aide mémoire sur les nombres complexes -...
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Aide mémoire sur les nombres complexesl’essentiel des formules à connaître
jp SPRIET
2008
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Plan
Voici résumé l’essentiel des formules sur les nombrescomplexes.
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrie
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexeForme algébrique d’un nombre complexe
Partie réelle et imaginaire d’un complexeInterprétation géométrique de la forme algébrique
Forme trigonométrique d’un nombre complexeModule et argument d’un nombre complexeInterprétation géométrique de la forme trigonométrique
Forme exponentielle d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe 3 / 45
IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.
Dans cette écriture, est la partie réelle de z tandis que est lapartie imaginaire de z.
On note
et
Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :
z = z ′ ⇐⇒
Re(z) = Re(z ′)
Im(z) = Im(z ′)
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.
Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis que est lade z.
On note
et
Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :
z = z ′ ⇐⇒
Re(z) = Re(z ′)
Im(z) = Im(z ′)
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.
Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis que b estla partie imaginaire de z.
On note
et
Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :
z = z ′ ⇐⇒
Re(z) = Re(z ′)
Im(z) = Im(z ′)
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.
Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis que b estla partie imaginaire de z.
On note
a = Re(z) et b = Im(z)
Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :
z = z ′ ⇐⇒
Re(z) = Re(z ′)
Im(z) = Im(z ′)
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.
Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis que b estla partie imaginaire de z.
On note
a = Re(z) et b = Im(z)
Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :
z = z ′ ⇐⇒
Re(z) = Re(z ′)
Im(z) = Im(z ′)
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,
−→v ) du plan,
À tout nombre complexe z = a + ib on associe un unique pointM de coordonnées cartésiennes (a, b) qu’on appelle image ducomplexe z. On le note souvent M(z) ou M(z).
Réciproquement, à tout point M du plan de coordonnéescartésiennes (a, b), on associe un unique complexe z = a + ibqu’on note souvent zM , est appelé l’ affixe du point M.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,
−→v ) du plan,
À tout nombre complexe z = a + ib on associe un unique pointM de coordonnées cartésiennes (a, b) qu’on appelle image ducomplexe z. On le note souvent M(z) ou M(z).
Réciproquement, à tout point M du plan de coordonnéescartésiennes (a, b), on associe un unique complexe z = a + ibqu’on note souvent zM , est appelé l’ affixe du point M.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,
−→v ) du plan,
À tout nombre complexe z = a + ib on associe un unique pointM de coordonnées cartésiennes (a, b) qu’on appelle image ducomplexe z. On le note souvent M(z) ou M(z).
Réciproquement, à tout point M du plan de coordonnéescartésiennes (a, b), on associe un unique complexe z = a + ibqu’on note souvent zM , est appelé l’ affixe du point M.
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,
−→v ) du plan,
x
y
O
M(z)
Re(z)
Im(z)
⊕tout complexe z possède un uniquecouple
partie réelle / partie imaginaireRe(z) / Im(z)
tel que
z = Re(z) + iIm(z) = a + ib
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
x
Axe réel
yAxe imaginaire
O
M(z)
Re(z)
Im(z)
⊕z =Re(z)+iIm(z)
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle
module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =
√a2 + b2
argument de z l’ angle(−→u ;
−−→OM
)
, et on note
arg(z) = θ =(−→u ;
−−→OM
)
[2π], si z 6= 0.
|z| = OM(z)
arg(z) =(−→u ;
−−→OM
)
[2π]
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle
module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =
√a2 + b2
argument de z l’ angle(−→u ;
−−→OM
)
, et on note
arg(z) = θ =(−→u ;
−−→OM
)
[2π], si z 6= 0.
|z| = OM(z)
arg(z) =(−→u ;
−−→OM
)
[2π]
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle
module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =
√a2 + b2
argument de z l’ angle(−→u ;
−−→OM
)
, et on note
arg(z) = θ =(−→u ;
−−→OM
)
[2π], si z 6= 0.
