑘) = 𝑦𝑘.

Le théorème précédent permet de montrer l’existence et l’unicité sans effort. Eneffet, considérons l’application

Φ ∶||||||

R𝑛[X] ⟶ R𝑛+1

P ⟼ (P(𝑥0),…,P(𝑥𝑛)).

PEN-FANCY

Remarque 4.7 — Si l’on veut rendre le raisonnement plus explicite, on introduirales polynômes d’interpolation de Lagrange. Nous les verrons dans le chapitre derévision sur les polynômes.

Exemple 38— Soit Q ∈ R𝑛[X]. Montrons qu’il existe un unique polynôme P ∈R𝑛[X] tel que P′ +P = Q.

PEN-FANCY



4.5.2. Image de familles de vecteurs

Théorème ALG.1.8 | Constructiond’une application linéaire à l’aide d’unebase

Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie non nulle 𝑛 et de baseℬ =(𝑒1, ...,𝑒𝑛), F unK-espace vectoriel de dimension quelconque, et ℱ = (𝑓1, ...,𝑓𝑛)une famille quelconque de 𝑛 vecteurs de F. Alors :

il existe une et une seule application linéaire 𝑢 ∈ ℒ(E,F) telle que∀𝑖 ∈ J1 , 𝑛K, 𝑢(𝑒𝑖) = 𝑓𝑖,

De plus, avec 𝑢 ainsi construite,

1 — 𝑢 est injective si et seulement si ℱ est une famille libre de F,2 — 𝑢 est surjective si et seulement si ℱ est une famille génératrice de F,3 — 𝑢 est un isomorphisme si et seulement si ℱ est une base de F.

Preuve Commençons par construire 𝑢.

PEN-FANCY

La propriété 3) est immédiate en combinant 1) et 2). Montrons 1).

PEN-FANCY



Montrons 2).

PEN-FANCY

Remarque 4.8— On retiendra notamment deux idées importantes :

Caret-right une application linéaire est entièrement déterminée par l’image d’une base;ce fait est important à analyser pour comprendre la notion de matrice d’ap-plication linéaire du prochain chapitre,

Caret-right 𝑢 est un isomorphisme si et seulement si l’imaged’unebase deE est unebasede F.

Méthode (Construction d’applications linéaires à l’aide d’une base)WRENCH

À la question «construisez une application linéaire entre E et F», si vousconnaissez une base ℬ = (𝑒1, ...,𝑒𝑛) de E, vous pouvez répondre :

je pose 𝑢(𝑒1) = Truc1 ∈ F, …, je pose 𝑢(𝑒𝑛) = Truc𝑛,

WRENCH en découlera alors automatiquement 𝑢(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ E par linéarité.

Corollaire ALG.1.1Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle 𝑛 et de base ℬ =(𝑒1, ...,𝑒𝑛) et F un K-espace vectoriel de dimension quelconque. L’applicationsuivante est un isomorphisme :

||||||

ℒ(E,F) ⟶ F𝑛

𝑢 ⟼ (𝑢(𝑒𝑘))1⩽𝑘⩽𝑛

Preuve Conséquence directe de l’existence et l’unicité de 𝑢 dans leThéorème ALG.1.8.

Corollaire ALG.1.2Deux K-espaces vectoriels de dimensions finies E et F sont isomorphes, i.e. ilexiste un isomorphisme entre E et F si et seulement si

dimK E = dimK F.

Preuve

⟸

PEN-FANCY



⟹ Conséquence directe du théorème du rang appliqué à la bijection enquestion.

PEN-FANCY

Remarque 4.9— Ainsi, toutK-espace vectoriel de dimension finie 𝑛 ∈N∗ est iso-morphe à K𝑛 (eh oui, il est aussi de dimension 𝑛 !). Ce n’était donc pas déraison-nable de commencer par étudier K𝑛 en première année, vous avez en fait vu l’es-pace vectoriel typique (c’est-à-dire à isomorphisme près) de dimension finie.Par exemple, l’espace vectoriel K𝑛−1[X] est isomorphe à K𝑛 aussi via :

𝑎0 +𝑎1X+…+𝑎𝑛−1X𝑛−1 ∈K𝑛−1[X] ⟼ (𝑎0,…,𝑎𝑛−1) ∈K𝑛.

Exemple 39— Justifier sans calculs que K𝑛 et K𝑛−1[X] sont isomorphes. Montrerensuite que :

Φ ∶ 𝑎0 +𝑎1X+…+𝑎𝑛−1X𝑛−1 ∈K𝑛−1[X] ⟼ (𝑎0,…,𝑎𝑛−1) ∈K𝑛

est un isomorphisme.

PEN-FANCY

Théorème ALG.1.9 | Dimension de ℒ(E,F)Soient E et F des K-espaces vectoriels de dimensions finies. Alors ℒ(E,F) estde dimension finie et :

dimK ℒ(E,F) = dimK E×dimK F.

En particulier, on a : dimKE⋆ = dimE.

Preuve Nous admettons (provisoirement) la première égalité. La se-conde est alors directe :

dimKE⋆ = dimE×dimK= dimE×1 = dimE.

⋆⋆⋆ Fin du chapitre ⋆⋆⋆



5. EXERCICES

5.1. Structure d’espace vectoriel

[ALG_Ev_55.tex]

Exercice ALG.1.1 CLOCK Être ou ne pas être un espace vectoriel dans K𝑛 (Solution : 52)Les ensembles ci-dessous, sont-ils, munis de l’addition et la multiplication par unscalaire des vecteurs, des espaces vectoriels? On les représentera graphiquementlorsque cela est possible.

1 — E1 = {(𝑥,𝑦) ∈R2+, 𝑥 = 𝑦}, E′1 = {(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑥 ≠ 𝑦}, E′′1 = {(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑥 ⩾ 𝑦},

2 — E2 = (O𝑥)∪ (O𝑦), E′2 = {(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑦 = 1} ,

3 — E3 = {(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑦−𝑥 = 1},

4 — E4 = {(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑥2 −𝑦2 = 0}, E′4 = {(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑥2 +𝑦2 = 0},

5 — E5 = {(𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, 𝑥+𝑦+𝑧 = 0,𝑥−𝑦+𝑧 = 0}, puis trouver une famille gé-nératrice de E5 (dit autrement, on demande d’écrire l’espace sous forme paramé-trique),6 — l’ensemble E6 des matrices triangulaires supérieures réelles d’ordre 𝑛 ⩾ 1,E′6 = {M ∈ 𝔐𝑛,1 (R) , ⊤M+M = 0}.

[ALG_Ev_24.tex]

Exercice ALG.1.2 Être ou ne pas être un espace vectoriel de suites, fonctions, ...Pour chacun des ensembles suivants, indiquer avec justification si c’est un espacevectoriel ou pas, en précisant le corps de base.

1 — L’ensemble des fonctions de R dans R qui sont nulles en 1 ou nulles en 4.2 — L’ensemble des fonctions 𝑓 croissantes sur R.3 — L’ensemble des suites arithmétiques de RN. Soit 𝑟 ∈ R, même question avecl’ensemble des suites arithmétiques de raison 𝑟.4 — L’ensemble des suites géométriques de RN. Soit ρ ∈ R, même question avecl’ensemble des suites géométriques de raison ρ.

5 — L’ensembles des fonctions réelles définies sur ]−1,1[, continues, positives ounulles.

5.2. Familles de vecteurs et dimension

[ALG_Ev_57.tex]

Exercice ALG.1.3 Études de liberté/génération dans R𝑛 (Solution : 52)

1 — Les familles suivantes sont-elles libres?1.1) ℒ1 = ((1,1,1), (2,2,2)),1.2) ℒ2 = ((1,0,1), (0,2,2), (3,3,0)),1.3) ℒ3 = ((−1,−2,2), (4,−3,−2), (2,−1,−1)).2 — Les familles suivantes sont-elles génératrices de R3 ?2.1) 𝒢1 = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,2)),2.2) 𝒢2 = ((0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)).

[ALG_Ev_31.tex]

Exercice ALG.1.4 Étude de liberté de familles de fonctions (Solution : 53)

1 — Pour 𝑘 = 0, ...,𝑛 on définit 𝑒𝑘 ∶ 𝑥 ↦ e𝑘𝑥. Montrer que (𝑒𝑘)0⩽𝑘⩽𝑛 est libre dansℱ(R,R).2 — Pour 𝑘 ∈ N, 𝑓𝑘 ∶ 𝑥 ↦ |𝑥−𝑘|. Montrer que (𝑓𝑘)𝑘 est une famille libre deℱ(R,R).3 — On considère la fonction 𝑠𝑘 ∶ 𝑥 ↦ sin (𝑥𝑘). Montrer que (𝑠𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 est une fa-mille libre.

[ALG_Ev_33.tex]

Exercice ALG.1.5 Étude de liberté d’une famille de suites (Solution : 53) Soient lessuites complexes𝑢 = (1)𝑛∈N ∈CN,𝑣 = (𝑖𝑛)𝑛∈N ∈CN et𝑤 = (𝑗𝑛)𝑛∈N ∈CN, où 𝑗 = e

2𝑖π3 .

Montrer que la famille (𝑢,𝑣,𝑤) est libre dans CN (on considère que CN est munide sa structure d’espace vectoriel sur C).

[ALG_Ev_54.tex]



Exercice ALG.1.6 Peut-on déterminer 𝑥,𝑦 ∈ R tels que le vecteur 𝑣 =

( −2,𝑥,𝑦,3 ) soit dans Vect(𝑒1,𝑒2) où 𝑒1 = ( 1,−1,1,2 ) et 𝑒2 = ( −1,2,3,1 )?[ALG_Ev_56.tex]

Exercice ALG.1.7 Dans R3, on considère les vecteurs 𝑢1 = (2,4,6), 𝑢2 = (3,5,9) et𝑢3 = (1,7,2).

1 — Montrer que (𝑢1,𝑢2,𝑢3) est une base de R3.2 — Déterminer les coordonnées du vecteur 𝑣 = (0,1,2) dans cette base.

[ALG_Ev_62.tex]

Exercice ALG.1.8 Soient les deux ensembles ci-dessous.

F = {(𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, 𝑦 = 𝑧} et G = {(𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, 𝑥+𝑦+2𝑧 = 0}.

1 — Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3, et donner unebase de F et de G.2 — Déterminer une base de F∩G.

[ALG_Ev_59.tex]

Exercice ALG.1.9 Description cartésienne vers description paramétrique Mon-trer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de R3 et en don-ner une famille génératrice :

F = {(𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, 𝑥−𝑦+2𝑧 = 0} ;

G = {(𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, 2𝑥+3𝑦+4𝑧 = 0 et 4𝑥+3𝑦+2𝑧 = 0}.[ALG_Ev_25.tex]

Exercice ALG.1.10 Dans R4 on considère E1 = {(𝑥,𝑥 −2𝑧,𝑧,3𝑧), 𝑥 ∈ R, 𝑧 ∈ R} etE2 = {(0,𝑦,0,𝑧), 𝑦 ∈R, 𝑧 ∈R}.

1 — Montrer que ce sont des sous-espace vectoriel de R4, et en déterminer unebase.2 — Montrer qu’en concaténant cesdeuxbases, onobtientune famille qui est unebase de R4.

3 — Écrire les ensembles E1 et E2 sous forme d’intersections d’équations carté-siennes.

[ALG_Ev_61.tex]

Exercice ALG.1.11 Avec un paramètre Pour 𝑚 ∈ R, on note 𝑢 = (4−𝑚,4,4), 𝑣 =(3,3−𝑚,6) et 𝑤 = (3,6,3−𝑚). Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre 𝑚 la famille(𝑢,𝑣,𝑤) est-elle une base de R3 ?

[ALG_Ev_26.tex]

Exercice ALG.1.12 Changement de corps de base Considérons l’ensemble

F = {(𝑥,𝑥−2i 𝑡,3𝑡, i 𝑡), 𝑥 ∈C, 𝑡 ∈C}.

1 — Montrer que F est un C-sous-espace vectoriel de E = C4. En donner une fa-mille génératrice.2 — Donner une famille génératrice en tant que R espace vectoriel.3 — Comparer les dimensions en tant que R-espace vectoriel et C-espace vecto-riel.

[ALG_Ev_60.tex]

Exercice ALG.1.13 Un hyperplan de R𝑛 Soient 𝑎1,⋯,𝑎𝑛−1 des réels et F le sous-ensemble de R𝑛 défini par :

F = {(𝑥1,⋯,𝑥𝑛) ∈R𝑛, 𝑎1𝑥1 +⋯+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +𝑥𝑛 = 0}.

1 — Montrer, de deux manières, que F est un sous-espace vectoriel de R𝑛.2 — Déterminer une base et la dimension de F.

[ALG_Ev_30.tex]

Exercice ALG.1.14 Soit E l’espace des applications de ]−1;1[ dansR. Soit 𝑓1 ∶ 𝑥 ↦1

𝑥−1 et 𝑓2 ∶ 𝑥 ↦ 1𝑥+1 .

1 — Montrer que la famille (𝑓1,𝑓2) est libre.2 — Montrer que 𝑔 ∶ 𝑥 ↦ 1

𝑥2−1 appartient à Vect (𝑓1,𝑓2). [ALG_Ev_29.tex]

Exercice ALG.1.15 Soit E = 𝒟2(R,R) et S = {𝑦 ∈ 𝒟2(R,R), 2𝑦′′ +2𝑦′ +𝑦 = 0}.



1 — Montrer que S est un sous-espace vectoriel de E.2 — Déterminer S et sa dimension.3 — Soit α fixé dans R et Hα = {𝑓 ∈ S, 𝑓(0) = 𝑓(α) = 0}. Déterminer Hα ainsi que sadimension.

5.3. Applications linéaires

5.3.1. Méthodologie générale des applications

[ALG_AppLin_73.tex]

Exercice ALG.1.16 Soient E,F et G trois espaces vectoriels, 𝑓 une applicationlinéaire de E dans F et 𝑔 une application linéaire de F dans G.

1 — Montrer que 𝑔 ∘𝑓 = 0 si et seulement siIm (𝑓) ⊂ Ker (𝑔).2 — Montrer que : 𝑓(Ker (𝑔 ∘𝑓)) = Ker (𝑔)∩ Im (𝑓).

5.3.2. Applications explicites

[ALG_AppLin_72.tex]

Exercice ALG.1.17 Études de linéarité (Solution : 54) Dire si les applications sui-vantes sont des applications linéaires.

1 — 𝑓 ∶R⟶R,𝑥 ⟼ 2𝑥2,2 — 𝑔 ∶R⟶R,𝑥 ⟼ 4𝑥−3,

3 — ℎ ∶R⟶R3,𝑥 ⟼ ( 2𝑥,𝑥/π,𝑥√2 ),

4 — S ∶ R ⟶ R2,𝑥 ⟼ (𝑢,𝑣), où (𝑢,𝑣) est l’unique solution de⎧⎨⎩

3𝑢−𝑣 = 𝑥,

6𝑢+2𝑣 = 𝑦,5 — D ∶ 𝒞∞(R,R) ⟶ 𝒞∞(R,R),𝑓 ⟼ 𝑓𝑓′′,6 — E ∶ 𝒞∞(R,R) ⟶ 𝒞∞(R,R),𝑓 ⟼ 𝑓(𝑥3),

7 — I ∶ 𝒞∞(R,R) ⟶ 𝒞∞(R,R),𝑓 ⟼ (𝑥 ⟼ ∫𝑥

0(𝑥−𝑡)2𝑓(𝑡)d𝑡).

[ALG_AppLin_47.tex]

Exercice ALG.1.18 On définit φ par : ∀P ∈ R3[X], φ(P) = (1−X2)P′ + (3X+1)P.

1 — Montrer que φ est un endomorphisme de R3[X].2 — Donner son noyau. L’application φ est-elle surjective de R3[X] dans R3[X]?

[ALG_AppLin_59.tex]

Exercice ALG.1.19 EndomorphismeauxdifférencesfiniuesdeC𝑛[X]. (Solution : 54)Soient 𝑛 ∈N∗ et Δ𝑛 l’application :

Δ𝑛

||||||

C𝑛[X] ⟶ C𝑛[X]

P ⟼ P(X+1)−P(X).

1 — Calculer Δ(1),Δ(X),Δ(X2).2 — Montrer que Δ𝑛 est un endomorphisme de C𝑛[X].3 — Soit P ∈ KerΔ𝑛 tel que deg(P) ⩾ 1. Montrer que P−P(0) a une infinité de ra-cines. En déduire que KerΔ𝑛 =C0[X].4 — En déduire que Im (Δ𝑛) =C𝑛−1[X].5 — On définit dans cette question une application Δ comme

Δ||||||

C[X] ⟶ C[X]

P ⟼ P(X+1)−P(X).

À l’aide des questions précédentes, déterminer KerΔ, et montrer que Δ est surjec-tive à l’aide de la définition de la surjectivité. Commenter.

www.trainline.fr/signin[ALG_AppLin_58.tex]

Exercice ALG.1.20 Base de Lagrange à quatre points Soit E = R3[X]. On poseP1 = (X− 2)(X− 3)(X− 4), P2 = (X− 1)(X− 3)(X− 4), P3 = (X− 1)(X− 2)(X− 4) et



P4 = (X−1)(X−2)(X−3).

1 — Montrer que (P1,P2,P3,P4) est une base de E.2 — Donner les coordonnées de P = X3 +X2 +3 dans cette base.3 — Soit ϕ l’application linéaire définie sur E par ϕ(P) = (P(1),P(2),P(3),P(4))pour tout P ∈ E. Montrer que ϕ réalise un isomorphisme de E dans R4.

[ALG_AppLin_53.tex]

Exercice ALG.1.21 Soit le R-espace vectoriel E = 𝒞∞(R). On définit une applica-tion 𝑢 comme

𝑢||||||

E ⟶ ℱ(R,R)

𝑓 ⟼ 𝑢(𝑓) ∶ (𝑥 ⟼ 𝑓′(𝑥)−cos(𝑥).𝑓(𝑥)).

1 — Montrer que 𝑢 ∈ ℒ(E).2 — Déterminer son noyau et son image.

5.3.3. Pour aller un peu plus loin

[ALG_AppLin_71.tex]

Exercice ALG.1.22 Pseudo-inverse d’une application linéaire – Extrait A-ENV2016 Soit E un espace vectoriel de dimension finie 𝑛 = dimE, on considère𝑎 ∈ ℒ(E). On suppose que :

Ker (𝑎)∩ Im (𝑎) = {0E} .

1 — On considère également 𝑎0||Im(𝑎)

||||||

Im (𝑎) ⟶ E

𝑥 ⟼ 𝑎(𝑥)appelé endomor-

phisme induit de 𝑎 sur Im (𝑎).1.1) Exprimer Ker (𝑎0) en fonction de Ker (𝑎).1.2) En déduire que 𝑎0 est un automorphisme de Im (𝑎).

2 — Soit (𝑒1,…,𝑒𝑠) une base de Ker (𝑎), et (𝑓1,𝑓…,𝑓𝑟) une base de Im (𝑎), avec 𝑟,𝑠deux entiers positifs.2.1) Donner une relation entre 𝑟,𝑠,𝑛.2.2) Montrer que (𝑒1,…,𝑒𝑠,𝑓1,…,𝑓𝑟) est une base de E.2.3) En déduire : ∀𝑥 ∈ E,∃(𝑥1,𝑥2) ∈ Ker𝑎× Im (𝑎) , 𝑥 = 𝑥1 +𝑥2.

3 — On définit alors 𝑏||E

||||||

E ⟶ E

𝑥1 +𝑥2 ⟼ 𝑎−10 (𝑥2)

.

3.1) Justifier que 𝑏 est un endomormphisme de E. On appelle cet endomor-phisme le pseudo-inverse de 𝑎.

3.2) Montrer que :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑎 ∘𝑏 = 𝑏 ∘𝑎

𝑎 ∘𝑏 ∘𝑎 = 𝑎,

𝑏 ∘𝑎 ∘𝑏 = 𝑏

.

5.4. Pour les 5/2

[ALG_Ev_32.tex]

Exercice ALG.1.23 (Solution : 55) Pour 𝑎 ≠ 𝑏 deux complexes et 𝑛 ⩾ 1, on définitpour tout 𝑘 ∈ J0 , 𝑛K, P𝑘 = (X−𝑎)𝑘(X−𝑏)𝑛−𝑘. Montrer que (P0,…,P𝑛) est libredans C[X].

[ALG_AppLin_74.tex]

Exercice ALG.1.24 Étude de l’endomorphisme de dérivation (Solution : 55) Soit Ele R-espace vectoriel des fonctions 𝒞∞ sur R et à valeurs réelles. On note F = {𝑓 ∈E,𝑓(0) = 0}. On note D l’application de dérivation d’une fonction, i.e. pour tout𝑓 ∈ E, on pose D(𝑓) = 𝑓′.

1 — Justifier de deux manières que F est un sous-espace vectoriel de E.2 — Montrer que D||F est un isomorphisme de F. Est-ce un isomorphisme de E?3 — Donner l’expression explicite de l’isomorphisme réciproque de D||F.



[ALG_AppLin_75.tex]

Exercice ALG.1.25 Endomorphisme de convolution (Solution : 56) On considère

l’application 𝑔 définie ci-après : 𝑔||||||

R ⟶ R

𝑥 ⟼ e−12𝑥

2.

1 — Montrer que si P est un polynôme, à coefficients réels, alors I(P) =

∫+∞

−∞P(𝑥)𝑔(𝑥)d𝑥 est absolument convergente.

2 — On considère l’application T ∶R[X] ⟶ ℱ(R,R) donnée par la formule

∀P ∈R[X],∀𝑥 ∈R, [T(P)](𝑥) = ∫+∞

−∞P(𝑡)𝑔(𝑥−𝑡)d𝑡.

2.1) Vérifier que T est bien définie.2.2) Montrer que T est linéaire.2.3) On note T𝑛 = T||R𝑛[X]. Montrer que T𝑛 ∈ ℒ(R𝑛[X]). Indication : On pourra

changer de variable dans l’intégrale en posant 𝑠 = 𝑥–𝑡.2.4) On note D𝑛 l’opération de dérivation des polynômes de R𝑛[X]. Montrer que

D𝑛 ∘T𝑛 = T𝑛 ∘D𝑛.2.5) Montrer par récurrence sur 𝑛 que T𝑛 est injective.



5.5. Solutions des exercices

Solution (exercice ALG.1.1) (Énoncé : 47)

1 — E1 = {(𝑥,𝑦) ∈R2+, 𝑥 = 𝑦} n’est pas un espace vectoriel car il n’est pas stable

par opposé. En effet, (1,1) ∈ E1 mais −(1,1) = (−1,−1) ∉ E1. L’ensemble E′1 n’est pasun sous-espace vectoriel de R2 puisqu’il ne contient pas (0,0). L’ensemble E′′1 n’estpas non plus un sous-espace vectoriel de R2, en effet (1,0) ∈ E′′1 , (−1,−3) alors que(1,0)− (−1,−3) = (2,3) ∉ E′′1 car 3 > 2.2 — E2 = (O𝑥)∪ (O𝑦) = Vect(1,0)∪Vect(0,1). Le vecteur (1,1) = (1,0)+ (0,1) n’estpas dans E2, donc E2 n’est pas stable par somme, ce n’est donc pas un espace vec-toriel, de-même pour E′2 car il ne contient pas (0,0).3 — E3 n’est pas un espace vectoriel car il ne contient pas (0,0).4 — E4 = {(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑥2 −𝑦2 = 0} n’est pas un espace vectoriel. En effet, le vec-teur (1,1) est un élément de E4, de-même pour (2,−2), mais pas (2,−2)+2(1,1) =(4,0). L’ensemble E′4 est égal à {(0,0)} puisque 𝑥2 + 𝑦2 ⟺ 𝑥,𝑦 = 0,0 pour(𝑥,𝑦) ∈R2.5 — E5 = {(𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, 𝑥+𝑦+𝑧 = 0,𝑥−𝑦+𝑧 = 0}. Exprimons cet espace sousforme d’un Vect. Soit (𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, on a :

{𝑥+𝑦+𝑧 = 0𝑥−𝑦+𝑧 = 0

⟺ {𝑥+ 𝑦+𝑧 = 0−2𝑦 = 0

L2 ← L2 −L1

⟺ {𝑥 = −𝑧

𝑦 = 0⟺ (𝑥,𝑦,𝑧) = (𝑥,0,−𝑥) = 𝑥(1,0,−1).

Donc E5 = Vect(1,0,−1), c’est en particulier un sous-espace vectoriel de R3.6 — E6 est un sous-espace vectoriel de 𝔐𝑛,𝑛 (R) puisque la matrice nulle est enparticulier triangulaire supérieure, et que toute combinaison linéaire de matricestriangulaires supérieures est triangulaire supérieure. Le second est aussi un sous-espace vectoriel de 𝔐𝑛,𝑛 (R).

Caret-right ⊤0+0 = 0, où 0 désigne ici la matrice nulle de format 𝑛×𝑛.Caret-right L’ensemble en question est bien inclus dans l’espace vectoriel des matrices

𝔐𝑛,𝑛 (R).Caret-right Soient deux matrices M,N ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (R) vérifiant ⊤M+M = 0 et ⊤N+N = 0 ainsi

que λ,μ ∈R. On a, par linéarité de la transposition :

⊤ (λM+μN)+λM+μN = λ⊤M+μ⊤N+λM+μN

= λ(⊤M+M)+μ(⊤N+N) = λ0+μ0 = 0.

Donc E6 est un sous-espace vectoriel de 𝔐𝑛,𝑛 (R).


1 — 1.1) Clairement non, puisque (2,2,2) = 2(1,1,1).1.2) Soient λ,μ,ν ∈ R tels que λ(1,0,1) + μ(0,2,2) + ν(3,3,0) = (0,0,0. Alors

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

λ+3ν = 0,

2μ+3ν = 0,

λ+2μ = 0

. En faisant L3 → L3 −L1 et L3 ← L3 +L2, on a alors :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

λ+3ν = 0,

2μ+3ν = 0,

2μ−3ν = 0

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

λ+3ν = 0,

2μ+3ν = 0,

4μ = 0

On déduit alors λ = μ = ν = 0, la famille est libre.1.3) Soient λ,μ,ν ∈ R tels que λ(−1,−2,2) + μ(4,−3,−2) + ν(2,−1,−1) = (0,0,0.

Alors

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−λ+4μ+2ν = 0,

−2λ−3μ−ν = 0,

2λ−2μ−ν = 0

. Faisons les opérationsL2 ← L2−2L1,L3 ← L3+



2L1, on obtient

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−λ+4μ+2ν = 0,

−11μ−5ν = 0,

6μ+3ν = 0

.

Avec les deux dernières lignes, on obtient μ = ν = 0, puis λ = 0 dans la pre-mière ligne.

2 — Les familles suivantes sont-elles génératrices de R3 ?2.1) Puisque Vect(𝒢1) = Vect((1,0,0), (0,1,0), (0,0,2)) =

Vect((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) et que ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) est généra-trice (c’est la base canonique), la famille 𝒢1 est elle aussi génératrice.

2.2) Soit (𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3. Alors cherchons λ,μ,ν tels que

(𝑥,𝑦,𝑧) = λ(0,1,1)+μ(1,0,1)+ν(1,1,0).

D’où le système

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑥 = μ+ν,

𝑦 = λ+ν,

𝑧 = λ+μ

. Faisons L3 ← L3 −L2. Donc

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑥 = μ+ν,

𝑦 = λ+ν,

𝑧 = μ−ν

.

En considérant les deux premières lignes nous avons : μ𝑥+𝑧2 ,ν = ν = 𝑥−𝑧

2 .Donc λ = 𝑦− 𝑥−𝑧

2 . On a donc, pour tout (𝑥,𝑦,𝑧) une solution (λ,μ,ν), doncla famille est génératrice de R3.


1 — Montrons le résultat par récurrence sur 𝑛 ∈ N. Notons 𝒫𝑛 la propriété « lafamille 𝑒𝑘 ∶ 𝑥 ↦ e𝑘𝑥 pour 𝑘 = 0, ...,𝑛» est libre.

CLONEInitialisation. Pour 𝑛 = 0 c’est immédiat, puisque l’exponentielle est nonnulle.CLONEHérédité. Supposons 𝒫𝑛 vraie pour un certain entier 𝑛 ∈ N. Alors soit(λ0,λ1,…,λ𝑛+1) ∈R𝑛+2 telle que :

∀𝑥 ∈R, λ0 +λ1e𝑥 +⋯+λ𝑛e𝑛𝑥 +λ𝑛+1e(𝑛+1)𝑥 = 0.

Alors en factorisant par e(𝑛+1)𝑥 dans l’identité précédente, nous obtenons :

∀𝑥 ∈R, e−(𝑛+1)𝑥 (λ0 +λ1e𝑥 +⋯+λ𝑛e𝑛𝑥

e(𝑛+1)𝑥+λ𝑛+1) = 0.

Si λ𝑛+1 ≠ 0, alors en faisant 𝑥 ⟶ ∞ nous obtenons une limite infinie dans lemembre de gauche, ce qui est contradictoire. Donc λ𝑛+1 = 0. Et par hypothèsede récurrence, les autres constantes sont nulles également.En conclusion, (𝑒𝑘)0⩽𝑘⩽𝑛 est libre .

Solution (exercice ALG.1.5) (Énoncé : 47) Soient (λ,μ,ν) ∈C3 tel que λ𝑢+μ𝑣+ν𝑤 =0CN . On obtient alors, en observant les quatre premiers termes des deux membresde cette égalité (les deux membres sont des suites) :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

λ + μ + ν = 0

λ + μ𝑖 + ν𝑗 = 0

λ + μ𝑖2 + ν𝑗2 = 0

λ + μ𝑖3 + ν𝑗3 = 0

Comme 𝑖2 = −1 et 𝑗3 = 1, alors ce système se réécrit :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

λ + μ + ν = 0

λ + μ𝑖 + ν𝑗 = 0

λ − μ + ν𝑗2 = 0

λ − μ𝑖 + ν = 0



En soustrayant membre à membre L1 et L4, on obtient (1+ 𝑖)μ = 0, d’où μ = 0. Ensoustrayant membre à membre L1 et L2, on obtient alors (1− 𝑗)ν = 0, d’où ν = 0.Enfin, L1 donne λ = 0. On en conclut donc que (𝑢,𝑣,𝑤) est libre dans CN.


1 — L’application 𝑓 n’est pas linéaire, à cause du carré. En effet, 𝑓(2×1) = 𝑓(2) =2×4 = 8 ≠ 2𝑓(1)(= 2.2).2 — Puisque 𝑔(0) = −3 ≠ 0, l’application 𝑔 n’est pas non plus linéaire.3 — Cette fois-ci c’est bon. Soient 𝑥,𝑥′ ∈R et λ,μ ∈R, alors

ℎ(λ𝑥+μ𝑥′) = ( 2(λ𝑥+μ𝑥′), (λ𝑥+μ𝑥′)/π, (λ𝑥+μ𝑥′)√2 )

= ( 2λ𝑥+2μ𝑥′,λ/π𝑥+μ/π𝑥′,λ√2𝑥+μ√2𝑥′ )

= λ( 2𝑥,𝑥/π,𝑥√2 )+μ( 2𝑥′,𝑥′/π,𝑥′√2 )

= λℎ(𝑥)+μℎ(𝑥′).

4 — Résolvons le système. On a, en notant M =⎛

⎝

2 −1

6 2

⎞

⎠, inversible d’inverse

M−1 = 112

⎛

⎝

3 1

−6 3

⎞

⎠:

⎧⎨⎩

3𝑢−𝑣 = 𝑥,

6𝑢+2𝑣 = 𝑦,⟺ M

⎛

⎝

𝑢

𝑣

⎞

⎠=

⎛

⎝

𝑥

𝑦

⎞

⎠⟺

⎛

⎝

𝑢

𝑣

⎞

⎠=

112

⎛

⎝

3 1

−6 3

⎞

⎠

⎛

⎝

𝑥

𝑦

⎞

⎠.

Donc : 𝑢 = 112 (3𝑥+𝑦), 𝑣 = 1

12 (−6𝑥+3𝑦) . On vérifie ensuite sans difficulté queles applications (𝑥,𝑦) ⟼ 1

12 (3𝑥+𝑦) et (𝑥,𝑦) ⟼ 112 (−6𝑥+3𝑦) sont linéaires de R2

dans R.5 — L’application n’est pas linéaire à cause du produit. Prenons 𝑓 = X2. AlorsD(2𝑓)(𝑥) = (2𝑥2)×4 = 8𝑥2 ≠ 2D(𝑓)(𝑥) = 2𝑥2 pour tout 𝑥 ∈R (au moins non nul).

6 — L’application E est linéaire, par linéarité de l’évaluation en 𝑥3 pour tout 𝑥. Eneffet, soient 𝑓,𝑔 ∈ 𝒞∞(R,R) et λ,μ ∈R. Alors :

E(λ𝑓+μ𝑔) = (λ𝑓+μ𝑔)(𝑥3) = λ𝑓(𝑥3)+μ𝑔(𝑥3) = λE(𝑓)+μE(𝑔).

Donc E est linéaire. Notons que E(𝒞∞(R,R)) ⊂ 𝒞∞(R,R), comme le prétendl’énoncé, puisqu’une composée d’applications 𝒞∞ et 𝒞∞.7 — L’application I est linéaire, par linéarité de de l’intégration. En effet, soient𝑓,𝑔 ∈ 𝒞∞(R,R) et λ,μ ∈R. Alors, pour tout 𝑥 ∈R,

I(λ𝑓+μ𝑔)(𝑥) = ∫𝑥

0(𝑥−𝑡)2(λ𝑓+μ𝑔)(𝑡)d𝑡

= ∫𝑥

0(λ(𝑥−𝑡)2𝑓(𝑡)+μ(𝑥−𝑡)2𝑔(𝑡))d𝑡

= λI(𝑓)(𝑥)+μI(𝑔)(𝑥).

linéarité de l’évaluation

linéarité de l’intégration

Donc I est linéaire. Reste à justifier (même si l’énoncé le prétend!) que I(𝑓) est declasse 𝒞∞.Il s’agit d’une intégrale à borne variable, cependant, l’intégrande (la fonction quel’on intègre) dépend elle aussi de 𝑥. Développons le carré : soit 𝑥 ∈R,

I(𝑓)(𝑥) = 𝑥2 ∫𝑥

0𝑓(𝑡)d𝑡 −2 ∫

𝑥

0𝑡𝑓(𝑡)d𝑡 + ∫

𝑥

0𝑡2𝑓(𝑡)d𝑡.

Notons F (resp. G, resp. H) une primitive de 𝑓 (resp. Id𝑓 , resp. Id2 𝑓), ces trois pi-mitives existent car chacune des fonctions citée est continue. Or, chaque fonctionF,G,H est 𝒞∞ puisque leur dérivée première est égale à une fonction 𝒞∞. Ainsi,par somme/produit de fonctions 𝒞∞, I(𝑓) l’est aussi.


1 — Δ(1) = 1−1 = 0,Δ(X) = X+1−X = 1,Δ(X2) = (X+1)2 −X2 = 2X+1. Le degrésemble chuter de un.2 — Soient P,Q ∈ C𝑛[X], et λ,μ ∈C. Alors :

Δ𝑛(λP+μQ) = (λP+μQ)(X+1)− (λP+μQ)(X)= λ(P(X+1)−P(X))+ν(Q(X+1)−Q(X))= λΔ𝑛(P)+νΔ𝑛(Q).



De plus, si degP ⩽ 𝑛 alors degΔ𝑛(P) ⩽ 𝑛 puisque c’est une différencede polynômes de degré au plus 𝑛. Finalement, on a bien montré queΔ𝑛 est un endomorphisme de C𝑛[X] .3 — Soit P ∈ KerΔ𝑛. Alors pour tout 𝑥 ∈ R, P(𝑥 +1) = P(𝑥). En particulier, P(𝑛) =P(0) pour tout𝑛 ∈N. Ainsi, P−P(0) possède une infinité de racines, donc il est nul,etP = P(0) est le polynômeconstant.DoncKerΔ𝑛 ⊂C0[X]. Inversement,montronsque C0[X] ⊂ KerΔ𝑛. Soit P = C ∈ C un polynôme constant, alors Δ(P) = C−C = 0.En conclusion : KerΔ𝑛 =C0[X].4 — D’après le théorème du rang, dimKerΔ𝑛 +RgΔ𝑛 = dimC𝑛[X] = 𝑛+1, donccomme dimKerΔ𝑛 = 1 d’après la question précédente, il vient RgΔ𝑛 = 𝑛 + 1 −1 = 𝑛. Il suffit alors de montrer que ImΔ𝑛 ⊂ C𝑛−1[X]. Si tel que le cas, puisquedimImΔ𝑛 = dimC𝑛−1[X] = 𝑛, on aura l’égalité ImΔ𝑛 = C𝑛−1[X] par égalité des di-mensions.Soit P = ∑𝑛

𝑘=0𝑎𝑘X𝑘 ∈ C𝑛[X], alors par linéarité de Δ𝑛 et d’après le formule du bi-

nôme,

Δ𝑛(P) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘Δ𝑛(X𝑘) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘 (𝑘∑ℓ=0

(𝑘ℓ)Xℓ −X𝑘) .

On constate que les termes d’ordre ℓ = 𝑘 dans la somme interne sont nuls pourtout 𝑘, donc

Δ𝑛(P) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑘−1∑ℓ=0

(𝑘ℓ)Xℓ.

Sous cette forme, on voit alors degΔ𝑛(P) = 𝑛−1. On a bien montré que ImΔ𝑛 ⊂C𝑛−1[X]. Et donc par égalité des deux dimensions : Im (Δ𝑛) =C𝑛−1[X].5 — Soit Q ∈ C[X], alors notons 𝑞 = degQ. Nous avons donc Q ∈ C𝑞[X], alorspuisque Δ𝑞+1 est surjective d’après le début de l’exercice (et que Δ𝑞+1 est à va-leurs dans C𝑞[X]), il existe P ∈ C𝑞+1[X] tel que Δ𝑞+1(P) = Q = Δ(P). Donc :Δ est surjective .En revanche, Δ n’est pas injective puisque le noyau est encore une fois constituédes polynômes constants. PuisqueC[X] n’est pas de dimension finie, cela n’est pasétonnant, l’injectivité n’est dans ce cadre pas nécessairement équivalente à la sur-jectivité.

Solution (exercice ALG.1.23) (Énoncé : 50) Faisons une récurrence sur 𝑛, le nombrede polynômes -1 de la famille.

CLONEInitialisation. Pour 𝑛 = 0, puisque P0 = 1 n’est pas le polynôme nul, la familleest clairement libre.

CLONEHérédité. Supposons la famille libre pour 𝑛+1 polynômes. Alors considérons(P0,…,P𝑛,P𝑛+1) et montrons que cette famille est libre. Soient λ0,…,λ𝑛+1 ∈C telsque :

λ0(X−𝑏)𝑛+1 +λ1(X−𝑎)(X−𝑏)𝑛 +⋯+λ𝑛(X−𝑎)𝑛(X−𝑏)+λ𝑛+1(X−𝑎)𝑛+1 = 0.

Alors évaluons en 𝑏, on obtient puisque 𝑎−𝑏 ≠ 0

λ00+λ10+⋯+λ𝑛0+λ𝑛+1(𝑏 −𝑎)𝑛+1 = 0 ⟹ λ𝑛+1 = 0.

Donc :

(X−𝑏)(λ0(X−𝑏)𝑛 +λ1(X−𝑎)(X−𝑏)𝑛−1 +⋯+λ𝑛(X−𝑎)𝑛) = 0.

Comme X−𝑏 ≠ 0C[X], on a :

λ0(X−𝑏)𝑛 +λ1(X−𝑎)(X−𝑏)𝑛−1 +⋯+λ𝑛(X−𝑎)𝑛 = 0.

Il reste à appliquer l’hypothèse de récurrence à la famille (P0,…,P𝑛), et l’on ob-tient :

λ0 = ⋯ = λ𝑛 = 0.

Donc la famille est libre.


1 — Caret-right Considérant φ ∶ 𝑓 ∈ E ⟼ 𝑓(0), on a F = Kerφ. Or φ est linéaire par linéa-rité de l’évaluation donc Kerφ est un sous-espace vectoriel de E.



Caret-right Onpeut aussi lemontrer à lamain. En effet, la fonctionnulle s’annule en zéro,on a évidemment F ⊂ E, et soient 𝑓,𝑔 ∈ F, λ,μ ∈R. Nous avons

(λ𝑓+μ𝑔)(0) = λ𝑓(0)+μ𝑔(0) = 0.

Donc F est un sous-espace vectoriel de E.2 — Soit 𝑓 ∈ KerD||F. Alors 𝑓 ∈ F donc 𝑓(0) = 0 et D(𝑓) = 𝑓′ = 0. Donc 𝑓 estconstante, et cette constante vaut forcément zéro puisque 𝑓(0) = 0. Donc D||F estinjectif. Soitmaintenant𝑔 ∈ F, on cherche 𝑓 ∈ F telle queD(𝑓) = 𝑔 = 𝑓′ cela revientà chercher une primitive de 𝑔 qui s’annule en zéro. On pose donc 𝑓(𝑥) = ∫𝑥

0 𝑔 pourtout 𝑥 ∈R. Donc : D||F est un isomorphisme.3 — Voir la question précédente.


1 — Comme l’intégrande est de signe quelconque, on étudie ∫+∞

−∞|P(𝑥)|𝑔(𝑥)d𝑥,

i.e.

∫+∞

0|P(𝑥)|𝑔(𝑥)d𝑥, ∫

0

−∞|P(𝑥)|𝑔(𝑥)d𝑥.

Nous avons 𝑥2 |P(𝑥)|𝑔(𝑥) 𝑥→±∞−−−−−→ 0 par croissance comparée, et la fonction étu-diée est continue en zéro. Donc pour 𝑥 assez grand, |P(𝑥)|𝑔(𝑥) ⩽ 1

𝑥2 . Par théorèmede comparaison pour les fonctions positives, l’intégrale I(P) converge bien abso-lument.2 — On considère l’application T ∶R[X] ⟶ ℱ(R,R) donnée par la formule

∀P ∈R[X],∀𝑥 ∈R, [T(P)](𝑥) = ∫+∞

−∞P(𝑡)𝑔(𝑥−𝑡)d𝑡.

2.1) Soient P,Q ∈ R[X] et λ,μ ∈R, ainsique 𝑥 ∈R. Alors :

[T(λP+μQ)](𝑥) = ∫+∞

−∞(λP+μQ)(𝑡)𝑔(𝑥−𝑡)d𝑡

= λ∫+∞

−∞P(𝑡)𝑔(𝑥−𝑡)d𝑡 +μ∫

+∞

−∞Q(𝑡)𝑔(𝑥−𝑡)d𝑡.

linéaritéde l’inté-grale

Donc : T est linéaire.

2.2) OnnoteT𝑛 = T||R𝑛[X]. Nous avonsdéjà établi la linéarité deTdoncpar restric-tion, T𝑛 est également linéaire. Soit P ∈ R𝑛[X]. Puisque R𝑛[X] est un espacevectoriel et que T est linéaire, il suffit de montrer que T(X𝑘) ∈ R𝑛[X] pourtout 𝑘 ∈ J0 , 𝑛K. Et, pour tout 𝑥 ∈R,

T(X𝑘)(𝑥) = ∫+∞

−∞𝑡𝑘𝑔(𝑥−𝑡)d𝑡.

Suivons l’indication, et faisons le changement affine 𝑠 = 𝑥−𝑡.

T(X𝑘)(𝑥) = ∫+∞

−∞(𝑥−𝑠)𝑘𝑔(𝑠)d𝑠.

On applique ensuite la formule du binôme, en exploitant la linéarité de l’in-tégrale, puisque chaque sous-intégrale converge :

T(X𝑘)(𝑥) =𝑘∑ℓ=0

(𝑘ℓ)∫

+∞

−∞𝑥ℓ𝑠𝑘−ℓ𝑔(𝑠)d𝑠.

En sortant de l’intégrale tout ce qui ne dépend pas de 𝑠, on obtient :

T(X𝑘)(𝑥) =𝑘∑ℓ=0

(𝑘ℓ)(−1)𝑘−ℓ𝑥ℓ∫

+∞

−∞𝑠𝑘−ℓ𝑔(𝑠)d𝑠.

C’est bien un polynôme en 𝑥 de degré au plus 𝑛.2.3) ...2.4) ...


Chapitre ALG.2. Matrices

CHAPITRE ALG.2Matrices

Résumé & Plan Ce chapitre est d’abord constitué de révisions de première année sur les matrices, vues comme destableaux de nombres sur lesquels des opérations sont autorisées. Nous revoyons que l’ensemble des matrices de mêmetaille possèdent une structure d’espace vectoriel. Enfin, nous reverrons la méthode du Pivot de Gauß afin de calculer lerangd’unematrice,qui nous permettra de proposer uneméthode de déterminationdes éléments propres d’unematrice.

W

1. L’algèbre des matrices. Calcul Matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Échelonnement et algorithme de Gauß-Jordan des matrices 8

1.4. Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Et en Python? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Représentation matricielle d’objets linéaires . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Matrice d’un vecteur, d’une famille . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. Opérations endomorphiques & opérations sur les matrices 29

2.4. Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1. Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2. Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


L’Algèbre est généreuse, elle donne souvent plus qu’on nelui demande.

— J.D’Alembert

CadreCOGS

Dans tout le chapitre, l’ensemble K désignera R ou C.

Commençons par introduire une notation importante que nous utiliserons dansle chapitre.

Notation (Symbole de Kronecker)Σ

Soient 𝑥,𝑦 deux éléments d’un ensemble E, alors le symbole de Kronecker de



Σ𝑥,𝑦 est défini par :

δ𝑥,𝑦 =⎧⎨⎩

1 si 𝑥 = 𝑦,0 sinon.

Exemple 1— Soit E = J1 , 𝑛K avec 𝑛 ∈N⋆, et 𝑖, 𝑗,𝑘 ∈ J1 , 𝑛K.

• δ𝑖,𝑗 =⎧⎨⎩

1 si 𝑖 = 𝑗,0 sinon.

• 1−δ𝑖,𝑗 =⎧⎨⎩

1 si 𝑖 ≠ 𝑗,0 sinon.

• δ𝑖,𝑗 ×δ𝑗,𝑘 =⎧⎨⎩

1 si 𝑖 = 𝑗 = 𝑘,0 sinon.

1. L’ALGÈBRE DES MATRICES. CALCUL MATRICIEL.

1.1. Définition

Définition ALG.2.1 | MatriceOn appelle matrice 𝑛 × 𝑝 à coefficients dans K toute famille d’éléments deK indexée par J1 , 𝑛K × J1 , 𝑝K. On note une telle matrice sous la forme A =(𝑎𝑖,𝑗)1⩽𝑖⩽𝑛

1⩽𝑗⩽𝑝, ou plus simplement (𝑎𝑖,𝑗) et on explicite les coefficients dans un

tableau à 𝑛 lignes et 𝑝 colonnes :

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,𝑝

𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,𝑝

𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 𝑎𝑛,𝑝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Caret-right Si A ∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K), on notera [A]𝑖,𝑗 son terme général d’ordre (𝑖, 𝑗).Caret-right Lorsque 𝑛 = 𝑝, on note plus simplement 𝔐𝑛 (K) au lieu de 𝔐𝑛,𝑛 (K).Caret-right Si 𝑝 = 1, on parle de vecteur colonne.Caret-right Si 𝑛 = 1, on parle de vecteur ligne.

On note aussi 𝔐𝑛,𝑝 (K) l’ensemble des matrices 𝑛×𝑝 à coefficients dans K.

Notation (Convention)Σ

Si 𝑛 = 𝑝, on note en général plus simplement A = (𝑎𝑖,𝑗)1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛. Dans les no-tations précédentes, le premier indice désignera toujours le numéro de ligneet le second le numéro de colonne. Le scalaire 𝑎𝑖,𝑗, noté aussi A𝑖,𝑗 ou parfois[A]𝑖,𝑗, est appelé «coefficient de A de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗».

Notation (Lignes et colonnes d’une matrice)Σ

Si A ∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K), alors on notera en ligne ou en colonnes de la manière sui-vante :

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

C1(A) … C𝑝(A)

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

L1(A)

⋮

L𝑛(A)

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Exemple 2— Pour A =⎛

⎝

−2 0 1

3 2 1

⎞

⎠, on a :

C1(A) =⎛

⎝

−2

3

⎞

⎠, C2(A) =

⎛

⎝

0

2

⎞

⎠, C3(A) =

⎛

⎝

1

1

⎞

⎠,

L1(A) = ( −2 0 1 ), L2(A) = ( 3 2 1 ).



Exemple 3— (2𝑖 +3𝑗)1⩽𝑖⩽31⩽𝑗⩽2

=

⎛⎜⎜⎜⎝

2+3 2+6

4+3 4+6

8+3 8+6

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

5 8

7 10

11 14

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐3,2 (R) .

Exemple 4— On considère la matrice A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

2 1 … 1

1 2

1

1 1 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Écrire le coefficient (𝑖, 𝑗) de la matrice A en fonction de δ𝑖,𝑗 pour tout (𝑖, 𝑗) ∈J1 , 𝑛K2.

PEN-FANCY

1.2. Opérations sur les matrices

Onconsidère𝑛,𝑝,𝑞 ∈N⋆ trois entiers naturels nonnuls. Commençons par définirquelques opérations sur les matrices.

Définition ALG.2.2 | SommematricielleSoient A = (𝑎𝑖,𝑗)1⩽𝑖⩽𝑛

1⩽𝑗⩽𝑛∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) et B = (𝑏𝑖,𝑗)1⩽𝑖⩽𝑛

1⩽𝑗⩽𝑛∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K). On note A+B ∈

𝔐𝑛,𝑛 (K) la matrice définie par :

(A+B)1⩽𝑖⩽𝑛1⩽𝑗⩽𝑛

= 𝑎𝑖,𝑗 +𝑏𝑖,𝑗.

Définition ALG.2.3 | Produit matricielSoient A = (𝑎𝑖,𝑗)1⩽𝑖⩽𝑛

1⩽𝑗⩽𝑞∈ 𝔐𝑛,𝑞 (K) et B = (𝑏𝑖,𝑗)1⩽𝑖⩽𝑞

1⩽𝑗⩽𝑝∈ 𝔐𝑞,𝑝 (K). On nomme les

lignes de A et les colonnes de B :

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

L1(A)

⋮

L𝑛(A)

⎞⎟⎟⎟⎠

et B =

⎛⎜⎜⎜⎝

C1(B) … C𝑝(B)

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Ondéfinit leproduit desmatricesA etB commeétant lamatrice𝑛×𝑝 suivante :

A×B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

L1 ×C1 L1 ×C2 L1 ×C𝑝

L2 ×C1 L2 ×C2 L2 ×C𝑝

L𝑛 ×C1 L𝑛 ×C2 L𝑛 ×C𝑝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Autrement dit, le terme général de A×B est donné par :

∀(𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑛K× J1 , 𝑝K, [A×B]𝑖,𝑗 ( =(défi.)

𝑐𝑖,𝑗) = L𝑖 ×C𝑗 =𝑞

∑𝑘=1

[A]𝑖,𝑘 [B]𝑘,𝑗 .



⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

C𝑗

𝑏11 𝑏1𝑗 𝑏1𝑝

𝑏𝑘𝑗

𝑏𝑞1 𝑏𝑛𝑗 𝑏𝑞𝑝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑎11 𝑎1𝑞

L𝑖 𝑎𝑖1 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑖𝑛

𝑎𝑛1 𝑎𝑛𝑞

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑐𝑖𝑗

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Remarque 1.1— On remarque que le nombre de colonnes de A doit obligatoire-ment être égal au nombre de lignes deB. On pourra retenir le schéma suivant type«relation de Chasles» pour connaître le format de la matrice produit :

𝑛×�𝑞 × �𝑞×𝑝

Définition ALG.2.4 | Matrice identitéOn appelle matrice identité de 𝔐𝑛,𝑛 (K) la matrice 𝑛×𝑛 suivante :

I𝑛 = (δ𝑖,𝑗)1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0

0

0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Définition ALG.2.5 | Multiplication par un scalaire d’unematriceSoit A = (𝑎𝑖,𝑗)1⩽𝑖⩽𝑛

1⩽𝑗⩽𝑝∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K) et λ ∈K. Alors la matrice λA est définie par :

[λ.A]1⩽𝑖⩽𝑛1⩽𝑗⩽𝑝

= λ𝑎𝑖,𝑗.

Attention (Non commutativité du produit matriciel)×

Le produit matriciel n’est pas commutatif (sauf pour 𝑛 = 1). Calculer parexemple A×B et B×A pour

A =⎛

⎝

0 1

0 0

⎞

⎠et B =

⎛

⎝

0 0

1 0

⎞

⎠.

Structure d’espace vectoriel et dimension de 𝔐𝑛,𝑝 (K). Le produit matriciel per-met donc de définir une opération interne :

||||||

𝔐𝑛,𝑞 (K)×𝔐𝑞,𝑝 (K) ⟶ 𝔐𝑛,𝑝 (K)

(A,B) ⟼ A×B

La Définition ALG.2.5 définit en revanche une opération externe, et donc𝔐𝑛,𝑝 (K) deviendra potentiellement un espace vectoriel. C’est ce que confirme la



proposition suivante.

Proposition ALG.2.1

Le triplet (𝔐𝑛,𝑝 (K) ,+, .) est un K-espace vectoriel, où :Caret-right + désigne l’addition des matrices,Caret-right et . la multiplication externe.

L’élément neutre pour + est la matrice nulle, i.e. la matrice dont tous les coef-ficients sont nuls.

Comme il nous est impossible de voir (𝔐𝑛,𝑝 (K) ,+, .) comme un sous-espace vec-toriel d’un espace vectoriel de référence, il s’agit ici de vérifier la définition d’unespace vectoriel.

Preuve Vérification de toutes les propriétés définissant un espace vec-toriel.

Puisque (𝔐𝑛,𝑝 (K) ,+, .) ressemble très fortement à (K𝑛𝑝,+, .), et que l’on connaîtune base de ce dernier, on peut deviner une base de (𝔐𝑛,𝑝 (K) ,+, .) formée desmatrices élémentaires que l’on définit dès à présent. Rappelons que le symbole δa été défini en début de Chapitre ALG.1.

Définition ALG.2.6 | Matrices élémentaires (ou base canonique)Pour tout 𝑘 ∈ J1 , 𝑛K, et ℓ ∈ J1 , 𝑝K, on appelle matrice élémentaire d’indice(𝑘,ℓ), notée E𝑘,ℓ, la matrice de 𝔐𝑛,𝑝 (K) constituée de zéros partout sauf pourle coefficient en ligne 𝑘 et colonne ℓ, qui vaut un.

Remarque 1.2— Réecriture avec le symbole de Kronecker Autrement dit,

E𝑘,ℓ = (δ𝑖,𝑘δ𝑗,ℓ)1⩽𝑖⩽𝑛1⩽𝑗⩽𝑝

.

En effet, tous les coefficients sont nuls, sauf si δ𝑖,𝑘 et δ𝑗,ℓ valent 1, c’est-à-dire si lecoefficient considéré est sur la ligne 𝑘 et la colonne ℓ.

Exemple 5— pour 𝑛 = 2,𝑝 = 3 Dans 𝔐2,3 (R), on a :

E1,1 =⎛

⎝

1 0 0

0 0 0

⎞

⎠E1,2 =

⎛

⎝

0 1 0

0 0 0

⎞

⎠E1,3 =

⎛

⎝

0 0 1

0 0 0

⎞

⎠

E2,1 =⎛

⎝

0 0 0

1 0 0

⎞

⎠E2,2 =

⎛

⎝

0 0 0

0 1 0

⎞

⎠E2,3 =

⎛

⎝

0 0 0

0 0 1

⎞

⎠

Définition/Proposition ALG.2.1 | Dimension de 𝔐𝑛,𝑝 (K)L’espace vectoriel 𝔐𝑛,𝑝 (K) est unK-espace vectoriel de dimension 𝑛𝑝 dont lafamille (E𝑘,ℓ)(𝑘,ℓ)∈J1 ,𝑛K×J1 ,𝑝K est une base, appelée base canonique de 𝔐𝑛,𝑝 (K).

Preuve On vérifie sans difficulté que la la famille est libre (les 1 sont endes positions différentes). Montrons qu’elle est génératrice.

PEN-FANCY

Il nous reste d’autres opérations sur les matrices à définir et à analyser : la trans-position et l’inversion. Nous commençons par la première.

Transposition matricielle.

Définition ALG.2.7 | TransposéeSoit A = (𝑎𝑖,𝑗) ∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K) une matrice. On appelle transposée de A la matricede 𝔐𝑛,𝑝 (K), notée ⊤A, telle que pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑝K et tout 𝑗 ∈ J1 , 𝑛K

[⊤A]𝑖,𝑗

= 𝑎𝑗,𝑖.

Remarque 1.3— Cela signifie donc que le coefficient (𝑖, 𝑗) de la matrice ⊤A est lecoefficient (𝑗, 𝑖) de A.



Exemple 6— On a : ⊤⎛

⎝

−2 0 1

3 2 1

⎞

⎠=

⎛⎜⎜⎜⎝

−2 3

0 2

1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Proposition ALG.2.2

1 — L’application ⊤ (.)||||||

𝔐𝑛,𝑝 (K) ⟶ 𝔐𝑝,𝑛 (K)

A ⟼ ⊤Aest un isomorphisme de

K-espaces vectoriels, i.e. une application linéaire bijective.2 — (Transposée d’un produit) Si A et B sont deux matrices 𝑛 × 𝑛 :⊤ (A×B) = ⊤B⊤A.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 7— «Forme quadratique» associée à unematrice diagonale réelle

1 — Soit X =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥1

𝑥𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐𝑛,1 (K) avec 𝑛 ⩾ 1 et 𝑥𝑖 ∈ K pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K. Quel

est le format de ⊤X.X? de X.⊤X? Exprimer le coefficient général de chacune desmatrices.PEN-FANCY

En nota

2 — On se place dans le cas 𝑛 = 2 et K=R. On considère D =⎛

⎝

λ1 0

0 λ2

⎞

⎠avec

λ1,λ2 ∈R. On a l’équivalence :

λ1,λ2 ∈R+ ⟺ ∀X ∈ 𝔐2,1 (R) , 𝑞(X) =(défi.)

⊤XDX ⩾ 0.

PEN-FANCY

3 — Établir l’équivalence précédente dans le cas général.



PEN-FANCY

Les résultats précédents subsistent si l’on remplace la matrice D par une matriceseulement diagonalisable. Nous verrons ceci dans le Chapitre ALG.3.

Inversion matricielle et déterminant en dimension deux.

Définition ALG.2.8 | Matrice inversible & Groupe linéaireUne matrice A ∈ 𝔐𝑛 (K) est dite inversible s’il existe une matrice B ∈ 𝔐𝑛 (K)telle que :

A×B = B×A = I𝑛.

Dans ce cas, B est aussi inversible, on l’appelle la matrice inverse de A, et on lanote A−1. On note GL𝑛(K) l’ensemble des matrices inversibles, appelé groupelinéaire de 𝔐𝑛 (K).

Remarque 1.4— En fait on peut même montrer que l’existence d’un inverse àdroite, i.e. B ∈ 𝔐𝑛 (K) telle que A×B = I𝑛 suffit pour garantir l’autre.

Attention×

L’ensemble GL𝑛(K) des matrices inversibles n’est pas un espace vectoriel. Si

𝑛 = 2. On peut considérer par exemple⎛

⎝

1 0

0 −1

⎞

⎠et

⎛

⎝

−1 0

0 1

⎞

⎠, ces deux

matrices sont inversibles mais leur somme ne l’est pas, car égale à la matricenulle.

Proposition ALG.2.3 | Inversion d’un produit et d’une transposéeCaret-right (Inverse d’un produit) Si A et B sont deux matrices 𝑛×𝑛 inversibles,

alors A×B est inversible et : (A×B)−1 = B−1 ×A−1.Caret-right (Transposition et inversion commutent) Soit A ∈ GL𝑛(K) une matrice

inversible. Alors ⊤A est inversible aussi et l’on a : (⊤A)−1

= ⊤ (A−1) .

Preuve (Point clef — Vérifier la définition d’unematrice inverse)

Caret-right PEN-FANCY

Caret-right PEN-FANCY

Cas particulier de la dimension deux.



Définition/Proposition ALG.2.2 | Inversibilité d’unematrice 2×2 &Déter-minant

Soit A =⎛

⎝

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

⎞

⎠∈ 𝔐2,2 (K)2. Alors A est inversible ⟺ 𝑎𝑑−𝑏𝑐 ≠ 0. Et

dans ce cas :

A−1 =1

𝑎𝑑−𝑏𝑐

⎛

⎝

𝑑 −𝑏

−𝑐 𝑎

⎞

⎠.

On appelle déterminant de A noté detA la quantité detA = 𝑎𝑑−𝑏𝑐.

Preuve Soit A =⎛

⎝

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

⎞

⎠et B =

⎛

⎝

𝑑 −𝑏

−𝑐 𝑎

⎞

⎠. Calculons AB.

AB =⎛

⎝

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

⎞

⎠×

⎛

⎝

𝑑 −𝑏

−𝑐 𝑎

⎞

⎠=

⎛

⎝

𝑎𝑑−𝑏𝑐 0

0 𝑎𝑑−𝑏𝑐

⎞

⎠= det(A)I2

Caret-right Supposons det(A) ≠ 0, alors A× ( 1det(A)B) = I2. A est donc inversible et

A−1 = 1det(A)

⎛

⎝

𝑑 −𝑏

−𝑐 𝑎

⎞

⎠Caret-right Supposons que det(A) = 0. Si A était inversible, alors AB = 02,2 entraî-

nerait A−1AB = 02,2, c’est-à-dire B = 02,2 ce qui est clairement absurde.Ainsi A n’est pas inversible.

1.3. Échelonnement et algorithme de Gauß-Jordan des matrices

1.3.1. Principe

Nous reprenons rapidement l’algorithme de Gauß-Jordan d’intérêt majeurdans :

1 — la recherche du rang d’une matrice (et par conséquent dans un avenirproche, la recherche de valeurs propres d’une matrice),2 — la résolution de systèmes linéaires.

Il fait intervenir trois types d’opération sur les lignes que nous définissons dès àprésent.

Opérations élémentaires autorisées sur les lignes.

Définition ALG.2.9 | Opérations élémentaires

Soit A = (𝑎𝑖,𝑗) ∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K) une matrice écrite en lignes A =

⎛⎜⎜⎜⎝

L1(A)

⋮

L𝑛(A)

⎞⎟⎟⎟⎠

. On

appelle opération élémentaire sur les lignes de Aune des opérations suivantes :Caret-right (Permutation des lignes 𝑖, 𝑗)

L𝑖(A) ↔ L𝑗(A),

Caret-right (Dilatation de paramètre λ ∈ K ⧵ {0} )

L𝑖(A) ⟵ λL𝑖(A),

Caret-right (Transvection de paramètre μ ∈ K)

L𝑖(A) ⟵ L𝑖(A)+μL𝑗(A)

avec 𝑖 ≠ 𝑗.Caret-right (Combinaison dilatation/transvection) si λ ∈K ⧵ {0} et λ ∈K,

L𝑖(A) ⟵ λL𝑖(A)+μL𝑗(A)

avec 𝑖 ≠ 𝑗.De-même, on définit les opération élémentaire sur les colonnes de A de ma-nière analogue.



Remarque 1.5— Retenez que si λ était nul pour les dilatations, alors on suppri-merait une ligne. C’est tout de même embêtant !

Remarque 1.6— Lien entre la matrice de départ et la matrice modifiée viaune des opérations Chacune des ces opérations se traduit matriciellement par lamultiplicationàgaucheparunematrice inversible. Plusprécisément, elles corres-pondent à la multiplication à gauche par les matrices suivantes (portant le mêmenom) :

Caret-right on appelle matrice de permutation de 𝔐𝑛,𝑛 (K) toute matrice de la formeP𝑖,𝑗 = I𝑛 +E𝑖,𝑗 +E𝑗,𝑖 −E𝑖,𝑖 −E𝑗,𝑗 ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) où 1 ⩽ 𝑖 < 𝑗 ⩽ 𝑛.

Caret-right On appelle matrice de dilatation de 𝔐𝑛,𝑛 (K) toute matrice de la formeD𝑖(λ) = I𝑛 +(λ−1)E𝑖,𝑖 ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) où λ ∈K ⧵ {0} , 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K.

Caret-right On appelle matrice de transvection de 𝔐𝑛,𝑛 (K) toute matrice de la formeT𝑖,𝑗(λ) = I𝑛 +λE𝑖,𝑗 où λ ∈K, (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑛K2 et 𝑖 ≠ 𝑗.

Si l’on multiplie à droite par ces mêmes matrices, il est possible de constater quel’on réalise les mêmes opérations, mais sur les colonnes cette fois-ci.

Définition ALG.2.10 | Équivalence en ligne/colonneSoient A,B = (𝑎𝑖,𝑗) ∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K) deux matrices. On dit que A,B sont1 — (équivalentes en lignes) et l’on note A ∼

LB, si A peut être transformée

en B via une suite d’opérations élémentaires sur les lignes.2 — (équivalentes en colonnes) et l’on note A ∼

CB, si A peut être transfor-

mée en B via une suite d’opérations élémentaires sur les colonnes.

Remarque 1.7 — D’après la remarque précédente, cela signifie aussi qu’il existeune matrice C vérifiant : CA = B, où C est un produit de matrices de dilata-tion, transvections et permutations. La matrice C est par conséquent inversible(car toutes les matrices élémentaires le sont et qu’un produit de matrices inver-sibles est inversible).

Cette remarque est d’intérêt fondamentale, car, puisqu’on ne change pas le rangen multipliant à droite/gauche par une matrice inversible, alors : RgA = RgB —

le rang est ainsi préservé après une suite d’opérations élémentaires. Cela légitimel’algorithme de Gaußque nous allons détailler ci-après.

Algorithme du pivot de Gauß : toute matrice est équi-

valente en ligne à une matrice échelonnée en lignes.

Définition ALG.2.11 | Échelonnement en ligneUne matrice est dite échelonnée par lignes si :

Caret-right si une ligne est nulle, alors toutes les lignes suivantes sont nulles,Caret-right à partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier co-

efficient non nul à partir de la gauche est situé à droite strictement dupremier coefficient non nul de la ligne précédente.

Dans ce cas, on appelle pivot le premier coefficient non nul de chaque ligne.

Voici la forme typique d’une matrice échelonnée, les pivots étant indiqués par lesymbole ⊕.

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⊕ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

0 0 ⊕ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 ⊕ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

0 0 0 0 0 0 ⊕ ⋆ ⋆

0 0 0 0 0 0 0 0 ⊕

0 0 0 0 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Exemple 8— Les matrices suivantes sont-elles échelonnées par ligne? Détermi-



ner les pivots, le cas échéant.

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

3 4 0 5 6

0 0 −8 10 1

0 0 0 2 4

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

3 4 0 5 6

0 0 0 0 0

0 2 1 1 1

0 0 5 6 7

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

C =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 3 4

0 5 6 7

0 8 0 9

⎞⎟⎟⎟⎠

PEN-FANCY

Définition ALG.2.12 | Échelonnement réduit en ligneUne matrice est dite échelonnée réduite par lignes si :

Caret-right elle est nulle,Caret-right ou elle est échelonnée par lignes, a tous ses pivots égaux à 1, et les pivots

sont les seuls coefficients non nuls de leur colonne.

Exemple 9— Par exemple, la matrice A ci-dessus n’est pas échelonnée réduitepar lignes, mais la matrice suivante l’est :

D =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 2 0 0 3

0 0 1 0 4

0 0 0 1 5

0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Méthode (Passer d’une forme échelonnée en ligne à une forme échelonnée

réduite en ligne)WRENCH

On élimine de droite à gauche, colonne par colonne, tous les coefficients au-dessusde ladiagonale à l’aidede transvections, doncd’opérationsde la formeL𝑖 ← L𝑖 +μL𝑗 avec 𝑖 ≠ 𝑗 et μ ∈R.

Exemple 10— Déterminer la réduite échelonnée de E =⎛⎜⎜⎜⎝

1 −1 0 −1 −1

0 1 −1 2 3

0 0 1 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

. Encadrer les pivots au préalable.

PEN-FANCY



Théorème ALG.2.1 | Algorithme de Gauß-JordanToute matrice est équivalente par lignes à :1 — une matrice échelonnée en ligne,2 — une matrice échelonnée réduite par lignes.Les deux formes ont le même nombre de pivots non nuls.

Définition/Proposition ALG.2.3 | RangOn appelle rang d’unematrice A le nombre de pivots non nuls d’une des deuxformes échelonnées.

Remarque 1.8— On rappelle qu’une carréematrice est inversible si et seulementsi son rang est égal à sa taille (voir votre cours de première année).

Exemple 11— SoitA =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 √2 0 2√2

0 0 0 6 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. DéterminerRg(A) , encadrer les

pivots.

PEN-FANCY

La preuve du théorème précédent est en fait un algorithme : il est à maîtriser par-faitement.

Preuve (Point clef — Si un coefficient est non nul sur une colonne, onpeut éliminer tous les autres sur la même colonne à l’aide d’opérationsélémentaires)

1 — (Placement correct d’un pivot) Si la matrice A est nulle, alors il n’y arien à faire et l’algorithme est terminé. Sinon, soit 𝑗1 l’indice de la premièrecolonne non nulle. On choisit un pivot (c’est-à-dire un coefficient α non nul)

dans cette colonne, on le place en première ligne par un échange de lignes

L1 ⟷ L𝑖, et on le change en 1 par l’opération L1 ⟵1αL1.

2 — (Élimination) On annule les autres coefficients 𝑎𝑖,𝑗1 de la colonne 𝑗1par des transvections, i.e. des opérations de la forme L𝑖 ⟵ L𝑖 −𝑎𝑖,𝑗1L1. Ondonc

A ∼L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 1 ∗ ∗

0 0

B

0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Où 1 est donc en colonne 𝑗1.3 — On recommence avec le bloc B s’il n’est pas déjà nul ; dans la suite oneffectue que des opérations sur L2,…,L𝑛. Et ainsi la partie précédente n’estpas modifiée.

Remarque 1.9— On retiendra surtout la méthode pour obtenir la réduite d’unematrice A, connue sous le nom d’algorithme de Gauß-Jordan.


réduite en ligne, si paramètre il y a)WRENCH

Mieux vaut choisir un pivot indépendant d’un paramètre à chaque étape, s’ily en a un. Cela repoussera les disjonctions de cas à plus tard.

Exemple 12— Montrons que pour A =

⎛⎜⎜⎜⎝

2 7 3

3 9 4

1 5 3

⎞⎟⎟⎟⎠

, on a A ∼L

⎛⎜⎜⎜⎝

2 7 3

0 3 1

0 0 2

⎞⎟⎟⎟⎠

.



PEN-FANCY

Exemple 13— Montrons que pour A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 2 1 4

0 2 −1 0 7

0 4 2 2 6

0 0 6 3 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, on a

A ∼L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 0 14 0

0 0 1 12 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

PEN-FANCY



Remarque 1.10— Dans l’algorithme,on avance.On retiendra bien que dès quel’on a obtenu un pivot égal à un dans une colonne et que l’on a annulé les autrescoefficients de cette colonne, alors les opérations élémentaires suivantes ne pour-ront plus modifier ni cette colonne, ni les précédentes.

1.3.2. Deux applications

Aux deux applications présentées infra, on peut aussi ajouter la résolution de sys-tèmes linéaires, cf. votre cours de 1ère Année.

Méthode du «miroir » pour calculer l’inverse d’unematrice. Onendéduit l’inver-siond’unematrice inversible par laméthodedupivot deGauß. SoitA ∈GL𝑛(K)unematrice donnée, dont on cherche la matrice inverse. On peut multiplier à gaucheles deux membres de l’égalité

A = I𝑛A

par des matrices élémentaires notées E𝑘 où 𝑘 est dans un certain ensemble d’en-tiers, afin d’effectuer des opérations élémentaires simultanées sur les lignes deA (dans le membre de gauche) et celles de I𝑛 (membre de droite).

Méthode (du miroir)WRENCH

Supposons que l’on arrive, après avoir effectué certaines opérations élémen-taires sur les lignesdeA (i.e.après avoirmultipliéparE = ...E3E2E1, unproduitde matrices d’opérations élémentaires, à gauche la matrice A), à transformerA en I𝑛. Alors on obtient l’égalité matricielle :

EA⎵I𝑛

= EI𝑛⎵A−1

A, qui fournit ainsi l’inverse de A,

la matrice inverse sera alors EI𝑛 = E.

Remarque 1.11— La méthode fonctionne toujours Si A est inversible, alors Apossède trois pivots non nuls. Ainsi, la forme échelonnée réduite de A est néces-sairement l’identité. Ce constat légitime donc laméthode : on arrivera nécessaire-ment à l’identité par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes.

Remarque 1.12— Analogue sur les colonnes En partant de A = AI𝑛 puis en ef-fectuant que des opérations sur les colonnes, on peut aussi déduire l’inverse de A.

Attention×

Pas de mélanges entre les deux types d’opérations !

En effet, si vous faites une série d’opérations sur les lignes (qui correspondent àla multiplication à gauche par une matrice inversible E), et sur les colonnes (quicorrespondent à lamultiplicationàdroite parunematrice inversibleF), alors nousavons la modification suivante :

A = I𝑛 ×A → (EAF) = (EI𝑛F)A.

Cette égalité n’a bien sûr aucune raison d’être vraie, puisque F,A ne commutentpas forcément. Vous pouvez aussi essayer en partant de A = A× I𝑛, cela ne fonc-tionne pas non plus !

Exemple 14— Calculons l’inverse de A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 3

2 1 0

1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 3

2 1 0

1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.A



⟹

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 3

0 −1 −6

0 0 −2

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

−2 1 0

−1 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.AL2 ← L2 −2L1

L3 ← L3 −L1

⟹

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 3

0 1 6

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

2 −1 0

1/2 0 −1/2

⎞⎟⎟⎟⎠

.AL2 ← −L2

L3 ← −L3/2

⟹

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 −3

0 1 6

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

−1 1 0

2 −1 0

1/2 0 −1/2

⎞⎟⎟⎟⎠

.A L1 ← L1 −L2

⟹

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

1/2 1 −3/2

−1 −1 3

1/2 0 −1/2

⎞⎟⎟⎟⎠

.AL1 ← L1 +3L3

L2 ← L2 −6L3

On a doncA−1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1/2 1 −3/2

−1 −1 3

1/2 0 −1/2

⎞⎟⎟⎟⎠

. On prend alors la précaution de vérifier que

le produit de cette matrice par A redonne bien I3.

Exemple 15— Calculons l’inverse de A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 2

1 3 −2

3 5 8

⎞⎟⎟⎟⎠

par la même mé-

thode.

PEN-FANCY

Recherche des éléments propres d’une matrice. Pour le moment on ne se préoc-cupepasde l’utilitéde ladéfinition suivante, elle fera l’objet d’unchapitreultérieur(le Chapitre ALG.3). On suppose dans cette partie que 𝑛 = 𝑝, i.e. que la matrice Aest carrée.

Définition ALG.2.13 | Éléments propres d’unematrice carréeSoit A = (𝑎𝑖,𝑗) ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) une matrice.

Caret-right On appelle valeur propre de A tout scalaire λ ∈K tel que :A−λI𝑛 ne soit pas inversible.



On note Spec(A) l’ensemble des valeurs propres — éventuellement com-plexes.

Caret-right Soit λ ∈ SpecA. Alors on appelle espace propre associé à la valeur propreλ, l’ensemble des solutions (en X ∈ 𝔐𝑛,1 (K)) du système (A−λI𝑛)X = 0.

Déterminer les éléments propres d’une matrice consiste à déterminer les va-leurs propres et les vecteurs propres de ladite matrice.

Proposition ALG.2.4

Soit A = (𝑎𝑖,𝑗) ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) une matrice. Alors :

λ ∈ Spec(A) ⟺ Rg(A−λI𝑛) < 𝑛.

Preuve On a, pour toute matrice B ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K),

B inversible ⟺ Rg(B) = 𝑛.

Donc pour λ ∈K,

A−λI𝑛 non inversible ⟺ Rg(A−λI𝑛) < 𝑛.

Il s’agit doncd’appliquer l’algorithmedupivot deGauß à lamatriceA−λI𝑛. Du faitde la présence d’un paramètre λ, il est nécessaire de prendre garde aux opérationsréalisées, je vous conseille les suivantes.

Méthode (Opérations pour la recherche d’éléments propres)WRENCH

Caret-right Si le coefficient (3,1) n’est pas nul :1 — l’opération optimale à effectuer en premier pour des matrices detaille 3×3 est la permutation L1 ⟷ L3 qui permettra d’obtenir un co-efficient indépendant deλ enposition (1,1). On élimine alors avec celui-ci les coefficients (2,1), (3,1).2 — Ensuite, en position (2,2), nous avons un coefficient affine en λ etque l’on souhaite utiliser en nouveau pivot afin d’éliminer le coefficient(3,2). Pour éliminer λ en (2,2), on peut faire une opération simple enfonction de L3.3 — Un pivot indépendant de λ est alors obtenu en (2,2), on peut alors

WRENCH éliminer le coefficient (3,2).Caret-right Si le coefficient (3,1) est nul :1 — on fait la permutation L1 ⟷ L2 qui permettra d’obtenir un coef-ficient indépendant deλ enposition (1,1). On élimine alors avec celui-cile coefficient (3,1).2 — En positions (2,2), nous avons un coefficient indépendant de λ quisert à éliminer le coefficient (3,2).

Exemple 16— Déterminer les éléments propres des matrices ci-dessous.

1 — A =

⎛⎜⎜⎜⎝

−2 −2 1

−2 1 −2

1 −2 −2

⎞⎟⎟⎟⎠

,

PEN-FANCY



2 — B =

⎛⎜⎜⎜⎝

11 −5 5

−5 3 −3

5 −3 3

⎞⎟⎟⎟⎠

. On vérifiera que SpecB = {0,1,16}.

PEN-FANCY

Nous verrons dans le Chapitre ALG.3 que la connaissance des valeurs propres vanous permettre, dans certains cas, de déterminerA𝑛. Autreméthode, qui sera pré-



sentée dans ce chapitre, est l’utilisation de la formule du binôme de Newton ma-triciel.

1.4. Matrices remarquables

Définition ALG.2.14 | HomothétieOn appelle matrice d’homothétie de 𝔐𝑛,𝑛 (K) toute matrice de la forme

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

λ 0 0

0 λ

0

0 0 λ

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= λI𝑛.

Proposition ALG.2.5 | Structure des homothétiesL’ensemble des matrices d’homothétie de 𝔐𝑛,𝑛 (K) est un sous-espace vecto-riel de 𝔐𝑛,𝑛 (K) isomorphe à K, et stable par produit.En particulier, l’espace vectoriel des matrices d’homothétie est de dimension1.

Preuve Considérons l’application φ ∶||||||

K ⟶ Vect(I𝑛),

λ ⟼ λI𝑛.Onvérifie

sans peine qu’elle est linéaire.

PEN-FANCY

Définition ALG.2.15 | Matrice diagonaleOn appelle matrice diagonale de 𝔐𝑛,𝑛 (K) toute matrice de la forme

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑎1 0 0

0 𝑎2

0

0 0 𝑎𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Proposition ALG.2.6 | Structure des matrices diagonalesL’ensemble des matrices diagonales de 𝔐𝑛,𝑛 (K) est un sous-espace vectorielde𝔐𝑛,𝑛 (K), isomorphe àK𝑛, et stable par produit. Enparticulier, l’espace vec-toriel des matrices diagonales est de dimension 𝑛.

PreuveCaret-right (1èreMéthode (pour le calculde ladimension) :encherchantunebase

explicite.)

PEN-FANCY

Caret-right (2ème Méthode : en montrant que l’espace est isomorpheà un espace vectoriel de dimension connue.) Considé-

rons l’application φ ∶||||||

K𝑛 ⟶ 𝔐𝑛,𝑛 (K)

(𝑎1, ...,𝑎𝑛) ⟼ φ(𝑎1, ...,𝑎𝑛)où :



φ(𝑎1, ...,𝑎𝑛) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑎1 0 0

0 𝑎20

0 0 𝑎𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. On montre que φ est un iso-

morphisme : en effet, l’application est linéaire. Et si 𝑎1,…,𝑎𝑛 sonttels que φ(𝑎1,…,𝑎𝑛) = 0 alors 𝑎𝑖 = 0 pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K. Doncl’application est injective, et φ réalise donc un isomorphisme sur Imφqui est l’ensemble des matrices diagonales. Il est donc de dimensiondimK𝑛 = 𝑛.

Définition ALG.2.16 | Matrice triangulaireOn appelle matrice triangulaire inférieure (resp. supérieure) de 𝔐𝑛,𝑛 (K) toutematrice A = (𝑎𝑖,𝑗) telle que

∀(𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑛K2, 𝑖 < 𝑗 ⟹ 𝑎𝑖,𝑗 = 0 (resp.𝑖 > 𝑗 ⟹ 𝑎𝑖,𝑗 = 0),

i.e. telle que :

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⋆ 0 0

⋆ ⋆

0

⋆ ⋆ ⋆

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, resp. A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⋆ ⋆ ⋆

0 ⋆

⋆

0 0 ⋆

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

On note TS𝑛 (K) (resp. TI𝑛 (K))l’ensemble des matrices triangulaires supé-rieures (resp. inférieures).

Remarque 1.13— A est triangulaire supérieure si et seulement si ⊤A est triangu-laire inférieure. Et la transposition est un isomorphisme entre l’espace vectorieldes matrices triangulaires supérieures et l’espace vectoriel des triangulaires infé-rieures.

Proposition ALG.2.7 | Structure des matrices triangulairesL’ensemble des matrices triangulaires inférieures (resp. supérieures) de

𝔐𝑛,𝑛 (K) est un sous-espace vectoriel de𝔐𝑛,𝑛 (K)dedimension𝑛(𝑛+1)

2, et

stable par produit.

Preuve Montrons-le pour l’ensemble TS𝑛 (K) des matrices triangulairessupérieures.

Il est clair que l’on a

TS𝑛 (K) = Vect((E𝑖,𝑗)1⩽𝑖⩽𝑗⩽𝑛)

où les matrices E𝑖,𝑗 sont celles de la base canonique de 𝔐𝑛,𝑛 (K). Comme il

n’en intervient que𝑛(𝑛+1)

2, on en déduit que TS𝑛 (K) est un sous-espace

vectoriel de 𝔐𝑛,𝑛 (K) de dimension𝑛(𝑛+1)

2.

Il reste à montrer que TS𝑛 (K) est stable par produit. Soient A = (𝑎𝑖,𝑗) et B =(𝑏𝑖,𝑗) deux matrices triangulaires supérieures. Soient (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑛K2 tel que𝑖 > 𝑗. Le coefficient de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 de AB est égal à :

𝑛∑𝑘=1

[A]𝑖,𝑘 [B]𝑘,𝑗 =𝑖−1∑𝑘=1

[A]𝑖,𝑘 [B]𝑘,𝑗 +𝑛∑𝑘=𝑖

[A]𝑖,𝑘 [B]𝑘,𝑗 .

Or, pour𝑘 < 𝑖, le coefficient [A]𝑖,𝑘 est nul : la première somme est nulle. Pour𝑘 ⩾ 𝑖 > 𝑗, c’est le coefficient [B]𝑘,𝑗 qui est nul : la deuxième somme est nulleaussi. Ainsi,AB est unematrice triangulaire supérieure, ce qui termine la dé-monstration. Il est possible de montrer directement la stabilité par produiten travaillant avec des matrices explicites.

1.5. Et en Python?

Un TP sera consacré partiellement aux manipulations de matrices en Python, etaux principales fonctions existantes. Nous faisons une brève synthèse ci-dessous,observez les résultats.



PythonRappels sur les manipulations de matrices en Python

1 >>> import numpy as np2

3 >>> # Création4 >>> A = np.array([[1,2,3], [4,5,6]])5 >>> B = np.array([[2,3,4], [5,6,7]])6 >>> # dans certains sujets le module matrix subsiste, il est

désormais obsolète et ne devrait plus être utilisé dansles sujets à venir

↪

↪

7 >>> type(A)8 <class 'numpy.ndarray'>9 >>> #on accède aux éléments comme on le ferait avec des listes

de listes classiques↪

10 >>> A[1][2]11 612 >>> #Mais on peut aussi utiliser une notation plus «

mathématique » et se passer des doubles crochets↪

13 >>> A[1, 2]14 615 >>> # Récupérer le format d'une matrice16 >>> n,p = A.shape17 >>> #Extraction : fonctionnement identique aux listes. Les :

signifient que l'on impose aucune condition sur laposition où il est placé (ici, cela signifie « peu importela ligne », donc on renvoie une colonne)

↪

↪

↪

18 >>> A[:, 2]19 array([3, 6])20 >>> #Somme21 >>> C = A + B22 >>> C23 array([[ 3, 5, 7],24 [ 9, 11, 13]])25 >>> #Transposition

Python26 >>> C.transpose()27 array([[ 3, 9],28 [ 5, 11],29 [ 7, 13]])30

31 >>> #Produit32 >>> np.dot(A, B.transpose())33 array([[20, 38],34 [47, 92]])35

36 >>> # Ou encore37 >>> A@(B.transpose())38 array([[20, 38],39 [47, 92]])40 >>> #le symbole @ est d'utilisation plus aisée que la fonction

np.dot↪

41

42 >>> #Matrices usuelles43 >>> np.zeros((1, 4))44 array([[0., 0., 0., 0.]])45 >>> np.ones((2, 1)) #Attention : des tuples sont requis pour

ces deux fonctions↪

46 array([[1.],47 [1.]])48 >>> np.eye(3, 3)49 array([[1., 0., 0.],50 [0., 1., 0.],51 [0., 0., 1.]])52 >>> #Mais cela fonctionne aussi :53 >>> np.eye(3)54 array([[1., 0., 0.],55 [0., 1., 0.],56 [0., 0., 1.]])57 >>> # Éléments propres



Python58 >>> T = np.array([[1, 1], [0, 2]])59 >>> np.linalg.eig(T) #produit un tuple dont la première

coordonnée est la liste de valeurs propres, la seconde laune liste de vecteurs propres

↪

↪

60 (array([1., 2.]), array([[1. , 0.70710678],61 [0. , 0.70710678]]))62 >>> np.linalg.eig(T)[0] # liste des valeurs propres63 array([1., 2.])

Remarque 1.14— Lanotionde «vecteur propre» sera vue dans le Chapitre ALG.3.

2. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’OBJETS LINÉAIRES

Les matrices ont pour le moment été étudiées comme des tableaux de nombres(entiers ou réels par exemple, voir complexes). Nous allons voir en quoi ellespeuvent être utiles pour étudier les applications linéaires.

Nous allons découvrir plusieurs choses importantes :

1 — pour connaître une application linéaire 𝑢 ∶ E ⟶ F où E,F sont deux K-espace vectoriels de dimension finie (i.e. connaitre les𝑢(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ E), il suf-fit de se donner unematrice à dimF lignes et dimE colonnes, donc à dimF×dimEcoefficients.2 — Les opérations énoncées précédemment sur les matrices comme l’addition,la multiplication, l’inversion, correspondront à des matrices d’autres applicationslinéaires comme l’addition, la composition et l’inversion d’applications linéaires— que le monde est bien fait !1

1Il en manque une à l’appel : la transposition! Elle aussi, elle possède son analogue «endomor-phique». On l’appelle l’endomorphisme transposé, mais là on dépasse largement le cadre duprogramme.

Regardons un premier exemple. Supposons que 𝑓 ∈ ℒ(K𝑛,K), 𝑓 est donc uneforme linéaire sur K𝑛 et soit ℬ = (𝑒1,…,𝑒𝑛) une base de K𝑛.

Alors nous avons déjà vu (dans le Chapitre ALG.1) qu’il suffit de connaître𝑓(𝑒1),…,𝑓(𝑒𝑛) pour entièrement déterminer 𝑓. Cette donnée peut donc se mettresous forme d’un tableau :

( 𝑓(𝑒1) 𝑓(𝑒2) … 𝑓(𝑒𝑛) ) ∈ 𝔐1,𝑛 (K) =(nota.)

ℳatℬ

(𝑓) ,

une matrice à une ligne et 𝑛 colonnes. Seulement voilà, si plus généralement𝑓 ∈ ℒ(K𝑛,K𝑝) avec 𝑝 ⩾ 1 les 𝑓(𝑒𝑖) sont alors des vecteurs de K𝑝. Si une baseℱ = (𝑓1,…,𝑓𝑝) de K𝑝 est fixée, chaque 𝑓(𝑒𝑖) possèdent 𝑝 coordonnées que l’onpeut écrire en colonne, comme ci-dessous :

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑒1𝑖𝑒2𝑖

𝑒𝑝𝑖

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, pour rappel, cela signifie que 𝑓(𝑒𝑖) =𝑝

∑𝑗=1

𝑒𝑗𝑖𝑓𝑗.

Faisant cela pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K, nous obtenons une matrice à 𝑛 colonnes et 𝑝lignes, dont les coefficients 𝑒𝑗𝑖 pour tous (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑝K× J1 , 𝑛K déterminent entiè-rement 𝑓. Nous allons successivement cracatériser tous les objets linéaires par destableaux de scalaires (des matrices donc) : les vecteurs, les familles de vecteurs etles applications linéaires.

2.1. Matrice d’un vecteur, d’une famille

Définition ALG.2.17 | Matrice d’un vecteurSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie 𝑛, muni d’une base ℬ =(𝑒1, ...,𝑒𝑛). Soit 𝑥 un vecteur de E de coordonnées 𝑥1, ...,𝑥𝑛 dans la base ℬ, i.e. :

𝑥 =𝑛∑𝑘=1

𝑥𝑘𝑒𝑘.



On appelle matrice du vecteur 𝑥 relativement à la base ℬ la matrice colonnesuivante :

ℳatℬ

(𝑥) =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥1

𝑥𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐𝑛,1 (K) .

Lorsque ℬ = ℬcan est la base canonique canonique de E = K𝑛 ou K𝑛[X], ondit que ℳat

ℬ(𝑥) est la matrice canoniquement associée à 𝑥.

De manière générale, toutes les notions de matrice qui suivront dépendront duchoix d’une base. Nous aurons des moyens simples de passer d’une base à l’autredans un second temps. Par unicité des coordonnées d’un vecteur dans une base,l’objet précédent est bien défini.

Exemple 17— Considérons 𝑥 = (1,2,3) ∈ R3, et munissons R3 de deux bases :la base canonique ℬ et la base 𝒞 = (𝑎,𝑏,𝑐), où 𝑎 = (1,1,1), 𝑏 = (0,1,1) et 𝑐 =

(0,1,−1). Alors, on a : ℳatℬ

(𝑥) =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

2

3

⎞⎟⎟⎟⎠

. Que vaut ℳat𝒞

(𝑥) ?

PEN-FANCY

Et dans le sens inverse? Peut-on voir toute colonne comme lamatrice d’un certainvecteur dans une certaine base? La réponse est oui.

Proposition ALG.2.8 | Lamatrice dans une base caractérise le vecteurSoitEunK-espace vectoriel dedimension𝑛,munid’unebaseℬ. L’application

φ ∶||||||

E ⟶ 𝔐𝑛,1 (K)

𝑥 ⟼ ℳatℬ

(𝑥)

est un isomorphisme de K-espaces vectoriels. Autrement dit, étant donnéeune base ℬ fixée, il y a une correspondance bijective entre les colonnes de𝔐𝑛,1 (K) et les vecteurs de E.

Preuve• On admet que φ est linéaire, la preuve ne présente aucune difficulté.• Passons au caractère isomorphe. Puisque dimE = dim𝔐𝑛,1 (K) = 𝑛, il suf-

fit d’établir l’injectivité en calculant le noyau.

PEN-FANCY



Onpeut aussi démontrer la surjectivité à lamain. SoitX =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥1

𝑥𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐𝑛,1 (K).

Posons

PEN-FANCY

Exemple 18— Un cas spécial Soient 𝑛 ⩾ 1 et E = K𝑛. Que dire de l’application||||||

K𝑛 ⟶ 𝔐𝑛,1 (K)

(𝑥1,…,𝑥𝑛) ⟼ ℳatℬcan

((𝑥1,…,𝑥𝑛))

PEN-FANCY

Définition ALG.2.18 | Matrice d’une familleSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie 𝑛, muni d’une base ℬ =(𝑒1, ...,𝑒𝑛). Soit une famille ℱ = (𝑥1, ...,𝑥𝑝) de 𝑝 vecteurs de E. On appelle ma-trice de la famille ℱ relativement à la base ℬ la matrice

ℳatℬ

(ℱ) =

⎛⎜⎜⎜⎝

ℳatℬ

(𝑥1) … ℳatℬ

(𝑥𝑝)

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K) .

Autrement dit, c’est la matrice où la 𝑖-ème colonne est la matrice du 𝑖-èmevecteur de la famille.

Remarque 2.1— Si 𝑝 = 1, ℱ = (𝑥1), on retombe sur la définition de matrice d’unvecteur vue précédemment.

Exemple 19— dans K𝑛 Reprenons les données de l’exemple précédent. Alors :

ℳatℬ

(ℬ) =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

et ℳatℬ

(𝒞) =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

1 1 1

1 1 −1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Calculer ℳat𝒞

(𝒞) et ℳat𝒞

(ℬ) .

PEN-FANCY



Exemple 20— avec des fonctions On note F = Vect(cos,sin) dans E = RR. Onconsidère 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ cos(𝑥 + 1) et 𝑔 ∶ 𝑥 ⟼ sin(𝑥 − 1). Montrer que 𝑓,𝑔 ∈ F et déterminer ℳat

(cos,sin)((𝑓,𝑔)) .

PEN-FANCY

Exemple 21— avec des polynômes Nous avons déjà montré que ℱ = (X(X −1),X(X−2), (X−1)(X−2)) est une base deR2[X]. On note P = X2+X+1 etQ = X2−1.Déterminer ℳat

ℱ((P,Q)) .

PEN-FANCY



Proposition ALG.2.9 | Lien entre le rang d’unematrice de famille et le rangde la famille

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie 𝑛, muni d’une base ℬ =(𝑒1, ...,𝑒𝑛). Soit une famille ℱ = (𝑥1, ...,𝑥𝑝) de 𝑝 vecteurs de E. Alors :

Rgℳatℬ

(ℱ) = Rgℱ.

Par conséquent, si 𝑛 = 𝑝, ℱ est une base de E si et seulement si ℳatℬ

(ℱ) estinversible.

Preuve Nous admettons ce résultat.

Méthode (Montrer qu’une famille est une base à l’aide de matrice)WRENCH

Soit ℬ une base de E un espace vectoriel, et ℱ une famille.1 — Calculer M = ℳat

ℬ(ℱ) ,

2 — étudier l’inversibilité de M.

2.2. Matrice d’une application linéaire

Définition ALG.2.19 | Matrice d’une application linéaireSoient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies, 𝑝 = dimK E, 𝑛 =dimK F, ℬ = (𝑒1, ...,𝑒𝑝) une base de E et 𝒞 une base de F, et 𝑢 ∈ ℒ(E,F).On appellematrice de l’application linéaire𝑢 relativement aux basesℬ et𝒞 la

matrice :

ℳatℬ,𝒞

(𝑢) = ℳat𝒞

(𝑢(ℬ)) ∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K) .

Caret-right Lorsqueℬ et𝒞 sont les bases canoniques de E et F respectivement (avecE,F qui sont égaux à K𝑛 ou K𝑛[X]), on dit que ℳat

ℬ,𝒞(𝑢) est la matrice

canoniquement associée à 𝑢.

Caret-right Si E = F et ℬ = 𝒞 alors on appelle matrice de l’endomorphisme 𝑢 relati-vement à ℬ la matrice :

ℳatℬ

(𝑢) = ℳatℬ,ℬ

(𝑢) ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) .

Dans ce cas, c’est une matrice de format 𝑛×𝑛.

Remarque 2.2— Interprétation On lit donc dans les colonnes de ℳatℬ, 𝒞

(𝑢) les

coordonnées des vecteurs 𝑢(𝑒1), ..., 𝑢(𝑒𝑝) dans la base 𝒞 .

Méthode (Calculer une matrice)WRENCH

Pour déterminer ℳatℬ,𝒞

(𝑢) , il faut donc :1 — calculer les vecteurs de 𝑢(ℬ), i.e. les 𝑢(𝑒𝑗) pour tout 𝑗 ∈ J1 , 𝑝K.2 — Pour tout 𝑖 ∈ J1,𝑝K, calculer les coordonnéesde𝑢(𝑒𝑗)dans la base image𝒞, i.e. chercher les λ𝑖,𝑗 tels que :

𝑢(𝑒𝑗) =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖,𝑗𝑓𝑗,

où (𝑓1,…,𝑓𝑛) est une base de ℱ. Ces coordonnées existent bien, et sontuniques, puisque ℱ est une base de F.

3 — Conclure : la 𝑗-ème colonne de ℳatℬ,𝒞

(𝑢) sera donc :

⎛⎜⎜⎜⎝

λ1,𝑗

λ𝑛,𝑗

⎞⎟⎟⎟⎠

.



Exemple 22— dans K𝑛 Soit :

𝑢 ∶||||||

R3 ⟶ R2,

(𝑥,𝑦,𝑧) ⟼ (3𝑥+𝑦−𝑧,−𝑥+2𝑧).

Déterminer la matrice canoniquement associée à 𝑢.

PEN-FANCY

Exemple 23— Avec des polynômes Soit D ∶||||||

R3[X] ⟶ R2[X]

P ⟼ P′. Déterminer

la matrice canoniquement associée à D.

PEN-FANCY

Exemple 24— Avec des fonctions Soient E = 𝒞∞(R,R) et F = Vect (𝑔,ℎ), où 𝑔 etℎ sont les applications de R dans R définies par : ∀𝑥 ∈ R, 𝑔(𝑥) = e𝑥 cos𝑥 etℎ(𝑥) = e𝑥 sin𝑥 respectivement.



1 — La famille ℬ = (𝑔,ℎ) est une base de F, et

D ∶||||||

E ⟶ E

𝑓 ⟼ 𝑓′

définit un endomorphisme de F.2 — Déterminons la matrice de D relativement à ℬ.

PEN-FANCY

Exemple 25— Avec des suites Soient E = RN, α et β deux réels distincts. On note𝑢 = (α𝑛) ∈ E, 𝑣 = (β𝑛) ∈ E et F = Vect(𝑢,𝑣).

1 — La famille ℬ = (𝑢,𝑣) est une base de F.2 — Soit ensuite𝒞 la base canoniquedeR3. Déterminons lamatrice relativementaux bases ℬ et 𝒞 de :

φ ∶||||||

F ⟶ R3

(𝑥𝑛)𝑛∈N ⟼ (𝑥0 +𝑥2,𝑥1,−𝑥0 +𝑥3).

PEN-FANCY

Exemple 26— Identité Soit E unK-espace vectoriel de dimension 𝑛 ∈N∗. Soit ℬune base quelconque de E. Alors ℳat

ℬ(IdE) = I𝑛, où :

I𝑛 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0

0 1

0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K)



(des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs). De même, pour tout λ ∈ K, onétablit que ℳat

ℬ(λ IdE) = λI𝑛.

PEN-FANCY

Attention×

Si l’espace vectoriel ambiant est un espace de1 — polynômes, on ne met pas «de X» dans les matrices !2 — suites, on ne met pas «de 𝑛» dans les matrices !3 — fonctions, on ne met pas «de 𝑥,𝑡,etc.» dans les matrices !

Par définition d’une matrice, les éléments qui la constitue sont des scalairesi.e. des éléments de K.

Remarque 2.3— Cas des formes linéaires surE Si𝑢 ∈ E⋆, oùE est de dimensionfinie 𝑛, (1) est la base canonique de l’espace d’arrivée. Si ℬ = (𝑒1, ...,𝑒𝑛) est unebase de E, alors la matrice :

ℳatℬ

(𝑢) =(nota.)

ℳatℬ,(1)

(𝑢) = ( 𝑢(𝑒1) 𝑢(𝑒𝑛) ) ∈ 𝔐1,𝑛 (K)

est la matrice de la forme linéaire 𝑢 relativement à la base ℬ, c’est donc une ma-trice ligne.

Bien entendu il est possible de prendre une autre base que (1) pour le K-espacevectorielK (toutes les familles (λ) avecλ ∈K⋆,mais dans ce cas il faudra le précisersous le symbole matrice.

Exemple 27— Deux formes linéaires

1 — Déterminons la matrice de 𝑢 ∶||||||

R3 ⟶ R

(𝑥,𝑦,𝑧) ⟼ 3𝑥−𝑦+2𝑧relative-

ment à la base canonique ℬ de R3 après avoir justifié la linéarité.PEN-FANCY

2 — Déterminons la matrice de φ ∶||||||

R3[X] ⟶ R

P ⟼ P′(0)+P(1)+ ∫1

0P(𝑡)d𝑡

relativement à la base canonique ℬ de R3[X] après avoir justifié la linéarité.PEN-FANCY



Une application linéaire est entièrement déterminée par la donnée d’une base et

d’une matrice. Nous avons associé à toute application linéaire unematrice dansdeux bases fixées, le sens retour est aussi possible. Nous pouvons associer à n’im-porte quel tableau de nombres et n’importe quel couple de bases fixé une uniqueapplication linéaire.Onpeut résumer cela en «uneapplication linéaire est entière-ment déterminée par samatrice relativement à un couple de bases».Voyons com-ment.

Théorème ALG.2.2 | Lamatrice dans deux bases caractérise l’applicationSoientE et F desK-espaces vectoriels de dimensions respectives𝑝 et𝑛,ℬ unebase de E, 𝒞 une base de F. Alors l’application

φ ∶||||||

ℒ(E,F) ⟶ 𝔐𝑛,𝑝 (K)

𝑢 ⟼ ℳatℬ,𝒞

(𝑢)

est un isomorphisme de K-espaces vectoriels. En particulier, dimℒ(E,F) =𝑛×𝑝. Autrement dit, étant données deux bases ℬ de E et 𝒞 de F fixées, il y aune correspondancebijective entre lesmatricesde𝔐𝑛,𝑝 (K) et les applicationslinéaires de E dans F.

Preuve• On admet que φ est linéaire, la preuve ne présente aucune difficulté.• Passons au caractère isomorphe.Nous allonsmontrer l’injectivité et la sur-

jectivité.

PEN-FANCY

Corollaire ALG.2.1 | Application canoniquement associée (dans𝔐𝑛,1 (K))à unematrice

Soit M ∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K). Il existe une unique application linéaire 𝑢 ∈ℒ(𝔐𝑝,1 (K) ,𝔐𝑛,1 (K)) telle que ℳat

ℬcan(𝑢) = M. On l’appelle l’application

linéaire canoniquement associée à M. Elle est définie par

𝑢||||||

𝔐𝑝,1 (K) ⟶ 𝔐𝑛,1 (K)

X ⟼ MX

PreuveCaret-right L’application 𝑢 ainsi définie est linéaire.

PEN-FANCY

Caret-right Nous avons ℳatℬcan

(𝑢) = M.

PEN-FANCY



Définition ALG.2.20 | Noyau et image d’unematriceOn appelle noyau de la matrice M noté KerM (resp. image de la matrice M no-té ImM) le noyau de 𝑢 (resp. l’image de 𝑢) où 𝑢 ∈ ℒ(𝔐𝑝,1 (K) ,𝔐𝑛,1 (K)) estl’application linéaire canoniquement associée à M. On a :1 — KerM = {X ∈ 𝔐𝑝,1 (K) , MX = 0},

2 — ImM = {Y ∈ 𝔐𝑛,1 (K) , ∃X ∈ 𝔐𝑝,1 (K) , MX = Y}.

Exemple 28— Déterminer l’application linéaire 𝑢 canoniquement associée à

M =⎛

⎝

3 1 0

−1 2 1

⎞

⎠. Préciser le noyau et l’image de M.

PEN-FANCY

Proposition ALG.2.10 | Consistance des définitions du rangSoit M ∈ 𝔐𝑛,𝑝 (K) et 𝑢 l’application linéaire canoniquement associée. Alors :

Rg𝑢 = RgM

où, pour rappel,Caret-right RgM est le nombre de pivots non nuls dans la forme réduite de M,Caret-right Rg𝑢 est la dimension de Im𝑢.

2.3. Opérations endomorphiques & opérations sur les matrices

Nous allons voir le lien entre les opérationsmatricielles d’une part (somme et pro-duit/inversion), et les opérations fonctionnelles d’autre part (somme et compo-sée/inversion d’applications linéaires).

Théorème ALG.2.3 | Écriture matricielle de 𝑦 = 𝑢(𝑥)Soient E et F des K-espaces vectoriels de dimensions finies, ℬ une base de E,𝒞 une base de F, 𝑢 ∈ ℒ(E,F), 𝑥 ∈ E et 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∈ F. Si l’on pose

Y = ℳat𝒞

(𝑦) , U = ℳatℬ,𝒞

(𝑢) et X = ℳatℬ

(𝑥) ,

alors on a :

Y = U×X.

Remarque 2.4— Sous les données de ce théorème, on retiendra donc que :

ℳat𝒞

(𝑢(𝑥)) = ℳatℬ,𝒞

(𝑢) × ℳatℬ

(𝑥) .



Attention (aux bases)×

La formule est intuitivement claire. Si vous choisissez la base ℬ comme basede départ de l’application 𝑢, alors 𝑢 ne peut «manger » que des vecteurs 𝑥écrits dans ℬ également. Si ℱ est la base d’arrivée, alors 𝑢(𝑥) est lui aussiécrit dans la base d’arrivée.

Preuve Soient 𝑝 = dimK E et 𝑛 = dimK F. On explicite les bases de E etF :

ℬ = (𝑒1, ...,𝑒𝑝) et 𝒞 = (𝑓1, ...,𝑓𝑛) .

Posons :

Y = ℳat𝒞

(𝑦) =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑦1

𝑦𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

, U = ℳatℬ,𝒞

(𝑢) =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑢1,1 𝑢1,𝑝

𝑢𝑛,1 𝑢𝑛,𝑝

⎞⎟⎟⎟⎠

et X = ℳatℬ

(𝑥) =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥1

𝑥𝑝

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Alors on calcule :

𝑛∑𝑖=1

𝑦𝑖𝑓𝑖 = 𝑦 = 𝑢(𝑥) = 𝑢(𝑝

∑𝑗=1

𝑥𝑗𝑒𝑗) =𝑝

∑𝑗=1

𝑥𝑗𝑢(𝑒𝑗)

=𝑝

∑𝑗=1

𝑥𝑗𝑛∑𝑖=1

𝑢𝑖,𝑗𝑓𝑖

=𝑛∑𝑖=1

(𝑝

∑𝑗=1

𝑢𝑖,𝑗𝑥𝑗)𝑓𝑖.

Par unicité des coordonnées de 𝑦 dans la base 𝒞, on en déduit, pour tout

𝑖 ∈ J1,𝑛K : 𝑦𝑖 =𝑝

∑𝑗=1

𝑢𝑖,𝑗𝑥𝑗. Ceci se traduit exactement par l’égalitématricielle

Y = U×X.

Théorème ALG.2.4 | Matrice d’une composéeSoientE,F etG troisK-espaces vectoriels dedimensionsfinies, et soientℬunebasedeE,ℬ′ unebasedeF,B′′ unebasedeG, soient𝑣 ∈ ℒ(E,F) et𝑢 ∈ ℒ(F,G).Alors :

ℳatℬ,ℬ′′

(𝑢 ∘𝑣) = ℳatℬ′,ℬ′′

(𝑢) × ℳatℬ,ℬ′

(𝑣) .

PEN-FANCY

Lemme ALG.2.1Soient A et B deux matrices 𝑛×𝑝. Alors :

A = B ⟺ (∀X ∈ 𝔐𝑝,1 (K) A×X = B×X).

Preuve (du lemme) L’implication directe est immédiate. Réciproque-ment, supposons que A×X = B×X pour toute matrice colonne X de taille𝑝×1.NotonsC𝑗 (resp.C′

𝑗) les colonnesdeA (resp.B), où 𝑗 ∈ J1,𝑝K.Onconstatealors qu’avec

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1

0

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

on aA×X = C1 etB×X = C′1. On en déduit queC1 = C′

1. On procède demêmepour montrer que les autres colonnes de A et B sont deux à deux égales, d’où



A = B.

Preuve Pour tout 𝑥 ∈ E, on a 𝑢 ∘𝑣(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥)). En appliquant le théo-rème donnant la matrice d’une composée, on obtient l’égalité matricielle :

PEN-FANCY

ℳatℬ,ℬ′′

(𝑢 ∘𝑣) × ℳatℬ

(𝑥) = ℳatℬ′,ℬ′′

(𝑢) ×(ℳatℬ,ℬ′

(𝑣) × ℳatℬ

(𝑥))

= (ℳatℬ′,ℬ′′


(𝑣))× ℳatℬ

(𝑥)

Or, lorsque 𝑥 parcourt E, la matrice ℳatℬ

(𝑥) parcourt 𝔐𝑝,1 (K). Le lemmepermet alors de conclure :

ℳatℬ,ℬ′′

(𝑢 ∘𝑣) = ℳatℬ′,ℬ′′


(𝑣) .

Exemple 29— Soient

𝑢 ∶||||||

R3, ⟶ R2

(𝑥,𝑦,𝑧) ⟼ (𝑥−𝑦,𝑥+𝑦+𝑧),

𝑣 ∶||||||

R2 ⟶ R3,

(𝑥,𝑦) ⟼ (𝑥+𝑦,𝑥+2𝑦,𝑥−𝑦).

On note ℬ et 𝒞 les bases canoniques respectives de R3 et R2. Calculer ℳatℬ,𝒞

(𝑢) ,ℳat𝒞,ℬ

(𝑣) , ℳatℬ,ℬ

(𝑣 ∘𝑢) et ℳat𝒞,𝒞

(𝑢 ∘𝑣) . Donner l’expression analytique de 𝑢∘𝑣 et de𝑣 ∘𝑢.

PEN-FANCY

On en déduit maintenant facilement que la matrice de 𝑢−1, si 𝑢 est un isomor-phisme, est l’inverse de la matrice de 𝑢.

Proposition ALG.2.11 | Matrice d’une application inverseSoient E un K-espace vectoriel de dimension 𝑛, B une base de E et 𝑢 ∈ ℒ(E)un endomorphisme de E. Alors 𝑢 est inversible si et seulement si la matriceℳatℬ

(𝑢) ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) est inversible, et dans ce cas :

ℳatℬ

(𝑢−1) = (ℳatℬ

(𝑢))−1

.



Preuve

PEN-FANCY

Application. On dispose pour 𝔐𝑛,𝑛 (K) des règles de calcul suivantes, qui dé-coulent de calculs directes ou de la Proposition ALG.1.15 que l’on reformule avecles matrices canoniquement associées.

Définition ALG.2.21 | Matrice nilpotenteSoit A ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K). Alors A est dite nilpotente s’il existe 𝑘 ∈N tel que A𝑘 = 0.

Proposition ALG.2.12 | Binôme de NEWTON pour les matricesSoit (A,B) ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K)2 tel que AB = BA. Alors on a la formule du binôme deNewton :

∀𝑝 ∈N, (A+B)𝑝 =𝑝

∑𝑘=0

⎛

⎝

𝑝

𝑘

⎞

⎠A𝑘B𝑝−𝑘.

Remarque 2.5— Dans les deux dernières égalités, les factorisations par A−B etI𝑛 −A respectivement peuvent se faire à droite.

Preuve On utilise les formules déjà établies dans le Chapitre ALG.1.

PEN-FANCY

Seule la preuve de la prochaine proposition est à connaître.

Proposition ALG.2.13 | Formule de BERNOULLI [H.P]Soit (A,B) ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K)2 tel que AB = BA.

∀𝑝 ∈N⋆, A𝑝 −B𝑝 = (A−B)(𝑝−1

∑𝑘=0

A𝑘B𝑝−1−𝑘) .

En particulier,

∀𝑝 ∈N⋆, I𝑛 −A𝑝 = (I𝑛 −A)(𝑝−1

∑𝑘=0

A𝑘) .

En conséquence : si A est nilpotente, la matrice I𝑛 −A est inversible.

Preuve Même chose que dans la preuve précédente : on utilise les for-mules déjà établies dans le Chapitre ALG.1. Concentrons-nous sur la consé-quence.

PEN-FANCY



Exemple 30— Considérons la matrice B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 −𝑎 0 0

0 1 −𝑎 0

0 0 1 −𝑎

0 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐4 (K) . On

peut décomposer B = I4 −𝑎J où J =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. Alors la matrice B est inver-

sible et on peut donner son inverse.

PEN-FANCY

Exemple 31— Soit A =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎 𝑏 0

0 𝑎 𝑏

0 0 𝑎

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐3,3 (R) . Calculer A𝑛 pour tout 𝑛 ∈N.

PEN-FANCY

Résumons les techniques précédentes sous forme d’une méthode.

Méthode (Binôme et calculs des puissances)WRENCH

Si on arrive à écrire une matrice comme somme d’une matrice D diagonaleet d’une matrice nilpotente N (i.e. telle que N𝑝 = 0 pour un certain 𝑝 ∈ N),qui commutent, on utilise la formule du binôme matricielle :

(D+N)𝑝 =𝑝

∑𝑘=0

(𝑝𝑘)D𝑝−𝑘N𝑘.



2.4. Changements de base

Lebutde cette dernière section est de faire lien entre les différentesmatrices (d’ap-plications, de vecteurs, de familles de vecteurs, ...) écrites dans une certaine baseℬ et celles écrites dans une autre base ℬ′. Nous allons voir qu’une quantité clefapparaîtra dans les formules : il s’agit de la matrice de passe de ℬ à ℬ′ ou de ℬ′ àℬ.

Matrices de passage.

Définition ALG.2.22Soit E unK-espace vectoriel de dimension 𝑛, muni de deux bases ℬ et ℬ′. Onappelle matrice de passage de ℬ à ℬ′ la matrice notée Pℬ→ℬ′

suivante :

Pℬ→ℬ′= ℳat

ℬ(ℬ′) = ℳat

ℬ′,ℬ(IdE) ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) .

Exemple 32— Soient E = R2, ℬ = (𝑒1,𝑒2) la base canonique de E et ℬ′ = (𝑒′1,𝑒′2),

où 𝑒′1 = (1,2) et 𝑒′2 = (1,3). Montrer que ℬ′ est une base.Déterminer les matrices de passage Pℬ→ℬ′

et Pℬ′→ℬ.

PEN-FANCY


Soient ℬ, ℬ′ et ℬ′′ trois bases d’un K-espace vectoriel E de dimension finie.Alors :1 — (Composition) Pℬ→ℬ′

.Pℬ′→ℬ′′

= Pℬ→ℬ′′,

2 — (Inversion) Pℬ→ℬ′est inversible et (Pℬ→ℬ′

)−1

= Pℬ′→ℬ.

Preuve

PEN-FANCY

Changement de base.



Théorème ALG.2.5 | Changement de base pour un vecteurSoient E unK-espace vectoriel de dimension finie, ℬ et ℬ′ deux bases de E et𝑥 ∈ E. Alors :

ℳatℬ

(𝑥) = Pℬ→ℬ′ℳatℬ′

(𝑥) .

Remarque 2.6— Si l’on pose X = ℳatℬ

(𝑥) et X′ = ℳatℬ′

(𝑥) , alors cette égalités’écrit aussi :

X = Pℬ→ℬ′X′.

Preuve Elle tient en deux lignes (tout le travail a été fait dans la formulede composition) :

ℳatℬ

(𝑥) = ℳatℬ

(IdE(𝑥))

= ℳatℬ′,ℬ

(IdE) ℳatℬ′

(𝑥)

= Pℬ→ℬ′ℳatℬ′

(𝑥) .

.

Exemple 33— On reprend les notations de l’Exemple 32.On considère𝑥 = (4,1) ∈E. Déterminer ℳat

ℬ(𝑥) et ℳat

ℬ′(𝑥) .

PEN-FANCY

Exemple 34— Rotation de repères. Prenons E = R2 et (𝑒1,𝑒2) sa base cano-nique.

1 — On note (𝑒θ1 ,𝑒θ2 ) la base (𝑒1,𝑒2) «tournée d’un angle θ ∈ [0,2π[» dans le sens

trigonométrique. Donnée l’expression de (𝑒θ1 ,𝑒θ2 ).

2 — Si 𝑢 ∈R2 est tel que ℳat(𝑒1,𝑒2)

(𝑢) =⎛

⎝

𝑥

𝑦

⎞

⎠, déterminer ℳat

(𝑒θ1 ,𝑒θ2 )(𝑢) .

PEN-FANCY



Proposition ALG.2.15 | Changement de base pour une application linéaireSoient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, 𝑢 ∈ ℒ(E,F), ℬ,ℬ′ deux bases de E, et 𝒞, 𝒞′ deux bases de F. Alors :

ℳatℬ′,𝒞′

(𝑢) = P𝒞′→𝒞ℳat

ℬ,𝒞(𝑢) Pℬ→ℬ′

.

Remarque 2.7 — Si l’on pose A = ℳatℬ,𝒞

(𝑢) et A′ = ℳatℬ′,𝒞′

(𝑢) , alors cette égalités’écrit aussi :

A′ = P𝒞′→𝒞APℬ→ℬ′

.

Pour correctement mémoriser cette formule, mieux vaut en connaître la preuve(reformulation avec des applications identité) :

ℳatℬ′,𝒞′

(𝑢) = ℳat𝒞,𝒞′

(IdF) ℳatℬ,𝒞

(𝑢) ℳatℬ′,ℬ

(IdE) .

Preuve On a

ℳatℬ′,𝒞′

(𝑢) = ℳatℬ′,𝒞′

(IdF ∘𝑢 ∘ IdE)

= ℳat𝒞,𝒞′

(IdF) ℳatℬ,𝒞

(𝑢) ℳatℬ′,ℬ

(IdE)

= P𝒞′→𝒞ℳat

ℬ,𝒞(𝑢) Pℬ→ℬ′

.

Exemple 35— On reprend les notations de l’Exemple 32, et on introduit F = R3,𝒞 = (𝑓1,𝑓2,𝑓3) la base canonique de F, 𝒞′ = (𝑓′1 ,𝑓

′2 ,𝑓

′3 ), où 𝑓′1 = (0,1,1), 𝑓′2 = (1,0,1)

et 𝑓′3 = (1,1,0).

1 — Montrer que 𝒞′ est une base de F.2 — Soit :

𝑢 ∶||||||

E ⟶ F

(𝑥,𝑦) ⟼ (𝑥+𝑦,𝑥+2𝑦,−2𝑥+𝑦).

Déterminer ℳatℬ,𝒞

(𝑢) et ℳatℬ′,𝒞′

(𝑢) .

PEN-FANCY



Proposition ALG.2.16 | Changement pour un endomorphismeSoient E un K-espace vectoriel de dimension finie, 𝑢 ∈ ℒ(E), et ℬ et ℬ′ deuxbases de E. Alors :

ℳatℬ′

(𝑢) = Pℬ′→ℬ (ℳat

ℬ(𝑢))Pℬ→ℬ′

= (Pℬ→ℬ′)−1

(ℳatℬ

(𝑢))Pℬ→ℬ′.

Remarque 2.8— Si l’on poseA = ℳatℬ

(𝑢) ,A′ = ℳatℬ′

(𝑢) , etP = Pℬ→ℬ′, alors cette

égalité s’écrit aussi :

A′ = P−1AP

ou encore, en multipliant les deux membres par P à gauche et par P−1 à droite :

A = PA′P−1.

Exemple 36— On reprend une dernière fois l’Exemple 32, et on introduit :

𝑣 ∶||||||

E ⟶ E

(𝑥,𝑦) ⟼ (2𝑥+𝑦,𝑥−𝑦).

Déterminer ℳatℬ

(𝑣) et ℳatℬ′

(𝑣) .

PEN-FANCY

Matrices semblables et application aux calculs de puissances.



Définition ALG.2.23Soient A et B deux matrices de 𝔐𝑛,𝑛 (K). Alors A et B sont dites semblables s’ilexiste une matrice inversible P ∈GL𝑛(K) telle que :

A = PBP−1.

Si K = C, deux matrices sont dites semblables sur R s’il existe une matrice in-versible P ∈GL𝑛(R) telle que A = PBP−1.

NotationΣOn notera A ∼ B lorsque deux matrices sont semblables.

Preuve

PEN-FANCY


DeuxmatricesA ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) etB ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) sont semblables si et seulement s’ilexiste un endomorphisme 𝑢 ∈ ℒ(E) d’un K-espace vectoriel E de dimension𝑛 et deux bases ℬ et ℬ′ de E telles que :

A = ℳatℬ

(𝑢) et B = ℳatℬ′

(𝑢) .

Autrement dit, deux matrices semblables sont les matrices d’un même endo-morphisme, mais exprimé dans deux bases différentes.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 37—

1 — Montrer que les matrices A =⎛

⎝

0 1

1 0

⎞

⎠et B =

⎛

⎝

1 0

0 −1

⎞

⎠sont semblables.

Préciser alors la matrice P telle que A = PBP−1.2 — Soit 𝑓 l’endomorphisme de R2 canoniquement associé à la matrice A =⎛

⎝

4 −2

1 1

⎞

⎠. Déterminer Ker(𝑓 − 2 IdR2 ) et Ker(𝑓 − 3 IdR2 ). Montrer que A est sem-

blable à B =⎛

⎝

2 0

0 3

⎞

⎠.

PEN-FANCY



Proposition ALG.2.18 | Calcul de puissancesSoient A et B deux matrices semblables de 𝔐𝑛,𝑛 (K) et P ∈ GL𝑛(K) telle queA = PBP−1. Alors :

∀𝑘 ∈N, A𝑘 = PB𝑘P−1.

Preuve (Point clef — Récurrence sur 𝑘)

PEN-FANCY

Exemple 38— En déduire A𝑛 pour tout 𝑛 ∈ N où A est la matrice A =⎛

⎝

4 −2

1 1

⎞

⎠.

PEN-FANCY

Remarque 2.9— Nous verrons dans le Chapitre ALG.3 uneméthode pour trouveren pratique une matrice D diagonale (si elle existe). Si c’est le cas, on dit que l’ona diagonalisé la matrice A i.e. trouvé une base dans laquelle la matrice de l’endo-morphisme canoniquement associé à A est diagonale.




3. EXERCICES

3.1. Calcul matriciel

[ALG_Mat_21.tex]

Exercice ALG.2.1 (Solution : 44) Soit A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 0

0 1 1

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

, et 𝑛 ∈ N. Calculer A𝑛 de

deux manières différentes.[ALG_Mat_46.tex]

Exercice ALG.2.2 (Solution : 44) Soient A =

⎛⎜⎜⎜⎝

2 0 1

1 1 0

−1 1 3

⎞⎟⎟⎟⎠

et P =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 0

1 0 0

0 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

1 — Déterminer Ker(A−λI3) pour tout λ ∈R.2 — Étudier l’inversibilité de la matrice P et calculer T = P−1AP.3 — Exprimer A en fonction de T,P,P−1 puis A𝑛 en fonction de T𝑛, P et P−1 pourtout 𝑛 ∈N.4 — CalculerT𝑛 pour tout entier𝑛 ∈N. Indication :Onpourrautiliser le binômede Newton.5 — En déduire A𝑛 pour tout 𝑛 ∈N.

[ALG_Mat_32.tex]

Exercice ALG.2.3 Ondit qu’unematrice carree est stochastique si ses coefficientssont positifs ou nuls et si la somme des coefficients de chaque ligne est egale a un.

Montrer que le produit dedeuxmatrices stochastiques est encore unematrice sto-chastique. L’ensemble des matrices stochastiques est-il un espace vectoriel?

[ALG_Mat_42.tex]

Exercice ALG.2.4 Soit 𝑓 l’application

𝑓

|||||||||||||

R ⟶ 𝔐3 (R)

𝑥 ⟼

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 𝑥

−𝑥 1 −𝑥22

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

1 — L’application 𝑓 est-elle injective?2 — Soit (𝑥,𝑦) ∈R2. Calculer 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) et montrer que 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) ∈ 𝑓(R).3 — Montrer𝑓(R3) ⊂GL3(R). A-t-on𝑓(R3) =GL3(R)?Déterminer𝑓(𝑥)−1 pour tout𝑥 ∈R.4 — Soient 𝑥 ∈R et 𝑛 ∈N. Calculer 𝑓(𝑥)𝑛.

3.2. Représentation matricielle

[ALG_AppLin_55.tex]

Exercice ALG.2.5 On admet la linéarité des applications ci-dessous. Déterminerleur rang, ainsi que les valeurs propres lorsque la matrice associée est carrée.

1 — 𝑓1 ∶ (𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3 ⟼ (𝑥−𝑦+𝑧,2𝑧),2 — 𝑓2 ∶ (𝑥,𝑦) ∈R2 ⟼ (4𝑥−6𝑦,2𝑥−3𝑦). Calculer de plus 𝑓2 ∘𝑓2.3 — 𝑓3 ∶ (𝑥,𝑦) ∈R2 ⟼ (4𝑥+𝑦,𝑥−𝑦,2𝑥+3𝑦).

[ALG_AppLin_48.tex]

Exercice ALG.2.6 Soit A =⎛

⎝

1 1

1 1

⎞

⎠. On définit 𝑢 par : ∀M ∈ ℳ2(R), 𝑢(M) =

AM.



1 — Montrer que 𝑢 ∈ ℒ(ℳ2(R)).2 — Déterminer la matrice de 𝑢 dans la base canonique de ℳ2(R).3 — Déterminer le rang, le noyau et l’image de 𝑢.

[ALG_AppLin_67.tex]

Exercice ALG.2.7 Soient J =⎛

⎝

0 1

0 0

⎞

⎠et M =

⎛

⎝

−4 −3

12 8

⎞

⎠. Soit 𝑓 l’endomor-

phisme canoniquement associé à la matrice M.

1 — Calculer J2.2 — Déterminer Rg𝑓 et en déduire que 𝑓 est un automorphisme.

3 — Démontrer que lamatriceNde𝑓dansℬ =⎛

⎝

⎛

⎝

3

−6

⎞

⎠,⎛

⎝

−4

9

⎞

⎠

⎞

⎠est de la forme

𝑎I2 +𝑏J2 où 𝑎,𝑏 sont deux réels à déterminer.4 — Déterminer la matrice de 𝑓7 dans ℬ puis dans la base canonique.

[ALG_AppLin_56.tex]

Exercice ALG.2.8 Une propriété des polynômes de degré trois Soit 𝑓 l’applicationdéfinie par :

𝑓||||||

R3[X] ⟶ R4

P ⟼ (P(0),P′(1),P′′(2),P(3)(3)).

1 — Montrer que 𝑓 est linéaire et donner sa matrice M relativement aux basescanoniques.2 — M est-elle inversible? Si oui, donner M−1.3 — Soit P ∈R3[X]. Donner P′(0) et P′′(0) en fonction de P′(1), P′′(2) et P(3)(3).

[ALG_AppLin_57.tex]

Exercice ALG.2.9 Soit E =R[X], on définit

φ||||||

R[X] ⟶ R[X]

P ⟼ (2X+1)P(X)+ (1−X2)P′(X).

1 — Montrer que φ est linéaire et déterminer φ(X𝑘) pour tout 𝑘 ∈N.2 — Soit P ∈ E,P ≠ 0, comparer les degrés de P et de φ(P).3 — L’application φ est-elle injective? surjective?4 — Soit 𝑢 la restriction de φ à R2[X].4.1) Montrer que 𝑢 ∈ ℒ(R2[X]).4.2) 𝑢 est-elle injective? bijective?5 — Écrire la matrice U de 𝑢 dans la base canonique de R2[X].

[ALG_AppLin_66.tex]

Exercice ALG.2.10 Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynômesréelles définies sur R+⋆ de degré inférieur ou égal à 4. On considère

φ||||||

E ⟶ ℱ(R,R)

P ⟼ (𝑥 ⟼ P(𝑥)+2𝑥4P(1/𝑥)).

1 — Montrer que φ est un endomorphisme.2 — 2.1) Exprimer φ2 en fonction de φ et de l’identité.2.2) En déduire que φ est inversible et déterminer son inverse.2.3) Déterminer la matrice de φ canoniquement associée, et retrouver l’inversi-

bilité démontrée avant.[ALG_AppLin_51.tex]

Exercice ALG.2.11 Soit ℬ = (𝑒1,𝑒2,𝑒3,𝑒4) une base d’un espace vectoriel E. Ondéfinit 𝑓 ∈ ℒ(E) par 𝑓(𝑒𝑖) = 𝑒𝑖+1 pour 1 ⩽ 𝑖 ⩽ 3 et 𝑓(𝑒4) = 𝑒1.

1 — Justifier, sans calcul, que 𝑓 est un automorphisme.2 — Déterminer la matrice A de 𝑓 dans ℬ.3 — Déterminer l’application réciproque de 𝑓, et en déduire A−1.

3.3. Changements de base

[ALG_AppLin_52.tex]

Exercice ALG.2.12 (Solution : 45)

1 — Soient 𝑓1 = (1,2), 𝑓2 = (−3,1) et 𝑢 = (−1,4).



1.1) Justifier que ℬ = (𝑓1,𝑓2) est une base de R2.1.2) Donner les coordonnées de 𝑢 dans la base ℬ.

2 — Soit 𝑓 l’application de R2 dans R3 ayant pour matrice

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1

2 1

−1 3

⎞⎟⎟⎟⎠

dans les

bases canoniques ℬ𝑐 et ℬ′𝑐 respectivement de R2 et R3.

2.1) Déterminer 𝑓(𝑢), et Ker𝑓.2.2) Écrire lamatrice de 𝑓 dans les basesℬ etℬ′

𝑐 et l’utiliser pour retrouver 𝑓(𝑢).[ALG_AppLin_68.tex]

Exercice ALG.2.13 Soit 𝑓 l’application linéaire deR2 dansR2 dont lamatrice dans

la base canonique est A =⎛

⎝

2 −3

1 −2

⎞

⎠.

1 — Calculer l’image par 𝑓 des vecteurs 𝑓1 =⎛

⎝

3

1

⎞

⎠, 𝑓2 =

⎛

⎝

1

1

⎞

⎠. En déduire la ma-

trice B de l’application dans la base (𝑓1,𝑓2).

2 — Soit un vecteur qui a pour coordonnées⎛

⎝

𝑥

𝑦

⎞

⎠dans la base canonique et

⎛

⎝

𝑢

𝑣

⎞

⎠dans (𝑓1,𝑓2). Quelle est la matrice de changement de base P qui permet de

calculer⎛

⎝

𝑥

𝑦

⎞

⎠à partir de

⎛

⎝

𝑢

𝑣

⎞

⎠? Calculer P−1.

3 — Montrer que A = PBP−1 et que A𝑛 = PB𝑛P−1.4 — Calculer B𝑛 et en déduire A𝑛.5 — (Application à l’étude d’une suite récurrente linéaire) On définit les deuxsuites récurrentes linéaires (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) suivantes :5.1) 𝑢0 = 1,𝑣0 = 2, et les relations de récurrence :

5.2) ∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 −3𝑣𝑛, 𝑣𝑛+1 = 𝑢𝑛 −2𝑣𝑛.Déterminer les deux expressions des suites en fonction de 𝑛 ∈N.

[ALG_AppLin_19.tex]

Exercice ALG.2.14 Passage entre deux familles de polynômes (Solution : 46) Soient𝑛 ⩾ 1, ℬ = (1, ...,X𝑛−1) la base canonique de R𝑛−1[X], et (𝑒1, ...,𝑒𝑛) la base cano-nique de R𝑛.

1 — Soient 𝑎1 < ... < 𝑎𝑛, 𝑛 nombres réels. Montrer que l’application T ∶ P ∈R𝑛−1[X] ⟼ (P(𝑎1), ...,P(𝑎𝑛)) ∈ R𝑛 est isomorphisme. Justifier que la familleℬ′ =

(défi.)(L1,…,L𝑛) où L𝑖 = T−1(𝑒𝑖) pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K est une base de E.

2 — Calculer L𝑖(𝑎𝑗) pour tous couples (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑛K.3 — Déterminer les coordonnées d’un polynôme P ∈R𝑛−1[X] dans la base ℬ′.4 — OnnoteM lamatrice de passage deℬ àℬ′. Montrer queM = (𝑚𝑖,𝑗)1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛 estinversible, et calculer son inverse.5 — Calculer ∑𝑛

𝑗=1𝑚𝑖,𝑗 pour tout 𝑖 ∈ {1, ...,𝑛}.

3.4. Pour les 5/2

[ALG_Mat_2.tex]


1 — Soit A ∈ 𝔐2 (R) qui commute avec une matrice diagonale D ∈ 𝔐2 (R) à coef-ficients deux à deux distincts. Montrer que A est également diagonale.

2 — On note A =⎛

⎝

1 2

2 1

⎞

⎠. Trouver une matrice P ∈ 𝔐2 (R) inversible, telle que

P−1AP =⎛

⎝

−1 0

0 3

⎞

⎠.

3 — Résoudre l’équation X2 −2X = A d’inconnue X ∈ 𝔐2 (R). Indication : Onpourra introduire la matrice inconnue Y ∈ 𝔐2 (R) telle que X = PYP−1.



[ALG_Red_77.tex]

Exercice ALG.2.16 Extrait G2E 2019 (Solution : 47) On se place dans 𝔐2,2 (R) et onconsidère l’ensemble des matrices

ℰ =⎧⎨⎩

M𝑎,𝑏 =⎛

⎝

𝑎 𝑏

𝑏 𝑎

⎞

⎠, (𝑎,𝑏) ∈R2

⎫⎬⎭

.

1 — 1.1) Justifier que toute matrice appartenant appartenant à ℰ est diagonali-sable.

1.2) Démontrer que ℰ est un sous-espace vectoriel de 𝔐2,2 (R).1.3) Démontrer enfin que toutes les matrices de ℰ commutent entre elles.2 — Soient les quatre matrices

I =⎛

⎝

1 0

0 1

⎞

⎠, J =

⎛

⎝

0 1

1 0

⎞

⎠U =

⎛

⎝

12

12

12

12

⎞

⎠, V =

⎛

⎝

12 − 1

2

− 12

12

⎞

⎠.

2.1) Vérifier que ℬ = (I, J) est une base de ℰ. Quelle est la dimension de ℰ?2.2) Quelles sont les coordonnées de M𝑎,𝑏 dans cette base ℬ?3 — 3.1) Démontrer que ℬ = (U,V) est également une base de E et déterminer

la matrice de passage de ℬ vers ℬ′.3.2) Calculer U𝑛 et V𝑛 pour 𝑛 ≠ 0 et le produit UV.3.3) Déterminer enfin les coordonnées de M𝑛

𝑎,𝑏 dans la base ℬ′.[ALG_CCAgroVeto_8.tex]

Exercice ALG.2.17 (Solution : 48) Soient I2 =⎛

⎝

1 0

0 1

⎞

⎠, J =

⎛

⎝

0 1

1 0

⎞

⎠et pour un réel

𝑎 ∈ [0,1], on pose :

M𝑎 =⎛

⎝

𝑎 1−𝑎

1−𝑎 𝑎

⎞

⎠.

On note E = 𝔐2 (R), et

ℳ = {M𝑎, 𝑎 ∈ [0,1]} , F =⎧⎨⎩

⎛

⎝

𝑑 𝑐

𝑐 𝑑

⎞

⎠, 𝑐,𝑑 ∈R

⎫⎬⎭

.

On dit qu’une matrice M est extrémale de ℳ, si lorsque M s’écrit M =12(M1 +M2)

avec M1,M2 ∈ A, alors M = M1 = M2. Autrement dit, tout isobarycentre de deuxmatrices est alors forcément l’une des deux extrémités.

1 — TERMINALPython Écrire une fonction Python TestM qui prend en argument une matriceM sous forme de liste de listes, et qui renvoie un booléen, True si M appartient àℳ, False sinon.2 — Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E, et en donner une base.3 — (Stabilité deℳ)3.1) Soit M𝑎 une matrice de ℳ. Exprimer M𝑎 en fonction de I2 et J.3.2) Soient 𝑎 et 𝑏 de [0,1], montrer que 1

2 (M𝑎 +M𝑏) ∈ ℳ.4 — (Extrema deℳ)4.1) Montrer que I2 et J sont des extrema de A.4.2) Montrer que M𝑎 = 1

2 (M2𝑎 +J), en déduire que M𝑎 n’est pas un extrema de Apour 𝑎 ∈]0,1/2[. Faire de-même pour 𝑎 ∈ [1/2,1[ Indication : On pourrachercher une relation comme supra mais faisant intervenir M2𝑎−1 et I.

4.3) Conclure.5 — Montrer que pour toute matrice M de ℳ, 1 ≤ RgM ≤ 2.




Solution (exercice ALG.2.1) (Énoncé : 40) Une simple récurrence montre que : A𝑛 =⎛⎜⎜⎜⎝

0 𝑛 𝑛(𝑛−1)2

0 1 𝑛

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

. D’autre part, on peut séparer en une partie nilpotente et une

partie diagonale : A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

=I3

+

⎛⎜⎜⎜⎝

0 1 0

0 0 1

0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

∶=N

. Comme les matrices I3 et N

commutent, le binôme de Newton nous donne : A𝑛 = I+𝑛B+ 𝑛(𝑛−1)2 B2, puisque

B3 = 0𝔐3,3(R).


1 — On cherche donc à résoudre en X ∈ 𝔐𝑛,1 (K) le système (−λI3) = 0. Échelon-nons la matrice associée

⎛⎜⎜⎜⎝

2−λ 0 1

1 1−λ 0

−1 1 3−λ

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

−1 1 3−λ

1 1−λ 0

2−λ 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

L1 ↔ L3

=

⎛⎜⎜⎜⎝

−1 1 3−λ

0 2−λ 3−λ

0 2−λ 1+(3−λ)(2−λ)

⎞⎟⎟⎟⎠

L2 ↔ L2 +L1, L3 ← L3 +(2−λ)L1

=

⎛⎜⎜⎜⎝

−1 1 3−λ

0 2−λ 3−λ

0 0 (λ−2)2

⎞⎟⎟⎟⎠

L3 ↔ L3 −L2

Donc :

X =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ Ker(A−λI3) ⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−𝑥+𝑦+(3−λ)𝑧 = 0

(2−λ)𝑦+ (3−λ)𝑧 = 0

(λ−2)2𝑧 = 0

.

Ainsi, si λ = 2, on obtient comme système :⎧⎨⎩

−𝑥+𝑦+𝑧 = 0

𝑧 = 0donc l’ensemble

des solutions est Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

0

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Sinon, l’unique solution est

⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎠

.

2 — En utilisant l’algorithme du pivot de Gauß, on trouve que P est inver-

sible d’inverse P−1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 1 0

1 −1 0

−1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

. Un calcul de produit matriciel montre que

T = P−1AP =

⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 0

0 2 1

0 0 2

⎞⎟⎟⎟⎠

.

3 — Ainsi A = PTP−1 et montrons par récurrence sur 𝑛 ∈N que A𝑛 = PT𝑛P−1.

CLONEInitialisation. Pour 𝑛 = 0 la propriété est immédiate.CLONEHérédité. Supposons la propriété vraie au rang 𝑛 ∈ N, alors A𝑛+1 = A𝑛A =



PT𝑛P−1PTP−1 = PT𝑛+1P−1. La propriété est donc vraie pour tout 𝑛 ∈ N par prin-cipe de récurrence.

4 — On peut séparer en deux la matrice T : T = 2I3 +N où N =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 1 0

1 0 1

0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

. On

vérifie facilement que N2 =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 1

0 0 0

0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

, puis que N3 = 0, et que 2I3 commute

avec N. Donc, d’après le binôme de Newton matriciel :

T𝑛 = (𝑛0)2𝑛I3 +(

𝑛1)2𝑛−1I3N+(

𝑛2)2𝑛−2I3N2 +0.

Après calculs, on trouve finalement :

T𝑛 =

⎛⎜⎜⎜⎝

2𝑛 𝑛2𝑛−1 𝑛(𝑛−1)2𝑛−3

0 2𝑛 2𝑛

0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

.

5 — Puis A𝑛 = P⎛

⎝

2𝑛 𝑛2𝑛−1 𝑛(𝑛−1)2𝑛−3

0 0 2𝑛

⎞

⎠P−1 = ....


1 — 1.1) La famille ℬ est une base de R2 si et seulement si son rang vaut deux.Comme nous avons deux vecteurs en dimension deux, ceci est équivalent à⎛

⎝

1 2

−3 1

⎞

⎠inversible. Puisque

||||||

1 2

−3 1

||||||= 7 ≠ 0, nous obtenons bien que

ℬ est une base de R2 .

1.2) De plus on cherche λ,μ dans R2 tels que : 𝑢 = λ𝑒1 + μ𝑒2 soit donc lesystème suivant à résoudre :

⎧⎨⎩

−1 = λ−3μ

4 = −3λ+μ⟺ μ =

67,λ =

117

.

Les coordonnées de 𝑢 dans la base ℬ sont donc : μ = 67 ,λ = 11

7 .2 — 2.1) Par définition de la matrice, nous avons :

𝑓(𝑢) = 𝑓(−1(1,0)+4(0,1)) = −1𝑓(1,0)+4𝑓(0,1) = −1(1,2,−1)+4(1,1,3) = (3,2,13)

où nous avons utilisé les trois colonnes de la matrice pour calculer 𝑓(1,0)et 𝑓(0,1). Donc 𝑓(𝑢) = (3,2,13). On résout tout d’abord en (𝑥,𝑦) le systèmesuivant :⎛⎜⎜⎜⎝

1 1

2 1

−1 3

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛

⎝

𝑥

𝑦

⎞

⎠=

⎛

⎝

0

0

⎞

⎠⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑥+𝑦 = 0

2𝑥+𝑦 = 0

−𝑥+3𝑦 = 0

⟺ 𝑥 = 𝑦 = 0.

Donc Ker𝑓 = {(0,0)} .2.2) On a : ℳat

ℬ,ℬ′𝑐(𝑓) = ℳat

ℬ′𝑐,ℬ′

𝑐(IdR2) ℳat

ℬ𝑐,ℬ′𝑐(𝑓) ℳat

ℬ,ℬ𝑐(IdR2) = ℳat

ℬ𝑐,ℬ′𝑐(𝑓) ℳat

ℬ,ℬ𝑐(IdR2) =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1

2 1

−1 3

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛

⎝

1 −3

2 1

⎞

⎠=

⎛⎜⎜⎜⎝

3 −2

4 −5

5 6

⎞⎟⎟⎟⎠

. On en déduit alors 𝑓(𝑢) de matrice

⎛⎜⎜⎜⎝

3

2

13

⎞⎟⎟⎟⎠

dans la base canonique ℬ′𝑐 comme nous l’avons prouvé avant.

On a : ℳatℬ′𝑐

(𝑓(𝑢)) = ℳatℬ,ℬ′

𝑐(𝑓) ℳat

ℬ(𝑢) =

⎛⎜⎜⎜⎝

3 −2

4 −5

5 6

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛

⎝

11/7

6/7

⎞

⎠=

⎛⎜⎜⎜⎝

3

2

13

⎞⎟⎟⎟⎠

.



d’après la première question. Le dernier vecteur est écrit dans ℬ′𝑐, la base

canonique de R3.On retrouve bien 𝑓(𝑢) = (3,2,13).


1 — On vérifie tout d’abord que T est une application linéaire.La deuxième partie de la question incite à justifier que T est un isomorphisme. Sic’est le cas, T−1 en est un aussi, et la famille ℬ′ sera donc l’image de ℬ par un iso-morphisme donc ℬ′ sera une base.Comme dimR𝑛−1[X] = dimR𝑛, il suffit de regarder le noyau de T. Soit P ∈ KerT.Alors P s’annule en 𝑎1, ...,𝑎𝑛. Comme P est de degré au plus 𝑛−1 il est forcémentnul.Conclusion : T est un isomorphisme.En Français : soit 𝑖 ∈ {1, ...,𝑛}. L’égalité L𝑖 = T−1(𝑒𝑖) signifie que T(L𝑖) =(L𝑖(𝑎1), ...,L𝑖(𝑎𝑛)) = (0, ....,0,1,0, ...,0) (1 en position 𝑖) i.e. L𝑖(𝑎𝑘) = δ𝑖,𝑘 pour tout𝑘 ∈ {1, ...,𝑛}.2 — Par définition de L𝑖, nous avons T(L𝑖) = 𝑒𝑖 = (0,…,0,𝑖,0,…,0). Donc finale-ment L𝑖(𝑎𝑗) = 1 si 𝑖 = 𝑗 et 0 sinon.3 — Soit P ∈ R𝑛−1[X]. Comme la famille ℬ′ est une base, il existe une unique fa-mille (μ𝑖)𝑛𝑖=1 telle que P = ∑𝑛

𝑖=1μ𝑖L𝑖 donc en évaluant en 𝑎𝑘 pour tout 𝑘 ∈ {1, ...,𝑛}on a P(𝑎𝑘) = μ𝑘 ×1+0. Ainsi P = ∑𝑛

𝑖=1 P(𝑎𝑖)L𝑖, on a déterminé ses coordonnées.4 — Comme M est une matrice de passage entre deux bases, elles est inversibled’inverse la matrice de passage entre ℬ′ et ℬ.Calculons M−1 : dans cette matrice en met donc les éléments de la base ℬ expri-més dans la baseℬ′. Soit𝑘 ∈ {0, ....,𝑛−1}. AlorsX𝑘 = ∑𝑛

𝑖=1𝑎𝑘𝑖 L𝑖 d’après la question

précédente. On obtient finalement la matrice suivante :

M−1 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 𝑎1 … 𝑎𝑛−11

1 𝑎2 … 𝑎𝑛−12

1 𝑎𝑛 … 𝑎𝑛−1𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

5 — On a M =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑚1,1 … 𝑚1,𝑛

𝑚2,1 … 𝑚2,𝑛

𝑚𝑛,1 … 𝑚𝑛,𝑛−1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

et M−1 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 𝑎1 … 𝑎𝑛−11

1 𝑎2 … 𝑎𝑛−12

1 𝑎𝑛 … 𝑎𝑛−1𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

avec

MM−1 = I𝑛. En regardant le coefficient (1,1) du produit matriciel MM−1 = I𝑛 onobtient ∑𝑛

𝑗=1𝑚1,𝑗 = 1. Les coefficient (2,1) jusque (𝑛,1) donnent ∑𝑛𝑗=1𝑚𝑖,𝑗 = 0 pour

𝑖 ∈ {2, ...,𝑛}.


1 — On note D = Diag (λ1, ....,λ𝑛) avec λ𝑖 ≠ λ𝑗 pour tout 𝑖 ≠ 𝑗 et A = (𝑎𝑖,𝑗)1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛,les coefficients de A. L’égalité AD = DA donne pour tout 𝑖, 𝑗 : 𝑎𝑖,𝑗λ𝑗 = λ𝑖𝑎𝑖,𝑗, d’oùpar hypothèse 𝑎𝑖,𝑗 = 0 pour tout couple (𝑖, 𝑗) tel que 𝑖 ≠ 𝑗.La matrice A est donc nécessairement diagonale.

2 — Prenant une matrice P =⎛

⎝

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

⎞

⎠avec (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) ∈ R4, on trouve P =

⎛

⎝

0 1

0 1

⎞

⎠qui convient en remplaçant dans l’égalité matricielle AP = P

⎛

⎝

−1 0

0 3

⎞

⎠.

3 — Notons D =⎛

⎝

−1 0

0 3

⎞

⎠. Alors l’équation se réecrit (P−1XP)2 − 2P−1XP = D,

ce qui est donc une équation en l’inconnue Y = P−1XP. Prenons Y sous la forme

Y =⎛

⎝

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

⎞

⎠, on résout alors Y2 −2Y = D = Y(Y−2I2). Si Y est une solution alors

YD = DY puisque D est un polynôme en Y.

Donc Y est également une matrice diagonale de la forme⎛

⎝

α 0

0 β

⎞

⎠. En injectant

dans l’identité on trouve α2 −2α = −1 et β2 −2β = 3. Donc α = 1 et β ∈ {3,−1}.




1 — Soit 𝑥 ∈R et M𝑎,𝑏 =⎛

⎝

𝑎 𝑏

𝑏 𝑎

⎞

⎠, (𝑎,𝑏) ∈R2 un élément de ℰ. Alors :

det(M𝑎,𝑏 −𝑥I2) = (𝑎 −𝑥)2 −𝑏2 = (𝑎−𝑥−𝑏)(𝑎 −𝑥+𝑏).

Les racines de ce trinôme en 𝑥 sont 𝑎 ±𝑏, elles sont distinctes si 𝑏 ≠ 0 donc a for-tiori M𝑎,𝑏 est diagonalisable dans ce cas.Étudions le cas 𝑏 = 0 : nous avons M𝑎,0 = 𝑎I2, et 𝑎I2 est évidemment diagonali-sable car déjà diagonale. Donc : toute matrice de ℰ est diagonalisable.1.1) Nous avons ℰ = Vect(I, J) où les matrices I, J sont introduites dans l’énoncé,

et I, J ∈ 𝔐2 (R) doncℰ est un sous-espace vectoriel de 𝔐2 (R) .

1.2) SoientM𝑎,𝑏 = 𝑎I+𝑏J etM𝑎′,𝑏′ = 𝑎′I+𝑏′Jdeux éléments deℰ avec𝑎,𝑏,𝑎′,𝑏′ ∈R. Nous avons, puisque J2 = I,

M𝑎,𝑏M𝑎′,𝑏′ = (𝑎I+𝑏J)(𝑎′I+𝑏′J)= 𝑎𝑎′I+𝑎𝑏′J+𝑏𝑎′J+𝑏𝑏′J2 = 𝑎𝑎′I+𝑎𝑏′J+𝑏𝑎′J+𝑏𝑏′I

= M𝑎𝑎′+𝑏𝑏′,𝑎𝑏′+𝑏𝑎′ ∈ ℰ .

2 — 2.1) Comme nous l’avons mentionné plus haut, la famille (I, J) est claire-ment génératrice. Reste à montrer la liberté : soit (λ,μ) ∈R2 tel que λI+μJ =0, alors λ = 0 et μ = 0 en regardant l’égalité coordonnée par coordonnée.Donc (I, J) est libre. Ainsi, (I, J) est une base de ℰ et dimℰ = 2.

2.2) Puisque M𝑎,𝑏 = 𝑎I+𝑏J, les coordonnées de M𝑎,𝑏 dans ℬ sont 𝑎 et 𝑏.

3 — 3.1) Nous avons ℬ′ = (U,V) = ( 12 (I+ J), 12 (I− J)). Par ailleurs, puisque la fa-mille possède deux éléments et que dimℰ = 2, il suffit de montrer que ℬ′

est libre.En effet, soit (λ,μ) ∈ R2 tel que λ

2 (I + J) + μ2 (I − J) = 0, alors λ+μ

2 I + λ−μ2 J = 0,

donc puisque (I, J) est une base il vient :

λ+μ = 0, λ−μ = 0 ⟹ λ = 0 = μ.

Conclusion : la famille ℬ′ est une base de ℰ.On travaille avec des bases d’un espace de dimension 2 (celle de l’espaceℰ), donc la matrice de passage Pℬ→ℬ′

sera de format 2× 2. Par définition,

Pℬ→ℬ′= ℳat

ℬ′,ℬ(Id) =

⎛

⎝

12

12

12 − 1

2

⎞

⎠.

3.2) Nous avons d’abord :

UV =14(I+ J)(I− J) =

14(I− J+ J− J2) =

14(I− I) = 0 .

On a U2 = U et V2 = V en calculant le produit matriciel, donc par récurrenceimmédiate : U𝑛 = U, V𝑛 = V.

3.3) Tout d’abord, d’après la formule de changement de base, nous avons :

ℳatℬ

(M𝑎,𝑏) = ℳatℬ′,ℬ

(Id) ℳatℬ′

(M𝑎,𝑏) = Pℬ→ℬ′ℳatℬ′

(M𝑎,𝑏) .

Donc

ℳatℬ′

(M𝑎,𝑏) =⎛

⎝

12

12

12 − 1

2

⎞

⎠

−1

ℳatℬ

(M𝑎,𝑏) =⎛

⎝

1 1

1 −1

⎞

⎠

⎛

⎝

𝑎

𝑏

⎞

⎠=

⎛

⎝

𝑎+𝑏

𝑎−𝑏

⎞

⎠.

Cette écriture signifie que nous avons l’égalité suivante dans 𝔐2 (R) :

M𝑎,𝑏 = (𝑎+𝑏)U+(𝑎−𝑏)V.

Pour avoir les coordonnées de M𝑛𝑎,𝑏, il reste à élever cette égalité à la puis-

sance 𝑛 en utilisant la formule du binôme de NEWTON étant donné queUV = VU = 0. D’où pour 𝑛 ≠ 0 :

M𝑛𝑎,𝑏 =

𝑛∑𝑘=0

(𝑛𝑘)(𝑎 +𝑏)𝑘(𝑎 −𝑏)𝑛−𝑘U𝑘V𝑛−𝑘

= (𝑎−𝑏)𝑛V𝑛 +[𝑛−1∑𝑘=1

(𝑛𝑘)(𝑎 +𝑏)𝑘(𝑎 −𝑏)𝑛−𝑘]UV+(𝑎+𝑏)𝑛U𝑛

= (𝑎−𝑏)𝑛V+0+(𝑎 +𝑏)𝑛U.



Nous obtenons la combinaison linéaire cherchée :

M𝑛𝑎,𝑏 = (𝑎+𝑏)𝑛U+(𝑎−𝑏)𝑛V .


Python1 —1 def TestM(M):

2 '''3 teste si une matrice est dans M4 '''5 a = M[0][0]6 return M[1][1] == a and M[0][1] == M[1][0] == 1 - a

2 — On a clairement F = Vect (I2, J) donc F est un sous-espace vectoriel de𝔐2,2 (R). La famille (I2, J) est clairement une famille libre et génératrice parconstruction, donc (I2, J) est une base de F. C’est un espace vectoriel de dimen-sion 2.3 — (Stabilité de A)3.1) Soit M𝑎 une matrice de ℳ. Alors M𝑎 = 𝑎I2 +(1−𝑎)J.

3.2) Soient 𝑎 et 𝑏 de [0,1], alors 12 (M𝑎 +M𝑏) =

⎛

⎝

𝑎+𝑏2

2−𝑎−𝑏2

2−𝑎−𝑏2

𝑎+𝑏2

⎞

⎠. Cette matrice

se réecrit aussi : 12 (M𝑎 +M𝑏) =

⎛

⎝

𝑎+𝑏2 1− 𝑎+𝑏

2

1− 𝑎+𝑏2

𝑎+𝑏2

⎞

⎠∈ M𝑎, puisque 0 ⩽

𝑎+𝑏2 ⩽ 1+1

2 = 1.4 — (Extrema de A)4.1) Commençons par I2. Soient 𝑎,𝑏 ∈ [0,1] tels que I2 = 1

2 (M𝑎 + M𝑏) =⎛

⎝

𝑎+𝑏2 1− 𝑎+𝑏

2

1− 𝑎+𝑏2

𝑎+𝑏2

⎞

⎠. Alors 𝑎+𝑏

2 = 1 et 1− 𝑎+𝑏2 = 0, ce qui donne 𝑎 +𝑏 = 2.

Mais comme 𝑎,𝑏 ∈ [0,1], 𝑎 = 𝑏 = 1 donc M𝑎 = M𝑏 = I2.De-même pour J, on obtient les conditions 𝑎+𝑏

2 = 0,1 − 𝑎+𝑏2 = 1, donc

𝑎 + 𝑏 = 0 ce qui donne 𝑎 = 𝑏 = 0 puisque 𝑎,𝑏 ⩾ 0, M𝑎 = M𝑏 = J. Ain-si, les matrices I2, J sont extrêmales dans ℳ. En d’autres termes, M0 et M1sont des extrema de ℳ.

4.2) L’égalité M𝑎 = 12 (M2𝑎 + J) provient d’un simple calcul matriciel. Soit 𝑎 ∈

]0,1/2[. Comme 2𝑎 ∈]0,1[, la matrice M2𝑎 est dans ℳ et J ∈ ℳ donc commeM2𝑎 ≠ M𝑎 et que J ≠ M𝑎, nous obtenons que M𝑎 n’est pas extrêmale lorsque𝑎 ∈]0,1/2[.Passons au cas 𝑎 ∈]1/2,1[ alors 2𝑎 −1 ∈]0,1[. Cherchons à décomposer M𝑎comme cela a été fait précédemment.

M𝑎 =12

⎛

⎝

2𝑎 2−2𝑎

2−2𝑎 2𝑎

⎞

⎠=

12

⎛

⎝

⎛

⎝

2𝑎−1 2(1−𝑎)

2(1−𝑎) 2𝑎−1

⎞

⎠+I

⎞

⎠,

et on reconnaît dans l’égalité précédente : M𝑎 = 12 (M2𝑎−1 +I). Comme

𝑎 ∈ [1/2,1[, M𝑎 ≠ I et M2𝑎−1 ≠ I, donc M𝑎 n’est pas extremale. On déduitalors que M𝑎 n’est pas un extrema de A pour 𝑎 ∈]0,1[.

4.3) Les seules matrices extremales de ℳ sont donc les matrices I2 et J.5 — Soit M ∈ ℳ. Aucune matrice de ℳ n’est de rang nul puisque la matrice nullen’est pas dans ℳ. De plus, les matrices de ℳ sont de format 2×2 donc le rang estmajoré par 2.


Chapitre ALG.3. Diagonalisation

CHAPITRE ALG.3Diagonalisation

Résumé & Plan

DAns beaucoup de contextes, nous pourrions avoir besoin de calculer par exemple les puissances d’une matrice. Nousallons voir dans ce chapitre que si lamatrice considérée est semblable à unematrice diagonale, alors un calcul explicitepeut être mis en place. Avant de commencer la lecture de ce chapitre, revoyez la méthode vue dans le Chapitre ALG.2pour les calculs de valeurs propres d’une matrice.

W

1. Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Pour un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Pour une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Calcul effectif en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Utilisation d’un polynôme annulateur . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Et en Python? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Critère de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. Familles de vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Critère de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Calculs des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Calculs de racines de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Calculs de commutants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4. Résolution de systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . 22

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1. Calculs d’éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Pour des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3. Pour des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4. Autour des polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . 25

4.5. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


Les mathématiques sont un jeu que l’on exerce selon desrègles simples en manipulant des symboles ou desconcepts qui n’ont en soi, aucune importance particulière.

—David Hilbert



CadreCOGS

Dans tout le chapitre,Caret-right K désignera R ou C,Caret-right E est un espace vectoriel sur K.Caret-right sauf mention du contraire, 𝑓 désignera un endomorphisme de E, et

A est unematrice de 𝔐𝑛 (K).

Supposons dans cette introduction que E est de dimension finie 𝑛 ∈ N. L’objec-tif sera de trouver une base dans laquelle la matrice de 𝑓 est «simple», i.e. soitdiagonale soit triangulaire. En BCPST, vous devrez savoir répondre à la premièrequestion.

Diagonaliser : pourquoi ? La première application est le calcul des puissancesd’une matrice ou d’un endomorphisme (qui elle-même en induit beaucoupd’autres). Par exemple,

1 — supposons que nous ayons trouvé une baseℬ telle que : ℳatℬ

(𝑓) = D avecD diagonale. Alors ℳat

ℬ(𝑓𝑛) = D𝑛, et D𝑛 se calcule simplement puisqu’elle est

diagonale !2 — Nous pouvons aussi adopter un point de vue purement matriciel. Soit A ∈𝔐𝑛 (K), alors notons

𝑓 ∈ ℒ(𝔐𝑛,1 (K) ,𝔐𝑛,1 (K))

l’endomorphisme canoniquement associé à A, i.e. tel que ℳatℬcan

(𝑓) = A où ℬcan

désigne labase canoniquede𝔐𝑛,1 (K). S’il existeunebaseℬ telle que ℳatℬ

(𝑓) =D avec D diagonale, alors il existe une matrice inversible P ∈ GL𝑛(K) (plus préci-sément la matrice de passage de ℬcan à ℬ) telle que :

A = PDP−1 ⟹ ∀𝑛 ∈N, A𝑛 = PD𝑛P−1.

Étant donnée une matrice, tout l’enjeu est donc de proposer dans ce chapitre uneméthode pour trouver les matrices P et D indiquées supra. Notons que si ℬ =

(𝑒1,⋯,𝑒𝑛) avec 𝑒𝑖 ∈ E pour tout 𝑖, alors nécessairement, puisque ℳatℬ

(𝑓) = D estdiagonale, les 𝑒𝑖 vérifient :

𝑓(𝑒𝑖) = λ𝑖𝑒𝑖, avec λ𝑖 ∈K pour tout 𝑖.

Nous dirons que 𝑒𝑖 un vecteur propre de 𝑓 (ou A) associé à la valeur propre λ𝑖.Notons également que les 𝑒𝑖 sont nécessairement non nuls, puisque ℬ est unebase de E.

1. ÉLÉMENTS PROPRES

Dans la définition qui suit, E ne sera pas forcément de dimension finie. On donnedans cette section la définition générale d’un élément propre (valeur ou vecteur),vous noterez que la définition pour les matrices avait déjà été donnée pour desmatrices.

1.1. Pour un endomorphisme

Définition ALG.3.1 | Éléments propres d’un endomorphisme

1 — Ondit queλ ∈K est une valeur propre de 𝑓 si : ∃𝑥 ∈ E ⧵{0E} , 𝑓(𝑥) = λ𝑥.Un tel vecteur 𝑥 est appelé vecteur propre de 𝑓 associé à la valeur propre λ.2 — L’ensemble des valeurs propres de 𝑓 est appelé spectre (sur K) de 𝑓 no-té SpecK 𝑓 ou simplement Spec𝑓 si le contexte est clair. Si K = C, on ap-pelle spectre réel (ou spectre sur R) de 𝑓, noté SpecR(𝑓), l’ensemble des va-leurs propres réelles de 𝑓, i.e. l’ensemble des λ ∈ R pour lesquelles il existe𝑥 ∈ E ⧵{0E} , 𝑓(𝑥) = λ𝑥.3 — On appelle espace propre associé à la valeur propre λ ∈ K l’ensemble

Eλ(𝑓) = Ker(𝑓 −λ IdE) = {𝑥 ∈ E, 𝑓(𝑥) = λ𝑥} .



Remarque 1.1— L’ensemble Eλ(𝑓) est donc composé des vecteurs propres et duvecteur nul. Si λ n’est pas une valeur propre, alors Eλ(𝑓) est réduit au vecteur nul.

Attention×

Un vecteur propre est non nul, par définition!

Remarque 1.2—

1 — A priori on peut avoir SpecR(𝑓) = ∅, nous verrons en revanche plus tard queSpecC(𝑓) est systématiquement non vide.2 — Lorsque K=R, on a par définition SpecR(𝑓) = Spec(𝑓).

Étant donné que Eλ(𝑓) est le noyau d’un certain endomorphisme, c’est en parti-culier un sous-espace vectoriel de E. Les résultats du Chapitre ALG.1 nous per-mettent alors de d’aboutir à la caractérisation suivante.

Proposition ALG.3.1 | Caractérisation des éléments propres d’un endo-morphisme

Supposons que E est de dimension finie 𝑛, et soit λ ∈K.1 — Eλ(𝑓) est un sous-espace vectoriel de E,2 — (Caractérisation des éléments propres)

λ est valeur propre de 𝑓⟺ Ker(𝑓 −λ IdE) ≠ {0E} ⟺ dimKer(𝑓 −λ IdE) ≥ 1⟺ 𝑓−λ IdE non injective ⟺ 𝑓−λ IdE non bijective⟺ 𝑓−λ IdE non surjective⟺ Rg(𝑓 −λ IdE) < 𝑛.

Preuve (Point clef — En dimension finie, pour des endomorphismes :«surjectif ⟺ injectif ⟺ bijectif»)

PEN-FANCY

1.2. Pour une matrice

Définition ALG.3.2 | Éléments propres d’unematriceSoit A ∈ 𝔐𝑛 (R) avec 𝑛 ⩾ 1.1 — On dit que λ ∈ K est une valeur propre de A si : ∃X ∈

𝔐𝑛,1 (K) ⧵{0𝔐𝑛,1(K)} , AX = λX. Un tel vecteur X est appelé vecteur propre deA associé à la valeur propre λ.2 — L’ensemble des valeurs propres de A est appelé spectre (sur K) de A no-té SpecK A ou simplement SpecA si le contexte est clair. Si K = C, on ap-pelle spectre réel (ou spectre sur R) de A, noté SpecR(A), l’ensemble des va-leurs propres réelles de A, i.e. l’ensemble des λ ∈ R pour lesquelles : ∃X ∈

𝔐𝑛,1 (R) ⧵{0𝔐𝑛,1(R)} , AX = λX.3 — On appelle espace propre associé à la valeur propre λ ∈ K l’ensemble

Eλ(A) = Ker(A−λI𝑛) = {X ∈ 𝔐𝑛,1 (K) , AX = λX}.

Rappelons que l’assertion « le système (A − λI𝑛)X = 0, en X ∈𝔐𝑛,1 (K) , n’est pas de Cramer» signifie que le système admet une solutionnon nulle.



Proposition ALG.3.2 | Caractérisationdes éléments propres d’unematriceSoit λ ∈K.1 — Eλ(A) est un sous-espace vectoriel de E,2 — (Caractérisation des éléments propres)

λ est valeur propre de A ⟺ le système (A−λI𝑛)X = 0,n’est pas de Cramer, en X ∈ 𝔐𝑛,1 (K) ,

⟺ A−λI𝑛 non inversible,⟺ Rg(A−λI𝑛) < 𝑛.

Preuve Découle directement de la proposition analogue pour les en-domorphismes, en considérant l’endomorphisme canoniquement associé àA.

Proposition ALG.3.3 | Lien entre les deux définitionsSupposons qu’il existe une base ℬ de E, telle que A = ℳat

ℬ(𝑓) . Alors :

1 — λ ∈ Spec(𝑓) ⟺ λ ∈ Spec(A),2 — soit alors 𝑥 ∈ E et X = ℳat

ℬ(𝑥) , alors 𝑥 ∈ Eλ(𝑓) ⟺ X ∈ Eλ(A).

Remarque 1.3 — L’espace vectorielE est donc supposédedimensionfinie ici dansla proposition précédente.

Preuve1 — Si λ ∈ Spec(𝑓), alors il existe 𝑥 ∈ E ⧵ {0E}. En posant X = ℳat

ℬ(𝑥) on

a AX = λX avec X ≠ 0, donc λ ∈ Spec(A). Inversement, si X est un vecteurpropre non nul de A, on a 𝑓(𝑥) = λ𝑥 avec 𝑥 l’unique vecteur de E tel queX = ℳat

ℬ(𝑥) .

2 — En observant la première partie, on constate que 2) a également étéprouvée.

Proposition ALG.3.4 | Bijectivité & Valeur propre nulle1 — 0 ∈ Spec(𝑓) ⟺ 𝑓 non bijective.2 — 0 ∈ Spec(A) ⟺ A non inversible.

Preuve

PEN-FANCY

Pour les endomorphismes en dimension finie, i.e. les matrices, nous avons dé-jà vu comment calculer les valeurs propres dans le Chapitre ALG.2. Voyons deuxpremiers exemples avec des fonctions et suites.

Exemple 1— Sur un espace de fonctions Soit E = 𝒞∞(R) et D l’endomorphismede E qui à 𝑓 associe 𝑓′. Déterminer les valeurs propres de D et les sous-espacespropres associés.

PEN-FANCY

Exemple 2— Surunespacede suites SoitE =RN etD l’endomorphismedeEqui à(𝑢𝑛)𝑛∈N associe (𝑢𝑛+1)𝑛∈N. Déterminer les valeurs propres deD et les sous-espacespropres associés.

PEN-FANCY



Proposition ALG.3.5 | Propriétés des éléments propresSoient A,B ∈ 𝔐𝑛 (K). Alors :1 — (Translation) si 𝑎 ∈K, λ ∈ SpecA ⟺ λ+𝑎 ∈ Spec(A+𝑎I𝑛).2 — (Transposition) Spec(A) = Spec(⊤A).3 — (Similitude) SiA est semblable àB, i.e. s’il existeP inversible de format𝑛×𝑛 telle que : A = PBP−1, alors Spec(A) = Spec(B).

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

3 — PEN-FANCY

1.3. Calcul effectif en dimension finie

Nous supposons dans cette section que E est dimension finie, auquel cas nouspouvons utiliser des matrices pour trouver les éléments propres.Pour vérifier les conditions de la Proposition ALG.3.1, on a recours à une matriceassociée dans une certaine base.

Calcul des valeurs propres par la méthode du Pivot de Gauß . Il s’agit donc d’ap-pliquer l’algorithme du pivot de Gauß à la matrice A−λI𝑛. Rappelons la méthodeci-dessous vue dans le Chapitre ALG.2.


Caret-right Si le coefficient (3,1) n’est pas nul :1 — l’opération optimale à effectuer en premier pour des matrices detaille 3×3 est la permutation L1 ⟷ L3 qui permettra d’obtenir un co-efficient indépendant deλ enposition (1,1). On élimine alors avec celui-ci les coefficients (2,1), (3,1).2 — Ensuite, en position (2,2), nous avons un coefficient affine en λ etque l’on souhaite utiliser en nouveau pivot afin d’éliminer le coefficient(3,2). Pour éliminer λ en (2,2), on peut faire une opération simple enfonction de L3.3 — Un pivot indépendant de λ est alors obtenu en (2,2), on peut alorséliminer le coefficient (3,2).

Caret-right Si le coefficient (3,1) est nul :1 — on fait la permutation L1 ⟷ L2 qui permettra d’obtenir un coef-



WRENCH ficient indépendant deλ enposition (1,1). On élimine alors avec celui-cile coefficient (3,1).2 — En positions (2,2), nous avons un coefficient indépendant de λ quisert à éliminer le coefficient (3,2).

Refaisons un exemple pour fixer la méthode.

Exemple 3— Trouver les éléments propres de : A =

⎛⎜⎜⎜⎝

7 −3 −5

4 −1 −4

6 −3 −4

⎞⎟⎟⎟⎠

.

PEN-FANCY

La plupart du temps les calculs effectifs auront lieu en petite dimension, néan-moins voyons un exemple en dimension 𝑛.1

Exemple 4— Notons M =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 0 0

0

0 1

1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐𝑛,𝑛 (R) avec 𝑛 ⩾ 2. Déterminons

ses éléments propres.2

PEN-FANCY

1Demandé notamment lors de l’épreuve de Calculs & Raisonnements en 20202La matrice possède énormément de zéros, il est donc préférable de considérer le système (A −λI3)X = 0 plutôt qu’un algorithme de pivot de Gaußpour calculer le rang.



Cas particulier de la dimension deux. Endimensiondeux, l’inversibilité peut êtrereformulée à l’aide du déterminant.

Méthode (À l’aide du déterminant)WRENCH

Soit A ∈ 𝔐2,2 (K) . Alors :

λ ∈ Spec(A) ⟺ det(A−λI2) = 0.

Ainsi,1 — il suffit de résoudre en λ l’équation du second degré det(A−λI2) = 0.2 — On calcule ensuite Eλ(A) = Ker(A−λI2) pour chaque solution trouvéeprécédemment.

Cette méthode a l’avantage de donner une formule close pour les valeurs propres(elles sont les racines d’un trinôme). En revanche, vous devez calculer les espacespropres à lamain.Mieux vaut donc utiliser,même endimension deux, laméthoded’échelonnement.

Exemple 5— Trouver les éléments propres de A =⎛

⎝

2 2

1 3

⎞

⎠.

1 — (1ère méthode : avec le déterminant.)PEN-FANCY

2 — (2èmeméthode : par échelonnement.)PEN-FANCY



Cas d’une matrice triangulaire. Puisqu’une matrice triangulaire est déjà éche-lonnée, il est facile de trouver ses éléments propres.

Proposition ALG.3.6 | Les valeurs propres d’unematrice triangulaire selisent sur la diagonale

Si T =

⎛⎜⎜⎜⎝

λ1 ⋆

0

0 λ𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K), alors : SpecT = {λ1,⋯,λ𝑛}.

Preuve

PEN-FANCY

Pour un endomorphisme. Il y a dans ce cas deux méthodes :

1 — calculer sa matrice, puis appliquer les méthodes précédentes.2 — Travailler directement avec l’expression analytique de l’endomorhpisme.

Exemple 6— Dans E =R3[X], on considère l’application φ définie par : φ(P) =P+P′.

1 — Montrer que φ ∈ ℒ(E).2 — Écrire la matrice de φ dans la base canonique de R3[X] et trouver les valeurspropres de φ. L’application φ est elle un automorphisme?3 — Retrouver les résultats précédents sans représenter φ avec une matrice.

PEN-FANCY



Le théorème suivant est admis dans le cas général, nous le prouvons pour𝑛 = 2.

Théorème ALG.3.1 | Existence de valeurs propres1 — Soit A ∈ 𝔐𝑛 (C), alors Spec(A) ≠ ∅. En d’autres termes, toute matricecomplexe possède au moins une valeur propre complexe.2 — Si A ∈ 𝔐𝑛 (R), alors A possède au moins une valeur propre complexe.

Preuve (Point clef— Tout polynômepossède aumoins une racine dansC)Supposons que 𝑛 = 2.

PEN-FANCY

On peut cependant établir l’existence dans certains cas très particuliers de ma-trices, par exemple pour lesmatrices symétriques réelles. Nous verrons ce résultatdans un prochain chapitre.

Exemple 7— Trouver les valeurs propres réelles et complexes de A =⎛

⎝

0 −1

1 0

⎞

⎠.

PEN-FANCY

On termine cette sous-section de calculs effectifs par une méthode efficacelorsque les sommes sur les lignes d’une matrice sont constantes.

Méthode (Valeur propre et somme sur chaque ligne constante)WRENCH

Lorsque la somme des coefficients sur les lignes d’une matrice est constanteégale à λ ∈K,

le vecteur

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

est un vecteur propre de valeur propre associée λ.

C’est une simple vérification.

PEN-FANCY



Exemple 8— Déterminer les éléments propres de A =

⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 1

1 2 1

1 1 2

⎞⎟⎟⎟⎠

.

PEN-FANCY

Exemple 9— Déterminer les éléments propres de A =

⎛⎜⎜⎜⎝

2 4 −2

4 −1 1

4 1 −1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

PEN-FANCY

1.4. Utilisation d’un polynôme annulateur

Afin de simplifier la présentation, nous traitons uniquement le cas matriciel,même si la notion de polynôme d’endomorphisme existe aussi. Nous avons dé-jà vu à quoi pouvait servir un polynôme annulateur pour trouver l’inverse d’unematrice, voyons en quoi il peut nous aider à déterminer les éléments propres.

Définition ALG.3.3 | Polynôme dematrice

Soit P ∈ K[X], tel que P(X) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘X𝑘, et A ∈ 𝔐𝑛 (K). On note P(A) la matrice

définie par

P(A) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘A𝑘 = 𝑎0 I𝑛 +𝑎1A+⋯+𝑎𝑛A𝑛.

On dit que P est un polynôme annulateur de A si P(A) = 0𝔐𝑛(K).



Proposition ALG.3.7 | Règles de calcul sur la notation P(A)Soient P,Q ∈K[X] deux polynômes et α,β ∈K. Alors :1 — (αP+βQ)(A) = αP(A)+βQ(A),2 — (P×Q)(A) = P(A)×Q(A).

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — Admise.

Proposition ALG.3.8 | Le spectre est inclus dans les racines d’unpolynômeannulateur

Soient P ∈K[X] et A ∈ 𝔐𝑛 (K).1 — Soit X ∈ 𝔐𝑛,1 (K) un vecteur propre associé à λ ∈K. Alors :

P(A)X = P(λ)X.

2 — Si P est un polynôme annulateur de A, alors :

Spec(A) ⊂ {𝑥 ∈K, P(𝑥) = 0} .

En particulier, si A est nilpotente alors la seule valeur propre de A est zéro.

Preuve

PEN-FANCY

1.5. Et en Python?

Il faut garder à l’esprit que les commandes qui suivent fourniront des valeurs ap-prochées des éléments propres d’une matrice : des algorithmes existent pour lesobtenir et c’est précisément ceux-là que le module numpy utilise pour les ren-voyer.

PythonCalculs d’éléments propres avec le module numpy

1 >>> A = np.array([[1,0],[0,2]])2

3 >>> # POUR UNE MATRICE QUELCON>QUE4 >>> # renvoie les éléments propres de C5 >>> # d'abord les vp ensuite les vecp :6 >>> np.linalg.eig(A)7 (array([1., 2.]), array([[1., 0.],8 [0., 1.]]))9

10 >>> # POUR UNE MATRICE SYMETRIQUE11 >>> B = np.array([[1,2],[2,1]])12 >>> np.linalg.eigh(B)13 (array([-1., 3.]), array([[-0.70710678, 0.70710678],14 [ 0.70710678, 0.70710678]]))15

16 >>> # h comme hermitian en Anglais = symétrique lorsque lamatrice est à coeff. réels↪



Remarque 1.4— Vous remarquerez que tout est compté avec multiplicité i.e. siun espace propre est de dimension 2, la valeur propre associée sera répétée deuxfois dans le résultat : ce sont des listes ayant autant d’éléments que de colonnes(ou lignes) dans la matrice initiale.

2. CRITÈRE DE DIAGONALISATION

Nous avons vudans la précédente sous-section commentdéterminer les élémentspropres d’unendomorphisme, àprésent onénonce les différents résultats qui per-mettent de conclure quant à la diagonalisation, ou la non-diagonalisation. Rappe-lons que l’enjeu est de trouver une base de vecteurs propres deE (ou𝔐𝑛,1 (R)pourles matrices). Nous verrons tout d’abord que la liberté est automatique, il suffiraensuite de se demander si la famille obtenue est génératrice.

2.1. Familles de vecteurs propres

Proposition ALG.3.9 | Liberté d’une famille propreSoient 𝑒1,…,𝑒𝑝 ∈ E une famille de 𝑝 vecteurs propres de 𝑓 ∈ ℒ(E) (ou A ∈𝔐𝑛 (K)), associés à des valeurs propres distinctes λ1,⋯,λ𝑝, alors :

la famille (𝑒1,…,𝑒𝑝) est libre.

Preuve (Point clef — Récurrence sur le nombre de vecteurs propres 𝑝)Nous faisons la preuve dans le cas d’un endomorphisme, le résultat se déduitalors automatiquement pour les matrices en utilisant l’endomorphisme ca-noniquement associé.

PEN-FANCY

Corollaire ALG.3.1 | Nombremaximal de valeurs propres1 — Tout endomorphisme 𝑓 ∈ ℒ(E) d’un espace vectoriel E de dimension 𝑛possède au plus 𝑛 valeurs propres distinctes.2 — Toute matrice de A ∈ 𝔐𝑛 (K) admet au plus 𝑛 valeurs propres distinctes.

Preuve

PEN-FANCY

Proposition ALG.3.10 | Concaténation de familles propresSoit 𝑓 ∈ ℒ(E) (ou A ∈ 𝔐𝑛 (K)) un endomorphisme d’un espace vectoriel E(ou une matrice carrée) admettant pour valeurs propres λ1,…,λ𝑝 ∈ K. Soientℬ1,…,ℬ𝑝 des bases de respectivement Eλ1 ,…,Eλ𝑝 .



Alors :la famille de vecteurs obtenue en concaténant les vecteurs des bases

ℬ1,…,ℬ𝑝 est une famille libre.

Preuve

PEN-FANCY

Corollaire ALG.3.2 | Majoration sur la sommedes dimensions des espacespropres

Soit 𝑓 ∈ ℒ(E) (ou A ∈ 𝔐𝑛 (K)) un endomorphisme d’un espace vectoriel E (ouune matrice carrée) admettant pour valeurs propres λ1,…,λ𝑝 ∈ K. On sup-pose de plus que E est de dimension finie. Soient ℬ1,…,ℬ𝑝 des bases de res-

pectivement Eλ1 ,…,Eλ𝑝 . Alors :

𝑝

∑𝑖=1

dim(Eλ𝑖 ) ≤ dim(E).

Preuve Notons ℬ𝑖 = (𝑒(𝑖)1 ,…,𝑒(𝑖)𝑛𝑖), avec 𝑒(𝑖)𝑘 ∈ E pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑝K,

𝑘 ∈ J1 , 𝑛𝑖K et 𝑛𝑖 = dimE𝑖. Soient λ(𝑖)1 ,…,λ(𝑖)𝑛𝑖∈ K pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑝K tels

que :

(λ(1)1 𝑒(1)1 +⋯+λ(1)𝑛1𝑒(1)𝑛1

)+⋯+(λ(𝑝)1 𝑒(𝑝)1 +⋯+λ(𝑝)𝑛𝑝𝑒(𝑝)𝑛𝑝

) = 0E.

PEN-FANCY

2.2. Critère de diagonalisation

Dans cette section, l’espace vectoriel E est de de dimension finie 𝑛 ∈N pour fairesens à la notion de diagonalisabilité.

Définition ALG.3.4 | Diagonalisabilité1 — Soit 𝑓 ∈ ℒ(E). On dit que 𝑓 est diagonalisable lorsqu’il existe une base ℬde E dans laquelle la matrice de 𝑓 dans cette base est diagonale.



2 — Soit A ∈ 𝔐𝑛 (K). On dit que A est diagonalisable dans 𝔐𝑛 (K) si elle estsemblable à une matrice diagonale D de 𝔐𝑛 (K), i.e. s’il existe P ∈ GL𝑛(K) telleque PAP−1 soit diagonale. Si K = C, A est diagonalisable dans 𝔐𝑛 (R) (ou dia-gonalisable sur R) s’il existe P ∈ GL𝑛(R) telle que PAP−1 soit diagonale à élé-ments diagonaux réels.

Proposition ALG.3.11 | Diagonalisabilité et inversion/transpositionSoit A ∈ 𝔐𝑛 (K).1 — A ∈ 𝔐𝑛 (K) est diagonalisable, si et seulement si ⊤A est diagonalisable.2 — Supposons A inversible. Alors : A ∈ 𝔐𝑛 (K) est diagonalisable, si etseulement si A−1 est diagonalisable.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

Théorème ALG.3.2 | Lien entre les deux définitions1 — Soit ℬ une base de E et 𝑓 ∈ ℒ(E), A = ℳat

ℬ(𝑓) . Alors

A est diagonalisable ⟺ 𝑓 est diagonalisable.2 — Si ℬ′ = (𝑒1,⋯,𝑒𝑛) est autre base propre associée à 𝑓, alors A = PDP−1, oùP = Pℬ→ℬ′

et D est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sontles valeurs propres associées.

Preuve

PEN-FANCY

Théorème ALG.3.3 | Diagonalisation & Existence d’une base propre1 — Soit 𝑓 ∈ ℒ(E). Alors :

𝑓 est diagonalisable ⟺ il existe une base de E formée de vecteurspropres de 𝑓.

2 — Soit A ∈ 𝔐𝑛 (K). Alors :A est diagonalisable ⟺ il existe une base de 𝔐𝑛,1 (K) formée de

vecteurs propres de A.

Preuve

PEN-FANCY



Théorème ALG.3.4 | Condition nécessaire et suffisante de diagonalisation1 — Soit𝑓 ∈ ℒ(E)unendomorphismedont les valeurspropres sontλ1,…,λ𝑝.Alors :

𝑝

∑𝑖=1

dim(Eλ𝑖 (𝑓)) = dim(E) ⟺ 𝑓 est diagonalisable.

2 — Soit A ∈ 𝔐𝑛 (K) une matrice dont les valeurs propres sont λ1,…,λ𝑝.Alors :

𝑝

∑𝑖=1

dim(Eλ𝑖 (A)) = 𝑛 ⟺ A est diagonalisable.

Preuve

PEN-FANCY

Corollaire ALG.3.3 | Condition suffisante de diagonalisationSoit 𝑓 ∈ ℒ(E) (ou A ∈ 𝔐𝑛 (K)) tel que 𝑓 (ou A) admet 𝑛 valeurs propresdistinctes. Alors :1 — 𝑓 (ou A) est diagonalisable,2 — tout sous-espace propre est de dimension un.

Preuve

PEN-FANCY

Remarque 2.1— Si onest enprésenced’unematrice triangulaire dont tous les co-efficients diagonaux sont distincts, on sait (sans calcul !) qu’elle est diagonalisable,mais il faut alors calculer les espaces propres.

Attention×

La réciproque est fausse ! Par exemple, l’application IdE est diagonalisablemais a pour unique valeur propre 1.

Exemple 10— Soit A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1

0 2 2

0 0 3

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Déterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que



A = PDP−1. Indication : On montrera que A = P ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

0 2 0

0 0 3

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅ P−1, avec P =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 32

0 1 2

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

,P−1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 −1 12

0 1 −2

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

PEN-FANCY

La définition de la diagonalisabilité nous permet de traiter très facilement les casoù l’endomorphisme (ou la matrice) ne possède qu’une seule valeur propre.

Méthode (Diagonalisabilité des matrices possédant une unique valeur

propre)WRENCH

Caret-right Si une matrice A possède une unique valeur propre λ, alors A = PDP−1,où D = λI. On en déduit que A = λI.

Caret-right (Conséquence) Si A est une matrice possédant une unique valeurpropre λ ∈K et n’est pas égale à λI𝑛, alors elle n’est pas diagonalisable.

Exemple 11— La matrice A =⎛

⎝

1 1

0 1

⎞

⎠n’est pas diagonalisable. PEN-FANCY En effet,

SpecA = {1}. Si A était diagonalisable, alors il existerait P inversible telle que A =P(1I2)P−1 = I2, et ce n’est pas le cas.

Exemple 12— Soit (𝑎,𝑏) ∈ R2. La matrice A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 𝑎2 +𝑏2

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

peut-elle être

diagonalisable? PEN-FANCY En effet, SpecA = {1}. Si A était diagonalisable, alors il exis-terait P inversible telle que A = P(1× I3)P−1 = I3, donc 𝑎2 +𝑏2 = 0 soit 𝑎 = 𝑏 = 0.Donc A est diagonalisable si et seulement si 𝑎 = 𝑏 = 0.

Exemple 13— L’endomorphismeφ de l’Exemple 6 n’est pas diagonalisable. Pour-

quoi? PEN-FANCY Nous avions trouvé Specφ = {1} — c’était une matrice triangulaire su-périeure dans la base canonique, avec une diagonale qui ne comporte que des 1.Or, si φ était diagonalisable, alors sa matrice dans la base canonique serait doncI4 — contradiction.



Exemple 14— Matrices de rotations Soit θ ∈]0,π[. Montrer que la matrice Rθ =⎛

⎝

cosθ −sinθ

sinθ cosθ

⎞

⎠est diagonalisable sur C mais pas sur R.

PEN-FANCY

Exemple 15— Matrice d’ATTILA3 Soit 𝑛 ⩾ 1 et J𝑛 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1

1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

. Étudier la dia-

gonalisabilité de J𝑛. En calculant J2𝑛, vérifier les résultats obtenus sur les valeurspropres.

PEN-FANCY

3Exemple très très classique, à bien maîtriser

Exemple 16— Connaissant un polynôme annulateur Soit A ∈ 𝔐𝑛 (K).

1 — Déterminer les matrices nilpotentes diagonalisables.2 — Soit une matrice carrée A diagonalisable vérifiant la relation A2 = 4I𝑛 et telleque A ≠ 2I𝑛 et A ≠ −2I𝑛. Quelles sont les valeurs propres de A?3 — On suppose que A2 −10A+25I𝑛 = 0. À quelle condition nécessaire et suffi-sante A est-elle diagonalisable?

PEN-FANCY



On termine cette section avec un théorème admis sur la diagonalisabilité des ma-trices symétriques réelles : les outils pour le démontrer ne nous sont pas acces-sibles, nous admettons donc ce résultat.

Théorème ALG.3.5 | Théorème spectralSoit A une matrice symétrique réelle. Alors A est diagonalisable, et il existe unematrice D diagonale réelle, et une matrice P ∈ GL𝑛(R), telles que :

A = PDP−1 et ⊤P = P−1.

Preuve Admis.

3. APPLICATIONS

3.1. Calculs des puissances d’une matrice

Méthode (Comment trouver les puissances d’une matrice diagonalisable ?)WRENCH

1 — Diagonaliser la matrice A. On obtient A = PDP−1 avec D diagonale et Pinversible.2 — Chercher D𝑛 pour tout 𝑛 ∈N.3 — A𝑛 = PD𝑛P−1, on en déduit A𝑛.

Exemple 17— On reprend la matrice de l’Exemple 10. Calculer A𝑛 enfonction de 𝑛. Indication : On montrera que pour tout 𝑛 ∈ N, A𝑛 =⎛⎜⎜⎜⎝

1 −1+2𝑛 12 −2𝑛+1 + 3𝑛+1

2

0 2𝑛 −2𝑛+1 +2×3𝑛

0 0 3𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

.

PEN-FANCY



Application aux récurrences linéaires. Tout système de suites récurrentes li-néaires peut se réecrire sous une formematricielle. On en déduit alors laméthodeci-dessous pour exprimer les termes généraux de ces suites en fonction de 𝑛.

Méthode (Exprimer des suites récurrentes linéaires imbriquées en fonction

de 𝑛)WRENCH

1 — Écrire matriciellement le système de relations de récurrence.2 — Calculer la puissance de la matrice associée en diagonalisant.

Exemple 18— On considère les suites (𝑢𝑛), (𝑣𝑛) et (𝑤𝑛) définies par leur premierterme 𝑢0, 𝑣0 et 𝑤0 et les relations suivantes :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +𝑣𝑛 +𝑤𝑛

𝑣𝑛+1 = 2𝑣𝑛 +2𝑤𝑛

𝑤𝑛+1 = 3𝑤𝑛

pour 𝑛 ≥ 0. On pose X𝑛 =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑢𝑛

𝑣𝑛

𝑤𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

. Exprimer X𝑛+1 en fonction de A et X𝑛. En dé-

duire 𝑢𝑛, 𝑣𝑛 et 𝑤𝑛 en fonction de 𝑛. PEN-FANCY Soit 𝑛 ∈ N. Nous avons X𝑛+1 = AX𝑛 où

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1

0 2 2

0 0 3

⎞⎟⎟⎟⎠

. Montrons par récurrence que : ∀𝑛 ∈N, X𝑛 = A𝑛X0.

CLONEInitialisation. La propriété est initialisée car X0 = I3X0.

CLONEHérédité. Supposons-là vraie au rang 𝑛, alors X𝑛+1 = AX𝑛 = A(A𝑛X0) =A𝑛+1X0. La formule est doncétablie pour tout𝑛 ∈N. Or, nous avonsmontréque :

A𝑛 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 −1+2𝑛 12 −2𝑛+1 + 3𝑛+1

2

0 2𝑛 −2𝑛+1 +2×3𝑛

0 0 3𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

,

donc :

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑢𝑛

𝑣𝑛

𝑤𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

1 −1+2𝑛 12 −2𝑛+1 + 3𝑛+1

2

0 2𝑛 −2𝑛+1 +2×3𝑛

0 0 3𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑢0

𝑣0

𝑤0

⎞⎟⎟⎟⎠

, découlent alors les

formules ci-dessous :

𝑢𝑛 = 𝑢0 +(−1+2𝑛)𝑣0 +(12

−2𝑛+1 +3𝑛+1

2)𝑤0,

𝑣𝑛 = 2𝑛𝑣0 +3𝑛 (−2𝑛+1 +2)𝑤0,𝑤𝑛 = 3𝑛𝑤0.



Remarque 3.1— Dans l’exemple précédent, en lisant la troisième égalité, on re-trouve le fait que (𝑤𝑛) est géométrique, ce que l’on savait déjà.

On peut également exprimer matriciellement toute récurrence linéaire scalaire.Pour une suite récurrente linéaire d’ordre deux, la matrice associée sera de format2×2. Voyons cela sur un exemple.

Exemple 19— Suite récurrente linéaire d’ordre deux Soient 𝑎,𝑏 ∈ R. On consi-dère une suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢0,𝑢1 ∈ R et : ∀𝑛 ∈ N, 𝑢𝑛+2 = 𝑎𝑢𝑛+1 + 𝑏𝑢𝑛.

Notons U𝑛 =⎛

⎝

𝑢𝑛

𝑢𝑛+1

⎞

⎠.

1 — Chercher une matrice M ∈ 𝔐2 (R) telle que : U𝑛+1 = MU𝑛 pour tout 𝑛 ∈N.2 — Montrer que : ∀𝑛 ∈N, U𝑛 = M𝑛U0.3 — On étudie à présent la suite définie par 𝑢0 = 0,𝑢1 = 3 et : ∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+2 =−𝑢𝑛+1 +2𝑢𝑛.Diagonaliser la matrice M associée.4 — En déduire 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 pour tout entier 𝑛 ∈N.

PEN-FANCY3.2. Calculs de racines de matrices

Définition ALG.3.5 | Racines d’unematriceSoit 𝑛 ⩾ 1 et M ∈ 𝔐𝑛 (K). Alors on appelle racine 𝑘-ième de A toute matrice Btelle que B𝑘 = A.

Caret-right Pour 𝑘 = 2, on parle de racine carrée,Caret-right pour 𝑘 = 3 de racine cubique.

Méthode (Comment trouver des racines d’une matrice diagonalisable ?)WRENCH

1 — Diagonaliser la matrice A. On obtient A = PDP−1 avec D diagonale et Pinversible.2 — Chercher les racines de D (en prenant les racines des coefficients). Onles note D1,…,DN.3 — Les racines de A sont alors les PD𝑖P−1 pour 𝑖 ∈ J1 , NK.a



Exemple 20— Trouver les racines cubiques réelles de A =⎛

⎝

−5 3

6 −2

⎞

⎠.

PEN-FANCY

aPropriété que l’on peut établir sans difficulté, en justifiant que B⟼ PBP−1 est une applicationbijective de l’ensemble des racines de A vers l’ensemble des racines deD

3.3. Calculs de commutants

Définition ALG.3.6 | CommutantSoit 𝑛 ⩾ 1 et A ∈ 𝔐𝑛 (K). Alors on appelle commutant de A, l’ensemble noté𝒞(A) et défini par :

𝒞(A) = {B ∈ 𝔐𝑛 (K) , BA = AB}.

C’est donc l’ensemble des matrices qui commutent avec A.

Exemple 21— On reprend la matrice de l’Exemple 10 : A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1

0 2 2

0 0 3

⎞⎟⎟⎟⎠

.

1 — Étudier la diagonalisabilité de A, on notera D une éventuelle matrice diago-nale D ∈ 𝔐3 (R) telle que A soit semblable à D. On notera dans la suite A = PDP−1

avec P une matrice inversible de format 3 × 3.2 — Calculer 𝒞(D).3 — Soit N ∈ 𝔐3 (R). Montrer que : PNP−1 ∈ 𝒞(A) ⟺ N ∈ 𝒞(D).4 — En déduire 𝒞(A).

PEN-FANCY



3.4. Résolution de systèmes différentiels

Dans le chapitre Chapitre ANA.8, nous avons défini la notion de système différen-tiel linéaire. Nous proposons ici une méthode de résolution.

Méthode (Résolution d’un système différentiel)WRENCH

Notons X′(𝑡) = AX(𝑡) le système avec X =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥1

𝑥𝑝

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐𝑝,1 (K) un vecteur de

fonctions dérivables, et A ∈ 𝔐𝑝,𝑝 (K) une matrice diagonalisable à coeffi-cients constants.

1 — Diagonaliser la matrice A. On obtient A = PDP−1 avec D diagonale et Pinversible.2 — Considérer la nouvelle fonction inconnue Y = P−1X.3 — Établir un système en Y : puisque P est une matrice constante, Y′ = DY.4 — Résoudre Y′ = DY, c’est un système d’équations différentielles indépen-dantes.5 — On déduit X = PY.

Exemple 22—

1 — Soit le système différentiel suivant (en les fonctions inconnues 𝑥1,𝑥2,𝑥3 :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑥′1 = 𝑥1 +𝑥2 +𝑥3,

𝑥′2 = 2𝑥2 +2𝑥3,

𝑥′3 = 3𝑥3,

𝑥1,𝑥2,𝑥3 de classe 𝒞1.

2 — 2.1) Écrire le système précédent à l’aide de la matrice A et de X =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥1

𝑥2

𝑥3

⎞⎟⎟⎟⎠

.

2.2) Notons Y = P−1X. Montrer queX est solution si et seulement si Y est solutionde Y′ = DY.



2.3) On note Y =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑦1

𝑦2

𝑦3

⎞⎟⎟⎟⎠

. Résoudre le système précédent.

3 — En déduire les solutions du système différentiel de départ.

PEN-FANCY




4. EXERCICES

4.1. Calculs d’éléments propres

[ALG_Red_33.tex]

Exercice ALG.3.1 (Solution : 27) Soit E =RN, et Φ l’endomorphisme de E qui à unesuite (𝑢𝑛) associe la suite (𝑣𝑛)définiepar𝑣0 = 𝑢0 et pour tout𝑛 ⩾ 1 : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+𝑢𝑛−1

2 .Déterminer les éléments propres de Φ.

a[ALG_Red_71.tex]

Exercice ALG.3.2 Soit E = 𝒞0(R,R) et I l’endomorphisme de E qui à une fonc-tion 𝑓 ∈ E associe l’unique primitive de 𝑓 qui s’annule en 0. Déterminer les valeurspropres de I.

4.2. Pour des matrices

[ALG_Red_37.tex]


1 — Étudier la diagonalisabilité de A =⎛

⎝

5 −3

6 −4

⎞

⎠.

2 — Soient (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) les deux suites définies par 𝑢𝑛+1 = 5𝑢𝑛 −3𝑣𝑛,𝑣𝑛+1 = 6𝑢𝑛 −4𝑣𝑛 pour tout 𝑛 ∈N et 𝑢0 = −1,𝑣0 = 1. Exprimer 𝑢𝑛,𝑣𝑛 en fonction de 𝑛 ∈N.

[ALG_Red_36.tex]

Exercice ALG.3.4 (Solution : 27) Diagonaliser A =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 2 −1

3 −2 0

−2 2 1

⎞⎟⎟⎟⎠

, B =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 3 2

−2 5 2

2 −3 0

⎞⎟⎟⎟⎠

, C =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0

0 1 0

1 −1 2

⎞⎟⎟⎟⎠

.

[ALG_Red_70.tex]

Exercice ALG.3.5 Co-diagonalisation & application (Solution : 27) Soient A =⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 1

0 0 −1

1 −1 −1

⎞⎟⎟⎟⎠

, B =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 −1 0

−1 1 0

0 0 2

⎞⎟⎟⎟⎠

.

1 — Chercher les éléments propres de A,B. Montrer qu’elles sont diagonalisablesavec la même matrice de passage P que l’on précisera.

2 — En déduire les valeurs propres de M(𝑎,𝑏) =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑏 −𝑏 𝑎

−𝑏 𝑏 −𝑎

𝑎 −𝑎 2𝑏−𝑎

⎞⎟⎟⎟⎠

pour tout

𝑎,𝑏 ∈R.

,87

4.3. Pour des endomorphismes

[ALG_Red_80.tex]

Exercice ALG.3.6 Endomorphisme de transposition (Solution : 28) On considère

φ||||||

𝔐𝑛,𝑛 (K) ⟶ 𝔐𝑛,𝑛 (K)

M ⟼ ⊤Mavec K = R ou C. On rappelle que la dimension de



l’espace vectoriel desmatrices symétriques (resp. antisymétriques) est 𝑛(𝑛+1)2 (resp.

𝑛(𝑛−1)2 ).

1 — Déterminer les éléments propres de φ. L’endomorphisme φ est-il diagonali-sable?2 — Retrouver les valeurs propres avec un polynôme annulateur.

[ALG_Red_76.tex]

Exercice ALG.3.7 (Solution : 29) Soit E l’espace vectoriel des polynômes à coeffi-cients dans K (K = R ou K = C) de degré inférieur ou égal à 𝑛. Soit 𝑓 l’endomor-phisme de E défini par :

∀P ∈ E, 𝑓(P) = P−P′.

1 — Démontrer que 𝑓 est bijectif de deux manières :1.1) sans utiliser de matrice de 𝑓,1.2) en utilisant une matrice de 𝑓.2 — L’endomorphisme 𝑓 est-il diagonalisable?

[ALG_Red_38.tex]

Exercice ALG.3.8 En cherchant lamatrice associée Soit 𝑛 ⩾ 2. On note E l’espacevectoriel des fonctions continues de R dans R, et F = R𝑛[X]. Pour tout 𝑓 ∈ E, onnote T(𝑓) l’application de R dans R définie par :

∀𝑥 ∈R, T(𝑓)(𝑥) = ∫𝑥+1

𝑥−1𝑓(𝑡)d𝑡.

1 — Soit 𝑔 ∶ 𝑥 ⟼ |𝑥|, déterminer T(𝑔).2 — Montrer que pour tout 𝑓 de E, T(𝑓) est de classe 𝒞1, et déterminer sa dérivée.3 — Montrer que T est une application linéaire de E dans E, T est-elle surjective?injective? bijective?4 — Montrer queT est aussi un endomorphismedeF, et que cette foisT estmêmeun automorphisme. Est-il diagonalisable?

4.4. Autour des polynômes annulateurs

[ALG_Red_79.tex]

Exercice ALG.3.9 (Solution : 29) Soient 𝑎,𝑏,𝑐 ∈R⋆, et M =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 𝑎𝑏

𝑎𝑐

𝑏𝑎 1 𝑏

𝑐𝑐𝑎

𝑐𝑏 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

1 — Calculer M2 −3M, puis montrer que Spec(M) ⊂ {0,3}.

2 — Calculer M

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎

𝑏

𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠

.

3 — Déterminer SpecM et les sous-espaces propres de M. La matrice M est-ellemdiagonalisable? Si oui, la diagonaliser.4 — En déduire que l’ensemble 𝒞 = {N ∈ 𝔐3,3 (R) , MN−NM = 3N}, est un es-pace vectoriel de dimension deux.

[ALG_Red_53.tex]

Exercice ALG.3.10 Étude d’un polynôme d’endomorphisme Soit E un R-espacevectoriel de dimension finie𝑛 ⩾ 2. On suppose qu’il existe deux endomorphismesde E, notés 𝑢 et 𝑣 vérifiant la relation 𝑢3 +𝑢2 +𝑢 = 𝑣.

1 — Soit λ une valeur propre de 𝑢 associée à un vecteur propre 𝑥. Montrer que 𝑥est aussi vecteur propre de 𝑣 associé à une valeur propre que l’on déterminera.2 — Onsuppose, dans cettequestionuniquement, que𝑢admet𝑛 valeurspropresdistinctes deux à deux, notées λ1,λ2, ...,λ𝑛.Montrer que 𝑣 admet aussi 𝑛 valeurs propres distinctes deux à deux, notéesμ1,μ2, ...,μ𝑛 que l’on exprimera à l’aide des λ1,λ2, ...,λ𝑛.3 — (Étude de la réciproque) Montrer que si 𝑢 est diagonalisable, alors 𝑣 l’estégalement.4 — 4.1) Montrer par contraposition que si 𝑣 est bijective, alors 𝑢 l’est égale-

ment.



4.2) Montrer que la réciproque est fausse en étudiant pour 𝑛 = 2 l’endomor-

phisme 𝑢 dont une matrice est U =⎛

⎝

−1/2 −√3/2

√3/2 −1/2

⎞

⎠.

4.5. Pour les 5/2

[ALG_Red_51.tex]

Exercice ALG.3.11 Trace d’une matrice carrée (Solution : 30) Soit A = (𝑎𝑖,𝑗) unematrice de 𝔐𝑛 (K). On définit la trace de A par

Tr (A) =𝑛∑𝑖=1

𝑎𝑖,𝑖.

1 — Montrer que Tr est une forme linéaire.2 — TERMINALPython Écrire un script Python qui prend en argument un tableau numpy carré,et renvoie la valeur de la trace.3 — Soient A et B deux matrices carrées d’ordre 𝑛.3.1) Montrer que Tr(AB) = Tr(BA). En déduire que l’équation AB−BA = I𝑛 n’ad-

met pas de solution.3.2) On suppose que A et B sont semblables. Montrer que Tr (A𝑘) = Tr (B𝑘) pour

tout 𝑘 ∈N∗.4 — En déduire que l’on peut définir la trace d’un endomorphisme 𝑓 d’un espacevectoriel de dimension finie.5 — On suppose que A est diagonalisable. Que vaut la somme des valeurspropres?

6 — Soit A =

⎛⎜⎜⎜⎝

2 −17 π

2 −17 π

2 −17 π

⎞⎟⎟⎟⎠

. Trouver sans calcul ses valeurs propres.

[ALG_CCAgroVeto_1.tex]

Exercice ALG.3.12 Agro-Véto, 2018 (Solution : 31) Soient 𝑛 ∈ N∗ et Φ définie surR𝑛[X] par :

Φ(P) =𝑛∑𝑘=0

(𝑛𝑘)P(𝑘).

1 — 1.1) Déterminer le lien entre degré de P et degré de P(𝑘).1.2) Montrer que Φ est un endomorphisme de R𝑛[X].2 — Soit Δ ∈ ℒ(R𝑛[X]) ∶ P ∈ R𝑛[X] ⟼ P′. On note A = (𝑎𝑖,𝑗)1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛+1 la matricecanoniquement associée à Φ.2.1) Écrire la matrice D de Δ dans la base canonique de R𝑛[X].2.2) TERMINALPython On rappelle que dans le module numpy on peut coder des ma-

trices sous forme de tableau de listes en utilisant la commande np.array.

Exemple : np.array([[1,2,3],[7,8,9]]) code la matrice⎛

⎝

1 2 3

7 8 9

⎞

⎠. La

commande np.zeros((2,3)) code la matrice⎛

⎝

0 0 0

0 0 0

⎞

⎠. La commande

np.eye(3) code la matrice identité I3. La commande np.dot(A,B) effectuele produit de la matrice A par B sous réserve qu’elles soient compatibles etcodées comme des array.TERMINALPython Coder en langage Python la matrice D.

2.3) Montrer que : A = (I𝑛+1 +D)𝑛.2.4) TERMINALPython Écrireune fonctionPhi(coordonneesP)qui retourne les coordonnées

de Φ(P) sous forme de liste en prenant en argument les coordonnées de Psous forme de liste.

3 — 3.1) Montrer que pour tout polynôme P non nul de R𝑛[X] le degré de Φ(P)est égal à celui de P.

3.2) En déduire que Φ est injective.3.3) Montrer que Φ est bijective.4 — 4.1) Montrer que 1 est l’unique valeur propre de Φ et déterminer l’espace

propre associé.4.2) L’endomorphismeΦ est-il diagonalisable? Justifier avecdeuxargumentsdif-

férents.




Solution (exercice ALG.3.1) (Énoncé : 24) Soit λ ∈ R, cherchons les (𝑢𝑛) telles que :Φ((𝑢𝑛)) = λ(𝑢𝑛). l’égalité est équivalente à

⎧⎨⎩

∀𝑛 ∈N⋆, 𝑢𝑛+𝑢𝑛−12 = λ𝑢𝑛,

𝑢0 = λ𝑢0.

Ceci est encore équivalent à

⎧⎨⎩

∀𝑛 ∈N⋆,𝑢𝑛−1 = (2λ−1)𝑢𝑛,

(1−λ)𝑢0 = 0.

Maintenant, il faut faire des disjonctions de cas.

Caret-right Si λ = 1, alors on obtient que pour tout 𝑛 ∈ N⋆, 𝑢𝑛−1 = 𝑢𝑛 donc que (𝑢𝑛)est constante et en choisissant une constante non nulle, on montre que 1 estbien une valeur propre. Ainsi 1 ∈ Spec(Φ) et E1(Φ) = Vect((1)).

Caret-right Si λ = 12 , alors pour tout 𝑛 ∈ N⋆, 𝑢𝑛−1 = 0 et 𝑢0 = 0, donc la suite (𝑢𝑛) est la

suite nulle. Donc 1/2 ∉ Spec(Φ).Caret-right Supposons que λ ∉ {1/2,1}. Alors les conditions deviennent : pour tout 𝑛 ∈N⋆,𝑢𝑛 = 1

2λ−1𝑢𝑛−1, et𝑢0 = 0. Donc par récurrence immédiate, (𝑢𝑛) est la suitenulle (c’est une suite géométrique de terme initial nul).

En conclusion, Spec(Φ) = {1} et E1(Φ) = Vect((1)).


1 — On trouve après calculs : SpecA = {2,−1}, et E2(A) = Vect⎛

⎝

1

1

⎞

⎠, E−1(A) =

Vect⎛

⎝

1

2

⎞

⎠.

2 — En notant X𝑛 =⎛

⎝

𝑢𝑛

𝑣𝑛

⎞

⎠pour tout 𝑛 ∈ N, nous avons la relation X𝑛+1 = AX𝑛.

Par récurrence immédiate, X𝑛 = A𝑛X0 = A𝑛⎛

⎝

−1

1

⎞

⎠= P

⎛

⎝

2𝑛 0

0 (−1)𝑛

⎞

⎠P−1X0 avec

P =⎛

⎝

1 1

1 2

⎞

⎠. Il ne reste plus qu’à effectuer le produit matriciel [...].

Solution (exercice ALG.3.4) (Énoncé : 24) On trouve après calculs :

1 — pour A : SpecA = {−4,2,1}, et E−4(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

2

−3

2

⎞⎟⎟⎟⎠

, E2(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

−4

−3

2

⎞⎟⎟⎟⎠

,

E1(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

2 — pour B : SpecA = {2,1}, et E2(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

1

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

3

2

0

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

, E1(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

−1

−1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

3 — pour C : SpecA = {2,1}, et E2(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

, E1(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

−1

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

0

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

.


1 — Soit λ ∈ R. Alors, avec la chaîne d’opérations L1 ↔ L3, L3 ← L3 +λL1, L3 ←



L3 −L2 :

A−λI3 ∼L

⎛⎜⎜⎜⎝

1 −1 −1−λ

0 −λ −1

0 0 −λ2 −λ+2

⎞⎟⎟⎟⎠

Ainsi, Spec(A) = {−2,0,1}. La matrice possède trois valeurs propres doncest diagonalisable. Après calculs d’espace propre, on trouve : E−2(A) =

Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

−1

1

2

⎞⎟⎟⎟⎠

, E0(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

0

⎞⎟⎟⎟⎠

, E1(A) =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

−1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

. De-même, on montre

avec la chaîne d’opérations L1 ↔ L2, L2 ← L2 +(1−λ)L1,

B−λI3 ∼L

⎛⎜⎜⎜⎝

−1 1−λ 0

0 (1−λ)2 −1 = −λ(2−λ) 0

0 0 2−λ

⎞⎟⎟⎟⎠

Ainsi, Spec(B) = {0,2}. La matrice possède trois valeurs propresdonc est diagonalisable. Après calculs d’espace propre, on trouve :

E0(B) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

0

⎞⎟⎟⎟⎠

, E2(B) = Vect

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

−1

1

0

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

.

Par opérations élémentaires, puisqu’on ne change pas un Vect en changeant lesvecteurs par des combinaisons linéaires de ceux-ci, on constate que :

Vect

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

−1

1

0

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

= Vect

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

1

−1

0

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

= Vect

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

1

−1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

= Vect

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

1

−1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

,2

⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

−

⎛⎜⎜⎜⎝

1

−1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

= Vect

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

1

−1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

−1

1

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

.

. Donc E2(B) = Vect

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

1

−1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

−1

1

2

⎞⎟⎟⎟⎠

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

. Ceci montre que, en choisissant P =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 −1 1

1 1 −1

0 2 1

⎞⎟⎟⎟⎠

, on a les relations :

A = PDiag(0,−2,1)P−1, B = PDiag(0,2,2)P−1.

2 — Soit 𝑎,𝑏 deux réels, alors M(𝑎,𝑏) = 𝑎A + 𝑏B = P(Diag(0,−2𝑎,𝑎) +Diag(0,2𝑏,2𝑏))P−1 = PDiag(0,2(𝑏 −𝑎),𝑎 +2𝑏)P−1 .Cette identité nous dit alors que M(𝑎,𝑏) est diagonalisable, que Spec(M(𝑎,𝑏)) ={0,2(𝑏 −𝑎),𝑎 +2𝑏} et une base des espaces propres est donnée par les colonnesde P.


1 — Soit λ ∈ R. Chercherons les M ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K) telles que φ(M) = λM, i.e. ⊤ (M) =λM. Alors en transposant l’égalité précédente, on obtient par linéarité de la trans-position, M = λ⊤ (M) = λ2M. Donc si M ≠ 0, alors (1−λ2)M = 0 donc λ = ±1. Lesseules valeurs propres possibles sont donc 1 et −1.Mais φ(M) = M est équivalent à M est symétrique. De-même φ(M) = −M signifieque M est antisymétrique. Or, d’après le rappel sur les dimensions, on sait alorsque dimE1(φ)+dimE−1(φ) = 𝑛(𝑛+1)

2 + 𝑛(𝑛−1)2 = 𝑛.

Ainsi : φ est diagonalisable.

2 — Soit M ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K). On a φ2(M) = φ ∘ φ(M) = ⊤ (⊤M) = M. Ainsi, X2 − 1 estannulateur de φ donc les valeurs propres sont bien à chercher parmi 1 et −1.




1 — Démontrons que 𝑓 est bijectif de deux manières :1.1) Tout d’abord, 𝑓 est linéaire par linéarité de la dérivation, et puisque pour

tout P ∈ E, degP′ < degP, alors deg𝑓(P) ⩽ 𝑛. Donc 𝑓 est un endomorphismede E, et en dimension finie, donc il suffit de montrer l’injectivité. Soit doncP ∈ E tel que P = P′. Alors, si 𝑑 = degP ≠ −∞, on a 𝑑 = 𝑑 − 1 — c’est unecontradiction. Donc degP = −∞ et P = 0 donc 𝑓 est bijectif.

1.2) Soit 𝑘 ∈ J01 , 𝑛K, alors 𝑓(X𝑘) = X𝑘 −𝑘X𝑘−1, et 𝑓(1) = 1 donc :

ℳatℬcan

(𝑓) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 −1 0

0 1 0

−𝑛

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

C’est donc une matrice triangulaire supérieure, de rang 𝑛 + 1 donc𝑓 est bijectif.

