aero 2006 supersonic

Table des matières

1 Ecoulements 1-D 51.1 Vitesse du son et nombre de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Phénoménologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Expression de la vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Définition du nombre de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Onde de choc 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Grandeurs soniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Relation de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Explication phénoménologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Relations de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Grandeurs d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Ecoulements bidimensionnels 232.1 Chocs obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Relations de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4 Interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Choc faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Relation θ − β −M du choc faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3 Relations de choc faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Compression supersonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Détente supersonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.2 Fonction de Prandtl-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Calcul de forces aérodynamiques 393.1 Calcul exact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Calcul approché : cas des profils minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Expression du coefficient de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Expression de la portance et de la traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Optimisation des performances aérodynamiques d’un profil d’aile . . . . . . . . . . . . 443.4 Simulation numérique de l’écoulement sur un profil losangique . . . . . . . . . . . . . 52

1

4 Ecoulements dans les tuyères 574.1 Relations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Relation section-vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Analyse de l’écoulement isentropique dans une tuyère . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Analyse des différents régimes d’écoulement d’une tuyère . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.1 Ecoulement isentropique dans une tuyère convergente-divergente . . . . . . . . 684.5.2 Ecoulement dans une tuyère amorcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5.3 Ecoulement dans un divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6 Statoréacteur à combustion supersonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Problèmes 775.1 Choc droit / choc oblique et pression d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Ecoulement à grand Mach sur une rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Etude d’un dispositif plaque / volet en régime supersonique . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Etude de la poussée d’un moteur-fusée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 Relation section critique / pression totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.6 Calcul de la position d’un choc dans une tuyère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.7 Description d’un écoulement en sortie de tuyère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6 Annexe 93

Introduction

Le premier vol supersonique - officiellement reconnu comme tel - remonte au 14 octobre 1947. Cejour-là, le Bell XS1 piloté par Chuck Yeager atteignait M = 1.06 et ouvrait la voie à un nouveau ré-gime de vol, dans lequel les ondes de choc dominent l’écoulement. A M = 1.06, l’avion profilé commeune balle de fusil créait un arc de choc en amont de son nez, détaché du fuselage ; un peu plus tardl’année suivante, le même pilote dans le même avion atteignait M = 1.45. Dans cette configurationde vol, un choc oblique attaché au nez de l’avion se formait (voir figure 1 ci-dessous).

M=1.45M=1.06

Fig. 1 – Exemples de structures de choc dans un écoulement en régime supersonique.

Voici donc 2 exemples d’écoulements supersoniques. Le présent cours vise à vous donner les connais-sances nécessaires pour comprendre les caractéristiques essentielles de ce type d’écoulements. Pource faire, nous allons adopter la démarche suivante :• dans un premier temps, nous allons étudier le phénomène d’onde de choc 1-D afin de cerner préci-sément ses caractéristiques.• nous nous intéresserons ensuite à des écoulements externes 2-D et nous parlerons d’ondes de chocobliques en nous appuyant sur l’étude 1-D ainsi que d’ondes de détente supersoniques. Nous mon-trerons comment, en combinant simplement chocs et détentes, on peut évaluer quantitativement lesperformances aérodynamiques de profils.• enfin, nous concluerons ce chapitre en traitant le cas d’écoulements internes dans des tuyères.Des éléments de simulation numérique d’écoulements supersoniques externes sont également donnés ;des notes complémentaires, notamment sur la simulation numérique d’écoulements internes, serontdistribuées lors de la dernière séance du cours.

3

4 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Ecoulements 1-D

1.1 Vitesse du son et nombre de Mach

1.1.1 Phénoménologie

Considérons l’air ambiant. Il est formé de molécules en mouvement.Supposons maintenant que nous introduisions une petite perturbation dans ce milieu sous forme d’unapport ponctuel d’énergie.Cette énergie est absorbée par les molécules voisines de la source qui se déplacent alors avec unevitesse accrue ; ces molécules un peu plus rapides interagissent avec des molécules plus éloignées dela source de perturbation initiale et modifient leur vitesse ; le phénomène se reproduit de place enplace, l’énergie produite initialement étant ainsi transmise à travers l’espace.Cette onde d’énergie se déplace à une vitesse que l’on peut naturellement relier à la vitesse molécu-laire : une telle aproche relève de la cinétique des gaz.Dans ce cours, nous choisissons une approche plus macrocospique en nous intéressant aux effets decette onde. Il est clair que la variation d’énergie qu’elle crée entraîne également une variation de lapression, de la densité, de la température du milieu de propagation ; ces variations restent faibles dansla mesure où l’apport d’énergie est une perturbation (il ne s’agit pas d’un pic d’énergie correspondantpar exemple à une explosion).Si un observateur se place dans ce milieu de propagation, son oreille percevra en particulier la faiblevariation de pression sous la forme d’un son, d’où le nom d’onde sonore ou acoustique pris par cetteonde faible et de vitesse du son pour sa vitesse de propagation.

1.1.2 Expression de la vitesse du son

Notons a cette vitesse du son et cherchons à la relier aux propriétés locales du fluide : pression p,masse volumique ρ et température T .Dans un repère absolu la situation est illustrée sur la figure 1.1 (a).Plaçons-nous maintenant dans un repère relatif à l’onde : l’écoulement en avant de celle-ci se dirigealors vers elle à une vitesse a et nous supposons que l’état uniforme de l’air dans cette région estcaractérisé par p, ρ, T (cf. Fig. 1.1 (b)).A travers l’onde, de faibles variations se produisent de sorte que l’état derrière l’onde est caractérisépar ρ + dρ, T + dT , p + dp, a + da où les d· sont des variations infinitésimales. Dans ce repère local,l’ensemble de l’écoulement peut être considéré comme stationnaire.

5

6 CHAPITRE 1. ECOULEMENTS 1-D

(a)

onde acoustique

a

p + dpρ + dρ

T + dT

(b)

a + daapρT

Fig. 1.1 – Propagation d’une onde acoustique. (a) En repère absolu. (b) Dans un repère lié à l’onde.

Dans ce chapitre on considère l’air comme un fluide idéal (fluide non visqueux, non conducteur de lachaleur). L’écoulement ci-dessus peut donc être décrit par les équations d’Euler ; la forme intégralede ces équations a été établie dans le premier chapitre de ce cours. Dans le cas d’un écoulementstationnaire, les relations - rappelées dans le cours introductif consacré aux équations modélisant lesécoulements de fluides compressibles - pour traduire la conservation de la masse, de la quantité demouvement et de l’énergie s’écrivent respectivement 1 :

∫

SρV · ndS = 0

∫

SρV (V · n)dS =

∫

S−pndS

∫

SρE(V · n)dS = −

∫

Sp(V · n)dS

où n désigne la normale unitaire extérieure à la surface de contrôle S.En appliquant ces équations au volume de contrôle indiqué sur la figure 1.2, on obtient de façonimmédiate les équations qui régissent l’écoulement d’un fluide idéal :

ρ1u1 = ρ2u2

ρ1u21 + p1 = ρ2u

22 + p2

ρ1u1H1 = ρ2u2H2

(1.1)

où on rappelle que l’enthalpie totale H est définie par H = E + p/ρ.

Appliquons maintenant ces équations aux 2 états de part et d’autre de notre onde acoustique : u1 = a,ρ1 = ρ et p1 = p d’une part, u2 = a + da, ρ2 = ρ + dρ et p2 = p + dp d’autre part.Après injection dans les deux premières relations de (1.1) et en négligeant les termes d’ordre deux(du type d · ×d·) on trouve (voir l’exercice proposé en fin de section pour plus de détails) :

a2 =dp

dρ

1Dans le cas d’un écoulement d’air, on peut en général négliger les forces gravitationnelles devant les forces depression

1.1. VITESSE DU SON ET NOMBRE DE MACH 7

p2u2 2u1 p1 ρ1 ρ

Fig. 1.2 – Volume de contrôle dans le cas d’un écoulement stationnaire formé de deux états constants.

En fait, les variations des propriétés du fluide étant supposées faibles, le passage de l’état 1 à l’état2 peut être considéré comme réversible ; le phénomène étant en outre adiabatique (il n’y a pas detransfert de chaleur puisque le modèle retenu est celui d’un fluide idéal) le passage de l’onde acoustiquepeut être considéré comme isentropique. Donc :

a2 = (∂p

∂ρ)S

où (·)S signifie que la variation est évaluée à entropie constante ; on a vu précédemment que pour ungaz parfait s = cste équivaut à

p

ργ= cste. Donc :

a =

√γp

ρ(1.2)

ou aussi, compte tenu de la loi d’état thermique retenue pour l’air (p = ρrT ) :

a =√

γrT (1.3)

Remarque : au niveau de la mer T ≈ 293K, r = 287J/kg −K et γ = 1.4 donc a ≈ 340m/s.

1.1.3 Définition du nombre de Mach

On peut maintenant définir une grandeur physique importante, le nombre de Mach, rapport de lavitesse locale de l’écoulement et de la vitesse du son au même point :

M =u

a

Les différents régimes d’écoulements liés à cette définition sont : pour M < 1, régime subsonique ; pourM > 1, régime supersonique. Le nombre de Mach est le paramètre de similitude essentiel des écoule-ments compressibles. Pour reproduire en soufflerie, à température ambiante (T ≈ 300K), un écoule-ment à nombre de Mach égal à 2, il faut mettre l’air en mouvement à la vitesse U∞ ≈ 2×340 = 680 m/ssoit environ 2500 km/h. En fait, on peut atteindre le même nombre de Mach pour une vitesse moinsélevée en diminuant la vitesse du son de l’écoulement ; cette diminution de la vitesse du son peutêtre obtenue en abaissant la température T . Ainsi, à une température de −150 degrés Celsius, soitT = 123 K, la vitesse du son vaut a =

√γrT = 222 m/s et par conséquent un nombre de Mach

égal à 2 peut être atteint pour une vitesse d’écoulement de seulement U∞ ≈ 444 m/s soit environ1600 km/h. Cette idée est mise en application dans les souffleries cryogéniques (où l’abaissement dela température a aussi une incidence sur la viscosité du fluide et donc sur la valeur du nombre de Rey-nolds, paramètre de similitude essentiel pour les écoulements de fluide visqueux) ; elle a également été


utilisée en 1947 pour atteindre un régime d’écoulement supersonique avec une poussée limitée puisquele vol du Bell-XS1 s’est effectué à très haute altitude. Un exemple de soufflerie cryogénique est lasoufflerie transsonique dite T2 de l’ONERA à Toulouse (voir le site http ://www.onera.fr/dmae/t2/). L’injection d’azote liquide permet d’y atteindre une température minimale de l’ordre de 100 K.

Exercice : Calcul de la vitesse du son • Etablir la relation a2 =dp

dρ.

¤ On part des équations d’Euler entre deux états, indicés 1 et 2 :

ρ1u1 = ρ2u2

ρ1u21 + p1 = ρ2u

22 + p2

ρ1u1H1 = ρ2u2H2

L’état 1 est choisi comme l’état de référence u1 = a, ρ1 = ρ et p1 = p, l’état 2 comme l’état perturbépar le passage de l’onde acoustique : u2 = a + da, ρ2 = ρ + dρ et p2 = p + dp. En injectant cesquantités dans la relation qui exprime la conservation de la masse, on obtient :

ρa = ρa + ρda + adρ + T.O.S

où T.O.S. désigne les termes d’ordre supérieur à l’ordre 1 (ici le produit du · dρ), que l’on néglige. Larelation ci-dessus peut donc se réécrire : ρda + adρ = 0. En procédant similairement, la conservationde la quantité de mouvement nous donne :

2ρada + a2dρ + dp = 0

En remplaçant alors dans la relation ci-dessus ρda par −adρ, on obtient immédiatement :

a2 =dp

dρ¤

1.2 Onde de choc 1-D

1.2.1 Position du problème

Nous nous intéressons à présent au cas d’un écoulement dans lequel on a une brusque variation finiedes propriétés du fluide à la traversée de l’onde ; on parle alors d’onde de discontinuité ou d’onde dechoc.Nous supposons donc une configuration de la forme indiquée sur la figure 1.3.Nous nous plaçons dans le cas où l’état 1 est connu et nous cherchons à évaluer l’état 2 derrière lechoc. Les équations d’Euler 1-D stationnaires s’appliquent : avec 3 inconnues, par exemple ρ2, u2 etp2, pour 3 équations, on peut résoudre le système (1.1) et trouver les (·)2 en fonction des (·)1.Cependant, d’un point de vue physique, il est plus fructueux de procéder différemment en utilisantdes variables bien choisies.

1.2. ONDE DE CHOC 1-D 9

p1u1ρ 21

Etat 2Etat 1

1T M2ρ1a1M u 2a2T2p2

Fig. 1.3 – Discontinuité des propriétés d’un fluide à la traversée d’une onde de choc.

1.2.2 Grandeurs soniques

Considérons un élément de fluide caractérisé par ρ, p, T , a, M . . . et imaginons que nous l’amenonsadiabatiquement à l’état sonique M = 1 (le fait que le processus soit adiabatique, i.e. se fasse sanséchange de chaleur ne pose pas de problème en fluide parfait). Dans ce nouvel état virtuel, le fluideest caractérisé par des propriétés p∗, ρ∗, T∗, a∗ =

√γrT∗ ; on définit aussi un nombre de Mach dit

nombre de Mach caractéristique tel queM∗ =

u

a∗(1.4)

Note : il est inutile de définir un “Mach sonique” puisque par définition le nombre de Mach à l’étatsonique vaut 1. On affecte donc la notation M∗ à la quantité u/a∗.

Les variables soniques peuvent être calculées en fonction des variables réelles u, p, T , ρ, a . . . que l’onqualifie de statiques (p : pression statique, T : température statique) - par référence au fait qu’ellescorrespondent à l’état en lequel on se trouve (stare en latin) -. Ce calcul s’effectue tout simplementen appliquant les équations d’Euler (1.1) entre l’état réel du fluide et l’état sonique.On va s’intéresser ici uniquement au calcul de la vitesse du son à l’état sonique afin d’en déduire uneexpression pour le nombre de Mach caractéristique.La conservation de l’énergie entre deux états donnés du fluide nous donne :

ρ1u1H1 = ρ2u2H2

soit, compte tenu de la conservation de la masse ρ1u1 = ρ2u2,

H1 = H2

Autrement dit, H = cste dans l’écoulement. La constante dans cette relation peut en particulier êtredéterminée en choisissant l’état sonique comme état de référence . On a alors :

H = H∗

En revenant à la définition de l’enthalpie, on peut exprimer H en fonction de la vitesse et de la vitessedu son a :

H = E +p

ρ=

γ

γ − 1

p

ρ+

u2

2=

a2

(γ − 1)+

u2

2

La conservation de l’enthalpie peut donc aussi s’écrire :

a2

(γ − 1)+

u2

2=

a2∗

(γ − 1)+

u2∗2

et comme u∗ = a∗ par définition de l’état sonique on a finalement :

a2 =γ + 1

2a2∗ −

γ − 1

2u2 ou a2

∗ =2

γ + 1a2 +

γ − 1

γ + 1u2 (1.5)


Remarque : a∗ est calculable par (1.5) en tout point d’un écoulement même si celui-ci n’est pas réel-lement adiabatique : l’état sonique, même virtuel, peut toujours servir d’état de référence.

En divisant (1.5) par u2 on obtient :

M2 =2

[γ + 1

M2∗]− (γ − 1)

ou bien M2∗ =

(γ + 1)M2

2 + (γ − 1)M2(1.6)

On remarque que si M∗ = 1 alors M = 1, et de même, si M∗ < 1 alors M < 1, et si M∗ > 1 alorsM > 1.

1.2.3 Relation de Prandtl

Refermons maintenant cette parenthèse sonique et revenons à notre problème d’onde de choc, i.e. àla résolution de (1.1) pour trouver l’état 2 en fonction de l’état 1.En partant de l’équation de conservation de la quantité de mouvement :

ρ1u21 + p1 = ρ2u

22 + p2

puis en faisant apparaître la vitesse du son grâce à a2 = γp/ρ et en exprimant respectivement a1 enfonction de u1 et a∗ et a2 en fonction de u2 et a∗, on obtient la relation dite de Prandtl (voir l’exerciceproposé ci-dessous pour le détail de la démonstration de cette relation) :

a2∗ = u1u2 (1.7)

que l’on peut aussi écrire, en tenant compte de la définition du nombre de Mach caractéristique :

(M∗)2 =1

(M∗)1

(1.8)

Cette relation est pleine d’intérêt puisqu’elle nous dit que si (M∗)1 > 1 alors (M∗)2 < 1 et similaire-ment, si (M∗)1 < 1 alors (M∗)2 > 1. Comme on sait de plus que le Mach réel varie comme le Machcaractéristique (cf. b)), ceci est également vrai pour M1 et M2.On a donc 2 cas de figures possibles a priori, illustrés sur la figure 1.4 ci-dessous. Seul le premier casde figure est physiquement possible, comme nous allons l’expliquer dans le paragraphe qui suit.

ou

M > 1< 1 2M1M < 12M> 11

Fig. 1.4 – Configurations de l’écoulement a priori possibles de part et d’autre d’une onde de choc.

1.2. ONDE DE CHOC 1-D 11

Exercice : Relation de Prandtl • Etablir, à partir des équations d’Euler entre les états 1 et 2de part et d’autre d’une discontinuité, la relation de Prandtl :

a2∗ = u1u2

¤ On part de l’équation de la quantité de mouvement :

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u

22

Puisque l’on veut établir une relation qui fait intervenir la vitesse du son a, on exprime la pression àl’aide de la définition de la vitesse du son : a2 = γp/ρ. On en tire donc :

ρ1u1(u1 +a2

1

γu1

) = ρ2u2(u2 +a2

2

γu2

)

qui peut naturellement se simplifier en tenant compte de la conservation de la masse ρ1u1 = ρ2u2.On introduit alors la vitesse du son à l’état sonique associé aux états statiques 1 et 2 ; elle vérifie :

a2 =γ + 1

2a2∗ −

γ − 1

2u2

où (a, u) peuvent être pris dans l’état 1 ou 2.On en déduit :

γ + 1

2γ(u1 +

a2∗

u1

) =γ + 1

2γ(u2 +

a2∗

u2

)

Cette relation peut se réécrire :a2∗(u2 − u1) = (u2 − u1)u1u2

et comme u1 6= u2 (si on avait u1 = u2 il n’y aurait pas de choc), on en déduit la relation de Prandtl. ¤

1.2.4 Explication phénoménologique

Imaginons un obstacle placé dans un écoulement subsonique (cf. Fig. 1.5(a)). Si on reprend notreexplication initiale sur l’onde acoustique, on imagine bien ce qui se passe : les premières particulesde fluide qui rencontrent l’obstacle voient leur vitesse modifiée ; cette modification/perturbation esttransmise de façon isotrope dans tout le fluide en particulier vers l’amont ; comme la vitesse de cetteinformation, la vitesse du son, est supérieure à celle de l’écoulement l’information peut “remonter” etainsi le fluide est “prévenu” de la présence de l’obstacle de sorte que les lignes de courant sont de laforme indiquée sur la figure 1.5(b).