|z| = OM(z)
arg(z) =(−→u ;
−−→OM
)
[2π]
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle
module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =
√a2 + b2
argument de z l’ angle(−→u ;
−−→OM
)
, et on note
arg(z) = θ =(−→u ;
−−→OM
)
[2π], si z 6= 0.
|z| = OM(z)
arg(z) =(−→u ;
−−→OM
)
[2π]
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle
module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =
√a2 + b2
argument de z l’ angle(−→u ;
−−→OM
)
, et on note
arg(z) = θ =(−→u ;
−−→OM
)
[2π], si z 6= 0.
|z| = OM(z)
arg(z) =(−→u ;
−−→OM
)
[2π]
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle
module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =
√a2 + b2
argument de z l’ angle(−→u ;
−−→OM
)
, et on note
arg(z) = θ =(−→u ;
−−→OM
)
[2π], si z 6= 0.
|z| = OM(z)
arg(z) =(−→u ;
−−→OM
)
[2π]
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
On a
Re(z) = a = r cos(θ)
Im(z) = b = r sin(θ)
et on a
z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
cette écriture s’appelle la forme trigonométrique du complexe z.
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
On a
Re(z) = a = r cos(θ)
Im(z) = b = r sin(θ)
et on a
z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
cette écriture s’appelle la forme trigonométrique du complexe z.
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
On a
Re(z) = a = r cos(θ)
Im(z) = b = r sin(θ)
et on a
z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
cette écriture s’appelle la forme trigonométrique du complexe z.
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,
−→v ) du plan,
x
y
O
M
|z|
⊕
θ
tout complexe z 6= 0 possède ununique couple
module / argument|z| / arg(z)
tel que
z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
avec
|z| = OM(z)
θ = arg(z) =(−→u ;
−−→OM
)
[2π]
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Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
x
y
O
M
|z|=
OM
⊕
θ = arg(z)
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
On définit eiθ = cos(θ) + i sin(θ)
On peut alors écrire un nombre complexe, mis sous formetrigonométrique, comme z = |z|eiθ. C’est ce qu’on appelle laforme exponentielle d’un nombre complexe.
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
On définit eiθ = cos(θ) + i sin(θ)
On peut alors écrire un nombre complexe, mis sous formetrigonométrique, comme z = |z|eiθ. C’est ce qu’on appelle laforme exponentielle d’un nombre complexe.
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Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
On a les valeurs remarquables suivantes :
e2iπ = 1 ei π
2 = i
eiπ = e−iπ = −1 e−i π
2 = ei 3π
2 = −i
et
ei π
6 =
√3
2+
12
i ei π
4 =
√2
2+
√2
2i ei π
3 =12
+
√3
2i
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Géométrie
Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle
x
y
O e2iπ = 1
ei π
2 = i
−1 = eiπ
e−i π
2 = −i
ei π
3
ei π
4
ei π
6
⊕
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Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexePasser de la forme trigonométrique à la forme algébriquePasser de la forme algébrique à la forme trigonométriquePasser de la forme exponentielle à la forme à trigonométrique
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrie15 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.
Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π
6alors
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(
7π
6
)
= cos(
π +π
6
)
= − cos(π
6
)
= −√
32
sin(
7π
6
)
= sin(
π +π
6
)
= − sin(π
6
)
= −12
de sorte que
z = 3(
cos(
7π
6
)
+ i sin(
7π
6
))
= 3
(
−√
32
− 12
i
)
=
−3√
32
− 32
i .
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trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.
Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π
6alors
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(
7π
6
)
= cos(
π +π
6
)
= − cos(π
6
)
= −√
32
sin(
7π
6
)
= sin(
π +π
6
)
= − sin(π
6
)
= −12
de sorte que
z = 3(
cos(
7π
6
)
+ i sin(
7π
6
))
= 3
(
−√
32
− 12
i
)
=
−3√
32
− 32
i .
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trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.
Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π
6alors
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(
7π
6
)
= cos(
π +π
6
)
= − cos(π
6
)
= −√
32
sin(
7π
6
)
= sin(
π +π
6
)
= − sin(π
6
)
= −12
de sorte que
z = 3(
cos(
7π
6
)
+ i sin(
7π
6
))
= 3
(
−√
32
− 12
i
)
=
−3√
32
− 32
i .
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trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.
Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π
6alors
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(
7π
6
)
= cos(
π +π
6
)
= − cos(π
6
)
= −√
32
sin(
7π
6
)
= sin(
π +π
6
)
= − sin(π
6
)
= −12
de sorte que
z = 3(
cos(
7π
6
)
+ i sin(
7π
6
))
= 3
(
−√
32
− 12
i
)
=
−3√
32
− 32
i .
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trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.
Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π
6alors
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(
7π
6
)
= cos(
π +π
6
)
= − cos(π
6
)
= −√
32
sin(
7π
6
)
= sin(
π +π
6
)
= − sin(π
6
)
= −12
de sorte que
z = 3(
cos(
7π
6
)
+ i sin(
7π
6
))
= 3
(
−√
32
− 12
i
)
=
−3√
32
− 32
i .
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trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.
Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π
6alors
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(
7π
6
)
= cos(
π +π
6
)
= − cos(π
6
)
= −√
32
sin(
7π
6
)
= sin(
π +π
6
)
= − sin(π
6
)
= −12
de sorte que
z = 3(
cos(
7π
6
)
+ i sin(
7π
6
))
= 3
(
−√
32
− 12
i
)
=
−3√
32
− 32
i .
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Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
∣
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cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
∣
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∣
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∣
∣
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∣
cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
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cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’unangle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
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cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
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∣
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∣
∣
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cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’unangle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
∣
∣
∣
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cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
∣
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∣
∣
∣
∣
∣
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cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’unangle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
∣
∣
∣
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∣
cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i
√3, alors on calcule
|z| =
√
12 +(
−√
3)2
=√
4 = 2 donc on peut écrire
z = 1 − i√
3 = 2
(
12− i
√3
2
)
Et on reconnaît les valeurs
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(π
3
)
=12
sin(π
3
)
=
√3
2
donc
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos(−π
3
)
=12
sin(−π
3
)
= −√
32
Donc z = 2(
cos(−π
3
)
+ i sin(−π
3
))
.
Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π
3[2π].
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
Attention ! Un module est toujours un nombre positif.Un argument est un angle qui n’est connu qu’à 2π près, et ondonne en général sa mesure principale, c’est à dire celle quiest comprise dans l’intervalle ] − π; π].
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
La forme exponentielle est totalement équivalente à la formetrigonométrique, c’est juste un changement de notation :
à la place dez = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
on écritz = |z|eiθ
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Géométrie
trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique
La forme exponentielle est totalement équivalente à la formetrigonométrique, c’est juste un changement de notation :
à la place dez = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
on écritz = |z|eiθ
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexesAdditionner et soustraireMultiplierCalculer un inverseDiviser
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrie 20 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Si z1 = a + ib et z2 = a′ + ib′ sont deux complexes alors
z1 + z2 = (a + a′) + i(b + b′)
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de somme :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i
Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de somme :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i
Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i
22 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de somme :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i
Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de somme :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i
Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de somme :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i
Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Si z1 = a + ib et z2 = a′ + ib′ sont deux complexes alors