2 — On a, d’après la première question, Spec(𝑓) = {1} donc si 𝑓 était diagonali-sable, alors ℳat

ℬcan(𝑓) = PI𝑛+1P−1 avec P inversible donc ℳat

ℬcan(𝑓) serait la matrice

identité, ce qui n’est pas le cas. Donc 𝑓 n’est pas diagonalisable.


1 — Après calculs, on trouve que M2 −3M = 0. Ainsi, le polynôme X2 −3X est an-nulateur de M et donc d’après le cours, Spec(M) ⊂ {0,3}.

2 — On trouve M

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎

𝑏

𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠

= 3

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎

𝑏

𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠

.

3 — Soit X =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐3,1 (R). Alors résolvons MX =

⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎠

. Cela donne le sys-

tème ci-après :

⎧⎪⎨⎪⎩

𝑥+𝑦𝑎𝑏 +𝑧𝑎

𝑐 = 0𝑥𝑏𝑎 + 𝑦+𝑧𝑏

𝑐 = 0𝑥 𝑐𝑎 +𝑦 𝑐

𝑏 + 𝑧 = 0L1 ← L1/𝑎,L2 ← L2/𝑏,L3 ← L3/𝑐.

1𝑎𝑥+

1𝑏𝑦+

1𝑐𝑧 = 0.

Ainsi, il suffit de trouver deux vecteurs non colinéaires de⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

, 1𝑎𝑥+ 1

𝑏𝑦+ 1𝑐𝑧 = 0

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

, donc

E0(M) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

0

𝑏

−𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎

0

−𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

.

À ce stade, on peut alors déjà déduire que M est diagonalisable puisquedimE0(M) = 2 et on a toujours dimE0(M) + dimE3(M) ⩽ 3 donc dimE0(M) +

dimE3(M) = 3, et dimE3(M) = 1. Or, d’après la question précédente

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎

𝑏

𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠

∈



E3(M), donc E3(M) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎

𝑏

𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠

. Finalement, on a montré que :

M = P

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0

0 0 0

0 0 3

⎞⎟⎟⎟⎠

P−1, P =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 𝑎 𝑎

𝑏 0 𝑏

−𝑐 −𝑐 𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠

.

4 — Soit N ∈ 𝔐3,3 (R). Considérons la matrice N′ telle que N = PN′P−1 et notons

N′ =

⎛⎜⎜⎜⎝

α1 β1 γ1

α2 β2 γ2

α3 β3 γ3

⎞⎟⎟⎟⎠

. Alors :

N ∈ 𝒞 ⟺ MN−NM = 3N ⟺ PDP−1PN′P−1−PN′P−1PDP−1 = 3PN′P−1.

Donc, en simplifiant les matrices P :

N ∈ 𝒞 ⟺ DN′ −N′D = 3N′.

En écrivant cette condition avec les coefficients de N′, on trouve alors :

N ∈ 𝒞 ⟺

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0

0 0 0

3α3 3β3 3γ3

⎞⎟⎟⎟⎠

−

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 3γ1

0 0 3γ2

0 0 3γ3

⎞⎟⎟⎟⎠

= 3

⎛⎜⎜⎜⎝

α1 β1 γ1

α2 β2 γ2

α3 β3 γ3

⎞⎟⎟⎟⎠

.

En identifiant les coefficients, on a α1 = β1 = α2 = β2 = 0, puis 6γ1 = 6γ2 = 0 etenfin 0 = 3γ3 donc tous les coefficients sont nuls sauf α3,β3. Donc l’ensemble

des solutions en N′ est Vect(A,B) où A =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0

0 0 0

1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

,B =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0

0 0 0

0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

. Donc :

𝒞 = Vect(PAP−1,PBP−1), c’est donc un espace vectoriel de dimension deux.


1 — Soient A,B ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K), et λ,μ ∈K. Alors :

Tr (λA+μB) =𝑛∑𝑖=1

(λ𝑎𝑖,𝑖 +μ𝑏𝑖,𝑖),

= λ𝑛∑𝑖=1

𝑎𝑖,𝑖 +μ𝑛∑𝑖=1

𝑏𝑖,𝑖,

= λTr (A)+μTr (B) .

De plus, Tr (.) est à valeurs dans R, donc c’est une forme linéaire.2 — TERMINALPython

Python1 def trace(A):2 '''3 retourne la somme des coefficients sur la diagonale4 '''5 trace = 06 for i in range(n):7 trace += A[i, i]8 return trace

3 — Soient A et B deux matrices carrées d’ordre 𝑛.3.1) Soient A = (𝑎𝑖,𝑗),B = (𝑏𝑖,𝑗) ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (K). Montrons que Tr(AB) = Tr(BA). Rap-

pelons que le coefficient (𝑖, 𝑗) de la matrice AB est 𝑝𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑘=1𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑗, de-

même le coefficient (𝑖, 𝑗) de la matrice BA est 𝑞𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑘=1𝑏𝑖,𝑘𝑎𝑘,𝑗. Donc :

Tr(AB) =𝑛∑𝑖=1

𝑝𝑖,𝑖,

=𝑛∑𝑖=1

𝑛∑𝑘=1

𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑖,

=𝑛∑𝑘=1

𝑛∑𝑖=1

𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑖,

=𝑛∑𝑘=1

𝑛∑𝑖=1

𝑏𝑘,𝑖𝑎𝑖,𝑘 =𝑛∑𝑘=1

𝑞𝑘,𝑘.

permutation de sommes finies,



Donc : Tr(AB) = Tr(BA) . Supposons qu’il existe deux matrices A,B tellesque : AB−BA = I𝑛. Alors en prenant la trace, on obtient en exploitant lalinéarité : Tr (AB)−Tr (BA) = Tr (I𝑛) = 𝑛. Donc, commeTr(AB) = Tr(BA), onobtiendrait 0 = 𝑛, c’est bien entendu une contradiction.

3.2) Il existe une matrice inversible P telle que : A = PBP−1. Soit 𝑘 ∈ N∗, alorspar récurrence immédiate A𝑘 = PB𝑘P−1. Donc :

Tr (A𝑘) = Tr (P(B𝑘P−1)) = Tr ((B𝑘P−1)P) == Tr (B𝑘) .

Donc Tr (A𝑘) = Tr (B𝑘) pour tout 𝑘 ∈N∗.

4 — La notion de trace est définie avec une matrice. Si l’on veut définir la notionde trace pour un endomorphisme, il faut par exemple se donner unematrice asso-ciée, dans une base fixée de E, appelons-là ℬ et notons A = ℳat

ℬ(𝑓) . La question

est : si je choisis une autre base, aurais-je une autre trace? La réponse est non.En effet, si ℬ′ est une autre base de E, alors en notant B = ℳat

ℬ′(𝑓) , on sait par

formule de changement de base qu’il existe une matrice P inversible telle queA = PBP−1 et donc Tr (A) = Tr (B) d’après la question précédente pour 𝑘 = 1. Ainsi,on appelle traced’un endomorphisme 𝑓 la traced’unematrice associée dansunecertaine base.5 — Notons D = Diag(λ1,…,λ𝑛) avec λ1,…,λ𝑛 ∈ K les valeurs propresde A. Alors il existe une matrice P inversible telle que A = PDP−1.Nous avons déjà vu que Tr (A) = Tr (D), donc Tr (A) = ∑𝑛

𝑖=1λ𝑖.La somme des valeurs propres est donc égale à la trace.6 — Sans calcul, on voit que la matrice est de rang 1, donc d’après le théorème durang, 0 est une valeur propre et d’espace propre associé de dimension 2. Il ne restedoncplus éventuellementqu’une valeurpropre à trouver, qui serad’espacepropreassocié au maximum 1. Soit λ cette valeur propre, alors Tr (A) = −15+π = 0+0+λd’après l’exercice. Ainsi, λ = π−15 et Spec(A) = {0,π−15}.


1 — 1.1) C’est presque une question de cours ! Comme pour P de de-gré 𝑝 ⩾ 1, le degré de P′ est 𝑝 − 1, on obtient par récurrence :si 𝑘 ⩽ 𝑝, deg(P(𝑘)) = deg(P)−𝑘, et si 𝑘 > 𝑝,P(𝑘) = 0(⇒ deg= −∞)

1.2) La dérivation d’un polynôme donne un polynôme donc Φ(P) ∈ R[X]. Sideg(P) ⩽ 𝑛, ∀𝑘 ∈ J0 , 𝑛K degP(𝑘) ⩽ 𝑛 ⇒ deg(Φ(P)) ⩽ 𝑛 par propriété surle degré d’une combinaison linéaire de polynômes. Donc Φ(P) ∈R𝑛[X] , deplus la linéarité découle de la linéarité de la dérivation. Ainsi, en conclusion :Φ est un endomorphisme de R𝑛[X].

2 — 2.1) La base canonique de R𝑛[X] est (1,X,X2, ...,X𝑛) et pour tout 𝑘 ⩽𝑛, (X𝑘)′ = 𝑘X𝑘−1, on en déduit la forme de D :

D =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 0 0 0

0 2 0 0

0

𝑛

0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Python2.2)1 import numpy as np

2 def D(n):3 """4 en entree un entier n plus grand ou egal a 15 en sortie la matrice D6 """7 M = np.zeros((n+1,n+1))8 for i in range(n):9 M[i, i+1] = i+1

10 return M

2.3) Pour tout P ∈ R𝑛[X], tout 𝑘 ⩽ 𝑛, P(𝑘) = Δ𝑘(P) et la matrice deΔ𝑘 = Δ∘Δ∘ ... ∘Δ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

𝑘 foisest D𝑘. Donc l’endomorphisme Φ s’écrit aussi

Φ = ∑𝑛𝑘=0 (

𝑛𝑘)Δ

𝑘. Comme I𝑛+1 et D commutent, on peut appliquerla formule du binôme et (I𝑛+1 + D)𝑛 = ∑𝑛

𝑘=0 (𝑛𝑘)D

𝑘, alors par pro-priété sur la matrice d’une combinaison linéaire d’endomorphismes



on reconnait que ∑𝑛𝑘=0 (

𝑛𝑘)D

𝑘 est la matrice de ∑𝑛𝑘=0 (

𝑛𝑘)Δ

𝑘, donc que(I𝑛+1 +D)𝑛 est la matrice de Φ, c’est-à-dire (I𝑛+1 +D)𝑛 = A.

2.4) On commence par écrire un programme qui calculeA à l’aide de la questionprécédente.

Python1 def A(n):2 I = np.eye(n+1)3 M = I + D(n)4 A = I5 for k in range(n):6 A = np.dot(A,M)7 return A

Puis on définit une fonction prenant aussi comme paramètre 𝑛 :

Python1 def Phi(n,coordonneesP):2 """3 en entree un entier n >= 1 et une liste de n+1 termes

représentant les coordonnées↪

4 de P dans la base (1, X, .., Xn)5 en sortie une liste des coordonnees de Phi(P) dans la

meme base↪

6 """7 return np.dot(A(n), coordonneesP)

3 — 3.1) Si P ≠ 0 alors : ∀𝑘 ∈ J1 , 𝑛K, deg(P(𝑘)) < deg(P). De plus aucuncoefficient de la combinaison linéaire n’est nul, donc deg (∑𝑛

𝑘=0 (𝑛𝑘)P

(𝑘)) =

deg(P) ⟺ deg(Φ(P)) = deg(P) .3.2) P ∈ Ker(Φ) ⟺ Φ(P) = 0. Or si P ≠ 0, on vient de voir

deg(Φ(P)) = deg(P) donc Φ(P) ≠ 0, donc P ∉ Ker(Φ). En conclusion :Ker(Φ) = {0} et Φ est injective

3.3) L’application Φ est un endomorphisme injectif en dimension finie, doncΦ est bijectif.

4 — 4.1) Le plus simple est de revenir à A la matrice associée à Φ qui est unecombinaison linéaire de matrices triangulaires supérieures, donc est trian-gulaire supérieure. Dans ce cas, on sait que les valeurs propres de A se lisentsur sa diagonale. Or par construction de D, seul D0 = I𝑛+1 a une diagonalenon nulle, et (𝑛0) = 1 donc la diagonale de A n’est composée que de 1. Enconclusion :Φ, comme A, a 1 comme unique valeur propre.

4.2) Cherchons alorsE1(Φ) en revenant à la définition :P ∈ E1(Φ) ⟺ Φ(P) =P.Tout vecteur propre P ∈R𝑛[X] vérifie

P+𝑛∑𝑘=1

(𝑛𝑘)P(𝑘) = P ⟺

𝑛∑𝑘=1

(𝑛𝑘)P(𝑘) = 0.

Puisque

deg(𝑛∑𝑘=2

(𝑛𝑘)P(𝑘)) < deg(−P′),

nous obtenons clairement une contradiction sauf si P′ = 0 (auquel cas l’in-égalité précédente devient «−∞ < −∞»), les autres dérivées sont alorsnulles elles aussi. Réciproquement si P(X) = 𝑎 avec 𝑎 ∈ R, alors Φ(P) = P.Conclusion : E1(Φ) =R0[X] de dimension 1.

4.3)Caret-right Φ a une unique valeur propre : 1, et l’espace propre associé est de di-

mension 1 ≠ 𝑛+1 qui est la dimension de R𝑛[X], donc Φ n’est pas dia-gonalisable.

Caret-right Autre argument : on s’intéresse cette fois à lamatriceA. CommeA auneunique valeur propre 1, elle est diagonalisable si et seulement si elle estsemblable à la matrice 1× I𝑛+1 = I𝑛+1 : A = P−1I𝑛+1P = I𝑛+1P−1P = I𝑛+1,ce qui n’est pas vrai.

Donc A n’est pas diagonalisable, donc Φ n’est pas diagonalisable .


Chapitre ALG.4. Produit scalaire euclidien

CHAPITRE ALG.4Produit scalaire euclidien

Résumé & Plan

L’Objectif de ce chapitre est de définir une notion d’orthogonalité et de distance sur les espaces vectoriels E = R𝑛 etE = 𝔐𝑛,1 (R) correspondant aux vecteurs lignes et colonnes. Ainsi le but sera entre autres de généraliser le produit

scalaire usuel de R2 définie par

⟨X|Y⟩ = 𝑥1𝑦1 +𝑥2𝑦2, X = (𝑥1,𝑥2) ∈ R2, Y = (𝑦1,𝑦2) ∈ R2.

Rappelons que d’après le théorèmede PYTHAGORE énoncé au collège dansR2, la notion de distance associée entreO(0,0)et M(X) = M(𝑥1,𝑥2) est :

d(O,M(X)) = √⟨X|X⟩ = √𝑥21 +𝑥2

2 .

Que devient cette distance dans R𝑛 ? Nous définirons la notion générale de distance à une partie dans R𝑛, comme laborne inférieure des distances à tout vecteur de la partie, et nous verrons que cette notion possède de nombreuses appli-cations. Par exemple le problème d’existence de la droite des moindres carrés. Nous l’avions déjà obtenue pour rappelà l’aide d’outils analytiques sur les fonctions de deux variables.

W

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Norme & Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Familles orthogonales & orthonormales . . . . . . . . . . . 11

2.3. Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormale . . 13

2.4. Diagonalisation des matrices symétriques réelles . . . . . . 15

3. Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés . . . 25



4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1. Inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2. Diagonalisation de matrices symétriques . . . . . . . . . . 27

4.3. Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


D’après le théorème du point fixe de BROUWER, si voustouillez votre café et que vous attendez que le liquide sestabilise, alors il existera au moins une molécule qui serarevenue à sa position de départ.

—Le saviez-vous?

CadreCOGS

Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, 𝑛 désigne un entier stric-tement positif.

1. GÉNÉRALITÉS

On commence par définir la notion générale de produit scalaire, sur un espacevectoriel quelconque.Onétudiera ensuiteplus endétail le produit scalairedit «eu-clidien» sur R𝑛 et 𝔐𝑛,1 (R).

1.1. Espaces euclidiens

Définition ALG.4.1 | Espace euclidien et produit scalaireSoit E un R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute «formebilinéaire symétrique définie positive». C’est-à-dire toute application ⟨.|.⟩ ∶ E×E ⟶R telle que :1 — (Bilinéarité) ∀(𝑥,𝑦,𝑧) ∈ E3, ∀(λ,μ) ∈R2,

⟨λ𝑥+μ𝑦||𝑧⟩ = λ⟨𝑥|𝑧⟩+μ⟨𝑦||𝑧⟩ , ⟨𝑧||λ𝑥+μ𝑦⟩ = λ⟨𝑧|𝑥⟩+μ⟨𝑧||𝑦⟩ .

2 — (Symétrie) ∀(𝑥,𝑦) ∈ E2, ⟨𝑥||𝑦⟩ = ⟨𝑦||𝑥⟩.3 — (Définie) ∀𝑥 ∈ E, ⟨𝑥|𝑥⟩ = 0 ⟺ 𝑥 = 0E.4 — (Positive) ∀𝑥 ∈ E, ⟨𝑥|𝑥⟩ ⩾ 0.Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire (E, ⟨.|.⟩) est appelé espace pré-hilbertien. Si E est de plus de dimension finie, alors (E, ⟨.|.⟩) est appelé espaceeuclidien.

Dans toute la suite, nous travaillerons quasi intégralement avec le produit scalairedéfini ci-dessous, sur E = R𝑛 ou plus rarement sur E = 𝔐𝑛,1 (R), que l’on appelleproduit scalaire canonique ou euclidien, il généralise la version surR2 rappelée enintroduction.

Définition/Proposition ALG.4.1 | Produit scalaire «canonique», ou «eucli-dien»

On appelle produit scalaire canonique (ou produit scalaire euclidien) sur R𝑛

(resp. sur 𝔐𝑛,1 (R)) l’application

⟨.|.⟩|||||||

R𝑛 ×R𝑛 ⟶ R,

((𝑥1,…,𝑥𝑛), (𝑦1,…,𝑦𝑛)) ⟼𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑦𝑖,



(resp. ⟨.|.⟩

|||||||||||||

𝔐𝑛,1 (R)×𝔐𝑛,1 (R) ⟶ R,

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥1

𝑥𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑦1

𝑦𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

⟼𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑦𝑖.)

Pour 𝑛 = 1, il correspond au produit de deux réels, pour 𝑛 = 2 au produit scalairedu lycée.

Preuve (Il s’agit bien d’un produit scalaire) Faisons la preuve dans le

cas E = R𝑛, elle est strictement identique pour E = 𝔐𝑛,1 (R). PEN-FANCY 2) : avecles notations de la définition, puisque pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K, 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 𝑦𝑖𝑥𝑖, ilvient la propriété de symétrie.1) : Soit (𝑥,𝑦,𝑧) ∈ (R𝑛)3, (λ,μ) ∈ R2, en notant𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑧𝑖 les coordonnées des trois vecteurs, on obtient :

⟨λ𝑥+μ𝑦||𝑧⟩ = ⟨(λ𝑥1 +μ𝑦1,…,λ𝑥𝑛 +μ𝑦𝑛)||(𝑧1,…,𝑧𝑛)⟩ =𝑛∑𝑖=1

(λ𝑥𝑖 +μ𝑦𝑖)𝑧𝑖

= λ𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑧𝑖 +μ𝑛∑𝑖=1

𝑦𝑖𝑧𝑖

= λ⟨𝑥|𝑧⟩+μ⟨𝑦||𝑧⟩ .

li-néa-ri-tédelasomme

Par symétrie, vient alors la linéarité à droite.

3) et 4) : Soit 𝑥 ∈ R𝑛, alors comme ⟨𝑥|𝑥⟩ = ∑𝑛𝑖=1𝑥

2𝑖 , il vient immédiatement

⟨𝑥|𝑥⟩ ⩾ 0, et comme une somme de termes positifs est nulle si et seulementsi tous les termes sont nuls on obtient ⟨𝑥|𝑥⟩ = 0 si et seulement si 𝑥 = 0R𝑛 .

Remarque 1.1— Et la rigueur dans tout ça? En toute rigueur, il faudrait no-ter différemment les deux produits scalaires, plutôt qu’avec un symbole géné-rique «⟨.|.⟩». En tant qu’applications ce sont deux objets différents puisque les en-sembles de départ ne sont pas les mêmes.

Dans la pratique, nous ne le ferons pas, car cette confusion de notation n’est pasparticulièrement source d’erreurs. Les sujets de concours généralement font pireet introduisent le problème avec une phrase du type «on assimilera les vecteurs

lignes aux vecteurs colonnes».

CadreCOGS

Dans tout ce chapitre, E désignera dorénavant R𝑛 ou 𝔐𝑛,1 (R), et ⟨.|.⟩ leproduit scalaire euclidien associé, comme défini précédemment.

Proposition ALG.4.1 | Expressionmatricielledansℬcan duproduit scalaire1 — (Si E = R𝑛) Soient 𝑥,𝑦 ∈R𝑛, notons X = ℳat

ℬcan(𝑥) , Y = ℳat

ℬcan(𝑦) . Alors :

⟨𝑥||𝑦⟩ = ⊤X×Y.

2 — (Si E = 𝔐𝑛,1 (R)) Soient X,Y ∈ 𝔐𝑛,1 (R). Alors :

⟨X|Y⟩ = ⊤X×Y.

Attention×

Afin de détecter toute erreur, bien vérifier les formats des matrices quandvous utilisez ces formules.

Preuve1 — (Si E = R𝑛)

PEN-FANCY

2 — (Si E = 𝔐𝑛,1 (R)) Même preuve que précédemment en donnant unnom aux coordonnées des matrices ligne X,Y.

Remarque 1.2 — Dans la suite, nous allons généraliser la Proposition ALG.4.1.Plus précisément, nous montrerons qu’elle est encore vraie en remplaçant ℬcan

par n’importe quelle autre base dite orthonormée.



Nous avons donc vu que ⟨.|.⟩ est bilinéaire, i.e.

Caret-right pour tout 𝑦 ∈ E, 𝑥 ⟼ ⟨𝑥||𝑦⟩ est linéaire (on parle de «linéarité à gauche»),Caret-right et pour tout 𝑥 ∈ E, 𝑦 ⟼ ⟨𝑥||𝑦⟩ également (on parle de «linéarité à droite»).

Cela peut se formuler comme ci-dessous.

Corollaire ALG.4.1 | Écriture explicite de la bilinéaritéSoient 𝑝 et 𝑞 deux entiers strictement positifs, (λ1,…,λ𝑝) ∈R𝑝 et (μ1,…,μ𝑞) ∈R𝑞. Soient (𝑥1,…,𝑥𝑝) une famille de 𝑝 vecteurs de E et (𝑦1,…,𝑦𝑞) une famillede 𝑞 vecteurs de E. Alors :

⟨𝑝

∑𝑖=1

λ𝑖𝑥𝑖||||

𝑞

∑𝑗=1

μ𝑗𝑦𝑗⟩ =𝑝

∑𝑖=1

𝑞

∑𝑗=1

λ𝑖μ𝑗 ⟨𝑥𝑖||𝑦𝑗⟩.

Preuve

⟨𝑝

∑𝑖=1

λ𝑖𝑥𝑖||||

𝑞

∑𝑗=1

μ𝑗𝑦𝑗⟩ =𝑝

∑𝑖=1

λ𝑖⟨𝑥𝑖||||

𝑞

∑𝑗=1

μ𝑗𝑦𝑗⟩ par linéarité à gauche,

=𝑝

∑𝑖=1

𝑞

∑𝑗=1

λ𝑖μ𝑗 ⟨𝑥𝑖||𝑦𝑗⟩ par linéarité à droite.

Remarque 1.3— Notez l’analogie avec la formule pour développer une quantitéde la forme

Cov(𝑝

∑𝑖=1

λ𝑖X𝑖,𝑞

∑𝑗=1

μ𝑗Y𝑗) =𝑝

∑𝑖=1

λ𝑖μ𝑗

𝑞

∑𝑗=1

Cov (X𝑖,Y𝑗) ,

où 𝑝,𝑞 sont deux entiers non nuls, X1,…,X𝑝,Y1,…,Y𝑞 dont des variables aléa-toires admettant un moment d’ordre deux, et λ1,…,λ𝑝,μ1,…,μ𝑞 ∈ R. Cette for-mule est symptomatique de toute application bilinéaire, la covariance en étaitune.

Remarque 1.4— Ce n’est pas le seul produit scalaire que l’on peut attacher à E,

néanmoins le programme se contente de celui-ci. Par exemple, l’application

||||||

E×E ⟶ R

(𝑥,𝑦) ⟼ 2⟨𝑥||𝑦⟩

est encore un produit scalaire sur E.

PythonProduit scalaire euclidien

1 def produit_scalaire_eucl(X, Y):2 '''3 X,Y deux vecteurs->produit scalaire euclidien des deux4 '''5 S = 06 for i in range(len(X)):7 S += X[i]*Y[i]8 return S

1 — dansR3, le produit scalaire des vecteurs 𝑥 = (1,0,1) et 𝑦 = (−2,3,5) est :3.2 — Dans R5, le produit scalaire des vecteurs 𝑥 = (0,0,1,2,2) et 𝑦 =(3,3,3,0,2) est : 7.

Remarque 1.5— D’autres produits scalaires À titre culturel, voici deux applica-tions définissant des produits scalaires sur d’autres espaces vectoriels que R𝑛 et𝔐𝑛,1 (R).

1 — Si E = 𝒞0([𝑎,𝑏],R) avec 𝑎 < 𝑏. Alors (𝑓,𝑔) ⟼ ∫𝑏𝑎 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)d𝑡 est un produit

scalaire sur E.2 — Si E est R𝑛[X] avec 𝑛 ⩾ 1, alors (P,Q) ⟼

𝑛∑𝑘=0

P(𝑘)Q(𝑘) est un produit scalaire

sur E.



CadreCOGS

Àpartirdemaintenant,E sera toujours égal àR𝑛 (ou𝔐𝑛,1 (R)).Lanotation⟨.|.⟩désignera leproduit scalairecanoniquedéfiniprécédemment suivantle cas considéré.

1.2. Norme & Distance

Définition ALG.4.2 | Norme d’un vecteurSoit 𝑥 ∈ E. Alors on appelle norme euclidienne de 𝑦 la quantité notée ‖𝑥‖, dé-finie par :

‖𝑥‖ = √⟨𝑥|𝑥⟩.

Remarque 1.6— Notez que la norme est bien définie puisque ⟨𝑥|𝑥⟩ ⩾ 0 pour tout𝑥 ∈ E.

Remarque 1.7— Interprétation géométrique si 𝑛 = 2 Géométriquement, celacorrespond à la distance entre le point M de coordonnées celles du vecteurs 𝑥, etl’origine O(0,0).

Proposition ALG.4.2 | Identités de polarisation.Soit (𝑥,𝑦) ∈ (E)2, alors nous avons :1 — ⟨𝑥||𝑦⟩ = 1

2 (‖‖𝑥+𝑦‖‖2 −‖𝑥‖2 −‖‖𝑦‖‖2) ,

2 — ⟨𝑥||𝑦⟩ = 12 (‖𝑥‖2 +‖‖𝑦‖‖2 −‖‖𝑥−𝑦‖‖2) ,

3 — ⟨𝑥||𝑦⟩ = 14 (‖‖𝑥+𝑦‖‖2 −‖‖𝑥−𝑦‖‖2) .

Preuve (Point clef — Développer les normes en les exprimant à l’aidedu produit scalaire)Rédigeons uniquement la première (démonstration identique pour les

autres). PEN-FANCY On développe le carré de la norme :

‖‖𝑥+𝑦‖‖2 = ⟨𝑥+𝑦||𝑥+𝑦⟩ = ⟨𝑥|𝑥⟩+⟨𝑥||𝑦⟩+⟨𝑦||𝑥⟩+⟨𝑦||𝑦⟩ = ‖𝑥‖2+2⟨𝑥||𝑦⟩+‖‖𝑦‖‖2 .

En isolant ⟨𝑥||𝑦⟩, on obtient 1).

Proposition ALG.4.3 | Identités du parallélogramme.Soit (𝑥,𝑦) ∈ (E)2, alors nous avons :

‖‖𝑥+𝑦‖‖2 +‖‖𝑥−𝑦‖‖2 = 2(‖𝑥‖2 +‖‖𝑦‖‖)2.

L’interprétation géométrique est la suivante : lasomme des carrés des longueurs des diagonales d’unparallélogramme est la somme des carrés des lon-gueurs des côtés. Ce résultat peut se retrouver avec lethéorème de PYTHAGORE dans le cas d’un rectangle.

𝑥

𝑦

𝑥+𝑦

𝑥−𝑦

𝑥−𝑦

Preuve PEN-FANCY On développe le carré de la norme :

‖‖𝑥+𝑦‖‖2 +‖‖𝑥−𝑦‖‖2 = ‖𝑥‖2 +2⟨𝑥||𝑦⟩+‖‖𝑦‖‖2 +‖𝑥‖2 −2⟨𝑥||𝑦⟩+‖‖𝑦‖‖2

= 2(‖𝑥‖2 +‖‖𝑦‖‖2).

Les deux techniques mises en jeu dans les preuves précédentes doivent être rete-nues comme une méthode, car elles sont fondamentales dans la pratique.

Méthode (Développement d’une norme de somme au carré)WRENCH

Soit ‖‖𝑥+𝑦‖‖2 avec 𝑥,𝑦 ∈ E.1 — Écrire la quantité en fonction du produit scalaire : ‖‖𝑥+𝑦‖‖2 =⟨𝑥+𝑦||𝑥+𝑦⟩.2 — Développer en utilisant la bilinéarité du produit scalaire.



Attention×

On oublie de suite la formule archi-fausse suivante :

‖‖𝑥+𝑦‖‖2 ≠ ‖𝑥‖2 +‖‖𝑦‖‖2 +2‖𝑥‖‖‖𝑦‖‖.

Proposition ALG.4.4 | Inégalité de CAUCHY-SCHWARZPour tout (𝑥,𝑦) ∈ (E)2 :

||⟨𝑥||𝑦⟩|| ⩽ ‖𝑥‖‖‖𝑦‖‖.

De plus, l’égalité est réalisée si et seulement si la famille (𝑥,𝑦) est liée, i.e. si :∃λ ∈R, 𝑥 = λ𝑦.

Remarque 1.8— Troisième inégalité de CAUCHY-SCHWARZ que l’on rencontre de-puis le début de l’année : vous constaterez que la démonstration est toujours lamême. On étudie un certain polynôme dont on constate la positivité.

Preuve (Point clef— Introduire la fonctionP ∶ λ ∈ R⟼ ‖‖𝑥+λ𝑦‖‖2, c’estun polynôme en λ)

PEN-FANCY

Soit λ ∈ R, alors P(λ) = ⟨𝑥+λ𝑦||𝑥+λ𝑦⟩ = ‖𝑥‖2 +2λ⟨𝑥||𝑦⟩+λ2 ‖‖𝑦‖‖2 . C’est unpolynôme en λ de degré 1 ou 2.

Caret-right 1er cas : si ‖‖𝑦‖‖ = 0, alors l’inégalité est triviale (0 ⩽ 0).Caret-right 2ème cas : si ‖‖𝑦‖‖ > 0, alors P est un trinôme, positif pour tout λ ∈ R,

donc de discriminant Δ = 4⟨𝑥||𝑦⟩2 − 4‖𝑥‖2 ‖‖𝑦‖‖2 ⩽ 0, ce qui est équi-valent à ⟨𝑥||𝑦⟩2 ⩽ ‖𝑥‖2 ‖‖𝑦‖‖2, il ne reste plus qu’à prendre la racine dechaque côté pour obtenir l’inégalité souhaitée.

Enfin, le cas d’égalité est obtenu lorsque :

Δ = 0 ⟺ P possède une racine double,⟺ P s’annule sur R (car positif),

⟺ ∃λ ∈R, P(λ) = 0 = ‖‖𝑥+λ𝑦‖‖2 ⟺ 𝑥 = λ𝑦.⟺ ∃λ ∈R, (𝑥,𝑦) liée.

Exemple 1— Autre démonstration Soient 𝑥,𝑦 ∈ E⧵ {0E}. Retrouver l’inégalité deCAUCHY-SCHWARZ en développant ‖‖‖

𝑥‖𝑥‖ − 𝑦

‖‖𝑦‖‖‖‖‖2.

PEN-FANCY

Exemple 2— Utilisations de l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ

1 — Montrer que : pour tout (𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, 𝑥+𝑦+𝑧 ⩽ √3√𝑥2 +𝑦2 +𝑧2.

PEN-FANCY Nous avons, en notant X = (𝑥,𝑦,𝑧) et 𝟙 = (1,1,1), 𝑥+𝑦+𝑧 = ⟨X|𝟙⟩. Donc parl’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ, on obtient :

⟨X|𝟙⟩ ⩽ |⟨X|𝟙⟩| ⩽ ‖𝟙‖‖X‖ = √3√𝑥2 +𝑦2 +𝑧2.

2 — (Utilisation du cas d’égalité) Résoudre le système non linéaire ci-après :

⎧⎨⎩

𝑥1 +𝑥2 +...+𝑥𝑛 = 𝑛,

𝑥21 +𝑥2

2 +...+𝑥2𝑛 = 𝑛.



PEN-FANCY

CLONE Analyse – Soit 𝑥 = (𝑥1,…,𝑥𝑛) ∈ R𝑛 une solution du système. Alors d’aprèsl’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ :

𝑛 = 𝑥1+⋯+𝑥𝑛 = ⟨𝑥|(1,…,1)⟩ ⩽ |⟨𝑥|(1,…,1)⟩| ⩽ ‖𝑥‖‖(1,…,1)‖ = √𝑥21 +⋯+𝑥2

𝑛√𝑛.

En utilisant la seconde ligne du système, il vient :

𝑛 = 𝑥1 +⋯+𝑥𝑛 = ⟨𝑥|(1,…,1)⟩ ⩽ |⟨𝑥|(1,…,1)⟩| = √𝑛√𝑛 = 𝑛.

Il y a donc égalité dans l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ. Ainsi, les vecteurs 𝑥 et(1,…,1) sont liés, i.e. : ∃λ ∈R, 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = λ.CLONE Synthèse. Inversement, soit 𝑥 = (λ,…,λ) avec λ ∈ R. Alors 𝑥 est solution dusystème si et seulement si

⎧⎨⎩

𝑛λ = 𝑛,

𝑛λ2 = 𝑛,⟺

⎧⎨⎩

λ = 1,

𝑛 = 𝑛.

En résumé, l’unique solution du système est (1,…,1) .

Méthode (Majorer des sommes avec Cauchy-Schwarz)WRENCH

Interpréter une somme comme un produit scalaire. On retiendra l’exempletrès classique suivant : si (𝑥1,…,𝑥𝑛) ∈R𝑛,

||||

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖||||= ||⟨(1,…,1)||(𝑥1,…,𝑥𝑛)⟩|| ⩽ √𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥2𝑖 .

Proposition ALG.4.5 | Propriétés de norme

L’application ‖.‖ ∶||||||

E ⟶ R

𝑥 ⟼ ‖𝑥‖est une norme sur E, i.e.

1 — (Homogénéité) ∀λ ∈R, 𝑥 ∈ E, ‖λ𝑥‖ = |λ|‖𝑥‖.2 — (Positivité) ∀𝑥 ∈ E, ‖𝑥‖ ⩾ 0.3 — (Inégalité triangulaire) ∀𝑥,𝑦 ∈ E, ‖‖𝑥+𝑦‖‖ ⩽ ‖𝑥‖ + ‖‖𝑦‖‖. De plus,

l’égalité est réalisée si et seulement si (𝑥,𝑦) est positivement liée : ∃λ ∈R+ , 𝑥 = λ𝑦.4 — (Séparation) ∀𝑥 ∈ E, ‖𝑥‖ = 0 ⟺ 𝑥 = 0.

Preuve Dans toute la preuve, nous nous plaçons dans le cas E =R𝑛, l’autre se montrant de la même manière. Soient 𝑥 = (𝑥1,…,𝑥𝑛), 𝑦 =(𝑦1,…,𝑦𝑛) deux vecteurs de R𝑛, et λ ∈R.

1 — PEN-FANCY

‖λ𝑥‖ = √∑𝑛𝑖=1(λ𝑥𝑖)2 = √λ2∑𝑛

𝑖=1𝑥2𝑖 = |λ|‖𝑥‖.

2 — PEN-FANCY ‖𝑥‖ = √∑𝑛𝑖=1𝑥

2𝑖 ⩾ 0.

3 — (Point clef — Montrer l’inégalité élevée au carré)

PEN-FANCY Nous avons, puisque√‖‖𝑥+𝑦‖‖2 = ||‖‖𝑥+𝑦‖‖|| = ‖‖𝑥+𝑦‖‖ et que la fonctionracine est croissante :

‖‖𝑥+𝑦‖‖ ⩽ ‖𝑥‖+‖‖𝑦‖‖ ⟺ ‖‖𝑥+𝑦‖‖2 ⩽ ‖𝑥‖2 +‖‖𝑦‖‖2 +2‖𝑥‖‖‖𝑦‖‖ (⋆).

Il suffit donc de montrer (⋆). Mais comme,

‖‖𝑥+𝑦‖‖2 = ‖𝑥‖2 +‖‖𝑦‖‖2 +2⟨𝑥||𝑦⟩

⩽ ‖𝑥‖2 +‖‖𝑦‖‖2 +2||⟨𝑥||𝑦⟩|| ⩽CAUCHY-SCHWARZ ‖𝑥‖2 +‖‖𝑦‖‖2 +2‖𝑥‖‖‖𝑦‖‖,

il vient (⋆). L’inégalité triangulaire est démontrée.Reste à présent le cas d’égalité, il y a égalité si et seulement si ⟨𝑥||𝑦⟩ = ‖𝑥‖‖‖𝑦‖‖— attention ceci n’est pas le cas d’égalité dans CAUCHY-SCHWARZ, du fait del’absence de valeurs absolues autour du produit scalaire.Supposons que 𝑥 = λ𝑦 avec λ ∈ R+, alors on vérifie sans difficulté que (𝑥,𝑦)réalise l’égalité dans l’inégalité triangulaire : (1+λ)‖‖𝑦‖‖ = (1+λ)‖‖𝑦‖‖.Inversement, supposons que ⟨𝑥||𝑦⟩ = ‖𝑥‖‖‖𝑦‖‖. Alors : ||⟨𝑥||𝑦⟩|| = ‖𝑥‖‖‖𝑦‖‖en prenant la valeur absolue, donc (𝑥,𝑦) réalise l’égalité dans l’inégalité deCAUCHY-SCHWARZ. Donc il existe λ ∈R, 𝑥 = λ𝑦. Mais en injectant dans l’éga-lité triangulaire, on trouve :

|1+λ|‖‖𝑦‖‖ = (1+ |λ|)‖‖𝑦‖‖.

Si ‖‖𝑦‖‖ = 0 (i.e. 𝑦 = 0), alors il y a évidemment égalité.Si 𝑦 ≠ 0, alors |1+λ| = 1+ |λ| ce qui implique λ ⩾ 0. Donc (𝑥,𝑦) est positive-ment liée.



𝑥

𝑦

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

𝒞𝑥⟼|1+𝑥|

𝒞𝑥⟼1+|𝑥|

4 — PEN-FANCY

‖𝑥‖ = 0 ⟺ √𝑛∑𝑖=1

𝑥2𝑖 = 0 ⟺

𝑛∑𝑖=1

𝑥2𝑖 = 0 ⟺ ∀𝑖 ∈ J1,𝑛K, 𝑥𝑖 = 0.

Définition ALG.4.3 | Distance entre deux vecteursSoient 𝑥,𝑦 ∈ E. Alors on appelle distance euclidienne entre 𝑥 et 𝑦 la quantiténotée d(𝑥,𝑦), définie par :

d(𝑥,𝑦) = ‖‖𝑥−𝑦‖‖.

En particulier, d(𝑥,0E) = ‖𝑥‖.

PythonDistance euclidienne

Python1 import math as ma2 def distance_eucl(X, Y):3 '''4 X,Y deux vecteurs->distance

euclidienne entre les deux↪

5 '''6 D = 07 for i in range(len(X)):8 D += (X[i]-Y[i])**29 return ma.sqrt(D)

Ainsi, si 𝑥 = (5,5,−3) et 𝑦 = (5,2,7)sont deux vecteurs de R3, on trouveavec Python : d(𝑥,𝑦) =10.44.

Enfin, nous arrivons à l’expression générale de la distance à une partie de E.

Définition/Proposition ALG.4.2 | Distance entre un vecteur et une partiede E

Soient 𝑥 ∈ E et A ⊂ E non vide. Alors on appelle distance euclidienne entre 𝑥 etA la quantité notée d(𝑥,A), définie par :

d(𝑥,A) = inf𝑦∈A

d(𝑥,𝑦) = inf𝑦∈A

‖‖𝑥−𝑦‖‖.

𝑥

𝑦

‖‖𝑥−𝑦‖‖

A

FIG. ALG.4.1. : La distance entre 𝑥 et A est la plus petite des distances en pointillés.

Remarque 1.9— On rappelle que la borne inférieure d’une partie est, par défini-tion, le plus grand minorant de la partie (s’il existe, c’est le cas lorsque la partie est



non vide et minorée). De plus, δ = inf𝑦∈A ‖‖𝑥−𝑦‖‖ si et seulement si :

Caret-right δ est un minorant de {‖‖𝑥−𝑦‖‖, 𝑦 ∈ A},Caret-right il existe une suite (𝑦𝑛) de A telle que : ‖‖𝑥−𝑦𝑛‖‖

𝑛→∞−−−−→ δ.

Preuve Justifions l’existencede cette borne inférieure. PEN-FANCY Toutepartienon vide minorée admet une borne inférieure. L’ensemble

{‖‖𝑥−𝑦‖‖, 𝑦 ∈ A}

est une partie minorée par zéro, elle est non vide car A est non vide, doncd(𝑥,A) existe.

Dans la prochaine section, nous verrons que, si A est un sous-espace vectoriel deE alors on a une expression explicite de d(𝑢,A) pour tout 𝑥 : cette expression feraintervenir la projection orthogonale de 𝑢 sur A. Voyons deux exemples où A n’enest pas un.

Exemple 3— Distances à des cercles

1 — Soient 𝑢 = (−2,−3) et

A = {(𝑥,𝑦) ∈R2, (𝑥+2)2 +(𝑦+3)2 = 4, 𝑥 ⩽ −2},

on a : d(𝑢,A) = 2. PEN-FANCY Géométriquement, onconstate que tous les points de A sont à distance 2 de𝑢, en effet : si (𝑥,𝑦) ∈ A vérifie (𝑥 +2)2 + (𝑦+3)2 = 4,alors √(𝑥+2)2 +(𝑦+3)2 = ‖‖(𝑥,𝑦)−𝑢‖‖ = 2. Autre-ment dit, pour tout (𝑥,𝑦) ∈ A, d((𝑥,𝑦),𝑢) = 2 doncd(𝑢,A) = 2.

𝑢

(𝑥,𝑦)A

2 — Soient 𝑢 = (−3,0) et B = {(𝑥,𝑦) ∈R2, √𝑥2 +𝑦2 < 2}, on a : d(𝑢,B) = 1.

L’ensemble B est le disque ouvert 𝒞(0,2), l’ouverture signifiant que l’on enlève lafrontière. Nous avons

d(𝑢,B) = inf(𝑥,𝑦)∈B

‖‖(−3,0)− (𝑥,𝑦)‖‖ = inf(𝑥,𝑦)∈R2, √𝑥2+𝑦2<2

√(−3−𝑥)2 +𝑦2.

Géométriquement, on conjecture que la distance (verte sur le dessin) vaut 1, etque la borne inférieure n’est pas atteinte (car la frontière est exclue). Pourmontrerque 1 = d(𝑢,B) il faut et il suffit d’établir que : 1 est un minorant, et qu’il existe unesuite de points de B notée (𝑏𝑛) telle que ‖‖𝑢−𝑏𝑛‖‖

𝑛→∞−−−−→ 1.Le nombre 1 est un minorant des distances, en effet, d’après le théorème de PY-THAGORE :

∀𝑦 ∈ B, ‖‖𝑢−𝑦‖‖ ⩾ ‖𝑢−𝑧‖,

où 𝑧 est défini sur le dessin, or ‖𝑢−𝑧‖ ⩾ 1. Donc :

∀𝑦 ∈ B, ‖‖𝑢−𝑦‖‖ ⩾ 1,

ceci prouve que 1 est un minorant de notre partie. Notons

𝑏𝑛 = (−(2−1𝑛

),0) = (1𝑛

−2,0) ,

alors 𝑏𝑛 ∈ B pour tout 𝑛 ∈ N⋆, et ‖‖𝑢−𝑏𝑛‖‖ = √(−3+2− 1𝑛 )

1+02 𝑛→∞−−−−→ 1. C’est

terminé.

𝑢B

borne inférieure des distances

(𝑥,𝑦)

distance minimale

𝑧



2. ORTHOGONALITÉ

Définition ALG.4.4 | Vecteurs orthogonauxSoient 𝑥 et 𝑦 deux vecteurs de E. Alors 𝑥 et 𝑦 sont dits orthogonaux si :

⟨𝑥||𝑦⟩ = 0.

NotationΣOn note généralement 𝑥 ⟂ 𝑦 pour désigner l’orthogonalité de deux vecteursde E.

2.1. Orthogonal d’une partie

Définition/Proposition ALG.4.3 | Orthogonal d’une partie de ESoit A ⊂ E une partie de E. Alors

A⟂ = {𝑥 ∈ E, ∀𝑎 ∈ A, ⟨𝑥|𝑎⟩ = 0}

est un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle l’orthogonal de A dans E.

Remarque 2.1—

Preuve PEN-FANCY

Soient 𝑥,𝑦 ∈ A⟂ et λ,μ ∈ R, montrons que λ𝑥+μ𝑦 ∈ A⟂. Considérons 𝑎 ∈ A,alors :

⟨λ𝑥+μ𝑦||𝑎⟩ = λ⟨𝑥|𝑎⟩+μ⟨𝑦||𝑎⟩ = λ0+μ0 = 0.

Donc A⟂ est stable par combinaison linéaire. De plus 0E ∈ A⟂ car pour tout𝑎 ∈ A, ⟨0E||𝑎⟩ = 0, donc A⟂ est un sous-espace vectoriel de E.

Exemple 4—

1 — E⟂ = {0E}. PEN-FANCY

En effet, si 𝑥 ∈ E⟂, alors en particulier ⟨𝑥|𝑥⟩ = 0 = ‖𝑥‖2, ceci implique 𝑥 = 0 parpropriété de la norme euclidienne. Inversement, 0E ∈ E⟂ puisqueE⟂ est un espacevectoriel. Conclusion : E⟂ = {0E}.

2 — {0E}⟂ = E. PEN-FANCYEn effet,

𝑥 ∈ {0E}⟂ ⟺ ∀𝑦 ∈ {0E} , ⟨𝑥||𝑦⟩ = 0 ⟺ 𝑥 ∈ E,

puisque ⟨𝑥|0⟩ = 0 pour tout 𝑥 ∈ E. D’où l’égalité : {0E}⟂ = E.

Proposition ALG.4.6 | Si on connaît une famille génératrice de ASupposons que A = Vect(𝑒1,…,𝑒𝑚), avec 𝑚 ⩾ 1, en particulier A est un sous-espace vectoriel de R𝑛. Alors :

𝑥 ∈ A⟂ ⟺ 𝑥 ⟂ 𝑒𝑖 ∀𝑖 ∈ J1 , 𝑚K.

Cette propriété se comprend aisément sur sur le dessin ci-contre. Pour être dansl’orthogonal d’une partie engendrée par (𝑒1,𝑒2), il faut et il suffit d’être orthogonalaux deux vecteurs 𝑒1,𝑒2.

𝑒1

𝑒2

A⟂

A

FIG. ALG.4.2. : Orthogonale d’un Vect



Preuve

⟹ PEN-FANCY Soit 𝑥 ∈ A⟂, alors 𝑥 est orthogonal à tous les éléments de A,donc en particulier à 𝑒1,…,𝑒𝑚.

⟸ PEN-FANCY Soit 𝑥 ∈ E tel que ⟨𝑥||𝑒𝑖⟩ = 0, ∀𝑖 ∈ J1 , 𝑚K et montrons que𝑥 ∈ A⟂.

Alors soit 𝑎 = ∑𝑚𝑖=1λ𝑖𝑒𝑖 un élément de A, avec λ𝑖 ∈ R pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑚K.

Alors :

⟨𝑥|𝑎⟩ = ⟨𝑥||||

𝑚∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖⟩ =𝑚∑𝑖=1

λ𝑖⟨𝑥||𝑒𝑖⟩=0

= 0.

Donc 𝑥 ∈ A⟂.

Exemple 5— Calculer F⟂ puis F⟂⟂ = (F⟂)⟂

où F = Vect ((1,2,0), (0,1,3)). On don-

nera une famille génératrice de chaque espace. PEN-FANCY Notons 𝑒1 = (1,2,0)) et𝑒2 = (0,1,3).

(𝑥,𝑦,𝑧) ∈ E⟂ ⟺⎧⎨⎩

(𝑥,𝑦,𝑧) ⟂ 𝑒1

(𝑥,𝑦,𝑧) ⟂ 𝑒2

⟺ {𝑥+2𝑦 = 0

𝑦+3𝑧 = 0

⟺ {𝑥 = 6𝑧

𝑦 = −3𝑧⟺ (𝑥,𝑦,𝑧) = (6𝑧,−3𝑧,𝑧) = 𝑧(6,−3) ⟺ (𝑥,𝑦,𝑧) ∈ Vect(6,−3,1).

Donc F⟂ = Vect(6,−3,1). Puis (𝑥,𝑦,𝑧) ∈ F⟂ si et seulement si (𝑥,𝑦,𝑧) ⟂ (6,−3,1).Cela signifie que 6𝑥−3𝑦+𝑧 = 0. C’est l’équation d’un plan de R3, une famille gé-nératrice est donnée par

F⟂⟂ = ( (0,1,3), (1,0,−6) ).

Exemple 6— Montrer de manière générale que A ⊂ A⟂⟂ pour toute partie A deE.

PEN-FANCY

Remarque 2.2— Dans E =R𝑛 ou E = 𝔐𝑛,1 (R), nous avons toujours

dimF+dimF⟂ = dimE = 𝑛,

i.e. 2+1 = 3 sur la figure précédente. Cette propriété se comprend aisément géo-métriquement mais nous n’avons pas les outils mathématiques pour la démon-trer pour le moment. En revanche, rien ne vous empêche de vous en servir pourcontrôler a posteriori vos résultats.

2.2. Familles orthogonales & orthonormales

Définition ALG.4.5 | Familles orthogonales et orthonormalesSoit (𝑒𝑖)𝑖∈I avec I un ensemble une famille de vecteurs de E.1 — On dit que (𝑒𝑖)𝑖∈I est une famille orthogonale si :

∀𝑖 ≠ 𝑗 ∈ I, ⟨𝑒𝑖||𝑒𝑗⟩ = 0.

2 — On dit que (𝑒𝑖)𝑖∈I est une famille orthonormale si :Caret-right elle est orthogonale,Caret-right et pour tout 𝑖 ∈ I, ‖‖𝑒𝑖‖‖ = 1.



Exemple 7— La base canonique de E est orthonormale La base canonique ℬcan

de E est-elle orthogonale? orthonormale? PEN-FANCY Oui. Notons (𝑒1,…,𝑒𝑛) la basecanonique de E. Si 𝑖 ≠ 𝑗, alors ⟨𝑒𝑖||𝑒𝑗⟩ = 0 étant donné que «les 1» sont à des po-sitions différentes. La famille ℬcan est donc orthogonale. De plus, pour 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K,‖‖𝑒𝑖‖‖

2 = 02+⋯+02+12+02 = 12. C’est donc en résumé une base orthonormée.

Rappelons que toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propresdistinctes d’un endomorphisme est libre. Nous voyons dans ce chapitre une autrecondition suffisante garantissant la liberté : l’orthogonalité.

Proposition ALG.4.7 | Liberté d’une famille orthogonaleSoient 𝑚 ⩾ 1, (𝑒1,…,𝑒𝑚) une famille de vecteurs de E. On suppose que :1 — pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑚K, 𝑒𝑖 ≠ 0,2 — (𝑒1,⋯,𝑒𝑚) est orthogonale,a

alors :la famille (𝑒1,…,𝑒𝑚) est libre.

Preuve PEN-FANCY Soient λ1,…,λ𝑚 ∈ R telles que𝑚∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖 = 0. Alors soit 𝑗 ∈

J1 , 𝑚K. Nous avons alors en prenant le produit scalaire avec 𝑒𝑖 :

⟨𝑚∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖||||𝑒𝑗⟩ =

𝑚∑𝑖=1

λ𝑖 ⟨𝑒𝑖||𝑒𝑗⟩ = λ𝑗 ⟨𝑒𝑗||𝑒𝑗⟩ = 0

en utilisant l’othogonalité de la famille. Donc comme ⟨𝑒𝑗||𝑒𝑗⟩ = ‖‖𝑒𝑗‖‖2 ≠ 0 (si-

non 𝑒𝑗 = 0 et c’est une contradiction par rapport aux hypothèses du théo-rème), on obtient

λ𝑗 = 0.

Faisant cela pour tout 𝑗, on obtient la liberté de la famille.

aInutile qu’elle soit orthonormée, le fait que les vecteurs soient non nuls suffit

Théorème ALG.4.1 | PythagoreSoient (𝑒1,…,𝑒𝑚) une famille orthogonale de 𝑚 vecteurs de E. Alors :

‖‖𝑒1 +⋯+𝑒𝑚‖‖ 2 =𝑚∑𝑖=1

‖‖𝑒𝑖‖‖2 .

De plus, pour deux vecteurs (𝑒1,𝑒2), on a l’équivalence suivante :

‖‖𝑒1 +𝑒2‖‖2 = ‖‖𝑒1‖‖

2 +‖‖𝑒2‖‖2 ⟺ 𝑒1 ⟂ 𝑒2.

Preuve PEN-FANCY

‖‖𝑒1 +⋯+𝑒𝑚‖‖2 = ⟨𝑛∑𝑖=1

𝑒𝑖||||

𝑚∑𝑗=1

𝑒𝑗⟩

=𝑛∑𝑖=1

𝑚∑𝑗=1

⟨𝑒𝑖||𝑒𝑗⟩

=𝑛∑𝑖=1

⟨𝑒𝑖||𝑒𝑖⟩+0

=𝑛∑𝑖=1

‖‖𝑒𝑖‖‖2 .

bilinéarité du produit scalaire

⟨𝑒𝑖||𝑒𝑗⟩ = 0 si 𝑖 ≠ 𝑗

Pour la dernière partie du théorème, on écrit

‖‖𝑒1 +𝑒2‖‖2 = ⟨𝑒1 +𝑒2||𝑒1 +𝑒2⟩ = ‖‖𝑒1‖‖

2 +‖‖𝑒2‖‖2

⟺ ‖‖𝑒1‖‖2 +‖‖𝑒2‖‖

2 +2⟨𝑒1||𝑒2⟩ = ‖‖𝑒1‖‖2 +‖‖𝑒2‖‖

2 ,⟺ 2⟨𝑒1||𝑒2⟩ = 0⟺ 𝑒1 ⟂ 𝑒2.



2.3. Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormale

Théorème ALG.4.2 | Expression du produit scalaire euclidien en base or-thonormée

Soit ℬ = (𝑒1, ...,𝑒𝑛) une base orthonormale de E. Soient 𝑥,𝑦 ∈ E, on note :

X = ℳatℬ

(𝑥) , Y = ℳatℬ

(𝑦) .

Alors : ⟨𝑥||𝑦⟩ = ⊤X×Y et en particulier ‖𝑥‖ = √⊤XX.

Remarque 2.3— Ce théorème généralise la Proposition ALG.4.1 à une base quel-conque orthonormée.

Preuve Notons X =

⎛⎜⎜⎜⎝

λ1

λ𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

et Y =

⎛⎜⎜⎜⎝

μ1

μ𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

les matrices données dans

l’énoncé, où pour tout 𝑖 ∈ {1, ...,𝑛} , λ𝑖 ∈R,μ𝑖 ∈R. Par définition d’une ma-trice de vecteur, cela signifie que :

X =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖, Y =𝑛∑𝑗=1

μ𝑗𝑒𝑗.

Alors calculons ⟨𝑥||𝑦⟩ en utilisant ces relations :

⟨𝑥||𝑦⟩ = ⟨𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖||||

𝑛∑𝑗=1

μ𝑗𝑒𝑗⟩

=𝑛∑𝑖=1

𝑛∑𝑗=1

λ𝑖μ𝑗 ⟨𝑒𝑖||𝑒𝑗⟩

=𝑛∑𝑖=1

λ𝑖μ𝑖

= ⊤X.Y.

définition d’une matrice de vecteur

bilinéarité du produit scalaire

orthonormalité de la famille, produit scalairenul dès que 𝑖 ≠ 𝑗

La formule est donc établie.

Théorème ALG.4.3 | Expression/Normed’unvecteurenbaseorthonormée1 — Soit ℬ = (𝑒1, ...,𝑒𝑛) une base orthonormale de E et 𝑥 ∈ E. Alors les coor-données de 𝑥 dans ℬ s’expriment en terme de produit scalaire :

𝑥 =𝑛∑𝑖=1

⟨𝑥||𝑒𝑖⟩𝑒𝑖 ⟹ ‖𝑥‖2 =𝑛∑𝑖=1

||⟨𝑥||𝑒𝑖⟩||2 .

Ainsi, si ℬ est une base orthonormale,

ℳatℬ

(𝑥) =

⎛⎜⎜⎜⎝

⟨𝑥||𝑒1⟩

⟨𝑥||𝑒𝑛⟩

⎞⎟⎟⎟⎠

.

2 — Soit ℬ = (𝑒1, ...,𝑒𝑝) une base orthonormale d’un sous-espace vectoriel Fde E, et 𝑥 ∈ F. Alors les coordonnées de 𝑥 dans ℬ s’expriment en terme deproduit scalaire :

𝑥 =𝑝

∑𝑖=1

⟨𝑥||𝑒𝑖⟩𝑒𝑖 ⟹ ‖𝑥‖2 =𝑝

∑𝑖=1

||⟨𝑥||𝑒𝑖⟩||2 .

Preuve

1 — Premièrement, il existe des coordonnées : ∃(λ𝑖)𝑛𝑖=1, 𝑥 =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖.

Deuxièmement, prenant le produit scalaire avec 𝑒𝑗, 𝑗 ∈ J1, 𝑛K de chaque côté

de l’égalité, nous obtenons : PEN-FANCY

⟨𝑒𝑗||𝑥⟩ = ⟨𝑒𝑗||||

𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖⟩ =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖 ⟨𝑒𝑗||𝑒𝑖⟩ = λ𝑗 ×1

puisque ℬ est orthonormale. D’où l’expression de 𝑥 donnée dans l’énoncé.L’égalité avec des normes au carré découle directement du théorème de PY-THAGORE puisque la famille (⟨𝑥||𝑒1⟩𝑒1,…,⟨𝑥||𝑒𝑛⟩𝑒𝑛) est orthogonale et que‖‖𝑒𝑖‖‖

2 = 1 pour tout 𝑖.2 — Preuve identique à la première.



Proposition ALG.4.8 | Orthonormalité d’une famille etmatrice de passageSoit ℬ = (𝑒1,…,𝑒𝑛) une base orthonormale de E et 𝒞 = (𝑓1,…,𝑓𝑛) une basequelconque de E. Alors :

𝒞 est orthonormale ⟺ ⊤ (Pℬ→𝒞) .Pℬ→𝒞 = I𝑛.

Plus généralement, une matrice P ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (R) satisfaisant ⊤PP = I𝑛 est appeléematrice orthogonale.

Preuve Notons dans la preuve P = Pℬ→𝒞. Par définition d’une matricede passage et par bilinéarité de ⟨.|.⟩ :

⟨𝑓𝑖||𝑓𝑗⟩ = ⟨𝑛∑𝑘=1

P𝑘,𝑖𝑒𝑘||||

𝑛∑ℓ=1

Pℓ,𝑗𝑒ℓ⟩ =𝑛∑𝑘=1

𝑛∑ℓ=1

P𝑘,𝑖Pℓ,𝑗 ⟨𝑒𝑘||𝑒ℓ⟩ .

Rappelons de plus que la famille (𝑒1,…,𝑒𝑛) est orthonormée, ainsi

⟨𝑓𝑖||𝑓𝑗⟩ =𝑛∑𝑘=1

P𝑘,𝑖P𝑘,𝑗.

D’autre part, le terme (𝑖, 𝑗) avec (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑛K2 de ⊤P.P est :

(⊤P.P)𝑖,𝑗

=𝑛∑𝑘=1

[⊤P]𝑖,𝑘

P𝑘,𝑗 =𝑛∑𝑘=1

P𝑘,𝑖P𝑘,𝑗 = ⟨𝑓𝑖||𝑓𝑗⟩.

Ainsi, notant δ𝑖,𝑗 = 1 si 𝑖 = 𝑗 et zéro sinon, nous obtenons le critère du théo-rème :

𝒞 est orthonormale ⟺ ∀𝑖,𝑗 ∈ J1 , 𝑛K, ⟨𝑓𝑖||𝑓𝑗⟩ = δ𝑖,𝑗

⟺ ∀𝑖,𝑗 ∈ J1 , 𝑛K, [⊤P.P]𝑖,𝑗

= δ𝑖,𝑗

⟺ ⊤P.P = I𝑛.

Corollaire ALG.4.2 | Propriétés d’unematrice de passage entre bases or-thonormées

Soient ℬ = (𝑒1,…,𝑒𝑛) et 𝒞 = (𝑓1,…,𝑓𝑛) deux bases orthonormales de E, et P =Pℬ→𝒞. Alors :

P est inversible, et P−1 = ⊤P.

Preuve Conséquence directe de la proposition précédente.

Exemple 8— On considère 𝑒1 = (1,0) et 𝑒2 = (0,1) la base canonique de R2 et 𝑓1 =

( 1√2

, 1√2

) ,𝑓2 = ( 1√2

,− 1√2

). Vérifier que (𝑓1,𝑓2) est une base orthonormée, calculer la

matrice de passage P(𝑒1,𝑒2)→(𝑓1,𝑓2) et vérifier qu’elle est orthogonale.

PEN-FANCY

Exemple 9— Les matrices de rotation sont orthogonales.On considère 𝑒1 = (1,0) et 𝑒2 = (0,1) labase canonique de R2 et (𝑓1,𝑓2) les vec-teurs 𝑒1,𝑒2 tournés d’un angle θ ∈ [0,2π[dans le sens trigonométrique.1 — Calculer les coordonnées de 𝑓1 et 𝑓2dans la base canonique.2 — Expliciter la matrice de passage de(𝑒1,𝑒2) à (𝑓1,𝑓2), on l’appelle matrice derotation d’angle θ, notée Rθ, qu’en dire?Calculer son inverse. Est-ce cohérentgéométriquement?

𝑒1

𝑒2𝑓1

𝑓2

θ



1 — PEN-FANCY Nous avons, avec un peu de trigonométrie, 𝑓1 = (cosθ,sinθ) et 𝑓2 =(−sinθ,cosθ).2 — PEN-FANCY Par définition d’une matrice de changement de base, nous avons

P(𝑒1,𝑒2)→(𝑓1,𝑓2) =⎛

⎝

cosθ −sinθ

sinθ cosθ

⎞

⎠=

(défi.)Rθ.

Ainsi, comme det(P(𝑒1,𝑒2)→(𝑓1,𝑓2)) = cos2 θ + sin2 θ = 1, on obtient l’inverse deP(𝑒1,𝑒2)→(𝑓1,𝑓2) :

P(𝑒1,𝑒2)→(𝑓1,𝑓2))−1 =⎛

⎝

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

⎞

⎠= ⊤ (P(𝑒1,𝑒2)→(𝑓1,𝑓2)) .

La matrice de passage précédente est donc une matrice orthogonale.On a

(P(𝑒1,𝑒2)→(𝑓1,𝑓2))−1 = P(𝑓1,𝑓2)→(𝑒1,𝑒2) =⎛

⎝

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

⎞

⎠=

⎛

⎝

cos(−θ) −sin(−θ)

sin(−θ) cos(−θ)

⎞

⎠= R−θ.

On a appliqué une rotation d’angle θ pour «passer de» (𝑒1,𝑒2), le calcul qui pré-cède nous apprend que pour «passer de» (𝑓1,𝑓2) à (𝑒1,𝑒2), on applique une rotationd’angle −θ : c’est donc cohérent géométriquement.

2.4. Diagonalisation des matrices symétriques réelles

Nous reprenons le résultat du chapitre de réduction, en comprenant un peu plusla signification de «⊤P = P−1 » qui intervenait dans le résultat.

Proposition ALG.4.9 | Orthogonalité des espaces propres1 — Soit 𝑓 ∈ ℒ(R𝑛) de matrice A symétrique réelle dans la base canonique

ℬcan de R𝑛, possédant au moins deux valeurs propres distinctes, alors :

Eλ(𝑓) ⟂ Eμ(𝑓).

2 — Soit A une matrice symétrique possédant au moins deux valeurs propresdistinctes. Si λ ≠ μ sont deux valeurs propres de A, alors

Eλ(A) ⟂ Eμ(A).

Preuve1 — Soient λ ≠ μ ∈ Spec𝑓, et 𝑥 ∈ Eλ(𝑓),𝑦 ∈ Eμ(𝑓). Alors 𝑓(𝑥) = λ𝑥 et 𝑓(𝑦) =μ𝑦. Il fautmontrer que ⟨𝑥||𝑦⟩ = 0. NotonsdeplusX = ℳat

ℬcan(𝑥) ,Y = ℳat

ℬcan(𝑦) :

λ⟨𝑥||𝑦⟩ = ⟨λ𝑥||𝑦⟩ = ⟨𝑓(𝑥)||𝑦⟩= ⊤ (AX)Y= ⊤X(⊤AY)= ⊤X(AY)= ⟨𝑥||𝑓(𝑦)⟩ = μ⟨𝑥||𝑦⟩ .

ℬcanorthonormale

A symétrique

ℬcanorthonormale

Donc : (λ−μ)⟨𝑥||𝑦⟩ = 0, orλ ≠ μdonc ⟨𝑥||𝑦⟩ = 0. Finalement deux vecteurspropres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.2 — Immédiat puisque, avec les notations de 1,

Eλ(A) = Eλ(𝑓), Eμ(A) = Eμ(𝑓).

Théorème ALG.4.4 | Théorème spectral1 — Soit A une matrice symétrique réelle. Alors A est diagonalisable, et ilexiste une matrice D diagonale réelle, et une matrice P ∈ GL𝑛(R), telles que :

A = PDP−1 et ⊤P = P−1.

2 — Soit 𝑓 ∈ ℒ(R𝑛) de matrice A symétrique réelle dans la base canoniqueℬcan de R𝑛. Alors :

∃ℬ base orthonormée de R𝑛, ℳatℬ

(𝑓) soit diagonale réelle.a

En particulier, les espaces propres de A (ou 𝑓) sont orthogonaux.



Attention×

Le résultat est faux pour les matrices symétriques complexes.a

Preuve1 — Résultat admis.2 — Notons A = ℳat

ℬcan(𝑓) . Alors d’après 1), puisque A est symétrique réelle,

il existe P ∈ GL𝑛(R), telles que :

A = PDP−1 et ⊤P = P−1.

Ainsi, puisque ℬcan est orthonormale pour le produit scalaire euclidien etque ⊤P = P−1, la Proposition ALG.4.8 nous dit que ℬ est elle aussi orthonor-male. De plus D est la matrice de 𝑓 dans ℬ d’après les formules de change-ment de base. C’est terminé : nous avons bien montré que 𝑓 est diagonali-sable en base orthonormée.

Remarque 2.4— Il est doncpossible de retenir le théorème spectral de lamanièresuivante : « toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonor-mée (ou plus précisément son endomorphisme canoniquement associé) et est àvaleurs propres réelles».

Exemple 10— Contre-exemple La matrice A =⎛

⎝

𝑖 1

1 −𝑖

⎞

⎠n’est pas diago-

nalisable à valeurs propres réelles. PEN-FANCY Soit λ ∈ R. Alors det(A − λI2) =||||||

i −λ 1

1 −i −λ

||||||= (i−λ)(−i−λ)−1 = λ2, doncApossèdeuneunique valeurpropre

qui est zéro. Donc si elle était diagonalisable, nous aurions A = 0 et ceci est faux.Le théorème spectral ne s’applique donc pas.

aOn dit que 𝑓 est diagonalisable en base orthonorméeaPour lesmatrices complexes S, la bonne notion à considérer n’est pas ⊤S = Smais ⊤S = S : on parle

dans ce cas de matrices hermitiennes plutôt que symétriques

Exemple 11— Diagonaliser en base orthonormée la matrice A =

⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 1

1 2 1

1 1 2

⎞⎟⎟⎟⎠

.

PEN-FANCY

—Calcul des éléments propres. Avec la chaîne d’opérations élémentaires L1 ↔L3,L2 ← L2−L1,L3 ← L3−(2−λ)L1 réalisée surA−λI3 avecλ ∈R, nousobtenons :

A−λI3 ∼L

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 2−λ

0 1−λ λ−1

0 0 −λ2 +5λ−4

⎞⎟⎟⎟⎠

.

On constate alors que :

Rg(A−λI3) < 3 ⟺ λ = 1,4.

En résolvant le système associé (pour rappel on garde le système précédent, quiest déjà échelonné), on obtient les espaces propres :

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ E4(A) ⟺⎧⎨⎩

𝑥+𝑦−2𝑧 = 0

−3𝑦+3𝑧 = 0⟺

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Donc E4(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

. De-même on trouve E1(A) =

Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

1

0

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

,

⎛⎜⎜⎜⎝

0

1

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

.



—Orthonormalisation de la base propre obtenue. Notons 𝑒1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

,𝑒2 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

0

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

,𝑒3 =

⎛⎜⎜⎜⎝

0

1

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

les trois vecteurs obtenus précédemment. On constate que

la base (𝑒1,𝑒2,𝑒3) n’est pas orthonormée. En revanche, normalisons déjà les deuxpremiers vecteurs :

𝑓1 =𝑒1

‖‖𝑒1‖‖=

1√3

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

, 𝑓2 =𝑒2

‖‖𝑒2‖‖=

1√2

⎛⎜⎜⎜⎝

1

0

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

,

et on cherche 𝑓3 ∈ E1(A) de sorte que 𝑓3 ⟂ 𝑓1 et 𝑓3 ⟂ 𝑓2. Le vecteur 𝑓3 est de la forme⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

−𝑥−𝑦

⎞⎟⎟⎟⎠

(ce doit être un élément de E1(A)), et on le souhaite orthogonal à 𝑓1,𝑓2,

i.e. :

1√3

(𝑥+𝑦+(−𝑥−𝑦)) = 0,1

√2(𝑥− (𝑥−𝑦)) = 0.

On obtient une solution 𝑓3 = 1√6

⎛⎜⎜⎜⎝

1

−2

1

⎞⎟⎟⎟⎠

en choisissant par exemple 𝑥 = 1,𝑦 =

−2,𝑧 = −𝑥−𝑦 = 1 et en normalisant le vecteur.

— Conclusion : la famille (𝑓1,𝑓2,𝑓3) étant une base orthonormée de vecteurs

propres, nous obtenons

A = PD⊤P, D =Diag(4,1,1), P =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1√3

1√2

1√6

1√3

0 − 2√6

1√3

1√6

1√6

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

.

Remarque 2.5—

Caret-right Pour ces choix de vecteurs (𝑓1,𝑓2,𝑓3), vous serez toujours guidés dans les exer-cices.

Caret-right Rappelons que nous avons montré que les vecteurs propres associés à desvaleurs propres distinctes sont orthogonaux : donc c’est surtout «à l’intérieurde» chaque espace propre de dimension> 1 qu’il faut «orthonormaliser» lesvecteurs propres obtenus.

Exemple 12— Sur lamatrice ⊤A.A—Extrait A-ENV2019 SoitA ∈ 𝔐𝑛,𝑝 (R)1 avec𝑛,𝑝 deux entiers. Alors :

1 — KerA = Ker (⊤AA). PEN-FANCY On procède par double inclusion. Commençons parconstater que ⊤A.A ∈ 𝔐𝑛,𝑛 (R).

⊂ Soit X ∈ 𝔐𝑝,1 (R) tel que AX = 0. Alors ⊤AAX = ⊤A0 = 0 donc X ∈ Ker (⊤AA).

⊃ Inversement, soit X ∈ Ker (⊤AA), i.e. ⊤A(AX) = 0. Multiplions cette égalité àgauche par ⊤X. On obtient

⊤X⊤A(AX) = ⊤ (AX)(AX) = 0 = ‖AX‖2

donc, par propriété sur la norme, AX = 0, c’est-à-dire X ∈ KerA. On a bien montrépar double inclusion l’égalité entre les deux ensembles.

1On rappelle qu’en raison du format𝑛×𝑝 imposé, cette matrice est canoniquement associée à unendomorphisme de𝔐𝑝,1 (R) (nombre de colonnes : 𝑝), vers𝔐𝑛,1 (R) (nombre de lignes : 𝑛)



2 — ⊤AA est diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.PEN-FANCY On constate que ⊤ (⊤AA) = ⊤A⊤ (⊤A) = ⊤AA. Ainsi, la matrice ⊤AA est symé-trique, donc d’après le théorème spectral elle est diagonalisable à valeurs propresréelles. Il reste àmontrer que les valeurs propres sont positives ounulles, soit doncλ ∈R, et X un vecteur propre associé. Alors

⊤AAX = λX,

alors en multipliant par ⊤X à gauche on trouve

‖AX‖2 = λ‖X‖2 .

Comme X ≠ 0, c’est un vecteur propre, on a λ = ‖AX‖2‖X‖2 , on obtient alors immédia-

tement λ ⩾ 0.3 — (Inversibilité de ⊤AA) ⊤AA est inversible ⟺ Rg(A) = 𝑝.Indication : Appliquer le théorème du rang à ⊤AA d’une part, et A d’autre

part. PEN-FANCY Il s’agit d’abord de bien analyser le format de la matrice : ⊤AA est deformat 𝑝×𝑝, appliquons-lui le théorème du rang, ainsi qu’à la matrice A :

𝑝 = dimKer (⊤AA)+Rg (⊤AA), 𝑝 = dim(Ker(A))+Rg(A).

Donc, puisque KerA = Ker (⊤AA),

Rg(A) = 𝑝 ⟺ 𝑝−dim(Ker(A)) = 𝑝−dimKer(⊤AA) = 𝑝⟺ dimKer(⊤AA) = 0,

⟺ Rg (⊤AA) = 𝑝

⟺ ⊤AA inversible,

la dernière équivalence provient du fait que ⊤AA est carrée.

3. PROJECTION ORTHOGONALE

La notion de projection orthogonale va être un objet clef pour les calculs de dis-tance entre un vecteur et un sous-espace vectoriel. Rappelons que la distance à

une partie est définie pour des parties quelconques, alors que l’on va parler deprojection orthogonale uniquement sur des parties qui sont des sous-espacesvectoriels de E.

3.1. Projection orthogonale

3.1.1. Généralités

Définition/Proposition ALG.4.4 | Existence de la projection orthogonaleSoit F un sous-espace vectoriel de Enon réduit à zéro. Alors il existe un uniqueendomorphisme 𝑝F ∈ ℒ(E) tel que :

∀𝑥 ∈ E, 𝑝F(𝑥) ∈ F, 𝑥−𝑝F(𝑥) ∈ F⟂.

On l’appelle la projection orthogonale surF. Si𝑥 ∈ E, le vecteur𝑝F(𝑥) est appeléle projeté orthogonal de 𝑥 sur F.

Proposition ALG.4.10 | Propriétés de la projection orthogonaleSoitFunsous-espacevectoriel deEet𝑝F laprojectionorthogonale surF, alors :1 — 𝑝F ∘𝑝F = 𝑝F,2 — F = Im𝑝F = Ker(𝑝F − IdE).

𝑥

F𝑝F(𝑥)

𝑥−𝑝F(𝑥)

FIG. ALG.4.3. : Projection orthogonale

Preuve Nous démontrons les deux propriétés en même temps. La pre-mière contient plusieurs éléments : la linéarité, l’existence et l’unicité. Com-mençons par l’unicité.



CLONEUnicité. Supposons qu’il existe deux vecteurs 𝑝1(𝑥) et 𝑝2(𝑥) de F sa-tisfaisant les conditions de l’énoncé. Nous souhaitons montrer que 𝑝1(𝑥) =𝑝2(𝑥), il suffit pour cela d’établir que ‖‖𝑝1(𝑥)−𝑝2(𝑥)‖‖ = 0. Puisque𝑝1(𝑥) ∈ F et𝑝2(𝑥) ∈ F, on a donc aussi 𝑝1(𝑥)−𝑝2(𝑥) ∈ F car F est un sous-espace vectorielde E. De plus, 𝑥−𝑝1(𝑥) ∈ F⟂ par hypothèse (de-même que 𝑥−𝑝2(𝑥)), doncd’après le théorème de PYTHAGORE,

‖‖𝑥−𝑝1(𝑥)‖‖2 = ‖‖𝑥−𝑝2(𝑥)‖‖2 +‖‖𝑝2(𝑥)−𝑝1(𝑥)‖‖2 .

Avec le même argument (puisque 𝑥−𝑝2(𝑥) ∈ F⟂), on établit que

‖‖𝑥−𝑝2(𝑥)‖‖2 = ‖‖𝑥−𝑝1(𝑥)‖‖2 +‖‖𝑝1(𝑥)−𝑝2(𝑥)‖‖2 .

En sommant et en simplifiant, 2‖‖𝑝1(𝑥)−𝑝2(𝑥)‖‖2 = 0, ce qui implique𝑝1(𝑥) = 𝑝2(𝑥). L’unicité est établie.

CLONEExistence. Soit (𝑒1,…,𝑒𝑞), 𝑞 = dimF, une base de F. On peutla compléter d’après le théorème de la base incomplète en une base(𝑒1,…,𝑒𝑞,𝑒𝑞+1,…,𝑒𝑛) de E. Par ailleurs, on peut la supposer orthonorméequitte à l’orthonormaliser (fait admis, consulter la Remarque 2 pour plus dedétails). Définissons l’application 𝑝 ainsi :

𝑝F ∶|||||||

E ⟶ F,

𝑢 =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖 ⟼𝑞

∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖.

1 — L’application est bien définie puisque les coordonnées λ𝑖 sont uniquespour 𝑢 ∈ E fixé (la famille (𝑒1,…,𝑒𝑛) est une base donc en particulier unefamille libre de E).2 — L’application𝑝F est linéaire. PEN-FANCY Soient 𝑥 =

𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖 et 𝑦 =𝑛∑𝑖=1

μ𝑖𝑒𝑖 avec

λ𝑖,μ𝑖 ∈R pour tout 𝑖. Alors :

λ𝑥+μ𝑦 =𝑛∑𝑖=1

(λλ𝑖 +μμ𝑖)𝑒𝑖.

Alors :

𝑝F(λ𝑥+μ𝑦) =𝑞

∑𝑖=1

(λλ𝑖 +μμ𝑖)𝑒𝑖 = λ𝑞

∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖 +μ𝑞

∑𝑖=1

μ𝑖𝑒𝑖 = λ𝑝F(𝑥)+μ𝑝F(𝑦).

Ainsi l’application 𝑝F est bien linéaire.

3 — Pour tout 𝑥 ∈ E, 𝑝F(𝑥) ∈ F. PEN-FANCY Immédiat, car 𝑝F(𝑥) est une combi-naison linéaire d’éléments de F qui est un espace vectoriel donc stable parcombinaison linéaire.4 — Pour tout 𝑥 =

𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖 ∈ E,λ𝑖 ∈ R pour tout 𝑖, montrons que 𝑥−𝑝F(𝑥) ∈

F⟂.Soit 𝑦 ∈ F, alors il existe μ1,…,μ𝑞 ∈ R tels que 𝑦 =

𝑞

∑𝑖=1

μ𝑖𝑒𝑖. Montrons que

⟨𝑥−𝑝F(𝑥)||𝑦⟩ = 0. PEN-FANCY En effet,

⟨𝑥−𝑝F(𝑥)||𝑦⟩ = ⟨𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖 −𝑞

∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖||||

𝑞

∑𝑗=1

μ𝑗𝑒𝑗⟩

= ⟨𝑛∑

𝑖=𝑞+1λ𝑖𝑒𝑖

||||

𝑞

∑𝑗=1

μ𝑗𝑒𝑗⟩

=𝑛∑

𝑖=𝑞+1

𝑞

∑𝑗=1

λ𝑖μ𝑗⟨𝑒𝑖||𝑒𝑗⟩=0

= 0.bilinéarité du produit scalaire

L’existence et l’unicité de 𝑝F(𝑥) sont donc établies. Montrons maintenant les

deux propriétés. On se fixe 𝑥 =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖 ∈ E,λ𝑖 ∈R pour tout 𝑖.

1 — PEN-FANCY

𝑝F ∘𝑝F(𝑥) = 𝑝F (𝑞

∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖) =𝑞

∑𝑖=1

λ𝑖𝑒𝑖 = 𝑝F(𝑥).

2 — PEN-FANCY On a évidemment Im(𝑝𝑓) ⊂ F d’après ce qui précède, il resteà établir que F ⊂ Im(𝑝F). Supposons que 𝑥 ∈ F, alors 𝑥 = ∑

𝑞𝑖=1λ𝑖𝑒𝑖 =

𝑝F (∑𝑞𝑖=1λ𝑖𝑒𝑖) = 𝑝F(𝑥) ∈ Im(𝑝F).

Et enfin, il reste à établir que F = Ker(𝑝F− IdE) est l’ensemble des points fixesde 𝑝F. Nous avons encore évidemment Ker(𝑝F − IdE) ⊂ F : si 𝑥 ∈ Ker(𝑝F − IdEalors 𝑥 = 𝑝F(𝑥) ∈ Im(𝑝F). Inversement, montrons que F ⊂ Ker(𝑝F − IdE) :si 𝑥 = ∑

𝑞𝑖=1λ𝑖𝑒𝑖 ∈ F, alors 𝑝F(𝑥) = 𝑝F(∑

𝑞𝑖=1λ𝑖𝑒𝑖) = ∑

𝑞𝑖=1λ𝑖𝑒𝑖 = 𝑥 donc 𝑥 ∈

Ker(𝑝F − IdE).



Proposition ALG.4.11 | Propriétés de la projection orthogonaleSoit F un sous-espace vectoriel de E non réduit à zéro. Alors IdE−𝑝F est la pro-jection orthogonale sur F⟂.

Preuve Rappelons une inclusion déjà établie : F ⊂ F⟂⟂ = (F⟂)⟂.

Alors :Caret-right IdE−𝑝F est une application linéaire en tant que différence de telles ap-

plications.Caret-right Pour tout 𝑥 ∈ E, (IdE−𝑝F)(𝑥) ∈ F⟂ par définition de la projection ortho-

gonale sur F.Caret-right Et pour tout 𝑥 ∈ E, (IdE−(IdE−𝑝F))(𝑥) = 𝑝F(𝑥) ∈ F ⊂ F⟂⟂.

De tout cela, nous déduisons que IdE−𝑝F est la projection orthogonale surF⟂.

Exemple 13— Soit F un sous-espace vectoriel de E non réduit à zéro, notons 𝑝Fla projection orthogonale sur F.

1 — Montrer que Spec(𝑝F) ⊂ {0,1}.PEN-FANCY

2 — Notons M = ℳatℬ

(𝑝F) où ℬ est une base de E. Que vaut M2 ?

PEN-FANCY

Corollaire ALG.4.3 | Diagonalisation d’une projection orthogonaleSoit F un sous-espace vectoriel de E non réduit à zéro, notons 𝑝F la projectionorthogonale sur F. Notons (𝑓1, …𝑓𝑟) une base de Im (𝑝F) = Ker ((IdE−𝑝F)) avec𝑟 = Rg𝑓 et (𝑒1,…,𝑒𝑛−𝑟) une base de Ker (𝑝F). Alors :1 — ℬ = (𝑒1,…,𝑒𝑛−𝑟,𝑓1,…,𝑓𝑟) est une base de vecteurs propres de E,2 — 𝑝F est diagonalisable, et Spec𝑝F = {0,1}.

Preuve1 — Puisque # ℬ = 𝑛, il suffit de montrer la liberté de la famille. On auraainsimontré queℬ = (𝑒1,…,𝑒𝑛−𝑟,𝑓1,…,𝑓𝑟) est une base de vecteurs propres.

PEN-FANCY

2 — Onamontréprécédemmentqueℬ = (𝑒1,…,𝑒𝑛−𝑟,𝑓1,…,𝑓𝑟) est unebasede vecteurs propres, donc 𝑝F est diagonalisable et ses valeurs propres sont 0et 1 (cf. exemple précédent).

Proposition ALG.4.12 | Expression du projeté orthogonal si l’on connaîtune base orthonormale

Soit F un sous-espace vectoriel de E non réduit à zéro. Alors pour toute baseorthonormale (𝑒1,…,𝑒𝑞) de F, 𝑞 = dimF, on a :

∀𝑥 ∈ E, 𝑝F(𝑥) =𝑞

∑𝑖=1

⟨𝑥||𝑒𝑖⟩𝑒𝑖.

Preuve D’après le théorème de la base incomplète, le famille (𝑒1,…,𝑒𝑞)peut être complétée en une base (𝑒1,…,𝑒𝑞,𝑒𝑞+1,…,𝑒𝑛) de E. On peut de plusla supposer orthonormée quitte à l’orthonormaliser (fait admis en BCPST).Si 𝑥 = ∑𝑛

𝑖=1λ𝑖𝑒𝑖 ∈ E, avec λ𝑖 ∈ R, nous avons déjà vu que, puisque (𝑒1,…,𝑒𝑛)



est une base orthonormée, λ𝑖 = ⟨𝑥||𝑒𝑖⟩ pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K. Donc 𝑥 =∑𝑛𝑖=1 ⟨𝑥||𝑒𝑖⟩𝑒𝑖 ∈ E et par définition d’une projection orthogonale 𝑝F(𝑥) =𝑞

∑𝑖=1

⟨𝑥||𝑒𝑖⟩𝑒𝑖.

Remarque 3.1— Dès que l’on connaît un vecteur directeur d’une droite la pro-jection orthogonale associée se calcule très facilement.

Corollaire ALG.4.4 | Cas de la projection orthogonale sur une droite vec-torielle

Soit 𝑣 ∈ E non nul et 𝑥 ∈ E, alors :

𝑝Vect(𝑣)(𝑥) =1

‖𝑣‖2⟨𝑥|𝑣⟩𝑣.

𝒟

𝑣/‖𝑣‖

𝑥

𝑝𝑣/‖𝑣‖(𝑤)

FIG. ALG.4.4. : Projection orthogonale sur une droite

Preuve PEN-FANCY la famille (𝑣) est une base de Vect(𝑣) et ( 𝑣‖𝑣‖ ) en est une

base orthonormée deVect(𝑣), donc la proposition précédente s’applique :

𝑝Vect(𝑣)(𝑥) = ⟨𝑢||||

𝑣‖𝑣‖

⟩𝑣

‖𝑣‖=

1‖𝑣‖2

⟨𝑥|𝑣⟩𝑣.

Remarque 3.2— Orthonormalisation d’une famille de deux vecteurs. La Pro-

position ALG.4.12 s’applique dès qu’une famille orthonormée de l’espace sur le-quel on projette est connue. Il est possible d’«orthonormaliser» toute base, i.e. detransformer toute base en une version orthonormale qui engendre le même es-pace vectoriel in fine. Le procédé général n’est pas au programme, mais on peutretenir le cas particulier de deux vecteurs, très utile en pratique et qui semémorisetrès facilement à l’aide d’un dessin.

1) On part d’une base a priori nonorthonormée (𝑒1,𝑒2), on normalise lepremier (i.e. on le divise par sa norme)en posant

𝑓1 =𝑒1

‖‖𝑒1‖‖.

𝑒2

𝑒1

2) On calcule le projeté orthogonal de 𝑒2sur la droite Vect(𝑒1), puis𝑒2 −𝑝Vect(𝑒1)(𝑒2) qui permet de«redresser» le second vecteur, et enfinon le normalise en posant

𝑓2 =𝑒2 −𝑝Vect(𝑒1)(𝑒2)

‖‖𝑒2 −𝑝Vect(𝑒1)(𝑒2)‖‖.

𝑒2

𝑒1𝑓1 𝑝Vect(𝑒1)(𝑒2)

𝑓′2 = 𝑒2 −𝑝Vect(𝑒1)(𝑒2)

𝑓2



On peut retrouver ceci de manière plus analytique sans dessin. Notons 𝑓1 = 𝑒1‖‖𝑒1‖‖

.Soit 𝑓′2 = 𝑒2 +λ𝑓1 avec λ ∈R. On cherche λ de sorte que ⟨𝑓1||𝑓′2 ⟩ = 0 :

⟨𝑓1||𝑓′2 ⟩ = 0 ⟺ ⟨𝑓1||𝑒2 +λ𝑓1⟩ = 0

⟺ ⟨𝑓1||𝑒2⟩+λ⟨𝑓1||𝑓1⟩ = 0 = ⟨𝑓1||𝑒2⟩+λ‖‖𝑓1‖‖2 = ⟨𝑓1||𝑒2⟩+λ.

Le scalaireλ = −⟨𝑓1||𝑒2⟩ convient. Ainsi, avec ce choix, la famille (𝑓1,𝑓′2 ) est orthogo-nale. Il reste ensuite à former 𝑓2 = 𝑓′2

‖‖𝑓′2‖‖pour obtenir une base orthonormée (𝑓1,𝑓2) :

on justifie ensuite que cette famille est encore une base de R2.

Méthode (Orthonormalisation d’une famille de deux vecteurs)WRENCH

Lors (𝑒1,𝑒2) est une base quelconque (non forcément orthonormée) deF, uneversion orthonormée est obtenue en posant :

𝑓1 =𝑒1

‖‖𝑒1‖‖,


‖‖𝑒2 −𝑝Vect(𝑒1)(𝑒2)‖‖

=𝑒2 − 1

‖‖𝑒1‖‖2 ⟨𝑥||𝑒1⟩𝑒1

‖‖‖𝑒2 −1

‖‖𝑒1‖‖2 ⟨𝑥||𝑒1⟩𝑒1

‖‖‖.

Le vecteur 𝑒2 −𝑝Vect(𝑒1)(𝑒2) est une version «redressée» du vecteur 𝑒2, ortho-gonale à 𝑒1 (ou 𝑓1).

3.1.2. Calculs pratiques de projections orthogonales

Avant de passer à des exemples de calculs, précisons les deux méthodes à dispo-sition pour calculer une projection orthogonale.

Méthode (Calcul d’une projection orthogonale)WRENCH

Deux méthodes pour calculer un projeté orthogonal sur F :1 — (En utilisant la définition) Si on ne connaît pas une base orthonor-male de F, mais une famille génératrice (𝑒1,…,𝑒𝑞) de F : soit 𝑥 ∈ E, alors oncherche l’unique vecteur 𝑝F(𝑥) vérifiant

𝑝F(𝑥) ∈ F, 𝑥−𝑝F(𝑥) ∈ F⟂.

On caractérise 𝑥′ = 𝑝F(𝑥) de la manière suivante :

𝑥′ = 𝑝F(𝑥) ⟺ 𝑥′ ∈ F, et ⟨𝑥−𝑥′||𝑒𝑖⟩ = 0, ∀𝑖 ∈ J1 , 𝑞K.

2 — (En utilisant la formule dans une base orthonormale) Si une baseorthonormale (𝑒1,…,𝑒𝑞) de F est connue, alors :

∀𝑢 ∈ E, 𝑝F(𝑢) =𝑞

∑𝑖=1

⟨𝑢||𝑒𝑖⟩𝑒𝑖.

Lorsque F est de dimension 1 ou 2, on peut se ramener facilement à une baseorthonormée et donc utiliser 2, en dimension 3 ou plus : si aucune base or-thonormée n’est donnée, on utilisera 1.

Exemple 14— Une base orthonormale est donnée On pose F ={(𝑥,𝑦,𝑥), (𝑥,𝑦) ∈R2} et on note 𝑝 la projection orthogonale sur F. Une base est

donnée par ((1,0,1), (0,1,0)), c’est une base orthogonale, et ( 1√2

(1,0,1), (0,1,0))en est une version orthonormée. On considère ci-après deux autres basesorthonormées de F.

1 — Vérifier que ℱ = ((√22 ,0, √2

2 ) , (0,1,0)) et 𝒢 = ((√64 , 12 ,

√64 ) , (−√2

4 , √32 ,−√2

4 ))

sont deux bases orthonormées de F. PEN-FANCY Calcul évident : on vérifie d’abord queles deux vecteurs constituant chaque base sont dans F, puis on calcule leur normeet leur produit scalaire.



2 — Qu’en déduit-on sur 𝑝? PEN-FANCY Soit 𝑥 = (𝑥1,𝑥2,𝑥3) ∈R3, alors :

𝑝F(𝑥) = ⟨(𝑥1,𝑥2,𝑥3)|||||(√22

,0,√22

)⟩(√22

,0,√22

)+⟨(𝑥1,𝑥2,𝑥3)|| (0,1,0)⟩ ((0,1,0))

=𝑥1 +𝑥3√2

(√22

,0,√22

)+𝑥2(0,1,0)

= (𝑥1 +𝑥3

2,𝑥2,

𝑥1 +𝑥32

)

De-même :

𝑝F(𝑥)

= ⟨(𝑥1,𝑥2,𝑥3)|||||(√64

,12,√64

)⟩(√64

,12,√64

)

+⟨(𝑥1,𝑥2,𝑥3)|||||(−

√24

,√32

,−√24

)⟩(−√24

,√32

,−√24

)

= (116

(6(𝑥1 +𝑥3)+2√6𝑥2 −2√2√3𝑥2 +2(𝑥1 +𝑥3)) , […], […])

= (𝑥1 +𝑥3

2,𝑥2,

𝑥1 +𝑥32

) .

Les coordonnées deux et trois se calculent comme la première. Donc peu importela base orthonormale choisie, on obtient la même expression analytique pour 𝑝F :à mettre en lien avec la phrase «𝑝F est bien définie» dans la propriété d’existencede la projection orthogonale.

Exemple 15— Espace donné «sous forme d’un Vect» Écrire la matrice dans labase canonique de R3 de la projection orthogonale sur F = Vect(1,1,1).

1 — (1èreMéthode) En utilisant la Proposition ALG.4.12, i.e. en cherchant unebase orthonormale. PEN-FANCY Unebase deF est (𝑒1) = ((1,1,1)). Unebase orthonormée

de F est alors (𝑓1) = 1√3

( 1,1,1 ). En utilisant la Proposition ALG.4.12 vient alors :

∀(𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, 𝑝F(𝑥,𝑦,𝑧) = ⟨(𝑥,𝑦,𝑧)||𝑓1⟩𝑓1 =1

(√3)2(𝑥+𝑦+𝑧)(1,1,1) =

13(𝑥+𝑦+𝑧)(1,1,1).

2 — (2ème Méthode) En se ramenant à la définition. PEN-FANCY Soit (𝑥,𝑦,𝑧) ∈ R3,alors (𝑥′,𝑦′,𝑧′) = 𝑝F(𝑥,𝑦,𝑧) si et seulement si

⎧⎨⎩

(𝑥′,𝑦′,𝑧′) ∈ F

(𝑥′,𝑦′,𝑧′)− (𝑥,𝑦,𝑧) ∈ F⟂⟺

⎧⎨⎩

𝑥′ = 𝑦′ = 𝑧′

(𝑥′ −𝑥,𝑦′ −𝑦,𝑧′ −𝑧) ⟂ (1,1,1)

⟺⎧⎨⎩

𝑥′ = 𝑦′ = 𝑧′

(𝑥′ −𝑥)+ (𝑦′ −𝑦)+ (𝑧′ −𝑧) = 0.

On souhaite résoudre le système précédent en (𝑥′,𝑦,𝑧′), on trouve alors

𝑥′ =13(𝑥+𝑦+𝑧), 𝑦′ = 𝑧′ =

13(𝑥+𝑦+𝑧).

C’est le même résultat que précédemment.

Dans lesdeuxcasonobtient : 𝑝F||||||

R3 ⟶ R3,

(𝑥,𝑦,𝑧) ⟼ 13 (𝑥+𝑦+𝑧,𝑥+𝑦+𝑧,𝑥+𝑦+𝑧) .

On en déduit alors la matrice :

ℳatℬcan

(𝑝F) =13

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1

1 1 1

1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

2.

Exemple 16— Espace donné sous forme d’équation implicite On considère lesous-espace vectoriel

F = {(𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3, 𝑥+𝑦−𝑧 = 0}

de R3. On note 𝑝 la projection orthogonale sur F. Déterminer la matrice A de 𝑝dans la base canonique de R3.

On commence par déterminer une expression analytique de 𝑝 = 𝑝F(𝑥,𝑦,𝑧) pourtout (𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3.



1 — (1ère Méthode) PEN-FANCY On a F = Vect((1,0,1), (0,1,1)). Cette base de F n’estpas orthonormée, rendons-là donc orthonormée. Posons 𝑓1 = 1

√2(1,0,1). Ensuite,

𝑝Vect(1,0,1)(0,1,1) = 12 ⟨(0,1,1)|(1,0,1)⟩ (1,0,1) = 1

2 (1,0,1). Ainsi,

(0,1,1)−𝑝Vect(1,0,1)(0,1,1) = (0,1,1)−12(1,0,1) = (−1/2,1,1/2),

et on pose

𝑓2 =(−1/2,1,1/2)

‖(−1/2,1,1/2)‖=

1√3/2

(−1/2,1,1/2).

Onvérifie aisément que la famille (𝑓1,𝑓2) ainsi construite est unebaseorthonorméede R3. Nous obtenons alors l’expression de la projection :

𝑝(𝑥,𝑦,𝑧) = ⟨(𝑥,𝑦,𝑧)||𝑓1⟩𝑓1 +⟨(𝑥,𝑦,𝑧)||𝑓2⟩𝑓2

=12(𝑥+𝑧)(1,0,1)+

23(−𝑥/2+𝑦+𝑧/2)(−1/2,1,1/2).

On en déduit alors la matrice en remplaçant le vecteur (𝑥,𝑦,𝑧) par ceux de la basecanonique :

ℳatℬcan

(𝑝) =

⎛⎜⎜⎜⎝

2/3 −1/3 1/3

−1/3 2/3 1/3

1/3 1/3 2/3

⎞⎟⎟⎟⎠

.

2 — (2èmeMéthode) En se ramenant à la définition. PEN-FANCY

(𝑥′,𝑦′,𝑧′)

= 𝑝F(𝑥,𝑦,𝑧) ⟺⎧⎨⎩

(𝑥′,𝑦′,𝑧′) ∈ 𝒫

(𝑥,𝑦,𝑧)− (𝑥′,𝑦′,𝑧′) = (𝑥−𝑥′,𝑦−𝑦′,𝑧−𝑧′) ∈ 𝒫⟂

⟺⎧⎪⎨⎪⎩

𝑥′ +𝑦′ −𝑧′ = 0(𝑥−𝑥′,𝑦−𝑦′,𝑧−𝑧′) ⟂ (1,0,1)(𝑥−𝑥′,𝑦−𝑦′,𝑧−𝑧′) ⟂ (0,1,1)

⟺⎧⎪⎨⎪⎩

𝑥′ +𝑧′ = 𝑥+𝑧𝑦′ +𝑧′ = 𝑦+𝑧𝑥′ +𝑦′ −𝑧′ = 0

.

C’est un système à trois équations, trois inconnues, à résoudre en (𝑥′,𝑦′,𝑧′) : lessolutions, qui dépendant de manière linéaire de 𝑥,𝑦 et 𝑧 correspondent aux coor-données de 𝑝F(𝑥,𝑦,𝑧). On retrouve la solution précédente après résolution.

3.1.3. Projection orthogonale et distance à un sous-espace

vectoriel

Revenons au but initial de cette section : trouver la valeur de la distance entre unvecteur et un sous-espace vectoriel de E, elle est donnée dans la proposition sui-vante.

Proposition ALG.4.13 | Distance d’un vecteur à un sous-espace vectorielSoit F un sous-espace vectoriel de E non réduit à zéro et 𝑢 ∈ E. Alors :

d(𝑢,F) = inf𝑣∈F

‖𝑢−𝑣‖ = ‖‖𝑢−𝑝F(𝑢)‖‖ .

En particulier, la borne inférieure est atteinte, et est un minimum.

Attention×

L’hypothèse de structure d’espace vectoriel sur F est fondamentale : nousavons déjà rencontré des exemples où la borne inférieure n’était pas atteintelorsque F n’est pas un espace vectoriel (par exemple un disque privé de sonbord dans l’Exemple 3).

Preuve Rappelons que d(𝑢,F) = inf𝑣∈F ‖𝑢−𝑣‖.1 — Le réel ‖‖𝑢−𝑝F(𝑢)‖‖ minore {‖𝑢−𝑣‖, 𝑣 ∈ F}. En effet, si 𝑣 ∈ F, alorscomme 𝑢−𝑝F(𝑢) ∈ F⟂ et 𝑝F(𝑢)−𝑝F(𝑣) ∈ F, le théorème de PYTHAGORE nouslivre :

‖𝑢−𝑣‖2 = ‖‖(𝑢−𝑝F(𝑢))+ (𝑝F(𝑢)−𝑣)‖‖2 = ‖‖𝑢−𝑝F(𝑢)‖‖2 +‖‖𝑝F(𝑢)−𝑝F(𝑣)‖‖2

⩾ ‖‖𝑢−𝑝F(𝑢)‖‖2 .

Donc ‖‖𝑢−𝑝F(𝑢)‖‖ est un minorant de {‖𝑢−𝑣‖,𝑣 ∈ F}.2 — De plus, ce minorant est atteint par 𝑝F(𝑢) ∈ F.

D’où le résultat.



Exemple 17— Calculer d((1,1,1),𝒫) dans l’Exemple 16.

PEN-FANCY D’après le cours :

d((1,1,1),𝒫) = ‖‖(1,1,1)−𝑝𝒫(1,1,1)‖‖

= ‖‖‖(1,1,1)− (1,0,1)−231(−1/2,1,1/2)‖‖‖ = ‖(1/3,1/3,−1/3)‖

= √13.

3.2. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Rappelons ce que nous souhaitons faire.

Nous considérons E =R2 dans cette partie. On suppose donné un nuage de points(𝑥𝑖,𝑦𝑖) avec 𝑖 ∈ J1 , 𝑝K provenant par exemples d’une série de 𝑝 mesures. Oncherche à trouver la droite demeilleure approximationdesmesures, c’est-à-dire ladroite qui s’approche «aumieux» (qualificatif à préciser) dunuage de points. C’estle principe de régression linéaire. En regardant le dessin, nous voyons que si l’onapproche le nuage par la droite 𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏 avec (𝑎,𝑏) ∈R2, alors l’écart entre cettedroite et le nuage au point 𝑥𝑖, 𝑖 ∈ J1 , 𝑝K, est donné par : 𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏. Ainsi, onpourrait se poser la questionde laminimisation en𝑎,𝑏des quantités suivantes :

max1⩽𝑖⩽𝑛

||𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏|| ,𝑛∑𝑖=1

||𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏|| ,𝑛∑𝑖=1

||𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏||2 .

Dans le dernier cas, on parle de minimisation au sens des moindres carrés. Nouspouvons résoudre ce problème de deux manières.

1 — (Méthode analytique) Nous renvoyons ici aux Chapitres ANA.11et ALEA.17 sur les fonctions de plusieurs variables. Il est possible de trouver(𝑎,𝑏) qui minimise la fonction F de deux variables ci-dessous :

F(𝑎,𝑏) =𝑛∑𝑖=1

(𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏)2.

40 50 60 70 80 90 100150

160

170

180

190

FIG. ALG.4.5. : Droite de régression linéaire associée à un nuage de points

Pour rappel, on recherche les points critiques dans un premier temps, et on essaied’analyser lequel est un minimum.

2 — (Méthode algébrique) Interprétons autrement inf(𝑎,𝑏)∈R2𝑛∑𝑖=1

(𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏)2

à l’aide de la notion de distance à une partie. On constate que

inf(𝑎,𝑏)∈R2

𝑛∑𝑖=1

(𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏)2 = inf(𝑎,𝑏)∈R2

‖‖(𝑦1,…,𝑦𝑛)−𝑎(𝑥1,…,𝑥𝑛)−𝑏(1, ...,1)‖‖2

= inf(𝑎,𝑏)∈R2

‖Y−𝑎X−𝑏𝟙‖2 = infZ∈F

‖Y−Z‖2 = d(Y,F)2

où X = (𝑥1,…,𝑥𝑛), Y = (𝑦1,…,𝑦𝑛), 𝟙 = (1,…,1) et F = {𝑎X+𝑏, (𝑎,𝑏) ∈R2} =Vect(X,𝟙).Nous avons interprété le problème initial avec la notion de distance minimale àune partie, qui elle-même s’exprime en fonction de la projection orthogonale deY sur F :

inf(𝑎,𝑏)∈R2

𝑛∑𝑖=1

(𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏)2 = ‖‖Y−𝑝F(Y)‖‖2 .

Remarque 3.3— Ici, l’espace vectoriel F est donné sous forme de Vect Pour ter-



miner, il reste à trouver 𝑝F(Y) = Y′. On résout

⎧⎨⎩

Y′ ∈ F

Y′ −Z ∈ F⟂⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Y′ = 𝑎X+𝑏, 𝑎,𝑏 ∈R

Y−Y′ ⟂ (1,…,1)

Y−Y′ ⟂ X

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Y′ = 𝑎X+𝑏, 𝑎,𝑏 ∈R

Y−𝑎X−(1,…,1) ⟂ (1,…,1)

Y−𝑎X−(1,…,1) ⟂ X.

On aboutit alors au système sur (𝑎,𝑏) ∈R2 : PEN-FANCY

⎧⎨⎩

∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏) = 0 (⇄ ∂F(𝑎,𝑏)

∂𝑏 = 0) ,

∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏)𝑥𝑖 = 0 (⇄ ∂F(𝑎,𝑏)

∂𝑎 = 0) .

qui a pour unique solution le couple (𝑎⋆,𝑏⋆) trouvée dans le Chapitre ALEA.17.Seulement, la théorie sur la projection orthogonale déroulée plus haut garantitque la solution obtenue cette fois-ci est un minimum : inutile donc de chercher àl’établir.




4. EXERCICES

Exercice ALG.4.1 Vrai ou Faux? (Solution : 30) Dans R𝑛 muni de son produit sca-laire canonique, 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 désigne des vecteurs de R𝑛, et (α,β) ∈ R2. Dire quellesaffirmations son vérifiées :

1 — α⟨𝑥||𝑦⟩+β⟨𝑧||𝑦⟩ = ⟨α𝑥+β𝑧||𝑦⟩,2 — ⟨𝑥||𝑦⟩+ ⟨𝑧|𝑡⟩ = ⟨𝑥+𝑧||𝑦+𝑡⟩,3 — ⟨𝑥||𝑦⟩ = 0 ⟹ 𝑥 = 0 ou 𝑦 = 0,4 — ⟨𝑥|𝑥⟩ = 0 ⟹ 𝑥 = 0,5 — (∀𝑧 ∈R𝑛, ⟨𝑥,𝑧⟩ = 0) ⟹ 𝑥 = 06 — ∀(𝑥,𝑦) ∈ (R𝑛)2, ‖𝑥+𝑦‖ = ‖𝑥‖+‖𝑦‖,7 — toute famille de vecteurs non nuls orthogonaux est libre.8 — Si A est symétrique réelle et si 𝒞 est une base de vecteurs propres de A, alors𝒞 est une base orthonormée de R𝑛.

4.1. Inégalités classiques

[ALG_Bil_39.tex]

Exercice ALG.4.2 (Solution : 30) Soit𝑎1,𝑎2, ...,𝑎𝑛 desnombres réels.Montrerque :

(𝑎1 +...+𝑎𝑛

𝑛)2⩽

𝑎21 +...+𝑎2

𝑛

𝑛.

Indication : On pourra se servir de l’inégalité de CAUCHY-Schwarz.[ALG_Bil_41.tex]


1 — Montrer que pour tout 𝑛 ⩾ 2 : ∑𝑛𝑘=1𝑘√𝑘 ⩽ 𝑛(𝑛+1)√2𝑛+1

2√3.

2 — Montrer que pour tout 𝑛 ⩾ 2 : ∑𝑛−1𝑘=1

𝑘(𝑛−𝑘)2 ⩾ 2

𝑛(𝑛−1) (∑𝑛−1𝑘=1

𝑘𝑛−𝑘 )

2.

[ALG_Bil_40.tex]


1 — Soient 𝑥1, ...,𝑥𝑛 des nombres réels strictement positifs. Montrer que :(∑𝑛

𝑘=11𝑥𝑘

) (∑𝑛𝑘=1𝑥𝑘) ⩾ 𝑛2. Indication : On pourra remarquer que √𝑥2

𝑘 = 𝑥𝑘 pourtout 𝑘 ∈ J1 , 𝑛K.2 — Trouver le(s) minimum(s) global (ou globaux) de 𝑓 ∶ (𝑥1, ...,𝑥𝑛) ∈(R+∗)𝑛 ⟼ (∑𝑛

𝑘=11𝑥𝑘

) (∑𝑛𝑘=1𝑥𝑘).

4.2. Diagonalisation de matrices symétriques

[ALG_Bil_42.tex]

Exercice ALG.4.5 (Solution : 31) Soit A =⎛

⎝

1 √6

√6 2

⎞

⎠.

1 — La matrice A est-elle diagonalisable? Si oui la diagonaliser.2 — Que remarque-t-on sur la base de vecteurs propres?

[ALG_Bil_43.tex]


⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 2

0 −1 0

2 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

. Trouver une matrice P

inversible telle que ⊤PAP soit diagonale.[ALG_Bil_45.tex]

Exercice ALG.4.7 (Solution : 33) Dans cet exercice, R3 est muni de son produitscalaire euclidien et de sa base canonique notée 𝒞. Soit A la matrice : A =⎛⎜⎜⎜⎝

11 −5 5

−5 3 −3

5 −3 3

⎞⎟⎟⎟⎠

et 𝑓 l’endomorphisme de R3 de matrice A dans la base cano-

nique 𝒞.

1 — L’endomorphisme 𝑓 est-il diagonalisable?



2 — Déterminer le noyau K = Ker(𝑓) puis une équation et une base ℬ′ de P = K⟂.3 — Vérifier que P est stable par 𝑓, c’est-à-dire que 𝑓(P) ⊂ P.4 — Déterminer lamatriceBde l’endomorphisme𝑔deP induit par𝑓, dans la baseℬ′.5 — Montrer plus généralement que si F est un sous-espace vectoriel deR3 stablepar 𝑓, alors F⟂ est également stable par 𝑓.6 — Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de 𝑔.

[ALG_Bil_46.tex]

Exercice ALG.4.8 Endomorphismes antisymétriques (Solution : 34) Soit 𝑓 un en-domorphisme non nul de R𝑛 tel que : ∀𝑥 ∈R𝑛, ⟨𝑓(𝑥)||𝑥⟩ = 0.

1 — Montrer que : ∀𝑥,𝑦 ∈ (R𝑛)2, ⟨𝑓(𝑥)||𝑦⟩ = −⟨𝑥||𝑓(𝑦)⟩. Indication : Onpourra calculer ⟨𝑓(𝑥+𝑦)||𝑥+𝑦⟩ = 0 pour tous vecteurs 𝑥,𝑦.2 — Montrer queKer(𝑓) = (Im(𝑓))⟂, où (Im(𝑓))⟂ = {𝑥 ∈ E, ⟨𝑥||𝑦⟩ = 0, ∀𝑦 ∈ Im(𝑓)}.3 — Montrer que si λ est valeur propre de 𝑓, alors λ = 0. L’endomorphisme 𝑓 est-ildiagonalisable?4 — Soit 𝒞 la concaténation d’une base orthonormale de Ker𝑓 et d’une base or-thonormale de Im(𝑓). On admet que 𝒞 est une base de R𝑛.4.1) Justifier que 𝒞 est une base orthonormale de R𝑛.4.2) Donner la forme de la matrice de 𝑓 dans cette base.

[ALG_Bil_47.tex]

Exercice ALG.4.9 Matricededispersiond’uncouplealéatoire. (Solution : 35) SoientZ = (X,Y) deux variables aléatoires admettant un moment d’ordre deux. On ap-pelle matrice de covariance de Z = (X,Y) la matrice

KZ = E (⊤ (Z−E (Z)) (Z−E (Z))) .

On définit l’espérance d’un vecteur ou plus généralement d’une matrice commele vecteur (ou la matrice) des espérances.

1 — Montrer que : KZ =⎛

⎝

Var (X) Cov (X,Y)

Cov (X,Y) Var (Y)

⎞

⎠. Que dire de la diagonalisa-

bilité de KZ si X ∣_∣ Y?

2 — On revient au cas général. Justifier sans calcul que :2.1) la matrice KZ est diagonalisable.2.2) Que dire de la matrice de passage?3 — On souhaite retrouver par le calcul le résultat précédent.3.1) Montrer que si Var (X) ≠ Var (Y) ou que X,Y non non corrélées, alors

KZ est diagonalisable.

3.2) Étudier le cas⎧⎨⎩

Var (X) = Var (Y) ,

Cov (X,Y) = 0.3.3) Conclure.

4.3. Projection orthogonale

[ALG_Bil_49.tex]

Exercice ALG.4.10 Orthogonal de parties (Solution : 36) On munit R4 de son pro-duit scalaire euclidien, et on considère les sous-espaces vectoriels E1,E2 définisci-dessous. Déterminer pour chacun d’eux une base de E⟂𝑖 avec 𝑖 ∈ {1,2,3}.

1 — E1 = Vect ((3,2,0,4), (1,0,0,−2), (1,−1,−1,1)).2 — E2 = {(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈R4 / 2𝑥+3𝑦−𝑡 = 0}.

[ALG_Bil_50.tex]

Exercice ALG.4.11 Projection orthogonale sur une partie et son orthogonal (So-lution : 36) On munit R4 de son produit scalaire euclidien.

1 — Calculer la matrice de la projection orthogonale 𝑝 sur F = Vect(𝑒1,𝑒2) dans labase canonique avec 𝑒1 = (1,0,1,0) et 𝑒2 = (0,1,1,0).2 — Déterminer F⟂ et écrire la matrice de la projection orthogonale 𝑞 sur F⟂.

[ALG_Bil_51.tex]


1 — On considère dans R2 la droite vectorielle (𝒟) 𝑥+𝑦 = 0. On note 𝑝 la pro-jection orthogonale sur 𝒟.1.1) Déterminer la matrice A de 𝑝 dans la base canonique de R2.



1.2) Justifier l’existence d’une base orthonormale 𝒞 deR2 telle que ℳat𝒞

(𝑝) soitdiagonale, et déterminer une telle base.

2 — On considère dans R3 le plan vectoriel (𝒫) 𝑥+𝑦−𝑧 = 0. On note 𝑝 la pro-jection orthogonale sur 𝒫.2.1) Déterminer la matrice A de 𝑝 dans la base canonique de R3.2.2) Justifier l’existence d’une base orthonormale 𝒞 deR3 telle que ℳat

𝒞(𝑝) soit

diagonale, et déterminer une telle base.[ALG_Bil_75.tex]

Exercice ALG.4.13 Calculd’unextremaà l’aided’uneprojectionorthogonale (So-lution : 38) Soit

𝑓||||||

R2 ⟶ R,

(𝑥,𝑦) ⟼ (𝑥+𝑦−2)2 +(2𝑥+𝑦−1)2 +(2𝑥+𝑦−3)2 +(3𝑥+𝑦−2)2.

Déterminer le minimum de 𝑓 sur R2. Indication : On pourra commencer par in-terpréter 𝑓(𝑥,𝑦) comme le carré d’une norme euclidienne, pour tous (𝑥,𝑦) ∈ R2.

[ALG_Bil_78.tex]

Exercice ALG.4.14 Ajustement d’ordre deux – Extrait A-ENV 2019 Soient 𝑛 ∈N⋆,et 𝑥 = (𝑥1,…,𝑥𝑛), 𝑦 = (𝑦1,…,𝑦𝑛) deux éléments de R𝑛, on suppose que les 𝑥𝑖 sontdeux à deux distincts. Soit de plus

F||||||

R3 ⟶ R,

(𝑎,𝑏,𝑐) ⟼ ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 −𝑎−𝑏𝑥𝑖 −𝑐𝑥2

𝑖 )2.

1 — Expliquer ce que représente géométriquement F(𝑎,𝑏,𝑐) pour tout (𝑎,𝑏,𝑐) ∈R3. On pourra placer sur le graphique un nuage de points (𝑥𝑖,𝑦𝑖)1⩽𝑖⩽𝑛 pour𝑛 petit.2 — Justifier que F admet des dérivées partielles dans toutes les directions, et cal-culer gradF(𝑎,𝑏,𝑐) pour tout (𝑎,𝑏,𝑐) ∈R3.

3 — On note ici Y = ⊤𝑦 et β =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎

𝑏

𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠

.

3.1) Chercher une matrice T ∈ 𝔐3 (R) telle que :

∂F∂𝑎

(𝑎,𝑏,𝑐) = −2⟨Y−Tβ

|||||||||

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

⟩

∂F∂𝑏

(𝑎,𝑏,𝑐) = −2⟨Y−Tβ

|||||||||

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑡1

𝑡𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

⟩

∂F∂𝑐

(𝑎,𝑏,𝑐) = −2⟨Y−Tβ

|||||||||

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑡21

𝑡2𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠

⟩

3.2) En écrivant matriciellement les produits scalaires précédents, déduire quetout point critique (��, ��, ��) ∈R3 de F vérifie :

(⊤TT)β = ⊤TY.

4 — On souhaite ensuite montrer que la matrice ⊤TT est inversible.4.1) Préciser le format de ⊤TT.4.2) Montrer que KerT = Ker (⊤TT).

4.3) Que vaut dimKer (⊤T.T)+dimRg (⊤T.T)? Justifier.4.4) Que vaut dimKer (T)+dimRg (T)? Justifier.4.5) En déduire une condition suffisante sur T pour que ⊤T.T soit inversible.5 — Dans le cas où ⊤T.T est inversible, donner une expression de β.6 — Exprimer β à l’aide d’une projection orthogonale.


Exercice ALG.4.15 Agro—Véto, 2017 (Solution : 39)

1 — TERMINALPython Soient 𝑎1,…,𝑎𝑛 ∈ R⋆. Écrire une fonction qui renvoie True si𝑎2𝑖 ∑𝑛

𝑘=11𝑎2𝑘

⩾ 2 pour tout 𝑖 ∈ {1,…,𝑛} et qui renvoie False sinon. La fonction aurapour seul paramètre une liste contenant les réels 𝑎1,…,𝑎𝑛.



2 — On considère les vecteurs 𝑢 = ( 1 0 0 ), 𝑣 = √2( 0 1 0 ), et 𝑤 =

√2( 0 0 1 ), et 𝒫 le plan de R3 admettant pour équation dans la base cano-nique :

𝑦−𝑧 = 0.

Déterminer les projetés orthogonaux des vecteurs 𝑢,𝑣,𝑤 sur le plan 𝒫 et vérifierqu’ils ont même norme.3 — Soit (𝑒1,𝑒2,𝑒3) la base canonique de R3 et 𝑎1,𝑎2,𝑎3 ∈ R⋆. On suppose qu’ilexiste un plan 𝒫 tel que les projetés orthogonaux des vecteurs 𝑎1𝑒1,𝑎2𝑒2 et 𝑎3𝑒3sur ce plan aient tous la même norme notée 𝑑. On considère (ε1, ε2) une base or-thonormée de 𝒫 et ε3 un vecteur normal à 𝒫 de norme 1. On note 𝑝 la projectionorthogonale sur le plan 𝒫.3.1) Donner une expression de𝑝(𝑒𝑖) pour 𝑖 ∈ {1,2,3} à l’aide des vecteurs ε1 et ε2.3.2) Montrer que pour tout 𝑖 ∈ {1,2,3}, on a : ⟨𝑒𝑖||ε1⟩

2 +⟨𝑒𝑖||ε2⟩2 = ( 𝑑

𝑎𝑖)2.

3.3) Montrer que :3∑𝑖=1

1𝑎2𝑖

=2𝑑2 .

3.4) Pour 𝑖 ∈ {1,2,3}, montrer que ||𝑎𝑖|| ⩾ 𝑑 puis que :

𝑎2𝑖

3∑𝑘=1

1𝑎2𝑘

⩾ 2.



1 — C’est vrai : propriété de linéarité à gauche du produit scalaire.2 — C’est faux, prendre par exemples 𝑛 = 1,𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 𝑡 = 1, on 1+1 ≠ 2×2.3 — C’est faux pour 𝑛 > 1 : prendre par exemple 𝑥 = (1,0),𝑦 = (0,1). Alors ⟨𝑥||𝑦⟩ =0 et pourtant 𝑥 ≠ 0 et 𝑦 ≠ 0. En revanche pour 𝑛 = 1 c’est vrai car un produit dedeux nombres réels est nul si et seulement si l’un des deux réels est nul.4 — C’est vrai : propriété («défini») du produit scalaire,montrée au tout début duchapitre.

5 — C’est vrai, faire simple 𝑧 = 𝑥 dans l’hypothèse. On obtient alors ‖𝑥‖2 =0 ⟹ 𝑥 = 0.6 — C’es faux : prendre par exemple 𝑥 = (1,0),𝑦 = (0,1).7 — C’est vrai : la propriété a été vue dans le cours.8 — C’est faux : cette affirmation est une «permutation» des éléments du théo-

rème spectral. Nous avons vu dans le cours que la matrice

⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 1

1 2 1

1 1 2

⎞⎟⎟⎟⎠

fournit un

contre exemple : nous avons obtenu une base propre en diagonalisant, mais cen’était pas une base orthonormée.

Solution (exercice ALG.4.2) (Énoncé : 27)Nous avons, d’après l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ élevée au carré :

(𝑎1 +...+𝑎𝑛

𝑛)2= ⟨(𝑎1,…,𝑎𝑛)

|||| (1𝑛

,…,1𝑛

)⟩2⩽ (

𝑛∑𝑖=1

𝑎2𝑖 )(

𝑛∑𝑖=1

1𝑛2 ) =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑎2𝑖 .

C’est l’inégalité cherchée.


1 — C’est une conséquence de l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ :

𝑛∑𝑘=1

𝑘√𝑘 = ⟨(1,2, …,𝑛)|||(√1,√2, …,√𝑛)⟩ ⩽ √𝑛∑𝑖=1

𝑖2√𝑛∑𝑖=1

𝑖 = √𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6√

𝑛(𝑛+1)2

.

On obtient le majorant cherché.2 — Constatons que 𝑛(𝑛−1)

2 = ∑𝑛−1𝑘=1 𝑘, pour rendre les choses plus claires. Il s’agit

donc de montrer que :

(𝑛−1∑𝑘=1

𝑘𝑛−𝑘

)2

⩽𝑛−1∑𝑘=1

𝑘(𝑛−𝑘)2

×𝑛−1∑𝑘=1

𝑘.



Il suffit ensuite simplement d’appliquer l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ :

(𝑛−1∑𝑘=1

𝑘𝑛−𝑘

)2

= (𝑛−1∑𝑘=1

√𝑘√𝑘𝑛−𝑘

)2

= ⟨(√1,…,√𝑛−1)|||||(

√1𝑛−1

,…,√𝑛−1

𝑛−(𝑛−1))⟩

2

⩽ (𝑛−1∑𝑘=1

𝑘)(𝑛−1∑𝑘=1

𝑘(𝑛−𝑘)2

) .

C’est l’inégalité cherchée.


1 — C’est une conséquence de l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ. En effet :

|||||⟨(√𝑥1,…,√𝑥𝑛)

|||||(

1√𝑥1

,…,1

√𝑥𝑛)⟩

|||||⩽

√√√√

𝑛∑𝑘=1

(1

√𝑥𝑘)2

√𝑛∑𝑘=1

(√𝑥𝑘)2 = √𝑛∑𝑘=1

1𝑥𝑘

√𝑛∑𝑘=1

𝑥𝑘.

Il ne reste plus qu’à élever l’inégalité au carré, on obtient la majoration souhaitée.2 — On constate qu’en prenant 𝑥1,…,𝑥𝑛 = 1, nous avons égalité dans la pre-mière question, il vient que 𝑛2 est la valeur minimale de la fonction 𝑓 puisque(1,…,1) ∈ (R+∗)𝑛.La valeur 𝑛2 est atteinte en (1,…,1), plus généralement en tous les (𝑥1,…,𝑥𝑛) ∈(R+∗)𝑛 qui réalise le cas d’égalité dans la question précédente, i.e. tels que les vec-teurs :

(√𝑥1,…,√𝑥𝑛) et ( 1√𝑥1

,…, 1√𝑥𝑛

) soient liés.Ceci est équivalent à l’existence de λ ∈R tel que :

∀𝑖 ∈ J1 , 𝑛K,1

√𝑥𝑖= λ√𝑥𝑖 ⟺ 1 = λ𝑥𝑖,

car 𝑥𝑖 ≠ 0. Donc finalement λ = 1𝑥𝑖

pour tout 𝑖 et tous les 𝑥𝑖 sont nécessairementégaux, donc (𝑥1,…,𝑥𝑛) = (μ,…,μ) avec μ > 0. En remplaçant, on trouve la valeurde μ :

𝑓(μ,…,μ) = 𝑛2 ⟺𝑛μ

𝑛μ = 𝑛2 ⟺ μ = 1.

En conclusion, (1,…,1) est l’unique minimum global de 𝑓.


1 — La matrice A est diagonalisable en base orthonormée puisque elle est symé-trique réelle. Autrement dit, il existe une matrice D ∈ 𝔐2 (R) et P ∈ GL2R tellesque : A = PD⊤P.2 — Regardons les éléments propres avec Python avant de faire les calculs.

Python1 >>> import numpy as np2 >>> A = np.array([[1, np.sqrt(6)], [np.sqrt(6), 2,]])3 >>> np.linalg.eig(A)4 (array([-1., 4.]), array([[-0.77459667, -0.63245553],5 [ 0.63245553, -0.77459667]]))

Soit λ ∈ R. Pour trouver les valeurs propres de A, on résout en λ l’équation sui-vante :

det⎛

⎝

1−λ √6

√6 2−λ

⎞

⎠= 0 ⟺ (1−λ)(2−λ)−4 = λ2 −3λ−4 = 0.

On vérifie sans peine que les solutions de l’équation sont 4 et −1. Ainsi, puisquenous avons deux valeurs propres distinctes, la matrice A est diagonalisable (maisnous le savions déjà d’après le théorème spectral), et donc Spec(A) = {−1,4} , etdiagonalisable dans unebase orthonormée car symétrique réelle. CalculonsE−1(Apour commencer :

(𝑥,𝑦) ∈ E−1(A) ⟺⎧⎨⎩

2𝑥+√6𝑦 = 0

√6𝑥+3𝑦 = 0.

Or, √62 (2𝑥+√6𝑦) = √6𝑥+3𝑦 = 0, donc les deux lignes du système sont liées. Nous



obtenons alors : E−1(A) = Vect⎛

⎝

−1/2

1/√6

⎞

⎠. On procède de-même avec E4(A) :

E−1(A) = Vect⎛

⎝

−1/2

1/√6

⎞

⎠, E4(A) = Vect

⎛

⎝

1/√6

1/2

⎞

⎠.

Les deux vecteurs sont orthogonaux mais pas normés. Il reste donc à les diviserpar leur norme pour obtenir une matrice de passage orthogonale. Nous avons :

‖‖‖(−1/2,1/√6)‖‖‖ = √14

+16

= √512

=√52√3

,

on procède de-même avec le second vecteur

‖‖‖(−1/√6,1/2)‖‖‖ = √16

+14

= √512

=√52√3

.

D’où :

E−1(A) = Vect⎛⎜⎝

− 122√3√5

1√6

2√3√5

⎞⎟⎠

= Vect⎛

⎝

−√3/√5

√2/√5

⎞

⎠, E4(A) = Vect

⎛

⎝

√2/√5

√3/√5

⎞

⎠.

Donc :

A = PD⊤P, P =⎛

⎝

−√3/√5 √2/√5

√2/√5 √3/√5

⎞

⎠, D =

⎛

⎝

−1 0

0 4

⎞

⎠.

On peut vérifier a posteriori les calculs de vecteurs propres.

Python1 >>> import numpy as np2 >>> A = np.array([[1, np.sqrt(6)], [np.sqrt(6), 2,]])

Python3 >>> X = np.array([[-np.sqrt(3)/np.sqrt(5)],

[np.sqrt(2)/np.sqrt(5)]])↪

4 >>> Y = np.array([[np.sqrt(2)/np.sqrt(5)],[np.sqrt(3 ⌋

)/np.sqrt(5)]])↪

5 >>> A@X+X6 array([[0.00000000e+00],7 [3.33066907e-16]])8 >>> A@Y-4*Y9 array([[-4.4408921e-16],

10 [ 0.0000000e+00]])

On obtient bien deux vecteurs très proches du vecteur nul : ceci est dû à l’approxi-mation de la racine carrée qu’utilise numpy.

Solution (exercice ALG.4.6) (Énoncé : 27) Soit A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 2

0 −1 0

2 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

. On constate tout

d’abord qu’elle est symétrique réelle donc d’après le théorème spectral, elle estdiagonalisable en base orthonormée, cherchons à présent ses valeurs propres et



des vecteurs propres associés. Soit λ ∈R, alors :

A−λI3 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1−λ 0 2

0 −1−λ 0

2 0 1−λ

⎞⎟⎟⎟⎠

∼L

⎛⎜⎜⎜⎝

2 0 1−λ

0 −1−λ 0

1−λ 0 2

⎞⎟⎟⎟⎠

L1 ↔ L3

∼L

⎛⎜⎜⎜⎝

2 0 1−λ

0 −1−λ 0

0 0 4− (1−λ)2

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

2 0 1−λ

0 −1−λ 0

0 0 (1+λ)(3−λ)

⎞⎟⎟⎟⎠

L3 ↔ 2L3 −(1−λ)L1

On déduit alors que SpecA = {−1,3} . Puis on calcule les espaces propres :

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ E−1(A) ⟺⎧⎪⎨⎪⎩

2𝑥+2𝑧 = 00 = 00 = 0

⟺

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ Vect((0,1,0), (1,0,−1)).

De-même

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ E3(A) ⟺⎧⎪⎨⎪⎩

2𝑥 −2𝑧 = 0−4𝑦 = 0

0 = 0⟺

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ Vect(1,0,1).

Par analysedesdimensions, nous avonsque lamatriceA est diagonalisable (1+2 =3). Notons dans la suite 𝑓1 = (0,1,0),𝑓2 = (1,0,−1) et 𝑓3 = (1,0,1). Finalement, onconstate que (𝑓1,𝑓2,𝑓3) est une famille orthogonale, il ne reste donc plus qu’à lanormaliser en posant :

𝑒1 = 𝑓1, 𝑒2 =1

√2(1,0,−1), 𝑒3 =

1√2

(1,0,1).

Donc :

A = PD⊤P, P =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 1√2

1√2

1 0 0

0 − 1√2

1√2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

.


1 — La matrice A est symétrique réelle, donc diagonalisable et 𝑓 est diagonali-sable en base orthonormée, et est à valeurs propres.

2 — On résout A

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎠

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

11𝑥−5𝑦+5𝑧 = 0

−5𝑥+3𝑦−3𝑧 = 0

5𝑥−3𝑦+3𝑧 = 0

⟺

⎧⎨⎩

𝑥 = 0

𝑦 = 𝑧. Donc :

K = Ker𝑓 = Vect(0,1,1) = Vect(𝑢).

Par conséquent X =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ P = (Vect𝑢))⟂ ⟺ ⟨X|𝑢⟩ = 0 ⟺ 𝑦+𝑧 =

0. Ainsi : P = (Vect(𝑢))⟂ est le plan d’équation 𝑦+𝑧 = 0 et on peut choisir pourbase ℬ′ de P la famille (𝑣,𝑤) avec 𝑣 = (1,0,0) et 𝑤 = (0,1,−1).3 — Comme P = Vect(𝑣,𝑤), soit 𝑥 ∈ P, il s’agit de montrer que A𝑥 ∈ P. Par hypo-thèse, il existe μ,ν ∈R tels que 𝑥 = λ𝑣+μ𝑤. Donc A𝑥 = A(λ𝑣+μ𝑤) = λA𝑣+μA𝑤.



On a par calculs A𝑣 =

⎛⎜⎜⎜⎝

11

−5

5

⎞⎟⎟⎟⎠

= 11𝑣 − 5𝑤. On lit sur les coordonnées A𝑣 =

11𝑣−5𝑤. Et A𝑤 =

⎛⎜⎜⎜⎝

11 −5 5

−5 3 −3

5 −3 3

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

0

1

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

−10

6

−6

⎞⎟⎟⎟⎠

= −10𝑣+6𝑤.

Donc : A𝑥 = λ(11𝑣−5𝑤)+μ(−10𝑣+6𝑤) = (11λ−10μ)𝑣+(−5λ+6μ)𝑤 ∈ P. DoncP est stable par A.

4 — L’application 𝑔||||||

P ⟶ P

𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥)est donc bien définie d’après la question

précédente, c’est un élément de ℒ(P), on l’appelle l’«endomorphisme induit» de𝑓 sur P. De plus, les calculs précédents montrent aussi que :

B = ℳatℬ′

(𝑔) =⎛

⎝

11 −10

−5 6

⎞

⎠.

5 — Plus généralement, soit F un sous-espace stable par 𝑓 : i.e. ∀𝑥 ∈ F, 𝑓(𝑥) ∈F. Soit maintenant 𝑦 ∈ F⟂, ∀𝑧 ∈ F, ⟨𝑧||𝑦⟩ = 0. On veut montrer 𝑓(𝑦) ∈ F⟂. Soitdonc 𝑥 ∈ F, notons X,Y la matrice des coordonnées dans la base canonique de𝑥,𝑦 : ⟨𝑥||𝑓(𝑦)⟩ = ⊤X(AY) = (⊤ (X)A)Y =Asym

⊤ (AX)Y = ⟨𝑓(𝑥)||𝑦⟩, puisque 𝑓(𝑥) ∈ F estorthogonal à 𝑦 par hypothèse, on obtient :

⟨𝑥||𝑓(𝑦)⟩ = ⟨𝑓(𝑥)||𝑦⟩ = 0.

Ainsi 𝑓(𝑦) est orthogonal à F donc appartient à F⟂ pour tout 𝑦, doncF⟂ est stable par 𝑓 .

6 — B⎛

⎝

𝑥

𝑦

⎞

⎠= λ

⎛

⎝

𝑥

𝑦

⎞

⎠⟺

⎧⎨⎩

(11−λ)𝑥−10𝑦 = 0

−5𝑥+(6−λ)𝑦 = 0Le déterminant de ce système vaut (11−λ)(6−λ)−50 = λ2−17λ+16. Les valeurs

propres de B (donc de 𝑔) sont 1 et 16 et on obtient après calculs :

E1(B) = Vect⎛

⎝

1

1

⎞

⎠, E16(B) = Vect

⎛

⎝

2

−1

⎞

⎠.


1 — Appliquons l’hypothèse à 𝑥 + 𝑦 avec 𝑥,𝑦 ∈ R𝑛. Par hypothèse on a donc⟨𝑓(𝑥+𝑦)||𝑥+𝑦⟩ = 0. Mais, en utilisant la linéarité de 𝑓 et la bilinéarité du produitscalaire, on obtient :

0 = ⟨𝑓(𝑥+𝑦)||𝑥+𝑦⟩ = ⟨𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)||𝑥+𝑦⟩ = ⟨𝑓(𝑥)||𝑥⟩=0

+⟨𝑓(𝑦)||𝑥⟩+⟨𝑓(𝑦)||𝑥⟩+⟨𝑓(𝑦)||𝑦⟩=0

= ⟨𝑓(𝑦)||𝑥⟩+⟨𝑓(𝑦)||𝑥⟩ .

On obtient alors immédiatement : ∀𝑥 ∈R𝑛, ⟨𝑓(𝑥)||𝑥⟩ = 0.2 — Il s’agit d’établir une égalité de deux ensembles, on procède donc par doubleinclusion.⊂ Soit 𝑥 ∈ R𝑛 tel que 𝑓(𝑥) = 0. Alors montrons que pour tout 𝑦 ∈ Im𝑓, nousavons ⟨𝑥||𝑦⟩ = 0. Comme 𝑦 ∈ Im𝑓, il existe 𝑦′ ∈R𝑛 tel que 𝑓(𝑦′) = 𝑦. Alors

⟨𝑥||𝑦⟩ = ⟨𝑥||𝑓(𝑦′)⟩ = −⟨𝑓(𝑥)||𝑦′⟩ = −⟨0||𝑦′⟩ = 0.

On a bien montré : 𝑥 ∈ (Im(𝑓))⟂.⊃ Soit 𝑥 ∈ (Im(𝑓))⟂, alors pour tout 𝑦 ∈ Im𝑓, nous avons ⟨𝑥||𝑦⟩ = 0. Dit autre-ment, on suppose que pour tout 𝑦′ ∈ R𝑛, ⟨𝑥||𝑓(𝑦′)⟩ = 0. D’après la question précé-dente, cela revient à supposer

∀𝑦′ ∈R𝑛, ⟨𝑥||𝑓(𝑦′)⟩ = −⟨𝑓(𝑥)||𝑦′⟩ = 0 ⟺ ⟨𝑓(𝑥)||𝑦′⟩ = 0.

Il suffit ensuite de choisir 𝑦′ = 𝑓(𝑥). Il vient alors ⟨𝑓(𝑥)||𝑓(𝑥)⟩ = 0 = ‖‖𝑓(𝑥)‖‖2. Parpropriété de la norme, nous obtenons 𝑓(𝑥) = 0, i.e. 𝑥 ∈ Ker𝑓. En conclusion :Ker(𝑓) = (Im(𝑓))⟂.3 — Supposons que λ ∈ Spec𝑓, alors choisissons 𝑥 ≠ 0 tel que 𝑓(𝑥) = λ𝑥. En pre-nant le produit scalaire avec 𝑥 dans l’égalité précédente il vient

0 = ⟨𝑓(𝑥)||𝑥⟩ = λ⟨𝑥|𝑥⟩ = λ‖𝑥‖2 ⟹ λ = 0,

puisque ‖𝑥‖ ≠ 0 (sinon 𝑥 = 0 et c’est une contradiction). Donc λ = 0.



4 — Notons (𝑒1,…,𝑒𝑞) une base orthonormale de Ker𝑓, et (𝑒𝑞+1,…,𝑒𝑛) une baseorthonormale de Im𝑓. On admet que 𝒞 = (𝑒1,…,𝑒𝑞,𝑒𝑞+1,…,𝑒𝑛) est une base deR𝑛.4.1) Il suffit de justifier qu’elle est orthonormée. Premièrement, il est immédiat

que tous les vecteurs de 𝒞 sont de norme un. Deuxièmement, soient deuxvecteurs 𝑒𝑖,𝑒𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗 de 𝒞. Montrons que ⟨𝑒𝑖||𝑒𝑗⟩ = 0. En effet,

Caret-right si (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑞K2, alors cela découle du caractère orthogonal de(𝑒1,…,𝑒𝑞).

Caret-right si (𝑖, 𝑗) ∈ J𝑞 + 1 , 𝑛K2, alors cela découle du caractère orthogonal de(𝑒𝑞+1,…,𝑒𝑛).

Caret-right si 𝑖 ∈ J1 , 𝑞K et 𝑗 ∈ J𝑞+1 , 𝑛K (ou l’inverse), on a ⟨𝑒𝑖||𝑒𝑗⟩ = 0 car, d’aprèsune question précédente Ker(𝑓) = (Im(𝑓))⟂, et ici 𝑒𝑖 ∈ Ker𝑓, 𝑒𝑗 ∈ Im𝑓.

En résumé : la famille 𝒞 est une base orthonormale de R𝑛.4.2) Pour trouver lamatrice dans𝒞, il faut et il suffit d’exprimer 𝑓(𝑒𝑖) en fonction

de 𝑒1,…,𝑒𝑛 pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K.Caret-right si 𝑖 ∈ J1 , 𝑞K : 𝑓(𝑒𝑖) = 0 par définition du noyau de 𝑓.Caret-right Supposons maintenant que 𝑖 ∈ J𝑞 + 1 , 𝑛K. Alors, puisque 𝒞 est or-

thonormée et d’après le cours, on sait que 𝑓(𝑒𝑖) = ∑𝑛𝑗=1 ⟨𝑓(𝑒𝑖)||𝑒𝑗⟩𝑒𝑗 =

∑𝑞𝑗=1 ⟨0||𝑒𝑗⟩𝑒𝑗 +∑𝑛

𝑗=𝑞+1 ⟨𝑓(𝑒𝑖)||𝑒𝑗⟩𝑒𝑗 = ∑𝑛𝑗=𝑞+1 ⟨𝑓(𝑒𝑖)||𝑒𝑗⟩𝑒𝑗.

Donc finalement, la forme de la matrice dans 𝒞 est la suivante :

ℳat𝒞

(𝑓) =⎛

⎝

0𝑞×𝑞 0𝑞×𝑛−𝑞+1

0𝑛−𝑞+1×𝑞 ⋆

⎞

⎠.


1 — Constatons d’abord que ⊤ (Z−E (Z)) (Z−E (Z)) est le produit d’une matricede format 2 × 1 et d’une de format 1 × 2, donc ⊤ZZ est de format 2 × 2. Et plusprécisément :

⊤ZZ =⎛

⎝

X−E (X)

Y−E (Y)

⎞

⎠( X−E (X) Y−E (Y) ) =

⎛

⎝

(X−E (X))2 (X−E (X))(Y−E (Y))

(Y−E (Y))(X−E (X)) (Y−E (Y))2

⎞

⎠.

En prenant l’espérance, et en utilisant la symétrie de la covariance, on obtient lamatrice de l’énoncé :

KZ =⎛

⎝

Var (X) Cov (X,Y)

Cov (X,Y) Var (Y)

⎞

⎠.

Si X ∣_∣ Y, alors KZ =⎛

⎝

Var (X) 0

0 Var (Y)

⎞

⎠, la matrice KZ est donc diagonalisable,

car diagonale. Les valeurs propres sont Var (X) ,Var (Y).2 — 2.1) La matrice KZ est une matrice symétrique réelle, donc d’après le théo-

rème spectral elle est diagonalisable en base orthonormale.2.2) La matrice de passage est orthogonale.3 — 3.1) Calculons les valeurs propres. Soit λ ∈R, alors :

det(KZ −λ) = (Var (X)−λ)(Var (Y)−λ)−Cov (X,Y)2

= λ2 −λ(Var (X)+Var (Y))+ (Var (X)Var (Y)−Cov (X,Y)2).

C’est un trinôme en λ de discriminant

Δ = (Var (X)+Var (Y))2 −4(Var (X)Var (Y)−Cov (X,Y)2)= Var (X)2 +Var (Y)2 +2Var (X)Var (Y)−4(Var (X)Var (Y)−Cov (X,Y)2

= (Var (X)−Var (Y))2 +4Cov (X,Y)2 ⩾ 0.

Ainsi, nous avons deux valeurs propres réelles distinctes (si le discriminantest > 0), ou bien une valeur propre double (si le discriminant est = 0). Or,puisque qu’une somme de termes positifs est nulle si et seulement si tousles termes sont nuls, nous avons :

Δ = 0 ⟺ Cov (X,Y) = 0, Var (X) = Var (Y) .

Donc si Var (X) ≠ Var (Y) ou que X,Y sont non corrélées, Δ > 0,et donc KZ est diagonalisable sur R (car elle possède alors deux valeurspropres réelles distinctes).



3.2) Supposons que⎧⎨⎩

Var (X) = Var (Y)

Cov (X,Y) = 0. Alors KZ =

⎛

⎝

Var (X) 0

0 Var (X)

⎞

⎠, donc la matrice KZ est diagonale donc

elle est diagonalisable sur R, de valeur propre Var (X).3.3) Dans les deux cas, KZ est diagonalisable à valeurs propres réelles.


1 — Une famille génératrice de E1 est (𝑒1,𝑒2,𝑒3) où 𝑒1 = (3,2,0,4), 𝑒2 = (1,0,0,−2)et 𝑒3 = (1,−1,−1,1). Donc :

(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈ E⟂1 ⟺ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ⟂ 𝑒1,𝑒2,𝑒3 ⟺⎧⎪⎨⎪⎩

3𝑥+2𝑦+4𝑧 = 0𝑥 −2𝑡 = 0𝑥− 𝑦− 𝑧+ 𝑡 = 0

⟺⎧⎪⎨⎪⎩

𝑦+2𝑧 = −3𝑡𝑦+ 𝑧 = 3𝑡

𝑥 = 2𝑡

⟺⎧⎪⎨⎪⎩

𝑧 = −6𝑡𝑦 = 9𝑡

𝑥 = 2𝑡.

Donc E⟂1 = Vect(2,9,−6,1).2 — Cette fois-ci, l’espace vectoriel est donné sous forme d’une équation impli-cite (ou cartésienne). On peut commencer par chercher une famille génératrice.

(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈ E2 ⟺ 2𝑥+3𝑦−𝑡 = 0 ⟺ 𝑡 = 2𝑥+3𝑦⟺ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) = (𝑥,𝑦,𝑧,2𝑥+3𝑦) = 𝑥(1,0,0,2)+𝑦(0,1,0,3)+𝑧(0,0,1,0).

Donc E2 = Vect((1,0,0,2), (0,1,0,3), (0,0,1,0)).C’est un espace vectoriel de dimen-sion trois, on s’y attendait puisque E2 est un noyau de forme linéaire. Ensuite, on

procède comme avant :

(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈ E⟂1 ⟺⎧⎪⎨⎪⎩

𝑥 +2𝑡 = 0𝑦 +3𝑡 = 0

𝑧 = 0

⟺⎧⎪⎨⎪⎩

𝑥 = −2𝑡𝑦 = −3𝑡

𝑧 = 0⟺ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) = (−2𝑡,−3𝑡,0,𝑡) = 𝑡(−2,−3,0,1).

Donc E⟂2 = Vect((−2,−3,0,1)) .


1 — Calculons une expression analytique de la projection à l’aide de la définition.



Soit (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈R4, alors :

(𝑥′,𝑦′,𝑧′, 𝑡′) = 𝑝F(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

(𝑥′,𝑦′,𝑧′, 𝑡′) ∈ F

(𝑥−𝑥′,𝑦−𝑦′,𝑧−𝑧′, 𝑡 −𝑡′) ⟂ 𝑒1

(𝑥−𝑥′,𝑦−𝑦′,𝑧−𝑧′, 𝑡 −𝑡′) ⟂ 𝑒2

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∃λ, μ ∈R, (𝑥′,𝑦′,𝑧′, 𝑡′) = λ(1,0,1,0)+μ(0,1,1,0),

(𝑥−𝑥′)+ (𝑧−𝑧′) = 0,

(𝑦−𝑦′)+ (𝑧−𝑧′) = 0,

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∃λ, μ ∈R, (𝑥′,𝑦′,𝑧′, 𝑡′) = (λ,μ,λ+μ,0)

𝑥′ +𝑧′ = 𝑥+𝑧,

𝑦′ +𝑧′ = 𝑦+𝑧,

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∃λ, μ ∈R, (𝑥′,𝑦′,𝑧′, 𝑡′) = (λ,μ,λ+μ,0),

2λ+μ = 𝑥+𝑧,

λ+2μ = 𝑦+𝑧,

Il s’agit ensuite de résoudre le système précédent en λ,μ, on trouve :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∃λ, μ ∈R, (𝑥′,𝑦′,𝑧′, 𝑡′) = (λ,μ,λ+μ,0),

2λ+μ = 𝑥+𝑧,

λ+2μ = 𝑦+𝑧,

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∃λ, μ ∈R, (𝑥′,𝑦′,𝑧′, 𝑡′) = (λ,μ,λ+μ,0),

μ = 13 (−𝑥+2𝑦+𝑧),

λ = 13 (2𝑥−𝑦+𝑧)

.

Donc : (𝑥′,𝑦′,𝑧′, 𝑡′) = (λ,μ,λ+μ,0) = ( 13 (2𝑥−𝑦+𝑧), 13 (−𝑥+2𝑦+𝑧), 13 (𝑥+𝑦+2𝑧),0) .Donc :

𝑝F(𝑥,𝑦,𝑧) = (13(2𝑥−𝑦+𝑧),

13(−𝑥+2𝑦+𝑧),

13(𝑥+𝑦+2𝑧),0) .

On déduit alors la matrice dans la base canonique :

ℳatℬcan

(𝑝F) =13

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

2 −1 1 0

−1 2 1 0

1 1 2 0

0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

2 — On a :

(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈ F⟂ ⟺ {𝑥 +𝑧 = 0

𝑦+𝑧 = 0

⟺ {𝑥 = 𝑦

𝑧 = −𝑥⟺ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) = (𝑥,𝑥,−𝑥,𝑡) = 𝑥(1,1,−1,0)+𝑡(0,0,0,1).

On déduit F⟂ = Vect((1,1,−1,0), (0,0,0,1)). Calculons la projection orthogonaledemandée, en orthonormalisant la famille (𝑢,𝑣) où 𝑢 = (1,1,−1,0),𝑣 = (0,0,0,1).Onconstate que𝑢 ⟂ 𝑣, il suffitdoncdenormaliser les deux vecteurs, posonsdonc :

𝑓1 =1

√3(1,1,−1,0), 𝑓2 = (0,0,0,1).

Donc d’après le cours, pour tout (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈R4,

𝑝F⟂ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) = ⟨(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)||𝑓1⟩𝑓1 +⟨(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)||𝑓2⟩𝑓2

=13(𝑥+𝑦−𝑧)(1,1,−1,0)+𝑡(0,0,0,1) =

13( 𝑥+𝑦−𝑧,𝑥+𝑦−𝑧,𝑧−𝑥−𝑦,3𝑡 ).

Donc ℳatℬcan

(𝑝F⟂) = 13

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 −1 0

1 1 −1 0

−1 −1 1 0

0 0 0 3

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. Remarquons une chose : géométri-

quement, on se doute que 𝑝F +𝑝F⟂ = IdR4 . Cette propriété est hors programme enBCPST, mais elle nous aurait permis d’affirmer directement que 𝑝F⟂ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) =(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)−𝑝F(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) puis on utiliserait la question précédente.




1 — 1.1) Une base de 𝒟 est (1,−1). Donc une base orthonormée est(1/√2,−1/√2). Ainsi, d’après le cours, pour tout (𝑥,𝑦) ∈R2 :

𝑝𝒟(𝑥,𝑦) =12⟨(𝑥,𝑦)||(1,−1)⟩(1,−1) =

𝑥−𝑦2

(1,−1).

Donc ℳatℬcan

(𝑝𝒟) = 12

⎛

⎝

1 −1

−1 1

⎞

⎠.

1.2) ...2 — 2.1) Une base de 𝒫 est ((1,0,1), (0,1,1)). Soient (𝑥,𝑦,𝑧), (𝑥′,𝑦′,𝑧′) ∈ R3,

alors :

(𝑥′,𝑦′,𝑧′) = 𝑝𝒫(𝑥,𝑦,𝑧)

⟺⎧⎨⎩

𝑥′ +𝑦′ −𝑧′ = 0

(𝑥−𝑥′,𝑦−𝑦′,𝑧−𝑧′) ∈ 𝒫⟂,

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑥′ +𝑦′ −𝑧′ = 0

𝑥′ +𝑧′ = 𝑥+𝑧

𝑦′ +𝑧′ = 𝑦+𝑧

,

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑥′ = 13 (2𝑥−𝑦+𝑧)

𝑦′ = − 13 (𝑥−2𝑦−𝑧)

𝑧′ = 13 (𝑥+𝑦+2𝑧)

.

On déduit alors la matrice de la projection dans la base canonique :

ℳat𝑝F

(ℬcan) =13

⎛⎜⎜⎜⎝

2 −1 1

−1 2 1

1 1 2

⎞⎟⎟⎟⎠

.

2.2) ...

Solution (exercice ALG.4.13) (Énoncé : 29) Soit (𝑥,𝑦) ∈R2. Alors :

𝑓(𝑥,𝑦) = ‖‖(𝑥+𝑦−2,2𝑥+𝑦−1,2𝑥+𝑦−3,3𝑥+𝑦−2)‖‖2 = ‖‖𝑥(1,2,2,3)+𝑦(1,1,1,1)− (2,1,3,2)‖‖2 .

Ainsi, puisque 𝑓 est minorée elle admet une borne inférieure et :

inf(𝑥,𝑦)∈R2

𝑓(𝑥,𝑦) = inf(𝑥,𝑦)∈R2

‖‖(2,1,3,2)−𝑥(1,2,2,3)+𝑦(1,1,1,1)‖‖2 = inf𝑣∈F

‖(2,1,3,2)−𝑣‖2

où F = Vect((1,2,2,3), (1,1,1,1)). On calcule donc tout d’abord 𝑝F((2,1,3,2)). C’estl’unique vecteur (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) ∈ R4 tel que :

⎧⎨⎩

(2,1,3,2)− (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) ⟂ (1,2,2,3), (1,1,1,1)

(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) ∈ F.

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2−𝑎+2(1−𝑏)+2(3−𝑐)+3(2−𝑑) = 0,

2−𝑎+1−𝑏+3−𝑐+2−𝑑 = 0,

(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) = 𝑥(1,2,2,3),+𝑦(1,1,1,1), 𝑥,𝑦 ∈R

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2−𝑎+2(1−𝑏)+2(3−𝑐)+3(2−𝑑) = 0,

2−𝑎+1−𝑏+3−𝑐+2−𝑑 = 0,

(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) = 𝑥(1,2,2,3),+𝑦(1,1,1,1), 𝑥,𝑦 ∈R

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

18𝑥+8𝑦 = 16,

8𝑥+4𝑦 = 8,

(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) = (𝑥+𝑦,2𝑥+𝑦,2𝑥+𝑦,3𝑥+𝑦), 𝑥,𝑦 ∈R

Il reste ensuite à résoudre le système précédent en (𝑥,𝑦), on trouve 𝑥 = 0,𝑦 = 2comme solution. Ainsi, d’après le cours, 𝑓 est minimale au point (0,2). Si on sou-haite obtenir la valeur dudit minimum, on remplace : 𝑓(0,2) = 2, ou alors oncalcule

‖‖(2,1,3,2)−𝑝F((2,1,3,2))‖‖2 = ‖(2,1,3,2)− (0.(1,2,2,3)+2(1,1,1,1))‖2 ,



mais c’est plus long.


Python1 —1 def question1(L):

2 n = len(L)3 for i in range(n):4 if (L[i]**2)*sum([1/(L[j]**2) for j in range(n)]) < 2:5 return False6 return True

Pour [1,2,3], nous obtenons False.2 — Pour ne pas refaire trois fois le même travail, déterminons l’expression géné-rale 𝑝(𝑥,𝑦,𝑧) de la projection orthogonale sur 𝒫 du vecteur (𝑥,𝑦,𝑧). Par ailleurs,

on vérifie sans peine que

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

0

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

,( 1,0,0 )

⎞⎟⎟⎟⎠

est une base de 𝒫 (aucune condition

sur 𝑥, et les deux autres coordonnées doivent être égales).

Nous avons alors (𝑥′,𝑦′,𝑧′) = 𝑝(𝑥,𝑦,𝑧) si et seulement si :

⎧⎨⎩

(𝑥,𝑦,𝑧)−𝑝(𝑥,𝑦,𝑧) ⟂ 𝒫

(𝑥′,𝑦′,𝑧′) ∈ 𝒫⟺

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(𝑥−𝑥′,𝑦−𝑦′,𝑧−𝑧′) ⟂

⎛⎜⎜⎜⎝

0

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

(𝑥−𝑥′,𝑦−𝑦′,𝑧−𝑧′) ⟂ ( 1,0,0 )

𝑦′ −𝑧′ = 0

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑦−𝑦′ +𝑧−𝑧′ = 0

𝑥−𝑥′ = 0

𝑦′ −𝑧′ = 0

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑦′ +𝑧′ = 𝑦+𝑧

𝑥′ = 𝑥

𝑦′ −𝑧′ = 0 ∈ 𝒫

⟺⎧⎨⎩

𝑦′ = 𝑧′ = 𝑦+𝑧2

𝑥′ = 𝑥.

On trouve alors 𝑝(𝑢) = (1,0,0), 𝑝(𝑣) = √2(0, 12 ,12 ) et 𝑝(𝑤) = √2(0, 12 ,

12 ). Les trois

vecteurs sont bien de norme 1.3 — 3.1) Comme (ε1, ε2) est une base orthonormée de 𝒫, nous avons3 :

𝑝(𝑒𝑖) = ⟨𝑒𝑖||ε1⟩ε1 +⟨𝑒𝑖||ε2⟩ε2.

3.2) La quantité ⟨𝑒𝑖||ε1⟩2 + ⟨𝑒𝑖||ε2⟩

2 vaut exactement ‖‖𝑝(𝑒𝑖)‖‖2. Mais comme

‖‖𝑝(𝑎𝑖𝑒𝑖)‖‖2 = 𝑎2

𝑖‖‖𝑝(𝑒𝑖)‖‖

2 = 𝑑2, nous obtenons la formule donnée.

3d’après le cours



3.3) Divisons par 𝑑2 l’égalité précédente, et sommons-Là en 𝑖 pour 𝑖 ∈ J1 , 3K. Ilvient :

3∑𝑖=1

1𝑎2𝑖

=1𝑑2

𝑑∑𝑖=1

(⟨𝑒𝑖||ε1⟩2 +⟨𝑒𝑖||ε2⟩

2) =1𝑑2 (

‖‖ε1‖‖2 +‖‖ε2‖‖

2) =1𝑑2 ,

où nous avons appliqué le théorème de Pythagore appliqué à la base ortho-normée (𝑒1,𝑒2,𝑒3). C’est l’égalité souhaitée.

3.4) Nous avons, toujours d’après le théorème de Pythagore :

‖‖𝑎𝑖𝑒𝑖‖‖2 = ‖‖𝑝(𝑎𝑖𝑒𝑖)‖‖

2+‖‖𝑎𝑖𝑒𝑖 −𝑝(𝑎𝑖𝑒𝑖)‖‖2 ⟹ 𝑎2

𝑖‖‖𝑎𝑖𝑒𝑖‖‖

2 ⩾ ‖‖𝑝(𝑎𝑖𝑒𝑖)‖‖2 = 𝑑2.

En prenant la racine de chaque côté nous obtenons l’inégalité souhaitée.Enfin, combinant ceci et la question précédente, il vient :

𝑎2𝑖

3∑𝑘=1

1𝑎2𝑘

⩾ 𝑑2 2𝑑2 = 2 .


Chapitre ALG.5. Nombres complexes & Trigonométrie

CHAPITRE ALG.5Nombres complexes & Trigonométrie

Résumé & Plan

L’Objectif de ce chapitre est de revoir certaines propriétés de première année sur les nombres complexes. Quelques com-pléments seront présentés en fin de chapitre, notamment sur les solutions de l’équation 𝑧𝑛 = 1 avec 𝑛 ∈ N appeléesRacines 𝑛-ièmes de l’unité.

W

1. Définition de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Notation exponentielle d’un imaginaire pur . . . . . . . . . 6

2.3. Exponentielle générale e𝑧 et forme exponentielle . . . . . . 7

2.4. Complément – racines 𝑛-ièmes d’un complexe [H.P] . . . 9

3. Trigonométrie & Applications des nombres complexes . . . . . . . 13

3.1. En trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2. Résolution d’équations du second degré . . . . . . . . . . 18

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2. Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3. Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4. Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5. Planche A-ENV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


L’histoire des nombres complexes commence vers le milieudu XV ieme siècle avec une première apparition en 1545,dans l’œuvre de Cardan, d’une expression contenant laracine carrée d’un nombre négatif, nombre qu’il appelle«sophistiqué». C’est Raphaël Bombelli qui met en placeles règles de calcul sur ces quantités que l’on appelle alorsimpossibles avant de leur donner le nom d’imaginaires.

—Le saviez-vous?

1. DÉFINITION DE C

On souhaite construire un ensemble de nombres, appelé ensemble des nombrescomplexes dans la suite, dans lequel certaines équations admettent une solution



(alors que ce n’est pas le cas dans R) comme par exemple

𝑥2 +1 = 0 (1.1)

qui n’a aucune solution dans R. Même si nous n’insisterons pas trop là-dessus :il ne suffit pas de prétendre son existence pour qu’il existe, i.e. la phrase «soit Cun ensemble contenant R et possédant un élément i tel que i 2 = −1» n’a aucunelégitimité mathématique. Un principe de construction en Mathématiques — parexemple de construction d’ensemble ici — consiste en la démarche suivante : onpart d’un ensemble déjà connu, R en l’occurence (mais attention, cet ensembleaussi on ne vous l’a jamais construit !) et on en définit un autre possédant les pro-priétés souhaitées. C’est ce qui est fait dans le paragraphe ci-après. Dans le sui-vant, nous oublierons déjà le fait que les éléments de C peuvent être vus commedes coupes (𝑥,𝑦) ∈R2, et nous reprenons la notation 𝑥+ i𝑦 habituelle.

Principe de construction de C comme R2 muni de deux lois. [H.P] Rappelonsque R2 = {(𝑥,𝑦), 𝑥 ∈R,𝑦 ∈R}, c’est un ensemble bien défini que nous pouvonsutiliser pour construire C. Alors on note C l’ensemble R2 muni des lois + et × sui-vantes :

1 — (Sommede nombres complexes) ∀(𝑥,𝑦,𝑥′,𝑦′) ∈R4, (𝑥,𝑦)+(𝑥′,𝑦′) = (𝑥+𝑥′,𝑦+𝑦′),2 — (Produit de nombres complexes) ∀(𝑥,𝑦,𝑥′,𝑦′) ∈ R4, (𝑥,𝑦).(𝑥′,𝑦′) =(𝑥𝑥′ −𝑦𝑦′,𝑥𝑦′ +𝑥′𝑦).

Les éléments deC sont plutôt représentés de la manière suivante : l’élément (𝑥,𝑦)est noté 𝑥+ i .𝑦, et les assertions précédentes deviennent :

1 — (Somme de nombres complexes) ∀(𝑥,𝑦,𝑥′,𝑦′) ∈R4, (𝑥+ i𝑦)+(𝑥′+ i𝑦′) =(𝑥+𝑥′)+ i (𝑦+𝑦′),2 — (Produit de nombres complexes) ∀(𝑥,𝑦,𝑥′,𝑦′) ∈ R4, (𝑥 + i𝑦).(𝑥′ + i𝑦′) =𝑥𝑥′ −𝑦𝑦′ + i (𝑥𝑦′ +𝑥′𝑦),

impliquant en particulier que i 2 = (0,1).(0,1) = (−1,0) en faisant 𝑦 = 1, 𝑦′ = 1,𝑥 = 0 et 𝑥′ = 0 dans les définitions de loi produit précédentes, i.e. en notationcomplexe

i 2 = −1.

On a donc construit un élément noté i et un ensemble C, où cet élément i estune solution dans C de 𝑥2 +1 = 0. C’était le but cherché, classiquement on exigecertaines propriétés supplémentaire sur les lois +,× (associativité, inverse, etc.)qui sont vérifiées ici.Les lois précédentes permettent d’additionner et de multiplier deux complexes.On peut aussi multiplier tout complexe (𝑥,𝑦) = 𝑥+ i𝑦 par λ ∈R (resp.C) :

λ.(𝑥+ i𝑦) = (λ+ i0)(𝑥+ i𝑦) = (λ𝑥)+ i (λ𝑦), λ ∈R (resp.C).

En particulier, on peut montrer que cette opération externe R × C ⟶ C (resp.C×C⟶C) définit une structure de R-espace vectoriel sur C (resp. C-espace vec-toriel).

Définition ALG.5.1 | Définition d’un nombre complexeLes éléments de C sont appelés nombres complexes. Si 𝑧 ∈ C, alors 𝑧 = 𝑥+ i𝑦avec 𝑥 ∈R et 𝑦 ∈R. On appellera partie réelle de 𝑧 le réel 𝑥 (noté Re (𝑧)), et 𝑦 lapartie imaginaire (notée Im (𝑧)).L’écriture 𝑧 = 𝑥 + i𝑦 est appelée forme algébrique du nombre complexe 𝑧 etelle est unique.Si 𝑦 = 0, on dit que 𝑥 est réel. Si 𝑥 = 0, on dit que 𝑧 est imaginaire pur (en-semble noté 𝑖R).

Attention×

La partie imaginaire d’un nombre complexe est, par définition, une quantitéRÉELLE !

Remarque 1.1 — Ona l’inclusion immédiate suivante : R×{0} ⊂C.Mais commeR×{0} peut être identifié àR (grâce à la bijection 𝑥 ∈R⟼ (𝑥,0) ∈R×{0}), on noteen général R⊂C par abus de notation.

Méthode (Unicité de l’écriture algébrique et identification)WRENCH

Une reformulation de l’unicité de l’écriture 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 est la suivante :

𝑥+ i𝑦 = 𝑥′ + i𝑦′ ⟺ 𝑥 = 𝑥′, 𝑦 = 𝑦′, (𝑥,𝑦,𝑥′,𝑦′) ∈R4.

On peut donc identifier partie réelle et partie imaginaire.



Définition ALG.5.2 | Complexe conjuguéSi 𝑧 ∈C, on appelle conjugué de 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 le complexe 𝑧 = 𝑥− i𝑦.

La construction précédente de C nous permet d’identifier tout complexe à ununique point de R2 = {(𝑥,𝑦), 𝑥 ∈R,𝑦 ∈R}. Ceci n’est pas surprenant : les pointsgéométriques de R2 possèdent deux coordonnées, et les complexes sont caracté-risés par deux scalaires : partie réelle et partie imaginaire.

Définition ALG.5.3 | AffixeSoit M = (𝑥,𝑦) ∈R2, l’élément 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 ∈C est appelé affixe de M.Soit 𝑢 = (𝑥,𝑦) un vecteur de R2, l’élément 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 ∈C est appelé affixe de 𝑢.

La notion d’affixe permet donc de relier la géométrie du plan dans R2 aux com-plexes ; on pourra donc se servir largement des complexes pour traiter des pro-blèmes de géométrie.

Proposition ALG.5.1 | Quelques propriétés des complexesSoient 𝑧,𝑧′ ∈C.1 — (Existence d’un élément inverse) Si 𝑧 ≠ 0, alors 𝑧 est inversible dans Ci.e. il existe 𝑧′ ∈C tel que 𝑧𝑧′ = 𝑧′𝑧 = 1,2 — ( R -linéaritéde lapartie réelle/imaginaire) pour tous λ ∈R et𝑧 ∈C,alors Re (λ𝑧) = λRe (𝑧) et Im (λ𝑧) = λIm (𝑧),3 — (Conjugué d’une somme/d’un produit) 𝑧+𝑧′ = 𝑧+𝑧′ et 𝑧×𝑧′ =𝑧×𝑧′,4 — (Partie réelle/imaginaire en fonctiondu conjugué) Re (𝑧) =

12(𝑧+𝑧)

et Im (𝑧) =12i

(𝑧−𝑧),5 — 𝑧 ∈R ⟺ 𝑧 = 𝑧 et 𝑧 ∈ 𝑖R ⟺ 𝑧 = −𝑧.

Preuve1 — On anticipe légèrement sur la définition qui suit, si 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 ≠ 0 alors𝑥 ≠ 0 ou 𝑦 ≠ 0. On vérifie aisément que 𝑧′ défini par 𝑧′ = 𝑥

𝑥2+𝑦2 + i ( −𝑦𝑥2+𝑦2 ) est

un inverse pour le complexe 𝑧.2 — ( R -linéarité de la partie réelle/imaginaire) soient λ ∈ R et 𝑧 ∈ C,alors Re (λ𝑧) = Re (λ(𝑥+ i𝑦)) = Re (λ𝑥+ iλ𝑦) = λ𝑥 = λRe (𝑧) et de la mêmemanière Im (λ𝑧) = λIm (𝑧).

3 — (Conjugué d’une somme) le conjugué de 𝑧+𝑧′ = (𝑥+𝑥′) + i (𝑦+𝑦′)avec 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 et 𝑧′ = 𝑥′ + i𝑦′, (𝑥,𝑥′,𝑦,𝑦′) ∈ R4 est (𝑥 +𝑥′) − i (𝑦+𝑦′) = (𝑥−i𝑦)+ (𝑥′ − i𝑦′) c’est donc aussi la somme des conjugués.4 — (Partie réelle/imaginaire en fonction du conjugué) calcul explicitedirect : en sommant un complexe et son conjugué on fait disparaitre la partieréelle, de-même pour la partie imaginaire.5 — Par exemple pour caractériser les réels, avec les mêmes notations queprécédemment : 𝑧 = 𝑧 si et seulement si 𝑥 = 𝑥 et 𝑦 = −𝑦 donc si et seulementsi 𝑦 = 0.

Définition ALG.5.4 | Complexe inverseSi 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 ∈C⋆, alors on définit le complexe 1

𝑧 = 1𝑥+i𝑦 comme étant :

1𝑧

=𝑥

𝑥2 +𝑦2+ i (

−𝑦𝑥2 +𝑦2

) .

Méthode (Expression conjuguée)WRENCH

Dans la preuve précédente on a utilisé une technique classique pour obtenirl’inversed’unnombre complexe écrit sous formealgébrique.Cette techniqueest à connaître !

2. FORME EXPONENTIELLE

Nous avons vu que C et R2 sont deux ensembles très proches, et même en bijec-tion. De la même manière qu’un point de R2 peut être repéré par ses coordon-nées cartésiennes et polaires, un complexe peut être écrit en forme algébrique oucomme nous allons le voir de suite en forme trigonométrique.

2.1. Module

Soient 𝑧 ∈ C, 𝑥 = Re (𝑧) et 𝑦 = Im (𝑧). Remarquons que : 𝑧𝑧 = (𝑥+ i𝑦)(𝑥− i𝑦) =𝑥2 +𝑦2 ⩾ 0.



Définition ALG.5.5 | Module

On appelle module de 𝑧 le réel positif √𝑧𝑧 = √𝑥2 +𝑦2, que l’on note |𝑧|.

Pour 𝑧 ∈R, on retrouve la valeur absolue : 𝑧 = 𝑥 ∈R, |𝑧| = √𝑥2 = |𝑥|. Notons aussiau passage la factorisation suivante :

𝑥2 +𝑦2 = (𝑥+ i𝑦)(𝑥− i𝑦).

On peut aussi l’étendre à (𝑥,𝑦) ∈C2 sans difficulté.

Remarque 2.1— Interprétationgéométrique du module Soient M0un point d’affixe 𝑧0 et ρ0 ∈ R∗

+. Alorsl’ensemble des points M(𝑧) ∈ R2 telsque

𝑧 ∈ {𝑧 ∈C, |𝑧−𝑧0| = ρ0}

est le cercle de centre M0 et de rayonρ. De même, l’image de

{𝑧 ∈C, |𝑧−𝑧0| ⩽ ρ0}

est le disque de centre M0 et de rayonρ0. En particulier, prenant 𝑧0 = 0 onobtient |𝑧| = d(O,M(𝑧)).

Re (𝑧)

Im (𝑧)

• 𝑧0

ρ0

Proposition ALG.5.2 | Propriétés dumoduleSoient 𝑧,𝑧′ ∈C.1 — (Multiplicativité du module) |𝑧𝑧′| = |𝑧| . ||𝑧′||. De plus si 𝑧 ≠ 0,

alors1𝑧

=𝑧

|𝑧|2,

2 — (Développementdumoduleau carré) ||𝑧+𝑧′||2 = |𝑧|2+2Re (𝑧𝑧′)+||𝑧′||

2.3 — (Expression du produit scalaire euclidien dans R2) Notons 𝑢 =(𝑥,𝑦),𝑢′ = (𝑥′,𝑦′), avec (𝑥,𝑥′,𝑦,𝑦′) ∈ R4 tel que 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,𝑧′ = 𝑥′ + 𝑖𝑦′,

⟨𝑢||𝑢′⟩ = Re (𝑧𝑧′).

Preuve Calculs directs.

PythonReprésentations graphiques de nombres complexes En Python, directe-ment et sous numpy, chargé avec le préfixe np dans la suite, on peut calculeren nombres complexes directement en utilisant les opérations usuelles. Lenombre complexe i est noté 1𝑗 donc, par exemple, 1+𝑛𝑝.𝑠𝑞𝑟𝑡(3)∗1𝑗 est lenombre complexe 1+3.𝑖.On a si 𝑧 est un nombre complexe ou un array de nombres complexes, uneliste de fonctions élémentaires précisées infra.

1 >>> import math as ma2 >>> z = complex(-ma.sqrt(2), ma.sqrt(2)) #renvoie un complexe

de partie réeelle/imaginaire fixées↪

3 >>> # OU4 >>> w = -ma.sqrt(2) + ma.sqrt(2)*1j5 >>> type(z)6 <class 'complex'>7 >>> type(w)8 <class 'complex'>9 >>> print("z=", z, "partie réelle de z=", z.real, "partie

imaginaire de z=", z.imag)↪

10 z= (-1.4142135623730951+1.4142135623730951j) partie réelle dez= -1.4142135623730951 partie imaginaire de z=1.4142135623730951

↪

↪

11 >>> print("z=", z, "conjugué de z=", z.conjugate(), "partieimaginaire de z=", z.imag)↪

12 z= (-1.4142135623730951+1.4142135623730951j) conjugué de z=(-1.4142135623730951-1.4142135623730951j) partieimaginaire de z= 1.4142135623730951

↪

↪

13 >>> print("z=", z, "module de z=", abs(z))14 z= (-1.4142135623730951+1.4142135623730951j) module de z= 2.0



Nous rappelons également l’inégalité triangulaire vue en première année, qui nesera pas redémontrée ici.

Théorème ALG.5.1 | Inégalité triangulaire1 — Soient 𝑧 et 𝑧′ deux nombres complexes. Alors :

||𝑧+𝑧′|| ⩽ |𝑧|+ ||𝑧′|| .

De plus, l’égalité est réalisée si et seulement s’il existe λ ∈R+ tel que 𝑧′ = λ𝑧 ou𝑧 = λ𝑧′. On dit aussi que 𝑧 et 𝑧′ sont positivement liés.2 — (Version généralisée) Soit (𝑧𝑖)1⩽𝑖⩽𝑛 une famille de complexes. Alors :

||||

𝑛∑𝑖=1

𝑧𝑖||||⩽

𝑛∑𝑖=1

|𝑧𝑖| (autrement dit : |𝑧1+⋯+𝑧𝑛| ⩽ |𝑧1|+⋯+|𝑧𝑛|).

Preuve On démontre simplement 1), le point 2) est alors une simplerécurrence sur 𝑛. Notons 𝑢(𝑥,𝑦),𝑣(𝑥′,𝑦′) avec 𝑧 = 𝑥 + i 𝑦,𝑧′ = 𝑥′ + i 𝑦′,𝑥,𝑦,𝑥′,𝑦′ ∈R. Alors :

||𝑧+𝑧′|| = ‖‖𝑢+𝑢′‖‖ ⩽Cℎ𝑎𝑝𝑖𝑡𝑟𝑒 ALG.4

‖𝑢‖+‖‖𝑢′‖‖ = |𝑧|+ ||𝑧′|| .

C’est terminé pour l’inégalité. Reste le cas d’égalité : il y a égalité si et seule-ment si il y a égalité dans ‖‖𝑢+𝑢′‖‖ = ‖𝑢‖+‖‖𝑢′‖‖, donc si et seulement si (𝑢,𝑢′)est une famille liée.

Remarque 2.2— Pythagore avec des affixes SoientM(𝑧) etM′(𝑧′) deux élémentsde R2 où 𝑧,𝑧′ ∈C. On a :

Re (𝑧𝑧′) = OM(𝑧). OM′(𝑧′).

Autrement dit lorsque OM(𝑧) ⟂ OM′(𝑧′) on retrouve le classique théorème de Py-thagore : ||𝑧+𝑧′||

2 = |𝑧|2 +||𝑧′||2.

Proposition ALG.5.3 | Identité du parallélogrammeSoit (𝑧,𝑧′) ∈C2, alors :

||𝑧+𝑧′||2 +|𝑧−𝑧′|2 = 2(|𝑧|2 +||𝑧′||

2) .

L’interprétation géométrique est la suivante : lasomme des carrés des longueurs des diagonales d’unparallélogramme est la somme des carrés des lon-gueurs des côtés. Ce résultat peut se retrouver avecle théorème de Pythagore dans le cas d’un rectangle.

𝑧

𝑧′

𝑧+𝑧′

𝑧−𝑧′

𝑧−𝑧′

Preuve

PEN-FANCY


Soit ||𝑧+𝑧′||2 avec 𝑧,𝑧′ ∈C.

1 — Écrire la quantité en fonction du conjugué : ||𝑧+𝑧′||2 = (𝑧+𝑧′)(𝑧+𝑧′).

2 — Développer.

Attention×

On oublie la formule archi-fausse suivante :

||𝑧+𝑧′||2 ≠ |𝑧|2 +||𝑧′||

2 +2|𝑧| ||𝑧′|| .

Remarque 2.3— Pour quels couples (𝑧,𝑧′) ∈ C2 la formule archi-fausse est-elle



vraie? PEN-FANCY Elle est vraie pour les complexes 𝑧,𝑧′ tels que Re (𝑧𝑧′) = |𝑧| ||𝑧′||, doncuniquement pour les couples (𝑧,𝑧′) tels que : ∃λ ∈ R+, 𝑧 = λ𝑧′.

L’objectif est à présent d’arriver à la définition de la forme exponentielle d’unnombre complexe, on commence pour cela par définir :

Caret-right l’exponentielle d’un imaginaire pur,Caret-right puis l’exponentielle générale d’un nombre complexe.

2.2. Notation exponentielle d’un imaginaire pur

Notation (Modulo)Σ

Soient 𝑥,𝑦,𝑧 ∈ C, alors «𝑥 ≡ 𝑦 [𝑧]» signifie 𝑥 = 𝑦+𝑘𝑧 pour un certain𝑘 ∈ Z.

Définition ALG.5.6 | Nombre complexe eiθ

Pour tout θ ∈R, on note eiθ le nombre complexe de forme algébrique

cosθ+ i sinθ.

Ce nombre est appelé exponentielle imaginaire de θ ∈ R. On note de plus 𝑗 =e2iπ3 .

Attention×

Le complexe 𝑗 utilisé par les physiciens (pour éviter les confusions avec l’in-tensité électrique) est le complexe i de ce chapitre.

Pour l’instant, eiθ n’est donc qu’unenotation! Les propriétés de cette notation, quipermettront d’effectuer des calculs, sont données dans la proposition suivante.Par exemple, la quantité e1+3𝑖 n’est pas encore définie. Mais si l’on note tout ceciavec une exponentielle c’est qu’elle va sûrement hériter desmêmes propriétés quel’exponentielle réelle connue depuis le lycée. Les voici.

Proposition ALG.5.4 | Propriétés de l’exponentielle imaginaireSoient θ,θ′ ∈R deux réels. Alors :1 — ||eiθ|| = 1, eiθ = e−iθ =

1eiθ

,

2 —𝑒iθ = 1 ⟺ θ ≡ 0 [2π] ,

⟺ ∃𝑘 ∈ Z, θ = 2𝑘π,3 — eiπ/2 = 𝑖, eiπ = −1.

4 —eiθ = eiθ

′⟺ θ ≡ θ′ [2π],

⟺ ∃𝑘 ∈ Z, θ = θ′ +2𝑘π.

5 — Pour tout (θ,θ′) ∈R2, on a : ei (θ+θ′) = eiθ.eiθ

′, ei (θ−θ

′) = eiθ

eiθ′,

6 — (Formule deMOIVRE) ∀θ ∈R, ∀𝑛 ∈ Z, e𝑛iθ = (𝑒iθ)𝑛.

Preuve Voir le cours de première année.

Proposition ALG.5.5 | Formules d’EULER

∀θ ∈R, cosθ =eiθ +𝑒−iθ

2et sinθ =

eiθ −e−iθ

2i.

Preuve Immédiate en utilisant les propriétés de parité de cos et sin.

Proposition ALG.5.6 | RelèvementTout complexe 𝑧 ∈U= {𝑧 ∈C ∶ |𝑧| = 1} peut s’écrire sous la forme 𝑧 = eiθ pourun certain θ ∈R. Autrement dit, l’application

||||||

R ⟶ U

θ ⟼ eiθ

est surjective.

Preuve Admis.



2.3. Exponentielle générale e𝑧 et forme exponentielle

Nous avons vu dans la partie précédente que eiθ est le complexe cosθ+ i sinθ. Ilest demodule un.Maintenant nous allons chercher à exprimer les autres nombrescomplexes en fonction de cette exponentielle.

Définition ALG.5.7 | Argument d’un nombre complexeSoit 𝑧 un nombre complexe non nul.Alors

𝑧|𝑧|

∈ U, donc il existe θ ∈ R tel que𝑧|𝑧|

= eiθ. Un tel réel θ est appelé unargument de 𝑧 et il est noté Arg (𝑧). L’ensemble des arguments de 𝑧 est alorsθ+2πZ= {θ+2𝑘π, 𝑘 ∈ Z} , on note cela

Arg (𝑧) ≡ θ [2π] .

On utilise en général pas le signe «=» à cause de la non-unicité de l’argument.

Définition ALG.5.8 | Forme exponentielleSoit 𝑧 un nombre complexe non nul. L’écriture

𝑧 = |𝑧|eiArg(𝑧)

est appelée forme exponentielle (ou forme trigonométrique) de 𝑧.

Remarque 2.4 — Bien entendu,θpeutnepas être explicite, dans ce cas on laisserales conditions sur le cosinus et le sinus.

Méthode (Mettre sous forme exponentielle un nombre complexe)WRENCH

Soit 𝑧 ≠ 0.1 — Calculer |𝑧|, puis 𝑧

|𝑧| .2 — Chercher θ ∈ [0,2π[ tel que : 𝑧

|𝑧| = eiθ, i.e. tel que

cos (θ) =Re (𝑧)|𝑧|

, sin (θ) =Im (𝑧)|𝑧|

.

La forme exponentielle est alors : 𝑧 = |𝑧|eiθ.

Méthode (Technique de l’angle moitité (forme trigonométrique d’une

somme d’exponentielles imaginaires))WRENCH

Soient deux nombres complexes 𝑧,𝑧′ de module un donnés sous forme tri-gonométrique : 𝑧 = eiθ,𝑧′ = eiθ

′avec (θ,θ′) ∈ [0,2π[2. Alors la forme trigono-

métrique de 𝑧+𝑧′ s’obtient par le calcul suivant :

𝑧+𝑧′ = eiθ +eiθ′= ei

θ+θ′2 (ei

θ−θ′2 +e−i

θ−θ′2 )

= 2eiθ+θ′2 cos(

θ−θ′

2) .

La méthode s’adapte à 𝑧−𝑧′ en faisant apparaitre un sinus. On obtient alorsfacilement module et argument :

||𝑧+𝑧′|| = 2||||cos(

θ−θ′

2)||||, Arg (𝑧+𝑧′) ≡

θ+θ′

2[2π] .

Exemple 1— Déterminer module et argument de 1+eiθ avec θ ∈ [0,π[. Que dire

si θ ∈ [π,2π[? PEN-FANCY Onmet en facteur l’anglemoitié, i.e. ei0+θ2 . Nous avons alors :

1+eiθ = eiθ2 (e−i

0+θ2 +ei

0+θ2 ) = 2cos(

θ2)ei

θ2 .

Alors ||1+eiθ|| =|||2cos (

θ2 )

||| = 2cos (θ2 ) puisque θ ∈ [0,π[. Donc la forme trigonomé-trique de 1+eiθ est

1+eiθ = 2cos(θ2)ei

θ2 .

Si θ ∈ [π,2π[, alors ||1+eiθ|| =|||2cos (

θ2 )

||| = −2cos (θ2 ). Donc la forme exponentielle



est :

1+eiθ = (−2cos(θ2))(−ei

θ2 )

= (−2cos(θ2))(eiπei

θ2 )

= (−2cos(θ2))(ei

θ+2π2 ) .

Passons à quelques propriétés de l’argument d’un nombre complexe.

Proposition ALG.5.7 | Propriétés de l’argumentSoient 𝑧 et 𝑧′ deux complexes non nuls. Alors :1 — Arg(𝑧𝑧′) ≡ Arg (𝑧)+Arg (𝑧′) [2π],

2 — Arg(𝑧𝑧′

) ≡ Arg (𝑧)−Arg (𝑧′) [2π],3 — Arg(𝑧) ≡ −Arg (𝑧) [2π].

Preuve Découlent essentiellement des propriétés établies sur eiθ avecθ ∈R.

Proposition ALG.5.8 | Caractérisation de l’égalité de nombres complexesSoient 𝑧,𝑧′ deux nombres complexes. Alors :

𝑧 = 𝑧′ ⟺⎧⎨⎩

Re (𝑧) = Re (𝑧′)

Im (𝑧) = Im (𝑧′)

⟺⎧⎨⎩

|𝑧| = ||𝑧′||

Arg (𝑧) ≡ Arg (𝑧′) [2π]

Remarque 2.5— Comment choisir la forme à utiliser? Lorsque l’on cherche àdémontrer un résultat sur des nombres complexes, il ne faut pas systématique-ment l’écrire sous forme algébrique :

𝑧 = Re (𝑧)+ i Im (𝑧) .

Cette forme est adaptée aux problèmes «additifs», où ce qui intervient est plutôtdes sommes ou combinaisons linéaires de complexes. Les problèmes « multipli-catifs » se résolvent mieux en utilisant la forme exponentielle lorsque 𝑧 ≠ 0 :

𝑧 = |𝑧|eiArg(𝑧).

Définition ALG.5.9 | Exponentielle d’un complexe quelconqueSoit 𝑧 ∈ C. On définit l’exponentielle de 𝑧 comme étant le complexe noté e𝑧

suivant :

e𝑧 = eRe(𝑧)ei Im(𝑧).

Remarque 2.6— Attention à bien comprendre la nature des exponentielles ci-dessus. Comme Re (𝑧) ∈ R, la première est l’exponentielle réelle définie au lycéecomme unique solution de l’équation différentielle 𝑦′ = 𝑦,𝑦(0) = 1. La seconde,en revanche, a été définie dans la sous-section 2.2.

Exemple 2— Soit 𝑧 ∈C.

1 — Calculer module, argument, partie réelle et partie imaginaire de e𝑧.2 — Déterminer ensuite l’ensemble {𝑧 ∈C, e𝑧 = 1}.

PEN-FANCY



En tenant compte des propriétés de l’exponentielle réelle d’une part, et de l’expo-nentielle imaginaire d’autre part, on obtient la proposition suivante.

Proposition ALG.5.9 | Propriétés de l’exponentielle complexe

1 — Pour tout (𝑧,𝑧′) ∈C2, on a : e𝑧+𝑧′= e𝑧.e𝑧

′, e𝑧−𝑧

′= e𝑧

e𝑧′.

2 — Pour tout 𝑧 ∈C, on a : e𝑧 = 1 ⟺ 𝑧 ∈ 2iπZ.3 — Enfin, tout complexe non nul Z ∈ C∗ peut s’écrire sous la forme Z = e𝑧

pour un certain𝑧 ∈C. Autrement dit, l’application||||||

C ⟶ C∗

𝑧 ⟼ e𝑧est sur-

jective.

Attention (Non-existence d’un logarithme complexe)×

La dernière assertion ne dit pas que 𝑧 ⟼ e𝑧 est une bijection, nous n’avonsdonc pas construit de logarithme complexe. Il en existe en fait une infinité,mais cela dépasse largement le cadre de notre programme.

Preuve

PEN-FANCY

2.4. Complément – racines 𝑛-ièmes d’un complexe [H.P]

Cette sous-section porte le label [H.P] , cependant elle est très classique, et tomberégulièrement dans les sujets d’écrits.

De manière générale, on appelle «racine 𝑛-ième» d’un objet mathématique unequantité qui élevée à la puissance 𝑛 donne cet objet (l’objet en question peut êtreun réel, un complexe ou même une matrice).



Regardons pour commencer unexemple. Notons K = R ou C et considé-rons l’équation 𝑧3 = 1 avec 𝑧 ∈K.1 — SiK=R, l’équation n’admet qu’unesolution : 1.2 — Si K = C, on voit que 𝑗 = e2iπ/3

convient, mais aussi 𝑗2 = e4iπ/3 – et enfait nous allons montrer que ce sont lesseules.On constate que : l’ensemble des racinescubiques complexes de 1 contient l’en-semble des racines cubiques réelles de 1,et il y en a systématiquement au moinsautant dans C que dans R.

𝑥

𝑦

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

𝒞𝑥⟼𝑥3

Passons à présent au cas général.

Définition ALG.5.10 | Racines 𝑛-ièmeSoit 𝑛 ∈ N⋆ et α ∈ C. On appelle racine 𝑛-ième de α tout complexe 𝑧 ∈ C telque 𝑧𝑛 = α, i.e. une racine du polynôme X𝑛 −α.

Caret-right Si α = 1, on parle de racine 𝑛-ième de l’unité, i.e. les racines de X𝑛−1. Onnotera U𝑛 l’ensemble de ces complexes.

Caret-right Si 𝑛 = 2, on parle de racine carrée de α, pour 𝑛 = 3 de racine cubique.

Remarque 2.7— Il s’agit d’un problèmemultiplicatif (avec des puissances), doncla bonne forme à adopter est la forme exponentielle, nous allons très largementnous en servir dans la suite.

NotationΣCaret-right Les notations √α et 𝑛√α sont réservées à α ∈ R+ (ou bien α ∈ R si 𝑛 est

impair).Caret-right Les notations √α et 𝑛√α où α ∈ C ⧵R sont interdites (elles n’ont aucun

sens car il n’y a pas unicité).

Remarque 2.8— Quenous donne la théorie des polynômes? Le polynômeX𝑛−

α étant de degré 𝑛, nous savons qu’il possède au plus 𝑛 racines. On peut mêmeencore préciser : comme (X𝑛 −α)′ = 𝑛X𝑛−1 et que 0 n’est pas racine, on sait quetoutes les racines de X𝑛 −α sont simples simples. En conclusion :

# {𝑧 ∈C,𝑧𝑛 = α} = 𝑛 , # U𝑛 = 𝑛 .

On va donc déterminer à présent explicitement les racines d’un complexe α.

Théorème ALG.5.2 | Racines de l’unité [H.P]Soit 𝑛 ∈N ⧵ {0}. L’ensemble des racines 𝑛-ièmes de l’unité (i.e. de 1) est :

U𝑛 = {e2iπ𝑛 𝑘, 𝑘 ∈ J0 , 𝑛−1K} .

En particulier :U2 = {1,−1} et U3 = {1,𝑗, 𝑗2} = {1, 𝑗, 𝑗}.

Remarque 2.9— On retrouve les faits énoncés dans la remarque précédente.

Attention×

Les calculs doivent être refaits à chaque fois pour le 𝑛 considéré, et vous nepouvez pas vous servir de ce théorème tel quel?

Preuve (Point clef — Chercher les solutions sous forme exponentielle)

PEN-FANCY



Exemple 3— Structure géométrique

1 — DéterminerU4.On refera le calcul, puis on contrôlera le résultat avec l’énoncéprécédent.PEN-FANCY

2 — Dessiner les points géométriques d’affixes les éléments de U2,U3 et U4. Queremarque-t-on?PEN-FANCY

Remarque 2.10— Visualisation des racines de l’unité Si nous notons U𝑛 ={𝑧𝑘, 𝑘 ∈ J1 , 𝑛K}, alors voici leur représentation géométrique.

Nous avons résolu 𝑧𝑛 = 1, la généralisation est maintenant facile à une équationde la forme 𝑧𝑛 = α.

Théorème ALG.5.3 | Racines 𝑛-ième de α

Soient 𝑛 ∈ N ⧵ {0} et ω = e2iπ𝑛 . Soient α ∈ C∗ un complexe non nul, ρ = |α| et θ

un argument de α. L’ensemble des racines 𝑛-ièmes complexes de α est

⎧⎨⎩

ρ1𝑛 .ei

θ𝑛

une racine 𝑛-ième de α×e

2iπ𝑛 𝑘, 𝑘 ∈ J0 , 𝑛−1K

⎫⎬⎭

.

Autrement dit, si β est une racine 𝑛-ième de α, alors l’ensemble des racines𝑛-ièmes de α est

βU𝑛 =(nota.)

{𝑧0ω𝑘, 𝑘 ∈ J0 , 𝑛−1K} .

Attention×

Il est important pour ce résultat et le précédent de connaitre la méthode :l’énoncé n’est quant à lui pas à connaître.

Preuve

PEN-FANCY



Re

Im

O

𝑧1

𝑧2

𝑧3

α = 2π𝑛

(a) Racines cubiques

Re

Im

O

𝑧1

𝑧2

𝑧3

𝑧4

α = 2π𝑛

(b) Racines quatrièmes

Méthode (Calculs de racines 𝑛-ième de complexes)WRENCH

On cherche donc les solutions de 𝑧𝑛 = α avec α ≠ 0 (si α = 0 il n’y a que zérocomme solution).1 — Calculer la forme trigonométrique de α = ρ′eiθ

′.

2 — Chercher 𝑧 sous la forme 𝑧 = ρeiθ.3 — En remplaçant, on obtient comme conditions ρ𝑛 = ρ′ et 𝑛θ = θ′ +2𝑘πavec 𝑘 ∈ Z. Résoudre ces deux équations puis conclure.

Remarque 2.11— La méthode précédente sous-entend que l’on est capable detrouver une racine 𝑛-ième de α. Il suffit pour cela de chercher la forme trigono-métrique de α.

PythonVisualisation des racines 10-èmes de l’unité

1 import numpy as np2 import matplotlib.pyplot as plt3 n = 104 u_n = np.array([np.exp(1j*2*k*np.pi/n) for k in range(n)])5 fig,ax = plt.subplots()6 plt.plot(u_n.real, u_n.imag)

Exemple 4—

1 — Déterminer les racines quatrièmes de −16.PEN-FANCY



FIG. ALG.5.2. : Racines 10-ièmes de l’unité

2 — Déterminer les racines cubiques de 1+ i .PEN-FANCY

3. TRIGONOMÉTRIE & APPLICATIONS DES NOMBRES COMPLEXES

Les applications sont très nombreuses, nous ne précisions ici qu’une infime par-tie d’entre elles. Notamment celles en trigonométrie, ceci est dû à l’exponentiellecomplexe qui fournit un pont entre les deux domaines.

3.1. En trigonométrie

3.1.1. Formulaire

On rappelle dans cette sous-section les formules principales de trigonométrie àtrès bien connaître, ainsi qu’une roue de secours pour certaines d’entre elles fai-sant intervenir les nombres complexes.


Les fonctions sinus et cosinus sont définies et dérivables sur R et 2π−pério-diques. La fonction sinus est impaire, et la fonction cosinus est paire. De plus :

∀𝑥 ∈R, cos′(𝑥) = −sin(𝑥), sin′(𝑥) = cos(𝑥).


La fonction tangente est définie et dérivable sur 𝒟tan = R ⧵ {π2

+𝑘π|𝑘 ∈ Z} etest π−périodique. La fonction tangente est impaire. De plus,

∀𝑥 ∈ 𝒟tan, tan′(𝑥) = 1+ tan2(𝑥) =1

cos2(𝑥).



𝑥

𝑦

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

𝒞cos

𝒞sin

𝑥

𝑦

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

𝒞tan

Proposition ALG.5.12 | Résolution d’équations1 — Soit (𝑥,𝑦) ∈R2.

cos(𝑥) = cos(𝑦) ⟺ ∃𝑘 ∈ Z, (𝑥 = 𝑦+2𝑘π) ou (𝑥 = −𝑦+2𝑘π).

2 — Soit (𝑥,𝑦) ∈R2.

sin(𝑥) = sin(𝑦) ⟺ ∃𝑘 ∈ Z, (𝑥 = 𝑦+2𝑘π) ou (𝑥 = π−𝑦+2𝑘π).

3 — Soit (𝑥,𝑦) ∈ 𝒟2tan,

tan(𝑥) = tan(𝑦) ⟺ ∃𝑘 ∈ Z, (𝑥 = 𝑦+𝑘π).

Proposition ALG.5.13 | Valeurs remarquables

𝑥 0π6

π4

π3

π2

cos(𝑥) 1√32

√22

12

0

sin(𝑥) 012

√22

√32

1

tan(𝑥) 0√33

1 √3

Proposition ALG.5.14 | Transformation d’anglesSoit 𝑥 ∈R.

Caret-right cos(−𝑥) = cos(𝑥),Caret-right sin(−𝑥) = −sin(𝑥),Caret-right cos(π−𝑥) = −cos(𝑥),Caret-right sin(π−𝑥) = sin(𝑥),Caret-right cos(π+𝑥) = −cos(𝑥),Caret-right sin(π+𝑥) = −sin(𝑥),

Caret-right cos(π2

−𝑥) = sin(𝑥),

Caret-right sin(π2

−𝑥) = cos(𝑥),

Caret-right cos(π2

+𝑥) = −sin(𝑥),

Caret-right sin(π2

+𝑥) = cos(𝑥).

Méthode (Formules de changement d’angle (avec des complexes ou des-

sin))WRENCH

Par exemple, avec les mêmes notations que précédemment, nous avons :

Caret-right cos(π2

−𝑥) = Re⎛

⎝ei (π2−𝑥)⎞

⎠= Re

⎛

⎝eiπ2 e−i𝑥

⎞

⎠= Re (i e−i𝑥) = sin(𝑥).

Caret-right Ou encore : sin(π + 𝑥) = Im (ei (π+𝑥)) = Im (eiπei𝑥) = Im (−1ei𝑥) =

−Im (ei𝑥) = −sin(𝑥).Caret-right etc.

Pour retrouver ces propositions, on peut aussi faire un dessin.



−cos(𝑥) = sin(π−𝑥) cos(𝑥)𝑥

π−𝑥𝑥+ π

2

cos𝑥 = sin (𝑥+ π2 )

FIG. ALG.5.3. : Cercle trigonométrique

Proposition ALG.5.15 | Formules d’additionSoient 𝑥,𝑦 ∈R.1 — cos(𝑥+𝑦) = cos(𝑥)cos(𝑦)− sin(𝑥)sin(𝑦),2 — cos(𝑥−𝑦) = cos(𝑥)cos(𝑦)+ sin(𝑥)sin(𝑦),3 — sin(𝑥+𝑦) = sin(𝑥)cos(𝑦)+ sin(𝑦)cos(𝑥),4 — sin(𝑥−𝑦) = sin(𝑥)cos(𝑦)− sin(𝑦)cos(𝑥).

Méthode (Formules d’addition (avec des complexes))WRENCH

Par exemple, avec les mêmes notations que précédemment, nous avons :Caret-right cos(𝑥 + 𝑦) = Re (ei (𝑥+𝑦)) = Re (ei𝑥ei𝑦) =Re ((cos+i sin𝑦)(cos𝑦+ i sin𝑦)) = cos𝑥cos𝑦− sin𝑥sin𝑦.

Caret-right etc. pour les autres calculs mais en prenant dans certains cas la partieimaginaire plutôt que la partie réelle.

Les dernières formules sont des conséquences directes des précédentes.

Proposition ALG.5.16 | Formules de duplicationSoit 𝑥 ∈R.1 — cos(2𝑥) = cos2(𝑥)− sin2(𝑥) = 1−2sin2(𝑥) = 2cos2(𝑥)−1.2 — sin(2𝑥) = 2cos(𝑥)sin(𝑥).

Remarque 3.1— Une application importante de ces formules est le calcul d’in-tégrales de la forme ∫𝑏

𝑎 cos2(𝑡)d𝑡,∫𝑏

𝑎 sin2(𝑡)d𝑡 avec 𝑎 < 𝑏 deux réels.

On obtient immédiatement le corollaire ci-après.

Corollaire ALG.5.1 | Formules de linéarisationSoit 𝑥 ∈R. Alors :1 — cos2(𝑥) =

1+cos(2𝑥)2

2 — sin2(𝑥) =1−cos(2𝑥)

2

3.1.2. Techniques calculatoires

Les techniques générales ont été données dans le début du chapitre, faisons deuxexemples.

Méthode (Linéarisation & Antilinéarisation avec des complexes)WRENCH

1 — (Pour linéariser cos𝑘 θ,sin𝑘 θ) écrire

cos𝑘 θ = (eiθ +e−iθ

2)𝑘

,sin𝑘 θ = (eiθ −e−iθ

2i)𝑘

,

puis développer avec le binôme, regrouper les termes avec leur conjugué, uti-liser les formules d’EULER.2 — (Pour antilinéariser cos(𝑘θ),sin(𝑘θ)) écrire

cos(𝑘θ) = Re (ei𝑘θ) =Moivre

Re((eiθ)𝑘) = Re ((cosθ+ i sinθ)𝑘) ,

sin(𝑘θ) = Im (ei𝑘θ) = Im ((cosθ+ i sinθ)𝑘) ,

puis développer avec le binôme.

Exemple 5— Linéarisation Soit 𝑥 ∈ R. Linéariser cos2𝑥 et sin3𝑥 en utilisant lesnombres complexes



PEN-FANCY

Remarque 3.2— En cas de trou demémoire, faites appel aux complexes pour uti-liser ces formules de trigonométrie. Dans tous les cas, il ne faut pas rester bloquésur ce genre de question.

Exemple 6— Anti-Linéarisation Soit 𝑥 ∈R. Exprimer cos(4𝑥) et sin(4𝑥) en fonc-tion de cos𝑥, sin𝑥, en utilisant les nombres complexes.

PEN-FANCY

Les complexes peuvent rendre de multiples services en trigonométrie, y comprisles calculs de sommesde fonctions trigonométriques, comme lemontre l’exempleci-après.

Exemple 7— Calculer pour tout 𝑛 ∈ N la somme𝑛∑𝑘=0

cos𝑘𝑥cos𝑘𝑥

pour 𝑥 ∈ R tel que



sin𝑥 ≠ 0.

𝑛∑𝑘=0

cos𝑘𝑥cos𝑘𝑥

=𝑛∑𝑘=0

Re (ei𝑘𝑥)

(cos𝑥)𝑘

=𝑛∑𝑘=0

Re(ei𝑘𝑥

(cos𝑥)𝑘)

= Re(𝑛∑𝑘=0

(ei𝑥

cos𝑥)𝑘

)

= Re⎛

⎝

1−( ei𝑥cos𝑥 )

𝑛+1

1− ei𝑥cos𝑥

⎞

⎠

= Re⎛

⎝

1− ei (𝑛+1)𝑥cos𝑛+1𝑥

1− ei𝑥cos𝑥

⎞

⎠

= Re⎛

⎝

cos𝑛+1𝑥−ei (𝑛+1)𝑥cos𝑛+1𝑥cos𝑥−ei𝑥cos𝑥

⎞

⎠

=1

cos𝑛𝑥Re(

cos𝑛+1𝑥−ei (𝑛+1)𝑥

cos𝑥−ei𝑥)

=1

cos𝑛𝑥Re(

cos𝑛+1𝑥−(cos(𝑛+1)𝑥+𝑖sin(𝑛+1)𝑥)cos𝑥−(cos𝑥+𝑖sin𝑥)

)

=1

cos𝑛𝑥Re(

(cos𝑛+1𝑥−cos(𝑛+1)𝑥)−𝑖sin(𝑛+1)𝑥−𝑖sin𝑥

)

=1

cos𝑛𝑥⋅sin(𝑛+1)𝑥

sin𝑥.

(cos𝑥)𝑘 est réel

la partie réelle est linéaire

somme de termes d’une suite géométrique, carsin𝑥 ≠ 0

réduction au même dénominateur

1cos𝑛(𝑥) ∈ R

forme algé-brique desnombres com-plexes

Remarque 3.3 — Vous avez normalement déjà eu besoin de faire ce genre dechoses en électricité

Méthode (Écriture d’une combinaison linéaire de fonctions trigonomé-

triques sous « forme déphasée»)WRENCH

Soient𝑎,𝑏,𝑥 ∈R. On souhaite transformer l’expressionE(𝑥) = 𝑎cos𝑥+𝑏sin𝑥en ρcos(𝑥+φ), avec ρ ∈R+,φ ∈R.1 — Mettre √𝑎2 +𝑏2 en facteur, on a E(𝑥) = 𝑎

√𝑎2+𝑏2cos𝑥+ 𝑏

√𝑎2+𝑏2sin𝑥.

2 — Comme ( 𝑎√𝑎2+𝑏2

,− 𝑏√𝑎2+𝑏2

) est sur le cercle unité, il existe φ ∈ [0,2π[ telque :

𝑎√𝑎2 +𝑏2

= cosφ, −𝑏

√𝑎2 +𝑏2= sinφ.

3 — Alors E(𝑥) = cos𝑥cosφ− sin𝑥sinφ = cos(𝑥+φ).

Une méthode analogue existe si l’on souhaite une forme déphasée de laforme ρsin(𝑥+φ), il suffit de choisir l’angle différemment.

Remarque 3.4— Interprétation La somme deux signaux sinusoïdaux est encoreun signal sinusoïdal.

Exemple 8— Écrire sous forme d’un sinus l’expression √2cosθ+√6sinθ avecθ ∈R.



3.2. Résolution d’équations du second degré

Définition ALG.5.11Soit P un polynôme à coefficients complexes. On appelle racine complexe deP tout complexe α tel que P(α) = 0. Une solution d’une équation polynomialede la forme P(𝑧) = 0 d’inconnue 𝑧 est encore appelée une racine de l’équation.

Considérons un trinôme 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐. Vous avez appris en première com-menton trouvait ses racines, si (𝑎,𝑏,𝑐) ∈R3 et siΔ ⩾ 0. En terminale et enpremièreannée vous avez ajouté le cas Δ < 0 qui donne des solutions complexes. Mainte-nant, nous finissons la généralisation avec le cas Δ ∈C, on autorise donc le triplet(𝑎,𝑏,𝑐) à vivre dans C3. Rappelons les formules obtenues les années passées :

1 — si Δ ⩾ 0, 𝑥 = −𝑏±√Δ2𝑎 ,

2 — si Δ < 0, 𝑥 = −𝑏±𝑖√−Δ2𝑎 .

Remarque 3.5— Puisque

(±√Δ)2 = Δ (±𝑖√−Δ)2= Δ,

les deux quantités √Δ et 𝑖√−Δ sont des racines de Δ ∈R ou C.

Théorème ALG.5.4 | Solutions d’une équation du second degréSoit (𝑎,𝑏,𝑐) ∈ C3 tel que 𝑎 ≠ 0. On considère l’équation 𝑎𝑧2 +𝑏𝑧+𝑐 = 0 d’in-connue 𝑧 ∈C.1 — On appelle discriminant du trinôme 𝑎𝑧2 +𝑏𝑧+𝑐 le complexe Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐.2 — Soit δ une racine carrée (éventuellement dans C) de Δ. Alors les racinesde l’équation sont :

−𝑏+δ2𝑎

et−𝑏−δ

2𝑎.

De plus, l’équation admet deux racines distinctes si Δ ≠ 0 et une seule racinesi Δ = 0. En particulier, si1 — si Δ ⩾ 0, alors δ = √Δ convient,

2 — si Δ < 0, alors δ = 𝑖√−Δ convient.

Preuve (Point clef — Preuve similaire au cas réel : on utilise la formecanonique!)Notons δ ∈C une racine complexe de Δ. Alors :

𝑎𝑧2 +𝑏𝑧+𝑐 = 𝑎[(𝑧2 +

𝑏𝑎𝑧)+

𝑐𝑎] = 𝑎[(𝑧+

𝑏2𝑎

)2−

𝑏2

4𝑎2 +𝑐𝑎] = 𝑎[(𝑧+

𝑏2𝑎

)2−

14𝑎2 (𝑏2 −4𝑎𝑐)]

= 𝑎[(𝑧+𝑏2𝑎

)2−(

δ2𝑎

)2].

Alors on reconnaît une identité remarquable du type «𝑎2 − 𝑏2 ». On écritalors :

𝑎𝑧2 +𝑏𝑧+𝑐 = 𝑎(𝑧−−𝑏+δ

2𝑎)(𝑧−

−𝑏−δ2𝑎

) .

On obtient alors les deux racines fournies par l’énoncé.

Remarque 3.6— Les formules connues depuis le lycée restent donc vraies, enremplaçant le terme ±√Δ ou ±𝑖√−Δ par ±δ où δ est une, racine éventuellementcomplexe, de Δ.

Attention×

En général, dans l’énoncé précédent, Δ ∈C et on ne peut pas écrire √Δ.

Attention×

Soit (𝑎,𝑏,𝑐) ∈ C3. Contrairement au cas où Δ ∈ R (lycée et première année),les racinesde l’équation𝑎𝑧2+𝑏𝑧+𝑐 = 0ne sont pas forcémentdes complexesconjugués. En effet, notons 𝑧 une racine de 𝑎𝑧2+𝑏𝑧+𝑐 = 0. Alors en passantau conjugué, on obtient :

𝑎𝑧2 +𝑏𝑧+𝑐 = 0 ⟺ 𝑎𝑧2 +𝑏𝑧+𝑐 = 0.

Puisque 𝑎,𝑏,𝑐 ne sont pas forcément réels, on ne retombe pas sur l’équation



×de départ. Un contre-exemple serait par exemple donné par 𝑎 = i ,𝑏 = 1,𝑐 =0.

Exemple 9— Montrer que les racines de i𝑧2+1 = 0 ne sont pas complexe conju-

guées. PEN-FANCY On peut dans cet exemple résoudre directement sans passer par leThéorème ALG.5.4. En effet,

i𝑧2 +1 = 0 ⟺ 𝑧2 = −1i

= i = eiπ/2 = (eiπ/4)2

donc finalement l’équation initiale est équivalente à (𝑧−eiπ/4) (𝑧+eiπ/4) = 0. Lessolutions sont donc 𝑧 = ±eiπ/4. Ces solutions ne sont pas complexes conjuguées(e−iπ/4 ≠ −eiπ/4).

Exemple 10— Résoudre les équations :

1 — 𝑧2 +2𝑧+4 = 0,2 — 𝑧2 −(3+ i )𝑧+ (2+ i ) = 0,3 — 𝑧2 −2cos(θ)𝑧+1 = 0, avec θ ∈ [0,2π[.

PEN-FANCY 1) On a Δ = 4−16 = −12. On cherche ensuite une racine carrée complexe δi.e. un élément δ ∈ C vérifiant δ2 = Δ. Puisque −12 = (4i )2 on choisit δ = 4i . Ainsiles solutions sont

−2±(4i )2

= −1±2i .

2)On a Δ = (3+ i )2−4(2+ i ) = 2i = 2eiπ2 . On utilise ensuite la forme exponentielle

pour trouver une racine carrée de Δ que l’on note δ. On a 2eiπ2 = (√2ei

π4 )

2. Ainsi

une racine carrée de Δ est δ = √2eiπ4 = √2(√2

2 + i √22 ) = 1+ i . On obtient alors les

solutions de l’équation précédente :

(3+ i )± (1+ i )2

= 1 et 2+ i .

Pour 3), on a Δ = −4sin2 θ. Nous avons plusieurs cas :

Caret-right si θ = π : alors Δ = 0 et on a une seule racine double cosθ .Caret-right siθ ∈ [0,2π[⧵ {π}, commenousavonsΔ = (2i sinθ)2, nousobtenonsune racine

carrée δ = 2i sinθ. D’où les racines 2cosθ±2i sinθ2 . = e±iθ .

Notez que le second cas est inclus dans le premier.



4. EXERCICES

4.1. Généralités

[ALG_NbC_34.tex]

Exercice ALG.5.1 (Solution : 23) Soit θ ∈R⧵(π2

+𝑘π, 𝑘 ∈ Z). Déterminer le module

et un argument de1

1+ i tanθ.

[ALG_NbC_35.tex]

Exercice ALG.5.2 (Solution : 23) Soient 𝑛 ∈N et 𝑥 ∈]−π,π[. Déterminer le module

et un argument de : α = (1+cos𝑥+𝑖 sin𝑥)𝑛 et β = (1+𝑖√31−𝑖

)𝑛

.[ALG_NbC_36.tex]

Exercice ALG.5.3 (Solution : 23) Résoudre les équations suivantes dans C :

1 — e𝑧 = −7.2 — e2𝑧 = −8+8i .3 — i +e𝑧+2 = √3.

[ALG_NbC_38.tex]

Exercice ALG.5.4 (Solution : 24) Soient A et B deux points distincts du plan, d’af-fixes respectives 𝑎 et 𝑏. Montrer qu’un point M d’affixe 𝑧 appartient au cercle Γ dediamètre [AB] si et seulement si : 2𝑧𝑧−(𝑎+𝑏)𝑧− (𝑎 +𝑏)𝑧+𝑎𝑏+𝑎𝑏 = 0.

4.2. Racines

[ALG_NbC_40.tex]

Exercice ALG.5.5 Autour des racines 7-ièmes (Solution : 24) Soient 𝑢 = ei2π7 , S =

𝑢+𝑢2 +𝑢4 et T = 𝑢3 +𝑢5 +𝑢6.

1 — Montrer que S et T sont conjugués, et que Im (S) ⩾ 0.

2 — Calculer S+T et ST.3 — En déduire que :

cos2π7

+cos4π7

+cos8π7

= −12

et sin2π7

+ sin4π7

+ sin8π7

=√32

.

4.3. Résolution d’équations

[ALG_NbC_46.tex]

Exercice ALG.5.6 (Solution : 25) Résoudre dans C l’équation : 𝑧6 +1 = 𝑖√3.[ALG_NbC_41.tex]

Exercice ALG.5.7 (Solution : 25) Soit φ ∈ ]−π2 ;

π2 [ fixé. On veut résoudre l’équa-

tion :

(E) (1+ i𝑧)3(1− i tanφ) = (1− i𝑧)3(1+ i tanφ).

1 — Montrer que si 𝑧 est solution de (E) alors |1− i𝑧| = |1+ i𝑧|. En déduire que 𝑧est réel.2 — Posons 𝑧 = tanθ. Justifier ce changement d’inconnue, puis résoudre (E).