Supposons maintenant l’écoulement supersonique. Puisque a∞ < u∞, les ondes acoustiques infor-mant l’écoulement en amont de la présence de l’obstacle ne peuvent pas remonter l’écoulement ; ellestendent alors à former une onde de choc légèrement en amont de l’obstacle : devant l’onde de choc,l’écoulement est uniforme avec les conditions à l’infini amont, derrière, il est subsonique (pas forcé-ment partout comme on le verra ultérieurement, mais en tout cas là où le choc est à peu près 1-D oudroit) et on retrouve le phénomène de contournement précédent (cf. Fig. 1.6).

Dans le cas de l’écoulement 1-D, nous “sentons” donc que le seul cas possible d’onde de choc 1-D est :M1 > 1, M2 < 1. Le second principe de la thermodynamique est la raison profonde qui justifie que


M < 1

(b)(a)

Fig. 1.5 – Obstacle placé dans un écoulement subsonique.

choc

M<1M>1

Fig. 1.6 – Obstacle placé dans un écoulement supersonique.

cette configuration est bien la seule qui soit physiquement possible : seul le cas M1 > 1 est compatibleavec un accroissement de l’entropie à la traversée du choc. On montrera ce résultat ultérieurement,une fois établies les relations de saut qui permettent d’évaluer le rapport entre les valeurs prises parune grandeur physique de part et d’autre du choc en fonction du nombre de Mach de l’écoulementen amont du choc.

1.3 Relations de choc

D’un point de vue quantitatif maintenant, la relation entre M2 et M1 est obtenue très facilement,à partir de (1.6) et (1.8) ((1.6) donne la relation entre M∗ et M , (1.8) entre (M∗)1 et (M∗)2) ; ontrouve :

M22 =

1 + (γ − 1

2)M2

1

γM21 − (

γ − 1

2)

(1.9)

Ces relations dites de choc droit sont bien sûr tabulées et on a par exemple : M1 = 2 ⇒ M2 ≈ 0.577.Le nombre de Mach amont M1 est un paramètre extrêmement intéressant pour exprimer les rapportsdes grandeurs physiques de part et d’autre du choc (et être donc en mesure de calculer l’état 2 enfonction de l’état 1).

1.3. RELATIONS DE CHOC 13

Ainsi, l’équation de conservation de la masse nous donne :

ρ1u1 = ρ2u2

qui peut se réécrireρ2

ρ1

=u1

u2

=u2

1

u1u2

=u2

1

a2∗= (M∗)2

1

En utilisant alors (1.6) on a :u1

u2

=ρ2

ρ1

=(γ + 1)M2

1

2 + (γ − 1)M21

(1.10)

Cette quantité est plus grande que 1, donc la densité augmente à la traversée du choc tandis que lavitesse diminue.Le rapport des pressions de part et d’autre du choc est obtenu à partir de l’équation qui dans(1.1) traduit la conservation de la quantité de mouvement. On obtient après calcul (voir l’exerciceci-dessous pour les détails de calcul) :

p2

p1

= 1 +2γ

γ + 1(M2

1 − 1) (1.11)

Cette quantité est plus grande que 1 donc la pression augmente à la traversée d’un choc : le choccomprime l’écoulement. Enfin, le rapport des températures est obtenu grâce à la loi d’état thermique :p = ρrT . La température augmente à la traversée d’un choc.

Remarque : Il est intéressant d’examiner les limites des relations de saut qui viennent d’être éta-blies. Lorsque M1 tend vers 1, on constate de façon immédiate que tous les rapports de la forme(·)2/(·)1 tendent vers 1 : il n’y a plus de discontinuité dans l’écoulement, le choc est dit évanescent. Al’opposé, lorsque M1 →∞, on constate que les sauts de pression et de température tendent eux-aussivers l’infini alors que le saut de masse volumique tend vers γ−1

γ+1soit 6 lorsque γ = 1.4 et le nombre de

Mach M2 en aval du choc tend vers la valeur limite√

γ−12γ

soit 0.378 pour γ = 1.4. Si on se place parexemple sur un point de la trajectoire de rentrée dans l’atmosphère d’un véhicule hypersonique, onpeut se trouver typiquement en présence d’un écoulement incident à M1 = M∞ = 20 et T∞ = 280 K.Si on applique directement les formules ci-dessus on trouve comme température derrière la portion"droite" de l’arc de choc qui se forme devant le nez de ce véhicule T2 ≈ 22000 K ! Fort heureusementcette valeur n’est jamais atteinte en pratique (on ne saurait pas fabriquer des protections thermiquesefficaces à de telles températures) car en écoulement hypersonique l’hypothèse initiale de gaz calo-riquement parfait n’est plus valable et les effets dits de gaz réel qui se produisent alors tendent à"pomper" de l’énergie et à abaisser notablement la température au nez du véhicule.

Exercice : Saut de pression à travers un choc 1-D • Montrer que le saut de pression à traversun choc 1-D est donné par (11) :

p2

p1

= 1 +2γ

γ + 1(M2

1 − 1)

¤ La conservation de la quantité de mouvement entre l’état 1 et l’état 2 de part et d’autre du chocs’écrit :

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u

22


soitp2 − p1

p1

=1

p1

(ρ1u21 − ρ2u

22)

doncp2

p1

= 1 +ρ1u

21

p1

(1− u2

u1

)

On utilise alors d’une part la relation (10) qui donne u2/u1 en fonction de M21 :

u2

u1

=2 + (γ − 1)M2

1

(γ + 1)M21

et d’autre partρ1u

21

p1

= γu2

1

a21

= γM21

On en tire :p2

p1

= 1 + γM21 (

(γ + 1)M21 − 2− (γ − 1)M2

1

(γ + 1)M21

)

d’où, après simplification, la relation attendue. ¤

1.3.1 Grandeurs d’arrêt

Considérons un élément de fluide de propriétés statiques u, p, T et imaginons que nous amenions cetélément à l’arrêt de façon isentropique : la température et la pression - virtuelles - de cet élémentsont appelées température et pression totales (ou d’arrêt) et notées dans ce cours T0, p0 (elles sontparfois notées pi, Ti dans la littérature).Dans le cas du problème de l’onde de choc, nous nous trouvons dans la configuration indiquée sur lafigure 1.7.

T (u=0)

S p T

p01 1

Grandeurs statiques :

S

M

2

0 02 2

2

Grandeurs d’arrêt associées

(évolution isentropique)

2 2 2

0

Etat 1 Etat 2


S

p T

1 1 1 1

1

M

(u=0)

Grandeurs d’arrêt associées

(évolution isentropique)

S p T

Fig. 1.7 – Grandeurs statiques et totales de part et d’autre d’une onde de choc.

Pour déterminer ces grandeurs d’arrêt en fonction des grandeurs statiques (ou réelles) on utilise ànouveau les équations d’Euler (1.1) entre ces deux états. On a donc pour la conservation de l’énergie :

H = H0


La particularité de l’enthalpie d’arrêt est que, par définition de l’état d’arrêt en lequel la vitesse del’écoulement est nulle, elle ne dépend en fait que de la température à l’état d’arrêt T0. Par conséquentdire que l’enthalpie d’arrêt est une constante de l’écoulement adiabatique d’un fluide parfait estéquivalent à dire que la température d’arrêt est une constante de cet écoulement. En utilisant ladéfinition de l’enthalpie, on déduit de la relation ci-dessus l’égalité suivante :

CpT +u2

2= CpT0 (1.12)

qui peut aussi se mettre sous la forme d’une relation entre température statique en un point del’écoulement et nombre de Mach en ce même point, faisant également intervenir la températured’arrêt ou température totale constante dans cet écoulement :

T0

T= 1 +

γ − 1

2M2 (1.13)

Insistons sur le fait que cette importante relation est valable dans tout écoulement adiabatique, doncy compris dans un écoulement avec génération d’entropie du moment qu’il n’y a pas échange de cha-leur. Ainsi, dans le cas qui nous intéresse ici d’un écoulement présentant une onde de choc à traverslaquelle l’entropie augmente, la température totale T0 reste constante à travers cette onde de choc,soit (T0)1 = (T0)2 où (T0)1 (respectivement (T0)2) désigne la température totale constante associée àl’écoulement isentropique en amont (respectivement en aval) de l’onde de choc.

Exercice : Utilisation de la notion de température d’arrêt • Déterminer une approximationde la température au nez du missile en vol supersonique représenté ci-dessous.

choc ‘‘1D’’

T inf

Niveau

=2infM

de la mer

Missile

Fig. 1.8 – Missile en vol au ras de l’eau.

¤ Le nez du missile étant un point d’arrêt de l’écoulement, la température au nez Tnez est latempérature totale associée à l’état 2, derrière le choc détaché, T02, elle-même égale à la températuretotale associée à l’état 1 en amont du choc, T01, puisque la température totale se conserve à traversune onde de choc, et T01 est connue en fonction de T∞ et M∞ par la relation (13) du cours. On adonc :

Tnez = T02 = T01 = (1 +γ − 1

2M2∞)T∞

On suppose la température au niveau de la mer égale à environ 300K, d’où Tnez = 540K soitTnez ≈ 270C. ¤


Pour définir la pression et la densité totale (ou d’arrêt) l’hypothèse d’isentropie est indispensable.Comme on l’a vu dans la partie du cours consacrée aux rappels sur les équations permettant demodéliser les écoulements de fluide compressible, un écoulement isentropique de gaz parfait est telque :

p

ργ= cste

Par ailleurs, l’équation d’état p = ρrT est satisfaite pour l’état local comme pour l’état d’arrêt. Ennotant (p0)1, (ρ0)1 (respectivement (p0)2, (ρ0)2) l’état d’arrêt associé à l’état 1 (respectivement 2)dans l’écoulement isentropique considéré, on déduit des relations précédentes :

(p0)1

(p0)2

=(ρ0)1

(ρ0)2

× (T0)1

(p0)2

et(p0)1

(p0)2

= ((ρ0)1

(ρ0)2

)γ

d’où, comme (T0)1 = (T0)2, on a nécessairement (p0)1 = (p0)2 et (ρ0)1 = (ρ0)2. Dans un écoulementisentropique, la pression et la masse volumique d’arrêt sont donc constantes. En écrivant l’équationd’état et la relation d’isentropie pour l’état local (p, ρ) et pour l’état d’arrêt caractérisé par (p0, ρ0),on en déduit immédiatement :

p0

p= (

T0

T)

γ

γ − 1

d’où, compte tenu de la relation (1.13), l’expression extrêmement importante qui permet de relier,dans un écoulement isentropique, la pression locale au nombre de Mach local par l’intermédiaire dela pression totale (constante) associée à cet écoulement isentropique :

p0

p= (1 +

γ − 1

2M2)

γ

γ − 1 (1.14)

On établit similairement :

ρ0

ρ= (1 +

γ − 1

2M2)

1

γ − 1 (1.15)

Dans le cas d’un écoulement présentant une onde de choc, la pression d’arrêt et la masse volumiqued’arrêt sont donc constantes dans l’écoulement isentropique en amont du choc et constantes dansl’écoulement isentropique en aval du choc mais les valeurs de ces constantes sont modifiées à la tra-versée de la discontinuité. Les quantités p0 et ρ0 varient donc à travers l’onde de choc pour passerrespectivement de (p0)1 à (p0)2 et de (ρ0)1 à (ρ0)2.

Exercice : Grandeurs d’arrêt, grandeurs soniques •Dans l’écoulement sur une aile d’avion, oneffectue les mesures suivantes de Mach, pression et température : M = 0.7, p = 0.9 atm, T = 250 K.En supposant l’écoulement isentropique, calculer p0, T0, p∗, T∗ et a∗.On prendra r = 287 J kg−1 K−1 et γ = 1.4.


¤ Rappelons qu’il n’est pas nécessaire de supposer l’écoulement isentropique pour évaluer la tem-pérature d’arrêt : dans un écoulement adiabatique (sans échange de chaleur mais avec possibilitéd’augmentation de l’entropie en raison de phénomènes irréversibles), T0 est une constante de l’écou-lement (ce résultat a été utilisé ci-dessus pour évaluer de façon rapide la température au nez d’unprojectile en régime supersonique) et on a la relation suivante entre la température d’arrêt et latempérature statique (formule (13) du cours) :

T0

T= (1 +

γ − 1

2M2)

d’où T0 = 1.098 T = 274.5 K.Note : dans la suite de ce problème, on note f(M) = 1 +

γ − 1

2M2.

L’écoulement étant supposé isentropique (cette hypothèse est bien nécessaire ici pour pouvoir ajouterp = cste× ργ à la loi d’état p = ρrT ), on peut alors écrire (formule (14) du cours) :

(p0

p) = (

T0

T)

γγ−1

d’où p0 = 1.387 p = 1.25 atm.Dans le cas particulier où M = 1, on est à l’état sonique ; la température à l’état sonique est doncliée à la température d’arrêt par la relation :

T0

T∗= f(1) =

γ + 1

2

et on constate naturellement que dans un écoulement adiabatique la température sonique est elle-aussi une constante de l’écoulement (en particulier, à la traversée d’un choc, la température T∗ seconserve). On trouve : T∗ = 0.833T0 = 229 K. En vertu de l’hypothèse d’isentropie, la pression àl’état sonique est donnée par :

(p0

p∗) = (

T0

T∗)

γγ−1

soit p∗ = 0.528 p0 = 0.66 atm.Enfin, on calcule a∗ en écrivant simplement : a∗ =

√γrT∗ soit a∗ = 317ms−1. ¤

On revient maintenant à la variation de pression d’arrêt à la traversée d’une onde de choc. Onpeut montrer plus précisément, en utilisant le second principe de la thermodynamique, que l’on doitnécessairement avoir p02 < p01, soit une perte de pression d’arrêt à la traversée d’un choc. Si nousrevenons en effet à la relation de Gibbs classique :

de = Tds +p

ρ2dρ

celle-ci peut aussi s’écrire pour un gaz caloriquement parfait tel que de = CvdT et p = ρrT :

ds = CvdT

T− r

dρ

ρ

Cette relation peut être intégrée entre les états 1 et 2 de part et d’autre d’un choc pour donner :

s2 − s1 = Cvln(T2

T1

)− rln(ρ2

ρ1

)


ou encore, en utilisant à nouveau la loi d’état des gaz parfaits et la relation de Mayer Cp − Cv = rvalable pour un gaz caloriquement parfait :

s2 − s1 = Cpln(T2

T1

)− rln(p2

p1

)

Puisque l’état d’arrêt associé à l’état local en amont du choc a, par définition, la même entropie s1

que cet état statique, et que, similairement, l’état d’arrêt associé à l’état local en aval du choc a lamême entropie s2, on peut aussi écrire la relation ci-dessus en faisant apparaître les températures etpressions totales de part et d’autre de la discontinuité :

s2 − s1 = Cpln((T0)2

(T0)1

)− rln((p0)2

(p0)1

)

Puisque la température totale se conserve à travers le choc, cette relation se simplifie en :

s2 − s1 = −r ln (p02

p01

)

D’après le second principe de la thermodynamique, le saut d’entropie à travers le choc est positifdonc le rapport

p02

p01

est nécessairement inférieur à 1. La pression totale décroît donc à travers un choc

et on note que le saut de pression totale est une mesure directe de la variation d’entropie.On peut enfin évaluer la perte de pression d’arrêt à la traversée d’une onde de choc 1D. On écrit eneffet :

(p0)2

(p0)1

=(p0)2

p2

× p2

p1

× p1

(p0)1

Or les rapports pression statique / pression totale associée sont connus de part et d’autre du choc enfonction des seuls nombres de Mach M2 et M1 (relation 1.14) :

(p0)1

p1

= (1 +γ − 1

2M2

1 )

γ

γ − 1 et(p0)2

p2

= (1 +γ − 1

2M2

2 )

γ

γ − 1

De plus, le saut de pression à travers le choc est donné en fonction de M1 par la relation 1.11 et lenombre de Mach aval M2 est donné en fonction du nombre de Mach amont M1 par la relation 1.9.En rassemblant ces éléments, on obtient donc pour expression du saut de pression totale à traversun choc 1D :

(p0)2

(p0)1

= [1 +2γ

γ + 1(M2

1 − 1)]−1

γ−1 [1− 2

γ + 1(1− 1

M21

)]−γ

γ−1 (1.16)

On peut en déduire de façon immédiate l’expression du saut d’entropie et observer que ce saut estbien supérieur à 1 (i.e. conforme au second principe de la thermodynamique) pour M1 > 1. Lesrelations de saut sont rassemblées dans une annexe placée à la fin de ce document de cours.

Exercice : Mesure de vitesse par un tube de Pitot • On considère une navette spatiale enphase de rentrée dans l’atmosphère ; l’écoulement autour de la navette est supersonique. Sur le nezde cette navette se trouve un tube de Pitot qui mesure la pression d’arrêt au point A (voir figureci-dessous) ; on suppose en outre qu’un thermocouple permet de mesurer la température en ce même


B

A

Fig. 1.9 – Mesure de vitesse en régime supersonique par un tube de Pitot.

point. En régime supersonique, un choc détaché se forme en amont du tube ; un capteur de pressionsitué en B permet de mesurer la pression statique avant ce choc.Montrer que ce dispositif permet de connaître la vitesse de la navette. On vous suggère de suivre ladémarche suivante :1/ En introduisant l’état 1 et l’état 2 respectivement en amont et en aval du choc, poser le problèmeen termes de grandeurs connues et inconnues.2/ Montrer que la vitesse de la navette peut s’exprimer en fonction du nombre de Mach amont commeunique inconnue.3/ Expliquer comment la valeur du Mach amont peut être déterminée à partir de la pression totaleen aval du choc et de la pression statique en amont du choc. En déduire le processus d’obtention dela vitesse désirée à partir des grandeurs mesurées.Note : on rappelle que des valeurs tabulées du rapport (pression totale en aval du choc) / (pressionstatique en amont du choc) sont fournies dans la table annexée à ce problème.4/ Calculer la vitesse de la navette pour les données mesurées suivantes : pression statique en B égaleà 2.83 Pa ; pression d’arrêt en A égale à 92.42 Pa ; température d’arrêt en A égale à 1200 K. A cetinstant du vol, la constante r de l’air, définie comme le rapport de la constante universelle des gazparfaits, R, et de la masse molaire de l’air dans les conditions considérées, est égale à 280 J kg−1 K−1.