z1 × z2 = (aa′ − bb′) + i(ab′ + ba′)
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de produit :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors
z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)
= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)
= (10 − 21) + i(15 + 14)
= − 11 + 29i
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de produit :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors
z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)
= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)
= (10 − 21) + i(15 + 14)
= − 11 + 29i
24 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de produit :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors
z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)
= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)
= (10 − 21) + i(15 + 14)
= − 11 + 29i
24 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de produit :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors
z1 × z2 = (2+3i) × (5+7i)
= (2 × 5−3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)
= (10 − 21) + i(15 + 14)
= − 11 + 29i
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de produit :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors
z1 × z2 = (2 + 3i) × (5+7i)
= (2 × 5 − 3 × 7) + i(2 × 7 + 3 × 5)
= (10 − 21) + i(15 + 14)
= − 11 + 29i
24 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de produit :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors
z1 × z2 = (2+3i) × (5 + 7i)
= (2 × 5 − 3 × 7) + i(2 × 7+3 × 5)
= (10 − 21) + i(15 + 14)
= − 11 + 29i
24 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de produit :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors
z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)
= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)
= (10 − 21) + i(15 + 14)
=
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de produit :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors
z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)
= (2 × 5 − 3 × 7)+i(3 × 5 + 2 × 7)
= (10 − 21)+i(15 + 14)
=
24 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul de produit :
Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors
z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)
= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)
= (10 − 21)+i(15 + 14)
= −11+29i
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additionnermultipliercalculer un inversediviser
Remarque : si z1 et z2 sont mis sous forme trigonométrique,alors le calcul d’un produit encore plus simple; en effet,
Si z1 = r1eiθ1 et z2 = r2eiθ2 alors
z1 = (r1 × r2) ei(θ1+θ2)
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
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Si z = a + ib est non nul alors
1z
=1
a2 + b2 (a − ib) =a
a2 + b2 + i−b
a2 + b2
plutôt que d’apprendre cette formule par coeur, il suffit d’utiliserla forme conjuguée : on multiplie au numérateur et audénominateur par le conjugué du complexe.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = 2 + 3i alors
1z
=1
2 + 3i=
2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)
=2 − 3i
22 + 32 =2 − 3i
13
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = 2 + 3i alors
on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué ducomplexe
1z
=1
2 + 3i=
2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)
=2 − 3i
22 + 32 =2 − 3i
13
27 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = 2 + 3i alors
on simplifie le dénominateur par l’utilisation de l’identitéremarquable
1z
=1
2 + 3i=
2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)
=2 − 3i
22 + 32 =2 − 3i
13
27 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = 2 + 3i alors
on calcule le dénominateur
1z
=1
2 + 3i=
2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)
=2 − 3i
22 + 32 =2 − 3i
13
27 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = 2 + 3i alors
on écrit la forme algébrique
1z
=1
2 + 3i=
2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)
=2 − 3i
22 + 32 =2 − 3i
13=
213
− 313
i
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = 2 − i alors1z
=1
2 − i=
2 + i(2 − i)(2 + i)
=2 + i
22 + 12 =2 + i
5=
25
+15
i .
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = 2 − i alors1z
=1
2 − i=
2 + i(2 − i)(2 + i)
=2 + i
22 + 12 =2 + i
5=
25
+15
i .
28 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = 2 − i alors1z
=1
2 − i=
2 + i(2 − i)(2 + i)
=2 + i
22 + 12 =2 + i
5=
25
+15
i .
28 / 45
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Exemple de calcul d’inverse :
Si z = 2 − i alors1z
=1
2 − i=
2 + i(2 − i)(2 + i)
=2 + i
22 + 12 =2 + i
5=
25
+15
i .
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additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = −5 + i alors1z
=1
−5 + i=
−5 − i(−5 + i)(−5 − i)
=−5 − i
(−5)2 + 12 =−5 − i
26=
−526
− 126
i .
29 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = −5 + i alors1z
=1
−5 + i=
−5 − i(−5 + i)(−5 − i)
=−5 − i
(−5)2 + 12 =−5 − i
26=
−526
− 126
i .
29 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = −5 + i alors1z
=1
−5 + i=
−5 − i(−5 + i)(−5 − i)
=−5 − i
(−5)2 + 12 =−5 − i
26=
−526
− 126
i .
29 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = −5 + i alors1z
=1
−5 + i=
−5 − i(−5 + i)(−5 − i)
=−5 − i
(−5)2 + 12 =−5 − i
26=
−526
− 126
i .