[ALG_NbC_45.tex]

Exercice ALG.5.8 (Solution : 26) Soit𝑢 ∈]−π,π[. Déterminer suivant les valeurs de𝑢lemodule et un argument des solutions de l’équation : 𝑧2−2𝑧ei𝑢+2i sin(𝑢)ei𝑢 = 0.

[ALG_NbC_50.tex]

Exercice ALG.5.9

1 — Soit 𝑛 ∈ N∗. Donner, en justifiant, les solutions dans C de l’équation 𝑧𝑛 = 1et préciser leur nombre.2 — En déduire, pour 𝑛 ∈N∗, les solutions dans C de l’équation (𝑧+ i )𝑛 = (𝑧− i )𝑛

et démontrer que ce sont des nombres réels.



[ALG_NbC_51.tex]

Exercice ALG.5.10 Soit 𝑛 ∈N tel que 𝑛 > 2. On pose 𝑧 = ei2π𝑛 .

1 — Onsupposeque𝑘 ∈ J1,𝑛−1K. Déterminer lemodule et unargument du com-plexe 𝑧𝑘 −1.

2 — On pose S =𝑛−1∑𝑘=0

||𝑧𝑘 −1||. Montrer que S =2

tan π2𝑛

.[ALG_NbC_52.tex]

Exercice ALG.5.11 Soient𝑝 ⩾ 3, et𝑘 ∈ J0, 𝑝−1K. On noteA𝑘 le point d’affixe 𝑧𝑘 =e2i𝑘π𝑝 .

1 — Représenter géométriquement les complexes 𝑧𝑘 pour 𝑘 ∈ J0 , 𝑝 − 1K sur lecercle trigonométrique pour 𝑝 = 3,4.2 — Calculer 1

𝑝 ∑𝑝−1𝑘=0 𝑧𝑘. Interprétez géométriquement le résultat obtenu.

3 — Calculer ∏𝑝−1𝑘=1 𝑧𝑘.

4 — Soit 𝑧 un complexe non nul. Prouver que : 𝑧𝑝 = 1 ⟺ ∃𝑘 ∈ J0 , 𝑝 −1K, 𝑧 = 𝑧𝑘.

4.4. Trigonométrie

[ALG_NbC_49.tex]

Exercice ALG.5.12 (Solution : 26) À l’aide des nombres complexes, établir que pourtous (𝑥,𝑦) ∈R2 :

1 — cos(𝑥)+cos(𝑦) = 2cos(𝑥+𝑦

2)cos(

𝑥−𝑦2

).

2 — sin(𝑥)− sin(𝑦) = 2cos(𝑥+𝑦

2)sin(

𝑥−𝑦2

).[ALG_NbC_43.tex]

Exercice ALG.5.13 (Solution : 26) Soient𝑛 ∈N⧵{0} et𝑥 ∈R. Calculer :𝑛∑𝑝=0

cos2(𝑝𝑥).

[ALG_NbC_44.tex]

Exercice ALG.5.14 Soient 𝑛 ∈N et (α,β) ∈R2. Calculer :

1 — C =𝑛∑𝑘=0

⎛

⎝

𝑛

𝑘

⎞

⎠cos(α+𝑘β),

2 — S =𝑛∑𝑘=0

⎛

⎝

𝑛

𝑘

⎞

⎠sin(α+𝑘β).

4.5. Planche A-ENV


Exercice ALG.5.15 d’après A-ENV, 2019 — Autour des matrices circulantes (So-lution : 26) Soit (𝑎1,𝑎2,𝑎3) ∈ C3. On considère la matrice de 𝔐3 (C) définie par :

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑎2 𝑎3 𝑎1

𝑎3 𝑎1 𝑎2

⎞⎟⎟⎟⎠

. On pose 𝑗 = − 12 + i √3

2 .

1 — Calculer 𝑗2, 𝑗3 et 𝑗4.2 — 2.1) Soient 𝑟 et 𝑠 deux complexes non nuls. Montrer que la matrice M =

⎛

⎝

0 𝑟2

𝑠2 0

⎞

⎠est diagonalisable. Donner une base de vecteurs propres de M.

2.2) La matrice M est-elle diagonalisable lorsque 𝑟 = 0 ou 𝑠 = 0?3 — Écrire une fonction decalage(L) qui renvoie, si L = [a_1,...,a_n], laliste L_1 = [a_2,...,a_n,a_1]. Utiliser cette fonction pour écrire une fonctionmatrice(a_1,a_2,a_3) qui renvoie la matrice A.

Python1 def matrice(a_1,a_2,a_3):2 A = ....3 L = ....4 for i in ...



Python5 A.append(L[:])6 ...7 return ...

4 — Si 𝑎1, 𝑎2 et 𝑎3 sont réels, la matrice A est-elle diagonalisable?

5 — Montrer queU =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

est un vecteur propredeA. Quelle est la valeur propre

associée?

6 — On pose X1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

𝑗

𝑗2

⎞⎟⎟⎟⎠

et X2 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

𝑗2

𝑗

⎞⎟⎟⎟⎠

. On pourra utiliser sans justifier que la

famille (U,X1,X2) est libre.6.1) Calculer AX1 et AX2. En déduire qu’il existe des complexes 𝑟 et 𝑠 tels que

AX1 = 𝑠2X2 et AX2 = 𝑟2X1.6.2) Déterminer le spectre de A. On pourra exprimer les valeurs propres à l’aide

des complexes 𝑟 et 𝑠 introduits à la question 6 et utiliser la question 2.7 — Préciser dans les cas suivants si la matrice A est diagonalisable.

7.1) A =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 𝑗 𝑗2

𝑗 𝑗2 1

𝑗2 1 𝑗

⎞⎟⎟⎟⎠

7.2) A =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑗 1 0

1 0 𝑗

0 𝑗 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.




Solution (exercice ALG.5.1) (Énoncé : 20) Il s’agit de trouver une forme exponentielle

pour 1+ i tanθ. Nous avons 1+ i tanθ = √1+ tan2 θ( 1√1+tan2 θ

+ i tanθ√1+tan2 θ

). Or, 1+

tan2 θ = 1cos2 θ , donc

1+ i tanθ =1

|cosθ|(|cosθ|+ i |cosθ| tanθ) .

Caret-right si θ ∈ ]−π2 +𝑘π, π2 +𝑘π[ pour un certain 𝑘 ∈ Z. Alors

1+ i tanθ =1

cosθ(cosθ+ i cosθ tanθ)

=1

cosθ(cosθ+ i sinθ) =

1cosθ

eiθ .

On déduit alors un module 1cosθ et un argument θ.

Caret-right si θ ∈ ]π2 +𝑘π, 3π2 +𝑘π[ pour un certain 𝑘 ∈ Z. Alors

1+ i tanθ = −1

cosθ(−cosθ− i cosθ tanθ)

= −1

cosθ(cos(θ+π)+ i sin(θ+π)) = −

1cosθ

ei (θ+π) .

On déduit alors un module − 1cosθ et un argument θ+π. Attention à ne pas

simplifier le signe moins dans ce second cas, 1/cosθ étant négatif ce n’estpas le module.

Solution (exercice ALG.5.2) (Énoncé : 20) Soient 𝑛 ∈ N et 𝑥 ∈]−π,π[. Il s’agit de dé-terminer les formes exponentielles des deux complexes.

1+cos𝑥+ i sin𝑥 = 1+ei𝑥

= ei𝑥2 (e−i

𝑥2 +ei

𝑥2 ) technique de l’angle moitié

= ei𝑥2 2cos(

𝑥2) formules d’Euler.

Attention, ici nousn’obtenonspas forcément lemodule et l’argument, celadépenddu signe de 2cos (𝑥2 ). Mais comme 𝑥 ∈]−π,π[, alors 2cos (𝑥2 ) ⩾ 0, on déduit alorsla forme trigonométrique de α :

α = 2𝑛 cos𝑛 (𝑥2)ei

𝑛𝑥2 .

Un argument est donc 2𝑛 cos𝑛 (𝑥2 ), et un argument est 𝑛𝑥2 . Pour le second, on met

sous forme trigonométrique :

β𝑛 = (1+ i√31− i

)𝑛

= (2eiπ3 √2e−i

π4 )

𝑛

= 2𝑛2 e

𝑛iπ12 .

Le module est 2𝑛2 , un argument est 𝑛π

12 .

Solution (exercice ALG.5.3) (Énoncé : 20) Notons 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 avec 𝑥,𝑦 ∈ R dans toutl’exercice. Rappelons que e𝑧 = e𝑥ei𝑦. Alors on résout

1 —

e𝑧 = −7 ⟺ e𝑥ei𝑦 = 7e𝑖π

⟺ e𝑥 = 7, 𝑦 = π+2𝑘π, 𝑘 ∈ Z⟺ 𝑥 = ln7, 𝑦 = π+2𝑘π, 𝑘 ∈ Z.

Les solutions sont donc tous les complexes de {ln7+ i (2𝑘+1)π, 𝑘 ∈ Z} .2 —

e𝑧 = −8+8i ⟺ e𝑥ei𝑦 = 8√2ei3π4

⟺ e𝑥 = 8√2, 𝑦 =3π4

+2𝑘π, 𝑘 ∈ Z

⟺ 𝑥 = ln(8√2) =72ln2, 𝑦 =

3π4

+2𝑘π, 𝑘 ∈ Z.

Les solutions sont donc tous les complexes de { 72 ln2+ i 3π4 +2𝑘π, 𝑘 ∈ Z} .



3 —

i +e𝑧+2 = √3 ⟺ e(𝑥+2)+i𝑦 = √3− i = 2(√32

− i12) = 2ei

7π6

⟺ e(𝑥+2)+i𝑦 = 7e𝑖π

⟺ e𝑥+2 = 7, 𝑦 = π+2𝑘π, 𝑘 ∈ Z⟺ 𝑥 = ln7−2, 𝑦 = π+2𝑘π, 𝑘 ∈ Z.

Les solutions sont donc tous les complexes de {ln7−2+2𝑘π, 𝑘 ∈ Z} .

Solution (exercice ALG.5.4) (Énoncé : 20) L’appartenance au cercle en question s’ex-prime à l’aide de l’affixe du centre et d’un module. Plus précisément :

M(𝑧) ∈ Γ ⟺||||𝑧−

𝑎+𝑏2

|||| =|𝑏 −𝑎|

2

⟺||||𝑧−

𝑎+𝑏2

||||2=

|𝑏−𝑎|2

4élévation au carré

⟺ (𝑧−𝑎+𝑏

2)(𝑧−

𝑎+𝑏2

) =14(𝑏 −𝑎)(𝑏 −𝑎)

⟺ (2𝑧−𝑎+𝑏)(2𝑧−𝑎+𝑏) = (𝑏 −𝑎)(𝑏 −𝑎) multiplication par quatre

⟺ (2𝑧−𝑎−𝑏)(2𝑧−𝑎−𝑏) = (𝑏 −𝑎)(𝑏−𝑎)

⟺ 4|𝑧|2 −2𝑧𝑎𝑏−2𝑧𝑏−2𝑎𝑧+ |𝑎|2 +𝑎𝑏−2𝑏𝑧+𝑏𝑎+|𝑏|2

= |𝑏|2 +|𝑎|2 −𝑏𝑎−𝑏𝑎.

En simplifiant et en divisant par deux, on trouve la condition de l’énoncé :2𝑧𝑧−(𝑎+𝑏)𝑧− (𝑎 +𝑏)𝑧+𝑎𝑏+𝑎𝑏 = 0.


1 — Constatons que 𝑢 = ei 2π7 = e−i2π7 = e−i

2π7 +2iπ = ei

12π7 = 𝑢6. De-même :

𝑢2 = 𝑢2 = (𝑢6)2 = 𝑢12 = 𝑢7𝑢5 = 1.𝑢5 = 𝑢5,

et

𝑢4 = 𝑢4 = (𝑢6)4 = 𝑢24 = 𝑢3×7𝑢3 = (𝑢7)3𝑢5 = 1.𝑢5.

Les termes de S,T sont donc conjuguées dans lemêmeordre, et par propriété de laconjugaison, on obtient S = T. La deuxième partie est plus technique, on utilisela formule de Moivre, puis on calcule les puissances :

Im (S) = Im((cos(2π7

)+ i sin(2π7

))+(cos(2π7

)+ i sin(2π7

))2+(cos(

2π7

)+ i sin(2π7

))4)

= sin(2π7

)+2sin(2π7

)cos(2π7

)+4cos3 (2π7

)sin(2π7

)−4cos(2π7

)sin3 (2π7

)

= sin(2π7

)(1+2cos(2π7

)+4cos3 (2π7

)−4cos(2π7

)sin2 (2π7

))

La partie imaginaire est donc du signe de la parenthèse car sin ( 2π7 ) ⩾ 0, et elle vaut

1+2cos(2π7

)+4cos3 (2π7

)−4cos(2π7

)sin2 (2π7

)

= 1+2cos(2π7

)(1+cos2 (2π7

)− sin2 (2π7

))

= 1+2cos(2π7

)2cos2 (2π7

) ⩾ 0

puisque cos ( 2π7 ) ⩾ 0. Donc finalement Im (S) ⩾ 0.2 —

S+T+1 =6∑𝑘=0

𝑢𝑘 =1−𝑢7

1−𝑢=

1−11−𝑢

= ⟹ S+T = −1

Puis

ST = (𝑢+𝑢2 +𝑢4)(𝑢3 +𝑢5 +𝑢6)= 𝑢4 +𝑢6 +𝑢7 +𝑢5 +𝑢7 +𝑢8 +𝑢7 +𝑢9 +𝑢10

= 𝑢4 +𝑢6 +1+𝑢5 +1+𝑢+1+𝑢2 +𝑢3, en utilisant 𝑢7 = 1,

= 2+(S+T) = 2+(−1) = 1.



3 — Constatons que

cos2π7

+cos4π7

+cos8π7

= Re (S) et sin2π7

+ sin4π7

+ sin8π7

= Im (S) .

Or, T = S et S+T = −1 donc S+S = −1 = 2Re (S) = −1, donc Re (S) = − 12 .

De plus, ST = SS = |S|2 = 1, donc S est de module un. Or, Re (S)2+Im (S)2 = 1, doncIm (S)2 = 1−Re (S)2 = 1− 1

4 = 34 , on déduit que :

Im (S) =√32

.

4 — TERMINALPython

Solution (exercice ALG.5.6) (Énoncé : 20) On cherche 𝑧 sous la forme exponentielle𝑧 = ρeiθ avec ρ ⩾ 0 et θ ∈ [0,2π[. On a

𝑧6 +1 = i√3 ⟺ ρ6e6iθ = −1+ i√3

⟺ ρ6e6iθ = 2(−12

+ i√32

)

⟺ ρ6e6iθ = 2ei2π3

⟺ ρ6 = 2, 6θ =2π3

+2𝑘π, 𝑘 ∈ Z,

⟺ ρ = 6√2, θ =π9

+𝑘π3

, 𝑘 ∈ Z.

L’ensemble des solutions est donc { 6√2eiπ9+

𝑘π3 , 𝑘 ∈ Z} .


1 — Soit 𝑧 une solution, alors passons au module : |1+ i𝑧|3 1||cosφ||

= |1− i𝑧|3 1||cosφ||

puisque 1+ tan2 = 1cos2 . Donc en simplifiant et en utilisant la positivité des mo-

dules, on obtient : |1+ i𝑧| = |1− i𝑧|. Élevons ceci au carré, on a alors :

|1+ i𝑧| = |1− i𝑧|⟺ |1+ i𝑧|2 = |1− i𝑧|2

⟺ (1+ i𝑧)(1− i𝑧) = (1− i𝑧)(1+ i𝑧)⟺ 1− i𝑧+ i𝑧+ |𝑧|2 = 1− i𝑧+ i𝑧+ |𝑧|2 .

⟺ 𝑧 = 𝑧.

Donc 𝑧 ∈R.2 — La fonction tan réalise une bijection de ]−π

2 ,π2 [ dans R. Posons dès lors,

puisque 𝑧 ∈R, 𝑧 = tanθ et résolvons l’équation ci-dessous en θ ∈ ]−π2 ,

π2 [ :

(1+ i tanθ)3(1− i tanφ) = (1− i tanθ)3(1+ i tanφ).

Elle est équivalente à

(1+ i tanθ1− i tanθ

)3=

1+ i tanφ1—i tanφ

.

La fonction tan réalise une bijection de ]−π2 ,

π2 [ dans R. Posons dès lors, puisque

𝑧 ∈R, 𝑧 = tanθ et résolvons l’équation ci-dessous en θ ∈ ]−π2 ,

π2 [ :

(1+ i tanθ)3(1− i tanφ) = (1− i tanθ)3(1+ i tanφ).

Elle est équivalente à

(1+ i tanθ1− i tanθ

)3=

1+ i tanφ1− i tanφ

,

où encore

(cosθ+ i sinθcosθ− i sinθ

)3= (

eiθ

e−iθ)3

= e6iθ

=cosφ+ i sinφcosφ− i sinφ

=eiφ

e−iφ= e2iφ



Donc on est amené à résoudre en θ ∈ ]−π2 ,

π2 [ :

e6iθ = e2iφ.

D’où6θ = 2φ+2𝑘πavec𝑘 ∈ Z, i.e.θ = 2(φ+𝑘π)3 .Onnegardeensuiteque les solutions

dans ]−π2 ,

π2 [, l’ensemble des solutions est

{tan(2(φ+𝑘π)

3) ,

2(φ+𝑘π)3

∈ ]−π2,π2 [}.

Solution (exercice ALG.5.8) (Énoncé : 20) SoitΔ = 4e2i𝑢−8i sin(𝑢)ei𝑢 le discriminantde l’équation. Alors :

Δ = 4ei𝑢e−i𝑢 = 4 = 22.

Donc les solutions sont 2ei𝑢±22 = ei𝑢 ±1.


cos𝑥+ cos𝑦 = Re (ei𝑥 +ei𝑦)

= Re (ei𝑥+𝑦2 (ei

𝑥−𝑦2 +e−i

𝑥−𝑦2 ))

= Re(ei𝑥+𝑦2 2cos(

𝑥−𝑦2

))

= 2cos(𝑥−𝑦

2)cos(

𝑥+𝑦2

) .

De-même :

sin𝑥− sin𝑦 = Im (ei𝑥 −ei𝑦)

= Im (ei𝑥+𝑦2 (ei

𝑥−𝑦2 −e−i

𝑥−𝑦2 ))

= Im(ei𝑥+𝑦2 2i sin(

𝑥−𝑦2

))

= 2sin(𝑥−𝑦

2)sin(

𝑥+𝑦2

) .

Solution (exercice ALG.5.13) (Énoncé : 21) En utilisant les formules d’Euler, nousavons

𝑛∑𝑝=0

cos2(𝑝𝑥) =14

𝑛∑𝑝=0

(ei𝑝𝑥 +e−i𝑝𝑥)2

=14

𝑛∑𝑝=0

(e2i𝑝𝑥 +e−2i𝑝𝑥 +2)

=14(

𝑛∑𝑝=0

e2i𝑝𝑥 +𝑛∑𝑝=0

e−2i𝑝𝑥 +(𝑛+1))

=⎧⎪⎨⎪⎩

14 ( 1−e

2i (𝑛+1)𝑥

1−e2i𝑥 + 1−e−2i (𝑛+1)𝑥1−e−2i𝑥 +2(𝑛+1)) si 𝑥 ∉ Z,

3(𝑛+1)4

sinon.

Or, par propriété de la conjugaison, on constate que :

1−e2i (𝑛+1)𝑥

1−e2i𝑥= (

1−e−2i (𝑛+1)𝑥

1−e−2i𝑥).

Donc, si 𝑥 ∉N, on peut finir le calcul en utilisant la technique de l’angle moitié

𝑛∑𝑝=0

cos2(𝑝𝑥) =14(2Re(

1−e2i (𝑛+1)𝑥

1−e2i𝑥)+2(𝑛+1))

=12(Re(

ei (𝑛+1)𝑥

ei𝑥−2cos ((𝑛+1)𝑥)

−2cos (𝑥))+ (𝑛+1))

=12(cos(

𝑛𝑥2

)cos ((𝑛+1)𝑥)

cos (𝑥)+ (𝑛+1)) .


1 — On note que 𝑗 = ei2π3 . On a donc 𝑗2 = ei

4π3 , 𝑗3 = ei

6π3 = 1 et 𝑗4 = 𝑗.



2 — 2.1) Soit λ ∈ C. La matrice M − λI2 est inversible si et seulement si λ2 −(𝑟𝑠)2 ≠ 0. Donc M a deux valeurs propres 𝑟𝑠 et −𝑟𝑠 : elle est donc diago-

nalisable. On note que le vecteur⎛

⎝

𝑟

𝑠

⎞

⎠est vecteur propre associé à 𝑟𝑠 , et

⎛

⎝

−𝑟

𝑠

⎞

⎠associé à −𝑟𝑠 .

2.2) Si l’un des deux est nul, alors la matrice M est triangulaire, avec 0 pour seulevaleur propre. Elle est donc diagonalisable si et seulement si elle est nulle,ie. si 𝑟 = 𝑠 = 0.

Python2.3)1 def decalage(L):

2 '''3 retourne la version décalée de L par modif. d'une

copie↪

4 '''5 M = L[:]6 M.remove(L[0]) # ou del L[0]7 M.append(L[0])8 return M9 def decalage_bis(L):

10 '''11 retourne la version décalée de L par boucle for sur

une copie↪

12 '''13 M = [0 for _ in L]14 for k in range (len(L)):15 M[k-1] = L[k] # pour k=0 c'est le dernier élément

M[-1]↪

16 return M17 def decalage_bisbis(L):18 '''

Python19 retourne la version décalée de L par concaténation20 '''21 return L[1:len(L)] + [L[0]]22 def matrice(a_1, a_2, a_3):23 '''24 retourne la matrice A25 '''26 A = []27 L = [a_1,a_2,a_3]28 for i in range(3):29 A.append(L[:])30 L = decalage(L)31 return A

3 — La matrice A est symétrique, et donc si elle est réelle, elle est diagonalisable— ne vous lancez pas dans la diagonalisation effective car c’est le but de la suite.4 — Calculons :

AU =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑎2 𝑎3 𝑎1

𝑎3 𝑎1 𝑎1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎1 +𝑎2 +𝑎3

𝑎1 +𝑎2 +𝑎3

𝑎1 +𝑎2 +𝑎3

⎞⎟⎟⎟⎠

= (𝑎1 +𝑎2 +𝑎3)U.

Le vecteur U est donc vecteur propre de A associé à la valeur propre 𝑎1+𝑎2+𝑎3.5 — 5.1) On a

AX1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎1 +𝑗𝑎2 +𝑗2𝑎3

𝑎2 +𝑗𝑎3 +𝑗2𝑎1

𝑎3 +𝑗𝑎1 +𝑗2𝑎2

⎞⎟⎟⎟⎠

et AX2 =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎1 +𝑗2𝑎2 +𝑗𝑎3

𝑎2 +𝑗2𝑎3 +𝑗𝑎1

𝑎3 +𝑗2𝑎1 +𝑗𝑎2

⎞⎟⎟⎟⎠

.

On note alors que AX1 = (𝑎1 +𝑗𝑎2 +𝑗2𝑎3)X2 et AX2 = (𝑎1 +𝑗2𝑎2 +𝑗𝑎3)X1. Onpeut donc prendre pour 𝑠 une racine complexe de X2 −(𝑎1 +𝑗𝑎2 +𝑗2𝑎3) et

pour 𝑟 une racine complexe de X2 −(𝑎1 +𝑗2𝑎2 +𝑗𝑎3) , qui existent bien parle théorème de d’Alembert-Gauß.



5.2) On a donc AX1 = 𝑠2X2 et AX2 = 𝑟2X1. Toute la difficulté est alors de savoirfaire un lien entreA et lamatrice 2×2 étudiée précédemment.Notonsφ l’en-domorphisme canoniquement associé à A, notons F = Vect(X1,X2). Alors Fest un espace vectoriel de dimension deux, puisque (X1,X2) est libre (sous-famille libre d’une famille libre). Notons φ l’endomorphisme de F =

(défi.)Vect(X1,X2) défini par φ(X1) = 𝑠2X2 et φ(X2) = 𝑟2X1. Alors φ est bien défi-ni car :

Caret-right (X1,X2) est une base de F, donc φ(X) est défini pour tout X ∈ F,Caret-right on a φ(F) ⊂ F puisque φ(X1) ∈ F,φ(X2) ∈ F et que F est un espace vecto-

riel.De plus, la matrice de φ dans la base X1,X2 est donc M. On a alors, d’aprèsles calculs de la question 2,

φ(𝑟X1 +𝑠X2) = 𝑟𝑠(𝑟X1 +𝑠X2) et φ(−𝑟X1 +𝑠X2) = −𝑟𝑠(−𝑟X1 +𝑠X2).

Finalement, on conjecture que 𝑟X1 +𝑠X2 et −𝑟X1 +𝑠X2 sont deux vecteurspropres de A, et c’est bien le cas :

A(𝑟X1+𝑠X2) = 𝑟𝑠2X2+𝑠𝑟2X1 = 𝑟𝑠(𝑟X1+𝑠X2) et A(−𝑟X1+𝑠X2) = −𝑟𝑠2X2+𝑠𝑟2X1 = −𝑟𝑠(−𝑟X1+𝑠X2).

Plusieurs cas se présentent alors :Caret-right si (𝑟,𝑠) ≠ (0,0), alors 𝑟X1 +𝑠X2 et −𝑟X1 +𝑠X2 sont

on nuls, la famille (X1,X2) étant libre. On a alorsdeux vecteurs propres de A associés au valeurs propres 𝑟𝑠 et −𝑟𝑠.

Caret-right si (𝑟,𝑠) = (0,0), alors X1 et X2 sont vecteurs propres associés à la valeurpropre 0.

Finalement, avec la question 5, on obtient

Spec(A) = {𝑎1 +𝑎2 +𝑎3, 𝑟𝑠,−𝑟𝑠}.

6 — 6.1) On a ici 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 𝑗 et 𝑎3 = 𝑗2. Donc 𝑠2 = 1+ 𝑗2 + 𝑗 = 0, et 𝑟2 = 1+1 + 1 = 3, donc A n’a donc qu’une seule valeur propre (nulle). Si elle étaitdiagonalisable, elle serait semblable à la matrice nulle, ce qui n’est pas lecas. Donc A n’est donc pas diagonalisable .

6.2) On a ici 𝑎1 = 𝑗, 𝑎2 = 1 et 𝑎3 = 0. Donc 𝑠2 = 𝑗+𝑗+0 = 2𝑗 et 𝑟2 = 𝑗+𝑗2 = −1. Onpeut donc prendre 𝑠 = √2ei

π3 et 𝑟 = 𝑖. On a alors

Spec(A) = {1+𝑗,√2𝑖eiπ3 ,−√2𝑖ei

π3 } .

La matrice A a trois valeurs propres distinctes, et donc est diagonalisable.


Chapitre ALG.6. Polynômes

CHAPITRE ALG.6Polynômes

Résumé & Plan

L’Objectif de ce chapitre est de revoir certaines propriétés de première année sur les polynômes. Quelques complémentsseront présentés en fin de chapitre, notamment la formule de TAYLOR qui stipule que pour les fonctions polynomialesla formule de TAYLOR-YOUNG est en fait exacte — i.e. sans terme en o().

W

1. Définition de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Propriétés du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Polynôme dérivé & primitivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Formule de TAYLOR pour les polynômes [H.P] . . . . . . . 6

3. Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. Existence de racines & Comptage . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3. Relations coefficients/racines . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1. Racines & Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2. Familles classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3. Applications linéaire & Polynômes . . . . . . . . . . . . . . 16


114 est le plus petit nombre entier naturel dont on ne saittoujours pas s’il peut s’écrire comme une somme de troiscubes. Avant Septembre 2019, ce plus petit nombre était42,mais finalement :42 = (80435758145817515)3 +(−80538738812075974)3 +(12602123297335631)3

—Le saviez-vous?

CadreCOGS

Dans tout le chapitre, l’ensemble K désignera R ou C.



1. DÉFINITION DE K[X]

Les polynômes sont définis généralement comme des suites d’éléments de K quicomportent un nombre fini de termes non nuls, la suite des coefficients 𝑎0,…𝑎𝑛(avec 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+2 = ⋯ = 0) pour un certain 𝑛 ∈ N, que l’on appelle degré. Et on

appelle fonction polynomiale associée la fonction 𝑥 ⟼𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑥𝑘. Conformément

auprogrammedeBCPST, nousne feronspas la différence entre polynômeet fonc-tion polynomiale associée. Ainsi, pour nous, les polynômes seront déjà des fonc-tions.

Remarque 1.1 — Inconvénient de ce point de vue : il nous sera impossible desubstituer𝑥 ∈ Kpar unematrice, en particulier les définitions qui suivent ne don-neront pas de sens à P(A) où A est une matrice.

1.1. Généralités

Définition ALG.6.1 | Polynôme sur K1 — Soit𝑛 ∈N. Unmonômede degré𝑛 est une fonctionP ∶K⟶Kde la forme𝑥 ⟼ 𝑎𝑥𝑛 avec 𝑛 ∈N et 𝑎 ∈K. L’entier 𝑛 est appelé degré de P et généralementnoté degP.2 — Soit 𝑛 ∈N. Un polynôme est une fonction du type P ∶K⟶K de la forme

𝑥 ⟼𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑥𝑘 avec 𝑛 ∈ N et 𝑎0, ...,𝑎𝑛 ∈ K tel que 𝑎𝑛 ≠ 0. L’entier 𝑛 est appelé

degrédePet généralementnotédegP, c’est leplus grandentier𝑘 tel que𝑎𝑘 ≠ 0.

La fonction P ∶ 𝑥 ⟼𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑥𝑘 est généralement notée

P =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘X𝑘.

On convient que deg0 = −∞ . Le coefficient 𝑎degP est appelé coefficient do-minant de P. Si 𝑎degP = 1 on dit que P est unitaire. Si K = R, on parle de poly-nôme à coefficients réels. Si K=C, on parle de polynôme à coefficients réels.

NotationΣOn note :

Caret-right K[X] l’ensemble des polynômes sur K,Caret-right K𝑛[X] l’ensemble des polynômes sur K de degré inférieur à 𝑛.

Attention×

à ne pas confondre𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑥𝑘 pour un certain 𝑥 ∈ K et𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘X𝑘 qui dans le

premier cas est un élément deK (i.e. un réel ou un complexe), dans le secondune fonction. Mais nous avons :

∀𝑥 ∈K, (𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘X𝑘)(𝑥) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑥𝑘.



Attention (Dans un polynôme, la somme est finie)×

une fonction du type 𝑥 ⟼∞∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑥𝑘, en cas d’existence, n’est pas un poly-

nôme.a Par exemple, on voit que la fonction 𝑥 ⟼∞∑𝑘=0

𝑥𝑘 =1

1−𝑥pour |𝑥| < 1

n’est pas polynomiale.

NotationΣParfois le polynôme P est aussi noté P(X), la notation P(X) désigne donc en-core une fonction.

Remarque 1.2— Convention de degré. L’application deg est donc à valeursdans N∪{−∞} :

deg ∶||||||

K[X] ⟶ N∪{−∞}

P ⟼ degP.

La convention deg0 = −∞ est purement technique. Elle trouve son intérêt dans laformule de degré d’un produit que nous reverrons plus tard : soit P ∈ K[X], alorsdeg(0.P) = deg(0)+degPd’une part, et d’autre part comme 0.P = 0 ondevrait avoirdeg0 = deg0+degP. Cette formule n’est jamais vérifiée sauf si P est constant, d’oùla convention précédente de sorte que

−∞ = −∞+0.

Les polynômes étant définis ici comme un sous-ensemble de l’espace des fonc-tions de K dans K, on peut réaliser plusieurs opérations sur eux comme pour lesfonctions habituelles.

aDans ce cas on parle de série entière lorsque K = R, de fonction analytique lorsque K = C, leurétude n’est pas au programme de BCPST

Définition ALG.6.2 | Opérations +,×,∘, .Soient P,Q ∈ K[X], λ ∈ K. On notera P + Q, PQ, P ∘ Q et λP les fonctions ci-dessous :

1 — P+Q||||||

K ⟶ K,

𝑥 ⟼ P(𝑥)+Q(𝑥),

2 — P×Q||||||

K ⟶ K,

𝑥 ⟼ P(𝑥)Q(𝑥),,

3 — P∘Q||||||

K ⟶ K,

𝑥 ⟼ P(𝑥) ∘Q(𝑥),

4 — λP||||||

K ⟶ K,

𝑥 ⟼ λP(𝑥)..

Plus explicitement à l’aide de coefficients, soient P =𝑝

∑𝑘=0

𝑎𝑘X𝑘 et Q =𝑞

∑𝑘=0

𝑏𝑘X𝑘, en

dehors de J0 , 𝑝K (resp. en dehors de J0 , 𝑝K), on suppose la suite (𝑎𝑛) (resp. la suite(𝑏𝑛)) nulle. Alors on a :

1 — P+Q =max(𝑝,𝑞)

∑𝑛=0

(𝑎𝑛 +𝑏𝑛)X𝑛,

2 — PQ(X) =𝑝+𝑞

∑𝑛=0

(𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘)X𝑛.

3 — P∘Q(X) =𝑝

∑𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑞

∑𝑘=0

𝑏𝑘X𝑘)𝑛

,

4 — λP =𝑝

∑𝑛=0

λ𝑎𝑛X𝑛.

Proposition ALG.6.1 | Stabilité des opérationsSoient P,Q ∈ K[X], λ ∈ K, alors P + Q, PQ, P ∘ Q et λP sont des éléments deK[X]. L’ensemble K[X] est donc stable par addition, produit, composition etmultiplication par un scalaire.



Preuve On vérifie sans peine que les précédentes fonctions sont encoredes polynômes.

Corollaire ALG.6.11 — Le triplet (K[X],+, .)estunK-espacevectoriel, et un sous-espacevectorielde KK.2 — Soit 𝑛 ∈ N, le triplet (K𝑛[X],+, .) est un K-espace vectoriel, et un sous-espace vectoriel de KK.

Preuve Vérification de l’ensemble des propriétés dans la définition d’es-pace vectoriel.

Exemple 1— Soit 𝑛 ∈ N. Le triplet (K=𝑛[X],+, .), où K=𝑛[X] est l’ensemble des

polynômes de degré 𝑛, est-il est un espace vectoriel ? PEN-FANCY K=𝑛[X] ne contient pasle polynôme nul, qui est de degré −∞.

1.2. Propriétés du degré

Proposition ALG.6.2

Soient P,Q ∈K[X]. On a :1 — (Degré d’une somme)

deg(P+Q) ⩽max{degP,degQ}.

De plus, si degP ≠ degQ, alors il y a égalité :

deg(P+Q) =max{degP,degQ}.

2 — (Degré d’unemultiplication scalaire) Si λ ≠ 0,

deg(λP) = degP.

3 — (Degré d’un produit)

deg(PQ) = degP+degQ.

4 — (Degré d’une composée)

deg(P ∘Q) = degP×degQ.

Attention×

Onne fait doncpasn’importe quoi avec le symbole degré ! Enparticulier, l’ap-plication deg n’est pas du tout linéaire.a

Preuve Voir le cours de 1ère année.

Remarque 1.3— La distinction de cas de la première assertion est présente pourtraiter le cas où les coefficients dominant se compensent : si degP ≠ degQ, celan’arrivera jamais, sinon ils peuvent s’annuler et nous avons seulement une inéga-lité. Par exemple, considérons P = −X2+X+1 et Q = X2+1. Alors P+Q = X+2 estde degré 1, et ce n’est pas lemax des degrés qui est 2.

Proposition ALG.6.3 | Intégrité de l’ensemble des polynômesSoient P,Q ∈K[X]. Alors : PQ = 0K[X] ⟹ (P = 0K[X] ou Q = 0K[X]) .

aLa question n’a même aucun sens puisque N∪{−∞} n’est pas un espace vectoriel.



Preuve SupposonsquePQ = 0K[X], alors enprenant le degrénous avons :degP+degQ = −∞, donc nécessairement un des deux degrés vaut −∞ i.e.P = 0K[X] ou Q = 0K[X] — encore une bonne illustration de l’intérêt de laconvention «deg(0K[X]) = −∞» !a

aOn a l’impression de n’avoir rien fait dans cette preuve : en fait le travail principalréside dans la propriété de degré d’un produit établie plus haut.

Attention×

Ce résultat est faux pour deux fonctions quelconques non polynomiales.

2. POLYNÔME DÉRIVÉ & PRIMITIVÉ

Les polynômes ont été définis dans ce chapitre comme un sous-ensemble de l’en-semble des fonctions, donc ils héritent en particulier de la notion de dérivationconnue depuis longtemps si K = R. En revanche, pour K = C, comme nous nesavons pas dériver les fonctions de la variable complexe, la définition infra est fi-nalement plus générale.

2.1. Généralités

Définition ALG.6.3 | Dérivation

Soit P =𝑛∑ℓ=0

𝑎ℓXℓ ∈K[X], avec 𝑛 ⩾ 1.

1 — On appelle polynôme dérivé de P le polynôme noté

P′ =𝑛∑ℓ=1

ℓ𝑎ℓXℓ−1,

i.e. la dérivée de la fonction P.2 — Soit 𝑘 ∈N. On appelle polynôme dérivé 𝑘 fois de P le polynôme

P(𝑘) =𝑛∑ℓ=𝑘

ℓ(ℓ−1)…(ℓ−𝑘+1)𝑎ℓXℓ−𝑘,

i.e. la dérivée 𝑘-fois de la fonction P.

Remarque 2.1— Pour la dérivée première, peut-on écrire 𝑘 = 0 ou 𝑘 = 1 en

premier indice?Onprendra garde d’éviter l’expression P′ =𝑛∑𝑘=0

𝑘𝑎𝑘X𝑘−1 même si

le terme d’ordre 𝑘 = 0 est nul. En effet, nous n’avons pas donné un sens à 0× 1X , ce

n’est pas un élément deK[X] (mais deK(X), l’ensemble des fractions rationnelles).

Définition ALG.6.4 | Primitivation (en zéro)

Soit P =𝑛∑ℓ=0

𝑎ℓXℓ ∈ K[X], avec 𝑛 ⩾ 1. On appelle polynôme primitivé de P le

polynôme noté

∫P =𝑛∑ℓ=0

𝑎ℓXℓ+1

ℓ+1,

i.e. la primitive qui s’annule en zéro de la fonction P.

Exemple 2— Calculer les dérivées successives de P = X4−3X3+ iX2−1 et le poly-

nôme primitif de P. PEN-FANCY Puisque P est de degré 4, alors P(𝑘) = 0 dès que 𝑘 ⩾ 5. Parailleurs, P′ = 4X3 −9X2 +2iX, P′′ = 12X2 −18X+2i , P′′′ = 24X−18 et P(4) = 24.

Proposition ALG.6.4 | Dérivées d’unmonôme

Soient𝑎 ∈Ket (𝑛,𝑝) ∈N2. Alors : [(X−𝑎)𝑛](𝑝) =⎧⎨⎩

𝑛!(𝑛−𝑝)! (X−𝑎)𝑛−𝑝 si 𝑝 ⩽ 𝑛,0 si 𝑝 > 𝑛.

Remarque 2.2 — Cette formule très classique est à savoir retrouver très rapide-ment

Preuve PEN-FANCY Le polynôme (X−𝑎)𝑛 est de degré 𝑛 donc si 𝑝 > 𝑛, alors[(X−𝑎)𝑛](𝑝) = 0. Supposons que 𝑝 ⩽ 𝑛, alors

[(X−𝑎)𝑛](𝑝) = 𝑛[(X−𝑎)𝑛−1](𝑝−1) = 𝑛(𝑛−1)[(X−𝑎)𝑛−2](𝑝−1),



puis de manière générale on obtient :

[(X−𝑎)𝑛](𝑝) = 𝑛(𝑛−1)…(𝑛−𝑝+1)(X−𝑎)𝑝−𝑛 =𝑛!

(𝑛−𝑝)!(X−𝑎)𝑛−𝑝.

Proposition ALG.6.5 | Dérivations et opérationsSoient P,Q ∈K[X] et λ ∈K. Alors :1 — (λP)′ = λP′,2 — (P+Q)′ = P′ +Q′,3 — (PQ)′ = P′Q+PQ′,4 — (P ∘Q)′ = P′ ∘Q×Q′.

Preuve Si K = R : comme pour nous les polynômes sont des fonctions,les formules ci-dessus découlent donc des formules déjà connues pour lesfonctions réelles de la variable réelle. Si K = C, il faut les vérifier à l’aide decoefficients.

Unicité des coefficients. Posons-nous à présent la question suivante : existe-ilplusieurs familles de coefficients possibles (𝑎0, ...,𝑎𝑛) ∈K𝑛 telles que

P =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘X𝑘 ?

La réponse est non, un polynôme est entièrement déterminé par la suite de sescoefficients (réels ou complexes).

Proposition ALG.6.6 | Un polynôme est déterminé par ses coefficients

Soit P =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘X𝑘 ∈K[X] avec 𝑎0, ...,𝑎𝑛 ∈K.

1 — Pour tout entier 𝑘 ∈ J0 , 𝑛K, nous avons :

𝑎𝑘 =P(𝑘)(0)

𝑘!.

2 — Par conséquent :Caret-right P = 0 ⟺ 𝑎0 = … = 𝑎𝑛 = 0.Caret-right la suite de coefficients 𝑎0,…,𝑎𝑛 est unique.

Preuve Exprimons déjà les coefficients de P en fonction des dérivéessuccessives. En effet, pour tout entier 𝑘 ∈ J0 , 𝑛K,

P(𝑘)(X) = (𝑛∑ℓ=0

𝑎ℓXℓ)(𝑘)

=𝑛∑ℓ=𝑘

𝑎ℓ(ℓ−1)…(ℓ−𝑘+1)Xℓ−𝑘.

Nous obtenons :

P(𝑘)(0) =𝑛∑ℓ=𝑘

𝑎ℓ(ℓ−1)…(ℓ−𝑘+1)Xℓ−𝑘||||X=0= 𝑘!𝑎𝑘.

Les coefficients sont donc donnés par la formule suivante 𝑎𝑘 = P(𝑘)(0)𝑘! .

Caret-right ⟸ Évident.

⟹ Supposons que P = 0, alors pour tout 𝑘 ∈ J0 , 𝑛K, P(𝑘)(0)𝑘! = 0

𝑘! =0 = 𝑎𝑘. L’équivalence est donc démontrée.

Caret-right Supposons qu’il existe par ailleurs 𝑏0,…,𝑏𝑛 ∈ R tels que : P =∑𝑛𝑘=0𝑏𝑘X

𝑘 = ∑𝑛𝑘=0𝑎𝑘X

𝑘. Alors 0 = ∑𝑛𝑘=0 0.X

𝑘 = ∑𝑛𝑘=0(𝑏𝑘 −𝑎𝑘)X𝑘, donc

d’après ce qui précède 0 = 𝑏𝑘 −𝑎𝑘 pour tout 𝑘 ∈ J0 , 𝑛K. C’est terminé.

Exemple 3— Fonction génératrice d’une variable aléatoire réelle discrète. SoitXune variable aléatoire réelle discrète à support fini J0 , 𝑛K, on note 𝑔X(𝑡) = E (𝑡X) =𝑛∑𝑘=0

P(X = 𝑘)𝑡𝑘 pour 𝑡 ∈R.

1 — Que dire de la fonction 𝑔X ? PEN-FANCY La fonction 𝑔X est un polynôme de degré 𝑛par définition d’un polynôme.2 — Comment obtenir la loi de X à partir de 𝑔X ? PEN-FANCY D’après la proposition pré-

cédente, pour tout 𝑘 ∈N : P(X = 𝑘) = 𝑔(𝑘)X (0)𝑘! .

2.2. Formule de Taylor pour les polynômes [H.P]

Il existe un lien fort entre toute fonction 𝑓 supposée 𝑛 ∈N fois dérivable et définieau voisinage de 𝑎 ∈R, et ses dérivées successives. Ce lien est donné par la formule



de TAYLOR-Young vue en première année et revue cette année :

𝑓(𝑥) =𝑥→𝑎

𝑛∑𝑘=0

𝑓(𝑘)(𝑎)𝑘!

(𝑥−𝑎)𝑘 +o((𝑥−𝑎)𝑛) . (TY)

On peut donc se poser une question analogue pour un polynôme P. On sait déjàque la formule de TAYLOR-YOUNG s’applique à P à tout ordre de manière évidente,puisqu’un polynôme est de classe 𝒞∞ : on obtient alors avec 𝑎 = 0, et 𝑛 ∈N,

P(𝑥) =𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

P(𝑘)(0)𝑘!

𝑥𝑘 +o(𝑥𝑛) .

Mais on peut faire mieux en obtenant une formule de TAYLOR exacte (i.e. une for-mule de TAYLOR-YOUNG mais «sans o()») pour les polynômes.

Théorème ALG.6.1 | Formule de TAYLOR pour les polynômesSoient 𝑎 ∈K et P ∈K[X], on note 𝑛 = degP. Alors :

P(X) =𝑛∑𝑘=0

P(𝑘)(𝑎)𝑘!

(X−𝑎)𝑘 = P(𝑎)+P′(𝑎)(X−𝑎)+P′′(𝑎)

2!(X−𝑎)2+...+

P(𝑛)(𝑎)𝑛!

(X−𝑎)𝑛.

Remarque 2.3— On retrouve en particulier l’expression déjà établie des coeffi-cients 𝑎0,…,𝑎𝑛 ∈ K de P en fonction des dérivées successives évaluées en zéro :

𝑎𝑘 =P(𝑘)(0)

𝑘!.

Preuve (Point clef — Les calculs sont déjà faits pour 𝑎 = 0. Généraliserensuite à 𝑎 quelconque.)Nous avons déjà montré que, pour tout polynôme Q ∈K[X] :

Q(X) =𝑛∑𝑘=0

Q(𝑘)(0)𝑘!

X𝑘.

On peut ensuite appliquer cette formule à Q(X) = P(X+𝑎), pour obtenir :

P(X+𝑎) = Q(X) =𝑛∑𝑘=0

Q(𝑘)(0)𝑘!

X𝑘 =𝑛∑𝑘=0

P(𝑘)(𝑎)𝑘!

X𝑘.

Il reste ensuite à substituer X par X−𝑎 :

P(X) =𝑛∑𝑘=0

P(𝑘)(𝑎)𝑘!

(X−𝑎)𝑘.

Exemple 4— Soit 𝑛 ∈ N. La famille ℬ = (1, (X−𝑎)2,…,(X−𝑎)𝑛) est une base de

K𝑛[X], préciser les coordonnées d’un polynôme P ∈ K𝑛[X] dans cette base. PEN-FANCY

La famille ℬ = (1, (X−𝑎)2,…,(X−𝑎)𝑛) est libre car échelonnée, et c’est donc unebase car elle est de cardinal 𝑛+1 = dimK𝑛[X]. De plus, d’après la formule de TAY-LOR, nous avons pour tout P ∈K𝑛[X] :

P(X) = P(𝑎)+P′(𝑎)(X−𝑎)+P′′(𝑎)

2!(X−𝑎)2 +...+

P(𝑛)(𝑎)𝑛!

(X−𝑎)𝑛.

Donc

ℳatℬ

(P) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

P(𝑎)

P′(𝑎)P′′(𝑎)2!

P(𝑛)(𝑎)𝑛!

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Exemple 5— Soit P ∈ R[X] et 𝑎 ∈ R. Montrer que : si P(𝑎) > 0 et que P(𝑘)(𝑎) ⩾ 0

pour tout 𝑘 ∈ N⋆, alors P ne possède aucune racine dans ]𝑎;∞[. PEN-FANCY D’après laformule de TAYLOR, nous avons : pour tout 𝑥 ∈R,

P(𝑥) = P(𝑎)+P′(𝑎)(𝑥−𝑎)+P′′(𝑎)

2!(𝑥−𝑎)2 +...+

P(𝑛)(𝑎)𝑛!

(𝑥−𝑎)𝑛.

En particulier si 𝑥 ∈ ]𝑎;∞[, alors pour tout 𝑘 ∈ J1 , 𝑛K,

(𝑥−𝑎)𝑘 > 0,



donc par hypothèse

P(𝑎)+P′(𝑎)(𝑥−𝑎)+P′′(𝑎)

2!(𝑥−𝑎)2 +...+

P(𝑛)(𝑎)𝑛!

(𝑥−𝑎)𝑛 > 0

et donc P ne s’annule pas sur ]𝑎;∞[.

3. RACINES

On se préoccupe à présent des points d’annulation d’un polynôme.

1 — Premier point : on voit très clairement quel est leur nombre pour des petitsdegrés ; une fonction affine (un polynôme de degré un) s’annule en un point, untrinôme s’annule toujours au plus deux fois dans C. En fait, tout polynôme de de-gré 𝑛 s’annulera au plus 𝑛 fois. Des propriétés sur le nombre de racines semblentdonc exister.2 — Second point : lorsque λ annule un polynôme, alors ledit polynôme sera dela forme (X−λ)Q où Q ∈K[X]. Cette «factorisation» est uniquement vraie pour lespolynômes — pas question d’écrire cela pour d’autres types de fonctions !

Exemple 6— Contre– La fonction 𝑥 ∈ R+ ⟼ √𝑥 s’annule en zéro et pourtantn’est pas de la forme 𝑥 ⟼ 𝑥Q(𝑥) avec Q ∈ R[X].

Commençons par une notation que l’on utilisera dans toute la section.

Définition ALG.6.5 | Relation de divisibilitéSoient P,Q ∈K[X]. Alors on dit que P divise Q s’il existe un polynôme R ∈K[X]tel que : PR = Q. On notera P ∣ Q.

3.1. Généralités

Définition ALG.6.6 | RacineSoient P ∈K[X] et λ ∈K. On dit que λ est une racine de P si :

P(λ) = 0.

Lorsque K = C : on parle de racine complexe, si on a de plus λ ∈ R on parle deracine réelle.

Proposition ALG.6.7 | Caractérisation par factorisationSoient P ∈K[X] et λ ∈K. Alors :

λ est racine de P ⟺ ∃Q ∈K[X], (X−λ)×Q = P.

Preuve

⟸ Immédiat, évaluer l’identité en λ.

⟹ Soitλune racine deP. Alors écrivons queP(X) = P(X)−P(λ). Alors

P(X) = P(X)−P(α) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘 (X𝑘 −α𝑘)

=𝑛∑𝑘=0

(X−α)𝑘−1∑𝑖=0

X𝑖α𝑘−𝑖−1

= (X−α)𝑛∑𝑘=0

𝑘−1∑𝑖=0

X𝑖α𝑘−𝑖−1.

téléscopage

En notant Q(X) = ∑𝑛𝑘=0∑

𝑘−1𝑖=0 X𝑖α𝑘−𝑖−1, qui est bien un polynôme, nous obte-

nons le résultat.

Proposition ALG.6.8 | Racine réelle d’un polynôme de degré impairSoit P ∈K[X] un polynôme de degré impair. Alors P possède une racine réelle.

Attention×

Cette propriété est très classique : à savoir refaire !



Preuve Appliquons le théorèmedes valeurs intermédiaires à la fonction𝑥 ⟼ P(𝑥), notons P(X) = 𝑎2𝑝+1X2𝑝+1 +⋯+𝑎0 avec 𝑎0,…,𝑎2𝑝+1 ∈ K, et sup-posons que 𝑎2𝑝+1 > 0 — sinon on applique le même raisonnement à −P.

Alors P est une fonction continue, et lim𝑥→±∞

P(𝑥) = ±∞. Donc d’après le théo-rème des valeurs intermédiaires, il existe λ ∈ R tel que P(λ) = 0. Autrementdit, P possède une racine réelle.

Dans la Proposition ALG.6.7, rien ne nous dit que Q n’est pas encore lui-mêmede la forme (X−λ)Q avec Q ∈ K[X], auquel cas P = (X−λ)2Q. Pour quantifier lapuissance maximale apparaissant dans l’exposant de X−λ, on introduit la notionde multiplicité.

Définition/Proposition ALG.6.1 | MultiplicitéSoientP ∈K[X]etλ ∈K.Ondit queλestune racined’ordre𝑘 (oudemultiplicité𝑘) de P si l’une des propositions ci-dessous est vérifiée :

(X−λ)𝑘 ∣ P et (X−λ)𝑘+1 ∤ P,

⟺ ∃Q ∈K[X], (X−λ)𝑘Q = P, Q(λ) ≠ 0.

Autrement dit, l’ordre d’une racine est la plus grande puissance 𝑘 telle que Psoit factorisable par (X−λ)𝑘 dans K[X]. On note 𝑘 =Multλ(P).

Preuve Montrons l’équivalence des deux propositions.

⟸ Supposons que : ∃Q ∈ K[X], (X − λ)𝑘Q = P avec Q(λ) ≠ 0. Alors(X−λ)𝑘 ∣ P.

Supposons par l’absurde que (X − λ)𝑘+1 ∣ P, alors il existe Q ∈ K[X] tel que(X−λ)𝑘+1Q = P. Alors :

(X−λ)𝑘 ((X−λ)Q) = P = (X−λ)𝑘Q ⟹ (X−λ)𝑘 ((X−λ)Q−Q) = 0.

Donc : (X−λ)Q = Q et Q(λ) = 0 — contradiction.

⟹ Notons Q ∈ K[X], (X−λ)𝑘Q = P, montrons que Q(λ) ≠ 0. Si ce n’étaitpas le cas, i.e. siQ(λ) = 0, alors il existerait Q ∈K[X] tel queQ = (X−λ)Q, donc(X−λ)𝑘Q = (X−λ)𝑘+1Q = P — contradiction.

Définition ALG.6.7 | Polynôme scindé/irréductible1 — Un polynôme P ∈K[X] est dit scindé sur K s’il s’écrit sous la forme

P(X) = α𝑟∏𝑖=1

(X−λ𝑖)𝑚𝑖

où pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑟K, 𝑚𝑖 =Multλ𝑖 (P), 𝑚1 +…+𝑚𝑟 = degP et α ∈K.Si K=C, on dit que P est scindé sur R si λ𝑖 ∈R pour tout 𝑖.a

2 — Unpolynôme est dit irréductible, s’il ne peut pas être factorisé en produitde polynômes de degrés strictement inférieurs au sien.

Si l’on considère P = X3, on voit que 0 est une racine de multicplicité 3. Alors :

P(0) = P′(0) = P′′(0), alors que P′′′(0) = 6 ≠ 0.

Ce fait s’étend à n’importe quel polynôme et caractérise même les racines mul-tiples.

Proposition ALG.6.9 | Caractérisation à l’aide du polynôme dérivéSoient P ∈K[X] et λ ∈K. Alors :

λ est une racine d’ordre 𝑘 ∈N de P⟺ pour tout 𝑖 ∈ J0 , 𝑘− 1 K, P(𝑖)(λ) = 0 et P(𝑘)(λ) ≠ 0.

Preuve Notons 𝑛 = degP.

⟸ Nous avons, d’après la formule de TAYLOR pour les polynômes :

P(X) = P(λ)+ (X−λ)P′(λ)1!

+ (X−λ)2P′′(λ)

2!+⋯+(X−λ)𝑛

P(𝑛)(λ)𝑛!

.

Après simplifications, cette formule devient alors

P(X) = (X−λ)𝑘P(𝑘)(λ)

𝑘!+⋯+(X−λ)𝑛

P(𝑛)(λ)𝑛!

.

Ainsi,

P(X) = (X−λ)𝑘 [P(𝑘)(λ)

𝑘!+⋯+(X−λ)𝑛−𝑘

P(𝑛)(λ)𝑛!

] ,

aSi K=C, on a seulement λ𝑖 ∈C si on écrit «scindé» tout court.



posons alors Q(X) = P(𝑘)(λ)𝑘! +⋯+ (X−λ)𝑛−𝑘 P(𝑛)(λ)

𝑛! . Alors (X−λ)𝑘Q = P, maisQ(λ) ≠ 0, λ est bien une racine de multiplicité 𝑘.

⟹ Par définition, on suppose qu’il existe Q ∈K[X] tel que (X−λ)𝑘Q = P,etQ(λ) ≠ 0. Alors en calculant explicitement les dérivées successives—nousl’admettons ! — on vérifie l’assertion sur les dérivées.

Exemple 7— Notons P = X7 −3X5 +2X4 −X3, alors 0 est racine de multiplicité

trois. PEN-FANCY En effet,P(0) = 0 etP′ = 7X6−15X4+8X3−3X2,P′′ = 42X5−45X3+24X2−6X,P′′′ = 210X4 −135X2 +48X−6, donc P′(0) = P′′(0) = 0 mais P′′′(0) = −6 ≠ 0.

Exemple 8— Soit 𝑛 ∈N. On note P = ∑𝑛𝑘=0

X𝑘𝑘! .

1 — P′ = P− X𝑛𝑛! , PEN-FANCY Par linéarité de la dérivation, nous avons P′ = ∑𝑛

𝑘=1𝑘X𝑘−1𝑘! =

∑𝑛𝑘=1

X𝑘−1(𝑘−1)! = P− X𝑛

𝑛! .

2 — on déduit que les racines de P sont simples. PEN-FANCY Soit α ∈ R une racine deP, alors si α était une racine multiple, nous aurions P′(α) = 0 = 0− α𝑛

𝑛! d’après lapremière question, donc α = 0, or 0 n’est pas racine de P. D’où une contradictionet la non-existence d’une racine multiple pour P.

3.2. Existence de racines & Comptage

On termine à présent le chapitre par probablement l’argument qui revient le plussouvent dans les exercices : le comptage des racines.

Théorème ALG.6.2 | Comptage de racinesSoit P ∈K[X]. Alors :1 — P ≠ 0K[X] ⟹ P possède au plus degP racines comptées avec multi-plicité.2 — P possède au moins degP+1 racines ⟹ P = 0K[X].

Attention×

Il s’agit du théorème le plus important du chapitre.

Preuve1 — Admis.2 — Contraposer 1).

Corollaire ALG.6.2 | Polynôme s’annulant sur un ensemble inifiniSoit P ∈K[X] et 𝒟 un sous-ensemble infini de K. Alors :

P est nul sur 𝒟 ⟹ P = 0K[X].

Preuve Puisque P est nul sur 𝒟, il possède une infinité de racines donca fortiori en possède plus que son degré. Il est donc nul.

Attention×

Bien entendu, ces résultats sont caractéristiques des polynômespas questionde les utiliser pour d’autres fonctions. Par exemple, cos et sin s’annulent uneinfinité de fois et ne sont pourtant pas identiquement nulles.

Méthode (Montrer qu’un polynôme est nul)WRENCH

Pour montrer qu’un polynôme est nul, on peut au choix :1 — montrer que tous ses coefficients sont nuls,2 — montrer qu’il admet plus de racines que son degré (en particulier s’il enadmet une infinité).

Le plus souvent, on utilise 2 pour en déduire la nullité de tous les coeffi-cients.

Méthode (Montrer que deux polynômes sont égaux)WRENCH

Pour montrer que deux polynômes sont égaux, on peut au choix :1 — montrer que leurs coefficients sont identiques,2 — montrer que la différence admet plus de racines que son degré (en par-ticulier si elle en admet une infinité).



Exemple 9— Soient P,Q ∈K[X]. A-t-on P = Q dans les cas suivants?

1 — ∀𝑥 ∈ R, P(𝑥) = Q(𝑥)? PEN-FANCY Le polynôme P−Q possède alors tous les réelscommeracines, doncenpossèdeune infinité eta fortiori plusque sondegré.DoncP−Q = 0 et P = Q.2 — ∀𝑥 ∈]𝑎,𝑏[, 𝑎 < 𝑏, P(𝑥) = Q(𝑥)? La différence 𝑏 −𝑎 est-elle importante?PEN-FANCY Le polynômeP−Qpossède alors tous éléments de ]𝑎,𝑏[ comme racines, doncen possède une infinité et a fortiori plus que son degré. Donc P−Q = 0 et P = Q. Ladifférence 𝑏 −𝑎 (i.e. la longueur de l’intervalle) n’est pas importante étant donnéque ]𝑎,𝑏[ est toujours un ensemble infini.

Exemple 10— Il n’existe pas de polynôme P ∈ R[X] tel que pour tout 𝑛 ∈ N :

P(𝑛) = 3√𝑛2 +1. PEN-FANCY Supposons qu’un tel polynômeexiste. AlorsP3(𝑛)−(𝑛2+1) =0 pour tout 𝑛 ∈ N. Donc le polynôme P3 −X2 −1 possède tous les entiers commeracines, donc en possède une infinité et a fortiori plus que son degré. Ainsi, P3 −X2 −1 = 0 et P3 = X2 +1. En passant au degré on trouve 3degP = 2 si P ≠ 0 doncc’est une contradiction. Mais P = 0 ne convient pas non plus car 0 ≠ 3√𝑛2 +1 pourtout 𝑛 ∈N. Il n’existe donc pas de polynôme comme annoncé.

Exemple 11— Il n’existe pas de polynôme P ∈ C[X] tel que pour tout 𝑧 ∈ C :

P(𝑧) = 𝑧. PEN-FANCY Supposons qu’un tel polynôme existe. Alors P(𝑥)−𝑥 = 0 pour tout𝑥 ∈ R. Donc le polynôme P − X possède tous les réels comme racines, donc enpossède une infinité et a fortiori plus que son degré. Ainsi, P−X = 0 i.e. P = X. Onaurait alors :

∀𝑧 ∈R, P(𝑧) = 𝑧 = 𝑧.

Ce qui est clairement une contradiction, car il existe des complexes non réels.

Remarque 3.1 — Autrement dit, la conjugaison n’est pas une application polyno-miale.

Théorème ALG.6.3 | D’ALEMBERT-GAUßTout polynôme non constant deK[X] possède aumoins une racine dansC. Enparticulier, tout polynôme non constant de K[X] est scindé sur C.

Attention×

C’est faux surR[X], par exempleX2+1n’est pas scindé surR,mais il est scindésur C.

Preuve Ce résultat est admis. La plupart des preuves sont difficiles etdépassent largement les programmes de CPGE.

Le Théorème ALG.6.3 a donc pour conséquence que tout polynôme est scindésurC. Comment obtenir une telle décomposition? Et surR? Commençons par unlemme.

Lemme ALG.6.1 | Structure des racines d’un polynôme à coefficients réelsSoit P ∈ R [X]. Les racines de P sont conjuguées, et une racine ainsi que saconjuguée ont alors la même multiplicité.a

Preuve Montrons ceci par exemple avec les polynômes dé-rivés. Notons P = ∑𝑛

𝑘=0𝑎𝑘X𝑘 avec 𝑛 = degP, 𝑎𝑘 ∈ R pour tout

𝑘 ∈ J0 , 𝑛K. Alors soit λ ∈ K une racine de P i.e. telle que P(λ) = 0.P(λ) = 0 ⟺ P(λ) = 0

⟺𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘λ𝑘 = 0

⟺𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘λ𝑘 = 0

⟺𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘λ𝑘 = 0

⟺ P(λ) = 0.

propriété de la conjugaison

𝑎𝑘 ∈ R pour tout 𝑘

aLe résultat sur les multiplicités est trivial pour les racines réelles, mais pas pour les racines com-plexes non réelles.



Théorème ALG.6.4 | Forme des polynômes irréductibles1 — (SurC) Les polynômes irréductibles surC sont les polynômesdedegréinférieur ou égal à un,2 — (SurR) Les polynômes irréductibles surR sont les polynômesdedegréinférieur ou égal à un, ou de degré deux à discriminant strictement négatif.

Preuve1 — Tout polynôme possède une racine complexe. Donc tout polynôme dedegré supérieur à deux est factorisable par un polynôme de degré stricte-ment inférieur au sien (un polynôme de degré 1).2 — Soit P ∈ K[X] un polynôme. Alors s’il est de degré supérieur à trois,d’après D’ALEMBERT-GAUß, il existe une racine λ ∈ C. Mais alors d’après lelemme qui précède, λ est aussi racine, donc (X−λ)(X−λ) ∣ P. Or,

(X−λ)(X−λ) = X2 −2Re (λ)X+ |λ|2 ∈R[X].

Donc P n’est pas irréductible sur R puisqu’on l’a factorisé par un polynômede degré strictement inférieur au sien. Donc nécessairement :

Caret-right soit P est de degré 1, dans ce cas il est irréductible.Caret-right SoitP est de degré 2, et irréductible si et seulement si il n’a pas de racine

réelle, donc si et seulement si son discriminant est strictement négatif.

Factorisation de polynômes. Tout polynôme s’écrit comme produit de poly-nômes irréductibles surC, mais surR également. L’énoncé de ce résultat n’est pasauprogramme,mais vousdevez savoir commentobtenir une telle décomposition.Revoyons les méthodes avant de faire des exemples.

Méthode (Factorisation d’un polynôme)WRENCH

Soit P ∈ K[X]. Pour transformer P en un produit de polynômes de degré 1 ou2, on :1 — cherche une racine λ ∈K.2 — on écrit P sous la forme (X−λ)×Q = P avec Q ∈K[X].3 — On recommence le processus avec Q.

Méthode (Lien entre la factorisation sur C et R)WRENCH

Pour décomposer unpolynôme enproduit d’irréductibles dansR[X], on peutdéjà le décomposer dans C[X] (en cherchant ses racines), puis on regroupeles racines complexes conjuguées entre elles.

Exemple 12— Factoriser P = X4 −2X3 −16X2 +2X+ 15. On pourra commencer

par chercher une racine évidente PEN-FANCY On constate que P(−1) = 0 = P(1), donc ilexiste 𝑎,𝑏 ∈ R tels que P = (X−1)(X+1)(X2 +𝑎X+𝑏) = (X2 −1)(X2 +𝑎X+𝑏). Onpeut ensuite identifier que coefficients, par exemple le terme constant et le terme

d’ordre trois, on obtient alors comme conditions⎧⎨⎩

15 = −𝑏,

−2 = 𝑎,ce qui fournit

ensuite⎧⎨⎩

𝑏 = −15,

𝑎 = −2.Donc P = (X− 1)(X+ 1)(X2 −2X−15) = (X− 1)(X+ 1)(X−

5)(X+3). À la dernière étape on peut par exemple chercher les racines à l’aide dudiscriminant.

Exemple 13— Factoriser

1 — X4+1 dansC[X] puis dansR[X]. PEN-FANCY Commençons par chercher les racinesde X4 +1 en utilisant les techniques du Chapitre ALG.5 : on utilise la forme trigo-nométrique de X = ρeiθ avec ρ ⩾ 0,θ ∈ [0,2π[. Nous avons

X4 +1 = 0 ⟺ X4 = −1 = eiπ = (eiπ4 )

4,

⟺ ρ4e4iθ = eiπ,⟺ ρ4 = 1, 4θ = π [2π] ,

⟺ ρ = 1, θ =π4 [

π2 ].

Donc :

X4 +1 = 0 ⟺ X ∈ {eiπ4 ,e

3iπ4 ,−e

iπ4 ,−e

3iπ4 } .



Ainsi, la décomposition du polynôme dans C[X] est :

X4 +1 = (X−eiπ4 ) (X−e

3iπ4 )(X−e 3iπ

4 )(X−e iπ4 ) .

On regroupe ensuite les racines avec leur conjugué pour obtenir celle dansR[X] :

X4 +1 = (X−e3iπ4 )(X−e 3iπ

4 )(X−eiπ4 )(X−e iπ

4 )

= (X2 −2cos (π/4)+1)(X2 −2cos (3π/4)+1)

= (X2 −√2X+1)(X2 +√2X+1).

2 — X2−2Xcosθ+1 avec θ ∈]0,π[ sur C[X]. Que dire sur R? PEN-FANCY Calculons pourcommencer le discriminant Δ : nous avons Δ = 4cos2 θ−4 = −4sin2 θ < 0. Nousavons donc deux racines complexes conjuguées 2cosθ±2i |sinθ|

2 = e±iθ. Donc la dé-composition dans C[X] est :

X2 −2Xcosθ+1 = (X−eiθ)(X+e−iθ).

Le polynôme est irréductible sur R donc est déjà factorisé au maximum.

3.3. Relations coefficients/racines


SoitP = 𝑎X2+𝑏X+𝑐 ∈K[X], avec𝑎 ∈K⋆,𝑏,𝑐 ∈K. Notons𝑥1,𝑥2 les deux racinesde P complexes conjuguées.a Alors :

𝑥1 +𝑥2 = −𝑏𝑎, 𝑥1𝑥2 =

𝑐𝑎.

PreuveCaret-right (Premièreméthode : sans utiliser l’expression des racines.) Par défi-

nition d’une racine, nous avons P = 𝑎(X−𝑥1)(X−𝑥2). En développant,

aCela inclut tous les cas, y compris celui de racines doubles réelles

on obtient P = 𝑎(X2 − (𝑥1 +𝑥2)X+𝑥1𝑥2). Par identification on obtientimmédiatement :

𝑎(𝑥1 +𝑥2) = 𝑏, 𝑎𝑥1𝑥2 = 𝑐,

ce qui en divisant par 𝑎 donne les relations de l’énoncé.Caret-right (Seconde méthode : en utilisant l’expression des racines.) Notons δ

est une racine carrée complexe de Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐. Alors 𝑥1 = −𝑏+δ2𝑎 , 𝑥2 =

−𝑏−δ2𝑎 . On obtient alors :

𝑥1 +𝑥2 =(−𝑏+δ)+ (−𝑏−δ)

2𝑎=

−𝑏𝑎

,

𝑥1𝑥2 =−𝑏+δ

2𝑎×

−𝑏−δ2𝑎

=𝑏2 −δ2

4𝑎2 =𝑏2 −(𝑏2 −4𝑎𝑐)

4𝑎2 =𝑐𝑎.

Remarque 3.2— Et pour un degré quelconque

Caret-right Dans leTD,nous établirons lesmêmes relationsmais pour le degré trois,maisen utilisant la première méthode car nous ne connaissons pas d’expressionexplicite des racines. 1

Caret-right Il est complètement illusoire d’espérer calculer, de manière générale, les ra-cines d’un polynôme à l’aide des relations coefficients/racines : pour le degré𝑛 ∈N⋆, nous avonsun systèmede𝑛 équations,mais absolumentpas linéaire.

Uneconséquencede lapreuvedu théorèmeprécédent est le corollaire qui suit, quiest en quelque sorte une réciproque des relations coefficients/racines : si l’on sefixe 𝑠,𝑝 ∈K alors il est possible de trouver un polynôme (unitaire) dont les racinesont pour somme 𝑠 et produit 𝑝.

Corollaire ALG.6.3 | Quantités de somme et produit fixésSoient 𝑠,𝑝 ∈K. Alors :

⎧⎨⎩

𝑥1 +𝑥2 = 𝑠,

𝑥1𝑥2 = 𝑝,⟺ 𝑥1,𝑥2 sont les racines de X2 −𝑠X+𝑝.

1Mais de telles formules existent, dues à CARDAN



Preuve

⟸ Déjà montré : conséquence des relations coefficients/racines (avec𝑎 = 1).

⟹ Supposons que⎧⎨⎩

𝑥1 +𝑥2 = 𝑠,

𝑥1𝑥2 = 𝑝.Alors notons P = X2 − 𝑠X+𝑝. On

a par hypothèse P = X2 − (𝑥1 +𝑥2)X+𝑥1𝑥2 = (X−𝑥1)(X−𝑥2), autrement dit𝑥1,𝑥2 sont les deux racines de P.

Méthode (Système à somme et produit fixés)WRENCH

Ainsi, pour résoudre le système

⎧⎨⎩

𝑥1 +𝑥2 = 𝑠,

𝑥1𝑥2 = 𝑝

en (𝑥1,𝑥2) ∈ K2, il suffit de chercher les racines de X2 −𝑠X+𝑝 à l’aide du dis-criminant.

Exemple 14— Soit 𝑓||||||

R2 ⟶ R2,

(𝑥,𝑦) ⟼ (𝑥+𝑦2 , 2𝑥𝑦𝑥+𝑦 ) .Déterminer 𝑓(R2). PEN-FANCY Par dé-

finition, (𝑥′,𝑦′) ∈ 𝑓(R2) si et seulement si, il existe (𝑥,𝑦) ∈R2, tel que :

⎧⎨⎩

𝑥+𝑦2 = 𝑥′,

2𝑥𝑦𝑥+𝑦 = 𝑦′

.

Il s’agit doncde résoudre le système—non linéaire !—précédent en (𝑥,𝑦), et éven-tuellement de trouver une condition sur (𝑥′,𝑦′) pour avoir l’existence d’une solu-tion. L’ensemble image sera alors l’ensemble des couples (𝑥′,𝑦′) pour lesquels le

système admet aumoins une solution.

⎧⎨⎩

𝑥+𝑦2 = 𝑥′,

2𝑥𝑦𝑥+𝑦 = 𝑦′

⟺⎧⎨⎩

𝑥+𝑦 = 2𝑥′,

2𝑥𝑦 = 2𝑥′𝑦′⟺

⎧⎨⎩

𝑥+𝑦 = 2𝑥′,

𝑥𝑦 = 𝑥′𝑦′

⟺ 𝑥,𝑦 sont racines de X2 −(2𝑥′)X+𝑥′𝑦′

Or, le discriminant de ce trinômeest 4𝑥′2−4𝑥′𝑦′ = 4𝑥′(𝑥′−𝑦′). Donc (𝑥′,𝑦′) ∈ 𝑓(R2)si et seulement si Δ = 4𝑥′(𝑥′ −𝑦′) ⩾ 0, donc en conclusion

𝑓(R2) = {(𝑥′,𝑦′) ∈R2, 𝑥′(𝑥′ −𝑦′) ⩾ 0} .



4. EXERCICES

4.1. Racines & Factorisation

[ALG_Poly_35.tex]

Exercice ALG.6.1 (Solution : 18) SoitP = (X+1)7−X7−1. On rappelle que 𝑗 = ei2π3 .

1 — Calculer 1+𝑗 + 𝑗2, que dire de 𝑗3 ? Montrer que 𝑗2 = 𝑗.2 — TERMINALPython Écrire en Python un programme traçant :2.1) le cercle trigonométrique en bleu,2.2) les points d’affixe 1, 𝑗, 𝑗2 en rouge.3 — Montrer que : P = ∑6

𝑘=1 (7𝑘)X

𝑘.4 — Montrer que P est divisible par (X− 𝑗)2. En utilisant le cours, montrer que Pest divisible par (X− 𝑗)2.5 — Factoriser P en produit d’irréductibles dans C[X], puis dans R[X].

[ALG_Poly_19.tex]


1 — Soit P ∈R[X]. Donner le degré et le coefficient dominant du polynôme

12(P(X+1)+P(X−1)) .

2 — Montrer qu’il existe un unique polynôme P𝑛 ∈R𝑛[X] tel que

12(P𝑛(X+1)+P𝑛(X−1)) = X𝑛.

3 — Calculer P0,P1,P2,P3.4 — Montrer que la famille (P𝑘)0⩽𝑘⩽𝑛 est une base de R𝑛[X].5 — Trouver une relation entre P′𝑛,P𝑛−1 et en déduire P(𝑘)𝑛 en fonction de P𝑛−𝑘.6 — Exprimer P𝑛(X+2) en fonction de P0, ...,P𝑛 et en déduire une relation de ré-currence donnant P𝑛 en fonction de P0, ...,P𝑛−1.

[ALG_Poly_38.tex]

Exercice ALG.6.3 Relations coefficients/racines pour l’ordre trois. (Solution : 18)Soit le polynôme P = 𝑎X3 +𝑏X2 +𝑐X+𝑑 ∈ C[X] supposé scindé, avec 𝑎 ≠ 0 et deracines 𝑥,𝑦,𝑧.

1 — Exprimer σ1 =(défi.)

𝑥+𝑦+𝑧, σ2 =(défi.)

𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧 et σ3 =(défi.)

𝑥𝑦𝑧 en fonc-

tion de 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑. Il existe des relations similaires pour les autres degrés, appeléesrelations coefficients/racines.

2 — Résoudre dans C3 les systèmes :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑥+𝑦+𝑧 = 2,

𝑥2 +𝑦2 +𝑧2 = 2,

𝑥𝑦𝑧 = 0.

4.2. Familles classiques

[ALG_Poly_51.tex]

Exercice ALG.6.4 Autour des polynômes de Tchebychev (Solution : 19) Soit 𝑛 ∈ N,on suppose d’étudier l’existence et des propriétés des polynômes T𝑛 ∈ R[X] telsque : T𝑛(cos𝑥) = cos(𝑛𝑥) pour tout 𝑛 ∈N.

1 — (Deux exemples) Déterminer deux polynômesA,B ∈R[X] tels que : ∀𝑥 ∈R, A(cos𝑥) = cos(4𝑥), B(cos𝑥) = cos(5𝑥). Indication : On pourra calculer dedeux manières différentes la quantité (cos+i sin𝑥)4.2 — On se propose de d’abord établir l’unicité des T𝑛.2.1) Soient deux polynômes R,S ∈R[X], tels que : R(cos𝑥) = S(cos𝑥) pour tout

𝑥 ∈R. Montrer que R = S.2.2) En déduire l’unicité d’une suite (T𝑛) vérifiant les conditions souhaitées.3 — (Existence)3.1) Justifier que T0 = 1,T1 = X,T2 = 2X2 −1.3.2) Montrer la relation : ∀𝑎,𝑏 ∈R, 2cos𝑎cos𝑏 = cos(𝑎 +𝑏)+cos(𝑎 −𝑏).



3.3) En déduire que pour tout entier 𝑛 ∈ N et 𝑥 ∈ R : cos((𝑛 + 2)𝑥) =2cos𝑥cos((𝑛+1)𝑥)−cos(𝑛𝑥). On définit alors une suite de polynômes (T𝑛)telle que :

⎧⎨⎩

T0 = 1,T1 = X,

T𝑛+2 = 2XT𝑛+1 −T𝑛, ∀𝑛 ∈N.

3.4) Montrer par récurrence que la suite (T𝑛) vérifie la condition souhaitée.3.5) En dérivant deux fois la relation T𝑛(cos𝑥) = cos(𝑛𝑥) pour tout 𝑛 ∈ N et 𝑥 ∈

R, montrer que la fonction T𝑛 est solution de l’équation différentielle (1 −𝑥2)𝑦′′ −𝑥𝑦′ +𝑛2𝑦 = 0, 𝑥 ∈ [−1,1].

4 — (Factorisation)4.1) Déterminer le degré degré de P𝑛 ainsi que son coefficient dominant pour

tout 𝑛 ∈ N et montrer que P𝑛 a même parité que 𝑛 ∈ N. On montrera quece dernier est une puissance de deux que l’on déterminera. Indication :L’ensemble des résultats de cette question peuvent être montrés au sein d’unemême récurrence sur 𝑛.

4.2) Résoudre sur [0,π] l’équation : cos(𝑛𝑥) = 0 pour tout entier 𝑛 ∈ N. Endéduire que P𝑛 admet 𝑛 racines distinctes dans [−1,1], peut-il en admettred’autres?

4.3) En déduire l’ensemble des racines de P𝑛, puis sa factorisation en produit defacteurs irréductibles.

4.4) En évaluant le polynôme P𝑛 en un point bien choisi, montrer la formule

𝑛−1∏𝑘=0

cos((2𝑘+1)π

2𝑛) =

⎧⎨⎩

(−1)𝑛/22𝑛−1(−1)𝑛 si 𝑛 pair,0 sinon.

4.3. Applications linéaire & Polynômes

[ALG_Poly_40.tex]


⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 3

2 3 1

3 1 2

⎞⎟⎟⎟⎠

.

1 — Vérifier que (A−6I)(A2−3I) = 0, en déduire un polynôme P annulateur de A.2 — Soit𝑛 ∈N. On admet qu’il existe deux polynômesQ𝑛 ∈R[X] etR𝑛 ∈R1[X] telsque : X𝑛 = PQ𝑛 +R𝑛. Exprimer R𝑛.3 — En déduire les coefficients de A𝑛 en fonction de 𝑛.

[ALG_Poly_43.tex]

Exercice ALG.6.6 (Solution : 21) Soient𝑛 ⩾ 3 et 𝑏 ∈R. On considère l’application

φ||||||

R𝑛[X] ⟶ R[X],

P ⟼ (X−𝑏)(P′ +P′(𝑏))−2(P−P(𝑏)).

1 — Justifier que φ est un endomorphisme de R𝑛[X].2 — Soit F = {P ∈R𝑛[X], ∃Q ∈R𝑛[X], P = (X−𝑏)3Q}.

2.1) Justifier que F = {P ∈R𝑛[X], ∃Q ∈R𝑛−3[X], P = (X−𝑏)3Q}.2.2) Déterminer une base puis la dimension de F. En utilisant φ(P)′′, démontrer

que Imφ ⊂ F.2.3) En utilisant à nouveau φ(P)′′, démontrer que Kerφ ⊂R2[X].2.4) Déterminer noyau et image de φ.


Exercice ALG.6.7 Agro-Véto, 2018 (Solution : 21) Soient 𝑛 ∈ N∗ et Φ définie surR𝑛[X] par :

Φ(P) =𝑛∑𝑘=0

(𝑛𝑘)P(𝑘).

1 — 1.1) Déterminer le lien entre degré de P et degré de P(𝑘).1.2) Montrer que Φ est un endomorphisme de R𝑛[X].2 — Soit Δ ∈ ℒ(R𝑛[X]) ∶ P ∈ R𝑛[X] ⟼ P′. On note A = (𝑎𝑖,𝑗)1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛+1 la matricecanoniquement associée à Φ.



2.1) Écrire la matrice D de Δ dans la base canonique de R𝑛[X].2.2) TERMINALPython On rappelle que dans le module numpy on peut coder des ma-

trices sous forme de tableau de listes en utilisant la commande np.array.

Exemple : np.array([[1,2,3],[7,8,9]]) code la matrice⎛

⎝

1 2 3

7 8 9

⎞

⎠. La

commande np.zeros((2,3)) code la matrice⎛

⎝

0 0 0

0 0 0

⎞

⎠. La commande

np.eye(3) code la matrice identité I3. La commande np.dot(A,B) effectuele produit de la matrice A par B sous réserve qu’elles soient compatibles etcodées comme des array.TERMINALPython Coder en langage Python la matrice D.

2.3) Montrer que : A = (I𝑛+1 +D)𝑛.2.4) TERMINALPython Écrireune fonctionPhi(coordonneesP)qui retourne les coordonnées

de Φ(P) sous forme de liste en prenant en argument les coordonnées de Psous forme de liste.

3 — 3.1) Montrer que pour tout polynôme P non nul de R𝑛[X] le degré de Φ(P)est égal à celui de P.

3.2) En déduire que Φ est injective.3.3) Montrer que Φ est bijective.4 — 4.1) Montrer que 1 est l’unique valeur propre de Φ et déterminer l’espace

propre associé.4.2) L’endomorphismeΦ est-il diagonalisable? Justifier avecdeuxargumentsdif-

férents.





1 — 1+𝑗+𝑗2 = 0 (sommegéométrique), et 𝑗3 = 1. Par ailleurs 𝑗2 = ei4π3 = ei

4π3 −2iπ =

e−i4π3 = 𝑗.

2 —

Python1 import matplotlib.pyplot as

plt↪

2 import numpy as np3 T = np.linspace(0, 2*np.pi,

10**5)↪

4 X = np.cos(T)5 Y = np.sin(T)6 plt.plot(X, Y, 'b')7 plt.plot([1,

np.cos(2*np.pi/3),np.cos(2*np.pi/3)], [0,np.sin(2*np.pi/3),-np.sin(2*np.pi/3)],'or')

↪

↪

↪

↪

↪

Python1 plt.show()

Il est également possible de tracer le graphe de 𝑥 ∈ [0,1] ⟼ √1−𝑥2, puis celuide 𝑥 ∈ [0,1] ⟼ −√1−𝑥2.

3 — D’après la formule du binôme, on a : P = ∑7𝑘=0 (

𝑛𝑘)X

𝑘−X7−1 =6∑𝑘=1

(𝑛𝑘)X𝑘 .

Le coefficient dominant est donc (76) = 7. Le degré est donc 6.4 — Il s’agit de montrer que P(𝑗) = P′(𝑗) = 0 — cela signifie que 𝑗 est une racine demultiplicité au moins égale à deux. On a :

P(𝑗) = (1+ 𝑗)7 −𝑗7 −1 = (−𝑗2)7 −𝑗7 −1 = −𝑗 14−𝑗7 −1 = −𝑗2 −𝑗 −1 = 0,P′(𝑗) = 7(1+ 𝑗)6 −7𝑗6 = 7(−𝑗2)6 −7 = 7−7 = 0.

Dès lors (X−𝑗)2 ∣ P . Puisque P ∈ R[X], on sait d’après le cours que

𝑗 est également une racine de P et de même multiplicité. Donc𝑗 est une racine de multiplicité au moins deux.5 — Nous avons déjà deux racines, chacune de multiplicité au moins deux. Or Pest de degré six, il en manque donc deux. Constatons que 0,−1 sont deux racinesévidentes. Or, le coefficient dominant de P est 7, donc

P = 7(X−𝑗)2(X− 𝑗)2X(X+1).

C’est la décomposition en irréductibles dansC[X]. Pour obtenir des facteurs réels,on regroupe les parties complexes avec leur version conjuguée.

P = 7(X−𝑗)2(X− 𝑗)2X(X+1)

= 7(X2 −2Re (𝑗)X+ ||𝑗||2)2X(X+1)

= 7(X2 +X+1)2X(X+1).


1 — Le degré est le degré de P, son coefficient dominant est celui de P.2 — Notons Φ l’application R𝑛[X] → RN[X] définie par Φ(P) =12 (P(X+1)−P(X−1)). Cette application est clairement linéaire, son noyauest réduit à zéro par un argument de degré.C’est un automorphisme.3 — Réponse après identifications : P0 = 1,P1 = X,P2 = X2 −1,P3 = X3 −3X.4 —


1 — Par définition d’une racine, P = 𝑎(X−𝑥)(X−𝑦)(X−𝑧). Développons ce pro-duit :

P = 𝑎(X−𝑥)(X−𝑦)(X−𝑧)= 𝑎(X2 −(𝑥+𝑦)X+𝑥𝑦)(X−𝑧)= 𝑎(X3 −(𝑥+𝑦)X2 +𝑥𝑦X−𝑧X2 +𝑧(𝑥+𝑦)X−𝑥𝑦𝑧)= 𝑎X3 −𝑎(𝑥+𝑦+𝑧)X2 +𝑎(𝑥𝑦+𝑧𝑥+𝑧𝑦)X−𝑎𝑥𝑦𝑧.



En identifiant les coefficients, on trouve : −𝑎σ1 = 𝑏, 𝑎σ2 = 𝑐 et 𝑑 = −𝑎σ3 .De manière équivalente :

σ1 = −𝑏𝑎, σ2 =

𝑐𝑎, σ3 = −

𝑑𝑎.

2 — Notons σ1,σ2,σ3 les trois fonctions de 𝑥,𝑦,𝑧 définies dans l’énoncé. Consta-tons que 𝑥2 +𝑦2 +𝑧2 = (𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥+𝑦+𝑧)−2(𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧) = σ2

1 −2σ2. Alors :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑥+𝑦+𝑧 = 2,

𝑥2 +𝑦2 +𝑧2 = 2,

𝑥𝑦𝑧 = 0.

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

σ1 = 2,

σ21 −2σ2 = 2,

σ3 = 0.

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

σ1 = 2,

σ2 = 1,

σ3 = 0.

⟺ 𝑥,𝑦,𝑧sont les racines deX3 −σ1X2 +σ2X−σ3 = X3 −2X2 +2X = X(X2 −2X+2).

Les racines de ce polynôme sont composées de 0 et des racines de X2 −2X+2 (cedernier polynôme est de dscriminant 4−8 = −4 = (2i )2). Donc :

𝑥,𝑦,𝑧 ∈ {0,1− i ,1+ i } .


1 — D’après la formule du binôme :

(cos+i sin𝑥)4 = cos4𝑥+4cos3𝑥(i sin𝑥)+6cos2𝑥(i sin𝑥)2 +4cos𝑥(i sin𝑥)3 +(i sin𝑥)4

Re ((cos+i sin𝑥)4) = Re (e4i𝑥) = cos4𝑥−6cos2𝑥sin2𝑥+ sin4𝑥.

Ainsi, en posant A = X4 −6X2(1−X2)+ (1−X2)2 = 8X4 −8X2 +1 , nous avonspour tout 𝑥 ∈ R, A(cos𝑥) = cos(4𝑥). De la même manière, en développant

(cos+i sin𝑥)5, on justifie l’existence d’un polynôme B tel que pour tout 𝑥 ∈ R,B(cos𝑥) = cos(5𝑥).On peut également s’en sortir en utilisant la formule de trigonométrie cos(4𝑥) =2cos2(2𝑥)−1, puis en continuant dans cette voie :

cos(4𝑥) = 2(2cos2𝑥−1)2 −1.

Avec cette méthode on poserait A = 2(2X2 −1)2 −1 = 8X4 −8X2 +1. C’est bien lemême polynôme que précédemment, et qui correspondra au polynôme T4 dansla suite de l’exercice.2 — 2.1) Par hypothèse : ∀𝑥 ∈ R, (R− S)(cos𝑥) = 0, donc R−S possède une

infinité de racines (plusprécisément tous les éléments de la forme cos𝑥 avec𝑥 ∈R en sont une). Donc R−S est le polynôme nul, i.e. R = S .

2.2) Conséquence immédiate de la question précédente (appliquée 𝑛 par 𝑛 sil’on suppose l’existence de deux suites solution).

2.3)2.4) Onapour tout𝑥 ∈R, 1(cos𝑥) = cos𝑥,X(cos𝑥) = cos(1.𝑥) et (2X2−1)(cos𝑥) =

2cos2(𝑥)−1 = cos(2𝑥), d’où T0 = 1,T1 = X,T2 = 2X2 −1.2.5) Il suffitde sommer les formules cos(𝑎+𝑏) = cos𝑎cos𝑏−sin𝑎sin𝑏 et cos(𝑎−

𝑏) = cos𝑎cos𝑏 + sin𝑎sin𝑏. On obtient la formule de l’énoncé après avoirsimplifié les sinus.

2.6) Faire simplement 𝑎 = 𝑥 et 𝑏 = (𝑛+1)𝑥 dans la question précédente.2.7) Notons 𝒫𝑛 la propriété «P𝑛(cos𝑥) = cos(𝑛𝑥) pour tout 𝑥 ∈R».

CLONEInitialisation. La propriété est clairement déjà initialisée aux rangs 𝑛 =0,𝑛 = 1.CLONEHérédité. Supposons-là vraie aux rangs𝑛 et𝑛+1. Alors cos(𝑛𝑥) = T𝑛(𝑥)et cos((𝑛+1)𝑥) = T𝑛+1(𝑥). On déduit alors d’après ce qui précède

cos((𝑛+2)𝑥) = 2cos𝑥cos((𝑛+1)𝑥)−cos(𝑛𝑥) = 2cos𝑥T𝑛+1(𝑥)−T𝑛(𝑥) = T𝑛+2(cos𝑥).

C’est exactement 𝒫𝑛+2. Par récurrence double,la propriété est démontrée pour tout 𝑛 ∈N .

2.8) Soit 𝑥 ∈ R. Alors −sin𝑥.T′𝑛(cos𝑥) = −𝑛sin(𝑛𝑥), puis en dérivant une se-conde fois :

−cos𝑥T′𝑛(cos𝑥)+ (−sin𝑥)2T′′𝑛(cos𝑥)= −𝑛2 cos(𝑛𝑥) ⟺ (1−cos2(𝑥))T′′𝑛(cos𝑥)−cos𝑥T′𝑛(cos𝑥)+𝑛2 cos(𝑛𝑥).



Lorsque 𝑥 décrit R, cos(𝑥) décrit [−1,1], donc la relation précédente nousdit exactement que T𝑛 est solution de l’équation différentielle suivant sur[−1,1] :

(1−𝑥2)𝑦′′ −𝑥𝑦′ +𝑛2𝑦 = 0.

2.9)3 — 3.1) On conjecture la propriété 𝒫𝑛 : «degT𝑛 = 𝑛, 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 » où 𝑎𝑛 ∈

R désigne le coefficient dominant de T𝑛.CLONEInitialisation. La propriété est évidemment vérifiée aux rangs 𝑛 = 0,1.CLONEHérédité. Supposons-là vraie aux rangs 𝑛,𝑛 + 1. Alors T𝑛+2 =2XT𝑛+1 − T𝑛. Comme degT𝑛+1 est supposé égal à 𝑛 + 1, le terme2XT𝑛+1 est de degré strictement supérieur à −T𝑛, donc degT𝑛+2 =deg(2XT𝑛+1) = 1 + 𝑛 + 1 = 𝑛 + 2, et 𝑎𝑛+2 est le coefficient dominant de2XT𝑛+1, i.e. par hypothèse de récurrence 2𝑎𝑛+1 = 22𝑛 = 2(𝑛+2)−1. DoncdegT𝑛 = 𝑛, 𝑎𝑛 = 2𝑛 pour tout 𝑛 ∈N par principe de récurrence double.

3.2) D’après le cours, cos(𝑛𝑥) = 0 ⟺ 𝑛𝑥 ≡ π2 [2π]. Ceci équivalent à

𝑥 =π2𝑛

+2𝑘π𝑛

, 𝑘 ∈ Z.

Notons 𝑥𝑘 la quantité précédente dans la suite. Or, cos(𝑛𝑥) = T𝑛(cos𝑥),donc tous les cos(𝑥𝑘) pour 𝑘 ∈ Z sont des racines de T𝑛. Mais

{cos(𝑥𝑘), 𝑘 ∈ Z} = {cos(𝑥𝑘), 𝑘 ∈ J0 , 𝑛−1K} .

(dès que 𝑘 ⩾ 𝑛 ou plus on retombe sur les anciennes racinespar 2π-périodicité de cos). De plus la fonction cos est injectivesur [0,π] donc tous les cos(𝑥𝑘) sont distinctes et appartiennent à[−1,1]. Or degT𝑛 = 𝑛, il admet au plus 𝑛 racines distinctes, doncT𝑛 admet 𝑛 racines distinctes dans [−1,1] et se sont les seules.

3.3) D’après la question précédente :

T𝑛 = 2𝑛−1𝑛−1∏𝑘=0

(X−cos(X−π2𝑛

−2𝑘π𝑛

)) = 2𝑛−1𝑛−1∏𝑘=0

(X−cos((2𝑘+1)π

2𝑛)) .

3.4) Il reste à évaluer en X = 0 :

T𝑛(0) = 2𝑛−1(−1)𝑛𝑛−1∏𝑘=0

cos((2𝑘+1)π

2𝑛) .

Notons (𝑢𝑛) la suite numérique définie par 𝑢𝑛 = T𝑛(0) pour tout entier 𝑛 ∈N. Alors en faisant X = 0 dans la relation de récurrence, on obtient 𝑢𝑛+2 =−𝑢𝑛, 𝑢1 = 0,𝑢0 = 1. Donc :

𝑢𝑛 =⎧⎨⎩

(−1)𝑛/2 si 𝑛 est pair,0 sinon.

Pour voir cela, calculer par exemple 𝑢2,𝑢3,𝑢4 en utilisant la relation de ré-currence. D’où la formule de l’énoncé :

𝑛−1∏𝑘=0

cos((2𝑘+1)π

2𝑛) =

⎧⎨⎩

(−1)𝑛/22𝑛−1(−1)𝑛 si 𝑛 pair,0 sinon.


1 — Calcul matriciel direct. Contrôlons le résultat avec Python.

1 >>> A = np.array([[1, 2, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2]])2 >>> I = np.eye(3, 3)3 >>> (A - 6*I) @ (A**2 - 3*I)4 array([[ 45., -5., -40.],5 [ -7., -9., 16.],6 [-38., 14., 24.]])

En d’autres termes : P = (X−6)(X2 −3) est annulateur de A.2 — Puisque R𝑛 est de degré 1, il existe 𝑎,𝑏 ∈ R tels que X𝑛 = PQ𝑛 + (𝑎X + 𝑏).Évaluons en X = 6, alors 6𝑛 = 0+ 6𝑎 +𝑏. Faisons de-même X = √3, on obtient3𝑛/2 = 0 = √3𝑎+𝑏. Finalement, en résolvant le système, on obtient :

𝑎 =6𝑛 −3𝑛/2

6−31/2, 𝑏 = 6𝑛 −6

6𝑛 −3𝑛/2

6−31/2.



3 — Faisant X = A dans l’égalité X𝑛 = PQ𝑛 + (𝑎X+𝑏), et utilisant que P(A) = 0,

nous obtenons A𝑛 = 𝑎A+𝑏 = 6𝑛−3𝑛/26−31/2 A+6𝑛 −6 6𝑛−3𝑛/2

6−31/2 .


1 — Soient P,Q ∈R𝑛[X], et λ,μ ∈R. Alors

φ(λP+μQ) = (X−𝑏)((λP+μQ)′ +(λP+μQ)′(𝑏))−2((λP+μQ)− (λP+μQ)(𝑏))= λ(X−𝑏)(P′ +P′(𝑏))−2(P−P(𝑏))+μ(X−𝑏)(Q′ +Q′(𝑏))−2(Q−Q(𝑏)),

par linéarité de la dérivation, et de l’évaluation en 𝑏. De plus,deg ((X−𝑏)(P′ +P′(𝑏))) = 𝑛 = deg ((P−P(𝑏))). Donc Φ(P) ∈R𝑛[X]. En conclusion,

Φ est un endomorphisme de R𝑛[X].2 — 2.1) Condition de degré, avec les notations de l’énoncé, si P ∈ F alors on a

degQ+3 = degP donc degQ ⩽ 𝑛−3.2.2) Soit P ∈ F, alors il existe Q ∈ R𝑛−3[X] tel que P = (X − 𝑏)3Q. Il existe

λ0,…,λ𝑛−3 ∈R tels que Q = λ0 +λ1X+⋯+λ𝑛−3X𝑛−3. Donc

P = λ0(X−𝑏)3 +λ1(X−𝑏)3 +X+⋯+λ𝑛−3(X−𝑏)3 +X𝑛−3.

Autrement dit, la famille ℱ = ((X − 𝑏)3+,X(X − 𝑏)3+,…,X𝑛−3(X − 𝑏)3) estune famille génératrice de F. Elle est de plus libre car échelonnée. Doncℱ est une base de F. Elle est de cardinal 𝑛−2, donc dimF = 𝑛−2. Calcu-lons φ(P)′′ : φ(P)′ = P′ +P′(𝑏)+ (X−𝑏)P′′ −2P′ puis φ(P)′′ = P′′ +P′′ + (X−𝑏)P′′′ −2P′′ = (X−𝑏)P′′′. Constatons que φ(P)(𝑏) = φ(P)′(𝑏) = φ(P)′′(𝑏) donc𝑏 est aumoins une racine demultiplicité deux deφ(P), c’est exactement direque φ(P) ∈ F.

2.3) Recyclons une nouvelle fois le calcul précédent. Si P ∈ Kerφ, alors φ(P) = 0donc φ(P)′′ = 0 = (X−𝑏)P′′′. Par propriété du cours, comme X−𝑏 ≠ 0R𝑛[X],nous avons P′′′ = 0, i.e. P ∈R2[X] (primitiver deux fois pour le voir).

2.4) Appliquons le théorème du rang à φ puisque R𝑛[X] est de dimension finie𝑛+1. Nous avons

dimKerφ+Rgφ = 𝑛+1.

Or, d’après les questions précédentes, dimKerφ ⩽ 3 = dimR2[X] et Rgφ ⩽dimF = 𝑛−3+1 = 𝑛−2. Donc comme 3+𝑛−1 = 𝑛+1, on a nécessaire-ment dimKerφ = 3 etRgφ = 𝑛−2. Par égalité des dimensions, les inclusionsdeviennent alors des égalités :

Kerφ =R2[X], Im (φ) = F.


1 — 1.1) C’est presque une question de cours ! Comme pour P de de-gré 𝑝 ⩾ 1, le degré de P′ est 𝑝 − 1, on obtient par récurrence :si 𝑘 ⩽ 𝑝, deg(P(𝑘)) = deg(P)−𝑘, et si 𝑘 > 𝑝,P(𝑘) = 0(⇒ deg= −∞)

1.2) La dérivation d’un polynôme donne un polynôme donc Φ(P) ∈ R[X]. Sideg(P) ⩽ 𝑛, ∀𝑘 ∈ J0 , 𝑛K degP(𝑘) ⩽ 𝑛 ⇒ deg(Φ(P)) ⩽ 𝑛 par propriété surle degré d’une combinaison linéaire de polynômes. Donc Φ(P) ∈R𝑛[X] , deplus la linéarité découle de la linéarité de la dérivation. Ainsi, en conclusion :Φ est un endomorphisme de R𝑛[X].

2 — 2.1) La base canonique de R𝑛[X] est (1,X,X2, ...,X𝑛) et pour tout 𝑘 ⩽𝑛, (X𝑘)′ = 𝑘X𝑘−1, on en déduit la forme de D :

D =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 0 0 0

0 2 0 0

0

𝑛

0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.


2 def D(n):3 """4 en entree un entier n plus grand ou egal a 1



Python5 en sortie la matrice D6 """7 M = np.zeros((n+1,n+1))8 for i in range(n):9 M[i, i+1] = i+1

10 return M

2.3) Pour tout P ∈ R𝑛[X], tout 𝑘 ⩽ 𝑛, P(𝑘) = Δ𝑘(P) et la matrice deΔ𝑘 = Δ∘Δ∘ ... ∘Δ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

𝑘 foisest D𝑘. Donc l’endomorphisme Φ s’écrit aussi

Φ = ∑𝑛𝑘=0 (

𝑛𝑘)Δ

𝑘. Comme I𝑛+1 et D commutent, on peut appliquerla formule du binôme et (I𝑛+1 + D)𝑛 = ∑𝑛

𝑘=0 (𝑛𝑘)D

𝑘, alors par pro-priété sur la matrice d’une combinaison linéaire d’endomorphismeson reconnait que ∑𝑛

𝑘=0 (𝑛𝑘)D

𝑘 est la matrice de ∑𝑛𝑘=0 (

𝑛𝑘)Δ

𝑘, donc que(I𝑛+1 +D)𝑛 est la matrice de Φ, c’est-à-dire (I𝑛+1 +D)𝑛 = A.

2.4) On commence par écrire un programme qui calculeA à l’aide de la questionprécédente.

Python1 def A(n):2 I = np.eye(n+1)3 M = I + D(n)4 A = I5 for k in range(n):6 A = np.dot(A,M)7 return A

Puis on définit une fonction prenant aussi comme paramètre 𝑛 :

Python1 def Phi(n,coordonneesP):2 """3 en entree un entier n >= 1 et une liste de n+1 termes

représentant les coordonnées↪

4 de P dans la base (1, X, .., Xn)

Python5 en sortie une liste des coordonnees de Phi(P) dans la

meme base↪

6 """7 return np.dot(A(n), coordonneesP)

3 — 3.1) Si P ≠ 0 alors : ∀𝑘 ∈ J1 , 𝑛K, deg(P(𝑘)) < deg(P). De plus aucuncoefficient de la combinaison linéaire n’est nul, donc deg (∑𝑛

𝑘=0 (𝑛𝑘)P

(𝑘)) =

deg(P) ⟺ deg(Φ(P)) = deg(P) .3.2) P ∈ Ker(Φ) ⟺ Φ(P) = 0. Or si P ≠ 0, on vient de voir

deg(Φ(P)) = deg(P) donc Φ(P) ≠ 0, donc P ∉ Ker(Φ). En conclusion :Ker(Φ) = {0} et Φ est injective

3.3) L’application Φ est un endomorphisme injectif en dimension finie, doncΦ est bijectif.

4 — 4.1) Le plus simple est de revenir à A la matrice associée à Φ qui est unecombinaison linéaire de matrices triangulaires supérieures, donc est trian-gulaire supérieure. Dans ce cas, on sait que les valeurs propres de A se lisentsur sa diagonale. Or par construction de D, seul D0 = I𝑛+1 a une diagonalenon nulle, et (𝑛0) = 1 donc la diagonale de A n’est composée que de 1. Enconclusion :Φ, comme A, a 1 comme unique valeur propre.

4.2) Cherchons alorsE1(Φ) en revenant à la définition :P ∈ E1(Φ) ⟺ Φ(P) =P.Tout vecteur propre P ∈R𝑛[X] vérifie

P+𝑛∑𝑘=1

(𝑛𝑘)P(𝑘) = P ⟺

𝑛∑𝑘=1

(𝑛𝑘)P(𝑘) = 0.

Puisque

deg(𝑛∑𝑘=2

(𝑛𝑘)P(𝑘)) < deg(−P′),

nous obtenons clairement une contradiction sauf si P′ = 0 (auquel cas l’in-égalité précédente devient «−∞ < −∞»), les autres dérivées sont alorsnulles elles aussi. Réciproquement si P(X) = 𝑎 avec 𝑎 ∈ R, alors Φ(P) = P.Conclusion : E1(Φ) =R0[X] de dimension 1.



4.3)Caret-right Φ a une unique valeur propre : 1, et l’espace propre associé est de di-

mension 1 ≠ 𝑛+1 qui est la dimension de R𝑛[X], donc Φ n’est pas dia-gonalisable.

Caret-right Autre argument : on s’intéresse cette fois à lamatriceA. CommeA auneunique valeur propre 1, elle est diagonalisable si et seulement si elle estsemblable à la matrice 1× I𝑛+1 = I𝑛+1 : A = P−1I𝑛+1P = I𝑛+1P−1P = I𝑛+1,ce qui n’est pas vrai.

Donc A n’est pas diagonalisable, donc Φ n’est pas diagonalisable .


Deuxième partie

Analyse


Chapitre ANA.7. Fonctions de la variable réelle

CHAPITRE ANA.7Fonctions de la variable réelle

Résumé & Plan

L’objectif de ce chapitre est de rappeler les éléments d’analyse réelle des fonctions d’une variable. Sa vocation n’estdonc pas de se substituer à votre cours de première année.

Nous allons commencer par revoir des généralités sur les fonctions (du vocabulaire mais pas que), nous passeronsensuite aux propriétés analytiques : la continuité pour commencer, ensuite la dérivabilité, et enfin les développementslimités qui généralisent l’approximation locale d’une fonctionpar sa tangente,afinde résoudredesproblèmesde calculsde limite par exemple.

W

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1. Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Généralités et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3. Extrema et théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2. Développement géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Développements obtenus par la formule de Taylor-Young. . 31

4.4. Développements obtenus par primitivation . . . . . . . . . 34

4.5. Développements obtenus par produits . . . . . . . . . . . 35

4.6. Composition de développements limités . . . . . . . . . . 37

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1. Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4. Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.5. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41




Douter de tout ou tout croire, ce sont deux solutionségalement commodes, qui l’une et l’autre nous dispensentde réfléchir.

—Henri Poincaré

Définition ANA.7.1 | Intervalle & Voisinage ouvertOn appelle intervalle de R une partie convexe de R, c’est-à-dire un ensembleI vérifiant la propriété suivante :

∀(𝑥,𝑦) ∈ I2, (𝑥 ⩽ 𝑦 ⟹ [𝑥,𝑦] ⊂ I).

Soit𝑥0 ∈R. On appellera voisinage ouvert de𝑥0 tout intervalle de la forme ]𝑥0−ε,𝑥0 +ε[ avec ε > 0.

1. GÉNÉRALITÉS

Dans cette première section, les fonctions seront définies sur une partie D ⊂ R età valeurs dans R.

Rappelons également qu’une fonction est une application, à ce titre elle ne peutposséder plusieurs images associées à un même antécédent. On rappelle égale-ment que si 𝑓 ∶ D ⟶R est une fonction, l’ensemble image noté 𝑓(D) est :

𝑓(D) = {𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ D}.

Définition ANA.7.2 | Ensemble de définition et grapheL’ensemblededéfinition d’une fonction, ouensemblededépart, est l’ensembledes réels en lesquels elle est définie. Le graphe (ou représentation graphiquede 𝑓) d’une fonction 𝑓 ∶ D ⟶ R définie sur une partie D de R est l’ensembleconstitué des couples (𝑥,𝑓(𝑥)), où 𝑥 parcourt D. Si on le note 𝒞𝑓, on a alors,

pour tout (𝑥,𝑦) ∈R×R :

(𝑥,𝑦) ∈ 𝒞𝑓 ⟺ [ 𝑥 ∈ D et 𝑦 = 𝑓(𝑥) ].

TERMINALPython Tracés de courbes en Python. Pour rappel, les tracés de courbe en Pythonse font toujours par discrétisation : on relie un nuage de points construit à l’aidede Python, avec un espacement suffisamment petit.

PythonReprésentation de la fonction sinus entre -4 et 4

1 import numpy as np2 import matplotlib.pyplot as plt3 x = np.linspace(-4,4,1000) #Maillage de

1000 points de l'intervalle [-4,4]↪

4 y = np.sin(x)5 plt.plot(x, y)

1 plt.show()

Pour les superposer on utilise :

PythonReprésentation des fonctions sinus et cosinus entre -4 et 4



Python1 import numpy as np2 import matplotlib.pyplot as plt3 x = np.linspace(-4, 4, 1000) #Maillage

de 1000 points de l'intervalle[-4,4]

↪

↪

4 y = np.sin(x)5 z = np.cos(x) #Fonction appliquée

coordonnée par coordonnée↪

6 plt.plot(x, y)7 plt.plot(x, z)

1 plt.show()

Pour les juxtaposer on utilise simplement plusieurs commandes plot à la suite.

PythonReprésentation des fonctions sinus et cosinus entre -4 et 4

1 import numpy as np2 import matplotlib.pyplot as plt3 x = np.linspace(-4, 4, 1000) #Maillage

de 1000 points de l'intervalle[-4,4]

↪

↪

4 y = np.sin(x)5 z = np.cos(x) #Fonction appliquée

coordonnée par coordonnée↪

6 plt.subplot(211)7 plt.plot(x,y)8 plt.title('graphe de sin')9 plt.subplot(212) # grilles de graphes

sur 2 lignes et 1 colonne↪

10 plt.plot(x,z)11 plt.title('graphe de cos')

1 plt.show()

Attention×

Vous devez savoir tracer des fonctions en autonomie, aucun rappel sur cesujet n’est inscrit dans les sujets d’oraux.a

Exemple 1— Proposer quelques commandes à la volée pour tracer la fonction𝑥 ⟼ √|𝑥|+1 sur [−1,3].

PEN-FANCY

Définition ANA.7.3 | Opérations sur les fonctionsSoient 𝑓 ∶ D ⟶ R et 𝑔 ∶ D ⟶ R deux fonctions définies sur D. On appellesomme de 𝑓 et 𝑔 l’application 𝑓+𝑔 ∶ D ⟶R définie par :

∀𝑥 ∈ D, (𝑓 +𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥).

De même, on appelle produit de 𝑓 et 𝑔 l’application 𝑓𝑔 ∶ D ⟶R définie par :

∀𝑥 ∈ D, (𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).

Si 𝑔 ne s’annule pas, alors on appelle inverse de 𝑔 (resp. quotient de 𝑓 par 𝑔)

l’application1𝑔

∶ D ⟶R (resp.𝑓𝑔

∶ D ⟶R ) définie par :

∀𝑥 ∈ D, (1𝑔)(𝑥) =

1𝑔(𝑥)

, (resp.∀𝑥 ∈ D, (𝑓𝑔)(𝑥) =

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

)

aà la rigueur, on vous rappellera que la commande plot existe



Soit 𝑛 ∈ Z. Si 𝑛 ⩾ 0 ou si 𝑓 ne s’annule pas, alors on appelle puissance 𝑛ème de𝑓 l’application 𝑓𝑛 ∶ D ⟶R définie par :

∀𝑥 ∈ D, (𝑓𝑛)(𝑥) = (𝑓(𝑥))𝑛.

Attention×

À l’inverse des applications linéaires, la puissance pour les fonctions réellescorrespond au produit classique des réels.

Remarque 1.1— On rappelle que (ℱ(D,R),+,×||R×ℱ(D,R)) est un R-espace vecto-riel : consulter leChapitre ALG.1 oùnous avons étudié plus endétail les opérations+, . définies précédemment.

Définition ANA.7.4 | Parité/ImparitéSoit 𝑓 ∶ D ⟶R une fonction. On dit que 𝑓 est paire si pour tout 𝑥 ∈ D, on a :

−𝑥 ∈ D et 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥).

De même, 𝑓 est dite impaire si pour tout 𝑥 ∈ D, on a :

−𝑥 ∈ D et 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥).

Proposition ANA.7.1 | Structure d’espace vectoriel des fonctionspaires/impaires

Soit D ⊂ R. Alors l’ensemble des fonctions paires et impaires de RD sont dessous-espaces vectoriels de E =RD.

Preuve

PEN-FANCY

Définition ANA.7.5 | PériodicitéSoit T > 0. Une fonction 𝑓 ∶ D ⟶ R est dite T-périodique si pour tout 𝑥 ∈ D,on a :

𝑥+T ∈ D et 𝑓(𝑥+T) = 𝑓(𝑥).

Le réel T est appelé une période de la fonction. Une fonction est dite pério-dique s’il existe T > 0 tel que 𝑓 soit T-périodique.

Attention×

Il n’y a pas unicité de la période. En effet, une fonction T-périodique est afortiori 2T-périodique, 3T-périodique, etc.

Exemple 2— La fonction tan est π-périodique, et elle est définie sur

R\{π2

+πZ)}.

Exemple 3— Déterminer la plus petite période de 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ cos(2𝑥)+ sin(3𝑥).

PEN-FANCY



Proposition ANA.7.2 | Structure d’espace vectoriel des fonctions pério-diques

Soit D ⊂R et T > 0. Alors l’ensemble des fonctions T-périodiques de RD est unsous-espace vectoriel de E =RD.

Preuve

PEN-FANCY

Remarque 1.2 — Cela fonctionne-t-il aussi avec l’ensemble des fonctions pério-diques?

PEN-FANCY

Définition ANA.7.6 | Monotonie pour le cas R=RUne fonction 𝑓 ∶ D ⟶R est dite croissante (resp. strictement croissante) si :

∀(𝑥,𝑦) ∈ D2, 𝑥 ⩽ 𝑦 ⟹ 𝑓(𝑥) ⩽ 𝑓(𝑦)

(resp.∀(𝑥,𝑦) ∈ D2, 𝑥 < 𝑦 ⟹ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦)).

Une fonction 𝑓 ∶ D ⟶ R est dite décroissante (resp. strictement décroissante)si :

∀(𝑥,𝑦) ∈ D2, 𝑥 ⩽ 𝑦 ⟹ 𝑓(𝑥) ⩾ 𝑓(𝑦)

(resp.∀(𝑥,𝑦) ∈ D2, 𝑥 < 𝑦 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑦)).

Une fonction 𝑓 ∶ D ⟶ R est dite monotone (resp. strictement monotone) sielle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictementdécroissante). Une fonction constante est une fonction croissante et décrois-sante.

Proposition ANA.7.3 | Les fonctionsmonotones ne forment pas un sous-espace vectoriel des fonctions

Soit D ⊂ R. Alors les ensembles de fonctions monotones (ou croissantes, dé-croissantes) ne sont pas des espaces vectoriels.



Preuve Pour les fonctions croissantes et décroissantes : les ensemblesne sont pas stables par opposé. Pour les fonctions monotones, constatons,sur D = R+, que 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑥2 et 𝑔 ∶ 𝑥 ⟼ −𝑥 sont des fonctions monotones,mais 𝑓+𝑔 n’est pas monotone sur R+.

Remarque 1.3— En revanche, nous verrons en TD que Δ ={𝑓−𝑔, 𝑓 croissante sur D,𝑔 croissante sur D} est un sous-espace vectorielde RD. On l’appelle l’ensemble des fonctions à variations bornées.

Définition ANA.7.7 | BorneUne fonction 𝑓 ∶ D ⟶R est ditemajorée (resp.minorée, bornée) si l’ensemble𝑓(D) est majoré (resp. minoré, borné). Autrement dit s’il existe M ∈ R (resp.𝑚 ∈R, (𝑚,M) ∈R2) tel que :

∀𝑥 ∈ D, 𝑓(𝑥) ⩽ M

(resp. ∀𝑥 ∈ D, 𝑚 ⩽ 𝑓(𝑥),

∀𝑥 ∈ D, 𝑚 ⩽ 𝑓(𝑥) ⩽ M)

2. LIMITES ET CONTINUITÉ

Dans cette section, I désignera toujours un intervalle de R non trivial, c’est-à-dire non vide et non réduit à un point. Commençons par deux définitions tech-niques.

Définition ANA.7.8 | Adhérence d’un ensembleSoit I est un intervalle, on dit qu’un réel 𝑥 ∈ R est adhérent à I si : ∀ε >0, ]𝑥−ε,𝑥+ε[∩I, alors on appelle adhérence de I l’ensemble des réels adhé-rents à I. On le note en général I.

Remarque 2.1— Ce sont donc des points «très proches» de I,mais pas forcémentdedans.

Exemple 4— 2 est adhérent à [1,2[, alors que 52 ne l’est pas.

Remarque 2.2 — Si I est un intervalle, alors I est l’intervalle obtenu en adjoignantà I sa borne supérieure et sa borne inférieure dans R :

I = I∪ {inf I,sup I}.

Ainsi, on généralise la notation R=R∪{−∞,+∞}.

2.1. Limite d’une fonction en un point

Définition ANA.7.9 | Limite en un point adhérentSoient 𝑎 ∈ I, ℓ ∈ R∪ {±∞} et une application 𝑓 définie sur I ou sur I ⧵ {𝑎}. Onnote :

Caret-right 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ ℓ si :

∀ε > 0,∃ηε > 0,∀𝑥 ∈ I, |𝑥−𝑎| < ηε ⟹ |𝑓(𝑥)−ℓ| < ε,

Caret-right 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ +(−)∞ si :

∀A ∈R,∃ηε > 0,∀𝑥 ∈ I, |𝑥−𝑎| < ηε ⟹ 𝑓(𝑥) > (<)A.

Caret-right 𝑓(𝑥) 𝑥→+(−)∞−−−−−−−→ ℓ si :

∀ε > 0,∃Bε ∈R,∀𝑥 ∈ I, 𝑥 > (<)BA ⟹ |𝑓(𝑥)−ℓ| < ε.

Caret-right 𝑓(𝑥) 𝑥→+(−)∞−−−−−−−→ +(−)∞ si :

∀A ∈R,∃Bε ∈R,∀𝑥 ∈ I, 𝑥 > (<)BA ⟹ 𝑓(𝑥) > (<)A.

Notez bien que 𝑎 n’est pas nécessairement dans l’ensemble de définition de 𝑓, ilest soit dedans, soit au pire très proche (dans I). Illustrons deux des définitions surun dessin.



Remarque 2.3— Où intervient 𝑎 ∈ I? Si c’est le cas, l’ensemble{𝑥 ∈ I, |𝑥−𝑎| < η} est non vide pour tout η > 0. Bien entendu c’est déjà lecas si 𝑎 ∈ I ⊂ I, mais ça l’est aussi plus généralement pour n’importe quel point del’adhérence.

Proposition ANA.7.4 | Unicité de la limiteSi 𝑓 admet une limite en 𝑎, alors cette limite est unique.

Preuve Traitons le cas d’une limite finie par exemple. Supposons que𝑓 𝑥→𝑎−−−→ ℓ et 𝑓 𝑥→𝑎−−−→ ℓ′ avec ℓ ≠ ℓ′.Alors pour ε =

||ℓ−ℓ′||3 , la définition de la limite donne : 𝑓(𝑥) ∈ ℓ−ε,ℓ+ε∩

]ℓ′ − ε;ℓ′ + ε[ pour 𝑥 assez proche de 𝑎. Comme ces deux intervalles sontdisjoints, c’est absurde et ℓ = ℓ′.

Définition ANA.7.10 | Limite d’une fonctionSoient 𝑎 ∈ I et ℓ ∈ R tels que 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ ℓ. On dit que ℓ est la limite de 𝑓 en 𝑎,ce que l’on note :

ℓ = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ou, plus simplement, ℓ = lim𝑎

𝑓.

Remarque 2.4 — Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite (par exemplela fonction sin en +∞). Si la proposition précédente assure l’unicité de la limite,on a toutefois un problème d’existence. On n’écrira donc jamais lim

𝑎𝑓 avant d’en

avoir prouvé l’existence.

Attention×

Parfois on trouve dans la littérature les mêmes définitions qu’au-dessus maisavec «𝑥 ∈ I ⧵ {𝑎}» au lieu de «𝑥 ∈ I» (on parlera de limite épointée). Les dif-férences entre ces deux notions sont minimes, mais sources de pièges. Parexemple, pour les limites épointées, la Proposition ANA.7.5 ci-dessous estfausse.

Proposition ANA.7.5 |

Soit 𝑓 ∶ I ⟶R , où I est un intervalle, et 𝑎 ∈R.Si 𝑓 est définie en 𝑎 (i.e. 𝑎 ∈ I) et possède une limite en 𝑎, alors : lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑎).

Preuve Faisons (par exemple) la preuve dans le cas où ℓ =(défi.)

lim𝑥→𝑎

𝑓 est

finie.Notons que la limite ℓ est nécessairement finie. En effet, si l’on suppose quelim𝑎

𝑓 = +∞ par exemple, alors choisissons η > 0 tel que si |𝑥−𝑎| < η, alors𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎)+1 (par définition de la limite). En faisant 𝑥 = 𝑎 on obtient alorsune contradiction.Donc la limite est finie, et toujours par définition de la limite, on a :

∀ε > 0,∃η > 0,∀𝑥 ∈ I, |𝑥−𝑎| < η ⟹ |𝑓(𝑥)−ℓ| < ε.

Donc en faisant 𝑥 = 𝑎 : on obtient

∀ε > 0, |𝑓(𝑎)−ℓ| < ε.

Il reste à faire tendre ε vers 0 pour avoir le résultat : ℓ = 𝑓(𝑎).

Proposition ANA.7.6

Si 𝑓 ∶ I ⟶R admet une limite finie en 𝑎 ∈ I, alors 𝑓 est bornée au voisinage de𝑎.

Preuve Faisons (par exemple) la preuve dans le cas où 𝑎 ∈ I (en parti-culier 𝑎 est fini).Considérer ε = 1, par exemple, dans la définition de la limite, montre queℓ−1 ⩽ 𝑓(𝑥) ⩽ ℓ+1 au voisinage de 𝑎, où ℓ = lim

𝑎𝑓.



On peut aussi affaiblir la définition de limite précédente et faire tendre 𝑥 vers 𝑎que d’un côté. C’est ce que nous voyons dès à présent.

Limite à droite ou à gauche. Une limite peut être caractérisée par une conver-gence à droite et à gauche.

Définition ANA.7.11 | Limite à droite/gaucheSoient 𝑓 ∶ I ⟶ R , 𝑎 ∈ I∩R et ℓ ∈ R. On pose I+ = I∩]𝑎,+∞[, et on supposeque I+ ≠ ∅.On dit que 𝑓 admet ℓ pour limite à droite en 𝑎 si la restriction de 𝑓 à I+ admetℓ pour limite en 𝑎. On note alors ℓ = lim

𝑥→𝑎+𝑓(𝑥). On définit de même la notion

de limite à gauche en 𝑎.

Remarque 2.5— Dans l’écriture avec des quantificateurs, on remplace |𝑥−𝑎| < ηpar 𝑎−η < 𝑥 < 𝑎 pour la limite à gauche, et 𝑎 < 𝑥 < 𝑎+η pour la notion de limiteà droite.

Exemple 5— Les fonctions 𝑥 ⟼1𝑥2 admet une limite à droite et à gauche en 0,

égale à +∞. Donc admet une limite en zéro qui vaut +∞.

Ce n’est pas le cas de 𝑥 ⟼1𝑥

qui admet seulement une limite à droite et à gauche.

Exemple 6— Partie entière Rappelons la définition dela partie entière et étudions la continuité de la fonction.

PEN-FANCY



Reformulation séquentielle. On sopuhaite reformuler ici la définition de la limiteavec des suites.

Théorème ANA.7.1 | Caractérisation séquentielle de la limiteSoient 𝑎 ∈ I et ℓ ∈R. Alors :

𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ ℓ ∈R ⟺ ∀ (𝑥𝑛)𝑛∈N ∈ IN, 𝑥𝑛𝑛→∞−−−−→ 𝑎, on a : 𝑓(𝑥𝑛)

𝑛→∞−−−−→ ℓ.

Attention×

Le quantificateur ∀ est très important.

Remarque 2.6— Nous utiliserons largement ce fait dans l’étude des suites récur-rentes du type «𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛)».

Preuve Procédons par double implication, dans les cas où 𝑎 ∈ R etℓ ∈R (les autres cas sont laissés en exercice).

⟹ Supposons que 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ ℓ. Soit (𝑥𝑛)une suite de points de I conver-geant vers 𝑎. Soit ε > 0. Comme 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ ℓ, alors il existe α > 0 tel que pour𝑥 ∈ I :

|𝑥−𝑎| ⩽ α ⟹ |𝑓(𝑥)−ℓ| ⩽ ε.

Or 𝑥𝑛𝑛→∞−−−−→ 𝑎, donc il existe 𝑛0 ∈N tel que pour 𝑛 ∈N :

𝑛 ⩾ 𝑛0 ⟹ |𝑥𝑛 −𝑎| ⩽ α.

On en déduit que pour tout 𝑛 ∈N :

𝑛 ⩾ 𝑛0 ⟹ |𝑓(𝑥𝑛)−ℓ| ⩽ ε

c’est-à-dire 𝑓(𝑥𝑛)𝑛→∞−−−−→ ℓ.

⟸ Prouvons l’implication réciproquepar contraposée. Supposonsdoncque 𝑓(𝑥) ne tend pas vers ℓ lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. On en déduit qu’il existedonc ε > 0 tel que :

∀α > 0, ∃𝑥 ∈ I, |𝑥−𝑎| ⩽ α et |𝑓(𝑥)−ℓ| > ε.

Pour tout 𝑛 ∈ N, on peut appliquer ce qui précède à α =1

𝑛+1: il existe

ainsi 𝑥𝑛 ∈ I tel que ||𝑥𝑛 −𝑎|| ⩽1

𝑛+1et |𝑓(𝑥𝑛)−ℓ| > ε. Ainsi, (𝑥𝑛) est une suite

de points de I convergeant vers 𝑎, et pourtant la suite (𝑓(𝑥𝑛)) ne convergepas vers ℓ, puisqu’il existe ε > 0 tel que :

∀𝑛0 ∈N, ∃𝑛 ∈N, 𝑛 ⩾ 𝑛0 et |𝑓(𝑥𝑛)−ℓ| > ε

(tout entier 𝑛 ⩾ 𝑛0 convient).

Cet énoncé, comme le précise la méthode suivante, est utile pour montrer qu’unefonction 𝑓 ∶ I ⟶R n’admet pas de limite en 𝑎 ∈ I.

Méthode (Nier l’existence d’une limite : fonctions d’une variable)WRENCH

Exhiber deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) d’éléments de I tendant vers 𝑎, mais tellesque :

((𝑓(𝑢𝑛))𝑛 et (𝑓(𝑣𝑛))𝑛 ne convergent pas vers la même limite.

Exemple 7— L’application 𝑓 ∶||||||

R∗+ ⟶ R

𝑥 ⟼ sin1𝑥

n’admet pas de limite en

0+ ?

PEN-FANCY



Propriétés de la limite. Nous rappelons dans ce paragraphe les propriétés (sansdémonstration) de la limite à connaître.

Théorème ANA.7.2 | Stabilité des inégalités larges par passage à la limiteSoient I un intervalle, 𝑎 ∈ I et ℓ ∈R. Soient deux fonctions 𝑓 ∶ I ⟶R , 𝑔 ∶ I ⟶R telles que :1 — 𝑓(𝑥) ⩽ 𝑔(𝑥) dans un voisinage de 𝑎,2 — 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ ℓ ∈R,3 — 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ ℓ′ ∈R.Alors : ℓ ⩽ ℓ′.

Théorème ANA.7.3 | Opérations sur les limitesSoient 𝑓 ∶ I ⟶ R et 𝑔 ∶ I ⟶ R deux fonctions admettant resp. ℓ ∈ R et ℓ′ ∈ Rpour limites en 𝑎 ∈ I. Alors :1 — la fonction |𝑓| admet |ℓ| pour limite en 𝑎,

2 — si {ℓ,ℓ′} ≠ {−∞,+∞}, alors la fonction 𝑓+𝑔 admet ℓ+ℓ′ pour limite en𝑎,

3 — pour tout λ ∈ R, si (λ,ℓ) ≠ (0,±∞), alors la fonction λ𝑓 admet λℓ pourlimite en 𝑎,

4 — si {|ℓ|, |ℓ′|} ≠ {0,+∞}, alors la fonction 𝑓𝑔 admet ℓℓ′ pour limite en 𝑎,

5 — si ℓ ≠ 0, alors la fonction1𝑓

admet1ℓ

pour limite en 𝑎,

6 — si ℓ′ ≠ 0 alors la fonction𝑓𝑔

admetℓℓ′

pour limite en 𝑎,

7 — si ℓ = 0 et 𝑓 > 0 dans un voisinage de 𝑎, alors1𝑓

admet +∞ pour limite en𝑎.

Théorème ANA.7.4 | Compositions de limitesSoient I et J deux intervalles, 𝑓 ∶ I ⟶ J et 𝑔 ∶ J ⟶ R deux applications, 𝑎 ∈ I,𝑏 ∈ J et ℓ ∈R. Alors :

𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ 𝑏

𝑔(𝑦) 𝑦→𝑏−−−→ ℓ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

⟹ 𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑥→𝑎−−−→ ℓ.

Théorème ANA.7.5 | Théorème d’encadrementSoient I un intervalle, 𝑎 ∈ I et ℓ ∈ R. On considère trois fonctions 𝑓 ∶ I ⟶ R ,𝑔 ∶ I ⟶R et ℎ ∶ I ⟶R telles que :1 — 𝑓 ⩽ 𝑔 ⩽ ℎ au voisinage de 𝑎,2 — les deux fonctions 𝑓 et ℎ admettent ℓ pour limite en 𝑎.Alors :

𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ ℓ.

Exemple 8— L’application 𝑓 ∶||||||

R∗+ ⟶ R

𝑥 ⟼ 𝑥sin1𝑥

admet-elle une limite en

0+ ?

PEN-FANCY



Théorème ANA.7.6 | Théorème deminorationSoient I un intervalle et 𝑎 ∈ I. On considère deux fonctions 𝑓 ∶ I ⟶ R et 𝑔 ∶I ⟶R telles que :1 — 𝑓 ⩽ au voisinage de 𝑎,2 — 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ +∞.Alors : 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ +∞.

Théorème ANA.7.7 | Théorème demajorationSoient I un intervalle et 𝑎 ∈ I. On considère deux fonctions 𝑓 ∶ I ⟶ R et 𝑔 ∶I ⟶R telles que :1 — 𝑓 ⩽ 𝑔 au voisinage de 𝑎,2 — 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ −∞.Alors : 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−−−→ −∞.

Théorème ANA.7.8 | Théorème de la limite monotone

Soient (𝑎,𝑏) ∈R2, tel que 𝑎 < 𝑏, et 𝑓 ∶ ]𝑎,𝑏[ ⟶R une fonction croissante.1 — Si 𝑓 est majorée, alors 𝑓 admet une limite finie en 𝑏.2 — Si 𝑓 n’est pas majorée, alors : 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑏−−−→ +∞.

2.2. Continuité

Rappelons les principaux éléments relatifs à la continuité des fonctions.

Définition ANA.7.12Soient 𝑓 ∶ I ⟶ R et 𝑎 ∈ I. On dit que 𝑓 est continue en 𝑎 si lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎),

i.e.

∀ε > 0, ∃α > 0, ∀𝑥 ∈ I, |𝑥−𝑎| < α ⟹ ||𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)|| < ε.

Définition ANA.7.13Soient I un intervalle et 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction. On dit que 𝑓 est continue surI si elle est continue en tout 𝑎 ∈ I. Ainsi, 𝑓 est continue sur I si et seulement si :

∀𝑎 ∈ I, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀𝑥 ∈ I, |𝑥−𝑎| < α ⟹ ||𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)|| < ε.

On note 𝒞0(I,R), l’ensemble des fonctions continues sur I à valeurs réelles.

Remarque 2.7— Comme 𝑎 ∈ I, 𝑎 est donc dans l’ensemble de définition. Nousavons alors déjà vu que lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) si et seulement si 𝑓 possède une limite

finie en 𝑎 (voir la Proposition ANA.7.5). On pourrait donc très bien remplacer« lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)» par «𝑓 admet une limite finie en 𝑎» dans la définition précé-dente.

Définition ANA.7.14 | Prolongement par continuitéSoit 𝑓 une fonction définie sur I⧵ {𝑎} telle que : 𝑓 admet une limite finie ℓ en𝑎.On appelle alors prolongement par continuité de 𝑓 en 𝑎 la fonction 𝑓 définiesur I en par :

𝑓(𝑎) = ℓ, 𝑓 = 𝑓 sur I ⧵ {𝑎}.

La fonction 𝑓 est souvent encore notée 𝑓 ∶ I ⟶R , et elle est continue en 𝑎. Ondit aussi que l’on a effectué un prolongement par continuité de 𝑓 en 𝑎.

Exemple 9— Prolonger par continuité les deux fonctions ci-dessous aux bornesde leur ensemble de définition.



1 — 𝑓 ∶||||||

R∗ ⟶ R

𝑥 ⟼sin𝑥𝑥

,

2 — 𝑔 ∶||||||

R∗ ⟶ R

𝑥 ⟼arctan𝑥

𝑥

.

PEN-FANCY

Reformulation séquentielle. La caractérisation séquentielle de la limite nouslivre donc directement celle de la continuité.

Proposition ANA.7.7 | Caractérisation séquentielle de la continuité en unpoint

Soient 𝑓 ∶ I ⟶R et 𝑎 ∈ I. Alors :𝑓 est continue en 𝑎

⟺ ∀(𝑥𝑛)𝑛∈N ∈ IN, 𝑥𝑛𝑛→∞−−−−→ 𝑎, on a : 𝑓(𝑥𝑛)

𝑛→∞−−−−→ 𝑓(𝑎).

Méthode (Continuité et permutation de limites)WRENCH

Il faut surtout retenir la caractérisation séquentielle de la manière suivante :si 𝑓 est continue, et avec les mêmes notations que supra

𝑓(lim𝑛→∞

(…)) = lim𝑛→∞

𝑓(…).

Propriétés locales des fonctions continues. De-même que les opérations sur leslimites livrent celles sur la continuité.

Proposition ANA.7.8 | Opérations sur les fonctions continues en un pointSoient 𝑓 ∶ I ⟶ R et 𝑔 ∶ I ⟶ R deux fonctions continues en 𝑎 ∈ I. Alors lesfonctions |𝑓|, 𝑓 +𝑔, λ𝑓 (où λ ∈ R) et 𝑓𝑔 sont encore continues en 𝑎. En outre,

si 𝑔(𝑎) ≠ 0, alors𝑓𝑔

est définie sur un voisinage de 𝑎 et est continue en 𝑎.

Théorème ANA.7.9 | Compositions de fonctions continuesSoient I et J deux intervalles, 𝑓 et 𝑔 deux fonctions composables :

I J R𝑓

𝑔∘𝑓

𝑔

et 𝑎 ∈ I. Si 𝑓 est continue en 𝑎 et 𝑔 est continue en 𝑓(𝑎), alors 𝑔∘𝑓 est continueen 𝑎.



Propriétés globales des fonctions continues. Ondéduit immédiatement de la dé-finition les versions globales des deux énoncés précédents :

Caret-right Soient 𝑓 ∶ I ⟶ R et 𝑔 ∶ I ⟶ R deux fonctions continues sur I. Alors lesfonctions |𝑓|, 𝑓+𝑔, λ𝑓 (où λ ∈R) et 𝑓𝑔 sont encore continues sur I. En outre,

si 𝑔 ne s’annule pas, alors𝑓𝑔

est continue sur I.

Caret-right Soient I et J deux intervalles, 𝑓 et 𝑔 deux fonctions composables :I J R𝑓

𝑔∘𝑓

𝑔 Si 𝑓 est continue sur I et 𝑔 est continue sur J, alors 𝑔 ∘𝑓

est continue sur I.

Image d’un intervalle par une fonction continue, théorème des valeurs intermé-

diaires.Théorème ANA.7.10 | Théorème des valeurs intermédiaires

Soient I un intervalle, (𝑎,𝑏) ∈ I2 tels que 𝑎 ⩽ 𝑏, 𝑓 ∶ I ⟶ R une applicationcontinue et 𝑐 un réel entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏). Alors :

il existe 𝑥0 ∈ [𝑎,𝑏] tel que 𝑓(𝑥0) = 𝑐.

La première preuve est donnée à titre culturel : elle fait intervenir la notion deborne supérieure vue en premeière année.

Preuve (Expression de 𝑥0 comme borne supérieure d’un ensemble) Si𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), alors le résultat est immédiat. On suppose donc que 𝑎 < 𝑏 etque 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏) (si 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑏), alors on applique ce qui suit à −𝑓). Soit 𝑐 ∈[𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)]. Posons :

𝒩 = {𝑥 ∈ [𝑎,𝑏] |𝑓(𝑥) ⩽ 𝑐} .

Alors 𝒩 est non vide car 𝑎 ∈ 𝒩, et 𝒩 est majoré par 𝑏. Par la propriété de laborne supérieure, 𝒩 admet une borne supérieure. Posons 𝑥0 = sup𝒩.

Caret-right Supposons 𝑓(𝑥0) > 𝑐. Alors en posant ε =𝑓(𝑥0)−𝑐

2> 0, la continuité de

𝑓 en 𝑥0 assure qu’il existe α > 0 tel que pour 𝑥 ∈ I :

𝑥0 −α ⩽ 𝑥 ⩽ 𝑥0 +α ⟹ 𝑓(𝑥0)−ε ⩽ 𝑓(𝑥) ⩽ 𝑓(𝑥0)+ε.

Or, 𝑓(𝑥0)−ε > 𝑐, donc [𝑥0−α,𝑥0]∩𝒩 = ∅, ce qui contredit la définitionde 𝑥0 (𝑥0 n’est pas le plus petit des majorants de 𝒩).

Caret-right Supposons 𝑓(𝑥0) < 𝑐. Alors en posant ε = 𝑐−𝑓(𝑥0) > 0, la continuité de𝑓 en 𝑥0 assure qu’il existe α > 0 tel que pour 𝑥 ∈ I :

𝑥0 −α ⩽ 𝑥 ⩽ 𝑥0 +α ⟹ 𝑓(𝑥0)−ε ⩽ 𝑓(𝑥) ⩽ 𝑓(𝑥0)+ε.

Or 𝑓(𝑥0) + ε ⩽ 𝑐, donc [𝑥0,𝑥0 +α]∩ [𝑎,𝑏] ⊂ 𝒩. Or, 𝑥0 ≠ 𝑏 car 𝑓(𝑏) ⩾ 𝑐,donc il existe des éléments de 𝒩 non majorés par 𝑥0, ce qui contreditencore la définition de 𝑥0 (𝑥0 n’est pas un majorant de 𝒩).

Caret-right Conclusion : on a donc nécessairement 𝑓(𝑥0) = 𝑐.

Preuve (Approximation de 𝑥0 par dichotomie) Supposons pour sim-plifier que 𝑓(𝑎) ⩽ 𝑓(𝑏). On va définir deux suites (𝑎𝑛) et (𝑏𝑛) telles queles intervalles [𝑎𝑛,𝑏𝑛] soient de plus en plus petits, et on montre qu’ellesconvergent vers une même limite 𝑥0.Posons 𝑎0 = 𝑎 et 𝑏0 = 𝑏, puis par récurrence :

⎧⎨⎩

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛+1 =𝑎𝑛+𝑏𝑛

2 si ∶ 𝑓 (𝑎𝑛+𝑏𝑛2 ) ⩾ 𝑐,𝑎𝑛+1 =

𝑎𝑛+𝑏𝑛2 et 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 si ∶ 𝑓 (𝑎𝑛+𝑏𝑛2 ) < 𝑐.

Alors, on montre par récurrence la pro-

priété (𝒫𝑛) :

𝑎𝑛,𝑏𝑛 ∈ [𝑎;𝑏], 𝑎 = 𝑎0 ⩽ … ⩽ 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 ⩽ … ⩽ 𝑏0 = 𝑏,

pour tout 𝑘 ∈ J0 , 𝑛K, 𝑏𝑘 −𝑎𝑘 =𝑏−𝑎2𝑘

, 𝑓(𝑎𝑘) ⩽ 𝑐 ⩽ 𝑓(𝑏𝑘).

PEN-FANCY



On est à présent capable de conclure.

PEN-FANCY

Cette dernière preuve nous livre directement un algorithme pour approcher cetype de zéros.

PythonRecherche d’un zéro par dichotomie

1 def dicho(a, b, f, prec):2 '''3 Retourne une valeur approchée d'un zéro de f entre a et b

avec précision prec↪

4 Retourne faux si aucune racine n'existe5 '''6 if f(a)*f(b) > 0:

Python7 return False8 while b - a > prec:9 c = (a + b)/2

10 if f(a)*f(c) <= 0:11 b = c12 else:13 a = c14 return (a + b)/2

On peut aussi adopter une version récursive.

PythonRecherche d’un zéro par dichotomie, version récursive

1 def dicho_rec(a, b, f, prec):2 '''3 Retourne une valeur approchée d'un zéro de f entre a et b

avec précision prec↪

4 selon un principe dichotomique5 Retourne faux si aucune racine n'existe6 '''7 if f(a)*f(b) > 0:8 return False9 if b - a <= prec:

10 return (a + b)/211 else:12 c = (a + b)/213 if f(a)*f(c) <= 0:14 return dichotomie(a, c, prec)15 else:16 return dichotomie(c, b, prec)

Il existe encore d’autres méthodes plus sophistiquées (méthode de Newton, dela sécante, etc....), mais qui ne sont pas à notre programme, nous les aborderonsdonc uniquement enTP d’Informatique (laméthode deNewton a notamment faitl’objet d’une partie du sujet de Modélisation 2020). La démonstration précédente



prouve la convergence de l’algorithme.

Exemple 10— Variations autour de la dichotomie Adapter les codes précédentspour résoudre une équation de la forme (on admet l’existence d’une unique solu-tion) :

1 — 𝑓(𝑥) = α avec α ∈R,PEN-FANCY

2 — 𝑓(𝑥) = 𝑥. Une telle solution est donc un point fixe de 𝑓.PEN-FANCY

Définition ANA.7.15 | Point fixeOn appelle point fixe d’une fonction 𝑓 ∶ D ⟶ R avec D ⊂ R tout réel 𝑐 ∈ D telque 𝑓(𝑐) = 𝑐.

Exemple 11— Quelques autres contextes importants

1 — Toute fonctionpolynomiale réelle dedegré impair s’annule aumoinsune foissur R.

PEN-FANCY

2 — Soit 𝑓 ∶ [0,1] ⟶ [0,1] une application continue. Alors, 𝑓 admet unpoint fixe :il existe 𝑐 ∈ [0,1] tel que 𝑓(𝑐) = 𝑐.PEN-FANCY

On se rappelle la Définition ANA.11.1 d’un intervalle.

Corollaire ANA.7.1L’image d’un intervalle par une application continue est un intervalle.

Preuve Soient I un intervalle et 𝑓 ∶ I ⟶ R une application continue.Alors on sait que 𝑓(I) est un intervalle si et seulement si pour tout (𝑦,𝑦′) ∈𝑓(I)2 tel que 𝑦 ⩽ 𝑦′, on a [𝑦,𝑦′] ⊂ 𝑓(I). Pour un tel couple (𝑦,𝑦′), il existe(𝑥,𝑥′) ∈ I2 tel que 𝑦 = 𝑓(𝑥) et 𝑦′ = 𝑓(𝑥′). Soit 𝑐 ∈ [𝑦,𝑦′] = [𝑓(𝑥),𝑓(𝑥′)]. D’aprèsle théorème des valeurs intermédiaires, il existe 𝑥0 ∈ I tel que 𝑐 = 𝑓(𝑥0), donc𝑐 ∈ 𝑓(I). Ainsi, [𝑦,𝑦′] ⊂ 𝑓(I). On en déduit que 𝑓(I) est un intervalle.

Le théorème des valeurs intermédiaires est à utiliser lorsque l’on souhaite prouverl’existence d’un réel solution à une équation. Lorsque l’on souhaite montrer l’uni-cité, on aura recours au théorème de la bijection sur un intervalle bien choisi.



Théorème ANA.7.11 | Théorème de la bijectionSoient I un intervalle et 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction continue et strictementmonotone. Alors :1 — 𝑓(I) est un intervalle.2 — 𝑓 réalise une bijection de I sur 𝑓(I).3 — la bijection réciproque 𝑓−1 ∶ 𝑓(I) ⟶ I est continue et strictement mono-tone, de même sens de monotonie que 𝑓.

Remarque 2.8 — Dans la première assertion, on peut préciser l’intervalle 𝑓(I),selon lamonotonie de 𝑓 et l’intervalle I. Par exemple, si 𝑓 est décroissante alors :

I =]𝑎,𝑏] ⟹ 𝑓(I) = [𝑓(𝑏), lim𝑎

𝑓[.

Preuve1 — 𝑓(I) est un intervalle comme conséquence du théorème des valeurs in-termédiaires. Si 𝑓 est décroissante et I =]𝑎,𝑏], alors 𝑓(𝑏) est le minimumde 𝑓. Par ailleurs, le théorème de la limite monotone assure que 𝑓 admetune limite en 𝑎, éventuellement égale à +∞. On en déduit alors bien que𝑓(I) = [𝑓(𝑏), lim

𝑎𝑓[. Il y a 8 configurations possibles, selon que 𝑓 est crois-

sante ou décroissante, que inf I ∈ I ou inf I ∉ I et que sup I ∈ I ou sup I ∉ I.2 — L’injectivité provient de la stricte monotonie de 𝑓, et la surjectivité dufait que l’on se restreint à 𝑓(I) à l’arrivée.3 — Notons J = 𝑓(I). Supposonsque𝑓 est strictement croissante. Soit (𝑥,𝑦) ∈J2 tel que𝑥 < 𝑦. Alors𝑓−1(𝑥) < 𝑓−1(𝑦), car sinononaurait𝑓−1(𝑥) ⩾ 𝑓−1(𝑦), d’oùpar croissance de 𝑓 : 𝑥 = 𝑓(𝑓−1(𝑥)) ⩾ 𝑓(𝑓−1(𝑦)) = 𝑦. Ainsi, 𝑓−1 est strictementcroissante.Soient 𝑥0 ∈ J, 𝑦0 = 𝑓−1(𝑥0) ∈ I et ε > 0.

Caret-right Supposons dans un premier temps que 𝑦0 n’est pas une borne de I.Alors, quitte à changer ε en un ε > 0 plus petit, on peu supposer que𝑦0 − ε ∈ I et 𝑦0 + ε ∈ I. Comme 𝑦0 − ε < 𝑦0 < 𝑦0 + ε, alors par strictecroissance de 𝑓 on a : 𝑓(𝑦0 − ε) < 𝑥0 < 𝑓(𝑦0 + ε). Posons α = min(𝑥0 −𝑓(𝑦0 − ε),𝑓(𝑦0 + ε) − 𝑥0) > 0. Pour 𝑥 ∈ J tel que |𝑥 − 𝑥0| ⩽ α, on a alors𝑓(𝑦0 −ε) ⩽ 𝑥 ⩽ 𝑓(𝑦0 +ε), et par croissance de 𝑓−1, on en déduit 𝑦0 −ε ⩽𝑓−1(𝑥) ⩽ 𝑦0 +ε, c’est-à-dire ||𝑓−1(𝑥)−𝑓−1(𝑥0)|| = |𝑓−1(𝑥)−𝑦0| ⩽ ε.

Caret-right Supposonsmaintenant que𝑦0 est une borne de I, par exemple sa bornesupérieure (adapter la preuve sinon). Alors nécessairement, par stricte

croissance de 𝑓, 𝑥0 est la borne supérieure de J. Quitte à changer ε enun ε > 0 plus petit, on peu supposer que 𝑦0 −ε ∈ I. Comme 𝑦0 −ε < 𝑦0,alors par stricte croissance de 𝑓 on a : 𝑓(𝑦0 − ε) < 𝑥0. Posons α = 𝑥0 −𝑓(𝑦0−ε) > 0. Pour 𝑥 ∈ J tel que |𝑥−𝑥0| ⩽ α, on a alors 𝑓(𝑦0−ε) ⩽ 𝑥 ⩽ 𝑥0,et par croissance de 𝑓−1, on en déduit 𝑦0 −ε ⩽ 𝑓−1(𝑥) ⩽ 𝑦0, c’est-à-dire||𝑓−1(𝑥)−𝑓−1(𝑥0)|| = |𝑓−1(𝑥)−𝑦0| ⩽ ε.

On a donc montré que :

∀𝑥0 ∈ J, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀𝑥 ∈ J, |𝑥−𝑥0| ⩽ α ⟹ ||𝑓−1(𝑥)−𝑓−1(𝑥0)|| ⩽ ε.

La fonction 𝑓−1 est donc continue sur J.Il nous reste enfin à considérer le cas où 𝑓 est strictement décroissante. Onpose alors :

𝑔 = −𝑓 ∶||||||

I ⟶ −J

𝑥 ⟼ −𝑓(𝑥)

où −J = {−𝑦|𝑦 ∈ J}. Comme 𝑔 est continue et strictement croissante, alors𝑔−1 est continue et strictement croissante (cas précédemment prouvé). Orpour tout 𝑦 ∈ J, on a 𝑦 = −(−𝑦) = −𝑔(𝑔−1(−𝑦)) = 𝑓(𝑔−1(−𝑦)), d’où 𝑓−1(𝑦) =𝑔−1(−𝑦). Ainsi, 𝑓−1 est strictement décroissante, par composition d’une ap-plication strictement croissante (𝑔−1) et d’une application strictement dé-croissante (𝑦 ⟼ −𝑦), et 𝑓 est continue sur I, par composition d’applicationscontinues.

Remarque 2.9—

1 — Lorsque l’on applique ce théorème, il faut absolument justifier la continuitéet la stricte monotonie de 𝑓. Ne pas oublier non plus le fait que I doit être unintervalle (pour, dans la preuve, pouvoir appliquer le théorème des valeurs inter-médiaires).2 — On retiendra bien les trois points de la conclusion de ce théorème, même sion n’utilise souvent que le deuxième.

Attention×

La fonction 𝑓 n’est pas nécessairement globalement bijective, mais elleréalise une bijection de I sur 𝑓(I).



Méthode (Utilisation du théorème de la bijection ou du théorème des va-

leurs intermédiaires)WRENCH

On souhaite justifier l’existence et l’unicité éventuelle d’une solution 𝑥 ∈ R àl’équation 𝑓(𝑥) = α avec α ∈R.1 — Si l’unicité n’est pas souhaitée : on applique le théorème des valeurs in-termédiaires.2 — Si l’unicité est souhaitée : on applique le théorème de la bijection sur unintervalle I tel que α ∈ 𝑓(I).

Notez également que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥 est équivalente à 𝑔(𝑥) = α avec 𝑔 =𝑓− Id et α = 0.

Exemple 12— Utilisation du théorème de la bijection dans deux contextes

1 — Soit 𝑡 ⩾ 0. Le polynôme𝑥 ⟼ 𝑥3+𝑡𝑥−1 admet une unique racine réelle𝑢(𝑡).PEN-FANCY

2 — (Existence de suites implicites) Soit 𝑛 ⩾ 1, et 𝑓𝑛 ∶ [0,∞[⟼ 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛.L’équation 𝑓𝑛(𝑥) = 1 admet une unique solution α𝑛 ∈ [1, ∞[.

PEN-FANCY

Image d’un segment par une fonction continue. Le théorème suivant est égale-ment fondamental et connu sous le nom de théorème des «bornes atteintes».

Théorème ANA.7.12Soit 𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶R une application continue. Alors :

𝑓 est bornée sur [𝑎,𝑏] et ses bornes sont atteintes.

Preuve Prouvons l’énoncé pour la borne supérieure de 𝑓 (adapter lapreuve pour la borne inférieure, ou appliquer ce résultat à −𝑓). CommeE = 𝑓([𝑎,𝑏]) est non vide, cet ensemble admet une borne supérieure dansR (par définition, c’est sup(𝑓)). On sait qu’il existe une suite d’éléments deE convergeant vers sup(𝑓) (propriété séquentielle de la borne supérieure).Une telle suite s’écrit (𝑓(𝑥𝑛)), où (𝑥𝑛) est une suite d’éléments de [𝑎,𝑏]. Ain-si, (𝑥𝑛) est une suite d’éléments du segment [𝑎,𝑏], il en existe alors — faitadmis — une suite extraite (𝑥φ(𝑛)) convergeant vers un réel 𝑐 ∈ [𝑎,𝑏]. Alors,la suite (𝑓(𝑥φ(𝑛))) converge encore vers sup(𝑓), mais par continuité de 𝑓, elleconverge aussi vers 𝑓(𝑐). Par unicité de la limite, sup(𝑓) = 𝑓(𝑐) ∈ R, ce qui



assure d’une part que 𝑓 est bien majorée, et d’autre part que cette borne su-périeure est un maximum (elle est atteinte).

Attention×

Il n’y a aucune raison pour que les bornes soient atteintes en 𝑎 et 𝑏, donc surles bords de l’intervalle. Penser à la fonction sinus sur [0,2π] par exemple.

Exemple 13— Que dire des trois fonctions suivantes?

𝑓 ∶||||||

]0,1[ ⟶ R

𝑥 ⟼1𝑥

𝑔 ∶||||||

[0,1[ ⟶ R

𝑥 ⟼ 𝑥.

PEN-FANCY

Exemple 14— Soit 𝑓 ∶ R ⟶ R une fonction continue telle que pour tout 𝑥 ∈ R,𝑓(sin𝑥) = 𝑓(𝑥). Alors 𝑓 est une fonction bornée.

PEN-FANCY

Corollaire ANA.7.2 | Image continue d’un segmentL’image d’un segment par une application continue est un segment.

Preuve Soit 𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶ R une application continue. D’après le théo-rèmeprécédent, inf𝑓 ∈ 𝑓([𝑎,𝑏]) et sup𝑓 ∈ 𝑓([𝑎,𝑏]). Alors d’après le théorèmedes valeurs intermédiaires, [inf𝑓,sup𝑓] ⊂ 𝑓([𝑎,𝑏]). L’inclusion réciproqueétant immédiate, on a égalité : 𝑓([𝑎,𝑏]) = [inf𝑓,sup𝑓].

3. DÉRIVATION

Dans cette partie, I désignera encore et toujours un intervalle de R non trivial,c’est-à-dire non vide et non réduit à un point.



3.1. Généralités et premières propriétés

Définition ANA.7.16 | DérivabilitéSoient 𝑓 ∶ I ⟶ R une application et 𝑥0 ∈ I. On dit que 𝑓 est dérivable en 𝑥0 sil’application

|||||||

I ⧵ {𝑥0} ⟶ R

𝑥 ⟼𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0

admet une limite finie en 𝑥0. La limite est alors appelée le nombre dérivé de 𝑓en 𝑥0 et on le note 𝑓′(𝑥0), ou encore d𝑓

d𝑥 (𝑥0).

Remarque 3.1— Comme 𝑥0 ∈ Iet que I est un intervalle, alors𝑥0 ∈ I ⧵ {𝑥0} et calculer la limitede ce quotient a bien un sens.

Définition ANA.7.17 | Dérivabilité à droite ou gaucheOn dit que 𝑓 est dérivable à droite (resp. dérivable à gauche), si 𝑓|I∩[𝑥0,+∞[ (resp.𝑓|I∩]−∞,𝑥0]) est dérivable en𝑥0. Le nombre dérivé de la restriction s’appelle alorsla dérivée à droite (resp. dérivée à gauche) de 𝑓 en 𝑥0 et se note 𝑓′𝑑(𝑥0) (resp.𝑓′𝑔(𝑥0)).

Définition ANA.7.18 | Ensemble 𝒟1(I,R)Soit𝑓 ∶ I ⟶R uneapplication.Ondit que 𝑓 estdérivable sur I si 𝑓 est dérivableen 𝑥 pour tout 𝑥 ∈ I. On définit alors la fonction dérivée de 𝑓 ainsi :

𝑓′ ∶||||||

I ⟶ R

𝑥 ⟼ 𝑓′(𝑥).

On la note 𝑓′, ou encore d𝑓d𝑥 . On note 𝒟1(I,R) l’ensemble des fonctions déri-

vables sur I à valeurs réelles.

Notation (Dérivée d’une expression)Σ

Soit une expression 𝑓(𝑥) dépendant de 𝑥 ∈ R, avec 𝑓 une fonction dérivable.On notera dans la suite indifféremment :

Caret-rightd𝑓d𝑥 (𝑥) la fonction 𝑓′ évaluée en 𝑥,

Caret-right dd𝑥 [𝑓(𝑥)] la dérivée de l’expression 𝑓(𝑥) par rapport à 𝑥.

En particulier, on évitera dans la mesure du possible d’écrire 𝑓(𝑥)′.

Définition ANA.7.19 | Ensemble dans 𝒞1(I,R)Une fonction 𝑓 ∶ I ⟶R est dite de classe 𝒞1 sur I si elle est dérivable sur I et si𝑓′ est continue sur I. On note 𝒞1(I,R) ⊂ 𝒟1(I,R) l’ensemble de ces fonctions.

Remarque 3.2— Le nombre𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0est appelé le taux d’accroissement de 𝑓

entre 𝑥0 et 𝑥 et s’interprète comme la pente de la corde du graphe de 𝑓 entre lespoints d’abscisses 𝑥0 et 𝑥. Lorsque 𝑓 est dérivable en 𝑥0, le nombre 𝑓′(𝑥0) s’inter-prète alors comme la « pente limite » de ces cordes. Par définition, c’est la pentede la tangente au graphe de 𝑓 au point d’abscisse 𝑥0.De même, le cas échéant, 𝑓′𝑑(𝑥0) (resp. 𝑓′𝑔(𝑥0)) est la pente de la demi-tangente àdroite (resp. à gauche) au graphe de 𝑓 en 𝑥0.



Théorème ANA.7.13 | Dérivabilité et développement limité à l’ordre unUne fonction 𝑓 ∶ I ⟶ R est dérivable en 𝑥0 ∈ I si et seulement s’il existe 𝑐 ∈ Rtel que :

𝑓(𝑥) =𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥0)+𝑐(𝑥−𝑥0)+o(𝑥−𝑥0) .

Ona alors 𝑐 = 𝑓′(𝑥0). Enparticulier, si 𝑓 est dérivable en𝑥0, alors 𝑓 est continueen 𝑥0.

Propriétés de la dérivabilité. Comme pour les propriétés sur les limites, cellessur la dérivabilité sont rappelées sans démonstration.

Théorème ANA.7.14 | Opérations sur les fonctions dérivables et les déri-vées

Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions de I dans R dérivables en 𝑥0 ∈ I.1 — 𝑓+𝑔 est dérivable en 𝑥0 et (𝑓 +𝑔)′(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)+𝑔′(𝑥0),2 — pour tout λ ∈R, λ𝑓 est dérivable en 𝑥0 et (λ𝑓)′(𝑥0) = λ𝑓′(𝑥0),3 — 𝑓𝑔 est dérivable en 𝑥0 et (𝑓𝑔)′(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0)+𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0),4 — si 𝑔(𝑥0) ≠ 0, alors il existe un voisinage de 𝑥0 sur lequel 𝑔 ne s’annule pas,1𝑔

est dérivable en 𝑥0 et :

(1𝑔)′

(𝑥0) = −𝑔′(𝑥0)𝑔(𝑥0)2

.

5 — si 𝑔(𝑥0) ≠ 0, alors il existe un voisinage de 𝑥0 sur lequel 𝑔 ne s’annule pas,𝑓𝑔

est dérivable en 𝑥0 et :

(𝑓𝑔)′

(𝑥0) =𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0)−𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0)

𝑔(𝑥0)2.

6 — Pour tout𝑛 ∈ Z (en supposant que 𝑓(𝑥0) ≠ 0 si𝑛 ⩽ 0), alors 𝑓𝑛 (puissance𝑛ème) est dérivable en 𝑥0 et :(𝑓𝑛)′(𝑥0) = 𝑛𝑓𝑛−1(𝑥0)𝑓′(𝑥0).

Remarque 3.3— En particulier (𝒟1(I,R),+,×||R×𝒟1(I,R)), (𝒞1(I,R),+,×||R×𝒟1(I,R))sont des R-espaces vectoriels.

Théorème ANA.7.15 | Dérivation d’une composéeSoient 𝑓 ∶ I ⟶ J et 𝑔 ∶ J ⟶ R dérivables en 𝑥0 ∈ I et 𝑓(𝑥0) ∈ J. Alors 𝑔 ∘𝑓 estdérivable en 𝑥0 et :

(𝑔 ∘𝑓)′(𝑥0) = 𝑔′(𝑓(𝑥0)).𝑓′(𝑥0).

Par conséquent, si 𝑓 ∶ I ⟶ J et 𝑔 ∶ J ⟶ R sont deux fonctions dérivables surI et J. Alors 𝑔 ∘𝑓 est dérivable sur I et :

(𝑔 ∘𝑓)′ = (𝑔′ ∘𝑓) .𝑓′.

Appliquant ceci à la relation 𝑓 ∘ 𝑓−1 = Id lorsque 𝑓 est bijective d’inverse 𝑓, nousobtenons le corollaire suivant.

Corollaire ANA.7.3 | Dérivation d’une bijection réciproqueSoit 𝑓 ∶ I ⟶ J une application bijective et continue. On suppose que 𝑓 estdérivable en 𝑥0 ∈ I et que

𝑓′(𝑥0) ≠ 0.

Alors 𝑓−1 est dérivable en 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) et :

(𝑓−1)′(𝑦0) =1

𝑓′(𝑓−1(𝑦0)).

En particulier, si 𝑓 ∶ I ⟶ J est une bijection, dérivable sur I, alors si 𝑓′ nes’annule pas, la fonction 𝑓−1 est dérivable sur J et :

(𝑓−1)′ =1

𝑓′ ∘𝑓−1.

Preuve Pour 𝑦 voisin mais distinct de 𝑦0, on a 𝑓−1(𝑦) ≠ 𝑓−1(𝑦0) car 𝑓−1



est bijective. On a alors :

𝑦−𝑦0𝑓−1(𝑦)−𝑓−1(𝑦0)

=𝑓(𝑓−1(𝑦))−𝑓(𝑥0)

𝑓−1(𝑦)−𝑥0.

Comme 𝑓 est continue bijective, alors le théorème de la bijection assure que𝑓−1 est continue, notamment en 𝑦0. On a alors :

𝑓−1(𝑦)𝑦→𝑦0−−−−→ 𝑓−1(𝑦0) = 𝑥0

et

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)𝑥−𝑥0

𝑥→𝑥0−−−−→ 𝑓′(𝑥0)

donc par composition de limites :

𝑦−𝑦0𝑓−1(𝑦)−𝑓−1(𝑦0)

𝑦→𝑦0−−−−→ 𝑓′(𝑥0).

Comme 𝑓′(𝑥0) ≠ 0, on conclut en passant aux inverses : 𝑓−1 est dérivable en

𝑦0, de dérivée1

𝑓′(𝑥0).

L’exemple ci-dessous est à très bien connaître (voir également votre cours de 1èreannée pour l’existence et la définition d’arctan).

Exemple 15— Existence d’arctan et graphe.

1 — Rappeler le principe de construction de arctan, ainsi que son graphe.PEN-FANCY

2 — Calculer arctan′ après avoir justifié l’existence sur un ensemble à préciser.PEN-FANCY

3 — Montrer la formule : ∀𝑥 ∈R⋆, arctan(𝑥)+arctan ( 1𝑥 ) = sgn (𝑥) π2 .

PEN-FANCY



Les deux fonctions ci-après pas au programme de BCPST, mais apparaissent trèssouvent dans les sujets de concours (et on vous fera redémontrer l’existence).

Exemple 16— Existence d’arcsin/arccos et graphe.

1 — Montrer que la fonction cos ||[0,π] est bijective. On notera arccos sa bijectionréciproque.PEN-FANCY

2 — Calculer arccos′ après avoir justifié l’existence sur un ensemble à préciser.PEN-FANCY

La même étude peut être faite avec sin ||[−π/2,π/2], on note arcsin la réciproque de lafonction précédente. On obtient que arcsin est dérivable sur ]−1,1[ avec :

∀𝑥 ∈]−1,1[, arcsin′(𝑥) =1

√1−𝑥2.

Voici les graphes associés :



𝑥

𝑦

−1 0 1 2 3 4

−1

0

1

2

3

4

𝒞arccos𝒞cos𝑥

𝑦

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

𝒞arcsin𝒞sin

Revenons à présent aux questions de l’exemple.

3.2. Dérivées d’ordre supérieur

Définition ANA.7.20 | Classe 𝒟𝑛

Soit 𝑓 ∶ I ⟶ R une application. On définit, sous réserve d’existence, les déri-vées successives de 𝑓 en posant 𝑓(0) = 𝑓 et pour 𝑛 ∈ N : 𝑓(𝑛+1) = (𝑓(𝑛))

′. L’ap-

plication 𝑓(𝑛) est aussi notée oud𝑛𝑓d𝑥𝑛 . On note encore 𝑓′′, 𝑓′′′, etc, pour 𝑓(2), 𝑓(3),

etc.

Définition ANA.7.21 | Classe 𝒞𝑛

Soit 𝑛 ∈ N. Une fonction 𝑓 ∶ I ⟶ R est dite de classe 𝒞𝑛 sur I si 𝑓 est 𝑛 foisdérivable sur I et si 𝑓(𝑛) est continue sur I. La fonction est dite de classe 𝒞∞ sielle est de classe 𝒞𝑛 pour tout 𝑛 ∈ N, c’est-à-dire si elle admet une dérivée àtout ordre.On note 𝒞𝑛(I,R) (resp. 𝒞∞(I,R)) l’ensemble des fonctions de classe 𝒞𝑛 (resp.𝒞∞) sur I et à valeurs réelles.

Exemple 17—

1 — Déterminer la dérivée 𝑘-ième de 𝑥 ⟼ 𝑥𝑛.PEN-FANCY

2 — On montre que la fonction sin est 𝒞∞ et que pour tout 𝑛 ∈N⋆ on a :

∀𝑥 ∈R, sin(𝑛)(𝑥) = sin(𝑥+𝑛π2) .

PEN-FANCY

Remarque 3.4— 𝒞0(I,R) ⊃ 𝒞1(I,R) ⊃ ... ⊃ 𝒞𝑛(I,R) ⊃ ... ⊃ 𝒞∞(I,R).

Proposition ANA.7.9 | Opérations sur les fonctions de classe 𝒞𝑛/𝒟𝑛

Soient 𝑛 ∈N∪{∞}, (𝑓,𝑔) ∈ 𝒞𝑛(I,R)2 (resp. 𝒟𝑛) ( et (λ,μ) ∈R2. Alors :λ𝑓+μ𝑔 ∈ 𝒞𝑛(I,R) (resp. 𝒟𝑛), 𝑓𝑔 ∈ 𝒞𝑛(I,R) (resp. 𝒟𝑛), et si 𝑔 ne s’annule pas,



alors𝑓𝑔

∈ 𝒞𝑛(I,R) (resp. 𝒟𝑛).

Théorème ANA.7.16 | Composée de fonctions de classe 𝒞𝑛/𝒟𝑛

Soient 𝑛 ∈ N∪ {∞}, 𝑓 ∈ 𝒞𝑛(I, J) (resp. 𝒟𝑛(J,R)) et 𝑔 ∈ 𝒞𝑛(J,R) (resp. 𝒟𝑛(J,R)).Alors : 𝑔 ∘𝑓 ∈ 𝒞𝑛(I,R) (resp. 𝒟𝑛(I,R)).

Théorème ANA.7.17 | Réciproque d’une fonction de classe 𝒞𝑛/𝒟𝑛

Soient 𝑛 ∈N∗ ∪{∞} et 𝑓 ∈ 𝒞𝑛(I,R) (resp. 𝒟𝑛(I,R)). On suppose que 𝑓′ ne s’an-nule pas sur I. La fonction 𝑓 réalise une bijection de I sur J = 𝑓(I), et de plus :𝑓−1 ∈ 𝒞𝑛(J, I) (resp. 𝒟𝑛(I,R)).

Corollaire ANA.7.4

Soit 𝑛 ⩾ 0. Les espaces vectoriels (𝒟𝑛(I,R),+,×||R×𝒟𝑛(I,R)),

(𝒞𝑛(I,R),+,×||R×𝒞𝑛(I,R)) sont des R-espaces vectoriels.

Preuve On vérifie que ce sont des sous-espaces vectoriels de ℱ(I,R). Lastabilité par combinaison linéaire résulte simplement du fait qu’une combi-naison linéaire de fonctions dérivables est la combinaison linéaire des déri-vées, et ceci appliqué 𝑛 fois.

Remarque 3.5— Formule de LeibnizDeplus, pour𝑛 ∈N, il est possible d’établirla formule de Leibniz :

(𝑓𝑔)(𝑛) =𝑛∑𝑘=0

⎛

⎝

𝑛

𝑘

⎞

⎠𝑓(𝑘)𝑔(𝑛−𝑘). [H.P]

La preuve est en tout point similaire à celle du binôme pour les réels par exemple.

3.3. Extrema et théorème de Rolle

Définition ANA.7.22 | ExtremaOn dit qu’une fonction 𝑓 ∶ I ⟶ R admet en 𝑥0 ∈ I un minimum (resp. maxi-mum) si :

∀𝑥 ∈ I, 𝑓(𝑥) ⩾ 𝑓(𝑥0)

(resp. ∀𝑥 ∈ I, 𝑓(𝑥) ⩽ 𝑓(𝑥0) ).

On dit que 𝑓 admet en 𝑥0 ∈ I un minimum local (resp. maximum local) s’ilexiste α > 0 tel que :

∀𝑥 ∈ I∩]𝑥0 −α,𝑥0 +α[, 𝑓(𝑥) ⩾ 𝑓(𝑥0)

(resp. ∀𝑥 ∈ I∩]𝑥0 −α,𝑥0 +α[, 𝑓(𝑥) ⩽ 𝑓(𝑥0) ).

On dit que 𝑓 admet en 𝑥0 un extremum (resp. extremum local) si 𝑓 admet en𝑥0 un minimum ou un maximum (resp. un minimum local ou un maximumlocal).

Définition ANA.7.23 | Point critiqueOn appelle point critique d’une fonction dérivable 𝑓 ∶ I ⟶R tout réel 𝑥 ∈ I telque 𝑓′(𝑥) = 0.

Remarque 3.6— Lapremière condition signifie qu’il existe ε > 0 vérifiant : ]𝑥0−ε;𝑥0 +ε[ ⊂ I.

ThéorèmeANA.7.18 | Conditionnécessairepourqu’unpoint intérieur soitun extremum local

Soient 𝑓 ∶ I ⟶R une application et 𝑥0 ∈ I. On suppose que :1 — 𝑥0 est à l’intérieur de I, i.e. tel qu’il existe un voisinage ouvert de 𝑥0 inclusdans I,2 — 𝑓 admet en 𝑥0 un extremum local,3 — 𝑓 est dérivable en 𝑥0.



Alors 𝑥0 est un point critique de 𝑓 : 𝑓′(𝑥0) = 0.

Preuve Supposonspar exemple que 𝑓possèdeunmaximum local en𝑥0,alors quitte à diminuer ε, nous pouvons supposer qu’il existe ε > 0 tel que :]𝑥0 −ε;𝑥0 +ε[ ⊂ et :

∀𝑥 ∈ ]𝑥0 −ε;𝑥0 +ε[, 𝑓(𝑥) ⩽ 𝑓(𝑥0).

Ainsi,

∀𝑥 ∈ ]𝑥0−ε;𝑥0[𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0⩽ 0, ∀𝑥 ∈ ]𝑥0;𝑥0+ε[


⩾ 0.

Comme 𝑓 est dérivable, les limites à gauche et droite en 𝑥0 du taux d’accrois-sement sont les mêmes, égales au nombre dérivé. Ici, en passant à la limitedans les inégalités précédentes il devrait donc être positif et négatif à la fois,donc nul.

Attention (La condition «𝑥0 est à l’intérieur de I» est indispensable)×

Si 𝑓 ∶ 𝑥 ∈ [2,5] ⟼ 𝑥2, elle admet un minimum en 2,𝑓(2) = 4, un maximum en5,𝑓(5) = 25 et pourtant 2,5 ne sont pas des points critiques.

Exemple 18— Déterminer les extrema locaux et globaux de la fonction :

𝑓 ∶||||||

[0,1] ⟶ R

𝑥 ⟼ 2𝑥3 −6𝑥2 +3𝑥+1.

PEN-FANCY

Remarque 3.7— Il est indispensable de rappeler les hypothèses de Rolle avantchaque utilisation

Théorème ANA.7.19 | Théorème de RolleSoit 𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶R (où 𝑎 < 𝑏) une fonction telle que :1 — 𝑓 est continue sur [𝑎,𝑏],2 — 𝑓 est dérivable sur ]𝑎,𝑏[,3 — 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏).Alors : il existe 𝑐 ∈]𝑎,𝑏[ tel que 𝑓′(𝑐) = 0.



Attention×

Il n’y a pas unicité d’un tel 𝑐. Prendre par exemple la fonction sin sur l’inter-valle [0,2π].

Preuve Si 𝑓 est constante sur [𝑎,𝑏], alors le résultat est évident. Sinon,l’application 𝑓 étant continue sur le segment [𝑎,𝑏], elle admet un minimumet un maximum distincts sur cet intervalle. Au moins un de ces extrema estdifférent de 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) et corresponddonc àunpoint intérieur à [𝑎,𝑏], c’est-à-dire à un point de ]𝑎,𝑏[. Le Théorème ANA.11.6 conclut.

Ce théorème peut être très utile pour prouver l’existence de zéros d’une fonc-tion.

Exemple 19— Itération de Rolle et entrelacement des points d’annulation Soit𝑓 ∶ I ⟶R une fonction dérivable.

1 — Si 𝑓 s’annule 𝑛+1 fois, alors 𝑓′ s’annule au moins 𝑛 fois.2 — En appliquant plusieurs fois ce résultat, déduire que si 𝑓 est 𝑛 fois dérivableet s’annule 𝑛+1 fois, alors 𝑓(𝑛), la dérivée 𝑛ème de 𝑓, s’annule au moins une fois.

PEN-FANCY

Remarque 3.8— Dans le théorème de Rolle,



1 — 𝑓 n’a pas besoin d’être dérivable aux bornes de l’intervalle (considérer 𝑥 ⟼√1−𝑥2 sur [−1,1]).2 — La continuité aux bornes est nécessaire (considérer 𝑥 ⟼ 𝑥−⌊𝑥⌋ sur [0,1]).3 — La dérivabilité est nécessaire : considérer 𝑥 ⟼ |𝑥| sur [−1,1].

Théorème ANA.7.20 | Égalité des accroissements finisSoit 𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶R (où 𝑎 < 𝑏) une fonction telle que :1 — 𝑓 est continue sur [𝑎,𝑏],2 — 𝑓 est dérivable sur ]𝑎,𝑏[.

Alors il existe 𝑐 ∈]𝑎,𝑏[ tel que : 𝑓′(𝑐) =𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏 −𝑎.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 20— Montrons à l’aide de l’égalité des accroissements finis (appliquéeà 𝑥 ⟼ ln(1+𝑥) sur [0,𝑥]) que :

∀𝑥 > 0,𝑥

1+𝑥< ln(1+𝑥) < 𝑥.

PEN-FANCY



4. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

IL est nécessaire de revoir les relations de comparaison au programme de BCPST(équivalent et «petit o ») avant d’aborder ce paragraphe.Nous rappelons ici uniquement les résultats théoriques classiques qui fondent lesdéveloppements limités, ainsi que la liste des développements à connaître (ou aumoins à savoir retrouver très rapidement).

4.1. Généralités

Définition ANA.7.24 | Définition d’un développement limitéSoient un intervalle I, un réel 𝑥0 ∈ I ∩R, un entier 𝑛 ∈ N et une application𝑓 ∶ I ⟶R . Ondit que𝑓 admetundéveloppement limité à l’ordre𝑛auvoisinagede 𝑥0 (noté DL𝑛(𝑥0)) s’il existe des réels 𝑎0, 𝑎1, ..., 𝑎𝑛 tels que :


𝑎0+𝑎1(𝑥−𝑥0)+𝑎2(𝑥−𝑥0)2+...+𝑎𝑛(𝑥−𝑥0)𝑛+o((𝑥−𝑥0)𝑛) . (DL)

Le polynôme R𝑛(X) =(défi.)

𝑎0 + 𝑎1(X − 𝑥0) + 𝑎2(X − 𝑥0)2 + ... + 𝑎𝑛(X − 𝑥0)𝑛 est

appelé partie régulière (ou principale,entière), du développement limité.

Remarque 4.1— Admettre un DL𝑛(𝑥0) signifie donc que

lim𝑥→𝑥0

(𝑓 −R𝑛(𝑓))(𝑥)(𝑥−𝑥0)𝑛

= 0.

On rappelle qu’un terme noté o((𝑥−𝑥0)𝑛) s’il s’écrit sous la ε(𝑥)(𝑥 − 𝑥0)𝑛 avecε(𝑥)

𝑥→𝑥0−−−−→ 0, et c’est une fonction définie aumoins au voisinage de 𝑥0. De plus, ona la règle de calcul suivante :

o((𝑥−𝑥0)𝑛)𝑥−𝑥0

= o((𝑥−𝑥0)𝑛−1) 1.

Puisque Équation (DL) n’est finalement qu’une limite déguisée, et que l’on peutfaire des changements de variable dans les limites, nous pouvons donc aussi enfaire dans les développements limités.

Méthode (Translation 𝑥0 dans un développement limité)WRENCH

Si 𝑥0 ≠ 0, alors la recherche d’un DL𝑛(𝑥0) pour une fonction 𝑓 se fera en seramenant au voisinage de 0 par le changement de variable «ℎ = 𝑥−𝑥0 ». Plusprécisément,1 — considérer 𝑔 ∶ ℎ ⟼ 𝑓(𝑥0 +ℎ),



WRENCH 2 — faire un DL𝑛(0) de 𝑔 : on obtient une expression du type 𝑔(ℎ) =ℎ→0

R𝑛(ℎ)+o(ℎ𝑛) (avec R𝑛 fonction polynômiale de degré 𝑛 définie au voisinagede zéro),3 — un DL𝑛(𝑥0) de 𝑓 est alors : 𝑓(𝑥) =

𝑥→𝑥0R𝑛(𝑥−𝑥0)+o((𝑥−𝑥0)𝑛).

Propriétés des développements limités. Lesdéveloppements limités satisfontdespropriétés très similaires aux polynômes, la plus notable est l’identification co-efficient par coefficient appelée plus sobrement unicité du développement limi-té dans la suite.

Théorème ANA.7.21 | Premières propriétésSoient 𝑛 ∈N et 𝑓 une fonction admettant un DL𝑛(𝑥0). Alors :1 — la partie régulière du DL𝑛(𝑥0) est unique,2 — (Troncation) 𝑓 admet un DL𝑝(𝑥0) pour tout 𝑝 ⩽ 𝑛.3 — Si 𝑥0 = 0 et 𝑓 est paire (resp. impaire) dans un voisinage de 0, alors lapartie principale du DL𝑛(0) est un polynôme pair (resp. impair).4 — Soient 𝑔 une fonction admettant un DL𝑛(𝑥0) et (λ,μ) ∈R2. Alors λ𝑓+μ𝑔admet un DL𝑛(𝑥0) et la partie régulière est obtenue par combinaison linéairedes parties régulières des DL𝑛(𝑥0) de 𝑓 et 𝑔.

La propriété de troncation provient du fait suivant :o((𝑥−𝑥0)𝑛) = o((𝑥−𝑥0)𝑝) pour tout 𝑝 ⩽ 𝑛.

En effet,

PEN-FANCY

Proposition ANA.7.10 | Continuité, dérivabilité et développement limitéSoient 𝑓 ∶ I ⟶R une fonction et 𝑥0 ∈ I. Alors :

Caret-right 𝑓 est continue en 𝑥0 si et seulement si elle admet un DL0(𝑥0) :𝑓(𝑥) =

𝑥→𝑥0𝑎+o(1). On a alors 𝑎 = 𝑓(𝑥0).

Caret-right 𝑓 est dérivable en 𝑥0 si et seulement si elle admet un DL1(𝑥0) :𝑓(𝑥) =

𝑥→𝑥0𝑎+𝑏(𝑥−𝑥0)+o(𝑥−𝑥0). On a alors 𝑎 = 𝑓(𝑥0) et 𝑏 = 𝑓′(𝑥0).

Attention×

Cet énoncé ne se généralise pas pour des valeurs supérieures de 𝑛.

Exemple 21— Contre-exemple Par exemple, pour 𝑛 ⩾ 2, l’application

𝑓 ∶

||||||||||

R ⟶ R

𝑥 ⟼⎧⎨⎩

𝑥𝑛+1 sin(1𝑥𝑛 ) si 𝑥 ≠ 0

0 si 𝑥 = 0

admet un DL𝑛(0).

PEN-FANCY

Pourtant, 𝑓′ n’est pas continue en 0, donc 𝑓 n’estmême pas deux fois dérivable.

PEN-FANCY



Proposition ANA.7.11 | Développement limité et prolongementSoient 𝑥0 ∈ I et 𝑓 ∶ I ⧵ {𝑥0} ⟶R . Si 𝑓 admet un DL1(𝑥0)


𝑎+𝑏(𝑥−𝑥0)+o(𝑥−𝑥0) ,

alors la fonction 𝑓 se prolonge par continuité en 𝑥0 en posant 𝑓(𝑥0) = 𝑎. Deplus, la fonction ainsi prolongée est dérivable en 𝑥0 de dérivée égale à 𝑏.

Preuve

PEN-FANCY

Méthode (Prolongement)WRENCH

Pour montrer qu’une fonction est prolongeable par continuité et/ou déri-vable en un point 𝑥0, il suffit de faire un développement limité d’ordre 0/1au voisinage de ce point.

Proposition ANA.7.12 | Développement limité et équivalentSoit 𝑓 une fonction admettant un développement limité écrit sous la formesuivante :


(𝑥−𝑥0)𝑝 (𝑎0 +𝑎1(𝑥−𝑥0)+𝑎2(𝑥−𝑥0)2 +...+𝑎𝑛(𝑥−𝑥0)𝑛 +o((𝑥−𝑥0)𝑛)) ,

avec 𝑎0 ≠ 0 . Alors : 𝑓(𝑥) ∼𝑥→𝑥0

𝑎0(𝑥−𝑥0)𝑝.

Preuve Enmettant en facteur le premier terme, on obtient puisque𝑎0 ≠

0 :


𝑎0(𝑥−𝑥0)𝑝×

(1+𝑎1𝑎0

(𝑥−𝑥0)+𝑎2𝑎0

((𝑥−𝑥0)2 +...+𝑎𝑛𝑎0

((𝑥−𝑥0)𝑛 +o((𝑥−𝑥0)𝑛)) .

Il reste à faire tendre 𝑥 vers 𝑥0 et à constater que la parenthèse converge vers1. De plus, une autre écriture donne, en supposant 𝑎1 ≠ 0 :

𝑓(𝑥)−𝑎0(𝑥−𝑥0)𝑝 =𝑥→𝑥0

𝑎1(𝑥−𝑥1)𝑝+1(1+𝑎2𝑎1

(𝑥−𝑥0)+𝑎3𝑎1

(𝑥−𝑥0)2 +...

+𝑎𝑛𝑎1

(𝑥−𝑥0)𝑛−1 +o((𝑥−𝑥0)𝑛−1) ).

La parenthèse est positive pour 𝑥 assez proche de 𝑥0 (puisqu’elle tend vers1), donc le signede𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥)−𝑎0(𝑥−𝑥0)𝑝 au voisinagede zéro est donnéparcelui de 𝑥 ⟼ 𝑎1(𝑥−𝑥1)𝑝+1. Si 𝑎1 = 0 on factorise simplement par le premiercoefficient non nul.

Méthode (Recherche d’équivalent/Signe local d’une fonction)WRENCH

On lit :1 — un équivalent de fonction au voisinage de 𝑥0 en regardant le premierterme non nul du DL𝑛(𝑥0) pour un certain entier 𝑛 assez grand (de sorteque le dévleoppement limité ne soit pas nul).2 — le signe de 𝑓 au voisinage de 𝑥0 grâce à celui de 𝑎0(𝑥−𝑥0)𝑝. Cela dépenddonc de la parité de 𝑝 notamment.

Nous allons voir à présent comment obtenir concrètement l’expression d’un dé-veloppement limité. La formule deTaylor-Young ci-dessous nous propose une hy-pothèse (caractère 𝒞𝑛 fois dérivable) pour avoir l’existence d’un développementlimité à l’ordre 𝑛, en plus les coefficients du développement sont donnés par lesdérivées successives de la fonction. Bien entendu, nous n’allons pas nous amu-ser à calculer ces dérivées successives à chaque fois. Nous allons plutôt calculerles développements des fonctions usuelles, puis effectuer des opérations (somme,produit, primitivation, etc....) pour obtenir celui qui nous intéresse.



4.2. Développement géométrique

Rappelons que pour tout 𝑛 ∈N et 𝑥 ∈]−∞,1[, on a :

11−𝑥

=𝑛∑𝑘=0

𝑥𝑘 +𝑥𝑛+1

1−𝑥

= 1+𝑥+𝑥2 +⋯+𝑥𝑛 +𝑥𝑛+1

1−𝑥

On en déduit le DL𝑛(0) :

Théorème ANA.7.22 | Développement limité géométrique

11−𝑥

=𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

𝑥𝑘 +o(𝑥𝑛)

=𝑥→0

1+𝑥+𝑥2 +⋯+𝑥𝑛 +o(𝑥𝑛).

On en déduit aisément, par changement de variable dans la limite, les développe-ments suivants :

11+𝑥

=𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

(−𝑥)𝑘 +o(𝑥𝑛)

=𝑥→0

1−𝑥+𝑥2 −𝑥3 +⋯+(−𝑥)𝑛 +o(𝑥𝑛)

11−𝑥2 =

𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

𝑥2𝑘 +o(𝑥2𝑛)

=𝑥→0

1+𝑥2 +𝑥4 +𝑥6 +⋯+𝑥2𝑛 +o(𝑥2𝑛)

4.3. Développements obtenus par la formule de Taylor-Young.

Pour obtenir notamment celui de l’exponentielle, nous allons nous servir de la for-mule de Taylor-Young.

Théorème ANA.7.23 | Formule de Taylor-YoungSoit 𝑓 ∈ 𝒞𝑛(I,R)a, où I est un intervalle tel que 𝑥0 ∈ I. Alors 𝑓 admet unDL𝑛(𝑥0) :

𝑓(𝑥) =𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

𝑓(𝑘)(𝑥0)𝑘!

(𝑥−𝑥0)𝑘 +o((𝑥−𝑥0)𝑛) ,

=𝑥→0

𝑓(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)+𝑓′′(𝑥0)

2!(𝑥−𝑥0)2 +⋯+

𝑓(𝑛)(𝑥0)𝑛!

(𝑥−𝑥0)𝑛

+o((𝑥−𝑥0)𝑛) .

Attention×

Il existe des fonctions admettant un développement limité à l’ordre 𝑛 maisqui ne sont pas 𝒞𝑛 (on peut regarder à nouveau l’Exemple 21) précédent. Laformule deTaylor-Young donne une conditionnécessaire uniquement pourl’existence d’un développement limité.

Preuve Récurrence sur 𝑛 ∈ N, en admettant provisoirement leLemme ANA.7.1 (de primitivation des développements limités) présentéplus bas.

Caret-right Pour 𝑛 = 0 : la formule correspond à la définition de la continuité de 𝑓en 𝑥0.

Caret-right Supposons la formule vérifiée à l’ordre 𝑛. Soit 𝑓 une fonction de classe𝒞𝑛+1. Alors 𝑓′ est de classe𝒞𝑛, et donc on peut lui appliquer la formulede Taylor-Young :

𝑓′(𝑥) =𝑛∑𝑘=0

𝑓(𝑘+1)(𝑥0)𝑘!

(𝑥−𝑥0)𝑘 +o((𝑥−𝑥0)𝑛) .

Le résultat de primitivation terme à terme (Lemme ANA.7.1) fournitalors :

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)+𝑛∑𝑘=0

𝑓(𝑘+1)(𝑥0)(𝑘+1)!

(𝑥−𝑥0)𝑘+1 +o((𝑥−𝑥0)𝑛+1) .

aCe n’est pas la meilleure hypothèse, mais celle du programme. On pourrait la supposer 𝒟𝑛 sur Isi 𝑛 ≠ 0 et continue sinon.



Il reste alors à effectuer le changement de variable ℓ = 𝑘 + 1 dans lasomme, cela nous donne la formule de Taylor-Young à l’ordre 𝑛+1.

PEN-FANCY

Pour tout𝑛 ∈N, on en déduit les développements limités suivants au voisinage de0 :

Proposition ANA.7.13 | Développements limités provenant de Taylor-Young

e𝑥 =𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

𝑥𝑘

𝑘!+o(𝑥𝑛)

=𝑥→0

1+𝑥+𝑥2

2!+⋯+

𝑥𝑛

𝑛!+o(𝑥𝑛)

cos𝑥 =𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

(−1)𝑘𝑥2𝑘

(2𝑘)!+o(𝑥2𝑛+1)

=𝑥→0

1−𝑥2

2!+

𝑥4

4!+⋯+(−1)𝑛

𝑥2𝑛

(2𝑛)!+o(𝑥2𝑛+1) ,

sin𝑥 =𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

(−1)𝑘𝑥2𝑘+1

(2𝑘+1)!+o(𝑥2𝑛+2)

=𝑥→0

𝑥−𝑥3

3!+

𝑥5

5!+⋯+(−1)𝑛

𝑥2𝑛+1

(2𝑛+1)!+o(𝑥2𝑛+2) ,

(1+𝑥)α =𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

( ∏0⩽𝑞<𝑘

(α−𝑞))𝑥𝑘

𝑘!+o(𝑥𝑛)

=𝑥→0

1+α𝑥+α(α−1)

2!𝑥2 +⋯+

α(α−1)⋯(α−𝑛+1)𝑛!

𝑥𝑛 +o(𝑥𝑛) ,

pour tout α ∈R.

Exemple 22— On en déduit par exemple :

√1+𝑥 =𝑥→0

1+𝑥2

−𝑥2

8+o(𝑥2) ,

1√1+𝑥

=𝑥→0

1−𝑥2

+38𝑥2 +o(𝑥2) .

Exemple 23— Déterminer un développement limité à l’ordre 𝑥 ⟼ √ 1−𝑥1+𝑥 au voi-

sinage de zéro à l’ordre 2.

PEN-FANCY



Exemple 24— Moyenne géométrique continue

1 — Montrer que : ∀𝑎,𝑏 > 0, lim𝑥→∞

(𝑎1𝑥 +𝑏

1𝑥

2 )𝑥= √𝑎𝑏.

2 — À quoi vous fait penser cette égalité?

PEN-FANCY

Puisque e𝑦 =𝑦→0

1 + 𝑦 + o(𝑦), et que 𝑎1/𝑥 = e1/𝑥 ln(𝑎), 𝑏1/𝑥 = e1/𝑥 ln(𝑏), il vient que

𝑎1/𝑥,𝑏1/𝑥 𝑥→∞−−−−→ 0 donc :

𝑎1𝑥 +𝑏

1𝑥

2=

𝑥→∞1+

ln𝑎+ ln𝑏2𝑥

+o(𝑥) .

Mais ln𝑦 =𝑦→0

𝑦+o(𝑦), donc

𝑥 ln(𝑎

1𝑥 +𝑏

1𝑥

2) =𝑥→∞

𝑥 ln(1+ln𝑎+ ln𝑏

2𝑥+o(

1𝑥)) =

ln𝑎+ ln𝑏2

+o(1) = ln√𝑎𝑏+o(1) .

Doncfinalement, par composition de limites, exp(𝑥 ln(𝑎1𝑥 +𝑏

1𝑥

2 )) 𝑥→∞−−−−→ √𝑎𝑏. C’estce qu’on voulait.

Constatons avec Python la bonne approximation de l’exponentielle par sa partierégulière lorsque l’on augmente 𝑛.

PythonApproximation de l exponentielle par sa partie régulière

1 import numpy as np2 import matplotlib.pyplot as plt3 import math as ma4

5 def regul_exp(n,x):6 '''7 renvoie la partie régulière de l exponentielle à l ordre n8 '''9 res = 1

10 if n == 0:11 return res12 for i in range(1,n+1):13 res += x**n/ma.factorial(n)14 return res15

16 x = np.linspace(-4,4,1000)17 y = np.exp(x)18 z = regul_exp(1,x)19 t = regul_exp(3,x)20 u = regul_exp(7,x)21 plt.plot(x,y, label="exponentielle")22 plt.plot(x,z, label="n=1")



Python23 plt.plot(x,t, label="n=3")24 plt.plot(x,u, label="n=7")25 plt.legend()

1 plt.show()#affichage dela figure↪

4.4. Développements obtenus par primitivation

Lemme ANA.7.1 | Primitivation des 𝑜(⋯)Soient I un intervalle, 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction dérivable sur I, 𝑥0 ∈ I et 𝑛 ∈ N.Si

𝑓′(𝑥) =𝑥→𝑥0

o((𝑥−𝑥0)𝑛) ,

alors


𝑓(𝑥0)+o((𝑥−𝑥0)𝑛+1) .

Preuve Supposons dans un premier temps que 𝑓 soit à valeurs réelles.Soit 𝑥 ∈ I ⧵ {𝑥0}. Notons I𝑥 (resp. I𝑥) l’intervalle ]𝑥0,𝑥[ (resp. [𝑥0,𝑥]) si 𝑥0 < 𝑥,et ]𝑥,𝑥0[ (resp. [𝑥,𝑥0]) si 𝑥 < 𝑥0. La fonction 𝑓 est continue sur I𝑥 et dérivablesur I𝑥, donc par l’égalité des accroissements finis, valable uniquement pourles fonctions à valeurs réelles, on sait qu’il existe 𝑐𝑥 ∈ I𝑥 tel que :


= 𝑓′(𝑐𝑥).

Comme 𝑐𝑥 ∈ I𝑥, alors 0 < |𝑐𝑥 −𝑥0| ⩽ |𝑥−𝑥0|. On en déduit :

||||𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)(𝑥−𝑥0)𝑛+1

||||=

1|𝑥−𝑥0|𝑛

|𝑓′(𝑐𝑥)| ⩽||||

𝑓′(𝑐𝑥)(𝑐𝑥 −𝑥0)𝑛

||||.

Or par hypothèse||||

𝑓′(𝑡)(𝑡 −𝑥0)𝑛

||||𝑥→𝑥0−−−−→ 0, et 𝑐𝑥

𝑥→𝑥0−−−−→ 𝑥0 (car 𝑐𝑥 ∈ I𝑥), d’où par

composition de limites :

||||𝑓′(𝑐𝑥)

(𝑐𝑥 −𝑥0)𝑛||||𝑥→𝑥0−−−−→ 0.

Par le théorème de convergence par encadrement, il vient donc||||𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)(𝑥−𝑥0)𝑛+1

||||𝑥→𝑥0−−−−→ 0, d’où le résultat dans le cas où 𝑓 est à valeurs

réelles.

Théorème ANA.7.24 | Primitivation de développement limitéSoient I un intervalle contenant 𝑥0 et 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction dérivable. Onsuppose que 𝑓′ admet un DL𝑛(𝑥0) de la forme :

𝑓′(𝑥) =𝑥→𝑥0

𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘(𝑥−𝑥0)𝑘 +o((𝑥−𝑥0)𝑛)

=𝑥→𝑥0

𝑎0 +𝑎1(𝑥−𝑥0)+⋯+𝑎𝑛(𝑥−𝑥0)𝑛 +o((𝑥−𝑥0)𝑛) .

Alors 𝑓 admet unDL𝑛+1(𝑥0) dont la partie régulière est obtenue en primitivantcelle de 𝑓′ et en ajoutant 𝑓(𝑥0) :


𝑓(𝑥0)+𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑘+1

(𝑥−𝑥0)𝑘+1 +o((𝑥−𝑥0)𝑛+1)

=𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥0) +𝑎0(𝑥−𝑥0)+𝑎12

(𝑥−𝑥0)2 +⋯+𝑎𝑛

𝑛+1(𝑥−𝑥0)𝑛+1

+ o((𝑥−𝑥0)𝑛+1) .

Preuve Il suffit d’appliquer le lemme précédent à la fonction 𝑔 définie

par : 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑘+1

(𝑥−𝑥0)𝑘+1.



Le théorème précédent permet d’obtenir de nouveaux développements limités.Pour tout 𝑛 ∈N (le cas échéant) :

Proposition ANA.7.14 | Développements limités obtenus par

ln(1+𝑥) =𝑥→0

𝑛∑𝑘=1

(−1)𝑘+1𝑥𝑘

𝑘+o(𝑥𝑛) ,

=𝑥→0

𝑥−𝑥2

2+

𝑥3

3−

𝑥4

4+⋯+(−1)𝑛+1

𝑥𝑛

𝑛+o(𝑥𝑛) .

arctan𝑥 =𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

(−1)𝑘𝑥2𝑘+1

2𝑘+1+o(𝑥2𝑛+2) ,

=𝑥→0

𝑥−𝑥3

3+

𝑥5

5+⋯+(−1)𝑛

𝑥2𝑛+1

2𝑛+1+o(𝑥2𝑛+2) .

Preuve Il suffit de primitiver les développements limités de 𝑥 ⟼ 11+𝑥 et

𝑥 ⟼ 11+𝑥2 au voisinage de zéro.

Exemple 25— Faire l’étude locale de 𝑓(𝑥) =ln(1−2𝑥)

1+𝑥au voisinage de 0.

PEN-FANCY

4.5. Développements obtenus par produits

Théorème ANA.7.25 | Produit de développements limités.Si deux fonction 𝑓 et 𝑔 admettent des DL𝑛(0) de parties régulières F et G res-pectivement, alors 𝑓𝑔 admet un DL𝑛(0) de partie régulière obtenue en ne gar-dant que les termes de degré inférieur ou égal à 𝑛 dans le produit FG.

Preuve Multiplier et tronquer le développement limité obtenu.

Exemple 26— Déterminons le DL2(0) de √1+𝑥.cos𝑥.

PEN-FANCY



Remarque 4.2— Ordre d’un produit de développements limités

Caret-right Les termes d’ordre strictement supérieur à 𝑛 n’ont pas de signification parti-culière et sont absorbés par le o(𝑥𝑛). On ne doit surtout pas les garder... Dansle cas contraire, l’identité fournie ne sera pas un développement limité.

Caret-right Il est important d’observer que si l’on effectue le produit de deux dévelop-pements limités dont les premiers coefficients sont nuls, alors on gagne desordres dans le développement limité produit ! Ceci sert pour prévoir les ordrenécessaires dans chacun des facteurs lorsque l’on veut un certain ordre pourle produit.

Exemple 27— Donner le développement limité d’ordre maximal2 de (𝑥2 −2𝑥3 +o(𝑥3))(5𝑥3 −𝑥4 +o(𝑥4)) au voisinage de zéro.

PEN-FANCY

2Compte tenu des informations que l’on vous donne.

Exemple 28— Déterminer un développement limité des expressions sui-vantes :

1 — 𝑥 ⟼ (cos𝑥−1)(sin𝑥−𝑥) à l’ordre sept en zéro. PEN-FANCY Le premier terme decos−1 est d’ordre deux, le premier de 𝑥 ⟼ sin(𝑥)−𝑥 est d’ordre trois. Donc il vafalloir pousser le développement limité de cos−1 à l’ordre 4 (solution de 3+𝑝 = 7avec 𝑝 ∈ N) et il va falloir pousser le développement limité de 𝑥 ⟼ sin(𝑥) − 𝑥 àl’ordre 3 (solution de 4+𝑝 = 7 avec 𝑝 ∈N. Ceci étant dit, passons aux calculs.

(cos𝑥−1)(sin𝑥−𝑥) = (−𝑥2

2+

𝑥4

4!+o(𝑥4))(−

𝑥3

3!+

𝑥5

5!+o(𝑥5))

=𝑥5

6−𝑥7 (

12.5!

+1

4!3!)+o(𝑥7) .

2 — sin6 à l’ordre 8,PEN-FANCY



11±𝑥

exp

Somme géométrique Taylor - Young

ln(1+𝑥)arctan

Primitivation

cos sin

(1+𝑥)α

FIG. ANA.7.1. : Carte mentale des développements limités

4.6. Composition de développements limités

Par exemple, supposons connu un DL𝑛(0) d’une fonction 𝑓 est connu

𝑓(𝑥) =𝑥→0

𝑎0 +𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2 +...+𝑎𝑛𝑥𝑛 +o(𝑥𝑛) .

Peut-on écrire

𝑓(−𝑥) =𝑥→0

𝑎0 −𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2 +...+ (−1)𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛 +o(𝑥𝑛) ?

La réponse est oui—par composition de limites (puisqueo(𝑥𝑛) = o((−𝑥)𝑛)). Nousavons déjà utilisé cet argument. De manière plus générale, on a le théorème sui-vant.

Théorème ANA.7.26 | Composition de développements limités [H.P]Si deux fonction 𝑓 et 𝑔 admettent des DL𝑛(0) de parties régulières F et G res-pectivement et si 𝑓(𝑥) 𝑥→0−−−→ 0, alors :la fonction 𝑔 ∘𝑓 admet un DL𝑛(0) de partie régulière obtenue en ne gardant

que les termes de degré inférieur ou égal à 𝑛 dans la composée G∘F.

Preuve Ecrivons le DL𝑛(0) de 𝑔 au voisinage de 0 :

𝑔(𝑦) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑦𝑘 +𝑦𝑛ε(𝑦) où ε(𝑦) 𝑦→0−−−→ 0.

En évaluant en 𝑦 = 𝑓(𝑥), on en déduit que pour 𝑥 voisin de zéro :

𝑔(𝑓(𝑥)) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑓(𝑥)𝑘 +𝑓(𝑥)𝑛ε(𝑓(𝑥)).

Or, 𝑓(𝑥) 𝑥→0−−−→ 0, d’où l’on déduit d’une part que, par composition de li-mites :

ε(𝑓(𝑥)) =𝑥→0

o(1)

et d’autre part que :

𝑓(𝑥)𝑛 =𝑥→0

𝑥𝑛.M(𝑥)

où M est une fonction définie bornée au voisinage de zéro. En effet,1 — Si 𝑛 > 0, alors puisque lim

𝑥→0𝑓(𝑥) = 0, le premier terme du développe-

ment limité est nul, donc 𝑓(𝑥)𝑛 ∼𝑥→0

𝑥𝑛 +o(𝑥𝑛) (par exemple avec la formuledu binôme). En mettant 𝑥𝑛 en facteur, le résultat s’en suit.2 — Si 𝑛 = 0, c’est immédiat.

On a donc :

𝑔(𝑓(𝑥)) =𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑓(𝑥)𝑘 +𝑥𝑛.M(𝑥).o(1)

et par produit de développements limités :

𝑔(𝑓(𝑥)) =𝑥→0

𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘F(𝑥)𝑘 +o(𝑥𝑛) =𝑥→0

G∘F(𝑥)+o(𝑥𝑛) .



Remarque 4.3— Ce théorème est hors programme : vous devrez refaire le raison-nement correspondant à chaque utilisation. Néanmoins la démonstration nousfournit une méthode systématique.

Exemple 29— On note 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ ln(cos𝑥).

1 — Déterminer le domaine de définition de 𝑓 et justifier qu’elle admet un déve-loppement limité à l’ordre quatre au voisinage de zéro.PEN-FANCY

2 — Déterminons ce DL4(0) de 𝑓(𝑥) = ln(cos𝑥).PEN-FANCY




5. EXERCICES

5.1. Généralités sur les fonctions

[ALG_Ev_66.tex]

Exercice ANA.7.1 Fonctions à variations bornées (Solution : 43) Soit D ⊂ R. Onconsidère Δ = {𝑓−𝑔, 𝑓,𝑔 croissantes sur D}. On l’appelle l’ensemble des fonctionsà variations bornées.

Montrer que Δ est un sous-espace vectoriel de RD.

Exercice ANA.7.2 Fonctions hyperboliques Faire l’étude complète des fonctionsch et sh définies ci-dessous :

ch ∶ 𝑥 ∈R⟼e𝑥 +e−𝑥

2, sh ∶ 𝑥 ∈R⟼

e𝑥 −e−𝑥

2.

5.2. Continuité

[AN_Cont_1.tex]

Exercice ANA.7.3 (Solution : 43) Étudier la définition et la continuité éventuelle de𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ (−1)⌊𝑥⌋ (𝑥−⌊𝑥⌋− 1

2 ). [AN_Cont_17.tex]

Exercice ANA.7.4 (Solution : 43) Soient 𝑓 et 𝑔 définies sur R par : 𝑓(𝑥) =⌊𝑥⌋sin(π𝑥) 𝑔(𝑥) = ⌊𝑥⌋sin(𝑥).Étudier leur continuité sur R.

[AN_Cont_18.tex]

Exercice ANA.7.5 (Solution : 43) Soit 𝑓 ∈ 𝒞0(R,R) telle que : ∀𝑥, 𝑓(𝑥) =𝑓(sin𝑥).

1 — Montrer que 𝑓 est bornée sur R.

2 — Montrer que 𝑓 est constante sur R.[AN_Cont_19.tex]

Exercice ANA.7.6 Soit 𝑓 ∶ [0;1] ⟶R continue, telle que 𝑓(0) = 𝑓(1).Montrer qu’il existe 𝑥1 et 𝑥2 dans [0;1] tels que 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) et 𝑥1 −𝑥2 = 1

2 .[AN_Cont_20.tex]

Exercice ANA.7.7 On cherche à déterminer les fonctions 𝑓 ∶ R+∗ → R+∗, conti-nues, ayant pour limite zéro en +∞, et vérifiant :

(⋆) ∀(𝑥,𝑦) ∈ (R+∗)2, 𝑓(𝑥𝑓(𝑦)) = 𝑦𝑓(𝑥).

Soit 𝑓 une telle fonction.

1 — Que donne la relation (⋆) pour 𝑦 = 1? Montrer par l’absurde que 𝑓(1) = 1.2 — Que donne la relation (⋆) pour 𝑥 = 1?En déduire que 𝑓 réalise une bijection strictement décroissante de R+∗ sur R+∗.3 — Montrer que 1 est l’unique point fixe de 𝑓.4 — Montrer, à l’aide de (⋆) pour 𝑦 = 𝑥 que : ∀𝑥 ∈R+∗, 𝑓(𝑥) = 1

𝑥

5.3. Dérivabilité

[AN_Der_19.tex]

Exercice ANA.7.8 Calculer, après avoir justifié leur existence, les dérivées d’ordre𝑛 de :

1 — la fonction 𝑔 définie par 𝑔(𝑥) = 𝑥3+1(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3) , pour tout 𝑥 dans un ensemble

à préciser.2 — la fonction ℎ définie par ℎ(𝑥) = sin(3𝑥)cos(2𝑥), pour tout 𝑥 dans un en-semble à préciser.

[AN_Der_20.tex]

Exercice ANA.7.9 Soit 𝑔 la fonction définie sur [0,+∞[ par : ∀𝑥 ∈[0,+∞[, 𝑔(𝑥) = e𝑥 −𝑥e𝑥 +1.



1 — Déterminer la limite de 𝑔 en +∞.2 — Étudier les variations de 𝑔 et tracer son tableau de variation.3 — Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution sur R+. On noteα cette solution.4 — TERMINALPython Écrire un programme ValeurApprocheeAlpha qui calcule une valeurapprochée de α à ε = 10−3 près.5 — Soit A la fonction définie sur [0,+∞[ par : ∀𝑥 ∈ [0,+∞[, A(𝑥) = 4𝑥

e𝑥+1 .5.1) Etudier la dérivabilité de A, et écrire A′ en fonction de 𝑔.5.2) En déduire les variations de A sur R+.

[AN_Der_29.tex]

Exercice ANA.7.10 En utilisant le théorème des accroissements finis, détermi-ner

lim𝑥→∞

((𝑥+1)e1

𝑥+1 −𝑥e1𝑥 ) .

[AN_Der_12.tex]

Exercice ANA.7.11 Majoration à la «Taylor-Lagrange» (Solution : 44) Soit 𝑓 ∈𝒞2(R+∗,R). On suppose que lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = 0 et que la fonction 𝑥 ↦ 𝑥2𝑓′′(𝑥) estbornée sur R+∗.

1 — Montrer que pour tout 𝑥 ∈R+∗ et 𝑎 ∈]0,1[, il existe ξ ∈]𝑎𝑥,𝑥[ tel que :

𝑓(𝑎𝑥) = 𝑓(𝑥)− (1−𝑎)𝑥𝑓′(𝑥)+(1−𝑎)2

2𝑥2𝑓′′(ξ).

Indication : On pourra considérer la fonction φ ∶ 𝑡 ⟼ 𝑓(𝑡)−𝑓(𝑥)−(𝑥−𝑡)𝑓′(𝑥)+(𝑥−𝑡)2

2 A avec A ∈ R à choisir correctement.2 — En déduire que lim𝑥→0𝑥𝑓′(𝑥) = 0.

[AN_Der_30.tex]

Exercice ANA.7.12 Théorèmede la limite de la dérivée Montrer que si 𝑓 est conti-nue sur [𝑎,𝑏] et derivable sur ]𝑎,𝑏] et que 𝑓′ admet une limite finie quand 𝑥 ⟶ 𝑎,alors 𝑓 est dérivable en 𝑎. Montrer que 𝑓′(𝑎) = lim

𝑥→𝑎𝑓′(𝑥).

[AN_CCAgroVeto_11.tex]

Exercice ANA.7.13 A-ENV2016 Ce sujet étudie une approximation de la fonction𝑓 ∶R⟶R,𝑥 ⟼ 𝑥2 +1. Pour 𝑛 dans N On définit la fonction 𝑓𝑛 par :

𝑓𝑛(𝑥) =1

𝑛+1

𝑘=𝑛∑

𝑘=−𝑛

||||𝑥−𝑘𝑛

|||| .

1 — 1.1) TERMINALPython Écrire une fonctionpythonprenant commearguments𝑥 et𝑛quidonne en retour la valeur de 𝑓𝑛(𝑥).

1.2) TERMINALPython Tracer sur le même dessin (à l’aide de la bibliothèquematplotlib.pyplot par exemple) la courbe de 𝑓 et de 𝑓5 pour 𝑥 ∈ [−2,2].Quelle conjecture peut-on faire?

2 — Pour 𝑛 ∈ N, fixé, étudier la fonction 𝑓𝑛. En particulier, étudier sa parité, sesdomaines de continuité et de dérivabilité, ainsi que ses variations.3 — On fixe 𝑥 ∈ [1,+∞[, trouver la limite de 𝑓𝑛(𝑥) quand 𝑛 → +∞.

4 — On fixe 𝑥 ∈ [0,1]. En remarquant que S𝑛 =1𝑛

𝑘=𝑛∑𝑘=1

||||𝑥−𝑘𝑛

|||| est une somme de

Riemann, déterminer la limite de 𝑓𝑛(𝑥) quand 𝑛 → +∞.

5.4. Développements limités

Exercice ANA.7.14 Opération nettoyage «Nettoyer» les expressions suivantes.

1 — … =𝑥→0

1𝑥2 +o( 1

𝑥2 )+3+ 1𝑥 +o( 1𝑥 ),

2 — … =𝑥→0

𝑥+o(𝑥)+𝑥 ln𝑥+o(𝑥2 ln𝑥)+𝑥2 +o(𝑥2),

3 — … =𝑛→∞

1√𝑛

+ 12𝑛 +o( 1

2𝑛 )+1𝑛 +o( 1𝑛 )+ 1

𝑛2 . [AN_DL_3.tex]

Exercice ANA.7.15 (Solution : 44) Calculer les développements limités suivants auvoisinage de zéro :𝑥 ⟼ √1+ sin𝑥 à l’ordre 3, 𝑥 ⟼

3√cos𝑥1+𝑥2 −ecos𝑥 à l’ordre 5.

[AN_DL_4.tex]



Exercice ANA.7.16 (Solution : 44) Calculer les développements limités suivants auvoisinage de zéro :𝑥 ⟼ ln(1+ sin𝑥)− sin ln(1+𝑥) à l’ordre 5, 𝑥 ⟼ 𝑥−sin𝑥

1−cos𝑥 à l’ordre 3.[AN_DL_5.tex]

Exercice ANA.7.17 (Solution : 45) Calculer les limites suivantes :lim𝑛→∞ (3 𝑛√2−2 𝑛√3)

𝑛, lim𝑥→0(cos𝑥)

1𝑥2 .

[AN_DL_32.tex]

Exercice ANA.7.18 On définit Ψ||||||

]0;1[ ⟶ R

𝑥 ⟼ −𝑥+ln(1−𝑥)𝑥2

.

1 — Écrire un développement limité de ψ à l’ordre deux en zéro.2 — En déduire que Ψ est prolongeable en zéro par continuité, est-elle aussi dé-rivable en zéro?3 — Donner l’équation de la tangente à Ψ en zéro. Faire un dessin pour donnerl’allure de la courbe de Ψ au voisinage de zéro à droite. Justifier.4 — Montrer que Ψ ainsi prolongée est de classe 𝒞1 sur ]0;1[.5 — Montrer que Ψ définit une bijection de ]0;1[ dans un ensemble D à préciser.Indication : On pourra poser Ψ′(𝑥) = ℎ(𝑥)

𝑥3 et étudier le signe de ℎ.

Exercice ANA.7.19 SoitE = 𝒞𝑛(I,R) avec𝑛 ⩾ 1 et Iun intervalle ouvert contenantzéro. On considère l’application Δ𝑛 ∶ 𝑓 ∈ E ⟼ 𝑓−R𝑛(𝑓) où R𝑛(𝑓) désigne la partierégulière du développement de 𝑓 à l’ordre 𝑛 au voisinage de zéro.