Table d’écoulements : ondes de chocs droites (γ = 1.4)

M1 M2 p02/p1

4.50 0.42355 26.5394.60 0.42168 27.7104.70 0.41992 28.9074.80 0.41826 30.1304.90 0.41670 31.3795.00 0.41523 32.6535.10 0.41384 33.9545.20 0.41252 35.2805.30 0.41127 36.6315.40 0.41009 38.0095.50 0.40897 39.412

1/ Si on indice 1 l’état en amont du choc détaché devant le tube de Pitot et 2 l’état en aval de ce choc :


1 2

on constate que l’on connaît la pression p1 grâce à la mesure faite en B ; en aval du choc (que l’on peutassimiler localement à un choc droit 1-D), on connaît la température d’arrêt et la pression d’arrêtassociées à l’état 2, T02 et p02 , grâce aux mesures effectuées en A. La vitesse de la navette est donnéepar u1 ; le problème consiste donc à déterminer u1, connaissant p1, p02 et T02 .2/ Compte tenu de la définition du nombre de Mach : M = u/a, la vitesse u1 peut se calculer comme :

u1 = a1M1

Par ailleurs, la vitesse du son est donnée par : a =√

γrT , soit :

a1 =√

γrT1

On ne connaît pas directement la température T1 mais on dispose de la température d’arrêt derrièrele choc, T02 . Or, on sait que la température d’arrêt reste constante à travers le choc : T01 = T02 ; en

outre, la température d’arrêt associée à un état statique est donnée par :T0

T= 1 +

γ − 1

2M2. Donc :

u1 =√

γrT02

M1√1 +

γ − 1

2M2

1

(1.17)

Pour déterminer u1 il suffit donc de parvenir à calculer M1.3/ On cherche à déterminer M1 à partir des pressions mesurées p02 et p1. Dans la mesure où ondispose en général de relations du type “rapport de pression exprimé en fonction d’un nombre deMach”, on va plutôt chercher à calculer le rapport p02/p1 en fonction de M1 et on inversera la relationobtenue pour en tirer M1 connaissant le rapport de pression.Naturellement, on ne dispose pas directement d’une formule nous permettant de relier pression sta-tique en amont du choc et pression totale en aval de ce choc ; par contre, on est capable de relier lapression totale et la pression statique dans un écoulement isentropique et de relier la pression statiqueen aval d’un choc à la pression statique en amont de ce choc. On choisit donc d’écrire :

p02

p1

=p02

p2

· p2

p1

L’écoulement en aval du choc étant isentropique, on a la relation :

p02

p2

= (T02

T2

)

γ

γ − 1 = (1 +γ − 1

2M2

2 )

γ

γ − 1

Le nombre de Mach aval M2 peut s’exprimer en fonction du nombre de Mach amont M1 grâce auxrelations de choc droit :

M22 =

1 + (γ − 1

2)M2

1

γM21 − (

γ − 1

2)


et on dispose alors d’une expression dep02

p2

en fonction de M1.

Par ailleurs, ces mêmes relations de choc droit nous permettent d’écrire :

p2

p1

= 1 +2γ

(γ + 1)(M2

1 − 1)

Après quelques calculs et simplifications, on obtient pour expression du rapport des deux quantitésmesurées p02 et p1 :

p02

p1

=γ + 1

2M2

1

γ + 1

2M2

1

2γ

γ + 1M2

1 −γ − 1

γ + 1

1

γ − 1

(1.18)

On constate alors qu’inverser cette relation pour en tirer M1 connaissant le rapport de pression dumembre de gauche n’est pas une mince affaire. Heureusement, des valeurs tabulées de cette relationsont fournies, qui permettent de déterminer M1 pour un rapport de pression donné.Le processus de calcul de u1 est donc le suivant : en inversant la relation ci-dessus, on détermine M1,que l’on injecte dans la relation donnant p02/p2 en fonction de M1, d’où u1 connaissant T02 . Dans lapratique, le rapport p02/p1 est tabulé et l’inversion de la relation ci-dessus se fait par simple lectured’une table de valeurs.4/ Application numérique :On trouve : p02/p1 ≈ 32.65, donc, après lecture de la table fournie : M1 = 5.

D’où : u1 =√

1.4× 280× 1200× 5√1 + 0.2× 25

= 1400 ms−1 (≈ 5000 km /h). ¤

Chapitre 2

Ecoulements bidimensionnels

2.1 Chocs obliques

2.1.1 Position du problème

On se place maintenant dans le cadre d’écoulements supersoniques bidimensionnels. On considère

donc 2 états (ρ1, p1, V 1

(u1

v1

)) et (ρ2, p2, V 2

(u2

v2

)) et on cherche à déterminer les relations entre

ces deux états pour qu’ils puissent être séparés par une onde de choc oblique (cf. Fig. 2.1).

1 11

1

1

1

1

1

θEtat 1

ρ p =|| Va

||MV

Etat 2

2 2 22

=|| V2a

V

2

2

2

||Mpρβ

onde de chocoblique

u

vu

v

n

t

Fig. 2.1 – Configuration d’un choc oblique séparant deux états constants d’un écoulement.

Les variables β et θ désignent respectivement l’angle d’inclinaison du choc et l’angle de déflection duchoc. Dans le repère (n, t) lié au choc on a :

V 1 = u1n + v1tV 2 = u2n + v2t

2.1.2 Méthode de résolution

Pour établir des relations entre les états supposés uniformes de part et d’autre de la discontinuité, onapplique les équations d’Euler stationnaires sous forme intégrale qui ont été rappelées précédemment.

23

24 CHAPITRE 2. ECOULEMENTS BIDIMENSIONNELS

On choisit le volume de contrôle indiqué sur la figure 2.2. Le vecteur N désigne le vecteur normalunitaire extérieur à la surface de contrôle et n est l’un des vecteurs de base du repère lié au chocprécédemment défini.

V . N = 0

V . N = 0

N = - n

N = - n

2V1V

Fig. 2.2 – Choix d’un volume de contrôle dans l’étude d’un choc oblique.

On obtient aisément les relations suivantes :

ρ1u1 = ρ2u2

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u

22

v1 = v2

ρ1u1H1 = ρ2u2H2

(2.1)

On constate donc qu’à travers un choc oblique :

• la composante tangentielle v de la vitesse est conservée

• la composante normale de la vitesse u vérifie exactement les lois de conservation établies en 1-D.

On va donc pouvoir traiter le choc oblique comme un choc unidimensionnel dans la direction n.Ainsi, on va appliquer les formules du cas 1-D en prenant comme nombre de Mach incident (amont)le “nombre de Mach normal” défini par :

(Mn)1 =u1

a1

à distinguer du nombre de Mach “standard” défini par M1 =w1

a1

=

√u2

1 + v21

a1

(où w désigne la norme

du vecteur vitesse : w = ||V ||).

2.1.3 Relations de choc

Compte tenu de la géométrie du problème :

sin (β) =u1

||V 1||=

u1

a1

a1

||V 1||=

(Mn)1

M1

2.1. CHOCS OBLIQUES 25

soit(Mn)1 = M1 sin (β)

On en déduit immédiatement, par un simple coup d’oeil aux résultats obtenus en 1-D dans lesquelson remplace M1 par M1 sin (β), les relations de choc oblique :

u1

u2

=ρ2

ρ1

=(γ + 1)M2

1 sin2(β)

(γ − 1)M21 sin2(β) + 2

(2.2)

p2

p1

= 1 +2γ

(γ + 1)(M2

1 sin2(β)− 1) (2.3)

On a toujours pour la température (T2/T1) = (p2/p1) · (ρ1/ρ2).Quelques remarques peuvent être faites à ce niveau :

• Comme on l’a établi dans le cas 1-D, pour qu’il y ait présence d’un choc il est nécessaire quele Mach normal à l’amont soit supérieur à 1 soit : M1sin(β) ≥ 1 ; ceci nous donne donc l’expression

de l’inclinaison minimale du choc : β ≥ sin−1(1

M1

).

L’inclinaison maximale du choc correspond au choc normal ou droit : β =π

2.

• Puisque (Mn)1 ≥ 1, il est clair que u1/u2 > 1, ce qui signifie que la déflection de l’écoulementse fait toujours vers le choc.On en déduit également que, à la traversée du choc, on a une augmentation de la pression, de ladensité et de la température.

• En termes de nombre de Mach, on déduit de la formule (1.9) obtenue en 1-D, avec dans le casd’un choc oblique M1 → (Mn)1 = u1/a1 et M2 → (Mn)2 = u2/a2, la relation :

(Mn)22 =

1 + (γ − 1

2)(Mn)2

1

γ(Mn)21 − (

γ − 1

2)

(2.4)

Compte tenu de la géométrie du problème, (Mn)2 = M2sin(β−θ). et on peut donc calculer M2 (< M1)par (2.4) sous réserve de connaître l’angle de déflection θ. Pour calculer cet angle, on remarque que :

tan(β) =u1

v1

et tan(β − θ) =u2

v2

En exploitant alors le fait que v1 = v2 et la relation (2.2) qui donne u2/u1 en fonction de M1sin(β)on établit :

tan(β − θ) = tan(β)[(γ − 1)M2

1 sin2(β) + 2

(γ + 1)M21 sin2(β)

] (2.5)

La relation (2.5) est connue sous le nom de relation θ − β −M puisqu’elle relie l’angle de déflectionθ, l’angle d’inclinaison β et le nombre de Mach incident M1 ; elle est essentielle dans l’analyse des


ondes de choc obliques et heureusement tabulée pour permettre une analyse plus aisée.

2.1.4 Interprétation physique

La configuration d’un choc oblique est rappelée sur la figure 2.3(a). Pour un écoulement de fluideparfait, une ligne de courant peut être remplacée par une paroi (la condition de paroi étant que lavitesse y est purement tangentielle) ; aussi, cette configuration peut aussi être vue comme indiquéesur la figure 2.3(b), ce qui nous fournit la solution de l’écoulement supersonique sur un coin et vanous permettre de mieux illustrer l’exploitation de la relation θ − β −M .

θM1

M2

(b)(a)

β

βθ

M1

M2

Fig. 2.3 – Configuration de choc oblique et configuration équivalente.

On notera à ce niveau la démarche à suivre la plus classique pour évaluer l’état à l’aval d’un chocoblique, connaissant l’état à l’amont du choc et l’angle de déflection formé par le coin et la directionincidente de l’écoulement :les quantités θ et M1 étant connues, on se réfère à une abaque traduisant (2.5) pour déterminergraphiquement l’angle β (cf. Annexe II de ce chapitre) ; on peut alors former le produit M1sin(β) etévaluer ainsi l’état 2 grâce aux relations de saut du type (.)2/(.)1 = f(M1sin(β)).

Si on trace maintenant la relation (2.5) pour un nombre de Mach M1 donné, on obtient typique-ment une courbe de la forme présentée sur la figure 2.4.

Cette courbe appelle quelques commentaires :• pour tout angle de déflection inférieur à l’angle de déflection maximal θmax, il existe deux valeurspossibles de β : β1 < β2. Sur l’intervalle [sin−1(1/M1), π/2], sin(β) est une fonction croissante deβ et le rapport p2/p1 qui caractérise la force du choc croît avec β ; la solution correspondant à β1

est donc qualifiée de choc “faible”, tandis que celle qui correspond à β2 est dite choc “fort” (cf. Fig.2.5). Dans la solution de choc “fort”, on a toujours M2 < 1. Dans la solution de choc “faible”, on agénéralement M2 > 1 sauf lorsque θ est proche de θmax. En règle générale, d’après l’expérience, laNature favorise le choc “faible” ; il est possible d’obtenir une solution de choc “fort” pour certains casparticuliers dans lesquels on peut jouer par exemple sur la pression aval. Sauf contexte spécifique, onpensera donc à sélectionner la plus petite des deux valeurs de β données par la lecture de l’abaque.

2.1. CHOCS OBLIQUES 27

2Μ

θ

> 1

π/20

donné

Déflection du choc

1

Μ 2 < 1

Μ

βsin -1 ( 1/M Inclinaison

β2β1

1

2=1M

)

maxθ

Fig. 2.4 – Représentation de la relation θ − β −M pour un nombre de Mach amont M1 donné

2MChoc fort

2

< 1

θ < > 11M

maxθβ

> 12MChoc faible

θ< θ max

β1> 11M

Fig. 2.5 – Configuration d’un choc “fort” et d’un choc “faible”.


• pour θ > θmax, il n’existe pas de solution physique avec une onde de choc oblique ; dans la réalitéle choc sera incurvé et détaché du coin. L’écoulement en aval de l’onde de choc n’est plus uniformedans ce cas : en particulier une poche subsonique se forme au voisinage de la paroi. Le calcul d’unetelle solution fait appel à des techniques de résolution approchée des équations d’Euler. On établitfacilement que l’angle de choc βmax qui correspond à la déflection θmax est donné par :

sin2(βmax) =1

4γM21

[(γ + 1)M21 − 4 +

√(γ + 1)((γ + 1)M4

1 + 8(γ − 1)M21 + 16)]

Il n’existe pas relation donnant θmax explicitement mais on peut évaluer cet angle par la formulesuivante :

θmax ≈ 4

3√

3(γ + 1)

(M21 − 1)3/2

M21

M < 1

M > 1

M1

> 1

Choc détaché

θ θmax>

Fig. 2.6 – Choc détaché sur un coin d’angle θ supérieur à la valeur limite θmax.

• si θ = 0, alors β = sin−1(1/M1) et on retrouve le “choc” le plus faible : l’onde de choc devient enfait une ligne de Mach à travers laquelle il n’y a plus de variation finie des propriétés de l’écoulement.On note µ = sin−1(1/M1) et µ est désigné comme l’angle de Mach. On reviendra ultérieurement surcette notion de ligne de Mach.

µ = sin (1 / M )-11

Ligne de Mach

M1 > 1

Fig. 2.7 – Ligne de Mach

2.2 Choc faible

2.2.1 Description

On suppose l’angle de déflection θ petit. Dans ce cas de figure, le choc généré par l’arrivée d’unécoulement supersonique sur un plan incliné de l’angle θ peut être qualifié de faible au sens absolu

2.2. CHOC FAIBLE 29

du terme, i.e. les variations des propriétés de l’écoulement à travers ce choc sont faibles (on ne doitpas confondre le qualificatif de choc faible employé dans ce contexte avec le choc “faible” précédem-ment défini en opposition à un choc “fort” comme la solution physiquement produite par la relationθ−β−M , et qui peut conduire à des variations importantes des propriétés de l’écoulement). Dans lecas où θ est petit, on sait que l’inclinaison β du choc est proche de l’angle de Mach µ = sin−1(1/M1).Cette situation est illustrée sur la figure 2.8.On cherche ici à établir une relation simplifiée entre θ, β et M1 en exploitant les particularités propresà ce cas de choc faible : θ << 1 et β = µ + ε avec ε << 1.

θµ

> 11M

petit )( θε <<1

β=µ+ε

Fig. 2.8 – Configuration de choc faible (au sens : dont la traversée induit de faibles variations despropriétés de l’écoulement).

2.2.2 Relation θ − β −M du choc faible

On part de la relation θ − β −M générale (2.5) :

tan(β − θ) = tan(β)[(γ − 1)M2

1 sin2(β) + 2

(γ + 1)M21 sin2(β)

]

En exploitant le fait que θ soit petit et que l’on peut écrire tan(β) = [tan(µ) + terme d’ordre 1 en ε]

avec tan(µ) =1√

M21 − 1

, on établit (voir le détail des calculs dans l’exercice ci-dessous) la relation

simplifiée :

M21 sin2(β)− 1 ≈ (

γ + 1

2)

M21√

M21 − 1

θ (2.6)

Exercice : Relation θ − β −M du choc faible • Montrer que dans le cas d’un choc faible (ausens “absolu” du terme), on a la relation :

M21 sin2(β)− 1 = (

γ + 1

2)

M21√

M21 − 1

θ

Note : le présent exercice illustre une technique couramment mise en oeuvre par l’ingénieur : l’utilisa-tion de petits paramètres pour simplifier des expressions complexes en effectuant des développementslimités de ces expressions complexes en termes de ces petits paramètres et en limitant ces dévelop-pements à l’ordre 1 ou 2 pour garantir la simplicité des relations obtenues.


¤ On part de la relation générale (2.5) :

tan(β − θ) = tan(β)[(γ − 1)M2

1 sin2(β) + 2

(γ + 1)M21 sin2(β)

]

Dans le cas d’un choc faible (i.e. un choc à travers lequel se produisent de faibles variations despropriétés de l’écoulement), θ est petit et on peut donc écrire de façon approchée :

tan(β − θ) = tan(β)− θ[tan(β)]′ = tan(β)− θ

cos2(β)

On en déduit après report dans (19) :

tan(β)− θ

cos2(β)= tan(β)[1 +

2− 2M21 sin2(β)

(γ + 1)M21 sin2(β)

]

d’où, en simplifiant d’une part tan(β) dans les deux membres et en isolant d’autre part la quantitéM2

1 sin2(β)− 1 :

M21 sin2(β)− 1 =

(γ + 1)

2M2

1 tan(β)θ

Dans le cas d’un choc faible, β est proche de l’angle de Mach µ soit β = µ + ε avec ε << 1. On peutdonc écrire : tan(β)θ = tan(µ)θ + T.O.S, où les termes d’ordre supérieur sont au moins d’ordre 2puisque résultant du produit du petit paramètre θ par des puissances du petit paramètre ε. Commeon sait par ailleurs que sin(µ) = 1/M1 on en tire tan(µ) = 1/

√M2

1 − 1, d’où la relation 2.6 souhaitée.¤

2.2.3 Relations de choc faible

On va maintenant exploiter la relation précédente pour établir les relations de saut valables dans lecas d’un choc faible. Pour ce faire, il suffit d’injecter la relation (Mn)2

1 = f(M21 , θ) qui vient d’être

établie dans les relations de saut générales qui sont de la forme (·)2/(·)1 = g((Mn)21). On en tire

immédiatement :p2 − p1

p1

=∆p

p1

=γM2

1√M2

1 − 1θ (2.7)

Pour calculer le saut de vitesse normale, on procède similairement en exploitant le fait que θ soitpetit pour obtenir une relation simple linéaire en θ, soit :

u1

u2

= 1 +M2

1√M2

1 − 1θ (2.8)

On s’intéresse également à la variation de la norme de la vitesse w = ||V ||. On peut établir (voirCompléments de Cours pour les détails des démonstrations) :

w2 − w1

w1

=∆w

w1

=−θ√

M21 − 1

(2.9)

L’angle θ est compté positivement.On peut vérifier que l’on a toujours à la traversée du choc : une augmentation de la pression (de ladensité et de la température) et une diminution de la vitesse. Le choc faible, bien que faible, resteun choc : il comprime l’écoulement.