29 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = −3 − 2i alors1z
=1
−3 − 2i=
−3 + 2i(−3 − 2i)(−3 + 2i)
=−3 + 2i
(−3)2 + (−2)2 =
(−3 + 2i)13
=−313
+2
13i .
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = −3 − 2i alors1z
=1
−3 − 2i=
−3 + 2i(−3 − 2i)(−3 + 2i)
=−3 + 2i
(−3)2 + (−2)2 =
(−3 + 2i)13
=−313
+2
13i .
30 / 45
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = −3 − 2i alors1z
=1
−3 − 2i=
−3 + 2i(−3 − 2i)(−3 + 2i)
=−3 + 2i
(−3)2 + (−2)2 =
(−3 + 2i)13
=−313
+2
13i .
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Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Exemple de calcul d’inverse :
Si z = −3 − 2i alors1z
=1
−3 − 2i=
−3 + 2i(−3 − 2i)(−3 + 2i)
=−3 + 2i
(−3)2 + (−2)2 =
(−3 + 2i)13
=−313
+2
13i .
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Remarque : si z est mis sous forme trigonométrique alors lecalcul d’un inverse est encore plus simple; en effet,
Si z = reiθ est non nul alors
1z
=1r
e−iθ
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Si z = a + ib est non nul alors1z
=1
a2 + b2 (a − ib)
On peut alors définir une division "÷" comme étant la
multiplication par l’inverse : z1 ÷ z2 = z1 ×1z2
et se note aussi
z1
z2.
La division "÷" a aussi les mêmes propriétés que celle sur lesréels; par exemple (z1 + z2) ÷ z3 = z1 ÷ z3 + z2 ÷ z3, de sorte
que l’on peut écrire en "fractions" :z1 + z2
z3=
z1
z3+
z2
z3.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Si z = a + ib est non nul alors1z
=1
a2 + b2 (a − ib)
On peut alors définir une division "÷" comme étant la
multiplication par l’inverse : z1 ÷ z2 = z1 ×1z2
et se note aussi
z1
z2.
La division "÷" a aussi les mêmes propriétés que celle sur lesréels; par exemple (z1 + z2) ÷ z3 = z1 ÷ z3 + z2 ÷ z3, de sorte
que l’on peut écrire en "fractions" :z1 + z2
z3=
z1
z3+
z2
z3.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
additionnermultipliercalculer un inversediviser
Si z = a + ib est non nul alors1z
=1
a2 + b2 (a − ib)
On peut alors définir une division "÷" comme étant la
multiplication par l’inverse : z1 ÷ z2 = z1 ×1z2
et se note aussi
z1
z2.
La division "÷" a aussi les mêmes propriétés que celle sur lesréels; par exemple (z1 + z2) ÷ z3 = z1 ÷ z3 + z2 ÷ z3, de sorte
que l’on peut écrire en "fractions" :z1 + z2
z3=
z1
z3+
z2
z3.
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrie
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que
z = a − ib
Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .
Si z = 2i alors z = 2i = −2i .
Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .
Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que
z = a − ib
Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .
Si z = 2i alors z = 2i = −2i .
Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .
Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que
z = a − ib
Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .
Si z = 2i alors z = 2i = −2i .
Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .
Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que
z = a − ib
Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .
Si z = 2i alors z = 2i = −2i .
Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .
Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que
z = a − ib
Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .
Si z = 2i alors z = 2i = −2i .
Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .
Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45
IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que
z = a − ib
Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .
Si z = 2i alors z = 2i = −2i .
Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .
Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45
IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Pour tous complexes z1 et z2 on a
z1 + z2 = z1 + z2
z1 × z2 = z1 × z2
1z2
=1z2
z1
z2=
z1
z2
Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z
=1
a2 + b2 z.35 / 45
IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Pour tous complexes z1 et z2 on a
z1 + z2 = z1 + z2
z1 × z2 = z1 × z2
1z2
=1z2
z1
z2=
z1
z2
Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z
=1
a2 + b2 z.35 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Pour tous complexes z1 et z2 on a
z1 + z2 = z1 + z2
z1 × z2 = z1 × z2
1z2
=1z2
z1
z2=
z1
z2
Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z
=1
a2 + b2 z.35 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Pour tous complexes z1 et z2 on a
z1 + z2 = z1 + z2
z1 × z2 = z1 × z2
1z2
=1z2
z1
z2=
z1
z2
Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z
=1
a2 + b2 z.35 / 45
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Pour tous complexes z1 et z2 on a
z1 + z2 = z1 + z2
z1 × z2 = z1 × z2
1z2
=1z2
z1
z2=
z1
z2
Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z
=1
a2 + b2 z.35 / 45
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Géométrie
Pour tous complexes z1 et z2 on a
z1 + z2 = z1 + z2
z1 × z2 = z1 × z2
1z2
=1z2
z1
z2=
z1
z2
Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z
=1
a2 + b2 z.35 / 45
IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .
Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).
Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).
Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).
Si z =3 + i
−1 + 2ialors z =
3 + i−1 + 2i
=3 + i
−1 + 2i=
3 − i−1 − 2i
.
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Pour tout complexe z, on a
z + z = 2Re(z) et z − z = 2i Im(z)
Soit encore
Re(z) =z + z
2et Im(z) =
z − z2i
Remarque : attention de ne pas oublier le terme "i" dansl’expression z − z = 2i Im(z)
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Un nombre complexe z est réel ssi Im(z) = 0 ssi z = z.
Un nombre complexe z est imaginaire pur ssi Re(z) = 0 ssiz = −z.
Pour tout nombre complexe z on a z = z.
38 / 45
IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Un nombre complexe z est réel ssi Im(z) = 0 ssi z = z.
Un nombre complexe z est imaginaire pur ssi Re(z) = 0 ssiz = −z.
Pour tout nombre complexe z on a z = z.
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
Un nombre complexe z est réel ssi Im(z) = 0 ssi z = z.
Un nombre complexe z est imaginaire pur ssi Re(z) = 0 ssiz = −z.
Pour tout nombre complexe z on a z = z.
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrieinterprétation du module et d’un argumentTransformations du plan
TranslationRotationHomothétie
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
Si A, B, C et D sont quatre points distincts d’affixe respective a,b, c, d alors :
|zB − zA| = AB
arg(zB − zA) =(−→u ;
−→AB)
∣
∣
∣
∣
zA − zB
zC − zD
∣
∣
∣
∣
=BADC
arg(
zA − zB
zC − zD
)
=(−→
DC;−→BA)
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La translation de vecteur ~u correspond à l’addition de z~u :
T : P → PM 7→ T~u(M) = M ′
correspond géométriquement à
T~u(M) = M ′ équivaut à−−→MM ′ =
−→uet correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = z + z~u
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La translation de vecteur ~u correspond à l’addition de z~u :
T : P → PM 7→ T~u(M) = M ′
correspond géométriquement à
T~u(M) = M ′ équivaut à−−→MM ′ =
−→uet correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = z + z~u
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La translation de vecteur ~u correspond à l’addition de z~u :
T : P → PM 7→ T~u(M) = M ′
correspond géométriquement à
T~u(M) = M ′ équivaut à−−→MM ′ =
−→uet correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = z + z~u
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La translation de vecteur ~u correspond à l’addition de z~u :
T : P → PM 7→ T~u(M) = M ′
correspond géométriquement à
T~u(M) = M ′ équivaut à−−→MM ′ =
−→uet correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = z + z~u
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La rotation de centre O et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :
R(O;α) : P → PM 7→ R(O;α)(M) = M ′
correspond géométriquement à
si M 6= O, R(O;α)(M) = M ′ équivaut à
OM ′ = OM(−−→
OM;−−→OM ′
)
= α
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = eiα z