Montrer que Δ𝑛 est une application linéaire. Quel est l’entier 𝑝 maximal tel queΔ𝑛(𝑓)(𝑥)

𝑥𝑝 converge quand 𝑥 ⟶ 0?

5.5. Pour les 5/2

[AN_Der_28.tex]

Exercice ANA.7.20

1 — Soit 𝑓 ∶R⟶R une fonction dérivable en zéro, calculer lim𝑥→0

𝑓(2𝑥)−𝑓(𝑥)𝑥 .

2 — Supposons désormais que lim𝑥→0

𝑓(2𝑥)−𝑓(𝑥)𝑥 existe et vaut ℓ ∈R.

2.1) Montrer que : ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀𝑥 ∈ ]−α;α[,|||𝑓(𝑥)−𝑓( 𝑥

2𝑛 )−ℓ𝑥∑𝑛𝑘=1

12𝑘

||| ⩽ ε|𝑥|∑𝑛𝑘=1

12𝑘 .

2.2) La fonction 𝑓 est-elle dérivable en zéro?

Exercice ANA.7.21 Extrait A-ENV Soit 𝑡 ⩾ 0, pour tout 𝑥, on pose P𝑡(𝑥) = 𝑥3 +𝑡𝑥−1.

1 — Montrer que P𝑡 admet une unique racine réelle 𝑢(𝑡).2 — 2.1) Montrer que 𝑢(R+) ⊂]0,1].2.2) Démontrer que 𝑢 est strictement décroissante sur R+.2.3) Calculer lim

𝑡→∞𝑢(𝑡). Indication : Utiliser l’expression de P𝑡(𝑢(𝑡)).

2.4) Montrer que 𝑢 est bijective de R+ vers ]0,1], de réciproque :

𝑣 ∶⎧⎨⎩

]0;1] →R+

𝑦 ⟼ 1−𝑦3

𝑦

.

2.5) TERMINALPython Représenter graphiquement cette fonctionà l’aidedePythonsur ]0,1].En déduire le tracé de la représentation graphique de 𝑢.

2.6) Justifier que la fonction 𝑢 est continue sur R+.2.7) Démontrer que la fonction𝑢 est dérivable surR+, puis déterminer, pour tout

𝑡 ⩾ 0, une expression de 𝑢′(𝑡) en fonction de 𝑡 et 𝑢(𝑡).[AN_PB_Cont_1.tex]

Problème ANA.7.1 (Solution : 45) On appelle corde universelle tout réel ℓ ∈]0,1]pour lequel il existe une corde horizontale de longueur ℓ pour la courbe repré-sentative de toute fonction continue 𝑓 ∶ [0,1] ⟶ R telle que 𝑓(0) = 𝑓(1) = 0.L’existence d’une telle corde équivaut à l’existence d’un réel 𝑥 ∈ [0,1 −ℓ] tel que𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥+ℓ) pour toute fonction continue.L’objectif de cet exercice est de déterminer quelles sont les cordes universelles.

1 — On suppose que ℓ =1𝑛

, où 𝑛 ∈N∗. Soit 𝑓 ∶ [0,1] ⟶R une fonction continuetelle que 𝑓(0) = 𝑓(1) = 0.



1.1) On forme une nouvelle fonction 𝑔 définie par :

𝑔||||||

[0,1−ℓ] ⟶ R

𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥+ℓ)−𝑓(𝑥).

1.2) Calculer la quantité

S =𝑛−1∑𝑘=0

𝑔(𝑘𝑛

).

1.3) En déduire que la courbe représentative de 𝑓 admet une corde horizontalede longueur ℓ, puis que ℓ est une corde universelle.

2 — Soit ℓ ∈]0,1] tel que1ℓ

∉N∗. On définit :

ℎ ∶

|||||||||||

R ⟶ R

𝑥 ⟼⎛⎜⎝

sin(π𝑥ℓ)

sin(πℓ)

⎞⎟⎠

2

.

2.1) Montrer que ℎ ∶ R ⟶ R est définie, continue. Étudier sa périodicité et cal-culer ℎ(0),ℎ(1).

2.2) En considérant la fonction :

𝑓 ∶||||||

[0,1] ⟶ R

𝑥 ⟼ ℎ(𝑥)−𝑥

montrer que ℓ n’est pas une corde universelle.3 — Conclure.




Solution (exercice ANA.7.1) (Énoncé : 39)

Caret-right Nous avons Δ ⊂RD.Caret-right De plus, comme 0 = 0−0 et que la fonction nulle est croissante, il vient que

0RD est dans Δ.Caret-right Soient donc λ,μ ∈ R, et φ1 = 𝑓1 −𝑔1,φ2 = 𝑓2 −𝑔2 deux fonctions de Δ, où les

𝑓𝑖,𝑔𝑖 sont croissantes pour 𝑖 ∈ J1 , 2K.

λφ1 +μφ2 = λ(𝑓1 −𝑔1)+μ(𝑓2 −𝑔2).

Plusieurs cas se présentent.Caret-right 1 — Si λ,μ ⩾ 0. Alors λφ1 +μφ2 = (λ𝑓1 +μ𝑓2) − (λ𝑔1 +μ𝑔2). Et cette écriture

fait bien apparaître une différence de fonctions croissantes.2 — Siλ ⩽ 0,μ ⩾ 0. Alorsλφ1+μφ2 = (λ𝑓1+μ𝑓2)−(λ𝑔1+μ𝑔2) = ((−λ)𝑔1+μ𝑓2)−((−λ)𝑓1+μ𝑔2). Alors comme −λ ⩾ 0, cette écriture fait encore bien apparaîtreune différence de fonctions croissantes.3 — Si λ ⩾ 0,μ ⩽ 0, on fait la même analyse avec l’écriture λφ1+μφ2 = (λ𝑓1+(−μ)𝑔2)− (λ𝑔1 +(−μ)𝑓2).4 — Si λ ⩽ 0,μ ⩽ 0. Alors λφ1 +μφ2 = ((−λ)𝑔1 +(−μ)𝑔2)− ((−λ)𝑓1 +(−μ)𝑓2).En conclusion, Δ est un sous-espace vectoriel de RD.

Solution (exercice ANA.7.3) (Énoncé : 39) La fonction est continue sur R\Z.Soit 𝑘 ∈ 2Z un entier pair. Alors lim𝑥→𝑘,> 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑘,> (𝑥−⌊𝑥⌋− 1

2 ) = − 12 , même

chose à gauche :lim𝑥→𝑘,< 𝑓(𝑥) = − lim𝑥→𝑘,< (𝑥− (𝑘−1)− 1

2 ) = − 12 , bref 𝑓 est continue également

aux entiers pairs.Soit 𝑘 ∈ 2Z + 1, lim𝑥→𝑘,> 𝑓(𝑥) = − lim𝑥→𝑘,> (𝑥−⌊𝑥⌋− 1

2 ) = 12 et lim𝑥→𝑘,< 𝑓(𝑥) =

lim𝑥→𝑘,< (𝑥− (𝑘−1)− 12 ) = 1

2 , elle l’est aussi aux entiers impairs.

Donc : 𝑓 est continue sur R tout entier . Pour information, voici son graphe :

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

0𝑓

Solution (exercice ANA.7.4) (Énoncé : 39) Les fonctions 𝑓 et 𝑔 sont trivialementcontinues sur R ⧵Z.Étudions la continuité aux entiers relatifs 𝑘 ∈ Z. On a : lim

𝑥→𝑘+𝑓(𝑥) =

lim𝑥→𝑘+

(𝑘× sin(𝑘π)) = 𝑘 × 0 = 0. De-même, on a : lim𝑥→𝑘−

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→𝑘−

((𝑘−1)× sin(𝑘π)) = (𝑘−1)(−1)𝑘−1 = 0.En revanche, pour 𝑔, nous obtiendrons de la même façon :lim𝑥→𝑘+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑘+

(𝑘× sin(𝑘)) = 𝑘sin𝑘 et lim𝑥→𝑘−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑘+

((𝑘−1)× sin(𝑘)) =(𝑘 − 1)sin𝑘 ≠ 𝑘sin𝑘 dès que sin𝑘 ≠ 0. En conclusion :𝑓 est continue, 𝑔 ne l’est pas.




1 — On utilise le théorème des bornes atteintes. En effet, si 𝑓 vérifie l’équationfonctionnelle, alors comme la fonction 𝑥 ⟼ 𝑓(sin𝑥) est bornée puisque 𝑓 estcontinue bornée sur [−1,1], la fonction 𝑓 est alors automatiquement bornée elleaussi. Donc la fonction 𝑓 est bornée .2 — Itérons la relation. On obtient pour tout 𝑥 ∈ R : 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑢𝑛(𝑥)) pour tout𝑛 ∈ N où (𝑢𝑛(𝑥)) est la suite définie par (𝑢𝑛+1(𝑥) = sin(𝑢𝑛(𝑥)), 𝑢0(𝑥) = 𝑥. Consta-tons que 𝑓(π−𝑥) = 𝑓(𝑥) si 𝑓 est solution de l’équation fonctionnelle, donc il suffitdemontrer que 𝑓 est constante sur [0,π]. Or, si𝑢0 =∈ [0,π],𝑢1 ∈ [0,1] ⊂ [0,π/2]. Onmontre alors par récurrence que pour tout 𝑛 ⩾ 2, 𝑢𝑛(𝑥) ∈ [0,π/2] — c’est un inter-valle stable pour la suite, elle est donc majorée et minorée. Mais de plus, puisquesin(𝑥) ⩽ 𝑥 pour tout 𝑥 ∈ [0,2π], nous avons que (𝑢𝑛(𝑥)) est décroissante mino-rée donc convergente vers un ℓ ∈ R tel que ℓ = 𝑓(ℓ) puisque sin est continue. Orl’unique solution de cette équation est zéro.Conclusion : lim

𝑛→∞𝑢𝑛 = 0 et 𝑓 est constante sur R.


1 — On reproduit l’idée de démonstration de TAYLOR-LAGRANGE. On choisit uneconstante A telle que

𝑓(𝑎𝑥) = 𝑓(𝑥)− (1−𝑎)𝑥𝑓′(𝑥)+(1−𝑎)2

2𝑥2A,

𝑓(𝑎𝑥) = 𝑓(𝑥)− (𝑥−𝑎𝑥)𝑓′(𝑥)+(𝑥−𝑎𝑥)2

2A.

Et on souhaite montrer que A est une dérivée seconde de 𝑓 en un certain ξ. Onintroduit pour cela une fonction φ définie par

φ(𝑡) = 𝑓(𝑡)−𝑓(𝑥)+ (𝑥−𝑡)𝑓′(𝑥)−(𝑥−𝑡)2

2A.

On a φ(𝑥) = 0 = φ(𝑎𝑥). D’après le théorème de ROLLE, il existe ζ ∈]𝑎𝑥,𝑥[ tel que

φ′(ζ) = 0.

Mais φ′(𝑡) = 𝑓′(𝑡) − 𝑓′(𝑥) + (𝑥 − 𝑡)A. φ′ s’annule en 𝑥 et en ζ. En réappliquant lethéorème de ROLLE, on a l’existence d’un ξ ∈]𝑎𝑥,𝑥[ tel que

φ′′(ξ) = 0 = 𝑓′′(ξ)−A.

2 — Supposons que lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = 0. En faisant tendre 𝑥 vers 0, on obtient

lim𝑥→0

𝑥𝑓′(𝑥) = lim𝑥→0

1−𝑎2

𝑥2𝑓′′(ξ) ⩽1−𝑎

2sup𝑦∈R+∗

||𝑦2𝑓′′(𝑦)|| .

En faisant 𝑎 → 1, on obtient la nullité de la limite.

Solution (exercice ANA.7.15) (Énoncé : 40) On a sin𝑥 =𝑥→0

𝑥 − 𝑥36 + o(𝑥3) et d’autre

part √1+𝑢 =𝑢→0

1+ 𝑢2 − 𝑢2

8 + 𝑢316 +o(𝑢3). Comme sin𝑥 ⟶𝑥→0 0, on peut composer

les développements pour obtenir√1+ sin𝑥 =

𝑥→01+ 1

2 (𝑥− 𝑥36 )− 1

8𝑥2 + 1

16𝑥3 +o(𝑥3).

Le cosinus étant positif au voisinage de zéro, la seconde question a bien un senset la racine cubique a pour définition associée la forme exponentielle.Calculons :cos𝑥 =

𝑥→01− 𝑥2

2 + 𝑥424 +o(𝑥5) , 1

1+𝑥2 =𝑥→0

1−𝑥2 +𝑥4 +o(𝑥5) , Donc après calculs :3√cos𝑥1+𝑥2 −ecos𝑥 =

𝑥→0− 172100 + 39

100𝑥2 + 1679

400 𝑥4 +o(𝑥5)

Solution (exercice ANA.7.16) (Énoncé : 40) ln(1 + sin𝑥) − sin ln(1 + 𝑥) =ln (1+𝑥− 𝑥3

6 + 𝑥55! +o(𝑥5)) − sin (𝑥− 𝑥2

2 + 𝑥33 − 𝑥5

5 +o(𝑥5)). Comme sin(𝑥) ⟶𝑥→0 0et ln(1 + 𝑥) ⟶𝑥→0 0, on peut composer les développements limités, on obtientalors après simplifications :

ln(1+ sin𝑥)− sin ln(1+𝑥) =𝑥→0

−𝑥4

12+

𝑥5

8+o(𝑥5) .

On sait que 𝑥− sin𝑥 =𝑥→0

𝑥33! −

𝑥55! +o(𝑥5) et 1−cos𝑥 =

𝑥→0𝑥22! −

𝑥44! +o(𝑥4). Donc :

𝑥−sin𝑥1−cos𝑥 = 2

𝑥2

𝑥33! −

𝑥55! +o(𝑥

5)

1− 𝑥212 +o(𝑥3)

. Après la factorisation de 𝑥2 on peut cette fois utiliser le dé-

veloppement limité de 11−𝑢 lorsque𝑢 → 0pour l’inverser. Après calculs on obtient :

𝑥−sin𝑥1−cos𝑥 =

𝑥→0𝑥3 − 2

45𝑥3 +o(𝑥3).



Solution (exercice ANA.7.17) (Énoncé : 41) Pour tout 𝑛 ⩾ 1, (3 𝑛√2−2 𝑛√3)𝑛

=

exp (𝑛 ln (3 𝑛√2−2 𝑛√3)). En mettant en facteur 3 𝑛√2, on obtient

(3 𝑛√2−2 𝑛√3)𝑛= 2×3𝑛 ×exp(𝑛 ln(1− 2

3𝑛√ 3

2)).

Comme 𝑛√ 32 ⟶𝑛→∞ 1, on obtient (3 𝑛√2−2 𝑛√3)

𝑛⟶𝑛→∞ 2.

Pour tout 𝑥 assez proche de zéro la fonction est bien définie par sa forme expo-nentielle, et on a(cos𝑥)

1𝑥2 = exp ( 1

𝑥2 lncos𝑥) = exp ( 1𝑥2 ln (1− 𝑥2

2 +o(𝑥2))) = exp ( 1𝑥2 (−𝑥2

2 +o(𝑥2))).

Donc lim𝑥→0(cos𝑥)1𝑥2 = 1

√𝑒

Solution (problème ANA.7.1) (Énoncé : 41)

1 —2 — Comme ℓ =

1𝑛

, on a :

S =𝑛−1∑𝑘=0

𝑔(𝑘𝑛

) =𝑛−1∑𝑘=0

[𝑓(𝑘𝑛

+1𝑛

)−𝑓(𝑘𝑛

)] .

Il apparaît un télescopage :

S = 𝑓(𝑛𝑛

)−𝑓(0)

d’où :

S = 0 .

3 — La somme S est une somme nulle de réels. Il n’est pas possible que tous cesréels soient strictement positifs ou tous strictement négatifs. Ainsi, Il existe aumoins un terme positif𝑔(𝑎) et un terme négatif𝑔(𝑏). La fonction𝑔 étant continuesur l’intervalle d’extrémités 𝑎 et 𝑏, d’après le théorème des valeurs intermédiaires,elle s’annule en un réel 𝑐 ∈ [0,1−ℓ]. Or 𝑔(𝑐) = 0 signifie que 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑐+ℓ), doncle graphe de 𝑓 admet une corde horizontale de longueur ℓ . Ainsi, par définition,

ℓ est une corde universelle .

4 — 4.1) La fonction ℎ est continue et ℎ(0) = 0, ℎ(1) = 1 . Pour tout 𝑥 ∈R :

sin(π𝑥+ℓ

ℓ) = sin(π

𝑥ℓ

+π) = −sin(π𝑥ℓ)

donc :

ℎ(𝑥+ℓ) =

⎛⎜⎜⎜⎝

sin(π𝑥+ℓ

ℓ)

sin(πℓ)

⎞⎟⎟⎟⎠

2

=⎛⎜⎝

−sin(π𝑥ℓ)

sin(πℓ)

⎞⎟⎠

2

= ℎ(𝑥).

Ainsi, ℎ est ℓ–périodique .4.2) Pour la fonction 𝑓 définie dans l’énoncé, on a, par ℓ–périodicité de ℎ :

∀𝑥 ∈ [0,1−ℓ], 𝑓(𝑥+ℓ) = ℎ(𝑥+ℓ)− (𝑥+ℓ)

= ℎ(𝑥)−𝑥−ℓ

= 𝑓(𝑥)−ℓ

≠ 𝑓(𝑥).

Ainsi, 𝑓 n’admet pas de corde horizontale de longueur ℓ. Or, 𝑓 est bienune application continue de [0,1] dans R telle que 𝑓(0) = 𝑓(1) = 0. Ainsi,ℓ n’est pas une corde universelle .

5 — Le réel ℓ ∈]0,1] est une corde universelle si et seulement si1ℓ

∈N∗ .


Chapitre ANA.8. Équations différentielles

CHAPITRE ANA.8Équations différentielles

Résumé & Plan

NOus repassons en revue dans ce chapitre les principaux éléments de la théorie des équations différentielles vue enpremière année, et généralisons à un contexte plus général.

Ces équations apparaissent naturellement dans beaucoup de disciplines ; les lois de la mécaniques projetées dans unrepère sont des équations différentielles, les lois régissant l’électricité aussi (mailles pour la tension & noeuds pour l’in-tensité). En revanche ce chapitre sera insuffisant pour traiter des problèmes d’électromagnétisme où apparaissent deséquations aux dérivées partielles (cf. le chapitre sur les fonctions de plusieurs variables).Nous présenterons lesmodèles de dynamique des population au programme de BCPST, en commençant par le premierproposé par Malthus. On terminera par une méthode numérique au programme : la méthode d’Euler, dans un cadretrès général.

W

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Équations différentielles linéaires scalaires . . . . . . . . . . . . . 4

2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Équations différentielles linéaires du 1er ordre . . . . . . . 8

2.3. Équations différentielles linéaires du 2nd ordre à coeffi-cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. Technique du changement de fonction inconnue . . . . . 16

3. Quelques modèles de dynamique des populations . . . . . . . . . 17

3.1. Modèle malthusien : évolution libre . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Modèle logistique de Verhulst : évolution sous capacité demilieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3. Modèle de Gompertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4. Modèle proies-prédateurs de Lotka-Volterra : compétitionentre deux populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Résolution approchée par la méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . 20

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.1. Résolution par changement de fonction inconnue ou nonclassique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2. Avec contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25




I say, that the power of population is indefinitely greaterthan the power in the earth to produce subsistence forman. Population, when unchecked, increases in ageometrical ratio. Subsistence increases only in anarithmetical ratio.

—Thomas. R.Malthus1

Dans toute la suite, l’acronyme «EDO» signifiera «équation différentielle ordi-naire».

CadreCOGS

Dans tout ce chapitre,Caret-right I désignera un intervalle réel, qui sera appelé ensemble de défini-

tion de l’équation différentielle dans la suite. On dira que l’on résoutl’équation différentielle «sur I».

Caret-right L’entier 𝑛 désignera l’ordre de l’équation différentielle.Caret-right L’entier𝑝 désignera la dimension, i.e. les fonctions seront supposéesêtre à valeurs dans 𝔐𝑝,1 (R).

1. GÉNÉRALITÉS

Définition ANA.8.1 | Équation différentielleSoient𝑛,𝑝 ∈N⋆. On appelle équation différentielle d’ordre𝑛 sur𝔐𝑝,1 (R) touteéquation de la forme

𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑡,𝑦,…,𝑦(𝑛−1))

1à l’origine du premier modèle continu de dynamique des populations

où 𝑓 ∶ I×(𝔐𝑝,1 (R))𝑛⟶ 𝔐𝑝,1 (R) est appelée générateur de l’équation différen-

tielle. La fonction 𝑦 ∈ 𝒟𝑛(I,𝔐𝑝,1 (R)) est appelée inconnue de l’équation. Onappelle solution toute fonction 𝑦 ∶ I ⟶ 𝔐𝑝,1 (R) dérivablea telle que :

∀𝑡 ∈ I, 𝑦(𝑛)(𝑡) = 𝑓(𝑡,𝑦′(𝑡),…,𝑦(𝑛−1)(𝑡)) .

Si 𝑝 = 1, la courbe représentative d’une solution est appelée une courbe inté-grale de l’équation différentielle et on parle d’équation différentielle scalaire.L’intervalle I est appelé le domaine de définition de l’équation différentielle.

Remarque 1.1— Ainsi, on appelle toute équation différentielle toute relationentre une fonction et ses dérivées.

Remarque 1.2— Onomet souvent la variable dans les fonctions inconnues.Mais,en toute rigueur, il faudrait considérer comme équation différentielle une équa-tion de la forme

∀𝑡 ∈ I, 𝑦(𝑛)(𝑡) = 𝑓(𝑡,𝑦′(𝑡),…,𝑦(𝑛−1)(𝑡)) .

Définition ANA.8.2 | Système différentielOn appelle système différentiel d’ordre 1 (ou simplement système différentiel)toute équation différentielle où :

Caret-right 𝑛 = 1, a

Caret-right il existeB ∈ 𝔐𝑝,1 (R), pour tout 𝑡 ∈ IunematriceA(𝑡) ∈ I, telle que : ∀𝑥 ∈𝔐𝑝,1 (R), 𝑓(𝑡,𝑥) = A(𝑡)𝑥+B.

Le système est dit à coefficients constants si la fonction 𝑡 ∈ I ⟼ A(𝑡) estconstante.

ai.e. que chaque coordonnée de 𝑦 est dérivableadonc que l’inconnue et sa dérivée première



De manière plus explicite, un système différentiel en l’inconnue Y(𝑡) =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑦1(𝑡)

𝑦𝑝(𝑡)

⎞⎟⎟⎟⎠

,

est une équation différentielle de la forme

Y′(𝑡) =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑦′1(𝑡)

𝑦′𝑝(𝑡)

⎞⎟⎟⎟⎠

= A(𝑡)

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑦1(𝑡)

𝑦𝑝(𝑡)

⎞⎟⎟⎟⎠

+

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑏1

𝑏𝑝

⎞⎟⎟⎟⎠

,

où 𝑏𝑖 ∈ R pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑝K. Nous verrons une méthode afin de résoudre un telsystèmedifférentiel linéaire, pour certainesmatricesA2, dans leChapitreALG.3.

Exemple 1— Écriture d’une équation différentielle sous la forme 𝑦(𝑛) =𝑓(𝑡,𝑦′,…,𝑦(𝑛−1)) Dans chacun des exemples ci-dessous, écrire l’équation sous laforme𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑡,𝑦′,…,𝑦(𝑛−1))de la définition.Onprécisera ainsi𝑛,𝑝 et la fonction𝑓.3

1 — 𝑦′′′ = 4𝑡𝑦′′,PEN-FANCY

2 — 𝑦′′ = 4𝑥𝑦′ −2𝑦,PEN-FANCY

3 — 𝑧′′ = 4𝑧′ −2𝑧,PEN-FANCY

2diagonalisables en l’occurence3Les notations de variable, fonction inconnue sont volontairement diverses dans cet exemple

4 — (Système de Lokta-Volterra)⎧⎨⎩

P′1 = (1− P23 )P1,

P′2 = (1− P12 )P2.

Ce n’est en revanche

pas un système différentiel linéaire.

PEN-FANCY

5 — (Système de chauffe)⎧⎨⎩

𝑚1C1dT1d𝑡 = ℎ1S1(T2 −T1),

𝑚2C2dT2d𝑡 = ℎ1S1(T1 −T2)+ℎ2S2(T∞ −T2),

avec 𝑚1,C1,𝑚2,C2,ℎ1,ℎ2,T∞ ∈ R. C’est même un système différentiel à coeffi-cients constants. Préciser 𝑡 ⟼ A(𝑡) et B comme définis supra.PEN-FANCY



Attention×

Il n’y a aucuneunicité des objets précédents. Par exemple,𝑦′′ = 4𝑥𝑦′−2𝑦peutégalement être vue comme :

dd𝑥

⎛

⎝

𝑦

𝑦′

⎞

⎠=

⎛

⎝

0 1

4𝑥 −2

⎞

⎠

⎛

⎝

𝑦

𝑦′

⎞

⎠,

donc comme une équation différentielle dont la fonction inconnue⎛

⎝

𝑦

𝑦′

⎞

⎠est à valeurs dans 𝔐2,1 (R) (𝑝 = 2), d’ordre 𝑛 = 1 et de fonction asso-

ciée 𝑓

|||||||||

R×𝔐2,1 (R) ⟶ 𝔐2,1 (R)

(𝑥,Y) ⟼⎛

⎝

0 1

−2 4𝑥

⎞

⎠Y

—donc un système différentiel in

fine.

Plaçons-nous sans plus tarder dans le cas linéaire scalaire.

2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES SCALAIRES

2.1. Généralités

Définition ANA.8.3Soit 𝑛 ∈ N⋆. On appelle équation différentielle linéaire d’ordre 𝑛 sur R touteéquation de la forme

𝑦(𝑛) +𝑎𝑛−1(𝑡)𝑦(𝑛−1) +⋯+𝑎1(𝑡)𝑦′ +𝑎0(𝑡)𝑦 = 𝑏(𝑡) (E𝑛)

où 𝑎𝑖 ∈ 𝒞0(I,R) pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛− 1K. La fonction 𝑦 ∈ 𝒟𝑛(I,R) est appeléeinconnue de (E𝑛). On appelle solution de (E𝑛) toute fonction 𝑦 ∶ I ⟶ R déri-vable telle que :

∀𝑡 ∈ I, 𝑦(𝑛)(𝑡)+𝑎𝑛−1(𝑡)𝑦(𝑛−1)(𝑡)+⋯+𝑎1(𝑡)𝑦′(𝑡)+𝑎0(𝑡)𝑦(𝑡) = 𝑏(𝑡).

Elle est dite à coefficients constants si les fonctions 𝑎𝑛−1,…,𝑎1 sontconstantes.

Remarque 2.1 — Les définitions de courbe intégrale et d’intervalle de définitionrestent bien entendu en vigueur.

Définition ANA.8.4 | Homogène1 — L’équation (E𝑛) est dite homogène, ou sans second membre, si 𝑏 est lafonction nulle.2 — On appelle équation homogène associée à (E𝑛) ou encore équation sanssecond membre associée à (E𝑛)l’équation suivante :

𝑦(𝑛) +𝑎𝑛−1(𝑡)𝑦(𝑛−1) +⋯+𝑎1(𝑡)𝑦′ +𝑎0(𝑡)𝑦 = 0. (H𝑛)



Définition/Proposition ANA.8.1 | Endomorphisme associé à une équationdifférentielle linéaire

On appelle endomorphisme associé à (E𝑛) l’application linéaire suivante :

Φ𝑛

||||||

𝒟𝑛 ⟶ RI

𝑦 ⟼ 𝑦(𝑛) +𝑎𝑛−1𝑦(𝑛−1) +⋯+𝑎1𝑦′ +𝑎0𝑦.

Preuve L’application Φ𝑛 est linéaire.

PEN-FANCY

NotationΣDans la suite, nous noterons 𝒮 l’ensemble des solutions de (E𝑛), et 𝒮0 l’en-semble des solutions de (H𝑛).

Exemple 2— Justifier que les équations différentielles suivantes sont linéaires, etdéterminer leur homogène associée. Préciser leur domaine de définition.

1 — 2−𝑥𝑧′ = 𝑥2𝑧′′.PEN-FANCY

2 —𝑛∑𝑖=1

𝑖𝑦(𝑖) = π.

PEN-FANCY

Remarque 2.2— Caractère 𝒞𝑛 des solutions Si 𝑦 est une solution de (E𝑛), alors𝑦(𝑛) est même continue sur I (i.e. 𝑦 ∈ 𝒞𝑛(I,R)), puisque 𝑦(𝑛) = 𝑏−𝑎𝑛−1𝑦(𝑛−1)−⋯−𝑎0𝑦 est alors une somme de fonctions continues.

Remarque 2.3 — Forme normalisée ⟷ Forme générale Une équation de laforme

𝑎𝑛(𝑡)𝑦(𝑛) +𝑎𝑛−1(𝑡)𝑦(𝑛−1) +⋯+𝑎1(𝑡)𝑦′ +𝑎0(𝑡)𝑦 = 𝑐(𝑡)

est encore appelée une équation différentielle linéaire d’ordre 𝑛. La forme faisantintervenir un coefficient un devant la dérivée s’appelle la forme normalisée del’équation différentielle.On se ramène à une équation du type précédent sur tout intervalle I où𝑎𝑛 ne s’an-nule pas, en divisant les deux membres par la fonction 𝑎𝑛 :

𝑦(𝑛) +𝑎𝑛−1(𝑡)𝑎𝑛(𝑡)

𝑦(𝑛−1) +⋯+𝑎1(𝑡)𝑎𝑛(𝑡)

𝑦′ +𝑎0(𝑡)𝑎𝑛(𝑡)

𝑦 =𝑏(𝑡)𝑎𝑛(𝑡)

.



Dans la suite tous les résultats seront énoncés pour la forme normalisée, i.e. celledes équations (E𝑛) et (H𝑛).

Proposition ANA.8.1 | Structure d’espace vectoriel de l’ensemble des so-lutions de l’homogène

L’ensemble 𝒮0 est un espace vectoriel.a

Attention×

Ce n’est pas le cas de l’ensemble 𝒮 ! En effet, dès que le second membre estnon nul, la solution nulle n’est plus solution, 𝒮 n’est donc a fortiori pas unespace vectoriel.

PreuveCaret-right (1ère Méthode : en utilisant la définition)

PEN-FANCY

Caret-right (2èmeMéthode : en utilisant une application linéaire)

PEN-FANCY

aOnpeutmontrer également qu’il est de dimensionfinie égale à𝑛. Nousn’avons pas les outils pourle montrer de manière générale, nous le ferons donc seulement pour 𝑛 = 1,2.

Structure de l’ensemble des solutions de (E𝑛). Une équation différentielle li-néaire est une «équation linéaire» sur𝒞𝑛(I,R), donc l’ensembledes solutionspos-sède une structure classique.

Théorème ANA.8.1 | Structure des solutions de l’équation complèteSi𝑦par ∶ I ⟶R estune solutionparticulière de l’équation complète (E𝑛), alorsles solutions de (E𝑛) sont toutes les fonctions d’expression :

𝑦 = 𝑦H +𝑦par,

où 𝑦H est une solution de (H𝑛). Autrement dit l’ensemble 𝒮 des solutions surR de (E𝑛) est :

𝒮 = 𝒮0 +𝑦par =(défi.)

{𝑦H +𝑦par, 𝑦H ∈ 𝒮0} ,

où 𝒮0 est l’ensemble des solutions de (H𝑛).

Attention×

La preuve ci-dessous exploite très largement la linéarité de l’équation, ce ré-sultat est faux dans le cas contraire.



Preuve (Point clef— Faire la différence entre l’EDavec la solution par-ticulière et une solution générale)

PEN-FANCY Comme𝑦par est une solutionparticulièrede (E𝑛), alors ona : ∀𝑡 ∈ I,

(𝑦par)(𝑛) (𝑡)+𝑎𝑛−1(𝑡) (𝑦par)(𝑛−1)+⋯+𝑎1(𝑡) (𝑦par)′ (𝑡)+𝑎0(𝑡)𝑦par(𝑡) = 𝑏(𝑡).

Soit 𝑦 une fonction définie et 𝑛 fois dérivable sur I et à valeurs dans R. On aalors :

𝑦 solution de (E𝑛)⟺ 𝑦(𝑛)(𝑡)+𝑎𝑛−1(𝑡)𝑦(𝑛−1) +⋯+𝑎1(𝑡)𝑦′(𝑡)+𝑎0(𝑡)𝑦(𝑡) = 𝑏(𝑡), ∀𝑡 ∈ I,⟺ 𝑦(𝑛)(𝑡)+𝑎𝑛−1(𝑡)𝑦(𝑛−1) +⋯+𝑎1(𝑡)𝑦′(𝑡)+𝑎0(𝑡)𝑦(𝑡)

= (𝑦par)(𝑛) (𝑡)+𝑎𝑛−1(𝑡) (𝑦par)(𝑛−1) +⋯+𝑎1(𝑡) (𝑦par)′ (𝑡)+𝑎0(𝑡)𝑦(𝑡)⟺ (𝑦−𝑦par)(𝑛) (𝑡)+𝑎𝑛−1(𝑡) (𝑦−𝑦par)(𝑛−1) +⋯+𝑎1(𝑡) (𝑦−𝑦par)′ (𝑡)+𝑎0(𝑡) (𝑦(𝑡)−𝑦par) = 0,⟺ 𝑦−𝑦par est solution de (H𝑛).

Ainsi, les solutions de (E𝑛) sont exactement les fonctions 𝑦 telles que 𝑦−𝑦par ∈ 𝒮0.

Principe de superposition. Passons à une autre conséquence de la linénarité : leprincipe de superposition.

Méthode (Principe de superposition)WRENCH

Lorsque le second membre 𝑏 de (E𝑛) s’écrit comme une somme fonctions,par exemple 𝑏 = 𝑏1 +𝑏2 avec 𝑏𝑖 continue pour tout 𝑖 ∈ J1 , 2K, on peut ap-pliquer le principe de superposition. Il s’agit de considérer les deux équationsdifférentielles linéaires :

𝑦(𝑛) +𝑎1𝑛−1(𝑡)𝑦

(𝑛−1) +⋯+𝑎11 (𝑡)𝑦

′ +𝑎10(𝑡)𝑦 = 𝑏1(𝑡) (E1𝑛)


(𝑛−1) +⋯+𝑎21 (𝑡)𝑦

′ +𝑎20 (𝑡)𝑦 = 𝑏2(𝑡) (E2𝑛)

WRENCHOn suppose que l’on a déterminé une solution particulière𝑦par

1 de (E1𝑛) et unesolution particulière 𝑦par

2 de (E2𝑛). La somme 𝑦par1 +𝑦par

2 est alors une solutionparticulière de (E𝑛).

Remarque 2.4 — Le principe reste naturellement vrai si l’on considère unesomme de 𝑛 fonctions dans le second membre.

Preuve

PEN-FANCY

Des exemples d’application seront vus dans les prochaines sections. Maintenantque le résultat général de structure est établi, nous allons l’appliquer à l’ordre 1 et2. Tout l’enjeu est alors de savoir :

1 — calculer explicitement l’ensemble 𝒮0 des solutions de l’homogène,2 — déterminer une solution particulière 𝑦par. Pour l’ordre 1, nous aurons uneméthode systématique appelée variation de la constante.



2.2. Équations différentielles linéaires du 1er ordre

Définition ANA.8.5 | Définition pour 𝑛 = 1On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre sur R toute équa-tion de la forme (E1).

C’est donc une équation du type

𝑦′ +𝑎(𝑡)𝑦 = 𝑏(𝑡), (E1)

où 𝑎,𝑏 ∈ 𝒞0(I,R). Rappelons que nous avons également défini la notion d’ équa-tion homogène associée ou encore équation sans second membre associée à (E1)l’équation suivante :

𝑦′ +𝑎(𝑡)𝑦 = 0. (H1)

Remarque 2.5— Caractère 𝒞1 des solutions Si 𝑦 est une solution de (E1), alors𝑦′ est continue sur I, puisque 𝑦′ = 𝑏 −𝑎𝑦. La fonction 𝑦 est donc un élément de𝒞1(I,R).

2.2.1. Résolution de l’équation homogène

On connaît par un calcul direct l’ensemble des solutions de l’équation (H1), don-né dans le théorème suivant. Nous savions déjà en revanche que c’est un espacevectoriel !

Théorème ANA.8.2 | Résolution de l’équation homogèneL’ensemble 𝒮0 des solutions de (H1) est :

𝒮0 = Vect (𝑡 ⟼ e−A(𝑡)) , où A ∶ I ⟶R est une primitive de 𝑎.

Ainsi, 𝒮0 est un espace vectoriel de dimension 1.

Preuve PEN-FANCY La fonction𝑎 étant continue sur I, elle admetuneprimitiveA sur cet intervalle. Une fonction dérivable 𝑦 ∶ I ⟶ R est alors solution de(H1) si et seulement si pour tout 𝑡 ∈ I :

𝑦′(𝑡)eA(𝑡) +𝑎(𝑡)𝑦(𝑡)eA(𝑡) = 0

(la fonction 𝑡 ⟼ eA(𝑡) ne s’annule pas sur I). On reconnaît la dérivée duproduit 𝑦(𝑡)eA(𝑡). Ainsi, 𝑦 est solution si et seulement si 𝑡 ⟼ 𝑦(𝑡)eA(𝑡) estconstante sur l’intervalle I. Les solutions sont donc bien les fonctions 𝑦 ∶I ⟶R telles que : ∀𝑡 ∈R, 𝑦(𝑡)eA(𝑡) = C, où C ∈R, d’où le résultat.

Remarque 2.6— À propos de l’étape de primitivation Rappelons que si 𝑎 estune fonction continue de I dans R, alors pour tout 𝑡0 ∈ I, la fonction

A𝑡0 ∶ 𝑡 ∈ I ⟼ ∫𝑡

𝑡0𝑎(𝑠)d𝑠

est une primitive de 𝑎, c’est même l’unique primitive s’annulant en 𝑡0. Lorsque 𝑎est une constante, on peut choisir 𝑡 ⟼ 𝑎𝑡 comme primitive et les solutions de(H1) sont simplement celles d’expression :

∀𝑡 ∈ I, 𝑦(𝑡) = Ce−𝑎𝑡, où C ∈R.

Exemple 3— Résoudre (1+𝑡2)𝑦′ +4𝑡𝑦 = 0.

PEN-FANCY



2.2.2. Résolution de l’équation complète

Théorème ANA.8.3 | Résolution de l’équation complèteL’ensemble 𝒮 des solutions sur R de (E1) est :

𝒮 = {𝑡 ∈ I ⟼ Ce−A(𝑡) +𝑦par(𝑡), C ∈R} =notation

𝒮0 +𝑦par,

où A ∶ I ⟶R est une primitive de 𝑎.

Preuve Ce théorèmeest une conséquencedirecte duThéorèmeANA.8.1pour 𝑛 = 1 et de la résolution explicite de l’homogène faite précédem-ment.

2.2.3. Détermination de 𝑦par

Pour résoudre complètement l’équation différentielle (E1), il reste donc à déter-miner une solution particulière 𝑦par de (E1).

Variation de la constante. Nous commençons par une méthode qui fonctionnetoujours dès que le second membre est continu : la méthode de variation de laconstante. Il s’agit de chercher une solution de la forme des solutions de (H1), où laconstante C est remplacée par une fonction dérivable 𝑡 ∈ I ⟼ C(𝑡). Nous faisonsdonc varier la constante C. Plus précisément :

Méthode (Variation de la constante)WRENCH

Chercher 𝑦par sous la forme 𝑡 ∈ I ⟼ C(𝑡)e−A(𝑡), où la fonction C ∶ I ⟶ R estdérivable et est à déterminer.

Remarque 2.7— Si 𝑏 n’est pas continue, il faut alors appliquer la méthode surtous les domaines où le second membre l’est

Preuve (Point clef — La continuité de 𝑏 et chercher en faisant varier laconstante C)Si l’on pose 𝑦par(𝑡) = C(𝑡)e−A(𝑡), pour tout 𝑡 ∈ I, où C est une fonction déri-vable sur I, alors :

𝑦par solution de (E1) ⟺ (𝑦par)′ +𝑎𝑦par = 𝑏

⟺ (Ce−A)′ +𝑎Ce−A = 𝑏

⟺ C′e−A −CA′e−A +𝑎Ce−A = 𝑏

⟺ C′e−A −C𝑎e−A +𝑎Ce−A = 𝑏

⟺ C′e−A = 𝑏

⟺ C′ = 𝑏𝑒A

⟺ C est une primitive de 𝑏eA sur I

On est donc ramené à un calcul de primitive. Une fois C déterminé (à uneconstante additive près !), une solution particulière est donnée sur I par𝑦par(𝑡) = C(𝑡)e−A(𝑡).Donc la méthode de variation de la constante fonctionne si et seulement s’ilexiste une primitive à la fonction 𝑏𝑒A sur I. Cette dernière existe dès que la𝑡 ⟼ 𝑏(𝑡)eA(𝑡) est continue, ce qui est le cas.

Exemple 4— Résoudre : 𝑦′ +3𝑥2𝑦 = e𝑥−𝑥3.

PEN-FANCY



Lorsque le second membre est particulier, et que les coefficients sont constants.

Il est possible a priori d’essayer des fonctions d’une forme particulière, selon l’al-lure du second membre. Nous traitons le cas des seconds membres sous formed’un polynômemultiplié par une exponentielle. Cela inclut la plupart des cas ren-contrés, y compris le cas d’un second membre constant.

Théorème ANA.8.4 | Solution particulière dans R pour 𝑎 ∈R constante, et𝑏(𝑡) = P(𝑡)e𝑚𝑡,P ∈R[X],𝑚 ∈R

On suppose que 𝑎 ∈R est une constante et que le second membre de (E1) estde la forme

∀𝑡 ∈R, 𝑏(𝑡) = P(𝑡)e𝑚𝑡,

oùP est une fonctionpolynomiale à coefficients dansR et𝑚 ∈R. Alors il existeune solution particulière de (E1) d’expression :

∀𝑡 ∈R, 𝑦par(𝑡) = Q(𝑡)e𝑚𝑡,

où Q est une fonction polynomiale à coefficients dans R et :

1 — si 𝑚 ≠ −𝑎 : deg(Q) = deg(P),2 — si 𝑚 = −𝑎 : deg(Q) = deg(P)+1.En particulier, si le second membre est constant (P = C,𝑚 = 0 avec C ∈ R), oncherchera 𝑦par sous la forme d’une constante si 𝑎 ≠ 0.

Preuve Cherchons à quelle condition (E1) admet une solution d’expres-sion :

∀𝑡 ∈R, 𝑦par(𝑡) = Q(𝑡)e𝑚𝑡

où Q est une fonction polynomiale. On calcule, pour tout 𝑡 ∈R : PEN-FANCY

(𝑦par)′ (𝑡) = (Q′(𝑡)+𝑚Q(𝑡))e𝑚𝑡.

Cette fonction 𝑦par est donc solution de (E1) si et seulement si pour tout 𝑡 ∈R :

(𝑦par)′ (𝑡)+𝑎𝑦par(𝑡) = P(𝑡)e𝑚𝑡

ce qui, après simplification par e𝑚𝑡 et regroupement des termes, équivautà :

Q′(𝑡)+ (𝑚+𝑎)Q(𝑡) = P(𝑡).

Ceci permet de conclure selon que 𝑚+𝑎 est nul ou non. Si 𝑚+𝑎 = 0, alorsQ′ est demêmedegré que P et il suffit donc de primitiver le polynôme P pour



obtenir un polynôme Q satisfaisant. Sinon, choisir Q de même degré que Pmènera à une solution.

Exemple 5— Déterminer une solution particulière sur R des équations différen-tielles suivantes.

1 — 𝑦′−𝑦 = e3𝑡, PEN-FANCY Ici, 2 ≠ 1 donc on cherche une solution particulière sous laforme 𝑦par(𝑡) = Ce3𝑡 avec C ∈ R. En injectant on trouve : ∀𝑡 ∈ R, C = 1

2 . Donc𝑦par(𝑡) = 1

2e3𝑡 pour tout 𝑡 ∈R.

2 — 𝑦′−𝑦 = e𝑡, PEN-FANCY Ici, 1 = −(−1)donc on chercheune solutionparticulière sousla forme𝑦par(𝑡) = (A𝑡+B)e3𝑡 avecA,B ∈R. En injectant on trouve : ∀𝑡 ∈R,A = 1.Donc 𝑦par(𝑡) = 𝑡e𝑡 pour tout 𝑡 ∈R est un choix qui convient.3 — 𝑦′+2𝑦 = 𝑡e𝑡. PEN-FANCY Ici, 1 ≠ −2 donc on cherche une solution particulière sousla forme 𝑦par(𝑡) = (A𝑡+B)e3𝑡 avec A,B ∈R. En injectant on trouve : A+2B = 0 et2A = 1. Donc 𝑦par(𝑡) = ( 12𝑡 − 1

4 )e𝑡 pour tout 𝑡 ∈R est une solution particulière.

Utilisation du principe de superposition. La méthode a déjà été présentée dansla section de généralités. Là voici appliquée dans le cas de l’ordre 1.

Exemple 6— Déterminer une solution particulière sur R de l’équation différen-tielle :

𝑦′ −2𝑦 = 3e𝑡 +e2𝑡.

PEN-FANCY

Oncherchedoncune solutionparticulièredecesdeuxéquationsdifférentielles :

𝑦′ −2𝑦 = 3e𝑡, 𝑦′ −2𝑦 = e2𝑡.

Pour lapremière, on trouvepar variationde la constante : pour tout 𝑡 ∈R, 𝑦1(𝑡) =−3e𝑡. Dans le second cas 𝑦2(𝑡) = 𝑡e2𝑡. Par superposition, la somme est alors unesolution particulière de l’équation différentielle de départ :

𝑦par(𝑡) = 𝑡e2𝑡 −3e𝑡, ∀𝑡 ∈R.

2.2.4. Problème de Cauchy d’ordre un

Définition ANA.8.6 | ED avec condition initialeOn appelle problème de Cauchy pour une équation différentielle linéaire dupremier ordre tout problème de la forme

⎧⎨⎩

𝑦′ +𝑎(𝑡)𝑦 = 𝑏(𝑡),

𝑦(𝑡0) = 𝑦0 ∈R,

où 𝑦′ +𝑎(𝑡)𝑦 = 𝑏(𝑡) est une équation différentielle linéaire du premier ordredéfinie sur un intervalle I et (𝑡0,𝑦0) ∈ I×R.

Il s’agit donc d’un problème dans lequel l’inconnue, la fonction 𝑦 ∶ I ⟶ R , doitvérifier une équation différentielle et une condition initiale 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 ∈R.

Remarque 2.8— En résumé, sans condition initiale on aune infinité de solutions.Avec une condition initiale il y a généralement unicité.

Théorème ANA.8.5 | Résolution du problème de CauchySoient 𝑡0 ∈ I et 𝑦0 ∈ R. Il existe une et une seule solution au problème de Cau-chy :

⎧⎨⎩

𝑦′ +𝑎(𝑡)𝑦 = 𝑏(𝑡),

𝑦(𝑡0) = 𝑦0 ∈R.

L’unique solution a pour expression

∀𝑡 ∈ I, 𝑦(𝑡) = eA(𝑡0)−A(𝑡)𝑦0 +e−A(𝑡) ∫𝑡

𝑡0eA(𝑢)𝑏(𝑢)d𝑢.

Preuve PEN-FANCY D’après tout ce qui précède, on sait que les solutions de



(E1) sont les fonctions d’expression :

∀𝑡 ∈ I, 𝑦(𝑡) = Ce−A(𝑡) +e−A(𝑡) ∫𝑡

𝑡0eA(𝑢)𝑏(𝑢)d𝑢

où C ∈R.En effet, 𝑡 ⟼ ∫

𝑡

𝑡0𝑒A(𝑢)𝑏(𝑢)d𝑢 est une primitive de 𝑏𝑒A sur I : le premier

terme correspond donc aux solutions de (H1), et le second est une solutionparticulière. Cette fonction𝑦 est solution du problèmedeCauchy si et seule-ment si en outre𝑦(𝑡0) = 𝑦0, c’est-à-direCe−A(𝑡0) = 𝑦0. La seule constanteC quiconvienne est donc C = eA(𝑡0)𝑦0, d’où la conclusion.

Remarque 2.9— Reformulation à l’aide d’une bijection Pour 𝑡0 ∈ I et 𝑦0 ∈ R,nous noterons 𝑦𝑡0 ∶ 𝑡 ⟼ eA(𝑡0)−A(𝑡)𝑦0+e−A(𝑡) ∫

𝑡

𝑡0eA(𝑢)𝑏(𝑢)d𝑢. Une conséquence du

théorème précédent est que, pour tout 𝑡0, l’application

Φ𝑡0

||||||

R ⟶ 𝒮

𝑦0 ⟼ 𝑦𝑡0est bijective.

Si l’équation différentielle est même homogène, alors Φ𝑡0 est un isomorphismelinéaire, et comme dimR= 1, on retrouve le fait que dim𝒮0 = 1(= dimR).

2.3. Équations différentielles linéaires du 2nd ordre à coefficients

constants

Définition ANA.8.7 | Définition pour 𝑛 = 2Onappelle équation différentielle linéaire du second ordre surR toute équationde la forme (E2).

CadreCOGS

Dans toute la suite de cette sous-section, nous considèrerons des équa-tions différentielles à coefficients constants.a

C’est donc une équation du type

𝑎𝑦′′ +𝑏𝑦′ +𝑐𝑦 = 𝑏(𝑡) (E2)

où (𝑎,𝑏,𝑐) ∈R⋆×R×R, et𝑏 ∈ 𝒞0(I,R). Rappelonsquenousavons égalementdéfinila notion d’équation homogène associée ou encore équation sans second membreassociée à (E2) l’équation suivante :

𝑎𝑦′′ +𝑏𝑦′ +𝑐𝑦 = 𝑏. (H2)

Définition ANA.8.8 | Équation caractéristiqueOn introduit également l’équation caractéristique de (E2) :

𝑎𝑟2 +𝑏𝑟 +𝑐 = 0, d’inconnue 𝑟 ∈R. (EC)

Remarque 2.10— Caractère𝒞2 des solutions Si 𝑦 est une solution de (E2), alors

𝑦′′ est continue sur I, puisque 𝑦′′ =1𝑎(𝑓−𝑏𝑦′ −𝑐𝑦). La fonction 𝑦 est donc un élé-

ment de 𝒞2(I,R).

2.3.1. Résolution de l’équation homogène

Nous savons là encore déterminer facilement l’ensemble des solutions de l’équa-tion homogène.

Théorème ANA.8.6 | Résolution de l’équation homogèneOn suppose ici (𝑎,𝑏,𝑐) ∈R3.1 — Si (EC) possède deux racines réelles distinctes α ∈R et β ∈R, alors

𝒮0 = Vect (𝑡 ⟼ eα𝑡, 𝑡 ⟼ eβ𝑡) .

2 — Si (EC) possède une racine double α ∈R, alors

𝒮0 = Vect (𝑡 ⟼ eα𝑡, 𝑡 ⟼ 𝑡eα𝑡) = {𝑡 ⟼ (A+B𝑡)eα𝑡, (A,B) ∈R2} .aCe sont les seules au programme.



3 — Si (EC) possède deux racines complexes conjuguées α+𝑖β et α−𝑖β avec(α,β) ∈R×R∗, alors

𝒮0 = Vect (𝑡 ⟼ eα𝑡 cos(β𝑡),𝑡 ⟼ eα𝑡 sin(β𝑡)) ,= {𝑡 ⟼ eα𝑡(Acos(β𝑡)+Bsin(β𝑡)), A,B ∈R.}

Ainsi, 𝒮0 est un espace vectoriel de dimension 2.

Preuve Voir cours de première année. On vérifie également sans diffi-culté que les familles de solutions proposées sont libres, et donc forment desbases de l’ensemble des solutions de l’homogène.

Exemple 7— Résoudre

1 — 𝑦′′ −ω2𝑦 = 0 et 𝑦′′ +ω2𝑦 = 0 (où ω est un réel non nul).PEN-FANCY

2 — 𝑦′′ −4𝑦′ +13𝑦 = 0.PEN-FANCY

3 — 𝑦′′ −4𝑦′ +4𝑦 = 0.PEN-FANCY



2.3.2. Résolution de l’équation complète

Théorème ANA.8.7L’ensemble 𝒮 des solutions sur R de (E2) est :

𝒮 = {𝑦+𝑦par, 𝑦 ∈ 𝒮0} =(nota.)

𝒮0 +𝑦par.

Preuve Ce théorèmeest une conséquencedirecte duThéorèmeANA.8.1pour 𝑛 = 2 et de la résolution explicite de l’homogène faite précédem-ment.

2.3.3. Détermination de 𝑦par

Pour résoudre complètement l’équation différentielle (E2), il reste donc à déter-miner une solution particulière 𝑦par de (E1). On ne sait le faire que pour certainesformes du second membre 𝑏(𝑡).

Remarque 2.11— Il existe une méthode générale, comme pour le premier ordre,appelée méthode de variations des constantes, mais elle n’est pas à notre pro-gramme.

Lorsque le second membre est particulier. Le théorème ci-dessous généralise leThéorème ANA.8.4 : dans le cas 𝑎 = 0 on retrouve le théorème de l’ordre un (oùseuls les cas 1) et 2) peuvent se produire).

Théorème ANA.8.8 | Solution particulière pour 𝑎 ∈R une constante, et𝑏(𝑡) = P(𝑡)e𝑚𝑡,P ∈R[X],𝑚 ∈R

On suppose que le second membre de (E2) est de la forme

∀𝑡 ∈R, 𝑏(𝑡) = P(𝑡)e𝑚𝑡,

oùP est une fonctionpolynomiale à coefficients dansR et𝑚 ∈R. Alors il existeune solution particulière de (E2) d’expression :

∀𝑡 ∈R, 𝑦par(𝑡) = Q(𝑡)e𝑚𝑡,

où Q est une fonction polynomiale à coefficients dans R et :

1 — si 𝑚 n’est pas racine de (EC) : deg(Q) = deg(P),2 — si 𝑚 est racine simple de (EC) : deg(Q) = deg(P)+1,3 — si 𝑚 est racine double de (EC) : deg(Q) = deg(P)+2.

Preuve Cherchons à quelle condition (E1) admet une solution d’expres-sion

∀𝑡 ∈R, 𝑦par(𝑡) = Q(𝑡)e𝑚𝑡

où Q est une fonction polynomiale. On calcule, pour tout 𝑡 ∈R :

(𝑦par)′ (𝑡) = (Q′(𝑡)+𝑚Q(𝑡))e𝑚𝑡,(𝑦par)′′ (𝑡) = (Q′′(𝑡)+2𝑚Q′(𝑡)+𝑚2Q(𝑡))e𝑚𝑡.

Cette fonction 𝑦par est donc solution de (E1) si et seulement si pour tout 𝑡 ∈R :

𝑎(𝑦par)′′ (𝑡)+𝑏(𝑦par)′ (𝑡)+𝑐𝑦par(𝑡) = P(𝑡)e𝑚𝑡



ce qui, après simplification par e𝑚𝑡 et regroupement des termes, équivautà :

𝑎Q′′(𝑡)+ (2𝑎𝑚+𝑏)Q′(𝑡)+ (𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+𝑐)Q(𝑡) = P(𝑡).

Il suffit alors de résoudre cette équation polynomiale en injectant Q(𝑡) =𝑛∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑡𝑘 dans l’identité avec les 𝑎𝑘 des éléments de R à déterminer [...].

Exemple 8— Déterminer une solution particulière réelle des équations différen-tielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants suivantes :

1 — 𝑦′′ −4𝑦 = (8𝑡 +6)e2𝑡.PEN-FANCY

2 — 𝑦′′ −𝑦′ −2𝑦 = 3e𝑡 +1.PEN-FANCY

3 — 𝑦′′ −6𝑦′ +9𝑦 = e3𝑥.PEN-FANCY

4 — 𝑦′′ −4𝑦′ +4𝑦 = (𝑡2 +1)e2𝑡.PEN-FANCY

Principe de superposition. Le principe de superposition s’applique encore pourles équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ad-mettant un second membre somme de plusieurs fonctions simples.



2.3.4. Problème de Cauchy d’ordre deux

Définition ANA.8.9On appelle problème de Cauchy (sur R) pour une équation différentielle li-néaire du second ordre tout problème de la forme

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑎𝑦′′ +𝑏𝑦′ +𝑐𝑦 = 𝑏(𝑡)

𝑦(𝑡0) = 𝑦0,

𝑦′(𝑡0) = 𝑦′0,

où𝑎𝑦′′+𝑏𝑦′+𝑐𝑦 = 𝑏(𝑡) est une équationdifférentielle linéairedu secondordreà coefficients constants sur un intervalle I, et (𝑡0,𝑦0,𝑦′0) ∈ I×R×R.

Théorème ANA.8.9 | Résolution du problème de CauchySoient 𝑡0 ∈ I, (𝑦0,𝑦′0) ∈ R2. Il existe une et une seule solution au problème deCauchy :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑎𝑦′′ +𝑏𝑦′ +𝑐𝑦 = 𝑏(𝑡)

𝑦(𝑡0) = 𝑦0

𝑦′(𝑡0) = 𝑦′0

.

Preuve Admis.

Remarque 2.12— Reformulationà l’aided’unebijectionPour 𝑡0 ∈ I et𝑦0,𝑦′0 ∈R,nousnoterons𝑦𝑡0 l’unique solutionvérifiant𝑦(𝑡0) = 𝑦0,𝑦′(𝑡0) = 𝑦′0 (dont l’existenceet l’unicité ont étémontrées précédemment).Une conséquencedu théorèmepré-cédent est que, pour tout 𝑡0, l’application

Φ𝑡0

||||||

R2 ⟶ 𝒮

(𝑦0,𝑦′0) ⟼ 𝑦𝑡0est bijective.

Si l’équation différentielle est même homogène, alors Φ𝑡0 est un isomorphismelinéaire, et comme dimR2 = 2, on retrouve le fait que dim𝒮0 = 2(= dimR2).

2.4. Technique du changement de fonction inconnue

On peut aussi parfois réaliser des changements de fonction inconnue dans leséquationsdifférentiellespour se ramener àun typeque l’on sait résoudre (exempletypique : passer d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coeffi-cients non constants à une version à coefficients constants, ou encore, commedans l’exemple ci-dessous, passer d’une équation différentielle non linéaire à uneversion linéaire). Voyons cela sur un exemple avant de systématiser dans une mé-thode.

Exemple 9— Non linéaire à linéaire Résoudre l’équation différentielle (E) 𝑦′ =𝑦 ln𝑦. Indication : On pourra réaliser le changement de fonction inconnue 𝑦(𝑡) =e𝑧(𝑡) pour tout 𝑡.

PEN-FANCY



Résumé♥

⟹ Soit 𝑦 une solution de (E). Alors posons 𝑧 = ln∘𝑦. On a vérifié que 𝑧est solution d’une équation différentielle (E′) résoluble.

⟸ Soit 𝑧 une solution de (E′), alors 𝑦 = exp∘𝑧 est une solution de (E).

En d’autres termes, il y a une correspondance bijective entre les solutions de(E) et (E′) — il suffit donc de résoudre l’une ou l’autre pour toutes les avoir.

Méthode (Résolution par changement de fonction inconnue)WRENCH

Soit (E) une équation différentielle en une fonction 𝑦 que l’on ne sait pas ré-soudre a priori.1 — Soit une fonction𝑧dépendantde𝑦donnéepar l’exercice (généralement«de la forme 𝑧(𝑡) = 𝑦∘φ(𝑡)»).2 — Calculer les dérivées successives 𝑧,𝑧′,𝑧′′, ... (en fonction de l’ordre del’équation différentielle en 𝑦).3 — Évaluer (E) en φ(𝑡) pour tout 𝑡 ∈R.4 — Combiner 2) et 3) pour trouver une équation différentielle en 𝑧.

Exemple 10— Non constants à constants Résoudre (1+𝑥2)2𝑦′′ +2𝑥(1+𝑥2)𝑦′ +4𝑦 = 0 sur ]−1,1[. Indication : On pourra réaliser le changement de fonction in-connue 𝑧(𝑥) = 𝑦(tan𝑥) pour tout 𝑡.

PEN-FANCY

3. QUELQUES MODÈLES DE DYNAMIQUE DES POPULATIONS

L’interprétationphysiquedunombredérivé est unevitesse instantanée. Il est doncpossible de décrire des phénomènes d’évolution continue à l’aide d’équations dif-férentielles (dans le cas discret nous faisons plutôt appel aux suites numériques).Nous nous intéressons plus précisément dans la suite aux modèles décrivant desdynamiques de population.



3.1. Modèle malthusien : évolution libre

Il est largement considéré que c’est au crédit de Thomas. R. Malthus que l’onaccorde la paternité de l’un des premiers modèles mathématiques de croissancede population, qui publie (anonymement, dans sa première version) son célèbreEssai sur le principe de population en 1798.

Selon Malthus, cf. la citation présen-tée en début de chapitre, la crois-sance d’une population aurait un ra-tio géométrique, a contrario de lacroissance des ressources qui seraitarithmétique. Malthus ne vérifia pasrigoureusement cette théorie de rap-port de croissances, prenant commeargument d’autorité l’évidence deses propos. Malthus estime que lapopulation mondiale double toutesles 25 années - fatalement, la po-pulation tendra rapidement à s’ac-croître au-delà des moyens de sub-sistance, engendrant selon lui plé-thores de conséquences plutôt dé-vastatrices (guerres, famines, épidé-mies, ...) :

Population(Croissance géométrique)

Ressources(croissance arithmétique)

•

Catastrophemalthusienne

Temps

Quantité

FIG. ANA.8.1. : Représentation du modèle de Malthus.Lorsque la quantité de population (aug-mentation géométrique) dépasse celledes ressources (augmentation arithmé-tique), la catastrophemalthusienne s’en-clenche.

L’appréhension d’une telle catastrophe démographique associée à une préconi-sation de la limitation du nombre de naissances porte désormais le nom de mal-thusianisme. Notons que, comme le souligne l’anthropologueC.Meilassoux, cettepeur d’une croissance excessive au délà des moyens de subistances est complè-tement irréaliste : en réalité, comment une population pourrait-elle continuer àcroître exponentiellement en ayant épuisé les ressources nécessaires à son déve-loppement? Malthus le reconnaît d’ailleurs lui-même (traduction en Français) :« Je sais bien, que les millions d’habitants en excès dont j’ai parlé n’existeront ja-mais». Mais cette pensée malthusienne eut tout de même des conséquences im-

portantes, comme par exemple la politique de l’enfant unique en Chine. Présen-tons à présent une description mathématique.

On suppose que la population grandit en se multipliant par un nombre fixe β ap-pelé taux de reproduction ou taux de fertilité, et meurt selon un taux de mortalitéμ > 0 supposés constant ici.

Définition ANA.8.10 | Modèle deMalthusOn dit qu’une fonction P suit un modèle malthusien de taux β,μ si P est déri-vable en 𝑡 et vérifie :

P′(𝑡) = (β−μ)P(𝑡) (𝑡 ⩾ 0), P(0) = P0. (Malthus)

On appelle β le taux de natalité, μ le taux de mortalité.

Remarque 3.1 — Interprétation infinitésimale Puisque P′(𝑡)×d𝑡 ≈ P(𝑡 +d𝑡)−P(𝑡), l’équation différentielle s’écrit

P(𝑡 +d𝑡) ≈ P(𝑡)+ (β−μ)P(𝑡)d𝑡.

Ainsi, le cardinal de la population au temps d’après a augmenté d’une quantitéproportionnelle à son cardinal au tempsprécédent, et àβ−μ. D’où l’interprétationcomme un taux de reproduction de β−μ (qui fonctionne comme les intérêts surun livret bancaire rémunéré à un certain taux, le capital à l’année 𝑛+1 augmented’une quantité proportionnelle au capital de l’année 𝑛 et du taux de rémunéra-tion).

De manière équivalente, cela signifie que :P(𝑡) = P0e(β−μ)𝑡 pour tout 𝑡 ⩾ 0. Ici nous ne sup-posons doncpas l’existence deprédateurs, et queles ressourcesnaturelles sont enquantité illimité.Ainsi la population a donc la possibilité de se dé-velopper indéfiniment.

𝑡

P(𝑡)

P0

Cas β > μ

Cas β = μ

Cas μ > β

Ce modèle très simpliste met en évidence un point très important : l’évolution



d’une population est dictée par la balance entre taux de fertilité et taux demortalité.

3.2. Modèle logistique de Verhulst : évolution sous capacité de

milieu

En 1838, Pierre-François Verhulst répond à Malthus en proposant un modèle lo-gistique de dynamique de population. À l’instar dumodèle deMalthus, il supposequ’une population sans limitation de ressources croît de manière exponentiellemais que la croissance de la population est freinée par sa propre dynamique etpar la limitation des ressources du milieu.

Dans sa note,Verhulst suppose la résistance à la croissance d’une population pro-portionnelle au carréde la vitesse avec laquelle la population tendà croître (à l’ins-tar d’un mobile en chute libre traversant un milieu résistant - cette intuition futd’ailleurs fournie àVerhulst par le physicien Quetelet).

Définition ANA.8.11 | Modèle de VerhulstOn dit qu’une fonction P suit un modèle de Verhulst de taux β,μ,κ si P est dé-rivable en 𝑡 et vérifie :

P′(𝑡) = (β−μ)(P(𝑡)−P(𝑡)2

κ) (𝑡 ⩾ 0), P(0) = P0. (Verhulst)

On appelle β le taux de natalité, μ le taux de mortalité, et κ la capacité du mi-lieua.

Si P0 > 0, de manière équivalente, cela signifieque :

P(𝑡) =κ

1+e−(β−μ)𝑡 ( κP(0) −1)

Nous ferons la résolution explicite en TD. 𝑡

P(𝑡)

P0

κ

aC’est donc ce terme supplémentaire qui vient freiner la croissance de la population

3.3. Modèle de Gompertz

Un modèle ressemblant au précédent.

Définition ANA.8.12 | Modèle de GompertzOn dit qu’une fonction P suit un modèle de Gompertz de taux β,μ,κ si P estdérivable en 𝑡 et vérifie :

P′(𝑡) = (β−μ) ln(κ

P(𝑡))P(𝑡) (𝑡 ⩾ 0), P(0) = P0. (Gompertz)

On appelle β le taux de natalité, μ le taux de mortalité, et κ la capacité du mi-lieu.

On obtient un comportement proche du modèle de Verhulst avec une plus fortecroissance initiale et un point d’inflexion arrivant plus tôt, ce sont les seules etuniques différences.

Si P0 > 0, de manière équivalente, cela signifieque :

P(𝑡) = κeln (P(0)κ )𝑒−(β−μ)𝑡 .

Nous ferons la résolution explicite en TD.𝑡

P(𝑡)

P0

κ

Verhulst

Gompertz

3.4. Modèle proies-prédateurs de Lotka-Volterra : compétition

entre deux populations

Si deux espèces dont les populations sont représentées par P1 et P2 se partagent lemilieu, on peut adapter le modèle deVerhulst pour tenir compte de cette compé-tition.



Définition ANA.8.13 | Modèle de Lotka-VolterraOn dit qu’une fonction P suit un modèle de Lotka-Volterra de taux β,μ,κ si Pest dérivable en 𝑡 et vérifie :

⎧⎨⎩

P′1(𝑡) = ((β1 −μ1)−π1P2(𝑡))P1(𝑡),

P′2(𝑡) = ((β2 −μ2)−π2P1(𝑡))P2(𝑡).(LoktaVolt)

On appelle β1 le taux de natalité,μ1 le taux demortalité pour la première (avecβ2,μ2 pour la seconde), et π1,π2 les taux de prédation.

Remarque 3.2— Interprétation du système

⎧⎨⎩

P′1(𝑡) = ((β1 −μ1)−π1P2(𝑡))P1(𝑡),

P′2(𝑡) = ((β2 −μ2)−π2P1(𝑡))P2(𝑡).(3.1)

PEN-FANCY

En plus de la non-linéarité, nous avons à travailler ici sur une équation différen-tielle dans 𝔐2,1 (R). Nous étudierons plus en détail ce système en séance d’Infor-matique en approchant les solutions grâce à la méthode d’Euler.

4. RÉSOLUTION APPROCHÉE PAR LA MÉTHODE D’EULER

Rappelons que l’on appelle équation différentielle toute équation de la forme

𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑡,𝑦′,…,𝑦(𝑛−1))

où I est un intervalle réel, 𝑓 ∶ I × (𝔐𝑝,1 (R))𝑛

⟶ 𝔐𝑝,1 (R), avec 𝑛,𝑝 ∈ N⋆. Nousallons dans la suite nous placer dans le cadre 𝑛 = 1, i.e. considérer des équationsde la forme

𝑦′ = 𝑓(𝑡,𝑦),

sur un intervalle réel I, en revanche on autorise 𝑦 à avoir 𝑝 coordonnées, ainsi

𝑦 =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑦1

𝑦𝑝

⎞⎟⎟⎟⎠

. On retrouve le cas scalaire pour 𝑝 = 1. On cherche ainsi à connaître

une solution approchée d’un problème de Cauchy de la forme

⎧⎨⎩

𝑦′ = 𝑓(𝑡,𝑦),

𝑦(𝑡0) = 𝑦0 ∈ 𝔐𝑝,1 (R) ,I = [0;τ], 𝑓 ∶ I ⟶R continue,

avec τ > 0. Notez bien que cette méthode permet de résoudre, au moins de ma-nière approchée, tout problème de Cauchy du moment que 𝑓 est une fonctioncontinue (pour que les intégrales ci-dessous aient un sens). En ce sens approché,on fait donc beaucoup mieux que le seul cas linéaire proposé dans les deux pré-cédentes parties.

Principe de la méthode. Soit 0 = 𝑡0 < ⋯ < 𝑡N = τ une subdivision de [0,τ]. L’idéede la méthode est la suivante de construire un nuage de points (𝑡𝑖,𝑦𝑖) de procheen proche (donc grâce à une relation de récurrence), tels que ces points 𝑦𝑖 soienttrès proches des 𝑦(𝑡𝑖) (où 𝑦 désigne l’unique solution au problème de Cauchy). Lenuage de points est construit par «analyse-synthèse» (ou heuristique ici).

Méthode (d’Euler)WRENCH

1 — On commence par subdiviser l’intervalle [0;τ] de manière uniforme àl’aide de N+1 points espacés d’un pas de ℎ = τ

N . Plus précisément, on pose :

𝑡0 = 0, 𝑡1 = ℎ, 𝑡2 = 2ℎ, …, 𝑡𝑘 = 𝑘ℎ, …, 𝑡N = τ.



WRENCH2 — (Heuristique) On considère que pour ℎ petit :

Si𝑦 est une solution, alors 𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡,𝑦(𝑡)) ≈𝑦(𝑡 +ℎ)−𝑦(𝑡)

ℎ.

Donc que pour toute solution 𝑦 :

𝑦(𝑡 +ℎ) ≃ 𝑦(𝑡)+ℎ𝑓(𝑡,𝑦(𝑡)) (4.1)

3 — On définit donc une suite de points 𝑦𝑖 satisfaisant le plus possible l’ap-proximation précédente, en posant :

∀𝑘 ∈ J0 , N−1K, 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 +ℎ×𝑓(𝑡𝑘,𝑦𝑘).

TERMINALPython Implémentation en Python. Nous commençons par donner la fonction endimension 1.

Python1

2 import numpy as np3 def euler(f, y0, tau, N):4 '''

Python5 f : fonction, y0 : valeur en zéro, tau : borne max de

l'intervalle,↪

6 N : nombre de points de la subdivision->7 retourne un couple (abs, solution approchée)8 '''9 h = tau/N

10 T = np.linspace(0, tau, N+1)11 Y = np.zeros(N+1)12 Y[0] = y013 for k in range(N):14 Y[k+1] = Y[k] + h * f(T[k], Y[k])15 return T, Y

Si l’inconnue 𝑦 possède 𝑘 coordonnées, alors c’est pareil, on approche simple-ment la dérivée de chaque coordonnée.

Python1

2 import numpy as np3 def euler_vec(f, y0, tau, N):4 '''5 f : fonction, y0 : vecteur en zéro, tau : borne max de

l'intervalle,↪

6 N : nombre de points de la subdivision->7 retourne un couple (abs, solution approchée)8 solution approchée est une matrice (en chaque point de la

subdivison, k↪

9 coordonnées)10 '''11 h = tau/N12 T = np.linspace(0, tau, N+1)13 Y = np.zeros((N+1, len(y0)))14 Y[0] = y015 for k in range(N):16 Y[k+1] = Y[k] + h * f(T[k], Y[k])



Python17 return T, Y

Exemple 11— Fonction exponentielle Testons avec la fonction exponentielle, i.e.l’équation différentielle 𝑦′ = 𝑦.

Python1 def f(t,x):2 return x3

4 import numpy as np5 import matplotlib.pyplot as plt6

7 def euler(f, y0, tau, N):8 '''9 f : fonction, y0 : valeur en zéro, tau : borne max de

l'intervalle,↪

10 N : nombre de points de la subdivision->11 retourne un couple (abs, solution approchée)12 '''13 h = tau/N14 T = np.linspace(0, tau, N+1)15 Y = np.zeros(N+1)16 Y[0] = y017 for k in range(N):18 Y[k+1] = Y[k] + h * f(T[k], Y[k])19 return T, Y20

21 X, sol_app = euler(f, 1, 10, 100)22 plt.plot(X, sol_app, 'ro') #sol. approchee23 plt.plot(X, np.exp(X)) #solution exacte

1 plt.show()

Python

Exemple 12— Système proie/prédateur de Lokta & Volterra Reprenons un sys-tèmedéjà introduit dansunexempleprécédent, correspondant àunecompétitionentre deux espèces :

⎧⎨⎩

𝑦′1 = (2−4𝑦2)𝑦1,

𝑦′2 = (−2−2𝑦1)𝑦2.

D’après ce que l’on a vu dans la section précédente, si par exemple𝑦1 correspond àune population de lapins, et 𝑦2 une population de renards, alors nous avons ici :

Caret-right un fort taux de prédation des renards sur les lapins, un faible taux de préda-tion des lapins sur les renards,

Caret-right des taux de natalité comparables.

On s’attend alors en toute logique à observer une extinction rapide de la popula-tion de lapins.

Python1 def f(t, x):2 return np.array([(2-4*x[1])*x[0], (-2-2*x[0])*x[1]])3

4 import numpy as np



Python5 import matplotlib.pyplot as plt6

7 X, sol_app = euler_vec(f, [20, 20], 5, 10000)8 plt.plot(X, [sol_app[i][0] for i in range(len(sol_app))], 'r',

label = 'lapins')↪

9 plt.plot(X, [sol_app[i][1] for i in range(len(sol_app))],'g',label = 'renards')↪

10 plt.legend()

1 plt.show()

Commenter le graphe obtenu.

PEN-FANCY




5. EXERCICES

5.1. Résolution par changement de fonction inconnue ou non

classique

[AN_ED_12.tex]

Exercice ANA.8.1 (Solution : 27) Déterminer les fonctions 𝑓 ∈ 𝒟1(R,R) vérifiant :

∀𝑥 ∈R, 𝑓′(𝑥) = 2𝑓(−𝑥)+𝑥.

[AN_ED_6.tex]

Exercice ANA.8.2 Résoudre le système différentiel suivant sur R :

⎧⎨⎩

𝑦′ −𝑦 = 𝑧

𝑧′ +𝑧 = 3𝑦.

[AN_ED_21.tex]

Exercice ANA.8.3 Changement de fonction inconnue Résoudre 𝑥2𝑦′′+3𝑥𝑦′+𝑦 =(𝑥+1)2 surR+⋆. Indication : Onpourra réaliser le changement de fonction incon-nue 𝑧(𝑡) = 𝑦(e𝑡) pour tout 𝑡 ∈ R.

[AN_ED_56.tex]

Exercice ANA.8.4 Étude duWronskien dans un cas particulier Soient 𝑓 et𝑔 deuxsolutions de l’équation différentielle ci-dessous sur R⋆

∀𝑥 ∈R⋆, 𝑦′′ +(1+2𝑥)𝑦′ +(1+

1𝑥)𝑦 = 0.

On admet l’existence de ces deux solutions.

1 — Montrer que W = 𝑓𝑔′ −𝑓′𝑔 vérifie une équation différentielle.2 — En déduire l’expression de W.

5.2. Avec contexte

[AN_ED_14.tex]

Exercice ANA.8.5 Modèle simplifié de croissance tumorale & contrôlabilité dusystème à zéro Une première étape de la maladie du cancer consiste en une di-vision frénétique et anarchique d’un certain nombre de cellules cancéreuses, quiforment un agrégat de cellules appelé tumeur. Durant cette phase, le nombre decellules cancéreuses augmente entre deux temps avec un taux de reproductionégal à deux. Une modélisation simplifiée de ce processus en une équation diffé-rentielle vérifiée par le nombre 𝑦 de cellules cancéreuses au temps 𝑡, la fonction 𝑦est solution de l’équation homogène

⎧⎨⎩

𝑦′ = 𝑓(𝑦),

𝑦(0) = 1000𝑓 ∶R⟶R une fonction . (Cancer)

Dans toute la suite, le nombre de cellules 𝑦 est une variable du temps 𝑡 que l’onexprime en jour.

1 — Proposer une fonction 𝑓 en accord avec l’énoncé, puis résoudre l’équationdifférentielle.2 — Trois biologistes en compétition souhaitent éradiquer la maladie au bout de10 jours via une chimiothérapie, qui a pour effet de tuer un certain nombre decellules cancéreuses au cours du temps. La nouvelle équation

⎧⎨⎩

𝑦′ = 𝑓(𝑦)+𝑐,

𝑦(0) = 1000,𝑐 une fonction R⟶R. (Chimio)

où 𝑐(𝑡) désigne l’effet de la chimiothérapie à l’instant 𝑡 pour tout 𝑡 ∈R.

2.1) Donner une formule explicite pour 𝑦 solution de (Chimio).2.2) En déduire l’existence d’une fonction 𝑐 répondant aux exigences des méde-

cins.



[AN_ED_36.tex]

Exercice ANA.8.6 On considere une baignoire de forme parallelepipedique dontla base est de dimensions 𝑎𝑏 que l’on remplit avec un debit constant note 𝑑. Onnote 𝑧(𝑡) la hauteur d’eau dans la baignoire a l’instant 𝑡 et V(𝑡) son volume. Onsuppose que V(0) = 0. La baignoire a une fissure au fond qui laisse s’echapper plusoumoinsd’eauen fonctionde lapressionexerceepar l’eau sur celle-ci.On rappelleque la pression au fond de la baignoire est egale a 𝑝(𝑧) = ρ𝑔𝑧. Le débit de la fuiteest d𝑓 = α𝑝 avec α > 0 et 𝑝 la pression qui s’y exerce. Toutes les grandeurs sont enunite SI.

1 — Si on suppose la baignoire suffisamment haute,montrer que le volume d’eautend vers un volume a l’equilibre V𝑒𝑞 que l’on déterminera.2 — Si la baignoire a un volume V (que l’on suppose inferieur au volume d’equi-libre), au bout de combien de temps sera-t-elle pleine?

[AN_ED_34.tex]

Exercice ANA.8.7 Modele de Verhulst On dit qu’une fonction P suit un modèle deVerhulst de taux β,μ,κ si P est dérivable en 𝑡 et vérifie :

P′(𝑡) = (β−μ)(P(𝑡)−P(𝑡)2

κ) (𝑡 ⩾ 0), P(0) = P0. (Verhulst)

Dans la suite on note 𝑟 = β−μ. On cherche resoudre l’equation (Verhulst) pourP(0) = P0 ∈ ]0;κ[.

1 — Interpréter les constantes apparaissant dans (Verhulst).2 — (Positivité) On cherche déjà à prouver que pour tout 𝑡 ⩾ 0, P(𝑡) ∈ ]0;κ[. Onsuppose que P est une solution, et on note 𝑓(𝑡) = 𝑟P(𝑡) (1− P(𝑡)

κ ).2.1) Montrer que 𝑓 est dérivable sur R+ puis justifier que 𝑓 est solution d’une

equation différentielle lineaire homogene du premier ordre a coefficientscontinus.

2.2) Montrer que 𝑓(0) ≠ 0 et en déduire que pour tout 𝑡 ⩾ 0, 𝑓(𝑡) ≠ 0.2.3) Montrer que pour tout 𝑡 ⩾ 0, P(𝑡) ∈ ]0;κ[.2.4) (Résolution)

2.5) Montrer qu’il existe deux constantes 𝑎,𝑏 ∈ R2 telles que : ∀N ∈ R ⧵{0,κ} , κ

N(κ−N) =𝑎N + 𝑏

κ−N .2.6) Résoudre (Verhulst).

[AN_ED_35.tex]

Exercice ANA.8.8 On dit qu’une fonction P suit un modèle de Gompertz de tauxβ,μ,κ si P est dérivable en 𝑡 et vérifie :

P′(𝑡) = (β−μ) ln(κ

P(𝑡))P(𝑡) (𝑡 ⩾ 0), P(0) = P0 > 0.

On appelle β le taux de natalité, μ le taux de mortalité, et κ la capacité du milieu.On admet que P ne s’annule pas.Exprimer P(𝑡) en fonction de 𝑡. Indication : On pourra commencer par diviserpar P.

5.3. Pour les 5/2


Exercice ANA.8.9 Agro—Véto,2015,Méthode numérique pour une équation dif-férentielle (Solution : 27) On considère l’équation différentielle suivante, dans la-quelle 𝑦 désigne la fonction inconnue de la variable 𝑥

𝑥𝑦′(𝑥)+2𝑦(𝑥) =𝑥2

1+𝑥2 . (E)

1 — (Résolution de (E))1.1) Décrire l’ensemble des solutions de (E) définies sur ]−∞;0[⋃]0;∞[.

Indication : On pourra remarquer l’égalité 𝑥3 = 𝑥(1+𝑥2)−𝑥 pour tout 𝑥 ∈ R.1.2) On appelle solution sur R, toute solution de (E) définie et dérivable sur R.

L’équation (E) admet-elle de telles solutions? Si oui, exprimer ces solutions,et positionner localement leur courbe représentative par rapport à leur tan-gente en zéro.

1.3) Résoudre (E) avec la condition de CAUCHY 𝑦(1) = 12 .



1.4) TERMINALPython Écrire une fonction Python nommée solexacte prenant en para-mètre 𝑏 ∈R et traçant la solution sur un intervalle [1,𝑏].

1.5) (Méthode d’Euler) Écrire une fonction Python nommée soleuler pre-nant en paramètre N ∈ N et qui renvoie les listes des valeurs (𝑥𝑖)𝑖∈J0 ,NK et(𝑦𝑖)𝑖∈J0 ,NK etqui trace les segments reliant lespoints (𝑥𝑖,𝑦𝑖)et (𝑥𝑖+1,𝑦𝑖+1)pour𝑖 ∈ J0 , N−1K. Comparer cette courbe à celle de la solution exacte.

[AN_ED_58.tex]

Exercice ANA.8.10 (Solution : 29) Onnote E l’ensemble des applications deR dansR de classe 𝒞2 vérifiant

∀𝑥 ∈R, 𝑥2𝑓′′(𝑥)−4𝑥𝑓′(𝑥)+6𝑓(𝑥) = 0.

1 — Vérifier que E est un espace vectoriel.2 — Déterminer l’ensemble des fonctions polynomiales sur R de E.

3 — Soit 𝑓 ∈ E. On définit alors : 𝑔||||||

R ⧵ {0} ⟶ R

𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥)𝑥2

. Montrer que 𝑔 est de

classe 𝒞2 sur R⋆ et que 𝑔′′ est nulle. En déduire la dimension et une base de E.4 — Retrouver les solutions surR+⋆ en faisant le changement de variable 𝑡 = ln𝑥.

[AN_ED_57.tex]

Exercice ANA.8.11 (Solution : 30) Soit une fonction 𝑓 de classe 𝒞1 sur R+⋆ véri-fiant :

∀𝑥 ∈]0,+∞[, 𝑥𝑓′(𝑥)− |1−𝑓(𝑥)| = 1

1 — 1.1) Résoudre (E1), 𝑥𝑦′(𝑥)−𝑦(𝑥) = 0 sur R+⋆.1.2) Résoudre (E2), 𝑥𝑧′(𝑥)+𝑧(𝑥) = 2 sur R+⋆.1.3) TERMINALPython Représenter à l’aide de Python la fonction 𝑦 vérifiant 𝑦(2) = 1 et la

fonction 𝑧 avec 𝑧(2) = 1.2 — 2.1) Démontrer que 𝑓 est strictement croissante.2.2) Si 𝑓 estminorée par 1,montrer que 𝑓 est solution deE1. Calculer la limite en

0 et arriver à une contradiction.2.3) Si 𝑓 est majorée par 1, montrer que 𝑓 est solution de E2. Arriver comme pré-

cédemment à une contradiction.

2.4) En déduire qu’il existe 𝑥0 tel que 𝑓(𝑥0) = 1.2.5) Donner l’expression de 𝑓 sur ]0,𝑥0[ et ]𝑥0,∞[. Conclure.




Solution (exercice ANA.8.1) (Énoncé : 24)Pour éliminer la variable−𝑥qui nous gène,on peut essayer de redériver une deuxième fois. Pour cela, lemembre de droite est𝒟1 comme somme et composée de fonctions dérivables, donc 𝑓 vérifie l’équationdifférentielle

𝑓′′(𝑥) = −2𝑓′(−𝑥)+1 = −2(2𝑓(𝑥)−𝑥)+1 ⟺ 𝑓′′(𝑥)+4𝑓(𝑥) = 2𝑥+1.

L’équationhomogène se résout en𝑥 ↦ Asin(2𝑥)+Bcos(2𝑥) avecA,B ∈R. En cher-chant une solution particulière sous forme polynomiale, on trouve l’ensemble so-lutions qui est :

{𝑥 ↦ Asin(2𝑥)+Bcos(2𝑥)+12𝑥+

14, A,B ∈R}.

Inversement, prenons 𝑓 de la forme 𝑓(𝑥) = Asin(2𝑥)+Bcos(2𝑥)+ 12𝑥+ 1

4 . Alors 𝑓est solution de l’équation de départ si et seulement si, pour tout 𝑥 ∈R,

2Acos(2𝑥)−2Bsin(2𝑥)+12

= −2Asin(2𝑥)+2Bcos(2𝑥)−𝑥+12

+𝑥.

Ce qui permet d’écrire, en rassemblant les termes, que :

2(A−B)(cos(2𝑥)+ sin(2𝑥)) = 0.

Il faut donc restreindre l’ensemble initial avec des constantes A et B égales. L’en-semble solution est

{𝑥 ↦ A(sin(2𝑥)+cos(2𝑥))+12𝑥+

14, A ∈R}.


1 — (Résolution de (E))

1.1) Notons I1 =]0,+∞[ et I2 =] −∞,0[. En divisant par 𝑥, on se ramène à uneéquation linéaire de première année sur l’un des intervalles I1, I2.

𝑦′(𝑥)+2𝑥𝑦(𝑥) =

𝑥1+𝑥2 .

On va raisonner sur I1 par exemple. La fonction 𝑎 ∶ 𝑥 ↦ 2𝑥 est continue sur

I1, une primitive est donnée par A ∶ 𝑥 ↦ 2 ln |𝑥|. Le cours nous dit alors quela solution générale de l’équation homogène sur I1 est donnée par :

∀𝑥 ∈ I1, 𝑦0(𝑥) = λ1𝑒−2 ln |𝑥| =λ1𝑥2

avec λ1 ∈R. On cherche ensuite une solution particulière par variation de laconstante. On pose donc 𝑦(𝑥) = λ(𝑥)

𝑥2 avec λ une fonction dérivable à déter-miner, nous avons ensuite

𝑦′(𝑥) =−2𝑥3 λ(𝑥)+

λ′(𝑥)𝑥2

𝑦′(𝑥)+2𝑥𝑦(𝑥) =

−2𝑥3 λ(𝑥)+

λ′(𝑥)𝑥2 +

2𝑥3λ(𝑥)

=λ′(𝑥)𝑥2 .

Nous avons donc la relationλ′(𝑥)𝑥2 =

𝑥1+𝑥2

λ′(𝑥) =𝑥3

1+𝑥2

Il nous reste à chercher une primitive de λ, on peut par exemple prendre∀𝑥 ∈ I1 :

λ(𝑥) = ∫𝑥

0

𝑡3

1+𝑡2d𝑡

= ∫𝑥

0

𝑡(1+𝑡2)−𝑡1+𝑡2

= ∫𝑥

0𝑡d𝑡 − ∫

𝑥

0

𝑡1+𝑡2

d𝑡

=𝑥2

2−

12ln (1+𝑥2) .



La solution générale est enfin somme de la solution générale de l’équationhomogène et de la solution particulière obtenue :

∃λ1, ∀𝑥 ∈ I1 𝑦(𝑥) =λ1𝑥2 +

12

−12ln (1+𝑥2)

𝑥2 .

On fait la même étude sur I2 pour obtenir finalement :

∃(λ1,λ2) ∈R2, 𝑦(𝑥) =⎧⎨⎩

λ1𝑥2 + 1

2 − 12ln(1+𝑥2)

𝑥2 si 𝑥 > 0λ2𝑥2 + 1

2 − 12ln(1+𝑥2)

𝑥2 si 𝑥 < 01.2) On remarque qu’au voisinage de 0,

ln (1+𝑥2)𝑥2 ∼

𝑥→0

𝑥2

𝑥2 = 1

Ainsi, on voit facilement que si λ ≠ 0

lim𝑥→0

λ1𝑥2 +

12

−12ln (1+𝑥2)

𝑥2 = ±∞

et si λ = 0

lim𝑥→0

12

−12ln (1+𝑥2)

𝑥2 = 0

Ainsi dans ce seul cas on peut prolonger notre solution par continuité en 0en posant 𝑦(0) = 0.Nous posons donc

𝑦(𝑥) =⎧⎨⎩

12 − 1

2ln(1+𝑥2)

𝑥2 si 𝑥 ≠ 00 si 𝑥 = 0

Il nous faut encore vérifier la dérivabilité en 0.Pour justifier la dérivabilité et positionner la courbe par rapport à sa tan-gente, on peut réaliser un développement limité de 𝑦 en 0, nous savonsqu’une fonction est dérivable si et seulement si elle admet un développe-ment limitéd’ordre 1, et en regardant le signedu termenonnul suivant, nous

pourrons en déduire la position relative.

𝑦(𝑥) =12

−12𝑥2 − 𝑥4

2 +𝑥4ϵ(𝑥)𝑥2

=12

−12(1−

𝑥2

2+𝑥2ϵ(𝑥))

= 𝑥2 (14

+e𝑡𝑎(𝑥)) .

On déduit donc l’existence du développement, nous remarquons de plusque, dans ce développement, le coefficient de 𝑥 est nul donc 𝑦′(0) = 0 , d’où𝑦 = 0 comme tangente. Enfin comme 1

4 > 0 et lim𝑥→0 η(𝑥) = 0 nous voyonsque localement, la courbe est dessus sa tangente en 0.

1.3) Résoudre (E) avec la condition de CAUCHY 𝑦(1) = 12 sur I1 =]0,+∞[.

Il nous faut déterminer la constante λ pour que 𝑦(1) = 12

λ12

+12

−12ln21

=12

λ =ln22

La solution du problème de CAUCHY est 𝑥 ↦ ln22𝑥2 + 1

2 − 12ln(1+𝑥2)

𝑥2 .


2 import matplotlib.pyplot as plt3 def solexacte(b):4 N=1005 X=np.linspace(1,b,N)6 Y=[]7 for x in X:8 Y.append(np.log(2)/(2*x*x)+(1/2)*(1-np.log(1 ⌋

+x*x)/(x*x)))↪

9 plt.plot(X,Y)10 return X,Y



2 — Rappelons le principe de la méthode.4 L’équation différentielle est du type :

𝑦′(𝑥) = F(𝑥,𝑦(𝑥)) où F(𝑥,𝑧) =𝑥

1+𝑥2 −2𝑥𝑧.

Si 𝑦 est solution, alors 𝑦(𝑥+ℎ) ∼ 𝑦(𝑥)+ℎ𝑦′(𝑥) = 𝑦(𝑥)+ℎ𝑦′(𝑥)F(𝑥,𝑦(𝑥)). On définitdonc une suite de points 𝑦𝑖 par récurrence en posant :

∀𝑘 ∈ J0,NK, 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖+ℎ×F(𝑡𝑖,𝑦𝑖) = 𝑦𝑖+ℎ×𝑡𝑖

1+𝑡2𝑖−

2𝑡𝑖

𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 (1−2𝑡𝑖

)+ℎ×𝑡𝑖

1+𝑡2𝑖.

Python1 import numpy as np2 import matplotlib.pyplot as plt3 def solexacte(b):4 N=1005 X=np.linspace(1,b,N)6 Y=[]7 for x in X:8 Y.append(np.log(2)/(2*x*x)+(1/2)*(1-np.log(1 ⌋

+x*x)/(x*x)))↪

9 plt.plot(X,Y)10 return X,Y11 plt.plot(solexacte(10)[0],solexacte(10)[1])12 def f(x,y):13 return x/(1+x**2)-(2/x)*y14 def soleuler(N,b):15 h = (b-1)/N16 X = [1]17 x = 118 Y = [1/2]19 y = 1/220 for i in range(N):21 y = y+h*f(x,y)22 Y = Y+[y]

4Dans l’énoncé originel, le principe de la méthode était rappelé.

Python23 x = x+h24 X = X+[x]25 return X,Y26 plt.plot(soleuler(100,10)[0],soleuler(100,10)[1])


1 — Justifions que E est un sous-espace vectoriel de 𝒞2(R,R). Puisque l’équationdifférentielle est linéaire homogène, la fonction nulle est solution. Soient 𝑓,𝑔 ∈ Eet λ,μ ∈R. Alors, pour tout 𝑥 ∈R,

𝑥2(λ𝑓+μ𝑔)′′(𝑥)−4𝑥(λ𝑓+μ𝑔)′(𝑥)+6(λ𝑓+μ𝑔)(𝑥)= 𝑥2(λ𝑓′′(𝑥)+μ𝑔′′(𝑥))−4𝑥(λ𝑓′(𝑥)+μ𝑔′(𝑥))+6(λ𝑓(𝑥)+μ𝑔(𝑥)) = λ0+μ0= 0.

linéarité de la dé-rivation𝑓,𝑔 ∈ E

Donc E est un sous-espace vectoriel de𝒞2(R,R), donc E est un espace vectoriel.2 — Soit 𝑓 = 𝑎𝑛X𝑛+𝑎𝑛−1X𝑛−1+⋯+𝑎0 avec𝑎𝑛 ≠ 0 et𝑎1,…,𝑎𝑛 ∈R. Alors commen-çons par chercher s’il y a une condition sur le degré 𝑛, en analysant le coefficientdominant. Le terme d’ordre 𝑛 de X2𝑓′′(X)−4X𝑓′(X)+6𝑓(X) est :

𝑎𝑛𝑛(𝑛−1)X𝑛 −4𝑛𝑎𝑛X𝑛 +6𝑎𝑛X𝑛 = 𝑎𝑛(𝑛2 −5𝑛+6)X𝑛.



Ainsi, si 𝑓 ∈ E alors tous les coefficients de X2𝑓′′(𝑥)−4X𝑓′(X)+6𝑓(X) sont nuls, enparticulier 𝑛2 −5𝑛+6 = (𝑛−3)(𝑛−2) = 0 puisque 𝑎𝑛 ≠ 0. Donc : deg𝑓 ∈ {3,2}.Supposons que 𝑓 = 𝑎3X3 +...+𝑎0. Alors 𝑓 est solution si et seulement si

X2(6𝑎3X+2𝑎2)−4X(3𝑎3X2 +2𝑎2X+𝑎1)+6(𝑎3X3 +...+𝑎0) = 0,0X3 +0X2 +(−4𝑎1 +6𝑎1)X−4𝑎0 = 0.

En identifiant, on obtient alors comme conditions 𝑎1 = 0,𝑎0 = 0.Donc 𝑓 est solution si et seulement si 𝑓 ∈ Vect(X2,X3).En résumé, les solutions polynomiales sont les fonctions de Vect(X2,X3).

3 — La fonction 𝑔 est de classe 𝒞2 sur R⋆ en tant que quotient de telles fonc-tions, dont le dénominateur ne s’annule pas. De plus, pour 𝑥 ∈R⋆,

𝑔′(𝑥) =𝑓′(𝑥)𝑥2 −2𝑥𝑓(𝑥)

𝑥4 =𝑓′(𝑥)𝑥2 −2

𝑓(𝑥)𝑥3 .

Puis on déduit la dérivée seconde :

𝑔′′(𝑥) =𝑓′′(𝑥)𝑥2 −2𝑥𝑓′(𝑥)

𝑥4 −2𝑓′(𝑥)𝑥3 −3𝑥2𝑓(𝑥)

𝑥6 .

Ainsi, en mettant les fractions au même dénominateur, on obtient

𝑔′′(𝑥) =𝑥2𝑓′′(𝑥)−2𝑥𝑓(𝑥)−2𝑥𝑓(𝑥)+6𝑓′𝑥)

𝑥4 =0𝑥4 .

Donc : 𝑔′′ = 0 sur R⋆.On déduit alors qu’il existe A,B ∈R tels que 𝑓(𝑥) = A𝑥3+B𝑥2 pour tout 𝑥 ∈R⋆. Parcontinuité de 𝑓 sur R, on a même :

∀𝑥 ∈R, 𝑓(𝑥) = A𝑥3 +B𝑥2.

Ainsi, (𝑥 ⟼ 𝑥2,𝑥 ⟼ 𝑥3) est une famille génératrice de E, elle est de pluslibre en tant que sous-famille d’une famille libre (la base canonique). Donc(𝑥 ⟼ 𝑥2,𝑥 ⟼ 𝑥3) est une base de E et dimE = 2.

4 — Définissions la fonction ℎ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(e𝑥). Alors en tant que composée de tellesfonctions, la fonction ℎ est deux fois dérivable, et pour tout 𝑥 ∈R+⋆,

ℎ′(𝑥) = e𝑥𝑓′(e𝑥)ℎ′′(𝑥) = e𝑥𝑓′(e𝑥)+ (e𝑥)2𝑓′′(e𝑥).

Mais d’après l’équation différentielle, nous avons

(e𝑥)2𝑓′′(e𝑥)− (4e𝑥)𝑓′(e𝑥)+6𝑓(e𝑥) = 0.

Donc en utilisant ℎ, on trouve :

(ℎ′′(𝑥)−ℎ′(𝑥))−4ℎ′(𝑥)+6ℎ(𝑥) = 0 ⟺ ℎ′′(𝑥)−5ℎ′(𝑥)+6ℎ(𝑥) = 0.

L’équation caractéristique est alors 𝑥2 −5𝑥+6 = 0 = (𝑥−2)(𝑥 −3). Donc il existeA,B ∈R telles que pour tout 𝑥 ∈R, 𝑓(e𝑥) = ℎ(𝑥) = Ae2𝑥+Be3𝑥. De manière équi-valente,

∀𝑥 ∈R+⋆, 𝑓(𝑥) = A𝑥2 +B𝑥3 .

On retombe bien sur les solutions trouvées par l’autre méthode.


1 — 1.1) 𝑥𝑦′(𝑥)−𝑦(𝑥) = 0. D’après le cours, il existe C ∈ R tel que pour tout 𝑥 ∈R+⋆, 𝑦(𝑥) = Celn𝑥 = C𝑥 .

1.2) 𝑥𝑧′(𝑥)+𝑧(𝑥) = 0. D’après le cours, il existe C ∈ R tel que pour tout 𝑥 ∈ R+⋆,

𝑧(𝑥) = Ce− ln𝑥 +2 =C𝑥

+2 .

1.3) La condition 𝑦(2) = 1 donne 2C = 1 soit C = 12 . Donc 𝑦(𝑥) = 𝑥

2 pour tout

𝑥 ∈ R+⋆. La condition 𝑧(2) = 1 donne C2 = 4 soit C = 8. Donc 𝑧(𝑥) = 8

𝑥 +8pour tout 𝑥 ∈R+⋆.

Python1 import matplotlib.pyplot as plt2 X = np.linspace(0.01, 5, 100)



Python3 Y = 0.5*X4 Z = 8/X + 8

1 plt.show()

2 — 2.1) Soit 𝑥 ∈R+⋆. Alors 𝑓′(𝑥) = 1+||1−𝑓(𝑥)||𝑥 . Donc 𝑓 est strictement croissante

puisque la dérivée de 𝑓 est strictement positive.2.2) Supposons que 𝑓 est minorée par 1 alors pour tout 𝑥 ∈]0,∞[, ||1−𝑓(𝑥)|| =

𝑓(𝑥) − 1, donc 𝑓 est solution de E1 . La limite en zéro existe par théorèmede convergence monotone puisque 𝑓 est décroissante minorée. D’aprèsles résolutions explicites faites précédemment, lim

𝑥→0𝑓(𝑥) = lim

𝑥→0(𝑓(0)𝑥) =

0 . Mais ceci est une contradiction puisque 𝑓 est minorée par 1. Donc :𝑓 n’est pas minorée par 1.

2.3) Supposons que 𝑓 est minorée par 1 alors pour tout 𝑥 ∈]0,∞[, ||1−𝑓(𝑥)|| =1 − 𝑓(𝑥), donc 𝑓 est solution de E2 . La limite en +∞ existe par théorèmede convergence monotone puisque 𝑓 est décroissante minorée. D’après lesrésolutions explicites faites précédemment, il existeC ∈R, tel que lim

𝑥→∞𝑓(𝑥) =

lim𝑥→∞

(C𝑥 +2) = 2. ais ceci est une contradiction puisque 𝑓 est majorée par 1.

Donc : 𝑓 n’est pas majorée par 1.2.4) D’après ce qui précède, il existe 𝑥0 ∈R+⋆ tel que 𝑓(𝑥1) > 1 et 𝑥2 ∈R+⋆ tel que

𝑓(𝑥2) < 1. Mais comme 𝑓 est continue, d’après le théorème des valeurs in-

termédiaires, il existe 𝑥0 tel que 𝑓(𝑥0) = 1. De plus, par stricte monotonie,ce 𝑥0 est unique.

2.5) Donner l’expression de 𝑓 sur ]0,𝑥0[ et ]𝑥0,∞[. Sur ]0,𝑥0[, nous avons 𝑓 < 1(donc 𝑓 est solution de E2, et sur ]𝑥0,∞[, nous avons 𝑓 > 1 (donc 𝑓 est solu-tion de E1. Donc : il existe C,D tels que pour tout 𝑥 ∈]0,∞[,

𝑓(𝑥) =⎧⎨⎩

C𝑥 si 𝑥 ∈]𝑥0,∞[,D𝑥 +2 si 𝑥 ∈]0,𝑥0[.


Chapitre ANA.9. Suites & Séries Numériques

CHAPITRE ANA.9Suites & Séries Numériques

Résumé & Plan

NOus commencerons par des résultats sur les suites numériques, qui seront globalement des rappels de premièreannée : des généralités, la notion de suite convergente/divergente, propriétés de convergence des suites et suites

récurrentes.Nous passerons ensuite à l’étude de suites particulières, que l’on appelle «série», i.e. les suites dont le terme générald’indice 𝑛 ∈ N est la somme de 𝑛+1 termes d’une suite numérique. Ces suites apparaissent naturellement dans bonnombre de problèmes en Mathématiques ; de la définition de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment, enpassant par les calculs d’espérances de variable aléatoire discrètes à support dénombrable. Bref, une théorie générales’impose et ceci constituera la deuxième grande partie de ce chapitre.

W

1. Suites Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Généralités sur les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Théorèmes de convergence par majoration, minoration etencadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Suites extraites des termes pairs et impairs . . . . . . . . . 10

1.5. Théorèmes de convergence par monotonie . . . . . . . . . 10

1.6. Suites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Séries Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Séries de signe constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Séries à termes quelconques & Convergence absolue . . . 30

2.4. Plan d’étude d’une série numérique . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Séries doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1. Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38




∞∑𝑘=1

1𝑘4 =

π2

90

—Le saviez-vous?

1. SUITES NUMÉRIQUES

Nous commençons ce chapitre par des révisions de première année sur les suitesnumériques.

1.1. Généralités sur les suites réelles

Définition ANA.9.11 — On appelle suite réelle toute application d’un sous-ensemble 𝒩 de Ndans R, i.e. toute famille de réels indexée par un sous-ensemble de N notée(𝑢𝑛)𝑛∈𝒩.2 — Pour tout𝑛 ∈ 𝒩, on dit que𝑢𝑛 est le𝑛-ième terme de la suite, ou le termede rang 𝑛. Si 𝒩 = [𝑛0;∞[ ∩N avec 𝑛0 ∈ N, on dit que (𝑢𝑛)𝑛∈𝒩 est définie àpartir d’un certain rang.

La plupart du temps,𝒩 sera égal àNouN⋆, on rappelle également queRN désignel’ensemble des suites réelles.1

Notation (Abus de ...)Σ

Lorsque l’ensemble 𝒩 importe peu, nous nous autoriserons à noter seule-ment (𝑢𝑛) au lieu de (𝑢𝑛)𝑛∈𝒩. Cela signifiera donc implicitement que l’on

1Cas particulier, rappelons-le, de EF l’ensemble des fonctions de F dans E, où E et F sont deuxensembles, lorsque l’ensemble de départ E est un sous-ensemble de N.

Σconsidère que 𝒩 est l’ensemble de définition de l’expression 𝑢𝑛.

Attention×

Demêmequ’il ne faut pas confondreune fonction 𝑓 et l’image 𝑓(𝑥)de𝑥par 𝑓,onprendra gardedebiendistinguer la suite (𝑢𝑛) de son termegénéral d’ordre𝑛 noté lui 𝑢𝑛 sans parenthèse.

Définition ANA.9.2 | Ensemble de définition et grapheL’ensemblededéfinition d’une suite, ouensemblededépart, est l’ensembledesentiers en lesquels elle est définie. Le graphe (ou représentation graphique de(𝑢𝑛)) d’une suite (𝑢𝑛) définie sur une partie 𝒩 de N est l’ensemble constituédes couples (𝑛,𝑢𝑛), où 𝑛 parcourt 𝒩.

On peut ainsi représenter une suite par son graphe. Voyons comment faire celaavec Python.

PythonReprésentation graphique d’une suite définie explicitement avec Python

Un premier exemple, une suite définie explicitement en fonction de 𝑛. parexemple (𝑢𝑛) définie par

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 = √𝑛+1.

1 import matplotlib.pyplot as plt2

3 plt.plot([(k + 1)**0.5 for k in range(11)], 'bo')4

5 #Affichage en bleu et cercles6 plt.title("Suite u")7 plt.xlabel("n")8 plt.ylabel("u")

1 plt.show()



Python

PythonReprésentation graphique d’une suite définie par récurrence avec Python

Un second exemple, une suite définie par une relation de récurrence. parexemple (𝑢𝑛) définie par

𝑢0 = 1, ∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = √𝑢𝑛 +1.

1 import matplotlib.pyplot as plt2

3 def u(n):4 u = 15 for k in range(n):6 u = (u + 1)**0.57 return u8

9 # version récursive10 def u_bis(n):11 if n == 0:12 return 1

Python13 else:14 return (u_bis(n-1) + 1)**0.515

16 plt.plot([u(k) for k in range(11)], 'ro')17

18 #Affichage en bleu et cercles19 plt.title("Suite u")20 plt.xlabel("n")21 plt.ylabel("u")

1 plt.show()

Remarque 1.1— sur les scripts

Caret-right Dans les exemples précédents, on voit que nous ne sommes pas obligés dementionner un premier argument dans les commandes plt.plot. Par dé-faut, Python placera en abscisses les entiers positifs. Ainsi, si on veut tracerune suite sur N⋆ (par exemple), on précisera list(range(0, 10)) en pre-mier argument.



Caret-right Dans les options de plt.plot, 'o' signifie que l’on trace des points non reliésentre eux, 'r' et 'b' correspondent aux couleurs.

Exemple 1— Dans l’exemple précédent, pour chaque termeon réexécute la fonc-tion u pour calculer le 𝑛-ième terme. Proposer une version améliorée du précé-dent — vis-à-vis du temps d’exécution du script — menant au tracé.

PEN-FANCY

Exemple 2— Proposer quelques commandes à la volée permettant de tracer surJ0 , 10K la suite (𝑢𝑛) ci-dessous définie par récurrence :

𝑢0 = 1, ∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = √||𝑢𝑛||+1.

PEN-FANCY



Définition ANA.9.3 | Bornes et opérations sur les suitesPour tout (𝑢𝑛) ∈RN, (𝑣𝑛) ∈RN et λ ∈R, on pose :1 — (𝑢𝑛) + (𝑣𝑛) = (𝑢𝑛 +𝑣𝑛),2 — (𝑢𝑛) × (𝑣𝑛) = (𝑢𝑛.𝑣𝑛),3 — λ(𝑢𝑛) = (λ𝑢𝑛).

La structure d’espace vectoriel des espaces de suites numériques a déjà été établiedans le Chapitre ALG.1, nous la rappelons ici.

Proposition ANA.9.1

Le triplet (RN,+, .) est un R-espace vectoriel.

Puisqu’une suite est une fonction bien particulière, la notion de suite bornée,mo-notone, etc. a déjà été définie dans le Chapitre ANA.7. Nous les rappelons ici refor-mulées dans le cadre des suites.

Définition ANA.9.4 | BorneOn dit que la suite (𝑢𝑛) est majorée (resp. minorée par 𝑚 ∈R) s’il existe M ∈Rtel que :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 ⩽ M (resp.∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 ⩾ 𝑚)

Elle est dite bornée si elle est majorée et minorée.

Proposition ANA.9.2

Soit (𝑢𝑛) une suite. Alors :

(𝑢𝑛) est bornée ⟺ (||𝑢𝑛||) est majorée.

Preuve

⟹ Supposons la suite (𝑢𝑛) bornée. Alors il existe (𝑚,M) ∈ R+ telque : ∀𝑛 ∈ N, 𝑚 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ M. Alors nous avons immédiatement que :∀𝑛 ∈N, ||𝑢𝑛

|| ⩽max (𝑚,M).

⟸ Puisque l’égalité ||𝑢𝑛|| ⩽ M pour tout 𝑛 ∈ N, M ∈ R+ est équivalente à

−M ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ M on en déduit que (𝑢𝑛) est bornée.

Remarque 1.2— Comme pour les fonctions, les ensembles de suites majorées,minorées ne sont pas des espaces vectoriels. En revanche, nous avons le résultatsuivant.

Proposition ANA.9.3 | Structure d’espace vectoriel des suites bornéesL’ensemble des suites bornées forme un sous-espace vectoriel de RN.

Preuve

PEN-FANCY



Définition ANA.9.5 | MonotonieLa suite (𝑢𝑛) est dite croissante (resp. strictement croissante,décroissante, stric-tement décroissante) si :

∀𝑛 ⩾ 𝑛0, 𝑢𝑛 ⩽ 𝑢𝑛+1

(resp. ∀𝑛 ⩾ 𝑛0, 𝑢𝑛 < 𝑢𝑛+1

∀𝑛 ⩾ 𝑛0, 𝑢𝑛 ⩾ 𝑢𝑛+1

∀𝑛 ⩾ 𝑛0, 𝑢𝑛 > 𝑢𝑛+1 ).

La suite (𝑢𝑛) est dite monotone (resp. strictement monotone) si elle est crois-sante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décrois-sante).

Méthode (Trouver la monotonie d’une suite)WRENCH

1 — On étudie le signe de la différence 𝑢𝑛+1 −𝑢𝑛 pour tout entier 𝑛.2 — Pour les suites qui ne s’annulent pas, on peut également comparer lequotient 𝑢𝑛+1

𝑢𝑛à 1 pour tout entier 𝑛 ∈N.

Définition ANA.9.6Pour tout𝑛 ∈N, soit𝒫𝑛 une propriété susceptible d’être vérifiée par le𝑛-ièmeterme de la suite (𝑢𝑛). On dit que (𝑢𝑛) vérifie 𝒫𝑛 à partir d’un certain rang si :

∃𝑛0 ∈N, ∀𝑛 ∈N, 𝑛 ⩾ 𝑛0 ⟹ 𝒫𝑛 vraie.

Exemple 3—

1 — Montrer que (√𝑛)𝑛∈N

est minorée par cinq à partir d’un certain rang. Expli-citer un rang à partir duquel est réalisée la minoration.PEN-FANCY

2 — Montrer qu’une suite majorée à partir d’un certain rang est majorée.PEN-FANCY

Définition ANA.9.7 | StationnaireOn dit qu’une suite (𝑢𝑛) est stationnaire si elle est constante à partir d’un cer-tain rang.



Exemple 4— La suite (3+⌊42𝑛 ⌋)

𝑛∈Nest stationnaire. À partir de quel rang est-elle

constante?

PEN-FANCY

1.2. Limite d’une suite

Définition ANA.9.8 | ConvergenceSoient ℓ ∈ R et (𝑢𝑛) une suite. On dit que (𝑢𝑛) converge vers ℓ, et on note𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ si :

∀ε > 0, ∃𝑛0 ∈N, ∀𝑛 ∈N, 𝑛 ⩾ 𝑛0 ⟹ ||𝑢𝑛 −ℓ|| < ε.

On dit alors que la suite est convergente et le réel ℓ, appelé limite de la suite(𝑢𝑛), est encore noté lim𝑛→∞𝑢𝑛.

Définition ANA.9.9 | DivergenceOn dit qu’une suite (𝑢𝑛) diverge vers +∞ (resp. vers −∞), et on note 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→+∞ (resp. 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ −∞), si :

∀A ∈R, ∃𝑛0 ∈N, ∀𝑛 ∈N, 𝑛 ⩾ 𝑛0 ⟹ 𝑢𝑛 ⩾ A

(resp. : ∀A ∈R, ∃𝑛0 ∈N, ∀𝑛 ∈N, 𝑛 ⩾ 𝑛0 ⟹ 𝑢𝑛 ⩽ A)

Une suite est dite divergente si elle n’est pas convergente.

Définition ANA.9.10 | NatureDéterminer la nature d’une suite c’est déterminer si elle converge ou diverge.

La divergence vers ∞ (resp. −∞) signifie que les termes de la suite sont arbitraire-ment grands (resp.petits), pourvu que l’onprenne𝑛 assez grand.Notez bien l’ana-logie avec les définitions analogues vues dans les Chapitres ANA.7 et ANA.11.

Attention (au vocabulaire !)×

Il existe des suites qui ne convergent pas et qui ne divergent pas vers ±∞,par exemple, la suite définie par 𝑢𝑛 = (−1)𝑛𝑛2. Ainsi, il est interdit d’écrirelim𝑛→∞𝑢𝑛 tant que l’on ne sait pas si (𝑢𝑛) converge ou pas. Dans les théo-rèmes qui suivent, on notera attentivement si la convergence des suites im-pliquées est dans les hypothèses ou dans la conclusion.Deplus, une suite qui «diverge vers±∞» est donc enparticulier «divergente»(car elle ne converge pas).

Théorème ANA.9.1 | Unicité de la limiteLa limite d’une suite, si elle existe, est unique.

Preuve Faisons la preuve dans le cas d’une limite finie. Raisonnons parl’absurde et supposons que 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ, 𝑢𝑛𝑛→∞−−−−→ ℓ′ et ℓ < ℓ′. Posons ε =

ℓ′−ℓ3 > 0. Alors :

ℓ−ε ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ ℓ+ε

à partir d’un certain rang 𝑛1 et

ℓ′ −ε ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ ℓ′ +ε

à partir d’un certain rang𝑛2. Or, ε a été choisi de sorte que ℓ+ε < ℓ′−ε. Pour𝑛 ⩾ 𝑛0 =max{𝑛1,𝑛2}, on a donc :

𝑢𝑛 ⩽ ℓ+ε < ℓ′ −ε ⩽ 𝑢𝑛

ce qui est absurde.



Théorème ANA.9.2Toute suite convergente est bornée.

Preuve Soient ℓ = lim𝑛→∞𝑢𝑛 et ε = 1 > 0. Alors en appliquant la défini-tion de la convergence de (𝑢𝑛), on a :

ℓ−1 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ ℓ+1

à partir d’un certain rang 𝑛0. Posons alors :

M =max{|𝑢0|, |𝑢1|, |𝑢2|, ..., |𝑢𝑛0−1|,−(ℓ−1),ℓ+1}.

Pour tout 𝑛 ⩾ 𝑛0, on a : 𝑢𝑛 ⩽ ℓ+1 ⩽ M et −𝑢𝑛 ⩽ −(ℓ−1) ⩽ M. Ainsi, pour𝑛 ⩾ 𝑛0, on a : |𝑢𝑛| ⩽ M. Comme la majoration est immédiate pour 𝑛 < 𝑛0,alors on a prouvé : ∀𝑛 ∈N, |𝑢𝑛| ⩽ M. La suite (𝑢𝑛) est bornée.

Théorème ANA.9.3

Soit (𝑢𝑛) une suite.1 — Si 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ > 0, alors : 𝑢𝑛 > 0 à partir d’un certain rang.2 — Plus généralement, si 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ et ℓ′ < ℓ < ℓ′′, alors, on a ℓ′ < 𝑢𝑛 < ℓ′′ àpartir d’un certain rang.

Illustrons ceci avec un dessin.

PEN-FANCY

Attention×

La réciproque de 1) est fausse : considérer par exemple la suite (1/𝑛)𝑛⩾1.

Preuve Soitℓ = lim𝑛→∞𝑢𝑛 > 0. Posons ε =ℓ2

> 0. Alorsℓ−ε ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ ℓ+ε

à partir d’un certain rang. Commeℓ−ε =ℓ2

> 0, alors les termes𝑢𝑛 sont bienstrictement positifs à partir d’un certain rang. Pour le cas général, appliquerle cas particulier à la suite (𝑢𝑛 −ℓ′), qui converge vers ℓ−ℓ′ > 0 et à la suite

(ℓ′′ −𝑢𝑛), qui converge vers ℓ′′ −ℓ > 0. On en déduit bien que 𝑢𝑛 −ℓ′ > 0 etℓ′′ −𝑢𝑛 > 0 à partir d’un certain rang.

Attention×

Notez bien que l’encadrement de ℓ nécessite des inégalités strictes. L’idéeétant que si les inégalités sont larges on peut converger en «se tassant» surla limite ℓ′ (mais en restant en-dessous par exemple). En revanche, si c’eststrict, on peut choisir ε assez petit dans la définition de sorte que la suite pour𝑛 assez grand se retrouve strictement au-dessus de ℓ′.

Théorème ANA.9.4 | Passage à la limite dans les inégalités largesSoient (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) deux suites réelles telles que :1 — 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 à partir d’un certain rang,2 — 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ ∈R,3 — 𝑣𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ′ ∈R.Alors : ℓ ⩽ ℓ′.

Preuve Procédons par l’absurde et supposons que ℓ > ℓ′. Alors 𝑢𝑛 −𝑣𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ−ℓ′ > 0, et par le théorème précédent, 𝑢𝑛 −𝑣𝑛 > 0 à partir d’uncertain rang. C’est absurde.

Remarque 1.3—

Caret-right Notons que la convergence des deux suites est dans les hypothèses de l’énon-cé du théorème, pas dans la conclusion!

Caret-right On ne peut avoir mieux qu’une inégalité large ℓ ⩽ ℓ′, même si l’on a 𝑢𝑛 < 𝑣𝑛.

Considérer 𝑢𝑛 = −1𝑛

et 𝑣𝑛 =1𝑛

par exemple.

PEN-FANCY

Caret-right On retiendra aussi le cas particulier suivant : si (𝑢𝑛) converge vers ℓ ∈ R et𝑢𝑛 ∈ [𝑎,𝑏] à partir d’un certain rang, alors ℓ ∈ [𝑎,𝑏].



Proposition ANA.9.4 | Propriétés de la limiteSoient (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) deux suites convergeant respectivement versℓ ∈R etℓ′ ∈R.Alors :

Caret-right la suite (|𝑢𝑛|) converge vers |ℓ|,

Caret-right si {ℓ,ℓ′} ≠ {−∞,+∞}, alors la suite (𝑢𝑛 +𝑣𝑛) converge vers ℓ+ℓ′,

Caret-right pour tout λ ∈R∗, la suite (λ𝑢𝑛) converge vers λℓ,

Caret-right si {|ℓ|, |ℓ′|} ≠ {0,+∞}, alors la suite (𝑢𝑛𝑣𝑛) converge vers ℓℓ′,

Caret-right si ℓ ≠ 0, alors 𝑢𝑛 ≠ 0 à partir d’un certain rang et la suite (1𝑢𝑛

) converge

vers1ℓ,

Caret-right si ℓ = 0 et 𝑢𝑛 > 0 à partir d’un certain rang, alors (1𝑢𝑛

) diverge vers +∞.

1.3. Théorèmes de convergence par majoration, minoration et

encadrement

Théorème ANA.9.5 | Théorème de convergence par encadrementOn considère trois suites (𝑢𝑛), (𝑣𝑛) et (𝑤𝑛) telles que :1 — 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 ⩽ 𝑤𝑛 à partir d’un certain rang,2 — les deux suites (𝑢𝑛) et (𝑤𝑛) convergent vers une même limite ℓ ∈R.Alors : 𝑣𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ.

Preuve Soit ε > 0. Par hypothèse sur (𝑢𝑛) et (𝑤𝑛), il existe 𝑛1 ∈ N et𝑛2 ∈N tels que pour tout 𝑛 ∈N :

𝑛 ⩾ 𝑛1 ⟹ ℓ−ε ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ ℓ+ε et 𝑛 ⩾ 𝑛2 ⟹ ℓ−ε ⩽ 𝑤𝑛 ⩽ ℓ+ε.

Par ailleurs, il existe 𝑛3 ∈ N tel que pour 𝑛 ⩾ 𝑛3 : 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 ⩽ 𝑤𝑛. Ainsi, enposant 𝑛0 = max{𝑛1,𝑛2,𝑛3}, on a pour tout 𝑛 ⩾ 𝑛0 : ℓ−ε ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 ⩽ 𝑤𝑛 ⩽

ℓ+ε. Ainsi, (𝑣𝑛) converge vers ℓ.

Corollaire ANA.9.1Le produit d’une suite bornée et d’une suite convergeant vers zéro est unesuite convergeant vers zéro.

Preuve

PEN-FANCY

Corollaire ANA.9.2

Soient (𝑢𝑛) une suite réelle et ℓ ∈R. On suppose qu’il existe une suite (α𝑛)𝑛∈Ntelle que :1 — ||𝑢𝑛 −ℓ|| ⩽ α𝑛 à partir d’un certain rang,2 — α𝑛

𝑛→∞−−−−→ 0.Alors : 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ.

Preuve Onaℓ−α𝑛 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ ℓ+α𝑛 àpartir d’uncertain rang. Les suites (ℓ−α𝑛) et (ℓ+α𝑛) convergent toutes les deux vers ℓ, d’où la conclusion d’aprèsle théorème de convergence par encadrement.

Théorème ANA.9.6 | Théorème de divergence par minorationOn considère deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) telles que :1 — 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 à partir d’un certain rang,2 — 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ +∞.Alors : 𝑣𝑛

𝑛→∞−−−−→ +∞.

Preuve Soit A ∈ R. Alors 𝑢𝑛 ⩾ A à partir d’un certain rang 𝑛1. Comme𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 àpartir d’un certain rang𝑛2, alorsA ⩽ 𝑣𝑛 àpartir du rangmax{𝑛1,𝑛2},d’où la conclusion.



Corollaire ANA.9.3 | Théorème de divergence par majorationOn considère deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) telles que :1 — 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 à partir d’un certain rang,2 — 𝑣𝑛

𝑛→∞−−−−→ −∞.Alors : 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ −∞.

Preuve Appliquer le théorème de divergence par minoration aux suites(−𝑣𝑛) et (−𝑢𝑛).

Théorème ANA.9.7 | Composition de limites (suite et fonction)Soient (𝑢𝑛) une suite convergeant vers ℓ ∈ R et 𝑓 une fonction définie au voi-sinage de ℓ et admettant une limite en ℓ. Alors :

𝑓(𝑢𝑛)𝑛→∞−−−−→ lim

𝑥→ℓ𝑓(𝑥).

En particulier, si 𝑓 est continue en ℓ ∈R, alors :

𝑓(𝑢𝑛)𝑛→∞−−−−→ 𝑓(ℓ).


Il faut surtout retenir le cas continue de lamanière suivante : si 𝑓 est continueen lim

𝑛→∞𝑢𝑛,

𝑓(lim𝑛→∞

𝑢𝑛) = lim𝑛→∞

𝑓(𝑢𝑛) – on peut donc permuter fonction et limite !

Le fait que 𝑓 soit définie au voisinage de ℓ (i.e. au moins sur un intervalle ou-vert contenant ℓ) garantit que la suite (𝑓(𝑢𝑛)) est définie pour 𝑛 assez grand car𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ ℓ.

1.4. Suites extraites des termes pairs et impairs

Théorème ANA.9.8 | Convergence des suites des termes pairs et impairsSoit (𝑢𝑛) une suite. On suppose que les deux suites extraites (𝑢2𝑛) et (𝑢2𝑛+1)convergent vers une même limite ℓ ∈R. Alors (𝑢𝑛) converge vers ℓ.

Remarque 1.4— Par contraposée, si les deux sous-suites des termes pairs et im-pairs ne convergent pas vers la même limite, alors la suite ne converge pas.

Preuve Supposons que ℓ ∈ R (le cas où ℓ = ±∞ est laissé en exercice).Soit ε > 0. Par convergence des deux suites extraites, il existe deux entiers 𝑛1et 𝑛2 tels que |𝑢2𝑛 −ℓ| ⩽ ε pour 𝑛 ⩾ 𝑛1 et |𝑢2𝑛+1 −ℓ| ⩽ ε pour 𝑛 ⩾ 𝑛2. Posonsalors 𝑛0 = max{2𝑛1,2𝑛2 +1}. Pour tout 𝑛 ⩾ 𝑛0, on a alors |𝑢𝑛 −ℓ| ⩽ ε, que𝑛 soit pair ou impair : en effet si 𝑛 = 2𝑝, alors 2𝑝 ⩾ 2𝑛1, donc 𝑝 ⩾ 𝑛1 d’où|𝑢𝑛 −ℓ| = |𝑢2𝑝 −ℓ| ⩽ ε, et si 𝑛 = 2𝑝+1, alors 2𝑝+1 ⩾ 2𝑛2 +1, donc 𝑝 ⩾ 𝑛2d’où |𝑢𝑛 −ℓ| = |𝑢2𝑝+1 −ℓ| ⩽ ε. Ainsi, (𝑢𝑛) converge vers ℓ.

Il existe des résultats faisant intervenir des suites autres que celles des termes im-pairs/paris ((2𝑛) et (2𝑛+1)), mais qui ne sont pas à notre programme.

1.5. Théorèmes de convergence par monotonie

Théorème ANA.9.9 | Théorème de la limite monotone1 — Toute suite réelle croissante et majorée converge vers une limite finie.2 — Toute suite réelle croissante non majorée diverge vers +∞.

Remarque 1.5—

Caret-right Onpeut préciser l’énoncé : une suite croissante (𝑢𝑛) converge vers sup𝑛∈N

𝑢𝑛 (la

limite étant finie ou non, selon que (𝑢𝑛) est majorée ou non), i.e. vers le pluspetit M ∈R tel que : ∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 ⩽ M.

Caret-right Noter que la convergence de la suite est dans la conclusion du théorème.



Caret-right Cet énoncépermetde conclurequant à la convergencedes suites croissantes,même si on a aucune idée de la limite !

Caret-right On a bien sûr un énoncé analogue pour une suite (𝑢𝑛) décroissante et mino-rée (considérer la suite (−𝑢𝑛)).

Preuve Admise.

Adjacence de suites.

Définition ANA.9.11 | Suites adjacentesDeux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) dont dites adjacentes si :1 — elles sont monotones de sens contraires,2 — (la différence tend vers zéro) 𝑢𝑛 −𝑣𝑛

𝑛→∞−−−−→ 0.

Attention×

La convergence est dans la conclusion, et non dans la définition de l’adja-cence.

Théorème ANA.9.10 | Convergence des suites adjacentesDeux suites adjacentes convergent, et vers une même limite finie.

Preuve On peut supposer sans perte de généralité que c’est (𝑢𝑛) qui estcroissante et (𝑣𝑛) décroissante.Ainsi, (𝑣𝑛−𝑢𝑛) est décroissante et converge vers 0 : on adoncnécessairement𝑣𝑛−𝑢𝑛 ⩾ 0pour tout𝑛 ∈N. On endéduit quepour tout𝑛 ∈N :𝑢0 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 ⩽𝑣0. Ainsi, la suite (𝑢𝑛) est croissante et majorée par 𝑣0, elle converge doncvers un réel 𝑢 d’après le théorème de la limite monotone. De même, (𝑣𝑛) estdécroissante et minorée par 𝑢0 : elle converge vers un réel 𝑣. Enfin, (𝑣𝑛−𝑢𝑛)converge vers 0 par hypothèse et vers 𝑣 −𝑢 par les théorèmes généraux. Parunicité de la limite, on a donc 𝑢 = 𝑣.

Exemple 5— Convergence d’une série alternée Soit la suite (𝑢𝑛) définie par :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 =𝑛∑𝑘=0

(−1)𝑘

1+𝑘. Montrons que cette suite converge.2

2Cet exemple est à très bien connaître

PEN-FANCY



Exemple 6— Existence de la constante d’EULER Soit 𝑛 ∈N⋆, on note

S𝑛 =𝑛∑𝑘=1

1𝑘, 𝑣𝑛 = S𝑛−1 − ln𝑛, 𝑤𝑛 = S𝑛 − ln𝑛.

1 — Justifer l’éinégalité 𝑥− 𝑥22 ⩽ ln(1+𝑥) ⩽ 𝑥 pour tout 𝑥 ∈ [0,1].

PEN-FANCY

2 — Déduire que pour tout 𝑛 ∈N⋆, 1𝑛+1 ⩽ ln (1+ 1

𝑛 ) ⩽ 1𝑛 .

PEN-FANCY

3 — Montrer que que (𝑣𝑛), (𝑤𝑛) sont adjacentes. On appelle alors constante d’Eu-ler notée γ, qui vaut 0,577 à 10−3 près, la limite commune de ces deux suites.PEN-FANCY

4 — Montrer que :

H𝑛 =(défi.)

𝑛∑𝑘=1

1𝑘

=𝑛→∞

ln(𝑛)+γ+o(1) .

PEN-FANCY

1.6. Suites remarquables

Suites arithmétiques et géométriques.

Définition ANA.9.12

On appelle suite arithmétique de raison 𝑎 ∈R toute suite (𝑢𝑛) ∈RN telle que :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +𝑎.



Remarque 1.6— Expression en fonction de 𝑛. On rappelle que l’on aalors : ∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 = 𝑢0 +𝑛𝑎.

𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 … 𝑢𝑛

+𝑎 +𝑎 +𝑎 +𝑎 +𝑎

𝑢𝑝 𝑢𝑝+1 𝑢𝑝+2 𝑢𝑝+3 … 𝑢𝑛

+𝑎 +𝑎 +𝑎 +𝑎 +𝑎

Il est clair qu’aucune suite arithmétique de raison non nulle ne converge. Nouspouvons cependant en expliciter leur somme.

Théorème ANA.9.11 | Somme des termes d’une suite arithmétique.

Soit 𝑎 ∈R. Pour tout 𝑛 ∈N, on pose S𝑛 =𝑛∑𝑘=0

𝑘𝑎. Alors : S𝑛 = 𝑎𝑛(𝑛+1)2 .

Preuve Voir votre cours de 1ère année.

Remarque 1.7— Nous pouvons retenir une formule générale de la manière sui-vante :

∑suite arithmétique = nb termes×premier terme+dernier terme

2.


On appelle suite géométrique de raison 𝑞 ∈R toute suite (𝑢𝑛) telle que :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = 𝑞𝑢𝑛.

Remarque 1.8— Expression en fonction de 𝑛.On rappelle que l’on a alors :∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 = 𝑢0𝑞𝑛.

𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 … 𝑢𝑛

×𝑞 ×𝑞 ×𝑞 ×𝑞 ×𝑞

𝑢𝑝 𝑢𝑝+1 𝑢𝑝+2 𝑢𝑝+3 … 𝑢𝑛

×𝑞 ×𝑞 ×𝑞 ×𝑞 ×𝑞

Théorème ANA.9.12 | Convergence des suites géométriques.Soit 𝑞 ∈ R. Alors la suite (𝑞𝑛) converge si et seulement si |𝑞| < 1 ou 𝑞 = 1. Elleconverge vers 0 si |𝑞| < 1 et vers 1 si 𝑞 = 1.

Théorème ANA.9.13 | Somme géométrique.

Soit 𝑞 ∈R. Pour tout 𝑛 ∈N, on pose S𝑛 =𝑛∑𝑘=0

𝑞𝑘. Alors :

S𝑛 =⎧⎪⎨⎪⎩

1−𝑞𝑛+1

1−𝑞si 𝑞 ≠ 1,

𝑛+1 si 𝑞 = 1.

Preuve PEN-FANCY Si 𝑞 = 1, alors il est clair que S𝑛 = 𝑛+1. Supposons donc

que 𝑞 ≠ 1. Pour tout 𝑛 ∈N, on a : S𝑛 =𝑛∑𝑘=0

𝑞𝑘. Ainsi, pour tout 𝑛 ∈N :

(1−𝑞)S𝑛 = S𝑛 −𝑞S𝑛 =𝑛∑𝑘=0

𝑞𝑘 −𝑛∑𝑘=0

𝑞𝑘+1 = 1−𝑞𝑛+1

et comme 1−𝑞 ≠ 0, on obtient l’expression de S𝑛 annoncée en divisant par1−𝑞.

Remarque 1.9— Nous pouvons retenir une formule générale de la manière sui-vante :

∑suite géométrique = premier terme×1− raisonnb termes

1− raison.



Suites arithmético-géométriques. On rappelle également ici la méthode permet-tant d’étudier les mélanges des deux suites précédentes : les suites arithmético-géométriques.


On appelle suite arithmético-géométrique toute suite (𝑢𝑛) pour laquelle ilexiste 𝑞 ∈R et 𝑎 ∈R tels que :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = 𝑞𝑢𝑛 +𝑎.

Proposition ANA.9.5

Soit (𝑢𝑛) une suite telle quepour tout𝑛 ∈Nonait𝑢𝑛+1 = 𝑞𝑢𝑛+𝑎, où (𝑞,𝑎) ∈R2

et 𝑞 ≠ 1. Alors, il existe une constante α ∈ R telle que (𝑢𝑛 −α) est une suitegéométrique de raison 𝑞. On a donc :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 = α+(𝑢0 −α)𝑞𝑛.

Preuve Commençons par déterminer une suite constante (α) vérifiantla même relation :

α = 𝑞α+𝑎 ⟺ α =𝑎

1−𝑞(car 𝑞 ≠ 1).

Posons α =𝑎

1−𝑞. On a donc α = 𝑞α+𝑎 et pour tout 𝑛 ∈ N : 𝑢𝑛+1 = 𝑞𝑢𝑛 +𝑎.

Ainsi, par différence membre à membre, on a : 𝑢𝑛+1−α = 𝑞(𝑢𝑛−α). La suite(𝑢𝑛−α) est doncune suite géométriquede raison𝑞. On sait alors que𝑢𝑛−α =(𝑢0 −α)𝑞𝑛 (pour tout 𝑛 ∈N).

Exemple 7— Soit (𝑢𝑛) la suitedéfiniepar𝑢0 = 1etpour tout𝑛 ∈N :𝑢𝑛+1 = 3𝑢𝑛+2.

Déterminer une expression explicite en fonction de 𝑛 de :𝑛∑𝑘=0

𝑢𝑘.

PEN-FANCY

Exemple 8— Suite arithmético-géométrique provenant d’un cas concret Toutesles heures, on injecte à un sujet, une même dose de 1,8 unités, d’une substancemédicamenteuse dans le sang. Les injections sont faites par piqûre intraveineuse.On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang et qu’elleest ensuite progressivement éliminée. En l’espace d’uneheure, la quantité de cettesubstance présente dans le sang diminue de 30%. La première injection se fait à𝑡 = 0. Pour 𝑛 ∈ N⋆, on note Q𝑛 la quantité de substance présente dans le sang àl’instant 𝑡 = 𝑛 (en heures), dès que la nouvelle injection est faite.

1 — Calculer pour 𝑛 ∈ N⋆ le terme Q𝑛. Donner une approximation au dixièmeprès de la quantité de substance présente dans le sang à l’instant à 𝑡 = 5.



2 — Déterminer la limite de (Q𝑛).3 — TERMINALPython Proposer un programme prenant en argument ε > 0 et permettant deconnaître le plus petit entier 𝑛 tel que ||Q𝑛 −6|| < ε.

1 — PEN-FANCY Nous avons donc la récurrence suivante après lecture de l’énoncé :pour tout entier 𝑛 ∈ N, Q𝑛+1 = 1.8+ 0.7Q𝑛. Donc on constate que l’unique pointfixe associé est 6, donc (Q𝑛 −6) est géométrique de raison 0.7. On obtient alorspour tout entier 𝑛 ∈N :

Q𝑛 −6 = (0.7)𝑛(Q0 −6) ⟺ Q𝑛 = 6+(0.7)𝑛(1.8−6).

2 — PEN-FANCY La limite vaut évidemment 6.3 — On déduit le script Python ci-dessous :

Python1 import numpy as np2 def approx6(eps):3 n = 04 Q = 1.85 while np.abs(Q-6) >= eps:6 n += 17 Q = 1.8 + 0.7*Q8 return n

Une exécution pour ε = 10−2 renvoie 17.

Suites récurrentes linéaires d’ordre deux à coefficients constants. De nombreuxrésultats s’établissent facilement pour les suites récurrentes linéaires d’ordre 𝑝 ∈N⋆ possédant un secondmembre (pas seulement celles d’ordredeuxhomogènes),comme nous l’avons fait pour les équations différentielles linéaires d’ordre 𝑛. Ce-pendant, nous choisirons de nous limiter à l’ordre 2 du programme.

Définition ANA.9.15On appelle suite récurrente linéaire homogène d’ordre deux à coefficientsconstants sur R toute suite (𝑢𝑛) pour laquelle il existe 𝑎,𝑏,𝑐 ∈R tels que :

∀𝑛 ∈N, 𝑎𝑢𝑛+2 +𝑏𝑢𝑛+1 +𝑐𝑢𝑛 = 0.

On appelle équation caractéristique associée à (𝑢𝑛) l’équation

𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 = 0. (EC)

NotationΣOn note 𝒮 l’ensemble des suites vérifiant la relation récurrente linéaired’ordre deux précédente.

Théorème ANA.9.14 | Expression expliciteSoient (𝑢𝑛) une suite récurrente linéaire homogèned’ordre deux à coefficientsconstants et Équation (EC) son équation caractéristique. On suppose que 𝑎 ≠0,𝑐 ≠ 0. On note Δ le discriminant de Équation (EC).1 — (Si Δ > 0) alors Équation (EC) admet deux racines simples réelles dis-tinctes α et β, et :

𝒮 = Vect ((α𝑛) , (β𝑛)) .

2 — (Si Δ = 0) alors Équation (EC) admet une racine double (nécessaire-ment réelle) α ≠ 0, et :

𝒮 = Vect((α𝑛), (𝑛α𝑛)) = {((λ+μ𝑛)α𝑛) , λ,μ ∈R} .

3 — (Si Δ < 0) alors Équation (EC) admet deux racines complexes conju-guées α et α. On pose ρ = |α| > 0 et θ ≡ Arg(α) [2π] (θ ≢ 0 [π] car α ∉ R), sibien que α = ρe𝑖θ. Alors :

𝒮 = Vect ((ρ𝑛 cos(𝑛θ)) , (ρ𝑛 sin(𝑛θ))) .



Attention×

aux confusions avec le résultat analogue sur les équations différentielles dansle casΔ < 0 : il fait appel à la formealgébriquedes racinespour les équationsdifférentielles, et la forme exponentielle pour les suites.

La preuve ci-dessous doit être considérée commeun exercice d’Algèbre linéaire.

Preuve Faisons-là dans le cas Δ > 0 i.e. où (EC) admet deux racinesréelles distinctes.

1 — Notons Φ||||||

𝒮 ⟶ R2,

(𝑢𝑛) ⟼ (𝑢0,𝑢1).Alors Φ est un isomorphisme li-

néaire, en particulier dim𝒮 = 2. En effet,Caret-right Φ est linéaire.

PEN-FANCY

Caret-right Φ est injective.

PEN-FANCY

Caret-right Φ est surjective.

PEN-FANCY

2 — Puisque α et β sont deux racines de (EC), alors (α𝑛), (β𝑛) ∈ 𝒮.

PEN-FANCY

3 — On montre ensuite que la famille ((α𝑛), (β𝑛)) est libre dans 𝒮. Doncc’est une base puisque 𝒮 est de dimension deux. C’est terminé.

Exemple 9— Fibonacci La suite de Fibonacci est définie par 𝑢0 = 0, 𝑢1 = 1, et :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+2 = 𝑢𝑛+1 +𝑢𝑛.

1 — Déterminer une expression explicite du 𝑛-ième terme en fonction de 𝑛. En

déduire que la suite (𝑢𝑛+1

𝑢𝑛) converge vers une limite à déterminer.

PEN-FANCY



2 — TERMINALPython À l’aide Python, déterminer une valeur approchée de α = 1+√52 .

PEN-FANCY

Suites récurrentes générales d’ordre un. Cette fois-ci on ne suppose plus linéairela relation de récurrence, mais seulement d’ordre 1 (i.e. elle fait un intervenir unterme et le suivant).


On appelle suite récurrente d’ordre un toute suite (𝑢𝑛) vérifiant une relation derécurrence de la forme :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛)

où 𝑓 ∶ D ⟶R est une fonction définie sur un domaine D ⊂R.

Remarque 1.10— Il convient de vérifier qu’une telle suite est bien définie, i.e.quepour tout 𝑛 ∈N, on a 𝑢𝑛 ∈ D. Cela n’est pas du tout garanti par la définition.

Exemple 10— Préciser le type de suites obtenues dans les cas suivants :

1 — 𝑓(𝑥) = 𝑥+𝑎, où 𝑎 ∈R.PEN-FANCY

2 — 𝑓(𝑥) = 𝑞𝑥, où 𝑞 ∈R.PEN-FANCY

3 — 𝑓(𝑥) = 𝑞𝑥+𝑎, où (𝑞,𝑎) ∈R2.PEN-FANCY

La suite de cette partie est axée autour de deux problèmes :

Caret-right celui de la définition de la suite.



Caret-right Puis, celui de l’existence éventuelle d’une limite.

Définition de la suite.

Définition ANA.9.17Soit D ⊂ R et 𝑓 ∶ D ⟶ R . On dit que D est un sous-ensemble stable par 𝑓 si :𝑓(D) ⊂ D. Autrement dit si :

𝑥 ∈ D ⟹ 𝑓(𝑥) ∈ D.

Soit D une partie stable pour 𝑓 et (𝑢𝑛) vérifiant une relation de récurrence commeprécédemment. La suite (𝑢𝑛) est alors bien définie.

Convergence/Divergence de la suite. Leplus souvent, dans les exercices, on vousfera :

1 — analyser la monotonie de la suite. Cela se fait en comparant 𝑢0 et 𝑢1 puis enutilisant la monotonie de 𝑓. Si par exemple 𝑢1 ⩽ 𝑢0 et 𝑓 est croissante, alors, enappliquant 𝑛 fois 𝑓 à l’inégalité précédente, on obtient pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑢𝑛+1 ⩽𝑢𝑛.2 — Déduire la convergence/divergence en utilisant les théorèmes de conver-gence/divergence monotone.

Par exemple, si la suite est croissante (resp. décroissante), et que D est majorée(resp. minorée), alors on peut établir la convergence. Enfin, pour trouver la valeurde la limite, on passe à la recherche de points fixes.

Définition ANA.9.18 | Point fixeOn appelle point fixe de 𝑓 ∶ D ⟶R tout réel 𝑥 ∈ D tel que 𝑓(𝑥) = 𝑥.

Théorème ANA.9.15

Soient 𝑓 ∶ D ⟶R , où D ⊂R, et (𝑢𝑛) une suite réelle telle que :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛) .

Si (𝑢𝑛) converge vers ℓ et 𝑓 est définie et continue en ℓ, alors ℓ est un pointfixe de 𝑓.

Attention×

Ne pas oublier la continuité !

Preuve Pour tout 𝑛 ∈ N, on a 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛). Le membre de gauche tendvers ℓ lorsque 𝑛 tend vers +∞ et celui de droite vers 𝑓(ℓ) par continuité de𝑓. Ainsi, 𝑓(ℓ) = ℓ.

Exemple 11— Étudions les suites récurrentes suivantes :

1 — 𝑢0 ⩾ 1 et 𝑢𝑛+1 = √𝑢𝑛.

PEN-FANCY



2 — 𝑢0 ∈ [0,1] et 𝑢𝑛+1 = 𝑢2𝑛.

PEN-FANCY

Remarque 1.11— Dans les exemples précédents, la fonction 𝑓 associée était tou-jours croissante. Des exemples où la fonction 𝑓 est décroissante seront vus enTD.

Suites implicites.

Définition ANA.9.19On appelle suite implicite toute suite dont le terme général 𝑢𝑛 est donnécomme solution (en général unique) d’une équation dépendant d’un para-mètre 𝑛 ∈ N, i.e. vérifiant une égalité du type 𝑓𝑛(𝑥𝑛) = 0 avec 𝑓𝑛 une fonctionpour tout entier 𝑛 ∈N.

Il n’y a pas de résultat général au programme, mais leur étude s’appuie souventsur un schéma proche du suivant. Puisqu’a priori on ne connait pas l’expressiongénérale d’une suite implicite, on utilisera le théorème de convergencemonotonepour établir la convergence.

Exemple 12— Étude d’une suite implicite Pour tout 𝑛 ∈N, on considère l’équa-tion :

𝑓𝑛(𝑥) = 0 (E𝑛)

d’inconnue 𝑥 ∈R∗+, où : 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑛𝑥+ ln(𝑥).

1 — Pour tout𝑛 ∈N, l’équation (E𝑛) admetuneunique solution surR∗+. On lanote

désormais𝑥𝑛. PEN-FANCY La fonction 𝑓𝑛 est continue surR+⋆, et lim𝑥→∞

𝑓𝑛(𝑥) = ∞par crois-sances comparées, et lim

𝑥→0𝑓𝑛(𝑥) = −∞. De plus, en calculant la dérivée, on constate

facilement que la fonction estmême strictement croissante. Donc d’après le théo-rème de la bijection, la fonction 𝑓𝑛 réalise une bijection de R+⋆ vers 𝑓(R+⋆) = R(d’après le calcul de limites et lamonotonie de 𝑓). Comme 0 ∈R, il existe ununique𝑥𝑛 ∈R+⋆ comme prétendu dans l’énoncé.2 — Pour tout 𝑛 ∈ N, on a 𝑥𝑛 ∈]0,1]. PEN-FANCY Comme 𝑓𝑛(1) = 𝑛 > 0, on peut mêmeaffirmer que 𝑥𝑛 ∈]0,1].3 — La suite (𝑥𝑛) décroît. Indication : On cherchera à comparer 0 = 𝑓𝑛(𝑥𝑛) et

𝑓𝑛(𝑥𝑛+1). PEN-FANCY Nous avons 𝑓𝑛(𝑥𝑛+1) = 𝑛𝑥𝑛+1 + ln(𝑥𝑛+1) = (𝑛+1)𝑥𝑛+1 + ln(𝑥𝑛+1) −𝑥𝑛+1 = 𝑓𝑛+1(𝑥𝑛+1)−𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛+1 ⩽ 0 car 𝑓𝑛+1(𝑥𝑛+1) = 0. Ainsi, puisque 0 = 𝑓𝑛(𝑥𝑛) ⩾𝑓𝑛(𝑥𝑛+1), et que la fonction 𝑓𝑛 est croissante, nous avons immédiatement𝑥𝑛 ⩾ 𝑥𝑛+1pour tout entier 𝑛 ∈N.4 — La suite (𝑥𝑛) converge vers une limiteℓ ∈ [0,1]que l’onpeut déterminer. PEN-FANCYLa suite est d’après ce qui précède décroissante minorée par zéro, donc convergevers une limite finie.



Supposons que ℓ ∈]0,1]. Alors puisque 𝑛𝑥𝑛 = − ln(𝑥𝑛), nous aurions en passant àla limite : − ln(ℓ) = ∞ ce qui est clairement une contradiction.

Méthode (Plan d’étude d’une suite implicite)WRENCH

1 — Établir l’existence de la suite grâce au théorème des valeurs intermé-diaires.2 — Chercher la monotonie en comparant 𝑓𝑛(𝑥𝑛+1) ou 𝑓𝑛(𝑥𝑛) = 0.3 — Trouver la valeur de la limite : en général on raisonne par l’absurde dansl’identité 𝑓𝑛(𝑥𝑛) = 0.

2. SÉRIES NUMÉRIQUES

CadreCOGS

Dans toute la suite, nous considèrerons des suites définies sur N : ilconvient d’adapter les notions pour des suites définies à partir d’un cer-tain rang.

2.1. Généralités


Soit (𝑢𝑛) ∈RN. On lui associe une nouvelle suite (S𝑛) en posant :

∀𝑛 ⩾ 0, S𝑛 =𝑛∑𝑘=0

𝑢𝑘.

Caret-right La suite (S𝑛) s’appelle la série de terme général 𝑢𝑛, et on la note générale-ment (∑𝑢𝑛).

Caret-right Soit 𝑛 ∈N. Alors le réel S𝑛 est appelé la somme partielle d’ordre 𝑛.

Définition ANA.9.21 | Série convergente/divergenteCaret-right Ondit qu’une série (∑𝑢𝑛) converge si la suite des sommes partielles (S𝑛)

converge, i.e. si et seulement s’il existe S ∈R tel que :𝑛∑𝑘=0

𝑢𝑘𝑛→∞−−−−→ S.

Caret-right La limite S est alors appelée la somme de la série, et on la note S =+∞∑𝑛=0

𝑢𝑛.

On dit qu’une série diverge si elle ne converge pas.Caret-right Déterminer la nature d’une série c’est déterminer si elle converge ou di-

verge.

Définition ANA.9.22 | Reste d’ordre 𝑛Si (∑𝑢𝑛) converge, onappelle suite des restes partiels, la suite (R𝑛) définiepar :

∀𝑛 ⩾ 0, R𝑛 = S−S𝑛 =+∞∑

𝑘=𝑛+1𝑢𝑘 ( = lim

N→∞

N∑

𝑘=𝑛+1𝑢𝑘).

Proposition ANA.9.6 | La borne du bas dans la somme n’a aucune impor-tance

Soit (𝑢𝑛)𝑛∈N ∈RN et 𝑛0 ∈ N. Alors :

(∑𝑢𝑛)𝑛⩾0 converge ⟺ (∑𝑢𝑛)𝑛⩾𝑛0 converge.

Remarque 2.1— La nature d’une série ne dépend donc que du comportementde 𝑢𝑛 lorsque 𝑛 ⟶ ∞.

Preuve

PEN-FANCY



Proposition ANA.9.7 | Condition nécessaire de convergence sur le resteSi (∑𝑢𝑛) converge, on a pour tout entier𝑛 ⩾ 0, S = S𝑛+R𝑛. En particulier,R𝑛

𝑛→∞−−−−→ 0.

Preuve

PEN-FANCY

Condition nécessaire de convergence, divergence grossière.


Si (∑𝑢𝑛) est une série convergente, alors :

𝑢𝑛𝑛→∞−−−−→ 0.

Preuve PEN-FANCY En effet, 𝑢𝑛 = S𝑛 −S𝑛−1 pour tout entier 𝑛, on conclut enpassant à la limite.

Attention×

La réciproque est fausse !Nousmontreronsque (∑1𝑛

)𝑛⩾1

diverge et pourtant1𝑛

𝑛→∞−−−−→ 0. Ce constat est le point clef du chapitre à bien assimiler.

S’il suffisait que le terme général converge vers zéro pour assurer la convergence,cette section sur les séries serait totalement inutile. Le caractère convergeant

d’une série est beaucoup plus fort que la seule convergence de son terme géné-ral vers zéro. En revanche, si vous parvenez à montrer que le terme général neconverge pas vers zéro alors a fortiori la série ne converge pas. Nous parleronsinfra de divergence grossière.

Définition ANA.9.23 | Divergence grossièreSoit (𝑢𝑛) une suite ne convergeant pas vers zéro. Alors, d’après la propositionprécédente, la série (∑𝑢𝑛)ne converge pas. On dit que la série (∑𝑢𝑛) divergegrossièrement.

Exemple 13— La série (∑cos(𝑛)) diverge grossièrement. PEN-FANCY En effet, si l’on

avait cos(𝑛) 𝑛→∞−−−−→ 0, alors l’égalité cos(2𝑛) = 2cos2(𝑛) − 1 donnerait une absur-dité par passage à la limite. Ou alors, nous avons déjà vu que cette suite n’admetcarrément pas de limite.

Remarque 2.2— sur l’exemple précédent Pour nier l’existence de la limite de(cos𝑛), on peut aussi recourir à la caractérisation séquentielle. En effet, cosn’a pasde limite en+∞, cos(2𝑛π) 𝑛→∞−−−−→ 1 et cos(2𝑛π+π/2) 𝑛→∞−−−−→ 0 alors que 2𝑛π 𝑛→∞−−−−→ ∞et π/2+2𝑛π 𝑛→∞−−−−→ ∞.

Structure d’espace vectoriel des séries convergentes. Tous les théorèmes connuspour la convergencedes suites peuvent êtreutilisés pour la convergencede la suitedes sommes partielles, donc pour la convergence de la série.

Proposition ANA.9.9 | Linéarité de la somme, structure d’espace vectorieldes séries convergentes

Soient (∑𝑢𝑛) et (∑𝑣𝑛)deux séries convergentes à valeurs dansR avec (λ,μ) ∈R2. Alors la série (∑λ𝑢𝑛 +μ𝑣𝑛) est convergente et :

+∞∑𝑛=0

(λ𝑢𝑛 +μ𝑣𝑛) = λ+∞∑𝑛=0

𝑢𝑛 +μ+∞∑𝑛=0

𝑣𝑛.

En particulier, l’ensemble des séries convergente est un sous-espace vectorielde l’espace vectoriel des suites à valeurs dans R.



PreuveCaret-right On a évidemment l’inclusion dans l’ensemble des suites.Caret-right La suite nulle est de série convergente.Caret-right Pour la stabilitépar combinaison linéaire, il suffitd’écrireque la somme

partielle de rang 𝑛 ∈N de la série ∑(λ𝑢𝑛 +μ𝑣𝑛) est égale à :

𝑛∑𝑘=0

(λ𝑢𝑘 +μ𝑣𝑘) = λ𝑛∑𝑘=0

𝑢𝑘 +μ𝑛∑𝑘=0

𝑣𝑘

Par passage à la limite, on obtient alors l’égalité annoncée.

Séries usuelles. Danscequi suit, la notionde série géométriqueadéjà été étudiéedans la première section sur les suites.

Définition/Proposition ANA.9.1 | Série géométrique et géométrique déri-vée (réelle)

Soit 𝑞 ∈R et 𝑛 ∈N.1 — On appelle série géométrique de raison 𝑞 la série

(∑𝑞𝑛)𝑛⩾0 .

Elle converge si et seulement si ||𝑞|| < 1. De plus, dans ce cas∞∑𝑛=0

𝑞𝑛 =1

1−𝑞(Geo)

et son reste à l’ordre 𝑛 est donné par :

R𝑛(𝑞) =𝑞𝑛+1

1−𝑞.

2 — (Dérivée et dérivation termeà terme) Onappelle série géométrique dé-rivée 𝑘 ⩾ 0 fois de raison 𝑞 la série

(∑𝑛(𝑛−1)...(𝑛−𝑘+1)𝑞𝑛−𝑘)𝑛⩾𝑘

.

Elle converge si et seulement si ||𝑞|| < 1. De plus, dans ce cas∞∑𝑛=𝑘

𝑛(𝑛−1)...(𝑛−𝑘+1)𝑞𝑛−𝑘⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵(𝑞𝑛)(𝑘)

= (1

1−𝑞)(𝑘)

=𝑘!

(1−𝑞)𝑘+1(GeoDer)

En particulier, si 𝑘 = 2 et 𝑘 = 3, nous avons :

Caret-right∞∑𝑛=1

𝑛𝑞𝑛−1 = (1

1−𝑞)(2)

=1

(1−𝑞)2,

Caret-right∞∑𝑛=2

𝑛(𝑛−1)𝑞𝑛−2 = (1

1−𝑞)(2)

=2

(1−𝑞)3.

Remarque 2.3— Comment retenir Équation (GeoDer)? Alors elle est équiva-lente à :

∞∑𝑛=𝑘

𝑛(𝑛−1)...(𝑛−𝑘+1)𝑞𝑛−𝑘⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵(𝑞𝑛)(𝑘)

= (𝑞

1−𝑞)(𝑘)

= (∞∑𝑛=0

𝑞𝑛)(𝑘)

.

La formule nous dit donc que l’on peut échanger dérivée en𝑞 et somme infinie en𝑛 dans Équation (Geo)», ce qui n’est pas évident. Les résultats pour les sommesfinies ne le sont pas forcément pour les sommes infinies.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — Nous faisons la preuve pour 𝑘 = 1. Le cas général d’une dérivée d’ordre𝑘 se traite de la même manière.PEN-FANCY



Exemple 14— Déterminer la nature et somme éventuelle de (∑𝑛2 +1

3𝑛)𝑛⩾0

.

PEN-FANCY

Systématisons les calculs précédents dans une méthode.

Méthode (Calcul d’une somme de série polynôme fois géométrique)WRENCH

Une série du type (∑𝑛2𝑞𝑛)𝑛⩾0 avec ||𝑞|| < 1 se ramène à des séries géomé-triques dérivées via l’écriture :

𝑛2𝑞𝑛 = 𝑞2 (𝑛(𝑛−1)𝑞𝑛−2)+𝑞(𝑛𝑞𝑛−1) .

Ceci se généralise, par linéarité à une série du type (∑(𝑎𝑛2 +𝑏𝑛+𝑐)𝑞𝑛)𝑛⩾0avec 𝑎,𝑏,𝑐 réels.

Définition/Proposition ANA.9.2 | Série exponentielle

La série (∑𝑥𝑛

𝑛!), appelée série exponentielle de 𝑥, converge pour tout 𝑥 ∈ R,

et :+∞∑𝑛=0

𝑥𝑛

𝑛!= e𝑥.

Remarque 2.4— Ceci peut d’ailleurs servir de définition de l’exponentielle —mais bien entendu inaccessible en Terminale ! Elle vient s’ajouter aux autres :

Caret-right l’unique solution du problème de Cauchy 𝑦′ = 𝑦,𝑦(0) = 1.Caret-right La limite de (1+ 𝑥

𝑛 )𝑛

lorsque 𝑛 ⟶ ∞ définit e𝑥 pour tout 𝑥 ∈R.

Preuve On admettra dans la preuve que pour tout 𝑥 ∈R :

lim𝑛→∞

𝑥𝑛

𝑛!= 0.

Montrons la formule suivante par récurrence sur 𝑛 ∈ N — appelée inégalitéde Taylor-Laplace pour l’exponentielle :

e𝑥 =𝑛∑𝑘=0

𝑥𝑘

𝑘!+∫

𝑥

0

(𝑥−𝑡)𝑛

𝑛!e𝑡 d𝑡.

PEN-FANCY



Ainsi, il suffit d’établir que lim𝑛→∞ ∫

𝑥

0

(𝑥−𝑡)𝑛

𝑛!e𝑡 d𝑡 = 0. Pour ceci, on ma-

jore.

PEN-FANCY

Définition/Proposition ANA.9.3 | Série harmonique, constante d’Euler

Caret-right La série harmonique ∑𝑛⩾1

1𝑛

diverge.

Caret-right De plus, il existe une constante γ, appelée constante d’Euler, qui vaut

0,577 à 10−3 près, telle que :

H𝑛 =(défi.)

𝑛∑𝑘=1

1𝑘

=𝑛→∞

ln(𝑛)+γ+o(1) .

Preuve

1 — (Divergence.) PEN-FANCY NotonsH𝑛 =𝑛∑𝑘=1

1𝑘

la sommepartielle de la série

d’ordre 𝑛. On peut montrer que pour tout entier 𝑛, H2𝑛 −H𝑛 ⩾ 12 .

Si (H𝑛) convergeait disons vers ℓ ∈ R, alors en passant à la limite dans l’in-égalité précédente, nous aurions ℓ−ℓ = 0 ⩾ 1

2 . C’est une contradiction.2 — (Existence de de la constante d’Euler) Nous avons déjà vu une pre-mièreméthodedans l’Exemple 6.Voyonsmaintenant une secondeméthode.

Caret-right Montrons que la suite (H𝑛 − ln𝑛)𝑛⩾1 est décroissanteminorée par zéro.Effectuons d’abord une comparaison série/intégrale. Soit 𝑛 ⩾ 2, alors

ln(𝑛+1

𝑛) = ∫

𝑛+1

𝑛

1𝑡d𝑡 ⩽

1𝑛

⩽ ∫𝑛

𝑛−1

1𝑡d𝑡 = ln(

𝑛𝑛−1

) . (cintser-Harm)

Expliquons cette inégalité avec un dessin.

PEN-FANCY

La minoration est même vraie pour tout 𝑛 ⩾ 1. Donc on obtient :

pour 𝑛 ⩾ 1 : ln(𝑛+1) ⩽𝑛∑𝑘=1

1𝑘

.

Pour 𝑛 ⩾ 2 :𝑛∑𝑘=2

1𝑘

⩽ ln(𝑛). Donc en ajoutant le terme manquant :

H𝑛 ⩽ ln(𝑛)+1.

Combinant ces deux inégalités on déduit pour tout 𝑛 ⩾ 1 :

ln(𝑛+1) ⩽ H𝑛 ⩽ ln(𝑛)+1.

Donc pour tout entier 𝑛 ∈N, on a :

H𝑛+1 − ln(𝑛+1)−H𝑛 + ln(𝑛) =1

𝑛+1+ ln(

𝑛𝑛+1

) ⩽1

𝑛+1−

1𝑛

⩽ 0

en utilisant (cintser-Harm).Caret-right Ainsi la suite (H𝑛 − ln𝑛)𝑛⩾1 est décroissante, et minorée par zéro

puisqueH𝑛−ln𝑛 ⩾ ln (𝑛+1𝑛 ) ⩾ 0. Elle converge donc vers une constantenotée γ.



Remarque 2.5— La technique mise en jeu dans la preuve précédente, appeléecomparaison série/intégrale, sera étudiée un peu plus tard dans le chapitre.

Exemple 15— Autres exemples

1 — La série ∑𝑛⩾1

1𝑛2 converge et :

+∞∑𝑛=1

1𝑛2 =

π2

6. Ce résultat est classique,mais

non immédiat, nous prouverons la convergence un peu plus tard.

2 — La série (∑(−1)𝑛−1

𝑛)𝑛⩾1

converge et :+∞∑𝑛=1

(−1)𝑛−1

𝑛= ln(2). Nous en ver-

rons une démonstration en exercice.

Série de forme téléscopique.

Proposition ANA.9.10 | Série téléscopiqueSoit (𝑢𝑛) ∈ RN. Alors : (𝑢𝑛) converge ⟺ la série ∑(𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛)converge.

Preuve PEN-FANCY Il suffit d’écrire que la sommepartielle de rang𝑛de la série∑(𝑢𝑛+1 −𝑢𝑛) vaut, après simplification télescopique : 𝑢𝑛+1 −𝑢0. La conclu-sion est alors immédiate.

2.2. Séries de signe constant

Définition ANA.9.24 | Séries à termes particuliers1 — Une série (∑𝑢𝑛) est à termes positifs (resp. négatifs) si 𝑢𝑛 ⩾ 0 pour tout𝑛 (resp. 𝑢𝑛 ⩽ 0 pour tout 𝑛). Si les inégalités précédentes sont vraies pour 𝑛assez grand, nous parlerons de séries à termes positifs (resp. négatifs) pour 𝑛assez grand.2 — Une série (∑𝑢𝑛) est à termes de signes constants si elle est à termes po-sitifs ou négatifs.

CadreCOGS

Nous nous intéressons dans cette section aux séries associées à des suitesà termes positifs. Les résultats analogues s’appliquent :

Caret-right aux séries à termes négatifs en considérant (∑(−𝑢𝑛)).Caret-right Aux séries à termes positifs pour 𝑛 assez grand — extension trivialedans les démonstrations!

L’étude spéciale des séries à termes positifs est motivée par la remarque ci-dessous, qui est à bien comprendre.

Remarque 2.6— Les sommes partielles d’une série à termes positifs sontmo-notones Tout est dans le titre, si (𝑢𝑛) est une suite de R+, alors pour tout entier𝑛 :

S𝑛+1 −S𝑛 = (𝑢1 +…+𝑢𝑛 +𝑢𝑛+1)− (𝑢1 +…+𝑢𝑛 +𝑢𝑛) = 𝑢𝑛+1 ⩾ 0.

La suite (S𝑛) est donc croissante, et sa convergence (la convergence de la sériedonc) se réduit à son éventuel caractère borné (toute suite monotone convergevers une limite finie si et seulement si elle est bornée, cf. Section 1 sur les suitesnumériques).

Proposition ANA.9.11 | Convergence des séries positivesSoit (∑𝑢𝑛) un série à termes positifs, de somme partielle S𝑛 pour tout 𝑛 ∈ N.Alors :

(∑𝑢𝑛) converge ⟺ (S𝑛) est majorée.

Preuve PEN-FANCY Soit (∑𝑢𝑛) une suite à termes positifs, et soit (S𝑛) la suitede ses sommes partielles. Comme pour tout 𝑛 ∈N on a

S𝑛+1 −S𝑛 = 𝑢𝑛+1 ⩾ 0,

la suite (S𝑛) est croissante. D’après le théorème de la limite monotone, elleest donc convergente dans R = R⋃{±∞}. De plus, elle converge si et seule-ment si elle est majorée, et elle diverge vers +∞ sinon. La conclusion en dé-coule.



Exemple 16—

1 — La série (∑1𝑛!

) est convergente. Indication : Essayer de minorer 𝑘!, onn’utilisera pas de résultat sur les séries exponentielles.PEN-FANCY

2 — La série (∑1𝑛2 )𝑛⩾1

est convergente. Indication : Minorer 𝑘2 par 𝑘(𝑘 − 1)

(pour 𝑘 ⩾ 2).PEN-FANCY

Nous systématisons la technique mise en oeuvre dans les exemples précédents :nous avons majoré le terme général d’une série à termes positifs par celui d’unesérie à termes positifs convergente, nous en avons déduit la convergence de lasérie à termes positifs de départ. Plus généralement, nous avons le résultat quisuit.

Comparaison de séries à termes positifs.

Théorème ANA.9.16 | Comparaison de séries à termes positifs.Soient (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) deux suites à termes positifs. On suppose que l’on a

0 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛. (Hyp.Compa.Stp)

1 — (∑𝑣𝑛) converge ⟹ (∑𝑢𝑛) converge..2 — (∑𝑢𝑛) diverge ⟹ (∑𝑣𝑛) diverge..

Attention×

ce théorème est faux si les séries ne sont pas à termes positifs. On peut mon-

trer par exempleque ∑𝑛⩾1

(−1)𝑛

√𝑛converge et ∑

𝑛⩾1((−1)𝑛

√𝑛+

1𝑛

)diverge, alors que

(−1)𝑛

√𝑛∼

𝑛→∞

(−1)𝑛

√𝑛+

1𝑛

.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — On contrapose 1—.

Méthode (0 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 s’obtient avec des développements limités ou équi-

valents)WRENCH

Rechercher un équivalent ou un petit o de (𝑢𝑛) peut donc nous donnerÉquation (Hyp.Compa.Stp).

En effet,

Caret-right si 𝑢𝑛 ∼𝑛→∞ 𝑣𝑛 et que 𝑣𝑛 ne s’annule pas pour 𝑛 assez grand, alors pour



WRENCH 𝑛 assez grand, on a :

𝑢𝑛

𝑣𝑛∈ [

12,32] ⟺

𝑣𝑛2

⩽ 𝑢𝑛 ⩽3𝑣𝑛2

.

Donc :

𝑣𝑛2


.

Donc, d’après le théorème de comparaison :— si (∑𝑣𝑛) converge alors (∑𝑢𝑛) converge — on utilise ici la partie

droite de l’encadrement.— Si (∑𝑣𝑛) diverge alors (∑𝑢𝑛) diverge — on utilise ici la partie

gauche de l’encadrement.En résumé :

(∑𝑢𝑛) et (∑𝑣𝑛) sont de même nature !Caret-right si 𝑢𝑛 = o(𝑣𝑛), alors pour 𝑛 assez grand,

𝑢𝑛

𝑣𝑛⩽ 1 ⟺ 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛.

Donc, d’après le théorème de comparaison : si (∑𝑣𝑛) converge alors(∑𝑢𝑛) converge.

R

11/2 3/2 0

𝑢𝑛/𝑣𝑛, pour 𝑛 assez grand

Exemple 17—

1 — Les séries (∑ln𝑛𝑛

)𝑛⩾1

et (∑1ln𝑛

)𝑛⩾2

divergent.

PEN-FANCY

2 — La série (∑e−√𝑛) converge.

PEN-FANCY

3 — La série (∑1

2𝑛+1) diverge.

PEN-FANCY

Méthode (Exponentielles décroissantes vers zéro)WRENCH

Pour tout terme général de la forme 𝑢𝑛 = e−𝑣𝑛 avec 𝑣𝑛𝑛→∞−−−−→ ∞, alors par



WRENCH croissances comparées :

𝑛2𝑢𝑛 = 𝑛2e−𝑣𝑛 𝑛→∞−−−−→ 0,

donc pour 𝑛 suffisamment grand, nous avons la majoration :

0 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽1𝑛2 .

On conclut ensuite avec le théorème de comparaison.

Somme de termes nulle. Voyons une autre propriété propre aux séries à termesde signe constant.

Proposition ANA.9.12

Soiet (∑𝑢𝑛) une série convergente à termes positifs. Alors :

∞∑𝑛=0

𝑢𝑛 = 0 ⟹ ∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 = 0.

Remarque 2.7—

1 — La propriété s’étend aux séries à termes négatifs en considérant −𝑢𝑛.2 — Cette proposition nous servira notamment dans le Chapitre ALEA.13 afin demontrer la propriété suivante : si une variable aléatoire réelle discrète X positiveou négative est d’espérance nulle, alors X est nulle.3 — Cette proposition est une extension du résultat déjà connu pour les sommesfinies : si une somme finie de termes positifs est supposée nulle, alors tous lestermes sont nuls.

Preuve Notons S𝑛 = ∑𝑛𝑘=0𝑢𝑘 pour tout entier 𝑛 ∈ N, alors pour tout

entier 𝑛 ∈N, on a :

0 ⩽ S𝑛 ⩽∞∑𝑛=0

𝑢𝑛 = 0,

puisque la série (∑𝑢𝑛) est supposée être à termes positifs. Donc pour toutentier𝑛, S𝑛 = 0. Or, il s’agit d’une sommefinie de termes positifs qui est nulle

donc chaque terme est nul :

∀𝑘 ∈ J0 , 𝑛K, 𝑢𝑘 = 0.

Ceci étant vrai pour tout entier 𝑛 ∈N, on récupère alors :

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 = 0.

Le critère de Riemann et la technique de comparaison série—intégrale. [H.P]

Le résultat ci-dessous est explicitement hors-programme en BCPST, mais le pré-senter ici est quasi indispensable car la preuve met en évidence la technique decomparaison série—intégrale très utile dans beaucoup d’exercices. Commençonspar un exemple.

Exemple 18— La série (∑1

√𝑛)𝑛⩾1

est divergente.

Caret-right En comparant √𝑛 et 𝑛 pour tout 𝑛 ⩾ 1, établir la divergence.

PEN-FANCY

Caret-right Montrer la divergence par comparaison série-intégrale.PEN-FANCY



De manière plus générale, nous avons la proposition suivante.

Proposition ANA.9.13 | Convergence des séries de Riemann [H.P]Soit α ∈R. Alors :

∑𝑛⩾1

1𝑛α est convergente ⟺ α > 1.

De plus, si α > 1, on a :

+∞∑𝑛=1

1𝑛α ⩽

αα−1

.

Remarque 2.8— De ce théorème on retient :

Caret-right le cas « limite» pour les natures des séries de RIEMANN est donc (∑1𝑛

).

Caret-right Tout ce qui décroît plus lentement vers zéro, comme par exemple (∑1

√𝑛)

et (∑1

3√𝑛), sont de série associée divergente.

Caret-right Tout ce qui décroît plus rapidement vers zéro commepar exemple (∑1𝑛2 ) et

(∑1

𝑛2021 ), sont de série associée convergente.

PreuveCaret-right Notons pour commencer que la série diverge grossièrement si α ⩽ 0.

Caret-right Supposons donc α > 0 et posons S𝑛 =𝑛∑𝑘=1

1𝑘α pour 𝑛 ⩾ 1 la somme par-

tielle de la série. Par décroissance de 𝑡 ⟼1𝑡α

, on a pour 𝑘 ⩾ 1 :

1(𝑘+1)α

⩽ ∫𝑘+1

𝑘

d𝑡𝑡α

⩽1𝑘α

puis pour 𝑛 ⩾ 1, nous obtenons avec la relation de CHASLES en som-mant entre 1 et 𝑛 :

S𝑛 −1 ⩽ ∫𝑛

1

d𝑡𝑡α

⩽ S𝑛 −1𝑛α

d’où, en mettant S𝑛 au milieu de l’encadrement :

PEN-FANCY

— si α = 1, nous avons déjà montré la divergence de la série.— si α > 1 :

PEN-FANCY

— si α ∈]0,1[ :PEN-FANCY



Remarque 2.9— La démarche utilisée dans la preuve précédente, qui consiste àcomparer les sommes partielles à des intégrales, est appelée comparaison série–intégrale. Elle fonctionne pour toutes les séries de la forme ∑𝑓(𝑛) où 𝑓 est unefonction continue, positive et monotone, dont une primitive est connue.

Exemple 19— Étudier la convergence de la série (∑1

𝑛 ln𝑛)𝑛⩾2

.

PEN-FANCY

Remarque 2.10— La comparaison série—intégrale permet souvent dedonnerunéquivalent des restes partiels R𝑛 lorsque la série converge (ils tendent vers zéro),ou un équivalent des sommes partielles S𝑛 lorsque la série diverge (elles tendentvers +∞).

2.3. Séries à termes quelconques & Convergence absolue

Nous considérons de nouveau dans cette section des suites dont les termespeuvent être des réels de signe quelconque, ou même des complexes. Nous allonsregarder une notion de convergence plus forte que la convergence des sommespartielles : il s’agit de la convergence absolue.

Remarque 2.11— Une suite réelle peut s’écrire comme différence de deux sé-ries à termes positifs.

Si 𝑢𝑛 ∈R pour tout entier 𝑛 ∈N, alors notons :

𝑢+𝑛 =max (𝑢𝑛,0) et 𝑢−

𝑛 = −min (−𝑢𝑛,0) ,

et pour tout 𝑛 ∈N :

𝑢𝑛 = 𝑢+𝑛 −𝑢−

𝑛.

Le terme𝑢+𝑛 (resp.𝑢−

𝑛) est appelépartie positive (resp.négative) de𝑢𝑛. Onvoit alors,au moins graphiquement en traçant la courbe de 𝑥 ⟼ |𝑥| que :

∀𝑛 ∈N, 𝑢+𝑛 ⩽ ||𝑢𝑛

|| , 𝑢−𝑛 ⩽ ||𝑢𝑛

|| .



𝑥

𝑦

𝑥 ⟼ 𝑥+𝑥 ⟼ 𝑥−

𝑥 ⟼ 𝑥

𝑥 ⟼ |𝑥|

Définition ANA.9.25 | Série absolument convergente

On dit qu’une série (∑𝑢𝑛) converge absolument si la série (∑||𝑢𝑛||) converge.

Nous croiserons rarement des séries à termes quelconques semi-convergentes(donc telle que (∑||𝑢𝑛

||) ne converge pas), tout simplement parce que les tech-niques existantes permettant de les traiter (transformation d’Abel, critère des sé-ries alternées, etc.) ne sont pas au programme.

Remarque 2.12— La série (∑||𝑢𝑛||) est une série à termes positifs : tous les cri-

tères vus dans la Section 2.2 peuvent donc s’appliquer et c’est cela le gros avantagede la notion de convergence absolue.

Théorème ANA.9.17 | La convergence absolue implique la convergenceSoit (∑𝑢𝑛) une série. Alors :

(∑||𝑢𝑛||) converge ⟹ (∑||𝑢𝑛

||) converge.

Autrement dit, toute série absolument convergente est convergente.

Définition ANA.9.26 | Série semi-convergenteOn dit qu’une série (∑𝑢𝑛) est semi-convergente si la série (∑𝑢𝑛) convergemais pas (∑||𝑢𝑛

||).

Attention×

La réciproquedu théorèmeprécédent est fausse, précisément pour toutes les

séries semi-convergentes. En effet, on peut montrer que la série (∑(−1)𝑛

𝑛)

converge, mais (∑||||(−1)𝑛

𝑛||||) = (∑

1𝑛

) ne converge pas (nous l’avons déjàvu).

Preuve Soit (∑𝑢𝑛) une série absolument convergente. PEN-FANCY Ainsi, lesséries (∑𝑢+

𝑛) et (∑𝑢−𝑛) sont à termes positifs, et on a 𝑢𝑛 = 𝑢+

𝑛−𝑢−𝑛 pour tout

𝑛 ∈ N. Or, on a 0 ⩽ 𝑢+𝑛 ⩽ |𝑢𝑛| et 0 ⩽ 𝑢−

𝑛 ⩽ |𝑢𝑛|, donc, par comparaison, lesséries (∑𝑢+

𝑛) et (∑𝑢−𝑛) sont convergentes. On en déduit que leur différence,

la série (∑𝑢𝑛), est convergente.

Exemple 20— La série ∑𝑛⩾1

cos𝑛𝑛2 est absolument convergente, donc conver-

gente.

PEN-FANCY

Proposition ANA.9.14 | Structure d’espace vectorielSoient (∑𝑢𝑛) et (∑𝑢𝑛) deux séries absolument convergentes, et (λ,μ) ∈ R2.Alors1 — la série (∑λ𝑢𝑛 +μ𝑣𝑛) est absolument convergente.



2 — En particulier, l’ensemble des séries convergentes est donc un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites convergentes.

Preuve

PEN-FANCY

Proposition ANA.9.15 | Inégalité triangulaire pour la somme d’une sérieabsolument convergente.

Soit (∑𝑢𝑛) une série absolument convergente. Alors :

||||

+∞∑𝑛=0

𝑢𝑛|||| ⩽

∞∑𝑛=0

|𝑢𝑛|.

Preuve PEN-FANCY Pour tout 𝑛 ∈N, on a (inégalité triangulaire) :

||||

𝑛∑𝑘=0

𝑢𝑘||||⩽

𝑛∑𝑘=0

|𝑢𝑘|.

Le résultat s’obtient alors par passage à la limite, la fonction 𝑥 ⟼ |𝑥| étant

continue.

Ordre de sommation. On admet le théorème suivant qui sera utile en probabi-lités et qui nous autorise, s’il y a convergence absolue, à sommer dans n’importequel ordre les éléments d’une série. Attention, cela n’est pas du tout évident ! Nouspouvons toujours le faire pour une somme finie, mais, pour une somme quel-conque, cela n’est pas clair du tout. Considérons par exemple pour tout 𝑛 ∈ N lasuite 𝑢𝑛 = (−1)𝑛

𝑛+1 .

Alors on peut démontrer que (∑𝑢𝑛) converge (on note ℓ ∈ R la somme de la sé-rie), mais pas absolument (c’est la série harmonique). En effet nous ne pouvonspas permuter n’importe comment l’ordre des termes, puisque si cela était possiblenous aurions :

ℓ = 1 −12

+13

−14

+15

−16

+17

−…

= ( 1 −12

−14)+(

13

−16

−18)+…+(

12𝑘−1

−1

4𝑘−2−

14𝑘

)+…

= (12

−14)+(

16

−18)+(

110

−112

)+…+(1

4𝑘−2−

14𝑘

)+…

=12

−14

+16

−18

+110

−112

+…+1

4𝑘−2−

14𝑘

+…

=12(1−

12

+13

−14

+…) =ℓ2.

Théorème ANA.9.18 | Permutation des termes d’une série absolumentconvergente

Soitσ ∶N⟶Nunebijection, et (∑𝑢𝑛)𝑛⩾0 une série absolument convergente.

Alors : (∑𝑢σ(𝑛)) converge absolument, et∞∑𝑛=0

𝑢𝑛 =∞∑𝑛=0

𝑢σ(𝑛).

Preuve Admis.



Remarque 2.13— Si la convergence absolue est en défaut,onne peut rien direLorsque (∑𝑢𝑛)𝑛⩾0 ne converge pas absolumentmais converge (i.e. (∑𝑢𝑛)𝑛⩾0 est

semi-convergente), alors on peut même construire une bijection σ ∶ N ⟶ N telleque (∑𝑢σ(𝑛))𝑛⩾0 diverge. L’hypothèse de convergence absolue est donc cruciale.

Remarque 2.14— Ce théorème sera d’intérêt capital en Probabilités discrètes.

2.4. Plan d’étude d’une série numérique

PEN-FANCY

2.5. Séries doubles

Nous aurons besoin en probabilités de permuter parfois des sommes infinies(pour des calculs d’espérance de couples de variables aléatoires réelles notam-ment).Nousdonnons ici sansdémonstration le résultat principal : il s’agit du théo-rème de FUBINI, et plus précisément ici d’un cas particulier. Là encore, ce qui pa-raît évident pour des sommes finies ne l’est pas forcément pour des sommes quel-conques : nous ne pourrons pas toujours permuter deux sommes infinies.

Définition ANA.9.27 | Suite doubleOn appelle suite double toute application d’un sous-ensemble 𝒩 de N2 dansR, i.e. toute famille de scalaires deR indexée par un sous-ensemble deN2, elleest notée (𝑢𝑛,𝑝)(𝑛,𝑝)∈𝒩.Pour tout (𝑛,𝑝) ∈ 𝒩, on dit que 𝑢𝑛,𝑝 est le (𝑛,𝑝)-ième terme de la suite, ou leterme de rang (𝑛,𝑝). Si 𝒩 = ([𝑛0;∞[∩N)×([𝑛1;∞[∩N) avec 𝑛0,𝑛1 ∈N, on ditque (𝑢𝑛,𝑝)(𝑛,𝑝)∈𝒩 est définie à partir d’un certain rang.

Exemple 21— Pour tout 𝑖, 𝑗 ⩾ 0, si 𝑢𝑖,𝑗 = 12𝑖+𝑗 , alors (𝑢𝑖,𝑗) est une suite double.

CadreCOGS

Dans toute la suite, nous considèrerons des suites doubles définies surN2 : il convient d’adapter les notions pour des suites définies à partir d’uncertain rang.

Notation (Abus de ...)Σ

Comme d’habitude si le contexte n’impose pas de le préciser, nous notons(𝑢𝑛,𝑝) au lieu de (𝑢𝑛,𝑝)(𝑛,𝑝)∈𝒩. On note RN×N les suites doubles indexées parN×N.

Théorème ANA.9.19 | Permutation de sommes infinies si 𝑢𝑛,𝑝 est positive

Soit (𝑢𝑛,𝑝) une suite double réelle positive. On suppose que :



1 — pour tout 𝑛, (∑𝑢𝑛,𝑝)𝑝⩾0 converge,

2 — (∑∞∑𝑝=0

𝑢𝑛,𝑝)𝑛⩾0

converge.

Alors : pour tout 𝑝, (∑𝑢𝑛,𝑝)𝑛⩾0 converge, et la série (∑∞∑𝑛=0

𝑢𝑛,𝑝)𝑝⩾0

converge, et on a :

∞∑𝑛=0

(∞∑𝑝=0

𝑢𝑛,𝑝) =∞∑𝑝=0

(∞∑𝑛=0

𝑢𝑛,𝑝) . (2.1)

Preuve Admis.

Remarque 2.15— Version allégée Parfois dans la littérature on peut trouvercomme seule hypothèse : « la suite 𝑢𝑛,𝑝 est positive» au lieu des deux hypothèsesde convergence supra.En fait, si 1) n’est pas vérifiée, alors puisque 𝑢𝑛,𝑝 est positive, la somme partiellediverge forcément vers +∞ :

∞∑𝑛=0

𝑢𝑛,𝑝 = ∞ pour tout entier 𝑝 ∈N.

Ainsi la série (∑∞∑𝑝=0

𝑢𝑛,𝑝) de 2) diverge vers +∞ elle aussi. On peut justifier dans

ce cas que l’égalité Équation (2.2) devient :

+∞ = +∞.

Elle est donc vérifiée là encore, mais le programme ne souhaite pas que vous écri-viez de telles choses.

Lorsque les séries sont à termes quelconques, là il est nécessaire de rajouter de laconvergence absolue dans les hypothèses.

Théorème ANA.9.20 | Permutationde sommes infinies dans le cas général

Soit (𝑢𝑛,𝑝) une suite double réelle. On suppose que :

1 — pour tout 𝑛, (∑||𝑢𝑛,𝑝||) converge,

2 — (∑∞∑𝑝=0

||𝑢𝑛,𝑝||) converge.

Alors pour tout𝑝, (∑||𝑢𝑛,𝑝||) converge, la série (∑

∞∑𝑛=0

||𝑢𝑛,𝑝||) converge et on

a :

∞∑𝑛=0

(∞∑𝑝=0

𝑢𝑛,𝑝) =∞∑𝑝=0

(∞∑𝑛=0

𝑢𝑛,𝑝) . (2.2)

Remarque 2.16— Vous ne pouvez retenir que ce résultat, qui est plus général quecelui sur les séries à termes positifs.

Preuve Admis.

Définition ANA.9.28 | Série double convergente

Ondira que (∑𝑢𝑛,𝑝)𝑛,𝑝∈N converge absolument si les hypothèses du théorèmede FUBINI sont vérifiées, i.e.1 — pour tout 𝑛, (∑||𝑢𝑛,𝑝

||)𝑝∈N converge,

2 — et⎛⎜⎝∑

∞∑𝑝=0

||𝑢𝑛,𝑝||

⎵⎵⎵⎵⎵⎵une série en 𝑛

⎞⎟⎠𝑛∈N

converge.

Dans ce cas, on notera ∑(𝑛,𝑝)∈N2 𝑢𝑛,𝑝 la valeur de la somme∞∑𝑛=0

∞∑𝑝=0

||𝑢𝑛,𝑝||.

Remarque 2.17— D’après le Théorème ANA.9.20, nous pourrions aussi prendrecomme définition de série double convergente : pour tout 𝑝, (∑||𝑢𝑛,𝑝

||)𝑛∈Nconverge, la série (∑

∞∑𝑛=0

||𝑢𝑛,𝑝||)𝑝∈N

converge. L’une impliquant l’autre d’après le

théorème de FUBINI.



Exemple 22— Étudier la convergence absolue de la série double

(∑1

2𝑖+𝑗)(𝑖,𝑗)∈N2

. Calculer sa somme le cas échéant.

PEN-FANCY




3. EXERCICES

3.1. Suites

[AN_SuiteNum_39.tex]

Exercice ANA.9.1 Étudier la convergence des suites (𝑢𝑛) définies par :

1 — 𝑢𝑛 = 𝑛2+𝑛−1𝑛2−𝑛cos𝑛 pour 𝑛 ⩾ 1,

2 — 𝑢𝑛 = 𝑛2(ln(𝑛+1)−ln𝑛)√𝑛2+1

pour 𝑛 ⩾ 1,

3 — 𝑢𝑛 = 𝑛−√𝑛2 +(−1)𝑛,4 — 𝑢𝑛 = 2𝑛−3𝑛

2𝑛−3𝑛+1 ,5 — 𝑢𝑛 = 𝑛(2+cos (𝑛π12 )),

6 — 𝑢𝑛 = (cos ( 13𝑛 ))

3𝑛2+1pour 𝑛 ⩾ 1.


Exercice ANA.9.2 Suite récurrentes linéaires d’ordre deux Exprimer 𝑢𝑛 en fonc-tion de 𝑛 pour tout 𝑛 et déterminer la limite de :

1 — 𝑢0 = 1, 𝑢1 = 9, 𝑢𝑛+2 = 𝑢𝑛+1 − 14𝑢𝑛,

2 — 𝑢0 = −1, 𝑢1 = 5, 𝑢𝑛+2 +𝑢𝑛 = 𝑢𝑛+1,3 — 𝑢0 = 1, 𝑢1 = 2, 𝑢𝑛 = 2

1𝑢𝑛−1

+ 1𝑢𝑛−2

, pour tout 𝑛 ⩾ 2,4 — 𝑢0 = 1, 𝑢1 = 2, 6𝑢𝑛𝑢𝑛+1 −5𝑢𝑛𝑢𝑛+2 +𝑢𝑛+1𝑢𝑛+2 = 0.


Exercice ANA.9.3 Critère de comparaison logarithmique (Solution : 40) Soit(𝑢𝑛)𝑛∈N une suite strictement positive. On suppose (𝑢𝑛+1𝑢𝑛

)𝑛∈N

est convergente delimite notée ℓ.

1 — Étudier lim𝑛→∞𝑢𝑛 dans le cas ℓ < 1.2 — Même chose pour ℓ > 1.3 — Que dire si ℓ = 1?


Exercice ANA.9.4

1 — Soit E l’ensemble des suites réelles (𝑥𝑛)𝑛∈N vérifiant : ∀𝑛 ∈N, 𝑥𝑛+1+𝑥𝑛 =𝑛.1.1) Trouver une suite arithmétique élément de E. On la notera (𝑦𝑛).1.2) Trouver toutes les suites de E, on pourra former une relation de récurrence

sur la suite (𝑥𝑛 −𝑦𝑛)𝑛.1.3) Donner un équivalent d’une suite (𝑥𝑛) de E.2 — On considère la suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢0 = 2

3 et : ∀𝑛 ∈ N, 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛2 +

𝑛2√2

+ 1√2

.

2.1) Enétudiant (𝑣𝑛) définiepar𝑣𝑛 = 𝑢𝑛×√2−𝑛pour tout𝑛, donner l’expressionde 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

2.2) TERMINALPython Proposer un script Pythonqui trace les 100 premiers termes de la suite(𝑢𝑛).

2.3) Calculer S𝑛 = ∑𝑛𝑖=0𝑢𝑖 en fonction de 𝑛.


Exercice ANA.9.5 Pour 𝑛 ∈N, on pose :

I𝑛 =1

2𝑛+1𝑛! ∫1

0(1−𝑡)𝑛e

𝑡2 𝑑𝑡

1 — Calculer I0.2 — Trouver une relation entre I𝑛 et I𝑛+1. Que vaut lim𝑛→+∞ I𝑛 ?3 — On pose S𝑛 = ∑𝑛

𝑘=01

2𝑘𝑘! . Déduire des résultats précédents la convergence dela suite (S𝑛)𝑛∈N et la valeur de sa limite.


Exercice ANA.9.6 Étude d’une suite récurrente d’ordre 1. Approximation d’uneracine par une suite (Solution : 40) On considère un réel 𝑎 > 0 et une suite (𝑢𝑛)définie par son premier terme 𝑢0 tel que 𝑢0 > √𝑎, et

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 =12(𝑢𝑛 +

𝑎𝑢𝑛

) .



1 — Étudier brièvement surR+∗ la fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 12 (𝑥+ 𝑎

𝑥 ) et le signe de 𝑓(𝑥)−𝑥.2 — TERMINALPython Écrire une fonction enPythonqu’on appellera U(u0,a,n)qui prend enargument le premier terme de la suite, le réel 𝑎 et l’entier 𝑛 ⩾ 1, et renvoie la listedes termes (𝑢0, ...,𝑢𝑛).3 — Enutilisant la bibliothèquematplotlib.pylot tracer le graphiquequi donneles 100 premiers termes de (𝑢𝑛) pour 𝑎 = 2 et 𝑢0 = 3,2.4 — Montrer que pour tout 𝑛 ∈ N ∶ √𝑎 < 𝑢𝑛+1 < 𝑢𝑛. En déduire que (𝑢𝑛)converge et calculer sa limite.5 — On pose 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛−√𝑎

𝑢𝑛+√𝑎.

5.1) Montrer que 𝑣𝑛+1 = 𝑣2𝑛 et en déduire 𝑣𝑛 = 𝑣2𝑛

0 ∀𝑛.5.2) Montrer que pour tout 𝑛, 0 ⩽ 𝑢𝑛 −√𝑎 ⩽ 2𝑢0𝑣2

𝑛

0 et retrouver la limite de(𝑢𝑛).

6 — Dans cette question 𝑎 = 2 et 𝑢0 = 2. On veut déterminer le plus petit entier 𝑛tel que 2𝑢0𝑣2

𝑛

0 < 10−100.6.1) TERMINALPython Le déterminer en écrivant une fonction python NMin.6.2) Que peut-on dire de 𝑢𝑛 avec le 𝑛 trouvé ci-dessus?


Exercice ANA.9.7 Agro—Véto, 2018. Étude d’une suite implicite (Solution : 41)Rappel : algorithme de dichotomie.On considère une fonction 𝑔 continue sur unintervalle [𝑎;𝑏]. On suppose que 𝑔 s’annule exactement une fois sur [𝑎;𝑏] en unpoint que l’on note α. On définit les suites (𝑎𝑘)𝑘≥0 et (𝑏𝑘)𝑘≥0 de la façon suivante :

Caret-right 𝑎0 = 𝑎 et 𝑏0 = 𝑏.Caret-right Pour tout entier naturel 𝑘, on note 𝑐𝑘 = 𝑎𝑘+𝑏𝑘

2 et :

si 𝑔(𝑎𝑘)𝑔(𝑐𝑘) ≤ 0, alors 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 et 𝑏𝑘+1 = 𝑐𝑘sinon 𝑎𝑘+1 = 𝑐𝑘 et 𝑏𝑘+1 = 𝑏𝑘

On sait alors que les suites (𝑎𝑘)𝑘≥0 et (𝑏𝑘)𝑘≥0 convergent toutes les deux vers α.

Pour 𝑛 ⩾ 1, on définit la suite de fonctions (𝑓𝑛) par :

∀𝑥 ∈R 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑛𝑥3 +𝑛2𝑥−2.

1 — 1.1) Montrer pour 𝑛 fixé que l’équation 𝑓𝑛(𝑥) = 0 admet une unique solu-tion sur R notée 𝑎𝑛. Montrer que 𝑎𝑛 > 0.

1.2) TERMINALPython Écrire une fonction dicho(n) qui calcule une valeur approchée de 𝑎𝑛pour un 𝑛 donné, à précision 10−2, en utilisant le principe de dichotomie.La tester pour 𝑛 = 2.

1.3) Montrer que la suite (𝑎𝑛)𝑛⩾1 est convergente et déterminer sa limite.2 — On pose 𝑢𝑛 = 𝑛2𝑎𝑛 pour tout 𝑛 ⩾ 1.2.1) TERMINALPython Écrire un programme qui trace les termes 𝑢𝑛 pour 𝑛 ∈ J10 , 40K. En

déduire une conjecture sur la limite de la suite (𝑢𝑛).2.2) Démontrer cette conjecture. En déduire un équivalent de la suite (𝑎𝑛).3 — Soit 𝑔 définie sur [0,1] par 𝑔(𝑥) = 2𝑥3+1

3𝑥2+2 pour tout 𝑥 ∈ [0,1].3.1) Montrer que 𝑔 est croissante sur [𝑎2,1].3.2) On définit la suite (𝑥𝑛)𝑛∈N par 𝑥0 = 1 et 𝑥𝑛+1 = 𝑔(𝑥𝑛) pour tout entier 𝑛 ∈N.

Montrer que la suite (𝑥𝑛) converge et déterminer sa limite.

3.2. Séries numériques

3.2.1. Séries simples

[AN_SerieNum_41.tex]

Exercice ANA.9.8 Études de convergence avec initiatives Étudier la convergencede (∑𝑢𝑛), et calculer la somme si cela vous semble possible, lorsque :

1 — 𝑢𝑛 = 𝑛+22𝑛 pour 𝑛 ⩾ 0,

2 — 𝑢𝑛 = 𝑛2𝑛! pour 𝑛 ⩾ 0,

3 — 𝑢𝑛 = 𝑛(−1)𝑛3𝑛−2 pour tout 𝑛 ⩾ 0,

4 — pour 𝑘 ⩾ 0, 𝑢𝑛 = (𝑛𝑘)𝑛! , pour tout 𝑛 ⩾ 𝑘,

5 — 𝑢𝑛 = 1𝑛2−1 pour 𝑛 ⩾ 2,

6 — 𝑢𝑛 = 𝑛e−𝑛,7 — 𝑢𝑛 = sin(2−𝑛),8 — 𝑢𝑛 = ln (1+ 1

𝑛+1 ),

9 — 𝑢𝑛 = ln (1− 1𝑛2 ),



10 — 𝑢𝑛 = ln(𝑛)𝑛 pour 𝑛 ⩾ 1,

11 — 𝑢𝑛 = (−1)𝑛 cos(𝑛)𝑛2 pour 𝑛 ⩾ 1.

[AN_SerieNum_6.tex]

Exercice ANA.9.9 Étude de convergence avec indication (Solution : 42) On consi-dère la série (∑𝑢𝑛)𝑛⩾2 où 𝑢𝑛 = 2𝑛2

𝑛3−1 pour tout 𝑛 ⩾ 2.

1 — Montrer que pour tout 𝑛 ⩾ 2, 𝑢𝑛 ⩾ 2𝑛 .

2 — En déduire la nature de (∑𝑢𝑛)𝑛⩾2.3 — TERMINALPython Écrire une fonction en Python qui étant donné un entier𝑛 renvoie uneliste contenant les valeurs des sommes partielles d’indice 𝑘 pour 𝑘 ∈ J2 , 𝑛K. Re-présenter alors graphiquement les 49 premières valeurs de ces sommes partielles.

[AN_SerieNum_8.tex]

Exercice ANA.9.10

1 — Justifier que pour 𝑛 assez grand dans N, on a : 𝑛 ln𝑛e−2𝑛 ⩽ 1𝑛2 .

2 — Déterminer la nature de (∑(−1)𝑛𝑛 ln𝑛e−2𝑛)𝑛⩾1. [AN_SerieNum_32.tex]

Exercice ANA.9.11 Étudier la convergence des séries suivantes, et calculer lasomme lorsque cela est possible.

1 — (∑𝑛2

𝑛!),

2 — (∑(𝑛𝑘)𝑛!

)𝑛⩾𝑘

, pour tout 𝑘 ∈N⋆,

3 — (∑𝑛(−1)𝑛

3𝑛−2)𝑛⩾2

.[AN_SerieNum_31.tex]

Exercice ANA.9.12

1 — Montrer qu’il existe 𝑎,𝑏 ∈ R tels que : ∀𝑛 ∈ N, 4𝑛𝑛4+2𝑛2+9 = 𝑎

(𝑛−1)2+2 +𝑏

(𝑛+1)2+2 .

2 — Étudier la convergence de la série de terme général 𝑢𝑛 = 4𝑛𝑛4+2𝑛2+9 pour tout

𝑛 ⩾ 0. Et si elle existe, calculer sa somme.[AN_SerieNum_4.tex]

Exercice ANA.9.13 (Solution : 43) Soit 𝑢0 ∈]0,1[ et (𝑢𝑛) la suite définie par : ∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 −𝑢2

𝑛.

1 — Montrer que 𝑢𝑛 ∈]0,1[ pour tout entier 𝑛 ∈N, puis que 𝑢𝑛𝑛→∞−−−−→ 0.

2 — Montrer que (∑𝑢2𝑛) est convergente et calculer la somme.

3.2.2. Séries doubles


Exercice ANA.9.14 Étudier la nature des séries doubles ci-dessous, calculer leursomme lorsque cela est possible.

1 — (∑(𝑖+ 𝑗)λ𝑖+𝑗

𝑖!𝑗!)𝑖,𝑗⩾0

,

2 — (∑𝑎

2𝑖+𝑗)𝑖,𝑗⩾0

, pour tout𝑎 ∈R. Déterminer𝑎 de sorte que la somme soit égale

à un.

3.3. Pour les 5/2


Exercice ANA.9.15 On pose pour tout 𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 = arctan ( 2(𝑛+1)2 ) .

1 — Montrer la formule suivante : ∀𝑎,𝑏 ∈R ⧵ {π2 +𝑘π, 𝑘 ∈ Z} :

tan(𝑎 +𝑏) =tan𝑎+ tan𝑏1− tan𝑎 tan𝑏

.

2 — Montrer que : ∀𝑛 ∈N⋆, 𝑢𝑛 = arctan 1𝑛 −arctan 1

𝑛+2 .3 — Étudier la convergence et calculer la somme de (∑𝑢𝑛)𝑛⩾0.



[AN_SerieNum_9.tex]

Exercice ANA.9.16 (Solution : 44) Déterminer la nature de (∑𝑢𝑛) où

∀𝑛 ∈N, 𝑢𝑛 =⎧⎨⎩

1/𝑛 si 𝑛 est un carré,

1/𝑛2 sinon.




Solution (exercice ANA.9.3) (Énoncé : 36) Soit ε > 0, pour 𝑛 ⩾ 𝑛0, ℓ−ε ⩽ 𝑢𝑛+1𝑢𝑛

⩽ ℓ+ε.Donc avec un bon choix de ε, pour 𝑛 assez grand on a :

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛⩽

ℓ+12

, 𝑢𝑛+1 ⩽ℓ+1

2𝑢𝑛,

donc en itérant :

0 ⩽ 𝑢𝑛+1 ⩽ (ℓ+1

2)𝑛−𝑛0+1

𝑢𝑛0 .

Il ne reste qu’à faire tendre𝑛 vers+∞ pour avoir la convergence vers 0 par le théo-rème d’encadrement, puisque |ℓ+12 | < 1. Si ℓ > 1, on peut établir que pour 𝑛 ⩾ 𝑛0,on a :

ℓ+12

𝑢𝑛 ⩽ 𝑢𝑛+1,

puis en itérant :

(ℓ+1

2)𝑛−𝑛0+1

𝑢𝑛0 ⩽ 𝑢𝑛+1.

Et la suite diverge puisque |ℓ+12 | > 1. Le cas limite ne permet pas de conclure,prendre par exemple 𝑢𝑛 = 𝑛 + 1,𝑣𝑛 = 𝑛 et 𝑢𝑛+1 = 1

𝑛+1 ,𝑣𝑛+1 = 1𝑛 . Les rapports

tendent tous les deux vers 1, mais les comportements des suites ne sont pas lesmêmes.


1 — La fonction 𝑓 est dérivable sur R+⋆ en tant que somme defonctions dérivables. De plus, 𝑓′(𝑥) = 1

2 (1− 𝑎𝑥2 ) pour tout 𝑥 ∈ R+⋆.

La fonction 𝑓 est donc décroissante sur [0,√𝑎] et croissante sur [√𝑎,∞].

De plus, si l’on pose 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑥 = 12 (𝑎𝑥 −𝑥), on constate immédiatement que :

𝑔 est positive si 𝑥 ⩽ √𝑎 et négative si 𝑥 ⩾ √𝑎.

Python2 —1 def U(u0, a, n):

2 '''3 Renvoie la liste des termes jusqu'au rang n4 '''5 L = [u0]6 u = u07 for _ in range(2, n+1):8 u = (1/2)*(u+a/u)9 L.append(u)

10 return L

3 — On peut donc ensuite tracer ces termes.

Python1 import matplotlib.pyplot as plt2 plt.plot(U(3/2,2,10), 'bo')

1 plt.show()

4 — Constatons que 𝑓(√𝑎) = 𝑎, c’est un point fixe de la fonction. Alors rappelonsque 𝑢0 > √𝑎.Donc en appliquant 𝑓 qui est strictement croissante sur ce domaine, on trouve𝑢1 > √𝑎. Mais comme 𝑔 est strictement négative sur ]√𝑎,∞[, on a alors pour



tout 𝑥 ∈]√𝑎,∞[, 𝑓(𝑥) < 𝑥 donc en faisant 𝑥 = 𝑢0 on trouve 𝑢1 < 𝑢0. En combinantles deux encadrements on trouve √𝑎 < 𝑢1 < 𝑢0, i.e. la propriété au rang 𝑛 = 0.Supposons-là vraie au rang 𝑛, alors appliquons 𝑓 dans l’encadrement, on a alors :√𝑎 < 𝑢𝑛+2 < 𝑢𝑛+1 puisque 𝑓 est strictement croissante sur [√𝑎,∞[. La propriétéest donc vraie pour tout 𝑛 par récurrence.Ainsi la suite est décroissante minorée donc (𝑢𝑛) converge.5 — 5.1) Soit 𝑛 ∈N. Alors :

𝑣𝑛+1 =12 (𝑢𝑛 + 𝑎

𝑢𝑛)−√𝑎

12 (𝑢𝑛 + 𝑎

𝑢𝑛)+√𝑎

=(𝑢2

𝑛 +𝑎)−2𝑢𝑛√𝑎(𝑢2

𝑛 +𝑎)+2𝑢𝑛√𝑎= 𝑣2𝑛 .

On vérifie ensuite la formule 𝑣𝑛 = 𝑣2𝑛

0 par récurrence sur 𝑛 ∈N.5.2) On a déjà établi que pour tout entier 𝑛 ∈ N, 𝑢𝑛 ⩾ √𝑎. Et pour l’autre partie

de l’encadrement, on écrit que 𝑢𝑛 − √𝑎 = 𝑣𝑛(𝑢𝑛 + √𝑎) ⩽ 𝑣𝑛2𝑢0. Puis onutilise l’expression explicite de (𝑣𝑛) trouvée précédemment. Puisque 𝑢0 >√𝑎, on vérifie par exemple par étude de fonction que 𝑣0 ∈]−1,1[, donc que :lim𝑛→∞

𝑣2𝑛

0 = 0.

Donc : lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = 0.

Python6 — 6.1)1 def NMin(u0, a):

2 '''3 Cherche le plus petit entier n tel que le majorant de

u-sqrt(a) soit assez petit↪

4 '''5 n = 06 v = (u0-sqrt(a))/(u0+sqrt(a))7 while 2*(u0)*v >= 10**(-100):8 n += 19 v = v**2

10 return n

Par exemple pour les paramètres données dans l’énoncé, on trouve : 8.

6.2) Pour ce 𝑛 on est sûr que 𝑢𝑛 est une approximation de √𝑎 avec précision10−100.


1 — Pour 𝑛 fixé 𝑓𝑛 est dérivable surR (c’est un polynôme) et 𝑓′𝑛(𝑥) = 3𝑛𝑥2+𝑛2 > 0pour tout 𝑥, donc 𝑓𝑛 strictement croissante sur R . La limite de 𝑓𝑛 en −∞ est −∞,et en+∞ c’est+∞. Deplus 𝑓𝑛 est continue surR, doncd’après le théorèmede la bi-jection, 𝑓𝑛 s’annule une unique fois : Il existe un unique réel 𝑎𝑛 tel que 𝑓𝑛(𝑎𝑛) = 0De plus 𝑓𝑛(0) = −2 < 0 ⇒ 0 < 𝑎𝑛 car 𝑓𝑛 strictement croissante et 𝑓𝑛(𝑎𝑛) = 0.1.1) Pour démarrer le principe de dichotomie, on a besoin aussi d’un majorant

de 𝑎𝑛, or 𝑓𝑛(1) = 𝑛+𝑛2 −2 ⩾ 1+1−2 = 0 car 𝑛 ⩾ 1, donc 1 ⩾ 𝑎𝑛 .

Python1 def f(n,x):2 return n*x**3 + n*n*x - 23

4 def dicho(a, b, n, prec):5 while b - a > prec:6 c = (a+b)/27 if f(n,a)*f(n,c) <= 0:8 b = c9 else:

10 a = c11 return (a+b)/2

Nous obtenons alors 0.03125 pour 𝑛 = 10 et une précision 1/10.1.2) Pour 𝑛 fixé, 𝑓𝑛+1(𝑎𝑛) = (𝑛 + 1)𝑎3

𝑛 + (𝑛 + 1)2𝑎𝑛 − 2 =𝑛𝑎3

𝑛 +𝑛2𝑎𝑛 −2⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟=𝑓𝑛(𝑎𝑛)=0

+𝑎3𝑛 +(2𝑛+1)𝑎𝑛⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟>0 car 𝑎𝑛>0

> 0 = 𝑓𝑛+1(𝑎𝑛+1).

Donc 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 puisque la fonction 𝑓𝑛+1 est strictement crois-sante sur R, et ceci pour tout 𝑛 ⩾ 1. On en déduit quela suite (𝑎𝑛)𝑛⩾1 est décroissante, et minorée par 0, donc convergente.

De plus 𝑓𝑛(𝑎𝑛) = 0 ⟺ 𝑛𝑎3𝑛 + 𝑛2𝑎𝑛 − 2 = 0 ⟺ 𝑎𝑛 = 2

𝑛 ( 1𝑎2𝑛+𝑛

).



Or quand 𝑛 → +∞, 𝑎𝑛 → ℓ ∈ R donc 𝑎2𝑛 + 𝑛 → +∞ ⇒ 1

𝑎2𝑛+𝑛→ 0 et

𝑎𝑛 → 0 donc ℓ = 0 .2 — 2.1) Si l’on garde la précision de 10−3 utilisé au départ dans le programme

de dichotomie, on obtient une représentation graphique incohérente des𝑢𝑛, on va donc demander une précision eps supérieure.

Python1 import matplotlib.pyplot as plt2 def f(n,x):3 return n*x**3 + n*n*x - 24 def dicho(a,b,n,prec):5 while b - a > prec:6 c = (a+b)/27 if f(n,a)*f(n,c) <= 0:8 b = c9 else:

10 a = c11 return (a+b)/212

13 eps = 10**(-12)14 X = range(10,41)15 Y = [n*n*dicho(0, 1, n, eps) for n in X]16 plt.plot(X, Y, '+r')

On «conjecture» que la suite (𝑢𝑛)𝑛⩾1 converge vers 2.2.2) ∀𝑛 ⩾ 1 𝑢𝑛 = 𝑛2𝑎𝑛 donc 𝑓𝑛(𝑎𝑛) = 0 ⟺ 𝑢𝑛

𝑛 𝑎2𝑛 + 𝑢𝑛 − 2 = 0 ⟺

𝑢𝑛 (1+ 𝑎2𝑛𝑛 ) = 2. Comme 𝑎2𝑛

𝑛𝑛→∞−−−−→ 0, nous obtenons : 𝑢𝑛

𝑛→∞−−−−→ 2. Ainsi,

nous obtenons l’équivalent : 𝑢𝑛 ∼𝑛→∞

2𝑛 .

3 — 3.1) Soit𝑔(𝑥) = 2𝑥3+13𝑥2+2 . On peut remarquer qu’elle est définie et dérivable sur

R. De plus, pour tout 𝑥 ∈R :

𝑔′(𝑥) =6𝑥2(3𝑥2 +2)−6𝑥(2𝑥3 +1)

(3𝑥2 +2)2=

6𝑥(3𝑥2 +2)2

(𝑥3 +2𝑥−1)⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ℎ(𝑥)

.

La fonction ℎ est donc dérivable surR et ℎ′(𝑥) = 3𝑥2+2 > 0 donc ℎ est stric-tement croissante surR, donc sur [0,1]. Or𝑎2 ∈ [0,1] etℎ(𝑎2) = 𝑎3

2+2𝑎2−1 =12 (2𝑎3

2 +4𝑎2 −2)⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟=0 par definition de 𝑎2

, donc 𝑔′ du signe de ℎ sur [0,1] et est donc négative avant

𝑎2 et 𝑔′ est positive sur [𝑎2,1] , donc 𝑔 est croissante sur [𝑎2,1] .

3.2) On remarque de plus que𝑔(1) = 35 < 1,𝑔(𝑎2)−𝑎2 = 2𝑎32+1

3𝑎22+2−𝑎2 = −𝑎32−2𝑎2+1

3𝑎22+2= 0

donc 𝑔(𝑎2) = 𝑎2. Donc 𝑔([𝑎2,1]) ⊂ [𝑎2,1] et 𝑔 est croissante et continue surcet intervalle. Nous obtenons successivement :— 𝑥𝑛 ∈ [𝑎2,1] pour tout entier 𝑛 ∈ N par stabilité de [𝑎2,1] par 𝑔, — 𝑥1 =𝑔(𝑥0) = 3

5 < 𝑥0, donc par récurrence (en utilisant la croissance de𝑔), on peutmontrer que :

∀𝑛, 𝑥𝑛+1 < 𝑥𝑛, c’est-à-dire que (𝑥𝑛) est décroissante. De plus cette suiteest bornée, donc elle converge, vers 𝑥ℓ vérifiant𝑔(𝑥ℓ) = 𝑥ℓ par continuité de𝑔. Or l’unique solution dans [0,1] de cette équation est 𝑎2. En conclusion :(𝑥𝑛) converge vers 𝑎2


1 — Soit 𝑛 ⩾ 2. Alors 𝑢𝑛 ⩾ 2𝑛 est équivalent à 2𝑛2

𝑛3−1 ⩾ 2𝑛 , soit 2𝑛3 ⩾ 2(𝑛3 −1) soit

0 ⩾ −2. Cette inégalité étant vérifiée, nous déduisons que 𝑢𝑛 ⩾ 2𝑛 .

2 — D’après le cours, la série (∑2𝑛

)𝑛⩾1

diverge, les séries étant positives, d’après



le théorème de comparaison, nous déduisons que :

(∑𝑢𝑛)𝑛⩾2 diverge.