2.2. CHOC FAIBLE 31

Exercice : Saut de vitesse normale à travers un choc faible • Montrer que dans le cas d’unchoc faible on a la relation :

u1

u2

= 1 +M2

1√M2

1 − 1θ

On supposera connues d’une part la relation donnant le saut u1/u2 à la traversée d’un choc dans lecas général d’un choc oblique et d’autre part la relation 2.6 établie précédemment.

¤ Dans le cas général, on a la relation :

u1

u2

=(γ + 1)(Mn)2

1

(γ − 1)(Mn)21 + 2

et on vient d’établir dans le cas du choc faible une relation du type :

(Mn)21 = 1 + φ(M2

1 )θ

avec θ supposé petit et φ(M21 ) =

γ + 1

2

M21√

M21 − 1

.

On en déduit donc que le saut de vitesse normale dans le cas d’un choc faible est donné par :

u1

u2

=(γ + 1)(1 + φ(M2

1 )θ)

2 + (γ − 1)(1 + φ(M21 )θ)

=1 + φ(M2

1 )θ

1 +γ − 1

γ + 1φ(M2

1 )θ

On utilise alors le fait que, pour x petit, on a à l’ordre 1 en x : 1/(1 + x) ≈ 1− x + T.O.S. . Il vientdonc :

u1

u2

= (1 + φ(M21 )θ)(1− γ − 1

γ + 1φ(M2

1 )θ) = 1 + φ(M21 )(1− γ − 1

γ + 1)θ + T.O.S.

soit, en remplaçant φ par son expression :

u2

u1

= 1 +M2

1√M2

1 − 1θ ¤

Exercice : Saut de vitesse à travers un choc faible • Montrer que dans le cas d’un choc faiblele saut de la norme w du vecteur vitesse est donné par la relation :

w2

w1

− 1 =−θ√

M21 − 1

(on supposera connue la relation établie ci-dessus pour le saut de vitesse normale à travers un chocfaible).

¤ On part de la définition de la norme du vecteur vitesse :

w2

w1

=||v2||||v1||

=a2M2

a1M1

=a2

u2

M2u2u1

a1

1

M1

1

u1

=M2

(Mn)2

(Mn)1

M1

u2

u1


Compte tenu de(Mn)2 = M2sin(β − θ) et (Mn)1 = M1sin(β)

on en déduit :w2

w1

=sin(β)

sin(β − θ)

u2

u1

Comme θ est un petit paramètre on peut écrire sin(β−θ) = sin(β)−θcos(β) donc sin(β)/sin(β−θ) =1/(1− θcot(β)) ≈ 1 + θcot(β) +T.O.S soit encore sin(β)/sin(β− θ) ≈ 1 + θcot(µ) = 1 + θ

√M2

1 − 1.Par ailleurs on a établi précédemment une relation exprimant le rapport u1/u2 en fonction du petitparamètre θ qui peut se réécrire à l’ordre 1 en θ : u2/u1 = 1 − (M2

1 /√

M21 − 1)θ (on a utilisé :

1/(1 + x) ≈ 1− x pour x petit).On en tire donc in fine :

w2

w1

= (1 + θ√

M21 − 1)(1− M2

1√M2

1 − 1θ)

d’où après développement et en ne conservant que les termes d’ordre 1 en θ :

w2

w1

= 1− θ√M2

1 − 1¤

2.3 Compression supersonique

Nous avons considéré pour l’instant le cas d’un coin à partir duquel se forme un choc oblique quicomprime l’écoulement (de façon adiabatique mais absolument pas isentropique)(cf. Fig. 2.9 (a)). Sinous remplaçons ce coin par une succession de segments faiblement inclinés les uns par rapport auxautres, on observe, à chaque rupture de pente, la formation d’un choc faible, avec de faibles variationsde pression et de vitesse à travers ces chocs, données par les formules que l’on vient d’établir. Chaquechoc faible sépare deux régions dans lesquelles les propriétés de l’écoulement sont uniformes. L’étatdans la région en amont de l’un de ces chocs détermine l’état en aval de ce choc, qui lui-mêmedétermine l’état en aval du choc faible suivant : on a donc une influence exclusive de l’amont surl’aval, tant que la déflection ne devient pas suffisamment grande pour que l’écoulement deviennesubsonique (cf. Fig. 2.9(b)).Si on pousse maintenant le raisonnement à sa limite infinitésimale en faisant tendre ∆θ vers 0,les régions d’écoulement uniforme se réduisent à des lignes de Mach, sur lesquelles les propriétésde l’écoulement sont constantes et on passe continûment de l’état 1 à l’état 2, i.e. le processus decompression est isentropique (cf. Fig. 2.9 (c)).Le passage à la limite ∆θ → 0 se traduit au niveau de la variation de vitesse par la transformationde la formule (2.9) en une expression différentielle :

dw

w=

−dθ√M2 − 1

(2.10)

(et similairement pour la pression). Dans la formule ci-dessus, M désigne le nombre de Mach local enamont de la ligne de Mach considérée, et dθ correspond à la déflection infinitésimale à travers cetteligne de Mach.

2.3. COMPRESSION SUPERSONIQUE 33

(b) (c)

θ ∆θ

(a)

chocs faibleslignes de Mach

1M1M1 M

Fig. 2.9 – Du choc oblique à la compression isentropique.

Notion de ligne de Mach Nous revenons maintenant à la notion de ligne de Mach précédemmentintroduite. Imaginons une source de perturbation se propageant dans un plan à une vitesse superso-nique : V = 2a. Cela signifie concrètement que la source de perturbation se propage 2 fois plus viteque les perturbations qu’elle crée (puisque celles-ci se déplacent à la vitesse du son a).Supposons qu’en un temps t, la source se déplace de A vers B (en couvrant typiquement une distanceunité). Quand elle arrive en B, les perturbations créé es initialement en A se sont propagées de façonisotrope sur une distance 1/2 puisque a = V/2 ; de même pour les perturbations créé es en des pointsintermédiaires. On a donc la configuration suivante :

AB

a t Vt

µ

L’enveloppe de ces perturbations correspond à une onde : la ligne de Mach.L’angle formé par cette ligne avec la direction de propagation est facile à calculer :

sin(µ) =at

V t=

1

M

donc µ = sin−1(1/M) et µ est appelé l’angle de Mach.Si on suppose maintenant que les “perturbations” sont fortes (par exemple causées par la présenced’un cône traversant l’air à M > 1) on a, suivant un phénomène semblable à celui qui vient d’êtredécrit, la formation d’une onde de choc qui forme un angle β > µ avec la vitesse incidente.


1Μ > 1

β

β

µ

µ

Remarque : l’écoulement sur le cône ci-dessus se déduit très facilement de l’écoulement sur un coin vuprécédemment. Si les ondes de choc sont attachées au nez du cône (θ < θmax) les parties inférieureset supérieures de l’écoulement sont indépendantes :

β

’β’

θ

> 1Μ 1 θ

2.4 Détente supersonique

2.4.1 Description

Dans le cas d’une paroi concave une onde de choc se crée qui fait tourner l’écoulement vers le choc.Dans le cas d’une paroi convexe, la présence d’un choc oblique est thermodynamiquement impossible.En fait, le mécanisme que l’on vient de décrire dans le cas de la compression supersonique se produità nouveau mais engendre le contraire d’une compression, i.e. une détente.A travers chacune des lignes de Mach, on a une variation infinitésimale des grandeurs caractéris-tiques de l’écoulement : très petite augmentation de la vitesse, très petite diminution de la pression(le fluide se détend). Globalement, on a donc : M2 > M1 et p2 < p1. L’ensemble du processus peutêtre considéré comme isentropique. Dans le cas d’un coin, la détente est centrée sur ce coin (cf. Fig.2.10). On souhaite maintenant connaître l’état 2 derrière la détente en fonction de l’état 1 en amontde cette détente.

2.4.2 Fonction de Prandtl-Meyer

L’état 2 résulte de la superposition des variations infinitésimales correspondant à chaque ligne deMach. La relation (2.10) établie précédemment en 2.3 s’applique dans le cas du processus isentropiquede détente en adoptant une convention de signe adéquate ; si on compte θ positivement dans le cas

2.4. DÉTENTE SUPERSONIQUE 35

2

M2

1Μ

µ

µ2

1

1

M1

M2

µ

µ

Fig. 2.10 – Détente sur une paroi convexe et détente centrée sur un coin convexe.

d’un coin convexe (cf. Fig. 2.11), on aura une augmentation infinitésimale de la vitesse w liée à unedéflection élémentaire dθ par la relation :

dw

w=

dθ√M2 − 1

On peut aussi écrire cette relation sous la forme :

dθ =√

M2 − 1dw

w

Pour traiter le cas d’un angle fini θ, il faut pouvoir intégrer la relation ci-dessus, ce qui suppose quel’on puisse exprimer dw/w en fonction de dM et de M . On pourra alors intégrer entre un angle dedéviation nulle correspondant à M1 et l’angle θ associé au coin, correspondant à M2. Connaissantl’angle θ et M1 nous pourrons déterminer le nombre de Mach M2 derrière la détente. Pour y parvenir,nous cherchons donc à exprimer dw/w en fonction de M et de dM . On peut établir - la démonstrationde ce résultat fait l’objet de l’exercice ci-dessous - la relation suivante :

dθ =

√M2 − 1

1 +γ − 1

2M2

dM

M

On note ν(M) =

∫ √M2 − 1

1 +γ − 1

2M2

dM

M, et ν(M) est définie comme étant la fonction de Prandtl-Meyer.

En intégrant la relation ci-dessus entre l’état 1 et l’état 2 on obtient :

ν(M2) = θ + ν(M1) (2.11)

La fonction ν(M) peut être définie analytiquement - elle s’exprime à partir de fonctions du type arctg- ; elle est de toute façon tabulée (cf. Annexe III de ce cours).Connaissant M1, on trouve ν(M1) dans la table ; connaissant l’angle θ, on peut calculer ν(M2) par


θ (>0)

1µ

Μ 1

2M

Fig. 2.11 – Configuration de l’écoulement à travers une détente centrée sur un coin.

(2.11) ; connaissant ν(M2) on en déduit M2 par “lecture inverse” de la table.

Définir complètement l’état 2 est alors très simple :1) la température totale étant une constante de l’écoulement on a (cf. (1.13)) :

T0

T1

= 1 +γ − 1

2M2

1 etT0

T2

= 1 +γ − 1

2M2

2

d’où

T2

T1

=1 +

γ − 1

2M2

1

1 +γ − 1

2M2

2

(2.12)

On note que T2 < T1 ; la température diminue à la traversée d’une détente.2) La détente étant un phénomène isentropique, on peut utiliser la loi d’état et la relation p/ργ = cstepour établir :

p2

p1

= (T2

T1

)γ

(γ−1) (2.13)

On note que p2 < p1 : le fluide se détend.

Exercice : Fonction de Prandtl-Meyer • Montrer que la relationdw

w=

dθ√M2 − 1

peut se

transformer en

dθ =

√M2 − 1

1 +γ − 1

2M2

dM

M

¤ Pour aboutir à la relation souhaitée il est clair qu’il faut exprimer dw/w en fonction de dM et deM . Pour ce faire, on part de : w = aM ; on en tire :

dw

w=

da

a+

dM

M

On souhaite maintenant exprimer da/a en fonction de dM et de M . On utilise :

a2

a20

=T

T0

= (1 +γ − 1

2M2)−1

2.4. DÉTENTE SUPERSONIQUE 37

où (·)0 désigne une propriété aux conditions d’arrêt. Posons pour simplifier la démarche : f(M) =

1 +γ − 1

2M2. De a2/a2

0 = 1/f(M), on tire facilement :

da

a= −1

2

f ′(M)

f(M)dM

doncdw

w=

2f(M)−Mf ′(M)

2f(M)

dM

M

et on obtient la relation désirée en remplaçant f(M) et f ′(M) par leur expression en fonction dunombre de Mach. ¤

Chapitre 3

Calcul de forces aérodynamiques

3.1 Calcul exactLa théorie sur les chocs obliques, les compressions et les détentes supersoniques précédemment établiepermet de calculer de façon exacte les forces aérodynamiques exercées sur des profils placés dans desécoulements supersoniques.Afin d’illustrer la démarche à suivre, considérons par exemple le profil en losange de la figure 3.1ci-dessous.

ε

Etat 1

M1 > 1

ε t

c

Etat 2

i

B

D

A C

j

Etat 2

Etat 3

Etat 3

Etat 4

3p

p 2

p2

p 3

Fig. 3.1 – Profil en losange dans un écoulement supersonique.

D’après ce que nous avons appris sur les écoulements supersoniques au cahpitre précédent, il y a :formation d’un choc oblique attaché au bord d’attaque supérieur, en raison de la présence d’un coinconcave formé par la ligne de courant qui arrive au nez du profil et le segment AB de ce profil, etd’un choc oblique symétriquement attaché au bord d’attaque inférieur, au niveau du coin concaveformé par cette même ligne de courant et le segment AD du profil ; création d’une onde de détentesupersonique centrée sur le sommet B du coin convexe formé par les segments AB et BC, et d’une

39

40 CHAPITRE 3. CALCUL DE FORCES AÉRODYNAMIQUES

onde symétrique centrée sur le sommet D ; enfin, création de chocs obliques au bord de fuite du profil.Dans le contexte de fluide parfait qui est celui de ce chapitre, les forces aérodynamiques exercées surun profil proviennent exclusivement des contraintes de pression et s’écrivent donc :

F = −∫

profilpndl (3.1)

où on rappelle que n désigne la normale unitaire au profil pointant vers l’extérieur de celui-ci.Classiquement, on décompose F en une composante de traînée ou drag, notée D et une composantede portance ou lift, notée L :

F = Di + Lj (3.2)

où i et j sont les vecteurs de base d’un repère cartésien direct de référence (i est aligné avec ladirection d’avancement du profil et j est normal à cette direction).Pour calculer F , on peut définir les normales aux faces du profil en fonction de l’angle ε : il est clair

que la normale à la face AB a pour composantes( −sin(ε)

cos(ε)

)et similairement pour les normales

aux autres faces. On peut donc écrire :

−∫

profilpndl = −[p2

( −sin(ε)cos(ε)

)d + p3

(sin(ε)cos(ε)

)d + p3

(sin(ε)−cos(ε)

)d + p2

( −sin(ε)−cos(ε)

)d]

où p2 (respectivement p3) désigne la pression uniforme dans l’état 2 derrière le choc oblique attachéau nez du profil (respectivement dans l’état 3 derrière la détente centrée attachée aux sommets duprofil) ; d désigne la longueur des segments AB, BC, CD et DA. On obtient après simplification :

F =

( −2sin(ε)(p3 − p2)d0

)

et comme sin(ε) = (t/2)/d (avec t l’épaisseur du profil), on en tire finalement :

D = (p2 − p3)tL = 0

(3.3)

La portance d’un profil symétrique placé dans un écoulement sans incidence est naturellement nulle :les efforts exercés sur les faces supérieure et inférieure s’annulent.La traînée dépend des pressions p2 et p3 : l’état 1 en amont du profil étant connu, l’état 2 est déterminépar les relations de choc oblique ; l’état 3 derrière la détente est alors déterminé en fonction de l’état2 en utilisant la fonction de Prandtl-Meyer.On travaille souvent avec des efforts adimensionnés : on définit ainsi le coefficient de traînée ou deportance en divisant la traînée ou la portance par la quantité q1c où c désigne la corde du profil

étudié et q1 est la pression dynamique, définie par q1 =1

2ρ1w

21 (on rappelle que w1 désigne la norme

de la vitesse à l’infini amont). En notant que l’on peut réécrire q1 =1

2γp1M

21 , on en déduit finalement

l’expression suivante des coefficients de portance et de traînée :

CL =2L

γp1M21 c

CD =2D

γp1M21 c

(3.4)

Application :On considère un écoulement à M1 = 3 sur le profil en losange précédemment étudié ; on suppose que

3.2. CALCUL APPROCHÉ : CAS DES PROFILS MINCES 41

la pression à l’infini amont vaut p1 = 1 atm, et que l’angle ε est égal à 3.L’état 2 est donc l’état derrière un choc oblique défini par un Mach amont égal à 3 et un angle dedéflection de 3. La lecture de l’abaque qui traduit la relation θ−β−M du choc oblique nous fournit :β = 22 (on rappelle que la solution dite de choc “faible” doit être retenue). On en déduit donc :M2

1 sin2(β) = 1.263. En appliquant alors la relation (17), on obtient : p2 = 1.307 atm ; la relation (18)permet de déterminer M2 = 2.745 (on note au passage que dans le cas d’un choc oblique l’écoulementderrière le choc reste en général supersonique). La lecture des tables de la fonction de Prandtl-Meyerpermet de déterminer ν(M2) = 44.5.L’état 3 est l’état en aval d’une détente supersonique définie par un Mach amont égal à 2.745 et unangle de déviation de 2ε = 6. On détermine le Mach aval M3 en utilisant la relation de Prandtl-Meyer (25) ; on en tire ν(M3) = 50.5 d’où par lecture des tables M3 = 3.039. Puisque le processusqui permet de passer de l’état 2 à l’état 3 peut être considéré comme isentropique la relation (27)permet de déterminer p3 connaissant p2, M2 et M3 ; on trouve : p3 = 0.837 atm.On conclut en utilisant la formule du coefficient de traînée :

CD =D

q1c=

(p2 − p3)

q1

tan(ε)

où la pression dynamique q1 est donnée par q1 =1

2γp1M

21 .