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La rotation de centre O et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :
R(O;α) : P → PM 7→ R(O;α)(M) = M ′
correspond géométriquement à
si M 6= O, R(O;α)(M) = M ′ équivaut à
OM ′ = OM(−−→
OM;−−→OM ′
)
= α
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = eiα z
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La rotation de centre O et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :
R(O;α) : P → PM 7→ R(O;α)(M) = M ′
correspond géométriquement à
si M 6= O, R(O;α)(M) = M ′ équivaut à
OM ′ = OM(−−→
OM;−−→OM ′
)
= α
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = eiα z
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IntroductionDifférentes formesChanger de forme
Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La rotation de centre O et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :
R(O;α) : P → PM 7→ R(O;α)(M) = M ′
correspond géométriquement à
si M 6= O, R(O;α)(M) = M ′ équivaut à
OM ′ = OM(−−→
OM;−−→OM ′
)
= α
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = eiα z
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :
R(Ω;α) : P → PM 7→ R(Ω;α)(M) = M ′
correspond géométriquement à
si M 6= Ω, R(Ω;α)(M) = M ′ équivaut à
ΩM ′ = ΩM(−−→ΩM;
−−→ΩM ′
)
= α
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = eiα (z − ω)
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :
R(Ω;α) : P → PM 7→ R(Ω;α)(M) = M ′
correspond géométriquement à
si M 6= Ω, R(Ω;α)(M) = M ′ équivaut à
ΩM ′ = ΩM(−−→ΩM;
−−→ΩM ′
)
= α
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = eiα (z − ω)
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Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :
R(Ω;α) : P → PM 7→ R(Ω;α)(M) = M ′
correspond géométriquement à
si M 6= Ω, R(Ω;α)(M) = M ′ équivaut à
ΩM ′ = ΩM(−−→ΩM;
−−→ΩM ′
)
= α
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = eiα (z − ω)
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Géométrie
module et argumenttransformations du plan
La rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :
R(Ω;α) : P → PM 7→ R(Ω;α)(M) = M ′
correspond géométriquement à
si M 6= Ω, R(Ω;α)(M) = M ′ équivaut à
ΩM ′ = ΩM(−−→ΩM;
−−→ΩM ′
)
= α
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = eiα (z − ω)
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Calculs sur les complexesConjugué
Géométrie
module et argumenttransformations du plan
L’homothétie de centre O et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :
h(O;k) : P → PM 7→ h(O;k)(M) = M ′
correspond géométriquement à
h(O;k)(M) = M ′ équivaut à−−→OM ′ = k
−−→OM
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = k z
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L’homothétie de centre O et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :
h(O;k) : P → PM 7→ h(O;k)(M) = M ′
correspond géométriquement à
h(O;k)(M) = M ′ équivaut à−−→OM ′ = k
−−→OM
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = k z
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Géométrie
module et argumenttransformations du plan
L’homothétie de centre O et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :
h(O;k) : P → PM 7→ h(O;k)(M) = M ′
correspond géométriquement à
h(O;k)(M) = M ′ équivaut à−−→OM ′ = k
−−→OM
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ = k z
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module et argumenttransformations du plan
L’homothétie de centre Ω et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :
h(Ω;k) : P → PM 7→ h(Ω;k)(M) = M ′
correspond géométriquement à
h(Ω;k)(M) = M ′ équivaut à−−→ΩM ′ = k
−−→ΩM
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = k (z − ω)
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module et argumenttransformations du plan
L’homothétie de centre Ω et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :
h(Ω;k) : P → PM 7→ h(Ω;k)(M) = M ′
correspond géométriquement à
h(Ω;k)(M) = M ′ équivaut à−−→ΩM ′ = k
−−→ΩM
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = k (z − ω)
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L’homothétie de centre Ω et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :
h(Ω;k) : P → PM 7→ h(Ω;k)(M) = M ′
correspond géométriquement à
h(Ω;k)(M) = M ′ équivaut à−−→ΩM ′ = k
−−→ΩM
et correspond à la fonction
f : C → C
z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = k (z − ω)
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