3 — TERMINALPython

Python1 import matplotlib.pyplot as plt2

3 def liste_S():4 '''5 retourne une liste contenant S2, ..., S496 '''7 liste_somme_part = [8/7]8 S = liste_somme_part[0]9 for i in range(3, 50):

10 S += (2*i**2)/(i**3-1)11 liste_somme_part.append(S)12 return liste_somme_part13

14 # ON TRACE ENSUITE CES TERMES15 plt.plot(list(range(2, 50)), liste_S())

Puis on l’affiche.

1 plt.show()

Python


1 — La suite (𝑢𝑛) vérifie une relation de la forme 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛) avec 𝑓 ∶ 𝑥 ∈R ⟼ 𝑥 − 𝑥2, et 𝑢0 ∈]0,1[. Or, le graphe de 𝑓 est une parabole orientée vers lebas, de racines 0 et 1, le maximum étant atteint en − 1

(−2) = 12 , la valeur du maxi-

mum est alors 𝑓(1/2) = 12 − 1

4 = 14 . Donc 𝑓(]0,1[) =]0,1/4[⊂]0,1[, donc ]0,1[ est

un intervalle stable par 𝑓. Ainsi, par récurrence immédiate on déduit que que𝑢𝑛 ∈]0,1[ pour tout entier 𝑛 ∈N .Essayons d’appliquer le théorème de convergence monotone pour montrer laconvergence de la suite. Soit 𝑛 ∈ N, 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = −𝑢2

𝑛 ⩽ 0 donc la suite (𝑢𝑛) estdécroissante, elle est de plus minorée par zéro donc converge vers une limite finieℓ ∈ [0,1]. Puisque 𝑓 est continue, ℓ = ℓ−ℓ2 soit ℓ2 = 0, ceci implique que ℓ = 0.En conclusion :

lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = 0 .

2 — Montrons que (∑𝑢2𝑛) est convergente et calculons sa somme. Soit 𝑛 ∈ N,

alors

S𝑛 =𝑛∑𝑘=0

𝑢2𝑘 =

𝑛∑𝑘=0

(𝑢𝑘 −𝑢𝑘+1),

la dernière somme étant téléscopique, nous déduisons

S𝑛 = 𝑢0 −𝑢𝑛+1𝑛→∞−−−−→ 𝑢0.



Donc la série (∑𝑢2𝑛) est convergente , et ∑∞

𝑘=0𝑢2𝑘 = 𝑢0 .

Solution (exercice ANA.9.16) (Énoncé : 39) Soit donc 𝑛 ∈ N⋆. On cherche donc àencadrer la somme partielle.

𝑛∑𝑘=1

𝑢𝑘 = ∑1⩽𝑘⩽𝑛,𝑘=𝑝2𝑘

pour un certain entier𝑝𝑘

1𝑘

+ ∑1⩽𝑘⩽𝑛,𝑘 pas carré

1𝑘2

⩽𝑛∑𝑝=1

1𝑝2 +

𝑛∑𝑘=1

1𝑘2 = 2

𝑛∑𝑘=1

1𝑘2 .

Or, d’après le cours sur les séries, la suite (∑𝑛𝑘=1

1𝑘2 )𝑛∈N⋆

est convergente, donc estmajorée. Ainsi, (∑𝑛

𝑘=1𝑢𝑘)𝑛∈N⋆ est également majorée, et croissante, donc conver-gente. Ainsi, la série (∑𝑢𝑛) converge.


Chapitre ANA.10. Intégration

CHAPITRE ANA.10Intégration

Résumé & Plan

CE chapitre, comme le Chapitre ANA.9, se découpe en deux grandes parties : une première de révisions à propos descalculs de primitives et d’intégrales un segment, une seconde ayant pour but de d’étendre l’intégrale à des intervallesplus généraux que les segments. Nous en aurons besoin plus tard pour définir la notion de variable aléatoire réelle àdensité.

W

1. Primitives & Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Intégrale sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Lien entre primitive et intégrale . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Calculs de primitives et d’intégrales . . . . . . . . . . . . . 9

1.6. Sommes de Riemann & Intégration Numérique . . . . . . . 15

2. Intégration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Propriétés des intégrales convergentes . . . . . . . . . . . 26

2.3. Calculs d’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Intégrales de fonctions de signe constant . . . . . . . . . . 29

2.5. Fonctions de signe quelconque & Convergence absolue . . 31

2.6. Plan d’étude d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1. Intégrales sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


Le nombre d’or φ — i.e. la plus grande des solutions de𝑥2 −𝑥−1 = 0 — vérifie les deux identités suivantes :

• πφ = ∫∞

0

51+𝑥10 d𝑥,

• πφ = ∫

∞

0

5𝑥2

1+𝑥10 d𝑥.

Eh oui !

—Le saviez-vous?



1. PRIMITIVES & INTÉGRATION SUR UN SEGMENT

1.1. Primitives

Définition ANA.10.1Soit 𝑓 ∶ I ⟶ R une application définie sur un intervalle I de R. On appelleprimitive de 𝑓 sur I toute application F ∶ I ⟶R dérivable telle que F′ = 𝑓.

Remarque 1.1— On retiendranotamment que si 𝑓 admet uneprimitive, alors elleen admet même une infinité ! Il n’est donc pas question de parler de la primitivede 𝑓.

Proposition ANA.10.1 | Unicité des primitives à une constante additiveprès

Soit 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction définie sur un intervalle I. Si F ∶ I ⟶ R est uneprimitive de 𝑓 sur l’intervalle I, alors les primitives de 𝑓 sur I sont les fonctionsde la forme F+𝑐, où 𝑐 ∈R.

Preuve

PEN-FANCY

Théorème ANA.10.1 | Existencedeprimitivespour les fonctionscontinuesSoit 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction continue sur un intervalle I. Alors 𝑓 possède uneprimitive sur I.

Preuve Admis.

NotationΣCaret-right On note en général F = ∫𝑓 une primitive de 𝑓 si 𝑓 est continue, ainsi

Σque pour tout 𝑥 dans le domaine de continuité de 𝑓 :

F(𝑥) = ∫𝑥𝑓(𝑡)d𝑡 valeur en 𝑥 de cette primitive.a

Caret-right Comme nous allons le voir plus tard, 𝑥 ⟼ ∫𝑥

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 pour tout 𝑎 dans

le domaine de continuité de 𝑓, sera quant à elle l’unique primitive de 𝑓s’annulant en 𝑎.

Méthode (Justifier l’existence d’une primitive)WRENCH

Il suffit de montrer la continuité de l’intégrande.

1.2. Intégrale sur un segment

CadreCOGS

Dans toute cette sous-section, la notation [𝑎,𝑏] désignera toujours unsegment non trivial, c’est-à-dire défini par deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 <𝑏.

Nous allons commencer par les fonctions continues sur un segment puis généra-lisons de deux manières :

1 — si elle est prolongeable aux bornes d’intervalle bornée,2 — si elle est comme en 1)mais sur une subdivision. On dira qu’elle est continuepar morceaux.

Définition/Proposition ANA.10.1 | Intégrale d’une fonction continue ouprolongeable par continuité sur un segment

Soit 𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶R une fonction continue, ou continue sur [𝑎;𝑏[ (ou ]𝑎;𝑏]) etprolongeable par continuité en 𝑎 (ou 𝑏).1 — (Si 𝑓 est continue sur [𝑎,𝑏]) On appelle intégrale de 𝑓 sur le segment

aJe n’utiliserai pas cette notation dans ce cours



[𝑎,𝑏] le réel noté ∫𝑏

𝑎𝑓 ( ou encore ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑥)d𝑥, ∫

[𝑎,𝑏]𝑓(𝑥)d𝑥 ) défini par :

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑥)d𝑥 =

(défi.)[F(𝑥)]𝑏𝑎 =

(défi.)F(𝑏)−F(𝑎),

où F désigne une primitive de 𝑓.

On appelle intégrande de ∫𝑏

𝑎𝑓 la fonction 𝑓.

2 — (Si 𝑓 est prolongeable par continuité sur [𝑎,𝑏]) Si 𝑓 est seulementcontinue sur [𝑎;𝑏[, ]𝑎;𝑏]ou ]𝑎;𝑏[ etprolongeablepar continuité auxbornes,on appelle intégrale de 𝑓 sur le segment [𝑎,𝑏] l’intégrale de son prolongementcontinue.

Preuve La quantité ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑥)d𝑥 ne dépend pas de la primitive choisie.

PEN-FANCY

La définition de l’intégrale est donc bien posée.

Nousverronsdans la suitede ce chapitre ceque l’onpeut faire si𝑓n’estni continue,ni prolongeable par continuité.

Exemple 1— L’intégrale ∫π

0

sin𝑡𝑡

d𝑡 existe.

PEN-FANCY

Extension aux fonctions continues par morceaux.

Définition ANA.10.2 | Fonction continue/constante parmorceaux sur unsegment

Une fonction 𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶ R est dite continue par morceaux s’il existe unesubdivision de [𝑎,𝑏], i.e. une famille de points 𝑥0 < ⋯ < 𝑥N avec N un entier,vérifiant 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥N−1 < 𝑥N = 𝑏, et telle que, pour tout 𝑘 ∈J0 , 𝑛−1K :1 — 𝑓 est continue sur ]𝑥𝑘,𝑥𝑘+1[,2 — 𝑓 est prolongeable par continuité en 𝑥𝑘 et en 𝑥𝑘+1.On note 𝒞0

𝑚([𝑎,𝑏],R) l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur[𝑎,𝑏]. Si de plus 𝑓 est constante sur ]𝑥𝑘,𝑥𝑘+1[ pour tout 𝑘 ∈ J0, 𝑛−1K alors elleest dite constante par morceaux.

Attention×

Nous ne définirons pas ce qu’est une fonction continue par morceaux sur R,seulement sur des segments.

Remarque 1.2— On peut aussi montrer que 𝒞0𝑚([𝑎,𝑏],R) est un R-sous-espace

vectoriel de l’ensemble des fonctions de [𝑎,𝑏] dans R. Pour une telle fonction, larestriction de 𝑓 à chaque ]𝑥𝑘,𝑥𝑘+1[ est donc prolongeable en une fonction conti-nue sur [𝑥𝑘,𝑥𝑘+1] ce qui permet de donner un sens à ∫

𝑥𝑘+1

𝑥𝑘𝑓||]𝑥𝑘,𝑥𝑘+1 . Ce constat

nous mène à la définition suivante.



Définition ANA.10.3 | Intégrale sur un segment d’une fonction continueparmorceaux

Sous les notations de la définition précédente, on définit alors l’intégrale de la

fonction continue par morceaux 𝑓 comme étant le réel noté ∫𝑏

𝑎𝑓 (ou encore

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑥)d𝑥, ∫

[𝑎,𝑏]𝑓(𝑥)d𝑥) égal à :

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑥)d𝑥 =

𝑛−1∑𝑘=0

∫𝑥𝑘+1

𝑥𝑘𝑓||]𝑥𝑘,𝑥𝑘+1[.

On peut vérifier que ce nombre est indépendant de la subdivision choisie.

Méthode (Justifier que l’intégrale d’une fonction définie sur un segment

existe)WRENCH

Montrer que la fonction est :Caret-right continue sur le segment,Caret-right ou que l’on peut la prolonger en une fonction continue,Caret-right ou encore qu’elle est continue par morceaux.

Remarque 1.3— Changer une fonction enunnombrefini de points ne changepas l’intégrale. On observe que si deux fonctions continues par morceaux sur[𝑎,𝑏] sont égales sauf en un nombre fini de points, alors elles ont même intégralesur [𝑎,𝑏]. Autrement dit,modifier une fonction 𝑓 continue parmorceaux sur [𝑎,𝑏]en un nombre fini de points ne modifie pas son intégrale sur [𝑎,𝑏].

Exemple 2— Calculons ∫𝑛

0e⌊𝑡⌋ d𝑡.

PEN-FANCY

Valeur moyenne. Les éléments qui suivent seront le coeur de la définitionde l’es-pérance d’une variable aléatoire à densité. Nous savons déjà «moyenner» des va-leurs discrètes, dans le cas continu on remplace essentiellement le symbole ∑par

∫.

Définition ANA.10.4 | Valeur moyenne & Valeur moyenne pondéréeSoit 𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶R une fonction continue par morceaux.1 — (Moyenne) Onappelle valeurmoyennede 𝑓 sur le segment [𝑎,𝑏] le réel :

1𝑏−𝑎 ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡.

2 — (Moyenne pondérée) Si 𝑝 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶ R est une fonction continue telleque :

∫𝑏

𝑎𝑝(𝑡)d𝑡 = 1.

Alors on appelle valeur moyenne de 𝑓 pondérée par 𝑝 le réel

∫𝑏

𝑎𝑝(𝑡)𝑓(𝑡)d𝑡.

Remarque 1.4— Analogie avec l’espérance d’une variable aléatoire d’universimage {𝑥1,…,𝑥𝑛} Avec des notations évidentes, on a l’analogie suivante :

∫𝑏

𝑎𝑝(𝑡)𝑓(𝑡)d𝑡 ⇌

N∑𝑖=1

𝑝𝑖𝑥𝑖

entre le cas continu et le cas discret.



Exemple 3— Par exemple, cela permet de donner un sens à la valeur moyenne

d’une intensité électrique 𝑖 sur un intervalle de temps [0,T] : 1T ∫

T

0𝑖(𝑡)d𝑡 ou de

toute autre grandeur physique sur un intervalle de temps borné.

Exemple 4— Déterminer la valeur moyenne de sin et de sin2 sur [0,2π].

PEN-FANCY

1.3. Propriétés

Proposition ANA.10.2 | Propriétés de l’intégrale.Soient I un intervalle et (𝑎,𝑏) ∈ I2. Alors :

1 — (Linéarité) L’application ψ ∶|||||||

𝒞0𝑚(I,R) ⟶ R

𝑓 ⟼ ∫𝑏

𝑎𝑓

est une forme

linéaire, i.e. pour tout (𝑓,𝑔) ∈ (𝒞0𝑚(I,R))2 et (λ,μ) ∈R2, on a :

∫𝑏

𝑎(λ𝑓+μ𝑔) = λ ∫

𝑏

𝑎+μ ∫

𝑏

𝑎𝑔.

2 — (Positivité) Si 𝑓 ∈ 𝒞0𝑚(I,R) et 𝑎 ⩽ 𝑏 , alors :

𝑓 ⩾ 0 ⟹ ∫𝑏

𝑎𝑓 ⩾ 0.

3 — (Croissance) Si (𝑓,𝑔) ∈ (𝒞0𝑚(I,R))2 et 𝑎 ⩽ 𝑏 , alors :

𝑓 ⩽ 𝑔 ⟹ ∫𝑏

𝑎𝑓 ⩽ ∫

𝑏

𝑎𝑔.

4 — (Relation de Chasles) Soient 𝑓 ∈ 𝒞0𝑚(I,R) et 𝑐 ∈ I. Alors :

∫𝑐

𝑎𝑓 = ∫

𝑏

𝑎𝑓+ ∫

𝑐

𝑏𝑓.

Preuve1 — Constater que si F et G sont des primitives de 𝑓 et 𝑔, alors λF+μG estune primitive de λ𝑓+μ𝑔.2 — Si F est une primitive de 𝑓, alors l’hypothèse nous donne F′ ⩾ 0, donc

que F est croissante. On obtient immédiatement ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 = F(𝑏)−F(𝑎) ⩾ 0

puisque 𝑎 ≤ 𝑏.3 — Il suffit d’appliquer le résultat précédent à la fonction 𝑔−𝑓 et d’utiliserla linéarité.4 — Si F est une primitive, alors ∫

𝑐

𝑎𝑓 = F(𝑐) − F(𝑎) = F(𝑏) − F(𝑎) + F(𝑐) −

F(𝑏) = ∫𝑏

𝑎𝑓+ ∫

𝑐

𝑏𝑓.

Exemple 5— Pour tout 𝑥 ∈ R+, on pose : A(𝑥) = ∫1

0

e𝑡

1+𝑥𝑡d𝑡. On montre alors

que A est bien définie sur R+ et que A est décroissante.

PEN-FANCY



Théorème ANA.10.2 | Inégalité triangulaire &Majoration de l’intégraled’un produit

Soit (𝑎,𝑏) ∈ R2 tel que 𝑎 ⩽ 𝑏 et deux fonctions 𝑓 ∈ 𝒞0𝑚([𝑎,𝑏],R) et 𝑔 ∈

𝒞0𝑚([𝑎,𝑏],R). Alors :

||||∫𝑏

𝑎𝑓|||| ⩽ ∫

𝑏

𝑎||𝑓||,

||||∫𝑏

𝑎𝑓𝑔

|||| ⩽ sup𝑥∈[𝑎,𝑏]

||𝑔(𝑥)|| ⋅ ∫𝑏

𝑎||𝑓|| .

Preuve La première inégalité provient de la croissance de l’intégrale etde l’encadrement−|𝑓| ⩽ 𝑓 ⩽ |𝑓|.Pour la deuxième, onposeM = sup

𝑥∈[𝑎,𝑏]

||𝑔(𝑥)||,

puis on écrit :||||∫

𝑏

𝑎𝑓𝑔

|||| ⩽ ∫𝑏

𝑎|𝑓𝑔| ⩽ ∫

𝑏

𝑎M.|𝑓| = M. ∫

𝑏

𝑎|𝑓|.

Exemple 6—

1 — Pour tout 𝑛 ∈ N, posons I𝑛 = ∫1

0

𝑥𝑛

1+𝑥2 d𝑥 et J𝑛 = ∫1

0𝑥𝑛 arctan(1 − 𝑛𝑥)d𝑥.

Montrons que les suites (𝑛I𝑛) et (𝑛J𝑛) sont bornées.PEN-FANCY

2 — Donnons un équivalent en 0+ de la fonction F définie par F(𝑥) = ∫𝑥2

𝑥

e𝑡

𝑡d𝑡.

Indication : On pourra, par exemple, chercher à encadrer le numérateur de l’inté-grande.PEN-FANCY

Théorème ANA.10.3 | Fonction positive d’intégrale nulleSoit𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶R . On supposeque𝑓 est continue et de signe constant. Alors :

1 — ∫𝑏

𝑎𝑓 = 0 ⟺ 𝑓 est la fonction nulle.

2 — (Contraposée) 𝑓 > 0 (resp. > 0) ⟹ ∫𝑏

𝑎𝑓 > 0 (resp. < 0).

Attention×

La continuité est indispensable, continue par morceaux ne suffit pas.

Preuve1 — Seule l’implication directe n’est pas triviale. On la montre pour 𝑓 ⩾ 0(quitte à changer𝑓 en−𝑓) en raisonnantpar l’absurde. Supposonsqu’il existe𝑥0 ∈ [𝑎,𝑏] tel que 𝑓(𝑥0) > 0. Alors, en utilisant la définition de la continuité,on obtient l’existence de η > 0 tel que pour tout 𝑥 ∈]𝑥0 −η,𝑥0 +η[,

𝑓(𝑥) ∈ ]𝑓(𝑥0)

2,3𝑓(𝑥0)

2 [ .



Ennotant𝑔 = 3𝑓(𝑥0)2 𝟙]𝑥0−η,𝑥0+η[, on a alors 𝑓 ⩾ 𝑔puisque 𝑓 est positive, et donc

∫𝑏

𝑎𝑓 ⩾ ∫

𝑏

𝑎𝑔 = 2η

3𝑓(𝑥0)2

= 3η𝑓(𝑥0) > 0.

Donc ∫𝑏

𝑎𝑓 > 0 — contradiction.

2 — Contraposer la première partie.

Théorème ANA.10.4 | Inégalité de CAUCHY-SCHWARZ [H.P]Soit (𝑓,𝑔) ∈ (𝒞𝑚([𝑎,𝑏],R))2. Alors :

||||∫𝑏

𝑎𝑓𝑔

|||| ⩽ √∫𝑏

𝑎𝑓2.√∫

𝑏

𝑎𝑔2.

Dans le cas où 𝑓 et 𝑔 sont continues, on a égalité si et seulement si (𝑓,𝑔) estune famille liée.

Preuve Considérer l’application :

P ∶||||||

R ⟶ R,

λ ⟼ ∫𝑏

𝑎(λ𝑓+𝑔)2.

PEN-FANCY

1.4. Lien entre primitive et intégrale

Par définition de l’intégrale, il est nécessaire de connaître une primitive pour lacalculer. L’inverse est donc vrai aussi comme le précise le résultat suivant.

Théorème ANA.10.5 | Unique primitive s’annulant en un point en termed’intégrale à une borne variable

Soient Iun intervalle,𝑎unpoint de I et 𝑓 ∶ I ⟶R une fonction continue. Alorsl’application

F ∶||||||

I ⟶ R

𝑥 ⟼ ∫𝑥

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡

est l’unique primitive de 𝑓 sur I qui s’annule en 𝑎 et est de classe 𝒞1. Parconséquent, si 𝑓 est de classe 𝒞1 sur I, alors elle est égale à l’intégrale de sadérivée :

∀𝑥 ∈ I, 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) = ∫𝑥

𝑎𝑓′(𝑡)d𝑡. (RFA)

L’égalité précédente est appeléea relation fondamentale de l’analyse.

Preuve

PEN-FANCY

aassez pompeusement



Remarque 1.5— L’écriture d’une fonction sous la forme Équation (RFA) peutdonner de précieux renseignements sur 𝑓 si on en connaît certains sur 𝑓′. Notam-ment, on retrouve l’inégalité des accroissements finis par ce biais. Elle est donctrès utile en pratique.

Exemple 7— Inégalité des accroissements finis Soit 𝑓 ∈ 𝒞1([𝑎,𝑏],R) avec 𝑎 < 𝑏et telle que 𝑓′ soit bornée par M ∈ R+. Montrer, en écrivant 𝑓 comme intégrale desa dérivée, que :

||𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)|| ⩽ M|𝑏−𝑎| .

PEN-FANCY

Les intégrales à borne(s) variable(s). Dans ce paragraphe, nous nous intéressonsaux intégrales de fonctions dont l’une ou les deux bornes de l’intégrales dépen-dant d’une variable. Le théorème ci-dessous est clairement hors-programme, ilfaut donc uniquement en connaître la méthode associée.

Théorème ANA.10.6 | Intégrale à deux bornes variables [H.P]Soient I un intervalle, 𝑎 un point de I et 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction continue.Soient par ailleurs 𝑢,𝑣 ∶ J ⟶ I deux fonctions dérivables sur J où J est un in-tervalle réel. Alors la fonction

𝑔 ∶ 𝑥 ⟼ ∫𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡 est dérivable sur J et sa dérivée est donnée par :

∀𝑥 ∈ J, 𝑔′(𝑥) =dd𝑥

(∫𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡) = 𝑓(𝑣(𝑥))×𝑣′(𝑥)−𝑓(𝑢(𝑥))×𝑢′(𝑥).

(Derintbvar)

Preuve Puisque 𝑓 est continue, choisissons une primitive de 𝑓 notéeF.

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Méthode (Calcul d’une intégrale à bornes variables)WRENCH

Soient I un intervalle, 𝑎 un point de I et 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction continue.Soient par ailleurs 𝑢,𝑣 ∶ J ⟶ I deux fonctions définies sur J où J est un inter-valle réel. Pour étudier la dérivabilité de 𝑥 ∈ J ⟼ ∫

𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡, on :

1 — introduit une primitive de 𝑓, notée F.2 — Alors : ∫

𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡 = F∘𝑣(𝑥)−F∘𝑢(𝑥).

3 — Justifier la dérivabilité et dériver à l’aide la formule de dérivation d’une



WRENCH composée.4 — d

d𝑥 (∫𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡) = 𝑓 ∘𝑣(𝑥)𝑣′(𝑥)−𝑓 ∘𝑢(𝑥)𝑢′(𝑥) — cette formule ne doit

pas être apprise par coeur, il faut savoir la retrouver en dérivant une compo-sée.

Un point important est que le résultat ne dépend pas de F ; inutile donc dechercher à calculer F explicitement.

Exemple 8— Intégrales à bornes variables Justifier que 𝑓,𝑔 sont dérivables, où𝑓,𝑔 sont définies ci-dessous, puis calculer leur dérivée.

1 — 𝑓 ∶ 𝑥 ∈R⟼ ∫𝑥

0√1+𝑡2 d𝑡. En déduire les variations de 𝑓.

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2 — 𝑔 ∶ 𝑥 ∈R⟼ ∫𝑥2

−𝑥arctan(𝑡2)d𝑡. En déduire les variations de 𝑔 sur R+.

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1.5. Calculs de primitives et d’intégrales

Nous avons vu précédemment que calculer une primitive revient à un calcul d’in-tégrale. Pour ces dernières nous disposons de deux techniques principales de cal-

cul : l’intégration par parties et le changement de variable.Notez bien que les deux théorèmes qui suivent sont vraies pour des fonctions in-tégrées continues : pour les continues par morceaux, il faut les appliquer entredeux points d’une subdivision.

1.5.1. Intégration par parties

Théorème ANA.10.7 | Intégration par partiesSoient 𝑢 et 𝑣 deux fonctions de classe 𝒞1 sur le segment [𝑎,𝑏]. Alors :

∫𝑏

𝑎𝑢(𝑡)𝑣′(𝑡) d𝑡 = [𝑢(𝑡)𝑣(𝑡)]𝑏𝑎 − ∫

𝑏

𝑎𝑢′(𝑡)𝑣(𝑡) d𝑡.

Attention×

Toute intégration par parties doit être justifiée.

Preuve (Point clef — Intégrer la formule de dérivation d’un produit)Notons que les hypothèses assurent que les fonctions intégrées (𝑢𝑣′ et 𝑢′𝑣)sont continues, donc intégrables, sur [𝑎,𝑏]. En regroupant les deux inté-grales, on fait apparaître la dérivée d’un produit :

∫𝑏

𝑎𝑢(𝑡)𝑣′(𝑡) d𝑡+ ∫

𝑏

𝑎𝑢′(𝑡)𝑣(𝑡) d𝑡

= ∫𝑏

𝑎(𝑢(𝑡)𝑣′(𝑡)+𝑢′(𝑡)𝑣(𝑡)) d𝑡

= ∫𝑏

𝑎(𝑢𝑣)′(𝑡) d𝑡 = [𝑢(𝑡)𝑣(𝑡)]𝑏𝑎.

d’où le résultat annoncé.

Remarque 1.6— Avec la notation «une primitive de» Pour tout 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏] :

∫𝑥𝑢(𝑡)𝑣′(𝑡) d𝑡 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)− ∫

𝑥𝑢′(𝑡)𝑣(𝑡) d𝑡.

On omet tous les termes constants dans la formule classique (appliquée à 𝑏 = 𝑥pour tout 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏]) et 𝑎 n’importe quel point dans l’ensemble de définition.



Méthode (Quand utiliser l’intégration par parties ?)WRENCH

pour intégrer un produit de deux fonctions, dont l’une est facile à primitiveret l’autre est facile à dériver. Exemple : une exponentielle multipliée par unpolynôme.

Exemple 9— Calculer les intégrales suivantes (où 𝑥 ∈R).

1 — ∫𝑥

0arctan𝑡 d𝑡,

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2 — ∫𝑥

0𝑡 ln(𝑡2 +1) d𝑡.

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3 — ∫𝑥

0(𝑡2 −𝑡+3)e2𝑡 d𝑡.

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4 — ∫𝑥

0e𝑡 sin𝑡 d𝑡.

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1.5.2. Changement de variable

Théorème ANA.10.8 | Changement de variables.Soient 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction définie et continue sur un intervalle I, et φ ∶[α,β] ⟶ I une fonction de classe 𝒞1 appelée changement de variables. Alors :

∫φ(β)

φ(α)𝑓(𝑢)d𝑢 = ∫

β

α𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡.

«On pose 𝑢 = φ(𝑡)»

Preuve (Point clef — Intégrer la formule de dérivation d’une compo-sée.)Notons que 𝑓 et 𝑓 ∘φ.φ′ sont continues sur I et sur [α,β] respectivement, cequi assure l’existence des intégrales. Introduisons une primitive F de 𝑓 surI (il en existe puisque 𝑓 est continue). Alors F ∘ φ est dérivable de dérivée



F′ ∘φ.φ′ = 𝑓 ∘φ.φ′. Ainsi :

∫φ(β)

φ(α)𝑓(𝑥) d𝑥 = [F(𝑥)]φ(β)φ(α) = F(φ(β))−F(φ(α))

et

∫β

α𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡) d𝑡 = [F∘φ(𝑡)]βα = F(φ(β))−F(φ(α))

d’où le résultat.

Remarque 1.7— Avec la notation «une primitive de» Pour tout 𝑥 ∈ [α,β] :

∫φ(𝑥)

𝑓(𝑡)d𝑡 d𝑡 = ∫𝑥𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡) d𝑡.

On applique la formule à β = 𝑥 pour tout 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏] et α n’importe quel point telque φ(α) soit dans l’ensemble de définition de 𝑓.

Remarque 1.8 — Onpeut lire l’égalitédechangementdevariabledans lesdeuxsens!

1 — Soit on réalise un changement «explicite» en l’ancienne variable 𝑡, on pose«𝑥 = φ(𝑡)» (de droite à gauche dans la formule). La formule de changement devariable est donc ici assez peu utilisée, puisque l’on sait primitiver 𝑓 ∘φ×φ′.2 — Soit on réalise un changement «implicite» en l’ancienne variable 𝑥, on pose«𝑥 = φ(𝑡)» (de gauche à droite dans la formule), et parfois on peut avoir besoind’expliciter 𝑡 en fonction de 𝑥, autrement dit de supposer l’existence de φ−1 (φbijectif), ou au moins de savoir exprimer les bornes initiales comme image par φde deux bornes α,β :

∫β

α𝑓(𝑥)d𝑥 = ∫

φ−1(β)

φ−1(α)𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡.

Méthode (Mise en place d’un changement de variable)WRENCH

En pratique, on écrit les calculs ci-après au brouillon :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑥 = φ(𝑡)

d𝑥 = φ′(𝑡)d𝑡

𝑥 = φ(α) ⟸ 𝑡 = α

𝑥 = φ(β) ⟸ 𝑡 = β

en justifiant queφ est de classe𝒞1a. Ce n’est qu’après que l’on pourra écrirel’égalité :

∫φ(β)

φ(α)𝑓(𝑥)d𝑥 = ∫

β

α𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡) d𝑡.

Attention×

Tout changement de variable doit être justifié.

Exemple 10— Formule de changement de variable dans le «sens ⇒»

1 — Soit 𝑓 ∶ [−𝑎,𝑎] ⟶ R une fonction continue (où 𝑎 > 0). Montrer que si 𝑓 estpaire, alors ∫

𝑎

−𝑎𝑓(𝑥) d𝑥 = 2 ∫

𝑎

0𝑓(𝑥) d𝑥. Que peut-on dire si 𝑓 est impaire?

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2 — Calculer ∫1

−1√1−𝑥2 d𝑥.

aLe changement de variable vous sera donné dans la pratique



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3 — Soit I = ∫π2

0cos2𝑥 d𝑥. Montrer que I = ∫

π2

0sin2𝑥 d𝑥, puis déterminer la va-

leur de I.PEN-FANCY

Exemple 11— Formule de changement de variable dans le sens «sens⇐»

1 — Calculer ∫4

1

e1+√𝑡

√𝑡d𝑡.

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2 — Calculer ∫π/2

0sin3 𝑡cos2 𝑡 d𝑡.

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Proposition ANA.10.3 | Intégrale d’une fonction continue périodiqueSoit 𝑓 ∶ R ⟶ R une fonction continue, supposée de plus T-périodique avecT > 0. Alors,

∀𝑎 ∈R, ∫T

0𝑓(𝑡)d𝑡 = ∫

𝑎+T


Ainsi, l’intervalle d’intégrationd’une fonctionT-périodique est invariant par toutetranslation dirigée par T 𝑖.

Preuve PEN-FANCY Soit 𝑎 ∈R. Alors par périodicité on établit facilement que :pour tout 𝑎 ∈R,

∫𝑎+T

T𝑓(𝑡)d𝑡 = ∫

𝑎

0𝑓(𝑢)d𝑢

via le changement de variable affine 𝑢 = 𝑡 − T. De plus, par la relation deChasles : ∀𝑎 ∈R,

∫𝑎+T

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 = ∫

0

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 + ∫

T

0𝑓(𝑡)d𝑡 + ∫

𝑎+T

T𝑓(𝑡)d𝑡

= ∫0


T

0𝑓(𝑡)d𝑡 + ∫

𝑎

0𝑓(𝑢)d𝑢.

Les termes 1 et 3 s’annulant, il vient la propriété annoncée.



1.5.3. Primitives usuelles

Dans les tableaux suivants, pour chaque fonction 𝑓 définie sur un intervalle I pré-cisé, on donne une primitive F. Les primitives suivantes doivent être connues parcœur, ou a minima être retrouvées rapidement.

𝑓(𝑥) = ... F(𝑥) = ... 𝑥 ∈ I ⊂ ... Condition

(𝑥−𝑎)α(𝑥−𝑎)α+1

α+1]𝑎,∞[ α ≠ −1

1𝑥−𝑎

ln |𝑥−𝑎| R ⧵ {𝑎} 𝑎 ∈R

e𝑎𝑥e𝑎𝑥

𝑎R 𝑎 ∈R∗

ln |𝑥| 𝑥 ln |𝑥|−𝑥 R∗

sin(𝑎𝑥)−cos(𝑎𝑥)

𝑎cos(𝑎𝑥)

sin(𝑎𝑥)𝑎

R 𝑎 ∈R∗

1𝑥2 +1

arctan𝑥 R

Méthode (Essayer de se ramener à une notation sous forme de fonction

puissance)WRENCH

Beaucoupd’expressionpeuvent semettre sous la forme « (𝑥−𝑎)α » : la formulede primitivation de cette expression est donc centrale.

Exemple 12— Déterminer, sur un ensemble à préciser, une primitive des fonc-tions suivantes.

1 — 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 1√1−3𝑥

.

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2 — 𝑔 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑥(√1+𝑥2)3.

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Méthode (Primitives de fractions rationnelles)WRENCH

On sait déterminer une primitive des fonctions de la forme 𝑥 ⟼1

𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles et 𝑎 ≠ 0. Il suffit de dis-

cuter selon la valeur du discriminant Δ :1 — si Δ > 0, alors on factorise le dénominateur pour se ramener à 𝑥 ⟼

1(𝑥−α)(𝑥−β)

, puis on écrit la fraction comme somme de deux autres qui se

primitivent avec un logarithme.2 — Si Δ = 0, alors on factorise le dénominateur pour se ramener à 𝑥 ⟼

1(𝑥−α)2

,3 — si Δ < 0, alors on met le dénominateur sous forme canonique et on

effectue un changement de variable pour se ramener à 𝑢 ⟼1

𝑢2 +1.

Exemple 13— Déterminer une primitive des fonctions suivantes :

𝑥 ⟼1

2𝑥2 +𝑥−1, 𝑥 ⟼

14𝑥2 −4𝑥+1

et 𝑥 ⟼1

𝑥2 +𝑥+1.

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Méthode (Calculs d’une primitive avec des techniques d’intégration)WRENCH

Si I est un intervalle et 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction continue. Alors pour calculerune primitive de 𝑓,1 — soit on arrive à la deviner au moyen d’une formule de dérivation,2 — soit on se fixe 𝑎 ∈ I et on calcule ∫

𝑥

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 pour tout 𝑥 ∈ I au moyen

éventuellement de techniques d’intégration classiques — intégration parparties ou changement de variables.

Exemple 14— Calculer une primitive de 𝑡 ⟼ ln𝑡𝑡2 sur un domaine à préciser.

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Et enfin, nous rappelons une méthode usuelle concernant les fonctions trigono-métriques.

Méthode (Calcul d’une primitive avec des fonctions trigonométriques)WRENCH

1 — Commencer par linéariser l’expression, à l’aide de nombres complexessi besoin.2 — Primitiver avec les formules usuelles.

Exemple 15— Déterminer, via deuxméthodes, uneprimitivede𝑥 ⟼ cos3𝑥sin𝑥sur un ensemble à préciser.

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1.6. Sommes de Riemann & Intégration Numérique

Commençons avec un premier exemple : celui d’une fonction constante.

Exemple 16— Si 𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶ R est une fonction constante égale à 𝑘 ∈ R, alors :

∫𝑏

𝑎𝑓 = (𝑏 −𝑎)𝑘. Représenter cette formule sur un dessin.

PEN-FANCY

Maintenant si 𝑓 est constante par morceaux, alors avec les notations de la Défini-tion ANA.10.3, l’intégrale de 𝑓 vaut :

𝑛−1∑𝑘=0

∫𝑥𝑘+1

𝑥𝑘𝑓||]𝑥𝑘,𝑥𝑘+1[ =

𝑛−1∑𝑘=0

(𝑥𝑘+1 −𝑥𝑘)α𝑘

où α𝑘 désigne la valeur que prend le prolongement continue de 𝑓 sur [𝑥𝑘,𝑥𝑘+1].Cette quantité est donc une somme d’aires de rectangles. Maintenant, dans le casgénéral, nous avons le théorème suivant.

𝑥

𝑦

FIG. ANA.10.1. : Méthode des rectangles à gauche en vert, et gauche en bleu

Définition/Proposition ANA.10.2 | Convergence des sommes de Riemann1 — Soit 𝑓 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶ R une fonction continue. Pour tout 𝑛 ∈ N∗, on appellesomme de Riemann ou somme des rectangles gauche la quantité :

S𝑛(𝑓) =𝑏−𝑎

𝑛

𝑛−1∑𝑘=0

𝑓(𝑎 +𝑘𝑏−𝑎

𝑛).



Alors : S𝑛(𝑓)𝑛→∞−−−−→ ∫

𝑏


2 — (Estimation de l’erreur dans le cas 𝒞1) Si on suppose en outre que lafonction 𝑓 est de classe 𝒞1, alors on a la majoration de l’erreur suivante :

||||∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 −S𝑛(𝑓)

|||| ⩽(𝑏 −𝑎)2

2𝑛sup[𝑎,𝑏]

|𝑓′|.

Remarque 1.9— Ici, nous avons pris une subdivision régulière de [𝑎,𝑏], mais lerésultat subsiste pour des subdivisions générales dont le pas tendrait vers zéro.

Preuve (Point clef — Relation de Chasles,majoration d’intégrales, in-égalité des accroissements finis)La convergence dans le cas où 𝑓 est de classe 𝒞0 est admise. Nous allonsmontrer la majoration de l’erreur dans le cas 𝒞1, ce qui suffira à prouver laconvergence par théorème d’encadrement : en effet,

lim𝑛→∞

(𝑏 −𝑎)2

2𝑛sup[𝑎,𝑏]

|𝑓′| = 0.

En notant 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘𝑏−𝑎

𝑛pour 𝑘 ∈ J0 , 𝑛K, et M1 = sup

[𝑎,𝑏]|𝑓′|, on a :

0 ⩽||||∫

𝑏


||||

=||||

𝑛−1∑𝑘=0

∫𝑥𝑘+1

𝑥𝑘(𝑓(𝑡)−𝑓(𝑥𝑘)) d𝑡

||||

⩽𝑛−1∑𝑘=0

∫𝑥𝑘+1

𝑥𝑘|𝑓(𝑡)−𝑓(𝑥𝑘)| d𝑡

⩽𝑛−1∑𝑘=0

∫𝑥𝑘+1

𝑥𝑘M1 |𝑡 −𝑥𝑘| d𝑡

⩽𝑛−1∑𝑘=0

M1 [(𝑡 −𝑥𝑘)2

2]𝑥𝑘+1

𝑥𝑘

⩽ M1(𝑏 −𝑎)2

2𝑛.

inégalités triangulaires pour lessommes/intégrales

Donc par théorème d’encadrement, nous obtenons :

lim𝑛→∞

||||∫𝑏


|||| = 0.

Remarque 1.10— Intérêt pour calculer une valeur approchée de l’intégraleLes sommes de Riemann s’interprètent comme une approximation de l’intégralepar une somme d’aires (algébriques) de rectangles, d’où le nom de méthode desrectangles (gauche). Sur chaque segment [𝑥𝑘,𝑥𝑘+1], on approche 𝑓(𝑡) par 𝑓(𝑥𝑘).On aurait pu approcher 𝑓(𝑡) par 𝑓(𝑥𝑘+1), ce qui entraîne :

𝑏−𝑎𝑛

𝑛∑𝑘=1

𝑓(𝑎 +𝑘𝑏−𝑎

𝑛) 𝑛→∞−−−−→ ∫

𝑏


Cette seconde méthode s’appelle la méthode des rectangles (droite). Nous allonscréer une fonctionPythoncréant laméthodedes rectangles dans la prochaine sec-tion.

Exemple 17— SommesdeRiemann Identifier les sommes ci-dessous commedessommes de Riemann, et en déduire les valeurs données des limites.

1 —𝑛∑𝑘=1

1𝑛+𝑘

𝑛→∞−−−−→ ln2.

2 —𝑛−1∑𝑘=0

√𝑛2 −𝑘2

𝑛2𝑛→∞−−−−→

π4.

PEN-FANCY



Exemple 18— Somme de Riemann plus évoluée – Extrait A-ENV Soit la suite de

fonction (𝑓𝑛) définie pour tout 𝑛 ∈N et 𝑥 ∈ [0,1] par : 𝑓𝑛(𝑥) = 1𝑛+1

𝑘=𝑛∑

𝑘=−𝑛

||||𝑥−𝑘𝑛

||||.

1 — Montrer que 𝑓𝑛 est paire pour tout entier 𝑛 ∈N.2 — Montrer que : lim

𝑛→∞𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥2 +1 pour tout 𝑥 ∈R.

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Remarque 1.11— Interprétationde l’intégrale en termed’air sous la courbe

1 — Si 𝑓 est à valeurs positives, ∫[𝑎,𝑏]

𝑓 s’interprète comme l’aire sous la courbe

représentative de 𝑓.2 — Si 𝑓 est à valeurs quelconques, alors il s’agit de l’aire algébrique, c’est-à-direcomptée positivement lorsque 𝑓(𝑡) ⩾ 0, et négativement lorsque 𝑓(𝑡) ⩽ 0.

L’intégrale de 𝑓 sur [𝑎,𝑏] est donc la définition de l’aire algébrique (aire avec unsigne) sous la courbe d’une fonction 𝑓.

Intégration numérique. Lorsque l’on ne sait pas calculer explicitement une inté-grale, nous pouvons l’approcher à l’aide d’une somme de Riemann comme nousvenons le voir. Soit 𝑓 une fonction continue définie sur un intervalle [𝑎,𝑏], et 𝑛 unentier non nul. Pour tout 𝑖 ∈ J0 , 𝑛K, on note 𝑥𝑖 = 𝑎+𝑖𝑏−𝑎𝑛 . On définit

S𝑛(𝑓) =𝑏−𝑎

𝑛

𝑛−1∑𝑖=0

𝑓(𝑥𝑖) ou𝑏−𝑎

𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑓(𝑥𝑖) .

D’après le théorème de convergence des sommes de Riemann, nous savons que :

lim𝑛→∞

S𝑛(𝑓) = ∫𝑏


La quantité S𝑛(𝑓) pour 𝑛 assez grand peut donc servir d’approximation de

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡. On en déduit alors le script Python suivant.

Approximation d’intégrales par la méthode des rectangles

PythonMéthode des rectangles (gauche)

1 def rectangle_RG(f, a, b, n):2 '''3 Calcule la somme des rectangles gauche associée à f4 '''5 S = 06 h = (b-a)/n7 for i in range(n):8 S += f(a+h*i)9 return S*h

PythonMéthode des rectangles (droite)

1 def rectangle_RD(f, a, b, n):2 '''3 Calcule la somme des rectangles droite associée à f

/ Lycée Louis BARTHOU – Pau 17 BCPST2 0.2850000000000001 Creative-Commons


Python4 '''5 S = 06 h = (b-a)/n7 for i in range(1,n+1):8 S += f(a+h*i)9 return S*h

Par exemple rectangle_RG(lambda x:x**2,0,1,10) renvoie0.38500000000000006.

Par contre rectangle_RD(lambda x:x**2,0,1,10) renvoie 2020 / 2021 qui esttrès proche de la bonne valeur (1/3). Pour cette fonction, la méthode des rec-tangles à droite semble donc être plus efficace.

Il existe beaucoup d’autres méthodes : celle du point milieu (méthode des rec-tangles où l’on choisit lemilieu des intervalles commehauteur), celle des trapèzes(les rectangles sont remplacés par des trapèzes), de Simpson (les rectangles sontdes branches de paraboles).

2. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE

En 1ère année, et dans la section précédente, nous avons donné un sens à

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡

pour une fonction continue ou continue par morceaux sur [𝑎,𝑏]. On souhaiteraitétendre la notion pour intégrer des fonctions continues définies sur I un inter-valle quelconque. Par exemple I = [𝑎,+∞[ ou I = [𝑎,𝑏[, I =]𝑎,𝑏[. Disons-le desuite, comme pour les sommes inifinies de nombres réels, cela ne sera pas tou-jours possible. Regardons un premier exemple.

Exemple 19— Est-il possible de définir ∫1

0

1√𝑡

d𝑡 et ∫1

0

1𝑡2d𝑡?

Les deux fonctions 𝑡 ⟼ 1√𝑡

et 𝑡 ⟼ 1𝑡2 ne sont ni continues sur [0,1] ni prolon-

geables par continuité sur ce même intervalle, il n’est donc pas possible de définirleur intégrale avec la Section 1.

1 — Une idée est donc d’analyser l’existence éventuelle des deux limites sui-vantes :

limε→0

∫1

ε

1√𝑡

d𝑡, limε→0

∫1

ε

1𝑡2d𝑡.

𝑥

𝑦

𝑥 ⟼ 1𝑥2

𝑥 ⟼ 1√𝑥

On voit que 𝑥 ⟼ 1𝑥2 diverge beaucoup plus vite en zéro que 𝑥 ⟼ 1

√𝑥. Plus préci-

sément, nous avons pour tout ε > 0 :PEN-FANCY



Ainsi, par ce biais, nous pouvons définir ∫1

0

1√𝑡

d𝑡 même si 𝑡 ⟼ 1√𝑡

n’est pas

continue ou prolongeable en zéro. En revanche, ce n’est pas le cas de 𝑡 ⟼ 1𝑡2 .

2 — Peut-on, et comment, définir ∫∞

1

1√𝑡

d𝑡 et ∫∞

1

1𝑡2d𝑡?

PEN-FANCY

Tout l’enjeu est donc, comme nous venons de le voir, de justifier l’existence deslimites précédentes.

Remarque 2.1 — Similarité des résultats par rapport aux sériesToute fonction

du type ε > 0 ⟼ ∫𝑎

ε𝑓(𝑡)d𝑡 (resp. A > 0 ⟼ ∫

A

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡) avec 𝑓 fonction conti-

nue sur [ε,𝑎] pour tout ε et 𝑎 (resp. pour tout 𝑎 et A) est monotone si 𝑓 est designe constant. Ainsi, d’après le théorème de la limite monotone, il nous suffirade montrer qu’elles sont majorées pour justifier l’existence de leur limite quandε ⟶ 0 (resp. A ⟶ ∞).Ainsi, nous aurons le même type de résultats dans la suite que dans le Cha-pitre ANA.9 sur les suites et séries :

1 — des résultats sur les fonctions positives incluant un théorème de comparai-son (l’hypothèse sera vérifiée ou non grâce à des équivalents, développements li-mités, etc.) comme pour les séries.2 — Puis nous passerons à l’extension aux fonctions à valeurs quelconques. Laconvergence absolue des séries sera remplacée par l’existence de l’intégrale de lavaleur absolue, on parlera toujours de «convergence absolue».

2.1. Généralités

Tout d’abord définissons ce qu’on appelle intégrale sur un intervalle quelconque(notion analoguepour les séries : définitionde série convergente, de sommed’unesérie etc.).

2.1.1. Intégrale impropre sur [𝑎,𝑏[

CadreCOGS

Dans cette sous-section, les fonctions seront définies sur un intervalle[𝑎,𝑏[ avec 𝑎 un réel et 𝑏 ∈R∪{+∞}. Par exemple : [0,1[ ou [0,+∞[.

Définition ANA.10.5 | Intégrale partielleSoit 𝑓 ∈ 𝒞0([𝑎,𝑏[,R). Alors on appelle intégrale partielle de 𝑓 en 𝑏 la fonction||||||

[𝑎,𝑏[ ⟶ R,

B ⟼ ∫B


Définition ANA.10.6 | Intégrale convergente/divergente

Caret-right On dit que l’intégrale ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge si lim

B→𝑏−∫B

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 existe. On

pose alors :

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 = lim

B→𝑏−∫B


On appelle alors intégrande de ∫𝑏

𝑎𝑓 la fonction 𝑓.

Caret-right La limite est alors appelée l’intégrale de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑏.Caret-right Déterminer la nature de l’intégrale c’est déterminer si elle converge ou

diverge.



Définition/Proposition ANA.10.3 | Intégrale faussement impropreSoit 𝑓 ∈ 𝒞0([𝑎,𝑏[,R) et supposons que 𝑓 est prolongeable par continuité en 𝑏,de prolongement 𝑓. Alors :

l’intégrale ∫𝑏

𝑎𝑓 est convergente, et : ∫

𝑏

𝑎𝑓 = ∫

𝑏

𝑎𝑓

On dit alors que l’intégrale est faussement impropre en 𝑏.

Preuve En effet, notons F une primitive de𝑓 ainsi que B ∈ [𝑎,𝑏[. Alors, puisque B < 𝑏

∫B


B

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 = F(B)−F(𝑎)

B→𝑏−−−−−→ F(𝑏)−F(𝑎)

= ∫𝑏

𝑎𝑓d𝑡.

car F est continue

par définition de l’intégrale

Remarque 2.2— L’adjectif « impropre» signifie qu’il y a un passage à la limite der-rière, et donc que l’on ne peut définir l’intégrale qu’avec la seule Section 1.


Soit 𝑓 ∈ 𝒞0([𝑎,𝑏[,R). L’intégrale ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 est dite impropre (ou généralisée)

en 𝑏 si :1 — ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge, mais

2 — 𝑓 n’est pas prolongeable en 𝑏.

Exemple 20— L’intégrale ∫1

0

ln𝑡𝑡 −1

d𝑡 est faussement impropre en 1.

PEN-FANCY

Définition ANA.10.8 | Reste d’une intégrale impropre

Soit 𝑓 ∈ 𝒞0([𝑎,𝑏[,R) telle que ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge, on appelle reste en 𝑎 de

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡, la fonction

|||||||||

]𝑎,𝑏] ⟶ R,

B ⟼ ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡

intégrale totale

− ∫B

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡

intégrale partielle

= ∫𝑏

B𝑓(𝑡)d𝑡.

Remarque 2.3— La définition analogue à celle du reste (R𝑛 = S− S𝑛) pour lesséries (voir le Chapitre ANA.9).

Proposition ANA.10.4 | Le reste d’une intégrale convergente tendvers zéro

Soit 𝑓 ∈ 𝒞0([𝑎,𝑏[,R) telle que ∫𝑏

𝑎𝑓 converge. Alors son reste tend vers zéro au

point où l’intégrale est impropre, i.e.

lim𝑥→𝑏−

∫𝑏

𝑥𝑓(𝑡)d𝑡 = 0.

Preuve

PEN-FANCY

La propriété précédente est donc identique à celle déjà connue pour les séries. Enrevanche, ce qui suit nous montre une grande différence.

Attention (Différence avec les séries)×

Soit 𝑓 une fonction continue sur l’intervalle [𝑎,∞[. Alors :

∫∞

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge ⇏ lim

𝑡→∞𝑓(𝑡) = 0.



Exemple 21— Contre-exemple Considérons une fonction «triangulaire parmor-ceaux» dont les triangles sont d’aires 1

𝑛2 , de hauteur 1, centrés sur le milieu dusegment [𝑛,𝑛+1], i.e.

𝑓(𝑥) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

𝑛2 (𝑥−𝑛− 12 )+1 si 𝑥 ∈ [𝑛+ 1

2 − 1𝑛2 ,𝑛+ 1

2] ,−𝑛2 (𝑥−𝑛− 1

2 )−1 si 𝑥 ∈ [𝑛+ 12 ,𝑛+ 1

2 + 1𝑛2 ] ,

0 sinon.

1

2|

3|

4|

aires valant 1𝑛2

5|

FIG. ANA.10.2. : Graphe de la fonction 𝑓

Rappelons que la série (∑1𝑘2 )𝑘⩾1

est convergente. Soit 𝑥 ⩾ 2, alors grâce à la rela-

tion de CHASLES, nous avons :

∀𝑥 ⩾ 2, ∫𝑥

2𝑓(𝑡)d𝑡 ⩽

⌊𝑥⌋+1∑𝑘=2

1𝑘2 ⩽

+∞∑𝑘=2

1𝑘2 .

Donc les intégrales partielles sont majorées, la fonction 𝑓 est positive, donc 𝑓 estd’intégrale convergente. Et pourtant, il est clair qu’elle ne converge pas vers zéro.

Proposition ANA.10.5 | Si généralisée en 𝑏, la borne du bas n’a pas d’im-portance

Soit 𝑓 ∈ 𝒞0([𝑎,𝑏[,R) et 𝑐 ∈ [𝑎,𝑏[. Alors :

∫𝑏

𝑎𝑓 converge ⟺ ∫

𝑏

𝑐𝑓 converge.

Remarque 2.4— La nature d’une intégrale impropre ne dépend donc que ducomportement de 𝑓 au voisinage de la borne impropre.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 22— Étudier la nature des intégrales suivantes et déterminer leur valeuren cas de convergence.

1 — ∫1

0𝑡 ln(𝑡)d𝑡,

PEN-FANCY



2 — ∫1

0ln(𝑡)d𝑡,

PEN-FANCY

3 — ∫+∞

0

11+𝑡2

d𝑡.

PEN-FANCY

4 — ∫π2

0tan𝑡d𝑡.

PEN-FANCY

2.1.2. Intégrale impropre sur ]𝑎,𝑏]

Dans le cas d’une fonction 𝑓 continue sur ]𝑎,𝑏] avec 𝑏 un réel et 𝑎 ∈ R∪ {−∞},on définit de la même manière l’intégrale de 𝑓 comme la limite éventuelle de

∫𝑏

A𝑓(𝑡)d𝑡 lorsque A tend vers 𝑎 à droite. En particulier on appellera :

1 — intégrale partielle de 𝑓 en 𝑎 la fonction||||||

]𝑎,𝑏] ⟶ R,

A ⟼ ∫𝑏

A𝑓(𝑡)d𝑡.

L’inté-

grande d’une intégrale désigne alors encore une fois la fonction 𝑓.

2 — Et reste en 𝑎 de ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡, lorsque ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge, la fonction

|||||||

]𝑎,𝑏] ⟶ R,

A ⟼ ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 − ∫

𝑏

A𝑓(𝑡)d𝑡 = ∫

A


Exemple 23— L’intégrale ∫π2

0

sin(𝑡)𝑡

d𝑡 est faussement impropre en π2 .

PEN-FANCY

2.1.3. Intégrale impropre sur ]𝑎,𝑏[

On traite dans ce paragraphe le cas d’une fonction définie sur ]𝑎,𝑏[, avec 𝑎 ∈ R∪{−∞} et 𝑏 ∈R∪{+∞}.



Définition/Proposition ANA.10.4 | Intégrale doublement impropre

Soit 𝑓 ∈ 𝒞0(]𝑎,𝑏[,R) (−∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ +∞). On dit que l’intégrale ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡

converge si :

∃ 𝑐 ∈]𝑎,𝑏[, ∫𝑐

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡, et ∫

𝑏

𝑐𝑓(𝑡)d𝑡 convergent.

On définit dans ce cas : ∫𝑏


𝑐


𝑏

𝑐𝑓(𝑡)d𝑡. De plus, la dé-

finition — du point de vue de la convergence et de la valeur de l’intégrale —ne dépend pas du choix de 𝑐.

Preuve Montrons que la valeur de l’intégrale ne dépend pas du choix de𝑐. En effet, si l’on choisit 𝑐′ ∈R tel que 𝑐′ ⩾ 𝑐par exemple et que les intégralesconvergent, alors :

∫𝑐′


𝑏

𝑐′𝑓(𝑡)d𝑡 = ∫

𝑐


𝑐′

𝑐𝑓(𝑡)d𝑡 + ∫

𝑏

𝑐′𝑓(𝑡)d𝑡

= ∫𝑐


𝑏

𝑐𝑓(𝑡)d𝑡.

On montre de-même que la convergence ne dépend pas du 𝑐 considéré.

Remarque 2.5— Puisque la définition vous autorise n’importe quel 𝑐, choisissez-en un qui vous arrange. Par exemple, pour l’étude de ∫

∞

−∞e−|𝑡| d𝑡, il est plus inté-

ressant d’étudier

∫∞

0e−|𝑡| d𝑡 et ∫

0

−∞e−|𝑡| d𝑡,

que d’étudier

∫∞

173

e−|𝑡| d𝑡 et ∫173

−∞e−|𝑡| d𝑡.

Attention (Deux limites distinctes)×

Si 𝑎 = −∞ et 𝑏 = +∞, il ne suffit pas que limA→∞

∫A

−A𝑓(𝑡)d𝑡 existe et soit finie

pour garantir l’existence de l’intégrale, mais plutôt que :

limA→∞

∫𝑐

−A𝑓(𝑡)d𝑡, et lim

B→∞∫B

𝑐𝑓(𝑡)d𝑡

existent et sont finies pour un certain 𝑐 ∈R. Prenons par exemple, la fonction𝑡 ⟼ 𝑡, pour tout A ∈ R+, ∫

A

−A𝑡d𝑡 = 0 et pourtant ∫

∞

−∞𝑡d𝑡 diverge au sens

précédent.

Exemple 24— L’intégrale ∫+∞

−∞

11+𝑡2

d𝑡 est convergente, et de plus :

∫+∞

−∞

11+𝑡2

d𝑡 = π.

PEN-FANCY

Exemple 25— Existence et calcul de ∫+∞

−∞e−|𝑡−1| d𝑡.

PEN-FANCY



2.1.4. Intégrale impropre en un nombre fini de points

Définition ANA.10.9 | Intégrale d’une fonction continue sauf en unnombre fini de points

Soit 𝑓 ∶]𝑎,𝑏[→R (−∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ +∞). On suppose qu’il existe une subdivision𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏, et telle que, pour tout 𝑘 ∈ J0 , 𝑛−1K, 𝑓est définie et continue sur chaque intervalle ]𝑥𝑘,𝑥𝑘+1[.

On dit que l’intégrale ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge si, pour tout 𝑘 ∈ J0,𝑛 − 1K,

∫𝑥𝑘+1

𝑥𝑘𝑓(𝑡)d𝑡 converge. En cas de convergence, on pose

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 =

𝑛−1∑𝑘=0

∫𝑥𝑘+1

𝑥𝑘𝑓(𝑡)d𝑡.

Remarque 2.6 — L’hypothèse ne signifie pas que 𝑓 est continue parmorceaux : onne suppose pas que 𝑓 est prolongeable par continuité aux points 𝑥𝑘, les intégralesintervenant dans la somme ne sont donc pas «faussement impropre».

Remarque 2.7—

Caret-right Le résultat ne dépend pas de la subdivision choisie.Caret-right Il faut vérifier la convergence de toutes les intégrales aux bornes où elle est

généralisée.

Exemple 26— Que faut-il étudier comme intégrales pour étudier la convergence

de ∫+∞

0

ln(𝑡)𝑡2 −1

d𝑡? Nous réaliserons l’étude complète plus tard.

PEN-FANCY

Valeur moyenne généralisée. On généralise ici sans peine la notion de valeurmoyenne sur un intervalle quelconque, en cas de convergence.

Définition ANA.10.10 | Valeur moyenne & Valeur moyenne pondéréeSoit 𝑓 une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de pointssur un intervalle I de la forme ]𝑎,𝑏], [𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏[ avec (−∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ +∞),ainsi que 𝑝 ∶ [𝑎,𝑏] ⟶ R une fonction continue sauf éventuellement en unnombre fini de points telle que :

∫𝑏

𝑎𝑝(𝑡)d𝑡 = 1.

En cas de convergencede l’intégrale, on appelle valeurmoyenne de 𝑓 sur Ipon-dérée par 𝑝 le réel :

∫𝑏

𝑎𝑝(𝑡)𝑓(𝑡)d𝑡.

Cette définition sera la base de la définition de l’espérance pour les variables aléa-toires à densité dans le Chapitre ALEA.15.

2.1.5. Intégrales de référence

Tous les résultats qui suivent doivent être vus commedes exercices, aucun résultatsur les intégrales usuelles n’est clairement au programme de BCPST.

Proposition ANA.10.6 | Intégrande exponentielle décroissant vers zéro[H.P]

Soit 𝑎 ∈R. Alors ∫+∞

0e−𝑎𝑡 d𝑡 converge ⟺ 𝑎 > 0.



Preuve

PEN-FANCY

Le résultat ci-dessous précise la convergence des intégrales associées à des fonc-tions du type 𝑡 ⟼ 1

𝑡α avec α ∈R. Rappelons-nous que nous avons établi en intro-duction les natures suivantes :

Caret-right ∫1

0

1𝑡2d𝑡 diverge

Caret-right ∫1

0

1√𝑡

d𝑡 converge,

Caret-right ∫∞

1

1𝑡2d𝑡 converge,

Caret-right ∫∞

0

1𝑡2d𝑡 diverge.

Il semble donc se dessiner deux critères suivant que l’on se place autour de zéro,ou au voisinage de +∞. Précisons cela.

Proposition ANA.10.7 | Intégrales de RIEMANN [H.P]Soit α ∈R.1 — (Caractère impropre en+∞) ∫

∞

1

1𝑡α

d𝑡 converge ⟺ α > 1.

2 — (Caractère impropre en zéro) ∫1

0

1𝑡α

d𝑡 converge ⟺ α < 1.

Attention×

Vous devez savoir refaire la preuve de cette proposition pour la valeur de αconsidérée.

Attention×

Le critère au voisinage de +∞ est le même que pour les séries. En revanche,en zéro, la convergence a lieu pour les valeurs strictement inférieures à 1.

Preuve

1 — PEN-FANCY Soit A > 1. Calculons : ∫A

1

1𝑡α

d𝑡 = ∫A

1𝑡−α d𝑡 =

⎧⎨⎩

[ 𝑡1−α

1−α ]A

1= 1

1−α (A1−α −1) si α ≠ 1,

[ln |𝑡|]A1 = lnA si α = 1. On constate alors que, lorsque A ⟶ ∞,

∫A

1

1𝑡α

d𝑡 converge vers une limite finie si et seulement si 1−α < 0 i.e. α < 1.

2 — PEN-FANCY Soit ε > 0. Calculons : ∫1

ε

1𝑡α

d𝑡 = ∫1

ε𝑡−α d𝑡 =

⎧⎨⎩

[ 𝑡1−α

1−α ]1

ε= 1

1−α (1−ε1−α) si α ≠ 1,

[ln |𝑡|]1ε = − lnε si α = 1. On constate alors que, lorsque ε ⟶ 0+,

∫1

ε

1𝑡α

d𝑡 converge vers une limite finie si et seulement si 1−α > 0 i.e. α < 1.

Le résultat suivant est admis, cette intégrale interviendra dans un chapitre ulté-rieur.

Théorème ANA.10.9 | Intégrale de GAUß

L’intégrale ∫+∞

−∞e−

𝑡22 d𝑡 est convergente, et ∫

+∞

−∞e−

𝑡22 d𝑡 = √2π.

Preuve La valeur est admise, la convergence est provisoirement ad-mise.



2.2. Propriétés des intégrales convergentes

Proposition ANA.10.8 | Propriétés de l’intégrale.Soent 𝑎,𝑏 ∈R (−∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ +∞) tels que 𝑎 ≠ 𝑏. Alors :1 — (Linéarité) L’ensemble des fonctions 𝑓 des fonctions définies et conti-nues (ou éventuellement sauf en un nombre fini de points) sur ]𝑎,𝑏[ ([𝑎,𝑏[ ou

]𝑎,𝑏]) telles que ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge est unR-espace vectoriel surR, et l’appli-

cation 𝑓 ⟼ ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 est une forme linéaire sur cet espace, i.e. si ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡

et ∫𝑏

𝑎𝑔(𝑡)d𝑡 convergent avec 𝑓,𝑔 continues (ou éventuellement sauf en un

nombrefinidepoints) sur ]𝑎,𝑏[ etλ,μ ∈R, alors ∫𝑏

𝑎(λ𝑓(𝑡)+μ𝑔(𝑡))d𝑡 converge

aussi et

∫𝑏

𝑎(λ𝑓(𝑡)+μ𝑔(𝑡))d𝑡 = λ ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 +μ ∫

𝑏

𝑎𝑔(𝑡)d𝑡.

2 — Avec les mêmes notations que précédemment,

Caret-right si ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge et ∫

𝑏

𝑎𝑔(𝑡)d𝑡 diverge, alors ∫

𝑏

𝑎(𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡))d𝑡 di-

verge.

Caret-right Si ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 et ∫

𝑏

𝑎𝑔(𝑡)d𝑡 divergent, on ne peut pas conclure pour la

nature de ∫𝑏

𝑎(𝑓(𝑡)+𝑔(𝑡))d𝑡.

3 — (Positivité) Soit 𝑓 définie et continue sur [𝑎,𝑏[ ([𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏]). Si

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge, et si 𝑓 est positive, alors on a ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 ≥ 0.

4 — (Croissance) Avec les hypothèses précédentes, si, pour tout 𝑡 ∈

]𝑎,𝑏[ ([𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏]), 𝑓(𝑡) ≤ 𝑔(𝑡), et les intégrales ∫𝑏


𝑏

𝑎𝑔(𝑡)d𝑡

convergent, alors ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 ≤ ∫

𝑏

𝑎𝑔(𝑡)d𝑡.

5 — (Relation de Chasles) Soit 𝑐 ∈]𝑎,𝑏[. Si ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge, il en est

de même de ∫𝑐


𝑏

𝑐𝑓(𝑡)d𝑡. Dans ce cas ∫

𝑏


𝑐

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 +

∫𝑏

𝑐𝑓(𝑡)d𝑡.

Preuve Nous admettons toutes ces propriétés qui découlent de simplespassages à la limite dans celles que nous connaissons déjà pour l’intégralesur un segment.

Attention×

On veillera donc, avant d’invoquer la linéarité de l’intégrale pour des inté-grales généralisées, à justifier la convergence de toutes les intégrales apparais-sant dans le calcul.

Remarque 2.8— Cela vient du fait général suivant : unedifférencededeux termespeut avoir une limite même si aucun des termes n’en possède une.

Exemple 27— d’égalité illicite L’intégrale ∫+∞

1

1𝑡(𝑡 +1)

d𝑡 est convergente maison ne peut pas écrire :

∫+∞

1

1𝑡(𝑡 +1)

d𝑡 = ∫+∞

1(1𝑡−

1𝑡 +1

)d𝑡 = ∫+∞

1

d𝑡𝑡

− ∫+∞

1

d𝑡𝑡 +1

COMPLÈTEMENT FAUX!

car les deux intégrales du membre de droite sont divergentes.

Enfin, nous pouvons généraliser sans peine la relation fondamentale de l’analysedans le cas où l’une des bornes est infinie. Cela nous servira notamment dans leChapitre ALEA.15.

Proposition ANA.10.9 | Intégrale à une borne variable

Soit 𝑓 ∈ 𝒞0(R,R) telle que ∫∞

−∞𝑓(𝑡)d𝑡 converge. Alors la fonction

𝑔 ∶ 𝑥 ∈R⟼ ∫𝑥

−∞𝑓(𝑡)d𝑡 est dérivable sur R et sa dérivée est donnée par :



∀𝑥 ∈ I, 𝑔′(𝑥) =dd𝑥

(∫𝑥

−∞𝑓(𝑡)d𝑡) = 𝑓(𝑥).

Preuve

PEN-FANCY

2.3. Calculs d’intégrale

Nous cette sous-section, nous voyons comment intégrer par parties et réaliser deschangements de variable dans les intégrales généralisées.

2.3.1. Technique d’intégration par parties

En pratique, les intégrations par parties se feront toujours en revenant à des in-tégrales sur un segment, et en passant à la limite dans les bornes ensuite (ce quimontrera alors la convergences des intégrales généralisées qui apparaissent dansle calcul). La formule déjà connue reste donc vraie.

Méthode (intégration par parties pour les intégrales généralisées)WRENCH

1 — Revenir à une intégrale partielle.2 — Utiliser la formule déjà connue sur le segment.3 — Chercher à passer à la limite.

Attention×

Toute intégration par parties doit être justifiée!

Exemple 28— Calculer ∫+∞

0𝑡e−𝑡 d𝑡.

PEN-FANCY

2.3.2. Changement de variables

Pour simplifier, on énonce la formule de changement de variable dans le cas d’in-tégrales généralisées endeuxpoints. Puisqu’une intégrale surun intervalle du type]𝑎,𝑏]ou [𝑎,𝑏[peut être vue commegénéralisée sur ]𝑎,𝑏[, la formule est donc vraiepour tout type d’intégrale généralisée.

Théorème ANA.10.10 | Changement de variablesSoit (α,β) ∈ R∪{±∞} tel que α < β, et φ une fonction, appelée changement devariables, de classe 𝒞1 strictement monotone sur ]α,β[ de limites :

𝑎 = limα+

φ, 𝑏 = limβ+

φ.

Soit de plus 𝑓 ∈ 𝒞0(]𝑎,𝑏[,R) (si 𝑎 < 𝑏) ou 𝑓 ∈ 𝒞0(]𝑏,𝑎[,R) (si 𝑎 > 𝑏). Alors lesintégrales

∫β

α𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡 et ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑢)d𝑢 sont de même nature,

et en cas de convergence :

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑢)d𝑢 = ∫

β

α𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡.

«On pose 𝑢 = φ(𝑡)»



Attention×

Tout changement de variable doit être justifié !

Preuve Écrivons tout d’abord la formule de changement de variable dé-jà connue sur les segments. Soient alors 𝑥 ∈]α,β[ et 𝑦 ∈ [𝑥,β[, alors puisqueφ est de classe 𝒞1 :

∫φ(𝑦)

φ(𝑥)𝑓(𝑢)d𝑢 = ∫

𝑦

𝑥𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡. (ChgtVarSeg)

Constatons également que par hypothèse φ réalise une bijection de ]α,β[vers ]𝑎,𝑏[.

⟸ Supposons que ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑢)d𝑢 converge, i.e. pour tout 𝑐 ∈]𝑎,𝑏[, les inté-

grales

∫𝑐

𝑎𝑓(𝑢)d𝑢 et ∫

𝑏

𝑐𝑓(𝑢)d𝑢 convergent.

Ainsi, par hypothèse la fonction 𝑦 ⟼ ∫φ(𝑦)φ(𝑥) 𝑓(𝑢)d𝑢 admet une limite

lorsque 𝑦 ⟶ β−, donc c’est le cas aussi de 𝑦 ⟼ ∫𝑦𝑥 𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡 d’après

(ChgtVarSeg). Ceci étant vrai pour tout 𝑥, et commeφ est bijective donc toutréel 𝑐 ∈]α,β[ s’écrit sous la forme φ(𝑥) pour un certain 𝑥, on obtient que :

∀𝑐 ∈]α,β[, ∫β

𝑐𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡 converge.

En faisant de-même pour 𝑥 ⟼ ∫φ(𝑦)φ(𝑥) 𝑓(𝑢)d𝑢 lorsque 𝑥 ⟶ α+, on obtient

que

∀𝑐 ∈]α,β[, ∫𝑐

α𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡 converge.

⟹ On montre exactement de la même façon, i.e. en exploitant

(ChgtVarSeg) que si ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑢)d𝑢 converge, alors ∫

β

α𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡 converge

aussi. Enfin, reprenons (ChgtVarSeg) : pour 𝑥 ∈]α,β[ et 𝑦 ∈ [𝑥,β[, nousavons

∫φ(𝑦)

φ(𝑥)𝑓(𝑢)d𝑢 = ∫

𝑦

𝑥𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡.

Donc en faisant 𝑥 ⟶ α, on déduit

∫φ(𝑦)

𝑎𝑓(𝑢)d𝑢 = ∫

𝑦

𝑎𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡)d𝑡,

puis le résultat en faisant 𝑦 ⟶ β.

On notera que, étant donné que φ est une bijection de ]α,β[ sur ]𝑎,𝑏[, nous avonslim𝑡→α

φ(𝑡) = 𝑎 et lim𝑡→β

φ(𝑡) = 𝑏dans le cas oùφ est strictement croissante (et l’inverse

sinon). C’est ce point qui est utilisé de manière centrale dans la preuve et qui n’apas lieu d’être sur un segment car «on ne passe pas à la limite.»

Remarque 2.9— La méthode de rédaction d’un changement de variable

Exemple 29— Déterminer la nature des intégrales suivantes à l’aide du change-ment de variable indiqué. Les calculer en cas de convergence.

1 — I = ∫+∞

0

1(1+𝑢2)2

d𝑢. Indication : On posera 𝑢 = tan(𝑡).

2 — I = ∫+∞

3

1𝑡(ln(𝑡))

d𝑡. Indication : On posera 𝑡 = e𝑣.

PEN-FANCY



Corollaire ANA.10.1 | Conséquence à l’aide de la parité1 — Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle ]−𝑎,𝑎[ avec 𝑎 ∈]0,+∞]. Si𝑓 est paire alors ∫

𝑎

−𝑎𝑓(𝑡)d𝑡, ∫

𝑎

0𝑓(𝑡)d𝑡 sont de même nature et ∫

𝑎

−𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 =

2 ∫𝑎

0𝑓(𝑡)d𝑡, en cas de convergence.

2 — Soit𝑓une fonction continue surun intervalle ]−𝑎,𝑎[ avec𝑎 ∈]0,+∞]. Si𝑓est impaire alors ∫

𝑎

−𝑎𝑓(𝑡)d𝑡, ∫

𝑎

0𝑓(𝑡)d𝑡 sont demêmenature et ∫

𝑎

−𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 =

0, en cas de convergence.

Preuve Nous faisons la preuve dans le cas pair, l’autre est identique.

PEN-FANCY

Exemple 30— On a ∫+∞

0e−

𝑡22 d𝑡 = √

π2

et ∫+∞

0e−𝑡

2d𝑡 =

√π2

. PEN-FANCY Puisque

la fonction 𝑡 ⟼ e−𝑡22 est une fonction paire, et que ∫

+∞

−∞e−

𝑡22 d𝑡 converge,1 alors

1Résultat toujours admis pour le moment

∫+∞

0e−

𝑡22 d𝑡 converge également. De plus,

∫+∞

0e−

𝑡22 d𝑡 =

12 ∫

+∞

−∞e−

𝑡22 d𝑡 =

12√2π = √

π2

.

Faisons le changement de variable «𝑢 = 𝑡√2

» dans ∫+∞

0e−

𝑡22 d𝑡, ce changement de

variable est possible puisque la fonction 𝑡 ⟼ 𝑡√2

est 𝒞1 strictement croissante.Ainsi,

∫+∞

0e−

𝑡22 d𝑡 = √2 ∫

+∞

0e−𝑢

2d𝑢 ⟹ ∫

+∞

0e−𝑢

2d𝑢 =

√π2

.

2.4. Intégrales de fonctions de signe constant

CadreCOGS

Nous nous intéressons dans cette section aux intégrales de fonctions po-sitives. Les résultats analogues s’appliquent aux fonctions négatives enconsidérant ∫(−𝑓).

Comme pour les séries, l’étude spéciale des intégrandes positives est motivée parle fait suivant ; l’intégrale partielle d’une intégrale à intégrande positive est mono-tone.

Théorème ANA.10.11Soit 𝑓 une fonction continue et positive sur [𝑎,𝑏[ (resp. ]𝑎,𝑏]). Alors :

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge ⟺ la fonction 𝑥 ⟼ ∫

𝑥

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 est majorée sur

[𝑎,𝑏[ ( resp. 𝑥 ⟼ ∫𝑏

𝑥𝑓(𝑡)d𝑡 sur ]𝑎,𝑏] ).



Preuve

PEN-FANCY

Théorème ANA.10.12 | Critèrede comparaisondes intégralesde fonctionspositives

Soient 𝑓,𝑔 ∈ 𝒞0([𝑎,𝑏]) (resp. ]𝑎,𝑏]), telles que pour tout 𝑡 ∈ [𝑎,𝑏[ (resp. ]𝑎,𝑏]),

0 ≤ 𝑓(𝑡) ≤ 𝑔(𝑡).

1 — Si l’intégrale ∫𝑏

𝑎𝑔(𝑡)d𝑡 converge, alors l’intégrale ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge.

2 — Si l’intégrale ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 diverge, alors l’intégrale ∫

𝑏

𝑎𝑔(𝑡)d𝑡 diverge.

Méthode (Comment obtenir en pratique l’inégalité 0 ⩽ 𝑓 ⩽ 𝑔 ?)WRENCH

Comme pour les séries, on utilisera des développements limités. Parexemple,1 — dans le cas de 𝑓 définie sur [𝑎,𝑏[ : si 𝑓 ∼

𝑡→𝑏−𝑔 alors en particulier, pour

𝑡 assez proche de 𝑏 (i.e. il existe η > 0 tel que si 𝑡 ∈]𝑏 − η,𝑏[), nous avons :12𝑔(𝑡) ⩽ 𝑓(𝑡) ⩽ 3

2𝑔(𝑡).2 — dans le cas de 𝑓 définie sur ]𝑎,𝑏] : si 𝑓 ∼

𝑡→𝑎−𝑔 alors en particulier, pour

𝑡 assez proche de 𝑎 (i.e. il existe η > 0 tel que si 𝑡 ∈]𝑎,𝑎 + η[), nous avons :12𝑔(𝑡) ⩽ 𝑓(𝑡) ⩽ 3

2𝑔(𝑡).

Il est aussi possible d’utiliser des relations en petit 𝑜 : 𝑓 =𝑡→𝑏−

o(𝑔) nous dit enparticulier que 𝑓/𝑔 est bornée au voisinage de 𝑏 si 𝑔 ne s’annule pas. Mêmechose pour 𝑎+.

Méthode (Convergence d’intégrale à intégrande composée d’exponen-

tielles décroissantes)WRENCH

On compare à la fonction 𝑡 ⟼ 1𝑡2 à l’aide de croissances comparées.

On peut enfin montrer la convergence de l’intégrale ci-dessous.

Exemple 31— L’intégrale ∫+∞

−∞e𝑡22 d𝑡 est convergente.

PEN-FANCY

Exemple 32— Retour sur l’Exemple 26. Existence de ∫+∞

0

ln(𝑡)𝑡2 −1

d𝑡?

PEN-FANCY



2.5. Fonctions de signe quelconque & Convergence absolue

Définition ANA.10.11 | Intégrale absolument convergenteSoit 𝑓 une fonction continue définie sur ]𝑎,𝑏[, [𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏]. On dit que


𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 est absolument convergente (ou que 𝑓 est intégrable) si

∫𝑏

𝑎|𝑓(𝑡)|d𝑡 est convergente.

Définition ANA.10.12 | Intégrale semi-convergenteSoit 𝑓 une fonction continue définie sur ]𝑎,𝑏[, [𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏]. On dit que


𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 est semi-convergente si ∫

𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 converge mais pas

∫𝑏

𝑎||𝑓(𝑡)||d𝑡.

Rappelons un fait déjà constaté dans le chapitre sur les séries.

Remarque 2.10— Une fonction réelle peut s’écrire comme différence de deuxfonctions positives. Si 𝑓 une fonction, alors notons :

𝑓+ =max (𝑓,0) et 𝑓− = −min (−𝑓,0) ,

et alors :

𝑓 = 𝑓+ −𝑓−.

Nous avions déjà constaté que :

𝑓+ ⩽ ||𝑓|| , 𝑓− ⩽ ||𝑓|| .

𝑥

𝑦

𝑥 ⟼ 𝑥+𝑥 ⟼ 𝑥−

𝑥 ⟼ 𝑥

𝑥 ⟼ |𝑥|

Ainsi, le théorème de comparaison pour les intégrales nous mène tout droit ausuivant.

Théorème ANA.10.13 | La convergence absolue implique la convergence

Soit 𝑓 une fonction continue définie sur ]𝑎,𝑏[, [𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏]. Si ∫𝑏

𝑎𝑓 est ab-

solument convergente, alors elle est convergente.

Preuve Identique aux série : d’une part,

0 ⩽ 𝑓+ ⩽ ||𝑓|| , 0 ⩽ 𝑓− ⩽ ||𝑓|| .



Or, ∫𝑏

𝑎||𝑓|| converge, donc par théorème de comparaison pour les fonctions

positives, ∫𝑏

𝑎𝑓+ et ∫𝑏

𝑎 𝑓−. Donc puisque 𝑓 = 𝑓+ −𝑓−, ∫𝑏𝑎 𝑓 converge.

Exemple 33— L’intégrale ∫1

0sin(

1𝑡)d𝑡 est absolument convergente.

PEN-FANCY

Exemple 34— Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que l’intégrale

∫+∞

0

sin(𝑡)𝑡

d𝑡 est convergente.

PEN-FANCY

Exemple 35— Déterminer la nature et la valeur en cas de convergence de

∫+∞

−∞

sin(𝑡4)𝑡3

d𝑡 .

PEN-FANCY

Proposition ANA.10.10 | Structure d’espace vectorielSoient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies sur ]𝑎,𝑏[, [𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏] d’intégrales

∫𝑏


𝑏

𝑎𝑔(𝑡)d𝑡 absolument convergentes et (λ,μ) ∈K2. Alors :

1 — ∫𝑏

𝑎(λ𝑓+μ𝑔) est absolument convergente.

2 — En particulier, l’ensemble des fonctions définies sur ]𝑎,𝑏[, [𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏]d’intégrales absolument convergentes est un espace vectoriel.

Preuve

PEN-FANCY



Proposition ANA.10.11 | Inégalité triangulaire pour l’intégrale absolumentconvergente d’une fonction.

Soit 𝑓 une fonction continue définie sur ]𝑎,𝑏[, [𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏]. Si ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 est

absolument convergente, alors :

||||∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡

|||| ≤ ∫𝑏

𝑎|𝑓(𝑡)|d𝑡.

Preuve

PEN-FANCY

Attention×

Pour les fonctions qui ne sont pas de signe constant, les théorèmes de com-paraison ne s’appliquent pas : considérer sur [1,+∞[ 𝑓(𝑡) = sin(𝑡)

√𝑡et 𝑔(𝑡) =

sin(𝑡)√𝑡

+ |sin(𝑡)|𝑡 , elles sont équivalentes en +∞ mais leurs intégrales ne sont pas

de même nature.

2.6. Plan d’étude d’une intégrale

Méthode (Plan d’étude d’une intégrale)WRENCH

Soit 𝑓 continue ou continue sauf en un nombre fini de points sur ]𝑎,𝑏[ ou[𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏] (−∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ +∞. Il s’agit de se poser les questions dansl’ordre suivant afin d’analyser l’existence de l’intégrale.1 — Suis-je capable de calculer l’intégrale ∫

A

𝑎𝑓 (ou ∫

𝑎

A𝑓 en fonction du cas

), ou les deux dans le cas de ]𝑎,𝑏[) explicitement pourAdans l’intervalle d’in-tégration? Si oui, on la calcule et on analyse l’existence d’une limite en A.2 — Sinon, et ce sera l’immense majorité des cas, on se demande si :

Caret-right elle est positive, dans ce cas on essaie de la majorer ou minorer par unefonction simple dont on connaît la nature de l’intégrale. Onutilise éven-tuellement des développements limités et relations de comparaisonspour cela.

Caret-right elle n’est pas positive, on étudie la convergence absolue.⋆⋆⋆ Fin du chapitre ⋆⋆⋆



3. EXERCICES

3.1. Intégrales sur un segment

[AN_IntSe_34.tex]

Exercice ANA.10.1 Avec décomposition d’une fraction rationnelle On considèrela fonction 𝑓 définie sur ]−3,2[ par 𝑓(𝑥) = 3𝑥2+4𝑥−25

𝑥2+𝑥−6 pour tout 𝑥 ∈]−3,2[.

1 — Montrer qu’il existe trois réels 𝑎, 𝑏, 𝑐 que l’on déterminera, tels que

∀𝑥 ∈]−3,2[, 𝑓(𝑥) = 𝑎+𝑏

𝑥+3+

𝑐𝑥−2

.

2 — En déduire l’existence et la valeur de ∫1

0𝑓(𝑥)d𝑥.

[AN_IntSe_35.tex]

Exercice ANA.10.2 Changements de variables

1 — Montrer que ∫π/2

0(cos𝑡)𝑛 d𝑡 = ∫

π/2

0(sin𝑡)𝑛 d𝑡.

2 — Calculer les intégrales suivantes par changement de variable.2.1) ∫

−2

0𝑡e−𝑡

2d𝑡,

2.2) ∫e

1

ln𝑡𝑡2

d𝑡,

2.3) ∫1

0

d𝑥(1+𝑥2)3/2

, Indication : Poser 𝑥 = tan𝑡.[AN_IntSe_36.tex]

Exercice ANA.10.3 Intégrale au service d’un équivalent

1 — Montrer que : ∀𝑛 ∈N∗, ∫𝑛

1ln(𝑥)d𝑥 ⩽ ln(𝑛!) ⩽ ∫

𝑛+1

2ln(𝑥)d𝑥.

2 — En déduire que : ln(𝑛!) ∼𝑛→∞

𝑛 ln(𝑛).

[AN_IntSe_50.tex]

Exercice ANA.10.4 Méthode des trapèzes sur un exemple On pose pour tout 𝑡 ∈[0,1],

ℎ(𝑡) =e𝑡

1+𝑡, J = ∫

1

0ℎ et ∀𝑛 ⩾ 1, U𝑛 =

1𝑛

𝑛−1∑𝑘=0

ℎ(𝑘𝑛

),V𝑛 =1𝑛

𝑛−1∑𝑘=0

ℎ(𝑘+1𝑛

).

1 — Vérifier que ℎ est croissante.

2 — Montrer que pour tout 𝑘 ∈ {0,…,𝑛−1}, 1𝑛ℎ(𝑘𝑛 ) ⩽ ∫

(𝑘+1)/𝑛

𝑘/𝑛ℎ(𝑡)d𝑡 ⩽

1𝑛

ℎ(𝑘+1𝑛

).

3 — En déduire que : ∀𝑛 ∈N⋆, U𝑛 ⩽ J ⩽ V𝑛.4 — Vérifier que pour tout 𝑛 ⩾ 1 :

||||J−U𝑛 +V𝑛

2|||| ⩽

ℎ(1)−ℎ(0)2𝑛

.

5 — TERMINALPython Écrire une fonction qui prend en paramètre et qui retourne une valeurapprochée de J à ε près.6 — Que représente géométriquement la quantité U𝑛+V𝑛

2 ?[AN_CCAgroVeto_4.tex]

Exercice ANA.10.5 Agro—Véto, 2016, Intégration numérique (Solution : 38) Pourtout réel 𝑥 et tout entier 𝑛 ∈N⋆, on pose :

𝑓(𝑥) = ∫π

0e−𝑥sin𝑡 d𝑡, S𝑛(𝑥) =

1𝑛

𝑛−1∑𝑘=0

e−𝑥sin(𝑘π𝑛 ).

1 — TERMINALPython1.1) Écrire une fonction python Sn qui prend en entrée des valeurs de 𝑥 et 𝑛 et

donne en sortie la valeur de S𝑛(𝑥).1.2) Écrire une fonction python graphe qui trace le graphe de la fonction S𝑛 sur

l’intervalle [𝑎,𝑏], les valeurs de 𝑎,𝑏 et 𝑛 étant données en paramètres.2 — Pour tout entier 𝑛 ∈ N⋆, montrer que S𝑛 est dérivable en zéro, et exprimerS′𝑛(0) sans symbole Σ.



3 — Pour tout 𝑥, montrer que la suite (S𝑛(𝑥))𝑛∈N⋆ est convergente, quelle est salimite?4 — (À propos de la fonction 𝑓)4.1) Soient 𝑥 ⩽ 𝑦 deux réels, comparer 𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑦), qu’en conclure?

4.2) Montrer que : ∀𝑥 ∈R, 𝑓(𝑥) = 2 ∫π2

0e−𝑥sin𝑡 d𝑡.

4.3) Montrer que : ∀𝑡 ∈ [0,π/2], sin𝑡 ⩾ 2π𝑡, en déduire la limite de 𝑓 en

+∞.[AN_IntSe_40.tex]

Exercice ANA.10.6 Intégrales à bornes variables (Solution : 38) Soit 𝑓 la fonctiondéfinie par :

𝑓|||||||

R⋆ ⟶ R,

𝑥 ⟼ ∫2𝑥

𝑥

d𝑡ln(1+𝑡2)

.

1 — Montrer que 𝑓 est définie, continue et dérivable sur R∗. Calculer 𝑓′.2 — Montrer que 𝑓 est impaire.3 — Calculer lim

𝑥→∞𝑓(𝑥). Indication : On pourra encadrer 𝑓(𝑥).

[AN_IntSe_41.tex]

Exercice ANA.10.7 Une application linéaire définie par une intégrale Soit E leR-espace vectoriel des fonctions de classe 𝒞1 sur [0;1]. Pour 𝑛 ∈N∗, on définit

L𝑛

|||||||

E ⟶ F,

𝑓 ⟼ L𝑛(𝑓) ∶ (𝑥 ∈ [0;1] ⟼ ∫𝑥

0

(𝑥−𝑡)𝑛

𝑛!𝑓(𝑡)d𝑡) .

1 — Montrer que L𝑛(𝑓) est dérivable et que (L𝑛(𝑓))′ = L𝑛−1(𝑓) pour tout 𝑛 ⩾ 1.2 — Montrer que L𝑛(𝑓) est de classe 𝒞𝑛+2 sur [0,1].3 — Montrer que L𝑛 est un endomorphisme de E et déterminer son noyau.

3.2. Intégrales impropres

[AN_IntGe_30.tex]

Exercice ANA.10.8 (Solution : 39) Déterminer lanaturedes intégrales ci-dessous.

1 — ∫+∞

0

𝑡2

e𝑡 −1d𝑡,

2 — ∫+∞

−∞

d𝑡𝑡3 −6𝑡2 −6𝑡 −7

,

3 — ∫+∞

2sin(

1(3𝑡 +1)2

) d𝑡,

4 — ∫+∞

3

d𝑡𝑡2 −4𝑡 +3

,

5 — ∫5

0

d𝑡√𝑡(5−𝑡)

,

6 — ∫1

0

𝑥1−𝑥2 d𝑥,

7 — ∫+∞

3

√𝑥3

𝑥2 −1d𝑥.

8 — ∫+∞

0e−𝑡

2d𝑡,

9 — ∫+∞

0𝑥sin𝑥e−𝑥 d𝑥,

10 — ∫+∞

0ln𝑡e−𝑡 d𝑡,

11 — ∫1

0

d𝑡(1−𝑡)√𝑡

,

12 — ∫+∞

0

d𝑡e𝑡 −1

,

13 — ∫1

0cos2 (

1𝑡)d𝑡.

[AN_IntGe_32.tex]

Exercice ANA.10.9 On considère l’intégrale c-dessous, en cas de convergence

I = ∫+∞

−∞

1(1+e𝑡)(1+e−𝑡)

d𝑡.



1 — Montrer que 1(1+e𝑡)(1+e−𝑡) =

e𝑡(1+e𝑡)2 pour tout 𝑡 ∈R.

2 — Étudier la nature de I en reconnaissant un changement de variable. En casde convergence, calculer la valeur de I.

[AN_IntGe_31.tex]

Exercice ANA.10.10 Factorielles sous formed’intégrale Ondéfinit une suite d’in-tégrales (I𝑛) par :

∀𝑛 ∈N, I𝑛 = ∫+∞

0𝑡𝑛e−𝑡 d𝑡.

1 — Montrer que I𝑛 est définie pour tout 𝑛 ∈N.2 — Déterminer l’expression de I𝑛 en fonction de 𝑛 ∈N.

[AN_IntGe_33.tex]

Exercice ANA.10.11 Déterminer la nature des intégrales ci-dessous en effectuantle changement de variable donné.

1 — ∫1

0√

1+𝑢1−𝑢

d𝑢. Indication : On pourra poser 𝑢 = cos𝑡.

2 — ∫+∞

0

1√1+e𝑡

Indication : On pourra poser 𝑢 = √1+e𝑡.

3 — ∫+∞

0

1(1+𝑡2)2

d𝑡. Indication : On pourra poser 𝑡 = tanθ.

4 — ∫+∞

0

𝑡2 −1

(1+𝑡2)√1+𝑡4d𝑡. Indication : On pourra poser 𝑡 = 1

𝑢 .[AN_IntGe_34.tex]

Exercice ANA.10.12 Intégrales couplées (Solution : 40) On pose

I = ∫+∞

0

11+𝑡4

d𝑡 et J = ∫+∞

0

𝑡2

1+𝑡4d𝑡.

1 — Montrer que ces intégrales convergent et que I = J.2 — Eneffectuant le changementdevariable𝑥 = 𝑡− 1

𝑡 dans l’intégrale I+J, calculerla valeur commune de I et J.

[AN_IntGe_56.tex]

Exercice ANA.10.13 Soit 𝑓 une fonction définie surR+ et à valeurs dansR, conti-nue décroissante et telle que

∫∞

0𝑓(𝑡)d𝑡 converge.

1 — Montrer que pour tout 𝑥 ⩾ 0 :

∫2𝑥

𝑥𝑓(𝑡)d𝑡 ⩽ 𝑥𝑓(𝑥) ⩽ 2∫

𝑥

𝑥/2𝑓(𝑡)d𝑡.

2 — Montrer que :

lim𝑥→+∞∫

2𝑥

𝑥𝑓(𝑡)d𝑡 = 0.

3 — En déduire que lim𝑥→+∞𝑥𝑓(𝑥) = 0.[AN_IntGe_54.tex]

Exercice ANA.10.14 Lemme de RIEMANN-LEBESGUE

1 — (Sur un segment) Soient 𝑎 < 𝑏 et 𝑓 ∈ 𝒞1([𝑎,𝑏],R). Montrer que :

limλ→∞

∫𝑏

𝑎𝑓(𝑡)cos(λ𝑡)d𝑡 = 0.

2 — (Sur R+) Soit 𝑓 ∈ 𝒞1(R+,R) telle que

∫∞

0||𝑓′(𝑡)||d𝑡 converge, 𝑓 est bornée.

Montrer que :

limλ→∞

∫∞

0𝑓(𝑡)cos(λ𝑡)d𝑡 = 0.

3 — Les résultats précédents vous semblent-ilsmaintenus si cos est remplacé parsin?



3.3. Pour les 5/2


Exercice ANA.10.15 Développement en série entière d’arctan – Extrait A-ENVPour 𝑛 ∈N et 𝑥 ∈R on note 𝑢𝑛(𝑥) =

𝑛∑𝑘=0

(−1)𝑘𝑥2𝑘+12𝑘+1 .

1 — TERMINALPython Écrire un script Python permettant de calculer 𝑢𝑛(𝑥) pour 𝑛 ∈N et 𝑥 ∈R. Que peut-on conjecturer sur le comportement asymptotique de la suite pour|𝑥| ≤ 1 et |𝑥| > 1?

2 — Soit 𝑛 ∈ N et 𝑥 ∈ [−1,1]. On note I𝑛(𝑥) = ∫𝑥

0

𝑡2𝑛+2

1+𝑡2d𝑡. Quelle est la limite de

(I𝑛(𝑥)) quand 𝑛 → +∞?3 — 3.1) Soit 𝑛 ∈N et 𝑥 ∈ [−1,1]. Montrer que :

𝑛∑𝑘=0

∫𝑥

0(−1)𝑘𝑡2𝑘 d𝑡 = ∫

𝑥

0

d𝑡1+𝑡2

+(−1)𝑛I𝑛

3.2) En déduire que pour 𝑥 ∈ [−1,1], (𝑢𝑛(𝑥))𝑛≥0 converge vers arctan(𝑥).3.3) Montrer que les suites (𝑢2𝑛(1)) et (𝑢2𝑛+1(1)) sont adjacentes. En déduire que

||4𝑢𝑛(1)−π|| ≤4

2𝑛+1

3.4) TERMINALPython Grâce au résultat de la question précédente, écrire un script Pythonqui, étant donné un réel ε > 0, calcule une approximation de π à ε près.

4 — Justifier que arctan ( 12 ) + arctan ( 13 ) = π4 . Indication : On pourra utiliser la

formule tan(𝑎 +𝑏) = tan(𝑎)+tan(𝑏)1−tan(𝑎) tan(𝑏) valable dès que tous les termes sont définis..

5 — TERMINALPython En déduire une autre méthode d’approximation de π et comparer in-formatiquement leur efficacité.





Python1 — 1.1)1 import numpy as np

2 def Sn(x,n):3 L=[np.exp(-x*np.sin((k*np.pi)/n)) for k in range(n)]4 return (1/n)*np.sum(L)

Pour Sn(3,10) nous obtenons 0.24760782135227954.

Python1.2)1 import matplotlib.pyplot as plt

2 def graphe(a,b,n):3 x=np.linspace(a,b,1000)4 y=[Sn(X,n) for X in x]5 plt.plot(x,y)6 plt.show()

2 — Puisque S𝑛 est une somme de fonctions dérivables, elle est elle-même déri-vable également. De plus, pour tout 𝑥 ∈ R :

S′𝑛(𝑥) = −1𝑛

𝑛−1∑𝑘=0

sin(𝑘π𝑛

)e−𝑥sin(𝑘π𝑛 ).

Ainsi : S′𝑛(0) = − 1𝑛 ∑𝑛−1

𝑘=0 sin (𝑘π𝑛 ) = − 1𝑛 Im(∑𝑛−1

𝑘=0 (ei π𝑛 )

𝑘) = − 1

𝑛 Im ( 1−eiπ

1−eiπ𝑛).

En mettant l’angle moitié en facteur, on trouve :

S′𝑛(0) = −2𝑛Im(

1−2𝑖sin(π/2𝑛)

) = −1

𝑛sin(π/2𝑛).

3 — Il s’agit simplement d’une somme de Riemann du type 1𝑛 ∑𝑛−1

𝑘=0𝑔(𝑘𝑛 ) avec𝑔 définie ci-après : ainsi, puisque 𝑔 ∶ 𝑥 ⟼ e−sin(𝑥) est continue, nous avonsS𝑛(𝑥) 𝑛→∞−−−−→ 𝑓(𝑥) pour tout réel 𝑥.

4 — 4.1) La fonction 𝑔𝑡 ∶ 𝑥 ⟼ e−𝑥sin𝑡 est, pour tout 𝑡, décroissante. Donc 𝑓(𝑥) ⩽𝑓(𝑦) en intégrant l’inégalité 𝑔𝑡(𝑥) ⩾ 𝑔𝑡(𝑦) pour sur 𝑡 ∈ [0;π].

4.2) Il s’agit donc de montrer que :

∫π/2

0e−𝑥sin𝑡 d𝑡 = ∫

π

π/2e−𝑥sin𝑡 d𝑡.

Le résultat découle ensuite de la relation de Chasles. Dans la première in-tégrale, faisons le changement de variable affine 𝑢 = π−𝑡2, possible car lafonction 𝑡 ⟼ π−𝑡 est de classe 𝒞1 3. On obtient :

∫π

π/2e−𝑥sin𝑡 d𝑡 = ∫

0

π/2e−𝑥sin(𝑢)(−d𝑢) = ∫

π/2

0e−𝑥sin(𝑢) d𝑢.

4.3) Simple étude de fonction. Considérons la fonction ℎ définie pour 𝑡 ∈ [0; π2 ]par ℎ(𝑡) = sin𝑡 − 2

π𝑡. Alors ℎ est dérivable et ℎ′(𝑡) = cos𝑡 − 2π . La fonction ℎ′

est décroissante, doncLa minoration précédente fournit, en intégrant et en multipliant par 𝑥 posi-tif de chaque côté :

𝑓(𝑥) ⩽ ∫π/2

0−

2𝑥π

𝑡d𝑡 = −2𝑥π ∫

π/2

0𝑡d𝑡.

Le membre de droite tend vers −∞ lorsque 𝑥 tend vers +∞. Donc par théo-rème de majoration : lim

𝑥→∞𝑓(𝑥) = −∞.


1 — Soit F une primitive de l’intégrande, qui existe car 𝑡 ⟼ 1ln(1+𝑡2) est continue

sur R. Alors pour tout 𝑥 ∈R⋆,

𝑓(𝑥) = F(2𝑥)−F(𝑥),

donc 𝑓 est dérivable sur R∗ par composition de telles fonctions, et

𝑓′(𝑥) = 2F′(2𝑥)−F′(𝑥) = 21

ln(1+4𝑥2)−

1ln(1+𝑥2)

.

2ce qui permet d’exploiter la symétrie (en 𝑡) par rapport à l’axe 𝑥 = π2 de la fonction intégrée

3Attention, pas d’hypothèse de bijectivité, l’intégrale n’est pas généralisée !



2 — Ledomainededéfinition est symétriquepar rapport àO. Deplus, soit𝑥 ∈R⋆,

𝑓(−𝑥) = ∫−2𝑥

−𝑥

d𝑡ln(1+𝑡2)

= ∫2𝑥

𝑥

−d𝑢ln(1+ (−𝑢)2)

= −𝑓(𝑥)

en faisant le changement de variable 𝑢 = −𝑡 (licite car 𝑡 ⟼ −𝑡 est de classe 𝒞1).Donc : 𝑓 est impaire.3 — Soit 𝑥 ∈R⋆. Alors, puisque l’intégrande est décroissante, il vient :

𝑓(𝑥) ⩾ (2𝑥−𝑥)1

ln(1+4𝑥2)=

𝑥ln(1+4𝑥2)

.

Or, par croissances comparées, lim𝑥→∞

𝑥ln(1+4𝑥2) = ∞, donc par divergence par mino-

ration, on déduit lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞.


1 — L’intégrale est généralisée en 0, puisque ln ∶]0,1] ⟶ R est continue. Inutileici d’appliquer un résultat de comparaison, puisque l’intégrale partielle se calculeexplicitement, soit ε > 0 :

∫1

εln𝑡d𝑡 = [𝑡 ln𝑡 −𝑡]1ε = −1−ε lnε+ε ε→0−−−→ −1

par croissances comparées.2 — L’intégrale est généralisée en +∞, la fonction 𝑡 ⟼ e−𝑡

2étant continue sur

[0,∞[. Puisqu’elle est positive, et que :

𝑡2e−𝑡2 𝑡→∞−−−−→ 0

nous avons pour 𝑡 assez grand : e−𝑡2

⩽ 1𝑡2 . Ainsi, puisque ∫

A

1

1𝑡2d𝑡 =

−[1𝑡 ]

A

1

A→∞−−−−→ 1, la convergence de ∫∞

1e−𝑡

2d𝑡 en découle par théorème de com-

paraison pour les fonctions positives. De plus, ∫1

0e−𝑡

2d𝑡 converge en tant qu’inté-

grale de fonction continue sur un segment. En conclusion, l’intégrale est conver-gente.

3 — Il suffit de montrer la convergence de ∫∞

1𝑥sin𝑥e−𝑥 d𝑥 puisque

∫1

0𝑥sin𝑥e−𝑥 d𝑥 converge en tant que fonction continue sur un segment. De

plus, puisque la fonction n’est pas positive on regarde la convergence absolue :

𝑥2 ||𝑥sin𝑥e−𝑥|| ⩽ 𝑥3e−𝑥 𝑥→∞−−−−→ 0,

impliquant que pour 𝑥 assez grand :

||𝑥sin𝑥e−𝑥|| ⩽1𝑥2 .

La convergence découle alors à nouveau du théorème de comparaison.4 — L’intégrale ∫

∞

0ln𝑡e−𝑡 d𝑡 est généralisée en 0 et +∞.

Commençons par ∫∞

1ln𝑡e−𝑡 d𝑡. Nous avons une exponentielle qui rend le tout

convergeant. En effet, 𝑡2 ln𝑡e−𝑡 = 𝑡3 ln𝑡𝑡 e−𝑡 𝑡→∞−−−−→ 0. Donc pour 𝑡 assez grand :

ln𝑡e−𝑡 ⩽1𝑡2

.

Or, ∫∞

1

1𝑡2d𝑡 converge, donc ∫

∞

1ln𝑡e−𝑡 d𝑡 converge par théorème de comparai-

son.Continuons avec ∫

∞

1ln𝑡e−𝑡 d𝑡. L’intégrande est négative, on étudie donc

∫∞

1(− ln𝑡)e−𝑡 d𝑡. En zéro, nous avons (− ln𝑡)e−𝑡 d𝑡 ∼

𝑡→0− ln𝑡. Nous avons déjÀ vu

que ∫1

0ln𝑡d𝑡 converge, donc comme pour 𝑡 assez proche de 0, on a

(− ln𝑡)e−𝑡 ⩽32ln𝑡,

la convergence découle du théorème de comparaison.En conclusion, l’intégrale converge.

5 — L’intégrale est généralisée en zéro et un, on étudie donc ∫1/2

0


et

∫1

1/2


.



Pour la première, nous avons 1(1−𝑡)√𝑡

∼𝑡→0

11−𝑡 . Or, ∫

A

0

11−𝑡

d𝑡 = [− ln(1−𝑡)]A0 =

− ln(1−A) A→1−−−→ −∞. L’intégrale ne converge pas.

6 — L’intégrale est généralisée en 0 et +∞. On étudie donc ∫1

0

d𝑡e𝑡 −1

et

∫+∞

1

d𝑡e𝑡 −1

.

On a 1e𝑡−1 ∼

𝑡→01𝑡 , donc pour 𝑡 assez proche de zéro :

−1

e𝑡 −1⩽ −

12𝑡

,

et ∫1

A

1𝑡d𝑡 A→0−−−→ +∞, donc cette intégrale diverge, donc l’intégrale de départ di-

verge aussi par théorèmede comparaison.Notezque le signemoins est obligatoirepuisque la fonction 𝑡 ⟼ 1

e𝑡−1 est négative sur ]0,1].

7 — On majore simplement : cos2(1/𝑡) ⩽ 1 pour tout 𝑡 ∈]0,1] et ∫1

01d𝑡

converge.


1 — L’intégrale I est généralisée en +∞, et pour tout 𝑡 ∈ [1;+∞[, 11+𝑡4 ⩽ 1

𝑡4 .

Or, ∫+∞

1

1𝑡4d𝑡 converge (refaire la démonstration avec l’intégrale partielle). Donc

I = ∫+∞

0

11+𝑡4

d𝑡 converge par critère de comparaison pour les fonctions posi-

tives. On effectue ensuite un changement de variable, qui montrera à la fois l’éga-lité entre les deux intégrales, et la convergence de J. Plus précisément, posons𝑢 = 1

𝑡 ⇔ 𝑡 = 1𝑢 . Puisque la fonction 𝑡 ⟼ 1

𝑡 réalise une bijection 𝒞1 de [0,+∞[vers [0,+∞[, on a alors, sous réserve de convergence :

∫∞

0

d𝑡1+𝑡4

= ∫0

∞−

1𝑢2

𝑑𝑢1+ 1

𝑢4

= ∫∞

0

d𝑢𝑢2 + 1

𝑢2

=J.

Ainsi J est aussi convergente et I = J.

2 — En tant que somme de deux intégrales convergentes, I + J = ∫+∞

0

1+𝑡2

1+𝑡4d𝑡

converge. Faisons, commesuggérépar l’énoncé, le changementde variable𝑥 = 𝑡−1𝑡 ⟹ d𝑥 = (1+ 1

𝑡2 )d𝑡 = 𝑡2+1𝑡2 d𝑡. Le changement est licite puisque la fonction

𝑡 ⟼ 𝑡− 1𝑡 réalise une bijection𝒞1 de [0,∞[ vers]−∞,0]. De plus 1+𝑡2

1+𝑡4 = 1+𝑡2𝑡2 × 1

1𝑡2+𝑡2

et 𝑥2 = (𝑡 − 1𝑡 )2= 𝑡2 + 1

𝑡2 −2 ⇔ 𝑡2 + 1𝑡2 = 𝑥2 +2. Donc ∫

∞

0

1+𝑡2

1+𝑡4d𝑡 = ∫

0

−∞

d𝑥𝑥2 +2

=

12 ∫

0

−∞

d𝑥

( 𝑥√2

)2+1

=12[√2arctan(

𝑥√2

)]0

−∞

=π

√2. D’où I + J = π

√2. Or I = J, donc

I = J = π2√2


Chapitre ANA.11. Fonctions de plusieurs variables

CHAPITRE ANA.11Fonctions de plusieurs variables

Résumé & Plan

DAns ce chapitre nous allons allons étudier les fonctions de 𝑛 variables avec 𝑛 ∈N∗.1 Plus précisément, nous allons voirune notion de continuité, dérivabilité directionnelle, et de classe 𝒞𝑘 avec 𝑘 ⩾ 0. Il existe aussi une notion de dérivée(classique, non partielle) appelée différentiabilité mais qui n’est pas au programme de BCPST.

W

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Que doit-on généraliser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1. Norme euclidienne sur R𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1. Dérivées directionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2. Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3. Fonctions 𝒞1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4. Fonctions 𝒞2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5. Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3. Dérivabilité & Équations aux dérivées partielles . . . . . . 24

4.4. Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


Le mathématicien et philosophe Leibniz (1646-1716) futle premier à démontrer la formule pour la dérivation d’unproduit. De ce fait, cette formule porte aussi parfois lenom de règle de LEIBNIZ.

—Le saviez-vous?



CadreCOGS

Nous considèrerons dans ce chapitre des fonctions de𝑛 variables, i.e. desapplications 𝑓 ∶ R𝑛 ⟶ R , ou plus généralement 𝑓 ∶ P ⟶ R avec P ⊂ R𝑛 sielle est seulement définie sur un sous-ensemble P de R𝑛.

Définition ANA.11.1 | Pavé & Pavé ouvertOn appelle pavé de R𝑛 tout ensemble de la forme

I1 ×⋯×I𝑛 = {(𝑥1,…,𝑥𝑛), 𝑥1 ∈ I1,…,𝑥𝑛 ∈ I𝑛} ,

où I1,…,I𝑛 sont des intervalles de R. Soit X = (𝑥1,…,𝑥𝑛) ∈ R𝑛. On appelleravoisinage ouvert de X = (𝑥0,…,𝑥𝑛) tout ensemble de la forme

]𝑥1 −ε1,𝑥1 +ε1[×…]𝑥𝑛 −ε𝑛,𝑥𝑛 +ε𝑛[, avec ε1,…,ε𝑛 > 0.

Pour 𝑛 = 1 un voisinage ouvert d’un point est un intervalle ouvert centré en cepoint. Pour 𝑛 = 2 c’est un rectangle ouvert de centre de gravité le point considé-ré.

1. GÉNÉRALITÉS

1.1. Premiers exemples

Citons quelques contextes où interviennent naturellement les fonctions de plu-sieurs variables.

1 — L’aire d’un rectangle de côtés 𝑥,𝑦 est S(𝑥,𝑦) = 𝑥𝑦. C’est donc une fonction

S||||||

R2 ⟶ R

(𝑥,𝑦) ⟼ 𝑥𝑦de deux variables. On peut se poser la question suivante :

peut-on trouver un minimum pour S sous une contrainte de périmètre? i.e. 2(𝑥+𝑦) = 𝑝 avec 𝑝 ∈R+⋆.

2 — Si AB =⎛

⎝

𝑎

𝑏

⎞

⎠est un vecteur de R2, alors le travail d’une force F =

⎛

⎝

𝑥

𝑦

⎞

⎠le

long d’un déplacement entre A et B est une fonction de quatre variables :

F(𝑎,𝑏,𝑥,𝑦) = 𝑎𝑥+𝑏𝑦.

Deux variables de position et deux variables de force.3 — Considérons le plan affine 𝒫 ∶ 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑 = 0 avec (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) ∈ R4

tel que (𝑎,𝑏,𝑐) ≠ (0,0,0) et B = (𝑥B,𝑦B,𝑧B) ∈ R3. En première année, la distanced’un point B au plan M a été définie comme :

𝑑(B,𝒫) = infM∈𝒫

𝑑(B,M) = infM∈𝒫

√(𝑥M −𝑥B)2 +(𝑦M −𝑦B)2 +(𝑧M −𝑧B)2.

Il s’agit donc ici de minimiser la fonction F(𝑥,𝑦,𝑧) =√(𝑥−𝑥B)2 +(𝑦−𝑦B)2 +(𝑧−𝑧B)2 sur l’ensemble des vecteurs (𝑥,𝑦,𝑧) ∈ 𝒫.4 — (Droite de régression)

Si (𝑥𝑖,𝑦𝑖)1⩽𝑖⩽𝑛 avec 𝑛 ⩾ 1 est unnuage de 𝑛 points et que l’on sepose la question de l’existence d’unedroite passant au plus près de cespoints (au sens des «moindres car-rés»), cela revient à minimiser cettefonctionnelle de deux variables :

F(𝑎,𝑏) =𝑛∑𝑖=1

(𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏)2,

où l’éventuel minimum trouvé(𝑎⋆,𝑏⋆) correspondra au couplecoefficient directeur/ordonnéeà l’origine de la droite dite desmoindres carrés. Représentons cettequantité F sur un dessin.

40 50 60 70 80 90 100150

160

170

180

190

La quantité F(𝑎,𝑏) correspond doncà la somme des longueurs algé-briques des traits verticaux bleus etrouges (positive si bleu, négative sirouge). Minimiser F revient doncà minimiser chacune de ces lon-gueurs, et donc in fine approcherau plus près le nuage de pointsconsidéré.



1.2. Vocabulaire

Définition ANA.11.2 | Restriction partielleSoit 𝑓 ∶R𝑛 ⟶R ou plus généralement 𝑓 ∶ P ⟶R avec P ⊂R𝑛. Alors alors lesapplications

𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑖−1, • ,𝑥𝑖+1,…,𝑥𝑛) ∶ 𝑥 ∈R⟼ 𝑓(𝑥1, ...,𝑥𝑖−1, 𝑥 ,𝑥𝑖+1, ...,𝑥𝑛) ∈R,(𝑥1, ...,𝑥𝑛) ∈R𝑛

sont appelées les applications restrictions partielles associées à 𝑓. Ce sont desfonctions réelles d’une variable réelle.

Exemple 1— Les applications partielles de 𝑓 ∶ (𝑥1,𝑥2) ∈ R2 ⟼ 3𝑥31 +e𝑥2 au point

𝑎 = (2,7) sont 𝑓1 ∶ 𝑡 ⟼ 3𝑡3 +e7, 𝑓2 ∶ 𝑡 ⟼ 24+e𝑡.

Rappelons que le graphe d’une fonction d’une variable 𝑓 ∶ I ⊂ R ⟶ R a été définidans le Chapitre ANA.7 comme étant

{(𝑥,𝑓(𝑥)), 𝑥 ∈ I} .

On généralise sans difficulté cette définition aux fonctions de deux variables.

Définition ANA.11.3 | Graphe & Ligne de niveau d’une fonction de deuxvariables

Soit 𝑓 ∶ P ⟶R avec P ⊂R2 une fonction de deux variables. On appelle graphede 𝑓 l’ensemble

𝒮𝑓 = {(𝑥,𝑦,𝑓(𝑥,𝑦)), (𝑥,𝑦) ∈ P} .

Une ligne de niveau 𝑘 ∈R fixé, est

ℒ𝑘(𝑓) = {(𝑥,𝑦) ∈ P, 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑘} .

Ainsi, dans le cas d’une fonction de deux variables, le graphe n’est donc ni plusni moins qu’une surface dans l’espace, alors que les lignes de niveaux sont descourbes dans le plan. Voyons quelques exemples de lignes de niveaux.

Exemple 2— Soit 𝑓 ∶ (𝑥,𝑦) ∈ R2 ⟼ 𝑥2 +𝑦2 .Déterminerℒ𝑘(𝑓)pour tout𝑘 ∈R,en distinguant le cas 𝑘 = 0.

PEN-FANCY

Exemple 3— Cartes IGN Le relief est un graphe de fonction de deux variables, eton représente souvent également les lieux de même altitude, qui correspondentdonc aux lignes de niveau de 𝒮𝑓. Si l’on faisait de-même pour des cartes de pres-sion, les lignes de niveau représenteraient ce que l’on appelle plus communémentles isobares.

FIG. ANA.11.1. : Carte IGN d’un département Français



1.3. Que doit-on généraliser ?

On rappelle que dans le Chapitre ANA.7, nous avons défini la notion de limited’une fonction en un point de I (l’ensemble des limites des suites de I, i.e. I ∪{inf I,sup I} si I est un intervalle).Nous avons aussi établi une condition nécessaire d’existence d’extrema (être unpoint critique) en un point intérieur à l’ensemble de définition, et nous avons dé-fini la notion de nombre dérivé. Voyons comment généraliser cela dans R𝑛.

Notion Objet clef pour𝑛 = 1 (cf.Chapitre ANA.7)

Objet clef pour𝑛 > 1

Utilité

Limite d’unesuite

Valeur absolue |.| Norme ‖.‖ Limite d’une suite

Notiondroite/gauche

I∩ I−/+𝑎 N’existe pas! Limite àdroite/gauche

Dérivée Tauxd’accroissement

𝑛 taux d’ac-croissement(pour chaquevariable) ⟷gradient

Variations d’unefonction, DL,approximation

2. LIMITE ET CONTINUITÉ

Réfléchissons à comment étendre toutes les notions d’analyse à des fonctions 𝑓 ∶R𝑛 ⟶R ? Reprenons la définition de fonction continue 𝑓 ∶ I ⟶R en 𝑎 ∈ I :

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀𝑥 ∈ I, |𝑥−𝑎| < η ⟹ ||𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)|| < ε.

Que doit-on changer dans cette définition? Quasiment rien, les quantités 𝑓(𝑥) −𝑓(𝑎) et 𝑥−𝑎 sont bien définies si 𝑥,𝑎 ∈ R𝑛, puisque l’on peu faire la différence de

deux vecteurs de R𝑛, mais comment donner sens à

|𝑥−𝑎| ? Une solution : remplacer |𝑥−𝑎| par ‖𝑥−𝑎‖,

où pour tout X = (𝑥1, ...,𝑥𝑛) ∈R𝑛,

‖X‖ = √𝑛∑𝑖=1

𝑥2𝑖 .

2.1. Norme euclidienne sur R𝑛

C’est une application qui possède des propriétés très similaires à |.| (l’inégalitétriangulaire notamment), et que l’on appelle norme euclidienne sur R𝑛.

Définition ANA.11.4 | Norme euclidienneOn appelle norme euclidiennea sur R𝑛 l’application

‖.‖ ∶

|||||||

R𝑛 ⟶ R+

X = (𝑥1, ...,𝑥𝑛) ⟼ √𝑛∑𝑖=1

𝑥2𝑖 = √𝑥⊤𝑥

.

Remarque 2.1— Pour 𝑛 = 1, on retrouve la valeur absolue : ∀X ∈ R, ‖X‖ =√X2 = |X|.

Proposition ANA.11.1 | Propriétés de la norme euclidienne1 — (Séparation) pour tous X ∈R𝑛, ‖X‖ = 0 ⟺ X = 0R𝑛 .2 — (Homogénéité) pour tous λ ∈R,X ∈R𝑛, ‖λX‖ = |λ|‖X‖.3 — (Inégalité triangulaire) pour tous X,Y ∈R𝑛, ‖X+Y‖ ⩽ ‖X‖+‖Y‖.

aPlus généralement on appellenorme surR𝑛 toute application vérifiant les conditions de la Propo-sition ANA.11.1. Il en existe beaucoup d’autres,mais leur étude n’est absolument pas un attendudu programme de BCPST. Aussi nous nous contenterons de la norme euclidienne pour définirnos notions d’analyse (limite, continuité, dérivabilité, ...).



Preuve1 — Soit X = (𝑥1,…,𝑥𝑛) ∈ R𝑛. Alors, ‖X‖ = 0 si et seulement si ∑𝑛

𝑖=1𝑥2𝑖 = 0.

Tous les termes de la somme étant positifs, on obtient : ∀𝑖 ∈ J1, 𝑛K, 𝑥𝑖 =0, i.e. X = 0R𝑛 .2 — Soient λ ∈ R et X = (𝑥1,…,𝑥𝑛) ∈ R𝑛. Alors ‖λX‖ = √∑𝑛

𝑖=1λ2𝑥2𝑖 =

√λ2∑𝑛𝑖=1𝑥

2𝑖 = |λ|‖X‖.

3 — On admet provisoirement cette inégalité : elle sera démontrée dans leChapitre ALG.4.

2.2. Limites

Passons maintenant aux nouvelles définitions de limite, pas si nouvelles finale-ment puisqu’il s’agit simplement de remplacer la valeur absolue |.|par ‖.‖, et d’en-lever celles qui n’ont aucun sens (vers les infinis notamment). Avant cela, nousavons besoin de la notion d’adhérence.

Dans cette section,Pdésignera toujours unpavédeR𝑛 non trivial, c’est-à-dire nonvide et non réduit à un point.

Définition ANA.11.5 | Adhérence d’un ensembleSoit P pavé de R𝑛, on dit qu’un élément 𝑥 ∈ R𝑛 est adhérent à P si pour toutvoisinage ouvert V𝑥 de 𝑥,

V𝑥 ∩P ≠ ∅.

Alors on appelle adhérence de P l’ensemble des réels adhérents à P. On le noteen général P.

Remarque 2.2— Comme dans R, ce sont donc des points «très proches» de P,mais pas forcément dedans.

Exemple 4— Dessinons P = [−1,1]× [0,2[.

PEN-FANCY

Alors (0,2) est adhérent à P, alors que (0,3) ne l’est pas.

Définition ANA.11.6 | Limite en un point adhérentSoientA ∈ P, oùP est un sous-ensemble deR𝑛,ℓ ∈R∪{±∞} et une application𝑓 définie sur P ou sur P⧵ {A}. On note :

Caret-right 𝑓(X) X→A−−−→ ℓ si :

∀ε > 0,∃ηε > 0,∀X ∈ P, ‖X−A‖ < ηη ⟹ ||𝑓(X)−ℓ|| < ε,

Caret-right 𝑓(X) X→A−−−→ +(−)∞ si :

∀A ∈R,∃ηA > 0,∀X ∈ P, ‖X−A‖ < ηA ⟹ 𝑓(X) > (<)A.

Attention×

L’ensemble R𝑛 pour 𝑛 ⩾ 2 ne possède pas d’« infini» a priori. Les notions delimites en ces points n’existent donc pas.

Remarque 2.3— Ou intervient A ∈ P? Si c’est le cas, l’ensemble

{X ∈ D, ‖X−A‖ < ηA} ≠ ∅ pour tout ηA > 0.

Remarque 2.4 — Cette notion de limite possède le même type de propriétés quepour la limite de fonctions de R dans R ; unicité, opérations, inégalités, ... nous neles détaillons pas ici.




Soit 𝑓 ∶ P ⟶R , où P est un pavé de R𝑛 et A ∈ P.Si 𝑓 est définie en A (i.e. A ∈ P), et possède une limite en A, alors :

limX→A

𝑓(X) = 𝑓(A).

Preuve Identique au cas des fonctions d’une variable, en remplaçant lavaleur absolue par la norme euclidienne aux endroits appropriés.

Reformulation séquentielle. Comme pour le cas des fonctions d’une variable,nous pouvons reformuler la définition de la limite à l’aide de suites.

Théorème ANA.11.1 | Caractérisation séquentielle de la limiteSoit 𝑓 ∶ P ⟶R , où P est un pavé de R𝑛, et A ∈ P. Alors :

𝑓(X) X→A−−−→ ℓ ∈R ⟺ ∀(X𝑝)𝑝∈N ∈ PN, X𝑝𝑝→∞−−−−→ A, on a : 𝑓(X𝑝)

𝑝→∞−−−−→ ℓ.

Preuve Identique au cas des fonctions d’une variable.

Nier l’existence d’une limite. Dans le casdes fonctionsd’unevariable, onutilisaittrès souvent la caractérisation séquentielle : on exhibe deux suites convergeantvers la même chose, mais dont les suites images par 𝑓 tendent vers des limitesdifférentes. Traditionnellement, pour les fonctions de plusieurs variables, on niedirectement la définition de la limite, comme précisé dans la méthode qui suit.

Méthode (Comment nier l’existence d’une limite ? Fonctions de plusieurs

variables)WRENCH

Si 𝑓 ∶ P ⊂R𝑛 ⟶R et A ∈ P. Alors si 𝑓 admet une limite ℓ ∈R en A, pour toutefonction φ ∶ Q ⊂ R𝑛 ⟶ P (avec A ∈ Q) telle que limBφ = A pour B ∈ Q, ona :

limX→B

𝑓 ∘φ(X) = ℓ.

WRENCHAinsi, si l’on trouve deux telles fonctions φ1 ∶ Q1 ⊂ R𝑛 ⟶ P (associée à unpoint B1 ∈ Q1) et φ2 ∶ Q2 ⊂R𝑛 ⟶ P (associée à un point B2 ∈ Q2), vérifiant :

limX→B1

𝑓 ∘φ1(X) ≠ limX→B2

𝑓 ∘φ2(X),

la fonctionn’admet doncpas de limite enA. Ondit que l’on a trouvédes «che-mins le long desquels la fonction ne converge par vers la même limite».

Remarque 2.5— En résumé, la limite doit être la même peu importe le «cheminemprunté» pour aller vers A.

Exemple 5— Considérons les deux fonctions ci-dessous :

1 — Soit 𝑓1 la fonction de deux variables définie par :

𝑓1 ∶

||||||||

R2 ⟶ R

(𝑥,𝑦) ⟼⎧⎨⎩

𝑥𝑦𝑥2+𝑦2 si (𝑥,𝑦) ≠ (0,0),0 sinon.

La fonction 𝑓1 n’admet pas de

limite en (0,0).PEN-FANCY

2 — Soit 𝑓2 la fonction de deux variables définie par :

𝑓2 ∶

||||||||

R2 ⟶ R

(𝑥,𝑦) ⟼⎧⎨⎩

𝑥2𝑦2

𝑥2+𝑦2 si (𝑥,𝑦) ≠ (0,0),0 sinon.

La fonction 𝑓2 vérifie

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥,𝑦) = 0.



PEN-FANCY

Limite et vision polaire d’une fonction dans le cas 𝑛 = 2. On se place dans le casparticulier des fonctions de deux variables.

Définition ANA.11.7 | Version polaire d’une fonction1 — On appelle changement de variable polaire la fonction :

Φ||||||

R+ ×[0;2π[ ⟶ R2,

(𝑟,θ) ⟼ (𝑟cosθ,𝑟sinθ).

2 — Soit 𝑓 ∶ R2 ⟶ R une fonction. Alors on ap-pelle version polaire de 𝑓 la fonction 𝑓pol définie par :

𝑓pol||||||

R+ ×[0;2π[ ⟶ R

(𝑟,θ) ⟼ 𝑓∘Φ(𝑟,θ) = 𝑓(𝑟cosθ,𝑟sinθ).

𝑥

𝑦

𝑥θ

𝑦𝑟

FIG. ANA.11.2. : Coordonnées polaires et cartéseinnes

Proposition ANA.11.3 | Propriétés de la version polaire1 — L’application Φ est bijective.2 — Les fonctions 𝑓 et 𝑓pol ont même image, i.e.

{𝑓pol(𝑟,θ) = 𝑓(𝑟cosθ,𝑟sinθ), (𝑟,θ) ∈R+ ×[0;2π[} = {𝑓(𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦) ∈R2} .

Preuve1 — Soit (𝑥,𝑦) ∈ R2. Cherchons (𝑟,θ) ∈ R+ × [0;2π[ tel que : 𝑓(𝑟,θ) =

𝑓(𝑟cosθ,𝑟sinθ) = (𝑥,𝑦), on doit donc avoir⎧⎨⎩

𝑟cosθ = 𝑥,

𝑟sinθ = 𝑦.Ain-

si, nécessairement, en sommant les carrés des deux lignes, on obtient :𝑟2 cos2 θ + 𝑟2 sin2 θ = 𝑥2 + 𝑦2 donc 𝑟 = √𝑥2 +𝑦2. On a établi l’existence et

l’unicité de 𝑟. Puis, comme ( 𝑥𝑟 ,

𝑦𝑟 ) appartient au cercle trigonométrique, il

existe un unique θ ∈ [0,2π[ tel que cosθ = 𝑥𝑟 , sinθ = 𝑦

𝑟 . On a bien établil’existence et l’unicité d’un antécédent par 𝑓 pour (𝑥,𝑦). L’application Φ estdonc bijective.2 — Conséquence directe de 1).



On présente ici cette fonction puisque la condition d’existence d’une limite en unpoint se formule simplement avec 𝑓pol.

Proposition ANA.11.4 | Limite, et lien avec 𝑓pol

Soit 𝑓 ∶R2 ⟶R une fonction, et A = (𝑎1,𝑎2) ∈R2, ℓ ∈R. Alors :

ℓ = limA

𝑓 ⟺ ∀θ ∈ [0,2π[, ||𝑓(𝑎1 +𝑟cosθ,𝑎2 +𝑟cosθ)−ℓ|| ⩽ ε(𝑟),

où ε ∶R⟶R est une fonction telle lim𝑟→0

ε(𝑟) = 0.

Preuve Admis.

Méthode (Existence d’une limite avec des coordonnées polaires – 𝑛 = 2)WRENCH

Soit 𝑓 ∶ R2 ⟶ R une fonction, et ℓ ∈ R. Considérons le cas par exemple oùA = (0,0) : on souhaite donc affirmer (ou infirmer) que ℓ = lim(0,0) 𝑓.1 — Former 𝑓pol(𝑟,θ) pour tous (𝑟,θ) ∈R+ ×[0;2π[.2 — Si l’on obtient une quantité qui tend vers ℓ lorsque 𝑟 ⟶ 0,indépendamment dea θ, alors ℓ = lim(0,0) 𝑓.3 — Sinon, lim(0,0) 𝑓 n’existe pas.

Exemple 6— Étudier l’existence de limites en (0,0) pour les fonctions del’Exemple 5 à l’aide d’un changement de variable polaire.

PEN-FANCY

aau sens de la convergence et de la valeur de la limite

2.3. Continuité

Nous avons maintenant une notion de limite, on peut donc regarder l’ensembledes fonctions continues que l’on définit dès à présent.

Définition ANA.11.8 | ContinuitéSoit 𝑓 ∶ P ⟶R où P est un pavé de R𝑛 et A ∈ P. On dit que 𝑓 est continue en Asi :

𝑓(A) = limX→A

𝑓(X)

On dit que 𝑓 est continue sur P si elle l’est en tout point de P.

Attention×

Disons-le de suite, la continuité des restrictions partielles de 𝑓 n’entraîne pasla continuité de 𝑓 !



Exemple 7— On reprend les fonctions 𝑓1,𝑓2 de l’Exemple 5. Étudier la continuitéde 𝑓1,𝑓2 sur R2, ainsi que celle de leurs restrictions partielles.

PEN-FANCY

Exemple 8— Autres applications continues usuelles

1 — Les projections 𝑝𝑖 ∶||||||

R𝑛 ⟶ R

(𝑥1,…,𝑥𝑛) ⟼ 𝑥𝑖définies pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K

sont continues.2 — Les applications polynomiales sont continues.3 — La norme euclidienne ‖.‖ est continue sur R𝑛.

3. DÉRIVABILITÉ

Nous avons considéré dans le Chapitre ANA.7 des fonctions 𝑓 ∶ I ⟶ R et 𝑎 ∈ Ioù I est un intervalle de R. Ici nous allons définir le nombre dérivé sur des en-sembles dits ouverts 𝒪 de R𝑛, i.e. en des points qui ne sont pas situés sur le bordde l’ensemble, afin d’éviter de parler de limite à droite/gauche (qui n’existe pasdans R𝑛).

Définition ANA.11.9 | Ensemble ouvertSoit 𝒪 ⊂ R𝑛. On dit que 𝒪 est un ouvert de R𝑛 si pour tout 𝑥 ∈ 𝒪, il existe unvoisinage ouvert V𝑥 de 𝑥 inclus dans 𝒪.

𝑥

𝒪

V𝑥

FIG. ANA.11.3. : Représentation d’un ouvert

Exemple 9— Parmi les ensembles suivants, lesquels sont ouverts?



Caret-right (𝑛 = 1) ]1;2[, [2;9[, ]1;+∞[, ]1;2[∪ ]2;10[?PEN-FANCY

Caret-right (𝑛 = 2) [−1,1]× [0,1]?PEN-FANCY

3.1. Dérivées directionnelles

Définition ANA.11.10 | Dérivée directionnelleSoit 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶R , où𝒪 est un sous-ensemble ouvert deR𝑛,A ∈ 𝒪 etVunvecteurde R𝑛. On dit que 𝑓 est dérivable en A dans la direction V si :

𝑡 ⟼𝑓(A+𝑡V)−𝑓(A)

𝑡

admet une limite finie en zéro. Dans ce cas, on note ∂𝑓∂V (A) la valeur de la limite.

Remarque 3.1— Pourquoi supposer que l’ensemble 𝒪 est ouvert Ainsi, souscette hypothèse, pour 𝑡 assez petit, la quantité A+𝑡V est dans 𝒪 donc 𝑓(A+𝑡V) estbien définie.

Attention×

Le fait que 𝑓 soit dérivable partiellement, même dans toutes les directionsV ∈R𝑛, n’entraîne pas la continuité de 𝑓.

Exemple 10— Considérons la fonction 𝑔 ∶

||||||||

R2 ⟶ R

(𝑥,𝑦) ⟼⎧⎨⎩

𝑦2

𝑥 si 𝑥 ≠ 0𝑦 sinon

.

Alors 𝑔 admet une dérivée dans toutes les directions en (0,0), mais n’est pas conti-nue en 0.

Caret-right (Dérivées en (0,0)dans toutes les directions) soitV = (𝑣1,𝑣2) ∈R2, et 𝑡 ∈R⋆.PEN-FANCY Si 𝑣1 ≠ 0 alors :

𝑔(0+𝑡𝑣1,0+𝑡𝑣2)−𝑔(0,0)𝑡

=1𝑡𝑡2𝑣22𝑡𝑣1

𝑡→0−−−→𝑣22𝑣1

.

Si 𝑣1 = 0 :

𝑔(0+𝑡𝑣1,0+𝑡𝑣2)−𝑔(0,0)𝑡

=1𝑡𝑡𝑣2

𝑡→0−−−→ 𝑣2.

Dans les deux cas 𝑓 est dérivable en (0,0) dans la direction (𝑣1,𝑣2).Caret-right Pourtant, cette fonction n’est pas continue en (0,0). En effet, 𝑔(𝑥,0) = 𝑥 𝑥→0−−−→

0, et pour 𝑥 ≠ 0, 𝑔(𝑥2,𝑥) = 1 𝑥→0−−−→ 1 ≠ 0.

Cas particulier : les dérivées partielles. Lorsque les directions V sont les vecteursde la base canoniqueℬcan = (𝑒1,…,𝑒𝑛) deR𝑛, on appelle généralement ces objetsles dérivées partielles de 𝑓.

Définition ANA.11.11 | Dérivée partielleSoit 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶ R , où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert de R𝑛, et A = (𝑎1,…,𝑎𝑛) ∈𝒪, 𝑖 ∈ {1,…,𝑛}.On dit que 𝑓 possède une dérivée partielle dans la direction 𝑖 si 𝑓 possède unedérivée directionnelle selon V = 𝑒𝑖, i.e. si :

lim𝑡→0

𝑓(A+𝑡𝑒𝑖)−𝑓(A)𝑡

= lim𝑡→0

𝑓(𝑎1,…,𝑎𝑖−1, 𝑎𝑖 +𝑡 ,𝑎𝑖+1,…,𝑎𝑛)−𝑓(𝑎1,…,𝑎𝑛)

𝑡existe et est finie.



Dans ce cas, on note ∂𝑓∂𝑒𝑖

(A) (ou encore ∂𝑓∂𝑥𝑖

(A) et ∂𝑥𝑖𝑓(A))) la valeur de la limite.

Remarque 3.2— On «gèle» donc toutes les variables sauf une, selon laquelle oncalcule le taux d’accroissement et on dérive.

Notation (Cas 𝑛 = 2)Σ

Notons A = (𝑎1,𝑎2) ∈ R2. On rappelle que la base canonique de R2 est (𝑒1,𝑒2)où 𝑒1 = (1,0), 𝑒2 = (0,1). Dans ce cas, la fonction 𝑓 est une fonction de deuxvariables :

𝑓 ∶||||||

R2, ⟶ R

(𝑥,𝑦). ⟼ 𝑓(𝑥,𝑦)

Onpeutdoncdériver suivantdeuxdirectionsde labase canonique, et onnoteavec les mêmes notations que dans la définition :

∂𝑓∂𝑥

(A) = lim𝑡→0

𝑓(𝑎1 +𝑡,𝑎2)−𝑓(𝑎1,𝑎2)𝑡

, (derx)

∂𝑓∂𝑦

(A) = lim𝑡→0

𝑓(𝑎1,𝑎2 +𝑡)−𝑓(𝑎1,𝑎2)𝑡

. (dery)

L’existence de ces limites implique la continuité de 𝑎1 ⟼ 𝑓(𝑎1,𝑎2) pour tout𝑎2 ∈ R, et 𝑎2 ⟼ 𝑓(𝑎1,𝑎2) pour tout 𝑎1 ∈ R. Les quantités (derx) et (dery) sontsimplement les taux d’accroissement de ces deux fonctions aux points 𝑎1 et𝑎2.

Attention (aux notations – Important !)×

Plaçons-nous par exemple dans le cas 𝑛 = 2, donc 𝑓 ∶ R2 ⟶ R. Il faut biencomprendre, que :1 — (dérivée partielle évaluée en ...) ∂𝑓

∂𝑥 (𝑥,𝑦), ∂𝑓∂𝑥 (𝑢,𝑣) désignent en fait

×la même dérivée. La notation ∂𝑓

∂𝑥 signifie que l’on a dérivé 𝑓 par rap-port à sa première variable. Après, on peut l’évaluer en ce que l’on veut !(𝑥,𝑦), (𝑢,𝑣), (𝑠,𝑡)... Parfois on peut préférer – et je la préfère !a – la notation∂1𝑓, ∂2𝑓 qui ne fait pas intervenir le nom éventuel donné à chaque variable.2 — (dériver une expression par rapport à ...) ∂

∂𝑥 (𝑓(𝑥,𝑥2)) (oudd𝑥 (𝑓(𝑥,𝑥2)) si une seule variable est présente ) signifie en revancheque l’on dérive l’expression par rapport à 𝑥 : attention donc à l’emplacementdes parenthèses.

Les constats précédents seront importants pour bien comprendre les formules dedérivation d’une composée qui vont suivre.

Finalement les dérivées partielles ne sont ni plus ni moins que des taux d’accrois-sement de fonctions de R dans R. Elles héritent donc naturellement des mêmespropriétés de dérivabilité que pour les sommes, produits, quotients, composéesdéjà connues.

Proposition ANA.11.5 | Propriétés des dérivées partiellesSoient 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶ R et 𝑔 ∶ 𝒪 ⟶ R , où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert de R𝑛, etA = (𝑎1,…,𝑎𝑛) ∈ 𝒪, V ∈ R𝑛 une direction.

1 — Si𝑓,𝑔possèdent enAunedérivéedirectionnelle dans la directionV, alors𝑓×𝑔 aussi et :

∂(𝑓×𝑔)∂V

(A) =∂𝑓∂V

(A)𝑔(A)+𝑓(A)∂𝑔∂V

(A).

En conséquence, si 𝑓(A) ≠ 0, on a :

∂(1𝑓)

∂V(A) = −

1𝑓(A)2

∂𝑓∂V

(A).

2 — (Composition à gauche par une fonctiond’une variable) Si 𝑓 possèdeen A une dérivée directionnelle dans la direction V, et φ ∶ R ⟶ R dérivable

aMais je ne l’utiliserai quasiment pas, comme dans les sujets de concours



en 𝑓(A), alors φ∘𝑓 possède une dérivée directionnelle dans la direction V et :

∂(φ∘𝑓)∂V

(A) =∂𝑓∂V

(A)φ′(𝑓(A)).

Preuve Même preuve que pour les fonctions d’une variable.

Exemple 11— Soit 𝑓 ∶ (𝑥,𝑦) ∈R2 ⟼ 𝑥𝑦 . Déterminer si elles existent les dérivéespartielles de 𝑓, en utilisant la définition.

PEN-FANCY

Exemple 12— Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes,et déterminer si elles existent leurs dérivées partielles.

1 — 𝑓 ∶ (𝑥,𝑦) ∈R2 ⟼ 1+𝑥𝑦+𝑦2 ,PEN-FANCY

2 — 𝑔 ∶ (𝑥,𝑦) ∈R2 ⟼ √𝑥2 +𝑦2 ,

PEN-FANCY

3 — ℎ ∶ (𝑥,𝑦,𝑧) ∈R3 ⟼ ln(𝑥+2𝑧)+√1+𝑦2 .

PEN-FANCY

3.2. Gradient

La notion de gradient définie ci-dessous généralise le concept de vecteur tangentà un graphe de fonction d’une variable. En effet, on rappelle que 𝑓′(𝑎) est la pentede la tangente en 𝑎 si 𝑓 est une fonction de la variable réelle.



Définition ANA.11.12 | GradientSoit 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶ R où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert de R𝑛, et 𝑓 une fonctionadmettant des dérivées partielles dans toutes les directions. Soit A ∈ 𝒪. Onappelle gradient de 𝑓 en A ∈ 𝒪 le vecteur

grad𝑓(A) =

⎛⎜⎜⎜⎝

∂𝑓∂𝑥1

(A)

∂𝑓∂𝑥𝑛

(A)

⎞⎟⎟⎟⎠

.

On le note généralement grad𝑓(A) où encore ∇A𝑓.

Exemple 13— On note 𝑓|||||||

R𝑛 ⟶ R

(𝑥1,…,𝑥𝑛), ⟼𝑛∑𝑖=1

𝑥2𝑖 .

Montrer que 𝑓 admet un

gradient en tout point de R𝑛, puis calculer grad𝑓(𝑥) en tout point 𝑥 ∈R𝑛.

PEN-FANCY

3.3. Fonctions 𝒞1

Définition ANA.11.13 | Classe 𝒞1

Soit 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶ R où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert de R𝑛. On dit que 𝑓 est declasse 𝒞1 sur 𝒪 si toutes ses dérivées partielles sont définies et continues sur𝒪. On note 𝒞1(𝒪,R) l’ensemble des fonctions de classe 𝒞1 sur 𝒪.

Exemple 14— Les fonctions 𝑓,𝑔 définies dans l’Exemple 12 sont-elles 𝒞1 ?

PEN-FANCY

Exemple 15— Autres applications𝒞1



1 — Les projections 𝑝𝑖||||||

R𝑛 ⟶ R

(𝑥1,…,𝑥𝑛) ⟼ 𝑥𝑖définies pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K sont

de classe 𝒞1.2 — Les applications polynomiales sont de classe 𝒞1.

Exemple 16— Intégrale à bornes variables : le retour La fonction 𝑖 ∶ (𝑥,𝑦) ∈

R2 ⟼ ∫𝑦2

−𝑥

1𝑡2 +𝑡+1

d𝑡 est bien définie, de classe 𝒞1, et déterminer son gradient

en tout point (𝑥,𝑦) ∈R2.

PEN-FANCY

Proposition ANA.11.6 | Propriétés des fonctions 𝒞1

Soient 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶ R et 𝑔 ∶ 𝒪 ⟶ R , où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert de R𝑛,deux fonctions de classe 𝒞1 sur 𝒪. Alors :1 — 𝑓+𝑔 et 𝑓×𝑔 sont aussi de classe 𝒞1,2 — si 𝑔 ne s’annule pas, le quotient 𝑓

𝑔 est aussi de classe 𝒞1.3 — (Composition à gauche par une fonction d’une variable) Si φ ∶ R ⟶R est également de classe 𝒞1, alors φ∘𝑓 est également de classe 𝒞1.

Preuve Utiliser les résultats sur les fonctions d’une variable aux restric-tions partielles.

De-même que l’on peut dériver partiellement une expression de plusieurs va-riables, on peut se poser la question de l’existence et du calcul d’une primitivepartielle selon l’une des variables. Voyons quelques exemples classiques.

Exemple 17— Primitivation partielle première

1 — Déterminer les fonctions 𝑓 de classe 𝒞1 telles que ∂𝑓∂𝑥 = 0.

PEN-FANCY

2 — Déterminer les fonctions 𝑓 de classe 𝒞1 sur R2\{(0,0)} et vérifiant :

∀(𝑥,𝑦) ∈R2\{(0,0)},⎧⎪⎨⎪⎩

∂𝑓∂𝑥 (𝑥,𝑦) = 𝑥

√𝑥2+𝑦2,

∂𝑓∂𝑦 (𝑥,𝑦) = 𝑦

√𝑥2+𝑦2.

PEN-FANCY

Enfin, la formule deTAYLOR-YOUNG reste valable pour des fonctions de𝑛 variablesde classe 𝒞1. Nous l’énonçons à l’ordre un.



NotationΣDans la suite, pour deux vecteurs X = (𝑥1,…,𝑥𝑛),Y = (𝑦1,…,𝑦𝑛) de R𝑛, onnotera :

⟨X|Y⟩ =𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑦𝑖.

Théorème ANA.11.2 | Taylor-Young à l’ordre unSoient 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶ R et A = (𝑎1,…,𝑎𝑛) ∈ 𝒪 où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert deR𝑛. Si 𝑓 est de classe 𝒞1 sur un domaine ouvert contenant A, alors :

𝑓(X) =(défi.)

𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛) =X→A

𝑓(A)+𝑛∑𝑖=1

∂𝑓(A)∂𝑥𝑖

(𝑥𝑖 −𝑎𝑖)+o(‖X−A‖)

= 𝑓(A)+⟨grad𝑓(A)||X−A⟩+o(‖X−A‖) ,

où :

o(‖X−A‖) = ε(X)‖X−A‖

pour une certaine fonction réelle ε ∶R𝑛 ⟶R telle que limX→A

ε(X) = 0.

Preuve Admis.

Remarque 3.3 — De manière équivalente, par changement de variable «H = X−A» dans la limite, le résultat peut s’écrire sous la forme suivante :

𝑓(A+H) =H→0

𝑓(A)+𝑛∑𝑖=1


H𝑖 +o(‖H‖)

= 𝑓(A)+⟨grad𝑓(A)||H⟩+o(‖H‖) ,

où o(‖H‖) = ε(H)‖H‖ pour une certaine fonction réelle ε ∶ R𝑛 ⟶ R telle quelimH→0

ε(H) = 0.

Exemple 18— Application à l’approximation Soit 𝑓 ∶ (𝑥,𝑦,𝑧) ∈ R3 ⟼ 1+𝑥𝑦2 +𝑥2𝑧 et 𝑎 = (2,1,0). Montrer que 𝑓 admet un développement limité à l’ordre 1 en 𝑎et le déterminer.

PEN-FANCY

Corollaire ANA.11.1 | Taylor-Young à l’ordre un pour 𝑛 = 2Soient 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶R et A = (𝑎1,𝑎2) ∈ 𝒪 où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert de R2.Si 𝑓 est de classe 𝒞1 sur un voisinage ouvert de A, alors :

𝑓(𝑥,𝑦) =(𝑥,𝑦)→(𝑎1,𝑎2)

𝑓(𝑎1,𝑎2)+∂𝑓(A)∂𝑥1

(𝑥−𝑎1)+∂𝑓(A)∂𝑥2

(𝑦−𝑎2)+o(‖X−A‖) .

Autrement dit, en faisant un changement de variable,

𝑓(𝑎1 +ℎ,𝑎2 +𝑘) =(ℎ,𝑘)→(0,0)

𝑓(𝑎1,𝑎2)+∂𝑓(A)∂𝑥1

ℎ+∂𝑓(A)∂𝑥2

𝑘+o(‖(ℎ,𝑘)‖) .

Preuve Conséquence directe du théorème général.

Exemple 19— On reprend la fonction 𝑔 ∶ (𝑥,𝑦) ∈R2 ⟼ √𝑥3 +𝑦3 . Déterminerune valeur approchée de √1,023 +2,073 sans calculatrice.

PEN-FANCY



La formule de TAYLOR-YOUNG, comme pour les fonctions d’une variable, possèdeune interprétation géométrique.

Définition ANA.11.14 | Plan tangent au graphe d’une fonction de deuxvariables

Soient 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶R et A = (𝑎1,𝑎2) ∈ 𝒪 où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert de R2.Si 𝑓 est de classe𝒞1 sur un voisinage ouvert deA, alors on appelleplan tangentà 𝑓 en A le plan de R3 d’équation :

TA(𝑓) ∶ 𝑧 = 𝑓(A)+∂𝑓∂𝑥

(A)(𝑥−𝑎1)+∂𝑓∂𝑦

(A)(𝑦−𝑎2).

Ainsi,

TA(𝑓) = {(𝑥,𝑦,𝑓(A)+∂𝑓∂𝑥

(A)(𝑥−𝑎1)+∂𝑓∂𝑦

(A)(𝑦−𝑎2)) , (𝑥,𝑦) ∈R2}.

Remarque 3.4— VecteurnormalauplanPuisqueTA(𝑓) est uneéquationdu type𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧 = 𝑑 avec 𝑎 = ∂𝑓

∂𝑥 (A), 𝑏 = ∂𝑓∂𝑦 (A) et 𝑐 = 1, le vecteur

(∂𝑓∂𝑥

(A),∂𝑓∂𝑦

(A),1)

est normal au plan TA(𝑓).

Remarque 3.5— Cas 𝑛 = 1 L’ensemble TA(𝑓) généralise la notion de droite tan-gente «T𝑎(𝑓) ∶ 𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)» à un graphe de fonction dérivable d’unevariable.

Par exemple, pour le cercle𝒞(O,1)de rayon 1 centré à l’origine, il est d’équation

𝑥2 +𝑦2 = 1.

C’est donc aussi la réunion des graphes des fonctions d’une variable ci-après

𝑓 ∶ 𝑥 ∈ [0,1] ⟼ √1−𝑥2,

et

𝑔 ∶ 𝑥 ∈ [0,1] ⟼ −√1−𝑥2.

𝒞𝑓 ∶ 𝑦 = √1−𝑥2

𝒞𝑔 ∶ 𝑦 = −√1−𝑥2

•A = 0

T0𝑓

𝑥

𝑦

FIG. ANA.11.4. : Le cercle unité et son plan tangent au pôle nord



Alors l’intuition voudrait que la droite tangente à 𝒞(0,1) en A = 0 (pôle nord) soitla droite 𝑦 = 1. On retrouve ce fait par le calcul.

PEN-FANCY

Remarque 3.6 — Interprétation pour𝑛 = 2 On rappelle que le graphe de 𝑓 est lasurface d’équation 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦). Alors la formule de TAYLOR-YOUNG nous dit qu’auvoisinage de A = (𝑎1,𝑎2) ∈R2, le graphe de 𝑓 est très proche du plan tangent TA(𝑓).

Exemple 20— Cas de la sphère de rayon 1 centrée en 0 Rappelons que la sphère𝒮(O,1) de rayon 1 centré à l’origine, est d’équation

𝑥2 +𝑦2 +𝑧2 = 1.

C’est aussi la réunion des graphes des fonctions de deux variables ci-après

𝑓 ∶ (𝑥,𝑦) ∈ [𝑥,𝑦]2 ⟼ √1−𝑥2 −𝑦2,

et

𝑔 ∶ (𝑥,𝑦) ∈ [0,1]2 ⟼ −√1−𝑥2 −𝑦2.

𝑥

𝑦

𝑧

Alors l’intuition voudrait que le plan tangent à𝒮(0,1) en (0,0,1) (pôle nord) soit leplan 𝑧 = 1. En effet, calculons les dérivées partielles de 𝑓 en ce point et retrouvonscette équation.

PEN-FANCY

Corollaire ANA.11.2 | Toute fonction 𝒞1 est continueSoient 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶ R et A = (𝑎1,…,𝑎𝑛) ∈ 𝒪 où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert deR𝑛. Si 𝑓 est de classe 𝒞1 sur un voisinage de A, alors elle est continue en A.

Preuve Il suffit de faire tendre X vers A dans la formule de TAYLOR-YOUNG : en effet, ⟨grad𝑓(A)||X−A⟩ =

𝑛∑𝑖=1


(𝑥𝑖 −𝑎𝑖)X→A−−−→ 0. On obtient

𝑓(X) X→A−−−→ 𝑓(A) puisque o(‖X−A‖) X→A−−−→ 0 par définition d’un «petit o».

Résumé♥

Récapitulons les différentes implications entre continuité, dérivabilité, ca-ractère 𝒞1 et leur version partielle :

PEN-FANCY

Exemple 21— Incertitudes de mesures Supposons qu’une quantité dépende de



manière 𝒞1 de plusieurs paramètres notés 𝑥1,…,𝑥𝑛 avec la relation

𝑦 = 𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛)

où 𝑓 est une fonction 𝑓 ∶ R𝑛 ⟶ R supposée de classe 𝒞1. Supposons que des re-levés des 𝑥𝑖 peuvent être entachés d’une erreur δ𝑥𝑖 ⩾ 0 pour tout 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K. Alors,on notant δ𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥1+δ𝑥1,…,𝑥𝑛+δ𝑥𝑛)−𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛) l’erreur correspon-dante sur 𝑓 :

δ𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛) ≈𝑛∑𝑖=1

δ𝑥𝑖𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛),

ou encore en valeur absolue, d’après l’inégalité triangulaire :

||δ𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛)|| ⩽𝑛∑𝑖=1

||δ𝑥𝑖|| ||𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛)|| .

Cette formule permet donc de contrôler l’erreurmaximale sur 𝑓 commise en fonc-tion des erreurs qui entachent chacune des mesures.

3.3.1. Dérivation de composées

Théorème ANA.11.3 | Règle de la chaîne (1)Soient 𝑓 ∈ 𝒞1(𝒪,R), où𝒪 est un ouvert deR𝑛 et𝑥1,…,𝑥𝑛 ∶ 𝒪 ⟶R 𝑛 fonctionsde𝒞1(I,R)a, telles que (𝑥1(𝑡),…,𝑥𝑛(𝑡)) ∈ 𝒪pour tout 𝑡 ∈ I avec I intervalle réel.

Alors 𝑔||||||

I ⟶ R

𝑡 ⟼ 𝑓(𝑥1(𝑡),…,𝑥𝑛(𝑡))est dans 𝒞1(𝒪,R) et

∀𝑡 ∈ I, 𝑔′(𝑡) =𝑛∑𝑖=1

𝑥′𝑖(𝑡)

∂𝑓∂𝑥𝑖

(𝑥1(𝑡),…,𝑥𝑛(𝑡)).

aEncoreune fois, les formules ci-dessousne requièrent aucunement l’hypothèse𝒞1 en vérité,maisnous les énonçons ainsi conformément au programme

Remarque 3.7— Lien avec le cas𝑛 = 1 Remarquons que pour 𝑛 = 1, on retrouvela formule de dérivation d’une composée. Pour les fonctions de deux variables ilfaut donc appliquer le même type de formule pour chacune des variables et som-mer. On dérive «à la chaîne».

Preuve Admis.

Corollaire ANA.11.3 | Règle de la chaîne (1) – Cas 𝑛 = 2Soient 𝑓 ∈ 𝒞1(𝒪,R), où 𝒪 est un ouvert de R2 et 𝑥,𝑦 ∶ 𝒪 ⟶ R deux fonctionsde 𝒞1(I,R), telles que (𝑥(𝑡),𝑦(𝑡)) ∈ 𝒪 pour tout 𝑡 ∈ I avec I intervalle réel. Alors

𝑔||||||

I ⟶ R

𝑡 ⟼ 𝑓(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡))est dans 𝒞1(𝒪,R) et

∀𝑡 ∈ I, 𝑔′(𝑡) = 𝑥′(𝑡)∂𝑓∂𝑥

(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡))+𝑦′(𝑡)∂𝑓∂𝑦

(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡)).

Preuve Appliquer la formule précédente dans le cas 𝑛 = 2.

Exemple 22— Soit 𝑓 ∶R2 ⟶R une fonction 𝒞1. Calculer dd𝑡 (𝑓(𝑡

2,√𝑡)) pour tout𝑡 > 0.

PEN-FANCY



Exemple 23— Relation fondamentale de l’analyse généralisée Soit 𝑓 ∶ R𝑛 ⟶ Rune fonction 𝒞1. On note 𝑔 ∶ 𝑡 ∈ [0,1] ⟼ 𝑓(𝑡𝑥1,…,𝑡𝑥𝑛) pour tous (𝑥1,…,𝑥𝑛) ∈R𝑛.

1 — Justifier que 𝑔 est dérivable et que : 𝑔(1) = 𝑔(0)+ ∫1

0𝑔′(𝑠)d𝑠.

PEN-FANCY

2 — En appliquant la formule de la chaîne à 𝑔, montrer que :

𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛) = 𝑓(0,…,0)+𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖∫1

0

∂𝑓∂𝑥𝑖

(𝑡𝑥1,…,𝑡𝑥𝑛)d𝑡.

PEN-FANCY

Remarque 3.8— Dans le cas𝑛 = 1, on retrouve la relation fondamentale de l’Ana-lyse en faisant un changement de variable dans l’intégrale.

Théorème ANA.11.4 | Règle de la chaîne (2) – Cas 𝑛 = 2Soient 𝒪1,𝒪2 deux ouverts de R2, et 𝑥 ∶ 𝒪1 ⟶ R , 𝑦 ∶ 𝒪1 ⟶ R , 𝑓 ∶ 𝒪2 ⟶ R ,trois applications 𝒞1 telles que : ∀(𝑢,𝑣) ∈ 𝒪1, (𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣)) ∈ 𝒪2.

Alors 𝑔||||||

𝒪1 ⟶ R

(𝑢,𝑣) ⟼ 𝑓(𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣))est dans 𝒞1(𝒪1,R) et

∂𝑔∂𝑢

(𝑢,𝑣) =∂𝑥∂𝑢

(𝑢,𝑣)∂𝑓∂𝑥

(𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣))+∂𝑦∂𝑢

(𝑢,𝑣)∂𝑓∂𝑦

(𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣)),

∂𝑔∂𝑣

(𝑢,𝑣) =∂𝑥∂𝑣

(𝑢,𝑣)∂𝑓∂𝑥

(𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣))+∂𝑦∂𝑣

(𝑢,𝑣)∂𝑓∂𝑦

(𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣)).

Preuve Nous admettons cette deuxième formule.

Exemple 24— Cas du changement polaire Si 𝑓 ∶R2 ⟶R est de classe 𝒞1, mon-trer que 𝑓pol est aussi de classe 𝒞1 et calculer ∂

∂𝑟 (𝑓pol(𝑟,θ)), ∂

∂θ (𝑓pol(𝑟,θ)) en fonc-

tion des dérivées partielles de 𝑓, pour tous (𝑟,θ) ∈R+ ×[0,2π[.

PEN-FANCY



3.4. Fonctions 𝒞2

On se restreint dans cette partie aux fonctions de deux variables (𝑛 = 2) pour sim-plifier, même si l’ensemble des résultats peuvent être étendus aux fonctions de 𝑛variables.

Définition ANA.11.15 | Dérivées d’ordre supérieureSoit 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶R où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert de R2.1 — Supposons que 𝑓 admette une dérivée partielle par rapport à 𝑥 sur 𝒪, etsoit A ∈ 𝒪.

Caret-right si ∂𝑓∂𝑥 possède une dérivée partielle au point A par rapport à sa première

variable, on pose : ∂2𝑓∂𝑥2 (A) = ∂

∂𝑥 ( ∂𝑓∂𝑥 ) (A),Caret-right si ∂𝑓

∂𝑥 possède une dérivée partielle par rapport à 𝑦 en A, on pose :∂2𝑓∂𝑦∂𝑥 (A) = ∂

∂𝑦 ( ∂𝑓∂𝑥 ) (A).

2 — On définit de la même manière ∂2𝑓∂𝑥∂𝑦 (A) = ∂

∂𝑥 ( ∂𝑓∂𝑦 ) (A) et ∂2𝑓∂𝑦2 (A) =

∂∂𝑦 ( ∂𝑓∂𝑦 ) (A).

Définition ANA.11.16 | Classe 𝒞2, cas 𝑛 = 2Soit 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶ R où 𝒪 est un sous-ensemble ouvert de R2. On dit que 𝑓 estde classe 𝒞2 sur 𝒪 si toutes ses dérivées partielles secondes sont définies etcontinues sur 𝒪. On note 𝒞2(𝒪,R) l’ensemble des fonctions de classe 𝒞2 sur𝒪.

Pour finir, un théorème qui sera lui aussi admis (la démonstration est difficile) : onpeut permuter l’ordre des dérivées dans les dérivées croisées dès que la fonctionest 𝒞2.

Théorème ANA.11.5 | de SCWHARZSoient 𝒪 un ouvert de R2 et 𝑓 ∈ 𝒞2(Ω,R). Alors :

∂2𝑓∂𝑥∂𝑦

=∂2𝑓

∂𝑦∂𝑥.

Preuve Admis.

Exemple 25— Vérifier le théorème sur la fonction 𝑓 ∶ (𝑥,𝑦) ∈ R2 ⟼ 𝑥3 −𝑦3𝑥 +√1+𝑥2 +𝑦2 après avoir précisé son ensemble de définition.

PEN-FANCY

Exemple 26— Cas du changement polaire Si 𝑓 ∶R2 ⟶R est de classe 𝒞2, mon-trer que 𝑓pol est aussi de classe 𝒞2 et calculer ∂2

∂𝑟2 (𝑓pol(𝑟,θ)) en fonction des dé-

rivées partielles secondes de 𝑓, pour tous (𝑟,θ) ∈ R+ × [0,2π[. Indication : Onpourra se servir des dérivées partielles d’ordre un, qui ont déjà été calculées.

PEN-FANCY



Exemple 27— Primitivation partielle seconde

1 — Déterminer les fonctions 𝑓 de classe 𝒞2 telles que ∂2𝑓∂𝑥2 = 0.

PEN-FANCY

2 — Déterminer les fonctions 𝑓 de classe 𝒞2 telles que ∂2𝑓∂𝑥∂𝑦 = 0.

PEN-FANCY

3.5. Extrema

Définition ANA.11.17 | ExtremaOn dit qu’une fonction 𝑓 ∶ P ⟶R admet en X0 ∈ P un minimum (resp. maxi-

mum) si :

∀X ∈ P, 𝑓(X) ⩾ 𝑓(X0)

(resp. ∀X ∈ P, 𝑓(X) ⩽ 𝑓(X0) ).

On dit que 𝑓 admet en X0 ∈ P un minimum local (resp. maximum local) s’ilexiste α > 0, et un voisinage ouvert VX0 de X0, tel que :

∀X ∈ P∩VX0 , 𝑓(X) ⩾ 𝑓(X0)

(resp. ∀X ∈ P∩VX0 , 𝑓(X) ⩽ 𝑓(X0) ).

On dit que 𝑓 admet en X0 un extremum (resp. extremum local) si 𝑓 admet enX0 un minimum ou un maximum (resp. un minimum local ou un maximumlocal).

Remarque 3.9— Dans un cas, 𝑓(X) ⩽ 𝑓(A) est vraie « localement». Dans l’autre«globalement».

Pour les fonctions dérivables d’une variable, on sait qu’en tout extremum (mêmelocal) situédans l’intérieurdudomainededéfinition, la dérivéepremière est nulle.Voici l’analogue pour les fonctions de plusieurs variables.

Définition ANA.11.18 | Point critiqueOn appelle point critique d’une fonction admettant des dérivées partiellesdans toutes les directions 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶ R avec 𝒪 un ensemble ouvert, tout élé-ment X ∈ P tel que grad𝑓(X) = 0.

ThéorèmeANA.11.6 | Conditionnécessairepourqu’unpoint intérieur soitun extremum local

Soient 𝑓 ∶ 𝒪 ⟶R une application, 𝒪 un ouvert, et X0 ∈ 𝒪. On suppose que :1 — 𝑓 admet en 𝑥0 un extremum local,2 — 𝑓 admet des dérivées partielles dans toutes les directions en X0.Alors X0 est un point critique de 𝑓 : grad𝑓(X0) = 0.



Remarque 3.10— Pour𝑛 = 2, dire que la fonction présente un extremum local enX0 signifieque l’unedesdeux inégalitésprécédentes est vraie surunpetit rectangleouvert centré en X0.

Preuve Appliquer la preuve du Chapitre ANA.7 pour chacune des déri-vées partielles.

Remarque 3.11— Il existe des méthodes pour déterminer la nature d’un pointcritique mais qui ne sont pas à notre programme. Tout exercice sur le sujet seradonc guidé.

Exemple 28—

1 — Déterminer les points critiques de la fonction 𝑓 ∶ (𝑥,𝑦) ⟼ 𝑥3 −3𝑥+𝑦2 .PEN-FANCY

2 — Déterminer les points critiques de la fonction𝑔 ∶ (𝑥,𝑦) ⟼ 𝑥2 −4𝑥+𝑦3 −3𝑦 .PEN-FANCY

Exemple 29— Retour sur la régression linéaire On considère (𝑥𝑖,𝑦𝑖)1⩽𝑖⩽𝑛 avec𝑛 ⩾ 1 est un nuage de 𝑛 points de R2. On rappelle que dans le problème de re-cherche de droite des moindres carrés, on souhaite minimiser la quantité définieci-après. Déterminer l’unique point critique (𝑎⋆,𝑏⋆) de la fonction F ∶R2 ⟶R :

∀(𝑎,𝑏) ∈R2, F(𝑎,𝑏) =𝑛∑𝑖=1

(𝑦𝑖 −𝑎𝑥𝑖 −𝑏)2.

On rappelle les définitions des quantités statistiques usuelles suivantes :

𝑥 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖, 𝑥2 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥2𝑖 , V𝑥 = 𝑥2 −𝑥2 = σ2

𝑥, C𝑥,𝑦 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑦𝑖 −𝑥𝑦.

On montrera que :

𝑎⋆ =C𝑥,𝑦

σ2𝑥

, 𝑏⋆ = 𝑦−𝑎⋆𝑥.

PEN-FANCY



Remarque 3.12— Nous referons appel à ce résultat dans le Chapitre ALEA.17, etnous montrerons que (𝑎⋆,𝑏⋆) est un minimum global de F.




4. EXERCICES

4.1. Généralités

[AN_CalcDiff_51.tex]

Exercice ANA.11.1 (Solution : 27) Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥,𝑦) =ln (2𝑥+𝑥2 +𝑦2), pour tout (𝑥,𝑦) dans un ensemble à préciser dans la suite.

1 — Déterminer l’ensemble de définition de 𝑓, et le représenter graphiquement.2 — Montrer que les lignes de niveau de 𝑓 sont des cercles dont on donnera lecentre et le rayon.

4.2. Continuité


Exercice ANA.11.2 (Solution : 27) Étudier les limites éventuelles en (0,0) des fonc-tions suivantes, supposées définies sur le plus grand domaine de définition pos-sible.

𝑓1(𝑥,𝑦) =𝑥3 +𝑦3

𝑥2 +𝑦2, 𝑓2(𝑥,𝑦) =

3𝑥2 +𝑥𝑦√𝑥2 +𝑦2

, 𝑓3(𝑥,𝑦) = (𝑥+𝑦)sin(1

𝑥2 +𝑦2) .


Exercice ANA.11.3 Soit 𝑓 la fonction définie par : pour tout (𝑥,𝑦) ∈R2,

𝑓(𝑥,𝑦) =⎧⎨⎩

𝑥2𝑦2

𝑥4+𝑦2 si (𝑥,𝑦) ≠ (0,0),0 sinon.

Étudier la continuité de 𝑓 sur R2. Indication : On pourra se servir, après l’avoirprouvée, de l’inégalité √𝑢𝑣

𝑢+𝑣 ⩽ 12 pour tout 𝑢,𝑣 ⩾ 0.


Exercice ANA.11.4 Soit la fonction 𝑓||||||

R2 ⟶ R

(𝑥,𝑦) ⟼ 1−cos(𝑥𝑦)𝑥𝑦2

.

1 — Déterminer l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 et le représenter gra-phiquement.2 — Étudier la limite de 𝑓 quand (𝑥,𝑦) tend vers (0,0).

4.3. Dérivabilité & Équations aux dérivées partielles


Exercice ANA.11.5 Dérivabilité partielle Pour chacune des fonctions ci-dessous.Déterminer le domaine de définition représenter ce domaine, puis calculer les dé-rivées partielles d’ordre 1

1 — 𝑓(𝑥,𝑦) = ln(2−𝑦)+e𝑥 sin(𝑦)−√𝑥2 +1,2 — 𝑓(𝑥,𝑦) = ln(1−𝑥) ln(𝑦−2)

√2𝑥+𝑦−1 ,3 — 𝑓(𝑥,𝑦) = cos(𝑥)cos(𝑦)cos(𝑦−𝑥),4 — 𝑓(𝑥,𝑦) = √2−𝑥2 −𝑦2 +2𝑥−2𝑦+ ln (𝑥2𝑦).


Exercice ANA.11.6 Gaz parfaits La loi des gaz parfaits peut prendre la formePV = 𝑘𝑛T où 𝑛 est le nombre de molécules de gaz présentes dans un volume V, àla température T, P étant la pression 𝑘 une constante. Montrer que

∂V∂T

×∂T∂P

×∂P∂V

= −1.[AN_CalcDiff_5.tex]

Exercice ANA.11.7 Primitivation partielle

1 — Déterminer les fonctions 𝑓 de classe 𝒞1 sur R2 et vérifiant :

∀(𝑥,𝑦) ∈R2,⎧⎨⎩

∂𝑓∂𝑥 (𝑥,𝑦) = sin𝑦e𝑥sin𝑦

∂𝑓∂𝑦 (𝑥,𝑦) = (𝑥e𝑥sin𝑦 +𝑦)cos𝑦.




∀(𝑥,𝑦) ∈R2,⎧⎨⎩

∂𝑓∂𝑥 (𝑥,𝑦) = 2𝑥 ln(𝑥2 +1),∂𝑓∂𝑦 (𝑥,𝑦) = −2𝑓(𝑥,𝑦)+2(𝑥2 +1) ln(𝑥2 +1)−2𝑥2 +𝑦2.


∀(𝑥,𝑦) ∈R2,⎧⎨⎩

∂𝑓∂𝑥 (𝑥,𝑦) = 𝑓(𝑥,𝑦)− (𝑥−1)e𝑦 +𝑥,∂𝑓∂𝑦 (𝑥,𝑦) = 𝑥e𝑦 +e𝑥.

[AN_CalcDiff_9.tex]

Exercice ANA.11.8 Fonctions homogènes Soit 𝑓 ∶ R2 ⟶ R une fonction ad-mettant des dérives partielles, et homogène de degré 𝑛 ∈ N, c’est-à-dire vérifiant :∀𝑡 ∈R, ∀(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦) = 𝑡𝑛𝑓(𝑥,𝑦).

1 — Montrer que 𝑥 ∂𝑓∂𝑥 +𝑦 ∂𝑓

∂𝑦 = 𝑛𝑓.2 — On suppose 𝑛 ⩾ 1. Montrer que les dérivées partielles de 𝑓 sont elles aussihomogènes, préciser leur degré.

[AN_CalcDiff_6.tex]

Exercice ANA.11.9 Équation aux dérivées partielles résolue par changement af-fine Posonsφ(𝑢,𝑣) = 𝑎𝑢+𝑏𝑣etψ(𝑢,𝑣) = 𝑐𝑢+𝑑𝑣avec𝑎,𝑑 ∈R⋆ etpour (𝑢,𝑣) ∈R2.Soit 𝑓 ∶R2 ⟶R une fonction de classe 𝒞1 et on note 𝑔 = 𝑓 ∘ (ϕ,ψ).

1 — Écrire les dérivées partielles du 1er ordre de 𝑔.2 — En déduire toutes les solutions de classe 𝒞1 de l’équation

5∂𝑓∂𝑥

(𝑥,𝑦)+4∂𝑓∂𝑦

(𝑥,𝑦) = 0.[AN_CalcDiff_4.tex]

Exercice ANA.11.10 Équation aux dérivées partielles résolue par changementpolaire Résoudre à l’aide des coordonnées polaires l’équation les équations auxdérivées partielles :

1 — 𝑥 ∂𝑓∂𝑦 −𝑦 ∂𝑓

∂𝑥 = 0.2 — 𝑥 ∂𝑓

∂𝑥 (𝑥,𝑦)+𝑦 ∂𝑓∂𝑦 (𝑥,𝑦) = 𝑥2 +𝑦2.


Exercice ANA.11.11 Une équation aux dérivées partielles de transport/diffusion– Extrait ENS 2020 (Solution : 27) Dans cette partie, on fixe 𝑚 ∈R, et on s’intéresseaux fonctions 𝑢 de [0,1]×R+ dans R, de classe 𝒞2, et solutions de l’équation auxdérivées partielles suivante :

∂𝑢∂𝑡

(𝑥,𝑡) = 𝑚∂𝑢∂𝑥

(𝑥,𝑡)+12∂2𝑢∂𝑥2 (𝑥,𝑡), (1)

avec conditions de bord ∀𝑡 ≥ 0, 𝑢(0,𝑡) = 𝑢(1,𝑡) = 0 (2). On cherche les solu-tions 𝑢 non identiquement nulles (i.e. non identiquement nulles) qui peuvent sedécomposer enunproduit dedeux fonctionsd’une seule variable, i.e. les solutionsdites à variables séparables.

Soient donc 𝑓 ∶ [0,1] ⟶R et𝑔 ∶R+ ⟶Rdeux fonctions de classe𝒞2. On supposeque la fonction 𝑢 ∶ [0,1]×R+ ⟶ R définie par 𝑢(𝑥,𝑡) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑡) ne s’annule paset est solution de (1) et (2).

1 — Vérifier que les fonctions 𝑓 et 𝑔 ne s’annulent pas non plus.2 — Montrer qu’il existe un réel λ tel que la fonction 𝑔 vérifie l’équation différen-tielle : ∀𝑡 ∈R+, 𝑔′(𝑡) = λ𝑔(𝑡), puis résoudre cette équation différentielle.3 — Montrer que pour cette même valeur de λ, la fonction 𝑓 vérifie l’équationdifférentielle

∀𝑥 ∈ [0,1],12𝑓′′(𝑥)+𝑚𝑓′(𝑥) = λ𝑓(𝑥),

avec condition de bord 𝑓(0) = 𝑓(1) = 0.4 — On suppose dans cette question que λ > −𝑚2

2 .4.1) Montrer qu’il existe deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que :

∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑓(𝑥) = 𝑎e𝑟+𝑥 +𝑏e𝑟−𝑥, avec 𝑟+, 𝑟− ∈R à préciser.

4.2) Montrer que 𝑎 et 𝑏 sont nécessairement nuls, et obtenir une contradiction.



5 — En procédant comme dans la question précédente, obtenir une contradic-tion si l’on suppose λ = −𝑚2

2 .6 — On suppose dans cette question que λ < −𝑚2

2 .6.1) Montrer qu’il existe deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que :

∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑓(𝑥) = (𝑎cos(πℓ𝑥)+𝑏sin(πℓ𝑥))e−𝑚𝑥, avec ℓ =1π√−2λ−𝑚2.

6.2) Montrer que l’on a nécessairement 𝑎 = 0,𝑏 ≠ 0, et ℓ ∈N⋆.7 — Déterminer tous les couples (𝑓,𝑔) de fonctions 𝒞2 tels que la fonction 𝑢 ∶(𝑥,𝑡) ⟼ 𝑢(𝑥,𝑡) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑡) ne s’annule pas, et soit solution de (1) et (2).

4.4. Optimisation


Exercice ANA.11.12 (Solution : 29) Soit 𝑓 ∶ (𝑥,𝑦) ⟼ 𝑥2+𝑦4 définie sur F = [−1;1]×[−1;1].

1 — Montrer que 𝑓 est bornée sur F.2 — Trouver le maximum et le minimum de 𝑓 sur F et les points en lesquels ilssont atteints.


Exercice ANA.11.13 (Solution : 30) Soit 𝑓||||||

R2 ⟶ R,

(𝑥,𝑦) ⟼ 𝑥4 +𝑦4 −𝑥2 +𝑦2.

1 — Vérifier que 𝑓 est de classe 𝒞1 sur R2 et calculer ses dérivées partielles pre-mières.2 — Montrer que 𝑓 possède exactement trois points critiques.3 — 3.1) Calculer 𝑓(0,0) et étudier le signe de 𝑓(𝑥,0) et 𝑓(0,𝑥) pour 𝑥 assez

proche de zéro.3.2) Que peut-on en conclure?4 — 4.1) Calculer 𝑓( 1

√2,0) , puis 𝑓( 1

√2+ℎ,𝑘)−𝑓( 1

√2,0) pour tout (ℎ,𝑘) ∈R2.

4.2) Que peut-on en déduire?





1 — La fonction 𝑓 est définie pour tout (𝑥,𝑦) ∈R2 tel que

2𝑥+𝑥2 +𝑦2 > 0 ⟺ (𝑥+1)2 +𝑦2 > 1,

en mettant le premier polynôme sous forme canonique. Donc l’ensemble de défi-nition de 𝑓 est

𝒟𝑓 = {(𝑥,𝑦) ∈R2, (𝑥+1)2 +𝑦2 > 1} .

L’ensemble (𝑥 + 1)2 + 𝑦2 > 1 est le cercle de centre (−1,0) et de rayon 1, donc𝒟𝑓 est la partie extérieure strictement à ce cercle (en rouge sur le dessin)

𝒟𝑓

𝑥

𝑦

2 — Soit 𝑘 ∈R, alors

ln (2𝑥+𝑥2 +𝑦2) = 𝑘,

2𝑥+𝑥2 +𝑦2 = e𝑘,

(𝑥+1)2 +𝑦2 = e𝑘 +1.

Donc la ligne de niveau 𝑘 est le cercle de centre (−1,0) et de rayon √e𝑘 −1.


Caret-right Pour 𝑓1 : le domaine de définition est R2 ⧵ {(0,0)} .


1 — Si l’une des fonctions 𝑓 et 𝑔 est identiquement nulle, alors la fonction 𝑢 estidentiquement nulle. Par contraposée, comme𝑢 est supposéenon identiquementnulle, chacune des deux fonctions 𝑓 et 𝑔 est non identiquement nulle .2 — Comme les fonctions 𝑓 et𝑔 sont supposées de classe𝒞2, la fonction𝑢 admetdes dérivées partielles du premier et du second ordre sur le pavé [0,1]×R+, et ona :

∀(𝑥,𝑡) ∈ [0,1]×R+,∂𝑢∂𝑡

(𝑥,𝑡) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑡),∂𝑢∂𝑥

(𝑥,𝑡) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑡),∂2𝑢∂𝑥2 (𝑥,𝑡) = 𝑓′′(𝑥)𝑔(𝑡).

L’équation aux dérivées partielles (1) s’écrit alors :

∀(𝑥,𝑡) ∈ [0,1]×R+, 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑡) = 𝑚𝑓′(𝑥)𝑔(𝑡)+12𝑓′′(𝑥)𝑔(𝑡) (1′).

Comme la fonction 𝑓 est non identiquement nulle, il existe un réel 𝑥0 ∈ [0,1] véri-fiant 𝑓(𝑥0) ≠ 0. Divisons membre à membre par 𝑓(𝑥0) dans l’identité ci-dessus :

∀𝑡 ∈R+, 𝑔′(𝑡) =1

𝑓(𝑥0)(𝑚𝑓′(𝑥0)+

12𝑓′′(𝑥0))𝑔(𝑡).

Il suffit de poser λ = 1𝑓(𝑥0)

(𝑚𝑓′(𝑥0)+ 12𝑓

′′(𝑥0)) , et 𝑔 vérifie alors 𝑔′(𝑡) = λ𝑔(𝑡) pour

tout 𝑡 ∈R+. On sait résoudre cette équation différentielle du premier ordre homo-gène à coefficients constants :

∀𝑡 ∈R+, 𝑔(𝑡) = 𝑔(0)eλ𝑡.

3 — On injecte ce dernier résultat dans l’équation (1′) :

∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑓(𝑥)𝑔(0)λeλ𝑡 = (𝑚𝑓′(𝑥)+12𝑓′′(𝑥))𝑔(0)eλ𝑡.



Si le réel 𝑔(0) était nul, la fonction 𝑔 serait identiquement nulle, ce qui serait encontradiction avec le résultat de la question 1. Ainsi, le réel 𝑔(0) n’est pas nul. Onpeut donc diviser membre à membre par 𝑔(0)eλ𝑡, ce qui donne :

∀𝑥 ∈ [0,1],12𝑓′′(𝑥)+𝑚𝑓′(𝑥) = λ𝑓(𝑥).

De plus, on a

𝑓(0) =𝑢(0,0)𝑔(0)

= 0 et 𝑓(1) =𝑢(1,0)𝑔(0)

= 0.

4 — 4.1) La fonction 𝑓 est solution d’une équation différentielle linéaire homo-gène du second ordre à coefficients constants, d’équation caractéristiqueassociée

12𝑟2 +𝑚𝑟 −λ = 0.

Le discriminant du polynôme du second degré associé vaut

Δ = 𝑚2 +2λ.

Dans cette question, l’énoncé suppose Δ > 0. L’équation caractéristique ad-met donc deux racines réelles distinctes

𝑟+ = −𝑚+√𝑚2 +2λ et 𝑟− = −𝑚−√𝑚2 +2λ.

Par conséquent, il existe un unique couple (𝑎,𝑏) de réels vérifiant :

∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑓(𝑥) = 𝑎e𝑟+𝑥 +𝑏e𝑟−𝑥.

4.2) Les conditions aux limites 𝑓(0) = 0 et 𝑓(1) = 0 fournissent le système :

⎧⎨⎩

𝑎 + 𝑏 = 0

e𝑟+𝑎 + e𝑟−𝑏 = 0.

Il s’agit d’un système linéaire de deux équations à deux inconnues 𝑎 et 𝑏. Ledéterminant de ce système vaut

𝑒𝑟− −e𝑟+ ≠ 0

puisque les réels 𝑟+ et 𝑟− sont distincts et la fonction expo-nentielle injective sur R. Ce système linéaire admet donc uneunique solution, qui est la solution triviale (𝑎,𝑏) = (0,0). Ainsi,la fonction𝑓est identiquementnulle, cequi contredit le résultat de laques-tion 1

.

5 — Dans cette question, l’énoncé suppose que l’on a Δ = 0 (voir notation précé-dente). L’équation caractéristique admet donc une unique racine réelle 𝑟 = −𝑚.Par conséquent, il existe un unique couple (𝑎,𝑏) de réels vérifiant :

∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑥+𝑏)e𝑟𝑥.

Les conditions aux limites 𝑓(0) = 0 et 𝑓(1) = 0 fournissent le système :

⎧⎨⎩

𝑏 = 0

(𝑎 +𝑏)e𝑟 = 0

qui équivaut à𝑎 = 𝑏 = 0. Ainsi, la fonction 𝑓 est identiquement nulle, ce qui contredit là encore le résultat de laquestion 1 .

6 — Dans cette question, l’énoncé suppose que l’on a Δ < 0.6.1) L’équation caractéristique admet donc deux racines complexes non réelles

conjuguées

𝑟+ = −𝑚+ i√−𝑚2 −2λ et 𝑟− = −𝑚− i√−𝑚2 −2λ.

Par conséquent, il existe un unique couple (𝑎,𝑏) de réels vérifiant :

∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑓(𝑥) = (𝑎cos(√−𝑚2 −2λ𝑥)+𝑏sin(√−𝑚2 −2λ𝑥))e−𝑚𝑥.

c’est-à-dire, avec le réel ℓ introduit par l’énoncé,

∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑓(𝑥) = (𝑎cos(πℓ𝑥)+𝑏sin(πℓ𝑥))e−𝑚𝑥.



6.2) La condition aux limites 𝑓(0) = 0 montre que l’on a 𝑎 = 0 . Comme lafonction 𝑓 n’est pas identiquement nulle (question 1), on a nécessairement𝑏 ≠ 0 . La condition initiale 𝑓(1) = 0montre, puisque 𝑏 et l’exponentielle des’annulent pas :

sin(πℓ) = 0

donc ℓ est un entier relatif, non nul puisque 𝑓 est non identiquement nulle.Sa définition par ℓ = 1

π√… montre que l’entier ℓ est positif. Ainsi, on aℓ ∈N∗ .

7 — On a effectué une analyse : s’il existe une fonction 𝑢 ∶ (𝑥,𝑡) ⟼ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑡)de classe 𝒞2 sur [0,1] × R+ non identiquement nulle vérifiant (1) et (2), alorsnécessairement, en notant 𝑥0 un élément de [0,1] vérifiant 𝑓(𝑥0) ≠ 0 et λ =1

𝑓(𝑥0)(𝑚𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑡)+ 1

2𝑓′′(𝑥0)), on a :

Caret-right −2λ−𝑚2 > 0Caret-right le réel ℓ = 1

π√−2λ−𝑚2 est un entier naturel non nulCaret-right il existe 𝑏 ∈R∗ tel que :

∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑓(𝑥) = 𝑏sin(πℓ𝑥)𝑒−𝑚𝑥.

Caret-right il existe un réel 𝑐 tel que

∀𝑡 ∈R+, 𝑔(𝑡) = 𝑐eλ𝑡.

En d’autres termes, en notant 𝒮 l’ensemble des fonctions 𝑢 de [0,1]×R+ dansR+,s’écrivant sous la forme 𝑢 ∶ (𝑥,𝑡) ⟼ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑡) où 𝑓 ∶ [0,1] ⟶R et 𝑔 ∶R+ ⟶R sontdeux fonctions de classe 𝒞2, solutions de l’équation aux dérivées partielles (1) etvérifiant les conditions aux limites (2), on vient de démontrer l’inclusion :

𝒮 ⊂⎧⎨⎩

𝑢 ∶ [0,1]×R+ ⟶ R

(𝑥,𝑡) ⟼ Csin(πℓ𝑥)exp (−𝑚𝑥− 𝑚2+π2ℓ22 𝑡) ,

(ℓ,C) ∈ N∗ ×R∗

⎫⎬⎭

Il ne reste plus qu’à effectuer la synthèse, c’est-à-dire examiner l’autre inclusion.On fixe un entier naturel non nul ℓ et un réel non nul C. On pose :

𝑓||||||

[0,1] ⟶ R

𝑥 ⟼ sin(πℓ𝑥)𝑒−𝑚𝑥,𝑔

||||||

R+ ⟶ R

𝑡 ⟼ Cexp (−𝑚2+π2ℓ22 𝑡)

et

𝑢 ∶ [0,1]×R+ ⟶ R

(𝑥,𝑡) ⟼ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑡) = Csin(πℓ𝑥)exp (−𝑚𝑥− 𝑚2+π2ℓ22 𝑡) .

La fonction 𝑢 ainsi définie est clairement de classe 𝒞2 sur le pavé [0,1]×R+. Ellevérifie clairement les conditions aux limites (2). Posons λ = −𝑚2+π2ℓ2

2 < −𝑚2

2 .La fonction 𝑔 est bien solution de l’équation différentielle :

∀𝑡 ∈R+, 𝑔′(𝑡) = λ𝑔(𝑡)

et d’après le résultat de la question 4, la fonction 𝑓 est solution de l’équation diffé-rentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants (on peut aussi déri-ver deux fois la fonction 𝑓 qui est connue explicitement ici) :

∀𝑥 ∈ [0,1],12𝑓′′(𝑥)+𝑚𝑓′(𝑥) = λ𝑓(𝑥).

En multipliant cette dernière équation membre à membre par 𝑔(𝑡), on obtientl’équation (1′) :

∀(𝑥,𝑡) ∈ [0,1]×R+, 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑡) = 𝑚𝑓′(𝑥)𝑔(𝑡)+12𝑓′′(𝑥)𝑔(𝑡) (1′)

D’après ce que l’on a écrit au début de la réponse à la question 2, cette dernièreidentité implique le fait que la fonction 𝑢 est solution de l’équation aux dérivéespartielles (1). L’autre inclusion est donc établie. Conclusion :

𝒮 =⎧⎨⎩

𝑢 ∶ [0,1]×R+ ⟶ R

(𝑥,𝑡) ⟼ Csin(πℓ𝑥)exp (−𝑚𝑥− 𝑚2+π2ℓ22 𝑡) ,

(ℓ,C) ∈ N∗ ×R∗

⎫⎬⎭


1 — Il s’agit d’établir l’existence de M ∈ R+ telle que : ∀(𝑥,𝑦) ∈ R2, ||𝑓(𝑥,𝑦)|| ⩽M.En effet, on a : ||𝑓(𝑥,𝑦)|| ⩽ 𝑥2 +𝑦4 ⩽ 1+1 = 2, donc : la fonction 𝑓 est bornée.



2 — On trouve après résolution (0,0) commeunique point critique. Comme F ⩾ 0et que F(0,0) = 0, on déduit que : (0,0) est l’unique minimum (global) de F .


1 — La fonction 𝑓 est une fonction polynomiale donc est de classe 𝒞1. Pour tout(𝑥,𝑦) ∈R2,

∂𝑓∂𝑥

(𝑥,𝑦) = 4𝑥3 −2𝑥∂𝑓∂𝑦

(𝑥,𝑦) = 4𝑦3 +2𝑦.

2 — Soit (𝑥,𝑦) ∈R2, alors grad𝑓(𝑥,𝑦) = 0 si et seulement si :

⎧⎨⎩

∂𝑓∂𝑥 (𝑥,𝑦) = 0∂𝑓∂𝑦 (𝑥,𝑦) = 0

⇔⎧⎨⎩

2𝑥(2𝑥2 −1) = 0

2𝑦(2𝑦2 +1) = 0⇔

⎧⎨⎩

𝑥 = 0 ou 𝑥 = 1√2

ou 𝑥 = − 1√2

𝑦 = 0

La fonction 𝑓 admet trois points critiques : (0,0), ( 1√2

,0) et (− 1√2

,0) .

3 — 3.1) 𝑓(0,0) = 0 et pour tout 𝑥 de R, nous avons 𝑓(𝑥,0) =𝑥2 (𝑥2 −1) donc pour 𝑥 ∈]−1;0[∪]0;1[,𝑓(𝑥,0) < 0. Enfin, 𝑓(0,𝑥) = 𝑥4 +𝑥2 >0 pour tout 𝑥 ∈R⋆.

3.2) D’après la question précédente, 𝑓(𝑥,𝑦) − 𝑓(0,0) n’est pas de signe constantau voisinage de (0,0), ainsi 𝑓 n’admet d’extremum en (0,0).

4 — 4.1) 𝑓( 1√2

,0) = 14 − 1

2 = − 14 , ensuite fixons (ℎ,𝑘) ∈R2, alors

𝑓(1

√2+ℎ,𝑘)−𝑓(

1√2

,0)

= (1

√2+ℎ)

4

+𝑘4 −(1

√2+ℎ)

2

+𝑘2 +14

=14

+4ℎ

2√2+

6ℎ2

2+

4ℎ3

√2+ℎ4 −

12

−2ℎ√2

−ℎ2 +𝑘2 +14

= ℎ+𝑘4 +4ℎ3

√2+2ℎ2 +𝑘2

= ℎ2(ℎ+√2)2 +𝑘4 +𝑘2 .

binôme de NEWTON

simplifications

factorisation par ℎ2

4.2) Ainsi, pour tout (ℎ,𝑘) ∈ R2, 𝑓( 1√2

+ℎ,𝑘) − 𝑓( 1√2

,0) ⩾ 0.

La fonction 𝑓 admet donc un minimum global en ( 1√2

,0).


Troisième partie

Aléatoire


Chapitre ALEA.12. Espaces probabilisés

CHAPITRE ALEA.12Espaces probabilisés

Résumé & Plan

EN première année vous vous êtes limités à des univers finis d’expérience aléatoire et des variables aléatoires réelles àsupport fini. Cette limitation est purement technique afin que les quantités rattachées aux variables aléatoires réelles(espérances, variance, etc.) soient toutes des sommes finies. Mais ceci nous empêche en particulier de considérer desvariables aléatoires à support continu, ou même discret mais non borné. L’objectif de la deuxième année sera donc demettre un termeà cette limitation et de définir le cadre général des probabilités tel qu’énoncé parAndreïNIKOLAIEVITCHKOLMOGOROV (largement adopté par la communauté mathématique à partir de 1950) : un univers Ω contenant lesdonnées brutes d’une expérience aléatoire, une tribu𝒯 qui contient des parties deΩ dont on calculera la probabilité etqui sont les évènements liés à Ω, et enfin une probabilité P définie sur 𝒯. Afin de disposer de tous les outils permettantde réaliser ses calculs, nous commençons par une section de révision de dénombrement.

W

1. Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Listes, Permutations, Combinaisons . . . . . . . . . . . . . 7

2. Axiomatique des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. Motivation du formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Espace probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Univers & Espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Espace probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5. Résultat d’existence de probabilités . . . . . . . . . . . . . 19

2.6. Conditionnement & Indépendance d’évènements . . . . . 20

3. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Fonction de répartition & Loi . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1. Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2. Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36




Un être humain possède environ 150 000 cheveux (en toutcas,moins d’un million). Comme la ville de Paris compte2,141 millions d’habitants, d’après le principe des tiroirsde Dirichlet, il existe au moins deux personnes à Paris quiont exactement le même nombre de cheveux.

—Le saviez-vous?

On estime à environ 10120 le nombre de parties différentespossibles au jeu d’échecs. Ce nombre s’appelle le nombrede SHANNON.

—Le saviez-vous?

Quels que soient les progrès des connaissances humaines,il y aura toujours place pour l’ignorance et par suite pourle hasard et la probabilité.

—Emile Borel

Définition ALEA.12.1On appelle expérience aléatoire une expérience renouvelable, et qui, renouve-lée dans des conditions identiques – pour autant que l’observateur puisse s’enassurer – ne donne pas forcément le même résultat à chaque renouvellement.L’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire est appelé univers,on le notera en général Ω dans la suite.

Nous allons avoir besoin de calculer le nombre d’éléments de Ω lorsque Ω est unensemble fini (ou plus tard calculer des lois de variables aléatoires réelles faisaitintervenir des ensembles finis) en fonction de l’expérience aléatoire considérée;pour cela desnotionsdedénombrement sont incontournables. Revoyons les prin-cipaux éléments de première année sur le sujet.

1. DÉNOMBREMENT

Il est indispensable, avant d’entamer la lecture de cette partie, de revoir votrechapitre de théorie des ensembles de première année (ensemble, application,réunion, intersection, propriétés, etc....).

Rappels sur la notation indicatrice.

Notation (Fonction indicatrice d’un ensemble.)Σ

Dans tout ce chapitre, nous nous servirons de la notation 𝟙A où A est sous-ensemble d’un ensemble E. Il s’agit de l’application

𝟙A ∶

||||||||

E ⟶ {0,1}

𝑥 ⟼⎧⎨⎩

1 si 𝑥 ∈ A,0 sinon.

On rappelle également une propriété importante :

Proposition ALEA.12.1 | Indicatrice d’une réunion et d’une intersectionSoient A,B ∈ 𝒫(E) deux sous-ensembles d’un ensemble E. Alors :1 — 𝟙A∩B = 𝟙A𝟙B,2 — 𝟙A∪B = 𝟙A +𝟙B −𝟙A∩B.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — Soit 𝑥 ∈ E, alors on montre que 𝟙A∪B(𝑥) = 𝟙A(𝑥)+𝟙B(𝑥)−𝟙A∩B(𝑥) en dis-tinguant les cas 𝑥 ∈ A\B, 𝑥 ∈ B\A puis 𝑥 ∈ A∩B.



Rappels sur la théorie des ensembles Soient A,B deux sous-ensembles d’un en-sembleE. On rappelle lesdifférentesopérations ensemblistesdéfinies enpremièreannée au travers des diagrammes ci-dessous.

A B

A∩B

A B

A∩B

A B

A∪B

A B

A\B

BA

B\A

Ainsi, pour 𝑥 ∈ E,

Caret-right 𝑥 ∈ A∩B si : 𝑥 ∈ A et 𝑥 ∈ B,Caret-right 𝑥 ∉ A∩B si : 𝑥 ∈ A\B ou 𝑥 ∈ B\A,Caret-right 𝑥 ∈ A∪B si : 𝑥 ∈ A ou 𝑥 ∈ B,Caret-right 𝑥 ∈ A\B si : 𝑥 ∈ A et 𝑥 ∉ B. De-même pour 𝑥 ∈ B\A.

1.1. Cardinal d’un ensemble fini

Définition ALEA.12.2On dit qu’un ensemble E est fini s’il existe une bijection de E sur J1 , 𝑛K. Lenombre 𝑛 est alors appelé le cardinal de E, et il est noté # E. Par convention,l’ensemble vide ∅ est un ensemble fini de cardinal zéro : # ∅ = 0.

On montre facilement que l’entier 𝑛 est unique et donc que la définition précé-dente est bien posée : si E est en bijection avec J1 , 𝑛K et J1 , 𝑝K où 𝑝 est un autreentier, alors 𝑛 = 𝑝.

Remarque 1.1— Plus simplement, le cardinal d’un ensemble fini est donc sonnombre d’éléments. Intuitivement, les éléments d’un ensemble de cardinal 𝑛peuvent être numérotés de 1 à 𝑛. En pratique, on pourra, si besoin, les nommer𝑥1, …, 𝑥𝑛.S’il existe une bijection entre deux ensembles E et F, alors E est un ensemble finisi et seulement si F est un ensemble fini, et dans ce cas, ils ont le même cardinal.

Exemple 1—

1 — # {5,8,12} = 3.2 — Soit (𝑛,𝑝) ∈ N2 tel que 𝑛 ⩽ 𝑝. Alors : # (J𝑛 , 𝑝K) = 𝑝−𝑛+1. C’est donc ladifférence des deux +1 .



Proposition ALEA.12.2 | Cardinal d’une partieSoit E un ensemble fini et F ⊂ E. Alors F est un ensemble fini et : # F ⩽ # E.En outre, on a égalité si et seulement si F = E.

Proposition ALEA.12.3 | Cardinal du complémentaireSoient E un ensemble fini et A une partie de E. Alors E⧵A est un ensemble finiet : # (E ⧵A) = # E−# A.

Preuve Ces deux propositions sont admises.

Partitionnement.Définition ALEA.12.3 | Partition

Soit E un ensemble. Alors une famille de parties (A𝑛)𝑛∈N ∈ 𝒫(E)N est appeléepartition de E si :1 — pour tout 𝑛 ≠ 𝑚, A𝑛 ∩A𝑚 = ∅,2 —

∞⋃𝑛=0

A𝑛 = E.

On dit aussi E est la réunion disjointe des A𝑛,𝑛 ∈N.

Notation (Réunion disjointe)Σ

Lorsque les hypothèses précédentes sont satisfaites, on note E = ⨄𝑛∈N

A𝑛.

Si E est un ensemble fini, alors tous les sous-ensembles A𝑛, 𝑛 ∈ N, qui précèdentsont finis. Et dans le cas fini, on obtient la formule de passage au cardinal ci-dessous.

Remarque 1.2— Lorsque E = Ω est un univers probabiliste, alors une partitionest simplement un système complet d’évènements. Nous le reverrons bientôt.

Proposition ALEA.12.4 | Cardinal d’une réunion disjointeSoient E un ensemble fini et (A𝑛)1⩽𝑛⩽𝑝, 𝑝 ∈N⋆, une partition de E. Alors :

# E =𝑝

∑𝑛=1

# A𝑛.

Preuve (Point clef—Récurrence sur𝑝, lenombred’élémentsqui consti-tuent la partie)Pour 𝑝 = 2, on utilise la Proposition ALEA.12.3 puisque A2 = E ⧵A1. Suppo-sons la propriété vraie au rang 𝑝.

PEN-FANCY

Remarque 1.3— Cette proposition est d’une importance cruciale pour donnerune consistance à vos raisonnements de dénombrement. On écrit, lorsque c’estpossible, notre ensemble de départ comme une réunion disjointe d’ensembles



plus simples. Le passage au cardinal nous permet ensuite de conclure.

Exemple 2— Soit 𝑛 ∈ N⋆. Déterminer, en utilisant un cardinal de réunion, lenombre de couples (𝑥,𝑦) ∈ J1 , 𝑛K2 tels que 𝑥+𝑦 = 𝑛. Lister les couples possibleset retrouver le résultat précédent.

PEN-FANCY

Exemple 3— Listes binaires sans termes consécutifs égaux Soit 𝑛 un entier nonnul. On désigne par 𝑢𝑛 le nombre de listes — on tient donc compte de l’ordre —de 𝑛 termes, chaque terme étant 0 ou 1, et n’ayant pas deux termes 1 consécutifs.Établir une relation de récurrence sur les termes de (𝑢𝑛). Exprimer alors 𝑢𝑛 enfonction de 𝑛 ∈N⋆.

PEN-FANCY

Corollaire ALEA.12.1 | Cardinal d’une réunionSoient E un ensemble fini et A et B deux parties de E. Alors :

# (A∪B) = # A+# B−# (A∩B) .



A\B B\AA∩B

Preuve La famille de parties (A, (A∪B) ⧵ A) est une partition de A∪B,de-même (A∩B,(A∪B)⧵A) est une permutation de B. En passant ensuite aucardinal, on obtient :

# (A∪B) = # A+# A∪B−# A,# B = # (A∩B)+# (A∪B)−# A.

Proposition ALEA.12.5 | Cardinal d’un produit cartésien.Soient E et F deux ensembles finis. Alors, E×F est fini et :

# (E×F) = # E×# F.

Plus généralement, soit (E𝑘)1⩽𝑘⩽𝑝 une famille finie d’ensembles finis. Alors,E1 ×⋯×E𝑝 est fini et :

# (E1 ×⋯×E𝑝) =𝑝

∏𝑘=1

# E𝑘.

Notamment, si E est un ensemble fini et 𝑝 ∈N∗, alors : # (E𝑝) = # E𝑝.

Preuve Pour𝑝 = 0, on suppose doncqueE = ∅. Alors # (∅×F) = #∅ = 0.

Soit 𝑝 ∈ N⋆. Alors notons E = {𝑥1,…,𝑥𝑝}, on a : E×F =𝑝⋃𝑖=1

{𝑒𝑖} × F. C’est

une partition du produit donc on a :

# (E×F) =𝑝

∑𝑖=1

# ({𝑒𝑖}×F) =𝑝

∑𝑖=1

# F = 𝑝# F.

La formule est donc démontrée.

Proposition ALEA.12.6 | Cardinal de l’ensemble des applications de E dansF.

Soient E et F deux ensembles finis, de cardinaux non nuls. Alors l’ensembleFE = ℱ(E,F) des applications de E dans F est fini et :

# (FE) = # F# E.

Preuve Notons 𝑛 le cardinal de E et nommons ses éléments : E ={𝑥1,…,𝑥𝑛}. Une application 𝑓 ∶ E ⟶ F est entièrement déterminée par lafamille (𝑓(𝑥1),…,𝑓(𝑥𝑛)) d’éléments de F. Il y a donc autant d’applications𝑓 ∶ E ⟶ F que d’éléments (𝑦1,…,𝑦𝑛) ∈ F𝑛. Ainsi, il existe une bijection entreles ensembles FE et F𝑛. D’après la ??, on a donc : # (FE) = # (F𝑛) = # F𝑛 =(# F)# E.

Exemple 4— Rangement de boules discernables dans des tiroirs On considère5 boules discernables que l’on veut placer dans 3 tiroirs distincts, chaque tiroirpouvant contenir de 0 à 5boules.Donner lenombrede répartitionspossibles. PEN-FANCY

Il s’agit d’affecter un tiroir pour chaque boule, soient 35 possibilités en tout. C’estaussi le nombre d’applications d’un ensemble à 5 éléments vers un ensemble à 3éléments.

Proposition ALEA.12.7 | Cardinal de l’ensemble des parties.Soit E un ensemble fini. Alors l’ensemble 𝒫(E) des parties de E est fini et :

# 𝒫(E) = 2# E.

Preuve

PEN-FANCY



Théorème ALEA.12.1 | Application entre deux ensembles demême cardi-nal

Soient E et F deux ensembles finis non vides de même cardinal et 𝑓 ∶ E ⟶ Fune application. Alors :

𝑓 injective ⟺ 𝑓 surjective ⟺ 𝑓 bijective.

Preuve Il suffit de montrer la première équivalence.Caret-right Supposons 𝑓 injective. Alors # (𝑓(E)) = # E, donc # (𝑓(E)) = # F. Comme

𝑓(E) ⊂ F, alors 𝑓(E) = F : ainsi, 𝑓 est surjective.Caret-right Supposons 𝑓 surjective. Tout élément 𝑦 ∈ F admet un antécédent 𝑥𝑦

par 𝑓. Considérons l’ensemble A = {𝑥𝑦, 𝑦 ∈ F} de tous ces antécédents.Alors 𝑓|A est injective, donc # A = # (𝑓(A)) = # F. Comme # F = # E, alors# A = # E, et comme A ⊂ E, alors A = E. Ainsi, 𝑓 = 𝑓|A est injective.

Exemple 5— Le résultat est faux si le cardinal est infini Quediredes applicationssuivantes?

1 — N||||||

N ⟶ N

𝑥, ⟼ 2𝑥,

2 — N|||||||

N ⟶ N,

𝑥 ⟼ ⌊𝑥2⌋.

PEN-FANCY

1.2. Listes, Permutations, Combinaisons

La plupart des exercices de dénombrement peuvent se ramener au cas de tiragesde 𝑝 éléments parmi les 𝑛 éléments d’un ensemble E. Il y a alors essentiellementquatre façons différentes de tirer 𝑝 éléments parmi 𝑛 :

Caret-right avec ordre et répétition (les 𝑝-listes d’éléments distincts dans la suite),Caret-right avec ordre et sans répétition (les 𝑝-listes d’éléments quelconques dans la

suite),Caret-right sans ordre et sans répétition (les 𝑝-combinaisons d’éléments distincts dans

la suite),Caret-right sans ordre et avec répétition (les 𝑝-combinaisons d’éléments quelconques

dans la suite).

La présence d’un ordre ou pas sera fixée par le choix de l’objet mathématique quel’on compte : des uplets pour les éléments ordonnés, et des ensembles pour les



éléments non ordonnés.

1.2.1. Nombre de 𝑝-listes d’un ensemble fini : avec ordre

Définition ALEA.12.4 | 𝑝-listesSoient E un ensemble et 𝑝 ∈ N∗. On appelle 𝑝-uplet ou 𝑝-liste d’éléments deE tout élément (𝑥1,…,𝑥𝑝) de E𝑝. On parle aussi de couples (pour 𝑝 = 2), detriplets (pour 𝑝 = 3), de quadruplets (pour 𝑝 = 4).

Attention×

Par exemple pour 𝑝 = 2, (𝑥1,𝑥2) ≠ (𝑥2,𝑥1) dès que 𝑥1 ≠ 𝑥2. Ainsi, on tientcompte de l’ordre des éléments pour les 𝑝-listes.

Proposition ALEA.12.8 | Nombre de 𝑝-listesSoient E un ensemble fini de cardinal 𝑛 ∈N⋆ et 𝑝 ∈N∗. Le nombre de 𝑝-listesd’éléments de E est 𝑛𝑝.

Remarque 1.4 — En probabilités, ce type de cardinal interviendra dans des expé-riences de tirages effectués avec remise.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 6— En ne supposant aucune contrainte sur les séries de chiffres, com-bien de numéros de cartes bancaires existe-t-il ? Et de codes d’identification?

PEN-FANCY

On peut maintenant également se poser la question de la recherche du cardinalde ces mêmes listes, mais lorsque tous les éléments sont distincts.

Proposition ALEA.12.9 | Nombre de 𝑝-listes d’éléments distinctsSoient E un ensemble fini de cardinal 𝑛 et 𝑝 ∈N∗. Le nombre de 𝑝-listes d’élé-ments distincts de E est :

⎧⎪⎨⎪⎩

0 si 𝑝 > 𝑛,𝑛!

(𝑛−𝑝)!si 𝑝 ⩽ 𝑛.

Remarque 1.5 — En probabilités, ce type de cardinal interviendra dans des expé-riences de tirages effectués sans remise.

Preuve Le résultat est évident dans le premier cas. Supposons 𝑝 ⩽ 𝑛. Laconstruction d’un 𝑝-uplet (𝑥1,…,𝑥𝑝) d’éléments distincts de E peut se faireainsi : choisir 𝑥1 parmi les 𝑛 éléments de E, puis 𝑥2 parmi les 𝑛−1 élémentsde E⧵ {𝑥1}, puis 𝑥3 parmi les 𝑛−2 éléments de E⧵ {𝑥1,𝑥2}, etc. Le nombre de𝑝-uplets d’éléments distincts est alors bien :

𝑛(𝑛−1)…(𝑛−𝑝+1) =𝑛!

(𝑛−𝑝)!.

Corollaire ALEA.12.2 | Nombre d’injectionsSoient E un ensemble fini de cardinal 𝑝 et F un ensemble fini de cardinal 𝑛. Lenombre d’injections (i.e. d’applications injectives) de E dans F est :



⎧⎪⎨⎪⎩

0 si 𝑝 > 𝑛,𝑛!

(𝑛−𝑝)!si 𝑝 ⩽ 𝑛.

Preuve L’image d’une application injective est une 𝑝-liste d’élémentsdistincts dans un ensemble à 𝑛 éléments, et ces deux ensembles ont mêmecardinal.

Cas particulier : le nombre de permutations d’un ensemble fini. Rappelons toutd’abord la définition d’une permutation.

Définition ALEA.12.5On appelle permutation d’un ensemble fini E toute bijection de E dans E.

NotationΣSi E est un ensemble fini, on note 𝔖E l’ensemble des permutations de E. SiE = J1 , 𝑛K avec 𝑛 ∈N⋆, on note plus simplement 𝔖𝑛 cet ensemble.

Si E = J1, 𝑛K, une applicationσ ∈ 𝔖𝑛 peut être écrite comme une application clas-sique

σ||||||

E ⟶ E,

𝑛 ⟼ σ(𝑛),

ou encore sous la forme d’une liste ( σ(1) σ(𝑛) ) — c’est simplement la liste

des images de chaque entier. On dit qu’une permutation s’identifie à une liste.1 Deplus, si σ est bijective, les σ(𝑖), 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K, sont forcément tous distincts.

Corollaire ALEA.12.3 | Nombre de permutationsSoit E un ensemble fini de cardinal 𝑛. Le nombre de permutations de E est𝑛!.

1Mais attention, ce sont deux objets de natures très différentes.

Preuve Puisque E est fini, σ ∶ E ⟶ E est une permutation si et seule-ment si elle est injective. Or, d’après le corollaire précédent, le nombre d’ap-plications injectives de E dans E est 𝑛!

0! = 𝑛!.

On peut aussi refaire le calcul à la main.

PEN-FANCY

Exemple 7— Si une classe est constituée de 48 étudiants et si la salle de classecomporte exactement 48places assises, alors il y a 48!dispositions différentes pos-sibles, soit environ 12.1060.

1.2.2. Nombre de 𝑝-combinaisons d’un ensemble fini :sans ordre

Définition ALEA.12.6Soient E un ensemble et 𝑝 ∈ N. On appelle 𝑝-combinaison (ou 𝑝-ensemble)d’éléments de E, toute partie {𝑥1,⋯,𝑥𝑝} de E de cardinal 𝑝.



Attention×

Par exemple pour 𝑝 = 2, {𝑥1,𝑥2} = {𝑥2,𝑥1}. Ainsi, on ne tient pas compte del’ordre des éléments pour les 𝑝-combinaisons.

Eléments distincts.

Proposition ALEA.12.10 | Nombre de 𝑝-combinaisonsSoit E un ensemble fini de cardinal 𝑛. Le nombre de 𝑝-combinaisons d’élé-ments distincts de E est :

(𝑛𝑝) =(nota.)

⎧⎪⎨⎪⎩

0 si 𝑝 > 𝑛,𝑛!

𝑝!(𝑛−𝑝)!si 𝑝 ⩽ 𝑛.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 8— Loto Remplir une grille de loto consiste à cocher 5 cases parmi 49.

Le nombre de combinaisons possibles est donc⎛

⎝

49

5

⎞

⎠= 1906884, dont une seule

est gagnante. Au loto, on ne tient par compte de l’ordre des éléments.

Une partie de l’exemple qui suit, très classique, utilise plutôt des permutations.

Exemple 9— Anagrammesd’unmot Onappelle anagrammed’unmot toute per-mutation de l’ensemble des lettres. Dans la pratique, il faut bien distinguer deuxcas, puisque certaines permutations peuvent donner in fine le même mot, il nefaut donc pas le compter deux fois !

1 — (Cas de lettres distinctes) quel est le nombre d’anagrammes du mot CHE-VAL?PEN-FANCY

2 — (Cas de lettres répétées) quel est le nombre d’anagrammes du mot ANA-NAS? PEN-FANCY On essaye de remplir les 6 emplacements lettres par lettres (commeau jeudupendu). Commençonspar choisir la placedesA : ondoit choisir 3 empla-cements parmi 6, et ce sans ordre (car l’ordre des A n’a pas d’importance, ce sontles mêmes lettres), et sans répétition car on ne peut pas placer deux lettres sur lemême emplacement. On a donc des combinaisons de 3 lettres parmi 6 emplace-ments, soit (63)possibilités.Ondoit ensuiteplacer les 2Nparmi les 3 emplacementsrestants, on adonc (32)possibilités. Enfin, il ne reste qu’unepossibilité pour la place

du S. Ainsi, on a (63)× (32) = 60 possibilités.

Remarque 1.6— Définition générale d’un coefficient binomialMême si ici 𝑝 ≥



0, on rappelle que le coefficient binomial est défini pour tout𝑛 ∈N et𝑝 ∈ Z par :

(𝑛𝑝) =(nota.)

⎧⎨⎩

𝑛!𝑝!(𝑛−𝑝)!

si 0 ⩽ 𝑝 ⩽ 𝑛.

0 sinon..

Remarque 1.7— Le nombre de 𝑝-combinaisons d’un ensemble fini est donc un

coefficient binomial ! D’où la lecture « 𝑝 parmi 𝑛 » pour le nombre⎛

⎝

𝑛

𝑝

⎞

⎠.