On trouve finalement : CD = 3.91× 10−3.

3.2 Calcul approché : cas des profils minces

3.2.1 Expression du coefficient de pression

Dans le cas où le profil étudié est mince (son épaisseur est faible devant sa corde) et faiblementen incidence, il n’existe pas d’angles importants dans l’écoulement et on peut exploiter les relationsétablies dans le cas du choc faible (en négligeant les pertes d’entropie) ou de la détente supersonique.On écrit donc que la variation de pression générée par une faible déviation d’angle ∆θ est donnéepar :

∆p

p=

γM2

√M2 − 1

∆θ

où p et M désignent respectivement la pression et le nombre de Mach en amont de la déflection. Dansl’approximation développée ici, on suppose que la déflection de l’écoulement est faible : on peut doncestimer que la pression p ne sera jamais très différente de la pression à l’infini amont p1, ni le nombrede Mach M très différent du nombre de Mach à l’infini amont M1, de sorte que l’on peut écrire enraisonnant uniquement sur des termes de perturbation d’ordre 1 :

∆p

p1

=γM2

1√M2

1 − 1∆θ

Si on prend alors comme valeur de référence pour les variations de pression la pression à l’infiniamont p1 et comme valeur de référence pour les changements de direction de l’écoulement la directionsupposée horizontale de cet écoulement à l’infini amont, on peut écrire :

p− p1

p1

=γM2

1√M2

1 − 1θ (3.5)


où θ désigne l’inclinaison locale de l’écoulement par rapport à la direction de l’écoulement à l’infiniamont.On définit alors le coefficient de pression par :

Cp =p− p1

q1

(3.6)

En tenant compte maintenant des formules (3.5) et (3.6) ci-dessus et de l’expression de la pression

dynamique q1 =1

2γp1M

21 , on obtient la relation fondamentale suivante entre le coefficient de pression

et l’inclinaison locale de l’écoulement :

Cp =2θ√

M21 − 1

(3.7)

Dans la théorie des profils minces, le coefficient de pression est donc proportionnel à l’inclinaisonlocale de l’écoulement.

3.2.2 Expression de la portance et de la traînée

On suppose que le profil étudié est représenté comme indiqué sur la figure 3.2 ci-dessous :

L

U

y

(x)

(x)x=cx

y

x=0

y

Fig. 3.2 – Description d’un profil mince.

La relation y = yU(x) (respectivement y = yL(x)) désigne l’équation de la ligne supérieure - upperen anglais - (respectivement inférieure - lower en anglais -) du profil.

Pour évaluer les forces s’exerçant sur ce profil on écrit toujours : F = −∫

profilpndl et on va s’efforcer

maintenant d’exprimer les différentes composantes de cette expression (vecteur normal, élément delongueur et pression) en fonction de yU(x) et yL(x).L’élément de longueur infinitésimal dl s’écrit dl =

√dx2 + dy2, et sur la face supérieure on a locale-

mentdy

dx=

dyU

dxd’où dl =

√(1 + (

dyU

dx)2)dx (similairement pour le profil inférieur).

3.2. CALCUL APPROCHÉ : CAS DES PROFILS MINCES 43

Par ailleurs, la normale unitaire à la courbe d’équation y = yU(x) peut s’écrire :

n =1√

1 + (dyU

dx)2

(−(

dyU

dx)

1

)

et de même sur le profil inférieur.On en tire donc finalement :

F = −[

∫ c

0

pU

(−dyU

dx1

)dx +

∫ 0

c

pL

(−dyL

dx1

)dx]

où pU et pL désignent respectivement les distributions de pression sur la partie supérieure et inférieuredu profil. On en déduit :

D =

∫ c

0

(pUdyU

dx− pL

dyL

dx)dx

L =

∫ c

0

(pL − pU)dx

Pour obtenir les expressions souhaitées (en termes des fonctions yU et yL seulement), il ne reste plusqu’à introduire les coefficients de pression :

(Cp)U =pU − p1

q1

(Cp)L =pL − p1

q1

On a alors d’une part :

pL − pU = q1(Cp)L + p1 − q1(Cp)U − p1 = q1((Cp)L − (Cp)U)

soitL = q1

∫ c

0

[(Cp)L − (Cp)U ]dx

D’autre part :

pUdyU

dx− pL

dyL

dx= q1[(Cp)U

dyU

dx− (Cp)L

dyL

dx] + p1(

dyU

dx− dyL

dx)

Le dernier terme de cette expression ne contribue pas à la traînée puisque son intégrale de 0 à c estnulle en raison de la fermeture du profil ; on obtient donc finalement :

D = q1

∫ c

0

[(Cp)UdyU

dx− (Cp)L

dyL

dx]dx

On applique alors la théorie des profils minces en remarquant que l’inclinaison locale de l’écoulement

sur le profil supérieur et inférieur est donnée respectivement pardyU

dxet −dyL

dx(les signes de ces

quantités sont en accord avec l’orientation du profil) :

(Cp)U =2√

M21 − 1

(dyU

dx) (Cp)L =

2√M2

1 − 1(−dyL

dx)


On obtient finalement les expressions suivantes pour la portance et la traînée du profil :

L =−2q1√M2

1 − 1

∫ c

0

[dyL

dx+

dyU

dx]dx

D =2q1√

M21 − 1

∫ c

0

[(dyL

dx)2 + (

dyU

dx)2]dx

(3.8)

On peut déduire des relations ci-dessus les expressions des coefficients de portance et de traînée endivisant respectivement L et D par q1c.

Application :On applique la théorie du profil mince développée ci-dessus au calcul du coefficient de traînée duprofil en losange plongé dans un écoulement supersonique, dont les caractéristiques ont été préciséesdans l’application relative à la théorie exacte.

Dans le cas du profil en losange, on a de façon évidente : (dyL

dx)2

= (dyU

dx)2

= tan2(ε).On déduit donc de (3.8) :

CD =D

q1c=

2

c√

M21 − 1

∫ c

0

2tan2(ε)dx =4tan2(ε)√

M21 − 1

et on trouve après calcul : CD = 3.88× 10−3 soit un résultat qui approche avec moins de 1% d’erreurle résultat donné par la théorie exacte. Cette excellente performance de la théorie approchée estnaturellement conditionnée par la validité de l’approximation de profil mince : dans le cas présentε = 3 assure que le profil considéré est effectivement mince.

Remarque :On trouvera au chapitre 5 d’autres exemples détaillés relatifs à la mise en œuvre de la théorie choc /détente et de la théorie des profils minces pour l’analyse des performances de profils aérodynamiquesen régime supersonique.

3.3 Optimisation des performances aérodynamiques d’un pro-fil d’aile

Ce problème est tiré de l’examen final ECOUL1 de janvier 1996.

Considérons un profil en losange tel que celui défini par la figure 3.3 ci-dessous :

Dans toute la suite du problème on supposera A1 fixe en (0, 0), A2 fixe en ( c2, t

2). On prendra A3

mobile le long de (∆1) et A4 mobile le long de (∆2).Plongeons maintenant ce profil dans un écoulement supersonique de fluide parfait. Il se forme :• un choc attaché au bord d’attaque A1 du profil,• une détente supersonique à partir du sommet A2 et une autre à partir du sommet A4,• un choc attaché au bord de fuite A3.On a donc la configuration suivante :

3.3. OPTIMISATION DES PERFORMANCES AÉRODYNAMIQUES D’UN PROFIL D’AILE 45

∆1)

(∆2)

(

j

y

x0 c/2 c

t/2

t/2

A

A

A

A

2

4

i

1

-

3

Fig. 3.3 – Profil losangique

M , p

Etat 2

2 2

ε

M , p

Etat 3

3 3

Etat 3’

3 3M’ , p’’2 2M , p’

Etat 1

p 1

M > 11

y

x

Etat 2’

Fig. 3.4 – Ecoulement supersonique autour du profil


On rappelle que la résultante des forces aérodynamiques exercées sur le profil est donnée par :

~F =

∫

profil−p~ndl (3.9)

où p désigne la pression, ~n le vecteur unitaire normal au profil et pointant vers l’extérieur de celui-ciet dl est un élément de longueur infinitésimal.~F se décompose classiquement sur la base orthonormée (~i,~j) en une composante de traînée D et unecomposante de portance L :

~F = D~i + L~j (3.10)

Ces grandeurs sont généralement normalisées pour obtenir les coefficients de portance et de traînéesans dimension :

CL =L

q1c; CD =

D

q1c(3.11)

avec q1 = γp1M21 /2 où γ = 1.4 désigne le rapport des chaleurs spécifiques.

Optimiser les performances aérodynamiques du profil va alors consister à rendre le rapport CD/CL leplus proche possible de zéro de façon à minimiser la résistance à l’avancement exprimée par la traînéetout en maximisant la portance favorable au vol. Notons que dans le cadre du présent problème oùles effets visqueux sont négligés (fluide parfait), la traînée du profil est réduite à la traînée d’onde.1) Dans le cas où A3 est en (c, 0) et A4 en (c/2,−t/2), calculer l’expression exacte de CD et CL enfonction de p2, p3, q1 et (t/c).Compte tenu de la valeur de CD/CL, commenter les performances aérodynamiques de ce profil.2) On cherche maintenant à modifier le profil de façon à améliorer le résultat précédent. On déplacele point A3 le long de (∆1) jusqu’à la position (c,−αt), où α ∈ [0, 1], comme indiqué sur la figure 3.5ci-dessous.

4

y

x0 c/2

c

A

t/2

(∆ )-t/2

A

A

A

1

2

−α t

M >1

p 1

1

3

εχ

’χ

1

2

(∆ )

Fig. 3.5 – Profil modifié

a) On définit les rapports de pression : r = p2/p3 ; s = p′3/p2. Montrer que :

CD

CL

= φ(r, s, α)× (t

c) avec φ(r, s, α) =

2r − (2α + 1)− rs(1− 2α)

rs− 1(3.12)

b) Montrer que, dans le cas particulier où α = 1, on a exactement : φ(r, s, α) = 3.c) Décrire dans le cas général la procédure de calcul de r et s en supposant M1, p1, c, t et α connus.On détaillera successivement :• l’obtention de p2, M2 en fonction de l’état 1,


• l’obtention de M3, p3 en fonction de l’état 2 puis celle de r,• l’obtention de M

′3, p

′3 en fonction de l’état 2 puis celle de s.

d) On suppose maintenant : M1 = 1.7, p1 = 1, c = 1 et t = 7/100.Calculer φ(r, s, α) pour ces conditions et α = 1/2 puis α = 1/

√2.

Compte tenu de b), que peut-on supposer quant à l’évolution du rapport CD/CL ?3) On se place maintenant dans le cadre de la théorie des profils minces pour préciser le comportementde CD/CL en fonction de α.On rappelle que si yU(x) (resp. yL(x)) désigne l’équation de la partie supérieure (resp. inférieure)du profil, c’est-à-dire de la ligne A1A2A3 (resp. A1A4A3), on a alors dans l’approximation des profilsminces :

CL =−2√

M21 − 1

1

c

∫ c

0

(dyU

dx+

dyL

dx)dx et CD =

2√M2

1 − 1

1

c

∫ c

0

((dyU

dx)2 + (

dyL

dx)2)dx (3.13)

a) On considère à nouveau le profil de la figure 3.5. Exprimer à l’aide des relations (3.13) ci-dessusCD/CL en fonction de α et (t/c).b) Montrer que, pour (t/c) fixé, CD/CL est minimal pour α = 1/

√2. Comparer alors la valeur de

CD/CL à celle obtenue en 2) ; commenter.4) On déplace maintenant A3 le long de (∆1) jusqu’à la position (c,−αt), mais aussi A4 le long de(∆2) jusqu’à la position (c/2 + βc,−t/2), avec α ∈]1/2, 1[ et β ∈]0, 1/2[ (voir figure 3.6 ci-après).

4

1(∆ )y

x

A

0

2

c/2

c

t/2

-t/2

A

A

A

1

2

−α t

M >1

p 1

1

3

β c

(∆ )

Fig. 3.6 – Profil général.

On se place toujours dans le cadre de la théorie des profils minces.a) En appliquant les formules (3.13), montrer que CD/CL est donné par :

CD

CL

= ψ(α, β)× (t

c) avec ψ(α, β) =

1

4α(1 +

1

(2β + 1)− (2α− 1)2

(2β − 1)+ (2α + 1)2) (3.14)

b) On suppose (t/c) fixé et on suppose également dans un premier temps α constant. Trouveralors la valeur de β qui minimise ψ(α, β). Donner pour cette valeur l’expression de CD/CL en fonc-tion de α et (t/c). En supposant maintenant α variable, montrer que CD/CL est minimal pour :α = 1/

√3 et β = (

√3− 1)/2. Donner cette valeur minimale.

5) Sur le modèle de ce qui a été fait en 2), calculer de façon exacte CD/CL pour le profil correspon-dant aux valeurs optimales de (α, β) déterminées en 4)b), avec toujours c = 1, t = 7/100, M1 = 1.7et p1 = 1.


Comparer la valeur obtenue avec celle, approchée, de 4) ; commenter.

¤1) Le profil est symétrique donc les états 2 et 2’ sont identiques, et similairement pour les états 3 et3’. Le vecteur unitaire normal à la face A1A2 a pour composantes (− sin(ε), cos(ε))t. Similairement,le vecteur unitaire normal à la face A2A3 a pour composantes (sin(ε), cos(ε))t, celui normal à la faceA3A4, (sin(ε),− cos(ε))t, et celui normal à la face A4A1, (− sin(ε),− cos(ε))t. Lorsqu’on écrit :

~F = −∫

profilp~ndl

on a donc immédiatement (en notant A1A2=A2A3=A3A4= A4A1=d) :

~F = −[p2

( − sin(ε)cos(ε)

)d + p3

(sin(ε)cos(ε)

)d + p2

( − sin(ε)− cos(ε)

)d + p3

(sin(ε)− cos(ε)

)d]

d’où :~F =

[2d sin(ε)(p2 − p3)

0

]

Compte tenu de sin(ε) = (t/2)/d, on a donc finalement :

CL = 0 et CD =(p2 − p3)

q1

(t

c)

Le rapport CD/CL est donc infini d’où de très médiocres performances aérodynamiques à prévoir.2) On introduit maintenant une cambrure dans le profil en se donnant un degré de liberté sur laposition du point A3.a) En tenant compte des nouvelles définitions des normales unitaires aux faces du profil en fonctiondes angles χ et χ′, on peut écrire :

~F = −[p2


)A1A2 + p3

(sin(χ)cos(χ)

)A2A3 + p′3

(sin(χ′)− cos(χ′)

)A3A4 + p2

( − sin(ε)− cos(ε)

)A4A1]

Comme, par ailleurs, on a des relations du type : sin(ε) = (t/2)/A1A2, sin(χ) = (t/2 + αt)/A2A3,sin(χ′) = (t/2 − αt)/A3A4 et similairement pour les cosinus de ces angles, on peut réécrire ~F enfonction de p2, p3, p′3, t, c et α, d’où après simplification :

~F =

[p2t− p3(

t2

+ αt)− p′3(t2− αt)

(p′3 − p3)c2

]

On peut alors évaluer :CD

CL

=D

L=

2(p2 − p3(12

+ α)− p′3(12− α))

(p′3 − p3)(t

c). Il suffit ensuite de diviser le

numérateur et le dénominateur de cette expression par p3, d’introduire les rapports r et s définis, etd’utiliser p′3/p3 = rs pour obtenir la relation demandée.b) Dans le cas où α = 1, A1, A4 et A3 sont alignés donc p′3 = p2, soit s = 1, d’où le résultat.c) Procédure de calcul des différents états :• on passe de l’état 1 à l’état 2 par un choc oblique d’angle de déflection ε connu à partir de t et c.On dispose de la relation de choc oblique :

p2

p1

= 1 +2γ

γ + 1(M2

1 sin2(β)− 1)


Connaissant M1, on détermine l’inclinaison du choc β à l’aide de l’abaque donnée en annexe d’où p2

(p1 est connu). Pour connaître M2 on utilise :

M22 sin2(β − ε) =

1 + γ−12

M21 sin2(β)

γM21 sin2(β)− γ−1

2

• on passe de l’état 2 à l’état 3 par une détente supersonique, d’angle de déviation associé ε + χ, oùχ est donné par tan(χ) = (t/2 + αt)/(c/2). En notant ν la fonction de Prandtl-Meyer, on a donc :

ν(M3) = ν(M2) + ε + χ

M2 est connu donc on peut déterminer ν(M2) par tabulation ; on en déduit la valeur de ν(M3) d’oùM3 par tabulation. Pour obtenir le rapport de pression p3/p2, il suffit d’écrire :

1

r=

(1 + γ−1

2M2

2

1 + γ−12

M23

) γγ−1

• on passe de l’état 2 à l’état 3’ par une détente supersonique d’angle de déviation associé ε + χ′,avec χ′ donné par tan(χ′) = (t/2− αt)/(c/2). On a ν(M ′

3) = ν(M2) + ε + χ′ d’où M ′3 par tabulation

et s = [(1 + γ−12

M22 )/(1 + γ−1

2(M ′

3)2)]γ/(γ−1).

d) Une remarque générale sur les applications numériques dans ce problème : il est nécessaire d’êtretrès précis dans leur mise en oeuvre ; lors d’une lecture d’abaque ou de table de données, il ne fautpas hésiter à interpoler linéairement entre des valeurs connues pour obtenir une valeur plus correctedans le cas considéré.Calcul de l’état 2 : on calcule tout d’abord l’angle de déflection ε = tan−1(t/c) = 4.00 deg - parlecture de l’abaque fournie en annexe du cours, on détermine l’inclinaison du choc (on retient lavaleur correspondant au choc faible) β = 40 deg - on peut alors calculer M2

1 sin2(β) = 1.194 - on entire p2 = 1.226 et M2 = 1.561. Ce résultat ne dépend pas de la valeur de α.On suppose α = 1/2.Calcul de l’état 3 : on calcule l’angle χ = tan−1((2α+1)(t/c)) = 7.97 deg - on a alors ν(M3) = ν(M2)+ε + χ et ν(M2) est déterminé par lecture de la table fournie en annexe du cours : par interpolationlinéaire entre ν(1.554) = 13.5 deg et ν(1.571) = 14.0 deg, on trouve ν(M2) = ν(1.561) = 13.67 deg- on a donc ν(M3) = 25.646 deg - une lecture des valeurs tabulées nous fournit ν(1.968) = 25.5 deget ν(1.986) = 26.0 deg d’où par interpolation linéaire M3 = 1.973 - on en tire 1/r = 0.5345 soitr = 1.8708.Calcul de l’état 3’ : on calcule l’angle χ′ = tan−1((1 − 2α)(t/c)) = 0 deg - on a alors ν(M ′

3) =ν(M2) + ε + χ′ = 17.67 deg - on en tire M ′

3 = 1.695 - d’où s = 0.819. On trouve alors : φ = 3.2725.On suppose maintenant α = 1/

√2.