Remarque 1.8 — Le nombre de 𝑝-combinaisons est inférieur au nombre de 𝑝-listes d’un ensemble à 𝑛 éléments.2

Proposition ALEA.12.11 | Propriétés des coefficients binomiauxSoient 𝑛 ∈ N et 𝑝 ∈ Z. Les coefficients binomiaux vérifient les propriétés sui-vantes :

1 — (Symétrie)⎛

⎝

𝑛

𝑝

⎞

⎠=

⎛

⎝

𝑛

𝑛−𝑝

⎞

⎠.

2 — (Formule de Pascal)⎛

⎝

𝑛

𝑝

⎞

⎠+

⎛

⎝

𝑛

𝑝+1

⎞

⎠=

⎛

⎝

𝑛+1

𝑝+1

⎞

⎠.

3 — (Formule du binôme de Newton) Soient (𝑎,𝑏) ∈C2 et 𝑛 ∈N. Alors :

(𝑎 +𝑏)𝑛 =𝑛∑𝑘=0

⎛

⎝

𝑛

𝑘

⎞

⎠𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘.

Preuve Démontrons ces propriétés de manière combinatoire.1 — Par passage au complémentaire, il est clair que le nombre de 𝑝-

2Ceci est tout à fait cohérent avec l’intuition.

combinaisons d’un ensemble de cardinal 𝑛 est égal au nombre de (𝑛 −𝑝)-combinaisons de cet ensemble. Le résultat découle alors.2 — Considérons le cas non trivial où 0 ⩽ 𝑝 ⩽ 𝑛 − 1 — pour le reste, c’estune simple vérification. Soit E un ensemble fini de cardinal 𝑛+1. Fixons unélément 𝑎 ∈ E. Les (𝑝 + 1)-combinaisons de E se classent en deux parties :

celles contenant 𝑎 ( il y en a⎛

⎝

𝑛

𝑝

⎞

⎠ ) et celles ne contenant pas 𝑎 (il y en a

⎛

⎝

𝑛

𝑝+1

⎞

⎠). Comme ces deux classes de parties sont d’intersection vide, on

somme leurs cardinaux pour trouver 2).3 — Les termes issus du développement du produit (𝑎 +𝑏)𝑛 sont obtenusen choisissant, un certain nombre de puissances de 𝑎 et de puissances de𝑏 tel que la somme des puissances soit égale à 𝑛. Plus précisément, notons𝑘 ∈ J0 , 𝑛K la puissance de 𝑎 d’un des termes, celle de 𝑏 est alors 𝑛−𝑘. Il y

a par ailleurs⎛

⎝

𝑛

𝑘

⎞

⎠-façons d’obtenir le terme 𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘 — c’est le nombre de

façons de choisir 𝑘 fois 𝑎 dans le produit (𝑎 +𝑏)…(𝑎+𝑏). D’où la formule.

Eléments quelconques. Ce cas là est plus rare mais il apparaît parfois. Rappelonsque nous avons traité l’exemple ci-dessous mais avec des boules discernables.

Exemple 10— Rangement de boules indiscernables dans des tiroirs On consi-dère 5 boules indiscernables3 que l’on veut placer dans 3 tiroirs distincts, chaquetiroir pouvant contenir de 0 à 5 boules. Donner le nombre de répartitions pos-sibles. Dessinons une configuration.

PEN-FANCY

3Le cas de boules indiscernables est plus complexe que le cas discernable, car on peut avoir troisboules dans le 1er tiroir via plusieurs configurations (mettre les deux premières que l’on choisit,ou la 1ère et la dernière que l’on choisit par exemple...).



Cela revient donc à compter le nombre de façons de poser les 5 (boules) + 2 (cloi-sons internes) = 7 objets. On imagine alors qu’il y a 7 emplacements à remplir,donc le nombre de configurations est le nombre de choix pour les cloisons (cf. desboules, cela mènera au même résultat), soient (72) configurations possibles. En ef-fet, il faut faire ces choix de manière non répétée (on ne met pas deux objets aumême endroit) et puisque les cloisons (cf. boules) sont identiques, on ne tient pascompte de l’ordre des emplacements.

Les rappels de dénombrement étant terminés, passons à l’axiomatique probabi-liste.

2. AXIOMATIQUE DES PROBABILITÉS

En sciences, modéliser mathématiquement un phénomène ou une situation c’estétablir un pont entre la réalité et un discours mathématique censé décrire cetteréalité.4 Ce discours doit comprendre un système de calcul mathématiquementfondé, devant permettre à la fois de retrouver des aspects des observations réellesdu phénomène et de prédire de nouveaux aspects. Certaines réalités doivent êtremodélisées par des objets, que nous qualifierons d’aléatoires, qui dépendant enfait de la réalisation d’un contexte précis. Voyons pourquoi.

4Attention à ne pasmettre lemot «modéliser» à toute les sauces (dans vos rapports deTIPE, projetInfo etc.). Il est réservé uniquement pour ce but précis.

De l’aléatoire, pourquoi ? L’aléatoire est présent dans toute expérience scienti-fique. Les deux grandes explications en sont :

Caret-right d’une part l’aléatoire « intrinsèque» lié à la complexité des individus etdes phénomènes étudiés et au manque d’information dans le domaine.Exemple : vous observez une particule, qui se balade de manière anarchiquesur la droite réelle, on essaye d’observer et de trouver une loi de déplacement,l’aléatoire est donc dû au manque d’informations sur cette loi a priori incon-nue.

Caret-right D’autre part, de l’aléatoire peut intervenir «expérimentalement», par me-sures entachées d’erreur, ou encore lorsque les moyens pour relever sont li-mités. Exemple 1 : un relevé expérimental en physique, il y a une erreur/in-certitude dues à la machine elle-même. Exemple 2 : vous voulez savoir si unvaccin contre la COVID–19 est efficace, vous pouvez le tester sur un grandéchantillon, mais un aléatoire sera toujours présent car non testé à l’échellede la planète.

La première source d’aléatoire est donc lemanque d’informations, ou l’ignorance,la seconde est matérielle et peut donc être contrôlée et donnée elle-même lieu àune étude plus poussée. Il n’y a pas de raison de penser qu’une source d’aléatoirepeut complètement être supprimée. En Biologie (ainsi qu’en Médecine), étantdonné l’extrême complexité des systèmes étudiés, l’aléatoire est très présent.

2.1. Motivation du formalisme

Reprenons le tout premier exemple mentionné supra : celui d’une particule quise déplace, de manière anarchique, sur la droite réelle, on s’intéresse à la positionde la particule au temps 1 avoir l’avoir lancée par exemple depuis l’origine. Onpeut décrire cette position par une quantité réelle X. Oui mais si je refais la mêmeexpérience une autre fois, nous allons observer une autre valeur X′. Pour réunirl’ensemble des valeurs possible pour X au sein d’un même objet mathématique,nous allons plutôt voir X comme une application X ∶ Ω ⟶R avec Ω un ensemble.



Chaque observation de la position correspond ici à X(ω) pour ω ∈ Ω. Cette des-cription permet d’aborder ensuite des situations plus complexes : si nous lançonsdeux particules dont les positions sont X1,X2, alors :

Caret-right {X1 = X2} est l’ensemble {ω ∈ Ω, X1(ω) = X2(ω)}, c’est l’ensemble des confi-gurations où les deux particules se rencontrent au temps 1.

Caret-right {X1 < X2} est l’ensemble {ω ∈ Ω, X1(ω) < X2(ω)}, c’est l’ensemble des confi-gurations où 1 est à gauche de 2 au temps 1.

En fait il est très facile de construire Ω, par exemple {𝑥1,…,𝑥𝑛} est l’ensemble desvaleurs prises par X, on peut poser Ω = {𝑥1,…,𝑥𝑛} et X = IdΩ. C’est pour cetteraison que nous allons très peu souvent parler de Ω dans la suite du cours. On secontentera le plus souvent du point de vue «variables aléatoires».

Une autre façon de voir les choses dans le contexte précédent est de lister les ob-servationsdansunensembleΩ = {𝑥1,…,𝑥𝑛}. Dans cesdeux contextes, la vraisem-blance5 d’une observation sera décrite par une application «probabilité» P ∶ 𝒯 ⊂𝒫(Ω) ⟶ [0,1]. Dans ce chapitre, nous allons donner un certain nombre de défi-nitions afin de formaliser les expressions de la forme P (X1 ≠ X2) ,P (X1 < X2).

2.2. Espace probabilisé

Les premières formalisations de la notion de hasard, au XVIIème siècle, répon-daient pour l’essentiel à diverses questions issues de la théorie des jeux. Depuis lapublication en 1933 des Fondements de la théorie des probabilités d’Andreï Kol-mogorov, les probabilités sont solidement ancrées sur la formalisation proposéepar Kolmogorov.

Afin de donner un sens intuitif au concept d’espace probabilisé (les variables aléa-toires seront vues plus tard), considérons par exemple les deux autres expériencesaléatoires ci-dessous.

5Ou fréquence d’apparition

1 — L’expérience d’un lancer de dé à 6 faces peut conduire à 6 résultats selon laface obtenue. On note Ω = {1,…,6}, c’est l’ensemble des éventualités ou résultatspossibles.2 — L’expériencedu tiragede 2boules successivement avec remisedansuneurnecontenant des boules noires et des boules blanches peut conduire à 4 résultats :NN, NB, BN et BB si on choisit d’associer «N» à la couleur noire et «B» à la cou-leur blanche. On note alors Ω = {NN,NB,BN,BB} l’ensemble des éventualités ourésultats possibles.

On peut alors déjà se pencher sur la notion de probabilité de chacune des éven-tualités précédentes (des éléments de Ω). Mais on aimerait aussi donner un sensà la probabilité d’évènements plus compliqués comme «la face est paire» dans 1)(réunion de 2,4,6), ou encore « la première boule est blanche» dans 2) (réunionde NB avec BN). Nous appellerons ces ensembles des évènements dans la suite,leur ensemble sera appelé tribu et noté 𝒯. Ce sont donc tous les objets dont onpourra calculer la probabilité, en d’autres termes l’information disponible dansl’expérience considérée.

Remarque 2.1— Etdans le casfini? (première année) – ImportantEnpremièreannée les évènements étaient tous les éléments de 𝒫(Ω). Mais même dans le casfini, on peut avoir besoin parfois de considérer des tribus plus petites que 𝒫(Ω).Un exemple est donné ci-après.

Exemple 11— Nécessité de restreindre 𝒫(Ω) Considérons par exemple que l’ona lancé N fois une pièce de monnaie mais que l’on ne connaît que le résultat dupremier lancer.

Caret-right On a Ω = {0,1}N = {(𝑥1,…,𝑥N), 𝑥𝑖 ∈ {0,1} pour tout 𝑖}, mais l’information àlaquelle on a accès à l’issue du premier jet est seulement constituée du résul-tat de ce premier jet.

Caret-right Si on note A l’événement « le premier jet a donné pile» et CA l’événement « lepremier jet a donné face» alors la tribu des événements est {∅,A, CA,Ω}, c’estl’information dont on dispose après l’expérience.



Remarque 2.2— La notion de tribu ne paraît pas ici indispensable, et pourtantelle joue un rôle fondamental dans plusieurs contextes importants en Mathéma-tiques :

1 — la construction de l’intégrale de Lebesgue : qui unifie l’intégrale de Riemann,les séries et d’autres choses, et qui fournit une définition générale de l’espérance.2 — Les phénomènes d’évolution, où l’information disponible peut dépendre dutemps et donc on est amené à considérer des suites ou familles de tribus (on parledans ce cas de filtration).

Bref, à notre niveau, il convient simplement de voir le concept de tribu comme del’information disponible.

En 1ère année les univers étaient toujours fini, ce qui était bien sûr restrictif. Parexemple, nous ne pouvions pas décrire le jeu infini de pile ou face à l’aide d’un es-pace probabilisé. Dans le cours de 2ème année, nous allons lever cette condition.Avant de poursuivre, introduisons un peu de vocabulaire.

Définition ALEA.12.7 | Ensemble dénombrableUn ensemble Ω est dit :1 — dénombrable s’il est en bijection avec N,2 — au plus dénombrable s’il est fini ou dénombrable.

Un univers dénombrable est donc en particulier de cardinal non fini. Tout en-semble dénombrable Ω peut s’écrire donc sous la forme suivante :

Ω = {ω𝑖, 𝑖 ∈N} .

En particulier, pour toute fonction 𝑓 ∶ Ω ⟶R , nous pouvons donner un sens (encas de convergence à l’aide du Chapitre ANA.9) à

∞∑𝑖=0

𝑓(ω𝑖).

2.3. Univers & Espace probabilisable

Définition ALEA.12.8 | Tribu sur un univers ΩSoit Ω un ensemble appelé univers. On appelle tribu (ou σ-algèbre) sur Ω unsous-ensemble 𝒯 des parties de Ω vérifiant :1 — ∅ ∈ 𝒯.2 — (Stabilité par passage au complémentaire) A ∈ 𝒯 ⟹ CA ∈ 𝒯,3 — (stabilité par réunion dénombrable) si (A𝑛)𝑛∈N𝒯N ⟹∞⋃𝑛=0

A𝑛 ∈ 𝒯.

Le couple (Ω,𝒯) est alors appelé espaceprobabilisable. Les élémentsdeΩ sontappelés les résultats (ou issues, éventualités), notés généralement ω. Les élé-ments de 𝒯 sont appelés les évènements, l’ensemble ∅ est appelé évènementimpossible et Ω évènement quasi-certain.

Notez que l’on aurait pu (en utilisant 3)) remplacer l’axiome 1) parΩ ∈ 𝒯. À partirdes trois axiomes principaux, onpeut endéduire d’autres, qui auraient pu être prisd’ailleurs comme définition.

Remarque 2.3— L’axiome 3) est légitimé en considérant n’importe quelle expé-rience aléatoiremettant en jeu une série infinie d’actions. Imaginons qu’un joueurlance une pièce de monnaie et qu’il gagne s’il obtient trois fois de suite pile, si A𝑛« le joueur obtient, pour la première fois, trois fois de suite pile au 𝑛-ième lancer»,alors l’évènement « le jour gagne» est ⋃

𝑛∈NA𝑛.

Donnons sans plus tarder trois exemples de tribus usuelles.

Exemple 12— Exemples d’univers Le résultat d’une expérience aléatoire peutprendre des formes variées :

1 — le tirage de trois cartes dans un jeu de 32.PEN-FANCY



2 — Lancer d’une pièce jusqu’à obtenir pile : Ω = {P,FP,FFP,FFFP,…}.3 — Lancer infini d’une pièce : Ω = {P,F}N (non dénombrable cette fois-ci),4 — Durée de vie d’une ampoule : Ω =R+⋆ (non dénombrable),5 — Jeu de fléchettes : Ω = {(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑥2 +𝑦2 ⩽ R2} (non dénombrable), avecR ∈R⋆.

Exemple 13— Exemples de tribus On peut munir un univers Ω des tribus ci-dessous.

Caret-right {∅,Ω} appelée tribu grossière,Caret-right l’ensemble 𝒫(Ω) des parties de Ω, appelée tribu discrète,Caret-right si A ∈ 𝒫(Ω) alors la tribu engendrée par A notée σ(A) est {∅,A, CA,Ω}.6

Proposition ALEA.12.12

Soit (Ω,𝒯) un espace probabilisable. Alors1 — Ω ∈ 𝒯,2 — (𝒯 est stable par réunion finie) c’est-à-dire que pour toute famille fi-

nie A1, ...,AN ∈ 𝒯, N ⩾ 1, on a :N⋃𝑖=1

A𝑖 ∈ 𝒯.

3 — (𝒯 est stable par intersection dénombrable) pour toute suite(A𝑛)𝑛∈N ∈ 𝒯N, on a : ⋂

𝑛∈NA𝑛 ∈ 𝒯. En particulier, elle est aussi stable par in-

tersection finie.4 — (𝒯 est stable par différence) Si (A,B) ∈ 𝒯2, alors : A⧵B = A∩CB ∈ 𝒯.

Preuve1 — Comme ∅ ∈ Ω, vu que 𝒯 est stable par passage au complémentaire,C∅ = Ω ∈ 𝒯.

6Demanièreplus générale, étant donnéeunepartie𝒫de𝒫(Ω), onpeutmêmemontrer qu’il existetoujours une plus petite tribu surΩ contenant𝒫.

2 — On sait que 𝒯 est stable par réunion dénombrable. L’idée est qu’uneréunion finie est en particulier dénombrable en la prolongeant par le vide.Considérons A1, ...,AN ∈ 𝒯. Posant A𝑘 = ∅ pour tout 𝑘 ⩾ N+1, on a

∞⋃𝑘=1

A𝑘 = (N⋃𝑘=1

A𝑘)⋃∅ =N⋃𝑘=1

A𝑘 ∈ 𝒯.

3 — Soit (A𝑛)𝑛∈N une suite d’éléments de 𝒯. Alors (CA𝑛)𝑛∈N est aussi unesuite d’éléments de 𝒯. D’après 2), on obtient :

C( ⋃𝑛∈N

CA𝑛) = ⋂𝑛∈N

C(CA𝑛) = ⋂𝑛∈N

A𝑛 ∈ 𝒯.

4 — SiA,B ∈ 𝒯, alors CB est aussi dans𝒯, doncd’après3), on obtient : A∩CB ∈ 𝒯.

Définition ALEA.12.9 | Partition et système complet d’évènementsSoient Ω un ensemble. Considérons (A𝑛)𝑛∈N une famille de parties de Ω. Ondit que (A𝑛)𝑛∈N est une partition (ou un système complet d’évènements) de Ωsi les deux propriétés suivantes sont vérifiées :1 —

∞⋃𝑛=0

A𝑛 = Ω,

2 — les A𝑛 sont deux à deux disjoints, i.e. pour tous 𝑖 ≠ 𝑗 deux entiers, on a :A𝑖 ∩A𝑗 = ∅.

Remarque 2.4— La notion de système complet d’évènements est en fait une no-tion purement ensembliste (appelée partition dans le début du chapitre). Dans uncontexte plutôt probabiliste (i.e. lorsque l’on partitionne un univers Ω provenantd’une expérience aléatoire), on parle plutôt de système complet d’évènements.C’est juste une question de vocabulaire.

Autrement dit, la famille (A𝑛)𝑛∈N est une partition de Ω si pour tout ω ∈ Ω, il existeun et un seul 𝑛 ∈N tel que ω ∈ A𝑛.

Exemple 14— Pour tout A ⊂ Ω, l’ensemble {A, CA} est une partition de Ω.



A2

A1

A3

A4 A5

⋯

A𝑛−1

A𝑛

FIG. ALEA.12.1. : Représentation d’un système complet d’évènements

2.4. Espace probabilisé

Définition ALEA.12.10 | ProbabilitéSoient un ensemble Ω et une tribu 𝒯 sur Ω, on appelle probabilité (ou plussimplement probabilité) sur (Ω,𝒯) une applicationP ∶ 𝒯 → [0,1] telle que lespropriétés ci-dessous soient vérifiées :1 — (Additivité dénombrable ou σ-additivité)) pour toute suite (A𝑛)𝑛∈Nd’éléments de 𝒯 deux à deux disjoints (i.e. A𝑛 ∩A𝑚 = ∅ pour tout 𝑛 ≠ 𝑚)

(∑P (A𝑛))𝑛⩾0 converge, P(∞⋃𝑛=0

A𝑛) =∞∑𝑛=0

P (A𝑛) .

2 — P(Ω) = 1.On appelle espace probabilisé un triplet (Ω,𝒯,P) où 𝒯 est une tribu sur Ω, etP une probabilité sur (Ω,𝒯). En particulier, si (A𝑛)𝑛∈N est un système completd’évènements, alors :

∞∑𝑛=0

P(A𝑛) = 1 — formule des probabilités totales.

Remarque 2.5— Ladéfinitionest bienposée Il y a unepetite subtilité dans l’éga-

litée

P(∞⋃𝑛=0

A𝑛) =∞∑𝑛=0

P (A𝑛)

de la Définition ALEA.12.10. Étant donné que∞⋃𝑛=0

A𝑛 est toujours invariante par

permutation des A𝑛 (vérification facile avec la définition d’une réunion), il fau-drait justifier que c’est le cas aussi de la somme

∞∑𝑛=0

P (A𝑛). Dans le cas contraire,

on pourrait avoir plusieurs valeurs en fonction de l’ordre en lequel on somme, etl’hypothèse n’est pas bien posée.

Pour justifier ceci, il nous suffit d’appliquer le Théorème ANA.9.18 du Cha-pitre ANA.9 et donc de justifier que (∑P(A𝑛)) converge absolument. En effet, c’estbien le cas, car pour tout entier N, on a :

N∑𝑛=0

||P(A𝑛)|| =N∑𝑛=0

P(A𝑛) = P(N⋃𝑛=0

A𝑛) ⩽ 1.

La série précédente étant une série à termes positifs de somme partielle majorée,elle converge absolument.

Définition ALEA.12.11 | Certitude & Négligence d’un évènementSoit (Ω,𝒯,P)unespaceprobabilisé.UnévénementA tel queP(A) = 1est ditP-quasi-certain, on dit aussi que A a lieu P-presque sûrement, p.s. en abrégé. Unévénement A vérifiant P(A) = 0 est dit P−négligeable (ou P-quasi-impossibleparfois).

Nous écrirons seulement quasi-certain ou presque sûrement ( p.s) si le contexteest clair.

Définition ALEA.12.12 | Système quasi-completSoient Ω un ensemble. Considérons (A𝑛)𝑛∈N une famille de parties de Ω. Ondit que (A𝑛)𝑛∈N est un système quasi-complet d’évènements) de Ω si les deuxpropriétés suivantes sont vérifiées :1 —

∞∑𝑛=0

P (A𝑛) = 1,



2 — les A𝑛 sont deux à deux disjoints, i.e. pour tous 𝑖 ≠ 𝑗 deux entiers, on a :A𝑖 ∩A𝑗 = ∅.


Tout système complet d’évènements est un système quasi-complet d’évène-ments.

Preuve

PEN-FANCY

Remarque 2.6— Structure de l’ensemble des probabilités

Caret-right L’ensemble des probabilités sur un espace probabilisable (Ω,𝒯) n’est pas unespace vectoriel, car ce n’est pas un sous-espace vectoriel de [0,1]Ω.PEN-FANCY

Caret-right (Stabilité par combinaison convexe) L’ensemble des probabilités sur unespace probabilisable (Ω,𝒯) est stable par combinaison convexe : i.e. siP1 etP2 sont deux probabilités sur (Ω,𝒯) alors λP1+μP2 est aussi une probabilitéavec λ+μ = 1.PEN-FANCY

Propriétés élémentaires d’une probabilité.

Proposition ALEA.12.14 |

Soit un espace probabilisé (Ω,𝒯,P). Alors pour tout (A,B) ∈ 𝒯2, on a :1 — (Différence) P(B\A) = P(B) − P(A ∩ B). En particulier si A ⊂ B alorsP(B\A) = P(B)−P(A).2 — (Formule d’inclusion/exclusion) P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B),3 — (Additivité) si A∩B = ∅ alors P(A∪B) = P(A) +P(B). En particulier,P (∅) = 0 et P (CA) = 1−P(A),4 — (Monotonie pour⊂) si A ⊂ B alors P(A) ⩽ P(B).

Preuve

PEN-FANCY



Si la suite (A𝑛)𝑛∈N dans la Définition ALEA.12.10 n’est pas monotone, on a en re-vanche qu’une inégalité.

Proposition ALEA.12.15 | Sous-additivité dénombrableSoit (Ω,𝒯,P) un espace de probabilité et soit (A𝑛)𝑛∈N une suite d’événementsde 𝒯. Alors,

si (∑P(A𝑛))𝑛 ⩾0 converge, alors P(∞⋃𝑛=0

A𝑛) ⩽∞∑𝑛=0

P(A𝑛).

Remarque 2.7— Même si la série majorante diverge, c’est forcément vers +∞puisqu’elle est à termes positifs. L’inégalité reste donc vraie également dans ce cas.

Preuve Nous admettons cette preuve. L’idée principale étant d’écrire laréunion a priori non disjointe

∞⋃𝑛=0

A𝑛 en une réunion disjointe∞⋃𝑛=0

A𝑛 avec

A𝑛 ∈ 𝒯 pour tout 𝑛 ∈ N. L’axiome d’additivité dénombrable d’une probabi-lité nous permet ensuite de conclure en faisant le lien entre les P(A𝑛) et lesP(A𝑛).

Exemple 15— Un jeunon truquéde pile ou face fini. Le pile ou face en une étapeest décrit par l’espace (Ω,𝒯,P) avec Ω = {P,F} = {P}∪ {F},

𝒯 = 𝒫(Ω) = {∅, {P}, {F}, {P,F}},

oùPest laprobabilitéuniformesurΩdonnéeparP(A) = # A# Ω = # A

2 pour toutA ∈ 𝒯.Vérifions que (Ω,𝒯,P) est un espace probabilisé.

PEN-FANCY

Si l’on veut tenir compte d’une succession de N jeux, on prend plutôt Ω = {P,F}N,𝒯 = 𝒫(Ω) et P la probabilité uniforme sur Ω donnée par P(A) = # A

# Ω = # A2N pour

tout A ∈ 𝒯.

Exemple 16— Main de Poker. La sélection d’une main au poker peut être dé-crite par l’espace (Ω,𝒯,P) avec Ω = 𝒫5({𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠}) l’ensemble des parties à cinqéléments de l’ensemble des cartes, 𝒯 = 𝒫(Ω), le nombre de cartes en main dé-pendant de la manche, et P la probabilité uniforme (sur Ω) donnée par P(A) =# A# Ω = # A

(525 )pour tout A ∈ 𝒯.

On vérifie de la même manière que (Ω,𝒯,P) est un espace probabilisé.

Exemple 17— Jeu infini de pile ou face. Il est naturel d’introduire comme espacedes issues l’ensemble Ω des suites (ω1,ω2,…) où les ω𝑖 valent 0 ou 1 (et non plusdes N-uplets finis). Plus précisément, on note 1 lorsqu’on fait pile et 0 lorsqu’onfait face. On a ainsi

Ω = {0,1}N∗,



l’ensemble des suites à valeurs dans {0,1}. Cet univers n’est pas au plusdénombrable : on peut montrer qu’il est en bijection avec R.

La construction d’une tribu est beaucoup moins évidente que dans les autres cas.On suppose qu’il existe 𝒯 ⊂ 𝒫(Ω) telle que pour tout 𝑛 ∈ N⋆, 𝒯 contient A𝑛 « le𝑛-ième lancer a donné face» (et donc a fortiori toute intersection ou réunion detels ensembles ou de leur complémentaire). Nous admettrons que sur cet espaceprobabilisable (Ω,𝒯) ainsi obtenu onpeut définir une probabilité vérifiant la pro-priété suivante : pour tout 𝑛 ∈N⋆,

P(A𝑛) =12.

Un joueur lance une pièce équilibré jusqu’à ce qu’il obtienne pile. Montrerque l’évènement F « le joueur obtient face à tous les lancers» est négligeable.Indication : Introduire l’évènement B𝑛 «le joueur obtient face au cours des 𝑛 pre-

miers lancers» pour tout 𝑛 ∈ N⋆. PEN-FANCY Notons F « le joueur obtient face à tous leslancers». C’est un évènement car

F =∞⋂𝑛=0

A𝑛,

c’est donc une réunion dénombrable d’évènements (par hypothèse les A𝑛 sontdans 𝒯).

Mêmes si les A𝑛 sont indépendants on ne peut dire que la probabilité de l’inter-section est le produit infini des probabilités.7

Mais, F = ⋂∞𝑘=1A𝑘 ⊂ ⋂𝑛

𝑘=1A𝑘 = B𝑛. Or, P (B𝑛) = ( 12 )𝑛 𝑛→∞−−−−→ 0. Donc par théorème

de majoration, lim𝑛→∞

P (⋂∞𝑘=1A𝑘) = 0 . L’évènement F est donc bien négligeable.

7Mais on peut utiliser le théorème dit de «continuité le long des suites croissantes/décroissantes»,mais hors programme en BCPST.

2.5. Résultat d’existence de probabilités

Sur un univers au plus dénombrable. On rappelle que le qualificatif au plus dé-nombrable signifie dénombrable ou fini. Vous avez déjà rencontré le théorèmesuivant en première année dans le cas où Ω est fini. Il peut être généralisé sanspeine au cas au plus dénombrable. Nous préciserons ensuite en quoi ce résultatest important dans la pratique.

Théorème ALEA.12.2 | Existence d’une probabilitéSoit Ω un univers non vide, fini ou dénombrable. Pour toute famille (𝑝ω)ω deR+ telle que ∑

ω∈Ω𝑝ω = 1, il existe une unique probabilité P sur (Ω,𝒫(Ω)) telle

que : P({ω}) = 𝑝ω pour tout ω ∈ Ω. Plus précisément, elle est définie par :

P(A) = ∑ω∈A

𝑝ω, pour tout A ∈ 𝒫(Ω).

Remarque 2.8— Notation ∑ω∈Ω

𝑝ω Notez que ∑ω∈Ω

𝑝ω a du sens puisque Ω est

supposé au plus dénombrable : en effet, on peut écrire Ω sous forme numérotéeΩ = {ω𝑛, 𝑛 ∈N} et on pose

∑ω∈Ω

𝑝ω =∞∑𝑛=0

𝑝ω𝑛.

De plus, cette somme existe et ne dépend pas de la numérotation puisque lasérie converge absolument (c’est une série positive) vers 1. De-même pour toutA ∈ 𝒫(Ω), on définit ainsi ∑ω∈A𝑝ω.

Preuve CLONE Analyse – (ou unicité). Si P est une probabilité sur Ω telleque pour tout ω ∈ Ω on ait P({ω}) = 𝑝ω, alors, si A ∈ Ω, on a en utilisant la

propriété d’additivité dénombrable d’une probabilité : PEN-FANCY

P(A) = P( ⨄ω∈A

{ω}) = ∑ω∈A

P ({ω}) .

On obtient la formule du théorème qui définit P, donc si P existe, elle estforcément définie par cette formule.



CLONE Synthèse. Définissons alors P par : ∀A ∈ 𝒫(Ω), P(A) = ∑ω∈A

P ({ω}).

Vérifions que P est une probabilité sur (Ω,𝒫(Ω)).

PEN-FANCY

Exemples usuels d’espaces probabilisés (& Expérience aléatoire associée).

Exemple 18— Masse de Dirac/Issues certaines. Soit Ω un ensemble quelconque

et ω ∈ Ω. On définit une probabilité sur (Ω,𝒫(Ω)) en posant pour tout A ∈𝒫(Ω) :

δω(A) =⎧⎨⎩

1 si ω ∈ A,0 sinon.

On vérifie facilement que pour tout ω ∈ Ω, δω est une probabilité sur (Ω,𝒫(Ω)),elle est appelée masse de Dirac en 𝑎. Pour cette probabilité, les évènements sonttoujours certains ou négligeables. Quelle expérience aléatoire pourrait corres-pondre à ce triplet (Ω,𝒫(Ω),δω)? PEN-FANCY Par exemple, un lancer de dé qui ne com-porterait que des 6, avec ω l’évènement «faire 6 au lancer».

Exemple 19— Probabilitéuniformediscrète/Issues équiprobables. SoitΩunen-semble fini non vide. Pour tout A ∈ 𝒫(Ω), posons

P#Ω(A) =

# A# Ω

.

Alors on montre que P#Ω définit une probabilité sur (Ω,𝒫(Ω)) appelée probabi-

lité uniforme sur Ω. Quelles expériences aléatoires pourraient correspondre à cetriplet (Ω,𝒯,P#

Ω)? PEN-FANCY N’importe quelle expérience aléatoire entrant dans uncontexte d’équiprobabilité. Par exemple Ω = J1 , 6K correspondant au lancer d’undé équilibré. Chaque issue est alors de probabilité 1/6.

2.6. Conditionnement & Indépendance d’évènements

2.6.1. Conditionnement par rapport à un évènement

Un énoncé de probabilité conditionnelle est un énoncé du type : «si B se produitalors la probabilité que A se produise est 𝑝». On peut penser par exemple que B



est l’événement «il neige» et A « le bus est en retard». Si je sais qu’il neige, la pro-babilité que le bus soit en retard devrait être augmentée : on souhaite définir unenouvelle probabilité qui tienne compte de cet apport d’information.Autre exemple, si l’on considère le jeu ci-après.Trois portes, derrière l’une des troisse cache un trésor. J’ai le droit de regarder successivement derrière chacune desportes et d’en choisir une à chaque tour. Sachant que j’ai déjà regardé une porte,j’ai plus de chance au tour suivant de tomber sur la bonne.L’idée intuitive du conditionnement est donc un apport d’information. Mathé-matiquement, nous allons considérer la définition suivante.

Définition ALEA.12.13 |

Soit (Ω,𝒯,P) un espace probabilisé. SoitB un événement non-négligeable i.e.tel que P(B) > 0. Pour tout événement A ∈ 𝒯 on pose

P(A|B) =P(A∩B)P(B)

.

Cette quantité est appeléeprobabilité deA sachant Bouprobabilité condition-nellement à B.a

Attention×

Nous n’avons pas défini l’évènement {A ∣ B}, seulement la probabilitéconditionnelle sachant B. À ne pas confondre avec l’évènement A\B = A∩CB. De plus, avant de parler de conditionnement il est nécessaire depréciserque B n’est pas négligeable.

Remarque 2.9— UnévènementBnonnégligeable étantfixé, laprobabilité condi-tionnelle sachantBdéfinie une nouvelle probabilité sur (Ω,𝒯), d’où unnouvel es-pace probabilisé (Ω,𝒯,P(.|B)). Alors que A ⟼ P(A∩B) n’en est, en général, pasune!

Exemple 20— Une famille a deux enfants. Quelle est la probabilité que les deuxsoient des garçons conditionnellement au fait qu’au moins l’un des deux est un

aParfois aussi notée PB(A).

garçon? Préciser un triplet (Ω,𝒯,P(. ∣ B)) associé à l’expérience aléatoire. PEN-FANCYAvec des notations évidentes, l’espace probabilisé est Ω = {GG,GF,FG,FF} munide la probabilité uniforme. La probabilité cherchée est

P(GG|{GG,GF,FG}) =P({GG})

P({GG,GF,FG})=

1/43/4

=13.

2.6.2. Grandes formules probabilistes

Ondéduit directement de la définition une formule de permutation de condition-nement appelée formule de BAYES.

Attention×

Dans la pratique, il faudra toujours recourir aux formules ci-après dans vosraisonnements probabilistes. Tout «blabla» avec des phrases est désormaisinterdit.

Proposition ALEA.12.16 | Formule de BAYES (permutation de condition-nements)

1 — Soient A et B des événements non négligeables, alors

P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)

.

2 — Soit (A𝑛)𝑛∈N un système complet d’évènements non négligeables. Alors :

P(A|B) = P(B|A)P(A)

∞∑𝑛=0

P(B|A𝑛)P(A𝑛).

Preuve

PEN-FANCY



Exemple 21— Intérêt des QCMpour les examens Considérons des questions où𝑚 réponses possibles sont proposées et supposons qu’un candidat a une proba-bilité𝑝de connaître la réponse à une question prise au hasard parmi un ensemblefini de questions. Sachant que le candidat a répondu correctement à la question,quelle est la probabilité qu’il sache effectivement la réponse? On suppose qu’uncandidat ne sachant pas la réponse répond «au hasard», et donc que chacune des𝑚 réponses possibles sont équiprobables.

Soit RC l’événement « le candidat répond correctement» et CO l’événement « lecandidat connaît la réponse». Appliquons la règle de Bayes,

P(CO ∣ RC) =P(RC ∣ CO)P(CO)

P(RC)

=P(RC ∣ CO)P(CO)

P(RC∩CO)+P (RC∩ CCO)

=P(RC ∣ CO)P(CO)

P(RC ∣ CO)P(C𝑜)+P (RC ∣ CCO)P (CCO)=

1 ⋅𝑝1 ⋅𝑝+ 1

𝑚 (1−𝑝)

=𝑚𝑝

𝑚𝑝+1−𝑝.

Donc plus 𝑚 est grand, plus P(CO|RC) est grand. C’est assez intuitif car il est pro-bable que le candidat connaisse la réponse s’il a donné une bonne réponse parmide nombreuses proposées. Remarquons que pour 𝑚 = 3 et 𝑝 = 1/2,P(CO ∣ RC) =3/4. Ce qui est somme toute assez grand! On conçoit donc qu’un questionnaired’une trentaine de questions, chacune à trois ou quatre réponses possibles, soit àmême de rendre compte du savoir d’un étudiant !

La formule des probabilités totales est la première grande formule à connaître enprobabilités.

Proposition ALEA.12.17 | Formule des probabilités totalesSoit (Ω,𝒯,P) un espace probabilisé et (A𝑛)𝑛∈N ∈ 𝒯N un système completd’évènements de Ω. Alors, pour tout événement B ∈ 𝒯, on a :

P(B) =∞∑𝑛=0

P(B∩A𝑛).

En particulier, si pour tout 𝑛 ∈N, P(A𝑛) ≠ 0, alors :

P(B) =∞∑𝑛=0

P(B|A𝑛)P(A𝑛).

Remarque 2.10— Parfois, les énoncés ne font pas figurer la condition «pour tout



𝑛 ∈N, P(B𝑛) ≠ 0» mais décrètent que par convention :

P(B|A𝑛)P(A𝑛) = 0 si A𝑛 est négligeable.

Méthode (Quand utiliser la formule des probabilités totales)WRENCH

Pour calculer la probabilité d’un évènement pour lequel on a besoin de faireune disjonction de cas. Exemple typique : deux urnes dont le tirage se faitdans l’une ou l’autre en fonction du résultat du tirage précédent, on utilisealors le résultat du tirage précédent comme système complet d’évènementspuis on applique la formule des probabilités totales.

A1 ∩B

B

A2

A1

A3

A4 A5

⋯

A𝑛−1

A𝑛

FIG. ALEA.12.2. : Écriture d’un évènement B avec un système complet d’évènements (A𝑛)

PreuveCaret-right (1er cas : (A𝑛)𝑛 est un système complet d’évènements)

PEN-FANCY

Caret-right (2ème cas : (A𝑛)𝑛 est un système quasi-complet d’évènements) Nousavons donc ici

∀𝑛 ≠ 𝑚, A𝑛 ∩A𝑚 = ∅,∞∑𝑛=0

P (A𝑛) = 1.

De manière équivalente, c’est supposer que

∀𝑛 ≠ 𝑚, A𝑛 ∩A𝑚 = ∅, P( ⨄𝑛∈N

A𝑛) = 1.

Notons dans la suite A = ⨄𝑛∈N A𝑛. On a

B = (B∩A)⨄(B∩ CA)

= ( ⨄𝑛∈N

B∩A𝑛)⨄(B∩ CA) ,

P (B) =∞∑𝑛=0

P (B∩A𝑛)+P (B∩ CA) .en passant aux proba

Or,parhypothèseP (A) = 1, doncP (CA) = 0.Mais comme (B∩ CA) ⊂ CA,on obtient 0 ⩽ P (B∩ CA) ⩽ P (CA) = 0, donc P (B∩ CA) = 0 et la formuleest établie.

Remarque 2.11— Puisqu’un système complet d’évènements est un systèmequasi-complet d’évènements nous aurions pu nous contenter du second cas.

Remarque 2.12— Un cas particulier qui revient souvent est la formule

P(B) = P(B|A)P(A)+P(B||CA)P (CA)

valable dès que 0 < P(A) ⩽ 1 qui provient directement du système complet d’évè-nements (A, CA). Alors la visualisation ensembliste est la suivante.



A

AB∩A B∩ CA

CA

FIG. ALEA.12.3. : système complet d’évènements avec un évènement et son complémentaire

Exemple 22— Test et faux positifs. Une maladie affecte une personne sur 1000.Le test de dépistage n’est pas parfait : le résultat est toujours positif pour une per-sonnemalade et pour une personne saine il est positif (donc erroné) 2 fois sur 100.Quelle est la probabilité qu’une personne ayant un résultat positif au test soit ef-fectivement malade?

PEN-FANCY Soit T l’événement « le test est positif» et M l’événement « la personne estmalade». On cherche P(M|T). On écrit

P(M|T) = P(T|M)P(M)P(T)

.

D’après les données du problème P(T|M) = 1 et P(M) = 0,001. De plus

P(T) = P(T|M)P(M)+P(T|M𝑐)P(M𝑐) = 1×0,001+0,02×0,999.

En regroupant tout, on trouve que P(M|T) est de l’ordre de 5%. Le test est proba-blement erroné.

Nous avons par définition, que pour tout couple d’évènements (A,B) ∈ 𝒯2, tels

que B ne soit pas négligeable :

P(A∩B) = P(A|B)P(B),

on peut généraliser sans trop de difficulté à une intersection de 𝑛 évènements.

Théorème ALEA.12.3 | Formule des probabilités composéesSoient (Ω,𝒯,P),𝑛 ⩾ 2, etA1,…,A𝑛 ∈ 𝒯 tels que : P(A1∩⋯∩A𝑛−1) ≠ 0. Alors :

P(A1 ∩⋯∩A𝑛) = P(A1)P(A2||A1)P(A3

||A1 ∩A2)⋯P(A𝑛||A1 ∩⋯∩A𝑛−1) .

Méthode (Quand utiliser la formule des probabilités composées)WRENCH

Pour calculer la probabilité d’un évènement qui est une intersection d’évè-nements non indépendants.a Exemple typique : une urne dont on change lesproportions de boules de chaque type étape par étape, piocher pour la pre-mière fois une boule d’un type au rang𝑛 revient à piocher que des boules desautres types jusqu’au rang 𝑛−1 puis une boule du bon type au rang 𝑛.

Remarque 2.13— L’hypothèse P (A1 ∩⋯∩A𝑛−1) ≠ 0 garantit que toutes les pro-babilités conditionnelles existent. C’est un point clef de la démonstration ci-dessous.

Preuve

PEN-FANCY

asinon c’est plus facile, on utilise l’indépendance.



Remarque 2.14— On l’utilise en général pour toute répétition d’expériences,dont la réalisation de la 𝑛-ième dépend de la 𝑛−1-ième.

Exercice ALEA.12.1 Une histoire de princesse. Une princesse est retenue prison-nière dans un chateau. Un prince charmant se met en tête de la délivrer. Lorsqu’ilarrive à l’entrée du chateau, il se trouve devant 3 portes. Il en ouvre une au hasard(équiprobable).

Caret-right S’il ouvre la 1ère porte, il délivre la princesse.Caret-right S’il ouvre la deuxième porte, un dragon apparait et le dévore.Caret-right S’il ouvre la troisième porte, une sorcière lui fait boire un filtre, il oublie tout

ce qu’il a vu et est mis à la porte du chateau.

Le prince renouvelle ses tentatives jusqu’à ce qu’il meure ou qu’il délivre la prin-cesse.

1 — Calculer la probabilité de l’événement D𝑘 : « il délivre la princesse au 𝑘-èmeessai».2 — Calculer la probabilité de l’événement D : « il délivre la princesse».

PEN-FANCY

2.6.3. Indépendance d’évènements

De façon intuitive, on dit que A est indépendant de B si savoir B ne change pas laprobabilité de A. C’est-à-dire si

P(A|B) = P(A).

Pour que cette formule ait un sens on est obligé de supposer que P(B) > 0, ce quin’est pas le cas dans la définition suivante. Mais si c’est le cas l’égalité précédente



signifie simplement

P(A∩B) = P(A)P(B).

Définition ALEA.12.14

Soit (Ω,𝒯,P) un espace probabilisé et (A𝑛)𝑛∈N ∈ 𝒯N.1 — (Indépendance) On dit que les A𝑛 sont mutuellement indépendants(on dit parfois seulement indépendants) si

P( ⋂𝑛∈𝒩

A𝑛) = ∏𝑛∈𝒩

P(A𝑛)

pour toute partie𝒩finie non vide incluse dansN. Pour deux évènementsA,B,on notera A ∣_∣ B lorsqu’ils sont indépendants.2 — (Indépendancedeuxàdeux) Ondit que lesA𝑛 sont indépendants deuxà deux si pour tous 𝑖, 𝑗 ∈N, A𝑖 ∣_∣ A𝑗.

En particulier, deux événements A et B sont donc indépendants si P(A ∩ B) =P(A)P(B).

Exemple 23— On tire une carte dans un paquet de 52. L’événement A : « tirer

un roi» est indépendant de l’événement B : « tirer un pique». Pourquoi? PEN-FANCY Eneffet P(A∩B) est la probabilité de tirer le roi de pique, soit 1/52, qui est bien égal àP(A)P(B) = (4/52)× (13/52) = 1/52.

Proposition ALEA.12.18 | Propriétés de l’indépendanceSoient A,B ∈ 𝒯. Alors :1 — A ∣_∣ A ⟹ P(A) ∈ {0,1}.2 — A ∣_∣ B ⟺ CA ∣_∣ CB.3 — A ∣_∣ B ⟹ A ∣_∣ CB et B ∣_∣ CA.4 — (Généralisation) Soit (A𝑛)𝑛∈N une famille d’évènements deux à deuxindépendants (resp. mutuellement indépendants), et (B𝑛)𝑛∈N une autre fa-mille d’évènements telle que B𝑛 = A𝑛 ou CA𝑛 pour tout 𝑛 ∈N.Alors : (B𝑛)𝑛∈N une famille d’évènements deux à deux indépendants (resp.

mutuellement indépendants).

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

3 — PEN-FANCY

4 — Récurrence sur le nombre d’évènements après avoir choisi une partiefinie.

Exemple 24— On jettedeuxpièces. Les événements « lapremièrepièce tombe surpile», « la deuxièmepièce tombe sur pile» et « les deux pièces donnent lemême ré-sultat» sont deux à deux indépendants, mais pas mutuellement indépendants.

PEN-FANCY



3. VARIABLES ALÉATOIRES

On ne sera pas toujours intéressé par le résultat complet d’une expérience aléa-toire, i.e. les éléments de Ω, mais plutôt par une une fonction de ces derniers. Unetelle fonction, vérifiant une propriété supplémentaire, sera appelée variable aléa-toire si la quantité d’intérêt est à valeurs dans R ou vecteur aléatoire si la quantitéest à valeurs dans R𝑑, 𝑑 ≥ 2.

3.1. Généralités

En règle générale, puisqu’en 2ème année les ensembles dont on calcule les pro-babilités sont les parties de 𝒯 — et pas n’importe quelle partie ––– la définitionde variable aléatoire sera très légèrementmodifiée par rapport à celle de premièreannée.

Définition ALEA.12.15 | Variable aléatoire réelleUne application X ∶ Ω →R est appelée variable aléatoire réelle si

∀𝑎 ∈R, {X ⩽ 𝑎} =(défi.)

{ω ∈ Ω, X(ω) ⩽ 𝑎} ∈ 𝒯. (VaProp)

On appelle support de X (ou univers image de X) l’ensemble X(Ω).

Dans Équation (VaProp) onpeut en fait remplacer le symbole «⩽ 𝑎» par n’importequel intervalle «∈ I», comme nous le voyons dans la proposition qui suit.


Soit X ∶ Ω →R une variable aléatoire réelle et I ⊂R un intervalle de R. Alors :

{X ∈ I} = {ω, X(ω) ∈ I} ∈ 𝒯.

En particulier : pour tout 𝑎 ∈ I, {X = 𝑎} = {ω, X(ω) = 𝑎} ∈ 𝒯.

Preuve Admise.

NotationΣL’assertion {X ⩽ 𝑎} ∈ 𝒯 signifie que les probabilités

P(X ⩽ 𝑎) =(nota.)

P({X ⩽ 𝑎})

sont bien définies pour tout 𝑎 ∈ R (on rappelle que P est définie sur 𝒯 uni-quement). On omettra souvent les accolades intervenant dans les évène-ments utilisant des variables aléatoires.



Malgré la terminologie, une variable aléatoire est avant tout une application etpas une «variable» au sens propre du terme.

Remarque 3.1—

Caret-right Notez bien que la notion de variable aléatoire réelle dépend de la tribu sous-jacente 𝒯.

Caret-right Lorsque 𝒯 = 𝒫(Ω) (cadre de première année) alors il est immédiat queÉquation (VaProp) est satisfaite pour tout𝑎 ∈R. En revanche si𝒯ne contientpas toutes les parties de Ω, ce n’est plus forcément le cas.

Exemple 25— Un exemple discret à support fini On lance simultanément deuxdés discernables et on choisit comme univers Ω = J1 , 6K2 (cf. Chapitre ALEA.12),comme tribu celle des parties 𝒯 = 𝒫(Ω) et que l’on munit de la probabilité uni-forme. Cette probabilité décrit l’expérience puisque les dés ne sont pas truqués.Notons alors :

Caret-right X la somme des valeurs des dés,Caret-right Y le maximum des deux valeurs.

Que valent X(Ω) et Y(Ω)?

PEN-FANCY

Écrire explicitement les applications X et Y mises en jeu.

PEN-FANCY

Les applications X,Y sont bien des variables aléatoires puisque 𝒯 = 𝒫(Ω).

Exemple 26— Un exemple discret à support non fini On tire à pile ou face avecune pièce jusqu’à obtenir pile et on note X le nombre de tirs effectués,

Ω = {P,FP,FFP,…}∪ {FFFFF…}⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ω0

,

auquel on associe la tribu 𝒯 = 𝒫(Ω). Mais X(ω0) n’aura pas de sens dans ce caspuisqu’X est à valeurs dans R (et pas dans R !).

Exemple 27— Un exemple réel On considère une ampoule électrique et on noteX sa durée de vie.

Exemple 28— Un second exemple réel On observe deux bactéries et on s’in-téresse à la durée de vie T de la bactérie qui disparaîtra la première. On choisitcomme univers Ω = [0;∞[× [0;∞[. On admet que

T||||||

Ω ⟶ R

(ω1,ω2) ⟼ min (ω1,ω2)

est une variable aléatoire relativement à une tribu sur Ω.8

Proposition ALEA.12.20 | Structure d’espace vectoriel, opérations1 — L’ensemble des variables aléatoires réelles muni de l’addition et de lamultiplication externe des applications est un R-espace vectoriel, i.e. : si X,Ysont deux variables aléatoires réelles et (λ,μ) ∈ R2, alors : λX+μY est une

8que l’on ne précisera pas, il s’agit de la plus petite tribu contenant tous les produits d’intervallesouverts de [0;∞[



variable aléatoire réelle.2 — Si X,Y sont deux variables aléatoires réelles, alors : XY est une variablealéatoire.3 — (Minimum/maximum) Soient X1,…,X𝑛 une collection de 𝑛 variablesaléatoires réelles, alors :

min (X1,…,X𝑛) et max (X1,…,X𝑛)

sont des variables aléatoires réelles.

Preuve Nous admettons 1),2). Nous montrons 3) — cette démonstra-tion est à connaître parfaitement ! a

PEN-FANCY

aNous utiliserons très souvent ces calculs dans des chapitres ultérieurs.

3.2. Fonction de répartition & Loi

On reprend dans cette section les précédentes notations, on se donne X ∶ Ω ⟶ Rune variable aléatoire réelle.

Définition ALEA.12.16 | LoiOnappelle loi de la variable aléatoire réelleX, la fonctionPX qui à un intervalleouvert I de R associe PX(I) définie par

PX(I) = P(X ∈ I).

Nous aurons plutôt recours à la fonction ci-après pour étudier une variable aléa-toire réelle.

Définition ALEA.12.17 | Fonction de répartitionOn appelle fonction de répartitiona de la variable aléatoire réelleX, la fonctionFX ∶ R⟶ [0,1] donnée, pour 𝑥 ∈R, par :

FX(𝑥) = PX(]−∞,𝑥]) = P(X ⩽ 𝑥),

Déterminer la loi d’une variable aléatoire c’est donc trouver avec quelle probabi-lité elle arrive dans un certain intervalle. Trouver la fonction de répartition c’estdéterminer avec quelle probabilité elle est plus petite qu’une certaine valeur.

Remarque 3.2— Notion de loi dans le cas discret. Dans le cas discret, que nousverrons plus tard, on appellera plutôt loi (ou fonction de masse) l’application

PX ∶ 𝑥 ∈ X(Ω) ⟼ P(X = 𝑥)

Nous verrons que les deux définitions sont équivalentes.

Propriétés de la fonction de répartition.

acumulative distribution function en Anglais



Proposition ALEA.12.21 | Propriétés analytiquesSoit X ∶ Ω →R une variable aléatoire et FX sa fonction de répartition. Alors1 — 0 ⩽ FX ⩽ 1,2 — FX est croissante,3 — FX est c.à.d.l.a.g. : i.e. elle est continue à droite en tout 𝑥 ∈R, i.e.

FX(𝑥) = lim𝑦⟶𝑥𝑦>𝑥

FX(𝑦),

et possède une limite à gauche notée F(𝑥−) =(nota.)

lim𝑦⟶𝑥𝑦<𝑥

FX(𝑦) en tout 𝑥 ∈

R.4 — Pour tout 𝑥 ∈R,

lim𝑥→−∞

FX(𝑥) = 0, lim𝑥→+∞

FX(𝑥) = 1.

Preuve1 — Soit 𝑥 ∈ R, alors {X ⩽ 𝑥} ⊂ Ω, alors par propriété de monotonie :FX(𝑡) ⩽ P (Ω) = 1.2 — Soient 𝑥 ⩽ 𝑦, alors {X ⩽ 𝑥} ⊂ {X ⩽ 𝑦} donc P(X ⩽ 𝑥) ⩽ P(X ⩽ 𝑦), ce quimontre que FX est croissante.3 — La fonction FX possède nécessairement une limite finie à droite et àgauche puisqu’elle est croissante et à valeurs dans [0,1]. Nous admettons lacontinuité à droite.4 — Admise.

Remarque 3.3— Ces propriétés caractérisent la notion de fonction de réparti-tion au sens suivant : si FX est une fonction vérifiant les trois propriétés précé-dentes alors on peut trouver un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) et une variable aléa-toireX ∶ Ω ⟶R telle queP(X ⩽ 𝑥) = FX(𝑥) pour tout 𝑥 ∈R. Plus précisément, si ona seulement la continuité à droite, cela suffit, comme le mentionne le théorèmesuivant.

Théorème ALEA.12.4 | Existence d’une variable aléatoire de fonction derépartition fixée

Soit F une fonction définie sur R à valeurs réelles telle que :1 — F est croissante sur R,2 — lim

𝑥→−∞F(𝑥) = 0 et lim

𝑥→+∞F(𝑥) = 1,

3 — F est continue à droite en tout point,alors il existe unespaceprobabilisé (Ω,𝒯,P) et une variable aléatoireXdéfiniesur cet espace tels que FX = F.

Preuve Nous admettons ce théorème.

Exemple 29— On considère une variable aléatoire X à valeurs dans {1, ...,6} don-nant le résultat du lancé d’un dé à 6 faces. Calculer sa fonction de répartition et la

tracer.

PEN-FANCY



Proposition ALEA.12.22 | Propriétés probabilistesSoit X ∶ Ω → R une variable aléatoire et FX sa fonction de répartition. Soient𝑥 ⩽ 𝑦 des réels, on a1 — P(X > 𝑥) = 1−FX(𝑥), la fonction 1− FX est en général appelée fonctiond’antirépartition,2 — P(𝑥 < X ⩽ 𝑦) = FX(𝑦)−FX(𝑥),3 — P(X < 𝑥) = FX(𝑥−),4 — P(X = 𝑥) = FX(𝑥)−FX(𝑥−).En particulier, FX est continue en 𝑥 ⟺ P(X = 𝑥) = 0. LorsqueP(X = 𝑥) = 0 pour tout 𝑥 ∈ R, on dit que X est sans atome.

SiX n’a pas d’atome, alors la fonction FX est continue en chaque point. Esquissonsà présent le dessin typique d’une fonction de répartition. :

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY Découlent directement de la définition de FX, en écrivant quepour tous 𝑥,𝑦 ∈R tels que 𝑥 ⩽ 𝑦,

{𝑥 < X ⩽ 𝑦} = {X ⩽ 𝑦}\{X ⩽ 𝑥} ,

on applique ensuite P de chaque côté.3 — Constatons que pour tout 𝑥 ∈R :

]−∞;𝑥[=]−∞;𝑥−1]⨄+∞⨄𝑛=1]

𝑥−1𝑛

;𝑥−1

𝑛+1].

Cette égalité se prouve par double inclusion. Puis on déduit :

{X ∈ ]−∞;𝑥[} = {X ∈ ]−∞;𝑥−1]}⨄+∞⨄𝑛=1

{X ∈ ]𝑥−1𝑛

;𝑥−1

𝑛+1]}.

Ceci étant dit, appliquons P de chaque côté, on trouve puisque les réunionssont disjointes :

P (X < 𝑥) = FX(𝑥−1)+∞∑𝑛=1

P(X ∈ ]𝑥−1𝑛

;𝑥−1

𝑛+1]) ,

= FX(𝑥−1)+∞∑𝑛=1

(FX (1

𝑛+1)−FX (

1𝑛

))

= FX(𝑥−1)+ lim𝑛→∞

FX (𝑥−1

𝑛+1)−FX(𝑥−1) = FX(𝑥−).

télésco-page

4 — PEN-FANCY



Représentation d’une variable aléatoire par histogramme.

Définition ALEA.12.18Soit X ∶ Ω → R une variable aléatoire. On appelle histogramme de X de pasℎ > 0 la courbe représentative de la fonctionH constante parmorceaux, satis-faisant pour tout 𝑖 ∈ Z :

H ∶ 𝑥 ∈ [𝑖ℎ, (𝑖 +1)ℎ[ ⟼ P (X ∈ [𝑖ℎ, (𝑖 +1)ℎ[) .

Nous verrons plus tard comment tracer un tel histogramme avec Python.⋆⋆⋆ Fin du chapitre ⋆⋆⋆



4. EXERCICES

4.1. Dénombrement

[ALG_Den_13.tex]

Exercice ALEA.12.2 (Solution : 38) Combien le mot BCPST possède-t-il d’ana-grammes distinctes? Le mot CONFINEMENT?

[ALG_Den_15.tex]

Exercice ALEA.12.3 (Solution : 38) À partir d’un alphabet de 𝑝 lettres, combien demots de 𝑛 lettres peut-on former

1 — ne contenant que des lettres distinctes?2 — ne contenant jamais deux lettres identiques consécutives?

[ALG_Den_14.tex]

Exercice ALEA.12.4 (Solution : 38) Soient𝑛 couples qui se rencontrent et se saluent.Chaque personne serre (une fois) la main de chacune des autres (sauf celle de sonconjoint). Combien y aura-t-il de poignées de mains échangées?

[ALG_Den_17.tex]

Exercice ALEA.12.5 À l’issu d’un concours, 160 candidats sont admis et classésdont 70 garçons. Déterminer le nombre de classements possibles des 10 premiersadmis qui contiennent autant de filles que de garçons.

[ALG_Den_19.tex]

Exercice ALEA.12.6 (Solution : 38)

1 — Combien existe-t-il de tableauxde 4 lignes et 4 colonnes dont les entrées sont«0» ou «1» et dont chaque ligne contient exactement un coefficient «1»?2 — Combien existe-t-il de tableauxde 4 lignes et 4 colonnes dont les entrées sont«0» ou «1» et dont chaque ligne contient au moins un coefficient «1»?3 — Combien existe-t-il de tableauxde 4 lignes et 4 colonnes dont les entrées sont«0» ou «1» et dont chaque ligne et chaque colonne contient exactement un coef-ficient «1»?

[ALG_Den_21.tex]

Exercice ALEA.12.7 FormuledeVandermonde (Solution : 38) Soient (𝑎,𝑏,𝑐) ∈N3.

1 — Donnerdeuxdémonstrationsde l’égalité𝑐∑𝑘=0

⎛

⎝

𝑎

𝑘

⎞

⎠

⎛

⎝

𝑏

𝑐−𝑘

⎞

⎠=

⎛

⎝

𝑎+𝑏

𝑐

⎞

⎠,

1.1) en développant de deux manières (1+X)𝑎(1+X)𝑏,1.2) en calculant de deuxmanières le nombre de parties de cardinal 𝑐 dans E∪F,

où E et F sont des ensembles disjoints de cardinaux 𝑎 et 𝑏 respectivement.

2 — Soit (𝑛,𝑝,𝑞) ∈N3. Montrer que𝑞

∑𝑘=0

⎛

⎝

𝑞

𝑘

⎞

⎠

⎛

⎝

𝑛

𝑝+𝑘

⎞

⎠=

⎛

⎝

𝑛+𝑞

𝑝+𝑞

⎞

⎠.

3 — Calculer𝑛∑𝑝=0

⎛

⎝

𝑛

𝑝

⎞

⎠

2

.

4.2. Espaces probabilisés

4.2.1. Existence et propriétés d’une probabilité

[PS_EspProb_34.tex]



Exercice ALEA.12.8 L’équiprobabilité sur N existe-t-elle? (Solution : 39) Peut-onchoisir un entier naturel au hasard de manière équiprobable?

[PS_EspProb_35.tex]

Exercice ALEA.12.9 Deux probabilités sur {1,…,𝑛} Soit Ω = {1,2,…,𝑛}.

1 — Déterminer une probabilité P sur Ω, tel que, pour tout 𝑘 ∈ J1 , 𝑛K, P ({𝑘})soit proportionnel à 𝑘.2 — Déterminer une probabilité P sur Ω, tel que, pour tout 𝑘 ∈ J1 , 𝑛K,P ({1,2,…,𝑘}) soit proportionnel à 𝑘2.

[PS_EspProb_2.tex]


1 — Montrer que : ∀𝑥 ∈R, e𝑥 ⩾ 1+𝑥.2 — Soient A1, ....,A𝑛 des évènements indépendants d’un espace probabilisé(Ω,P). Montrer que la probabilité qu’aucun des A𝑖 ne soit réalisé est inférieure à

exp(−𝑛∑𝑖=1

P(A𝑖)).

4.2.2. Expériences aléatoires

[PS_EspProb_24.tex]

Exercice ALEA.12.11 Tirages de 5 cartes (Solution : 39) On tire simultanément 5cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de façons de :

1 — tirer exactement deux as?2 — tirer au moins deux as?3 — tirer une double paire sans aucune autre figure?

4 — tirer un full (trois cartes d’une valeur et deux d’une seconde valeur)?5 — tirer exactement un brelan sans aucune autre figure? un carré?6 — tirer exactement une double paire, sans aucune autre figure?

[PS_EspProb_25.tex]

Exercice ALEA.12.12 Roulette russe Un revolver à 6 coups contient une seuleballe mais on ne sait pas à quel endroit du barillet. Le premier joueur place lerevolver sur sa tempe et presse la gâchette. S’il survit le deuxième joueur fait demême.Vaut-il mieux jouer en premier ou en second? La taille du barillet importe-t-elle?

[PS_EspProb_30.tex]

Exercice ALEA.12.13 Propagation d’un message On considère 𝑛 «menteurs»I1, I2, ..., I𝑛. Le premier menteur I1 reçoit une information sous la forme de «oui»ou «non». Il transmet l’information à I2, ainsi de suite jusqu’à I𝑛 qui l’annonce aumonde. Chacun des menteurs transmet ce qu’il a entendu avec la probabilité 𝑝et le contraire avec la probabilité 1−𝑝 où 0 < 𝑝 < 1. De plus, les réponses des 𝑛individus sont indépendantes.

1 — Soit 𝑝𝑛 la probabilité que l’information soit fidèlement transmise. Détermi-ner une relation liant 𝑝𝑛 et 𝑝𝑛+1.2 — En déduire la valeur de 𝑝𝑛 et sa limite lorsque 𝑛 tend vers l’infini.

[PS_EspProb_21.tex]

Exercice ALEA.12.14 (Solution : 40) Un livre contient 4 erreurs. On le confie àN lec-teurs différents, indépendants entre eux, pour détecter ces erreurs ; pour chaquelecteur, chaque erreur est détectée, indépendamment des autres erreurs, avec uneprobabilité 1/3.

1 — On note 𝑝N la probabilité probabilité qu’il ne subsiste aucune erreur après Nlectures. Calculer 𝑝N en fonction de N.



2 — TERMINALPython Déterminer, à l’aide de commandes Python, le nombre de relecturesnécessaires pour que la probabilité qu’elles soient toutes corrigées soit supérieureà 0,90.3 — On suppose que le nombre 𝑥 d’erreurs est réparti uniformément sur{0,1,2,3,4}.3.1) Calculer à nouveau 𝑝N en fonction de N.3.2) Calculer la limite de cette probabilité lorsque N ⟶ ∞. Cela est-il cohérent?

[PS_EspProb_32.tex]

Exercice ALEA.12.15 (Solution : 41) On effectue des tirages dans une urne conte-nant initialement 𝑎 boules blanches et 𝑏 boules noires. Apres chaque tirage, laboule est remise dans l’urne avec 𝑐 boules de la meme couleur.

1 — Pour tout𝑛 ∈N⋆, determiner la probabilite𝑝𝑛 que la premiere boule blanchesoit obtenue au 𝑛-ieme tirage.2 — On pose pour tout 𝑛 ∈N⋆, 𝑎𝑛 = ∏𝑛−1

𝑘=0𝑏+𝑘𝑐

𝑎+𝑏+𝑘𝑐 .Montrer que 𝑝𝑛 = 𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛 pour tout 𝑛 ⩾ 2.3 — Calculer lim

𝑛→∞𝑎𝑛.

4 — Interpréter.[PS_EspProb_37.tex]

Exercice ALEA.12.16 (Solution : 41) Un joueur compulsif joue𝑛 parties d’un jeu deprobabilite de gain 2

3 . Pour tout 𝑘 ∈ J1 , 𝑛−1K, on note C𝑘 l’evenement «Le joueurgagne les𝑘-ième et (𝑘+1)-ièmeparties et c’etait la premiere fois qu’il gagnait deuxparties consecutives». On note également 𝑝𝑘 = P (C𝑘). On suppose, d’après lesrègles du jeu, que les parties sont indépendantes.

1 — Calculer 𝑝1,𝑝2.2 — OnnoteG1 «Le joueur gagne lapremièrepartie». Justifierpour tout𝑘 ∈ J1,𝑛−3K l’égalité : P(C𝑘+2

||CG1) = 𝑝𝑘+1.3 — En déduire que pour tout 𝑘 ∈ J1 , 𝑛−3K : 𝑝𝑘+2 = 1

3𝑝𝑘+1 +29𝑝𝑘.

4 — TERMINALPython Créer une fonction Python d’en-tête Trace_Calc(n) qui prend en ar-

gument un entier 𝑛 et renvoie la liste des 𝑛+1 premiers termes de (𝑝𝑛), et traceles termes associés sur un graphique.5 — En déduire une expression explicite de 𝑝𝑘 en fonction de 𝑘 pour tout 𝑘 ∈J1 , 𝑛−1K.

[PS_EspProb_14.tex]

Exercice ALEA.12.17 Dans tout l’énoncé 𝑝 est un réel de l’intervalle ]0,1[ et 𝑞 =1−𝑝. Sur une table sont placées deux boules noires (étape 0), puis une des deuxboules est choisie au hasard et éliminée de la table. Ensuite on repose sur la table(étape 1) :

1 — soit une boule blanche, avec la probabilité 𝑝,2 — soit une boule noire, avec la probabilité 𝑞.

Cette action est répétée ainsi indéfiniment, de sorte qu’à la 𝑘 ∈ N-ième itérationde l’expérience, deux boules sont sur la table :

1 — soit deux noires (événement noté NN𝑘)2 — soit une noire et une blanche (événement noté NB𝑘),3 — soit deux blanches (événement noté BB𝑘).

Pour 𝑘 ∈ N, on note également 𝑎𝑘 = P(NN𝑘), 𝑏𝑘 = P(NB𝑘), 𝑐𝑘 = P(BB𝑘), et ondéfinit les matrices suivantes :

M =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑞 𝑞/2 0

𝑝 1/2 𝑞

0 𝑝/2 𝑝

⎞⎟⎟⎟⎠

, D =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0

0 1/2 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

, P =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 𝑞 𝑞2

−2 𝑝−𝑞 2𝑝𝑞

1 −𝑝 𝑝2

⎞⎟⎟⎟⎠

,

U𝑘 =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑎𝑘

𝑏𝑘

𝑐𝑘

⎞⎟⎟⎟⎠

, U0 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

0

0

⎞⎟⎟⎟⎠

.



1 — 1.1) Calculer les produits PD, MP. Que dire de MP−PD?1.2) En déduire que M est diagonalisable.2 — 2.1) Donner 𝑎0,𝑏0,𝑐0. Justifier 𝑎1 = 𝑞, 𝑏1 = 𝑝 et 𝑐1 = 0.2.2) Soit 𝑘 ∈ N⋆. Justifier que : P(NN𝑘+1

||NN𝑘) = 𝑞, P(NN𝑘+1||NB𝑘) = 𝑞

2 etP(NN𝑘+1

||BB𝑘) = 0.2.3) De-même, exprimer les probabilités conditionnelles ci-après :

P(NB𝑘+1||NN𝑘) , P(NB𝑘+1

||NB𝑘) , P(NB𝑘+1||BB𝑘) , P(BB𝑘+1

||NN𝑘) ,

P(BB𝑘+1||NB𝑘) , P(BB𝑘+1

||BB𝑘) .

2.4) Montrer que pour tout entier naturel 𝑘 non nul : U𝑘+1 = MU𝑘.3 — Montrer que pour tout 𝑘 ∈N⋆ :

U𝑘 = PD𝑘

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑝2

2𝑝

1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

4 — En déduire pour tout entier naturel 𝑘 ∈ N⋆, 𝑎𝑘, 𝑏𝑘, 𝑐𝑘 en fonction de 𝑘 etmontrer que :

lim𝑘→+∞

𝑎𝑘 = 𝑞2, lim𝑘→+∞

𝑏𝑘 = 2𝑝𝑞, lim𝑘→+∞

𝑐𝑘 = 𝑝2.

5 — Interpréter.

4.3. Variables aléatoires

Dans les exercices de cette sous-section, nous nous intéressons uniquement auxnotions de loi et fonction de répartition. Les variables aléatoires seront étudiéesplus en détail dans les chapitres qui suivent.

[PS_Va_3.tex]

Exercice ALEA.12.18 Soit X une variable aléatoire réelle. Déterminer la fonctionde répartition de X et les probabilités PX(I), où I est un intervalle réel quelconque,dans les cas suivants :

1 — PX = δ0,2 — PX = 𝑝δ0 +𝑞δ1 avec 𝑝,𝑞 ∈ [0,1] et 𝑝+𝑞 = 1.

[PS_Va_4.tex]

Exercice ALEA.12.19 On tire à pile ou face avec une pièce jusqu’à obtenir pile eton note X le nombre tirs effectués. Déterminer la fonction de répartition de X.

4.4. Pour les 5/2

[PS_EspProb_38.tex]

Exercice ALEA.12.20 Un polynôme aléatoire On jette 3 fois un dé à 6 faces, et onnote 𝑎,𝑏 et 𝑐 les résultats successifs obtenus. On note pour tout 𝑥 ∈ R :

Q(𝑥) = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐.

Déterminer la probabilité pour que :

1 — Q ait 2 racines réelles distinctes.2 — Q ait une racine réelle.3 — Q n’ait pas de racine réelle.

[PS_EspProb_39.tex]

Exercice ALEA.12.21 Convergencemonotonepourdes probabilités Soit (Ω,𝒯,P)unespaceprobabilisé.Onsouhaite établir lapropriété suivanteappelée continuitéle long des suites croissantes : pour toute suite croissante (A𝑛)𝑛∈N ∈ 𝒯N au sens de



l’inclusion, i.e. telle que A𝑛 ⊂ A𝑛+1, alors :

P( ⋃𝑛∈N

A𝑛) = lim𝑛→+∞

P (A𝑛) .

En appliquant cette propriété aux complémentaires (CA𝑛)𝑛∈N, qui est une suitedécroissante de parties, on déduit facilement une propriété analogue pour les in-tersections de suites décroissantes de parties.

1 — Justifier que la suite (P (A𝑛))𝑛∈N est une suite convergente.2 — On pose pour tout 𝑛 ∈N⋆ : B𝑛 = A𝑛\A𝑛−1 = A𝑛 ∩ CA𝑛−1 et B0 = A0.2.1) Dessiner, via un diagramme, les parties précédentes pour deux parties

A1,A2. Que constate-t-on?2.2) Montrer que les B𝑛, pour 𝑛 ∈ N, forment une partition dénombrable de

⋃𝑛∈N

A𝑛.

3 — En déduire que :

P( ⋃𝑛∈N

A𝑛) =+∞∑𝑛=0

P (B𝑛) .

4 — Soit N ∈N⋆. Montrer que :

N−1∑𝑛=0

P (B𝑛) = P (A𝑛) .

5 — Conclure.6 — En déduire que pour toute suite décroissante (B𝑛)𝑛∈N ∈ 𝒯N au sens de l’in-clusion, i.e. telle que B𝑛+1 ⊂ B𝑛, alors :

P( ⋂𝑛∈N

B𝑛) = lim𝑛→+∞

P (B𝑛) .

7 — (Application) On considère un lancer infini de piles ou faces. Quelle est laprobabilité de ne jamais faire pile?




Solution (exercice ALEA.12.2) (Énoncé : 33) Dans le mot BCPST, il y a 5 lettres dis-tinctes. Ainsi, un anagramme s’identifie à une permutation d’un ensemble à 5 élé-ments, il y a donc 5! anagrammes.

Pour le mot CONFINEMENT, on a des lettres identiques donc on les place lettrepar lettres. On a (113 ) emplacements pour les N, puis (82) emplacements pourles E (on choisit des combinaisons puisque l’ordre n’importe pas pour ceslettres identiques et on ne peut pas mettre deux lettres dans le même emplace-ment) et enfin 6! possibilités pour les lettres distinctes restantes, soit au total :(113 )× (82)×6! anagrammes.

Solution (exercice ALEA.12.3) (Énoncé : 33)

1 — Cela revient à compter le nombre de 𝑛-listes d’éléments distincts dans unensemble (l’alphabet) de 𝑝 éléments. Le cours donne alors le cardinal cherché :

⎧⎨⎩

(𝑝−𝑛)!𝑛! si 𝑛 ⩽ 𝑝,

0 sinon.

Tout est logique, onpeut formerdemot avecquedes lettres distinctes s’il y amoinsde lettres dans l’alphabet que d’emplacements dans le mot.2 — Pour la première lettre, on peut choisir n’importe quelle lettre de l’alphabet(𝑝 possibilités). Ensuite, pour la suivante, on en a𝑝−1 car on ne peut reprendre lamême. C’est ensuite le cas pour toutes les autres, on a donc au total 𝑝(𝑝−1)𝑛−1

mots possibles.

Solution (exercice ALEA.12.4) (Énoncé : 33) Il y a ici 2𝑛 personnes et 𝑛 couples.

Caret-right (1ère Méthode) commençons par compter les poignées de main pour lecouple 1 : on en a 2𝑛−2 pour chaque membre du couple donc 2(2𝑛−2) pour

le couples 1. Ensuite pour le couple deux, on ne reconsidère pas les poignéesdéjà comptées, on a donc 2(2𝑛−4) — c’est simplement le résultat précédentoù l’on a remplacé le nombre de couples 𝑛 par 𝑛−1 (le couples 1 n’étant pluscompté). Donc on obtient finalement

2(2𝑛−2)+2(2𝑛−4)+...+2×2 = 22((𝑛−1)+(𝑛−2)+⋯+1) = 22𝑛(𝑛−1)

2= 2𝑛(𝑛−1) .

Caret-right (2èmeMéthode) on ne se préoccupe pas des poignées déjà comptées. Ona alors 2(2𝑛−2) poignées par couple, donc pour𝑛 couples au total 2𝑛(2𝑛−2)poignées demain. Si l’onne souhaite pas compter deus fois chaquepoignées,on divise simplement le résultat précédent par deux, d’où : 𝑛(2𝑛 − 2) =2𝑛(𝑛−1) au total. On retrouve le précédent.


1 — Pour la première ligne par exemple, nous avons 4 choix possibles pour le 1,les autres coefficients sont égaux à zéro obligatoirement, donc au final 44 choix.2 — Chaque ligne contient au moins un coefficient un. Première méthode.On passe au complémentaire, le complémentaire de l’ensemble des lignes quicontiennent au moins un un est une ligne qui n’en contient aucun soit la lignenulle. D’où pour la première ligne 1−24 choix. Au total on trouve (1−24)4 choix.Deuxièmeméthode.Calcul direct. Sur la première ligne, on a soit un 1 ((41) choix dece 1), soit deux 1 ((42) choix de ces deux 1), etc..... d’où pour la première ligne :

(41)+(

42)+(

43)+(

44) = ((

40)+(

41)+(

42)+(

43)+(

44))−(

40) = 24 −1

choix possibles pour la première ligne. D’où(24 −1)4 = (1−24)4 choix pour les quatre lignes.




1 — Notons quemême si des sommes infinies sont utilisées ci-dessous, elles sonttoutes finies (les coefficients binomiaux sont nuls si les indices sont assez grands).1.1) Premier calcul :

(1+X)𝑎(1+X)𝑏 = (1+X)𝑎+𝑏

= ∑𝑐⩾0

⎛

⎝

𝑎+𝑏

𝑐

⎞

⎠X𝑐.

1.2) Deuxième calcul :

(1+X)𝑎(1+X)𝑏 = ∑𝑘⩾0

⎛

⎝

𝑎

𝑘

⎞

⎠X𝑘.∑

𝑗⩾0

⎛

⎝

𝑏

𝑗

⎞

⎠X𝑗

= ∑𝑘⩾0

∑𝑗⩾0

⎛

⎝

𝑎

𝑘

⎞

⎠

⎛

⎝

𝑏

𝑗

⎞

⎠X𝑘+𝑗

= ∑𝑘⩾0

∑𝑐⩾𝑘

⎛

⎝

𝑎

𝑘

⎞

⎠

⎛

⎝

𝑏

𝑐−𝑘

⎞

⎠X𝑐

= ∑𝑐⩾0

⎡

⎣

𝑐∑𝑘=0

⎛

⎝

𝑎

𝑘

⎞

⎠

⎛

⎝

𝑏

𝑐−𝑘

⎞

⎠

⎤

⎦X𝑐.

Il reste à identifier les coefficients de ces deux polynômes, les coefficientsdevant X𝑐 donnent le résultat.

2 — cf. TD.

3 — Écrire⎛

⎝

𝑛

𝑛−𝑝−𝑘

⎞

⎠au lieu de

⎛

⎝

𝑛

𝑝+𝑘

⎞

⎠, et faire porter la somme sur 𝑘 ∈

J0 , 𝑛−𝑝K au lieu de 𝑘 ∈ J0 , 𝑞K (les termes ajoutés ou soustraits sont tous nuls !).On peut alors appliquer la formule de la première question.

4 —⎛

⎝

2𝑛

𝑛

⎞

⎠.

Solution (exercice ALEA.12.8) (Énoncé : 33) Le supposer par l’absurde, si une telleprobabilité existait, alors P ({ω}) = 𝑝 pour tout ω ∈ N avec 𝑝 ∈ [0,1]. Donc paradditivité dénombrable, on aurait P (N) = ∑ω∈N 𝑝. Si 𝑝 = 0, alors c’est déjà unecontradiction. Sinon𝑝 ≠ 0, et par le cours sur les séries, on sait bien queP (N) = ∞— c’est là encore une contradiction.


1 — Simple étude de fonction pour 𝑥 ⟼ e𝑥 −1−𝑥.2 — On souhaite donc majorer la probabilité P(A𝑐

1 ∩ ... ∩ A𝑐𝑛). Comme A1, ...,A𝑛

sont indépendants, les évènements A𝑐1 , ...,A

𝑐𝑛 le sont aussi (pour le voir : commen-

cer avec 𝑛 = 2 et cela s’étend ensuite par réccurence). Donc : P(A𝑐1 ∩ ... ∩A𝑐

𝑛) =∏𝑛𝑘=1 (1−P(A𝑘)). Or, pour tout 𝑥 ∈ R, 1−𝑥 ⩽ e−𝑥 d’après la question précédente.

L’inégalité découle alors en faisant le produit puisque tous les termes sont positifs.

Solution (exercice ALEA.12.11) (Énoncé : 34) Rappelons qu’ici, il y a donc 4 couleursainsi que 13 figures par couleur, du 7 à l’as.

1 — Étudions le complémentaire en cherchant le nombre de façons de tirer soitaucun as soit deux as2 — Étudions le complémentaire en cherchant le nombre de façons de tirer soitaucun as soit deux as, nous avons alors :

(285

)+4(284

),

donc le cardinal cherché est

1−(285

)−4(284

).

3 — Il y a 13 figures possibles pour la première double paire. Ensuite, il reste 12figures et on complète avec une carte quelconque parmi les figures non choisies.



Soit au total

13(42)+12(

42)+(

241

) .

4 — On choisit successivement le brelan puis la paire.

13(43)+12(

42) .

5 — Pour le brelan, on choisit d’abord la figure du brelan puis les cartes, et enfinles deux dernières en considérant les figures restantes sans compter les paires.

13(43)+((

282

)−12) .

6 — La paire en question est formée d’une figure parmi les 13 puis il s’agit ensuitede choisir trois cartes correspondant à trois figures différentes et différentes de lapaire choisir. Donc au total, pour la paire de figure 7 (par exemple) :

(42)×((

123

)×43) .

Ainsi, si on tient compte de toutes les valeurs possibles pour la figure présente surla paire, on déduit le cardinal :

13(42)×((

123

)×43) .


1 — Notons par exemple A,B,C,D les quatre erreurs et A𝑛,B𝑛,C𝑛,D𝑛 les évè-nements « l’erreur A,B,C ou D n’est pas corrigée au bout de 𝑛 lectures». On a :P(A𝑛) = ( 23 )

𝑛puisque les lectures réalisées de manière indépendantes.

Si l’on ne souhaite pas passer à l’évènement complémentaire, on peut aussi regarderla probabilité de «l’erreur A est corrigée en 𝑛 lectures» qui est

𝑛∑𝑘=1

23

𝑘−1 13

=131− (2/3)𝑛

1−2/3= 1−(2/3)𝑛.

On retrouve bien l’expression précédente, la somme est obtenue en écrivant Ωcomme réunion des évènements « l’erreur A est corrigée à la première lecture», « l’er-reur A est corrigée à la seconde lecture»,⋯,« l’erreur A est corrigée à la 𝑛-ième lec-ture».Comme les lectures se font demanière indépendante, la probabilité deman-dée est :

P(CA𝑛 ∩ CB𝑛 ∩ CC𝑛 ∩ CD𝑛)= P(CA𝑛)×P(CB𝑛)×P(CC𝑛)×P(CD𝑛)

= (1− (2/3)𝑛)4.

2 — Dans ce cas on ne connaît plus le nombre d’erreurs, mais la question précé-dente s’étend sans peine à 𝑘 erreurs avec 𝑘 ∈N :

P(E1 ∩E2 ∩⋯∩E𝑘) = (1− (2/3)𝑛)𝑘 ,

où E𝑖 est l’évènement « l’erreur 𝑖 n’est pas corrigée en 𝑛 lectures». Ainsi, en condi-tionnant suivant le nombre d’erreurs entre 0 et 4 on a la probabilité cherchée :

P({tout est corrigée en 𝑛 lectures})

=4∑𝑘=0

P({tout est corrigée en 𝑛 lectures} ∣ N𝑘)P(N𝑘)

=4∑𝑘=0

(1− (2/3)𝑛)𝑘15

=5𝑛

5.2𝑛[1− (1− (2/3)𝑛)5]

où N𝑘 est l’évènement «il y a 𝑘 erreurs», qui est bien non négligeable pour tout𝑘, et en utilisant la formule donnant la somme de premiers termes d’une suitegéométrique.




1 — Si la première boule blanche est obtenue au premier tirage, alors on a néces-sairement tiré des noires jusque là. À chaque étape, nous avons donc augmentéde 𝑐 le nombre de boules noires. D’où :

𝑝𝑛 =𝑏

𝑎+𝑏×

𝑏+𝑐𝑎+𝑏+𝑐

×𝑏+2𝑐

𝑎+𝑏+2𝑐×⋯×

𝑏+(𝑛−2)𝑐𝑎+𝑏+(𝑛−2)𝑐

×𝑎

𝑎+𝑏+(𝑛−1)𝑐tirage final de la boule blanche

.

Donc finalement 𝑝𝑛 = 𝑎𝑛−1 ×𝑎

𝑎+𝑏+(𝑛−1)𝑐.

2 — On a pour tout 𝑛 ∈ N⋆, 𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1(1−𝑎𝑛/𝑎𝑛−1), or le dernier quotientest téléscopique (produit de longueur𝑛 sur lemêmeproduit arrêté en𝑛−1), d’où :1−𝑎𝑛/𝑎𝑛−1 = 1− 𝑏+(𝑛−1)𝑐

𝑎+𝑏+(𝑛−1)𝑐 = 𝑎+𝑏+(𝑛−1)𝑐−𝑏−(𝑛−1)𝑐𝑎+𝑏+(𝑛−1)𝑐 = 𝑎

𝑎+𝑏+(𝑛−1)𝑐 . C’est ce qu’on vou-lait. En conclusion : 𝑝𝑛 = 𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛. Par propriétés du logarithme, nous avonsln𝑎𝑛 = ∑𝑛−1

𝑘=0 (ln(𝑏 +𝑘𝑐)− ln(𝑎 +𝑏+𝑘𝑐)).


1 — 𝑝1 corresponddonc au fait de gagner des deux premières parties donc𝑝1 = 49 .

Puis 𝑝2 au fait que la première est perdue, mais que les deux suivantes sont ga-gnées : donc 𝑝2 = 1

3 × 49 = 4

27 .2 — Sachant que la première partie est perdue, cela revient à démarrer une nou-velle série de partie, à partir de la seconde (sachant la première partie gagnée, là ilfaudrait que l’on suppose la seconde partie perdue... donc plus compliqué).3 — D’après la formule des probabilités totales au système complet d’évène-ments {G1, CG1} :

𝑝𝑘+2 = P(C𝑘+2||CG1)P (CG1)+ = P(C𝑘+2

||G1)P (G1) =13𝑝𝑘+1 +

29𝑝𝑘.

Puisque dans la dernière probabilité, si la première est gagnée, il faut nécessaire-ment que la seconde soit perdue (pour ne pas avoir une série de deux).4 — ..5 — Résoudre la suite récurrente linéaire.


Chapitre ALEA.13. Variables aléatoires discrètes

CHAPITRE ALEA.13Variables aléatoires discrètes

Résumé & Plan

NOus avons étudié dans le Chapitre ALEA.12 les espaces probabilisés, cadre pour définir sur ces espaces des variables etvecteurs aléatoires. Dans ce chapitre, nous allons étudier ces objets à valeurs dans un ensemble au plus dénombrable.Dans ce cas précis, nous allons donner une expression de l’espérance en terme de somme de série, qui généralisera ladéfinition vue en première année.

W

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Loi & fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Propriétés des variables aléatoires réelles discrètes . . . . . 9

1.4. Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Espérance, Variance, Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Moments d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1. Loi uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Loi de BERNOULLI & binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Loi Hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4. Loi Géométrique & Absence de mémoire . . . . . . . . . . 33

3.5. Loi de POISSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6. Bilan des lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3. Pour 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45




Ce calcul délicat s’étend aux questions les plusimportantes de la vie, qui ne sont en effet, pour laplupart, que des problèmes de probabilité.

—Pierre-Simon,marquis de Laplace

CadreCOGS

Dans tout le chapitre, etmême lorsque cela n’est pas précisé,on se fixe unespace probabilisé (Ω,𝒯,P).

Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω,𝒯,P). En première année, l’universΩ était toujours fini, on pouvait donc l’écrire sous la forme Ω = {ω1,…,ω𝑛} avec𝑛 = # Ω. Ainsi, si X est une variable aléatoire, alors

X(Ω) = {X(ω1),…,X(ω𝑛)} – un ensemble fini donc.

Puisque nos univers sont désormais des ensembles quelconques, le support X(Ω)devient lui aussi un ensemble quelconque. Nous étudions dans la suite le cas par-ticulier où il est au plus dénombrable, c’est l’objet précisément de ce chapitre.

1. GÉNÉRALITÉS

On ne rappelle pas la définition de variable aléatoire vue précédemment : consul-ter pour cela le Chapitre ALEA.12 si besoin.

1.1. Définitions

Définition ALEA.13.1 | Variable aléatoire discrèteSoit X une variable aléatoire. On dit que X est discrète si :X(Ω) est un ensemble au plus dénombrable, i.e. en bijection avec N ou

fini.Si X(Ω) est un ensemble fini, on parle de variable aléatoire discrète finie.

Remarque 1.1— Énumération des éléments de X(Ω). L’hypothèse «X(Ω) est auplus dénombrable» signifie que cet ensemble s’écrit sous la forme :

Caret-right X(Ω) = {𝑥𝑛, 𝑛 ∈N} s’il est dénombrable,Caret-right X(Ω) = {𝑥𝑛, 𝑛 ∈ J0 , NK} avec N ∈N s’il est fini.

Notation (Somme infinie sur un ensemble dénombrable)Σ

Considérons E un ensemble au plus dénombrable et 𝑓 ∶ E ⟶ R, on souhaitedonner un sens à la quantité ∑

𝑥∈E𝑓(𝑥).

Caret-right Si E est fini, alors E = {𝑥𝑛, 𝑛 ∈ J0 , NK} avec N ∈N. Alors on pose :

∑𝑥∈E

𝑓(𝑥) =(défi.)

N∑𝑖=1

𝑓(𝑥𝑖).

C’est une somme finie de première année, rien de plus à dire puisqu’ellene dépend pas de la numérotation des éléments de E.

Caret-right Si E est dénombrable, alors E = {𝑥𝑛, 𝑛 ∈N}. Alors,

si (∑𝑓(𝑥𝑛))𝑛⩾0 converge absolument, on pose : ∑𝑥∈E

𝑓(𝑥) =(défi.)

∞∑𝑛=0

𝑓(𝑥𝑛).

Eneffet, on sait depuis leChapitreANA.9, que grâce à la convergence ab-solue, la somme ainsi définie ne dépendra pas de la numérotation (𝑥𝑛)choisie. Ainsi, on précisera en quoi la convergence absolue est vérifiée.

Lorsque le support est au plus dénombrable, la condition VaProp du Cha-



pitre ALEA.12 (définition d’une variable aléatoire) se réécrit comme ci-dessous.

Proposition ALEA.13.1 | Réécriture de l’hypothèse « {X ⩽ 𝑎} ∈ 𝒯» dans lecas discret

Soit X ∶ Ω ⟶R avec X(Ω) au plus dénombrable. Alors :

X est une variable aléatoire discrète ⟺ ∀𝑥 ∈ X(Ω), {X = 𝑥} ∈ 𝒯.

Preuve

PEN-FANCY

Proposition ALEA.13.2 | Variable aléatoire définie sur un univers au plusdénombrable

Soit X ∶ Ω ⟶R une variable aléatoire avec Ω au plus dénombrable. Alors :

X est une variable aléatoire discrète.

Preuve

PEN-FANCY

Remarque 1.2— Ainsi, sur les univers finis de première année, il ne pouvait exis-ter que des variables aléatoires discrètes.

Exemple 1— Casfini Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à 6 faces.Le lanceur :

1 — gagne le double de la valeur de la face obtenue si celle-ci est paire.2 — Sinon, il perd le double de la valeur indiquée par le dé.

Décrire l’expérience en précisant un triplet (Ω,𝒯,P) associé ainsi qu’une variablealéatoire X décrivant le gain, c’est une variable aléatoire discrète.

PEN-FANCY



Exemple 2— Cas dénombrable On lance une infinité de fois une pièce non tru-quée. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers nécessairesjusqu’à obtention du premier pile. Décrire l’expérience en précisant un triplet(Ω,𝒯,P) associé ainsi qu’une variable aléatoire X décrivant le gain. On admettraqu’il existe une tribu 𝒯 telle que X soit bien une variable aléatoire.

PEN-FANCY

Système complet associé.

Définition/Proposition ALEA.13.1 | Système complet associé à une variablealéatoire discrète

Si X est une variable aléatoire réelle discrète, alors {X = 𝑥}𝑥∈X(Ω) est un sys-tème complet d’évènements. En particulier, il est quasi-complet :

∑𝑥∈X(Ω)

P (X = 𝑥) = 1, {X = 𝑥,X = 𝑥′} = ∅, ∀𝑥 ≠ 𝑥′ ∈ X(Ω).

On l’appelle le système complet associé à X.

Preuve1 — Existence de ∑

𝑥∈X(Ω)P (X = 𝑥).

PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

Exemple 3— Un concierge possède un trousseau de 10 clefs dont une seule per-met d’ouvrir la porte qu’il a en face de lui. On note X le nombre de clefs essayéespour ouvrir la porte. Quel est le système complet associé à X?

PEN-FANCY



1.2. Loi & fonction de répartition

Rappelons que nous avons défini la loi de X comme l’application qui à tout toutintervalle réel I associe

PX(I) = P(X ∈ I).

Comment simplifier cette définition dans le cas de variables aléatoires dis-crètes?

{X ∈ I} = {X ∈ I∩X(Ω} , donc P (X ∈ I) = P (X ∈ I∩X(Ω)) .

Or,

{X ∈ I∩X(Ω)} = ⨄𝑥∈X(Ω)𝑥∈I

{X = 𝑥} ⟹ P (X ∈ I∩X(Ω)) = ∑𝑥∈X(Ω)𝑥∈I

P (X = 𝑥) .

Ainsi, pour obtenir la loi, il suffit de connaître :

Caret-right d’une part l’univers-image X(Ω),Caret-right et d’autre part tous les P(X = 𝑥) pour tout 𝑥 ∈ X(Ω).

Ce constat nous mène tout droit à la définition suivante.

Définition ALEA.13.2 | Loi d’une variable aléatoire discrèteSoit X une variable aléatoire réelle discrète.

Caret-right (Fonction de masse) On appelle loi de la variable aléatoire réelle dis-crète X — par abus de langage — ou fonction demasse la fonction encorenotée PX et définie par :

PX ∶ 𝑥 ∈ X(Ω) ⟼ P (X = 𝑥) .

Caret-right (Déterminer la loi) Déterminer la loi d’une variable aléatoire discrètec’est calculer X(Ω) et P (X = 𝑥) pour tout 𝑥 ∈ X(Ω), i.e. déterminer la fonc-tion de masse.

Caret-right (Avoirmême loique) SoitYuneautre variable aléatoirediscrètedéfiniesur (Ω,𝒯,P). On dit que X,Y ont même loi si :

∀𝑧 ∈ X(Ω)∪Y(Ω)a, P (X = 𝑧) = P (Y = 𝑧) .

NotationΣLorsque X,Y ont même loi, on note X ∼ Y. Si Y suit une loi usuelle ℒ (uneBERNOULLI, binomiale, etc.), on note X ↪ ℒ.

Attention×

Puisque PX est définie sur l’ensemble X(Ω) par définition, il faudra doncd’abord commencer par le calculer pour déterminer une loi.

Remarque 1.3 — X ∼ Y signifie que les fonctions PX ∶ 𝑥 ∈ X(Ω) ⟼ P (X = 𝑥) etPY ∶ 𝑦 ∈ Y(Ω) ⟼ P (Y = 𝑦) sont égales.

Exemple 4— Variable aléatoire constante Soitα ∈R. Alorsαpeut être vu commeune variable aléatoire constante, et on peut déterminer sa loi.

PEN-FANCY

ala plupart du temps, dans des contextes d’expériences aléatoires, les ensembles X(Ω),Y(Ω) serontégaux



Exemple 5— Variable aléatoire indicatrice Soit (Ω,𝒯,P) un espace probabi-lisé et A ∈ 𝒯 un évènement. Alors l’application 𝟙A est une variable aléatoire sur(Ω,𝒯,P), et on peut déterminer sa loi.

PEN-FANCY

Proposition ALEA.13.3 | La loi ne dit rien sur l’égalité de deux variablesaléatoires

Soient X,Y deux variables aléatoires définies sur (Ω,𝒯,P).1 — X = Y ⟹ X ∼ Y.2 — La réciproque est fausse : si X ∼ Y alors X n’est pas forcément égale à Y.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — est faux. Par exemple si (Ω,𝒯,P) est l’espace probabilisé associé aulancer d’une pièce équilibré. On note X la variable aléatoire égale à 1 si onobtient pile, égale à 0 si on obtient face. On note Y la variable aléatoire égaleà 1 si on obtient face, égale à 0 si on obtient pile.

PEN-FANCY

Exemple 6— SoitXdonnant le résultat d’un lancer dedé à 6 faces. AlorsX amêmeloi que |X| car |X| = X.

Définition ALEA.13.3 | Loi conditionnelleSoit X une variable aléatoire réelle discrète et A ∈ 𝒯 tel que P (A) ≠ 0. On ap-pelle loi conditionnelle sachant A de X la fonction

PX(. ∣ A) ∶ 𝑥 ∈ X(Ω) ⟼ P (X = 𝑥 ∣ A) .

Méthode (Répondre à la question «déterminer la loi d’une variable aléa-

toire réelle discrète X»)WRENCH

1 — Commencer par déterminer son support X(Ω) s’il n’est pas déjà donnéi.e. l’ensemble de départ de PX.2 — Calculer les P (X = 𝑥) pour tout 𝑥 ∈ X(Ω). Si X(Ω) est fini, il n’y a doncqu’un nombre fini de probabilités à déterminer, on peut alors les représentersous forme d’un tableau comme ceci :

X = 𝑘 𝑘1 𝑘2 ⋯

P (X = 𝑘) P (X = 𝑘1) P (X = 𝑘2) ⋯

Exemple 7— Unepièce amènepile avec la probabilité𝑝 et face avec la probabilité1−𝑝, 0 < 𝑝 < 1. On la lance𝑛 fois de suite. SoitX le nombre de fois où pile apparaîtau cours de ces lancers. Chercher la loi de X sans utiliser de résultat sur les loisusuelles.

PEN-FANCY



Lien entre loi & fonction de répartition.

Proposition ALEA.13.4 | Lien avec la fonction de répartitionSoit X est une variable aléatoire discrète.1 — Si X(Ω) est fini, notons X(Ω) = {𝑥0,⋯,𝑥N} où (𝑥𝑛)0⩽𝑛⩽N est supposéecroissante. Alors pour tout 𝑛 ∈ J1 , NK :

PX(𝑥𝑛) = FX(𝑥𝑛)−FX(𝑥𝑛−1).

2 — SiX(Ω) est dénombrable, notonsX(Ω) = {𝑥𝑛, 𝑛 ∈N}où (𝑥𝑛) est supposéecroissante, alors pour tout 𝑛 ∈N⋆ :

PX(𝑥𝑛) = FX(𝑥𝑛)−FX(𝑥𝑛−1).

En particulier, si X(Ω) = Z ou N, on a :

∀𝑘 ∈ Z ou N, PX(𝑘) = FX(𝑘)−FX(𝑘−1).

Remarque 1.4— Cette égalité est en fait une reformulation dans le cas discret del’égalité P (X = 𝑥) = FX(𝑥) − FX(𝑥−) vue dans la Section 1 du Chapitre ALEA.12pour les variables aléatoires générales.

Preuve Faisons, pour simplifier, la preuve dans le cas X(Ω) =N.

PEN-FANCY

Corollaire ALEA.13.1 | La fonction de répartition caractérise la loiSoient X,Y deux variables aléatoires discrètes. Alors :

X ∼ Y ⟺ FX = FY.

On dit aussi que la fonction de répartition caractérise la loi au sens suivant : deuxvariables aléatoires discrètes ontmême loi si et seulement si elles ontmême fonc-tion de répartition.

Preuve Faisons, pour simplifier, la preuve dans le cas X(Ω) =N.

⟹

PEN-FANCY



⟸

PEN-FANCY

Existence d’une variable aléatoire réelle discrète de loi fixée. Un certain nombred’énoncés de probabilité commencent par la phrase suivante :«soit X une variable aléatoire telle que P (X = 𝑥𝑖) = 𝑝𝑖 » avec 𝑝𝑖 ∈ [0,1], 𝑖 entier et

(𝑥𝑖) une famille.Ces énoncés supposent l’existencedeX.Mais celanedéfinit pasXen tantqu’appli-cation, c’est-à-dire X(ω) pour tout ω ∈ Ω, mais existe-t-elle vraiment? On aimeraitdonc au moins savoir si une telle variable aléatoire existe sur un certain (Ω,𝒯,P)à trouver : la réponse est oui dès que la somme des 𝑝𝑖 supposés positifs vaut un,comme le précise le théorème qui suit.

Théorème ALEA.13.1 | Existence d’un espace probabilisé associé à une fa-mille de somme un

Soit X = {𝑥𝑖, 𝑖 ∈ N} (resp. X = {𝑥𝑖, 𝑖 ∈ J0 , NK} avec N ∈ N) une partie au plus

dénombrable de R, et (𝑝𝑖)𝑖∈N (resp. (𝑝𝑖)𝑖∈J1 ,NK) une famille de réels tels que :

∑𝑖∈N

𝑝𝑖 = 1 (resp.N∑𝑖=1

𝑝𝑖 = 1) et 𝑝𝑖 > 0.

Alors il existe un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) et une variable aléatoire réelleX ∶ Ω ⟶R discrète tels que :

Caret-right X(Ω) = X.

Caret-right Pour tout 𝑖, P (X = 𝑥𝑖) = 𝑝𝑖.

Dans la plupart des situations que nous étudierons en pratique, le travail com-mencera par la donnée d’une ou plusieurs variables aléatoires de lois prescritesque nous étudierons sans jamais préciser l’espace probabilisé (Ω,𝒯,P) sur lequelelles sont définies.

Celui-ci est voué à rester caché et ne présente de toute façon aucun caractèred’unicité, et de nombreux choix d’espace probabilisé sont possibles pour la des-cription d’une même situation (en voici un dans la preuve ci-après).

Preuve1 — On cherche un exemple, rien qu’un, d’espace probabilisé (Ω,𝒯,P) etde variable aléatoire qui répondent au problème posé. Posons alors :

(Ω,𝒯) = (X,𝒫(X)) ,X = IdΩ = IdX,

puis enfin pour P l’unique probabilité telle que : P ({𝑥𝑖}) = 𝑝𝑖 pour tout𝑖 ∈N — i.e. celle définie dans la Section 2.5 du Chapitre ALEA.12.

PEN-FANCY

Exemple 8— Soit X une variable aléatoire réelle discrète telle que : X(Ω) = N⋆

et pour tout 𝑛 ⩾ 1, P (X = 𝑛) = 1𝑛(𝑛+1) . Justifier l’existence de X et calculer FX.



PEN-FANCY

Exemple 9— Existe-t-il une variable aléatoire réelle discrèteX de supportX(Ω) =N⋆ de loi donnée par les ( 1

2𝑘 )𝑘⩾1 ?

PEN-FANCY

Exemple 10— Soit λ > 0. À quelle condition sur 𝑎 ∈ R existe-t-il une variable

aléatoire réelle discrète X de support X(Ω) = N de loi donnée par les (𝑝𝑛)𝑛⩾0 =(𝑎λ𝑛

𝑛! )𝑛⩾0 ?

PEN-FANCY

1.3. Propriétés des variables aléatoires réelles discrètes

Dans la Section 1 nous avons vu qu’une combinaison linéaire de variables aléa-toires réelles est une variable aléatoire réelle. Tout ceci reste vrai pour les variablesaléatoires réelles discrètes et en plus toutes les variables aléatoires obtenues parces opérations sont encore discrètes.

Proposition ALEA.13.5 | Structure d’espace vectoriel, opérations sur lesvariables aléatoires réelles discrètes

1 — L’ensemble des variables aléatoires discrètes, muni de l’addition et dela multiplication de réels, est un R-espace vectoriel, i.e. si X,Y sont discrètes,(λ,μ) ∈R2, alors : λX+μY est aussi une variable aléatoire réelle discrète.2 — Si X,Y sont deux variables aléatoires réelles, alors : XY est une variablealéatoire réelle discrète.



3 — (Minimum/maximum) si X1,…,X𝑛 sont 𝑛 variables aléatoires réellesdiscrètes, alors :

min (X1,…,X𝑛) et max (X1,…,X𝑛)

sont des variables aléatoires réelles discrètes.4 — (Image d’une variable aléatoire discrète par une application) SiX est

discrète et 𝑓 ∶ X(Ω) ⟶R, alors : 𝑓(X)||||||

Ω ⟶ R

ω ⟼ 𝑓(X(ω))est une variable

aléatoire réelle discrète. Son support est 𝑓(X(Ω)) et sa loi est donnée par :

∀𝑦 ∈ 𝑓(X(Ω)), P (𝑓(X) = 𝑥) = ∑𝑦∈X(Ω)𝑥=𝑓(𝑦)

P (X = 𝑦) .

Preuve Nous avons déjà vu que toutes ces applications sont desvariables aléatoires. On montre sans difficulté que les supports associéssont bien au plus dénombrables. Faisons la preuve dans le cas où X(Ω) ={𝑥𝑛, 𝑛 ∈N} est dénombrable.

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

3 — Évident.4 — PEN-FANCY

PEN-FANCY

Exemple 11— On lance un dé équilibré, et soit X la variable aléatoire égale aurésultat du lancer. Déterminer les lois de X,|X| et X2.

PEN-FANCY



Propriétés de la fonction de répartition d’une loi discrète. La plupart des pro-priétés ci-dessous ont déjà été vues dans la Section 1 du Chapitre ALEA.12.

Proposition ALEA.13.6 | Fonction de répartition des variables aléatoiresréelles discrètes

Soit X est une variable aléatoire discrète.1 — FX est croissante,2 — FX est c.à.d.l.a.g. : elle est continue à droite, et possède une limite àgauche F(𝑥−) =

(nota.)lim𝑦⟶𝑥

𝑦<𝑥FX(𝑦),

3 — lim𝑥→−∞

FX(𝑥) = 0 et lim𝑥→+∞

FX(𝑥) = 1.

4 — P (X > 𝑥) = 1−FX(𝑥),5 — P (𝑥 < X ⩽ 𝑦) = FX(𝑦)−FX(𝑥),6 — P (X < 𝑥) = FX(𝑥−),7 — P (X = 𝑥) = FX(𝑥)−FX(𝑥−).8 — La fonction FX est constante par morceaux.a

Preuve

Montrons 8 comme annoncé, la seulenouvelle propriété découverte.

PEN-FANCY

Exemple 12— Calculer et tracer la fonction de répartition de X donnée parl’Exemple 9.

PEN-FANCY

aPropriété caractéristique d’une loi discrète



Enfin, et c’est un exemple très important, on peut remarquer que beaucoup deprobabilités peuvent s’exprimer en fonctiondesP(X = 𝑥)pour𝑥 ∈ X(Ω) et deFX.

Exemple 13— Exprimerdes évènements en fonctionde la fonctionderépartitionet de la loi SoitX une variable aléatoire discrète réelle telle queX(Ω) =N. Calculerles probabilités ci-dessous en fonction de P(X = 𝑛) pour tout 𝑛 ∈ X(Ω) et de FXlorsque cela vous semble possible.

1 — Pour N ∈N, P(X ⩾ N), P(X < N).PEN-FANCY

2 — Pour 𝑥 ∈R, P (X ⩽ 𝑥) ,P (X > 𝑥).PEN-FANCY

3 — P (X pair), P (X est le carré d’un entier).

PEN-FANCY

1.4. Indépendance

Définition ALEA.13.4 | Indépendance de variables aléatoires discrètesSoit X1,⋯,X𝑛 une collection de 𝑛 variables aléatoires discrètes.1 — (Indépendance) Les variables aléatoires X1,⋯,X𝑛 sont dites indépen-dantes si :

∀(𝑥1,⋯,𝑥𝑛) ∈ X1(Ω)×⋯X𝑛(Ω),P (X1 = 𝑥1,⋯,X𝑛 = 𝑥𝑛) = P (X1 = 𝑥1)×⋯×P (X𝑛 = 𝑥𝑛) .

2 — (Indépendance deux à deux) Les variables aléatoires X1,⋯,X𝑛 sontdites indépendantes deux à deux si pour tous 𝑖 ≠ 𝑗, X𝑖 et X𝑗 sont indépen-dantes.Plus généralement, si (X𝑛) est une famille quelconque de variables aléatoires,elles sont dites indépendantes (resp. indépendantes deux à deux) si toute sous-famille finie est indépendante (resp. deux à deux indépendantes).

NotationΣDans ce cas on notera X1 ∣_∣ X2 pour 𝑛 = 2.

Définition ALEA.13.5 | Suite i.i.d.On dit qu’une suite (X𝑛) de variables aléatoires discrètes est i.i.d. (on dit in-dépendantes et identiquement distribuées) si elles sont indépendantes et de



même loi.


Soit X1,⋯,X𝑛 une collection 𝑛 variables aléatoires discrètes. Alors X1,⋯,X𝑛sont indépendantes si et seulement si :

∀(𝑥1,⋯,𝑥𝑛) ∈ X1(Ω)×…X𝑛(Ω),P (X1 ⩽ 𝑥1,⋯,X𝑛 ⩽ 𝑥𝑛) = P (X1 ⩽ 𝑥1)×⋯×P (X𝑛 ⩽ 𝑥𝑛) .

Preuve Admise.

Fonctions de variables aléatoires indépendantes. Nous admettons également lesdeux résultats qui suivent.

Théorème ALEA.13.2Soit (X1,…,X𝑛) une famille de 𝑛 variables aléatoires mutuellement indépen-dantes. Alors pour toutes fonctions 𝑓1,…,𝑓𝑛 où pour tout 𝑓𝑖 ∶ X𝑖(Ω) ⟶R,les variables aléatoires réelles 𝑓1(X1),…,𝑓𝑛(X𝑛) sont des variables aléatoires

réelles indépendantes.

Exemple 14— Si X1,…,X3 sont indépendantes et X3 ne s’annule pas, alorsX21 ,X

22,1/X3 sont indépendantes.

Théorème ALEA.13.3 | Lemme des coalitions ou Indépendance par pa-quets

Soit (X1,…,X𝑛) une famille de 𝑛 variables aléatoires mutuellement indépen-dantes. Alors pour toutes fonctions φ1,…,φ𝑘, et 𝑛1,…,𝑛𝑘,𝑘 des entiers tels

que𝑘∑𝑖=1

𝑛𝑖 = 𝑛, où pour tout φ𝑖 ∶R𝑛𝑖 ⟶R, les variables aléatoires réelles

φ1(X1,…,X𝑛1 ),…,φ𝑘(X𝑛1+…+𝑛𝑘−1 ,…,X𝑛)

sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes.

Exemple 15— Si X1,X2,X3,X4,X5 sont indépendantes alors X21 +X2

2,X3X5,X4 sontindépendantes.

La proposition suivante est indiqué comme hors-programme dans la mesure oùla formule obtenue n’est pas à connaître par coeur. En revanche, comme dans lecas discret, la méthode mise en jeu dans la démonstration doit être maîtrisée.

Proposition ALEA.13.8 | Minimum&Maximumdevariables aléatoires dis-crètes [H.P]

SoientX1,…,X𝑛 discrètes etmutuellement indépendantes. Alors pour tout𝑥 ∈R,

P (min{X1,…,X𝑛} ⩾ 𝑥) =𝑛∏𝑖=1

P (X𝑖 ⩾ 𝑥) ,

P (max{X1,…,X𝑛} ⩽ 𝑥) =𝑛∏𝑖=1

P (X𝑖 ⩽ 𝑥) .

Si de plus les variables aléatoires sont i.i.d. de même loi qu’une variable aléa-toire X de fonction de répartition FX, alors :

P (min{X1,…,X𝑛} ⩾ 𝑥) = P (X ⩾ 𝑥)𝑛 ,P (max{X1,…,X𝑛} ⩽ 𝑥) = FX(𝑥)𝑛.

Preuve

PEN-FANCY



Attention×

La probabilité

P (min{X1,…,X𝑛} ⩽ 𝑥) = P(𝑛⋃𝑖=1

{X𝑖 ⩽ 𝑥})

ne se traite pas par indépendance. Attention aux confusions !

Méthode (Trouver la loi d’un min ou max de variables aléatoires discrètes

indépendantes)WRENCH

Pour le max X =max(X1,…,X𝑛).1 — on calcule la fonction de répartition :P (X ⩽ 𝑘) = P (X1 ⩽ 𝑘)…P (X𝑛 ⩽ 𝑘)pour tout𝑘. On invoque l’indépendance au moment adéquat.2 — On calcule ensuiteP (X = 𝑘) en fonction deP (X ⩽ 𝑘) etP (X ⩽ 𝑘−1), i.e.P (X = 𝑘) = P (X ⩽ 𝑘)−P (X ⩽ 𝑘−1).

Pour X =min(X1,…,X𝑛), remplacer dans 1)⩽ par ⩾, puis en déduire la fonc-tion de répartition. Étape 2) inchangée, mais utiliser la relation P (X = 𝑘) =P (X ⩾ 𝑘)−P (X ⩾ 𝑘+1).

Exemple 16— Soient U1,…,U𝑛 les résultats de 𝑛 lancers de dés 6 faces et nonpipés, supposés indépendants. Déterminer la loi de U défini comme le plus granddes lancers.

PEN-FANCY

2. ESPÉRANCE, VARIANCE, MOMENTS

2.1. Espérance

On en vient au coeur du chapitre, la définition de l’espérance pour une variablealéatoire réelle discrète à support non forcément fini mais, plus généralement, auplus dénombrable. Reprenons le cours de première année : si X(Ω) = {𝑥1,…,𝑥𝑛}est fini, vous aviez appelé espérance de X la quantité suivante :

E (X) = ∑𝑥∈X(Ω)

𝑥P (X = 𝑥) =𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖P (X = 𝑥𝑖) ,

formule qui était directement inspirée du cas de la loi uniforme :

E (X) =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖 – moyenne d’une série statistique.



Dans ce cadre, l’espérance était une sommefinie donc existait toujours. À présent,étant donné que le support n’est plus fini, nous allons nous intéresser plutôt à laconvergence d’une série, i.e. à une moyenne sur un «nombre infini de termes».

Définition ALEA.13.6 | Espérance d’une variable aléatoire réelle discrèteSoit X une variable aléatoire réelle discrète.1 — (Admettre une espérance) On dit que X admet une espérance si :

(∑𝑥P (X = 𝑥))𝑥∈X(Ω) converge absolument.

2 — (Valeur de l’espérance) Si X admet une espérance, alors on appelle es-pérance de X la quantité

E (X) = ∑𝑥∈X(Ω)

𝑥P (X = 𝑥) .

Une variable aléatoire d’espérance nulle est dite centrée.

Remarque 2.1— Pourquoi supposer une convergence absolue? Nous avonsvu dans le Chapitre ANA.9 qu’en cas de convergence absolue, l’ordre de som-mation des termes d’une série n’a aucune importance. Ainsi l’espérance définieprécédemment ne dépend pas de la numérotation choisie pour les éléments deX(Ω) = {𝑥𝑛, 𝑛 ∈N} (ou {𝑥𝑛, 𝑛 ∈ J0 , NK}).

On vérifie immédiatement que toute variable aléatoire à support fini possède uneespérance.

Proposition ALEA.13.9 | Cas où X(Ω) est finiSi X(Ω) = {𝑥1,…,𝑥N} avec 𝑥1,…,𝑥N ∈ R et N ∈ N, alors X admet toujours uneespérance définie par :

E (X) =N∑𝑛=1

𝑥𝑛P (X = 𝑥𝑛) .

Proposition ALEA.13.10 | Espérance d’une indicatriceSoit A ∈ 𝒯, alors : E (𝟙A) = P (A).

Preuve Nous avons déjà établi que 𝟙A est une variable aléatoire discrète.Calculons son espérance.

PEN-FANCY

Exemple 17— Soit X une variable aléatoire réelle discrète telle que X(Ω) = N⋆ etpour tout 𝑛 ⩾ 1 : P (X = 𝑛) = 1

2𝑛 .La variable X admet une espérance, calculons-là.

PEN-FANCY

Exemple 18— Soit X une variable aléatoire réelle discrète telle que X(Ω) = N⋆

et pour tout 𝑛 ⩾ 1 : P (X = 𝑛) = 1𝑛(𝑛+1) . La variable X n’admet pas d’espérance,

pourquoi?

PEN-FANCY



Propriétés de l’espérance.

Théorème ALEA.13.4Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes admettant une espérance.Alors :1 — (Linéarité de l’espérance) Soient λ,μ ∈ R, λX+μY admet une espé-rance et :

E (λX+μY) = λE (X)+μE (Y) .

2 — (Positivité de l’espérance) X ⩾ 0 ⟹ E (X) ⩾ 0, et :

X ⩾ 0, E (X) = 0 ⟺ X = 0.

Le résultat subsiste si on a seulement P (X ⩾ 0) = 1 en hypothèse, i.e.

P (X ⩾ 0) = 1 ⟹ E (X) ⩾ 0,P (X ⩾ 0) , E (X) = 0 ⟺ X = 0.

3 — (Croissance de l’espérance)

X ⩽ Y ⟹ E (X) ⩽ E (Y) .

Le résultat subsiste si on a seulement P (X ⩽ Y) = 1 en hypothèse, i.e.

P (X ⩽ Y) = 1 ⟹ E (X) ⩽ E (Y) .

Preuve1 — Nous admettons provisoirement la linéarité de l’espérance : la preuvenécessitant le théorème de transfert pour les couples aléatoires.

2 — PEN-FANCY

3 — PEN-FANCY

Lien entre fonction d’antirépartition, et espérance. Dans le cas où l’espéranceexiste, nous pouvons aussi montrer la formule suivante, qui n’est pas à connaîtrepar coeur mais l’idée cependant oui. Elle intervient dans de très nombreux exer-cices, ni la preuve ni l’énoncé ne sont des attendus du programme, mais il est bonde les réviser en tant qu’exercice. On commence par un premier lemme.

Lemme ALEA.13.1 | Transformation d’ABEL pour l’espéranceSoit X une variable aléatoire réelle discrète telle que X(Ω) =N⋆. Alors :

∀N ∈N⋆, SN =N∑𝑘=1

𝑘P (X = 𝑘) =N+1∑𝑘=1

P (X ⩾ 𝑘)− (N+1)P (X ⩾ N+1) .

Preuve

PEN-FANCY



Proposition ALEA.13.11 | Formule des cumulants [H.P]Soit X une variable aléatoire réelle discrète telle que X(Ω) =N⋆. Alors :

X possède une espérance ⟺ (∑P (X ⩾ 𝑘))𝑘∈N⋆ converge.Dans ce cas, nous avons :

E (X) = ∑𝑘∈N⋆

P (X ⩾ 𝑘) .

Remarque 2.2— La restriction à X(Ω) = N⋆ est artificielle et a pour objectif d’al-léger les calculs.

Preuve

PEN-FANCY

On l’utilise souvent pour calculer l’espérance du minimum/maximum de va-riables aléatoires réelles discrètes. Voyons comment sur un exemple.

Exemple 19— On note X,Y deux variables aléatoires de support N⋆ et telles



que :

∀𝑘 ∈N⋆, P (X = 𝑘) = P (Y = 𝑘) =13(23)𝑘−1

.

En utilisant la proposition précédente, calculer E (min(X,Y)).

PEN-FANCY

On peut également retrouver cette valeur en calculant l’antirépartition, la fonc-tion de répartition puis la loi.

Formule de transfert pour une variable aléatoire discrète. L’objectif est ici d’obte-nir une formule pour calculer des espérances de fonctions de variables aléatoires𝑓(X) sans avoir à trouver la loi de 𝑓(X) (ce qui peut se révéler compliqué). Le théo-rème de transfert répond à ce problème.

Remarque 2.3— Onpeut donc, avec ce théorème, calculer l’espérance de 𝑓(X) enconnaissant seulement la loi de X

Théorème ALEA.13.5 | Transfert pour les variables aléatoires discrètesSoit X une variable aléatoire discrète et 𝑓 ∶ X(Ω) →R. Alors :

𝑓(X) possède une espérance ⟺ (∑𝑓(𝑥)P (X = 𝑥))𝑥∈X(Ω) convergeabsolument.

Dans ce cas, nous avons :

E(𝑓(X)) = ∑𝑥∈X(Ω)

𝑓(𝑥)P (X = 𝑥) .

Preuve C’est un calcul direct, en utilisant la loi de 𝑓(X) calculée dans laProposition ALEA.15.5 :

E (𝑓(X)) = ∑𝑥∈𝑓(X)(Ω)

𝑥P (𝑓(X) = 𝑥)

= ∑𝑥∈𝑓(X)(Ω)

𝑥 ∑𝑦∈X(Ω)𝑥=𝑓(𝑦)

P (X = 𝑦)

= ∑𝑥∈𝑓(X)(Ω)

∑𝑦∈X(Ω)𝑥=𝑓(𝑦)

𝑥P (X = 𝑦) = ∑𝑥∈𝑓(X)(Ω)

∑𝑦∈X(Ω)𝑥=𝑓(𝑦)

𝑦P (X = 𝑦)

= ! ∑𝑦∈Y(Ω)

𝑦P (Y = 𝑦) .

Nous admettons la dernière égalité.

Remarque 2.4— On note donc que, dans la formule, nous avons P (X = 𝑥) avec𝑥 ∈ X(Ω) qui est largement préférable à P (𝑓(X) = 𝑦) pour tout 𝑦 ∈ 𝑓(X)(Ω).

Corollaire ALEA.13.2 | Inégalité triangulaire pour l’espéranceSoit X une variable aléatoire réelle discrète. Alors :

X admet une espérance ⟺ |X| admet une espérance.Et dans ce cas :

||E (X)|| ⩽ E (|X|) .



Preuve (Point clef — Théorème du transfert & Inégalité triangulairepour les séries)

PEN-FANCY

Corollaire ALEA.13.3 | Transfert pour les fonctions affinesSoit X une variable aléatoire discrète et 𝑎,𝑏 ∈R. Alors :1 — X possède une espérance ⟹ 𝑎X+𝑏 possède une espérance.2 — Supposons que 𝑎 ≠ 0. Alors : 𝑎X+𝑏 possède une espérance ⟹ Xpossède une espérance.De plus, si X et 𝑎X+𝑏 possèdent une espérance, nous avons :

E(𝑎X+𝑏) = 𝑎E (X)+𝑏.

Preuve

PEN-FANCY

Corollaire ALEA.13.4 | CentrageSoit X une variable aléatoire discrète possédant une espérance, alors

X−E (X) est une variable aléatoire centrée.

Preuve Appliquer le résultat précédent avec 𝑎 = 1 et 𝑏 = −E (X). AlorsX−E (X) possède donc une espérance, et

E (X−E (X)) = E (X)−E (X) = 0.

Exemple 20— Cas fini On considère la variable aléatoire donnée par le tableausuivant :

X = 𝑘 -3 -1 0 1 2 3

P (X = 𝑘) 2/10 1/10 1/10 2/10 3/10 1/10

et Y = 3X+2. Calculer de deux manières son espérance.

PEN-FANCY



Exemple 21— Cas dénombrable Soit Y = 1+(−1)X2 où X est définie par X(Ω) = N⋆

et P (X = 𝑘) = 12𝑘 pour tout 𝑘 ∈N⋆. Calculer de deux manières son espérance.

PEN-FANCY

2.2. Moments d’ordre supérieur

À l’aide du théorème de transfert, nous pouvons donc affirmer les points sui-vants.

Définition/Proposition ALEA.13.2 | Variance,écart-type,moments,versiondiscrète

1 — (Moments d’ordre 𝑘) On dit que X admet un moment d’ordre 𝑘 ∈ N sil’équivalence suivante est réalisée :

E (|X|𝑘) < ∞ ⟺ (∑|𝑥|𝑘P (X = 𝑥))𝑥∈X(Ω)

converge.

On appelle alors moment d’ordre 𝑘 : E (X𝑘) = ∑𝑥∈X(Ω)

𝑥𝑘P (X = 𝑥).

2 — (Moments d’ordre 2) On dit que X admet un moment d’ordre deux sil’équivalence suivante est réalisée :

E (|X|2) < ∞ ⟺ (∑|𝑥|2P (X = 𝑥))𝑥∈X(Ω) converge.

On appelle alors moment d’ordre 2 : E (X2) = ∑𝑥∈X(Ω)

𝑥2P (X = 𝑥).



3 — (Variance) SiX admet unmoment d’ordre deux, alorsX admet unmo-ment d’ordre un (i.e. une espérance), et on appelle variance de X la quantiténotée Var (X) et définie par : Var (X) = E ((X−E (X))2). La variable aléatoireX possède une variance si et seulement si :

(∑(𝑥−E (X))2P (X = 𝑥))𝑥∈X(Ω) converge

(∑𝑥2P (X = 𝑥))𝑥∈X(Ω) converge

Dans ce cas,

Var (X) = ∑𝑥∈X(Ω)

(𝑥−E (X))2P (X = 𝑥) .

On appelle écart-type de X, la quantité notée σX et définie par σX ∶= √Var (X).Une variable aléatoire de variance un est dite réduite.

Preuve Montrons que : si X admet un moment d’ordre deux, alors Xadmet un moment d’ordre un. Le reste provient de simples applications duthéorème de transfert.

PEN-FANCY

Remarque 2.5—

1 — On pourra retenir également que : si X n’a pas d’espérance, alors elle n’apas de variance.2 — Le moment d’ordre 1 correspond donc à l’espérance.3 — La variance d’une variable aléatoire mesure l’écart quadratique moyen entreX et sa valeur moyenne E (X).

Méthode (Étudier l’existence d’une variance dans le cas à densité)WRENCH

On étudie l’existence d’un moment d’ordre deux, i.e. la convergence de

∑𝑥∈X(Ω)

|𝑥|2P (X = 𝑥) .

Remarque 2.6— Où est la covariance? Vous noterez que pour le moment lanotion de covariance n’est pas encore présentée pour les variables aléatoires dis-crètes. Nous en parlerons plus tard (cf. Chapitre ALEA.14).

Proposition ALEA.13.12 | Cas d’une variable aléatoire bornéeSoit X une variable aléatoire discrète. Si X est bornée, alors X admet une va-riance. Le résultat est encore vrai si X est presque-sûrement bornée i.e. s’ilexiste M ∈R+ tel que P (|X| ⩽ M) = 1.

Preuve Montrons que

(∑𝑥2P (X = 𝑥))𝑥∈X(Ω) converge (et donc absolument aussi car positive).

PEN-FANCY



Proposition ALEA.13.13 | Propriétés de la variance/covarianceSoient X,Y admettent une variance, et λ,μ ∈R.1 — (Variance nulle) Var (X) = 0 ⟺ X = E (X) p.s.2 — (Variance d’une expression affine) Var ( λ X+μ) = λ2 Var (X).3 — (Formule de König-Huygens) Var (X) = E (X2)−E (X)2.

Preuve

PEN-FANCY

Opération de centrage/réduction. La proposition ci-dessous paraît anecdotiquemais elle sera d’un intérêt majeur plus tard dans l’année.

Définition/Proposition ALEA.13.3

Soit X une variable aléatoire discrète ayant une variance, alors

X⋆ =(défi.)

X−E (X)σX

est une variable aléatoire réelle centrée réduite. On l’appelle la centrée/réduitede X.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 22— Soit X ↪ ℬ(𝑛, 12 ). Dans quel ensemble fini X⋆ prend-elle ses va-leurs? Calculer explicitement X⋆ dans ce cas.

PEN-FANCY



Cas de variables aléatoires indépendantes. On présente sans démonstration lerésultat suivant, qui sera démontré et étudié dans le Chapitre ALEA.14 sur lescouples aléatoires discrets.


Si X1,…,X𝑛 sont 𝑛 variables mutuellement indépendantes. Alors :1 — (Espérance d’un produit) si les X𝑖 admettent une espérance,E (X1…X𝑛) = E (X1)…E (X𝑛) .2 — (Variance d’une somme) si les X𝑖 admettent une variance, alorsVar (X1 +⋯+X𝑛) = Var (X1)+⋯+Var (X𝑛).

Preuve Provisoirement admis.

3. LOIS DISCRÈTES USUELLES

Pour chacune des lois ci-dessous, il est important de connaître :

Caret-right son support i.e. l’ensemble des valeurs que prend une variable aléatoire as-sociée donc X(Ω),

Caret-right sa loi et une idée de son histogramme,Caret-right son espérance/variance,Caret-right le type d’expérience dans lequel elle intervient,Caret-right TERMINALPython et comment la simuler à l’aide de Python.

Dans la pratique, on essaiera autant que possible de traduire l’énoncé avec deslois usuelles. Nous supposerons dans la suite avoir effectué les importations sui-vantes.

Python1 import random as rd # pour les simulations2 import numpy as np # pour les fonctions classiques et/ou la

simulation↪

3 import matplotlib.pyplot as plt # pour les représentationsgraphiques↪

Généralités à propos de la simulation de variables aléatoires réelles. Commen-çons par définir que l’on appelle simulation en Mathématiques.

Définition ALEA.13.7 | SimulationSoit X une variable aléatoire. Alors on appelle simulation de la variable aléa-toire X toute procédure permettant de renvoyer un X(ω) pour ω ∈ Ω, de sorteque si l’on effectue𝑛 simulationsX(ω1),⋯,X(ω𝑛) avec𝑛 ∈N selon cettemême



procédure, alors :

∀𝑥 ∈R,

𝑛∑𝑖=1

𝟙{X(ω𝑖)⩽𝑥}

𝑛𝑛→∞−−−−→ P (X ⩽ 𝑥) .

Remarque 3.1— Autrement dit, l’histogramme associé à la suite de simulationsest proche du véritable histogramme.

Remarque 3.2— On dira qu’une variable aléatoire U à valeurs dansR suit une loiuniforme sur [0,1] si pour tout intervalle I,

P (U ∈ I) = Long(I∩ [0,1]).

Autrement dit la probabilité d’être dans un certain intervalle est la longueur du-dit intervalle. Nous étudierons plus en détail cette variable aléatoire dans le Cha-pitre ALEA.15.


Soit X une variable aléatoire réelle telle que FX soit bijective. Alors : F−1X (U) amême loi que X, où U ↪ 𝒰([0,1]).

Preuve Les variables aléatoires F−1X (U) etX ontmême loi si et seulementsi elles ont même fonction de répartition.

PEN-FANCY

Remarque 3.3— Et siFX n’estpasbijective?En fait,mêmesiFX n’est pasbijectiveon peut construire une fonction GX telle que GX(U) ait pour loi X.1

Tous les constats précédents se résument en l’idée suivante :

Résumé♥

la simulation d’une loi quelconque se ramène à la simulation d’un réel aléa-toire dans [0,1[.

Nous verrons enTP avec quelleméthodePython simule ce réel dans [0,1[. La com-mande est la suivante (qui provient du module random).

PythonSimulation d’un réel entre 0 et 1

1 >>> import random as rd2 >>> rd.random()3 0.002146787868164468

Le module random sait aussi simuler beaucoup de lois usuelles, mais vous devezaussi savoir la simuler «à la main». Dans la suite nous donnerons systématique-ment les deux.

Comment tracer une fonction de répartition en Python? Pour tracer une fonc-tion de répartition d’une loi discrète, on utilise le fait déjà établi suivant : c’est unefonction constante par morceaux, et chaque saut est aux éléments du support deX, l’amplitude d’un saut valantP (X = 𝑘) si𝑘 ∈ X(Ω). On en déduit alors la fonctiongénérale suivante.

1En l’occurence, la fonctionGX ci-après convient : ∀𝑢 ∈R, GX(𝑢) =(défi.)

inf{𝑡 ∈R, FX(𝑡) ⩾ 𝑢}.

On l’appelle l’inverse généralisé de FX. On peut démontrer queGX ∘FX(𝑢) = 𝑢 pour tout 𝑢 ∈R, etcela permet de justifier que F−1X (U) est une variable aléatoire de loi celle de X.



Python1 def trace_fdr(Support, Loi):2 '''3 trace la fonction de réparition de loi loi donné dans la

liste Loi, et de support support↪

4 '''5 Fdr = np.zeros(len(Support))6 for k in range(0, len(Support)):7 Fdr[k] = np.sum([Loi[i] for i in range(0, k+1)])8 plt.step(Support, Fdr)

3.1. Loi uniforme discrète

Définition/Proposition ALEA.13.4 | Loi uniforme surun sous-ensemblefinide Z

Soit E un sous-ensemblefini de Z. On dit qu’une variable aléatoire suit une loiuniforme sur E (on note X ↪ 𝒰(E)), si :

X(Ω) = E, ∀𝑘 ∈ E, P (X = 𝑘) =1

# E.

Remarque 3.4— Modélisation. Toute expérience aléatoire dont les issues sontdes nombres entiers en nombre fini, apparaissant de manière équiprobable.

Preuve Il existe un espace probabilisé et une variable aléatoire vérifiantces conditions. En effet,

PEN-FANCY

Exemple 23— Cas d’un intervalle d’entiers consécutifs. En particulier, si E =J𝑎 , 𝑏K avec (𝑎,𝑏) ∈ Z2 deux entiers tels que 𝑎 < 𝑏, X ↪ 𝒰(J𝑎 , 𝑏K)), si :

∀𝑘 ∈ J𝑎 , 𝑏K, P (X = 𝑘) =1

𝑏−𝑎+1.

La quantité 𝑏−𝑎+1 est simplement # J𝑎 , 𝑏K.

Exemple 24— Cas d’un produit d’intervalles d’entiers consécutifs. En particu-lier, si E = J𝑎 , 𝑏K× J𝑐 , 𝑑K avec 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 ∈ Z, la loi 𝒰(J𝑎 , 𝑏K× J𝑐 , 𝑑K) est donnéepar :

PEN-FANCY

Proposition ALEA.13.16 | Espérance, varianceSi X ↪ 𝒰(J𝑎 , 𝑏K) avec (𝑎,𝑏) ∈ Z2, alors X possède une espérance et une va-riance, et :

E (X) =𝑎+𝑏

2, Var (X) =

(𝑏 −𝑎)(𝑏 −𝑎+2)12

.

Preuve

PEN-FANCY



Histogramme, fonction de répartition.

PythonHistogramme de la loi uniforme

1 a = 02 b = 93 Support = np.arange(a,b+1,1)

Python4 Loi = np.zeros(b-a+1)5 for k in range(b-a+1):6 Loi[k] = 1/(b-a+1)7 plt.bar(Support, Loi)

1 plt.show()

PythonFonction de répartition de la loi uniforme

1 trace_fdr(Support, Loi)

1 plt.show()



Python

Résumé♥

plt.bar permet de tracer des diagrammes en bâtons et plt.step trace desfonctions en reliant les points parmorceaux

Simulation. On va pouvoir se ramener à une loi uniforme sur [0,1] comme nousl’avions démontré de manière générale au début de cette sous-section.

Proposition ALEA.13.17 | Simulation d’une loi uniformediscrète sur J𝑎, 𝑏KSoient 𝑎,𝑏 deux entiers distincts et U ↪ 𝒰([0,1]). Alors :

𝑎+⌊U(𝑏−𝑎+1)⌋ ↪ 𝒰(J𝑎 , 𝑏K) .

Preuve La variable aléatoire est à valeurs entières supé-rieures ou égales à 𝑎 et inférieures à 𝑏. Soit donc 𝑘 ⩾ 𝑎, calculonsP (𝑎 +⌊U(𝑏−𝑎+1)⌋ = 𝑘).

PEN-FANCY

On en déduit alors le script suivant de simulation.

PythonSimulation de la loi uniforme sur J𝑎 , 𝑏K

1 def uniforme(a,b):2 return a + int(rd.random()*(b-a+1))

Ou bien on utilise la fonction existante du module random.

1 rd.randint(a, b)

3.2. Loi de Bernoulli & binomiale

Définition/Proposition ALEA.13.5 | Loi de BERNOULLI/Rademacher de pa-ramètre 𝑝

Soit 𝑝 ∈ [0,1]. On dit qu’une variable aléatoire suit une :Caret-right (loi de BERNOULLI de paramètre 𝑝) (on note X ↪ ℬ(𝑝)), si :

X(Ω) = {0,1} , P (X = 1) = 𝑝, P (X = 0) = 1−𝑝.

Caret-right (loi de RADEMACHER de paramètre 𝑝) (on note X ↪ ℛ(𝑝)), si :

X(Ω) = {−1,1} , P (X = 1) = 𝑝, P (X = −1) = 1−𝑝.



Remarque 3.5— Modélisation. Toute expérience aléatoire dont les issues sontau nombre de deux, dont l’une apparaît avec probabilité 𝑝.

Remarque 3.6—

Caret-right Toute variable aléatoire X telle que X(Ω) = {0,1} suit une loi de BERNOULLIℬ(P (X = 1)).

Caret-right Si 𝑝 = 1 (cf. 𝑝 = 0) alors P (X = 1) = 1 (cf. = 0) et P (X = 0) = 0 (cf. = 1) donc Xest constante égale à 1 (cf. 0) presque-sûrement.

Preuve Il existe un espace probabilisé et une variable aléatoire vérifiantces conditions pour l’une ou l’autre des lois. En effet,

PEN-FANCY

Proposition ALEA.13.18 | Lien entre BERNOULLI et RADEMACHERSoit 𝑝 ∈ [0,1], alors :

X ↪ ℬ(𝑝) ⟺ 2X−1 ↪ ℛ(𝑝).

Preuve

PEN-FANCY

Définition/Proposition ALEA.13.6 | Loi binomiale de paramètres 𝑝 et 𝑛Soient𝑝 ∈ [0,1] et𝑛 ∈N. Ondit qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale

de paramètres 𝑝 et 𝑛 (on note X ↪ ℬ(𝑛,𝑝)), si :

X(Ω) = J0 , 𝑛K, ∀𝑘 ∈ J0 , 𝑛K, P (X = 𝑘) = (𝑛𝑘)𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘.

Remarque 3.7— Modélisation. Toute épreuve constituée de 𝑛 épreuves aléa-toires dont les résultats sont indépendants, chacune ayant deux issues appeléessuccès (de probabilité 𝑝) et échec (de probabilité 1−𝑝). La variable aléatoire X estle nombre total de succès dans ces 𝑛 épreuves. Un raisonnement de dénombre-ment conduit à la formule mentionnée supra.


PEN-FANCY

Proposition ALEA.13.19 | Espérance, varianceSi X ↪ ℬ(𝑛,𝑝) avec 𝑝 ∈ [0,1] et 𝑛 ∈ N, alors X possède une espérance et unevariance, et :

E (X) = 𝑛𝑝, Var (X) = 𝑛𝑝(1−𝑝).

Preuve

1 — PEN-FANCY



2 — Commençons par calculer la somme𝑛∑𝑘=2

𝑘(𝑘−1)(𝑛𝑘)𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘.

PEN-FANCY

3 — On peut ensuite conclure quant à la variance.

PEN-FANCY

Exemple 25— Marche aléatoire simple sur Z Soient (R𝑛) une suite de variablesaléatoires indépendantes de même loi ℛ(𝑝) avec 𝑝 ∈ [0,1]. On pose :

S𝑛 = R1 +⋯+R𝑛.

1 — Pour tout 𝑖 ∈N, on note X𝑖 =R𝑖+12 . Quelle est la loi de X𝑖 ?

PEN-FANCY

2 — Déduire la loi de S𝑛+𝑛2 pour tout 𝑛 ∈N, puis l’espérance et la variance de S𝑛.

PEN-FANCY

Histogramme, fonction de répartition. Même principe que pour la loi uniforme,on reprend les scripts précédents en modifiant le support et la loi. Notez que,étant donné le choix de paramètres, le support de la loi se concentre dans la partiegauche du graphique (l’espérance vaut 20

3 ).

PythonHistogramme de la loi binomiale

1 import scipy.special2

3 def binom(n, k):4 '''5 (n : int, k : int) -> renvoie le coefficient binomial k

parmi n↪

6 '''7 if k > n:8 return 09 else:

10 return scipy.special.binom(n, k) #commande toute faitepour le coefficient binomial↪

11

12 n = 2013 p = 0.314 Support = np.arange(0,n+1,1)



Python15 Loi = np.zeros(len(Support))16 for k in range(len(Support)):17 Loi[k] = binom(n, k)*(p**k)*((1-p)**(n-k))18 plt.bar(Support, Loi)

1 plt.show()

PythonFonction de répartition de la loi ℬ(20,0.3)


1 plt.show()

Python

Simulation. Le point de départ pour ces deux lois est la simulation d’une BER-NOULLI, qui se fait en regardant dans quelle portion de l’intervalle [0,1[ ([0,𝑝] ou[𝑝,1−𝑝[) se trouve rd.random(). Ensuite pour déduire la bionomiale un certainnombre de résultats, d’où l’importance de bien connaître l’interprétation de ceslois en terme d’expérience aléatoire. Nous ferons de-même pour la loi géomé-trique plus tard.

PythonSimulation de la loi de Bernoulli et de la binomiale

1

2 import random as rd3 def bernoulli(p):4 '''5 simule une bernoulli6 '''7 if rd.random() < p:8 return 19 else:

10 return 0



Python1 def binomiale(n,p):2 '''3 simule une binomiale4 '''5 S = 06 for i in range(n):7 S += bernoulli(p)8 return S

Le module random ne sait pas simuler directement les lois de BERNOULLI etbinomiale. On fait donc plutôt appel pour cela à la sous bibliothèque randomde numpy.

1 np.random.binomial(n,p)2 np.random.binomial(n,p,nb_simu) # Si l'on souhaite un tableau

numpy de simulations↪

3.3. Loi Hypergéométrique

Définition/Proposition ALEA.13.7 | Loi hypergéométrique de paramètres𝑝 et 𝑛,N ∈N

Soient 𝑝 ∈ [0,1] et 𝑛,N ∈N tels que : 1 ⩽ 𝑛 ⩽ N, N𝑝 ∈N. On pose 𝑞 = 1−𝑝.On dit qu’une variable aléatoire suit une loi hypergéométrique de paramètres𝑝 et 𝑛,N (on note X ↪ ℋ(N,𝑛,𝑝)), si :

X(Ω) = J0 , 𝑛K, ∀𝑘 ∈ J0 , 𝑛K, P (X = 𝑘) =(N𝑝𝑘 )( N𝑞𝑛−𝑘)

(N𝑛).

Remarque 3.8— Modélisation. Décrit une série de tirages sans remise (ou si-multanés) de 𝑛 éléments dans un ensemble contenant N𝑝 éléments de type 1 etN𝑞 éléments de type 2. La variable aléatoire X représente le nombre d’élémentsde type 1 obtenus dans ce paquet de 𝑛 éléments.

Expliquons cette remarque à l’aide d’un raisonnement de dénombrement.

PEN-FANCY

Remarque 3.9— Lorsque N devient grand, nous montrerons dans le Cha-pitre ALEA.14 que cette loi est proche d’une ℬ(𝑛,𝑝). Et c’est bien logique si l’onanalyse l’expression aléatoire type qu’elle décrit : en effet, si le nombre de boulesdans l’urne est très grand, la non-remise devient «équivalente» à la remise.

Preuve Il existe un espace probabilisé et une variable aléatoire vérifiantces conditions. C’est une conséquence, notamment, de la formule de VAN-DERMONDE. Nous admettons le reste.

Remarque 3.10— À propos du support.On peut même construire l’espace pro-babilisé sous-jacent de sorte que

X(Ω) = Jmax(0,𝑛−N𝑞) , min(𝑛,N𝑝)K.

Pour constater cela, analyser la nullité des coefficients binomiaux en fonction desparamètres. Pour simplifier, nous conserverons le support de la définition précé-dente.



Proposition ALEA.13.20 | Espérance, varianceSi X ↪ ℋ(N,𝑛,𝑝) avec 𝑝 ∈ [0,1] et 𝑛,N ∈N, alors X possède une espérance etune variance, et :

E (X) = 𝑛𝑝, Var (X) = 𝑛𝑝𝑞N−𝑛N−1

.

Preuve Numérotons les éléments de type 1 entre 1 et N𝑝.

On peut écrire X de la la manière suivante : X =N𝑝

∑𝑘=1

𝟙E𝑘 où E𝑘 est l’évène-

ment «nous avons tiré l’élément 𝑘 dans notre paquet de 𝑛 éléments». AlorsP (E𝑘) = 1−P(CE𝑘) = 1− (N−1𝑛 )

(N𝑛)= 1− N−𝑛

N = 𝑛N pour tout entier 𝑘 ∈ J1 , N𝑝K.

Ainsi, par linéarité de l’espérance, on a :

E (X) =N𝑝

∑𝑘=1

P (E𝑘) =N𝑝

∑𝑘=1

𝑛N

= N𝑝𝑛N

= N𝑝𝑛

N𝑝+N𝑞= 𝑝

𝑛𝑝+𝑞

= 𝑛𝑝

car 𝑝+𝑞 = 1. Nous admettons la formule de la variance.

Histogramme, fonction de répartition. Même principe que pour la loi uniforme,on reprend les scripts précédents enmodifiant le support et la loi. Notez que, étantdonnée le choix de paramètres, le support de la loi se concentre dans la partiegauche du graphique (l’espérance vaut 20

3 ).

PythonHistogramme de la loi hypergéométrique

1 N = 302 n = 203 p = 0.54 q = 1-p5 Support = np.arange(0,n+1,1)6 Loi = np.zeros(len(Support))7 for k in range(len(Support)):8 Loi[k] = binom(N*p, k)*binom(N*q, n-k)/binom(N, n)9 plt.bar(Support, Loi)

Python1 plt.show()

PythonFonction de répartition de la loi ℋ(30,20,0.5)


1 plt.show()



Simulation. La simulation est encore une fois basée sur un schéma de BERNOUL-LI puis : on crée deux variables correspondant aux nombres d’objets de type 1 et2, on fait des tirages selon les proportions calculées et on actualise les proportionsaprès chaque tirage.

PythonSimulation de la loi hypergéométrique

1

2 import random as rd3 def hypergeometrique(N, n, p):4 '''5 simule une hypergeometrique6 N : nombre total d'éléments7 n : nombre d'éléments piochés8 p : proportion éléments type 19 '''

10 Nb_type1 = N * p11 Nb_type2 = N - Nb_type112 S = 013 for i in range(n):14 if rd.random() < p:15 Nb_type1 -= 116 S += 117 else:18 Nb_type2 -= 119 p = Nb_type1/(Nb_type1 + Nb_type2) # proportion boules

de type 1↪

20 return S

Le module random ne sait pas simuler directement la loi hypergéométrique.On fait donc plutôt appel pour cela à la sous bibliothèque random de numpy.

1 np.random.hypergeometric(Np,Nq,n) # Attention à l'ordre desparamètres, et aux paramètres eux-mêmes↪

Nous passons aux lois propres au programme de seconde année : les lois discrètesdont le support n’est pas fini mais plus généralement dénombrable.

3.4. Loi Géométrique & Absence de mémoire

Définition/Proposition ALEA.13.8 | Loi géométrique de paramètre 𝑝Soit 𝑝 ∈]0,1], on pose 𝑞 = 1−𝑝. On dit qu’une variable aléatoire suit une loigéométrique de paramètres 𝑝 (on note X ↪ 𝒢(𝑝)), si :

X(Ω) =N⋆, ∀𝑘 ∈N⋆, P (X = 𝑘) = 𝑝𝑞𝑘−1.

Attention×

Le support de la loi géométrique est N⋆ et non N : le premier succès ne peutarriver sans commencer l’expérience.

Remarque 3.11— Modélisation. Temps d’apparition du premier succès dans larépétition, de manière indépendante, d’une expérience aléatoire de BERNOULLI(succès 𝑝 ∈]0,1], échec 𝑞 = 1−𝑝).

Remarque 3.12—

Caret-right Si 𝑝 = 1, alors le premier succès arrive presque-sûrement dès le premier es-sai donc X devrait être égale à 1 presque-sûrement. On retrouve ce fait enanalysant l’expression de P (X = 𝑘) pour tout 𝑘 ⩾ 1 — en effet, 𝑞 = 0 et doncP (X = 1) = 1 mais P (X = 𝑘) = 0 dès que 𝑘 ⩾ 2.

Caret-right En revanche, on exclut 𝑝 = 0 dans la définition, car dans ce cas on aurait«X = ∞» presque-surement. De manière plus pragmatique, la somme desprobabilités ne serait pas égale à 1.




PEN-FANCY

Le support de cette loi est non borné, donc l’existence d’une espérance n’est iciplus automatique et se ramène à l’étude de la convergence d’une série.

Proposition ALEA.13.21 | Espérance, varianceSi X ↪ 𝒢(𝑝) avec 𝑝 ∈]0,1], alors X possède une espérance et une variance, et :

E (X) =1𝑝

, Var (X) =𝑞𝑝2 .

Preuve

PEN-FANCY

Remarque 3.13— On peut constater que si X ↪ 𝒢(𝑝) avec 𝑝 ∈]0,1] alors néces-sairement

𝑝 = P (X > 1) =1

E (X).

Nous verrons plus tard dans l’année comment estimer par simulation ces deuxréels, et donc, in fine le paramètre 𝑝.

Exemple 26— Probabilité conditionnelle selon une loi géométrique SoientX ↪𝒢(𝑝) avec 𝑝 ∈]0,1] et A un évènement tel que P(A|X = 𝑘) = ( 13 )

𝑘pour tout entier

𝑘 ∈N⋆. Calculer P (A), puis la loi conditionnelle de X sachant A.

PEN-FANCY



Exemple 27— Généralisation : loi binomiale négative Soient 𝑚 ∈ N et 𝑝 ∈]0,1],ainsi que (T𝑛) une suite de variables aléatoires i.i.d. de même loi 𝒢(𝑝). On définitalors :

X𝑚 =𝑚∑𝑘=1

T𝑘.

Il s’agit donc du temps d’attente jusqu’à obtention de 𝑚 succès dans une répé-tition d’expériences de BERNOULLI de manière indépendante, on note ℬ−(𝑚,𝑝).En particulier, lorsque 𝑚 = 1, on a donc : X1 ↪ 𝒢(𝑝).

1 — Pour tout 𝑘 ⩽ 𝑚, écrire l’évènement {X𝑚 = 𝑘} en fonction des X𝑖, 𝑖 ∈ N. Endéduire l’expression de la loi de X.PEN-FANCY

2 — Déterminer l’espérance et la variance de X.PEN-FANCY

Absence de mémoire. Avant de passer aux autres propriétés de la loi géomé-trique, définissions de manière générale la notion d’absence de mémoire.

Définition ALEA.13.8 | Absence demémoireUne variable aléatoire réelle X est dite sans mémoire si :1 — elle est positive ou nulle,2 — pour tout couple (𝑥,𝑦) ∈ (R+⋆)2, on a :

P(X > 𝑡 +𝑠) = P(X > 𝑠)P(X > 𝑡). (Abs,Mém)

Avec les mêmes notations que dans la définition, l’Équation (Abs,Mém) signifieaussi, de manière équivalente, que la fonction de répartition F vérifie :

F(𝑡 +𝑠) = F(𝑡)+F(𝑠)−F(𝑡)F(𝑠).

Ou encore, en utilisant la formule d’une probabilité conditionnelle, que si P(X >𝑠) > 0 :

P(X > 𝑡 +𝑠|X > 𝑠) = P(X > 𝑡).

Remarque 3.14— Cas où X est discrète telle X(Ω) = N⋆ Prenons le cas où X estdiscrète telle que X(Ω) =N⋆. Alors la propriété d’absence de mémoire est équiva-lente à :

∀(𝑘,ℓ) ∈ (N+⋆)2, P(X > 𝑘+ℓ) = P(X > 𝑘)P(X > ℓ).



Nous allons à présent établir que la loi géométrique est à absence de mémoire. Enfait, on peutmême démontrer que c’est la seule loi discrète à l’être. On commencepar des propriétés sur la fonction de répartition de la loi géométrique, donc onpeut établir une expression.


Soit X ↪ 𝒢(𝑝) avec 𝑝 ∈]0,1]. Alors :1 — (Antirépartition) pour tout 𝑘 ∈N, 1−FX(𝑘) = P (X > 𝑘) = 𝑞𝑘,2 — (Fonction de répartition) pour tout 𝑘 ∈N⋆, FX(𝑘) = 1−𝑞𝑘,3 — (Absence de mémoire) Toute loi géométrique est à absence de mé-moire.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

3 — PEN-FANCY


PythonHistogramme de la loi géométrique

1 N = 50 # Troncature du support2 n = 203 p = 0.14 q = 1-p5 Support = np.arange(1,N+1,1)6 Loi = np.zeros(len(Support))7 for k in range(len(Support)):8 Loi[k] = p*q**k # k démarre à zéro, on décale donc de 19 plt.bar(Support, Loi)

1 plt.show()

PythonFonction de répartition de la loi 𝒢(0.1)

1 # Construction des probabilités cumulées :2 Fdr = np.zeros(len(Support))3 for k in range(0,len(Support)):4 Fdr[k] = np.sum([Loi[i] for i in range(0,k+1)])5 trace_fdr(Support, Loi)



Python1 plt.show()

Simulation. La simulation est encore une fois basée sur un schéma de BERNOUL-LI puis : on crée deux variables correspondant aux nombres d’objets de type 1 et2, on fait des tirages selon les proportions calculées et on actualise les proportionsaprès chaque tirage.

PythonSimulation de la loi géométrique

1 import random as rd2 def geometrique(p):3 '''4 simule une geometrique5 '''6 S = 17 while rd.random() > p:8 S += 19 return S

Le module random ne sait pas simuler directement la loi géométrique. Onfait donc plutôt appel pour cela à la sous bibliothèque random de numpy.

Python1 np.random.geometric(p) # Attention à l'ordre des paramètres,

et aux paramètres eux-mêmes↪

3.5. Loi de Poisson

Définition/Proposition ALEA.13.9 | Loi de POISSON de paramètre λSoit λ ∈ R+⋆. On dit qu’une variable aléatoire suit une loi de POISSON de para-mètre λ (on note X ↪ 𝒫(λ)), si :

X(Ω) =N, ∀𝑘 ∈N, P (X = 𝑘) =λ𝑘

𝑘!e−λ.

Remarque 3.15— Nous montrerons dans le Chapitre ALEA.16 que cette loi peutêtre approchée par des lois binomiales.


PEN-FANCY

Remarque 3.16— Modélisation. Nombre d’événements se produisant dans unintervalle de temps fixé, si ces événements se produisent avec une fréquencemoyenne ou espérance connue et indépendamment du temps écoulé depuisl’événement précédent.

Proposition ALEA.13.23 | Espérance, varianceSi X ↪ 𝒫(λ) avec λ ∈R+⋆, alors X possède une espérance et une variance, et :

E (X) = λ, Var (X) = λ.



Preuve

PEN-FANCY

Exemple 28— Probabilité conditionnelle selon une loi de POISSON Soient X ↪𝒫(λ) etA un évènement tel queP(A|X = 𝑘) = ( 13 )

𝑘pour tout entier𝑘 ∈N. Calculer

P (A), puis la loi conditionnelle de X sachant A.

PEN-FANCY


PythonHistogramme de la loi de Poisson

1 N = 50 # Troncature du support2 lamba = 103 Support = np.arange(1,N+1,1)4 Loi = np.zeros(len(Support))5 for k in range(len(Support)):6 Loi[k] = lamba**k/ma.factorial(k)*np.exp(-lamba)7 plt.bar(Support, Loi)

1 plt.show()



Python

PythonFonction de répartition de la loi 𝒫(10)


1 plt.show()

Simulation. Commençons par la propriété qui va nous permettre de simuler laloi de POISSON à partir de l’uniforme sur [0,1].

Proposition ALEA.13.24 | Simulation de la loi de POISSONSoit U ↪ 𝒰([0,1]) et λ > 0. Alors :

X =min{𝑛 ∈N,𝑛∑𝑘=0

λ𝑘e−λ

𝑘!⩾ U} ↪ 𝒫(λ).

Preuve PEN-FANCY Il est clair que X(Ω) = N. De plus, soit 𝑘 ∈ N, alors :

P (X = 𝑘) = P(𝑛−1∑𝑘=0

λ𝑘e−λ

𝑘!< U ⩽

𝑛∑𝑘=0

λ𝑘e−λ

𝑘!)

= Long([𝑛−1∑𝑘=0

λ𝑘e−λ

𝑘!,𝑛∑𝑘=0

λ𝑘e−λ

𝑘!]) ,

=𝑛∑𝑘=0

λ𝑘e−λ

𝑘!−

𝑛−1∑𝑘=0

λ𝑘e−λ

𝑘!

=λ𝑛e−λ

𝑛!.

définition de la loi uniforme

Donc X ↪ 𝒫(λ).

Remarque 3.17— La fonction 𝑥 ∈ [0,1[⟼ − 1λ ln(1 − 𝑥) est en fait l’inverse de

la fonction de répartition de ℰ(λ) restreinte à R+⋆, il était donc clair (d’après unrésultat déjà vu) que F−1X (U) suivait une loi exponentielle.

PythonSimulation de la loi de Poisson

On déduit alors à l’aide d’une simple boucle while un script permettant desimuler la loi de POISSON.

1

2 import random as rd3 def poisson(lamb):4 '''



Python5 Simule une loi de Poisson par inversion6 '''7 U = rd.random()8 F = 09 i = 0

10 while F < U:11 i += 112 F += np.exp(-lamb)*lamb**i/ma.factorial(i)13 return i-1

Le module random ne sait pas simuler directement la loi de POISSON. On faitdonc plutôt appel pour cela à la sous bibliothèque random de numpy.

1 np.random.poisson(1/lamb) # Attention au paramètre : c'estl'inverse du paramètre mathématique↪

3.6. Bilan des lois discrètes

Le tableau suivant rassemble quelques lois discrètes usuelles.

Nom Paramètre(s) Notation SupportX(Ω)

P (X = 𝑘)

BERNOULLI 𝑝 ∈ [0,1] ℬ(𝑝) {0,1} 𝑝𝟙1(𝑘)+ (1−𝑝)𝟙0(𝑘)

BINOMIALE (𝑛,𝑝) ∈N∗ ×[0,1] ℬ(𝑛,𝑝) {0, ...,𝑛} (𝑛𝑘)𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘

HYPER-GÉOMÉTRIQUE

𝑝 ∈ [0,1], N ∈N,𝑛 ∈ {0, ...,N}, N𝑝 ∈N∗

ℋ(N,𝑛,𝑝) J0 , 𝑛K(N𝑝𝑘 )(N(1−𝑝)𝑛−𝑘 )

(N𝑛)

GÉOMÉ-TRIQUE

𝑝 ∈ [0,1] 𝒢(𝑝) N∗ 𝑝(1−𝑝)𝑘−1

POISSON λ ∈]0,∞[ 𝒫(λ) N e−λ λ𝑘𝑘!




4. EXERCICES

4.1. Généralités

Exercice ALEA.13.1 L’espérance minimise l’écart quadratique à X Soit X unevariable aléatoire admettant un moment d’ordre deux. Démontrer que 𝑎 ⟼E ((X−𝑎)2) est minimale pour 𝑎 = E (X).

4.2. Variables aléatoires discrètes

4.2.1. Généralités

[PS_VaD_97.tex]

Exercice ALEA.13.2 Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N, telleque :

P(X = 𝑘) =𝑝𝑘

(1+𝑝)𝑘+1, pour tout 𝑘 ∈N, 𝑝 > 0.

1 — Justifier l’existence de X.2 — La variable aléatoire X admet-elle une espérance et une variance? Les calcu-ler en cas d’existence.

[PS_VaD_33.tex]

Exercice ALEA.13.3 SoitX une variable aléatoire telle queX(Ω) =N∗. Déterminerla loi de X dans les trois cas suivants :

1 — P(X = 𝑛) = 3𝑛P(X = 𝑛−1), ∀𝑛 ⩾ 2.

2 — 4P(X = 𝑛+2) = 5P(X = 𝑛+1)−P(X = 𝑛), ∀𝑛 ∈N∗.3 — Il existe 𝑎 ∈]0;1[ tel que : P(X = 𝑛) = 𝑎P(X ⩾ 𝑛), ∀𝑛 ∈N∗.

[PS_VaD_100.tex]

Exercice ALEA.13.4 Deux applications du théorème de transfert

1 — Soient 𝑛 ∈ N⋆ et 𝑝 ∈]0,1[. On considère une variable aléatoire X ↪ ℬ(𝑛,𝑝).Calculer E ( 1

X+1 ) après avoir justifié l’existence.2 — Soient 𝑝 ∈]0,1[ et X une variable aléatoire suivant une loi 𝒢(𝑝). On pose Y =X2. Calculer E (Y) après avoir justifié l’existence.

[PS_VaD_104.tex]

Exercice ALEA.13.5 Soit X ∈ 𝒢(𝑝) avec 𝑝 ∈]0,1[, on note Y = 12 (1+ (−1)X). Déter-

miner la loi de Y, donner son espérance et sa variance.[PS_VaD_24.tex]

Exercice ALEA.13.6 Identité de Wald – Espérance d’une somme aléatoire de va-riables aléatoires discrètes Soit (X𝑛) une suite de variables aléatoires réelles dis-crètes i.i.d. de même loi ℬ(𝑝) avec 𝑝 ∈]0,1[. Soit N ↪ 𝒫(λ) avec λ ∈R. On définit

alors Y par : Y =⎧⎨⎩

0 si N = 0,N∑𝑘=1

X𝑘 si N ≠ 0.

1 — Soit 𝑟 ∈N⋆. Quelle est la loi de S𝑟 =𝑟∑𝑘=1

X𝑘 ?

2 — Déterminer P (Y = 0).3 — Pour tout 𝑟 ∈N⋆, déterminer P (Y = 𝑟).4 — Déterminer E (Y) si elle existe.

[PS_VaD_77.tex]



Exercice ALEA.13.7 Étude de la série génératrice Dans tout l’exercice, en casd’existence, on notera pour X une variable aléatoire discrète, GX(𝑡) = E (𝑡X) pour𝑡 ∈R. On l’appelle la série génératrice de X.

1 — Soient X,Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes et 𝑡 ∈R tel queGX(𝑡) et GY(𝑡) convergent. Montrer que : GX+Y(𝑡) = GX(𝑡)GY(𝑡).2 — (Cas d’un support non borné) Soit X une variable aléatoire réelle discrètede support X(Ω) =N.2.1) Justifier l’existence de GX sur ]−1,1[.2.2) Étudier l’existence et calculer GX(1).2.3) (Cas d’un support fini) On suppose dans cette question que le support

de X est fini et composé d’entiers : X(Ω) = {𝑘0,…,𝑘N} avec 𝑘𝑖 ∈ N pour tout𝑖 ∈ J0 , NK. On suppose de plus que la suite (𝑘𝑖)𝑖 est croissante.

2.4) Montrer que GX est une fonction polynomiale, précisez son degré ainsi queses coefficients.

2.5) En déduire que : P (X = 𝑘) = G(𝑘)X (0)𝑘! pour tout entier 𝑘 ∈ X(Ω).

2.6) Exprimer espérance et variance de X en fonction de GX.2.7) Soit 𝑛 ∈ N, et X1,…,X𝑛 ↪ ℬ(𝑝) indépendantes avec 𝑝 ∈]0,1[. À l’aide des

questions précédentes, établir les faits suivants :Caret-right X1 +⋯+X𝑛 ↪ ℬ(𝑛,𝑝),Caret-right retrouver les formules de l’espérance et de la variance.

[ALG_Red_50.tex]

Exercice ALEA.13.8 Matrice aléatoire binomiale (Solution : 46) Soit (Ω,𝒯,P) unespace probabilisé, et A et B deux variables aléatoires indépendantes de même loiℬ(𝑛,𝑝) définies sur cet espace. Soit M la variable aléatoire, à valeurs dans 𝔐2 (R),définie pour tout ω ∈ Ω par

M(ω) =⎛

⎝

A(ω) B(ω)

A(ω) B(ω)

⎞

⎠.

1 — TERMINALPython Proposer une fonction Python qui simule M. On renverra le résultatsous forme de tableau numpy.

2 — Donner la loi, l’espérance et la variance du nombre de valeurs propres de M.Quelle est la probabilité que M soit diagonalisable?3 — Donner la loi de la plus grande des valeurs propres.4 — Quelle est la probabilité que M2 = 0? vérifie M2 = M? Proposer une com-mande Python permettant de retrouver ces résultats par simulation, à l’aide de lapremière question.

4.2.2. Avec contexte

[PS_VaD_101.tex]

Exercice ALEA.13.9 Étude d’unmin/max On lance deux des a 6 faces honnetes.On note alors X le plus grand des numeros obtenus et Y le plus petit.

1 — Determiner les lois de X et de Y.2 — Calculer E (X) et E (Y). Comparer les espérances et commenter.3 — Calculer Var (X) et E (X).

[PS_VaD_29.tex]

Exercice ALEA.13.10 Ondisposed’unepièce truquée telle que laprobabilité d’ob-tenir pile est α, α ∈]0,1[. On lance deux fois la pièce :

Caret-right si on obtient (F,P) on a gagné;Caret-right si on obtient (P,F) on a perdu;Caret-right sinon on recommence.

Déterminer le nombre moyen de lancers effectués.[PS_VaD_58.tex]

Exercice ALEA.13.11 On tire unnombre entier naturelX auhasard, et on suppose



que X ↪ 𝒫(𝑎) avec 𝑎 > 0. Si X est impair, Pierre gagne et reçoit X euros de Paul. SiX est pair nonnul, Paul gagne et reçoitX euros dePierre. SiX = 0, la partie est nulle.On note 𝑝 la probabilité que Pierre gagne et 𝑞 la probabilité que Paul gagne.

1 — Déterminer la valeur de 𝑝 et de 𝑞.2 — Détermine l’espérance des gains de chacun.

[PS_VaD_62.tex]

Exercice ALEA.13.12 Chance de capture d’un Pokemon Blue joue à Pokemonrouge. Il se retrouve face à Mewtwo dans la caverne azurée. La probabilité de cap-ture de Mewtwo est très faible : 1

𝑛 pour un entier 𝑛 ∈ N⋆ très grand. Blue, équipéd’un stock de 𝑛 pokéballs, s’apprête à toutes les lancer une à une.

1 — Calculer la probabilité 𝑝𝑛 que Blue capture Mewtwo.2 — Déterminer lim

𝑛→∞𝑝𝑛.

3 — On suppose que suite à la découverte d’un bug dans le jeu, qu’on disposed’une infinité de pokéballs pour tenter notre capture. Déterminer le temps d’at-tente moyen jusqu’à capture de Mewtwo.4 — TERMINALPython Proposer un programme Python donnant une simulation du temps decapture.

[PS_VaD_34.tex]

Exercice ALEA.13.13 Délivrer la princesse Une princesse est retenue prisonnièredans un chateau. Un prince charmant se met en tête de la délivrer. Lorsqu’il ar-rive à l’entrée du chateau, il se trouve devant 3 portes. Il en ouvre une au hasard(équiprobable).

Caret-right S’il ouvre la 1ère porte, il délivre la princesse.Caret-right S’il ouvre la deuxième porte, un dragon apparait et le dévore.Caret-right S’il ouvre la troisième porte, une sorcière lui fait boire un filtre, il oublie tout

ce qu’il a vu et est mis à la porte du chateau.

Le prince renouvelle ses tentatives jusqu’à ce qu’il meure ou qu’il délivre la prin-cesse.

1 — Calculer la probabilité de l’événement D𝑘 : « il délivre la princesse au 𝑘-èmeessai».2 — Calculer la probabilité de l’événement D : « il délivre la princesse».3 — Onnote T le nombre de tentatives du prince. Donner la loi de T ainsi que sonespérance.4 — Si le prince échoue dans sa tâche, le syndicat des princes envoie immédiate-ment un autre prince, jusqu’à ce que la princesse soit délivrée. Calculer le nombremoyen de princes utilisés pour délivrer la princesse.

[PS_VaD_19.tex]

Exercice ALEA.13.14 Équilibrage d’une stratégie de jeu (Solution : 46) Soit N unentier naturel ⩾ 2. On définit la fonction 𝑓 sur R2 par

∀(𝑥,𝑦) ∈R2, 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑦(N(N−1)−𝑥(𝑥−1))−N𝑥(𝑥−1).

1 — (Résolution informatique d’une équation dans J1 , 10K2)1.1) TERMINALPython Écrire une fonction Python d’en-tête f(x, y , N=10) qui retourne la

valeur de 𝑓(𝑥,𝑦) avec 10 pour valeur de N par défaut.1.2) À l’aide de la fonction précédente, dans le cas N = 10, donner tous les

couples (𝑥,𝑦) d’entiers de J1 , 10K tels que 𝑓(𝑥,𝑦) = 0.2 — UneurneA contientN = 10 tickets dont𝑥 sont gagnants, une urneB contient10 tickets dont 𝑦 gagnants.2.1) Un joueur E tire 2 tickets dans l’urne A.2.2) Si les 2 tickets tirés sont gagnants, le joueur E a gagné,2.3) sinon le joueur F tire un ticket dans l’urne B et est déclaré gagnant s’il tire un

ticket gagnant.2.4) S’il n’y pas de gagnant, la partie est déclarée nulle.2.1) Calculer la probabilité que E soit gagnant, et que F soit gagnant.2.2) Déterminer 𝑥 et 𝑦 tels que la partie soit équitable.2.3) TERMINALPython Écrire une fonction Python Gagnant(x,y,N=10) simulant ce jeu et re-

tournant +1 si E gagne, 0 si la partie est nulle et −1 si F gagne.



3 — Vérifier, à l’aide de Python, que pour le(s) couple(s) (𝑥,𝑦) trouvés en précé-demment, on a effectivement un jeu équitable.

[PS_VaD_21.tex]

Exercice ALEA.13.15 (Solution : 47) On dispose d’une infinité de boules blanches,numérotées et représentées par leur indice 𝑘 ∈ N∗. L’urne comporte initialement𝑎 boules noires non numérotées. Si l’on tire une boule blanche, on la remet dansl’urne avec une autre boule blanche de même numéro. Si on tire une boule noire,on la remet et on ajoute une boule blanche portant un numéro non présent dansl’urne (peu importe lequel, les variables aléatoires définies infra ne dépendrontpas de ce choix). On appelle Y𝑘 la variable aléatoire égale à 1 si une boule noire esttirée au 𝑘-ième tirage et 0 sinon. On note X𝑛 la variable aléatoire égale au nombrede numéros différents présents dans l’urne avant le (𝑛+1)-ième tirage.

1 — Quelle est la probabilité de tirer une boule noire au 𝑛-ième tirage?2 — Soit 𝑛 ∈ N. Exprimer X𝑛 en fonction des Y𝑘 pour 𝑘 et 𝑛 entiers, montrer que

E (X𝑛) = 𝑎𝑎+𝑛−1∑𝑘=𝑎

1𝑘. Trouver une formule similaire pour Var (X𝑛).

3 — TERMINALPython3.1) Écrire une fonction SimulX(a,n) qui simule une variable de même loi que

X𝑛.

3.2) Écrire une fonction qui permet d’estimer E (X𝑛),conjecturer la limiteE (X𝑛)

𝑛quand 𝑛 tend vers l’infini.

4 — Déterminer un équivalent de E (X𝑛).

4.2.3. Chaînes de Markov

Exercice ALEA.13.16 Quelques calculs de matrices de transition Dans les ques-tions qui suivent, on considère des suites de variables aléatoires discrètes (X𝑛) àvaleurs dans un ensemble fini E = {𝑥1,…,𝑥N} ⊂ R de cardinal N ∈ N⋆. On note

alors X𝑛 =

⎛⎜⎜⎜⎝

P (X𝑛 = 𝑥1)

P (X𝑛 = 𝑥N)

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐N,1 (R) et on souhaite trouver, si cela est possible,

une matrice M ∈ 𝔐N,N (R) telle que pour tout 𝑛 ∈N :

U𝑛+1 = MU𝑛.

En cas d’existence, on dit alors que :

Caret-right (X𝑛) est une chaîne de MARKOV,Caret-right et M est appelée matrice de transition de la chaîne,Caret-right le vecteur U𝑛 est alors appelé la loi de X𝑛 — abus de langage.

Montrer dans chaque cas que (X𝑛) est une chaîne de MARKOV et déterminer samatrice de transition associée, ainsi que l’ensemble E.

1 — (Urnes d’EHRENFEST) On considère deux urnes A et B et N ⩾ 1 boules,initialement placées dans l’urne A et numérotées entre 0 et N−1. On répète lesactions suivantes :

Caret-right choisir au hasard un entier entre 0 et N−1,Caret-right changer d’urne la boule ayant ce numéro.

On note X𝑛 le nombre de boules présentes dans l’urne A après 𝑛 actions.2 — (Souris dans un tunnel) Des chercheurs font des expériences sur des sou-ris, ils disposent de trois tunnels A, B et C. Les deux premiers sont des cul-de-sacet le troisième permet à la souris de sortir. On constate que :

Caret-right la première fois, elle choisit au hasard l’un des trois tunnels.Caret-right Lorsque la souris se trompe (donc aboutit à un cul-de-sac), la fois d’après,

elle choisit au hasard l’un des deux autres tunnels.Caret-right Lorsqu’elle réussit à sortir, la fois d’après, elle reprend le même tunnel.

On note X𝑛 le tunnel choisi à la 𝑛-ième tentative de sortie.3 — (Diffusion sur le cercle) On note A0,A1,A2 les points d’affixes respectives1, 𝚥 = e

2iπ3 , 𝚥 = e

−2iπ3 , ainsi qu’une particule

Caret-right initialement en A0,Caret-right puis à chaque étape, choisit de façon équiprobable de se déplacer vers l’un



de ses deux plus proches voisins.[PS_VaD_63.tex]

Exercice ALEA.13.17 Un mobile se déplace sur un axe de la façon suivante :

Caret-right à l’instant 0, il est au point d’abscisse 0;Caret-right si, à l’instant 𝑛, le mobile est au point d’abscisse 𝑘, alors, à l’instant 𝑛+1, soit

il sera aupoint d’abscisse𝑘+1 avec uneprobabilité𝑝 ∈]0,1[, soit il retourneraau point 0 avec une probabilité 1−𝑝.

On note X𝑛 la variable aléatoire égale à l’abscisse du mobile à l’instant 𝑛.

1 — TERMINALPython1.1) Créerune fonctiond’en-têteSimu_X(n, p)qui simuleune réalisationdeX𝑛.1.2) En déduire une valeur approchée de E (X𝑛) à l’aide de la fonction précé-

dente.2 — Déterminer la loi de X1. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X𝑛.3 — Soient 𝑛 ∈N∗ et 𝑘 ∈ J1 , 𝑛K. Trouver une relation entre P(X𝑛 = 𝑘) et P(X𝑛−1 =𝑘−1).4 — En déduire une relation de récurrence entre E (X𝑛) et E (X𝑛−1) pour 𝑛 ⩾ 1.5 — En déduire une expression de E (X𝑛) en fonction de 𝑛 et 𝑝.

4.3. Pour 5/2

[PS_VaD_11.tex]

Exercice ALEA.13.18 (Solution : 49) Une rame de tram/bus circule sur une lignede 4 stations numérotées de 0 à 3. Quand il arrive à la station 3 il fait demi tour,de-même à la station 0. On suppose qu’il passe 1 min à chaque station avec untemps de trajet négligeable entre deux stations.

1 — Un(e) étudiant(e) deBCPST s’endort après à la station 0 après une soirée tropfestive. On suppose qu’à chaque arrivée en station, il se réveille avec probabilité𝑝 ∈ ]0,1[ et que les réveils/poursuites de siestes sont indépendants. On note Xle numéro de station à laquelle il se réveille. Déterminer la loi de X. Calculer sonespérance et sa variance.2 — On note Y le nombre d’aller-retours effectués. Déterminer la loi de Y.

[PS_VaD_4.tex]

Exercice ALEA.13.19 (Solution : 49) On considère une suite (X𝑛)𝑛∈N de variablesaléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi de BERNOULLIℬ(1/2).On note T le moment de la première apparition du motif (1,1), c’est-à-dire : T =inf{𝑛 ∈ N ∶ X𝑛 = X𝑛+1 = 1}. Pour 𝑛 ∈ N, on appelle A𝑛 et B𝑛 les évènements sui-vants : A𝑛 : « le motif 11 n’apparait pas dans la suite (X0,X1,…,X𝑛) et X𝑛 = 0. » etB𝑛 : « le motif 11 n’apparait pas dans la suite (X0,X1,…,X𝑛) et X𝑛 = 1. » On note𝑝𝑛 = P(A𝑛) et 𝑞𝑛 = P(B𝑛). On note (F𝑛)𝑛∈N la suite de Fibonacci définie par F0 = 0,F1 = 1 et pour tout 𝑛 ∈N, F𝑛+2 = F𝑛+1 +F𝑛.

1 — Calculer P(T = 0), P(T = 1), P(T = 2).

2 — Montrer que : ∀𝑛 ∈N,⎛

⎝

𝑝𝑛+1

𝑞𝑛+1

⎞

⎠= 1

2

⎛

⎝

1 1

1 0

⎞

⎠

⎛

⎝

𝑝𝑛

𝑞𝑛

⎞

⎠.

3 — En déduire que : ∀𝑛 ∈N, P(T = 𝑛) = F𝑛+12𝑛+2 .

4 — TERMINALPython Déterminer lim𝑛→∞

P (T = 𝑛). Confirmer ce résultat avec Python.





1 — M est inversible si et seulement si AB − BA ≠ 0. Donc l’évènement «M in-versible» est finalement l’ensemble vide, donc de probabilité nulle. Calculons àprésent M2.

Nous avons M2(ω) =⎛

⎝

A(ω) B(ω)

A(ω) B(ω)

⎞

⎠

⎛

⎝

A(ω) B(ω)

A(ω) B(ω)

⎞

⎠=

⎛

⎝

(A2 +AB)(ω) (AB+B2)(ω)

(A2 +AB)(ω) (AB+B2)(ω)

⎞

⎠. La matrice précédente est nulle si et seule-

ment si A+B = 0 ou bien A = 0 et B = 0. Il reste à écrire cela avec des réunions etintersections.

P(M nilpotente) = P ({A = 0}∩ {B = 0})∪ {A+B = 0}) .

Attention, les deux évènements précédents ne sont pas disjoints, on ne peut écrirequ’il s’agit de la somme des deux probabilités. Mais, {A+B} = 0 = {A = 0}∩ {B = 0}puisque A,B sont positives. On déduit, par indépendance de A et B :

P(M nilpotente) = P(A = 0)P(B = 0) = (1−𝑝)2𝑛 .

Nous avons par ailleurs,

P(M2 = M) = P(A2 +AB = A,AB+B2 = B) = P(A(A+B−1) = 0,B(B+A−1) = 0)= P(A+B = 1)+P(A = 0)P(B = 0)= P(A = 0,B = 1)+P(A = 1,B = 0)+P(A = 0)P(B = 0)= P(A = 0)P(B = 1)+P(A = 1)P(B = 0)+P(A = 0)P(B = 0)

= 2𝑛(1−𝑝)𝑛𝑝(1−𝑝)𝑛−1 +(1−𝑝)2𝑛

Dans ce cas, en revanche, les évènements {A+B−1 = 0} et {A = 0,B = 0} sont biendisjoints, ce qui légitime le calcul précédent.

2 — Notons N la variable aléatoire donnant le nombre de valeurs propres. AlorsN(Ω) = {1,2} puisque M est de format 2 × 2. De plus, par calcul simple de dé-terminant, on déduit que : Spec(M) = {0,A+B}. Donc P(N = 1) = P(A + B =0) = P(A = 0)P(B = 0) = (1−𝑝)2𝑛 . Et P(N = 2 = 1−(1−𝑝)2𝑛. L’espérance vautalors E (N) = 1− (1−𝑝)2𝑛 et Var (N) = 1− (1−𝑝)2𝑛. Utilisons le système complet{N = 1} , {N = 2}.

P(Mdiagonalisable) = P(Mdiagonalisable∩{N = 1})+P(Mdiagonalisable∩{N = 2})= P(Mdiagonalisable∩{N = 1})+P({N = 2})

oùà la dernière lignenous avonsutilisé le fait que toutematrice ayant deux valeurspropres distinctes est diagonalisable. De plus,

P(Mdiagonalisable∩{N = 1}) = P(A = 0,B = 0,A = B = 0) = P(A = 0)P(B = 0) = (1−𝑝)2𝑛.

Car toutematrice diagonalisable ayant une seule valeur propre est du type λI avecλ ∈R. Donc

P(Mdiagonalisable) = (1−𝑝)2𝑛 +1−(1−𝑝)2𝑛 .

3 — La plus grande valeur propre au sens large est A+B, qui suit, par indépen-dance, une ℬ(2𝑛,𝑝).


1 — 1.1)

Python1.2)1 def f(x,y,N=10):

2 return y*(N*(N-1) -x*(x-1))- N*x*(x-1)3 def couplesf(N=10):4 L = []5 for k in range(1,N+1):6 for l in range(1,N+1):7 if f(k,l) == 0:



Python8 L.append([k,l])9 return L

La fonction couplesf() renvoie [[6, 5]].2 — 2.1) Notons GE l’évènement « le joueur E est gagnant», on tire simultané-

ment deux tickets dans une urne qui contient 𝑥 gagnants, etN−𝑥 perdants :c’est donc un contexte de loi hypergéométrique. On a donc : P(GE) =(22)(N−𝑥0 )

(𝑥2)=

𝑥(𝑥−1)2

N(N−1)2

=𝑥(𝑥−1)N(N−1)

.

Notons GF l’évènement « le joueur F est gagnant». Nous avons GF =(GF ∩GE) ∪ (GF ∩ CGE) = GF ∩ CGE puisque le premier évènement est vide.Donc :

P(GF) = P(GF||CGE)P (CGE) =

𝑦N

(1−𝑥(𝑥−1)N(N−1)

) .

2.2) On cherche donc les couples (𝑥,𝑦) tels que 𝑦N (1− 𝑥(𝑥−1)

N(N−1) ) = 𝑥(𝑥−1)N(N−1) . En ma-

nipulant l’équation (multiplication par N(N−1)) on trouve comme condi-tion : 𝑓(𝑥,𝑦) = 0 , et d’après python : x=6,y=5. La partie est donc équi-table pour cet unique couple.

Python3 —1 def Gagnant(x, y, N=10):

2 #Tour de E3 if rd.random() < x/N:4 if rd.random() < (x-1)/(N-1):5 return 16 #Tour de F7 if rd.random() < y/N:8 return -19 #Personne n'a gagné

10 return 0

4 — Pour cela il suffit de simuler un grand nombre de fois l’expérience et decompter les proportions de victoires pour chaque joueur. Par exemple de cettemanière :

Python1 def Equitable(x, y, Nb_Simu, N=10):2 '''3 Proportion de parties gagnantes pour chaque jour sur

Nb_Simu↪

4 '''5 Gagne_E, Gagne_F = 0,06 for _ in range(Nb_Simu):7 Res = Gagnant(x, y, N)8 if Res == 1:9 Gagne_E += 1

10 elif Res == -1:11 Gagne_F += 112 return Gagne_E/Nb_Simu, Gagne_F/Nb_Simu

On constate que les proportions sont très proches pour N=10000 : Equitable(4,6, 100) renvoie (0.07, 0.56).


1 — À chaque étape nous avons rajouté une boule soit noire soit blanche, ainsiavant le tirage 𝑛, nous avions𝑎+𝑛−1 boules dans l’urne .2 — On a alors P(Y𝑛 = 1) = 𝑎

𝑎+𝑛−1 la proportion de boules noires au 𝑛-ième ti-rage.3 — La variable X𝑛 est égale au nombre de tirages de boules noires, i.e. le nombrede fois que l’on a ajouté un numéro différent. Ainsi, X𝑛 = ∑𝑛

𝑘=1 Y𝑘.En utilisant la linéarité de l’espérance, on en déduit que : E (X𝑛) = ∑𝑛

𝑘=1E (Y𝑘) =∑𝑛𝑘=1P(Y𝑘 = 1) = ∑𝑛

𝑘=1𝑎

𝑎+𝑘−1 . Il suffit alors de faire le changement de variable affineℓ = 𝑎+𝑘−1, fournissant ainsi l’égalité demandée :

E (X𝑛) = 𝑎𝑎+𝑛−1∑ℓ=𝑎

1ℓ

.



Pour la variance, étant donné que les variables aléatoires Y𝑘 sont indépendantes(en effet, Y𝑘 ne dépend pas du tirage précédent, mais uniquement du rang du ti-rage, i.e. l’entier 𝑘, puisque la proportion de boules noires ne dépend que de 𝑘).Ainsi,Var (X𝑛) = ∑𝑛

𝑘=1Var (Y𝑘) = ∑𝑛𝑘=1 (1

2 𝑎𝑎+𝑘−1 −( 𝑎

𝑎+𝑘−1 )2) = ∑𝑛

𝑘=1𝑎

𝑎+𝑘−1𝑎+𝑘−1−𝑎𝑎+𝑘−1 =

𝑎𝑛∑𝑘=1

𝑘−1(𝑎 +𝑘−1)2

.

De la même manière, nous pouvons faire ensuite le changement de variable ℓ =𝑎+𝑘−1, qui donne

Var (X𝑛) = 𝑎𝑎+𝑛−1∑ℓ=𝑎

ℓ−𝑎ℓ2

= 𝑎(𝑎+𝑛−1∑ℓ=𝑎

1ℓ

−𝑎𝑎+𝑛−1∑ℓ=𝑎

1ℓ2

) .

Python4 — 4.1)1 import random as rd

2 def SimulX(a, n):3 '''4 (a : pro boules noires, n : nb tirages)->nombre de

boules de numéros différents↪

5 '''6 S = 07 Nb_tot = a8 p_noir = a/Nb_tot9 for _ in range(1,n):

10 if rd.random() < p_noir:11 S += 112 Nb_tot += 113 p_noir = a/Nb_tot14 return S

Par exemple, SimulX(10, 50) renvoie 18.4.2) En effectuant un grand nombre de simulations N, la moyenne des réalisa-

tions de X𝑛 converge vers l’espérance.

PythonPython

1 import random as rd2 def EspX(a, n, N):3 '''4 (a, n, N)-> simule

Xn N fois, renvoiela moyenne

↪

↪

5 '''6 return

sum([SimulX(a,n)for _ inrange(N)])/N

↪

↪

↪

7 import matplotlib.pyplotas plt↪

8 plt.plot([EspX(10, n,10)/n for n inrange(1,10000)])

↪

↪

Python1 plt.show()

Il nous reste ensuite à regarder la suite donnée dans l’énoncé en fonction de𝑛 : on trouve EspX(5,100,1000) environ égale à 0.27127. La suite sembleconverger vers zéro, mais la convergence est très lente (on ne la constatemême pas clairement si on trace jusque 𝑛 = 100). Cette lenteur s’expliquepar l’équivalent trouvé ci-dessous.

5 — On réalise une comparaison série—intégrale. Il suffit de dire que la fonction𝑡 ⟼ 1

𝑡 est continue, strictement décroissante sur [1,∞[.On somme l’encadrement entre 𝑎 et 𝑎+𝑛−1 pour obtenir :

∫𝑎+𝑛

𝑎

1𝑡d𝑡 ⩽ E (X𝑛) ⩽ ∫

𝑎+𝑛−1

𝑎−1

1𝑡d𝑡.

En calculant explicitement explicitement les intégrales, on trouve pour 𝑎 ⩾ 2 :

𝑎 ln |||𝑎 +𝑛

𝑎||| ⩽ E (X𝑛) ⩽ 𝑎 ln

||||𝑎 +𝑛−1

𝑎−1|||| .

À l’aide de cet encadrement, on déduit que : lim𝑛→∞

E(X𝑛)𝑎 ln(𝑎+𝑛) = 1 soit :



E (X𝑛) ∼𝑛→∞ 𝑎 ln(𝑎 +𝑛) . Pour 𝑎 = 1, on prouve de la même manière (mais onne somme qu’à partir de 𝑘 = 2 et on ajoute à la fin le terme 𝑘 = 1), que :E (X𝑛) ∼𝑛→∞ ln(𝑛) . C’est l’équivalent de la série harmonique calculé en cours.

Solution (exercice ALEA.13.18) (Énoncé : 45) X(Ω) = {0,1,2,3}. On note 𝑞 = 1−𝑝.

P(X = 0) = P(T ∈ 6N∗) =+∞∑𝑘=1

P(X = 6𝑘) =+∞∑𝑘=1

𝑞6𝑘−1𝑝 =𝑝𝑞5

1−𝑞6 . P(X = 1) = P(T ∈

(6N+1) ∪ (6N+5)) =+∞∑𝑘=0

P(X = 6𝑘 + 1) ++∞∑𝑘=0

P(X = 6𝑘 + 5) =𝑝+𝑝𝑞4

1−𝑞6 P(X = 2) =+∞∑𝑘=0

P(X = 6𝑘 + 2) ++∞∑𝑘=0

P(X = 6𝑘 + 4) =P(𝑞3 +𝑞)1−𝑞6 . P(X = 3) =

+∞∑𝑘=0

P(X = 6𝑘 + 3) =

𝑝𝑞2

1−𝑞6 . Y(Ω) ∈ N. Pour tout 𝑘 ∈ N, Y = 𝑘 ⇔ T = 6𝑘 + 𝑟 avec 𝑟 ∈ {0,1,2,3,4,5}

Si 𝑘 ∈ N∗, P(Y = 𝑘) = 𝑝5∑𝑗=0

𝑞6𝑘−1+𝑗 = 𝑞6𝑘−1(1 − 𝑞6) Si 𝑘 = 0, P(Y = 0) = P(T ∈

{1,2,3,4,5}) =5∑𝑗=0

𝑝𝑞6𝑘−1+𝑗 = 1−𝑞5.


1 — Facilement, on aCaret-right P(T = 0) = 1/4 (la suite commence par 1,1),Caret-right P(T = 1) = 1/8 (la suite commence par 0,1,1),Caret-right P(T = 2) = 1/8 (la suite commence par ?,0,1,1).

2 — On a A𝑛+1 = (A𝑛 ∪B𝑛) ∩ {X𝑛+1 = 0}. Comme A𝑛 et B𝑛 sont incompatibles, et{X𝑛+1 = 0} et A𝑛 ∪B𝑛 sont indépendants, on déduit

𝑝𝑛+1 = P(A𝑛+1) = (P(A𝑛)+P(B𝑛))P(X𝑛+1 = 0) =𝑝𝑛 +𝑞𝑛

2.

De manière similaire, on déduit de B𝑛+1 = A𝑛 ∩{X𝑛+1 = 1} que 𝑞𝑛+1 = 𝑝𝑛/2.

3 — On montre facilement par récurrence que pour tout 𝑛 ∈N∗,

⎛

⎝

1 1

1 0

⎞

⎠

𝑛

=⎛

⎝

F𝑛+1 F𝑛

F𝑛 F𝑛−1

⎞

⎠.

D’où

⎛

⎝

𝑝𝑛

𝑞𝑛

⎞

⎠=

12𝑛

⎛

⎝

F𝑛+1 F𝑛

F𝑛 F𝑛−1

⎞

⎠

⎛

⎝

1/2

1/2

⎞

⎠=

12𝑛+1

⎛

⎝

F𝑛+2

F𝑛+1

⎞

⎠.

Donc P(T ≥ 𝑛) = P(A𝑛 ∪B𝑛) = 𝑝𝑛 +𝑞𝑛 = F𝑛+3/2𝑛+1 et

P(T = 𝑛) = P(T ≥ 𝑛)−P(T ≥ 𝑛+1) =2F𝑛+3 −F𝑛+4

2𝑛+2

=2F𝑛+3 −(F𝑛+3 +F𝑛+2)

2𝑛+2=

F𝑛+3 −F𝑛+22𝑛+2

=F𝑛+12𝑛+2

.


Chapitre ALEA.14. Vecteurs aléatoires discrets

CHAPITRE ALEA.14Vecteurs aléatoires discrets

Résumé & Plan

L’objectif de ce chapitre est d’étendre les notions vues sur les variables aléatoires discrètes aux vecteurs aléatoires. Trèsrapidement, nous allons nous concentrer sur les couples aléatoires discrets. Une nouvelle notion sera attachée à ceux-ci : la covariance, object clef de la statistique bivariée. Nous démontrerons également des propriétés admises dans lechapitre sur les variables aléatoires discrètes, par exemple la linéarité de l’espérance ou bien encore les propriétés destabilité par somme des lois discrètes.

W

1. Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Couples aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Couples aléatoires discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Système complet associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Loi marginale, conjointe, conditionnelle . . . . . . . . . . 6

2.3. Sommes de variables aléatoires réelles discrètes indépen-dantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Espérance, Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1. Révisions sur les calculs de sommes doubles . . . . . . . . 24

3.2. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Univers-image fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Univers-image dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . 26




Un être humain possède environ 150 000 cheveux (en toutcas,moins d’un million). Comme la ville de Paris compte2,141 millions d’habitants, d’après le principe des tiroirsde Dirichlet, il existe au moins deux personnes à Paris quiont exactement le même nombre de cheveux.

—Le saviez-vous?

CadreCOGS


1. VECTEURS ALÉATOIRES

On ne sera pas toujours intéressé par le résultat complet d’une expérience aléa-toire, i.e. les éléments de Ω, mais plutôt par un ensemble de résultats de ces der-niers. Ondéfinit alors, commedans le Chapitre ALEA.13, la notionde vecteur aléa-toire, avant de particulariser au cas des couples aléatoires.

CadreCOGS

Dans cette section, on se fixe un entier 𝑑 ∈N⋆.

1.1. Généralités

Définition ALEA.14.1 | Vecteur aléatoire réelOn appelle vecteur aléatoire réel toute application X ∶ Ω ⟶R𝑑 du type

ω ∈ Ω ⟼ (X1(ω),…,X𝑑(ω))

où X𝑖 est une variable aléatoire réelle pour tout 𝑖 ∈ {1,…,𝑑}. On appelleunivers-image de X l’ensemble X(Ω).

Caret-right Si 𝑑 = 2, nous parlerons de couple aléatoire,Caret-right et si 𝑑 = 3 de triplet aléatoire.

Remarque 1.1 — Notez bien que la notion de vecteur aléatoire réel dépend de latribu sous-jacente 𝒯, puisque la notion de variable aléatoire réelle en dépend.

Attention (au support)×

Le support de X n’est pas toujours X1(Ω)×⋯X𝑑(Ω). En effet,

X(Ω) = {(X1(ω),…,X𝑑(ω)), ω ∈ Ω},

qui est a priori différent de

{(X1(ω1),…,X𝑑(ω𝑑), ω𝑖 ∈ Ω,∀𝑖} = X1(Ω)×⋯X𝑑(Ω).

En revanche, nous avons toujours une inclusion :

X(Ω) = (X1,…,X𝑑)(ω) ⊂ X1(Ω)×⋯X𝑑(Ω).

Exemple 1— Calcul d’un support Soient Ω = {𝑎,𝑏,𝑐} et X1,X2 deux variablesaléatoires telles que X1(𝑎) = X1(𝑏) = 1,X1(𝑐) = 2 et X2(𝑎) = X2(𝑐) = 3,X2(𝑏) = 1.Déterminer X(Ω) et X1(Ω)×X2(Ω).

PEN-FANCY



Définition ALEA.14.2 | Vecteur aléatoire discret / à densitéSoit X = (X1,…,X𝑑) un vecteur aléatoire. On dit que X est un :1 — vecteur aléatoire discret si X1,…,X𝑑 sont discrètes. On parle dans le cas𝑑 = 2 de couple aléatoire discret,2 — vecteur aléatoire à densité siX1,…,X𝑑 sont à densité. Onparle dans le cas𝑑 = 2 de couple aléatoire à densité.

NotationΣDans la suite, dans le cas 𝑑 = 2, les couples aléatoires seront le plus souventnotés Z = (X,Y) au lieu de (X1,X2).

Remarque 1.2 — Par manque d’outils analytiques, nous n’étudierons pas les vec-teurs aléatoires à densité.

Exemple 2— Les deux couples définis dans l’exemple précédent sont des couplesaléatoires discrets car leurs univers-images sont des ensembles finis.

Exemple 3— On lance deux pièces. On appelle X le nombre de «pile» obtenuset on pose Y = 1 si on obtient au moins une fois face, et 0 sinon. Les quantités Xet Y sont des variables aléatoires et le couple (X,Y) forme un vecteur aléatoire. Demanière formelle, on considère

Ω = {PP,PF,FP,FF},

muni de la probabilité uniforme si l’expérience se déroule avec des pièces équili-brées, et X et Y sont définies par

X(PP) = 2, Y(PP) = 0, X(PF) = 1, Y(PF) = 1,

X(FP) = 1, Y(FP) = 1, X(FF) = 0, Y(FF) = 1.

Le vecteur (X,Y) est lui défini par

(X,Y)(PP) = (X(PP),Y(PP)) = (2,0), (X,Y)(PF) = (1,1), (X,Y)(FP) = (1,1), (X,Y)(FF) = (0,1).

Exemple 4— On lance simultanément deux dés discernables. Notons alors X lasomme des valeurs des dés, Y le maximum des deux valeurs et Z = (X,Y). Rappe-lons qu’un triplet décrivant l’expérience est

Ω = J1 , 6K2, 𝒯 = 𝒫(Ω),

et P la probabilité uniforme sur Ω. Déterminer X(Ω), Y(Ω) et Z(Ω) écrire X, Y et Zcomme des applications.

PEN-FANCY



Exemple 5— à densité On observe deux bactéries et on s’intéresse à leurs duréesde vie X,Y qui suivent une loi exponentielle de paramètre λ > 0, supposées indé-pendantes. Alors (X,Y) est un couple aléatoire à densité, mais c’est le cas aussi de(X,max(X,Y))puisque nous avonsmontré dans le Chapitre ALEA.15 quemax(X,Y)est à densité.

Proposition ALEA.14.1 | Vecteur aléatoire défini sur un univers au plusdénombrable

Soit X = (X1,…,X𝑑) ∶ Ω ⟶ R𝑑 un vecteur aléatoire avec Ω au plus dénom-brable. Alors :

X est un vecteur aléatoire discret.

Preuve Mêmepreuvequedans le cas des variables aléatoires. Faisons-làdans le cas où Ω = {ω𝑖, 𝑖 ∈N} est un ensemble dénombrable. Alors

X(Ω) = {(X1(ω𝑖),…,X𝑑(ω𝑖)) , 𝑖 ∈N} .

Onpeut donc «énumérer» les éléments deX(Ω) ; plus formellement, il existeune bijection entre N vers X(Ω), donc X(Ω) est au plus dénombrable.

Proposition ALEA.14.2 | Structure d’espace vectoriel, opérations1 — L’ensemble des vecteurs aléatoires réels muni de l’addition et de la mul-tiplication externe des applications est un R-espace vectoriel, i.e. : si X,Y sontdeux vecteurs aléatoires et (λ,μ) ∈R2, alors :

λX+μY est un vecteur aléatoire réel.

2 — Si X = (X1,…X𝑛),Y = (Y1,…,Y𝑛) sont deux vecteurs aléatoires, alors :

⟨X|Y⟩ =𝑛∑𝑖=1

X𝑖Y𝑖

est une variable aléatoire réelle.



Attention×

Dans la proposition précédente, il s’agit d’additions dans R2, donc decouples.

Preuve Ces propriétés découlent de celles propres aux variables aléa-toires réelles du Chapitre ALEA.13, voir la Proposition ALEA.12.20.

1.2. Couples aléatoires

On se place désormais dans le cas 𝑑 = 2 : i.e. on considère un couple aléatoireZ = (X,Y) ∶ Ω ⟶R2.

Définition ALEA.14.3 | Fonction de répartitionOn appelle fonction de répartition du couple aléatoire Z = (X,Y) l’applicationFZ ∶ R2 ⟶ [0,1] donnée, pour (𝑥,𝑦) ∈R2, par

FZ(𝑥,𝑦) = P(X ⩽ 𝑥,Y ⩽ 𝑦).

Remarque 1.3— La fonction de répartition d’un couple aléatoire est donc unefonction de deux variables.

Définition/Proposition ALEA.14.1 | LoiOnappelle loi du couple aléatoireZ = (X,Y), la fonctionPZ qui à unpavé I×J ⊂R2 (I, J sont des intervalles) associe PZ(I× J) définie par

PZ(I× J) = P(X ∈ I,Y ∈ J).

Proposition ALEA.14.3 | La loi ne dit rien sur l’égalitéSoient Z,Z′ deux couples aléatoires.1 — Z = Z′ ⟹ PZ = PZ′ .2 — La réciproque est fausse : si PZ = PZ′ alors Z n’est pas forcément égale àZ′.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — est faux. On lance une pièce équilibrée. On note X la variable aléatoireégale à 1 si on obtient pile, égale à 0 si on obtient face. On note Y la variablealéatoire égale à 1 si on obtient face, égale à 0 si on obtient pile. Alors (X,Y)et (Y,X) ont même loi et pourtant (X,Y) ≠ (Y,X) en tant qu’applications.

2. COUPLES ALÉATOIRES DISCRETS

Dans la suite nous ne considèrerons plus que des couples aléatoires discrets dutype Z = (X,Y). On rappelle que cela signifie que X(Ω),Y(Ω) sont des ensemblesau plus dénombrables. Du fait de la présence de plusieurs variables aléatoires, denouvelles notions de loi apparaissent, en plus de la notion classique (l’anciennenotion a son analogue pour les couples : ce sera dans la suite la « loi conjointe»).

CadreCOGS

On se fixe donc dans la suite (X,Y) un couple aléatoire discret.

2.1. Système complet associé



Définition/Proposition ALEA.14.2 | Système d’évènements associé à uncouple aléatoire discret

Si Z = (X,Y) est un couple aléatoire discret, alors {X = 𝑥,Y = 𝑦}(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω)est un système complet d’évènements. En particulier, il est quasi-complet :

Caret-right ∑(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω)

P(X = 𝑥,Y = 𝑦) = 1,

Caret-right {(X,Y) = (𝑥,𝑦), (X,Y) = (𝑥′,𝑦′)} = ∅, ∀(𝑥,𝑦) ≠ (𝑥′,𝑦′).On l’appelle le système complet associé à (X,Y).

Notation (Série indexée par le produit des supports)Σ

Que signifie ∑(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω)

P(X = 𝑥,Y = 𝑦)? Puisqu’une probabilité est posi-

tive,1 — pour tout 𝑥 ∈ X(Ω), (∑P(X = 𝑥,Y = 𝑦))𝑦∈Y(Ω) converge absolument.En effet,PEN-FANCY

2 — De-même (∑ ∑𝑥∈X(Ω)

P(X = 𝑥,Y = 𝑦))𝑦∈Y(Ω)

converge absolument.

On définit donc ∑(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω)

P(X = 𝑥,Y = 𝑦) comme étant :

∑(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω)

P(X = 𝑥,Y = 𝑦) =(défi.)

∑𝑥∈X(Ω)

∑𝑦∈Y(Ω)

P(X = 𝑥,Y = 𝑦)

=(défi.)

∑𝑦∈X(Ω)

∑𝑥∈Y(Ω)

P(X = 𝑥,Y = 𝑦).

Les égalités précédentes sont vraies d’après le Théorème ANA.9.20 (de FUBI-NI) vu dans le Chapitre ANA.9, qui requiert de la convergence absolue.a

aOn rappelle aussi que dans le Chapitre ALEA.13 nous avons défini les notations∑𝑥∈X(Ω)(...),∑𝑦∈Y(Ω)(...). Là encore, la convergence absolue jouait un rôle clef pour garantirque la valeur de la somme ne dépend pas de l’ordre de sommation, et donc de l’énumération

Preuve

PEN-FANCY

2.2. Loi marginale, conjointe, conditionnelle

Rappelons que nous avons défini la loi de (X,Y) comme l’application qui à touttout pavé réel I× J associe

PX(I× J) = P(X ∈ I,Y ∈ J).

Comment simplifier cette définition dans le cas de couples aléatoires discrets?C’est la même démarche que pour les variables aléatoires discrètes.

{X ∈ I,Y ∈ J} = {(X,Y) ∈ I× J, (X,Y) ∈ (X,Y)(Ω)} donc,

P (X ∈ I,Y ∈ J) = P ((X,Y) ∈ I× J, (X,Y) ∈ (X,Y)(Ω)) .Or,

{(X,Y) ∈ I× J, (X,Y) ∈ (X,Y)(Ω)} = ⨄(𝑥,𝑦)∈(X,Y)(Ω)

𝑥∈I,𝑦∈J

{X = 𝑥,Y = 𝑦} ,

des éléments de X(Ω) et Y(Ω).



⟹ P ((X,Y) ∈ I× J, (X,Y) ∈ (X,Y)(Ω)) = ∑(𝑥,𝑦)∈(X,Y)(Ω)

𝑥∈I,𝑦∈J

P (X = 𝑥,Y = 𝑦) .

Ainsi, pour obtenir la loi, il suffit de connaître :

Caret-right d’une part l’univers-image (X,Y)(Ω),Caret-right et d’autre part tous les P(X = 𝑥,Y = 𝑦) pour tout (𝑥,𝑦) ∈ (X,Y)(Ω).

Ce constat nous mène tout droit à la définition suivante.

Définition ALEA.14.4 | Loi conjointe. Lois marginales.Soit (X,Y) un couple aléatoire discrèt.

Caret-right (Loi conjointe) On appelle loi conjointe du couple aléatoire discret(X,Y) — par abus de langage — ou fonction de masse la fonction encorenotée P(X,Y) et définie par :

P(X,Y) ∶ (𝑥,𝑦) ∈ (X,Y)(Ω) ⟼ P (X = 𝑥,Y = 𝑦) .

Caret-right (Déterminer la loi conjointe) Déterminer la loi conjointe d’un couplealéatoire discret c’est calculer (X,Y)(Ω) et P (X = 𝑥,Y = 𝑦) pour tout 𝑥 ∈X(Ω),𝑦 ∈ Y(Ω).

Caret-right La loi PX ∶ 𝑥 ∈ X(Ω) ⟼ P(X = 𝑥) de X est appelée première loi marginale.Caret-right La loi PY ∶ 𝑦 ∈ Y(Ω) ⟼ P(Y = 𝑦) de Y est appelée seconde loi marginale.

NotationΣLorsque (X,Y), (X′,Y′) ont même loi, on note (X,Y) ∼ (X′,Y′).

Remarque 2.1— (X,Y) ∼ (X′,Y′) signifie que les fonctions P(X,Y) ∶ (𝑥,𝑦) ∈(X,Y)(Ω) ⟼ P (X = 𝑥,Y = 𝑦) et P(X′,Y′) ∶ (𝑥,𝑦) ∈ (X′,Y′)(Ω) ⟼ P (X′ = 𝑥,Y′ = 𝑦) sontégales.

Méthode (Répondre à la question «déterminer la loi conjointe du vecteur

aléatoire X,Y»)WRENCH

1 — Commencerpar déterminer son support (X,Y)(Ω) s’il n’est pasdéjà don-né.2 — Calculer les P(X = 𝑥,Y = 𝑦) pour tout (𝑥,𝑦) ∈ X(Ω)×Y(Ω). Si X(Ω),Y(Ω)sont finis, il n’y a donc qu’un nombre fini de probabilités à déterminer, onpeut les présenter sous forme d’un tableau comme ceci :

Y = ℓ / X = 𝑘 𝑘1 𝑘2 ⋯

ℓ1 P(Y = ℓ1,X = 𝑘1) P(Y = ℓ1,X = 𝑘2) ⋯

⋮ ⋮

Exemple 6— On lance deux dés. On note X1,X2 les valeurs obtenues et on poseX =min(X1,X2), Y =max(X1,X2). Déterminer la loi conjointe de (X,Y).

PEN-FANCY



Nous avons défini la notion de loi conditionnelle d’une variable aléatoire discrèteX sachant un évènement non négligeable A comme l’application

𝑥 ∈ X(Ω) ⟼ P(X = 𝑥|A) .

Nous pouvons en particulier regarder la loi conditionnelle de X sachant l’évène-ment {Y = 𝑦} pour 𝑦 ∈ Y(Ω) (ou l’inverse) si (X,Y) un couple aléatoire discret.

Définition ALEA.14.5 | Loi conditionnelle1 — Soit 𝑦 ∈ Y(Ω) tel que P (Y = 𝑦) ≠ 0. Alors on appelle loi conditionnelle deX sachant {Y = 𝑦} l’application

P(. ∣ Y = 𝑦)||||||

X(Ω) ⟶ [0,1],

𝑥 ⟼ P(X = 𝑥||Y = 𝑦) .

2 — Soit 𝑥 ∈ X(Ω) tel que P (X = 𝑥) ≠ 0. Alors on appelle loi conditionnelle deY sachant {X = 𝑥} l’application

P(. ∣ X = 𝑥)||||||

Y(Ω) ⟶ [0,1],

𝑦 ⟼ P(Y = 𝑦||X = 𝑥) .

Exemple 7— Onconsidèreuneurne avecquatreboulesnumérotéesde 1 à4 et lestirages de deux boules successifs avec remise. On noteX1 le numéro de la boule au1er tirage etX2 le numérode laboule au2ème tirage.Onpose enfinY =max(X1,X2)et Z = (X1,Y). Quelle est la loi conjointe de Z? On présentera la loi sous forme d’untableau àdeux entrées. PEN-FANCY OnaY(Ω) = J1, 4K, donc commeZ = (X1,max(X1,X2)),on a

Z(Ω) = {(𝑖, 𝑗), 𝑖 ∈ J1 , 4K, 𝑖 ⩽ 𝑗 ⩽ 4} .

Donc, soit (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 4K, 𝑖 ⩽ 𝑗 ⩽ 4, nous avons :

P (Z = (𝑖, 𝑗)) = P (X1 = 𝑖,X2 = 𝑗) =116

.

Exemple 8— Traduction de l’évènement {X = Y} Soient X,Y deux variables aléa-toires discrètes indépendantes de loi 𝒢(𝑝) avec 𝑝 ∈]0,1]. Exprimer P (X = Y)1 àl’aide de la loi conjointe de (X,Y), puis calculer la somme.

PEN-FANCY

Remarque 2.2— Les calculs précédents se généralisent à des évènements de

1Au passage, les calculs faits ici prouvent que {X = Y} est un évènement : on l’a écrit comme uneréunion dénombrable d’évènements.



même nature plus complexes ; par exemple, {X = Y = Z} si X,Y,Z sont trois va-riables aléatoires indépendantes discrètes.

Méthode (Déterminer des probabilités d’évènements du type {X = Y}, …,

{X1 = ⋯ = X𝑛})WRENCH

Par exemple, si X,Y sont deux variables aléatoires discrètes, on souhaite cal-culer P (X = Y).1 — Introduire le système complet associé à X (ou Y) dans l’évènement{X = Y} :

{X = Y} = ⋃𝑘∈X(Ω)

{X = 𝑘,Y = 𝑘}.

2 — On passe ensuite aux probabilités :

P (X = Y) = ∑𝑘∈X(Ω)

P (X = 𝑘,Y = 𝑘) .

En cas d’indépendance, on écrit alors

P (X = Y) = ∑𝑘∈X(Ω)

P (X = 𝑘)P (Y = 𝑘) .

Les formules des probabilités totales et celle de BAYES permettent de faire le lienentre ces différentes notions de lois, voyons comment.

Proposition ALEA.14.4 | Loi conjointe ⟹ Loi marginaleLes lois marginales de (X,Y) sont données, en fonction de la loi conjointe, parles formules suivantes :

∀𝑥 ∈ X(Ω), PX(𝑥) = P(X = 𝑥) = ∑𝑦∈Y(Ω)

P(X = 𝑥,Y = 𝑦),

∀𝑦 ∈ Y(Ω), PY(𝑦) = P(Y = 𝑦) = ∑𝑥∈X(Ω)

P(X = 𝑥,Y = 𝑦).

Attention×

La réciproque est fausse. En effet, siX et Y sont telles queX(Ω) = Y(Ω) = {0,1},on peut définir deux lois de couple différentesa par :

∀(𝑥,𝑦) ∈ {0,1}2, P(X = 𝑥,Y = 𝑦) =14,

et

∀(𝑥,𝑦) ∈ {0,1}2, P(X = 𝑥,Y = 𝑦) =⎧⎨⎩

12 si (𝑥,𝑦) = (0,0) ou (1,1),

0 sinon.

On constate que X,Y ↪ 𝒰{0,1}.

PEN-FANCY

Remarque 2.3— Si la loi conjointe est donnée sous formed’un tableau, la formulese comprend de la manière suivante : pour calculer une loi marginale, il suffit desommer les probabilités sur les lignes ou les colonnes du tableau.

Preuve (Point clef — Formule des probabilités totales)

PEN-FANCY

aleur existence est garantie par le Théorème ALEA.14.1 puisque 14 +

14 +

14 +

14 = 1 et 1

2 +12 = 1



Exemple 9— Cas fini Soit (X,Y) un couple aléatoire discret dont la loi marginaleest donnée par le tableau ci-après :

X/Y 1 2 3 4

1 116

116

116

116

2 0 18

116

116

3 0 0 316

116

4 0 0 0 14

Déterminer la les lois marginales de (X,Y).

PEN-FANCY

Exemple 10— Cas «semi-»dénombrable Soit 𝑝 ∈]0,1[. Soient X et Y deux va-riables aléatoires à valeurs dans N telles que :

∀(𝑥,𝑦) ∈N2, P(X = 𝑥∩Y = 𝑦) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

e−𝑝 −𝑝+𝑝e−𝑝 si (𝑥,𝑦) = (0,0),

𝑝−𝑝e−𝑝 si (𝑥,𝑦) = (0,1),

𝑝e−𝑝 si (𝑥,𝑦) = (1,1),𝑝𝑛

𝑛! e−𝑝 si (𝑥,𝑦) = (𝑛,0), et 𝑛 ≥ 2,

0 sinon.

Déterminer les lois marginales de (X,Y), on montrera que X ↪ 𝒫(𝑝) et que Y ↪ℬ(𝑝).

PEN-FANCY



Proposition ALEA.14.5 | Lien loi conditionnelle / marginale / conjointeSoit (X,Y) un couple aléatoire discret. Alors pour tout (𝑥,𝑦) ∈ X(Ω)×Y(Ω) :

P(X = 𝑥,Y = 𝑦) = P(X = 𝑥||Y = 𝑦)P (Y = 𝑦) = P(Y = 𝑦||X = 𝑥)P (X = 𝑥) ,

et pour tout (𝑥,𝑦) ∈ X(Ω)×Y(Ω) :

P (X = 𝑥) = ∑𝑦∈Y(Ω)

P(X = 𝑥||Y = 𝑦)P (Y = 𝑦) ,

P (Y = 𝑦) = ∑𝑥∈X(Ω)

P(Y = 𝑥|X = 𝑥)P (X = 𝑥) .

Remarque 2.4— Rappel d’une convention On rappelle la convention ci-aprèsdéjà précisée dans le Chapitre ALEA.12 : pour (𝑥,𝑦) ∈ X(Ω)×Y(Ω),

P(X = 𝑥||Y = 𝑦)P (Y = 𝑦) = 0, si P (Y = 𝑦) = 0.

Preuve (Point clef— Formule des probabilités totales,définition d’uneprobabilité conditionnelle)

PEN-FANCY

Exemple 11— Dans une succession de piles ou faces pour laquelle la probabilitéd’obtenir pile est 𝑝 ∈]0,1[ et d’obtenir face est 𝑞 = 1−𝑝, on note X le rang d’appa-rition du premier pile et Y celui du second.Déterminer la loi conjointe de (X,Y) puis vérifier que le système quasi-completd’évènements associé à (X,Y) en est bien un. PEN-FANCY On a

(X,Y)(Ω) = {(𝑘,ℓ) ∈N⋆ ×N⋆, ℓ > 𝑘} .

Nous avons clairementX ↪ 𝒢(𝑝) et par ailleurs, la loi conditionnelle de Y sachant{X = 𝑘} pour 𝑘 ∈N⋆ est donnée par l’expression suivante, puisque les lancers sontindépendants :

∀ℓ ∈ J𝑘+1 , ∞K, P(Y = ℓ||X = 𝑘) = 𝑝𝑞ℓ−𝑘−1.

On obtient alors pour tout couple (𝑘,ℓ) ∈ (N⋆)2 tel que ℓ > 𝑘 :

P (Y = ℓ,X = 𝑘) = P(Y = ℓ||X = 𝑘)P (X = 𝑘) = 𝑝𝑞ℓ−𝑘−1 ×𝑝𝑞𝑘−1 = 𝑝2𝑞ℓ−2.



On vérifie ensuite que la somme des ces probabilités vaut bien un :

∞∑𝑘=1

∞∑

ℓ=𝑘+1P (Y = ℓ,X = 𝑘) =

∞∑𝑘=1

∞∑

ℓ=𝑘+1𝑝2𝑞ℓ−2 = (

𝑝𝑞

)2 ∞

∑𝑘=1

𝑞𝑘+1

1−𝑞=

𝑝𝑞2𝑞

2 11−𝑞

= 1 .

Exemple 12— Conditionnement POISSON / binomiale Soient 𝑛 ∈ N⋆, 𝑝 ∈]0,1[,X une variable aléatoire telle que X ↪ 𝒫(λ), et Y une variable aléatoire telle que laloi conditionnelle sachant {X = 𝑛} est une loi ℬ(𝑛,𝑝). Déterminer la loi de Y.

PEN-FANCY Propriétés des couples aléatoires discrets. Précisons, en plus de celles mention-nées dans la Proposition ALEA.14.2, quelles sont les propriétés vérifiées par lescouples aléatoires discrets.

Proposition ALEA.14.6 | Structure d’espace vectoriel, opérations sur lesvariables aléatoires réelles discrètes

1 — L’ensemble des couples aléatoires discrets, muni de l’addition et de lamultiplication de réels, est un R-espace vectoriel, i.e. si Z et Z′ sont deuxcouples aléatoires discrets, (λ,μ) ∈R2, alors :

λZ+μZ′

est un couple aléatoire discret.2 — (Produit scalaire) Si Z = (X,Y),Z′ = (X′,Y′) sont deux couples discrets,alors :

⟨(X,Y)||(X′,Y′)⟩ = XX′ +YY′

est une variable aléatoire discrète.3 — (Image d’un couple aléatoire par une application) Si (X,Y) est uncouple aléatoire discret et 𝑓 ∶ (X,Y)(Ω) ⟶R, alors

𝑓(X,Y)||||||

Ω ⟶ R

ω ⟼ 𝑓(X(ω),Y(ω))est une variable aléatoire réelle discrète.



Son univers-image est

𝑓(X,Y)(Ω) = 𝑓((X,Y)(Ω))

et sa loi est donnée par :

∀𝑧 ∈ 𝑓(X,Y)(Ω), P (𝑓(X,Y) = 𝑧) = ∑(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω)

𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)

P (X = 𝑥,Y = 𝑦) . [H.P]

Remarque 2.5— On utilise donc la loi conjointe de (X,Y) pour déterminer cellede 𝑓(X,Y).

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — Même preuve qu’en 1.

3 — PEN-FANCY

Existence d’un couple aléatoire discret de loi conjointe fixée. On généralise sansdifficulté le théorèmed’existence de variable aléatoire discrète de loi fixée, vu dansle Chapitre ALEA.13.

Théorème ALEA.14.1 | Existence d’un espace probabilisé associé à unesuite double de somme un

Soit X = {(𝑥𝑖,𝑦𝑗), 𝑖, 𝑗 ∈N} (resp. {(𝑥𝑖,𝑦𝑗), 𝑖 ∈ J0 , N1K, 𝑗 ∈ J0 , N2K} avec

N1,N2 ∈ N ) une partie au plus dénombrable de R2, et (𝑝𝑖,𝑗)(𝑖,𝑗)∈N2 (resp.

(𝑝𝑖,𝑗)(𝑖,𝑗)∈J1 ,N1K×J1 ,N2K) une famille de réels telle que :

∑𝑖,𝑗∈N

𝑝𝑖,𝑗 = 1 (resp. ∑0⩽𝑖⩽N10⩽𝑗⩽N2

𝑝𝑖,𝑗 = 1) et 𝑝𝑖,𝑗 ⩾ 0.

Alors il existe un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) et un couple aléatoire discret(X,Y) tel que :

Caret-right (X,Y)(Ω) = X.Caret-right Pour tout (𝑖, 𝑗), P(X = 𝑥𝑖,Y = 𝑦𝑗) = 𝑝𝑖,𝑗.

La preuve est identique au cas des variables aléatoires.

PreuveCaret-right On cherche un exemple, rien qu’un, d’espace probabilisé (Ω,𝒯,P) et

de couple aléatoire qui répondent au problème posé. Posons alors :

(Ω,𝒯) = (X,𝒫(X)) ,(X,Y) = IdΩ×Ω = IdX×X,

puis enfin pour P l’unique probabilité telle que : P ({(𝑥𝑖,𝑦𝑗)}) = 𝑝𝑖,𝑗pour tout 𝑖, 𝑗 ∈ N (ou J1 , N1K× J1 , N2K) — i.e. celle définie dans la Sec-tion 2.5 du Chapitre ALEA.12. On vérifie sans difficulté que ce choixconvient.

Exemple 13— Soit 𝑎 ∈ R. Déterminer 𝑎 pour qu’il existe un couple aléatoire dis-

cret (X,Y) tel que P (X = 𝑖,Y = 𝑗) = 𝑎2𝑖+𝑗 pour tout (𝑖, 𝑗) ∈ (N⋆)2. PEN-FANCY

— Soit 𝑖 ∈ N⋆, alors étudions la convergence de (∑1

2𝑖+𝑗)𝑗⩾1

. Puisque |1/2| < 1,



nous avons∞∑𝑗=1

12𝑖+𝑗

=12𝑖

∞∑𝑗=1

12𝑗

=12𝑖

12

11−1/2

=12𝑖

.

— De-même ∑∞𝑖=1

12𝑖 = 1

21

1− 12= 1.

Les hypothèses du théorème de FUBINI sont donc vérifiées, et nous avons

∞∑𝑖=1

∞∑𝑗=1

12𝑖+𝑗

= 1.

Donc l’unique valeur de 𝑎 telle que∞∑𝑖=1

∞∑𝑗=1

P (X = 𝑖,Y = 𝑗) = 1

est 𝑎 = 1 . De plus, pour tout (𝑖, 𝑗) ∈ (N⋆)2,

𝑎2𝑖+𝑗

⩾ 0

d’où l’existence d’un couple aléatoire (X,Y) de loi conjointe donnée précédem-ment.

2.3. Sommes de variables aléatoires réelles discrètes indépendantes

Proposition ALEA.14.7 | Produit de convolution de deux lois discrètesSoit (X,Y) un couple aléatoire discret. Alors X + Y est une variable aléatoireréelle discrète et pour tout 𝑘 ∈ (X+Y)(Ω), on a :

P (X+Y = 𝑘) = ∑ℓ∈X(Ω)

P(X = ℓ,Y = 𝑘−ℓ).

En particulier, si X et Y sont à valeurs dans N et indépendantes, alors : pour

tout 𝑘 ∈ (X+Y)(Ω), on a :

P (X+Y = 𝑘) =𝑘∑ℓ=0

P(X = ℓ)P(Y = 𝑘−ℓ).

Remarque 2.6 — Cette formule est analogue à la formule de convolution de deuxdensités.

Méthode (Déterminer la somme de deux variables aléatoires indépen-

dantes)WRENCH

1 — Introduire le système complet associé à X où Y dans l’évènement{X+Y = 𝑘} pour tout 𝑘 ∈ (X+Y)(Ω).2 — Utiliser la formule des probabilités totales.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 14— Soient X,Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une



loi 𝒢(𝑝), avec 𝑝 ∈]0,1[.

1 — Déterminer la loi de X+Y. Étudier l’existence d’une espérance, la calculer lecas échéant.PEN-FANCY

2 — Pour 𝑛 ⩾ 2 fixé, déterminer la loi conditionnelle de X sachant {X+Y = 𝑛}.PEN-FANCY

On peut enfin démontrer certains résultats du Chapitre ALEA.13 qui ont été ad-mis.

Théorème ALEA.14.2 | Stabilité des lois binomiale / PoissonSoientX1,…,X𝑑 des variables aléatoires réelles indépendantes,𝑑 ∈N⋆. Alors :1 — si X1,…,X𝑑 sont 𝑑 variables aléatoires réelles mutuellement indépen-dantes de lois ℬ(𝑛1,𝑝),…,ℬ(𝑛𝑑,𝑝), alors

X1 +…+X𝑑 ↪ ℬ(𝑛1 +⋯+𝑛𝑑,𝑝).

2 — Si X1,…,X𝑑 sont 𝑑 variables aléatoires réelles mutuellement indépen-dantes de loi 𝒫(λ1),…,𝒫(λ𝑑), avec λ1,…,λ𝑑 ∈R+ alors :

X1 +…+X𝑑 ↪ 𝒫(λ1 +⋯+λ𝑑).

Attention×

Pour la loi binomiale, on ne peut en général pas sommer par rapport au pa-ramètre 𝑝, et même en cas d’indépendance.

Preuve Faisons les preuves pour 𝑑 = 2, le résultat général s’en déduitalors par récurrence évident sur 𝑑.1 — Rappelons la formule deVANDERMONDE vue dans le TD de dénombre-ment : pour tout 𝑘 ∈ Z tel que 𝑘 ⩽ 𝑛1,𝑛2, nous avons

(𝑛1 +𝑛2

𝑘) =

𝑘∑ℓ=0

(𝑛1

ℓ)(

𝑛2

𝑘−ℓ).

PEN-FANCY



2 — PEN-FANCY

Exemple 15— Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant deslois de POISSON de paramètres λ et μ.

1 — Donner la loi de X+Y. Étudier l’existence d’une espérance, la calculer le caséchéant.PEN-FANCY

2 — Pour 𝑛 ⩾ 0 fixé, déterminer la loi conditionnelle de X sachant {X+Y = 𝑛}.PEN-FANCY

2.4. Espérance, Covariance

2.4.1. Espérance & Transfert

Définition ALEA.14.6 | Espérance d’un couple aléatoire discretSoit Z = (X,Y) un couple aléatoire discret.1 — (Admettre une espérance) On dit que Z = (X,Y) admet une espérancesi X et Y admettent une espérance.2 — Si X,Y admettent une espérance, alors on appelle espérance de (X,Y) levecteur

E (Z) = (E (X) ,E (Y)) ∈R2.

Remarque 2.7— L’espérance d’un vecteur aléatoire est donc aussi un vecteur :c’est le couple formé par les espérances.

Formule de transfert pour les couples aléatoires discrets. L’objectif est ici d’obte-nir une formule pour calculer des espérances de fonctions de variables aléatoires𝑓(X,Y) sans avoir à trouver la loi. Nous allons voir également que la formule detransfert pour les couples aléatoires va nous permettre de démontrer certaines



propriétés sur les variables aléatoires réelles discrètes. Notamment, en l’appli-quant à 𝑓(𝑥,𝑦) = λ𝑥+μ𝑥 pour (𝑥,𝑦,λ,μ) ∈R2, nous pourrons montrer la linéaritéde l’espérance.

Théorème ALEA.14.3 | Transfert pour les couples aléatoires discretsSoit (X,Y) un couple aléatoire discret et𝑔 ∶ (X,Y)(Ω) →R. Alors𝑔(X,Y)possèdeune espérance si et seulement si

(∑𝑔(𝑥,𝑦)P(X = 𝑥,Y = 𝑦))(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω)

converge absolument. Dans ce cas, nous avons :

E(𝑔(X,Y)) = ∑𝑥∈X(Ω)

∑𝑦∈Y(Ω)

𝑔(𝑥,𝑦)×P(X = 𝑥,Y = 𝑦)

= ∑𝑦∈Y(Ω)

∑𝑥∈X(Ω)

𝑔(𝑥,𝑦)×P(X = 𝑥,Y = 𝑦).

Preuve La permutation des sommes est justifiée par la convergence ab-solue et le Théorème ANA.9.20. Nous admettons le reste.

Corollaire ALEA.14.1 | Linéarité de l’espéranceSoient X,Y deux variables aléatoires discrètes admettant une espérance, etλ,μ ∈R. Alors λX+μY admet une espérance et :


Preuve

PEN-FANCY

Exemple 16— Cas fini On considère une urne contenant 𝑛 boules numérotéesde 1 à 𝑛. On tire successivement deux boules avec remise. On note X le numéro dela 1ère boule, Y le numéro de la 2ème. Soit Z =max(X,Y). Quelle est l’espérance deZ? PEN-FANCY

E(Z) = ∑1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛

max(𝑖, 𝑗)P ((X = 𝑥𝑖)∩ (Y = 𝑦𝑗)) =1𝑛2

𝑛∑𝑖=1

𝑛∑𝑗=1

max(𝑖, 𝑗)

=1𝑛2

𝑛−1∑𝑖=1

[𝑖∑𝑗=1

max(𝑖, 𝑗)+𝑛∑

𝑗=𝑖+1max(𝑖, 𝑗)]+

1𝑛2𝑛

2

=1𝑛2 (

𝑛−1∑𝑖=1

[𝑖∑𝑗=1

𝑖 +𝑛∑

𝑗=𝑖+1𝑗]+𝑛2)

=1𝑛2

𝑛∑𝑖=1[

𝑖2 +𝑛(𝑛+1)

2−

𝑖(𝑖+1)2 ]

=1

2𝑛2

𝑛∑𝑖=1

[𝑛(𝑛+1)+𝑖2 −𝑖]

=1

2𝑛2 (𝑛2(𝑛+1)+𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6−

𝑛(𝑛+1)2

)

=(𝑛+1)(4𝑛−1)

6𝑛.

on sort de leterme 𝑖 = 𝑛 +CHASLES

𝑛2 est le terme 𝑖 = 𝑛 de la somme

Exemple 17— Cas «semi-»dénombrable Soient X,Y deux variables aléatoiresindépendantes telles que X ↪ 𝒢(𝑝), avec 𝑝 ∈]0,1[ et Y ↪ ℬ(𝑝). Déterminer siZ =min(X,Y+1) admet une espérance, là calculer le cas échéant. PEN-FANCY

Il s’agit de calculer E (𝑔(X,Y)) si 𝑔 ∶ (𝑥,𝑦) ∈ R2 ⟼ min(𝑥,𝑦). Étudions donc la



convergence absolue de

(∑min(𝑘,ℓ+1)P (X = 𝑘,Y = ℓ))𝑘⩾1,ℓ∈{0,1} .

Soit ℓ ∈ {0,1}. Il s’agit donc d’étudier la convergence absolue de la série en 𝑘, pources deux valeurs de ℓ.

— Supposons que ℓ = 0. Soit 𝑘 ⩾ 1. Alors par indépendance

min(𝑘,ℓ+1)P (X = 𝑘,Y = ℓ) = 𝑞min(𝑘,1)P (X = 𝑘) = 𝑞P (X = 𝑘)

car𝑘 ⩾ 1. Comme∑∞𝑘=1P (X = 𝑘) = 1, nous déduisons la convergence souhaitée.

— Supposons que ℓ = 1. Alors par indépendance

min(𝑘,ℓ+1)P (X = 𝑘,Y = ℓ) = 𝑝min(𝑘,2)(𝑝𝑞𝑘−1) = 𝑝2min(𝑘,2)𝑞𝑘−1.

Comme ||𝑞|| < 1, on a alors

∞∑𝑘=1

𝑝2min(𝑘,2)𝑞𝑘−1 = 𝑝2 +𝑝2∞∑𝑘=2

𝑘𝑞𝑘−1 = 𝑝2 +𝑝2 (1

(1−𝑞)2−1) = 1

car 1−𝑞 = 𝑝. Donc la convergence de la série double, et

E (Z) = E (min(X,Y+1)) = 𝑞+1 .

2.4.2. Covariance

La covariance de deux variables est un objet qui mesure intuitivement la dépen-dance d’une des deux variables par rapport à l’autre. Un cas limite étant celuide variables aléatoires indépendantes, qui correspondra à une covariance nulle.Voyons la définition.

Définition/Proposition ALEA.14.3 | CovarianceSoit (X,Y) un couple aléatoire discret, tel que X,Y admettent un un momentd’ordre deux. On appelle covariance de X et Y le réel noté Cov (X,Y) défini par :

Cov (X,Y) = E ([X−E (X)][Y−E (Y)]) .

Les variables aléatoires X et Y sont dites non corrélées si :

Cov (X,Y) = 0.

Preuve (de l’existence de la covariance) Soit (𝑥,𝑦) ∈ X(Ω) × Y(Ω). Onvérifie la convergence de la série double

(∑(𝑥−E (X))(𝑦−E (Y))P (X = 𝑥,Y = 𝑦))(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω) .

Or,||(𝑥−E (X))(𝑦−E (Y))||P (X = 𝑥,Y = 𝑦)

⩽12((𝑥−E (X))2)P (X = 𝑥,Y = 𝑦)+

12((𝑦−E (Y))2)P (X = 𝑥,Y = 𝑦) .

Caret-right Pour le premier terme, constatons que d’après la formule des probabi-lités totales, nous avons

∑𝑦∈Y(Ω)

((𝑥−E (X))2)P (X = 𝑥,Y = 𝑦) = ((𝑥−E (X))2)P (X = 𝑥) ,

puis comme X admet une variance,

∑𝑥∈X(Ω)

((𝑥−E (X))2)P (X = 𝑥) = Var (X) .

D’où la convergence de

(∑12((𝑥−E (X))2)P (X = 𝑥,Y = 𝑦))

(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω).

Caret-right La série

(∑12((𝑦−E (Y))2)P (X = 𝑥,Y = 𝑦))

(𝑥,𝑦)∈X(Ω)×Y(Ω).

converge aussi par symétrie des rôles entre 𝑥,𝑦.

Donc d’après le théorème de comparaison pour les séries, la série doubleinitiale converge.



Proposition ALEA.14.8 | Propriétés de la covarianceSoit (X,Y) un couple aléatoire discret, tel que X,Y admettent un un momentd’ordre deux.1 — (Lien covariance/variance) Cov (X,X) = Var (X).2 — (Formule de KÖNIG-HUYGENS) Cov (X,Y) = E (XY)−E (X)E (Y).3 — (Symétrie) Cov (X,Y) =Cov (Y,X).4 — (Constante) Cov (X,𝑐) =Cov (𝑐,X) pour toute constante 𝑐 ∈R.5 — (Covariance et somme) Les applications Cov (.,Y) ∶ Z ⟼ Cov (Z,Y) etCov (X, .) ∶ Z ⟼Cov (X,Z) sont des applications linéaires sur l’espace vectorieldes variables aléatoires admettant un moment d’ordre deux, i.e. si (λ,μ) ∈ R2

et X,Y,Z sont trois variables aléatoires admettant un moment d’ordre deux,alors

Cov (λX+μY,Z) = λCov (X,Z)+μCov (Y,Z) ,Cov (Z,λX+μY) = λCov (Z,X)+μCov (Z,Y) .

6 — (Variance d’une somme (cas 𝑛 = 2))

Var (X+Y) = Var (X)+Var (Y)+2Cov (X,Y) .

En particulier, si X et Y sont non corrélées, nous avons :

Var (X+Y) = Var (X)+Var (Y) .

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

3 — PEN-FANCY

4 — PEN-FANCY

5 — PEN-FANCY

6 — PEN-FANCY

Remarque 2.8— La propriété de bilinéarité doit être comprise comme une règlede développement classique sur les nombres réels. Ainsi, si je décide de noter « ·»l’opérateur de covariance, l’assertion2

Cov (Z,λX+μY) = λCov (Z,X)+μCov (Z,Y) devient simplementZ · (λX+μY) = λZ ·X+μZ ·Y.

Exemple 18— SoientX,Ydeux variables aléatoires admettant unmomentd’ordredeux. Développer Cov (X−Y,X+Y).

2Très simple à retenir donc.



PEN-FANCY

Méthode (Développement d’une variance de somme)WRENCH

Soit la quantité Var (X+Y) avec X,Y deux variables aléatoires discrètes ayantune variance.1 — Écrire la quantité en fonction de la covariance : Var (X+Y) =Cov (X+Y,X+Y).2 — Développer en utilisant la bilinéarité de la covariance.

Exemple 19— DévelopperVar (X+Y+Z) lorsque X,Y,Z sont trois variables aléa-toires discrètes ayant une variance.

PEN-FANCY

Proposition ALEA.14.9 | Variance d’une somme, cas généralSoient X1,…,X𝑛 une famille de 𝑛 variables aléatoires possédant un momentd’ordre deux. Alors :

Var(𝑛∑𝑖=1

X𝑖) =𝑛∑𝑖=1

Var (X𝑖)+2 ∑𝑖<𝑗

(𝑖,𝑗)∈J1 ,𝑛K2

Cov (X𝑖,X𝑗)

=𝑛∑𝑖=1

Var (X𝑖)+ ∑(𝑖,𝑗)∈J1 ,𝑛K2

Cov (X𝑖,X𝑗) . [H.P]

Enparticulier, si elles sontdeuxàdeuxnoncorrélées : Cov (X𝑖,X𝑗) = 0pourtout (𝑖, 𝑗) ∈ {1,…,𝑛}2 , 𝑖 ≠ 𝑗, alors :

Var (X1 +…+X𝑛) = Var (X1)+…+Var (X𝑛) .

Remarque 2.9— Lapremière formule n’est pas auprogramme, elle est cependanttrès classique. Il faut donc en connaître la démonstration mais pas l’énoncé parcoeur.

Preuve

PEN-FANCY



Coefficient de corrélation. Un nouvel objet peut être défini à l’aide de la cova-riance : il s’agit du coefficient de corrélation, qui est un outil de détection de rela-tions affines entre variables aléatoires.

Définition/Proposition ALEA.14.4 | Inégalité de CAUCHY-SCHWARZ/ Coeffi-cient de corrélation.

Soit (X,Y) un couple aléatoire discret, tel que X,Y admettent un un momentd’ordre deux. Alors :1 — (Inégalité de CAUCHY-SCHWARZ)

|Cov (X,Y)| ⩽ σX ⋅ σY.

Si X,Y sont d’écart-type non nul. On appelle coefficient de corrélation entre Xet Y la quantité

ρ(X,Y) =Cov (X,Y)

σX.σY∈ [−1,1].

2 — (Cas d’égalité) ρ(X,Y) = ±1 ⟺ ∃𝑎,𝑏 ∈R, P (Y = 𝑎X+𝑏) = 1.

Remarque 2.10— Interprétation du coefficient de corrélation Ainsi, pour sa-voir si une variable aléatoire dépend de manière affine de l’autre (avec probabilité1), il suffit de calculer leur coefficient de corrélation.

Caret-right s’il est proche de 1 ou −1, on envisage une relation affine entre les deux va-riables aléatoires.

Caret-right En revanche, plus il est proche de zéro, plus l’existence d’une telle relationdevient hautement improbable.

Preuve

1 — PEN-FANCY Soit P ∶ 𝑡 ∈ R ⟼ V(𝑡X+Y) = Cov (𝑡X+Y,𝑡X+Y), cette fonction

est bien définie puisque X,Y admettent une variance donc 𝑡X+Y aussi pourtout 𝑡. Alors, par bilinéarité de la covariance :

∀𝑡 ∈R, P(𝑡) = V(X)𝑡2 +2𝑡Cov (X,Y)+V(Y),

Comme Var (X) = σ2X ≠ 0 par hypothèse, P est une fonction polynomiale de

degré 2, positive (par définition et car la variance est positive), ainsi son dis-criminant est négatif, soit

4Cov (X,Y)2 −4V(X)V(Y) ≤ 0 ⟺Cov (X,Y)2 ≤ V(X)V(Y).

Il reste à composer par la fonction√., qui est bien croissante, de chaque côtéet de l’inégalité. Puisque σXσY > 0 par hypothèse, il reste ensuite à diviser dechaque côté par σXσY. On obtient bien

|ρ(X,Y)| ≤ 1.

2 — PEN-FANCY

Non-corrélation & Indépendance. Nous pouvons également écrire la covariancesous forme de série double à l’aide du théorème de transfert.

Proposition ALEA.14.10 | Covariance en somme doubleSoit (X,Y) un couple aléatoire discret, tel que X,Y admettent un un momentd’ordre deux, i.e.

(∑𝑥2P(X = 𝑥))𝑥∈X(Ω) , (∑𝑦2P(Y = 𝑦))𝑦∈Y(Ω) convergent.



Alors : Cov (X,Y) = ∑𝑥∈X(Ω)

∑𝑦∈Y(Ω)

(𝑥−E (X))(𝑦−E (Y))×P(X = 𝑥,Y = 𝑦)

= ∑𝑦∈Y(Ω)

∑𝑥∈X(Ω)

(𝑥−E (X))(𝑦−E (Y))×P(X = 𝑥,Y = 𝑦).

Preuve Nous avons déjàmontré queCov (X,Y) existe. Il suffit alors d’ap-pliquer le théorèmede transfert à la fonction𝑔 ∶ (𝑥,𝑦) ∈R2 ⟼ (𝑥−E (X))(𝑦−E (Y)). On obtient les sommes indiquées.

Proposition ALEA.14.11 | Espérance d’un produit de variables aléatoiresindépendantes

Si X1,⋯,X𝑛 une famille de 𝑛 variables aléatoires discrètes indépendantes ad-mettant une espérance. Alors :

E (X1 ×⋯×X𝑛) = E (X1)…E (X𝑛) .

Preuve Nousdémontrons le résultat pour𝑛 = 2 : il s’étendalors automa-tiquementpour𝑛quelconquepar récurrence, notamment carX1×⋯×X𝑛−1 ∣_∣ X𝑛.

PEN-FANCY

Corollaire ALEA.14.2 | Indépendantes ⟹ non-corréléesSoient X,Y deux variables aléatoires indépendantes, alors X,Y sont non-corrélées.

Preuve D’après la proposition précédente, E (XY) − E (X)E (Y) =Cov (X,Y) = 0, c’est justement dire que les variables aléatoires X,Y sont non-corrélées.

Attention×

La non corrélation n’implique pas l’indépendance.

Exemple 20— Contre exemple On considère la variable X à support fini sui-vante :

X = 𝑘 −2 −1 0 1 2

P(X = 𝑘) 1/6 1/4 1/6 1/4 1/6

Notons Y = X2. Que dire de Cov (X,Y)? Les variables X et X2 sont-elles indépen-dantes?

PEN-FANCY



3. EXERCICES

3.1. Révisions sur les calculs de sommes doubles

Exercice ALEA.14.1 Soit 𝑛 ∈N⋆. Calculer les sommes suivantes :

1 —𝑛∑𝑖=0

𝑛∑𝑗=1

(2𝑖+ 𝑗),

2 —𝑛−1∑𝑖=1

𝑛∑

𝑗=𝑖+12𝑖+𝑗,

3 —𝑛∑𝑖=1

𝑛∑𝑗=𝑖

𝑖𝑗,

4 — ∑1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛

||𝑖 − 𝑗||,

5 — ∑1⩽𝑖<𝑗⩽𝑛

(𝑖 + 𝑗).

Exercice ALEA.14.2 Étudier la convergence des séries doubles ci-après. Calculerleur somme le cas échéant.

1 — (∑𝑖𝑗2

3𝑖+𝑗)𝑖,𝑗⩾0

,

2 — (∑𝑖2 −1𝑖!𝑗!

)𝑖,𝑗⩾0

.

3.2. Généralités

[PS_VeD_35.tex]

Exercice ALEA.14.3 Coefficient de corrélation de combinaisons linéaires (Solu-tion : 28) Soient X et Y deux variables aléatoires réelles admettant une variancenon nulle, et 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 ∈R tels que 𝑎 ≠ 0,𝑐 ≠ 0. Montrer que :

ρ(𝑎X+𝑏,𝑐Y+𝑑) = sgn(𝑎𝑐)ρ(X,Y),

où sgn(𝑥) =⎧⎨⎩

1 si 𝑥 ⩾ 0,−1 si 𝑥 < 0.

3.3. Univers-image fini

[PS_VeD_2.tex]

Exercice ALEA.14.4 Soient X et Y deux variable aléatoire prenant leurs valeursdans {0,1,2}. On suppose que la loi du couple (X,Y) est donnée par le tableau :

Y⧵X 0 1 2

0 𝑝 𝑝2

𝑝4

1 2𝑝 𝑝 𝑝2

2 4𝑝 2𝑝 𝑝

1 — Déterminer une condition sur 𝑝 pour que ce tableau représente effective-ment la loi conjointe d’un couple aléatoire.2 — Déterminer alors les lois marginales de ce couple.3 — Calculer le coefficient de corrélation entre X et Y.4 — Les variables X et Y sont-elles indépendantes?

[PS_VeD_30.tex]

Exercice ALEA.14.5 Équivalence entre indépendance et non-corrélation pour lescouples de BERNOULLI (Solution : 28) Soient X et Y deux variables aléatoires de



BERNOULLI de paramètre 𝑝 ∈ [0,1].

1 — Montrer que |Cov (X,Y)| ⩽ 14 .

2 — Montrer que X,Y sont indépendantes, si et seulement si Cov (X,Y) = 0. Pro-priété également symptomatique des vecteurs aléatoires de lois normales, appelés«vecteurs gaussiens» : l’indépendance est équivalente à la non-corrélation deux àdeux.

[PS_VeD_24.tex]

Exercice ALEA.14.6 Un cas particulier de loi multinomiale – Extrait d’un pro-blème G2E Soient 𝑝1, 𝑝2 et 𝑝3 des réels strictement positifs. Pour tout 𝑛 ∈ N, onconsidère D𝑛 = {(𝑖, 𝑗) ∈N2 ∶ 𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛} et la fonction de deux variable 𝑓 définie surD𝑛 par

𝑓(𝑖, 𝑗) =𝑛!

𝑖!𝑗!(𝑛−𝑖− 𝑗)!𝑝𝑖1𝑝

𝑗2𝑝

𝑛−𝑖−𝑗3 .

1 — Déterminer une condition nécessaire et suffisante d’existence de (X,Y) de loiconjointe 𝑓.2 — Déterminer les lois marginales des variables aléatoires X et Y, ainsi que leurespérance et variance.

[PS_VeD_3.tex]

Exercice ALEA.14.7 Quand l’indépendance n’est pas loin (Solution : 29) Soit (X𝑖)une suite de variables de BERNOULLI de même paramètre 𝑝, indépendantes. SoitY𝑖 = X𝑖X𝑖+1.

1 — Quelle est la loi de Y𝑖 ?

2 — Soit S𝑛 =𝑛∑𝑖=1

Y𝑖.

2.1) Démontrer que :

Var (S𝑛) =𝑛∑𝑖=1

Var (Y𝑖)+2 ∑1⩽𝑖<𝑗⩽𝑛

Cov (Y𝑖,Y𝑗) .

2.2) Déterminer E (S𝑛) et Var (S𝑛).[PS_VeD_1.tex]

Exercice ALEA.14.8 (Solution : 29) Une urne contient des jetons numérotés de 1 à𝑘 (𝑘 ⩾ 2) en proportion 𝑝𝑗 (𝑝𝑗 ∈]0;1[, proportion de jetons 𝑗). On effectue 𝑛 tiragesavec remise.

1 — Déterminer la loi de N𝑖 définie comme le nombre de jetons numéros 𝑖 tirés.2 — 2.1) Pour 𝑖 ≠ 𝑗, déterminer la loi de N𝑖 +N𝑗, son espérance, sa variance.2.2) Calculer Cov (N𝑖,N𝑗).

[PS_VeD_12.tex]

Exercice ALEA.14.9 On fait deuxbiopsies a unpatient.Dans lapremiere𝑛 cellulessont etudiees et on designe par X le nombre de cellules malignes. Dans la seconde𝑚 cellules sont etudiees et onnoteY le nombrede cellulesmalignes. Laprobabilitequ’une cellule soit maligne est notee 𝑝.

1 — Par quelle loi peut-on modeliser les variables X et Y?2 — Que represente X+Y? Determiner la loi de X+Y.3 — Le laborantin a melange par inadvertance les deux eprouvettes. Quelle estalors la loi conditionnelle de X sachant {X+Y = 𝑘}?

[PS_VeD_9.tex]

Exercice ALEA.14.10 Une urne contient 3 jetons numérotés 1, 2 et 3, indiscer-nables au toucher. On effectue une suite de tirages d’un jeton de cette urne, enreplaçant à chaque fois le jeton obtenu avant le tirage suivant.

1 — OnnoteY le nombrede tiragenécessaires pour obtenir, pour la première fois,deux numéros différents. Déterminer la loi de Y et son espérance.2 — OnnoteZ le nombrede tiragenécessaires pour obtenir, pour le première fois,les trois numéros. Déterminer la loi du couple (Z,Y).



3 — Déterminer la loi de Z et son espérance.

3.4. Univers-image dénombrable

[PS_VeD_15.tex]

Exercice ALEA.14.11 (Solution : 29) SoientX et Y deux variables aléatoires à valeursdans N⋆ telles que :

P(X = 𝑖,Y = 𝑗) =𝑎

2𝑖+𝑗

avec (𝑖, 𝑗) ∈ (N⋆)2 et 𝑎 ∈R.

1 — Calculer 𝑎 pour que la famille (P(X = 𝑖,Y = 𝑗))𝑖,𝑗 soit bien une loi conjointed’un couple aléatoire.2 — Déterminer les lois marginales de X et Y.3 — Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes?

[PS_VeD_33.tex]

Exercice ALEA.14.12 (Solution : 30) Soient 𝑝 ∈]0,1[ et 𝑞 = 1−𝑝, ainsi que X et Ydeux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N telle que :

∀𝑘 ∈N, P (X = 𝑘) = P (Y = 𝑘) = 𝑝𝑞𝑘.

On définit alors U =max(X,Y) et V =min(X,Y).

1 — Donner la loi conjointe de (U,V), puis les marginales de U et V.2 — Les variables aléatoires U,V sont-elles indépendantes?3 — On introduit S = U+V. Déterminer sa loi. Possède-t-elle une espérance?

[PS_VeD_39.tex]

Exercice ALEA.14.13 On considère un concessionnaire de voitures. Soit X la va-riable aléatoire égale au nombre de voitures vendues par jour, on suppose que Xsuit une loi de POISSON de paramètre λ > 0. On considère qu’un acheteur de voi-ture fait un prêt pour se procurer sa voiture avec une probabilité 𝑝 ∈]0,1[. Soit Yla variable aléatoire égale au nombre d’acheteurs par jour de voitures qui font unprêt.

1 — Déterminer la loi conjointe de (X,Y).2 — Déterminer la loi de Y, puis donner E (Y) et Var (Y).3 — OnposeZ = X−Y. Quelle est la loi deZ? Les variables aléatoiresY,Z sont-ellesindépendantes? Calculer Cov (X,Y).

[PS_VeD_31.tex]

Exercice ALEA.14.14 (Solution : 31) Soient X1 et X2 deux variables aléatoires in-dépendantes qui suivent une loi géométrique de paramètre 𝑝, 𝑝 ∈]0,1[. On note𝑞 = 1−𝑝. On définit la variable aléatoire Δ par :

Δ = ||X1 −X2|| .

1 — Calculer la probabilité P (Δ = 0).2 — Soit 𝑛 un entier non nul.2.1) Montrer que, pour tout entier naturel non nul 𝑛, on a : P (X1 −X2 = 𝑛) =

𝑝𝑞𝑛

1+𝑞 .2.2) En déduire la loi de Δ.3 — Montrer que Δ admet une espérance et la calculer.4 — Montrer queE ((X1 −X2)2) = 2Var (X1). En déduire queΔ admet une varianceVar (Δ) et la calculer.

[PS_VeD_42.tex]

Exercice ALEA.14.15 CLOCKCLOCK Loi binomiale négative Une équipe de géologues tra-vaille en zone sismique et installe un sismomètre au sommet d’un volcan. Chaquejour, si ce sismomètre détecte une onde sismique, ce dernier envoie une alerte parsatellite à un campdebase situé aupied du volcan.OnnoteX1 la variable aléatoire



réelle correspondant aunombrede jours sans alerte avantunepremière alerte, parexemple si cette première alerte survient au troisième jour après l’installation dusismomètre alors X1 prend la valeur 2.

On admet que ce sismomètre envoie au plus une alerte par jour, et que la probabi-lité que survienne une alerte est constante et égale à𝑝, indépendante des résultatsobtenus les jours précédents.

1 — 1.1) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X1 noté X1(Ω), et pourtout 𝑘 ∈ X1(Ω), calculer P(X1 = 𝑘).

1.2) En déduire que 1+X1 suit la loi géométrique de paramètre𝑝 ce qu’on noteradorénavant X1 ↪ 𝒢⋆(𝑝).

2 — Cesismomètre étant extrêmement sensible, les géologuesdécidentdemenerdes analyses complémentaires à partir d’une seconde alerte. Aussi on note X2 lavariable aléatoire réelle correspondant au nombre de jours sans alerte avant cetteseconde alerte, depuis l’installation du sismomètre. Par exemple, si une premièrealerte survient au troisième jour après l’installation de ce sismomètre et une se-conde au septième jour alors X2 prend la valeur 52.1) Déterminer (X1,X2)(Ω).2.2) Soit 𝑗 ∈N2. Déterminer la loi conditionnelle de X2 sachant {X1 = 𝑗}.2.3) En déduire que :

∀𝑘 ∈N, P(X2 = 𝑘) = (𝑘+1)𝑞𝑘𝑝2.

3 — On généralise l’étude précédente et pour tout 𝑛 ∈ N∗, on note X𝑛 la variablealéatoire réelle correspondant au nombre de jours sans alerte avant une 𝑛-ièmealerte.3.1) Démontrer par récurrence sur 𝑘 ∈N que :

∀𝑘 ∈N, (𝑛+𝑘

𝑘) =

𝑘∑𝑗=0

(𝑛+𝑗 −1

𝑗).

3.2) Démontrer par récurrence sur 𝑛 ∈N∗ que :

∀𝑘 ∈N, P(X𝑛 = 𝑘) = (𝑛+𝑘−1

𝑘)𝑞𝑘𝑝𝑛.




Solution (exercice ALEA.14.3) (Énoncé : 24)Tout d’abord, précisons que l’on suppose𝑎 ≠ 0,𝑐 ≠ 0 pour que σ𝑎X+𝑏 ≠ 0 et σ𝑐X+𝑑 ≠ 0 : en effet,

σ2𝑎X+𝑏 = Var (𝑎X+𝑏) = 𝑎2Var (X) ≠ 0

dès que 𝑎 ≠ 0, de-même pour σ𝑐X+𝑑.

Avec les notations de l’énoncé, nous avons

ρ(𝑎X+𝑏,𝑐Y+𝑑) =Cov (𝑎X+𝑏,𝑐Y+𝑑)

√Var (𝑎X+𝑏)√Var (𝑐Y+𝑑),

or d’après les propriétés classiques sur la variance,

Var (𝑎X+𝑏) = 𝑎2Var (X) = 𝑎2σ2X, Var (𝑐Y+𝑑) = 𝑐2Var (Y) = 𝑐2σ2

Y.

Puis, par bilinéarité de la covariance :

Cov (𝑎X+𝑏,𝑐Y+𝑑) = 𝑎𝑐Cov (X,Y)+𝑎Cov (X,𝑑)+𝑐Cov (𝑏,Y)+Cov (𝑏,𝑑) .

Or la covriance d’une variable aléatoire avec n’importe quelle constante est nulle,donc on trouve finalement

Cov (𝑎X+𝑏,𝑐Y+𝑑) = 𝑎𝑐Cov (X,Y) .

Ainsi,

ρ(𝑎X+𝑏,𝑐Y+𝑑) =𝑎𝑐Cov (X,Y)|𝑎| |𝑐|σXσY

=𝑎𝑐|𝑎|𝑐

ρ(X,Y).

Or, 𝑎𝑐|𝑎|𝑐 = sgn(𝑎𝑐), on obtient alors la formule

ρ(𝑎X+𝑏,𝑐Y+𝑑) = sgn(𝑎𝑐)ρ(X,Y) .


1 — D’après le cours, Var (X) = 𝑝(1−𝑝) = Var (Y). Or,

||ρ(X,Y)|| =||||Cov (X,Y)𝑝(1−𝑝)

||||⩽ 1,

dès lors, nous obtenons

|Cov (X,Y)| ⩽ 𝑝(1−𝑝).

Or, par étude de la fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑥(1−𝑥) sur [0,1], nous déduisons que pourtout 𝑥 ∈ [0,1],

𝑥(1−𝑥) ⩽14.

Ainsi,

|Cov (X,Y)| ⩽14

.

2 — Montrons que X,Y sont indépendantes, si et seulement si Cov (X,Y) = 0.

⟹ Conséquence directe du cours : deux variables indépendantes sont non-corrélées.

⟸ Supposons que Cov (X,Y) = 0. D’après le théorème de transfert, applicablecar on travaille sur des univers-images finis, nous avons

Cov (X,Y) = E (XY)−E (X)E (Y) = 0+0+0+1×1P (X = 1,Y = 1)−𝑝2,

donc l’hypothèse donne

P (X = 1,Y = 1)−𝑝2 = 0 ⟺ P (X = 1,Y = 1) = P (X = 1)P (Y = 1) .

Maintenant, il faut magouiller avec les évènements pour obtenir le reste de la dé-finition d’indépendance.

P (X = 1,Y = 0)+P (X = 1,Y = 1) = P (X = 1) = 𝑝,

donc on obtient

P (X = 1,Y = 0) = 𝑝−𝑝2 = 𝑝(1−𝑝) = P (X = 1)P (Y = 0) ,



on obtient par le même procédé

P (X = 0,Y = 1) = 𝑝−𝑝2 = (1−𝑝)𝑝 = P (X = 0)P (Y = 1) ,

puis enfin

P (X = 0,Y = 0) = P (X = 0)−P (X = 0,Y = 1) = 1−𝑝−(1−𝑝)𝑝 = (1−𝑝)(1−𝑝) = P (X = 0)P (Y = 0) .


1 — On voit que le support de Y𝑖 est {0,1} pour tout 𝑖. De plus, P(Y𝑖 = 1) = P(X𝑖 =1)P(X𝑖+1 = 1) = 𝑝2 par indépendance. Ainsi, P(Y𝑖 = 0) = 1−𝑝2 et : Y𝑖 ↪ ℬ(𝑝2).

2 — L’espérance est linéaire, on en déduit immédiatement que : E (S𝑛) = 𝑛𝑝2 .En revanche, étant donné que les variables aléatoires Y𝑖 ne sont pas indépen-dantes, la variance se développe avec des termes de covariance :

Var (S𝑛) =𝑛∑𝑖=1

Var (Y𝑖)+2 ∑1⩽𝑖<𝑗⩽𝑛

Cov (Y𝑖,Y𝑗)

= 𝑛𝑝2(1−𝑝2)+2 ∑1⩽𝑖<𝑗⩽𝑛

Cov (Y𝑖,Y𝑗) .

Intéressons-nous aux termes de covariance. On remarque que dès que 𝑗 > 𝑖 + 1,alors les variables Y𝑖 = X𝑖X𝑖+1 et Y𝑗 = X𝑗X𝑗+1 sont indépendantes (elles n’ont aucunfacteur Xℓ commun, et on peut alors appliquer le lemme des coalitions).Ainsi,

∑1⩽𝑖<𝑗⩽𝑛

Cov (Y𝑖,Y𝑗) = ∑1⩽𝑖⩽𝑛

Cov (Y𝑖,Y𝑖+1) = ∑1⩽𝑖⩽𝑛

(E (Y𝑖Y𝑖+1)−𝑝2) .

Et E (Y𝑖Y𝑖+1) = 1 ×P(Y𝑖Y𝑖+1 = 1) = P(Y𝑖 = 1,Y𝑖+1 = 1) = P(X𝑖X𝑖+1 = 1,X𝑖+1X𝑖+2 =1) = P(X𝑖 = 1,X𝑖+1 = 1,X𝑖+2 = 1) = 𝑝3.D’où finalement : Var (S𝑛) = 𝑛𝑝2(1−𝑝2)+2(𝑛−1)𝑝3(1−𝑝).


1 — On répète 𝑛 fois de façon indépendante et identique la même expérience deBERNOULLI qui consiste à tirer un jeton dans l’urne. Le succès est de tirer un jetonnuméroté 𝑖 et sa probabilité est 𝑝𝑖. Comme N𝑖 compte le nombre de succès, on aN𝑖 ↪ ℬ(𝑛,𝑝𝑖) .2 — Il s’agit de traiter globalement la variable N𝑖 +N𝑗 :2.1) De nouveau comme dans la question précédente, on répète 𝑛 fois de façon

indépendante et identique la même expérience de BERNOULLI qui consisteà tirer un jeton dans l’urne. Mais cette fois, le succès est de tirer un jeton nu-méroté 𝑖 ou 𝑗 et sa probabilité est donc 𝑝𝑖+𝑝𝑗 (proportion de jetons portantle numéro 𝑖 ou 𝑗).Comme N𝑖+N𝑗 compte le nombre de succès, on a N𝑖 +N𝑗 ↪ ℬ(𝑛,𝑝𝑖 +𝑝𝑗)

D’où E (N𝑖 +N𝑗) = 𝑛(𝑝𝑖 +𝑝𝑗) et V(N𝑖 +N𝑗) = 𝑛(𝑝𝑖 +𝑝𝑗)(1− (𝑝𝑖 +𝑝𝑗)).

2.2) Or on sait aussi que Var (N𝑖 +N𝑗) = Var (N𝑖) +Var (N𝑗) + 2Cov (N𝑖,N𝑗). Onen déduit

Cov (N𝑖,N𝑗) =12[Var (N𝑖 +N𝑗)−Var (N𝑖)+Var (N𝑗)]

=12[𝑛(𝑝𝑖 +𝑝𝑗)(1−𝑝𝑖 −𝑝𝑗)−𝑛𝑝𝑖(1−𝑝𝑖)−𝑛𝑝𝑗(1−𝑝𝑗)]

=12[𝑛𝑝𝑖 +𝑛𝑝𝑗 −𝑛𝑝2

𝑖 −𝑛𝑝2𝑗 −2𝑛𝑝𝑖𝑝𝑗 −𝑛𝑝𝑖 +𝑛𝑝2

𝑖 −𝑛𝑝𝑗 +𝑛𝑝2𝑗 ]

=−𝑛𝑝𝑖𝑝𝑗

En conclusion : Cov (N𝑖,N𝑗) = −𝑛𝑝𝑖𝑝𝑗.


1 — — Soit 𝑖 ∈N⋆, alors étudions la convergence de (∑1

2𝑖+𝑗)𝑗⩾1

. Puisque |1/2| <

1, nous avons∞∑𝑗=1

12𝑖+𝑗

=12𝑖

∞∑𝑗=1

12𝑗

=12𝑖

12

11−1/2

=12𝑖

.

— De-même ∑∞𝑖=1

12𝑖 = 1

21

1− 12= 1.



Les hypothèses du théorème de FUBINI sont donc vérifiées, et nous avons∞∑𝑖=1

∞∑𝑗=1

12𝑖+𝑗

= 1.

Donc l’unique valeur de 𝑎 telle que∞∑𝑖=1

∞∑𝑗=1

P (X = 𝑖,Y = 𝑗) = 1

est 𝑎 = 1 . De plus, pour tout (𝑖, 𝑗) ∈ (N⋆)2,

𝑎2𝑖+𝑗

⩾ 0

d’où l’existence d’un couple aléatoire (X,Y) de loi conjointe donnée précédem-ment.2 — Nous avons clairement X(Ω) = Y(Ω) =N⋆ . De plus, pour tout 𝑖 ⩾ 1, nousavons d’après le cours :

P (X = 𝑖) =∞∑𝑗=1

P (X = 𝑖,Y = 𝑗) =12𝑖

∞∑𝑗=1

12𝑗

=12𝑖

=12

12𝑖−1

,

de-même, par symétrique des indices, on a

P (Y = 𝑗) =12𝑗

=12

12𝑗−1

.

On reconnaît ainsi des lois géométriques : X,Y ↪ 𝒢(1/2).3 — Les variables aléatoires X,Y sont indépendantes puisque pour tout (𝑖, 𝑗) ∈(N⋆)2,

P (X = 𝑖)P (Y = 𝑗) =12𝑖

12𝑗

=1

2𝑖+𝑗= P (X = 𝑖,Y = 𝑗)

donc X ∣_∣ Y.


1 — Nous avons (U,V)(Ω) = {(𝑘,ℓ) ∈N2, 𝑘 ⩾ ℓ} . Soit donc (𝑘,ℓ) ∈ (U,V)(Ω),alors

P (U = 𝑘,V = ℓ) = P ({X = 𝑘,Y = ℓ}∪{X = ℓ,Y = 𝑘}) .

Les deux évènements apparaissant dans la réunion sont disjoints uniquement si𝑘 ≠ ℓ.

Caret-right Donc si 𝑘 ≠ ℓ, nous avons P (U = 𝑘,V = ℓ) = P (X = 𝑘,Y = ℓ) +P (X = ℓ,Y = 𝑘) = 2(𝑝𝑞𝑘)(𝑝𝑞ℓ) = 2𝑝2𝑞𝑘+ℓ puisque X ∣_∣ Y et que X,Yont même loi.

Caret-right Si 𝑘 = ℓ, alors P (U = 𝑘,V = 𝑘) = P (X = 𝑘,Y = 𝑘) = (𝑝𝑞𝑘)2.Donc :

∀(𝑘,ℓ) ∈ (U,V)(Ω), P (U = 𝑘,V = ℓ) =⎧⎨⎩

2𝑝2𝑞𝑘+ℓ si 𝑘 ≠ ℓ,𝑝2𝑞2𝑘 si 𝑘 = ℓ.

Passons à présent aux lois marginales.Caret-right U(Ω) = V(Ω) =N.Caret-right Soit 𝑘 ∈ U(Ω), alors d’après le cours,

P (U = 𝑘) =𝑘∑ℓ=0

P (U = 𝑘,V = ℓ) =𝑘−1∑ℓ=0

(2𝑝2𝑞𝑘+ℓ)+(𝑝𝑞𝑘)2 = 2𝑝2𝑞𝑘 1−𝑞𝑘

𝑝+(𝑝𝑞𝑘)2.

Ainsi,

P (U = 𝑘) = 2𝑝𝑞𝑘(1−𝑞𝑘)+𝑝2𝑞𝑘𝑞𝑘 = 2𝑝𝑞𝑘 +𝑝(𝑝−2)𝑞2𝑘 .

De-même, pour tout ℓ ∈N,

P (V = ℓ) =∞∑𝑘=ℓ

P (U = 𝑘,V = ℓ) =∞∑

𝑘=ℓ+1(2𝑝2𝑞𝑘+ℓ)+ (𝑝𝑞ℓ)2.

Ainsi,

P (V = ℓ) = 2𝑝2𝑞ℓ𝑞ℓ+1 1𝑝

+𝑝2𝑞2ℓ = 2𝑝𝑞2ℓ+1 +𝑝2𝑞2ℓ .



2 — ...3 — ...


1 — On a {Δ = 0} = {X1 = X2} par propriété sur la valeur absolue. Comme{X1 = 𝑘}𝑘⩾1 est un système complet d’évènements, par la formule des probabilitéstotales, on a :

P (Δ = 0) =+∞∑𝑘=1

P(X1 = 𝑘,X1 = X2) =+∞∑𝑘=1

P(X1 = 𝑘,X2 = 𝑘) =+∞∑𝑘=1

P(X1 = 𝑘)P(X2 = 𝑘)

car X1 et X2 sont indépendantes. Comme ces deux variables suivent une loi géo-

métrique, on en déduit que : P(Δ = 0) = 𝑝2∑+∞𝑘=1𝑞

2𝑘−2 = 𝑝2

1−𝑞2 =𝑝

1+𝑞.

2 — 2.1) Onaévidemment Δ(Ω) =N. Comme {X2 = 𝑘}𝑘⩾1 est un systèmecom-plet d’évènements, par la formule des probabilités totales, on a :

P(X1−X2 = 𝑛) =+∞∑𝑘=1

P(X2 = 𝑘,X1−X2 = 𝑛) =+∞∑𝑘=1

P(X2 = 𝑘,X1 = 𝑛+𝑘) =+∞∑𝑘=1

P(X2 = 𝑘)P(X1 = 𝑛+𝑘)

car X1 et X2 sont indépendantes. On a donc : P(X1 − X2 = 𝑛) =𝑝2𝑞𝑛∑+∞

𝑘=1𝑞2𝑘−2 = 𝑝𝑞𝑛

1+𝑞 .

2.2) Par symétrie des rôles joués par X1 et X2, on a aussi : P(X2 −X1 = 𝑛) = 𝑝𝑞𝑛

1+𝑞 .Or :

∀𝑛 ∈N∗, {Δ = 𝑛} = {X1 −X2 = 𝑛}∪ {X2 −X1 = 𝑛}

et ces deux évènements sont incompatibles car 𝑛 ⩾ 1. D’où :

∀𝑛 ∈N∗, P(Δ = 𝑛) =2𝑝𝑞𝑛

1+𝑞.

3 — D’après le cours sur les séries géométriques dérivées, on sait que la sé-

rie (∑𝑛𝑞𝑛) converge car 𝑞 ∈]0,1[. Donc la série à termes positifs (∑2𝑝𝑛𝑞𝑛

1+𝑞)

converge et Δ admet une espérance finie. On a :

E (Δ) =+∞∑𝑛=1

2𝑝𝑛𝑞𝑛

1+𝑞=

2𝑝𝑞1+𝑞

+∞∑𝑛=1

𝑛𝑞𝑛−1 =2𝑝𝑞

(1+𝑞)(1−𝑞)2=

2𝑞𝑝(1+𝑞)

.

3.1) On a : (X1 −X2)2 = (X1)2 +(X2)2 −2X1X2.3.2) Comme X1 et X2 sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes et

qu’elles admettent une espérance finie, alors X1X2 admet une espérance fi-nie et, par linéarité de l’espérance, (X1 −X2)2 admet une espérance finie.On a : E ((X1 −X2)2) = E ((X1)2) +E ((X2)2) − 2E (X1)E (X2). Comme X1 et X2suivent une loi géométrique de même paramètre, on a :

E (X1) = E (X2) , E ((X1)2) = E ((X2)2) .

D’où :

E ((X1 −X2)2) = 2E ((X1)2)− (E (X1))2 = 2Var (X1) .

Comme Δ2 = |X1 −X2|2 = (X1 −X2)2, Δ admet une variance et, d’après lescalculs précédents :

Var (Δ) = 2Var (X1)− (E (Δ)2) =2𝑞𝑝2 −

4𝑞2

𝑝2(1+𝑞)2=

2𝑞(1+𝑞2)𝑝2(1+𝑞)2

.


Chapitre ALEA.15. Variables aléatoires à densité

CHAPITRE ALEA.15Variables aléatoires à densité

Résumé & Plan

LA définition d’intégrale généralisée du Chapitre ANA.10 va permettre l’étude d’une nouvelle famille de variablesaléatoires que l’on dit à densité ; elles sont réelles, et la probabilité que cette variable soit dans un certain ensemble

se mesure comme l’intégrale d’une certaine fonction.Contrairement au cas discret, nous n’étudierons que des variables aléatoires réelles dans la suite, la notion de coupleou plus généralement de vecteurs à densité n’est pas au programme.

W

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Loi, fonction de répartition et univers-image . . . . . . . . 5

1.3. Propriétés des variables aléatoires réelles à densité . . . . . 11

1.4. Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Espérance, Variance, Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Espérance d’une variable à densité . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Moments d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1. Loi uniforme sur [𝑎,𝑏] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3. La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4. Bilan des lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2. Études de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3. Autour de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46



4.4. Somme de variables aléatoires réelles à densité indépen-dantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5. Pour les 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


L’origine de la loi normale remonte aux travaux deJacques BERNOULLI sur son théorème d’or, appeléaujourd’hui loi des grands nombres, publié dans sonoeuvre Ars Conjectandi en 1713. Il y calcule desprobabilités liées à des paris sur des jeux de pile ou face à2, notamment le calcul de la probabilité que la moyennedu nombre de pile soit proche de la moyenne théorique1/2, calcul dans lequel apparait le calcul des factorielles.

—Le saviez-vous?

CadreCOGS


NotationΣSoit 𝒟 un sous-ensemble de R, et 𝑔 une fonction définie sur 𝒟𝑔 tel que 𝒟 ⊂𝒟𝑔. Alors la fonction𝑓 = 𝑔𝟙𝒟 est pardéfinition la fonctiondéfinie surRpar :

∀𝑡 ∈R, 𝑓(𝑡) =⎧⎨⎩

𝑔(𝑡) si 𝑡 ∈ 𝒟0 sinon.

Exemple 1— Écrire la fonction 𝑡 ∈ R ⟼ 𝑓(𝑡) = 12√𝑡−1

𝟙]1,2](𝑡) avec des acco-lades.1

1Puisque la fonction 𝑡⟼ 12√𝑡−1

n’est pas définie en 1, il est nécessaire de comprendre que, confor-

PEN-FANCY

1. GÉNÉRALITÉS

1.1. Définitions

Définition ALEA.15.1 | Densité de probabilitéSoit 𝑓 ∶R⟶R. On dit que 𝑓 est une densité de probabilité si :1 — 𝑓 est positive ou nulle, continue sur R sauf éventuellement en unnombre fini de points,2 — l’intégrale ∫

+∞

−∞𝑓(𝑡)d𝑡 est convergente et :

∫+∞

−∞𝑓(𝑡)d𝑡 = 1.

mément à notre notation, c’est le zéro de l’indicatrice en 𝑡 = 1qui l’emporte sur la non-définitionde 𝑡⟼ 1

2√𝑡−1en 1.



Remarque 1.1 — L’intégrale ∫+∞

−∞𝑓(𝑡)d𝑡 est donc définie au sens de la Défini-

tion ANA.10.9 du Chapitre ANA.10 (intégrale d’une fonction continue sauf en unnombre fini de points).

Exemple 2— Densité de Laplace

Soit 𝑓 définie sur R par 𝑓(𝑥) = 12e

−|𝑥| pour tout 𝑥 ∈ R. C’est une densité de proba-bilité.

𝑥

𝑓(𝑥)

FIG. ALEA.15.1. : Graphe de la densité de LAPLACE

PEN-FANCY

Exemple 3— Soit 𝑔 la fonction définie pour tout 𝑥 ∈ R par : 𝑔(𝑥) =

⎧⎨⎩

0 si 𝑥 < 1,𝑏2𝑥 si 𝑥 ⩾ 1,

où 𝑏 ∈R. Il existe 𝑏 tel que 𝑔 soit une densité de probabilité.

PEN-FANCY

Définition/Proposition ALEA.15.1 | Variable aléatoire à densitéSoitXune variable aléatoire réelle.Ondit queX est une variable aléatoire réelleà densité si :

il existe une densité de probabilité 𝑓X telle que, pour tout 𝑥 ∈R,FX(𝑥) = ∫

𝑥

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡.

La fonction 𝑓X est appelée une densité de X, et pour tout 𝑥 ∈ R, ∫𝑥

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡

converge.

Preuve Justifions que pour tout 𝑥 ∈R, ∫𝑥

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡 converge.



PEN-FANCY

Attention×

On prendra garde à parler d’une densité, et pas de la densité ! Mais s’il existeune densité continue surR, alors elle est unique commenous le verrons dansla Proposition ALEA.15.3.

NotationΣSi X est une variable à densité, on notera 𝑓X une densité de X.

Proposition ALEA.15.1 | Conséquence de la définitionSoit X une variable aléatoire réelle à densité. Alors pour tout intervalle I, nousavons

P (X ∈ I) = ∫I𝑓X(𝑡)d𝑡.

Preuve Faisons la preuve par exemple pour un intervalle de la formeI =]𝑎,𝑏] avec 𝑎,𝑏 ∈R∪{±∞} tels que 𝑎 < 𝑏. Alors

P (X ∈ I) = P (𝑎 < X ⩽ 𝑏) = FX(𝑏)−FX(𝑎)

= ∫𝑏

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡 −∫

𝑎

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡 = ∫

𝑏

𝑎𝑓X(𝑡)d𝑡,

d’après la relation de CHASLES.

Proposition ALEA.15.2 | Non-unicité d’une densitéSoitXune variable aléatoire réelle dont une densité est notée 𝑓X et𝑔X une autredensité, alors :

𝑓X et 𝑔X sont égales sauf en un nombre fini de points.

Preuve Notons 𝑓1,…,𝑓𝑑 et 𝑔1,…,𝑔𝑑′ une collection de 𝑑 + 𝑑′, (𝑑,𝑑′) ∈(N⋆)2 nombre réels tels que 𝑓X (resp. 𝑔X) est continue sur R\{𝑓1,…,𝑓𝑑} (resp.sur R\{𝑔1,…,𝑔𝑑′}). Alors en notant 𝒟 = {𝑓1,…,𝑓𝑑}⋃{𝑔1,…,𝑔𝑑′}, nous avons,d’après le cours d’intégration :

Caret-right 𝑥 ∈R ⧵𝒟 ⟼ ∫𝑥

−∞𝑓X et 𝑥 ∈R ⧵𝒟 ⟼ ∫

𝑥

−∞𝑔X sont dérivables,

Caret-right et par définition d’une densité, ∀𝑥 ∈ R, ∫𝑥

−∞𝑓X = ∫

𝑥

−∞𝑔X =

P (X ⩽ 𝑥) (⋆).

Ainsi, pour tout 𝑥 ∈ R ⧵𝒟, on obtient en dérivant (⋆) : 𝑓X = 𝑔X i.e. 𝑓X = 𝑔Xsauf en un nombre fini de points.

Proposition ALEA.15.3 | Unicité d’une densité continueSoit X une variable aléatoire réelle dont une densité est notée 𝑓X. Alors si 𝑓X estcontinue sur R :1 — F′X = 𝑓X sur R.2 — Il n’existe qu’une seule densité continue pour X.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY



1.2. Loi, fonction de répartition et univers-image

Rappelons que nous avons défini la loi de X comme l’application qui à tout toutintervalle réel I associe

PX(I) = P(X ∈ I).

Nous avons déjà vu qu’il est aisé d’exprimer P(X ∈ I) en fonction d’une densité.Plus précisément

P(X ∈ I) = ∫I𝑓X(𝑡)d𝑡.

Cela nous invite donc à assimiler la notion de loi à celle de la donnée d’une fonc-tion densité 𝑓X.

Définition ALEA.15.2 | Loi d’une variable aléatoire à densitéSoit X une variable aléatoire réelle à densité de densité 𝑓X.

Caret-right On appelle loi — abus de langage — de la variable aléatoire réelle à den-sité X la donnée d’une densité 𝑓X de X.

Caret-right (avoir même loi que) Soit Y une autre variable aléatoire à densité sur(Ω,𝒯,P) de densité 𝑓Y. On dit que X,Y ont même loi si :

𝑓X = 𝑓Y sauf en un nombre fini de points.

Caret-right (Déterminer la loi) Déterminer la loi d’une variable aléatoire réelle àdensité c’est calculer une densité 𝑓X.

NotationΣLorsque X,Y ont même loi, on note X ∼ Y. Si Y suit une loi usuelle ℒ (une loinormale, exponentielle, etc.), on note X ↪ ℒ.

Remarque 1.2— X ∼ Y signifie que les application PX ∶ I intervalle ⟼ P (X ∈ I) et

PY ∶ I intervalle ⟼ P (Y ∈ I) sont égales. En effet, pour tout intervalle I :

P (X ∈ I) = ∫I𝑓X

= ∫I𝑓Y = P (Y ∈ I) .

on ne change pas la valeur d’une intégrale en modifiant les valeursdes fonctions en un nombre fini de points

Le mot « loi» est assez peu souvent utilisé pour les variables aléatoires à densité,le plus souvent on vous demandera de «justifier qu’elle est à densité».

Lien entre densité et fonction de répartition. En pratique pour montrer qu’unevariable aléatoire est à densité, on utilise le théorème fondamental suivant.

Théorème ALEA.15.1 | Lien avec la fonction de répartitionSoit X une variable aléatoire. Si

Caret-right FX est continue sur R,Caret-right FX est de classe 𝒞1 sauf éventuellement en un nombre fini de points,

alors :1 — X est une variable aléatoire à densité.2 — Si 𝑓 est une fonction positive ou nulle telle que

F′X(𝑥) = 𝑓(𝑥) en tout point 𝑥 où FX est dérivable,

alors 𝑓 est une densité de X.Réciproquement, si X une variables aléatoires réelles à densité alors FX estcontinue, et de classe 𝒞1 sauf éventuellement en un nombre fini de points.

Preuve

⟹ Admis.

⟸ Montrons queFX est continue et𝒞1 sauf enunnombre fini de points.Rappelons que toute fonction de répartition est continue à droite (voir leChapitre ALEA.12), donc il suffirapour la continuité demontrer la continuitéà gauche.

Notons à présent {𝑑1,…,𝑑𝑛} ⊂ R l’ensemble des points où 𝑓 n’est pas conti-



nue.

PEN-FANCY

Remarque 1.3— Si 𝑓X est continue alors FX est même globalement de classe 𝒞1.

Attention×

Attention aux mélanges entre la définition d’une densité, et le théorème quel’on vient de voir.

Méthode (Pour montrer qu’une variable aléatoire est à densité)WRENCH

Pour montrer que X est une variable aléatoire à densité, on :1 — revient à la définition en devinant une densité,

WRENCH2 — oua onmontre que la fonctionde répartitionFX est continue et de classe𝒞1 sauf éventuellement en un nombre fini points. Une densité est alors obte-nue en dérivant FX là où elle est dérivable. On met en général la valeur zérob

pour une densité là où FX n’est pas dérivable.Corollaire ALEA.15.1 | La fonction de répartition caractérise la loi

Soient X,Y deux variables aléatoires réelles à densité. Alors :

X ∼ Y ⟺ FX = FY.

Remarque 1.4— Deux variables aléatoires à densité ont donc même loi si etseulement si elles ont même fonction de répartition.

Preuve

⟹

PEN-FANCY

⟸

PEN-FANCY

aC’est cette méthode que nous utiliserons le plus souventbvaleur arbitraire



Exemple 4— Soit F la fonction définie sur R par

∀𝑥 ∈R, F(𝑥) =1−√−𝑥

2𝟙[−1,0[(𝑥)+

1+√𝑥2

𝟙[0,1[(𝑥)+𝟙[1,+∞[(𝑥).

1 — Justifier que F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densitéX, dont on donnera une densité 𝑓.2 — Tracer les courbes respectives de F et 𝑓.

PEN-FANCY

Rappelons que dans le Chapitre ALEA.12 nous avons défini la notion d’atomed’une variable aléatoire réelle X comme des points 𝑥 ∈ R où P(X = 𝑥) ≠ 0. Nousavons vuque siX est discrète, alors tous les𝑥 ∈ X(Ω) sont des atomes. En revanche,pour les lois continues il n’y en a aucun, comme nous allons le voir dans le corol-laire qui suit.

Corollaire ALEA.15.2 | Une variable aléatoire à densité n’a pas d’atomeSoit X une variable à densité. Pour tout réel 𝑥, on a :

P(X = 𝑥) = 0.

Preuve Soit 𝑥 ∈R. Alors pour tout entier 𝑛 ∈N⋆, on a

0 ⩽ P(X = 𝑥) ⩽ P(X ∈ ]𝑥−1𝑛

,𝑥]) = FX (𝑥)−FX (𝑥−1𝑛

) (⋆).

Donc puisque FX est continue en 𝑥, elle est en particulier continue à gaucheen 𝑥, donc

lim𝑛→∞

FX (𝑥−1𝑛

) = FX(𝑥).



On conclut ensuite par théorème d’encadrement dans (⋆), d’où l’on tire :lim𝑛→∞

P(X = 𝑥) = P(X = 𝑥) = 0.

Enfin, encore une autre différence importante avec les variables aléatoires dis-crètes.

Corollaire ALEA.15.3 | Une variable aléatoire à densité n’est pas à supportdénombrable

Soit X une variable à densité. Alors X(Ω) n’est pas au plus dénombrable, i.e. iln’est ni fini, ni dénombrable.

Preuve Supposons par l’absurde que X(Ω) est au plus dénombrable.

PEN-FANCY

Et encore une conséquence, qui concerne cette fois-ci la fonction de répartitionet la loi, de la non-existence d’atomes pour les variables aléatoires à densité.

Corollaire ALEA.15.4 | Bornes des intervalles & loi à densitéSoit X une variable à densité de fonction de répartition FX et on note 𝑓X unedensité. Pour tous réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 < 𝑏, on a :

1 — FX(𝑏) = P(X ≤ 𝑏) = P(X < 𝑏) = ∫𝑏

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡,

2 — 1−FX(𝑎) = P(X ≥ 𝑎) = P(X > 𝑎) = ∫+∞

𝑎𝑓X(𝑡)d𝑡,

3 — P(𝑎 < X < 𝑏) = P(𝑎 ≤ X ≤ 𝑏) = P(𝑎 < X ≤ 𝑏) = P(𝑎 ≤ X < 𝑏) = ∫𝑏

𝑎𝑓X(𝑡)d𝑡.

Attention×

Ce résultat est uniquement valable pour les lois à densité, ou plus générale-ment celles sans atome. Pas question de l’utiliser pour des lois discrètes parexemple.

Remarque 1.5— Il fautdonc retenir de ce corollaireque l’onpeutouvrir ou fermerles intervalles I lorsque l’on calcule P(X ∈ I), pour les variables aléatoires à densitécela ne change pas la valeur de la probabilité.

Preuve

PEN-FANCY

Univers-image. Onseposedans ceparagraphe laquestion suivante : peut-ondé-finir un univers-image pour les variables aléatoires à densité? Comment obtenirdes informations sur celui-ci à l’aide d’une densité ou de la fonction de réparti-tion?

Définition ALEA.15.3 | Univers-imageSoit X une variable à densité 𝑓X. On appelle univers-image de X, notée X(Ω)l’ensemble :

X(Ω) = {𝑡 ∈R, 𝑓X(𝑡) ≠ 0} .



Attention×

Caret-right Cet ensemble dépend a priori du choix d’une densité. Si on en choisitune autre, quelques points seulement seront ajoutés.

Caret-right Contrairement aux apparences, X(Ω) n’est pas l’image directe de Ω parX. Cet ensemble contient avec probabilité 1 toutes les valeurs de X (voirla propriété 1 ci-dessous).a


Soit X une variable à densité 𝑓X et fonction de répartition FX.1 — X(Ω) est une réunion d’intervalles non réduits à un singleton, et

P (X ∈ X(Ω)) = P (X ∈ {𝑡 ∈R, 𝑓X(𝑡) ≠ 0}) = 1.

)-à)2 — Si X(Ω) est minoré, alors en notant 𝑚 = inf (X(Ω)) :

∀𝑥 ⩽ 𝑚, FX(𝑥) = 0.

3 — Si X(Ω) est majoré, alors en notant M = sup (X(Ω)) :

∀𝑥 ⩾ 𝑚, FX(𝑥) = 1.

Méthode (Trouver un X(Ω) lorsque X est à densité)WRENCH

Au choix :Caret-right on regarde une densité puis on analyse les points où elle est non nulle.Caret-right On regarde là où la fonction de répartition est différente de zéro et un.

Preuve1 — On admet que X(Ω) est une réunion d’intervalles non réduits à un sin-

aOn n’utilise jamais la véritable image directe pour les variables aléatoires à densité, puisqu’on estpas capable de la déterminer connaissant une densité.

gleton. Alors

P (X ∈ X(Ω)) = ∫X(Ω)

𝑓X(𝑡)d𝑡

= ∫∞

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡

= 1.

𝑓X est nulle en dehors de X(Ω)

définition d’une densité

2 — Supposons que X(Ω) soit minoré, alors pour tout 𝑥 ⩽ 𝑚, 𝑓X est nulle sur]−∞,𝑥] sauf éventuellement en 𝑥. Donc FX(𝑥) = ∫

𝑥

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡 = 0.

3 — Supposons que X(Ω) soit majoré, alors pour tout 𝑥 ⩾ M, 𝑓X est nulle sur[M,∞[ sauf éventuellement en 𝑥. Donc FX(𝑥) = ∫

𝑥

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡 = ∫

∞

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡 =

1.

Existence d’une variable à densité de loi fixée. Un certain nombre d’énoncésprobabilistes commencent par la phrase suivante :

«soit X une variable aléatoire à densité de densité 𝑓» avec 𝑓 une densité deprobabilité.

Ces énoncés supposent l’existencedeX.Mais celanedéfinit pasXen tantqu’appli-cation, c’est-à-dire X(ω) pour tout ω ∈ Ω, mais existe-t-elle vraiment? On aimeraitdonc au moins savoir si une telle variable aléatoire existe sur un certain (Ω,𝒯,P)à trouver : la réponse est oui, comme dans le cas discret, dès que 𝑓 est bien unedensité de probabilité.

Théorème ALEA.15.2 | Existence d’un espace probabilisé associé à unedensité de probabilité

Soit 𝑓 une densité de probabilités. Alors il existe un espace probabilisé(Ω,𝒯,P) et une variable aléatoire X de densité 𝑓 définie sur (Ω,𝒯,P).

Dans la plupart des situations que nous étudierons en pratique, le travail com-mencera par la donnée d’une ou plusieurs variables aléatoires de lois prescritesque nous étudierons sans jamais préciser là encore l’espace probabilisé (Ω,𝒯,P)sur lequel elles sont définies.



Celui-ci est voué à rester caché comme dans le cas discret.

Preuve Considérons

F||||||

R ⟶ [0,1]

𝑥 ⟼ ∫𝑥

−∞𝑓(𝑡)d𝑡

.

Montrons que F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à den-sité en appliquant le Théorème ALEA.12.4 du Chapitre ALEA.12.

Caret-right F est croissante sur R.PEN-FANCY

Caret-right lim𝑥→−∞

F(𝑥) = 0 et lim𝑥→+∞

F(𝑥) = 1.

PEN-FANCY

Caret-right F est continue à droite en tout point et même continue comme nousl’avons déjà vérifié au début du chapitre.

Donc il existe un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) et une variable aléatoire X dé-finie sur cet espace tels que FX = F. Par construction, X est alors à densitépuisque pour tout 𝑥 ∈R,a

FX(𝑥) = ∫𝑥

−∞𝑓X(𝑡)d𝑡.

aOn vérifie ici la définition d’une variable aléatoire à densité

Remarque 1.6 — L’hypothèse de densité remplace donc l’hypothèse«∑𝑥∈X(Ω)𝑝𝑥 = 1» dans le cas discret.

De l’énoncé précédent, on déduit alors une méthode simple pour avoir des in-formations sur X(Ω) connaissant une densité ou la fonction de répartition d’unevariable aléatoire à densité.

Méthode (Comment trouver X(Ω) ?)WRENCH

Dans un exercice, on lit en pratique X(Ω) là où :Caret-right la densité n’est pas nulle,Caret-right la fonction de répartition n’est ni égale à 1 et ni égale à 0.

Exemple 5— Loi de Laplace On reprend l’Exemple 2.

1 — Il existe une variable aléatoire réelle X de densité 𝑓.PEN-FANCY

2 — Déterminer de plus X(Ω et la fonction de répartition de X.PEN-FANCY

Exemple 6— On considère la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑡) = 12√𝑡−1

𝟙]1,2](𝑡).

1 — Il existe une variable aléatoire réelle X de densité 𝑓.PEN-FANCY



2 — Déterminer de plus la fonction de répartition de X et X(Ω).PEN-FANCY

1.3. Propriétés des variables aléatoires réelles à densité

Les propriétés sur les variables aléatoires à densité seront moins nombreuses quedans le cas discret, beaucoup de celles vues dans le Chapitre ALEA.13 deviennentfausses dans le cas à densité.

Fonctions de variables aléatoires réelles à densité.

Proposition ALEA.15.5 | Transformations de variables aléatoires à densitéSoit X une variable aléatoire réelle de densité 𝑓.1 — (Transformation affine d’une variable à densité) [H.P] Soit (𝑎,𝑏) ∈R2 tel que 𝑎 ≠ 0. Alors Y = 𝑎X+𝑏 est une variable aléatoire réelle admettantune densité 𝑔 définie par

∀𝑦 ∈R, 𝑔(𝑦) =1

|𝑎|𝑓(

𝑦−𝑏𝑎

) .

2 — (L’image d’une variable à densité par une application𝒞0 n’est pas tou-jours une variable aléatoire à densité) Il existe 𝑔 une application 𝒞0 telleque 𝑔(X) ne soit pas une variable aléatoire à densité.

Attention×

Pour 1), la formule générale n’est pas au programme donc l’énoncé ne doitpas être appris par coeur : mais vous devez savoir traiter des cas particulierspour 𝑎 et 𝑏 et donc connaitre la démonstration ci-après.

Attention×

Les propriétés d’espace vectoriel et de min/max ont disparu pour les va-riables aléatoires réelles à densité, ce n’est pas un oubli, elles ne sont plusvraies ! Toute combinaison linéaire de variables à densité n’est pas forcémentune variable à densité. De-même pour le minimum ou le maximum.

En revanche, dans la Section 1.4, nous verrons en pratique comment on peut cal-culer la loi d’unminimumoumaximumde variables aléatoires réelles à densité.

Preuve1 — Caret-right Première méthode : en utilisant le Théorème ALEA.15.1.

PEN-FANCY



Caret-right Seconde méthode : en utilisant la définition.

PEN-FANCY

2 — Prenons 𝑔 la fonction nulle. Alors

PEN-FANCY

Exemples de fonctions de variables aléatoires à densité. Traitons quelquesexemples simples d’images de lois à densité.

Attention×

Les calculs qui suivent sont extrêmement classiques en pratique, à savoir re-faire absolument.

Méthode (Montrer que l’image d’une variable aléatoire réelle à densité est

à densité)WRENCH

SoitX une variable à densité et Y = 𝑔(X) avec𝑔 une fonction aumoins définiesur X(Ω) (valeur absolue, logarithme, etc. dans la suite).1 — Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire Y.2 — Deviner un ensemble contenant Y(Ω) au moyen de l’image de la fonc-tion 𝑔.3 — Calculer la fonction de répartition de Y i.e. P (Y ⩽ 𝑦) pour tout 𝑦 ∈ R etvérifier le Théorème ALEA.15.1.Le point clef est ensuite de : « faire des disjonctions de cas en 𝑦 dans le cal-cul» suivant l’ensemble trouvé en 1.

Exemple 7— Valeur absolue & Carré Soit X une variable à densité de densité 𝑓.Montrer que Y = |X| et Z = X2 sont des variables aléatoires à densité. Généraliserà X𝑛 pour 𝑛 ∈N.

PEN-FANCY



Exemple 8— Carré dans un cas particulier Soit X une variable à densité de den-sité 1

3𝟙[−1,2]. Montrer que Y = X2 est une variable aléatoire à densité.

PEN-FANCY

Exemple 9— Exponentielle Soit X une variable à densité de densité 𝑓, et Y = eX.Montrer que Y est une variable aléatoire à densité.

PEN-FANCY

Exemple 10— Logarithme Soit X une variable à densité telle que X(Ω) ⊂]0,+∞[,et Y = ln(X). Montrer que Y est une variable aléatoire à densité.



PEN-FANCY

1.4. Indépendance

Définition ALEA.15.4 | Indépendance de variables aléatoires à densitéSoient X1,⋯,X𝑛 une collection de 𝑛 variables aléatoires à densité.1 — (Indépendance) Les variables aléatoires X1,⋯,X𝑛 sont dites indépen-dantes si :

∀(𝑥1,⋯,𝑥𝑛) ∈R𝑛, P(X1 ⩽ 𝑥1,⋯,X𝑛 ⩽ 𝑥𝑛) = P(X1 ⩽ 𝑥1)×⋯×P(X𝑛 ⩽ 𝑥𝑛).

2 — (Indépendance deux à deux) Les variables aléatoires X1,⋯,X𝑛 sont

dites indépendantes deux à deux si pour tous 𝑖 ≠ 𝑗, X𝑖 et X𝑗 sont indépen-dantes.Plus généralement, si (X𝑛) est une famille infinie de variables aléatoires, ellessont indépendantes (resp. indépendantes deux à deux) si et seulement si toutesous-famille finie est indépendante (resp. deux à deux indépendantes).

NotationΣDans ce cas on notera, comme dans le cas discret, X1 ∣_∣ X2 pour 𝑛 = 2, et(X𝑛) ∣_∣ en cas d’indépendance mutuelle.

Définition ALEA.15.5 | Suite i.i.d.On dit qu’une suite (X𝑛) de variables aléatoires à densité est i.i.d. (on dit in-dépendantes et identiquement distribuées) si elles sont indépendantes et demême loi.

Fonctions de variables aléatoires indépendantes. Nous admettons les résultatsqui suivent, qui sont les mêmes que dans le cas discret.

Théorème ALEA.15.3Soient X1,…,X𝑛 une collection de 𝑛 variables aléatoires mutuellement indé-pendantes. Alors pour toutes fonctions 𝑓1,…,𝑓𝑛 où pour tout 𝑓𝑖 ∶ X𝑖(Ω) ⟶R,les variables aléatoires réelles 𝑓1(X1),…,𝑓𝑛(X𝑛) sont des variables aléatoires

réelles indépendantes.

Exemple 11— Si X1,…,X3 sont indépendantes et X3 ne s’annule pas, alorsX21 ,X

22,1/X3 sont indépendantes.

Théorème ALEA.15.4 | Lemme des coalitions ou Indépendance par pa-quets

Soient X1,…,X𝑛 une collection de 𝑛 variables aléatoires mutuellement indé-pendantes. Alors pour toutes fonctions φ1,…,φ𝑘, et 𝑛1,…,𝑛𝑘,𝑘 des entiers



tels que𝑘∑𝑖=1

𝑛𝑖 = 𝑛, où pour tout φ𝑖 ∶R𝑛𝑖 ⟶R, les variables aléatoires réelles

φ1(X1,…,X𝑛1 ),…,φ𝑘(X𝑛1+…+𝑛𝑘−1 ,…,X𝑛)

sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes.

Exemple 12— Si X1,X2,X3,X4,X5 sont indépendantes alors X21 +X2

2,X3X5,X4 sontindépendantes.

La proposition suivante est indiqué comme hors-programme dans la mesure oùla formule obtenue n’est pas à connaître par coeur. En revanche, comme dans lecas discret, la méthode mise en jeu dans la démonstration doit être maîtrisée.

Proposition ALEA.15.6 | Minimum&Maximum de variables aléatoires àdensité [H.P]

Soient X1,…,X𝑛 à densité de fonctions de répartition respectives F1,…,F𝑛 etmutuellement indépendantes. Alors pour tout 𝑥 ∈R,

P (min{X1,…,X𝑛} > 𝑥) =𝑛∏𝑖=1

(1−F𝑖(𝑥)),

P (max{X1,…,X𝑛} ⩽ 𝑥) =𝑛∏𝑖=1

F𝑖(𝑥).

Si de plus les variables aléatoires sont i.i.d. de même loi qu’une variable aléa-toire X de fonction de répartition FX, alors :

P (min{X1,…,X𝑛} > 𝑥) = (1−FX(𝑥))𝑛,P (max{X1,…,X𝑛} ⩽ 𝑥) = FX(𝑥)𝑛.

Par conséquent, les variables aléatoires min{X1,…,X𝑛} et max{X1,…,X𝑛}sont des variables aléatoires réelles à densité.

Preuve

PEN-FANCY

Attention×

La probabilité

P (min{X1,…,X𝑛} ⩽ 𝑥) = P(𝑛⋃𝑖=1

{X𝑖 ⩽ 𝑥})

ne se traite pas par indépendance. Attention aux confusions !



Méthode (Trouver la loi d’un max de variables aléatoires à densité indé-

pendantes)WRENCH

Pour le max X =max(X1,…,X𝑛).1 — on calcule la fonction de répartition : P (X ⩽ 𝑥) = P (X1 ⩽ 𝑥)…P (X𝑛 ⩽ 𝑥)pour tout 𝑥 ∈ R. On invoque l’indépendance au moment adéquat.2 — On utilise ensuite l’expression de la fonction de répartition à l’aide de ladensité donnée.3 — On vérifie le Théorème ALEA.15.1 i.e. que 𝑥 ⟼ P (X ⩽ 𝑥) est bien conti-nue et de classe 𝒞1 sauf en un nombre fini de points. On déduit alors égale-ment une densité.

Méthode (Trouver la loi d’un min de variables aléatoires à densité indépen-

dantes)WRENCH

Pour le max X =min(X1,…,X𝑛).1 — on calcule la fonction d’antirépartition : P (X > 𝑥) =P (X1 > 𝑥)…P (X𝑛 > 𝑥) pour tout 𝑥 ∈ R. On invoque l’indépendance aumoment adéquat.2 — On utilise ensuite l’expression de la fonction de répartition à l’aide de ladensité donnée.3 — On vérifie le Théorème ALEA.15.1 i.e. que 𝑥 ⟼ 1−P (X > 𝑥) = P (X ⩽ 𝑥)est bien continue et de classe 𝒞1 sauf en un nombre fini de points. On déduitalors également une densité.

Exemple 13— Cas d’uniformes Soit (X1,…,X𝑛) des variables aléatoires mu-tuellement indépendantes de loi 𝒰[0,1] i.e. de densité 𝟙[0,1]. Montrer que S =max(X1,…,X𝑛) est une variable aléatoire à densité, déterminer une densité.

PEN-FANCY

Convolution de densités & Somme de deux variables aléatoires indépendantes

à densté. Le théorème suivant est fondamental et sera admis. L’idée est la sui-vante : on connaît une formule pour la densité de la somme de deux variablesaléatoires indépendantes à densité.



Définition ALEA.15.6 | Convolution de densitésSoient 𝑓,𝑔 deux densités de probabilités. On appelle alors convolée des densi-tés 𝑓,𝑔 ou produit de convolution des densités 𝑓,𝑔 l’application notée 𝑓 ⋆𝑔 etdéfinie par :

∀𝑧 ∈R, (𝑓 ⋆𝑔)( 𝑧 ) =⎧⎨⎩

∫+∞

−∞𝑓X(𝑥)𝑓Y ( 𝑧 −𝑥)d𝑥 en cas de convergence,

0 sinon.

Proposition ALEA.15.7 |

Soient 𝑓,𝑔 deux densités de probabilités. Si 𝑓 ou 𝑔 est bornée, alors 𝑓 ⋆𝑔 estdéfinie et continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points.

Preuve La continuité est admise, onprouveuniquement la convergence(définition) sur R sauf en un nombre fini de points.

PEN-FANCY

Exemple 14— Calculer les produits de convolution 𝑓 ⋆𝑔 dans les cas suivants.On admet que les fonctions 𝑓,𝑔 sont bien des densités.

1 — 𝑓 = 12𝟙[−1,1],𝑔 = 𝟙[0,1].

PEN-FANCY

2 — 𝑓 = e−𝑥𝟙[0,+∞[(𝑥), 𝑔 = 2e−2𝑥𝟙[0,+∞[(𝑥).

PEN-FANCY

Théorème ALEA.15.5 | Loi d’une somme de deux variables aléatoiresréelles à densité indépendantes—Convolution

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de densités 𝑓X et 𝑓Y. Si𝑓X ⋆𝑓Y est définie et continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini depoints, alors :X+Y est une variable aléatoire à densité, et 𝑓X ⋆𝑓Y est une densité de X+Y.

Plus généralement, si X1,⋯,X𝑛 sont à densité indépendantes, alors X1 +⋯+X𝑛 est également à densité.

Remarque 1.7— Analogue dans le cas discret Soient X,Y deux variables aléa-toires discrètes. Alors X+Y est une variable aléatoire réelle discrète et pour tout𝑘 ∈ (X+Y)(Ω), on a :

P (X+Y = 𝑘 ) = ∑ℓ∈X(Ω)

P(X = ℓ,Y = 𝑘 −ℓ).

C’est un résultat que nous verrons dans le Chapitre ALEA.14.2

2Une simple application de la formule des probabilités totales



Remarque 1.8— Que ce soit dans le cas discret ou à densité, vérifiez votre for-mule de convolution avec le fait suivant : la somme des deux variables (intégra-tion/sommation et densité/loi) doit être égale à la variable de la densité/loi.

Attention×

L’hypothèse d’indépendance est cruciale. En effet, soit X est une variablealéatoire à densité. Alors X et −X ne sont pas indépendantes, et

X+(−X) = 0 n’est pas une variable aléatoire à densité car discrète.

Remarque 1.9—

Caret-right Comme cela est précisé dans le programme officiel, la condition «𝑓X ⋆𝑓Y estdéfinie et continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points»est souvent admise, il convient alors uniquement de justifier que X ∣_∣ Y —l’indépendance est quant à elle attendue dans votre rédaction!

Caret-right Conformément à la Proposition ALEA.15.7, il suffirait de préciser qu’une desdeux densités est bornée pour être complet. Ce sera le cas de toutes les loisusuelles, qui sont de densités bornées.

Preuve Montrons la généralisation à X1 +⋯+X𝑛, on admet le cas 𝑛 =2.

PEN-FANCY

Proposition ALEA.15.8 | Cas où les variables aléatoires sont positivesSoient X et Y deux variables aléatoires indépendantes et positives de densités𝑓X et 𝑓Y. Alors

∀𝑧 ∈R, 𝑓X+Y(𝑧) =⎧⎨⎩

∫𝑧

0𝑓X(𝑥)𝑓Y(𝑧−𝑥)d𝑥 si 𝑧 ∈R+,

0 sinon,

Preuve

PEN-FANCY

Remarque 1.10— On a, par changement de variable : ∫+∞

−∞𝑓X(𝑥)𝑓Y(𝑧−𝑥)d𝑥 =

∫+∞

−∞𝑓X(𝑧−𝑦)𝑓Y(𝑦)d𝑦.

PEN-FANCY



Exemple 15— Somme de deux uniformes sur [0,1 ] Soient X,Y de loi 𝒰[0,1] i.e.de densité 𝟙[0,1] et telles que X ∣_∣ Y. Calculer une densité de X+Y.

PEN-FANCY

Avant de poursuivre l’étude, constatons qu’il existe des variables aléatoires qui nesont ni discrètes, ni continues3. Un exemple est donné maintenant.

Exemple 16— de variable aléatoire ni discrète, ni continue Soit Θ un variablealéatoire suivant une loi uniforme sur [0,2π], i.e. de densité 1

2π𝟙[0,2π]. Posons X =max(Θ,π).

1 — Montrer que la fonction de répartition de X a le graphe ci-contre.2 — En déduire que X n’est ni discrète ni continue.

1

π 2π

FIG. ALEA.15.2. : Fonction de répartition de X

PEN-FANCY

3au même titre qu’il existe des fonctions ni paires, ni impaires.



2. ESPÉRANCE, VARIANCE, MOMENTS

2.1. Espérance d’une variable à densité

Rappelons que la notion d’espérance dans le cas discret est une moyenne (éven-tuellement une somme infinie) des valeurs de la variable aléatoire en question,et pondérées par sa loi. Dans le Chapitre ANA.10, nous avons défini la notion demoyenne pondérée pour une fonction : en particulier la valeurmoyenne de 𝑡 ⟼ 𝑡pondérée par 𝑓X une densité de probabilité4 est :

∫∞

−∞𝑡𝑓X(𝑡)d𝑡.

Puisque 𝑓X ne s’annule pas précisément en les points de X(Ω), on est bien en trainde «moyenner» les valeurs de X, pondérées par 𝑓X. Ce sera notre définition de l’es-pérance.

Définition ALEA.15.7Soit X une variable aléatoire à densité, de densité 𝑓X. On dit que X admet uneespérance E(X) lorsque l’intégrale ∫

+∞

−∞𝑡𝑓X(𝑡)d𝑡 converge absolument. Dans

4Qui est donc bien d’intégrale 1

ce cas, on appelle espérance de X le réel :

E(X) = ∫+∞


Une variable aléatoire d’espérance nulle est dite centrée.

Attention×

Comme dans le cas discret, l’existence d’une espérance n’est pas automa-tique!

Attention×

Il convient d’être vigilant, comme dans le cas discret, sur le vocabulaire. Eneffet :1 — admettre une espérance signifie que : ∫

+∞

−∞||𝑡𝑓X(𝑡)||d𝑡 converge.

2 — La valeur de l’espérance est quant à elle : E (X) = ∫+∞


Remarque 2.1— Pourquoi supposer de la convergence absolue? La conver-gence absolue n’est en réalité pas nécessaire (mais écrite dans le programme),l’avantage étant que l’on peut utiliser tous les critères de convergence d’intégralepour les fonctions positives.

Remarque 2.2— L’espérance ne dépend pas du choix d’une densité Puisquedeux densités coïncident sauf en un nombre fini de points, et que l’on ne changepas la valeur d’une intégrale enmodifiant la fonction en un nombre fini de points,on justifie sans peine que la définition ne dépend pas du choix d’une densité.

Proposition ALEA.15.9 | Cas d’une variable aléatoire bornéeSoit X une variable aléatoire à densité 𝑓X. Si X est bornée, alors X admet uneespérance. Le résultat est encore vrai si X est presque-sûrement bornée i.e. s’ilexiste M ∈R+ tel que P (|X| ⩽ M) = 1.



Preuve Onadmet provisoirement le fait suivant (conséquence duThéo-rème ALEA.15.7) : |X| a une espérance si et seulement si

∫∞

−∞|𝑡|𝑓X(𝑡)d𝑡 converge.

PEN-FANCY

Proposition ALEA.15.10 | Cas d’une densité paireSoit X une variable aléatoire à densité admettant une espérance de densité 𝑓paire, alors :

E(X) = 0.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 17— Montrer que la fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 3𝑥4 𝟙[1,+∞[(𝑥) est une densité d’une

variable aléatoire X, et que X admet une espérance qui vaut E(X) = 32 .

PEN-FANCY

Exemple 18— Loi de Cauchy. La fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ∈ R ⟼ 1π(1+𝑥2) est une densité

d’une variable aléatoire X qui n’admet pas d’espérance.

PEN-FANCY



Exemple 19— Montrer que la fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 6𝑥(1−𝑥)𝟙[0,1](𝑥) est une densitéd’une variable aléatoire X, et calculer son espérance le cas échéant.

PEN-FANCY

Exemple 20— Loi de Laplace. On reprend l’Exemple 2. La variable aléatoireX estalors centrée.

PEN-FANCY

Propriétés de l’espérance.

Théorème ALEA.15.6 |

Soient X et Y deux variables aléatoires à densité admettant une espérance.Alors :1 — (Linéarité de l’espérance) Soient λ,μ ∈ R, λX+μY admet une espé-rance et :


2 — (Positivité de l’espérance) X ⩾ 0 ⟹ E (X) ⩾ 0, et :

X ⩾ 0, E (X) = 0 ⟺ X = 0 p.s (i.e.P (X = 0) = 1).

Le résultat subsiste si on a seulement P (X ⩾ 0) = 1 en hypothèse, i.e.

P (X ⩾ 0) = 1 ⟹ E (X) ⩾ 0,

P (X ⩾ 0) = 1, E (X) = 0 ⟺ X = 0 p.s (i.e.P (X = 0) = 1).

3 — (Croissance de l’espérance)

X ⩽ Y ⟹ E (X) ⩽ E (Y) .

Le résultat subsiste si on a seulement P (X ⩽ Y) = 1 en hypothèse, i.e.

P (X ⩽ Y) = 1 ⟹ E (X) ⩽ E (Y) .

Preuve1 — Nous admettons la linéarité de l’espérance.

2 — PEN-FANCY



3 — Appliquer 2 avec X ← X−Y et utiliser la linéarité de l’espérance.

Formule de transfert pour une variable aléatoire à densité. Le théorème suivantpermet de calculer l’espérance de 𝑔(X) lorsque X est une variable à densité et 𝑔une fonction continue. Là encore, le point clef est que nous n’avons pas besoin deconnaître la loi de 𝑔(X) (ou une densité de 𝑔(X)) pour calculer son espérance!

Théorème ALEA.15.7 | Transfert pour les variables aléatoires à densitéSoit X une variable aléatoire réelle de densité 𝑓X telle que X(Ω) ⊂ I où I est unintervalle réel (éventuellement non borné), et 𝑔 ∶ I ⟶ R continue sauf éven-tuellement en un nombre fini de points. Alors :

Y = 𝑔(X) admet une espérance ⟺ ∫I𝑔(𝑡)𝑓X(𝑡)d𝑡 est

est absolument convergente.

Dans ce cas, nous avons :

E(𝑔(X)) = ∫I𝑔(𝑡)𝑓X(𝑡)d𝑡 = ∫

+∞

−∞𝟙I(𝑡)𝑔(𝑡)𝑓X(𝑡)d𝑡.

Remarque 2.3— Notez que 𝑔(X) peut ne pas être à densité (par exemple, commenous l’avons vu, dans le cas où 𝑔 est une fonction constante), la notation E (𝑔(X))

devient donc caduque : il s’agit d’une notion d’espérance plus générale qui n’estpas aux programmes de CPGE.

Preuve (Point clef — Dans le cas étudié ci-dessous, la preuve est unchangement de variable)Montrons dans le cas où 𝑔 est de classe 𝒞1 avec 𝑔′ strictement positive surI =]𝑎,𝑏[, avec 𝑎 < 𝑏 réels ou égaux à −∞ ou +∞. Par le théorème de la bi-jection, la réciproque 𝑔−1 existe bien.

D’après la formule de changement de variable du Chapitre ANA.10, les inté-grales ∫𝑏

𝑎 𝑔(𝑡)𝑓X(𝑡)d𝑡 et

∫𝑔(𝑏)

𝑔(𝑎)𝑢×

𝑓X (𝑔−1(𝑢))𝑔′ (𝑔−1(𝑢))

d𝑢 = ∫𝑔(𝑏)

𝑔(𝑎)𝑢×(FX ∘𝑔−1)′ (𝑢)d𝑢

sont de même nature en faisant formellement le changementde variable «𝑢 = 𝑔(𝑡) ⟺ 𝑔−1(𝑢) = 𝑡». Or, la densité de Y =𝑔(X) est nulle en dehors de ]𝑔(𝑎),𝑔(𝑏)[ puisque Y(Ω) ⊂ 𝑔(I) ⊂]𝑔(𝑎),𝑔(𝑏)[ etsur cet intervalle,

FY(𝑦) = P(𝑔(X) ⩽ 𝑦) = P(X ⩽ 𝑔−1(𝑦)) = (FX ∘𝑔−1) (𝑦).

Donc en cas de convergence

∫𝑔(𝑏)

𝑔(𝑎)𝑢×(FX ∘𝑔−1)′ (𝑢)d𝑢 = ∫

+∞

−∞𝑢×F′Y(𝑢)d𝑢 = ∫

+∞

−∞𝑢𝑓Y(𝑢)d𝑢.

Finalement, on a montré que les intégrales ∫𝑏𝑎 𝑔(𝑡)𝑓X(𝑡)d𝑡 et ∫+∞

−∞ 𝑢𝑓Y(𝑢)d𝑢sont demêmenature et sont égales en cas de convergence. Or, cette dernièreintégrale converge absolument si et seulement si Y admet une espérance. Eten cas de convergence elles sont égales, le théorème de transfert est doncdémontré dans ce cas.

Attention×

La variable aléatoire 𝑔(X) n’est pas forcément une variable à densité commenous l’avonsdéjà vu.Mais on sait néanmoins dire si elle admet une espéranceet la calculer le cas échéant.

Exemple 21— Soit 𝑏 ∈R, retrouver E (𝑏) à l’aide du théorème du transfert. Com-



ment pourrait-on aussi là calculer?

PEN-FANCY

Exemple 22— Appliquer le théorème de transfert à |X| oùX est une variable aléa-toire réelle à densité.

PEN-FANCY

Corollaire ALEA.15.5 | Inégalité triangulaire pour l’espéranceSoit X une variable aléatoire réelle à densité. Alors :

X admet une espérance ⟺ |X| admet une espérance.Et dans ce cas :

||E (X)|| ⩽ E (|X|) .

Preuve (Point clef — Théorème du transfert & Inégalité triangulairepour les intégrales généralisées)

PEN-FANCY

Corollaire ALEA.15.6 | Transfert pour les fonctions affines.Soit X une variable aléatoire à densité et 𝑎,𝑏 ∈R. Alors :1 — X possède une espérance ⟹ 𝑎X+𝑏 possède une espérance.2 — Supposons que 𝑎 ≠ 0. Alors : 𝑎X+𝑏 possède une espérance ⟹ Xpossède une espérance.De plus, si X et 𝑎X+𝑏 possèdent une espérance, nous avons :

E(𝑎X+𝑏) = 𝑎E (X)+𝑏.

Preuve1 — Le résultat est évident pour 𝑎 = 0 : en effet, 0X+𝑏 = 𝑏 dans ce cas et lavariable aléatoirediscrète𝑏admetbienuneespérancequi vaut𝑏 = 0E(X)+𝑏.Considérons le cas 𝑎 ≠ 0.

Caret-right (Première méthode : en utilisant une densité de 𝑎X+𝑏 pour 𝑎 ≠ 0.)

PEN-FANCY



Caret-right (Seconde méthode) Utiliser le théorème du transfert Théo-rème ALEA.15.7 ci-dessous.

PEN-FANCY

Remarque 2.4— Notons que, comme déjà constaté, 𝑎X+𝑏 est une variable aléa-toire réelle à densité à densité si 𝑎 ≠ 0. L’espérance précédente est donc donnéesous forme d’une intégrale dans ce cas, et si 𝑎 = 0, nous obtenons l’espéranced’une constante qui est une variable aléatoire réelle discrète (donc définie au sensdu Chapitre ALEA.13).

Corollaire ALEA.15.7 | CentrageSoit X une variable aléatoire à densité possédant une espérance, alors

X−E (X) est une variable aléatoire centrée.

Preuve Appliquer le résultat précédent avec 𝑎 = 1 et 𝑏 = −E (X). AlorsX−E (X) possède donc une espérance, et

E (X−E (X)) = E (X)−E (X) = 0.

2.2. Moments d’ordre supérieur

À l’aide du théorème de transfert, nous pouvons donc affirmer les points sui-vants.

Définition/Proposition ALEA.15.2 | Variance,écart-type,moments,versioncontinue

Soit X une variable aléatoire à densité 𝑓X.2 — 1 — (Moments d’ordre 𝑘) X admet un moment d’ordre 𝑘 ∈ N si etseulement si l’équivalence suivante est réalisée :

E (|X|𝑘) < ∞ ⟺ ∫∞

−∞|𝑡|𝑘 𝑓X(𝑡) converge.

On appelle alors moment d’ordre 𝑘 : E (X𝑘) = ∫∞

−∞𝑡𝑘𝑓X(𝑡)d𝑡.

2 — (Momentd’ordre2 et variance) Ondit queXadmet unmoment d’ordredeux si et seulement si l’équivalence suivante est réalisée :

E (|X|2) < ∞ ⟺ ∫∞

−∞|𝑡|2 𝑓X(𝑡)d𝑡 converge.

On appelle alors moment d’ordre 2 : E (X2) = ∫∞

−∞|𝑡|2 𝑓X(𝑡)d𝑡. Si X admet un

moment d’ordre deux, alors elle admet un moment d’ordre un (i.e. une espé-rance), et on appelle variance de X la quantité notée Var (X) et définie par :Var (X) = E ((X−E (X))2). La variable aléatoire X possède une variance si etseulement si :

∫∞

−∞(𝑡 −E (X))2𝑓X(𝑡)d𝑡 converge.

Dans ce cas,

Var (X) = ∫∞

−∞(𝑡 −E (X))2𝑓X(𝑡)d𝑡.

On appelle écart-type deX, la quantité notée σX, et définie par σX ∶= √Var (X).Une variable aléatoire de variance un est dite réduite.

Preuve Montrons que : si X admet un moment d’ordre deux, alors Xadmet un moment d’ordre un. Le reste provient de simples applications duthéorème de transfert.



PEN-FANCY

Remarque 2.5—

1 — On pourra retenir également que : si X n’a pas d’espérance, alors elle n’apas de variance.2 — Le moment d’ordre 1 correspond donc à l’espérance.3 — La variance d’une variable aléatoire mesure l’écart quadratique moyen entreX et sa valeur moyenne E (X).



∫∞

−∞|𝑡|2 𝑓X(𝑡)d𝑡.

Proposition ALEA.15.11 | Cas d’une variable aléatoire bornéeSoit X une variable aléatoire à densité 𝑓X. Si X est bornée, alors X admet unevariance.

Preuve On montre que

∫∞

−∞|𝑡|2 𝑓X(𝑡)d𝑡 converge (et donc aussi absolument car l’intégrande est positive).

PEN-FANCY

Enfin toutes les propriétés en vigueur dans le Chapitre ALEA.12 restent donc va-lables dans le cas à densité.

Proposition ALEA.15.12 | Propriétés de la variance/covarianceSoientX,Ydeux variables aléatoires àdensité admettant une variance, etλ,μ ∈R.1 — (Variance nulle—) Var (X) = 0 ⟺ X = E (X) p.s.2 — (Variance d’une expression affine—) Var ( λ X+μ) = λ2 Var (X).3 — (Formule de König-Huygens—) Var (X) = E (X2)−E (X)2.

Preuve Identiques au cas discret.

Opération de centrage/réduction. La proposition ci-dessous paraît anecdotiquemais elle sera d’un intérêt majeur plus tard dans l’année.



Définition/Proposition ALEA.15.3

Soit X une variable aléatoire à densité ayant une variance, alors

X⋆ =(défi.)

X−E (X)σX

est une variable aléatoire réelle centrée réduite. On l’appelle la centrée/réduitede X. Elle est de plus à densité.

Preuve (Point clef — Pour la densité :X⋆ est une fonction affine de X)

PEN-FANCY

Cas de variables aléatoires indépendantes. On présente sans démonstration lerésultat suivant.


Si X1,…,X𝑛 sont 𝑛 variables mutuellement indépendantes à densité. Alors :1 — (Espérance d’un produit) si les X𝑖 admettent une espérance, alorsE (X1…X𝑛) = E (X1)…E (X𝑛) .2 — (Variance d’une somme) si les X𝑖 admettent une variance, alorsVar (X1 +⋯+X𝑛) = Var (X1)+⋯+Var (X𝑛).

Preuve Admis.a

aLes vecteurs aléatoires à densité étant hors programme, nous n’aurons pas les ou-tils pour prouver ces propriétés contrairement au cas discret.

3. LOIS USUELLES

Commençons par définir la loi uniforme sur des ensembles non discrets. Préci-sons un peu de vocabulaire pour la suite : cdf signifie «cumulative density func-tion», cet acronyme sera donc réservé aux fonctions de répartitions, pdf signifie«probability density function», cet acronyme sera donc réservé aux densités.

Pour la simulation, le principe est similaire au cas discret déjà vu.

1 — On sait simuler un réel dans [0,1[,2 — Toute loi de fonction de répartition bijective, peut être simulée en cherchantF−1X , car F−1X (U) a même loi que X. Ce sera parfois le cas dans les lois usuelles quivont suivre.



3.1. Loi uniforme sur [𝑎,𝑏]

Définition ALEA.15.8 | Loi uniforme continueSoient 𝑎 et 𝑏 deux réels tels que 𝑎 < 𝑏. On dit qu’une variable aléatoire X suitla loi uniforme sur [𝑎,𝑏], ]𝑎,𝑏] ou ]𝑎,𝑏[ si elle admet pour densité

𝑓𝑎,𝑏 ∶ 𝑥 ⟼1

𝑏−𝑎𝟙[𝑎,𝑏](𝑥).

𝑥

𝑓𝑎,𝑏(𝑥)

𝑎 𝑏

1𝑏−𝑎

FIG. ALEA.15.3. : Graphe de la densité de l’uniforme


PEN-FANCY

Remarque 3.1— En particulier, X(Ω) = [𝑎,𝑏] ou ]𝑎,𝑏] (en considérant la densité𝑥 ⟼ 1

𝑏−𝑎𝟙]𝑎,𝑏](𝑥)) ou [𝑎,𝑏[ (en considérant la densité 𝑥 ⟼ 1𝑏−𝑎𝟙[𝑎,𝑏[(𝑥)).

Exemple 23— Soient X ↪ 𝒰[−1,3],Y ↪ 𝒰[0,2]. Donner l’expression de leurdensité et les représenter graphiquement.

PEN-FANCY

Remarque 3.2— Modélisation Toute expérience aléatoire dont les issues sontdes réels d’un intervalle [𝑎,𝑏] et apparaissant de manière équiprobable.

Proposition ALEA.15.14 | Espérance, variance, propriétésSoient X et Y deux variables aléatoires telles que X ↪ 𝒰[0,1] et Y ↪ 𝒰[𝑎,𝑏].Alors :1 — pour tout 𝑡 ∈ R, FX(𝑡) = 𝑡𝟙[0,1](𝑡)+ 𝟙[1,∞[(𝑡).2 — X ↪ 𝒰[0,1] ⟺ Y = 𝑎+(𝑏−𝑎)X ↪ 𝒰[𝑎,𝑏]. Et pour tout 𝑡 ∈R,

FY(𝑡) =𝑡 −𝑎𝑏−𝑎

𝟙[𝑎,𝑏[(𝑡)+ 𝟙[𝑏,∞[(𝑡).

3 — Les variables aléatoires X et Y admettent une espérance et une variance,données par :

E (Y) =𝑎+𝑏

2, Var (Y) =

(𝑏 −𝑎)2

12.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY



3 — Faisons les calculs pour X ↪ 𝒰([0,1]), on déduira alors ceux pour Y ↪𝒰([𝑎,𝑏]).PEN-FANCY

Exemple 24— Fonction de loi uniforme Soit X ↪ 𝒰(]−π2 ,

π2 [). Montrer que Y =

tanX est à densité, en déterminer une.

PEN-FANCY

Exemple 25— Somme de deux uniformes Soient X et Y deux variables aléatoiresindépendantes de loi uniforme sur [0,1]. Déterminer une densité de X−Y.

PEN-FANCY



Densité & Fonction de répartition.

PythonDensité de 𝒰[−1,2]

1 import numpy as np2 import matplotlib.pyplot as plt3 import scipy.stats as stat4

5 abs = np.linspace(-5,5,10**3)6 plt.plot(abs, stat.uniform.pdf(abs, loc = -2, scale = 3))7 # Loc = départ, Scale = longueur de l'intervalle8 plt.grid()

1 plt.show()

PythonFonction de répartition de 𝒰[−1,2]

Python1 import numpy as np2 import matplotlib.pyplot as plt3 import scipy.stats as stat4

5 abs = np.linspace(-5,5,10**3)6 plt.plot(abs, stat.uniform.cdf(abs, loc = -2, scale = 3))7 plt.grid()

1 plt.show()

Simulation. Nous avons déjà établi le lien entre l’uniforme 𝒰[0,1] et 𝒰[𝑎,𝑏]pour 𝑎 < 𝑏. Il nous sert donc à simuler l’uniforme générale.

PythonSimulation de la loi uniforme continue

1 import random as rd2 def uniforme(a,b):3 '''4 (a,b)->une simulation de l'uniforme sur [a,b]



Python5 '''6 return a + (b - a)*rd.random()

Le module np.random de ne sait pas simuler directement la loi uniformecontinue. On fait donc plutôt appel pour cela à la sous-bibliothèque randomde numpy.

1 >>> np.random.uniform(-1, 2)2 -0.732534954802456

3.2. Loi exponentielle

Définition ALEA.15.9 | Loi exponentielleSoit λ > 0. On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle ℰ(λ) sielle admet pour densité

𝑓λ ∶ 𝑥 ⟼ λe−λ𝑥𝟙[0,+∞[(𝑥).

Remarque 3.3— En particulier, X(Ω) =R+.

𝑥

𝑓λ(𝑥)

λ

FIG. ALEA.15.4. : Graphe de la densité de l’exponentielle


PEN-FANCY

Proposition ALEA.15.15 | StabilitéSoit λ > 0 et X une variable aléatoire réelle.

X ↪ ℰ(1) ⟺Xλ

↪ ℰ(λ).

Preuve

PEN-FANCY

Proposition ALEA.15.16 | Espérance, variance, propriétésSoit X ↪ ℰ(λ). Alors X admet une espérance et une variance données par :

E (X) =1λ, Var (X) =

1λ2

.

Preuve

PEN-FANCY



Exemple 26— Fonction de loi exponentielle Soit X ↪ ℰ(1). Montrer que Y = lnXest à densité, en déterminer une.

PEN-FANCY

Exemple 27— Somme de deux exponentielles : loi Gamma Soient X et Y deuxvariables aléatoires indépendantes de loi ℰ(λ). Déterminer une densité de X+Y.

Proposer une généralisation pour une sommeX1+⋯+X𝑛 de𝑛 variables aléatoiressuivant une ℰ(λ) et i.i.d..

PEN-FANCY

Propriété d’absence de mémoire. Une loi exponentielle modélise la durée de vied’un phénomène continu sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure.Nous avons déjà croisé une loi de probabilité sans mémoire discrète : la loi géo-métrique. Elle va donc servir à décrire des durées de vie ou de fonctionnementdans des situations «sans vieillissement».

Exemple 28— Durée de vie d’atomes radioactifs. Temps d’attente d’arrivée declients dans un magasin.

Rappelons d’abord la définition.



Définition ALEA.15.10 | Absence demémoireUne variable aléatoire X est dite sans mémoire si :1 — elle est positive ou nulle,2 — pour tout couple (𝑥,𝑦) de réels positifs ou nuls, on a :

P(X > 𝑥+𝑦) = P(X > 𝑥)P(X > 𝑦). (Abs,Mém)

L’Équation (Abs,Mém) signifie aussi, de manière équivalente, que la fonction derépartition F vérifie :

F(𝑥+𝑦) = F(𝑥)+F(𝑦)−F(𝑥)F(𝑦).

Ou encore, en utilisant la formule d’une probabilité conditionnelle, que si P(X >𝑥) > 0 :

P(X > 𝑥+𝑦||X > 𝑥) = P(X > 𝑦).

Proposition ALEA.15.17 | Fonction de répartition & Absence demémoireSoit X ↪ ℰ(λ) avec λ > 0. Alors :1 — (Fonction de répartition) pour tout 𝑥 ∈R, FX(𝑥) = 𝟙R+ (𝑥)(1−e−λ𝑥) .2 — (Absence demémoire) X est sans mémoire.

Remarque 3.4— Comme pour la loi géométrique, la réciproque de 2) est égale-ment vraie. Mais un peu moins facile à montrer.

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY


PythonDensité de l’exponentielle


5 abs = np.linspace(-5,5,10**3)6 plt.plot(abs, stat.expon.pdf(abs, scale = 1), label = "1")7 plt.plot(abs, stat.expon.pdf(abs, scale = 1/3), label = "1/3")8 # Scale = inverse de lamba9 plt.grid()

10 plt.legend()

1 plt.show()



PythonFonction de répartition de l’exponentielle


5 abs = np.linspace(-5,5,10**3)6 plt.plot(abs, stat.expon.cdf(abs, scale = 1), label = "1")7 plt.plot(abs, stat.expon.cdf(abs, scale = 1/3), label = "1/3")8 # Scale = inverse de lamba9 plt.grid()

10 plt.legend()

1 plt.show()

Simulation. Commençons par la propriété qui va nous permettre de simuler laloi exponentielle à partir de l’uniforme sur [0,1].

Proposition ALEA.15.18 | Simulation de l’exponentielleSoit U ↪ 𝒰([0,1]) et λ > 0. Alors :

X = −1λln(1−U) ↪ ℰ(λ).

Attention×

La preuve qui suit est à maîtriser parfaitement.

Preuve (Point clef — Montrer que la fonction de répartition de− 1λ ln(1−U) ↪ ℰ(λ) est celle d’une uniforme)

PEN-FANCY



Remarque 3.5— La fonction 𝑥 ∈ [0,1[⟼ − 1λ ln(1 − 𝑥) est en fait l’inverse de la

fonction de répartition de ℰ(λ) restreinte à R+⋆, il était donc clair (d’après un ré-sultat déjà vu) que F−1X (U) suivait une loi exponentielle.

PythonSimulation de la loi exponentielle

1 import random as rd2 from math import log3 def expo(lamba):4 '''5 lamba -> une simulation de l'exponentielle de paramètre

lamba↪

6 '''7 return -(1/lamba)*log(rd.random())

Le module random ne sait pas simuler directement la loi exponentielle. Onfait donc plutôt appel pour cela à la sous bibliothèque random de numpy.

1 >>> np.random.exponential(1/3) # Attention au paramètre : c'estl'inverse du paramètre mathématique↪

2 0.14531968846906773

3.3. La loi normale

Cette loi de probabilité, aussi appelée loi de Gauß ou gaussienne, joue un rôle es-sentiel en probabilités et en statistiques. On verra dans le Chapitre ALEA.16 soncaractère universel dans les situations où l’on observe une somme de variablesaléatoires indépendantes et centrées : par exemple, on peut envisager les fluctua-

tions d’un cours debourse comme le résultat d’une additiondephénomènes aléa-toires indépendants et de faible ampleur relative.

3.3.1. Loi normale centrée réduite

Définition ALEA.15.11 | Loi Normale centrée réduiteOn dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite ou gaus-sienne standard si elle admet pour densité

φ ∶ 𝑥 ∈R⟼1

√2πe−

𝑥22 .

−3 −2 −1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

𝑥

φ(𝑥)

FIG. ALEA.15.5. : Densité de la𝒩(0,1)


PEN-FANCY



Proposition ALEA.15.19 | Espérance, variance, propriétésSoit X ↪ 𝒩(0,1). Alors X admet une espérance et une variance données par :

E(X) = 0, Var (X) = 1.

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 29— Fonction de loi normale Soit X ↪ 𝒩(0,1). Montrer que Y = |X|est à densité, en déterminer une.

PEN-FANCY

Notation (Fonction de répartition)Σ

On notera dans la suite Φ la fonction de répartition de la loi 𝒩(0,1) :

∀𝑥 ∈R, Φ(𝑥) = P(X ≤ 𝑥) =1

√2π∫𝑥

−∞e−

𝑡22 d𝑡.

Notons qu’elle n’est pas calculable explicitement contrairement aux lois exponen-tielle et uniforme. En revanche, il est possible d’établir l’équivalent suivant.

Proposition ALEA.15.20 | Propriétés de Φ1 — (Symétrie) Pour tout 𝑥 ∈R, on a :

Φ(−𝑥) = 1−Φ(𝑥).

2 — (Équivalent de l’antirépartition) [H.P]

1−Φ(𝑥) =1

√2π∫∞

𝑥e−

𝑡22 d𝑡 ∼

𝑥→∞

1√2π

e−𝑥22

𝑥.

3 — La fonction Φ ∶R⟶]0,1[ est bijective.

La première propriété peut être également comprise par un dessin.

Preuve Pour 1).

PEN-FANCY



Φ(−𝑥)1−Φ(𝑥)

−3 −2 −1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-𝑥 𝑥𝑥

φ(𝑥)

FIG. ALEA.15.6. : Illustration de la propriété de symétrie surΦ

Pour 2).

Caret-right Justifions la convergence de ∫+∞

𝑥e−

𝑡22 d𝑡 pour tout 𝑥 > 0.

PEN-FANCY

Caret-right Montrons que, pour tout 𝑥 > 0, on a : ∫+∞

𝑥e−

𝑡22 d𝑡 =

e−𝑥22

𝑥−

∫+∞

𝑥

e−𝑡22

𝑡2d𝑡.

PEN-FANCY

Caret-right Concluons en montrant que : ∫+∞

𝑥

e−𝑡22

𝑡2d𝑡 =

𝑥→∞o(∫

+∞

𝑥e−

𝑡22 d𝑡)

PEN-FANCY

Pour 3).

PEN-FANCY

Nous pouvons nous en servir pour tracer une courbe approchée de Φ ou bien en-tendu utiliser la fonction déjà existente de Python.


PythonDensité de la normale centrée/réduite


5 abs = np.linspace(-10,10,10**3)6 plt.plot(abs, stat.norm.pdf(abs))7 plt.grid()



Python1 plt.show()

PythonFonction de répartition de la normale centrée/réduite


5 abs = np.linspace(-10,10,10**3)6 plt.plot(abs, stat.norm.cdf(abs))7 plt.grid()

1 plt.show()

Python

Remarque 3.6— La fonction Φ ne s’exprime pas au moyen de fonctions usuelles,et ses valeurs sont donc difficiles à calculer. On connaît cependant des tables devaleurs de Φ (voir l’annexe en fin de chapitre).

Simulation. Puisque la fonction de répartition est bijective dans le cas de la loinormale, nous pouvons donc facilement déduire une méthode de simulation.

Proposition ALEA.15.21 | Simulation de la normale centrée réduiteSoit U ↪ 𝒰([0,1]). Alors :

Φ−1(U) ↪ 𝒩(0,1).

Remarque 3.7— Rappelons que nous avons déjà établi la bijectivité de Φ dansune précédente proposition.

Preuve

PEN-FANCY



La fonction Φ−1 ne se calcule pas non plus facilement, on va utiliser le sous-module scipy.stats pour obtenir des valeurs approchées.

PythonSimulation de la loi normale centrée réduite

1 import random as rd2 import numpy as np3 # import scipy.stats as stat4

5 def norm():6 '''7 ->une simulation de la N(0,1)8 '''9 return stat.norm.ppf(rd.random())

Le module random ne sait pas simuler directement la loi normale. On faitdonc plutôt appel pour cela à la sous-bibliothèque random de numpy.

1 >>> np.random.normal()2 -0.015385166633218728

3.3.2. Loi normale générale

Définition ALEA.15.12 | Loi NormaleSoient μ ∈ R et σ > 0. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale𝒩(μ,σ2) si elle admet pour densité

φμ,σ2 ∶ 𝑥 ⟼1

σ√2πe−

(𝑥−μ)2

2σ2 .

On le note X ↪ 𝒩(μ,σ2).

μ−3 −2 −1 1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

𝑥

φμ,σ2 (𝑥)

FIG. ALEA.15.7. : Densité de la𝒩(μ,σ2)


PEN-FANCY



Proposition ALEA.15.22 | Lien avec la gaussienne standardSoient μ ∈R et σ > 0.

X ↪ 𝒩(μ,σ2) ⟺ X∗ =X−μ

σ↪ 𝒩(0,1).

Autrement dit, si une variable aléatoire X suit une loi 𝒩(μ,σ2) alors sa variablealéatoire centrée réduite associée suit une loi normale centrée réduite, et inverse-ment.

Preuve (Point clef — La centrée réduite est une fonction affine de lavariable aléatoire de départ)

PEN-FANCY

Proposition ALEA.15.23 | Espérance et varianceSoit X ↪ 𝒩(μ,σ2) alors X admet une espérance et une variance données par :

E(X) = μ, Var (X) = σ2.

Preuve (Point clef — Utiliser les propriétés de l’espérance/variance)

PEN-FANCY

Proposition ALEA.15.24 | Somme de lois normales indépendantes1 — Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace pro-babilisé, indépendantes et de lois respectives 𝒩(μ,σ2) et 𝒩(μ′,σ′2). AlorsX+Y ↪ 𝒩(μ+μ′,σ2 +σ′2).2 — Plus généralement, si X1,…,X𝑛 sont 𝑛 variables aléatoires indépen-dantes de loi normale,𝒩(μ𝑖,σ2

𝑖 ) avecσ1,⋯,σ𝑛 > 0 etμ𝑖 ∈Rpour tout 𝑖, alors :X1 +⋯+X𝑛 ↪ 𝒩(μ1 +⋯+μ𝑛,σ2

1 +⋯+σ2𝑛).

Preuve Admis, c’est un calcul (lourd mais pas compliqué) d’un produitde convolution.

Densité, Fonction de répartition, Simulation. Techniques similaires à la loi𝒩(0,1), on ne les détaille donc pas comme précédemment.

Caret-right On peut rajouter des paramètres loc, et scale pour obtenir les graphes desfonctions de répartition et densité de la loi normale générale.

Caret-right Pour la simulation, on utilise celle de la 𝒩(0,1), puis on retourne μ +σ𝒩(0,1).

Caret-right Pour la simulation, on peut aussi utiliser les fonctions existantes descipy.stats en précisant directement les bons paramètres.

3.4. Bilan des lois continues usuelles

Le tableau suivant rassemble quelques lois continues usuelles.



Nom Paramètre(s) Notation Densité Espé-rance

Variance

Uniforme 𝑎 < 𝑏 deuxréels

𝒰[𝑎,𝑏]1

𝑏−𝑎𝟙[𝑎,𝑏](𝑥) 𝑎+𝑏2

(𝑏−𝑎)212

Exponen-tielle

λ ∈]0,+∞[ ℰ(λ)λe−λ𝑥𝟙[0,+∞[(𝑥)

1λ

1λ2

Laplace λ ∈]0,∞[ ℒ(λ) λ2 e

−λ|𝑥| 0 2

Normale(dans R)

(𝑚,σ2) ∈R×]0,+∞[

𝒩(𝑚,σ2) 1√2πσ2

e−(𝑥−𝑚)2

2σ2 μ σ2

Remarque 3.8— Et ensuite? On peut montrer que toute loi d’une variable aléa-toire réelle est «quasiment» une somme de loi discrète et d’une loi à densité. Laloi d’une variable aléatoire réelle générale se ramène à celle d’une loi discrète etd’une loi à densité.

ANNEXE – TABLE DE VALEURS DE LA 𝒩(0,1)

Méthode (Lecture d’une table)WRENCH

Si l’on souhaite avoir, par exemple, Φ(0,96), on :1 — se place sur la ligne «0.9»,2 — se place ensuite sur la colonne «0.06».3 — On obtient alors la valeur désirée.



𝑥 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Φ(𝑥) = P(X ≤ 𝑥) = ∫𝑥

−∞

1√2π

e−𝑡22 d𝑡 et Φ(−𝑥) = 1−Φ(𝑥).

On retiendra en particulier la valeur typique Φ(1.96) = 0.975, de sorte que :

P(X ∈ [−1.96;1.96]) = 2Φ(1.96)−1 = 0.95



4. EXERCICES

4.1. Généralités

[PS_VaC_32.tex]

Exercice ALEA.15.1 Soit X une variable aléatoire réelle à densité de densité 𝑓continue et telle que E (X2) existe.

1 — Montrer que si 𝑥 > 0, alors : 0 ⩽ 𝑥2P(|X| ⩾ 𝑥) ⩽ ∫−𝑥

−∞𝑡2𝑓(𝑡)d𝑡 +

∫∞

𝑥𝑡2𝑓(𝑡)d𝑡. En déduire que lim

𝑥→∞(𝑥2P(|X| ⩾ 𝑥) = 0.

2 — Soit 𝑥 ∈ R+. Montrer que : ∫𝑥

0𝑡P(|X| ⩾ 𝑡)d𝑡 =

𝑥2

2P(|X| ⩾ 𝑥) +

12 ∫

𝑥

−𝑥𝑡2𝑓(𝑡)d𝑡. Indication : On pourra utiliser la fonction de répartition F de X

et une intégration par parties.

4.2. Études de lois

[PS_VaC_35.tex]

Exercice ALEA.15.2 Fonctions de lois classiques (Solution : 48) Déterminer la den-sité de Y = X2 dans les cas suivants :

1 — X ↪ 𝒰([−1,1]),2 — X ↪ 𝒰([−1,2]).3 — X ↪ 𝒩(0,1).

[PS_VaC_23.tex]

Exercice ALEA.15.3 Soit la fonction 𝑓 définie sur R par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥√𝑥

si 𝑥 ≥ 1 et𝑓(𝑥) = 0 sinon.

1 — Déterminer le réel𝑎pour que 𝑓 soit unedensité deprobabilité d’une certainevariable aléatoire X.2 — Déterminer la fonction de répartition associée à X.3 — La variable aléatoire X admet-elle une espérance? Si oui, la déterminer.

[PS_VaC_43.tex]

Exercice ALEA.15.4 Loi de CAUCHY

1 — Montrer que la fonction Ψ définie sur R par Ψ(𝑥) = 1π(1+𝑥2) pour tout 𝑥 ∈ R

est une densité de probabilité surR. On dit qu’une variable aléatoire X ayant pourdensité Ψ suit la loi de CAUCHY et on note F sa fonction de répartition.2 — Admet-elle une espérance? Une variance?3 — Soit U une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur ]0,1[. Après avoir dé-terminé F−1, montrer que X et F−1(U) ont même loi.4 — TERMINALPython En déduire une méthode de simulation de la variable aléatoire X.

[PS_VaC_53.tex]

Exercice ALEA.15.5 Soit 𝑔 la fonction définie pour tout 𝑡 ∈R par :

𝑔(𝑡) =⎧⎨⎩

0 si 𝑡 < 1,𝑏2𝑡 si 𝑡 ⩾ 1.

où 𝑏 ∈R.

1 — Déterminer 𝑏 pour que 𝑔 soit la densité d’une variable aléatoire à densité.Déterminer la loi de X−1.2 — En déduire que X possède une espérance et une variance.

[PS_VaC_39.tex]



Exercice ALEA.15.6

1 — Déterminer la valeur du réel 𝑐pour que 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑐𝑥(𝑥+1)𝟙[1,+∞[(𝑥) soit une den-

sité de probabilité. On note dans la suite X une variable aléatoire de densité 𝑓.2 — Montrer que Y = 1

X est une variable aléatoire à densité, on en donnera unedensité.3 — Déterminer la fonction de répartition de Z = X−⌊X⌋ et comparer les lois deY et de Z.

[PS_VaC_40.tex]

Exercice ALEA.15.7 Loi de l’Arcsinus

1 — (Existence de arcsin)1.1) Justifier que sin ||[−π/2;π/2] réalise une bijection de [−π/2;π/2] vers [−1,1]. On

notera arcsin la fonction réciproque de cette bijection.1.2) Justifier que arcsin est dérivable sur ] − 1,1[ et calculer arcsin′ sur cet inter-

valle. Quelle est sa monotonie?2 — Justifier que 𝑓 ∶ 𝑥 ∈ R ⟼ 1

π√𝑥(1−𝑥)1]0,1[(𝑥) est une densité de probabilité. On

dira que X suit la loi de l’arcsinus si elle a pour densité 𝑓.

3 — Montrer que pour tout 𝑥 ∈ R, FX(𝑥) =⎧⎪⎨⎪⎩

0 si 𝑥 < 0,1π arcsin(2𝑥−1)+ 1

2 si 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1,1 si 𝑥 > 1.

Indication : On pourra constater que pour tout 𝑥 ∈ [0,1], √𝑥(1−𝑥) =12√1−(2𝑥−1)2, puis utiliser la fonction arcsin.4 — (Simulation)4.1) Soit U ↪ 𝒰[0,1]. Montrer que 1

2 (sin(π(U−1/2))+1) a même loi que X.4.2) TERMINALPython En déduire une fonction Python simuarc simulant une réalisation de

X.4.3) TERMINALPython Conjecturer, à l’aide de Python, l’existence et la valeur éventuelle de

l’espérance.[PS_VaC_3.tex]


1 — (Existence de arccos)1.1) Justifier que cos ||[0;π] réalise une bijection de [0;π] vers [−1,1]. On notera

arccos la fonction réciproque de cette bijection.1.2) Justifier que arccos est dérivable sur ]−1,1[ et calculer arccos′ sur cet inter-

valle. Quelle est sa monotonie?2 — Soit X une variable aléatoire uniforme sur [0,1].2.1) Déterminer la loi de Y = cos(π X).2.2) TERMINALPython Écrire une fonction simulY() qui simule la variable Y.2.3) Calculer, si elles existent, l’espérance et la variance de Y.

[PS_VaC_41.tex]

Exercice ALEA.15.9 LoideGUMBEL SoitF la fonctiondéfinie surRparF(𝑥) = e−e−𝑥

pour tout 𝑥 ∈R.

1 — Montrer que F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densitéX.2 — Déterminer une densité 𝑓 de X.3 — Soit (X𝑛) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes deloi ℰ(1). On note M𝑛 =max(X1,…,X𝑛).Étudier pour 𝑥 ∈R, lim𝑛→+∞P(M𝑛 − ln(𝑛) ≤ 𝑥).

[PS_VaC_36.tex]

Exercice ALEA.15.10 Discret / Continu.

1 — Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle ℰ(λ). Déterminer la loi deY = ⌊X⌋.2 — Soit Z ↪ ℬ(𝑛, 12 ) telle que X et Z sont indépendantes — on ne demande pasdans la suite de justifier qu’un tel Z existe.Montrer que T = X

Z+1 est une variable aléatoire à densité que l’on déterminera.[PS_VaC_12.tex]



Exercice ALEA.15.11 Min / Max On se donne deux variables aléatoires réelles Xet Y indépendantes. Déterminer les fonctions de répartition puis les lois de U =min(X,Y) et V =max(X,Y) lorsque :

1 — X et Y sont uniformément distribuée sur [0,1].2 — X et Y suivent la loi ℰ(λ). Généraliser ce résultat à Z𝑛 = min(X1, ...,X𝑛) avecX𝑘 ↪ ℰ(λ) toutes indépendantes.

[PS_VaC_42.tex]

Exercice ALEA.15.12 Moments d’ordre 𝑛 de lois usuelles. Après en avoir justifiél’existence, calculer E (X𝑛) dans les cas suivants :

1 — X ↪ 𝒰[𝑎,𝑏],2 — X ↪ ℰ(λ),3 — X ↪ 𝒩(0,1).

4.3. Autour de la loi normale

[PS_VaC_54.tex]

Exercice ALEA.15.13 Loi log-normale Soit 𝑎 > 0 et ℎ la fonction définie par

ℎ(𝑥) =1

𝑎𝑥√2πe−

(ln𝑥)2

2𝑎2 𝟙R+⋆ (𝑥)

pour tout 𝑥 ∈R.

1 — Montrer que ℎ est une densité de probabilité.2 — Soit X une variable aléatoire de densité ℎ. Montrer que X admet une espé-rance, calculer E (X).3 — Déterminer la loi de Y = lnX

𝑎 .[PS_VaC_44.tex]

Exercice ALEA.15.14 Maximum de lois normales On considère deux variablesaléatoires X et Y indépendantes et suivant toutes deux la loi normale centrée ré-duite (de densité notée φ et de fonction de répartition notée Φ). On pose

Z =max(X,Y)

et l’on se propose de déterminer la loi de Z, ainsi que son espérance et sa va-riance.

1 — Montrer que Z est une variable aléatoire à densité. On exprimera sa densité𝑓 en fonction de φ et Φ.2 — En remarquant que, pour tout 𝑥 ∈R, φ′(𝑥) = −𝑥φ(𝑥), montrer que Z a uneespérance et donner sa valeur. Indication : On pourra effectuer une intégrationpar parties.

[PS_VaC_28.tex]

Exercice ALEA.15.15 Loi normale alternée Soit X ↪ 𝒩(0,1) et ε une variablealéatoire discrète indépendante de X telle que ε(Ω) = {±1} avec

P(ε = 1) =12

= P(ε = −1).

1 — Déterminer la loi de Y = εX.2 — On pose Z = Y−2X. Justifier que Z admet une espérance et une variance. Lesdéterminer.

4.4. Somme de variables aléatoires réelles à densité indépendantes

[PS_VaC_47.tex]

Exercice ALEA.15.16 SoientX et Y deux variables aléatoires indépendantes de loiℰ(1). On pose :

U =X+Y

2, et V =

X−Y2



1 — Justifier que U,V admettent une espérance et une variance. Les calculer.2 — Justifier que U,V admettent une densité. Les calculer.

[PS_VaC_13.tex]

Exercice ALEA.15.17 On considère U et V deux variables indépendantes suivantla loi uniformes sur [0,1]

1 — Déterminer la loi de X = − ln(U) et de Y = − ln(V).2 — Déterminer la loi de Z = X+Y.3 — Déterminer la loi de T = eZ, et en déduire la loi de 1

UV .[PS_VaC_14.tex]

Exercice ALEA.15.18 Loi Gamma Soit (X𝑛) une suite de variables aléatoires i.i.d.de loi ℰ(1).

1 — Quelle est la densité de S2 = X1 +X2, puis de S3. En déduire une conjecturesur la densité de S𝑛.2 — Soit 𝑛 ∈N. Déterminer E (S𝑛) et Var (S𝑛).3 — Calculer lim𝑛→+∞P(𝑛−√𝑛 ⩽ S𝑛 ⩽ 𝑛+√𝑛).

[PS_VaC_46.tex]

Exercice ALEA.15.19 Soient X,Y deux variables aléatoires réelles à densité de loi𝒰([0,1]) et indépendantes. On note FX et FY les fonctions de répartitions asso-ciées.

1 — Montrer que X2 − Y admet la fonction ℎ ci-dessous pour densité : 𝑥 ∈

R, ℎ(𝑥) =⎧⎪⎨⎪⎩

√𝑥+1 si −1 ⩽ 𝑥 < 0,1−√𝑥 si 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1,0 sinon.

.

2 — Déterminer la probabilité pour que la matrice aléatoire M =⎛

⎝

0 −1

Y 2X

⎞

⎠soit

diagonalisable dans 𝔐2 (R).[PS_VaC_45.tex]

Exercice ALEA.15.20 Onconsidère deux variables aléatoires réellesX etYdéfiniessur le même espace probabilisé, indépendantes, et de même loi ℰ(1).

1 — Soit 𝑡 > 0. Montrer que Y− 𝑡X admet pour densité ℎ définie par : ℎ(𝑥) =⎧⎨⎩

e−𝑥𝑡+1 si 𝑥 > 0,e𝑥/𝑡𝑡+1 si 𝑥 ≤ 0.

2 — En déduire une densité de Z = YX .

3 — Déterminer la loi de U = XX+Y .

4.5. Pour les 5/2

[PS_VaC_55.tex]

Exercice ALEA.15.21 Formule des cumulants, cas continu Soit X une variablealéatoire positive admettant une densité positive 𝑓. On notera F sa fonction derépartition. On souhaite montrer que X admet une espérance si et seulement si

∫∞

0P (X > 𝑡)d𝑡 converge, et qu’en cas de convergence :

E (X) = ∫∞

0P (X > 𝑡)d𝑡.

1 — Soit A > 0. Montrer la formule suivante :

∫A

0𝑡𝑓(𝑡)d𝑡 = ∫

A

0P (X > 𝑡)d𝑡 +A(F(A)−1) .

2 — Conclure.



[PS_CCAgroVeto_15.tex]

Exercice ALEA.15.22 Processus de comptage des passages d’autobus (Solu-tion : 49)

1 — Soit U une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [0,1[ etsoit λ un réel strictement positif. On note X = − 1

λ ln (1−U). Vérifier que X suit uneloi exponentielle dont on précisera un paramètre.2 — On note (X𝑛)𝑛≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, de mêmeloi que X. On note S0 = 0 et pour 𝑛 ≥ 1, S𝑛 = X1+…+X𝑛. Montrer que pour 𝑛 ≥ 1,S𝑛 admet pour densité la fonction 𝑓𝑛 donnée par :

∀𝑡 ∈R, 𝑓𝑛(𝑡) =⎧⎨⎩

0 si 𝑡 < 0,λe−λ𝑡(λ𝑡)𝑛−1

(𝑛−1)! si 𝑡 ≥ 0.

3 — On suppose qu’à un arrêt de bus, les différences entre les temps de passagesuccessifs d’un autobus sont indépendantes, et de même loi exponentielle de pa-ramètre λ. On définit un instant 0, puis on note S1,S2,… les temps de passage suc-cessifs des autobus. On note alors, pour 𝑡 > 0, N𝑡 la variable aléatoire égale aunombre d’autobus passés entre l’instant 0 et l’instant 𝑡 à l’arrêt de bus. Autrementdit on a pour tout 𝑛 ≥ 0, {N𝑡 ≥ 𝑛} = {S𝑛 ⩽ 𝑡}.3.1) Pour 𝑛 ≥ 0, justifier que :

P(N𝑡 = 𝑛) = P(S𝑛 ≤ 𝑡)−P(S𝑛+1 ≤ 𝑡).

3.2) En déduire que N𝑡 suit une loi de POISSON de paramètre λ𝑡.3.3) TERMINALPython Écrire une fonction informatique qui simule une variable aléatoire de

loi exponentielle.3.4) On suppose que le temps moyen de passage entre deux autobus est de 10

minutes. On considère un individu qui arrive au temps T = 100 à l’arrêt debus.TERMINALPython Écrire une fonction qui simule le temps d’arrivé des différents bus etrenvoie le nombre de bus qui sont passés avant le temps T = 100, ainsi quele temps d’attente de l’individu à l’arrêt de bus.

3.5) Calculer une approximation de la moyenne des résultats précédents.



1 — Dans le cours est établie une formule générale pour la densité d’un carré devariable aléatoire. Dans les cas particuliers de l’exercice, voici ce que cela donne.1.1) Notons 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑥2. Alors 𝑓([−1,1]) = [0,1], donc un support presque-sûr de

Y est [0,1]. Ainsi, pour 𝑡 ∈R,

P(Y ⩽ 𝑡) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0 si 𝑡 ⩽ 0,1 si 𝑡 ⩾ 1,

P(−√𝑡 ⩽ X ⩽ √𝑡) = ∫√𝑡

−√𝑡

12d𝑥 = √𝑡 si 𝑡 ∈ [0,1]

.

Si l’on souhaite plutôt une densité, on dit que la fonction précédente en 𝑡 estcontinue, et 𝒞1 sauf éventuellement en zéro et un. Ainsi, la variable Y est àdensité et une densité est donnée par :

𝑓Y(𝑡) =1

2√𝑡𝟙[0,1](𝑡).

1.2) Ici 𝑓([−1,2]) = [0,4], donc un support presque-sûr de Y est [0,4]. Ainsi, pour𝑡 ∈R,

P(Y ⩽ 𝑡) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0 si 𝑡 ⩽ 0,1 si 𝑡 ⩾ 4,

P(−√𝑡 ⩽ X ⩽ √𝑡) = ∫√𝑡

−√𝑡

13𝟙[−1,2](𝑥)d𝑥 si 𝑡 ∈ [0,4]

.

Cette fois-ci, dans le dernier cas, deux possibilités peuvent se produirepuisque √𝑡 ∈ [0,2] et −√𝑡 ∈ [−2,0] : on peut donc «sortir» de l’intervalle[−1,2] pour certaines valeurs de 𝑡.



P(Y ⩽ 𝑡) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 si 𝑡 ⩽ 0,1 si 𝑡 ⩾ 4,

P(−√𝑡 ⩽ X ⩽ √𝑡) = ∫√𝑡

−√𝑡

13𝟙[−1,2](𝑥)d𝑥 =

2√𝑡3

si 𝑡 ∈ [0,1]

∫√𝑡

−1

13𝟙[−1,2](𝑥)d𝑥 =

13(√𝑡+1) si 𝑡 ∈ [1,4]

.

Si l’on souhaite plutôt une densité, on dit que la fonction précédente en 𝑡 estcontinue, et 𝒞1 sauf éventuellement en zéro, un et quatre. Ainsi, la variableY est à densité et une densité est donnée par :

𝑓Y(𝑡) =1

3√𝑡𝟙[0,1](𝑡)+

16√𝑡

𝟙[1,4](𝑡).


1 —2 — 2.1) Détermineons la loi de Y = cos(π X). Soit 𝑡 ∈R, alors :

P(cos(π X) ⩽ 𝑡) =⎧⎪⎨⎪⎩

0 si 𝑡 ⩽ −1P(cos(π X) ⩽ 𝑡) = P(πX ⩾ arccos𝑡) = P(X ⩾ arccos𝑡/π) si 𝑡 ∈]0,1[1 si 𝑡 ⩾ 1.

Lorsque 𝑡 ∈]0,1[, puisque X ↪ 𝒰([0,1]), nous avons P(cos(π X) ⩽ 𝑡) = 1−arccos𝑡

π .2.2) TERMINALPython Écrivons une fonction simulY() qui simule la variable Y.

Python1 from math import pi,cos2 import random as rd3 def simuY():4 return cos(pi*rd.random())

2.3) On applique le théorème du transfert, puisque Y est bornée presque-sûrement elle est bornée presque-sûrement et admet donc desmoments de

tous ordres.Alors : E (X) = ∫

1

0𝑥cos(π𝑥)d𝑥 et Var (X) = ∫

1

0𝑥2 cos(π𝑥)d𝑥 −E (X)2. Les

deux intégrales se calculant ensuite par intégration par parties.


1 — On calcule pour 𝑡 ∈R :

P(X ≤ 𝑡) = P(−1λln(1−U) ≤ 𝑡) = P(U ≤ 1−e−λ𝑡) = 1−e−λ𝑡

et on reconnait la fonction de répartition d’une loi exponentielle de paramètre λ.2 — On montre le résultat par récurrence.CLONEInitialisation. OK.CLONEHérédité. Les ingrédients : on a S𝑛+1 = S𝑛 + X𝑛+1 et S𝑛 et X𝑛+1 sont indé-pendantes donc d’après le rappel une densité de S𝑛+1 est donnée par : ∀𝑥 ∈R, 𝑓𝑛+1(𝑥) = ∫

+∞

−∞𝑓𝑛(𝑡)𝑓(𝑥−𝑡)d𝑡.

Donc pour 𝑥 > 0, 𝑓𝑛+1(𝑥) = ∫𝑥

0

λe−λ𝑡(λ𝑡)𝑛−1

(𝑛−1)!λe−λ(𝑥−𝑡) d𝑡

= λ2e−λ𝑥 ∫𝑥

0

(λ𝑡)𝑛−1

(𝑛−1)!d𝑡

= λe−λ𝑥 [(λ𝑡)𝑛

𝑛! ]𝑥

0

et le résultat en découle.3 — On suppose qu’à un arrêt de bus, les différences entre les temps de passagesuccessifs d’un autobus sont indépendantes, et de même loi exponentielle de pa-ramètre λ.4 — 4.1) Ondéfinit un instant 0, puis on note S1,S2,… les temps de passage suc-

cessifs des autobus. On note alors, pour 𝑡 > 0, N𝑡 la variable aléatoire égaleau nombre d’autobus passés entre l’instant 0 et l’instant 𝑡 à l’arrêt de bus.Autrement dit on a : ∀𝑛 ≥ 0, {N𝑡 ≥ 𝑛} = {S𝑛 ≥ 𝑡}.P(N𝑡 = 𝑛) = P(N𝑡 ≥ 𝑛)−P(N𝑡 ≥ 𝑛+1) et le résultat en découle.

/ Lycée Louis BARTHOU – Pau 49 BCPST2 ?? Creative-Commons


4.2) On a donc en utilisant la fonction de répartition de S𝑛 :

P(N𝑡 = 𝑛) = ∫𝑡

0

λe−λ𝑢(λ𝑢)𝑛−1

(𝑛−1)!−

λe−λ𝑢(λ𝑢)𝑛

(𝑛)!d𝑢

=1𝑛! ∫

𝑡

0λ𝑛(λ𝑢)𝑛−1𝑒−λ𝑢 −λe−λ𝑢(λ𝑢)𝑛 d𝑢

=1𝑛!

[e−λ𝑢(λ𝑢)𝑛]𝑡

0en reconnaissant la dérivée d’un produit.

=(λ𝑡)𝑛

𝑛!e−λ𝑡.

On reconnait alors une loi de POISSON de paramètre λ𝑡.5 — 5.1) En utilisant le résultat de la première question.

Python1 def autobus():2 s = 03 n = 04 while s<100:5 s += expo(0.1)6 n += 17 return (n-1,s-100)

5.2) On suppose que le temps moyen de passage entre deux autobus est de 10minutes. Donc λ = 1

10 . On considère un individu qui arrive au temps T = 100à l’arrêt de bus.

Python1 N = 100002 a = 03 b = 04 for k in range(N):5 simul = autobus()6 a += simul[0]7 b += simul[1]

5.3)

Python?? PythonTeX??

On obtient 10.10790336625944, 2020 / 2021 comme approximations.


Chapitre ALEA.16. Théorèmes limites probabilistes

CHAPITRE ALEA.16Théorèmes limites probabilistes

Résumé & Plan

LEs théorèmes limites en probabilités nous seront utiles dans plusieurs contextes. Le premier est le calcul approché defonctions de répartitions de lois classiques, le second est celui de la Statistique inférentielle.

W

1. Inégalités de concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Moyenne et variance empirique . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Loi limite de la centrée/réduite : le théorème central limite 12

3. Approximations de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1. Conséquences du théorème central limite . . . . . . . . . 16

3.2. Conséquences de calculs directs . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1. Inégalités de concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Théorèmes limites & Approximations . . . . . . . . . . . . 25


La notion d’espérance a été initialement introduite parHuygens en 1657, dans son traité De Ratiociniis in AleaeLudo (De la logique du jeu de dé). Le nom d’espérance yapparaît en latin sous le nom de «expectatio», avecl’interprétation d’être «le juste prix auquel un joueuraccepterait de céder sa place dans une partie».

—Le saviez-vous?

CadreCOGS




1. INÉGALITÉS DE CONCENTRATION

En probabilités, les inégalités de concentration sont des estimations de la probabi-lité qu’une variable aléatoire s’écarte de sa moyenne, ou par complémentaire dela probabilité qu’elle se concentre autour. Il en existe beaucoup, mais il vous estdemandé de connaître l’inégalité de BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV uniquement, consé-quence elle-même de l’inégalité de MARKOV, au programme elle aussi. No us lesappliquerons souvent à une somme de variables aléatoires indépendantes afind’estimer l’écart entre lamoyenne de𝑛 réalisations d’unemême variable aléatoireet son espérance : ce qui nous fournira une preuve de la loi des grands nombres.

Proposition ALEA.16.1 | Inégalité de MARKOVSiX est une variable aléatoire discrète (resp. à densité)positive possédant uneespérance, i.e.

(∑|𝑥|P(X = 𝑥))𝑥∈X(Ω) (resp. ∫∞

−∞||𝑡𝑓X(𝑡)||d𝑡) converge.

Alors, pour tout ε > 0 :

P (X ⩾ ε) ⩽E (X)

ε(Markov)

Attention×

Ne pas oublier l’hypothèse de positivité. Par exemple, on ne peut appliquercette inégalité à X ↪ 𝒩(0,1), en revanche, on peut pour X2, |X| ,X4,etc..

Preuve1 — (Cas discret)

PEN-FANCY

2 — (Cas à densité)

PEN-FANCY

Exemple 1— Soit X ↪ ℰ(λ) avec λ > 0, et soit ε > 0.

1 — Calculer précisément P (X ⩾ ε).2 — Majorer P (X ⩾ ε) à l’aide de l’inégalité de MARKOV. Commenter la précisionde cette inégalité.

PEN-FANCY



Exemple 2— Soit (Y𝑛) une suite de variables aléatoires réelles i.i.d. suivant uneℰ(λ) avec λ > 1. Pour tout 𝑛 ⩾ 1 on pose X𝑛 = ∏𝑛

𝑘=1 Y𝑘. Montrer que :

∀ε > 0, P (||X𝑛|| ⩾ ε) 𝑛→∞−−−−→ 0.

PEN-FANCY

Remarque 1.1 — L’inégalité de MARKOV est donc parfois peu précise. Son inté-rêt est d’être générale et de s’appliquer pour des variables aléatoires d’espéranceconnue où P (X ⩾ 𝑎) peut être difficile à calculer précisément.

Corollaire ALEA.16.1 | Inégalité de MARKOV généraliséeSi X est une variable aléatoire discrète (resp. à densité) possédant un momentd’ordre 𝑘, i.e.

(∑|𝑥|𝑘P(X = 𝑥))𝑥∈X(Ω)

(resp. ∫∞

−∞|𝑡|𝑘 𝑓X(𝑡)d𝑡) converge.


P (|X| ⩾ ε) ⩽E (|X|𝑘)

ε𝑘. (Markov,Géné)

Remarque 1.2 — Du fait de la présence de valeurs absolues, il n’y a plus besoind’hypothèse de positivité dans ce corollaire.

Preuve

PEN-FANCY

Enfin, nous pouvons dans l’Équation (Markov,Géné) pour 𝑘 = 2, faire la substitu-tion suivante :

X ⟵ X−E (X) .



En adaptant l’hypothèse nous obtenons immédiatement la proposition ci-dessous.

Proposition ALEA.16.2 | Bienaymé-TchebycheffSi X est une variable aléatoire discrète (resp. à densité) possédant un momentd’ordre 2, i.e.

(∑|𝑥|2P(X = 𝑥))𝑥∈X(Ω) (resp. ∫∞

−∞|𝑡|2 𝑓X(𝑡)d𝑡) converge.


P (||X−E (X)|| ⩾ ε) ⩽Var (X)

ε2. (BTCH)

Remarque 1.3— Notez que l’on a aussi, sous les mêmes hypothèses :

P (||X−E (X)|| > ε) ⩽Var (X)

ε2,

car {||X−E (X)|| > ε} ⊂ {||X−E (X)|| ⩾ ε}, donc

P (||X−E (X)|| > ε) ⩽ P (||X−E (X)|| ⩾ ε) ⩽Var (X)

ε2.

Preuve Conséquence directe de la définition de l’espérance :E ((X−E (X))2) = Var (X) et de Équation (Markov,Géné).

Exemple 3— Montrer qu’il suffit de lancer un dé à six faces équilibré 27 778 foispour garantir avec moins de 5% d’erreur que la fréquence d’apparition du 1 serade 1

6 à 1% près.

PEN-FANCY

Exemple 4— Version «asymptotique» Soit (X𝑛) une suite de variables aléatoiresréelles positives possédant toutes une variance. On suppose que :

lim𝑛→∞

E (X𝑛) = μ ∈R, et lim𝑛→∞

Var (X𝑛) = 0.

Montrer que :

∀ε > 0, P (||X𝑛 −μ|| ⩾ ε) 𝑛→∞−−−−→ 0.

PEN-FANCY



2. THÉORÈMES LIMITES

Commençonspar introduire quelquesnotations. Ces suites de variables aléatoiresseront étudiées plus en détail dans le chapitre de statistiques.

2.1. Moyenne et variance empirique

Définition ALEA.16.1 | Moyenne/Variance empiriqueSoient X1,…,X𝑛 une famille de 𝑛 ∈ N⋆ variables aléatoires réelles. On appellemoyenne empirique des X𝑖 (resp. variance empirique) les variables aléatoiresréelles

X𝑛 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X𝑖 (resp. σ2𝑛 =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(X𝑖 −X𝑛)2).

On appelle écart-type empirique la variable aléatoire

σ𝑛 =(défi.)

√σ2𝑛.

Proposition ALEA.16.3 | Version KÖNIG-HUYGENSSoient X1,…,X𝑛 une famille de 𝑛 ∈N⋆ variables aléatoires réelles. Alors :

σ2𝑛 =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X2𝑖 −X𝑛

2.

Preuve (Point clef — Développer le carré (comme pour toute formuletype KÖNIG-HUYGENS))

σ2𝑛 =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(X𝑖 −X𝑛)2

=1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(X2𝑖 +X𝑛

2 −2X𝑖X𝑛)

=1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X2𝑖 +

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X𝑛2 −2

X𝑛

𝑛

𝑛∑𝑖=1

X𝑖

=1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X2𝑖 +X𝑛

2 −2X𝑛2 =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X2𝑖 −X𝑛

2.

développement du carré

linéarité de la somme

Remarque 2.1 — «Empirique» signifie «qui ne s’appuie que sur l’expérience, l’ob-servation». Les quantités dans leur version «empirique» sont donc des réels for-més à partir d’observations, et proches de la vraie quantité. Le lien entre les deuxest donnépar la loi faible des grands nombres quenous voyons dèsmaintenant.

Toutes les quantités probabilistes existent dans une version empirique : la fonc-tion de répartition, l’anti fonction de répartition, les moments d’ordre supérieur,



etc.

NotationΣNous noterons dans la suite aussi parfois S𝑛 = X1+⋯+X𝑛 la somme partiellepour tout 𝑛 ∈N⋆.

2.2. Loi faible des grands nombres

La loi faible des grands nombres donne une réponse générale à la question sui-vante : est-ce que la moyenne empirique est proche de l’espérance de la loi com-mune, si elle existe? La réponse est oui. Nous énonçons, conformément au pro-gramme, la loi faible des grands nombres qui requiert l’existence d’une variancemais on peut s’en passer et exiger seulement l’existence d’une espérance (on parlede «loi forte», en revanche la démonstration est difficile).

Théorème ALEA.16.1 | Loi faible des grands nombres, version espéranceSoit (X𝑛) une suite de variables aléatoires réelles

i.i.d., et possédant toutes une variance commune σ2 = Var (X1).On note alors μ = E (X1). Alors pour tout ε > 0,

P (||X𝑛 −μ|| ⩾ ε) 𝑛→∞−−−−→ 0.

On dit que la suite (X𝑛) converge en probabilité vers μ.

Preuve

PEN-FANCY

Corollaire ALEA.16.2 | Loi faible des grands nombres, version probabilitéSoit A ∈ 𝒯 un évènement, et (A𝑛)𝑛 une suite d’évènements de 𝒯 telle que lesvariables aléatoires (𝟙A𝑛 ) soient i.i.d. et aient même loi que 𝟙A. Alors pourtout ε > 0,

P⎛⎜⎜⎝

||||||||

𝑛∑𝑖=1

𝟙A𝑖

𝑛−P (A)

||||||||

⩾ ε⎞⎟⎟⎠

𝑛→∞−−−−→ 0.



Remarque 2.2— Interpréation Pour estimer par simulation une probabilitéP (A), on simule un grand nombre 𝑛 de fois l’expérience aléatoire associée, et laproportion de fois sur ces 𝑛 simulations où cet évènement s’est réalisé, i.e.

∑𝑛𝑖=1 𝟙A𝑖𝑛

est alors une bonne approximation de P (A) .

Preuve

PEN-FANCY

Exemple 5— Soit un dé à six faces équilibré. On le lance 10 fois et on note El’évènement «on a obtenu au moins 7 entiers pairs sur les 10 lancers». Créer unscript Python permettant d’estimer P (E).

PEN-FANCY

Exemple 6— Approximation de π Soient deux variables aléatoires X1,X2 ↪𝒰[0,1] i.i.d.. On pose R = X2

1 +X22. On admet la convergence et la valeur de

∀𝑧 ∈]0,1[, I𝑧 = ∫𝑧

0

1√𝑥(𝑧−𝑥)

d𝑥 = π.

1 — Estimer, à l’aide de Python, la valeur de la probabilité P (R ⩽ 1) =P (X2

1 +X22 ⩽ 1).

PEN-FANCY



2 — À votre avis, que vaut P (R ⩽ 1)? Le montrer, et l’expliquer sur un dessin.

PEN-FANCY

On peut appliquer le corollaire précédent à l’évènement A = {X ⩽ 𝑥} pour toutevariable aléatoireXet𝑥 ∈R, onendéduit alorsunevaleur approchéede la fonctionde répartition de X notée FX.

Corollaire ALEA.16.3 | Loi faible des grands nombres, version fonction derépartition

SoitXune variable aléatoire réelle et (X𝑛)une suite i.i.d. de variables aléatoiresde même loi que X. Alors, pour tout 𝑥 ∈R : pour tout ε > 0,

P(||||∑𝑛𝑖=1 𝟙{X𝑖⩽𝑥}

𝑛−FX(𝑥)

||||⩾ ε) 𝑛→∞−−−−→ 0.

La fonction F𝑛 ∶ 𝑥 ⟼∑𝑛𝑖=1 𝟙{X𝑖⩽𝑥}

𝑛 est généralement appelée fonction de réparti-tion empirique d’ordre 𝑛 de X.

Remarque 2.3— InterpréationPour estimer par simulation la valeur d’une fonc-tion de répartition en un point 𝑥 i.e. FX(𝑥), on simule un grand nombre𝑛 de fois lavariable aléatoire X, et la proportion de fois sur ces 𝑛 simulations où X𝑖 ⩽ 𝑥, i.e.

∑𝑛𝑖=1 𝟙X𝑖⩽𝑥

𝑛est alors une bonne approximation de FX(𝑥).

Preuve

PEN-FANCY



Exemple 7— Une usine fabrique 1000moteurs par jour, la probabilité qu’unmo-teur donné sortant de l’usine soit défectueux est 0.01, les pannes étant indépen-dantes. Créer un script Python permettant d’estimer la probabilité qu’au plus 50moteurs soient en panne en une journée.

PEN-FANCY

On résume tout ceci dans la méthode suivante, très importante en pratique, carelle permet d’obtenir des valeurs approchées de quantités probabilistes à l’aide desimulation.

Méthode (Approcher une espérance (ou une probabilité) par simulation)WRENCH

Soient X,X1,…,X𝑛 une suite i.i.d. d’espérance μ, et admettant une variance.Alors :1 — X𝑛 ≈ μpour𝑛 assez grand, etX𝑛 s’obtient en simulant un grandnombrede fois la loi commune aux X𝑖, 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K.2 — (Pour l’espérance)

E (X) ≈ X𝑛 ≈

𝑛∑𝑖=1

X𝑖

𝑛, 𝑛 assez grand.

On forme la moyenne de simulations X𝑖. Si cette moyenne ne semble pasconverger, alors X n’a probablement pas d’espérance.3 — (Pour une probabilité/fonction de répartition) Soit I un intervalle deR. Alors commeP (X ∈ I) = E (𝟙{X∈I}), on peut utiliser 1)pour approcher la pro-babilité :

P (X ∈ I) ≈

𝑛∑𝑖=1

𝟙{X𝑖∈I}


Oncompte lenombrede simulationsX𝑖 dans Ieton renvoie lamoyenne.Pourobtenir une approximation de FX(𝑥), on compte le nombre de simulations⩽ 𝑥.

PythonConstater la convergence de la loi faible des grands nombres Rappelonsque X𝑛 = 1

𝑛 (X1 +…+X𝑛). Cherchons une relation de récurrence sur X𝑛 :

X𝑛 =1𝑛

(X1 +…+X𝑛) =1𝑛

(X1 +…+X𝑛−1)+X𝑛

𝑛

=𝑛−1

𝑛1

𝑛−1(X1 +…+X𝑛−1)+

X𝑛

𝑛

=𝑛−1

𝑛X𝑛−1⎵⎵⎵

déjà simulé

+X𝑛

𝑛⎵à simuler

.

Cette relation permet donc de conserver la trajectoire déjà simulée pour



Python ajouter un nouveau point sur le graphe.

1 def LFGN_Binomiale(N, n, p):2 '''3 Trace la moyenne empirique4 N : nb de simulations5 n,p : paramètres de la binomiale6 '''7 X_bar = np.random.binomial(n, p) # simu d'une B(n,p)8 L = [X_bar]9 for k in range(2, N+1):

10 X_bar = ((k-1)/k)*X_bar + np.random.binomial(n, p)/k11 L.append(X_bar)12 plt.plot(L)13 return L14 LFGN_Binomiale(100, 10, 0.6)

1 plt.show()

On constate bien une convergence vers 0,6×10 = 6.



Méthode de Monte-Carlo pour l’approximation d’intégrales La loi des grandsnombres, dans le cas des variables à densité, nous donne un moyen d’estimer uneintégrale de fonction continue. Voyons comment.

Proposition ALEA.16.4 | Méthode deMONTE-CARLOSoit 𝑓 ∶ [0,1] ⟶Rune fonction continue sauf enunnombrefini depoints telleque

I = ∫1

0𝑓(𝑡)d𝑡 ∫

1

0𝑓(𝑡)2 d𝑡convergent absolument.

Notons X𝑖 = 𝑓(U𝑖) pour tout 𝑖 ∈N, avec (U𝑖)𝑖 suite i.i.d. de variables aléatoiresde loi commune 𝒰[0,1]. On note X𝑛 = ∑𝑛

𝑖=1X𝑖𝑛 = ∑𝑛

𝑖=1 𝑓(U𝑖)𝑛 pour tout 𝑛 ∈ N⋆.

Alors :1 — les X𝑖 admettent toutes une espérance égale à I = ∫

1

0𝑓(𝑡)d𝑡 et elles sont

indépendantes.2 — Pour tout ε > 0, P (||X𝑛 −I|| ⩾ ε) 𝑛→∞−−−−→ 0.

Remarque 2.4— Cette méthode probabiliste vient donc s’ajouter à celles déjàconnues : rectangle gauche ou droite, trpaèzes (méthodes analytiques).

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

Exemple 8— Déterminer une valeur approchée de I = ∫10 (ln(𝑡))2 d𝑡 à l’aide de Py-

thon, onfixeraungrandnombreN = 103 simulations.Onadmettra la convergencede l’intégrale.

PEN-FANCY



2.3. Loi limite de la centrée/réduite : le théorème central limite

Soit (X𝑛) une suite de variables aléatoires réelles i.i.d., et possédant toutes une va-riance communeσ2 = Var (X1). On note alorsμ = E (X1). Rappelons que la versioncentrée/réduite de X𝑛 = X1+⋯+X𝑛

𝑛 , est par définition

X𝑛⋆ =

X𝑛 −E (X𝑛)

√Var (X𝑛)

=X𝑛 −μ

√𝑛σ2/𝑛2

=X𝑛 −μ

σ√𝑛

= √𝑛X𝑛 −μ

σ.

linéarité de l’espérance, et indépendance de X1,…,X𝑛

Alors que la version centrée/réduite de S𝑛 = X1 +⋯+X𝑛, est par définition

PEN-FANCY

Alors, le théorème central limite, que nous allons énoncer, prétend que la loi deX𝑛

⋆ est «très proche» d’une 𝒩(0,1) lorsque 𝑛 ⟶ ∞. Énonçons le résultat com-plet.

Théorème ALEA.16.2 | Théorème central limite, version convergence enloi

Soit (X𝑛) une suite de variables aléatoires réellesi.i.d., et possédant toutes une variance commune σ2 = Var (X1).

On note alors μ = E (X1). Alors :

X𝑛⋆ =

X𝑛 −μσ√𝑛

=S𝑛 −𝑛μ√𝑛σ

= S⋆𝑛

converge en loi vers une loi normale centrée réduite, i.e. : ∀(𝑎,𝑏) ∈ (R ∪{±∞})2,𝑎 ≠ 𝑏,

P(𝑎 ⩽ √𝑛X𝑛 −μ

σ⩽ 𝑏) = P(𝑎 ⩽

S𝑛 −𝑛μ√𝑛σ

⩽ 𝑏)

𝑛→∞−−−−→1

√2π∫𝑏

𝑎e−

𝑡22 d𝑡 = Φ(𝑏)−Φ(𝑎).

Remarque 2.5 — Vous pouvez, au choix, appliquer ce théorème à la centrée-réduite de la moyenne empirique, ou la somme partielle.

Preuve Admis.

PythonConstater la convergence du théorème central limite Étant donné que lerésultat du théorème central limite est une convergence en loi, i.e. un «rap-prochement des histogrammes» lorsque 𝑛 devient grand, on :1 — commence par créer un tableau contenant des simulations de la cen-trée réduite de la loi étudiée.2 — On regroupe ces simulations en classes puis on trace l’histogramme :cela est fait automatiquement avec la commande plt.hist où l’on spécifienotamment le nombre de classes souhaité dans l’histogramme.



Python 3 — On superpose ce graphique avec celui de la densité de la 𝒩(0,1), lesdeux devant être assez proches d’après le théorème central limite.On réalise les simulationspour l’uniforme sur [0,1]d’espérance 1

2 et variance112 .

1 import random as rd2 import matplotlib.pyplot as plt3 import numpy as np4

5 def unif_star(n):6 S = 07 for _ in range(n):8 S += rd.random()9 return np.sqrt(n)*(S/n-1/2)/np.sqrt(1/12)

10

11 def TCL_Unif(c, N, n):12 X_star = np.zeros(N)13 for i in range(N):14 X_star[i] = unif_star(n)15 plt.hist(X_star, bins=c, density=True)16 x = np.linspace(-5, 5, 10**3)17 y = np.exp(-x**2/2)/np.sqrt(2*np.pi)18 plt.plot(x,y)19

20 TCL_Unif(10,1000,100)

1 plt.show()

Python

Corollaire ALEA.16.4 | Théorème central limite, version «approximation»Soit (X𝑛) une suite de variables aléatoires réelles

i.i.d., et possédant toutes une variance commune σ2 = Var (X1).On note alors μ = E (X1). Alors : ∀(𝑎,𝑏) ∈ (R∪{±∞})2, 𝑎 ≠ 𝑏,

P (𝑎 ⩽ X𝑛 ⩽ 𝑏) ≈𝑛→∞ ∫

𝑏

𝑎φμ, σ2𝑛

,

P (𝑎 ⩽ S𝑛 ⩽ 𝑏) ≈𝑛→∞ ∫

𝑏

𝑎φ𝑛μ,𝑛σ2 .

Autrement dit, pour 𝑛 assez grand,Caret-right la loi de X𝑛 est «proche de» 𝒩(μ, σ

2

𝑛 ).Caret-right la loi de S𝑛 est «proche de» 𝒩(𝑛μ,𝑛σ2).



Attention×

Cela n’a pas de sens de dire directement que X𝑛 converge en loi vers une𝒩(μ, σ

2

𝑛 ), tout simplement car les paramètres de la loi normale dépendentde 𝑛. On se contentera d’une notation vague «≈»a et de préciser sous quellecondition elle est valide.

Méthode (Pour retenir l’approximation de X𝑛 par une loi normale)WRENCH

Penser aux paramètres : E (X𝑛) = μ, Var (X𝑛) = σ2𝑛 , «à la limite» on obtient

une loi 𝒩(μ, σ2

𝑛 ) de mêmes paramètres.

Preuve (Point clef — Stabilité de la loi normale)Nous avons pour tout 𝑛 ∈ N⋆ :

X𝑛⋆ = √𝑛

X𝑛 −μσ

⟺ X𝑛 =σ

√𝑛X𝑛

⋆ +μ.

PEN-FANCY

Nous avons pour tout 𝑛 ∈ N⋆ :

S⋆𝑛 =S𝑛 −𝑛μσ√𝑛

⟺ S𝑛 = σ√𝑛S⋆𝑛 +𝑛μ.

PEN-FANCY

aBien sûr, ce symbole n’a aucune légitimité mathématique.

Remarque 2.6—

1 — La convergence en loi précisée plus haut est en fait équivalente à la conver-gence des fonctions de répartition en tout point 𝑥 de R :

∀𝑥 ∈R FX𝑛⋆ (𝑥) 𝑛→∞−−−−→ F(𝑥) =1

√2π∫𝑥

−∞e−

𝑡22 d𝑡.

2 — Le point remarquable de ce théorème est son universalité : peu importe la loien entrée de (X𝑛) — continue ou même discrète ! — on a convergence en loi versune 𝒩(0,1). Ce fait explique que dans beaucoup de contextes nous obtenons deshistogrammes en forme de «cloche».

Exemple 9— Chaque année, M. Durand effectue 2 fois par jour, 5 jours par se-maine et pendant 46 semaines, un trajet en voiture dont la durée est une variablealéatoire réelle X qui suit une loi d’espérance 45 min et d’écart type 10 min. Onsuppose que les durées des trajets sont mutuellement indépendantes. Estimer laprobabilité pour que M. Durand passe au moins 350 heures dans sa voiture aucours de l’année.

PEN-FANCY



Exemple 10— Unemontre fait une erreur relative d’au plus une demi-minute parjour, et que l’erreur commise est uniforme. Déterminer la probabilité que l’erreurcommise au bout d’une année non bissextile soit inférieure ou égale à un quartd’heure.

PEN-FANCY

Exemple 11— Soit 𝑘 ∈N∗, et X𝑘 ↪ 𝒰[0,1] telle que (X𝑘)𝑘∈N⋆ soit une suite i.i.d..Quelle est la limite de P (𝑛2 −√𝑛 < S𝑛 < 𝑛

2 +√𝑛) quand 𝑛 ⟶ +∞?

PEN-FANCY



La seconde formedu théorèmecentral limite consiste en lamodification suivante :on peut remplacer σ par sa version empirique, la convergence est alors mainte-nue. Cette substitution paraît pour le moment anecdotique, mais elle sera d’im-portance capitale en statistiques.

Théorème ALEA.16.3 | Théorème central limite en approchant la varianceSoit (X𝑛) une suite de variables aléatoires réelles

i.i.d., et possédant toutes une variance commune σ2 = Var (X1).On note alors μ = E (X1). Alors :

X𝑛−μσ𝑛√𝑛

converge en loi vers une loi normale centrée réduite, i.e. :

∀(𝑎,𝑏) ∈ (R∪{±∞})2, 𝑎 ≠ 𝑏,

P(𝑎 ⩽ √𝑛X𝑛 −μ

σ𝑛⩽ 𝑏) = P(𝑎 ⩽

S𝑛 −𝑛μ√𝑛σ𝑛

⩽ 𝑏)

𝑛→∞−−−−→1

√2π∫𝑏

𝑎e−

𝑡22 d𝑡 = Φ(𝑏)−Φ(𝑎).

Remarque 2.7— Cette substitution par σ𝑛 est en fait une conséquence d’unepropriété plus générale de la convergence en loi, appelée « lemme de SLUTSKY».

Preuve Preuve également admise.

3. APPROXIMATIONS DE LOIS

Nous allons à présent appliquer les théorèmes limites vus précédemment pourapprocher des lois usuelles par d’autres lois.

3.1. Conséquences du théorème central limite

Commençons avec deux applications directes du théorème central limite.

Proposition ALEA.16.5 | Approximation de la loiℬ(𝑛,𝑝)par la loi normale- MOIVRE-LAPLACE

Si X1,…,X𝑛 sont i.i.d. de loi ℬ(𝑝), alors :

1 — S𝑛 =𝑛∑𝑘=1

X𝑘 ↪ ℬ(𝑛,𝑝), et

2 — S⋆𝑛 = S𝑛−𝑛𝑝√𝑛𝑝(1−𝑝)

loi−−−−→𝑛→∞

𝒩(0,1). Autrement dit, pour 𝑛 assez grand, la loide S𝑛 est «proche de» 𝒩(𝑛𝑝,𝑛𝑝(1−𝑝)).

Attention×

Cela n’a pas de sens de dire directement que S⋆𝑛 converge en loi vers une𝒩(𝑛𝑝,𝑛𝑝(1−𝑝)), tout simplement car les paramètres de la loi normale dé-pendent de 𝑛.

Remarque 3.1— ValiditéOn considère en pratique cette approximation commesatisfaisante dès que

𝑛 ⩾ 30, 𝑛𝑝 ⩾ 15, 𝑛𝑝(1−𝑝) ⩾ 5.

Méthode (Pour retenir l’a approximation de la loi binomiale par la normale)WRENCH

Penser aux paramètres : E (S𝑛) = 𝑛𝑝, Var (S𝑛) = 𝑛𝑝(1 −𝑝), «à la limite» onobtient une loi 𝒩(𝑛𝑝,𝑛𝑝(1−𝑝)) qui a même espérance/variance que S𝑛.

Preuve

PEN-FANCY



Exemple 12— Cas de ℬ(40,0.5 et «correction de continuité» Soit X ↪ℬ(40,0.5).

1 — Par quelle loi normale peut-on approcher la loi de X? PEN-FANCY Nous sommesdans les conditions d’approximation de MOIVRE-LAPLACE : X est une somme de𝑛 = 40 ⩾ 30 variables de BERNOULLI et 𝑛

2 = 20 ⩾ 5. On peut donc approcher la loide X par une 𝒩(20,10).2 — En déduire une valeur approchée de P(17 ≤ X < 25). PEN-FANCY On obtient ainsi

P(17 ⩽ X < 25) = P(17 ⩽ X ⩽ 24) = P( −3√10

⩽ X−20√10

⩽ 4√10

) ≈ 1Φ(1,26) −Φ(−0,95) ≈0.72.3 — Comment utiliser cette approximation pour estimer P(X = 20)? PEN-FANCY Si onapprocheP(X = 20) par lamême probabilitémais pour une loi normale, on trouvezéro (on rappelle que les lois à densité n’ont pas d’atome). On modifie donc unpetit peu la probabilité de départ : notons

P(X = 20) ≈ P(19,5 ⩽ X ⩽ 20,5) ≈ P(−0,5/√10 ⩽ X−20 ⩽ 0,5/√10)

= Φ(0,5/√10)−(−0,5/√10) ≈ 0.126.

Cette opération que l’on vient de réaliser est généralement appelée «correction decontinuité ».

1Vous constaterez qu’ici on s’est directement ramené au théorème central limite en centrant etréduisant. Il n’est donc pas forcément utilise d’apprendre par coeur la proposition précédente

Faisons de-même mais cette fois-ci pour la loi de POISSON.

Proposition ALEA.16.6 | Approximation de la loi 𝒫(λ) par la loi normaleSi X1,…,X𝑛 i.i.d. de loi 𝒫(λ) avec λ > 0, alors :

1 — S𝑛 =𝑛∑𝑘=1

X𝑘 ↪ 𝒫(𝑛λ), et

2 — S⋆𝑛 = S𝑛−𝑛λ√𝑛λ

loi−−−−→𝑛→∞

𝒩(0,1). Autrement dit, pour 𝑛 assez grand, la loi deS𝑛 est «proche de» 𝒩(𝑛λ,𝑛λ).


𝑛λ ⩾ 15.

Remarque 3.3— Cas 𝑛 = 1 Le résultat précédent permet donc d’affirmer que𝒫(λ) est proche de 𝒩(λ,λ) dès lors que

λ ⩾ 15.

Preuve

PEN-FANCY



Attention×

Cela n’a pas de sens de dire directement que S⋆𝑛 converge en loi vers une𝒩(𝑛λ,𝑛λ), tout simplement car les paramètres de la loi normale dépendentde 𝑛.

Méthode (Pour retenir l’approximation de la loi de Poisson par la normale)WRENCH

Penser aux paramètres : E (S𝑛) = 𝑛λ, Var (S𝑛) = 𝑛λ, «à la limite» on obtientune loi 𝒩(𝑛λ,𝑛λ) de même espérance/variance que S𝑛.

3.2. Conséquences de calculs directs

Pour terminer ce chapitre, nous établissons deux autres résultats de convergencetotalement indépendants des théorèmes limites.

Proposition ALEA.16.7 | Approximation de la loi hypergéométrique par laloi binomiale

Soient 𝑝 ∈]0,1[ et 𝑛 ∈ N. On pose 𝑞 = 1−𝑝. Alors pour N ⩾ 𝑛, tel que N𝑝 ∈ N,soit XN ↪ ℋ(N,𝑛,𝑝). Alors pour tout 𝑘 ∈ J0 , 𝑛K,

limN⟶+∞N∈N,N𝑝∈N

P(XN = 𝑘) = (𝑛𝑘)𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘.

En particulier, la loi ℋ(N,𝑛,𝑝) est «proche de» la loi ℬ(𝑛,𝑝).


N ⩾ 10𝑛.

Remarque 3.5— Comment expliquer ce résultat sans calculs?

PEN-FANCY

Preuve Soit 𝑖 ∈ N. Rappelons que P(X𝑖 = 𝑘) = (N𝑝𝑘 )( N𝑞𝑛−𝑘)

(N𝑛)pour tout 𝑘 ∈

X𝑖(Ω). Alors :

(N𝑝𝑘 )( N𝑞𝑛−𝑘)

(N𝑛)

=(N𝑝)!

𝑘!(N𝑝−𝑘)!(N𝑞)!

(𝑛−𝑘)!(N𝑞−𝑛+𝑘)!N!

𝑛!(N−𝑛)!

=𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!(N𝑝)!

(N𝑝−𝑘)!(N𝑞)!

(N𝑞−𝑛+𝑘)!(N−𝑛)!

N!

= (𝑛𝑘)(N𝑝)…(N𝑝−𝑘+1)

1(N𝑞)…(N𝑞−𝑛+𝑘+1)

11

(N)…(N−𝑛+1).

La deuxième fraction apparaît comme un quotient de deux polynômes enN : le numérateur est un polynôme de degré 𝑛 de coefficient dominant𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘N𝑛, le second de degré 𝑛 de coefficient dominant N𝑛.

PEN-FANCY



Proposition ALEA.16.8 | Approximation de la loi de POISSON par des bino-miales

Soit λ ∈R+⋆, et Y𝑛 ↪ ℬ(𝑛, λ𝑛 ). Alors :

∀𝑘 ∈N, lim𝑛→∞

P(Y𝑛 = 𝑘) =λ𝑘

𝑘!𝑒−λ.


𝑛 ⩾ 30,λ𝑛

⩽ 0,01.

Remarque 3.7— Interprétation de la loi de POISSON : évènements raresLorsque 𝑛 est très grand, le résultat précédent nous apprend que

ℬ(𝑛,λ𝑛

) est proche de 𝒫(λ).

Mais le paramètre λ𝑛 est alors très petit, donc 𝒫(λ) correspondrait alors approxi-

mativement à un nombre de succès survenus dans un intervalle très grand J0, 𝑛K,mais avec une probabilité de succès λ

𝑛 extrêmement faible. C’est pour cette raisonque l’on qualifie parfois la loi de POISSON de «loi des évènements rares».

Preuve Montrons tout d’abord que : lim𝑛→∞

(1− λ𝑛 )

𝑛= 𝑒−λ.

PEN-FANCY

On peut ensuite conclure :

PEN-FANCY

PythonApproximation de la loi de Poisson

1 import scipy.special2

3 def binom(n, k):4 '''5 (n : int, k : int) -> renvoie le coefficient binomial k

parmi n↪

6 '''7 if k > n:8 return 0



Python9 else:

10 return scipy.special.binom(n, k)11

12 lamba = 1013 def rep_Hist_Bin(n):14 '''15 trace l'histo de B(n,lamba/n) à n fixé16 '''17 p = lamba/n18 Support = np.arange(0,n+1,1)19 Loi = np.zeros(len(Support))20 for k in range(len(Support)):21 Loi[k] = binom(n, k)*(p**k)*((1-p)**(n-k))22 plt.bar(Support, Loi , color='r')23

24 def rep_Hist_Poiss():25 '''26 trace l'histo de P(lamba) tronquée à 5027 '''28 N = 50 # Troncature du support29 Support = np.arange(1,N+1,1)30 Loi = np.zeros(len(Support))31 for k in range(len(Support)):32 Loi[k] = lamba**k/ma.factorial(k)*np.exp(-lamba)33 plt.bar(Support, Loi)

Python1 n = 502 rep_Hist_Bin(n)3 rep_Hist_Poiss()

1 plt.show()

1 n = 2002 rep_Hist_Bin(n)3 rep_Hist_Poiss()

1 plt.show()

Pour 𝑛 = 200, nous voyons que les distributions sont déjà extrêmementproches.

Exemple 13— Sur une autoroute la proportion de camions par rapport à l’en-semble des véhicules est 0.07.

1 — Soit X le nombre de camions parmi 100 véhicules choisis au hasard. CalculerP(X ≥ 5). PEN-FANCY Il s’agit ici de calculer la probabilitéP(X ⩾ 5) avecX ↪ ℬ(100,0,07).Nous sommesdans les conditions d’applicationde la propositionprécédente :𝑛 =100 ⩾ 30, 𝑝 = 0,07 ⩽ 0,1 et 𝑛𝑝 = 7 ⩽ 15. Ainsi on approche cette loi par 𝒫(100×0,07) = 𝒫(7). Donc :

P(X ⩾ 5) ≈∞∑𝑘=5

e−77𝑘

𝑘!

= 1−e−74∑𝑘=0

7𝑘

𝑘!≈ 0,827 .

2 — Soit Y le nombre de camions parmi 1000 véhicules. Calculer P(65 ≤ Y ≤75). PEN-FANCY Cette fois-ci on souhaite approcher une ℬ(1000,0,07). Comme 𝑛𝑝 ⩾ 15,la bonne approximation à utiliser est plutôt celle de MOIVRE-LAPLACE (vérifier



pour cela l’ensemble des conditions : 1000 × 0,07 = 70 ⩾ 15, 70 × 0,93 = 64, et1 > 4). On approche donc par la loi 𝒩(70,65.1). Ainsi :

P(65 ⩽ Y ⩽ 75) = P((−5)/√65,1 ⩽ (Y−70)/√65,1 ⩽ 5/√65,1)

= Φ(5/√65,1)−Φ((−5)/√65,1) ≈ 0,5 .

3 — On choisit 𝑛 véhicules au hasard. Déterminer pour quelles valeurs de 𝑛 onpeut affirmer que la proportion des camions parmi ces véhicules est compriseentre 0.06 et 0.08 avec un risque d’erreur inférieur à 0.05. PEN-FANCY Cette fois-ci lenombre de camions est S𝑛 avec S𝑛 ↪ ℬ(𝑛,0,07), la proportion des camions estalors S𝑛

𝑛 .On cherche donc 𝑛 tel que

P(||||S𝑛𝑛

−0,07|||| ⩾ 0,01) = 0,05.

Sous les conditions d’application de l’approximation de MOIVRE-LAPLACE, i.e. 𝑛 ⩾30,0,07𝑛 ⩾ 15 et 0,07×0,93×𝑛 > 5, i.e.𝑛 ⩾ 215, nous pouvons approcher la loi deS𝑛𝑛 par 𝒩(0,07, 0,651𝑛 ). La loi de S𝑛

𝑛 −0,07 est, d’après les propriétés de stabilité de

la loi normale une 𝒩(0, 0,651𝑛 ). Ainsi, puisque Var ( S𝑛𝑛 ) = 0,651𝑛 :

P(||||S𝑛𝑛

−0,07|||| ⩾ 0,01) = P(√

𝑛0,651

||||S𝑛𝑛

−0,07|||| ⩾ √

𝑛0,651

0,01)

≈ 2(1−Φ(√𝑛

√651))

≈ 0,05

si et seulement si Φ( √𝑛√651

) ≈ 0,975. On trouve avec la table : √𝑛√651

≈1,96, soit 𝑛 ≈ 2501 ⩾ 90, qui est confirme donc l’approximation de MOIVRE-LAPLACE réalisée plus haut. Rappelons également que pour trouver 𝑛 on auraitpu utiliser la commande norm.ppf(0.975) (fonction inverse de Φ) qui renvoie1.959963984540054).

Résumé (Bilan des approximations de lois)♥

Loi Proche de Validitéa

Loi ℬ(𝑛,𝑝) 𝒩(𝑛𝑝,𝑛𝑝(1−𝑝)) 𝑛 ⩾ 30, 𝑛𝑝 ⩾ 15, 𝑛𝑝(1−𝑝) ⩾ 5,

Loi 𝒫(λ) 𝒩(𝑛λ,√𝑛λ) 𝑛λ ⩾ 15,

Loi ℋ(N,𝑛,𝑝) ℬ(𝑛,𝑝) N ⩾ 10𝑛,

Loi ℬ(𝑛,λ/𝑛) 𝒫(λ) 𝑛 ⩾ 30, λ𝑛 ⩽ 0,01.

aRassurez-vous, elles seront avec très forte probabilité rappelées s’il y en a besoin dans un sujet.



ANNEXE – TABLE DE VALEURS DE LA 𝒩(0,1)



𝑥 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706



1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Φ(𝑥) = P(X ≤ 𝑥) = ∫𝑥

−∞

1√2π

e−𝑡22 d𝑡 et Φ(−𝑥) = 1−Φ(𝑥).


P(X ∈ [−1.96;1.96]) = 2Φ(1.96)−1 = 0.95




4. EXERCICES

4.1. Inégalités de concentration

[PS_ThmLim_9.tex]

Exercice ALEA.16.1 Déterminer :

lim𝑛→∞

13𝑛

⌊𝑛3 ⌋

∑𝑘=0

(𝑛𝑘)2𝑛−𝑘.

Indication : Appliquer le théorème central limite à une suite de variables aléa-toires de BERNOULLI bien choisie.

[PS_ThmLim_6.tex]

Exercice ALEA.16.2 On note Φ la fonction de répartition de la loi 𝒩(0,1).

1 — Montrer que : ∀𝑥 ∈R+⋆, 1−Φ(𝑥) ⩽ 12𝑥2 .

2 — En déduire l’existence de ∫∞0 (1−Φ(𝑡))d𝑡. Calculer sa valeur.

[PS_ThmLim_7.tex]

Exercice ALEA.16.3 Soit X ↪ 𝒩(0,1) et 𝑥 > 0. Montrer que :

∫𝑥

0e−

𝑡22 d𝑡 ⩾ √

π2

−1𝑥.

Indication : On pourra essayer d’appliquer l’inégalité de MARKOV.[PS_ThmLim_15.tex]

Exercice ALEA.16.4 Un premier intervalle de fluctuation On réalise 400 fois defaçon indépendante la même expérience dont la probabilité de succès est 0,8. On

note N400 la variable aléatoire discrète donnant le nombre de succès dans cettesérie de 400 expériences.

1 — Montrer que : P(300 < N < 340) ⩾ 0,84.2 — TERMINALPython En simulant un grand nombre de fois la variable aléatoire N, constaterle résultat précédent par simulation.


Exercice ALEA.16.5 A-ENV, Sujet 6, 2019 (Solution : 27) On souhaite estimer unparamètre 𝑝 ∈]0;1[. On note : 𝑞 = 1−𝑝. Soit un entier 𝑛 ⩾ 1 fixé. On considèreX1,…,X𝑛 des variables aléatoires, indépendantes, suivant une même loi de BER-NOULLI de paramètre 𝑝 et définies sur un même espace probabilités. On note :

X𝑛 = 1𝑛

𝑛∑𝑘=1

X𝑘.

1 — 1.1) Justifier que 𝑝(1−𝑝) ⩽ 14 .

1.2) En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que l’intervalle

[X𝑛 −√ 5𝑛 ;X𝑛 +√ 5

𝑛] est un intervalle de confiance de 𝑝 au niveau deconfiance 0,95.

1.3) TERMINALPython Écrire une fonction Python test(n,p,a,b) qui prend en argumentsun entier n, une probabilité p, deux flottants a et b, simule une réalisation deX𝑛 et retourne1 siX𝑛 appartient à [𝑎,𝑏] et 0 sinon.Oncherchepar la suiteunintervalle de confiance de 𝑝 au niveau de confiance 0,95 d’amplitude pluspetite.

1.4) (Inégalité de Hoeffding) On fixe un réel strictement positif 𝑡 quelconqueet ϵ un réel strictement positif quelconque.

1.5) Établir l’égalité : P (X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ) = P (𝑒𝑛𝑡X𝑛 ⩾ e𝑛𝑡(𝑝+ϵ)).1.6) En utilisant l’inégalité de Markov, établir l’inégalité suivante :

P (X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ) ⩽ e𝑛(ln(𝑝𝑒𝑡+𝑞)−𝑡(𝑝+ϵ)).

1.7) On admet l’inégalité : ln(𝑝𝑒𝑡 +𝑞)−𝑡𝑝 ⩽ 𝑡28 . Ainsi, on a l’inégalité suivante :

∀𝑡 ∈R+, P (X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ) ⩽ e𝑛( 𝑡

28 −𝑡ϵ).



En déduire l’inégalité : P (X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ) ⩽ e−2𝑛ϵ2.

2 — On pose Y𝑛 = 1𝑛

𝑛∑𝑘=1

(1−X𝑘). Établir l’inégalité / P (Y𝑛 −𝑞 ⩾ ϵ) ⩽ e−2𝑛ϵ2.

3 — Déduire des questions 3.3 et 4. l’inégalité :

∀ϵ ∈R∗+, P (||X𝑛 −𝑝|| ⩾ ϵ) ⩽ 2𝑒−2𝑛ϵ

2.

4 — Comment choisir ϵpour obtenir un intervalle de confiance de𝑝 au niveau deconfiance 0,95? L’amplitude de l’intervalle de confiance est-elle plus réduite quecelle obtenue à la question 1(2)?

4.2. Théorèmes limites & Approximations

[PS_ThmLim_9.tex]

Exercice ALEA.16.6 Déterminer :

lim𝑛→∞

13𝑛

⌊𝑛3 ⌋

∑𝑘=0

(𝑛𝑘)2𝑛−𝑘.

Indication : Appliquer le théorème central limite à une suite de variables aléa-toires de BERNOULLI bien choisie.

[PS_ThmLim_12.tex]

Exercice ALEA.16.7 Le but est de trouver la limite (si elle existe) de

𝑢𝑛 = e−𝑛𝑛∑𝑘=0

𝑛𝑘

𝑘!lorsque𝑛 ⟶ ∞.

Soit (X𝑘)𝑘∈N∗ une suite de variables mutuellement indépendantes suivant touteune loi de POISSON de paramètre 1.

1 — Pour 𝑘 fixé, rappeler l’expression de la loi de X𝑘.

2 — Soit 𝑛 ∈ N∗ fixé. Quelle est la loi de S𝑛 = X1 +X2 + ...+X𝑛 ? Donner son espé-rance et sa variance.3 — Déterminer lim𝑛⟶+∞𝑢𝑛. Indication : On pourra utiliser le théorème cen-tral limite.

[PS_ThmLim_17.tex]

Exercice ALEA.16.8 (Solution : 28) Une entreprise compte 300 employés. Chacund’eux téléphone en moyenne 6 minutes par heure. Combien de lignes télépho-niques doit faire installer l’entreprise afin que la probabilité que toutes les lignessoient occupées en même temps sur un intervalle de temps d’une heure soit infé-rieure ou égale à 0.025?

[PS_ThmLim_14.tex]

Exercice ALEA.16.9 On lance un dé équilibré à 6 faces 9000 fois. On note A «onobtient la face 6 entre 1400 et 1600 fois».

1 — Donner l’expression exacte de P(A). On n’essayera pas de calculer une cer-taine somme.2 — Donner une minoration de P(A) en utilisant l’inégalité de BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV.3 — Enutilisant le théorème central limite, donner une estimation deP(A). Com-parer avec la question précédente.

[PS_VeD_37.tex]

Exercice ALEA.16.10 D’aprèsA-ENV2016 Onconsidèreunepopulationde𝑛 ∈N⋆

insectes. Le nombre (aléatoire) N d’oeufs pondus par un insecte donné suit uneloi de POISSON de paramètre λ > 0. Chaque oeuf peut éclore avec une probabilité𝑝 ∈]0,1[. On note X la variable aléatoire égale au nombre d’oeufs éclos pour uninsecte donné et Y la variable aléatoire égale au nombre d’oeufs non éclos.

1 — TERMINALPython Onutilisera les fonctions ci-dessous enprenant commevaleursdespa-



ramètres : 𝑛 = 10,𝑝 = 0,25 et λ = 40.1.1) En approchant la loi de N par une loi binomiale ℬ(1000, λ

1000 ), écrire fonc-tion python d’en-tête def f1(l) qui prend en entrée une valeur de λ et quisimule la variable aléatoire N.

1.2) Écrire une fonction python d’en tête def f2(l,p) qui prend en entrée unevaleur pour λ et une valeur pour 𝑝 et donne en sortie un couple de valeurspour (X,Y).

1.3) Écrire une fonction python d’en-tête def f3(n,l,p): qui prend en entréeune valeur pour le nombre d’insectes n, une valeur pour λ, une valeur pour𝑝 et donne en sortie le nombre total d’oeufs éclos.

2 — 2.1) Donner les lois de X et Y.2.2) Les variables aléatoires X,Y sont-elles indépendantes? Calculer Cov (X,Y).2.3) On note N10 le nombre d’oeufs pondus par 10 insectes, et Z10 le nombre

d’oeufs éclos pour 10 insectes. Donner les lois de N10 et Z10.[PS_ThmLim_10.tex]

Exercice ALEA.16.11 Caractérisation de la loi normale Soit X une variable aléa-toire réelle centréede carré intégrable, de varianceσ2 > 0. On supposeque siX1,X2sont indépendantes de même loi que X alors X1+X2

√2a même loi que X.

1 — Montrer que : X1+⋯+X4√22

a même loi que X.2 — (Généralisation) Soit (X𝑛)𝑛 une suite i.i.d. de même loi que X, on notepour tout 𝑛 ∈ N⋆, S𝑛 = X1 +⋯+X𝑛. Montrer que : S2𝑛

√2𝑛a même loi que X pour

tout 𝑛 ∈N⋆.3 — En déduire, en utilisant le théorème central limite, que X ↪ 𝒩(0,σ2).





1 — 1.1) La fonction𝑥 ⟼ 𝑥(1−𝑥) est un trinômedemaximumatteint en− 1−2 =

12 . Le maximum en question vaut 1

4 . Donc : ∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑥(1−𝑥) ⩽ 14 , es-

timation fournissant la réponse à la première question.1.2) D’après l’inégalité de BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV appliquée à X𝑛, qui admet un

moment d’ordre deux, nous avons :∀ε > 0, P (||X𝑛 −𝑝|| ⩾ ε) ⩽ 1

ε2Var (X𝑛) = 1𝑛2ε2 (𝑛Var (X1)) par indépendance

des X𝑖. Donc :

∀ε > 0, P (||X𝑛 −𝑝|| ⩾ ε) ⩽𝑝(1−𝑝)

𝑛ε2⩽

14𝑛ε2

.

Donc on a aussi : ∀ε > 0, P (||X𝑛 −𝑝|| > ε) ⩽ 14𝑛ε2 , ce qui, en passant au

complémentaire nous livre :

P (||X𝑛 −𝑝|| ⩽ ε) = P (𝑝 ∈ [X𝑛 −ε,X𝑛 +ε]) ⩾ 1−1

4𝑛ε2.

Il reste à choisir ε = √ 5𝑛 , ce qui donne :

P(𝑝 ∈ [X𝑛 −√ 5𝑛 ,X𝑛 +√ 5

𝑛]) = 0.95.

1.3) TERMINALPython

Python1 import numpy as np2 import random as rd3 def test(n, p, a, b):4 '''5 (n, p, a, b)-> réalisation de la moy. empirique, et un

test↪

6 '''7 S = 0

Python8 for _ in range(n):9 x = rd.random()

10 if x < p:11 S += 112 return S/n, int(S/n-np.sqrt(5/n) <= p <=

S/n+np.sqrt(5/n))↪

2 — 2.1) Avec les notations de l’énoncé, on a : {X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ} =

{𝑛𝑡(X𝑛 −𝑝) ⩾ 𝑛𝑡ϵ} = {e𝑛𝑡(X𝑛−𝑝) ⩾ e𝑛𝑡ϵ} = {e𝑛𝑡X𝑛 ⩾ e𝑛(𝑡+𝑝)ϵ}.D’où l’égalité en probabilités :

P (X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ) = P (e𝑛𝑡X𝑛 ⩾ e𝑛(𝑡+𝑝)ϵ) .

2.2) D’après l’inégalité de Markov, puisque X𝑛 est bornée elle admet bien uneespérance, on obtient par indépendance :

P (X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ) ⩽ e−𝑛(𝑡+𝑝)ϵE (e𝑡𝑛X𝑛) = e−𝑛(𝑡+𝑝)ϵE (e𝑡X1)𝑛.

Puis, par théorème du transfert : E (e𝑡X1)𝑛

= (𝑞+𝑝e𝑡)𝑛, donc en regrou-pant sous une même exponentielle :

P (X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ) ⩽ e𝑛(ln(𝑝𝑒𝑡+𝑞)−𝑡(𝑝+ϵ)) .

2.3) D’après l’énoncé nous avons :

∀𝑡 ∈R+, P (X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ) ⩽ e𝑛( 𝑡

28 −𝑡ϵ).

Choisissons ensuite le meilleur majorant en prenant le bon paramètre 𝑡, ils’agit donc ici de minimiser le trinôme 𝑡 ⟼ 𝑡2

8 −𝑡ϵ, le minimum est atteinten 𝑡 = ε

1/4 = 4ε, donc :

∀𝑡 ∈R+,𝑡2

8−𝑡ϵ ⩽ 2ε2 −4ε2 = −2ε2.

Nous avons ainsi montré :

∀𝑡 ∈R+, P (X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ) ⩽ e−2𝑛ϵ2.



3 — Les variables aléatoires 1−X𝑘 suivent une ℬ(𝑞), donc en appliquant le ré-sultat précédent en remplaçant 𝑝 par 𝑞 on déduit la nouvelle inégalité.4 — Soit ϵ ∈ R∗

+. Alors on a, {||X𝑛 −𝑝|| ⩾ ϵ} = {X𝑛 −𝑝 ⩾ ϵ}⋃{X𝑛 −𝑝 ⩽ −ϵ}. Mais

{X𝑛 −𝑝 ⩽ −ϵ} = {𝑝−X𝑛 ⩾ ϵ} = {Y𝑛 −𝑞 ⩾ ϵ}. Puis par additivité dénombrabled’une probabilité, on déduit de cela :

P (||X𝑛 −𝑝|| ⩾ ϵ) ⩽ 2𝑒−2𝑛ϵ2.

5 — Il suffit alors de choisir ε de sorte que 1−2𝑒−2𝑛ϵ2⩾ 0.95 — simple équation

à résoudre. On trouve cette fois-ci un diamètre d’intervalle «en 1𝑛 », donc meilleur

que le précédent.

Solution (exercice ALEA.16.8) (Énoncé : 25) Dans cet exercice, il faut comprendre lefonctionnement suivant : chaque employé n’est pas associé à une ligne précise,en revanche, lorsqu’un appel arrive sur l’une des lignes, on souhaite souvent avoirun employé libre pour décrocher. Notons X le nombre d’employés occupés sur unintervalle de temps d’une heure. Puisque les occupations peuvent être supposéesindépendantes, et que la probabilité qu’un employé fixé soit occupé est 6

60 = 110 et

qu’il y a 300 employés, on a que X ↪ ℬ(300, 110 ) (comptage de succès dans une

répétition de 300 expériences de BERNOULLI indépendantes, un succès étant uneoccupation d’une employé). On souhaite ainsi calculer P(X ≥ N) qui correspondà la probabilité qu’un appel tombe dans le vide i.e. tous les employés sont occu-pés. On utilise le théorème central limite, puisque X est une somme de variables

aléatoires i.i.d. admettant une variance.

P(X ≥ N) ≤ 0,025

⟺ P(X∗ ≥N−30√27

) ≤ 0,025,

⟺ 1−ϕ(N−30√27

) ≤ 0,025,

⟺ ϕ(N−30√27

) ≥ 0,975 = ϕ(1,96),

⟺N−30√27

≥ 1,96

⟺ N ≥ 41.

Il faut donc 41 lignes au moins.


Chapitre ALEA.17. Statistiques

CHAPITRE ALEA.17Statistiques

Résumé & Plan

LEs statistiques sont présentes dans beaucoup de domaines en Sciences, notamment dans l’exploitation de grosses quan-tités de données. Il existe plusieurs types de statistiques : nous en étudierons deux, les statistiques descriptives d’une partdont le but est d’étudier des séries de données, d’autre part les statistiques inférentielles dont l’objectif est de savoir si desdonnées semblent provenir ou non de réalisations d’une certaine variable aléatoire.

W

1. La Statistique : position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Où apparaît l’aléatoire? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Statistiques descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Statistique inférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Statistiques descriptives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Univariées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Bivariées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Statistiques inférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Estimation par Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Test de conformité à la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1. Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2. Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4. Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


Il existe trois types de mensonges : les mensonges simples,les sacrés mensonges et les statistiques.

—Mark Twain



CadreCOGS

Dans tout ce chapitre, (Ω,𝒯,P) désignera un espace probabilisé sur le-quel seront définis les objets aléatoires le cas échéant.

1. LA STATISTIQUE : POSITION DU PROBLÈME

1.1. Où apparaît l’aléatoire ?

L’aléatoire est présent dans toute expérience scientifique. Les deux grandes expli-cations en sont :

Caret-right d’une part l’aléatoire « intrinsèque» lié à la complexité des individus et desphénomènes étudiés et au manque d’information dans le domaine.

Caret-right D’autre part, de l’aléatoire peut intervenir «expérimentalement», par me-sures entachées d’erreur,1 ou encore lorsque les moyens pour relever sontlimités (i.e. par exemple un recensement dans une grande population).

La première source d’aléatoire est donc lemanque d’informations, ou l’ignorance,la seconde est matérielle et peut donc être contrôlée et donnée elle-même lieu àune étude plus poussée. Il n’y a pas de raison de penser qu’une source d’aléatoirepeut complètement être supprimée. En Biologie (ainsi qu’en Médecine), étantdonné l’extrême complexité des systèmes étudiés, l’aléatoire est très présent.

Exemple 1— Onétudie l’influenced’un champignon sur unepopulationd’hêtresdans deux parcelles de forêt. Plusieurs sources d’aléatoires vont être prise encompte.

1Rappelons que nous avons vu dans le Chapitre ANA.11 une borne sur l’erreur commise dans unefonction de mesures chacune entachées d’erreurs

Caret-right Plusieurs individus de la même espèce, de la même origine et du même âgeont des biomasses différentes : aléatoire « intrinsèque» à l’expérience) ;

Caret-right les parcelles ne sont pas identiques (aléatoire «extrasèque») ;Caret-right les échantillons de population ne possèdent pas le même nombre d’indivi-

dus, les calculs vont donc être source d’aléatoire : aléatoire «expérimental»,lié au protocole ;

Caret-right la grandeur mesurée ne peut l’être qu’avec une précision finie.

Cette analogie aléatoire pousse à interpréter les mesures effectuées comme desréalisations d’une variables aléatoire X «cachée». Les Statistiques visent alors àétudier cet aléatoire, ou le prédire (Statistiques inférentielles) ou encore à le re-présenter (Statistiques descriptives)2.

1.2. Statistiques descriptive

La statistique descriptive est la branche des statistiques qui regroupe les nom-breuses techniques utilisées pour décrire un ensemble relativement important dedonnées. Cette description peut être réalisée au moyen de calculs de grandeurs(moyenne, variance, écart-type,mode, etc.) ou aumoyen de descriptions visuelles(graphiques par exemple). Nous nous poserons également une seconde question :on peut représenter deux séries de données sous forme d’un nuage de points, onpeut alors se demander s’il est possible d’évaluer la corrélation entre les deux sé-ries, et plus précisément la faculté de l’une à dépendre de l’autre.

1.3. Statistique inférentielle

Commençons par expliquer ce que nous souhaitons faire en statistiques inféren-tielles.

2Mais il existe d’autres types de statistiques !



1 — Les probabilités ont pour objectif notamment l’étude de réalisations de ceque nous appelons variables aléatoires. Nous savons avec quelles probabilités cesvariables prennent une certaine valeur (donnée de la loi) et nous étudions ensuitedes paramètres : l’espérance, la variance, la covariance, intervalles de fluctuationetc..2 — La statistique inférentielle souhaite effectuer la démarche inverse : i.e. savoirque si une série de données 𝑥1,…,𝑥𝑛 avec 𝑛 un entier, peut être vue comme 𝑛réalisations d’une variable aléatoire suivant une certaine loi, autrement dit si lecaractèremesuré semble suivre une certaine loi de probabilité. Bien évidemment,nous ne pourrons pas dire OUI ou NON avec certitude, nous pourrons juste direOUI ouNONavec une bonne (si possible) probabilité, lorsque𝑛 est suffisammentgrand.

L’objectif est donc de savoir s’il existe (X1,…,X𝑛) une famille de 𝑛 variables aléa-toires réelles de même loi telles que pour un certain ω ∈ Ω, (𝑥1,…,𝑥𝑛) =(X1(ω),…,X𝑛(ω))3. Nous les chercherons également indépendantes, ce quisemble être une hypothèse raisonnable (il n’y a pas de raisons que les relevés𝑥1,…,𝑥𝑛 influent les uns sur les autres).Pour des raisons techniques (application de la loi des grands nombres et du théo-rème central limite), nous supposerons que la loi commune des X𝑖 possède uneespérance μ et une variance σ2.4

3Ce point de vue est équivalent à l’existence de ω1,…,ω𝑛 ∈ Ω tels que (𝑥1,…,𝑥𝑛) =(X(ω1),…,X(ω𝑛))

4Ce qui, rappelons-le, n’est pas automatique en deuxième année pour les univers non finis

Données / MesuresUnivers Ω

𝑥3𝑥2𝑥1

...

𝑥𝑛−1 𝑥𝑛

X, Probabilités : étude des valeurs prises par X

Moyennes, écart-type, variance

Statistiques Inférentielles : ∃?X,ω , X𝑖(ω) = 𝑥𝑖, pour tout 𝑖

Statistiquesdescriptives

2. STATISTIQUES DESCRIPTIVES

Dans tout ce qui suit, nous verrons que toutes les notions définies ont une analo-gie dans le monde des probabilités (échantillon, espérance, variance, écart-type,covariance, etc.). Cette analogie sera explicitement précisée à chaque fois pourque les définitions deviennent naturelles. Pour plus de précisions, vous pourrezconsulter la Remarque 2 ci-dessous.

CadreCOGS

Dans cette section, les notations 𝑛,𝑝,𝑖, 𝑗 désigneront des entiers même sicela n’est pas précisé.



2.1. Univariées

2.1.1. Série statistique

Définition ALEA.17.1 | Population & ÉchantillonUne population est un ensemble fini dont les éléments sont appelés des indi-vidus. Le nombre d’individus d’une population est appelé sa taille. Un sous-ensemble d’une population est appelé un échantillon de cette population.

Remarque 2.1— Population ne signifie pas que l’on considère des personnes. Sivous réaliser plusieurs titrages pour votreT.I.P.E. on parlera alors de population deconcentrations.

Très souvent, on nemènera pas notre étude sur la population entièremais sur unesous-partie que l’on espère représentative.

Définition ALEA.17.2 | Caractère, Série statistique1 — Un caractère 𝑥 de la population est une donnée qualitative ou quanti-tative attachée à chaque individu de la population. On notera 𝑥𝑖 la valeur ducaractère 𝑥 pour un individu 𝑖.2 — Une série statistique de taille 𝑛, est une famille (𝑥1,…,𝑥𝑛) à 𝑛 éléments.3 — La donnée des valeurs d’un caractère pour les individus d’un échantillonde taille 𝑛 est

Caret-right un caractère est dit quantitatif s’il prend des valeurs quantifiables, sou-vent des réels mais éventuellement des 𝑝-uplets ou des matrices.

Caret-right Un caractère est dit qualitatif s’il correspond à une propriété qui ne sequantifie pas (e.g. couleur des cheveux, opinion politique, etc.)

Définition ALEA.17.3 | ModalitésOn appelle modalités d’un caractère les valeurs possibles qu’il peut prendre.

Exemple 2— Série des poids Le tableau ci-dessous regroupes des données depoids d’individus numérotés entre 1 et 𝑛.

Individu 1 2 … 𝑛

Masse 62 80 … 74

Exemple 3— Diamètres de pièces Le tableau ci-dessous regroupe les dia-mètres en cm de 48 pièces prélevées dans la production d’une machine.

19 26 23 20 22 24 20 24

22 20 21 19 21 22 19 20

21 21 22 21 23 22 21 24

25 23 22 19 20 26 24 25

23 26 25 25 21 22 25 24

23 22 24 24 25 23 25 22

Il s’agit donc d’un échantillon statistique de taille 48 dans la population des piècesfabriquées par la machine. Le caractère étudié est le diamètre de la pièce en cen-timètre.

Les modalités sont 1.19,1.20,1.21,1.22,1.23,1.24,1.25 et 1.26.

2.1.2. Effectifs & Regroupements en classes

Une série statistique peut être donnée sous plusieurs formes.

Caret-right Soit on décide de fournir toutes les données de manière exhaustive,Caret-right soit on décide de les regrouper en modalités et/ou classes, et on doit alors

fournir un tableau d’effectifs associés.



Données affichées de manière exhaustive. Onpeut simplement donner la valeurdu caractère pour chaque individu. Voir les Exemples 2 et 3.

Données regroupées par modalité. Si la taille de l’échantillon est trop grande onpréfèrera donner les nombres d’individus associés à chaque modalité. On appellecela l’ effectif associé à ladite modalité.

Exemple 4— Âges d’enfants Dans cet exemple, une série d’âges sur des enfantsentre 0 et 5 ans. On fournit alors les effectifs associés à chaque âge.

Nombre d’enfants 0 1 … 5

Effectif 20 31 … 3

Données regroupées en classes : lorsque le nombre demodalités est trop important.

Parfois le nombredemodalités est trop grand, voire infini pour desmodalités ditescontinues (e.g. à valeurs réelles). Il est alors pertinent de regrouper les modalitésen classes disjointes, le plus souvent en des intervalles qui ne sont pas forcémentde tailles égales. Inversement les modalités non regroupées en classe sont ditesponctuelles. Il peut également arriver que nos modalités comportent des classeset des modalités ponctuelles.

Exemple 5— Par exemple, lorsque l’on étudie la démographie urbaine françaiseon va regrouper les communes en classes selon leur nombre d’habitants :

Caret-right Hameaux de 1 à 99 habitants,Caret-right Village de 100 à 1999 habitants,Caret-right Ville de 200 à 99999 habitants,Caret-right Agglomération à partir de 100000 habitants.

Effectifs & Effectifs cumulés croissants.