Calcul de l’état 3 : χ = 9.59 deg - ν(M3) = 27.27 deg d’où M3 = 2.03 - r = 2.05.Calcul de l’état 3’ : χ′ = −1.66 deg - ν(M ′

3) = 16.02 deg d’où M ′3 = 1.64 - s = 0.89. On trouve alors :

φ = 2.96.On rappelle qu’il a été démontré en 2)b) que pour α = 1, φ = 3. La théorie exacte choc/détentenous a donc permis d’établir :

α CD

CL

1/2 3.27( tc) = 0.2291

1/√

2 2.96( tc) = 0.2072

1 3.00( tc) = 0.2100


On peut penser qu’il existe une valeur minimale de CD/CL pour α ∈ [1/2, 1] (et avec un peu d’audaceon peut même envisager que cette valeur ne soit pas très éloignée de α = 1/

√2).

3) On se place maintenant dans le cadre de la théorie des profils minces qui permet une étudesystématique de la forme du profil.a) On a, dans le cas considéré, les équations suivantes pour l’extrados (Upper part) et l’intrados(Lower part) du profil :

yU(x) =

( t

c)x 0 ≤ x ≤ c

2

(α + 1)t− (1 + 2α)( tc)x c

2≤ x ≤ c

; yL(x) =

−( tc)x 0 ≤ x ≤ c

2

(α− 1)t + (1− 2α)( tc)x c

2≤ x ≤ c

On établit alors facilement :∫ c

0

(dyU

dx)2 + (

dyL

dx)2dx =

2t2

c(1 + 2α2) et

∫ c

0

(dyU

dx) + (

dyL

dx)dx = [yU +

yL]c0 = −2αt, d’où CD/CL = (1/α + 2α)(t/c).

b) On établit ensuite que le signe ded(CD/CL)

dαest celui de (−1/α2 +2) d’où on peut affirmer, après

quelques considérations élémentaires, que CD/CL est minimal pour α = 1/√

2. La théorie approchéedes profils minces nous donne donc :

α CD

CL

1/2 3.00( tc) = 0.2100

1/√

2 2.83( tc) = 0.1980

1 3.00( tc) = 0.2100

On observe que la théorie approchée fournit une approximation du minimum entachée d’un peu moinsde 5% d’erreur, ce qui reste raisonnable ; cette erreur serait plus faible si le profil était plus mince,i.e. si ε était plus petit.4) Pour optimiser les performances du profil, on se donne maintenant deux degrés de liberté : lessommets A3 et A4 sont désormais mobiles.a) L’équation de l’extrados du profil est inchangée. Par contre, l’intrados est décrit maintenant par :

yL(x) =

− 1

(1 + 2β)(t

c)x 0 ≤ x ≤ (β +

1

2)c

(α− 1/2

β − 1/2)(

t

c)(x− c)− αt (β +

1

2)c ≤ x ≤ c

(attention aux intervalles de variation de x ! Noter également que le paramètre β introduit ici n’arien à voir avec une inclinaison de choc.)Puisque yU et yL fournissent les mêmes valeurs en x = 0 et en x = c que dans le cas 3), on conservela même valeur du coefficient de portance. Pour la traînée, quelques calculs sont nécessaires pouraboutir à :

∫ c

0

(dyU

dx)2 + (

dyL

dx)2dx = (

t2

c)[

1

2+

1

2(1 + 2α)2 +

1

4

1

β + 12

− (α− 1/2)2

(β − 1/2)]

d’où le résultat demandé.b) Si α est supposé constant alors ψ peut être vue comme une fonction de β seul ; si on calcule la dé-rivée de ψ par rapport à β, on constate qu’elle varie comme l’expression (2α−1)2(2β +1)2−(2β−1)2

donc ψ est minimale lorsque cette expression s’annule c’est-à-dire quand |2α− 1||2β + 1| = |2β − 1| ;


compte tenu des intervalles de variation des paramètres α et β donnés dans l’énoncé, ceci est équi-valent à (2α− 1)(2β + 1) = 1− 2β ce qui conduit finalement à : β = (1− α)/(2α) comme valeur deβ minimisant ψ à α fixé.On peut calculer le rapport CD/CL pour cette valeur de β ; après simplification on trouve :

CD

CL

= (3

2α + 1 +

1

2α)(

t

c)

Pour (t/c) donné, on trouve immédiatement que le rapport ci-dessus est minimal pour 1/α2 = 3soit α = 1/

√3 et β est obtenu en utilisant son expression en fonction de α. On trouve pour valeur

minimale du rapport traînée/portance : CD/CL = (√

3 + 1)( tc) ≈ 2.732( t

c) = 0.1912 et on constate

avec plaisir qu’en se donnant un degré de liberté supplémentaire pour définir la cambrure du profilon a réussi à réduire encore un peu plus ce rapport (en 3), on avait 0.1980 comme minimum ; le gainest de l’ordre de 3.5%).5) On exprime les normales à chaque face à l’aide des sinus et cosinus d’angles bien choisis : ε, χ, χ′

et ε′, angle entre A1A4 et l’axe des x ; on utilise ensuite des relations du type : sin(ε′) = (t/2)/A1A4

(similairement pour les autres angles). On peut alors écrire :

~F = −[p2


)A1A2 + p3

(sin(χ)cos(χ)

)A2A3 + p′3

(sin(χ′)− cos(χ′)

)A3A4 + p′2

( − sin(ε′)− cos(ε′)

)A4A1]

en fonction des pressions dans les différents états, de t, c et des paramètres α et β ; en faisant lerapport de la composante suivante x et de celle suivant y on obtient :

CD

CL

= (t

c)(

p2 − p3(1 + 2α)− p′3(1− 2α) + p′2−p2 − p3 + p′3(1− 2β) + p′2(1 + 2β)

)

Pour calculer exactement le rapport CD/CL, il faut évaluer les différentes pressions. L’état 2 estinchangé par rapport à 2). On suppose maintenant α = 1/

√3 et β = (

√3− 1)/2.

Calcul de l’état 3 : on évalue χ = 8.58 deg - ν(M3) = 26.25 deg d’où M3 = 2.0 - 1/r = p3/p2 = 0.513d’où p3 = 0.63.Calcul de l’état 2’ : l’angle de déflection du choc est donné par ε′ = tan−1( 1

1+2β( t

c)) = 2.31 deg -

l’angle d’inclinaison du choc vaut donc à peu près β′ = 38.3 deg - on en tire p′2 = 1.13.Calcul de l’état 3’ : on constate facilement (par l’évaluation des pentes des faces) que, dans le casconsidéré, A1, A4 et A3 sont alignés d’où p′3 = p′2.La théorie exacte permet donc d’établir : CD/CL = 2.924(t/c) = 0.2047 pour α = 1/

√3 et

β = (√

3 − 1)/2, ce qui représente bien un gain (de 1.2%) par rapport à la valeur minimale ob-tenue pour α = 1/

√2 et β = 0 : 0.2072. La théorie approchée fournit une prédiction de la valeur

minimale de CD/CL entachée de 7% d’erreur environ mais permet une détection rapide de l’existencede ce minimum. ¤

Théorie α β CD

CL

Exacte 1/√

2 0 2.96( tc) = 0.2072

Approchée 1/√

2 0 2.83( tc) = 0.1980

Exacte 1/√

3 (√

3− 1)/2 2.92( tc) = 0.2047

Approchée 1/√

3 (√

3− 1)/2 2.73( tc) = 0.1912


3.4 Simulation numérique de l’écoulement sur un profil losan-gique

La théorie choc / détente ou la théorie des profils minces permet un calcul analytique des effortsexercés sur un profil ou une aile en régime supersonique, du moins tant que les géométries consi-dérées restent simples. Pour des géométries plus complexes, on doit avoir recours à une simulationnumérique de l’écoulement. Nous donnons succinctement le principe de mise en oeuvre d’une mé-thode d’approximation des équations d’Euler dans un maillage non-cartésien. On présente sur lafigure 3.7 un exemple de maillage utilisé pour calculer l’écoulement autour d’un profil losangique.Numériquement, on va appliquer la formulation intégrale des équations d’Euler à chacune des cellulesélémentaires de ce maillage.

0 0.5 1X

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y

Fig. 3.7 – Vue partielle du maillage utilisée pour calculer une solution numérique approchée del’écoulement supersonique sur un profil en losange.

Les équations d’Euler bidimensionnelles s’écrivent sous forme intégrale :

d

dt

∫

Ω

w dΩ +

∮

∂Ω

(fnx + gny) dΓ = 0 (3.15)

où Ω est un domaine fermé dont la frontière est notée ∂Ω, ~n, de composantes nx, ny est la normaleextérieure à cette frontière, w est le vecteur des variables conservatives et f, g désignent les fluxphysiques dont l’expression n’est pas rappelée ici. Dans une approche dite volumes finis, la celluleΩ est une cellule Ωi,j, du maillage, de surface |Ωi,j,k|, et la formulation intégrale ci-dessus peut aussis’écrire :

|Ωi,j,k|(wt)i,j +|Γi+ 12,j|F i+ 1

2,j − |Γi− 1

2,j|F i− 1

2,j

+|Γi,j+ 12|Gi,j+ 1

2− |Γi,j− 1

2|Gi,j− 1

2= 0

(3.16)

où les quantités surlignées représentent les moyennes exactes suivantes :

(wt)i,j =1

|Ωi,j|d

dt

∫

Ωi,j

w dxdy

3.4. SIMULATION NUMÉRIQUE DE L’ÉCOULEMENT SUR UN PROFIL LOSANGIQUE 53

F i+ 12,j =

1

|Γi+ 12,j|

∫

Γi+ 12,j

(fnx + gny) dΓ

Construire un schéma en formulation VF signifie alors que l’on approche le bilan exact (3.16) par :

|Ωi,j|(wt)i,j +|Γi+ 12,j|Fi+ 1

2,j − |Γi− 1

2,j|Fi− 1

2,j

+|Γi,j+ 12|Gi,j+ 1

2− |Γi,j− 1

2|Gi,j− 1

2= 0

(3.17)

où les flux numériques Fi+ 12,j et Gi,j+ 1

2approchent les flux physiques à travers les faces Γi+ 1

2,j, Γi,j+ 1

2

correspondantes (voir figure 3.8).

j,k

j,k-1

j+1/2,kΓ

j,k+1/2Γ

j-1,k

Fig. 3.8 – Cellule de contrôle pour la formulation VF.

Il reste bien sûr à choisir une formule de flux numérique (flux de Roe, de Lax-Wendroff, de VanLeer, de Jameson ...) qui offre des propriétés satisfaisantes en termes de précision et de robustesse.Nous ne détaillerons pas ici le flux numérique utilisé ; nous indiquons simplement que le schéma misen oeuvre est d’ordre 2 en espace - lorsque l’on étudie son erreur de troncature obtenue par desdéveloppements de Taylor effectués en maillage cartésien -. Ce schéma a été appliqué au calcul del’écoulement supersonique sur un profil en losange de corde unitaire et d’épaisseur t = 0.07 c. Lenombre de Mach de l’écoulement incident a été pris successivement égal à M∞ = 1.5, M∞ = 2et M∞ = 3. Les isovaleurs de pression obtenues pour chacun de ces cas de calcul sont présentéessur la figure 3.9. Ces calculs sont effectués sur un maillage contenant 120 points dans la directioni de l’écoulement et 25 points dans la direction perpendiculaire j. Le fait que le maillage suivantj soit grossier est bien visible sur la représentation des chocs obliques qui se forment au nez duprofil : dès que l’on s’éloigne du profil (où le maillage est assez fin suivant j) la dissipation numérique"étale" fortement ces discontinuités. Lorsque ces mêmes calculs sont effectués dans un maillage raffinésuivant j (on utilise 3 fois plus de points dans cette direction), on réduit les effets de cette dissipationnumérique comme cela peut être observé sur les isovaleurs présentées Fig. 3.10. Notons que la pressionqui apparaît dans les légendes de la figure 3.9 est une pression adimensionnée telle que la pression

dans l’écoulement incident soit égale à p1 =1

γM21

.

La simulation numérique permet de connaître les valeurs des grandeurs conservatives et primitivesdans toute cellule du maillage et donc en particulier la valeur de la pression sur le profil, de laquelleon peut déduire la traînée d’onde du profil. On rassemble dans le tableau ci-dessous les valeurs ducoefficient de traînée fournies par les calculs dans le maillage 120× 150 ainsi que les valeurs déduites


0 0.5 1 1.5X

-0.5

0

0.5Y

Pression0.392690.38290.373110.3633210.3535310.3437410.3339520.3241620.3143720.3045830.2947930.2850030.2752140.2654240.255634

M=1.5

0 0.5 1 1.5X

-0.5

0

0.5

Y

Pression0.2271890.2207820.2143750.2079680.2015610.1951540.1887470.182340.1759330.1695250.1631180.1567110.1503040.1438970.13749

M=2

0 0.5 1 1.5X

-0.5

0

0.5

Y

Pression0.1104090.1063640.1023190.09827350.09422850.09018340.08613830.08209330.07804820.07400320.06995810.0659130.0618680.05782290.0537778

M=3

Fig. 3.9 – Isovaleurs du nombre de Mach sur un profil losangique de rapport épaisseur / corde 0.07pour un nombre de Mach incident égal à (haut) 1.5, (milieu) 2 et (bas) 3 ; le calcul est effectué dansun maillage 120× 50.

3.4. SIMULATION NUMÉRIQUE DE L’ÉCOULEMENT SUR UN PROFIL LOSANGIQUE 55

0 0.5 1 1.5X

-0.5

0

0.5Y

0 0.5 1 1.5X

-0.5

0

0.5

Y

0 0.5 1 1.5X

-0.5

0

0.5

Y

Fig. 3.10 – Isovaleurs du nombre de Mach sur le profil losangique dans un maillage 120× 150 raffinésuivant j.


de la théorie des profils minces. On observe le très bon accord entre les deux approches. On peutégalement étudier graphiquement l’inclinaison calculée pour les chocs obliques qui se forment aunez du profil suivant la valeur du nombre de Mach incident. Si l’on se reporte à l’abaque fournie enannexe, on constate que pour une déflection de 4 l’inclinaison du choc (faible) décroît avec le nombrede Mach pour passer de β ≈ 46.5 à M1 = 1.5 à β ≈ 33.5 à M1 = 2 et à β ≈ 22.25 à M1 = 3.On peut évaluer maintenant l’inclinaison β des chocs de tête fournis par la simulation numérique àpartir des isovaleurs de pression de la figure 3.10. On trouve pour M1 variant de 1.5 à 3 les valeurssuccessives β ≈ 46.5, β ≈ 33.6 et β ≈ 21.8 en très bon accord avec la théorie.

M1 (CD)profil mince (CD)simulation1.5 0.01128 0.011182.0 0.01750 0.017423.0 0.00693 0.00687

Chapitre 4

Ecoulements dans les tuyères

4.1 Relations fondamentalesOn s’intéresse à l’écoulement isentropique dans un conduit de section variable tel que celui représentésur la figure 4.1.

x

M A(x)

Fig. 4.1 – Configuration générale d’un écoulement quasi 1-D

On suppose pour simplifier l’étude que les propriétés décrivant cet écoulement sont uniformes dansune section donnée.Pour établir les équations de l’écoulement, on peut appliquer les équations de conservation (équationsd’Euler) sous forme intégrale au volume de contrôle indiqué sur la figure 4.2.

Etat 1

Etat 2

v . N = 0

N

v . N = 0

Fig. 4.2 – Volume de contrôle utilisé pour établir la forme intégrale des équations d’Euler quasi-1D.

57

58 CHAPITRE 4. ECOULEMENTS DANS LES TUYÈRES

On établit alors aisément les équations suivantes traduisant respectivement la conservation de lamasse, de la quantité de mouvement et de l’énergie pour le fluide s’écoulant dans le conduit :

ρ1u1A1 = ρ2u2A2

p1A1 + ρ1u21A1 +

∫ A2

A1

pdA = p2A2 + ρ2u22A2

H1 = H2

(4.1)

Afin d’être exploitées de façon plus fructueuse, ces relations peuvent se mettre sous forme différen-tielle en choisissant par exemple u, p, T et A pour état 1, et u + du, p + dp, T + dT et A + dA pourétat 2. On obtient alors les égalités différentielles suivantes :

d(ρuA) = 0dp = −ρududh + udu = 0

(4.2)

où on rappelle que l’enthalpie h est définie par h = e + p/ρ avec e l’énergie interne spécifique.En combinant les relations différentielles ci-dessus nous allons obtenir une nouvelle relation très utiledans l’analyse des écoulements avec changement de section.

4.2 Relation section-vitesseLa relation d(ρuA) = 0 peut aussi s’écrire :

dρ

ρ+

du

u+

dA

A= 0

Puisque l’écoulement est supposé isentropique, on peut définir la vitesse du son par : a2 =dp

dρ. En

utilisant alors dp = −ρudu, on obtientdρ

ρ= −u2

a2

du

u, d’où finalement la relation section-vitesse :

dA

A= (M2 − 1)

du

u(4.3)

Cette relation peut s’interpréter comme suit :

a) Cas d’un écoulement subsonique : M < 1

Les quantitésdA

Aet

du

usont de signe opposé : une diminution de section induit une accélération

de l’écoulement alors qu’un élargissement de la section du conduit induit une décélération de l’écou-lement - on rencontre par exemple ce type de comportement en hydrodynamique lorsque l’on observele cours d’une rivière - (cf. Fig. 4.3).

b) Cas d’un écoulement supersonique : M > 1

Dans ce cas,dA

Aet

du

usont de même signe. Ceci a pour conséquence un comportement inverse

du précédent : en supersonique, un élargissement de section du conduit induit une augmentation de

4.2. RELATION SECTION-VITESSE 59

u augmente

M < 1

u diminue

M < 1

Fig. 4.3 – Evolution de la vitesse d’un écoulement subsonique dans un conduit à section variable.

la vitesse de l’écoulement alors qu’un resserrement de cette section induit une diminution de cettevitesse (cf. Fig. 4.4).

M > 1

u diminue

M > 1

u augmente

Fig. 4.4 – Evolution de la vitesse d’un écoulement supersonique dans un conduit à section variable.

c) Cas où M = 1

Si M = 1 alorsdA

A= 0 ce qui signifie que A atteint un extremum : la section A en laquelle M = 1

est minimale ou maximale. Compte tenu des points a) et b) précédents, le seul cas possible est celuioù l’aire A est minimale. Ainsi, si M = 1 en un point de l’écoulement dans un conduit de sectionvariable, cette valeur est nécessairement prise en un col du conduit.Attention ! on n’a pas nécessairement M = 1 en un col ; si l’écoulement reste par exemple subsoniquedans le conduit, on a simplement un extremum (en l’occurence un maximum) de vitesse qui est at-teint au col.

On peut déduire de ce qui précède que, pour détendre de façon isentropique un gaz en l’accélérantd’une vitesse subsonique à une vitesse supersonique, on doit nécessairement se trouver dans la confi-guration indiquée sur la figure 4.5.

Exemple d’un moteur fusée :

Similairement, pour comprimer de façon isentropique un gaz en le décélérant du régime supersoniqueau régime subsonique, on a nécessairement une configuration du type convergent-divergent (on parleaussi de tuyère De Laval, du nom d’un ingénieur suédois de la fin du 19ème siècle) (cf. Fig. 4.6).


u augmente

M < 1 M > 1

col

M = 1

Fig. 4.5 – Détente isentropique d’un gaz dans une tuyère convergente-divergente.

M < 1 M > 1

poussée

chambre de combustion

col

M = 1

u diminue

M > 1 M < 1

Fig. 4.6 – Compression isentropique d’un gaz dans une tuyère convergente-divergente.

4.3. ANALYSE DE L’ÉCOULEMENT ISENTROPIQUE DANS UNE TUYÈRE 61

4.3 Analyse de l’écoulement isentropique dans une tuyèreOn considère l’écoulement isentropique dans une tuyère et on cherche à établir une relation entrel’aire A d’une section de la tuyère et le Mach local dans cette section. Il est clair, pour des raisons

dimensionnelles, que la relation cherchée est du type :A

Aref

= f(M), où Aref désigne l’aire d’une

section de référence.Précisément, on choisit comme état de référence l’état sonique : M = 1 (u∗ = a∗) ; on note A∗ lasection sonique en laquelle les propriétés de l’écoulement sont les grandeurs soniques p∗, T∗ . . . (lasection sonique est aussi communément appelée section critique)Il faut noter que cette section critique n’est pas nécessairement une section réelle de l’écoulementmais peut toujours être introduite, même de façon purement conceptuelle.

La conservation de la masse entre un état quelconque dans la tuyère et l’état sonique s’écrit :

ρuA = ρ∗u∗A∗

doncA

A∗=

ρ∗ρ· u∗

u=

ρ∗ρ· u∗a∗· a∗

u=

ρ∗ρ· 1

M∗Le Mach caractéristique M∗ = u/a∗ est connu en fonction du Mach local par la relation (1.6). Pour re-lier ρ∗/ρ au nombre de Mach, on fait intervenir l’état d’arrêt, autre état de référence particulièrementintéressant :

ρ∗ρ

=ρ∗ρ0

· ρ0

ρ

où ρ0 désigne la masse volumique à l’état d’arrêt associé à l’état local considéré.L’écoulement étant supposé isentropique, on sait (relations (1.13) et (1.15)) que :

ρ0

ρ= (

T0

T)

1

γ − 1 = (1 +γ − 1

2M2)

1

γ − 1 = f(M)

On a en particulier :ρ0

ρ∗= f(M = 1) = (

γ + 1

2)

1

γ − 1 .

On trouve donc finalement la relation section-nombre de Mach suivante, que l’on appelle aussi parfois"loi des aires" :

(A

A∗) =

1

M[

2

(γ + 1)(1 +

γ − 1

2M2)]

(γ + 1)

2(γ − 1) (4.4)

Cette relation est essentielle pour l’étude des écoulements dans les tuyères.

Elle peut aussi être vue comme étant de la forme M = f(A

A∗). Ainsi, pour un écoulement isentropique,

le nombre de Mach dans une section de la tuyère est entièrement déterminé par le rapport entre l’airede la section locale et l’aire de la section critique associée (existante ou virtuelle).Il est important de noter que, compte tenu de l’hypothèse d’isentropie, pression et nombre de Machdans une section sont reliés par la relation (1.14) :

p0

p= (1 +

γ − 1

2M2)

γ

γ − 1 (4.5)


où p0 est la pression totale associée à l’état statique considéré.

La relation (4.5) peut donc aussi être vue comme une relation du typep

p0

= g(A

A∗).

Selon qu’elle est vue sous la forme M = f(A

A∗) ou

p0

p= g(

A

A∗), la relation (4.4) a l’une ou l’autre

représentation graphique indiquée sur la figure 4.7.

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rapport de sections A/A*

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

No

mb

re d

e M

ach

M

Branche subsonique

Branche supersonique

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rapport de sections A/A*

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rap

po

rt d

e p

ress

ion

p/p

0

Branche supersonique

Branche subsonique

Fig. 4.7 – Relation entre (section locale / section critique) et a) nombre de Mach M ; b) rapport(pression statique / pression totale).

On observe, conformément à ce qui a été précédemment mentionné, que la section critique est lasection d’aire minimale dans l’écoulement isentropique. Si l’état critique (ou sonique) existe dansl’écoulement, il est nécessairement atteint au col de la tuyère donc A∗ = Ac où Ac désigne l’airede la section au col. On note que pour un rapport A/A∗ donné, il existe deux valeurs possibles dunombre de Mach : l’une subsonique, l’autre supersonique. L’une ou l’autre solution est activée selonles conditions aux limites de la tuyère comme nous allons le voir dans ce qui suit.

4.4 Analyse des différents régimes d’écoulement d’une tuyèreConsidèrons une tuyère convergente-divergente dans la configuration indiquée sur la figure 4.8.Supposons tout d’abord la pression d’éjection égale à la pression génératrice : pe = p0. Dans ce cas, iln’y a pas d’écoulement dans la tuyère : le fluide reste au repos (puisque dp = −ρudu, dp = 0 entraînedu = 0).

Supposons maintenant que nous diminuions légèrement pe.La petite différence de pression ainsi formée engendre un écoulement à faible vitesse dans la tuyère.Dans le convergent, le fluide accèlère à partir de l’état d’arrêt ; l’écoulement atteint sa vitesse maxi-male au col (l’écoulement au col reste subsonique) ; après le passage du col, le fluide décélère dans le

4.4. ANALYSE DES DIFFÉRENTS RÉGIMES D’ÉCOULEMENT D’UNE TUYÈRE 63

pressionde sortie

0p

c

A/A

d’arrêtconditions ou d’éjection

très grand *

Ap

ecol

Fig. 4.8 – Configuration typique d’écoulement dans une tuyère.

divergent.On peut visualiser ce comportement en se référant à la courbe représentative de la relation (4.4) :l’état décrivant l’écoulement se situe initialement sur la branche subsonique (M ≈ 0 dans le réservoiroù règnent les conditions d’arrêt) ; au fur et à mesure que l’on se déplace vers l’aval de la tuyèreon monte le long de cette branche subsonique ; le point d’ordonnée maximale, i.e. le Mach maximal,est atteint au col (on note au passage que l’aire de la section au col Ac est supérieure à l’aire de lasection critique A∗ puisque A/A∗ reste toujours strictement supérieur à 1 dans cette configurationd’écoulement) ; une fois le col passé, on redescend le long de la branche subsonique jusqu’à atteindreles conditions dans la section d’éjection - on notera (Me)1 le Mach dans la section d’éjection -.Le raisonnement qui vient d’être fait sur le nombre de Mach peut naturellement être conduit avec lapression : la pression statique p diminue à partir de la valeur d’arrêt p0 jusqu’à atteindre un minimumau col de la tuyère puis, une fois le col passé, augmente pour atteindre la valeur - notée (pe)1 - de lapression dans la section d’éjection.

Supposons que nous diminuions encore un peu plus pe (on note (Me)2 et (pe)2 le nombre de Mach etla pression d’éjection dans ce cas : on a (pe)2 < (pe)1 et (Me)2 > (Me)1).Le rapport de pression p0/pe étant plus élevé entre l’entrée et la sortie l’accélération de l’écoulementva être plus importante : on va “monter plus haut” le long de la branche subsonique. Le nombre deMach (respectivement la pression) au col sera plus élevé (respectivement plus faible) (cf. Fig. 4.9).On notera qu’il existe une infinité de solutions subsoniques isentropiques dans la tuyère ; elles sontcontrôlées par le rapport de pression pe/p0 et par la donnée géométrique A/Ac.

Il est clair que si l’on continue de diminuer la pression d’éjection pe, on va atteindre une valeur decette pression, notée (pe)3 - (Me)3 désigne le nombre de Mach correspondant dans la section d’éjection-, pour laquelle l’écoulement devient tout juste sonique au col ; dans ce cas la section au col est lasection critique : Ac = A∗. Evaluons l’état critique.

On sait que dans un écoulement isentropique :T0

T= 1 +

γ − 1

2M2, donc en particulier pour M = 1,

T0/T∗ = (γ+1)/2 soit encore Tc = T∗ = 2γ+1

T0 = 0.833T0. Pour déterminer la pression on utilise le fait

que l’écoulement considéré est isentropique :p0

p∗= (

T0

T∗)

γ

γ − 1 d’où pc = p∗ = ( 2γ+1

)

γ

γ − 1p0 = 0.528p0.

Lorsque l’on passe de la configuration 1 à la configuration 2 puis à la configuration 3, le débit-masse


1

x

p/p0

sortiecol

p

1

xentrée entrée

Mach

e2

pe1

col sortie

1

Me2

Me

Fig. 4.9 – Ecoulements subsoniques isentropiques dans la tuyère.

Mach

sortiecol

0

sortie

1

x

p/p

1

pe3

entrée entrée

0.528

x

Me3

col

Fig. 4.10 – Ecoulement dans une tuyère amorcée.


m = ρuA augmente :m1 < m2 < m3

Pour un écoulement subsonique donné, la conservation de la masse implique que m est constant dansl’écoulement donc en particulier m = ρcAcuc, valeur au col. On a par conséquent :

m1 < m2 < m3 = ρ∗A∗u∗

puisque dans la configuration 3, l’état au col est l’état critique ou sonique.Lorsque l’état sonique est atteint au col (on dit aussi que la tuyère est amorcée), le nombre de Machvaut 1 au col et ne prendra pas de valeur plus élevée même si on continue à baisser la pressiond’éjection au-delà de (pe)3 ; le débit-masse restera constant égal à ρ∗A∗u∗.En fait, une fois la tuyère amorcée, l’écoulement dans le convergent est figé ; il ne connaît plus devariation pour toute valeur ultérieure de la pression d’éjection pe inférieure à (pe)3.Par contre, l’écoulement dans le divergent va continuer à évoluer en fonction des conditions dans lasection d’éjection.

Lorsque l’on continue de baisser la pression d’éjection sous la valeur d’amorçage (pe)3, il n’y a plusen général de solution isentropique possible pour l’écoulement dans le divergent de la tuyère. Si on seplace sur la courbe M = f(A/A∗) (ou M = f(A/Ac) puisque, la tuyère étant amorcée, Ac = A∗) re-présentative de (4.4) (cf. Fig. 4.7), on constate que, au-delà du col, on a naturellement un écoulementsupersonique puisque dans le divergent A/Ac > 1 ; si l’écoulement reste isentropique, on reste surcette branche supersonique jusqu’à atteindre la valeur A/Ac associée à la pression pe dans la sectiond’éjection. Mais, en règle générale, la pression dans la section d’éjection a une valeur différente decelle prescrite par la solution isentropique (4.4). Il n’y a plus alors de solution isentropique possiblepour l’écoulement dans le divergent de la tuyère et un choc droit se forme dans ce divergent (cf. Fig.4.11).

col

choc droit

Fig. 4.11 – Formation d’un choc droit dans le divergent de la tuyère.

Entre le col et la section dans laquelle se place ce choc, on a bien la solution isentropique superso-nique précédente - qui est unique - mais après le choc l’écoulement devient subsonique et décéléredans le divergent. Le choc est précisément placé de sorte que l’augmentation de pression à traversl’onde de choc plus l’augmentation de pression entre la section immédiatement en aval du choc et lasection d’éjection permettent d’atteindre la pression d’éjection fixée (notée (pe)4 - inférieure à (pe)3 -).

Lorsque l’on réduit encore un peu plus la pression d’éjection, le choc se déplace vers la section desortie ; la limite de ce régime est atteinte lorsque le choc droit se situe dans la section de sortie (cf.


0

col sortie

Mach

x

p/p

col sortie

1

x

M

e4

solution isentropiquesupersonique

entrée entrée

p

e

0.5281

4

choc

Fig. 4.12 – Ecoulement dans une tuyère présentant un choc droit dans le divergent.

Fig. 4.13).

col

Fig. 4.13 – Formation d’un choc droit dans la section d’éjection de la tuyère.

Dans un tel cas de figure, l’écoulement dans la tuyère est donnée par la solution isentropique (4.4)jusqu’à la section située immédiatement en aval de la section d’éjection ; dans la section d’éjectionon a une variation brutale du Mach et de la pression qui passent respectivement des valeurs (Me)6

et (pe)6, correspondant à la solution isentropique en section d’éjection, aux valeurs (Me)5 et (pe)5,données par les relations de saut du choc droit avec (Me)6 et (pe)6 comme conditions amont.

sortiex

0.5281

choc

Mach

col col sortie

1

x

p/p0

solution isentropique

e5

saut de pression

entrée entrée

à travers le choc droit

section d’ éjection

p

supersonique

choc droit en

Me6

pe6

M5

e

Fig. 4.14 – Ecoulement dans une tuyère présentant un choc droit en section d’éjection.

Lorsque la pression ambiante en sortie de tuyère passe sous la valeur (pe)5, la variation de cettepression n’affecte plus l’écoulement dans la tuyère qui correspond alors intégralement (y compris en


section d’éjection) à l’unique solution supersonique isentropique (4.4). Lorsque la pression d’éjectionest exactement égale à (pe)6, on dit que la tuyère est adaptée.

Lorsque la pression ambiante en sortie de tuyère est comprise entre (pe)5 et (pe)6, un phénomènephysique en sortie de tuyère (à l’extérieur de celle-ci) doit assurer la recompression de l’écoulementde la valeur (pe)6 à la valeur ambiante ; cette recompression est naturellement moins forte que cellegénérée par un choc droit en section de sortie (qui conduit à retrouver une pression ambiante égale à(pe)5). Le phénomène physique qui permet de réaliser cette recompression est un choc oblique attachéà la sortie de la tuyère (cf. Fig. 4.15).

col5ep< a< p

6ep6ep

Fig. 4.15 – Recompression par choc oblique en sortie de tuyère.

Enfin, lorsque la pression ambiante en sortie de tuyère est inférieure à (pe)6, une détente superso-nique assure la transition entre la pression (pe)6 dans la section d’éjection et la valeur de la pressionambiante pa < (pe)6 (cf. Fig. 4.16).

colap

6ep< ep6

Fig. 4.16 – Ajustement à la pression ambiante par détente supersonique en sortie de tuyère.

L’ensemble de cette discussion est bien sûr essentiel pour pouvoir analyser, au moins en premièreapproximation - c’est-à-dire, notamment, sans prise en compte des effets visqueux -, les performancesd’une tuyère ou d’un système propulsif en termes de poussée. On trouvera dans le chapitre 5 uneétude détaillée des caractéristiques d’un moteur fusée, d’un turboréacteur et d’un statoréacteur.


4.5 Quelques exemples

4.5.1 Ecoulement isentropique dans une tuyère convergente-divergente

On considère une tuyère convergente-divergente connectée à un réservoir dans lequel règnent lesconditions d’arrêt : p0 = 10 atm et T0 = 300 K. Il existe deux sections dans la tuyère en lesquellesA/A∗ = 6 (nécessairement, l’une de ces sections se situe dans le convergent, l’autre dans le divergent).On cherche à calculer le nombre de Mach M , la pression p, la température T et la vitesse u dans ces2 sections.

• On se place tout d’abord dans le convergent : l’écoulement y est subsonique. On se réfère donc à lapartie subsonique des tables données en annexe - qui fournissent pour un nombre de Mach M connules rapport p/p0 et A/A∗ correspondant à la relation fondamentale (4.4) - : par interpolation linéairedes couples (A/A∗ = 6.46, M = 0.09) et (A/A∗ = 5.82, M = 0.10), on en déduit que pour A/A∗ = 6on a approximativement M = 0.097.On utilise alors la relation (1.13) des écoulements isentropiques (et même seulement adiabatiquespour la relation entre température statique et température totale) pour calculer la température T :

T0

T= (1 +

γ − 1

2M2)

d’où T = 299.4 K.La pression p est donnée par :

p0

p= (1 +

γ − 1

2M2)

γγ−1

d’où p = 9.93 atm.Connaissant la température T , on en déduit la vitesse du son :

a =√

γrT = 346.86 m/s

et donc la vitesse du fluide :u = aM = 33.6 m/s.

On se place ensuite dans le divergent et, faute de plus amples renseignements, on suppose quel’écoulement supersonique reste isentropique ; on se réfère alors à la partie supersonique des tablesfournies en annexe ; on effectue une interpolation linéaire sur les couples (A/A∗,M) encadrant lavaleur A/A∗ = 6 ; on établit que dans la section A/A∗ = 6 du divergent on a M = 3.368. En utilisantla même démarche que précédemment, on trouve : p = 0.158 atm, T = 91.77 K, a = 192 m/s etu = 646.7 m/s. ¤

4.5.2 Ecoulement dans une tuyère amorcée

On considère une tuyère présentant les caractéristiques indiquées sur la figure 4.17.