Définition ALEA.17.4Soit une série statistique de taille𝑛 admettant un nombre fini demodalités ouà défaut de classes notées 𝑎1,…,𝑎𝑝.1 — Pour 𝑗 ∈ J1 , 𝑝K, on définit l’effectif 𝑛𝑗 associé à la valeur 𝑎𝑗 comme étantle nombre d’individus 𝑖 pour lesquels 𝑥𝑖 = 𝑎𝑗.2 — Pour 𝑗 ∈ J1, 𝑝K, on définit la fréquence de 𝑓𝑗 associée à la valeur 𝑎𝑗 commeétant la proportion d’individus pour lesquels 𝑥𝑖 = 𝑎𝑗, c’est-à-dire

𝑓𝑗 =𝑛𝑗

𝑛.

Proposition ALEA.17.1 | Formule des fréquences totales / effectifs totauxSoit une série statistique de taille𝑛 admettant un nombre fini demodalités ouà défaut de classes notées 𝑎1,…,𝑎𝑝.

𝑝

∑𝑗=1

𝑛𝑗 = 𝑛 et𝑝

∑𝑗=1

𝑓𝑗 = 1.

Remarque 2.2— Analogie avec les probabilités Reprenons les notations précé-dentes, i.e. une série statistique de taille 𝑛 admettant un nombre fini de modalitésou à défaut de classes notées 𝑎1,…,𝑎𝑝. On note 𝑛1,…,𝑛𝑝 les effectifs correspon-dant. Alors si l’on considère une variable aléatoire réelle discrète X telle que5 :

X(Ω) = {𝑎1,…,𝑎𝑝} , P (X = 𝑎𝑗) =𝑛𝑗

𝑛, 𝑗 ∈ J1 , 𝑝K.

On vérifie sans peine que :𝑝

∑𝑗=1

𝑛𝑗

𝑛= 1,

𝑛𝑗

𝑛⩾ 0

pour tout 𝑗 ∈ J1 , 𝑝K, ce qui garantit l’existence de X. Alors la formule précédenteest simplement dire que

{X = 𝑎𝑗}𝑗∈J1 ,𝑝K

5on voit donc la série statistique comme la réalisation d’une variable réelle discrète, de loi la fré-quence de ladite observation.



est un système complet d’évènements. Toutes les notions que l’on va définir ci-après (espérance, variance, écart-type), correspondent en fait à :

E (X) ,Var (X) ,σX, …

Dans le cas où les caractères étudiés sont des réels (ils peuvent donc être ordon-nés), on va introduire les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumuléescroissantes.

Définition ALEA.17.5 | Effectifs cumulées croissantsOnsuppose ici lesmodalités𝑎1,…,𝑎𝑝 rangéesdans l’ordre croissant (𝑎1 < 𝑎2 <⋯ < 𝑎𝑝). Pour des intervalles ]𝑎,𝑏] et ]𝑐,𝑑] cela correspond à 𝑎 < 𝑏 ⩽ 𝑐 < 𝑑.Soit 𝑗 ∈ J1 , 𝑝K.1 — On définit l’effectif cumulé croissant associé à la modalité 𝑎𝑗 comme lenombre d’individus 𝑖 pour lesquels 𝑥𝑖 ⩽ 𝑎𝑗, c’est-à-dire

𝑛𝑐𝑗 = # {𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩽ 𝑎𝑗} .

2 — On définit la fréquence cumulée (croissante) associée à la modalité 𝑎𝑗comme la proportion d’individus 𝑖 pour lesquels 𝑥𝑖 ⩽ 𝑎𝑗, c’est-à-dire

𝑓𝑐𝑗 =𝑛𝑐𝑗

𝑛.

Remarque 2.3— Analogue probabiliste : la fonction de répartition.

Proposition ALEA.17.2 | Lien effectifs / effectifs cumulésOnsuppose ici lesmodalités𝑎1,…,𝑎𝑝 rangéesdans l’ordre croissant (𝑎1 < 𝑎2 <⋯ < 𝑎𝑝). Pour des intervalles ]𝑎,𝑏] et ]𝑐,𝑑] cela correspond à 𝑎 < 𝑏 ⩽ 𝑐 < 𝑑.1 — ∀𝑗 ∈ J1 , 𝑝K, 𝑛𝑐

𝑗 = ∑𝑗𝑘=1𝑛𝑘, et 𝑓𝑐𝑗 = ∑𝑐

𝑘=1 𝑓𝑘,2 — (Les effectifs cumulés sont croissants)

𝑛𝑐1 ⩽ 𝑛𝑐

2 ⩽ ⋯ ⩽ 𝑛𝑐𝑝 = 𝑛,

𝑓𝑐1 ⩽ 𝑓𝑐2 ⩽ ⋯ ⩽ 𝑓𝑐𝑝 = 1.

Preuve1 — On écrit d’abord, avec 𝑎0 = −∞ pour convention, le découpage entranchesa suivant :

{𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩽ 𝑎𝑗} =𝑗⨄𝑘=1

{𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑎𝑘−1 < 𝑥𝑖 ⩽ 𝑎𝑘} .

Enpassant au cardinal dans cette réunion disjointe, il vient : 𝑛𝑐𝑗 = ∑

𝑗𝑘=1𝑛𝑘.

Il suffit de diviser alors par 𝑛 pour obtenir la version avec fréquences.2 — Il suffit de constater que pour 𝑖, 𝑗 ∈ J1 , 𝑝K tels que 1 ⩽ 𝑖 < 𝑗 ⩽ 𝑝, nousavons l’inclusion {𝑘 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑘 ⩽ 𝑎𝑖} ⊂ {𝑘 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑘 ⩽ 𝑎𝑗} puisque lesclasses sont ordonnées. Il suffit ensuite de passer au cardinal. On divise par𝑛 pour obtenir la version avec fréquences.

aLes tranches deviennent des égalités si aucun regroupement en classes n’a été fait.

2.1.3. Représentation graphique

Les séries de données statistiques peuvent être représentés de plusieursmanières,en lieu et place de tableaux comme présentés supra.

Diagramme en bâtons & Histogrammes. Le diagramme en bâtons est adaptépour représenter des données ayant un nombre fini de modalités. Pour les don-nées continues regroupées en classes, on tracera plutôt ce que l’on appelle un his-togramme.

Pour établir un diagramme en bâtons on va tracer pour chaquemodalité un bâton(un rectangle long et fin) centré en 𝑎𝑗 et de hauteur 𝑓𝑗 ou 𝑛𝑗. Ce type de graphiqueest adapté aux données ponctuelles et aux données qualitatives.

Exemple 6— Diagramme en bâtons. Par exemple, ici nous avons représenté letableau d’effectifs d’âges suivant :



Âge 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Effectif 8 11 15 21 54 105 40

1995 1996 1997 1998 1999 2000 20010

20

40

60

80

100

120

8 11 1521

54

105

40Effec

tifs

Lorsque le nombre de modalités est trop grand, et même infini, nous avons quel’on regroupait généralement les données en classes.

Pour chaque classe on va alors tracer un rectangle dont la largeur vaut l’amplitudede l’intervalle et dont l’aire est proportionnelle à la fréquence ou à l’effectif de laclasse.

Attention×

C’est l’aire du rectangle qui est importante, pas sa hauteur.

Exemple 7— Histogramme. Par exemple, ici nous avons représenté le tableau



d’effectifs d’âges suivant :

Données en classes [1,4[ [4,7[ [7,10[

Effectifs 3 2 7Sur cet exemple les classes ont toutes la mêmelongueur, mais ceci n’est aucunement obliga-toire.

1–4 4–7 7–10

2

4

6

3

2

7

Polygone des fréquences cumulées croissantes. La procédure est différente pourdes modalités ponctuelles ou regroupées par classes.

Caret-right Pour des modalités ponctuelles, on place les points A𝑖 de coordonnées(𝑎𝑖,𝑓𝑐𝑖 ). On va alors relier les points A𝑖(𝑎𝑖,𝑓𝑐𝑖 ) à B𝑖(𝑎𝑖+1,𝑓𝑐𝑖 ) puis B𝑖 àA𝑖+1(𝑎𝑖+1,𝑓𝑐𝑖+1). Schématiquement on trace un trait horizontal puis un traitvertical. La courbe obtenue ressemble à celle d’une fonction de répartition deloi discrète.

Caret-right Pour desmodalités regroupées en classe ]α𝑖,α𝑖+1] (resp. [α𝑖,α𝑖+1[) onplace lespoints A𝑖 de coordonnées (α𝑖+1,𝑓𝑐𝑖 ) (resp. (α𝑖,𝑓𝑐𝑖 )), à la droite (resp. gauche)de l’intervalle donc. On relie ensuite simplement les points A𝑖 par une lignebrisée. La courbe obtenue ressemble alors à celle d’une fonction de répartitionde loi à densité.

Remarque 2.4— Cette représentation est pertinente si les individus sont répartisuniformément au sein de la classe. Si vous avez des raisons de penser que ce n’estpas le cas alors il faut séparer votre classe en plusieurs classes.

Exemple 8— NotesdeDS Par exemple, onpeut essayerde représenter lepolygonedes fréquences cumulées.

Notes

Étudiants

14

20

6

30

10

40

20

50

30

60

8

70

12

80

Par exemple, ici nous avons représenté le tableau d’effectifs d’âges suivant :

Notes en classe [30,40[ [40,50[ [50,60[ [60,70[ [70,80[ [80,90[ [90,100[



Effectifs 14 6 10 20 30 8 12

Lire graphiquement le nombre approximatif de notes inférieures à 30, et 56.

PEN-FANCY

Exemple 9— Salaires Une étude portant sur les salaires mensuels des employésen CDI à temps complet d’une entreprise a permis d’établir le tableau ci-dessous.

𝑥𝑖 [1000,1200[ [1200,1300[ [1300,1400[ [1400,1500[ [1500,1900[ [1900,2200]

𝑛𝑖 28 24 20 18 24 6

𝑛𝑐𝑖 28 52 72 80 104 110

Tracer le polygone des fréquences cumulées.

PEN-FANCY

2.1.4. Caractéristiques de position

Les caractéristiques de positions ont leur analogue en probabilités : l’espérance etlamédiane d’une variable aléatoire6. Ce sont des grandeurs dont la vocation est demesurer la position des données qui constituent la série statistique. En revanche,le mode, défini ci-après, est très peu souvent défini en probabilités : mais ce seraitalors, pour une variable aléatoire discrète X, un élément 𝑥 ∈ X(Ω) qui maximiseP (X = 𝑥).7

Mode & Classe modale.

Définition ALEA.17.6 | Mode & Classe modale1 — On appelle mode d’une série statistique 𝑥 toute modalité de 𝑥 dont l’ef-fectif est maximal parmi les effectifs de toutes les modalités.2 — Lorsque les modes correspondent à des classes, on appelle alors classemodale la classe dont l’effectif est maximal.

Attention×

Si vos classes sont de tailles différentes alors la classe modale n’est pas forcé-ment la classe qui a le «plus haut» rectangle dans l’histogramme.

Remarque 2.5 — Il est possible qu’une série statistique admette plusieurs modesou classes modales.

Moyenne.

6Mais l’étude de l’existence d’une médiane, pour une variable aléatoire, n’est pas au programme.7Rien ne garantit son existence en revanche.



Définition ALEA.17.7 | Moyenne pour des données ponctuellesSoit 𝑥 = (𝑥1,…,𝑥𝑛) une série statistique quantitative. La moyenne de la série,notée 𝑥, est définie par

𝑥 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖.

Remarque 2.6— Analogie L’espérance en probabilités.


Soit 𝑥 = (𝑥1,…,𝑥𝑛) une série statistique de modalités (𝑎1,…,𝑎𝑝) ponctuelles,alors :

𝑥 =1𝑛

𝑝

∑𝑗=1

𝑛𝑗𝑎𝑗 =𝑝

∑𝑗=1

𝑓𝑗𝑎𝑗.

On dit alors que 𝑥 est la moyenne pondérée des 𝑎𝑗 par les fréquences 𝑓𝑗.

Preuve Constater simplement que dans ∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖, chaque 𝑥𝑖 apparaît un

nombre 𝑛𝑗 de fois où 𝑛𝑗 désigne l’effectif de 𝑥𝑖.

Quand on travaille avec des données regroupées par classes cette définition n’estpas utilisable. Dans cette situation on va alors considérer que les valeurs sont uni-formément réparties dans les intervalles et prendre pour moyenne de la série lamoyenne des milieux des intervalles pondérés par les effectifs.

Définition ALEA.17.8 | Moyenne pour des données regroupées en classesSoit 𝑥 = (𝑥1,…,𝑥𝑛) une série statistique quantitative. Supposons que les mo-dalités (𝑎𝑗)𝑗∈J1 ,𝑝K de cette série correspondent à des intervalles [𝑏𝑗,𝑐𝑗[. On dé-finit alors la moyenne par :

𝑥 =1𝑛

𝑝

∑𝑗=1

𝑛𝑗 (𝑏𝑗 +𝑐𝑗

2) =

𝑝

∑𝑗=1

𝑓𝑗 (𝑏𝑗 +𝑐𝑗

2) .

Proposition ALEA.17.4 | Propriétés de la moyenneSoient 𝑥 et 𝑦 deux séries statistiques quantitatives dont les modalités sont àvaleurs dans le même ensemble, et d’effectifs respectifs 𝑛 et 𝑚.1 — (Moyenned’une sérieaffine) Soit (𝑎,𝑏) ∈R2 et soit𝑢 la série statistiquedéfinie par

∀𝑖 ∈ J1 , 𝑛K, 𝑢𝑖 = 𝑎𝑥𝑖 +𝑏

Alors :

𝑢 = 𝑎𝑥+𝑏.

2 — (Moyenned’unmélange) Soit𝑧 la série statistique obtenue en «conca-ténant» les séries 𝑥 et 𝑦, i.e.

𝑧 = (𝑥1,…,𝑥𝑛,𝑦1,…,𝑦𝑚).

Alors : 𝑧 = 𝑛𝑥+𝑚𝑦𝑛+𝑚 .

Preuve

1 — PEN-FANCY

2 — PEN-FANCY

Médiane. On suppose ici que nos modalités sont des réels. La moyenne est for-tement influencée par les valeurs extrêmes, donc dans ce cas la donnée de la



moyenne est assez peu instructive, et on privilégie une autre quantité appelée lamédiane.

Remarque 2.7— Cela signifie qu’il y a au moins autant d’éléments plus grandsque d’éléments plus petits.

Définition ALEA.17.9 | Médiane pour des données ponctuellesOn appelle médiane d’une série statistique 𝑥 de taille 𝑛 tout réel 𝑚 tel que :

# ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩽ 𝑚}) ⩾𝑛2

et # ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩾ 𝑚}) ⩾𝑛2.

Enpratiqueonprend souvent commemédiane la valeur d’unemodalité.Dansce cas, un individu dont le caractère correspond à la médiane est dit être unindividu médian.

Remarque 2.8— Les symboles ⩽,⩾ sont justifiés par le fait que 𝑛2 n’est pas tou-

jours un entier. Le signe d’égalité n’aurait dans ce cas aucun sens, puisqu’un car-dinal est toujours entier.

Proposition ALEA.17.5 | Cas demodalités ordonnéesSoit 𝑥 une série statistique de taille 𝑛 dont les modalités sont données dansl’ordre croissant 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑛.1 — Si 𝑛 est impair, alors : 𝑎𝑛+1

2est une médiane.

2 — Si 𝑛 est pair, alors : tout nombre de l’intervalle [𝑎𝑛2,𝑎𝑛

2 +1] est une mé-

diane. En particulier,

𝑎𝑛2+𝑎𝑛

2 +1

2

est unea médiane.

Attention×

Il y a en général plusieurs médianes.

aC’est souvent celle-ci qui, par abus de langage, nous appelons parfois la médiane.

Remarque 2.9—

Caret-right La médiane a, par rapport à la moyenne, l’avantage d’être peu influencée parles valeurs extrêmes.Elle est alorsplus représentativeque lamoyenne lorsquela série comporte des valeurs très grandes ou très petites.Par exemple, en France en 2014 le salaire moyen mensuel était de 1934 eurospour les femmes et 2389 euros pour les hommes tandis que le salaire médianmensuel était de 1619 euros pour les femmes et 1882 euros pour les hommes.La différence s’explique par le fait que les très hauts salaires, même s’ils sontpeu nombreux, tirent la moyenne vers la haut.

Caret-right Sur le polygone des fréquences cumulées croissantes on lit une médiane as-sez simplement. Il suffit de chercher l’abscisse du point de la courbe d’ordon-née 1

2 .

Définition ALEA.17.10 | Médiane pour des données regroupées en classesSoit 𝑥 une série statistique dont les modalités sont regroupées en classes. Ondéfinit lamédiane de𝑥 comme l’abscisse dupoint de la courbe des fréquencescumulées croissantes d’ordonnée 1

2 .

2.1.5. Caractéristique de dispersion

L’idée des caractéristiques de dispersion est de donner une idée de la répartitionde la série autour de sa moyenne ou de sa médiane. Les valeurs sont elles relative-ment proches de la moyenne ou existe-t-il des valeurs très grandes et très petites?L’analogue probabilité est donc évident : l’espérance, la variance, l’écart-type ...

Valeurs extrêmes et étendue.

Définition ALEA.17.11Soit 𝑥 une série statistique de taille 𝑛 à valeurs réelles.1 — Si les modalités sont en nombre fini, on appelle valeurs extrêmes de la



série 𝑥 les nombres :min𝑖∈J1 ,𝑛K 𝑥𝑖 et max𝑖∈J1 ,𝑛K 𝑥𝑖.

Il s’agit donc des modalités maximales et minimales.2 — Si les modalités sont regroupées en classes, on appelle valeurs extrêmesde la série la borne supérieure de la classe maximale et la borne inférieure dela classe minimale.Onappelle étendue de la série statistique ladifférenceentre la valeurmaximaleet la valeur minimale.

Remarque 2.10— L’étendue est facile à déterminer mais ne délivre que très peud’informations car elle est très fortement affectée par les valeurs extrêmes. Parexemple en France le revenu annuel se situe entre 0 euros et environ 7 millions,ce qui ne nous donne pas vraiment une idée de la répartition des salaires dans lapopulation.

Quantiles.

Définition ALEA.17.12 | QuartileSoit 𝑥 une série statistique de taille 𝑛 à valeurs réelles. On appelle premierquartile de la série 𝑥 tout réel Q1 tel que

# ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩽ Q1}) ⩾𝑛4

et # ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩾ Q1}) ⩾3𝑛4

.

De-même on appelle troisième quartile de la série 𝑥 tout réel Q3 tel que

# ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩽ Q3}) ⩾3𝑛4

et # ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩾ Q3}) ⩾𝑛4.

Remarque 2.11— Il faut comprendre ces définitions de la même manière quepour la médiane : la première signifie qu’il y a au moins 1/4 des observations quisont inférieures ou égales à Q1, de-même pour les autres.

Remarque 2.12— La médiane est donc aussi parfois appelée deuxième quartile.

On peut définir la notion de décile de manière similaire.

Définition ALEA.17.13 | DécileSoit 𝑥 une série statistique de taille 𝑛 à valeurs réelles. Pour 𝑗 ∈ J1 , 9K, on ap-pelle 𝑗-ème décile de la série 𝑥 tout réel 𝑑𝑗 tel que :

# ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩽ 𝑑𝑗}) ⩾𝑗𝑛10

et # ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩾ 𝑑𝑗}) ⩾(10−𝑗)𝑛

10.

Ces deux notions se généralisent avec la notion de quantiles.

Définition ALEA.17.14Soit 𝑥 une série statistique de taille𝑛 à valeurs réelles. Soit 𝑡 ∈ [0,1], on appelle𝑡-quantile de la série 𝑥 tout réel 𝑞𝑡 tel que

# ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩽ 𝑞𝑡}) ⩾ 𝑛𝑡 et # ({𝑖 ∈ J1 , 𝑛K , 𝑥𝑖 ⩾ 𝑞𝑡}) ⩾ (1−𝑡)𝑛.

Remarque 2.13— Comme pour les quartiles et les déciles il n’y pas unicité du𝑡-quantile

Remarque 2.14—

Caret-right Le premier quartile est alors un 14-quantile, etc.

Caret-right Si la série statistique est donnée via un regroupements en classes alors ondéterminera un 𝑡-quantile en prenant l’abscisse d’un point du polygone desfréquences cumulées croissantes d’ordonnée 𝑡.

Définition ALEA.17.15 | ÉcartsSoit 𝑥 une série statistique de taille 𝑛 à valeurs réelles. On appelle1 — écart interquartile la différence Q3 −Q1 noté IQR.2 — intervalle interquartile l’intervalle [Q1,Q3].De-même on appelle



1 — écart interdécile la différence 𝑑9 −𝑑1.2 — intervalle interdécile l’intervalle [𝑑1,𝑑9]

Remarque 2.15— Lamoitié au moins de la population se trouve dans l’intervalleinterquartile.

Visualisation graphique des quantiles : le diagramme de Tukey (ou «boîte à mous-

tache»). On peut représenter de manière graphique l’étendue, les quartiles et lamédiane en dessinant un diagramme dit diagramme de TUKEY conçu de la ma-nière suivante :

Caret-right au centre une boite allant du premier au troisième quartile, séparée en deuxpar la médiane;

Caret-right de chaque côté une moustache allant du minimum au premier quartile pourl’une, et du troisième quartile au maximum pour l’autre.

𝑚

Q1 Q3

𝑥

IQR1.5*IQR

3*IQR1.5*IQR

3*IQR

* max𝑜 min

Variance et écart-type.

Définition ALEA.17.16 | Variance & Écart-Type1 — La variance d’une série statistique quantitative à valeurs réelles 𝑥 =(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) de nombre de modalités finies 𝑎1,…,𝑎𝑝, est le nombre V𝑥 dé-

fini par :

V𝑥 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(𝑥𝑖 −𝑥)2 =1𝑛

𝑝

∑𝑗=1

𝑛𝑗(𝑎𝑗 −𝑥)2 =𝑝

∑𝑗=1

𝑓𝑗(𝑎𝑗 −𝑥)2.

2 — L’écart-type d’une telle série, noté σ𝑥, est défini par :

σ𝑥 = √V𝑥.

Dans le cas d’une série regroupée en classes on prendra pour valeurs 𝑎𝑗 lescentres des classes.

Remarque 2.16— V𝑥 est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. a va-riance est toujours positive, d’où la bonne définition de l’écart-type.

Proposition ALEA.17.6 | Variance nulleSoit une série statistique quantitative à valeurs réelles 𝑥 = (𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) denombre de modalités finies 𝑎1,…,𝑎𝑝, alors :

V𝑥 = 0 ⟺ toutes les données de la série sont égales.

Preuve𝑝

∑𝑗=1

𝑓𝑗(𝑎𝑗 −𝑥)2 ⟺ ∀𝑖 ∈ J1 , 𝑝K, 𝑓𝑗(𝑎𝑗 −𝑥)2,

⟺ ∀𝑖 ∈ J1 , 𝑝K, (𝑎𝑗 −𝑥)2 = 0,= ⟺ ∀𝑖 ∈ J1 , 𝑝K, 𝑎𝑗 = 𝑥.

𝑓𝑗 ≠ 0

C’est ce qu’on voulait.

Proposition ALEA.17.7 | KÖNIG-HUYGENSSoit 𝑥 une série statistique quantitative à valeurs réelles. On a

V𝑥 = 𝑥2 −𝑥2.



Preuve C’est un calcul direct :

V𝑥 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(𝑥𝑖 −𝑥)2 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(𝑥2𝑖 +𝑥2 −2𝑥𝑖𝑥) =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥2𝑖 +

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥2 −2𝑥𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖

= 𝑥2 +𝑥2 −2𝑥2

= 𝑥2 −𝑥2.

Remarque 2.17— Interprétation

Caret-right Plus la variance est grande, plus la série s’éloigne de sa moyenne, et plus lasérie est donc «étalée». Inversement, plus la variance est proche de zéro etplus la série est concentrée autour de sa moyenne.

Caret-right La variance ne donne pas d’informations sur une éventuelle asymétrie de lasérie.

Remarque 2.18— HomogénéitéL’intérêt de l’écart-typepar rapport à la varianceest que l’écart-type s’exprime dans les mêmes unités que les modalités de la série.On pourra alors faire des calculs faisant intervenir modalités, moyenne et écart-type (par exemple dans des situations d’estimation de paramètres ou de test sta-tistique d’hypothèses).

Proposition ALEA.17.8 | Propriétés de la varianceSoit 𝑥 une série statistique quantitative réelle, (𝑎,𝑏) ∈ R2 et 𝑦 la série statis-tique 𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏. On a alors

V𝑦 = 𝑎2V𝑥 et donc σ𝑦 = |𝑎|σ𝑥.

Preuve On a

V𝑦 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(𝑦𝑖 −𝑦)2 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(𝑎𝑥𝑖 +𝑏−(𝑎𝑥+𝑏))2

=1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑎2(𝑥𝑖 −𝑥)2

= 𝑎2V𝑥

2.1.6. En Python : comment calculer l’ensemble des

grandeurs de statistiques univariées ?

On suppose dans la suite que toutes les données d’une série à nombre de modali-tés fini sont contenues dans une liste L donnée en paramètre.

PythonEspérance

1 def moyenne(L):2 '''3 Renvoie l'espérance4 '''5 S = 06 for x in L:7 S += x8 return S/len(L)

PythonVariance

1 def variance(L):2 '''3 Renvoie la variance, version KH4 '''5 esp = moyenne(L)6 V = 07 for x in L:8 V += x**29 return V/len(L) - esp**2

Onpeut également créer une fonction qui retourne unemédiane, après avoir triéela liste. Celle-ci peut bien entendu être adaptées à tous les quantiles. On peut éga-lement, après recherche du minimum et du maximum, renvoyer l’étendue de lasérie.



PythonMédiane

1 def mediane(L):2 '''3 Cherche la médiane d'une liste, après tri rapide des

observations↪

4 '''5 L = tri_rapide_rec(L)6 n = len(L)7 if n % 2 == 1:8 # Nombre impair d'observations9 return L[n//2]

10 else:11 # Nombre pair d'observations12 return (L[n//2-1] + L[n//2])/2

PythonÉtendue d’une série

1 def etendue(L):2 '''3 Cherche l'étendue de L, sans la trier4 '''5 min = L[0]6 max = L[0]7 for i in range(1, len(L)):8 if L[i] < min:9 min = L[i]

10 elif L[i] > max:11 max = L[i]12 return max - min

2.2. Bivariées

On a vu dans les sous-sections précédentes diversesmanières d’extraire de l’infor-mationd’unéchantillon statistique. Lorsque l’onnedisposeplusd’un seulmais deplusieurs échantillons statistiques, on peut, au delà de la simple étude des échan-tillons, étudier les éventuels liens entre eux, c’est l’objet de cette dernière sous-section. Pour des raisons de simplicité on se limitera à deux échantillons.

2.2.1. Série statistique

On va s’intéresser ici à deux caractères quantitatifs d’une même population. Onnotera 𝑛 la taille de l’échantillon étudié et (𝑥,𝑦) les deux caractères étudiés. L’ob-servation des valeurs des caractères se traduit par un échantillon d’éléments deR2, que l’on note :

((𝑥1,𝑦1), (𝑥2,𝑦2),…,(𝑥𝑛,𝑦𝑛)) .

Définition ALEA.17.171 — Un caractère (𝑥,𝑦) de la population est une donnée qualitative ou quan-titative attachéeà chaque individude lapopulation.Onnotera (𝑥𝑖,𝑦𝑖) la valeurdu caractère (𝑥,𝑦) pour un individu 𝑖.2 — Soient 𝑥 et 𝑦 deux séries statistiques de taille 𝑛. Alors on appelle sériestatistique bivariée une famille de R2 du type

((𝑥1,𝑦1), (𝑥2,𝑦2),…,(𝑥𝑛,𝑦𝑛)) .

3 — On appelle nuage point associé à l’échantillon (𝑥,𝑦) le tracé de tous lespoints de coordonnées M(𝑥𝑘,𝑦𝑘) pour 𝑘 ∈ J1 , 𝑛K.

Définition ALEA.17.18 | ModalitésOn appelle modalités d’un caractère bivarié les valeurs possibles qu’il peutprendre.



2.2.2. Effectifs

Notons (𝑎1,…,𝑎𝑝) les modalités du caractère 𝑥 (éventuellement des classes) et(𝑏1,…,𝑏𝑞) lesmodalités du caractères𝑦. Le plus souvent on regroupe les individuspar modalités, on obtient alors le tableau d’effectifs suivant :

𝑥\𝑦 𝑏1 … 𝑏𝑗 … 𝑏𝑞 Totaux

𝑎1 𝑛1,1 … 𝑛1,𝑗 … 𝑛1,𝑞 𝑛1,•

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎𝑖 𝑛𝑖,1 … 𝑛𝑖,𝑗 … 𝑛𝑖,𝑞 𝑛𝑖,•

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎𝑝 𝑛𝑝,1 … 𝑛𝑝,𝑗 … 𝑛𝑝,𝑞 𝑛𝑝,•

Totaux 𝑛•,1 … 𝑛•,𝑗 … 𝑛•,𝑞 𝑛

𝑛𝑖,𝑗 est le cardinal de l’ensemble des individus présentant à la fois les modalités 𝑎𝑖et 𝑏𝑗. Pour (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑝K× J1 , 𝑞K, on pose

𝑛𝑖,• =𝑞

∑𝑗=1

𝑛𝑖,𝑗 et 𝑛•,𝑗 =𝑝

∑𝑖=1

𝑛𝑖,𝑗.

On a alors

𝑛 =𝑝

∑𝑖=1

𝑞

∑𝑗=1

𝑛𝑖,𝑗 =𝑝

∑𝑖=1

𝑛𝑖,• =𝑞

∑𝑗=1

𝑛•,𝑗.

Définition ALEA.17.19 | Fréquencemarginale & Effectif marginalePour (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑝K× J1 , 𝑞K, on définit

Caret-right l’effectif conjoint (resp. fréquence conjointe) des modalités (𝑎𝑖,𝑏𝑗) la suite

double : 𝑛𝑖,𝑗 = 𝑛𝑖,𝑗 (resp. 𝑓𝑖,𝑗 =𝑛𝑖,𝑗𝑛 ).

Caret-right L’effectif marginal de la modalité 𝑎𝑖 (resp. fréquence marginale de la mo-

dalité 𝑎𝑖) par : 𝑛𝑖,• (resp. 𝑓𝑖,• = 𝑛𝑖,•𝑛 ).

Caret-right L’effectif marginal de la modalité 𝑎𝑗 (resp. fréquence marginale de la mo-

dalité 𝑎𝑗) par : 𝑛•,𝑗 (resp. 𝑓•,𝑗 =𝑛•,𝑗𝑛 ).

Proposition ALEA.17.9 | Propriétés des fréquences/effectifs marginauxSoit une série (𝑥,𝑦) statistique de taille 𝑛 admettant un nombre fini de moda-lités ou à défaut de classes.1 —

𝑝

∑𝑖=1

𝑞

∑𝑗=1

𝑓𝑖,𝑗 =𝑝

∑𝑖=1

𝑓𝑖,• =𝑞

∑𝑗=1

𝑓•,𝑗 = 1,

2 —

𝑓𝑖,• =𝑝

∑𝑗=1

𝑓𝑖,𝑗 et 𝑓•,𝑗 =𝑝

∑𝑖=1

𝑓𝑖,𝑗.

Preuve Diviser par 𝑛 les égalités précédemment établies sur les effec-tifs.

Remarque 2.19— Analogie avec les probabilités Reprenons les notations pré-cédentes, i.e. une série statistique bivariée de taille 𝑝 ×𝑞 admettant un nombrefini de modalités ou à défaut de classes notées (𝑎𝑖,𝑏𝑗)(𝑖,𝑗)∈J1 ,𝑝K×J1 ,𝑞K. On note(𝑛𝑖,𝑗)(𝑖,𝑗)∈J1 ,𝑝K×J1 ,𝑞K les effectifs correspondant. Alors si l’on considère un vecteuraléatoire discret (X,Y) tel que8 :

(X,Y)(Ω) = {(𝑎𝑖,𝑏𝑗), (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑝K× J1 , 𝑞K} ,

8on voit donc la série statistique bivariée comme la réalisation d’un couple aléatoire discret, de loila fréquence conjointe de ladite modalité.



P (X = 𝑎𝑖,Y = 𝑏𝑗) =𝑛𝑖,𝑗

𝑛, (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑝K× J1 , 𝑞K.

On vérifie sans peine que :

𝑝

∑𝑖=1

𝑞

∑𝑗=1

𝑛𝑖,𝑗

𝑛= 1,

𝑛𝑖,𝑗

𝑛⩾ 0

pour tout (𝑖, 𝑗) ∈ J1 , 𝑝K× J1 , 𝑞K, ce qui garantit l’existence de (X,Y). Alors les for-mules précédentes sont simplement dire que

{X = 𝑎𝑖,Y = 𝑏𝑗}J1 ,𝑝K×J1 ,𝑞K

est un système complet d’évènements, et le lien entre loi marginale et loiconjointe. La covariance d’une série statistique que nous allons définir ci-aprèssera simplement :

Cov (X,Y).

2.2.3. Caractéristiques de position & dispersion

On définit les moyennes et variances de manière similaire au cas univarié, pourchacune des séries 𝑥 et 𝑦. On peut les exprimer en fonction des notations propresaux séries bivariées.

Proposition ALEA.17.10 | Expression de la moyenne1 — (Nombre fini de modalités) Soit une série (𝑥,𝑦) statistique de taille 𝑛admettant un nombre fini de modalités ou à défaut de classes.

𝑥 =1𝑛

𝑝

∑𝑖=1

𝑛𝑖,•𝑎𝑖 =𝑝

∑𝑖=1

𝑓𝑖,•𝑎𝑖, 𝑦 =1𝑛

𝑞

∑𝑗=1

𝑛•,𝑗𝑏𝑗 =𝑞

∑𝑗=1

𝑓•,𝑗𝑏𝑗.

2 — (Regroupement en classes) On remplace les𝑎𝑖 dans les définitions desmoyennes par lesmilieux des classes,mais les formules précédentes ne sontplus vraies.

Preuve Montrons 1 pour 𝑥. Les modalités de la série statistique univa-riée 𝑥 sont les 𝑎𝑖, 𝑖 ∈ J1 , 𝑝K. Chaque modalité apparaît avec une fréquence∑𝑞𝑗=1 𝑓𝑖,𝑗, qui est la proportion des modalités

(𝑎𝑖,𝑦1),…,(𝑎𝑖,𝑦𝑞)

dans la série statistique bivariée de départ. Ainsi,

𝑥 =𝑛∑𝑖=1

(𝑞

∑𝑗=1

𝑓𝑖,𝑗)𝑎𝑖,

on reconnaît alors les fréquences partielles :

𝑥 =𝑛∑𝑖=1

𝑓𝑖,•𝑎𝑖.

La formule est démontrée.

Définition ALEA.17.20 | Point moyen du nuageLe point de coordonnées (𝑥,𝑦) est appelé point moyen du nuage.

Proposition ALEA.17.11 | Expression de la variance1 — (Nombre fini de modalités) Soit une série (𝑥,𝑦) statistique de taille 𝑛admettant un nombre fini de modalités ou à défaut de classes.

V𝑥 =1𝑛

𝑛∑𝑘=1

(𝑥𝑘 −𝑥)2 =1𝑛

𝑝

∑𝑖=1

𝑛𝑖,•(𝑎𝑖 −𝑥)2 =𝑝

∑𝑖=1

𝑓𝑖,•(𝑎𝑖 −𝑥)2,

V𝑦 =1𝑛

𝑛∑𝑘=1

(𝑦𝑘 −𝑦)2 =1𝑛

𝑞

∑𝑗=1

𝑛•,𝑗(𝑏𝑗 −𝑦)2 =𝑞

∑𝑗=1

𝑓•,𝑗(𝑏𝑗 −𝑦)2.

2 — (Regroupement en classes) On remplace les𝑎𝑖 dans les définitions desmoyennes par lesmilieux des classes,mais les formules précédentes ne sontplus vraies.

Remarque 2.20— Là aussi, si les données sont regroupées en classes on prendpour 𝑎𝑖 et 𝑏𝑗 les centres des classes

Preuve Même preuve que pour l’espérance.



Définition ALEA.17.21 | CovarianceSoit une série (𝑥,𝑦) statistique de taille 𝑛 admettant un nombre fini de moda-lités ou à défaut de classes. On appelle covariance de 𝑥 et de 𝑦, notée C𝑥,𝑦, laquantité

C𝑥,𝑦 =1𝑛

𝑛∑𝑘=1

(𝑥𝑘 −𝑥)(𝑦𝑘 −𝑦) ou de manière équivalente

C𝑥,𝑦 =1𝑛

𝑝

∑𝑖=1

𝑞

∑𝑗=1

𝑛𝑖,𝑗(𝑎𝑖 −𝑥)(𝑏𝑗 −𝑦).

Remarque 2.21— Interprétation

Caret-right Si C𝑥,𝑦 < 0 alors 𝑥 et 𝑦 ont tendance à varier dans des sens opposés (quandl’un augmente l’autre diminue), siC𝑥,𝑦 > 0 alors ils ont tendance à varier dansle même sens.

Caret-right On a Cov (𝑥,𝑥) = V𝑥

Proposition ALEA.17.12 | KÖNIG-HUYGENSSoit une série (𝑥,𝑦) statistique de taille 𝑛 admettant un nombre fini de moda-lités ou à défaut de classes. Alors :

C𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦−𝑥 ·𝑦.

Remarque 2.22— C’est lamoyennedes produitsmoins le produits desmoyennes

Preuve

PEN-FANCY C𝑥,𝑦 =1𝑛

𝑛∑𝑘=1

(𝑥𝑘 −𝑥)(𝑦𝑘 −𝑦)

=1𝑛

𝑛∑𝑘=1

(𝑥𝑘𝑦𝑘 −𝑥𝑦𝑘 −𝑦𝑥𝑘 +𝑥 ·𝑦)

=1𝑛

𝑛∑𝑘=1

𝑥𝑘𝑦𝑘 −1𝑛

𝑛∑𝑘=1

𝑥𝑦𝑘 −1𝑛

𝑛∑𝑘=1

𝑦𝑥𝑘 +1𝑛

𝑛∑𝑘=1

𝑥 ·𝑦

= 𝑥𝑦−𝑥 ·𝑦−𝑥 ·𝑦+𝑥 ·𝑦= 𝑥𝑦−𝑥 ·𝑦

développement duproduit

linéarité de lasomme

Proposition ALEA.17.13 | Variance d’une sommeSoit une série (𝑥,𝑦) statistique de taille 𝑛 admettant un nombre fini de moda-lités ou à défaut de classes. Alors :

V𝑥+𝑦 = V𝑥 +2C𝑥,𝑦 +V𝑦

Preuve

PEN-FANCY V𝑥+𝑦 = (𝑥+𝑦)2 −𝑥+𝑦2

= 𝑥2 +2𝑥𝑦+𝑦2 −(𝑥+𝑦)2

= 𝑥2 +2𝑥𝑦+𝑦2 −𝑥2 −𝑦2 −2𝑥 ·𝑦

= 𝑥2 −𝑥2 +𝑦2 −𝑦2 +2(𝑥𝑦−𝑥𝑦)= V𝑥 +2C𝑥,𝑦 +V𝑦

linéarité de l’espérance

formule de KÖNIG-HUYGENS

On a également une «inégalité de CAUCHY-SCHWARZ» pour la covariance.

Définition/Proposition ALEA.17.1 | Inégalité de CAUCHY-SCHWARZ/ Coeffi-cient de corrélation.

Soit une série (𝑥,𝑦) statistique de taille 𝑛 admettant un nombre fini de moda-lités ou à défaut de classes.1 — (Inégalité de CAUCHY-SCHWARZ)

|C𝑥,𝑦| ⩽ √V𝑥√V𝑦 ou encore |C𝑥,𝑦| ⩽ σ𝑥σ𝑦.

Si 𝑥,𝑦 sont d’écart-type non nul. On appelle coefficient de corrélation entre 𝑥et 𝑦 la quantité ρ(X,Y) = Cov(X,Y)

σX.σY∈ [−1,1].

2 — (Cas d’égalité) ρ(𝑥,𝑦) = ±1 ⟺ ∃𝑎,𝑏 ∈ R, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, i.e. lasérie 𝑦 dépend de 𝑥 et de manière affine.

Preuve PEN-FANCY On définit l’application

P||||||

R ⟶ R,

𝑡 ⟼ V𝑥+𝑡𝑦.



En développant la variance, d’après une proposition précédente, il vient :

∀𝑡 ∈R, P(𝑡) = σ2𝑥 +2𝑡C𝑥,𝑦 +𝑡2σ2

𝑦.

L’application P est donc une application polynomiale de degré 2. De plus,d’après les propriétés de la variance on a

∀𝑡 ∈R, P(𝑡) ⩾ 0.

Comme P est de signe constant il ne peut pas admettre deux racines réellesdistinctes, son discriminant est négatif ou nul, c’est-à-dire

Δ = 4C2𝑥,𝑦 −4σ2

𝑥σ2𝑦 ⩽ 0.

D’où

C2𝑥,𝑦 ⩽ σ2

𝑥σ2𝑦.

Par croissance de la fonction racine carrée on a alors

|C𝑥,𝑦| ⩽ σ𝑥σ𝑦.

Pour le cas d’égalité, on constate qu’il est obtenu lorsque Δ = 0 ⟺ Ppossède une racine réelle (double a fortiori), i.e. si et seulement si il existe𝑡 ∈R, P(𝑡) = V𝑥+𝑡𝑦 = 0 donc si et seulement si la série 𝑥+𝑡𝑦 est constante.C’est ce qu’il fallait montrer.

2.2.4. Ajustement affine

Il est courant, en physique-chimie, en sciences industrielles, ou plus générale-ment dans toute discipline expérimentale (biologie, chimie, économie, ...), d’avoirà comparer des données expérimentales et de conjecturer une éventuelle dépen-dance linéaire entre deux paramètres donnés. Vous pourriez avoir ce besoin lorsde vosTIPE.Notez qu’il est aussi possible d’étudier les dépendances polynomialesentre deux paramètres pour undegré quelconque, nous n’aborderons pas ce pointici.

L’idée de l’ajustement affine est la suivante : on dispose de deux séries statistiques(souvent expérimentales) 𝑥 et 𝑦 et on soupçonne qu’il existe une relation les liantde la forme𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏 : par exemple après avoir trouvéuncoefficientde corrélationproche de un. On veut alors chercher la droite d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏 qui passe « lemieux» par notre nuage de points.

Remarque 2.23— Parfois on sait que la relation existe et on veut déterminer 𝑎 et𝑏.

Plus précisément, si (𝑥𝑖,𝑦𝑖)1⩽𝑖⩽𝑛 avec 𝑛 ⩾ 1 est un nuage de 𝑛 points provenant deséries statistiques 𝑥,𝑦 et que l’on se pose la question de l’existence d’une droitepassant au plus près de ces points (au sens des «moindres carrés»), cela revient àminimiser cette fonctionnelle de deux variables :

F(𝑎,𝑏) =𝑛∑𝑖=1


où l’éventuel minimum trouvé (𝑎⋆,𝑏⋆) correspondra au couple coefficient direc-teur/ordonnée à l’origine de la droite dite desmoindres carrés. Représentons cettequantité F sur un dessin.

40 50 60 70 80 90 100150

160

170

180

190



La quantité F(𝑎,𝑏) correspond donc à la somme des longueurs algébriques destraits verticaux bleus et rouges (positive si bleu, négative si rouge). Minimiser Frevient donc à minimiser chacune de ces longueurs, et donc in fine approcher auplus près le nuage de points considéré.

Heuristique. Faisons une heuristique. Si 𝑦 est réellement affine en 𝑥, i.e. de laforme 𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏 avec 𝑎,𝑏 ∈ R, alors d’après les propriétés de la covariance et del’espérance déjà établie, nous avons :

𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏 = 𝑎𝑥+𝑏 ⟹ la droite passe par le point moyen,𝑏 = 𝑦−𝑎𝑥

Cov (𝑦,𝑥) = 𝑎Cov (𝑥,𝑥)+0 ⟹ 𝑎 =Cov (𝑦,𝑥)

σ2𝑥

.

Il s’avère que le couple (𝑎,𝑏) obtenu précédemment, noté (𝑎⋆,𝑏⋆) dans la suite,sera également la solution obtenue au sens desmoindres carrés. C’est ce que nousmontrons dès à présent.

Théorème ALEA.17.1 | Existence de la droite des moindres carrésSoit (𝑥,𝑦) une série statistique double constituée d’une suite de couples((𝑥𝑘,𝑦𝑘))1⩽𝑘⩽𝑛. Alors il existe (𝑎⋆,𝑏⋆) minimisant F, ce minimum vaut :

𝑎⋆ =C𝑥,𝑦

σ2𝑥

, 𝑏⋆ = 𝑦−𝑎⋆𝑥.

La droite de régression par la méthode des moindres carrés de 𝑦 en 𝑥 a doncpour équation :

𝑦 =C𝑥,𝑦

σ2𝑥

(𝑥−𝑥)+𝑦.

Remarque 2.24— Une méthode basée sur l’algèbre linéaire sera proposée dansle Chapitre ALG.4.

Preuve (Point clef — Optimiser des trinômes.)Soit (𝑎,𝑏) ∈R2. Comme

∂F∂𝑏

(𝑎,𝑏) = −2𝑛∑𝑘=1

(𝑎𝑥𝑘 +𝑏−𝑦𝑘) = −2⎡⎢⎣𝑎

𝑛∑𝑘=1

𝑥𝑘 +𝑏𝑛∑𝑘=1

1⏟𝑛

−𝑛∑𝑘=1

𝑦𝑘⎤⎥⎦

= 0

⟺ 𝑏 =

𝑛∑𝑘=1

𝑦𝑘

𝑛−𝑎

𝑛∑𝑘=1

𝑥𝑘

𝑛= 𝑦−𝑎𝑥,

et que pour tout 𝑎 ∈ R, le graphe de 𝑏 ⟼ F(𝑎,𝑏) est une parabole orientéevers le haut, nous avons :

∀𝑎,𝑏 ∈R, F(𝑎,𝑏) ⩾ F(𝑎,𝑦−𝑎𝑥).

On considère ensuite :

𝑓 ∶ 𝑎 ∈R⟼ F(𝑎,𝑦−𝑎𝑥) .

Puisque

𝑓(𝑎) =𝑛∑𝑘=1

[𝑎(𝑥𝑘 −𝑥)− (𝑦𝑘 −𝑦)]2

= 𝑎2𝑛∑𝑘=1

(𝑥𝑘 −𝑥)2 −2𝑎𝑛∑𝑘=1

(𝑥𝑘 −𝑥)(𝑦𝑘 −𝑦)

+𝑛∑𝑘=1

(𝑦𝑘 −𝑦)2

= 𝑎2𝑛σ2𝑥 −𝑎(2𝑛C𝑥,𝑦)+𝑛σ2

𝑦.

𝑓′(𝑎) = 2𝑎𝑛σ2𝑥 −2𝑛C𝑥,𝑦.

identité remarquable

polynôme de degré 2 en 𝑎

Comme 𝑓 est encore un trinôme de graphe une parabole orientée vers lehaut, elle est minimale là où 𝑓′ s’annule, i.e. en 𝑎 = C𝑥,𝑦

σ2𝑥. En résumé, nous

avons montré :

∀𝑎,𝑏 ∈R, F(𝑎,𝑏) ⩾ F(𝑎,𝑦−𝑎𝑥) ⩾ F(C𝑥,𝑦

σ2𝑥

,𝑦−C𝑥,𝑦

σ2𝑥

𝑥).

Cette inégalité prouve que (C𝑥,𝑦

σ2𝑥,𝑦− C𝑥,𝑦

σ2𝑥𝑥) est un minimum global de F.

Un calcul de points critiques montre ensuite qu’il s’agit du seul minimumpossible :



PEN-FANCY

En conclusion : (C𝑥,𝑦

σ2𝑥,𝑦− C𝑥,𝑦

σ2𝑥𝑥) est l’unique minimum (global) de F sur

R2.

Remarque 2.25—

Caret-right Selon la formedunuage, nos connaissances et notre intuition on considéreraparfois les échantillons ln(𝑥), 𝑥2, etc

Caret-right Pourquoi parle-t-on de «régression linéaire»? La réponse est une erreur detraduction. Le mathématicien anglais Sir Galton étudiait les tailles des fils(𝑦𝑗) en fonction de la taille de leur père (𝑥𝑗) ; et a constaté un «retour à lamoyenne». En effet, les grands individus ont en moyenne des enfants pluspetits qu’eux et les petits individus ont des enfants plus grand qu’eux. En An-glais le terme «retour à la moyenne» est «régression to the mean», ce termea ensuite été mal transposé au Français.

Qualité d’une régression linéaire. Comment évaluer la « justesse» d’un ajuste-ment? La réponse n’est pas simple. Pour y répondre on définit un nouvel indica-teur statistique : le coefficient de détermination.

Définition/Proposition ALEA.17.2 | Coefficient de détermination d’une ré-gression

Soit (𝑥,𝑦) une série statistique double constituée d’une suite de couples((𝑥𝑘,𝑦𝑘))1⩽𝑘⩽𝑛. On appelle coefficient de détermination de 𝑥 et 𝑦, noté 𝑟2(𝑥,𝑦),la quantité définie par :

𝑟2(𝑥,𝑦) = ρ(𝑥,𝑦)2 =C2𝑥,𝑦

V𝑥V𝑦∈ [0,1].



Attention×

Ce n’est donc pas le coefficient de corrélation, mais son carré.

Preuve Puisque ρ(𝑥,𝑦) ∈ [−1,1], son carré est bien dans [0,1].

Remarque 2.26— InterprétationAinsi 𝑟2(𝑥,𝑦) = 1 correspond àune adéquationparfaite tandis que 𝑟2(𝑥,𝑦) proche de 0, équivalent à ρ(𝑥,𝑦) proche de 0, indiqueune faible liaison linéaire ce qui peut signifier qu’il n’y a pas de lien entre 𝑥 et 𝑦 oubien que 𝑥 et 𝑦 sont liés par une relation non-affine. En général, on considère unerégression linéaire comme «satisfaisante» lorsque

𝑟2(𝑥,𝑦) ⩾ 0.9 .

Autres ajustements se ramenant à une régression linéaire. Onpeutpenser àbeau-coup d’ajustements. Par exemple :

1 — si l’on souhaite tester la relation 𝑦 = λeα𝑥, avec (α,λ) ∈ R×R+⋆ avec 𝑦 sériestatistique strictement positive, on peut constater qu’elle est équivalente à (ln𝑦 =lnλ+α𝑥 : on fait alors la régression sur (𝑥, ln𝑦). Comment retrouver α,λ à partirde 𝑎⋆,𝑏⋆ ?PEN-FANCY

2 — si l’on souhaite tester la relation 𝑦 = 𝑎 ln𝑥+𝑏, avec (𝑎,𝑏) ∈ R, on peut fairealors la régression sur (ln𝑥,𝑦).

2.2.5. En Python : comment calculer l’ensemble des

grandeurs de statistiques bivariées ?

On suppose dans la suite que toutes les données d’une série à nombre de modali-tés fini sont contenues dans une liste L donnée en paramètre.

PythonCovariance

1 def covariance(L, M):2 '''3 Renvoie la covariance des deux séries4 '''5 Prod = [L[i]*M[i] for i in range(len(M))]6 return esperance(Prod) - esperance(L)*esperance(M)

PythonCoefficient de corrélation

1 import math as ma2 def coeff_cor(L, M):3 '''4 Renvoie le coefficient de corrélation des deux séries5 '''6 return covariance(L,

M)/(ma.sqrt(variance(L))*ma.sqrt(variance(M)))↪

3. STATISTIQUES INFÉRENTIELLES

Rappelons que l’inférence statistique (cf. introduction) consiste à savoir si une sé-rie statistique 𝑥 peut être vue comme plusieurs réalisations d’une même variablealéatoire, et estimer les valeurs des paramètres de cette loi (espérance, variance,etc.). Consulter l’introduction pour plus de détails.



3.1. Estimation ponctuelle

Définition ALEA.17.22 | 𝑛-échantillon et estimateur1 — Un 𝑛-échantillon est un 𝑛-uplet (X1,…,X𝑛) de variables aléatoires in-dépendantes et de même loi (i.i.d.). Une observation (ou réalisation) de(X1,…,X𝑛) est (X1(ω),…,X𝑛(ω)) pour un certain ω ∈ Ω. La loi commune s’ap-pelle la loi parente ou la loi mère. On parle d’échantillon gaußien lorsque tousles X𝑖, 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K suivent une loi normale.2 — Un estimateur d’un paramètre θ inconnu est une suite de variables aléa-toires (θ𝑛), où θ𝑛 est une fonction de (X1,…,X𝑛), i.e. θ𝑛 = φ𝑛(X1,…,X𝑛) avecφ𝑛 ∶R𝑛 ⟶R.

Le plus souvent le paramètre θ sera l’espérance ou la variance de la loi de X, unemédiane, ou toute autre valeur caractéristique d’une loi de probabilité.

Attention (à la terminologie «estimateur»)×

On s’attend à ce qu’un estimateur «estime» θ au sens propre du terme i.e.qu’il en soit très proche. La définition précédente ne garantit pas cela : lespropriétés vraiment intéressantes d’un estimateur seront énoncées infra.

CadreCOGS

Dans toute la suite de cette section,on se fixe un𝑛-échantillon (X1,…,X𝑛)de même loi qu’une variable aléatoire réelle X. On suppose de plus quecette loi commune dépend d’un paramètre θ ∈R.

Exemple 10— Uniforme en zéro Par exemple, (X1,…,X𝑛) et X où X1,…,X𝑛 sonti.i.d. de loi 𝒰[0,θ], et X de même loi indépendante des X𝑖. C’est un 𝑛-échantillon,et θ𝑛 = X1 +⋯+X𝑛 est un estimateur de θ. Calculer E (θ𝑛).

PEN-FANCY

Exemple 11— Élection présidentielle À l’approche du second tour d’une élec-tion présidentielle, on interroge une personne au hasard et on note X = 1 si elle seprononce pour le candidat A et X = 0 si c’est pour le candidat B. Alors X suit uneloi de BERNOULLI de paramètre θ ∈ [0,1] inconnu qui correspond à la proportionde français qui votent pour A.

On questionne cinq individus sur leurs intentions de vote et on obtient les résul-tats suivants (en notant 1 ou 0 selon que le choix se porte sur le candidat A ou B) :1,0,0,1,0. Ces résultats observés correspondent, pour tout θ ∈ [0,1], à la réalisa-tion d’un 5 - échantillon (X1,…,X5) de loi mère ℬ(θ).

Définition ALEA.17.23 | Qualité d’un estimateur

Soit θ𝑛 un estimateur de θ.1 — On appelle erreur d’estimation la variable aléatoire θ𝑛 −θ.2 — Supposons que θ𝑛 admet un moment d’ordre un. On appelle biais, l’es-pérance de l’erreur d’estimation :

𝑏(θ𝑛) = E (θ𝑛 −θ) = E (θ𝑛)−θ.a

On dit qu’un estimateur est sans biais (ou qu’il estime θ de manière non biai-



sée) si 𝑏(θ𝑛) = 0 pour tout 𝑛 ∈N, il est dit biaisé dans le cas contraire. Il est ditasymptotiquement sans biais si 𝑏(θ𝑛)

𝑛→∞−−−−→ 0.3 — Supposons que θ𝑛 admet un moment d’ordre deux. On appelle risquequadratique la quantité :

𝑟𝑛(θ) = E ((θ𝑛 −θ)2) .

Ondit qu’un estimateur est plus efficace qu’un autre si son risque quadratiqueest moins élevé.4 — Un estimateur θ𝑛 est dit convergeant vers θ si :

∀ε > 0, P (||θ𝑛 −θ|| ⩾ ε) b 𝑛→∞−−−−→ 0,

i.e. s’il converge en probabilité vers le paramètre θ.Proposition ALEA.17.14 | Décomposition Biais/Variance

Soit (θ𝑛) un estimateur du paramètre θ admettant un moment d’ordre deux.Alors pour tout entier 𝑛 ∈N :

𝑟𝑛(θ) = Var (θ𝑛)+ (𝑏(θ𝑛))2 .

Preuve (Point clef — Développer le carré)

PEN-FANCY

apar linéarité de l’espérancebDonc plus on ajoute d’observation, plus la probabilité de s’écarter de θ est faible

Proposition ALEA.17.15 | Condition suffisante de convergence

Soit θ𝑛 un estimateur de θ admettant un moment d’ordre deux, et tel que :lim𝑛→∞

𝑟𝑛(θ) = 0. Alors :

(θ𝑛)𝑛∈N est convergeant vers θ ∈R.

Preuve (Point clef — On applique l’inégalité de Markov pour lesmoments d’ordre deux)

PEN-FANCY

Étude des estimateurs de la moyenne/variance/écart-type empiriques. On va es-sentiellement s’intéresser dans la suite aux estimateurs de l’espérance et de la va-riance, appelésmoyenne et variance empirique. Rappelons l’expression de ces es-



timateurs vue dans le ??.

Définition ALEA.17.24 | Moyenne/Variance empiriqueSoient X1,…,X𝑛 une famille de 𝑛 ∈ N⋆ variables aléatoires réelles. On appellemoyenne empirique des X𝑖 (resp. variance empirique) les variables aléatoiresréelles

X𝑛 =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X𝑖 (resp. σ2𝑛 =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(X𝑖 −X𝑛)2).

On appelle écart-type empirique la variable aléatoire

σ𝑛 =(défi.)

√σ2𝑛.

Nous avions également établi une version KÖNIG-HUYGENS en développant le car-ré via une identité remarquable.

Proposition ALEA.17.16 | Version KÖNIG-HUYGENSSoient X1,…,X𝑛 une famille de 𝑛 ∈N⋆ variables aléatoires réelles. Alors :

σ2𝑛 =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X2𝑖 −X𝑛

2.

Corollaire ALEA.17.1 | Lien entre moyenne/variance empirique pour desBERNOULLI

Soient X1,…,X𝑛 une famille de 𝑛 ∈ N⋆ variables aléatoires réelles de loi ℬ(𝑝)avec 𝑝 ∈ [0,1] et 𝑛 ∈N⋆. Alors

σ2𝑛 = X𝑛 −X𝑛

2.

a

PEN-FANCY

Preuve

PEN-FANCY

Passons maintenant aux qualités de ces estimateurs.

Proposition ALEA.17.17 | Qualité de la moyenne/variance empiriqueOn suppose que X1,…,X𝑛 admettent une espérance μ et une variance σ2 > 0,𝑛 ∈N⋆.1 — (Biais de lamoyenne empirique)

E (X𝑛) = μ, et Var (X𝑛) =σ2

𝑛.

Enparticulier, lamoyenne empirique (X𝑛) est un estimateur sans biais de l’es-pérance.2 — (Biais de la variance empirique)

E (σ2𝑛) =

𝑛−1𝑛

σ2.

En particulier, la variance empirique (σ2𝑛) est un estimateur biaisé de la va-

riance.

Preuve Il s’agit ici de calculer les biais de X𝑛 et σ2𝑛.

aIl n’y a en règle général pas de lien entre espérance et variance empirique. C’est ici un cas trèsparticulier qui provient du fait suivant : la somme des carrés des X𝑖 est égale à la somme



1 — PEN-FANCY Soit 𝑛 ∈N⋆. Nous avons d’une part par linéarité de l’espérance :

E (X𝑛) =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

E (X𝑖) =1𝑛

(𝑛 μ) = μ,

et d’autre part par argument d’indépendance des X𝑖 :

Var (X𝑛) =1𝑛2

𝑛∑𝑖=1

σ2 =𝑛σ2

𝑛2 =σ2

𝑛.

2 — Nous allons utiliser la version KÖNIG-HUYGENS de l’estimateur σ2𝑛, i.e.

σ2𝑛 =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X2𝑖 −X𝑛

2.

PEN-FANCY

E (σ2𝑛) = E (

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X2𝑖 −X𝑛

2) ,

=1𝑛

𝑛∑𝑖=1

E (X2𝑖 )−E (X𝑛

2) ,

=1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(σ2 +μ2)− (Var (X𝑛)+E (X𝑛)2) ,

= σ2 +μ2 −(σ2

𝑛+μ2)

=𝑛−1

𝑛σ2.

linéarité de l’espérance

lien moment d’ordre deuxet variance

d’après 1

Nous déduisons, par linéarité de l’espérance une version dite «corrigée» de l’esti-mateur de la variance, i.e. un estimateur sans biais appelé variance corrigée.

Définition ALEA.17.25 | Variance empirique corrigéeOn appelle variance empirique corrigée des X𝑖 (resp. écart-type corrigé) les va-riables aléatoires définies pour tout 𝑛 ⩾ 2 par :

σ2,cor𝑛 =

𝑛𝑛−1

σ2𝑛 =

1𝑛−1

𝑛∑𝑖=1

(X𝑖 −X𝑛)2 (resp. σcor

𝑛 = √σ2,cor𝑛 ).

Proposition ALEA.17.18 | Qualité de la variance corrigéeOn suppose que X1,…,X𝑛 admettent une espérance μ et une variance σ2 > 0.Alors pour tout 𝑛 ⩾ 2 :

E (σ2,cor𝑛 ) = σ2.

Ainsi, la variance empirique corrigée σ2,cor𝑛 est un estimateur sans biais de la

variance.

Preuve

PEN-FANCY

Proposition ALEA.17.19 | ConvergenceOn suppose que X1,…,X𝑛 admettent une espérance μ et une variance σ2 > 0,𝑛 ∈N⋆. Alors :

L’estimateur (X𝑛)𝑛∈N⋆(resp. (σ2

𝑛)𝑛⩾2) converge vers μ (resp. σ2).

Preuve (Point clef — Les risques quadratiques convergent vers zéro)

PEN-FANCY

Nous admettons la convergence de σ2𝑛.



Remarque 3.1— Loi de Student Rappelons que

Exemple 12— Reprenons l’Exemple 11, on note (X1,…,X𝑛) un 𝑛 ∈ N⋆-échantillon associé. Un estimateur naturel pour θ est X𝑛. On peut envisagerd’autres estimateurs, par exemple

A𝑛 =2

𝑛(𝑛+1)

𝑛∑𝑘=1

𝑘X𝑘, ou encore B𝑛 = 𝑝.

Lequel des trois est le meilleur du point de vue du risque quadratique? On com-mencera par calculer leur biais, puis leur risque quadratique. Commentez les ré-sultats obtenus.

PEN-FANCY

Notez que des observations de ces trois estimateurs ont été donnés dans l’énon-cé :

Caret-right X5 = 15 (1+0+0+1+0) = 2

5 ,Caret-right A5 = 1

3 ,Caret-right B5 = 0.

Exemple 13— Uniforme en zéro On prolonge l’Exemple 10. Si (X1,…,X𝑛) est un𝑛 ∈N⋆-échantillon de loimère𝒰[0,θ] avec θ ∈R. On note θ𝑛 =max(X1,…,X𝑛).

1 — Qu’estime de manière non biaisée 2X𝑛 ?PEN-FANCY

2 — Montrer que θ𝑛 est une variable aléatoire à densité pour tout 𝑛 ⩾ 1.PEN-FANCY



3 — L’estimateur (θ𝑛) est-il biaisé? Donner alors un estimateur non biaisé de θ.

PEN-FANCY

4 — Entre l’estimateur précédent et 2X𝑛, lequel choisir?PEN-FANCY

3.2. Estimation par Intervalle de confiance

Une fois le calcul d’un estimateur effectué, on ne peut pas se contenter d’une va-leur estimée : il faut mesurer l’erreur commise entre la valeur inconnue et l’esti-mation. En effet, même avec un risque quadratique faible, on n’est jamais à l’abride tomber sur un «mauvais» échantillon qui nous donnerait une mauvaise esti-mation du paramètre.

Cette estimationd’erreur est précisément la vocationde l’estimationpar intervalleconfiance qui est plus précise que la seule donnée d’un estimateur : nous allonsdonner des intervalles, contenant le paramètre à estimer, avec très forte probabi-lité. 9

Définition ALEA.17.26 | Intervalle de confianceSoit α ∈]0,1[ et (X1,…,X𝑛) un échantillon de variables aléatoires indépen-dantes et de même loi que X, loi dépendant d’un paramètre θ.1 — On appelle intervalle de confiance de niveau 1 − α (on dit aussi de pro-babilité de confiance 1−α) pour le paramètre θ, tout intervalle aléatoire notéIX1,…,X𝑛 dépendant des X1,…,X𝑛 tel que :

P (θ ∈ IX1,…,X𝑛) ⩾ 1−α.

2 — On appelle intervalle de confiance asymptotique de niveau 1 − α pourle paramètre θ (on dit aussi de probabilité de confiance 1 − α) toute suite(IX1,…,X𝑛 )𝑛 d’intervalles aléatoires telle que :

lim𝑛→∞

P (θ ∈ IX1,…,X𝑛) ⩾ 1−α.

Remarque 3.2—

Caret-right Très souvent, on recherche un intervalle de confiance de θ sous la forme d’unintervalle centré en une estimation ponctuelle de θ. Par exemple, pour l’in-

9En passant au complémentaire, la probabilité que le paramètre soit en dehors de cet intervallesera donc très petite.



tervalle de confiance de la moyenne μ d’un échantillon, il sera centré en X𝑛le plus souvent.

Caret-right La plupart du temps, c’est ce niveau de risque de 0.05 qui est utilisé, et qui estcommunément accepté par exemple en sciences humaines. Mais dans desdomaines plus sensibles où l’on n’a pas vraiment de droit à l’erreur (aérospa-tiale, physique nucléaire, etc), on travaille avec des niveaux de risque de 0.01,voir moins.

Proposition ALEA.17.20 | Stabilité par élargissementSoit α ∈]0,1[ et (X1,…,X𝑛) un échantillon de variables aléatoires indépen-dantes et de même loi que X, loi dépendant d’un paramètre θ. Alors :

si IX1,…,X𝑛 est un intervalle de confiance de niveau 1−α pour θ, alors pourtout intervalle JX1,…,X𝑛 ⊃ IX1,…,X𝑛 , JX1,…,X𝑛 est encore un intervalle de confiance

de niveau 1−α pour θ.

Preuve

PEN-FANCY

On commence par deux exemples de recherche d’un intervalle de confiance non-asymptotique.

Exemple 14— Pesons-nousavecCRUELLA. Intervalle de confiancenonasympto-tique obtenupar propriétés des lois normales. Pamela est unmannequin célèbredont le poids est strictement surveillé par Cruella. Cette charmante dame a inves-ti un jour dans l’achat d’une balance Harmonia afin de connaître précisément lepoids de sa protégée. Horreur : elle a constaté sur l’emballage de la balance queles fabricants (d’honnêtes artisans suisses) admettaient que leur outil de mesure(nul n’est parfait) pouvait commettre des erreurs de mesure dont l’écart-type va-lait 0,1 kg, néanmoins l’étiquette précise que les mesures (X1,…,X𝑛) avec 𝑛 ∈ N⋆

sont gaußiennes. Eneffet les piècesdétachéesne sontpas toutes exactement iden-

tiques, leur montage n’est jamais parfait et le transport à travers les Alpes endom-mage parfois les balances. Ne faisant ni une ni deux, Cruella, a, dès le lendemain,dévalisé le magasin en investissant dans l’achat de 99 nouvelles balances Harmo-nia et a forcé Pamela à sauter sur les 100 balances pendant que Cruella relevaitscrupuleusement les 100 mesures. Résultat moyen des pesées : 55,4 kg. Donner àCruella un intervalle de confiance pour le poids moyen de Pamela sur ce type debalance, de probabilité de confiance 0,95.

PEN-FANCY



Remarque 3.3— Nous n’avons pas eu besoin d’utiliser le théorème central limiteici, car l’échantillon de départ était déjà gaußien. Sinon, de manière générale, onutilisera la Proposition ALEA.17.21 ci-après.

Exemple 15— Intervalle de confiance non asymptotique obtenu via la loi faibledes grands nombres On considère une pièce dont on souhaite savoir si elle esttruquée ou non. Pour cela, on peut la lancer autant de fois que l’on veut. Ma-thématiquement, étant donné 𝑛 ∈ N∗, on observe la réalisation d’un échantillon(X1,…,X𝑛)devariables aléatoires indépendantes et demême loiℬ(𝑝), où𝑝 ∈]0;1[est connu.

On cherche alors un intervalle [𝑎,𝑏], dont les bornes dépendent des observations,mais pas de 𝑝, et tel que la probabilité que le paramètre inconnu 𝑝 appartienne à

cet intervalle soit égale à 0,95. On note 𝑝𝑛 = 1𝑛

𝑛∑𝑖=1

X𝑖.

1 — À l’aidede l’inégalité deBIENAYMÉ-TCHEBYCHEV, justifier quepour tout ε > 0 :

P (||��𝑛 −𝑝|| > ε) ≤1

4𝑛ε2.

2 — Déterminer une valeur de ε telle que P (||��𝑛 −𝑝|| > ε) ≤ α.

3 — En déduire que P(||��𝑛 −𝑝|| ≤ 12√α√𝑛

) ≥ 1−α et donner un intervalle deconfiance de niveau α = 0,05.4 — On effectue 2000 lancers de la pièce et on trouve ��𝑛 = 0,57. Que peut-onconclure?

PEN-FANCY



Intervalle de confiance asymptotique obtenu par le théorème central limite Oncherche àprésent un intervalle de confiance asymptotiquepourμ à l’aidedu théo-rème central limite. Puisque (X𝑛) est une suite de variables aléatoires i.i.d. possé-dant une variance, on peut lui appliquer le théorème central limite : pour tout(𝑎,𝑏) ∈R2,

lim𝑛→+∞

P(𝑎 ≤ √𝑛X𝑛 −μ

σ𝑛≤ 𝑏) = Φ(𝑏)−Φ(𝑎).

On souhaite obtenir un intervalle de confiance asymptotique au niveau deconfiance 1−α avec α ∈]0,1[. Pour cela, on doit donc choisir 𝑎,𝑏 de sorte que

Φ(𝑏)−Φ(𝑎) ≥ 1−α.

Il y a une infinité de façon de choisir 𝑎 et 𝑏. On choisit couramment 𝑎 = −𝑏 (inter-valle centré en la moyenne empirique), et donc

Φ(𝑏)−Φ(𝑎) = Φ(𝑏)−Φ(−𝑏) = Φ(𝑏)− (1−Φ(𝑏)) = 2Φ(𝑏)−1.

On cherche donc 𝑏 tel que :

2Φ(𝑏)−1 = 1−α ⟺ Φ(𝑏) = 1−α2

⟺ 𝑏 = Φ−1 (1−α2) ,

puisque, rappelons-le, nous avonsmontré queΦ ∶R⟶ [0,1] est bijective. Avec cechoix, nous donc montré que :

lim𝑛→+∞

P(−Φ−1 (1−α2) ≤ √𝑛

X𝑛 −μσ𝑛

≤ Φ−1 (1−α2)) = 1−α,

lim𝑛→+∞

P(−σ𝑛

√𝑛Φ−1 (1−

α2) ≤ μ−X𝑛 ≤

σ𝑛

√𝑛Φ−1 (1−

α2)) = 1−α.

manipulationd’encadrement

Il reste ensuite à ajouter X𝑛 de chaque côté de l’encadrement, on obtient alors laproposition suivante.

Proposition ALEA.17.21 | IC asymptotique pour la moyenne donné par lethéorème central limite [H.P]

Soit (X𝑛) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, onnoteμ leur espérance commune, et admettant une variance et soient α ∈]0,1[,𝑛 ∈N⋆. Alors :

P(X𝑛 −Φ−1 (1−α2)

σ𝑛

√𝑛≤ μ ≤ X𝑛 +Φ−1 (1−

α2)

σ𝑛

√𝑛) 𝑛→∞−−−−→ 1−α.

Ainsi,

[X𝑛 −Φ−1 (1−α2)

σ𝑛

√𝑛≤ μ ≤ X𝑛 +Φ−1 (1−

α2)

σ𝑛

√𝑛]

est un intervalle de confiance asymptotique de niveau α pour l’espérance μ.

Remarque 3.4— Il faut savoir refaire la démarche qui précède l’énoncé de cetteproposition. Comme indiqué par le logo [H.P] , la connaissance de l’intervalle deconfiance n’est pas indispensable.

Remarque 3.5— Visualisation de Φ−1 (1− α2 ) Représentons sur la densité

Gaußienne la quantité Φ−1 (1− α2 ).



α2

α2

Φ−1 (α2 ) Φ−1 (1− α2 )

−3 −2 −1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

𝑥

φ(𝑥)

Pour connaître les valeurs deΦ−1 (1− α2 ) on utilisera la table de la loi normale (voir

le tableau en fin de ce chapitre). On peut cependant garder à l’esprit les valeursremarquables suivantes que l’on utilisera la plupart du temps :

Caret-right Φ−1 (1− 0.052 ) = 1.96 donc pour un risque α = 0.05,

Caret-right Φ−1 (1− 0.012 ) = 2.57 donc pour un risque α = 0.01.

Remarque 3.6— Commentaires

1 — Comment varie la taille de l’intervalle de confiance en fonction de 𝑛?PEN-FANCY

2 — Comment simplifier cet intervalle de confiance lorsque l’écart-type σ estsupposé connu?PEN-FANCY

3 — Pourquoi utiliser plutôt la seconde forme du théorème central limite?PEN-FANCY

Résumons les techniques pour obtenir un intervalle de confiance.

Méthode (Résultats probabilistes pour établir un intervalle de confiance :

le théorème central limite et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev)WRENCH

1 — (Si le «type de loi» (bernoulli, gaußienne etc.) du 𝑛-échantillon estconnu) On arrive parfois à calculer les probabilités P (θ ∈ IX1,…,X𝑛) expli-citement pour n’importe quel intervalle IX1,…,X𝑛 , les intervalles de confianceobtenus ne sont alors pas asymptotiques.Pour des échantillons gaußiens, on a deux cas de figure :

Caret-right si σ est connue, on centre/réduit la moyenne empirique et on utilise lapropriété de stabilité de la loi normale (cf. exemple de CRUELLA).

Caret-right [H.P] Siσ est inconnue, on peut avoir recours à la loi de STUDENTa : voirRemarque 8 ci-après pour une définition.

2 — (Si la loi de départ n’est pas connue) b On utilise : soit :Caret-right le théorème central limite en centrant réduisant la moyenne empirique

(en approchant la variance par la version empirique si elle n’est pasconnue), cela nous donne un intervalle de confiance seulement asymp-totique,

Caret-right soit l’inégalité de BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV.

Exemple 16— Afin d’étudier la proportion 𝑝 d’élèves satisfaits par le nouveaucarambar bi-goût, on en interroge 100, et 56 d’entre eux déclarent être satisfaitspar ce nouveau modèle. Donner un intervalle de confiance à 95 % pour 𝑝.

PEN-FANCY

aC’est la loi obtenue en remplaçant σ inconnue par σ𝑛cor dans la centrée/réduite de la moyenne

empirique d’un échantillon gaußienbOn sera dans ce contexte l’immense majorité du temps



Exemple 17— Sur 250 ampoules, on observe une durée de vie moyenne de 600heures et un écart-type de 50 heures. Donner un intervalle de confiance à 99 % del’espérance de vie d’une ampoule.

PEN-FANCY

Remarque 3.7— Différence avec les intervalles de «fluctuation».On se donnepar exemple une variable aléatoire X ↪ 𝒩(𝑚,σ2). Alors en utilisant la propriétéde stabilité de la loi normale , on a :

P(𝑚−1,96σ ≤ X ≤ 𝑚+1,96σ) = 0,95.

L’intervalle [𝑚 − 1,96σ,𝑚 + 1,96σ] est appelé « intervalle de fluctuation » pourX, car X prend 95 % de ses valeurs dans cet intervalle, dont les bornes sont desnombres réels (dépendant des paramètres de la loi de X). Au contraire, un inter-valle de confiance contient une valeur réelle mais inconnue, et ce sont ses bornesqui sontdes variables aléatoires.Nousn’estimonspas lamêmechosedans lesdeuxcas, mais on passe de l’un à l’autre par de simples manipulations sur les encadre-ments.

3.3. Test de conformité à la moyenne

Comme nous venons de le voir, l’une des fonctions des statistiques est de pro-poser, à partir d’observations d’un phénomène aléatoire (ou modélisé commetel) une estimation de la loi de ce phénomène (ou plus précisément des para-mètres associés). C’est ce que nous avons fait en construisant des intervalles deconfiance. Les statistiques servent aussi à prendre des décisions. Peut-on consi-dérer qu’un médicament est plus efficace qu’un placebo? Le nombre de consul-tations de Google par seconde suit-il une loi de POISSON? Les gènes pilotant lacouleur des yeux et celle des cheveux sont-ils sur les mêmes chromosomes? Il ya deux points communs (au moins) à toutes ces questions : leurs réponses sontdes oui-non et le phénomène sous-jacent est aléatoire. Les tests statistiques vontpermettre d’apporter une réponse à des questions manichéennes en contrôlantl’aléa inhérent à la situation.En statistique les deux éventualités sont appelées des hypothèses et sont notéesℋ0 (hypothèse nulle) et ℋ1 (hypothèse alternative : «μ ≠ μ0 » dans l’exemple quisuit).Commençons directement par le test de conformité à la moyenne avant de pré-senter le vocabulaire général des tests statistiques.

Principe du test d’adéquation à la moyenne. Le seul test qui est au programmede BCPST est le test d’adéquation à la moyenne. On considère un 𝑛-échantillon(X1,…,X𝑛) possédant une varianceσ2 > 0, et une espéranceμ. Notonsℋ0 «μ =μ0 » : c’est l’hypothèse que la moyenne commune des X𝑖 est μ = μ0 avec μ0 ∈ R. Siℋ0 est vraie, alors nous avons vu le résultat suivant.

Proposition ALEA.17.22 | Application du théorème central limite pourtrouver une zone de rejet

Si ℋ0 est vraie, alors pour tout α ∈R, P(||||X𝑛−μ0

σ𝑛√𝑛

||||> Φ−1 (1− α

2 ))𝑛→∞−−−−→ α.



Preuve

PEN-FANCY

Ainsi, en se fondant sur ce résultat probabiliste, une stratégie de décision pouraccepter ou rejeter l’hypothèse ℋ0 serait la suivante.

Définition/Proposition ALEA.17.3 | Test d’adéquation à la moyenne

1 — si pour 𝑛 ⩾ 30,a μ0 ∈ [X𝑛 −Φ−1 (1− α2 )

σ𝑛√𝑛

,X𝑛 +Φ−1 (1− α2 )

σ𝑛√𝑛], alors

on ne rejète pas l’hypothèse ℋ0 avec risque d’erreurb α,

2 — si pour𝑛 ⩾ 30, μ0 ∉ [X𝑛 −Φ−1 (1− α2 )

σ𝑛√𝑛

,X𝑛 +Φ−1 (1− α2 )

σ𝑛√𝑛], alors on

rejette l’hypothèse.On appelle ce test le test d’adéquation à la moyenne.

aUn consensus pour que la convergence dans le théorème central limite soit suffisamment précise

Fixons un peu de vocabulaire :

Caret-right La variable aléatoire θ𝑛 = X𝑛−μ0σ𝑛√𝑛

est appelée statistique de test.

Caret-right L’intervalle

]−∞,−Φ−1 (1−α2)[⋃]Φ

−1 (1−α2) ,+∞[

est appelé la zone de rejet ; car c’est lorsque la statistique de test est dans cettezone de rejet que l’on rejette ℋ0.

Caret-right Le risque d’erreur (de première espèce) est la probabilité de rejeter ℋ0 alorsqu’elle est vraie, c’est ce risque que l’on souhaite le plus petit possible. Dansnotre test d’adéquation, il s’agit d’α qui est petit.

Caret-right L’hypothèse ℋ1 qui est ici μ ≠ μ0 est appelée hypothèse alternative. Dansnos exemples, l’hypothèse alternative ℋ1 sera toujours Cℋ0 — l’hypothèsecontraire de ℋ0.

Résumé (du test d’adéquation)♥

1 — (But) Tester une valeur possible de moyenne ℋ0 «μ = μ0 ».2 — (Résultat probabiliste qui fonde le test) le théorème central limite.3 — (Décision) On rejette ℋ0 si μ0 ∉

[X𝑛 −Φ−1 (1− α2 )

σ𝑛√𝑛

,X𝑛 +Φ−1 (1− α2 )

σ𝑛√𝑛]. Sinon on ne rejète pas ℋ0.

Remarque 3.8— Que faire quand 𝑛 < 30? Une solution : la loi de STUDENTlorsque l’échantillon est gaußien Dans le cas où 𝑛 < 3010et que l’échantillon estgaußien, on peut utiliser une version du test précédent faisant appel à la loi deSTUDENT.

Plus précisément, on appelle loi de STUDENT à𝑘 ∈N⋆ degrés de liberté la loi d’une

bi.e. rejeter à tort l’hypothèseℋ0 alors qu’elle était vraie10et même pour tout 𝑛 dans ce cas



variable aléatoire 𝒯𝑘 définie par :

𝒯𝑘 =N

√(N21 +⋯+N2

𝑘)/𝑘,

où (N1,…,N𝑘) est un 𝑘-échantillon de loi 𝒩(0,1), et N également de loi 𝒩(0,1)indépendante des N𝑖, 𝑖 ∈ J1 , 𝑘K.

Soit donc (X1,…,X𝑛) notre échantillon demoyenne communeμ. Alors la centrée-réduite de X𝑛 où l’écart-type σ est remplacé par sa version empirique corrigéeest :

√𝑛X𝑛 −μσ𝑛

cor .

Alors, un théorème non trivial11 permet de montrer que cette variable aléatoiresuit une loi 𝒯𝑛−1. Cette loi étant tabulée, on peut alors en déduire facilement desintervalles de confiance comme nous l’avions fait avec le théorème central limite.

Généralités sur les tests statistiques.

Définition ALEA.17.27 | Test statistique, hypothèse nulle, zone de rejet1 — Une hypothèse statistique est un énoncé concernant un 𝑛-échantillon(valeur d’un paramètre, nature de la distribution, etc.).2 — Un test statistique est une démarche ayant pour but de fournir une règlede décision permettant, en se fondant sur l’observation d’un échantillon, defaire un choix entre deux hypothèses statistiques. L’hypothèse nulle est l’hy-pothèse fixant a priori une condition sur le paramètre, on la note ℋ0. Touteautre hypothèse est appelée hypothèse alternative, on la note ℋ1.3 — On appelle région de rejet (resp. statistique de test ) une partie I deR (resp.un estimateur θ𝑛 associé au𝑛-échantillon considéré) qui conduit à rejeterℋ0pour ℋ1 si θ𝑛 ∈ I. Dans le cas contraire, on dit que l’on ne rejète pas ℋ0.

11théorème de COCHRAN

4 — On appelle risque de première espèce (ou niveau du test ) la probabilité derejeter ℋ0 à tort (alors qu’elle est vraie).

Définition ALEA.17.28 | Test statistique et niveauUn test statistique est un algorithme qui conduit à accepter ℋ0 ou à rejeterℋ0 à partir d’observations d’un phénomène aléatoire. On appelle niveau dutest la probabilité de rejeter ℋ0 alors qu’elle est vraie.

C’est le niveau du test que l’on souhaite le plus faible possible. En revanche, on sepréoccupe en général peu de la probabilité d’accepter ℋ0 alors que ℋ1 est vraie.L’objectif d’un test est avant tout de valider l’hypothèse ℋ0. Ne pas rejeter ℋ0veut simplement dire que les observations ne sont pas incompatibles avec cettehypothèse.

Remarque 3.9— Dissymétrie des hypothèses Retenez l’analogie avec la justicequi pose comme principe la présomption d’innocence. On souhaite contrôler enpriorité la probabilité d’envoyer un innocent en prison en négligeant pour l’ins-tant celle de relâcher un coupable. Dans cet exemple ℋ0 est « la personne est in-nocente» et ℋ1 est « la personne est couple». Le risque de première espèce cor-respond donc au rejet de ℋ0 (personne envoyée en prison) alors qu’elle est vraie(personne innocente).

Plutôt que de dire «on ne rejète pas l’hypothèse», on devrait dire «on ne rejètepas l’hypothèse avec un risque α de se tromper» (i.e. d’accepter l’hypothèse alorsqu’elle est fausse). De-même, plutôt que de dire «on rejette l’hypothèse», on de-vrait dire «on rejette l’hypothèse avec un risque 1−α de se tromper» (i.e. de rejeterl’hypothèse alors qu’elle est vraie).

Méthode (Démarche générale d’un test statistique)WRENCH

1 — Poser l’hypothèse (nulle) ℋ0 que l’on souhaite tester.2 — Trouver un résultat de probabilité qui donne deux résultats différentsselonqueℋ0 est vraie ounon (dans le test d’adéquation supra, c’était le théo-rème central limite).



WRENCH 3 — Donner la stratégie de décision, en fonction du résultat énoncé.

Remarque 3.10— Il est illusoire, à cause de l’aléatoire sous-jacent au 𝑛-échantillon, de vouloir prendre à coup sûr la bonne décision. C’est pourquoi onse laisse une marge d’erreur. En général, on choisit α = 0,05 ou α = 0,01.

Des exemples.

Exemple 18— Chez le petit lapin, la durée moyenne de gestation est de 30 jours.On étudie un échantillon de 66 familles de gros lapins, pour lesquelles on observeune durée moyenne de gestation de 30,83 jours avec un écart-type de 4,07 jours.Peut-on conclure que la durée de gestation est significativement différente chezles petits et les gros lapins?

PEN-FANCY

Exemple 19— Une étude commerciale, réalisée sur 100 personnes, montre que49 % des internautes ont moins de 39 ans, alors que d’après le recensement cettetranche d’âge représente 41 % de la population française. Peut-on conclure que lapopulation des internautes est plus jeune que la population française? La diffé-rence observée est-elle révélatrice d’un phénomène ou provient-elle des fluctua-tions d’échantillonnage? On pourra considérer le cas d’un niveau de confiance de90 % puis de 95 %. PEN-FANCY

Soit (X1,…,X100) un 100-échantillon, de loi ℬ(𝑝) avec 𝑝 ∈ [0,1], c’est pour un in-dividu donné la probabilité qu’il ait moins de 39 ans. On sait par hypothèse queX100 = 49

100 , puis par formule de KÖNIG-HUYGENS que σ2100 = 1

100 ∑100𝑖=1X

2𝑖 −X100

2 =X100 −X100

2 = 0.2499. Ainsi :— un intervalle de confiance de niveau 95 % pour 𝑝 est :

[0,49−1,96×√0.2499√100

;0,49+1,96×√0.2499√100

] ≈ [0.392,0.588] ,

— un intervalle de confiance de niveau 90 % pour 𝑝 est :

[0,49−1.64×√0.2499√100

;0,49+1.64×√0.2499√100

] ≈ [0.408,0.572] .

On constate que : 0,41 est dans les deux intervalles de confiance. On accepte doncl’hypothèse ℋ0 «𝑝 = 41

100 », i.e. que parmi les internautes et l’ensemble de la popu-lation la fréquence de personnes de moins de 39 ans est sensiblement la même.



Lapetite différence observée provient de fluctuations d’échantillonnage, avec uneétude commercialemenée sur plus de personnes nous aurions peut-être eu un ré-sultat différent.




Annexe : tables de valeurs pour la fonction de répartition de la loi normale centrée

réduite 𝒩(0,1).

Méthode (Obtenir Φ(𝑥) pour un certain 𝑥 ∈ R à l’aide d’une table)WRENCH

Si l’on souhaite avoir, par exemple, Φ(0,96), on :1 — se place sur la ligne «0.9»,2 — se place ensuite sur la colonne «0.06».3 — On obtient alors la valeur désirée. Dans cet exemple, Φ(0,96) = 0,8315.

Méthode (Chercher 𝑥 ∈ R tel que Φ(𝑥) = α à l’aide d’une table, α ∈ [0,1])WRENCH

Si l’on souhaite avoir, par exemple, 𝑥 ∈R tel que Φ(𝑥) = 0.975.1 — On cherche dans la grille l’endroit où se trouve une valeur suffisammentproche de α = 0.975.2 — Dans cet exemple, on constate que Φ(1.96) = 0.975.

Si l’on souhaite avoir, par exemple, 𝑥 ∈R tel que Φ(𝑥) = 0.160.

1 — En parcourant la table, on constate que 0.160 n’y apparaît.2 — On reformule alors la condition en passant au complémentaire :

1−Φ(𝑥) = 0,84 = Φ(−𝑥).

3 — On cherche donc dans la table 0.84, on trouve alors

0.84 = Φ(1.00) donc −𝑥 = 1.00, 𝑥 = −1.00.

𝑥 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993



3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Φ(𝑥) = P(X ≤ 𝑥) = ∫𝑥

−∞

1√2π

e−𝑡22 d𝑡 et Φ(−𝑥) = 1−Φ(𝑥).


P(X ∈ [−1.96;1.96]) = 2Φ(1.96)−1 = 0.95



4. EXERCICES

4.1. Description

[PS_StatsDescr_1.tex]

Exercice ALEA.17.1 Un médecin effectue des recherches sur l’efficacité d’unnouveau béta-bloquant. Cette famille de médicaments est destinée à diminuer lerythmecardiaquedesmalades atteints de tachycardie (pouls supérieur à��batte-ments par minute). Il a donc séparé les malades en �2 groupes : le groupe A reçoitle traitement d’un nouveau médicament, le groupe B reçoit un placébo. Voici lesrésultats.

Caret-right A : 74 - 91 - 91 - 84 - 95 - 93 - 95 - 102 - 81 - 116 - 88 - 95,Caret-right B : 94 - 95 - 113 - 95 - 104 - 113 - 94 - 144 - 105 - 153.

1 — Calculer l’étendue et la médiane pour chacune de ces deux séries.2 — Construire le diagramme de Tuckey de ces deux séries.3 — L’effet du médicament semble-t-il satisfaisant?

[PS_StatsDescr_2.tex]

Exercice ALEA.17.2 L’indice moyen d’un salaire a évolué de la façon suivante :

Année 1 2 3 4 5 6 7

Indice 165 176 193 202 222 245 253

1 — Représenter cette série statistique par un nuage de points.2 — Déterminer la droite de régression linéaire de l’indice en fonction de l’année.3 — Prévoir l’indice à l’année 9.4 — Répondre aux questions à l’aide de Python.

4.2. Estimateurs

[PS_Stats_5.tex]

Exercice ALEA.17.3 Barycentre de deux estimateurs

1 — Dans une population de porcs, on veut estimer le gain moyen quotidien(GMQ) noté μ, on suppose que les gains sont d’écart-type σ ∈ R. À cet effet, onchoisit deux échantillons indépendants dans cette population. On observe deuxéchantillons : l’un (X1,…,X10) de 10 individus, et (Y1,…Y30) de 30 individus. Onpropose deux estimateurs de μ :

T1 =X10 +Y30

2et T2 =

10X10 +30Y3040

.

On cherche à déterminer le meilleur des deux estimateurs.1.1) Calculer le biais de chaque estimateur pour le paramètre μ. Cela permet-il

de les départager?1.2) Calculer les variances de T1 et T2 en fonction de la variance σ2 du gain quo-

tidien de la population. Conclure.1.3) (Généralisation) Soient T1 et T2 deux estimateurs de μ ∈ R, sans biais et

indépendants. Pour tout 𝑎 ∈R, on pose Θ𝑎 = 𝑎T1 +(1−𝑎)T2.1.4) Soit 𝑎 ∈R. Calculer le biais de Θ𝑎 pour le paramètre μ.2 — Parmi tous les Θ𝑎, 𝑎 ∈ R, lequel a le plus petit risque quadratique? Est-cecohérent avec la première question?

[PS_Stats_17.tex]

Exercice ALEA.17.4 CLOCKCLOCK Estimer l’amplitude d’une uniforme Soit (X1,…,X𝑛)un𝑛 ∈N⋆-échantillon de loi𝒰[𝑎,𝑏] avec (𝑎,𝑏) ∈R2. On souhaite estimer 𝑏−𝑎.

1 — Qu’estime de manière non biaisée 2X𝑛 ?2 — Déterminer une densité de max(X1,…,X𝑛) et min(X1,…,X𝑛), puis calculerleur espérance.3 — Déterminer quel paramètre estime θ𝑛 =max(X1,…,X𝑛)−min(X1,…,X𝑛) de



manière non biaisée. Commentez.[PS_Stats_6.tex]

Exercice ALEA.17.5 Soit (X1, ...,X𝑛) un 𝑛-échantillon d’une variable aléatoire Xsuivant une loi de POISSON 𝒫(λ). Soit 𝑥 un réel fixé connu, on cherche à esti-mer e−λ𝑥. Pour cela on définit l’estimateur T𝑛 = e−𝑥X𝑛 avec X𝑛 la moyenne em-pirique.

1 — Montrer que T𝑛 est un estimateur asymptotiquement sans biais de e−λ𝑥.2 — Montrer que T𝑛 est un estimateur convergent de e−λ𝑥.

[PS_Stats_7.tex]

Exercice ALEA.17.6 Soit (X1,…,X𝑛) un 𝑛-échantillon, 𝑛 ⩾ 2, d’une loi 𝒫(λ) deparamètre λ > 0 inconnu. On souhaite estimer le paramètre θ = e−λ. Pour 𝑘 ∈J1 , 𝑘K, on pose Y𝑘 = 𝟙{X𝑘=0}, et on introduit Y𝑛 = 1

𝑛 ∑𝑛𝑘=1 Y𝑘, S𝑛 = ∑𝑛

𝑘=1X𝑘.

1 — 1.1) Montrer que Y𝑛 est un estimateur sans biais de θ.1.2) Calculer Var (Y𝑛). Que dire de P (||Y𝑛 −θ|| ⩾ ε) pour tout ε > 0? On dit que Y𝑛

est un estimateur convergeant vers θ.2 — Pour 𝑗 ∈N, calculer φ(𝑗) = P(X1 = 0||S𝑛 = 𝑗).3 — 3.1) Montrer que T𝑛 = φ(S𝑛) est un estimateur sans biais de θ.3.2) Calculer Var (T𝑛) et en déduire que T𝑛 converge vers θ.4 — Lequel des deux vous semble plus efficace?

4.3. Intervalles de confiance

[PS_Stats_10.tex]

Exercice ALEA.17.7 Contrairement à ce que pense Popeye, l’épinard n’est pasl’aliment le plus riche en fer. La lentille, par exemple, en apporte davantage. On a

procédé à des analyses sur 10 échantillons de lentilles et d’épinards, et on a relevéla teneur en fer (en mg pour 100 g de produit frais).

Echantillon 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Epinard 2.64 2.75 2.82 2.72 2.56 2.59 2.83 2.70 2.67 2.62

Lentille 9.02 9.08 8.82 8.94 8.95 9.11 9.14 9.02 9.04 8.85

1 — Calculer la teneur moyenne en fer, l’écart-type associé, la médiane et lesquartiles pour les épinards et les lentilles.2 — Déterminer un intervalle de confiance à 95 % pour la teneur moyenne en ferdes épinards et des lentilles.3 — Proposer une représentation graphique illustrant le propos initial.

[PS_Stats_11.tex]

Exercice ALEA.17.8 Une usine fabrique des câbles. On suppose que la chargemaximale supportée par un câble, exprimée en tonnes, est une variable aléatoirequi suit une loi normale 𝒩(μ;0,52). Une étude portant sur 50 câbles a donné unemoyenne des charges maximales supportées égales à 12,2 tonnes.

1 — Déterminer l’intervalle de confiance à 99% de la charge maximale moyennede tous les câbles fabriqués par l’usine.2 — Déterminer la taille minimale de l’échantillon étudié pour que la longueurde l’intervalle de confiance à 99% soit inférieure ou égale à 0,2?

[PS_Stats_13.tex]

Exercice ALEA.17.9 Principe CMR : capture/marquage/recapture Dans cet exer-cice, il va être question d’évaluer, de diverses manières, le nombre L (inconnu) desouris dans la cantine. Pour cela, on a prélevé dans la cantine 200 souris que l’ona marquées avant de les relâcher. Il y a donc maintenant dans la cantine L sourisdont 200 sont marquées. En capturant de nouveau un certain nombre (on pren-



dra 100) de souris on observe X100 = 0,6, on va devoir estimer au mieux le nombreL.

1 — On capture une souris, quelle est la probabilité 𝑝 qu’elle soit marquée?2 — Quel estimateur sans biais et convergeant de 𝑝 connaissez-vous?3 — En utilisant l’inégalité de BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV, proposer un intervalle deconfiance non-asymptotique dans lequel le nombre L a une probabilité supé-rieure à 0.95 % de se trouver. On utilisera la majoration classique 𝑝(1−𝑝) ≤ 1

4 .4 — En utilisant le théorème central limite, trouver un intervalle de confianceasymptotique dans lequel le nombre L a une probabilité supérieure à 0.95 % dese trouver.5 — Comparer les deux intervalles de confiance.


Exercice ALEA.17.10 Agro—Véto, Sujet 3, 2018 (Solution : 44)

On pourra utiliser pour les programmes Python la fonctionlinalg.matrix_rank() du module numpy, qui permet de déterminer le rang d’unematrice, comme le montre l’exemple suivant :

Python1 >>> import numpy as np2 >>> A = np.array([[1 ,2 ,1] , [2 ,3 ,2], [3 ,5 ,3]])3 >>> np.linalg.matrix_rank(A)4 2

La dernière ligne affiche le rang de la matrice

⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 1

2 3 2

3 5 3

⎞⎟⎟⎟⎠

, c’est-à-dire 2. On pour-

ra aussi utiliser la fonction randint() du module random. Pour 𝑎 et 𝑏 deux entiersrandint(a,b) retourne un entier équiprobablement entre 𝑎 et 𝑏 (𝑎 et 𝑏 étant in-

clus). On considère la matrice :

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

3 1 1

1 0 1

−3 0 −1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

1 — 1.1) TERMINALPython Écrire une fonction Python prenant en arguments deux vecteursde taille 3 et renvoyant un booléen (True ou False) indiquant s’ils sont co-linéaires. (On pourra représenter les vecteurs par des listes).

1.2) TERMINALPython Écrire une fonction Python vecteurs_propres(u) prenant en argu-ment un vecteur de taille 3 et renvoyant un booléen (True ou False) indi-quant s’il est un vecteur propre de A.

2 — 2.1) Vérifier que−1, 1, 2 sont valeurs propres deA et préciser pour chacuneun vecteur propre associé.

2.2) La matrice A est-elle diagonalisable?3 — Soient X1,⋯,X𝑛, 𝑛 variables aléatoires indépendantes suivant la loi de BER-NOULLI de paramètre 𝑝 ∈]0;1[. On note :

M𝑛 =1𝑛

𝑛∑𝑘=1

X𝑘, M⋆𝑛 =

M𝑛 −𝑝

√𝑝(1−𝑝)𝑛

.

3.1) Donner, pour α ∈ R⋆+, l’approximation de la probabilité P([−α < M⋆

𝑛 < α])donnée par le théorème central limite.

3.2) En déduire que [M𝑛 − 1√𝑛

,M𝑛 + 1√𝑛] est un intervalle de confiance de 𝑝 au

seuil de 95%. On pourra admettre que,∀𝑥 ∈ [0;1], 𝑥(1−𝑥) ≤ 14 et si Φ désigne

la fonction de répartition d’une variable suivant une loi normale centrée ré-duite, alors Φ(1;96) ≈ 0,975.

4 — On note NV le nombre de vecteurs propres de A dont les cœfficients sont desentiers de J−5 , 5K.4.1) Expliquer comment le programmesuivant permet d’estimer la valeur deNV :

Python1 def simul ():2 u = [ randint ( -5 ,5) for k in range (3) ]



Python3 return vecteurs_propres(u)4 n = 10000 #Valeur de n a definir.5 nb = 06 for k in range (n):7 if simul ():8 nb += 19 print(round (nb/n *11**3)) # round (x) = l'entier le plus

proche de x.↪

4.2) Comment choisir 𝑛 pour que l’on soit sûr à 95% de la valeur affichée?4.3) Commenter le résultat obtenu.

4.4. Tests

[PS_Stats_14.tex]

Exercice ALEA.17.11 On considère un test de dépistage d’unemaladie qui a don-né les résultats suivants lors d’une phase de test sur 1600 individus sains et 1600individus malades :

Malades Sains

Tests positifs 1522 92

Tests négatifs 78 1508

On considère 𝑝1 la probabilité d’avoir un test positif pour une personne saine et𝑝2 la probabilité d’avoir un test négatif pour une personne malade.

1 — Déterminer un intervalle de confiance pour 𝑝1 au risque 5 %. On arrondiraau millième.2 — Combien doit on avoir au plus de personnes malades testées négatives pourvalider l’hypothèse 𝑝2 = 0.001? On arrondira les calculs à 10−4.

[PS_Stats_12.tex]

Exercice ALEA.17.12

1 — Afin d’étudier le pourcentage 𝑝 de consommateurs satisfait par le produitA, on interroge 100 consommateurs et 56 déclarent être satisfaits. Est-ce suffisantpour continuer l’exploitation du produit A? Indication : on cherchera un inter-valle de confiance à 95%.2 — En supposant qu’on garde la même moyenne empirique de 0,56, et le mêmerisque α = 0,05, combien de personnes doit-on interroger pour prendre une déci-sion?




Solution (exercice ALEA.17.10) (Énoncé : 42) On considère la matrice :

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

3 1 1

1 0 1

−3 0 −1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

1 — 1.1) On rappelle que deux vecteur 𝑢 et 𝑣 sont colinéaires si et seulement siRg(𝑢,𝑣) < 2.

Python1 def colineaires(u, v):2 a = np.array([u, v])3 return np.linalg.matrix_rank(a) < 2 #retourne un

booléen↪

Nous pouvons alors tester si [1,1], [2,2] sont colinéaires : True.1.2) Le vecteur 𝑢 est vecteur propre de A si et seulement si 𝑢 est non nul et A𝑢

est colinéaire à 𝑢. Il suffit alors de tester la condition 𝑢 ≠ 0 et la colinéaritéentre le produit A𝑢 et 𝑢 :

Python1 def vecteurs_propres(u):2 return u != [0,0,0] and colineaires(np.dot(A,u), u)

2 — 2.1) On pose X =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠

; AX = −X ⟺ (A + I)X = 0 ⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

4𝑥+𝑦+𝑧 = 0

𝑥+𝑦+𝑧 = 0

−3𝑥 = 0

⟺⎧⎨⎩

𝑥 = 0

𝑧 = −𝑦Le système admet d’autres

solutions que (0,0,0) donc −1 est valeur propre de A et

E−1(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

0

1

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

.

AX = X ⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2𝑥+𝑦+𝑧 = 0

𝑥−𝑦+𝑧 = 0

−3𝑥−2𝑧 = 0

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑦+2𝑥+𝑧 = 0

3𝑥+2𝑧 = 0

−3𝑥−2𝑧 = 0

⟺

⎧⎨⎩

𝑦 = −1/2𝑥

𝑧 = −3/2𝑥De même, on en déduit que 1 est valeur propre de

A et

E1(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

−2

1

3

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

.

AX = 2X ⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑥+𝑦+𝑧 = 0

𝑥−2𝑦+𝑧 = 0

−3𝑥−3𝑧 = 0

⟺

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑦+𝑥+𝑧 = 0

3𝑥+3𝑧 = 0

−3𝑥−3𝑧 = 0

⟺



⎧⎨⎩

𝑦 = 0

𝑧 = −𝑥Ainsi 2 est bien valeur propre de A et

E2(A) = Vect

⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

1

0

−1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Comme A ne peut avoir plus de trois valeurs propres, on en déduit queSpec(A) = {−1,1,2} .

2.2) A est carrée d’ordre 3 et possède 3 valeurs propres distinctes doncA est diagonalisable .

3 — Soient X1,⋯,X𝑛, 𝑛 variables aléatoires indépendantes suivant la loi de BER-NOULLI de paramètre 𝑝 ∈]0;1[. On note : M𝑛 = 1

𝑛 ∑𝑛𝑘=1X𝑘 et M⋆

𝑛 = M𝑛−𝑝

√ 𝑝(1−𝑝)𝑛

.

3.1) X𝑘 suit la loi de BERNOULLIB(𝑝) donc E (X𝑘) = 𝑝 et Var (X𝑘) = 𝑝(1−𝑝) pourtout 𝑘 ∈ J1 , 𝑛K. On en déduit, par linéarité de l’espérance que E (M𝑛) =1𝑛 ∑𝑛

𝑘=1E (X𝑘) = 1𝑛 ∑𝑛

𝑘=1𝑝 = 𝑝. De plus, comme les variables aléatoiresX1,…,X𝑛 sont indépendantes, on a :Var (M𝑛) = 1

𝑛2 ∑𝑛𝑘=1Var (X𝑘) = 𝑝(1−𝑝)

𝑛 et par conséquent σM𝑛= √𝑝(1−𝑝)

𝑛 . Ain-si M⋆

𝑛 = M𝑛−E(M𝑛)σ(M𝑛)

: M⋆𝑛 correspond à la variable centrée réduite associée à

M𝑛. Comme les les variables aléatoires X1,…,X𝑛 sont indépendantes et demême loi, on peut appliquer le théorème central limite : on en déduit queM⋆

𝑛 suit approximativement la loi normale 𝒩(0,1) . Ainsi, pour α ∈ R⋆+,

P([−α < M⋆𝑛 < α]) ≈ Φ(α) − Φ(−α) où Φ désigne la fonction de réparti-

tion de la loi normale centrée réduite. Sachant qu’on a Φ(−α) = 1−Φ(α) etP(−α ≤ X ≤ α) = P(−α < X < α) pour toute variableX à densité, on peut aussiécrire que

P([−α ≤ M⋆𝑛 ≤ α]) ≈ 2Φ(α)−1 .

3.2)

P(𝑝 ∈ [M𝑛 −1

√𝑛;M𝑛 +

1√𝑛

]) = P(−1

√𝑛≤ M𝑛 −𝑝 ≤

1√𝑛

)

= P(−1

√𝑝(1−𝑝)≤ M⋆

𝑛 ≤1

√𝑝(1−𝑝))

Comme√𝑝(1−𝑝) ≤ √1/4 = 1/2 alors− 1√𝑝(1−𝑝) ≤ −2 et 2 ≤ 1

√𝑝(1−𝑝) .12 Donc :

P(− 1√𝑝(1−𝑝) ≤ M⋆

𝑛 ≤ 1√𝑝(1−𝑝)) ≥ P(−2 ≤ M⋆

𝑛 ≤ 2). Or P (−2 ≤ M⋆𝑛 ≤ 2) =

2Φ(2) − 1 ≥ 2Φ(1,96) − 1 = 0,95 car la fonction Φ est croissante surR. Dès lors, on en déduit que P(− 1

√𝑝(1−𝑝) ≤ M⋆𝑛 ≤ 1

√𝑝(1−𝑝)) ≥ 0,95.

P(𝑝 ∈ [M𝑛 − 1√𝑛

;M𝑛 + 1√𝑛]) ≥ 95% ce qui signifie que

[M𝑛 − 1√𝑛

,M𝑛 + 1√𝑛] est un intervalle de confiance de 𝑝 au seuil de 95% .

4 — 4.1) On note NV (respectivement 𝑝) le nombre (respectivement la pro-portion) de vecteurs propres de A qui appartiennent à J−5 , 5K3. Comme# J−5 , 5K3 = 113, alors 𝑝 = NV

113 soit NV = 𝑝 × 113. On considère l’épreuvede BERNOULLI qui consiste à choisir au hasard un vecteur de J−5 , 5K3, puisà renvoyer 1 si le vecteur en question est un vecteur propre de la matriceA (la probabilité de succès est notre paramètre de BERNOULLI). On réalise𝑛 = 10000 fois dans des conditions indépendantes cette expérience (ce quiest réalisé dans la boucle for). On note X𝑘 = 1 si le 𝑘-ième vecteur tiréest vecteur propre de A, X𝑘 = 0 sinon. Les variables aléatoires X𝑘 sont in-dépendantes et de même loi ℬ(𝑝). On sait alors que la variable aléatoireM𝑛 = 1

𝑛 ∑𝑛𝑘=1X𝑘 est un estimateur sans biais de 𝑝. Le nombre nb/n en sor-

tie de boucle correspond à une réalisation de la variable M𝑛 et donne uneestimation de 𝑝. En multipliant par 113 et en arrondissant à l’entier le plusproche (car NV ∈N)13, on obtient donc une estimation de NV.

12On «remontre» ici, dans ce cas particulier, que l’on peut épaissir tout intervalle de confiance deseuil 1−α, la version épaissie reste un intervalle de confiance de seuil 1−α.

13Attention, cette fonction n’est pas la partie entière, qui est int() dans Python



4.2) On a vu précédemment que P(M𝑛 − 1√𝑛

≤ 𝑝 ≤ M𝑛 + 1√𝑛

) ≥ 0,95. Cela équi-

vaut à : P(113M𝑛 − 113

√𝑛≤ NV ≤ 113M𝑛 + 113

√𝑛) ≥ 0,95. Si on choisit 𝑛 tel que

113

√𝑛≤ 0,5, on aura donc

P (113M𝑛 −0,5 ≤ NV ≤ 113M𝑛 +0,5) ≥ 0,95.

Par ailleurs, l’entier N𝑛 le plus proche de 113M𝑛 vérifie

113M𝑛 −0,5 ≤ N𝑛 ≤ 113M𝑛 +0,5.

On en déduit que l’écart entre N𝑛 et NV est inférieur ou égal à 1 (avec uneprobabilité d’au moins 95%). Or 113

√𝑛≤ 0,5 ⟺ √𝑛 ≥ 2∗ 113 ⟺ 𝑛 ≥ 4×

116. Donc en choisissant 𝑛 ≥ 4× 116 (soit 𝑛 ≥ 7086244), la valeur affichéeround(nb/n*11**3) donne une estimation de NV à 95%.

4.3) On reprend le programme du début de la question, en remplaçant 𝑛 par7086244. On obtient 22 après exécution. Calculons la valeur exacte de NVafin de la comparer à 22 : D’après l’étude réalisée en seconde question, lesvecteurs propres de A à coefficients entiers sont de la forme (0,𝑘,−𝑘) ou(−2𝑘,𝑘,3𝑘) ou (𝑘,0,−𝑘) avec𝑘 ∈ ℤ⋆. Comme il y a 10 entiers non nuls com-pris entre −5 et 5, on dénombre :

Caret-right 10 vecteurs propres (0,𝑘,−𝑘) éléments de J−5 , 5K3

Caret-right 10 vecteurs propres (𝑘,0,−𝑘) éléments de J−5 , 5K3

Reste à dénombrer ceux qui sont de la forme (−2𝑘,𝑘,3𝑘) avec 𝑘 ≠ 0. Il faut

que l’on ait :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0 < |2𝑘| ≤ 5

0 < |𝑘| ≤ 5

0 < |3𝑘| ≤ 5Les seuls entiers 𝑘 qui conviennent sont −1 et 1.Il y a donc 2 vecteurs propres de la forme (−2𝑘,𝑘,3𝑘) qui appartiennent àJ−5 , 5K3.On en déduit que NV = 10+10+2 = 22 ce qui correspond à la valeur obte-nue par estimation dans la question précédente.


Quatrième partie

Annexes


Chapitre ANN.18. L'alphabet grec

CHAPITRE ANN.18L’alphabet grec

Cet alphabet, très souvent utilisé pour écrire des symboles mathématiques,compte vingt-quatre lettresminuscules etmajuscules. Certainesmajuscules se re-trouvent dans l’alphabet latin.

Minuscules Majuscules Prononciation

α A alpha

β B beta

γ Γ gamma

δ Δ delta

ϵ E epsilon

ζ Z zêta

η H êta

θ Θ thêta

ι I iota

κ K kappa

λ Λ lambda

μ M mu

ν N nu

ξ Ξ xi

o O omicron

π Π pi

ρ P rho

σ Σ sigma

τ T tau

υ Y upsilon

φ Φ phi

χ X chi

ψ ψ psi

ω Ω omega

TAB. ANN.18.1. : L’alphabet grec

Enminuscules, on utilise en général vingt-un de ces vingt-quatre lettres, à l’excep-tion des lettres ι, o et υ. En effet ces lettres ressemblent trop aux lettres latines i,oet v. On veillera d’ailleurs à ne pas confondre la lettre grecque ω «omega » avec lalettre latine w.En majuscules, on utilise les dix lettres qui ne font pas partie de l’alphabet latin.En l’occurrence, il s’agit de : Γ Δ Θ Λ Ξ Π Σ Φ Ψ Ω.


Chapitre ANN.19. Résumé des méthodes

CHAPITRE ANN.19Résumé des méthodes

1. EN ALGÈBRE

Méthode (Montrer l’appartenance «à un Vect»)WRENCH

Pour montrer que 𝑥 ∈ VectK (𝑥𝑖)𝑖∈I, on cherche λ1,…,λ𝑛 des scalaires, tels

que : 𝑥 =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖𝑥𝑖. En particulier, si E =K𝑛, on tombe sur la résolution d’un

système linéaire.

Méthode (Montrer qu’un ensemble n’est pas un espace vectoriel)WRENCH

Pour montrer qu’un ensemble n’est pas un espace vectoriel, on peut montrerqu’il n’est pas un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de référence.En

Caret-right vérifiant qu’il ne contient pas le neutre dudit ensemble de référence.Caret-right Ou, on montre qu’il n’est pas stable par combinaison linéaire.

Méthode (Montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel)WRENCH

Il y a, la plupart du temps, deux possibilités :1 — justifier qu’il est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de réfé-rence (K𝑛, de polynômes, de fonctions, de suites ...).2 — Montrer que l’ensemble s’écrit comme Vect d’une famille.

Méthode (Lien entre paramétrisation & équations cartésiennes)WRENCH

Caret-right Paramétrisation → Équations implicites / cartésiennes : résolutiond’un système en les paramètres,

Caret-right Équations implicites / cartésiennes → Paramétrisation : voir toutesles inconnues comme des paramètres sauf une.

Méthode (Montrer la liberté/liaison d’une famille)WRENCH

1 — Pour montrer qu’une famille (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 est libre, on écrit :

«Soit (λ𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 ∈ K𝑛 tel que𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘 = 0E. Alors [...] donc les λ𝑘 sont tous

nuls.» En général, l’étape [...] consiste en les arguments suivants :Caret-right Dans R𝑛 ou C𝑛 : on résout un système linéaire.Caret-right Dans RI, RN on fait de l’analyse (limites, dérivation, etc.).

2 — Pour montrer qu’une famille (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 est liée, on écrit :

« [...]. Posons alors λ1 = ..., ..., λ𝑛 = ... : on a alors𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘 = 0E, mais les λ𝑘ne sont pas tous nuls.»

Méthode (Montrer qu’une famille est génératrice)WRENCH

Pour montrer qu’une famille (𝑥𝑘)1⩽𝑘⩽𝑛 de vecteurs de F est une famille géné-ratrice de F, on écrit :

«Soit 𝑥 ∈ F. Alors cherchons λ1, ..., λ𝑛 tels que 𝑥 =𝑛∑𝑘=1

λ𝑘𝑥𝑘. [...] On a donc

déterminé des λ𝑖 qui conviennent, la famille est génératrice.»



WRENCHEn général, l’étape [...] consiste en les arguments suivants :

Caret-right Dans R𝑛 ou C𝑛 : on résout un système linéaire.Caret-right Dans RI, RN on fait de l’analyse (limites, dérivation, etc.).

Méthode (Montrer qu’une application n’est pas linéaire)WRENCH

Pour montrer qu’une application n’est pas linéaire, on peut :Caret-right vérifier si l’égalité 𝑢(0E) = 0F est vérifiée.Caret-right Si c’est le cas, on trouve λ,μ ∈ K et 𝑥,𝑦 ∈ E tels que : 𝑢(λ.𝑥 + μ𝑦) ≠

λ.𝑢(𝑥)+μ.𝑢(𝑦).

Méthode (Image d’une application si une famille génératrice de l’espace

de départ est connue)WRENCH

1 — On commence par chercher une famille génératrice 𝒢 de l’ensemble dedépart E.2 — On calcule les images de chacun des vecteurs de 𝒢.3 — Si l’on souhaite une base, on cherche à extraire une sous-famille libre.

Méthode (Construction d’applications linéaires à l’aide d’une base)WRENCH

À la question «construisez une application linéaire entre E et F», si vousconnaissez une base ℬ = (𝑒1, ...,𝑒𝑛) de E, vous pouvez répondre :

je pose 𝑢(𝑒1) = Truc1 ∈ F, …, je pose 𝑢(𝑒𝑛) = Truc𝑛,

en découlera alors automatiquement 𝑢(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ E par linéarité.


réduite en ligne)WRENCH

On élimine de droite à gauche, colonne par colonne, tous les coefficients au-dessusde ladiagonale à l’aidede transvections, doncd’opérationsde la formeL𝑖 ← L𝑖 +μL𝑗 avec 𝑖 ≠ 𝑗 et μ ∈R.


réduite en ligne, si paramètre il y a)WRENCH

Mieux vaut choisir un pivot indépendant d’un paramètre à chaque étape, s’ily en a un. Cela repoussera les disjonctions de cas à plus tard.

Méthode (du miroir)WRENCH

Supposons que l’on arrive, après avoir effectué certaines opérations élémen-taires sur les lignesdeA (i.e.après avoirmultipliéparE = ...E3E2E1, unproduitde matrices d’opérations élémentaires, à gauche la matrice A), à transformerA en I𝑛. Alors on obtient l’égalité matricielle :

EA⎵I𝑛

= EI𝑛⎵A−1

A, qui fournit ainsi l’inverse de A,

la matrice inverse sera alors EI𝑛 = E.



Caret-right Si le coefficient (3,1) est nul :1 — on fait la permutation L1 ⟷ L2 qui permettra d’obtenir un coef-ficient indépendant deλ enposition (1,1). On élimine alors avec celui-cile coefficient (3,1).2 — En positions (2,2), nous avons un coefficient indépendant de λ qui



WRENCH sert à éliminer le coefficient (3,2).

Méthode (Montrer qu’une famille est une base à l’aide de matrice)WRENCH

Soit ℬ une base de E un espace vectoriel, et ℱ une famille.1 — Calculer M = ℳat

ℬ(ℱ) ,

2 — étudier l’inversibilité de M.

Méthode (Calculer une matrice)WRENCH

Pour déterminer ℳatℬ,𝒞

(𝑢) , il faut donc :1 — calculer les vecteurs de 𝑢(ℬ), i.e. les 𝑢(𝑒𝑗) pour tout 𝑗 ∈ J1 , 𝑝K.2 — Pour tout 𝑖 ∈ J1,𝑝K, calculer les coordonnéesde𝑢(𝑒𝑗)dans la base image𝒞, i.e. chercher les λ𝑖,𝑗 tels que :

𝑢(𝑒𝑗) =𝑛∑𝑖=1

λ𝑖,𝑗𝑓𝑗,

où (𝑓1,…,𝑓𝑛) est une base de ℱ. Ces coordonnées existent bien, et sontuniques, puisque ℱ est une base de F.

3 — Conclure : la 𝑗-ème colonne de ℳatℬ,𝒞

(𝑢) sera donc :

⎛⎜⎜⎜⎝

λ1,𝑗

λ𝑛,𝑗

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Méthode (Binôme et calculs des puissances)WRENCH

Si on arrive à écrire une matrice comme somme d’une matrice D diagonaleet d’une matrice nilpotente N (i.e. telle que N𝑝 = 0 pour un certain 𝑝 ∈ N),qui commutent, on utilise la formule du binôme matricielle :

(D+N)𝑝 =𝑝

∑𝑘=0

(𝑝𝑘)D𝑝−𝑘N𝑘.



Caret-right Si le coefficient (3,1) est nul :1 — on fait la permutation L1 ⟷ L2 qui permettra d’obtenir un coef-ficient indépendant deλ enposition (1,1). On élimine alors avec celui-cile coefficient (3,1).2 — En positions (2,2), nous avons un coefficient indépendant de λ quisert à éliminer le coefficient (3,2).

Méthode (À l’aide du déterminant)WRENCH

Soit A ∈ 𝔐2,2 (K) . Alors :

λ ∈ Spec(A) ⟺ det(A−λI2) = 0.

Ainsi,1 — il suffit de résoudre en λ l’équation du second degré det(A−λI2) = 0.2 — On calcule ensuite Eλ(A) = Ker(A−λI2) pour chaque solution trouvéeprécédemment.

Méthode (Valeur propre et somme sur chaque ligne constante)WRENCH

Lorsque la somme des coefficients sur les lignes d’une matrice est constante



WRENCH égale à λ ∈K,

le vecteur

⎛⎜⎜⎜⎝

1

1

⎞⎟⎟⎟⎠

est un vecteur propre de valeur propre associée λ.

Méthode (Diagonalisabilité des matrices possédant une unique valeur

propre)WRENCH

Caret-right Si une matrice A possède une unique valeur propre λ, alors A = PDP−1,où D = λI. On en déduit que A = λI.

Caret-right (Conséquence) Si A est une matrice possédant une unique valeurpropre λ ∈K et n’est pas égale à λI𝑛, alors elle n’est pas diagonalisable.

Méthode (Comment trouver les puissances d’une matrice diagonalisable ?)WRENCH

1 — Diagonaliser la matrice A. On obtient A = PDP−1 avec D diagonale et Pinversible.2 — Chercher D𝑛 pour tout 𝑛 ∈N.3 — A𝑛 = PD𝑛P−1, on en déduit A𝑛.

Méthode (Exprimer des suites récurrentes linéaires imbriquées en fonction

de 𝑛)WRENCH

1 — Écrire matriciellement le système de relations de récurrence.2 — Calculer la puissance de la matrice associée en diagonalisant.

Méthode (Comment trouver des racines d’une matrice diagonalisable ?)WRENCH

1 — Diagonaliser la matrice A. On obtient A = PDP−1 avec D diagonale et Pinversible.2 — Chercher les racines de D (en prenant les racines des coefficients). Onles note D1,…,DN.3 — Les racines de A sont alors les PD𝑖P−1 pour 𝑖 ∈ J1 , NK.a

Méthode (Résolution d’un système différentiel)WRENCH

Notons X′(𝑡) = AX(𝑡) le système avec X =

⎛⎜⎜⎜⎝

𝑥1

𝑥𝑝

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ 𝔐𝑝,1 (K) un vecteur de

fonctions dérivables, et A ∈ 𝔐𝑝,𝑝 (K) une matrice diagonalisable à coeffi-cients constants.

1 — Diagonaliser la matrice A. On obtient A = PDP−1 avec D diagonale et Pinversible.2 — Considérer la nouvelle fonction inconnue Y = P−1X.3 — Établir un système en Y : puisque P est une matrice constante, Y′ = DY.4 — Résoudre Y′ = DY, c’est un système d’équations différentielles indépen-dantes.5 — On déduit X = PY.


Soit ‖‖𝑥+𝑦‖‖2 avec 𝑥,𝑦 ∈ E.1 — Écrire la quantité en fonction du produit scalaire : ‖‖𝑥+𝑦‖‖2 =⟨𝑥+𝑦||𝑥+𝑦⟩.2 — Développer en utilisant la bilinéarité du produit scalaire.

Méthode (Majorer des sommes avec Cauchy-Schwarz)WRENCH

Interpréter une somme comme un produit scalaire. On retiendra l’exempletrès classique suivant : si (𝑥1,…,𝑥𝑛) ∈R𝑛,

||||

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖||||= ||⟨(1,…,1)||(𝑥1,…,𝑥𝑛)⟩|| ⩽ √𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥2𝑖 .

aPropriété que l’on peut établir sans difficulté, en justifiant que B⟼ PBP−1 est une applicationbijective de l’ensemble des racines de A vers l’ensemble des racines deD



Méthode (Orthonormalisation d’une famille de deux vecteurs)WRENCH

Lors (𝑒1,𝑒2) est une base quelconque (non forcément orthonormée) deF, uneversion orthonormée est obtenue en posant :

𝑓1 =𝑒1

‖‖𝑒1‖‖,


‖‖𝑒2 −𝑝Vect(𝑒1)(𝑒2)‖‖

=𝑒2 − 1

‖‖𝑒1‖‖2 ⟨𝑥||𝑒1⟩𝑒1

‖‖‖𝑒2 −1

‖‖𝑒1‖‖2 ⟨𝑥||𝑒1⟩𝑒1

‖‖‖.

Le vecteur 𝑒2 −𝑝Vect(𝑒1)(𝑒2) est une version «redressée» du vecteur 𝑒2, ortho-gonale à 𝑒1 (ou 𝑓1).

Méthode (Calcul d’une projection orthogonale)WRENCH

Deux méthodes pour calculer un projeté orthogonal sur F :1 — (En utilisant la définition) Si on ne connaît pas une base orthonor-male de F, mais une famille génératrice (𝑒1,…,𝑒𝑞) de F : soit 𝑥 ∈ E, alors oncherche l’unique vecteur 𝑝F(𝑥) vérifiant

𝑝F(𝑥) ∈ F, 𝑥−𝑝F(𝑥) ∈ F⟂.

On caractérise 𝑥′ = 𝑝F(𝑥) de la manière suivante :

𝑥′ = 𝑝F(𝑥) ⟺ 𝑥′ ∈ F, et ⟨𝑥−𝑥′||𝑒𝑖⟩ = 0, ∀𝑖 ∈ J1 , 𝑞K.

2 — (En utilisant la formule dans une base orthonormale) Si une baseorthonormale (𝑒1,…,𝑒𝑞) de F est connue, alors :

∀𝑢 ∈ E, 𝑝F(𝑢) =𝑞

∑𝑖=1

⟨𝑢||𝑒𝑖⟩𝑒𝑖.

Lorsque F est de dimension 1 ou 2, on peut se ramener facilement à une baseorthonormée et donc utiliser 2, en dimension 3 ou plus : si aucune base or-thonormée n’est donnée, on utilisera 1.

Méthode (Unicité de l’écriture algébrique et identification)WRENCH

Une reformulation de l’unicité de l’écriture 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 est la suivante :

𝑥+ i𝑦 = 𝑥′ + i𝑦′ ⟺ 𝑥 = 𝑥′, 𝑦 = 𝑦′, (𝑥,𝑦,𝑥′,𝑦′) ∈R4.

On peut donc identifier partie réelle et partie imaginaire.

Méthode (Expression conjuguée)WRENCH

Dans la preuve précédente on a utilisé une technique classique pour obtenirl’inversed’unnombre complexe écrit sous formealgébrique.Cette techniqueest à connaître !


Soit ||𝑧+𝑧′||2 avec 𝑧,𝑧′ ∈C.

1 — Écrire la quantité en fonction du conjugué : ||𝑧+𝑧′||2 = (𝑧+𝑧′)(𝑧+𝑧′).

2 — Développer.

Méthode (Mettre sous forme exponentielle un nombre complexe)WRENCH

Soit 𝑧 ≠ 0.1 — Calculer |𝑧|, puis 𝑧

|𝑧| .2 — Chercher θ ∈ [0,2π[ tel que : 𝑧

|𝑧| = eiθ, i.e. tel que

cos (θ) =Re (𝑧)|𝑧|

, sin (θ) =Im (𝑧)|𝑧|

.

La forme exponentielle est alors : 𝑧 = |𝑧|eiθ.

Méthode (Technique de l’angle moitité (forme trigonométrique d’une

somme d’exponentielles imaginaires))WRENCH

Soient deux nombres complexes 𝑧,𝑧′ de module un donnés sous forme tri-gonométrique : 𝑧 = eiθ,𝑧′ = eiθ

′avec (θ,θ′) ∈ [0,2π[2. Alors la forme trigono-



WRENCHmétrique de 𝑧+𝑧′ s’obtient par le calcul suivant :

𝑧+𝑧′ = eiθ +eiθ′= ei

θ+θ′2 (ei

θ−θ′2 +e−i

θ−θ′2 )

= 2eiθ+θ′2 cos(

θ−θ′

2) .

La méthode s’adapte à 𝑧−𝑧′ en faisant apparaitre un sinus. On obtient alorsfacilement module et argument :

||𝑧+𝑧′|| = 2||||cos(

θ−θ′

2)||||, Arg (𝑧+𝑧′) ≡

θ+θ′

2[2π] .

Méthode (Calculs de racines 𝑛-ième de complexes)WRENCH

On cherche donc les solutions de 𝑧𝑛 = α avec α ≠ 0 (si α = 0 il n’y a que zérocomme solution).1 — Calculer la forme trigonométrique de α = ρ′eiθ

′.

2 — Chercher 𝑧 sous la forme 𝑧 = ρeiθ.3 — En remplaçant, on obtient comme conditions ρ𝑛 = ρ′ et 𝑛θ = θ′ +2𝑘πavec 𝑘 ∈ Z. Résoudre ces deux équations puis conclure.

Méthode (Formules de changement d’angle (avec des complexes ou des-

sin))WRENCH

Par exemple, avec les mêmes notations que précédemment, nous avons :

Caret-right cos(π2

−𝑥) = Re⎛

⎝ei (π2−𝑥)⎞

⎠= Re

⎛

⎝eiπ2 e−i𝑥

⎞

⎠= Re (i e−i𝑥) = sin(𝑥).

Caret-right Ou encore : sin(π + 𝑥) = Im (ei (π+𝑥)) = Im (eiπei𝑥) = Im (−1ei𝑥) =

−Im (ei𝑥) = −sin(𝑥).Caret-right etc.

Pour retrouver ces propositions, on peut aussi faire un dessin.

Méthode (Formules d’addition (avec des complexes))WRENCH

Par exemple, avec les mêmes notations que précédemment, nous avons :Caret-right cos(𝑥 + 𝑦) = Re (ei (𝑥+𝑦)) = Re (ei𝑥ei𝑦) =Re ((cos+i sin𝑦)(cos𝑦+ i sin𝑦)) = cos𝑥cos𝑦− sin𝑥sin𝑦.

Caret-right etc. pour les autres calculs mais en prenant dans certains cas la partieimaginaire plutôt que la partie réelle.

Méthode (Linéarisation & Antilinéarisation avec des complexes)WRENCH

1 — (Pour linéariser cos𝑘 θ,sin𝑘 θ) écrire

cos𝑘 θ = (eiθ +e−iθ

2)𝑘

,sin𝑘 θ = (eiθ −e−iθ

2i)𝑘

,

puis développer avec le binôme, regrouper les termes avec leur conjugué, uti-liser les formules d’EULER.2 — (Pour antilinéariser cos(𝑘θ),sin(𝑘θ)) écrire

cos(𝑘θ) = Re (ei𝑘θ) =Moivre

Re((eiθ)𝑘) = Re ((cosθ+ i sinθ)𝑘) ,

sin(𝑘θ) = Im (ei𝑘θ) = Im ((cosθ+ i sinθ)𝑘) ,

puis développer avec le binôme.

Méthode (Écriture d’une combinaison linéaire de fonctions trigonomé-

triques sous « forme déphasée»)WRENCH

Soient𝑎,𝑏,𝑥 ∈R. On souhaite transformer l’expressionE(𝑥) = 𝑎cos𝑥+𝑏sin𝑥en ρcos(𝑥+φ), avec ρ ∈R+,φ ∈R.1 — Mettre √𝑎2 +𝑏2 en facteur, on a E(𝑥) = 𝑎

√𝑎2+𝑏2cos𝑥+ 𝑏

√𝑎2+𝑏2sin𝑥.

2 — Comme ( 𝑎√𝑎2+𝑏2

,− 𝑏√𝑎2+𝑏2

) est sur le cercle unité, il existe φ ∈ [0,2π[ tel



WRENCH que :

𝑎√𝑎2 +𝑏2

= cosφ, −𝑏

√𝑎2 +𝑏2= sinφ.

3 — Alors E(𝑥) = cos𝑥cosφ− sin𝑥sinφ = cos(𝑥+φ).

Une méthode analogue existe si l’on souhaite une forme déphasée de laforme ρsin(𝑥+φ), il suffit de choisir l’angle différemment.

Méthode (Montrer qu’un polynôme est nul)WRENCH

Pour montrer qu’un polynôme est nul, on peut au choix :1 — montrer que tous ses coefficients sont nuls,2 — montrer qu’il admet plus de racines que son degré (en particulier s’il enadmet une infinité).

Le plus souvent, on utilise 2 pour en déduire la nullité de tous les coeffi-cients.

Méthode (Montrer que deux polynômes sont égaux)WRENCH

Pour montrer que deux polynômes sont égaux, on peut au choix :1 — montrer que leurs coefficients sont identiques,2 — montrer que la différence admet plus de racines que son degré (en par-ticulier si elle en admet une infinité).

Méthode (Factorisation d’un polynôme)WRENCH

Soit P ∈ K[X]. Pour transformer P en un produit de polynômes de degré 1 ou2, on :1 — cherche une racine λ ∈K.2 — on écrit P sous la forme (X−λ)×Q = P avec Q ∈K[X].3 — On recommence le processus avec Q.

Méthode (Lien entre la factorisation sur C et R)WRENCH

Pour décomposer unpolynôme enproduit d’irréductibles dansR[X], on peutdéjà le décomposer dans C[X] (en cherchant ses racines), puis on regroupeles racines complexes conjuguées entre elles.

Méthode (Système à somme et produit fixés)WRENCH

Ainsi, pour résoudre le système

⎧⎨⎩

𝑥1 +𝑥2 = 𝑠,

𝑥1𝑥2 = 𝑝

en (𝑥1,𝑥2) ∈ K2, il suffit de chercher les racines de X2 −𝑠X+𝑝 à l’aide du dis-criminant.

2. EN ANALYSE

Méthode (Nier l’existence d’une limite : fonctions d’une variable)WRENCH

Exhiber deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) d’éléments de I tendant vers 𝑎, mais tellesque :

((𝑓(𝑢𝑛))𝑛 et (𝑓(𝑣𝑛))𝑛 ne convergent pas vers la même limite.


Il faut surtout retenir la caractérisation séquentielle de la manière suivante :si 𝑓 est continue, et avec les mêmes notations que supra

𝑓(lim𝑛→∞

(…)) = lim𝑛→∞

𝑓(…).



Méthode (Utilisation du théorème de la bijection ou du théorème des va-

leurs intermédiaires)WRENCH

On souhaite justifier l’existence et l’unicité éventuelle d’une solution 𝑥 ∈ R àl’équation 𝑓(𝑥) = α avec α ∈R.1 — Si l’unicité n’est pas souhaitée : on applique le théorème des valeurs in-termédiaires.2 — Si l’unicité est souhaitée : on applique le théorème de la bijection sur unintervalle I tel que α ∈ 𝑓(I).

Notez également que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥 est équivalente à 𝑔(𝑥) = α avec 𝑔 =𝑓− Id et α = 0.

Méthode (Translation 𝑥0 dans un développement limité)WRENCH

Si 𝑥0 ≠ 0, alors la recherche d’un DL𝑛(𝑥0) pour une fonction 𝑓 se fera en seramenant au voisinage de 0 par le changement de variable «ℎ = 𝑥−𝑥0 ». Plusprécisément,1 — considérer 𝑔 ∶ ℎ ⟼ 𝑓(𝑥0 +ℎ),2 — faire un DL𝑛(0) de 𝑔 : on obtient une expression du type 𝑔(ℎ) =

ℎ→0R𝑛(ℎ)+o(ℎ𝑛) (avec R𝑛 fonction polynômiale de degré 𝑛 définie au voisinagede zéro),3 — un DL𝑛(𝑥0) de 𝑓 est alors : 𝑓(𝑥) =

𝑥→𝑥0R𝑛(𝑥−𝑥0)+o((𝑥−𝑥0)𝑛).

Méthode (Prolongement)WRENCH

Pour montrer qu’une fonction est prolongeable par continuité et/ou déri-vable en un point 𝑥0, il suffit de faire un développement limité d’ordre 0/1au voisinage de ce point.

Méthode (Recherche d’équivalent/Signe local d’une fonction)WRENCH

On lit :1 — un équivalent de fonction au voisinage de 𝑥0 en regardant le premierterme non nul du DL𝑛(𝑥0) pour un certain entier 𝑛 assez grand (de sorte

WRENCHque le dévleoppement limité ne soit pas nul).2 — le signe de 𝑓 au voisinage de 𝑥0 grâce à celui de 𝑎0(𝑥−𝑥0)𝑝. Cela dépenddonc de la parité de 𝑝 notamment.

Méthode (Principe de superposition)WRENCH

Lorsque le second membre 𝑏 de (E𝑛) s’écrit comme une somme fonctions,par exemple 𝑏 = 𝑏1 +𝑏2 avec 𝑏𝑖 continue pour tout 𝑖 ∈ J1 , 2K, on peut ap-pliquer le principe de superposition. Il s’agit de considérer les deux équationsdifférentielles linéaires :


(𝑛−1) +⋯+𝑎11 (𝑡)𝑦

′ +𝑎10(𝑡)𝑦 = 𝑏1(𝑡) (E1𝑛)


(𝑛−1) +⋯+𝑎21 (𝑡)𝑦

′ +𝑎20 (𝑡)𝑦 = 𝑏2(𝑡) (E2𝑛)

On suppose que l’on a déterminé une solution particulière𝑦par1 de (E1𝑛) et une

solution particulière 𝑦par2 de (E2𝑛). La somme 𝑦par

1 +𝑦par2 est alors une solution

particulière de (E𝑛).

Méthode (Variation de la constante)WRENCH

Chercher 𝑦par sous la forme 𝑡 ∈ I ⟼ C(𝑡)e−A(𝑡), où la fonction C ∶ I ⟶ R estdérivable et est à déterminer.

Méthode (Résolution par changement de fonction inconnue)WRENCH

Soit (E) une équation différentielle en une fonction 𝑦 que l’on ne sait pas ré-soudre a priori.1 — Soit une fonction𝑧dépendantde𝑦donnéepar l’exercice (généralement«de la forme 𝑧(𝑡) = 𝑦∘φ(𝑡)»).2 — Calculer les dérivées successives 𝑧,𝑧′,𝑧′′, ... (en fonction de l’ordre del’équation différentielle en 𝑦).3 — Évaluer (E) en φ(𝑡) pour tout 𝑡 ∈R.4 — Combiner 2) et 3) pour trouver une équation différentielle en 𝑧.



Méthode (d’Euler)WRENCH

1 — On commence par subdiviser l’intervalle [0;τ] de manière uniforme àl’aide de N+1 points espacés d’un pas de ℎ = τ

N . Plus précisément, on pose :

𝑡0 = 0, 𝑡1 = ℎ, 𝑡2 = 2ℎ, …, 𝑡𝑘 = 𝑘ℎ, …, 𝑡N = τ.

2 — (Heuristique) On considère que pour ℎ petit :

Si𝑦 est une solution, alors 𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡,𝑦(𝑡)) ≈𝑦(𝑡 +ℎ)−𝑦(𝑡)

ℎ.

Donc que pour toute solution 𝑦 :

𝑦(𝑡 +ℎ) ≃ 𝑦(𝑡)+ℎ𝑓(𝑡,𝑦(𝑡)) (2.1)

3 — On définit donc une suite de points 𝑦𝑖 satisfaisant le plus possible l’ap-proximation précédente, en posant :

∀𝑘 ∈ J0 , N−1K, 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 +ℎ×𝑓(𝑡𝑘,𝑦𝑘).

Méthode (Trouver la monotonie d’une suite)WRENCH

1 — On étudie le signe de la différence 𝑢𝑛+1 −𝑢𝑛 pour tout entier 𝑛.2 — Pour les suites qui ne s’annulent pas, on peut également comparer lequotient 𝑢𝑛+1

𝑢𝑛à 1 pour tout entier 𝑛 ∈N.


Il faut surtout retenir le cas continue de lamanière suivante : si 𝑓 est continueen lim

𝑛→∞𝑢𝑛,

𝑓(lim𝑛→∞

𝑢𝑛) = lim𝑛→∞

𝑓(𝑢𝑛) – on peut donc permuter fonction et limite !

Méthode (Plan d’étude d’une suite implicite)WRENCH

1 — Établir l’existence de la suite grâce au théorème des valeurs intermé-diaires.2 — Chercher la monotonie en comparant 𝑓𝑛(𝑥𝑛+1) ou 𝑓𝑛(𝑥𝑛) = 0.3 — Trouver la valeur de la limite : en général on raisonne par l’absurde dansl’identité 𝑓𝑛(𝑥𝑛) = 0.

Méthode (Calcul d’une somme de série polynôme fois géométrique)WRENCH

Une série du type (∑𝑛2𝑞𝑛)𝑛⩾0 avec ||𝑞|| < 1 se ramène à des séries géomé-triques dérivées via l’écriture :

𝑛2𝑞𝑛 = 𝑞2 (𝑛(𝑛−1)𝑞𝑛−2)+𝑞(𝑛𝑞𝑛−1) .

Ceci se généralise, par linéarité à une série du type (∑(𝑎𝑛2 +𝑏𝑛+𝑐)𝑞𝑛)𝑛⩾0avec 𝑎,𝑏,𝑐 réels.

Méthode (0 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛 s’obtient avec des développements limités ou équi-

valents)WRENCH

Rechercher un équivalent ou un petit o de (𝑢𝑛) peut donc nous donnerÉquation (Hyp.Compa.Stp).

En effet,

Caret-right si 𝑢𝑛 ∼𝑛→∞ 𝑣𝑛 et que 𝑣𝑛 ne s’annule pas pour 𝑛 assez grand, alors pour𝑛 assez grand, on a :

𝑢𝑛

𝑣𝑛∈ [

12,32] ⟺

𝑣𝑛2


.

Donc :

𝑣𝑛2


.

Donc, d’après le théorème de comparaison :



WRENCH— si (∑𝑣𝑛) converge alors (∑𝑢𝑛) converge — on utilise ici la partie

droite de l’encadrement.— Si (∑𝑣𝑛) diverge alors (∑𝑢𝑛) diverge — on utilise ici la partie

gauche de l’encadrement.En résumé :

(∑𝑢𝑛) et (∑𝑣𝑛) sont de même nature !Caret-right si 𝑢𝑛 = o(𝑣𝑛), alors pour 𝑛 assez grand,

𝑢𝑛

𝑣𝑛⩽ 1 ⟺ 𝑢𝑛 ⩽ 𝑣𝑛.

Donc, d’après le théorème de comparaison : si (∑𝑣𝑛) converge alors(∑𝑢𝑛) converge.

Méthode (Exponentielles décroissantes vers zéro)WRENCH

Pour tout terme général de la forme 𝑢𝑛 = e−𝑣𝑛 avec 𝑣𝑛𝑛→∞−−−−→ ∞, alors par

croissances comparées :

𝑛2𝑢𝑛 = 𝑛2e−𝑣𝑛 𝑛→∞−−−−→ 0,

donc pour 𝑛 suffisamment grand, nous avons la majoration :

0 ⩽ 𝑢𝑛 ⩽1𝑛2 .

On conclut ensuite avec le théorème de comparaison.

Méthode (Justifier l’existence d’une primitive)WRENCH

Il suffit de montrer la continuité de l’intégrande.

Méthode (Justifier que l’intégrale d’une fonction définie sur un segment

existe)WRENCH

Montrer que la fonction est :Caret-right continue sur le segment,Caret-right ou que l’on peut la prolonger en une fonction continue,Caret-right ou encore qu’elle est continue par morceaux.

Méthode (Calcul d’une intégrale à bornes variables)WRENCH

Soient I un intervalle, 𝑎 un point de I et 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction continue.Soient par ailleurs 𝑢,𝑣 ∶ J ⟶ I deux fonctions définies sur J où J est un inter-valle réel. Pour étudier la dérivabilité de 𝑥 ∈ J ⟼ ∫

𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡, on :

1 — introduit une primitive de 𝑓, notée F.2 — Alors : ∫

𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡 = F∘𝑣(𝑥)−F∘𝑢(𝑥).

3 — Justifier la dérivabilité et dériver à l’aide la formule de dérivation d’unecomposée.4 — d

d𝑥 (∫𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡) = 𝑓 ∘𝑣(𝑥)𝑣′(𝑥)−𝑓 ∘𝑢(𝑥)𝑢′(𝑥) — cette formule ne doit

pas être apprise par coeur, il faut savoir la retrouver en dérivant une compo-sée.

Un point important est que le résultat ne dépend pas de F ; inutile donc dechercher à calculer F explicitement.

Méthode (Quand utiliser l’intégration par parties ?)WRENCH

pour intégrer un produit de deux fonctions, dont l’une est facile à primitiveret l’autre est facile à dériver. Exemple : une exponentielle multipliée par unpolynôme.



Méthode (Mise en place d’un changement de variable)WRENCH

En pratique, on écrit les calculs ci-après au brouillon :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑥 = φ(𝑡)

d𝑥 = φ′(𝑡)d𝑡

𝑥 = φ(α) ⟸ 𝑡 = α

𝑥 = φ(β) ⟸ 𝑡 = β

en justifiant queφ est de classe𝒞1a. Ce n’est qu’après que l’on pourra écrirel’égalité :

∫φ(β)

φ(α)𝑓(𝑥)d𝑥 = ∫

β

α𝑓(φ(𝑡))φ′(𝑡) d𝑡.

Méthode (Essayer de se ramener à une notation sous forme de fonction

puissance)WRENCH

Beaucoupd’expressionpeuvent semettre sous la forme « (𝑥−𝑎)α » : la formulede primitivation de cette expression est donc centrale.

Méthode (Primitives de fractions rationnelles)WRENCH

On sait déterminer une primitive des fonctions de la forme 𝑥 ⟼1

𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles et 𝑎 ≠ 0. Il suffit de dis-

cuter selon la valeur du discriminant Δ :1 — si Δ > 0, alors on factorise le dénominateur pour se ramener à 𝑥 ⟼

1(𝑥−α)(𝑥−β)

, puis on écrit la fraction comme somme de deux autres qui se

primitivent avec un logarithme.2 — Si Δ = 0, alors on factorise le dénominateur pour se ramener à 𝑥 ⟼

1(𝑥−α)2

,

aLe changement de variable vous sera donné dans la pratique

WRENCH 3 — si Δ < 0, alors on met le dénominateur sous forme canonique et on

effectue un changement de variable pour se ramener à 𝑢 ⟼1

𝑢2 +1.

Méthode (Calculs d’une primitive avec des techniques d’intégration)WRENCH

Si I est un intervalle et 𝑓 ∶ I ⟶ R une fonction continue. Alors pour calculerune primitive de 𝑓,1 — soit on arrive à la deviner au moyen d’une formule de dérivation,2 — soit on se fixe 𝑎 ∈ I et on calcule ∫

𝑥

𝑎𝑓(𝑡)d𝑡 pour tout 𝑥 ∈ I au moyen

éventuellement de techniques d’intégration classiques — intégration parparties ou changement de variables.

Méthode (Calcul d’une primitive avec des fonctions trigonométriques)WRENCH

1 — Commencer par linéariser l’expression, à l’aide de nombres complexessi besoin.2 — Primitiver avec les formules usuelles.

Méthode (intégration par parties pour les intégrales généralisées)WRENCH

1 — Revenir à une intégrale partielle.2 — Utiliser la formule déjà connue sur le segment.3 — Chercher à passer à la limite.

Méthode (Comment obtenir en pratique l’inégalité 0 ⩽ 𝑓 ⩽ 𝑔 ?)WRENCH

Comme pour les séries, on utilisera des développements limités. Parexemple,1 — dans le cas de 𝑓 définie sur [𝑎,𝑏[ : si 𝑓 ∼

𝑡→𝑏−𝑔 alors en particulier, pour

𝑡 assez proche de 𝑏 (i.e. il existe η > 0 tel que si 𝑡 ∈]𝑏 − η,𝑏[), nous avons :12𝑔(𝑡) ⩽ 𝑓(𝑡) ⩽ 3

2𝑔(𝑡).2 — dans le cas de 𝑓 définie sur ]𝑎,𝑏] : si 𝑓 ∼

𝑡→𝑎−𝑔 alors en particulier, pour

𝑡 assez proche de 𝑎 (i.e. il existe η > 0 tel que si 𝑡 ∈]𝑎,𝑎 + η[), nous avons :12𝑔(𝑡) ⩽ 𝑓(𝑡) ⩽ 3

2𝑔(𝑡).



WRENCHIl est aussi possible d’utiliser des relations en petit 𝑜 : 𝑓 =

𝑡→𝑏−o(𝑔) nous dit en

particulier que 𝑓/𝑔 est bornée au voisinage de 𝑏 si 𝑔 ne s’annule pas. Mêmechose pour 𝑎+.

Méthode (Convergence d’intégrale à intégrande composée d’exponen-

tielles décroissantes)WRENCH

On compare à la fonction 𝑡 ⟼ 1𝑡2 à l’aide de croissances comparées.

Méthode (Plan d’étude d’une intégrale)WRENCH

Soit 𝑓 continue ou continue sauf en un nombre fini de points sur ]𝑎,𝑏[ ou[𝑎,𝑏[ ou ]𝑎,𝑏] (−∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ +∞. Il s’agit de se poser les questions dansl’ordre suivant afin d’analyser l’existence de l’intégrale.1 — Suis-je capable de calculer l’intégrale ∫

A

𝑎𝑓 (ou ∫

𝑎

A𝑓 en fonction du cas

), ou les deux dans le cas de ]𝑎,𝑏[) explicitement pourAdans l’intervalle d’in-tégration? Si oui, on la calcule et on analyse l’existence d’une limite en A.2 — Sinon, et ce sera l’immense majorité des cas, on se demande si :

Caret-right elle est positive, dans ce cas on essaie de la majorer ou minorer par unefonction simple dont on connaît la nature de l’intégrale. Onutilise éven-tuellement des développements limités et relations de comparaisonspour cela.

Caret-right elle n’est pas positive, on étudie la convergence absolue.

Méthode (Comment nier l’existence d’une limite ? Fonctions de plusieurs

variables)WRENCH

Si 𝑓 ∶ P ⊂R𝑛 ⟶R et A ∈ P. Alors si 𝑓 admet une limite ℓ ∈R en A, pour toutefonction φ ∶ Q ⊂ R𝑛 ⟶ P (avec A ∈ Q) telle que limBφ = A pour B ∈ Q, ona :

limX→B

𝑓 ∘φ(X) = ℓ.

Ainsi, si l’on trouve deux telles fonctions φ1 ∶ Q1 ⊂ R𝑛 ⟶ P (associée à un

WRENCHpoint B1 ∈ Q1) et φ2 ∶ Q2 ⊂R𝑛 ⟶ P (associée à un point B2 ∈ Q2), vérifiant :

limX→B1

𝑓 ∘φ1(X) ≠ limX→B2

𝑓 ∘φ2(X),

la fonctionn’admet doncpas de limite enA. Ondit que l’on a trouvédes «che-mins le long desquels la fonction ne converge par vers la même limite».

Méthode (Existence d’une limite avec des coordonnées polaires – 𝑛 = 2)WRENCH

Soit 𝑓 ∶ R2 ⟶ R une fonction, et ℓ ∈ R. Considérons le cas par exemple oùA = (0,0) : on souhaite donc affirmer (ou infirmer) que ℓ = lim(0,0) 𝑓.1 — Former 𝑓pol(𝑟,θ) pour tous (𝑟,θ) ∈R+ ×[0;2π[.2 — Si l’on obtient une quantité qui tend vers ℓ lorsque 𝑟 ⟶ 0,indépendamment dea θ, alors ℓ = lim(0,0) 𝑓.3 — Sinon, lim(0,0) 𝑓 n’existe pas.

3. EN ALÉATOIRE

Méthode (Quand utiliser la formule des probabilités totales)WRENCH

Pour calculer la probabilité d’un évènement pour lequel on a besoin de faireune disjonction de cas. Exemple typique : deux urnes dont le tirage se faitdans l’une ou l’autre en fonction du résultat du tirage précédent, on utilisealors le résultat du tirage précédent comme système complet d’évènementspuis on applique la formule des probabilités totales.

Méthode (Quand utiliser la formule des probabilités composées)WRENCH

Pour calculer la probabilité d’un évènement qui est une intersection d’évè-nements non indépendants.a Exemple typique : une urne dont on change lesproportions de boules de chaque type étape par étape, piocher pour la pre-

aau sens de la convergence et de la valeur de la limite



WRENCH mière fois une boule d’un type au rang𝑛 revient à piocher que des boules desautres types jusqu’au rang 𝑛−1 puis une boule du bon type au rang 𝑛.

Méthode (Répondre à la question «déterminer la loi d’une variable aléa-

toire réelle discrète X»)WRENCH

1 — Commencer par déterminer son support X(Ω) s’il n’est pas déjà donnéi.e. l’ensemble de départ de PX.2 — Calculer les P (X = 𝑥) pour tout 𝑥 ∈ X(Ω). Si X(Ω) est fini, il n’y a doncqu’un nombre fini de probabilités à déterminer, on peut alors les représentersous forme d’un tableau comme ceci :

X = 𝑘 𝑘1 𝑘2 ⋯

P (X = 𝑘) P (X = 𝑘1) P (X = 𝑘2) ⋯

Méthode (Trouver la loi d’un min ou max de variables aléatoires discrètes

indépendantes)WRENCH

Pour le max X =max(X1,…,X𝑛).1 — on calcule la fonction de répartition :P (X ⩽ 𝑘) = P (X1 ⩽ 𝑘)…P (X𝑛 ⩽ 𝑘)pour tout𝑘. On invoque l’indépendance au moment adéquat.2 — On calcule ensuiteP (X = 𝑘) en fonction deP (X ⩽ 𝑘) etP (X ⩽ 𝑘−1), i.e.P (X = 𝑘) = P (X ⩽ 𝑘)−P (X ⩽ 𝑘−1).

Pour X =min(X1,…,X𝑛), remplacer dans 1)⩽ par ⩾, puis en déduire la fonc-tion de répartition. Étape 2) inchangée, mais utiliser la relation P (X = 𝑘) =P (X ⩾ 𝑘)−P (X ⩾ 𝑘+1).



∑𝑥∈X(Ω)

|𝑥|2P (X = 𝑥) .

asinon c’est plus facile, on utilise l’indépendance.

Méthode (Répondre à la question «déterminer la loi conjointe du vecteur

aléatoire X,Y»)WRENCH

1 — Commencerpar déterminer son support (X,Y)(Ω) s’il n’est pasdéjà don-né.2 — Calculer les P(X = 𝑥,Y = 𝑦) pour tout (𝑥,𝑦) ∈ X(Ω)×Y(Ω). Si X(Ω),Y(Ω)sont finis, il n’y a donc qu’un nombre fini de probabilités à déterminer, onpeut les présenter sous forme d’un tableau comme ceci :

Y = ℓ / X = 𝑘 𝑘1 𝑘2 ⋯

ℓ1 P(Y = ℓ1,X = 𝑘1) P(Y = ℓ1,X = 𝑘2) ⋯

⋮ ⋮

Méthode (Déterminer des probabilités d’évènements du type {X = Y}, …,

{X1 = ⋯ = X𝑛})WRENCH

Par exemple, si X,Y sont deux variables aléatoires discrètes, on souhaite cal-culer P (X = Y).1 — Introduire le système complet associé à X (ou Y) dans l’évènement{X = Y} :

{X = Y} = ⋃𝑘∈X(Ω)

{X = 𝑘,Y = 𝑘}.

2 — On passe ensuite aux probabilités :

P (X = Y) = ∑𝑘∈X(Ω)

P (X = 𝑘,Y = 𝑘) .

En cas d’indépendance, on écrit alors

P (X = Y) = ∑𝑘∈X(Ω)

P (X = 𝑘)P (Y = 𝑘) .



Méthode (Déterminer la somme de deux variables aléatoires indépen-

dantes)WRENCH

1 — Introduire le système complet associé à X où Y dans l’évènement{X+Y = 𝑘} pour tout 𝑘 ∈ (X+Y)(Ω).2 — Utiliser la formule des probabilités totales.

Méthode (Développement d’une variance de somme)WRENCH

Soit la quantité Var (X+Y) avec X,Y deux variables aléatoires discrètes ayantune variance.1 — Écrire la quantité en fonction de la covariance : Var (X+Y) =Cov (X+Y,X+Y).2 — Développer en utilisant la bilinéarité de la covariance.

Méthode (Pour montrer qu’une variable aléatoire est à densité)WRENCH

Pour montrer que X est une variable aléatoire à densité, on :1 — revient à la définition en devinant une densité,2 — oua onmontre que la fonctionde répartitionFX est continue et de classe𝒞1 sauf éventuellement en un nombre fini points. Une densité est alors obte-nue en dérivant FX là où elle est dérivable. On met en général la valeur zérob

pour une densité là où FX n’est pas dérivable.

Méthode (Trouver un X(Ω) lorsque X est à densité)WRENCH

Au choix :Caret-right on regarde une densité puis on analyse les points où elle est non nulle.Caret-right On regarde là où la fonction de répartition est différente de zéro et un.

Méthode (Comment trouver X(Ω) ?)WRENCH

Dans un exercice, on lit en pratique X(Ω) là où :Caret-right la densité n’est pas nulle,

aC’est cette méthode que nous utiliserons le plus souventbvaleur arbitraire

WRENCHCaret-right la fonction de répartition n’est ni égale à 1 et ni égale à 0.

Méthode (Montrer que l’image d’une variable aléatoire réelle à densité est

à densité)WRENCH

SoitX une variable à densité et Y = 𝑔(X) avec𝑔 une fonction aumoins définiesur X(Ω) (valeur absolue, logarithme, etc. dans la suite).1 — Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire Y.2 — Deviner un ensemble contenant Y(Ω) au moyen de l’image de la fonc-tion 𝑔.3 — Calculer la fonction de répartition de Y i.e. P (Y ⩽ 𝑦) pour tout 𝑦 ∈ R etvérifier le Théorème ALEA.15.1.Le point clef est ensuite de : « faire des disjonctions de cas en 𝑦 dans le cal-cul» suivant l’ensemble trouvé en 1.

Méthode (Trouver la loi d’un max de variables aléatoires à densité indé-

pendantes)WRENCH

Pour le max X =max(X1,…,X𝑛).1 — on calcule la fonction de répartition : P (X ⩽ 𝑥) = P (X1 ⩽ 𝑥)…P (X𝑛 ⩽ 𝑥)pour tout 𝑥 ∈ R. On invoque l’indépendance au moment adéquat.2 — On utilise ensuite l’expression de la fonction de répartition à l’aide de ladensité donnée.3 — On vérifie le Théorème ALEA.15.1 i.e. que 𝑥 ⟼ P (X ⩽ 𝑥) est bien conti-nue et de classe 𝒞1 sauf en un nombre fini de points. On déduit alors égale-ment une densité.

Méthode (Trouver la loi d’un min de variables aléatoires à densité indépen-

dantes)WRENCH

Pour le max X =min(X1,…,X𝑛).1 — on calcule la fonction d’antirépartition : P (X > 𝑥) =P (X1 > 𝑥)…P (X𝑛 > 𝑥) pour tout 𝑥 ∈ R. On invoque l’indépendance aumoment adéquat.2 — On utilise ensuite l’expression de la fonction de répartition à l’aide de ladensité donnée.



WRENCH 3 — On vérifie le Théorème ALEA.15.1 i.e. que 𝑥 ⟼ 1−P (X > 𝑥) = P (X ⩽ 𝑥)est bien continue et de classe 𝒞1 sauf en un nombre fini de points. On déduitalors également une densité.



∫∞

−∞|𝑡|2 𝑓X(𝑡)d𝑡.



Méthode (Approcher une espérance (ou une probabilité) par simulation)WRENCH

Soient X,X1,…,X𝑛 une suite i.i.d. d’espérance μ, et admettant une variance.Alors :1 — X𝑛 ≈ μpour𝑛 assez grand, etX𝑛 s’obtient en simulant un grandnombrede fois la loi commune aux X𝑖, 𝑖 ∈ J1 , 𝑛K.2 — (Pour l’espérance)

E (X) ≈ X𝑛 ≈

𝑛∑𝑖=1

X𝑖


On forme la moyenne de simulations X𝑖. Si cette moyenne ne semble pasconverger, alors X n’a probablement pas d’espérance.3 — (Pour une probabilité/fonctionde répartition) Soit I un intervalle deR. Alors commeP (X ∈ I) = E (𝟙{X∈I}), on peut utiliser 1)pour approcher la pro-

WRENCH babilité :

P (X ∈ I) ≈

𝑛∑𝑖=1

𝟙{X𝑖∈I}


Oncompte lenombrede simulationsX𝑖 dans Ieton renvoie lamoyenne.Pourobtenir une approximation de FX(𝑥), on compte le nombre de simulations⩽ 𝑥.

Méthode (Pour retenir l’approximation de X𝑛 par une loi normale)WRENCH

Penser aux paramètres : E (X𝑛) = μ, Var (X𝑛) = σ2𝑛 , «à la limite» on obtient

une loi 𝒩(μ, σ2

𝑛 ) de mêmes paramètres.

Méthode (Pour retenir l’a approximation de la loi binomiale par la normale)WRENCH

Penser aux paramètres : E (S𝑛) = 𝑛𝑝, Var (S𝑛) = 𝑛𝑝(1 −𝑝), «à la limite» onobtient une loi 𝒩(𝑛𝑝,𝑛𝑝(1−𝑝)) qui a même espérance/variance que S𝑛.

Méthode (Pour retenir l’approximation de la loi de Poisson par la normale)WRENCH

Penser aux paramètres : E (S𝑛) = 𝑛λ, Var (S𝑛) = 𝑛λ, «à la limite» on obtientune loi 𝒩(𝑛λ,𝑛λ) de même espérance/variance que S𝑛.





Méthode (Résultats probabilistes pour établir un intervalle de confiance :

le théorème central limite et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev)WRENCH

1 — (Si le «type de loi» (bernoulli, gaußienne etc.) du 𝑛-échantillon estconnu) On arrive parfois à calculer les probabilités P (θ ∈ IX1,…,X𝑛) expli-citement pour n’importe quel intervalle IX1,…,X𝑛 , les intervalles de confianceobtenus ne sont alors pas asymptotiques.Pour des échantillons gaußiens, on a deux cas de figure :

Caret-right si σ est connue, on centre/réduit la moyenne empirique et on utilise lapropriété de stabilité de la loi normale (cf. exemple de CRUELLA).

Caret-right [H.P] Siσ est inconnue, on peut avoir recours à la loi de STUDENTa : voirRemarque 8 ci-après pour une définition.

2 — (Si la loi de départ n’est pas connue) b On utilise : soit :Caret-right le théorème central limite en centrant réduisant la moyenne empirique

(en approchant la variance par la version empirique si elle n’est pasconnue), cela nous donne un intervalle de confiance seulement asymp-totique,

Caret-right soit l’inégalité de BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV.

Méthode (Démarche générale d’un test statistique)WRENCH

1 — Poser l’hypothèse (nulle) ℋ0 que l’on souhaite tester.2 — Trouver un résultat de probabilité qui donne deux résultats différentsselonqueℋ0 est vraie ounon (dans le test d’adéquation supra, c’était le théo-rème central limite).3 — Donner la stratégie de décision, en fonction du résultat énoncé.

Méthode (Obtenir Φ(𝑥) pour un certain 𝑥 ∈ R à l’aide d’une table)WRENCH

Si l’on souhaite avoir, par exemple, Φ(0,96), on :1 — se place sur la ligne «0.9»,2 — se place ensuite sur la colonne «0.06».

aC’est la loi obtenue en remplaçant σ inconnue par σ𝑛cor dans la centrée/réduite de la moyenne

empirique d’un échantillon gaußienbOn sera dans ce contexte l’immense majorité du temps

WRENCH 3 — On obtient alors la valeur désirée. Dans cet exemple, Φ(0,96) = 0,8315.

Méthode (Chercher 𝑥 ∈ R tel que Φ(𝑥) = α à l’aide d’une table, α ∈ [0,1])WRENCH

Si l’on souhaite avoir, par exemple, 𝑥 ∈R tel que Φ(𝑥) = 0.975.1 — On cherche dans la grille l’endroit où se trouve une valeur suffisammentproche de α = 0.975.2 — Dans cet exemple, on constate que Φ(1.96) = 0.975.

Si l’on souhaite avoir, par exemple, 𝑥 ∈R tel que Φ(𝑥) = 0.160.

1 — En parcourant la table, on constate que 0.160 n’y apparaît.2 — On reformule alors la condition en passant au complémentaire :

1−Φ(𝑥) = 0,84 = Φ(−𝑥).

3 — On cherche donc dans la table 0.84, on trouve alors

0.84 = Φ(1.00) donc −𝑥 = 1.00, 𝑥 = −1.00.


Chapitre ANN.20. Annexe – Questions de cours posées au concours A-ENV

CHAPITRE ANN.20Annexe – Questions de cours posées au concours A-ENV

Cette liste n’est pas exhaustive et est vouée à être modifiée à chaque session; ellesera ainsi complétée après chaque rapport publié par le SCAV.

Question Réponse ou Référence auchapitre

Commentaire

1. ALGÈBRE

APPLICATIONS, NOMBRES COMPLEXES, TRIGONOMÉTRIE, POLYNÔMES

Définition du moduled’un nombrecomplexe

Chapitre ALG.5 : |𝑧| = √𝑥2 +𝑦2si 𝑧 = 𝑥+ i𝑦 avec (𝑥,𝑦) ∈R2

Connaitre égalementl’interprétationgéométrique

Somme et produit desracines d’uneéquation du seconddegré 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 = 0avec (𝑎,𝑏,𝑐) ∈R3,𝑎 ≠ 0

Chapitre ALG.6 Notant 𝑥1,𝑥2 lesdeux racines,𝑥1 +𝑥2 = −𝑏

𝑎 ,𝑥1𝑥2 = 𝑐𝑎

à retrouver rapidementsi besoin à l’aide desformules −𝑏±√Δ

2𝑎

Qu’appelle-t-onracine d’unpolynôme?

Chapitre ALG.6 un λ ∈K (donc Rou C) tel que P(λ) = 0

Qu’appelle-t-on ordrede multiplicité d’uneracine d’unpolynôme?

Chapitre ALG.6 Le 𝑚 ∈Nmaximal tel que (X−λ)𝑚 ∣ Pmais (X−λ)𝑚 ∤ P

Ici on attend ladéfinition, ne pasconfondre avec lacaractérisation à l’aidedu polynôme dérivé

Définition d’uneapplication 𝑓 ∶ E ⟶ Finjective

Pour tout 𝑥,𝑥′ ∈ E,𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥′) ⟹ 𝑥 = 𝑥′

Ne surtout pas parler denoyau, on ne vous ditpas que 𝑓 est linéaire

Définition d’uneapplication 𝑓 ∶ E ⟶ Fsurjective

Pour tout 𝑦 ∈ F, il existe 𝑥 ∈ E telque 𝑓(𝑥) = 𝑦

Ne surtout pas parler derang, on ne vous dit pasque 𝑓 est linéaire

ALGÈBRE LINÉAIRE

Donner la définitiond’une base d’unespace vectoriel

Chapitre ALG.1, i.e. donner ladéfinition d’une famille libre etd’une famille génératrice finie

Attention auxquantificateurs !

Définition d’unefamille libre(𝑢1,…,𝑢𝑛) devecteurs dans unespace vectoriel E

Chapitre ALG.1 Attention auxquantificateurs !



Définition d’unefamille génératricedans un espacevectoriel E

Chapitre ALG.1 ttention auxquantificateurs !

Donner la définitiond’une base d’unespace vectoriel

Chapitre ALG.1 (i.e. donner ladéfinition d’une famille libre etd’une famille génératrice finie)

Attention auxquantificateurs !

Donner la définitiond’un endomorphismed’un espace vectorielE

Chapitre ALG.1 Pour tousλ,μ ∈K et 𝑥,𝑦 ∈ E,𝑓(λ𝑥+μ𝑦) = λ𝑓(𝑥)+μ𝑓(𝑦).

Définition du noyaud’une applicationlinéaire 𝑓 ∶ E ⟶ F

Chapitre ALG.1,Ker𝑓 = {𝑥 ∈ E, 𝑓(𝑥) = 0F}. C’estun sous-espace vectoriel de E(l’ensemble de départ)

Savoir que Ker𝑓 = {0E}caractérise l’injectivitémais uniquement pourles applicationslinéaires

Énoncer le théorèmedu rang pour uneapplication linéaire𝑓 ∶ E ⟶ F

Chapitre ALG.1 Ne pas oublierl’hypothèse dimE finie,et ne pas mélangerensemble de départ etd’arrivée

Condition nécessaireet suffisante pourqu’une applicationlinéaire soit injective

Chapitre ALG.1 Noyau réduit àzéro

Ici 𝑓 est linéaire, mais nesurtout pas dire quec’est équivalent à lasurjectivité (pasd’hypothèse dedimension finie)

Formule dechangement de basepour les vecteurs

Chapitre ALG.1 (de la forme«Y = PX»)

Ne pas confondre aveccelle pour lesmatrices/applicationslinéaires de la forme«Y = P−1XP»

Inversibilité d’unematrice carrée 2×2

Chapitre ALG.2 (condition dedéterminant non nul (parexemple) et expression del’inverse)

Connaitre aussi ladéfinition : il existe N demême format que Mtelle que MN = NM = I2

Définition d’unematrice carréeinversible

Chapitre ALG.3 Ici on attend clairementla définition générale : ilexiste N de mêmeformat que M telle queMN = NM = I𝑛

Donner la définitiond’une valeur propre etd’un vecteur proprepour unendomorphisme 𝑓d’un espace vectorielE de dimension finie

Chapitre ALG.3 Ne pas oublier lacondition 𝑥 ≠ 0E dans ladéfinition de vecteurpropre

Donner la définitiond’une valeur propreainsi que d’unsous-espace proprepour une matrice𝔐3,2 (R)𝑛 (R)

Chapitre ALG.3 Ne pas oublier lacondition X ≠ 0𝔐𝑛,1(K)dans la définition devecteur propre

Soit 𝑢, unendomorphisme deR𝑛. Donner unecondition nécessaireet suffisante pour que𝑢 soit diagonalisable

Chapitre ALG.3 𝑛 valeurspropres distinctes (conditionsuffisante), la somme desdimensions des espaces propresest égale à 𝑛 (conditionnécessaire et suffisante)

Être au clair sur laterminologie«nécessaire etsuffisante». Savoirdéfinir ce qu’est unespace propre sil’examinateur vousle demande.Énoncer une

condition suffisanteet non nécessairepour qu’une matricesoit diagonalisable,puis une conditionnécessaire etsuffisante pourqu’une matrice soitdiagonalisable

Chapitre ALG.3 𝑛 valeurspropres distinctes (conditionsuffisante), la somme desdimensions des espaces propresest égale à 𝑛 (conditionnécessaire et suffisante)



ALGÈBRE BILINÉAIRE

Donner la définitiondu produit scalaire dedeux vecteurs(𝑥1,…,𝑥𝑛) et(𝑦1,…,𝑦𝑛) de R𝑛

Chapitre ALG.4

Énoncer l’inégalité deCAUCHY-SCHWARZ

Chapitre ALG.4 pour tout𝑥,𝑦 ∈R𝑛, ||⟨𝑥||𝑦⟩|| ⩽ ‖𝑥‖‖‖𝑦‖‖

Ne pas oublier lesvaleurs absolues

Définition d’une baseorthonormale de R𝑛

Chapitre ALG.4 Bien penser aux deuxconditions :orthogonalité ET normeun pour chaque vecteur

Énoncer le théorèmede Pythagore dans R𝑛

Chapitre ALG.4 pour tout𝑥,𝑦 ∈R𝑛, ‖‖𝑥+𝑦‖‖2 = ‖𝑥‖2 +‖‖𝑦‖‖2 si 𝑥 ⟂ 𝑦

Ne pas oublierl’hypothèsed’orthogonalité et lescarrés sur les normes

Définition de ladistance d’un vecteur𝑥 de R𝑛 à unsous-espace vectorielF de R𝑛

Chapitre ALG.4 d(𝑥,F) =min𝑦∈F ‖‖𝑥−𝑦‖‖ ou ( =‖‖𝑥−𝑝F(𝑥)‖‖)

La question est un peuvague, mais sansrenseignementsupplémentaire onattend donc plutôt ladéfinition (que la partieentre parenthèses)

2. GÉOMÉTRIE

Donner unereprésentationparamétrique de ladroite de l’espacepassant par le point Ade coordonnées(𝑥A,𝑦A,𝑧A) et dirigéepar le vecteur �� decoordonnées (𝑎,𝑏,𝑐)

Un point M(𝑥,𝑦,𝑧) est sur laditedroite si et seulement si il existeλ ∈R tel que AM = λ��, on déduitla représentation paramétrique⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

𝑥(λ) = 𝑥A +λ𝑎,𝑦(λ) = 𝑦A +λ𝑏,

𝑧(λ) = 𝑧A +λ𝑐.

Équation cartésienned’un plan de R3

normal au vecteur𝑢 = (1,2,−1)

Le plan est d’après le cours de laforme 𝑥+2𝑦−𝑧+𝑑 = 0 avec𝑑 ∈R

Si une condition depassage en un pointavait été donnée, nousaurions eu une uniqueconstante 𝑑, à trouveren injectant lescoordonnées du point

3. ANALYSE

FONCTIONNELLE

Si α ∈R, rappeler lessolutions del’équationcos(𝑥) = cos(α) en𝑥 ∈R

𝑥 = ±α+2𝑘π pour 𝑘 ∈ Z Faire un dessin de cercletrigonométrique pour leretrouver (et l’expliquerse besoin)



Donner la définitionde la partie entièred’un réel 𝑥

Chapitre ANA.7 Soit 𝑥 ∈R, c’estl’unique entier 𝑛 ∈ Z vérifiant𝑛 ⩽ 𝑥 < 𝑛+1

Attention aux inégalitésstrictes et larges : on neles met pas au hasard. Ilest important aussi deconnaître le graphe (etde mentionner lespointsd’ouverture/fermeturede la courbe).

Si 𝑓 est la fonctiondéfinie sur ]0,1[ par :𝑓(𝑥) = √1−𝑥 surl’intervalle ]0,1[,déterminerl’expression de sadérivée sur ]0,1[

Chapitre ANA.7 Soit 𝑥 ∈]0,1[,𝑓′(𝑥) = −1

2√1−𝑥

Eh oui, certainesquestions sont trèssimples

Allure de lareprésentationgraphique de lafonction sin surl’intervalle [−π;π]

𝑥

𝑦

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−101 𝒞sin

Allure de lareprésentationgraphique de lafonction cos surl’intervalle [−π;π]

𝑥

𝑦

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−101 𝒞cos

Allure desreprésentationsgraphiques desfonctions 𝑥 ⟼ ln(𝑥)et 𝑥 ⟼ ln(1+𝑥)

𝑥

𝑦

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−4−3−2−1012

𝒞ln

𝒞ln(1+.)

Allure de lareprésentationgraphique de lafonction arctan enprécisant sesasymptotes en ±∞

𝑥

𝑦

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2−1012

𝒞arctan

π2

−π2

Savoir aussi justifierl’existence à l’aide duthéorème de labijection, bien dire qu’ilest nécessaire derestreindre tan à ]−π

2 ;π2 [.

Donner la formule deTaylor-Young

Chapitre ANA.7 Ne pas oublierl’hypothèse de classe 𝒞𝑛

Définition de lanégligeabilité d’unefonction par rapport àune autre auvoisinage de ∞

Chapitre ANA.7 Soient deuxfonctions 𝑓,𝑔 définies auvoisinage de 𝑎, et telle que 𝑔 nes’annule pas au voisine de 𝑎,𝑓(𝑥) =

𝑥→𝑎o(𝑔(𝑥)) signifie

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 0

Développementlimité à l’ordre 5 auvoisinage de 0 de lafonction sinus

Chapitre ANA.7 Vérifier à l’aide de laparité

Développementlimité d’ordre 5 auvoisinage de 0 de lafonction cosinus


Donner ledéveloppement limitéau voisinage de 0, àl’ordre 4 de lafonction 𝑥 ⟼ 𝑥

1+𝑥

Chapitre ANA.7 𝑥1+𝑥 =

𝑥→0𝑥(1−𝑥+𝑥2 −𝑥3 +o(𝑥3)) =𝑥−𝑥2 +𝑥3 −𝑥4 +o(𝑥3)

Vérifier à l’aide de laparité

Développementlimité à l’ordre 4 de𝑥 ⟼ ln(1+𝑥) lorsque𝑥 est au voisinage de 0

Chapitre ANA.7



Développementlimité de sin à l’ordre5 au voisinage de 0


Définition de ladérivée d’unefonction 𝑓 en unpoint 𝑎

Chapitre ANA.7 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)𝑥−𝑎

existe et est finieSavoir expliquergéométriquement ceque cela signifie

Énoncer le théorèmede Rolle

Chapitre ANA.7 Ne pas oublier leshypothèses précises :continue sur lesegment, dérivable surl’intervalle ouvert

Rappeler la formuledes accroissementsfinis

Chapitre ANA.7 Ne pas oublier leshypothèses précises :continue sur lesegment, dérivable surl’intervalle ouvert

Quelles sont lessolutions del’équationdifférentielle𝑦′ +𝑎(𝑡)𝑦 = 0?

Chapitre ANA.8{𝑥 ⟼ Ce−A(𝑥), C ∈R} où A estune primitive de 𝑎

Dire également que Aexiste dès que 𝑎 estcontinue, bienmentionner unensemble de solutions(donc avec desaccolades).

Soit (𝑎,𝑏) ∈R2.Donner l’ensembledes solutions del’équationdifférentielle :𝑦′′ +𝑎𝑦′ +𝑏𝑦 = 0

Chapitre ANA.8 (Considérerl’équation caractéristique𝑥2 +𝑎𝑥+𝑏 = 0, distinguer lescas Δ = 𝑎2 −4𝑏 positif, nul ounégatif)

Montrer simplementque vous connaissez lerésultat (donner desnoms génériques pourles racines réels oucomplexes)

Si 𝑓 est la fonctiondéfinie sur ]0,1[ par :𝑓(𝑥) = √1−𝑥 surl’intervalle ]0,1[,déterminerl’expression d’une deses primitives sur]0,1[

√1−𝑥 = (1−𝑥)1/2 se primitiveen 𝑥 ⟼ − (1−𝑥)3/2

3/2 = − 23 (1−𝑥)3/2

Se ramener à desfonctions puissancespermet de ne retenirqu’une seule formule deprimitivation/dérivation

Si α ∈R, déterminerl’expression d’uneprimitive de 𝑥 ⟼ 1

𝑥αsur R+⋆

Chapitre ANA.7 1𝑥α = 𝑥−α se

primitive en 𝑥−α+1−α+1 = 1

1−α𝑥1−α si

α ≠ 1. Si α = 1, alors 𝑥 ⟼ ln |𝑥|est une primitive

Ne pas oublier de casparticulier sur α, et lavaleur absolue dans lecas particulier

Énoncer le théorèmed’intégration parparties sur uneintégrale

Chapitre ANA.10 Ne pas oublier leshypothèses 𝒞1, aussiimportantes que laformule

Donner la définitionde la convergenced’une intégralegénéralisée surl’intervalle [𝑎;∞[, i.e.définition de∫∞𝑎 𝑑(𝑡)d𝑡 avec 𝑓 une

fonction continue

Chapitre ANA.10 Convergencevers une limite finie de𝑥 ⟼ ∫𝑥

𝑎 𝑓(𝑡)d𝑡 lorsque 𝑥 ⟶ ∞

On note alors ∫∞𝑎 𝑓(𝑡)d𝑡

la valeur de la limite

Définition etconvergence de lasomme de Riemannd’une fonction 𝑓continue sur [0,1]

S𝑛(𝑓) =1𝑛 ∑𝑛−1

𝑘=0 𝑓(0+ 𝑘(1−0)𝑛 ) 𝑛→∞−−−−→

∫10 𝑓(𝑡)d𝑡

Bien mentionner que 𝑓est continue si ce n’estpas précisé. S’aider d’undessin en cas de besoin.La somme convergeencore avec pour bornes1 et 𝑛.



Dérivation d’unefonction de la forme𝑓(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡)), lafonction 𝑓 étant declasse 𝒞1 et lesfonctions 𝑥 et 𝑦 étantdérivables

Chapitre ANA.11d(𝑓(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡)))

d𝑡 = ∂𝑓∂𝑥 (𝑥(𝑡),𝑦(𝑡))𝑥′(𝑡)+

∂𝑓∂𝑦 (𝑥(𝑡),𝑦(𝑡))𝑦′(𝑡)

Attention au fait que 𝑥,𝑦n’ont qu’une seulevariable, donc on attendla «première» formulede la chaîne du cours

Définition d’un pointcritique pour unefonction de deuxvariables

Chapitre ANA.11 On supposeque la fonction admet desdérivées partielles, un pointcritique 𝑐 ∈R𝑛 est un point telque grad𝑓(𝑐) = 0, équivalent àl’annulation de toutes lesdérivées partielles en 𝑐

Supposer que lafonction admet desdérivées partielles

SUITES & SÉRIES

Énoncer la définitionet le théorème dessuites adjacentes

Définition : deux suites demonotonie différente dont ladifférence tend vers zéro.Théorème : les deux suitesconvergent vers la même limite

Attention au mélangeentre les deux!

Pour ||𝑞|| < 1, donnerl’expression dessommes suivantes :∞∑𝑛=0

𝑛𝑞𝑛−1 et∞∑𝑛=0

𝑛(𝑛−1)𝑞𝑛−2

Chapitre ANA.9 1(1−𝑞)2 ,

2(1−𝑞)3 Pour rappel il s’agit de

dd𝑞 ( 1

1−𝑞 ) , d2d𝑞2 ( 1

1−𝑞 ), lesformules se retiennentdonc facilement

4. PROBABILITÉS & STATISTIQUES

PROBABILITÉS

Énoncer la formulede BAYES

Chapitre ALEA.12 Ne pas oublierl’hypothèse de systèmecomplet d’évènements

Énoncer la formuledes probabilitéstotales

Chapitre ALEA.12 Ne pas oublierl’hypothèse systèmecomplet d’évènements.Préciser aussi que lestermes P(A||A𝑖)P (A𝑖)sont par conventionégaux à zéro lorsque l’undes A𝑖 est de probabiliténulle

Énoncer la formuledes probabilitéscomposées

Chapitre ALEA.12 Ne pas oublierl’hypothèse denon-négligeabilité del’intersection de plusgrande longueur

Définition de lanotiond’indépendancemutuelle d’unefamille finied’événements

Chapitre ALEA.12 Si (A1,…,A𝑛)est une famille de 𝑛évènements, l’indépendancemutuelle signifie que toutesous-famille A𝑖1 ,…,A𝑖𝑝 on a

P (A𝑖1 ∩… ∩A𝑖𝑝) =

P (A𝑖1)×⋯×P (A𝑖𝑝)

Attention ce n’est pasuniquementP (A1 ∩… ∩A𝑝) =

P (A1)×⋯×P (A𝑝)

VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES

Donner la définitionde la fonction derépartition d’unevariable aléatoireréelle. Donner sontableau de variations

Chapitre ALEA.13FX ∶ 𝑡 ∈R⟼ P (X ⩽ 𝑡), c’est unefonction croissante,lim𝑡→−∞

FX(𝑡) = 0, lim𝑡→∞

FX(𝑡) = 1

On demande ici uneallure générale dutableau, mentionnezégalement les limites en±∞



Énoncer le théorèmede transfert dans lecadre d’une variablealéatoire réellediscrète

Chapitre ALEA.13 L’hypothèse clef est laconvergence absolue,qui garantit que l’ordredes termes du supportn’a aucune importancedans la somme obtenue

Définition de lavariance d’unevariable aléatoirediscrète admettant unmoment d’ordre 2

Var (X) = E ((X−E (X))2) si Xadmet un moment d’ordre deux

Il faut être prêt à donnerla version sous forme desérie (application duthéorème de transfert sil’examinateur ledemande). Possibilité dedonner aussi aussi laversion KÖNIG-HUYGENSVar (X) = E (X2)−E (X)2

Variance de ladifférence de deuxvariables aléatoires.Cas particulier où lesdeux variables sontindépendantes

ALEA.13 Soient X,Y deux tellesvariables,Var (X−Y) = Var (X)+Var (−Y) =Var (X)+ (−1)2Var (Y) =Var (X)+Var (Y), à la premièreégalité nous avons utilisél’indépendance de X et −Y

La variance n’est paslinéaire

Définition del’espérance d’unevariable aléatoire Xdiscrète à valeursdans N

Chapitre ALEA.14 Ne pas oublierl’hypothèse deconvergence absolue(qui garantit que lavaleur de la somme nedépend pas del’énumération deséléments du support)

Rappeler la valeur deP(X = 𝑘) si X suit uneloi hypergéométrique

Chapitre ALEA.13 Pour retrouverrapidement l’expression,et le support, bienmémoriserl’interprétation de la loihypergéométrique enterme de tirages sansremise dans une urne

Quand dit-on qu’unevariable aléatoire suitla loi géométrique deparamètre 𝑝? Quellessont alors sonespérance et savariance?

Chapitre ALEA.14 Rappeler la définition dela loi (y compris lesupport X(Ω)),l’interprétation en termed’expérience aléatoire(temps d’attente desuccès dans unerépétition indépendantede schémas deBERNOULLI), puisespérance/variance

Soit X une variablesuivant la loi dePOISSON deparamètre λ > 0.Expliciter la loi de X,et donner sonespérance et savariance

Chapitre ALEA.13 Ne pas oublier depréciser X(Ω)



Comment déterminerles lois marginalesd’un couple (X,Y) devariables aléatoiresréelles discrètes si onconnaît la loiconjointe?

Chapitre ALEA.14 On attendP (X = 𝑥) =∑𝑧∈Y(Ω)P (X = 𝑥,Y = 𝑧) etP (Y = 𝑦) =∑𝑧∈Y(Ω)P (X = 𝑧,Y = 𝑦) d’après laformule des probabilités totales,pour tous (𝑥,𝑦) ∈ X(Ω)×Y(Ω)

Savoir le rejustifier dansla pratique.

Formule del’espérance deZ = 𝑢(X,Y) où X et Ysont des variablesaléatoires discrètes àvaleurs dans J1 , 𝑛K et𝑢 une fonction de R2

dans R

Chapitre ALEA.14∑𝑛𝑘=1∑

𝑛ℓ=1𝑢(𝑘,ℓ)P (X = 𝑘,Y = ℓ)

— ou d’abord une somme en ℓpuis en 𝑘

Ici on suppose que lesupport est fini, lasomme double associéeest donc finie(nécessairementconvergente)

Énoncer la définitionde l’indépendance dedeux variablesaléatoires réellesdiscrètes

Chapitre ALEA.13

Définition de lacovariance de deuxvariables aléatoiresréelles discrètes

Chapitre ALEA.14 Soient X,Ydeux variables aléatoiresdiscrètes possédant un momentd’ordre deux, on poseCov (X,Y) =E ((X−E (X))(Y−E (Y)))

La covariance de X et Yexiste si X et Y ontchacune un momentd’ordre deux, vouspouvez aussi donner laversionKÖNIG-HUYGENS :E (XY)−E (X)E (Y)

Lien(s) entrel’indépendance dedeux variablesaléatoires discrètes etleur covariance

Chapitre ALEA.14L’indépendance implique lanon-corrélation (covariancenulle)

Attention à ne pass’emmêler les pinceaux,la réciproque est fausse(voir cours).

À quelle(s)condition(s) sur safonction derépartition unevariable aléatoire Xadmet-elle unedensité deprobabilité?Commentdétermine-t-on alorsune densité de X?

Chapitre ALEA.15 On calculer lafonction de répartition FX, onvérifie qu’elle est continue et declasse 𝒞1 sauf en un nombre finide points

Attention à ne pasconfondre avec ladéfinition de densité(qui requiert de lacontinuité sauf en unnombre fini de points)

Définition del’espérance d’unevariable aléatoire Xadmettant unedensité 𝑓 continuesur R

Chapitre ALEA.15 Ne pas oublierl’hypothèse deconvergence absolue del’intégrale

Densité d’une loiexponentielle deparamètre λ

Chapitre ALEA.15 Attention à ne pasoublier les indicatrices𝟙R+

Allure de lareprésentationgraphique d’unedensité de la loiexponentielle deparamètre 1

𝑥

𝑦

−3 −2 −1 0 1 2 301

Se tenir prêt à rappelerla densité sil’examinateur vous ledemande (etl’espérance/variance)



Allure de lareprésentationgraphique d’unedensité de la loinormale d’espérance1 et de variance 1

𝑥

𝑦

−3 −2 −1 0 1 2 301

Se tenir prêt à rappelerla densité sil’examinateur vous ledemande (etl’espérance/variance)

Densité d’une loinormale centréeréduite

Chapitre ALEA.15 Une variablealéatoire de densité𝑥 ⟼ 1

√2πe−

𝑥22

Avoir en tête égalementl’espérance/variance,ainsi que le graphe.

Énoncer le théorèmede transfert dans lecas d’une variablealéatoire admettantune densité

Chapitre ALEA.15 Ne pas oublierl’hypothèse deconvergence absolue del’intégrale

Énoncer l’inégalité deMarkov

Chapitre ALEA.12 Ne pas oublierl’hypothèse de momentd’ordre 1 et depositivité. Ici ondemande la versiongénérale (avec symbole«E (X)»), donc vraiedans le cas discret oucontinue

Énoncer l’inégalité deBienaymé-Tchebychev

Chapitre ALEA.12 Ne pas oublierl’existence d’un momentd’ordre deux

Énoncer la loi faibledes grands nombres

Chapitre ALEA.14 Ne pas oublier leshypothèses de momentd’ordre deux et sur lecaractère i.i.d. de la suite

Énoncer le théorèmecentral limite

Chapitre ALEA.14 Ne pas oublier leshypothèses de momentd’ordre deux et sur lecaractère i.i.d. de la suite

STATISTIQUES


Chapitre ANN.21. Notes de statistiques pour les TIPE

CHAPITRE ANN.21Notes de statistiques pour les TIPE

Résumé & Plan

CEs quelques notes n’ont pas vocation à remplacer le cours de statistiques mais plutôt à vous aider dans la rédaction desdossiers de TIPE, qui débute avant que nous ayons parlé de statistiques en cours.

W

1. Principe de la statistique inférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Comment estimer un paramètre? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Construction d’estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Construction d’intervalles de confiance pour des paramètres 3

3. Tests statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5. Trouver des relations linéaires entre paramètres . . . . . . . . . . . 6

6. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7. Révisions d’Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

8. Révisions d’Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

9. Révisions de Probabilités & Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . 8

10. Algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

11. Et pour le début de l’année? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1. PRINCIPE DE LA STATISTIQUE INFÉRENTIELLE

Commençons par expliquer ce que nous souhaitons faire.

1 — Les probabilités ont pour objectif l’étude de réalisations de ce que nous ap-pelons variables aléatoires. Nous savons avec quelles probabilités ces variablesprennent une certaine valeur (donnée de la loi) et nous étudions ensuite des pa-ramètres : l’espérance, la variance, la covariance, intervalles de fluctuation etc..2 — La statistique inférentiellesouhaite effectuer la démarche inverse : i.e. savoirque si une série de données 𝑥1,⋯,𝑥𝑛 avec 𝑛 un entier, peut être vue comme 𝑛réalisations d’une variable aléatoire suivant une certaine loi, autrement dit si lecaractèremesuré semble suivre une certaine loi de probabilité. Bien évidemment,nous ne pourrons pas dire OUI ou NON avec certitude, nous pourrons juste direOUI ouNONavec une bonne (si possible) probabilité, lorsque𝑛 est suffisamment



grand.

L’objectif est donc de savoir s’il existe (X1,⋯,X𝑛) une famille de 𝑛 variables aléa-toires réelles de même loi telles que pour un certain ω ∈ Ω, (𝑥1,⋯,𝑥𝑛) =(X1(ω),⋯,X𝑛(ω)). Nous les chercherons également indépendantes, ce qui sembleêtre une hypothèse raisonnable dans lamesure où les relevés de 𝑥1,⋯,𝑥𝑛 le sont.1

Pour des raisons techniques (application de la loi des grands nombres et du théo-rème central limite), nous supposerons que la loi commune des X𝑖 possède uneespérance μ et une variance σ2.

Données / MesuresUnivers Ω

𝑥3𝑥2𝑥1

...

𝑥𝑛−1 𝑥𝑛

X, Probabilités : étude des valeurs prises par X

Moyennes, écart-type, variance

Statistiques Inférentielles : ∃?X,ω , X𝑖(ω) = 𝑥𝑖, pour tout 𝑖

Statistiquesdescriptives

2. COMMENT ESTIMER UN PARAMÈTRE?

Un peu de vocabulaire. On cherche une fonction des données 𝑓(X1,⋯,X𝑛), où𝑓 ∶R𝑛 ⟶R, qui soit proche de μ ou σ2 ou tout autre paramètre P.

1 — (Estimateur) On appelle estimateur toute variable aléatoire du type𝑓(X1,⋯,X𝑛).2 — (Biais) Bien entendu, pour beaucoup de fonctions 𝑓, la variable𝑓(X1,⋯,X𝑛) n’estime rien du tout. On dit que 𝑓(X1,⋯,X𝑛) est sans biais pour leparamètre θ (un nombre réel) si : E (𝑓(X1,⋯,X𝑛)) = θ.

1Ce qui, rappelons-le, n’est pas automatique en deuxième année pour les univers non finis

3 — (Biais asymptotique) On dit que 𝑓(X1,⋯,X𝑛) est asymptotiquement sansbiais pour le paramètre μ si : E (𝑓(X1,⋯,X𝑛))

𝑛→∞−−−−→ θ.

2.1. Construction d’estimateurs

On cherche donc en général des estimateurs sans biais pour le paramètre θou asymptotiquement le plus souvent. Ainsi, pour 𝑛 assez grand, le relevé de𝑓(𝑥1,⋯,𝑥𝑛) nous donnera une bonne approximation de θ. La question est main-tenant : comment trouver une bonne fonction 𝑓? Pour cela, on peut utiliser diversrésultats probabilistes.

Pour estimer une moyenne. Pour cela, nous savons d’après la loi faible desgrands nombres, que X𝑛 = X1+⋯+X𝑛

𝑛 est «très proche de» μ, proche au sens sui-vant : pour tout ε > 0,

P (||X𝑛 −μ|| > ε) 𝑛→∞−−−−→ 0.

La suiteX𝑛 estdonc,pour𝑛assezgrand,unebonneapproximationde lamoyenne.On appelle cette variable la moyenne empirique.

Pour estimer la variance. De la même manière, nous pouvons estimer la va-riance. La variable aléatoire

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(X𝑖 −μ)2

sera, toujours, d’après la loi faible des grands nombres, très proche deE ((X1 −μ)2) = σ2. En revanche, si μ n’est pas connue (la plupart du temps), onconsidère plutôt la même somme mais où l’on a remplacé μ par l’estimateur trou-vé précédemment :

σ2𝑛 =

1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(X𝑖 −X𝑛)2.



Onpeutmontrer là encorequeσ2𝑛 est trèsprochedeσ2 pour𝑛assez grand (mais ce

n’est plusuneconséquencedirectede la loi faibledes grandsnombres). La variablealéatoire

σ𝑛 = √1𝑛

𝑛∑𝑖=1

(X𝑖 −X𝑛)2

est en revanche un bon estimateur de l’écart-type σ.On appelle σ2

𝑛 la variance empirique. En revanche, nous verrons que cet estima-teur est biaisé, i.e. l’espérance de σ2

𝑛 n’est pas égale à σ2. On lui préfère parfois lavariance empirique corrigée et notée σ𝑐

𝑛 :

(σ𝑐𝑛)2 =

1𝑛−1

𝑛∑𝑖=1

(X𝑖 −X𝑛)2.

Nous développerons tous ces calculs en cours de statistiques.

Inconvénient. Jusque là nous n’avons pas réussi à quantifier la vitesse de conver-gence. Combien faudrait-il de mesures pour que les approximations données parles estimateurs précédents soient acceptables? La réponse va être donnée dans laprochaine section. Une nouvelle fois la réponse n’est pas OUI / NON mais OUI /NON et avec quelle probabilité.

2.2. Construction d’intervalles de confiance pour des paramètres

Définition ANN.21.1 | Intervalle de confianceOn appelle intervalle de confiance de niveau α pour le paramètre θ, tout inter-valle aléatoire noté IX1,⋯,X𝑛 dépendant des X1,⋯,X𝑛 tel :

P (θ ∈ IX1,⋯,X𝑛) ⩾ 1−α.

On appelle intervalle de confiance asymptotique de niveau α pour le paramètreθ toute suite (IX1,⋯,X𝑛 )𝑛 d’intervalles aléatoires telle que :

lim𝑛→∞

P (θ ∈ IX1,⋯,X𝑛) ⩾ 1−α.

Dit autrement, siα est assez petit, le paramètre sera avec forte probabilité dans cetintervalle (ou avec forte probabilité dans cet intervalle pour 𝑛 assez grand s’il estasymptotique). La question est : comment obtenir de tels intervalles? Dans toutela suite nous ne construirons que des intervalles asymptotiques.Rappelons le fait suivant : nous avons vu que siA est une variable aléatoire admet-tant une espérance μ et une variance σ2, alors

A−μσ

est une variable aléatoire centrée et réduite. Le fait notable étant que cela nedépend pas de loi de départ.

Un autre phénomène se produit pour le la centrée/réduite d’une variable aléa-toire, plus précisément pour la centrée/réduite de X𝑛 = X1+⋯+X𝑛

𝑛 , qui est :

X𝑛 −E (X𝑛)

√Var (X𝑛)=

X𝑛 −μ√𝑛σ2/𝑛2

=X𝑛 −μ

σ√𝑛

,

le théorèmecentral limite2, quenousverronsplus tard, affirme :pour toutα ∈ [0,1],il existe 𝑎α vérifiant

P(−𝑎α ⩽ √𝑛X𝑛 −μ

σ⩽ 𝑎α)

𝑛→∞−−−−→ 1−α.

Remarque 2.1 — Des valeurs approchées de 𝑎α sont connues. Nous verrons leurlien avec la loi normale à la fin de l’année.

2Et là encore, la loi donnée en entrée n’a aucune importance, du moment qu’elle possède une va-riance. C’est un théorème dit universel



Intervalle de confiance pour la moyenne si σ est connue. En multipliant l’en-cadrement par −1, puis en isolant μ, nous obtenons un intervalle de confianceasymptotique pour la moyenne :

P(−σ

√𝑛𝑎αX𝑛+ ⩽ μ ⩽ 𝑎α

σ√𝑛

+X𝑛)𝑛→∞−−−−→ 1−α,

notant Iμ(X1,⋯,X𝑛) = [−σ𝑎α√𝑛

+X𝑛;σ𝑎α√𝑛

+X𝑛] , nous avons :

P (μ ∈ Iμ(X1,⋯,X𝑛))𝑛→∞−−−−→ 1−α.

Intervalle de confiance pour la moyenne si σ est inconnue aussi. Un autre ré-sultat de probabilité, connu sous le nom de Lemme de Slutsky (résultat que nousadmettrons, tout comme le théorème central limite), nous permet d’aboutir au ré-sultat de convergence ci-dessous : la convergence du théorème central limite estmaintenue si nous remplaçons σ inconnu par l’écart-type empirique σ𝑛 :

P(−𝑎α ⩽X𝑛 −μσ𝑛√𝑛

⩽ 𝑎α)𝑛→∞−−−−→ 1−α.

Notant Jμ(X1,⋯,X𝑛) = [−σ𝑛𝑎α√𝑛

+X𝑛;σ𝑛𝑎α√𝑛

+X𝑛] , nous avons :

P (μ ∈ Jμ(X1,⋯,X𝑛))𝑛→∞−−−−→ 1−α.

C’est un intervalle de confiance pour la moyenne, faisant intervenir uniquementles données mesurées X1,⋯,X𝑛.

À propos du nombre de mesures. Il y a deux convergences de cachées dans lethéorème précédent :

1 — celle du théorème central limite,

2 — et celle de l’approximation de σ par σ𝑛 le cas échéant.

Le point important est que l’on ne sait pas à quelle vitesse a lieu la convergenceprécédente. Il existe des résultats théoriques pour contrôler cette erreur mais ilssont en général beaucoup trop pessimistes (car très généraux) et font intervenirdes paramètres de la loi de l’échantillon, comme par exemple le moment d’ordretrois, dont on ne dispose pas. En pratique les livres conseillent d’utiliser cette ap-proximation pour 𝑛 ⩾ 30 qui semble être un bon compromis qui convienne pourla plupart des lois.

Remarque 2.2— Notez également que l’amplitude de l’intervalle de confiancedécroît en 1

√𝑛, donc plus vous aurez demesures, plus votre intervalle de confiance

sera petit.

3. TESTS STATISTIQUES

Une autre façon encore de répondre à une problématique de recherche de para-mètre, et à d’autres de manière générale, est celle du test statistique.

Un premier exemple : le test d’adéquation à la moyenne. Le test qui est au pro-gramme de BCPST est le test d’adéquation à la moyenne. Notons H0 «μ = μ0 » :c’est l’hypothèse que la moyenne commune des X𝑖 est μ = μ0.SiH0 est vraie, alors nous avons vu que : μ0 ∈ Jμ0 (X1,⋯,X𝑛) = [−σ𝑛𝑎α

√𝑛+X𝑛;

σ𝑛𝑎α√𝑛

+

X𝑛]. Ainsi, le test consiste en la décision suivante :

1 — si pour 𝑛 ⩾ 30, μ0 ∈ Jμ0 (X1,⋯,X𝑛), alors on accepte l’hypothèse,2 — si pour 𝑛 ⩾ 30, μ0 ∉ Jμ0 (X1,⋯,X𝑛), alors on rejette l’hypothèse.

Plutôt que de dire «on accepte l’hypothèse», on devrait dire «on accepte l’hypo-thèse avec un risque α de se tromper» (i.e. d’accepter l’hypothèse alors qu’elle est



fausse). De-même, plutôt que de dire «on rejette l’hypothèse», on devrait dire «onrejette l’hypothèse avec un risque 1−α de se tromper» (i.e. de rejeter l’hypothèsealors qu’elle est vraie).

Résumé♥

1 — (But) Tester une valeur possible de moyenne H0 «μ = μ0.2 — (Résultat probabiliste qui fonde le test) Théorème central limite3 — (Décision) On rejette H0 si μ0 ∉ Jμ0 (X1,⋯,X𝑛).

Généralités. L’une des fonctions des statistiques est de proposer, à partir d’ob-servations d’un phénomène aléatoire (oumodélisé comme tel) une estimation dela loi de ce phénomène. C’est ce que nous avons fait en construisant des inter-valles de confiance. Les statistiques servent aussi à prendre des décisions. Peut-on considérer qu’un médicament est plus efficace qu’un placebo? Le nombre deconsultations deGoogle par seconde suit-il une loi de POISSON? Les gènes pilotantla couleur des yeux et celle des cheveux sont-ils sur les mêmes chromosomes? Ily a deux points communs (au moins) à toutes ces questions : leurs réponses sontdes oui-non et le phénomène sous-jacent est aléatoire. Les tests statistiques vontpermettre d’apporter une réponse à des questions manichéennes en contrôlantl’aléa inhérent à la situation.En statistique les deux éventualités sont appelées des hypothèses et sont notéesH0 (hypothèse nulle) et H1 (hypothèse alternative, μ ≠ μ0 dans l’exemple précé-dent).

Définition ANN.21.2Un test statistique est un algorithme qui conduit à accepter H0 ou à rejeter H0à partir d’observations d’un phénomène aléatoire.On appelle niveau du test la probabilité de rejeter H0 alors qu’elle est vraie.

C’est le niveau du test que l’on souhaite le plus faible possible. En revanche, on sepréoccupe en général peu de la probabilité d’accepter H0 alors que H1 est vraie.

Remarque 3.1— Onpeut faire une analogie avec la justice qui pose comme prin-

cipe la présomption d’innocence. On souhaite contrôler en priorité la probabilitéd’envoyer un innocent en prison en négligeant pour l’instant celle de relâcher uncoupable.

Démarche générale d’un test statistique.

1 — Poser l’hypothèse H0 que l’on souhaite tester.2 — Trouver un résultat de probabilité qui donne deux résultats différents selonqueH0 est vraieounon (dans le test d’adéquation, c’est le théorèmecentral limite).3 — Donner la stratégie de décision, en fonction du résultat énoncé.

Attention×

Et surtout comprendre que la décision est une décision en probabilité.OUI/NON avec bonne probabilité, et pas OUI/NON.

Le test de Kolmogorov-Smirnov. On souhaite répondre à la question suivante :les données que j’ai récoltées peuvent-elles être considérées comme distribuéesselon une loi de fonction de répartition F donnée? En général nous l’appliquonsà la fonction de répartition F d’une loi 𝒩(0,1). Pour rappel une variable aléatoireréelle 𝒩 suit une loi normale de paramètres 0 et 1 si :

∀𝑡 ∈R, P(𝒩 ⩽ 𝑡) = F𝒩(𝑡) =1

√2π× lim

X→−∞∫𝑡

X𝑒−

𝑡22 d𝑡.

On considère toujours X1,⋯,X𝑛 de même loi et indépendantes, et on cherche àtester si la loi est prochede celle d’une𝒩(0,1). OnnoteF la fonctionde répartitionde cette loi commune et dans la suite F𝑛 la fonction de répartition empirique dela loi commune de X1,⋯,X𝑛 :

∀𝑡 ∈R, F𝑛(𝑡) =1𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝟙{X𝑖⩽𝑡} proche de (d’après la loi faible des grands nombres)

FX(𝑡) = E (𝟙{X1⩽𝑡}) = P(X1 ⩽ 𝑡).



La quantité F𝑛(𝑡) est donc «proche de» la vraie fonction de répartition communeFX1 .En fait on a un peu mieux (théorème de Glivenco-Cantelli) : si les X𝑖 ont même loique celle de X, alors pour tout α > 0, il existe 𝑎KS

α tel que :

P(−𝑎KSα ⩽ √𝑛sup

𝑡∈R||F𝑛(𝑡)−FX(𝑡)|| ⩽ 𝑎KS

α ) 𝑛→∞−−−−→ 1−α.

Remarque 3.2— Comme dans le cas du TCL, les valeurs des 𝑎KSα sont connues

pour beaucoup de valeurs de α. On appelle ces valeurs la table de Kolmogorov.

Dans le cas contraire



α ) 𝑛→∞−−−−→ 0.

Résumé♥

1 — (But) Tester H0 «F = F𝒩 ».2 — (Résultat probabiliste qui fonde le test) si H0 «F = F𝒩 » est vraie,alors d’après le théorème précédent :



α ) 𝑛→∞−−−−→ 1−α.

Par exemple, pour des lois discrètes, nous pouvons facilement calculer√𝑛 sup𝑡∈R ||F𝑛(𝑡)−F𝒩(𝑡)|| en comparant les histogrammes.3 — (Décision) On rejette H0 si √𝑛 sup𝑡∈R ||F𝑛(𝑡)−F𝒩(𝑡)|| > 𝑎KS

α .

Remarque 3.3— On considère ce test comme fiable en général pour au moins30 mesures .

Le test du Chi-deux. Ce test permet de tester l’adéquationd’une série dedonnéesà une loi discrète de support fini. Pour des besoins sur ce test, venir me voir.

4. MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE

Si pour une raison ou une autre, vous avez des raisons de supposer que vos don-nées suivent sur une certaine loi ℒθ dépendant d’un paramètre θ (par exempleune loi de POISSON de paramètre θ), il existe une méthode permettant de trouverle paramètre qui colle le plus possible à vos relevés de mesure, venir me voir pource besoin.

5. TROUVER DES RELATIONS LINÉAIRES ENTRE PARAMÈTRES

Rappels sur la droite de régression. Si (𝑥𝑖,𝑦𝑖)1⩽𝑖⩽𝑛 avec 𝑛 ⩾ 1 est un nuage de 𝑛points et que l’on se pose la question de l’existence d’une droite passant au plusprès de ces points (au sens des «moindres carrés»), cela revient à minimiser cettefonctionnelle de deux variables :

F(𝑎,𝑏) =𝑛∑𝑖=1


où l’éventuel minimum trouvé (𝑎⋆,𝑏⋆) correspondra au couple coefficient direc-teur/ordonnée à l’origine de la droite dite des moindres carrés. Nous constateronscela dans le chapitre sur les fonctions à plusieurs variables, on peut montrer que(𝑥 et 𝑦 sont les moyennes des 𝑥𝑖 et 𝑦𝑖) :

𝑎⋆ = ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥)(𝑦𝑖 −𝑦)∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥)

, 𝑏⋆ = 𝑦−𝑎⋆𝑥.

On note

ε𝑖 = 𝑦𝑖 −(𝑎⋆𝑥𝑖 +𝑏⋆)

l’erreur commise en chacun des points par le modèle de régression (i.e. l’écartentre la droite de régression et le vrai point du nuage).



Le modèle aléatoire. Supposons que nous ayons mesuré deux séries de données𝑥1,⋯,𝑥𝑛 et 𝑦1,⋯,𝑦𝑛. Comme dans la partie précédente, on suppose que ce sontdes réalisations de deux vecteurs de variables aléatoires (X1,⋯,X𝑛) et (Y1,⋯,Y𝑛).On se pose la question suivante : est-ce qu’il existe 𝑎,𝑏 tels que Y𝑖 = 𝑎X𝑖 +𝑏 +ε𝑖avec ε𝑖 le plus petit possible?

1 — Un premier indicateur pour savoir si cela est pertinent est le calcul du coef-ficient de corrélation entre (𝑥1,⋯,𝑥𝑛) et (𝑦1,⋯,𝑦𝑛) :

ρ = ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥)(𝑦𝑖 −𝑦)

√∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥)√∑𝑛

𝑖=1(𝑦𝑖 −𝑦).

Si ce coefficient est proche de un, alors ce modèle risque d’être pertinent. En gé-néral, on considère qu’il est pertinent à partir de 0,9.2 — Dans ce cas, on forme ladroite desmoindres carrés (avecExcel par exemple) :

𝑎⋆ = ∑𝑛𝑖=1(X𝑖 −X𝑛)(Y𝑖 −Y𝑛)

∑𝑛𝑖=1(X𝑖 −X𝑛)

, 𝑏⋆ = Y𝑛 −𝑎⋆X𝑛.

3 — On définit l’incertitude du modèle par σ2 = Var (ε𝑖) = Var (Y𝑖 −(𝑎⋆X𝑖 +𝑏⋆)).On peut montrer que cette variance vaut Var (Y𝑖), que l’on estime en général avec

𝑠2𝑛 = ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 −(𝑎⋆X𝑖 +𝑏⋆))2

𝑛−2.

On peut montrer que 𝑠2 est un estimateur sans biais de σ2.4 — On mesure la qualité du modèle de régression avec la somme des carrés desε𝑖. Plus précisément, et c’est ce qu’Excel renvoie, on calcule :

R2 =∑𝑛𝑖=1 ((𝑎

⋆X𝑖 +𝑏⋆)−Y𝑛)2

∑𝑛𝑖=1 (Y𝑖 −Y𝑛)

2 = ∑𝑛𝑖=1 (ε𝑖)

2

∑𝑛𝑖=1 (Y𝑖 −Y𝑛)

2 .



Conseils de révision en Mathématiques & Informatique pour l’entrée enBCPST 2ème année

L’objectif de ce petit document est de proposerune liste de points importants du programme deBCPST1. Leur maîtrise vous permettra d’abordersereinement la seconde année. Profitez donc deces vacances, et entre deux châteaux de sable es-sayez de vous mettre à jour sur ces sujets.

Attention×

Une remarque importante : au concours A-ENV, une question de cours estintroduite à l’oral depuis 2018. Il vous est demandé de savoir énoncer trèsprécisémentdes théorèmes (i.e. avecuncadre et deshypothèses complètes).Il faut donc s’y entraîner dès maintenant.

6. GÉNÉRALITÉS

Revoir les calculs de sommes simples et doubles. Un bon entraînement serait derefaire entièrement les feuilles de TD associées.

7. RÉVISIONS D’ALGÈBRE

1 — Refaire des exemples de pivot de Gauß en petites dimensions sur des ma-trices simples, revoir notamment les exemples de vos feuilles de TD faisant inter-venir des paramètres le cas échéant (ce sera souvent le cas en 2ème année). Revoir

en particulier les opérations matricielles autorisées.2 — Revoir l’algèbre linéaire dans R𝑛 vue en première année : notions de famillelibre, génératrice, base, ce que l’on appelle la dimension d’un espace vectoriel dedimension finie. Nous commencerons par des chapitres d’Algèbre en Septembre.

8. RÉVISIONS D’ANALYSE

1 — Revoir les principaux théorèmes de convergence relatifs aux suites.2 — TERMINALPython Savoir tracer une suite numérique à l’aide de matplotlib.pyplot.3 — Revoir l’étude des suites récurrentes du type 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛) : leur étude gé-nérale est hors programme, mais il ne faut pas rester démuni(e) devant ces objets.Commentmontrer qu’une telle suite est bien définie? Sous quelles conditions est-elle monotone? Puis-je montrer qu’elle est bornée?4 — Revoir les principaux théorèmes d’analyse : théorème des valeurs intermé-diaires, de labijection (et savoir par conséquent justifier l’existenced’une (unique)solution à une équation), Rolle, accroissements finis, etc..

9. RÉVISIONS DE PROBABILITÉS & STATISTIQUES

1 — Lois discrètes classiques : définition (i.e. les P(X = 𝑘) et leur support X(Ω)),interprétation en terme d’expérience aléatoire, espérance, variance.2 — TERMINALPython Savoir les simuler à l’aide du module random (ou numpy).



10. ALGORITHMIQUE

1 — TERMINALPython Revoir les structures de données du programme (notamment les listeset chaînes de caractère, ainsi que leur manipulation).2 — TERMINALPython Connaître un tri (au moins) : savoir expliquer son fonctionnement surun exemple, et savoir le coder en Python.

11. ET POUR LE DÉBUT DE L’ANNÉE?

Nous commencerons par de l’Algèbre linéaire, donc renvoyez :

1 — les chapitres de 1ère année sur le sujet (espaces vectoriels, matrices et appli-cations linéaires),2 — les chapitres d’Analyse qui nous serviront :

Caret-right les équations différentielles linéaires,Caret-right les suites récurrentes (géométriques et linéaires d’ordre deux),Caret-right les polynômes.

/ Lycée Louis BARTHOU – Pau 9 BCPST2 ?? Creative-Commons

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