L’aire de la section au col de la tuyère et l’aire de la section d’éjection sont connues. La pressiond’arrêt p0 en amont du col est donnée ainsi que la pression atmosphérique pa. On s’interroge poursavoir si le régime de fonctionnement : “tuyère amorcée et écoulement isentropique jusqu’à la section

4.5. QUELQUES EXEMPLES 69

A

col

e

= 1 barap

2= 11.71 cm

Ac= 5 bar0

p 2= 1 cm

Fig. 4.17 – Caractéristiques de la tuyère convergente-divergente étudiée.

d’éjection” est réalisable.

• Si la tuyère est amorcée, M = 1 au col et la section critique de l’écoulement est la section au col :A∗ = Ac = 1cm2. On peut alors évaluer le rapport entre l’aire de la section d’éjection et l’aire de lasection critique : Ae/A∗ = 11.71. Puisque l’on souhaite un écoulement isentropique jusque dans lasection d’éjection, le Mach associé à cette valeur de A/A∗ correspond au régime supersonique doncMe = 4.10. On peut alors calculer le rapport entre la pression dans la section d’éjection et la pressiond’arrêt associée :

pe

(p0)e

= (1 +γ − 1

2M2

e )−γγ−1 = 0.5769× 10−2

Comme l’écoulement est supposé isentropique, la pression d’arrêt est constante dans l’écoulement etégale en particulier à la valeur de la pression d’arrêt en amont du col : (p0)e = (p0)entree = 5 bar ; onen déduit pe = 0.028845 bar.

Pour que l’écoulement soit physiquement possible, il faut qu’il existe un phénomène physique quipermette de passer d’une pression de 0.0288 bar dans la section d’éjection à la pression ambiantede 1 bar ; autrement dit, on se pose la question de savoir s’il existe une transformation physique quipermette de recomprimer dans cette proportion l’écoulement en sortie de tuyère. Le phénomène leplus fort (i.e. celui engendrant la plus forte recompression) qui puisse se produire tout en préservantl’isentropie de l’écoulement dans la tuyère est un choc droit localisé dans la section de sortie de latuyère (la variation d’entropie se produit donc à la limite de la tuyère).Les conditions immédiatement en amont d’un tel choc sont Me = 4.10 et pe = 0.028845 bar. Les rela-tions de choc droit nous fournissent pour Mamont = 4.10 : paval/pamont = 19.455 d’où paval = 0.56 bar.Cette valeur étant inférieure à la valeur 1 bar de la pression atmosphérique, il n’existe pas de phé-nomène physique permettant de réaliser la recompression souhaitée et par conséquent l’écoulementenvisagé n’est pas réalisable. Dans la réalité, on aura un choc droit dans le divergent suivi d’unerecompression isentropique. ¤

4.5.3 Ecoulement dans un divergent

On considère une tuyère divergente présentant les caractéristiques indiquées sur la figure 4.18.

On souhaite déterminer les nombres de Mach M2 et M3 dans les sections 2 et 3 respectivement im-médiatement en amont et en aval du choc, le nombre de Mach Me dans la section d’éjection et le


M

3A

choc

1 = 3 A1eA

1A

=3

1= 2 A

chocA

2A

Fig. 4.18 – Caractéristiques du divergent étudié.

rapport pression d’éjection pe / pression d’entrée p1.

• L’écoulement en amont du choc est supersonique et isentropique ; il accélère de la section d’entréeà la section du choc. On lui associe une section critique (A∗)amont - qui n’est pas située dans l’écou-lement -.L’écoulement en aval du choc est un écoulement subsonique isentropique ; il décélère de la section duchoc à la section d’éjection. On lui associe également une section critique (A∗)aval virtuelle.La position du choc dans le divergent est déterminée par les conditions de pression en sortie.On sait que déterminer M2 équivaut à trouver le rapport A2/(A∗)amont. Naturellement, on n’est pasen mesure de déterminer (A∗)amont. Mais, on sait également que connaître le nombre de Mach dansune section équivaut à connaître le rapport A/A∗ dans cette même section. On écrit donc :

A2

(A∗)amont

=A2

A1

· A1

(A∗)amont

On sait que A2/A1 = 2 et par ailleurs A1/(A∗)amont est connu par tabulation puisque l’on sait queM1 = 3. On trouve A1/(A∗)amont = 4.235 d’où A2/(A∗)amont = 8.47. On en déduit M2 = 3.738.La relation de choc droit fournit de façon immédiate : M3 = 0.4427.Pour déterminer le Mach dans la section d’éjection on procède suivant la démarche précédemmentdécrite. On détermine Me en évaluant le rapport Ae/(A∗)aval comme :

Ae

(A∗)aval

=Ae

A3

· A3

(A∗)aval

On sait que Ae/A3 = 3/2 et par ailleurs A3/(A∗)aval est connu par lecture des tables en utilisantM3 = 0.4427. On trouve finalement Me = 0.275.Pour calculer le rapport de pression pe/p1, on va utiliser ce que l’on sait facilement déterminer,i.e. des rapports du type pression statique / pression totale associée. Dans le cas d’un écoulementprésentant un choc, il faut naturellement tenir compte de l’existence de deux pressions d’arrêt deréférence : l’une (p0)amont associée à l’écoulement isentropique en amont du choc, l’autre (p0)aval

associée à l’écoulement isentropique en aval du choc. On écrit donc :

pe

p1

=pe

(p0)aval

· (p0)aval

(p0)amont

· (p0)amont

p1

Le premier et le troisième rapport qui apparaissent dans cete expression sont connus directement àpartir des nombre de Mach Me, M1 dans les sections considérées : en notant f(M) = (1+ γ−1

2M2)

γγ−1 ,

4.6. STATORÉACTEUR À COMBUSTION SUPERSONIQUE 71

on peut écrire :pe

(p0)aval

=1

f(Me)et

(p0)amont

p1

= f(M1)

Le deuxième rapport peut être lu directement dans les tables de choc droit ou bien évalué à partirdes nombres de Mach M2 et M3 de part et d’autre du choc ; on a en effet :

(p0)aval

p0)amont

=(p0)aval

p3

· p3

p2

· p2

(p0)amont

On utilise à nouveau : p2/(p0)amont = 1/f(M2) et (p0)aval/p3 = f(M3) ; le rapport p3/p2 est donnépar la relation de saut à travers un choc droit (1.11) - avec M2 pour Mach amont - :

p2

p1

= 1 +2γ

γ + 1(M2

2 − 1) = g(M2)

On rassemble tous les développements précédents par la relation :

pe

p1

=1

f(Me)· f(M3) · g(M2) · 1

f(M2)· f(M1)

Après calcul, on trouve pour rapport de compression du divergent :pe

p1

= 6.045. ¤

4.6 Statoréacteur à combustion supersonique

Ce problème est tiré de l’examen final ECOUL1 de février 1999.

Les turboréacteurs assurent la propulsion d’un avion à réaction selon le principe de fonctionnementsuivant : l’air ambiant est aspiré puis comprimé par un compresseur ; son énergie est augmentée parla combustion d’un carburant dans la chambre de combustion ; il se détend ensuite dans une turbineà laquelle il communique une partie de son énergie, utilisée pour entraîner le compresseur (placé surle même arbre que la turbine) ; une deuxième détente se produit dans la tuyère d’éjection au coursde laquelle la vitesse des gaz éjectés augmente.Un statoréacteur diffère d’un turboréacteur par le mécanisme de compression de l’air entrant : cettecompression est assurée en régime supersonique (régime de fonctionnement d’un statoréacteur) grâceaux propriétés d’une onde de choc. Les machines tournantes (mobiles) du turboréacteur sont doncinutiles, d’où le nom de statoréacteur.On s’intéresse ici à un statoréacteur à combustion supersonique (ou superstatoréacteur) : l’écoulementadmis dans l’entrée d’air du réacteur est hypersonique (il est ralenti par un système de chocs obliquesqui n’est pas étudié ici) et reste partout supersonique. On souhaite analyser les caractéristiques del’écoulement dans ce superstatoréacteur entre le convergent qui assure la compression de l’air avantson admission dans la chambre de combustion et le divergent qui accélère le fluide avant éjection (cf.Fig. 4.19).

On suppose que l’écoulement est unidimensionnel, stationnaire et on néglige les frottements visqueuxdans tout le réacteur. Le fluide qui traverse le réacteur est assimilé à un gaz parfait de chaleursspécifiques constantes, tel que γ = 1.4 et r = 287 J kg−1 K−1.


A1

2 3

4

A

Chambre de combustion

chaleur ajoutée q

A

A

Fig. 4.19 – Schéma de principe de la partie du statoréacteur étudiée dans ce problème.

On souhaite dans un premier temps récapituler quelques relations utiles et en établir une nouvellepour mener à bien notre analyse de ce superstatoréacteur.

1) On considère un écoulement unidimensionnel, stationnaire et isentropique de gaz parfait dans unetuyère.a) • Rappeler (sans démonstration) les relations qui permettent de relier la pression statique p dansune section de la tuyère à la pression totale (ou pression d’arrêt) p0 associée et la température sta-tique T à la température totale (ou température d’arrêt) T0 associée.• Rappeler également (toujours sans démonstration) la relation qui donne le rapport section localeA / section critique A∗ en fonction du nombre de Mach local M .

Note : on donnera ces relations sous la forme

p

p0

= π(M) ,T

T0

= τ(M) ,A

A∗ = σ(M)

Les fonctions π(M) et σ(M) sont tabulées dans le polycopié “Ecoulements supersoniques”.

b) • Soit m = ρuA le débit massique du fluide dans la tuyère (ρ et u désignent respectivement lamasse volumique et la vitesse du fluide). En calculant ce débit massique dans la section critique —qui peut toujours être introduite comme une section en laquelle M = 1, même si l’état critique n’estpas atteint dans l’écoulement en réalité — et en reliant état critique et état d’arrêt grâce aux relationsprécédentes, exprimer m en fonction de p0, T0, A∗, γ et r.

2) Il est clair que l’écoulement dans le superstatoréacteur n’est pas partout isentropique : le fluide estchauffé dans la chambre de combustion et l’écoulement n’y est plus adiabatique. On souhaite doncétudier ici l’influence d’un apport de chaleur q sur un écoulement unidimensionnel, stationnaire dansune conduite de section constante (cf. Fig. 4.20).

a)• Exprimer la conservation de la quantité de mouvement entre les sections 1 et 2 et en déduire unerelation de la forme :

p2

p1

=α(M1)

α(M2)

• Traduire la conservation du débit massique entre les sections 1 et 2 à l’aide de 1).


et section critique

associées :

p T

Grandeurs d’arrêt

q


u

A*

2 22

T

2 2

p0 0

p0

10

1

1T

1p

1u

Tassociées :

2

et section critique

A1*


Grandeurs d’arrêt

Fig. 4.20 – Conduite à section constante avec apport de chaleur.

Note : On introduira T01, p01 (resp. T02, p02) grandeurs d’arrêt associées à l’écoulement isentropiqueen amont de la section 1 (resp. en aval de la section 2) ; on introduira similairement A∗

1 (resp. A∗2)

section critique associée à l’écoulement adiabatique en amont de la section 1 (resp. en aval de lasection 2).

• En déduire une relation de la forme :

T02

T01

=φ(M1)

φ(M2)

où la fonction φ(M) s’exprime simplement en fonction de π(M), α(M) et σ(M).On fournit sur la figure 4.21 la courbe représentative de la fonction φ(M).

1 2 3Nombre de Mach M

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

Fonc

tion

ϕ (M

)

Fig. 4.21 – Courbe représentative de la fonction φ(M).

b) L’équation de bilan d’énergie entre les sections 1 et 2 s’écrit :

CpT1 +1

2u2

1 + q = CpT2 +1

2u2

2

• Montrer que si l’écoulement est supersonique au niveau de la section 1, l’apport de chaleur (q > 0)entre les sections 1 et 2 contribue à diminuer le nombre de Mach de l’écoulement (M2 < M1).• Donner en fonction de l’état dans la section 1 l’expression de la quantité de chaleur qmax qui amène


l’écoulement dans la section 2 à l’état critique.

Remarque : Si l’apport de chaleur q est supérieur à qmax, on a blocage thermique (thermal choking)de l’écoulement et la chaleur ajoutée au-delà de la valeur critique qmax entraîne une diminution dudébit massique m.

3) On suppose que l’écoulement à l’entrée du compresseur (section A1 sur la Fig.1) est caractérisépar :

M1 = 5 , p1 = 0.1 atm , T1 = 650 K

On souhaite calculer l’état dans la section d’éjection A4.

a) Le convergent localisé entre les sections A1 et A2 comprime isentropiquement le fluide de M1 = 5à M2 = 3.• Déterminer la température totale associée à l’écoulement dans le convergent (T01 = T02).• Calculer la pression statique p2 dans la section A2.• Calculer le rapport de sections A1/A2.

b) La combustion produit une quantité de chaleur q telle que le nombre de Mach dans la section desortie de la chambre de combustion (assimilée à une conduite de section constante) vaut M3 = 2.• Déterminer la quantité de chaleur q produite par la combustion (en kJ kg−1).• Calculer la température d’arrêt et les température et pression statiques dans la section A3.

c) Le divergent localisé entre les sections A3 et A4 détend isentropiquement le fluide de M3 = 2 àM4 en section d’éjection. Cette section d’éjection A4 a même surface que la section d’entrée A1 duconvergent (les rapports A4/A3 et A1/A2 sont donc égaux).• Calculer le nombre de Mach M4, la pression statique p4, la température statique T4 et la vitesse dufluide u4 en section d’éjection.

¤ 1) a) Le rapport température statique T / température d’arrêt T0 dans une section de la tuyèreest donné par :

T

T0

= (1 +γ − 1

2M2)−1 = τ(M)

avec M le nombre de Mach dans la section.Similairement :

p

p0

= (1 +γ − 1

2M2)−

γγ−1 = π(M)

Pour l’écoulement isentropique considéré, le rapport section locale A / section critique A∗ s’exprimeen fonction du nombre de Mach M dans la section suivant la relation :

A

A∗=

1

M[

2

(γ + 1)(1 +

γ − 1

2M2)]

(γ+1)2(γ−1) = σ(M)

b) Le débit massique, constant dans la tuyère, peut être calculé en particulier au niveau de la sectioncritique :

m = ρ∗u∗A∗ = ρ∗a∗A∗


puisque M = 1 soit u = a dans la section critique. Compte tenu de p = ρrT et a =√

γrT , on endéduit :

m = p∗

√γ

rT∗A∗

On peut alors appliquer les formules rappelées en a) pour relier T∗ à T0 et p∗ à p0 ; en effet, T∗/T0 =τ(1) et p∗/p0 = π(1). D’où :

m = π(1)

√γ

rτ(1)

p0√T0

A∗

2) a) La conservation de la quantité de mouvement entre les sections 1 et 2 de la chambre decombustion, considérée comme une conduite de section constante, s’écrit :

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u

22

or ρu2 = ρa2M2 = γpM2, donc :

p1(1 + γM21 ) = p2(1 + γM2

2 )

soitp2

p1

=α(M1)

α(M2)

avec α(M) = 1 + γM2.On a vu en 1) b) que le débit massique peut s’exprimer comme :

m = κp01√T01

A∗1 = κ

p02√T02

A∗2

avec κ fonction de γ et r. Par conséquent :

p01√T01

A∗1 =

p02√T02

A∗2

On en déduit : √T02

T01

= (p02

p01

) · (A∗2

A∗1

) = (p02

p2

× p2

p1

× p1

p01

) · (A∗2

A× A

A∗1

)

avec A la section constante de la chambre de combustion. Finalement :

T02

T01

= (1

π(M2)× α(M1)

α(M2)× π(M1))

2 · ( 1

σ(M2)× σ(M1))

2 =φ(M1)

φ(M2)

avec φ(M) = (α(M)× π(M)× σ(M))2.b) Par définition de la température totale T0 : CpT0 = CpT + 1

2u2. L’équation de bilan d’énergie peut

donc se réécrire :CpT01 + q = CpT02

soitq = CpT01(

φ(M1)

φ(M2)− 1)

Si il y a apport de chaleur, q > 0, alors nécessairement φ(M1) > φ(M2) ; comme on suppose M1 > 1et que φ est croissante pour M > 1, on en déduit M2 < M1.


Si l’écoulement dans la section 2 est à l’état critique, i.e. M2 = 1 alors φ(M2) = φ(1) ≈ 1.61 (cf. Fig.3) et par conséquent :

qmax = CpT01(φ(M1)

1.61− 1)

3) On connaît l’état (M1, p1, T1) dans la section d’entrée du compresseur A1.a) Entre les sections A1 et A2 le fluide est comprimé isentropiquement de M1 = 5 à M2 = 3.On connaît T1 et M1 donc T01 = T1/τ(M1) soit T01 = 3900 K.On connaît p1 et M1 donc p01 = p1/π(M1), soit p01 = 52.9 atm.Comme l’écoulement est isentropique entre A1 et A2, p02 = p01 et on peut donc calculer p2 = p02π(M2),soit p2 = 1.44 atm.Pour calculer le rapport des sections A1 et A2 on écrit :

A1

A2

=A1

A∗1

× A∗1

A2

=σ(M1)

σ(M2)= 5.9

où A∗1 désigne la section critique associée à l’écoulement isentropique entre les sections 1 et 2 (on a

utilisé la table IV du poly pour évaluer σ(M1) et σ(M2)).b) On sait que le nombre de Mach dans la section de sortie de la chambre de combustion vaut M3 = 2.La quantité de chaleur produite par la combustion est donnée par (cf. 2) b) ) :

q = CpT01(φ(M2)

φ(M3)− 1)

avec Cp =γr

(γ − 1)= 1004.5 J kg−1 K−1, T01 = 3900 K (par a) ), φ(M2) = φ(3) ≈ 2.46 et φ(M3) =

φ(2) ≈ 2.02. On en déduit q = 853.3 kJ kg−1.On a vu (cf. 2) a) ) que T03/T02 = φ(M2)/φ(M3) ; comme T02 = T01 = 3900 K, on en déduitT03 = 4749.5 K. Connaissant M3 et T03 , on en tire T3 = T03τ(M3) soit T3 = 2638.6 K.Les pressions p2 et p3 aux extrémités de la chambre de combustion à section constante sont reliéespar p3/p2 = α(M2)/α(M3) soit p3 = 2.97 atm.c) On a calculé en a) le rapport A1/A2 ; on en déduit donc A4/A3 = 5.9. Par ailleurs :

A4

A3

=A4

A∗2

× A∗2

A3

=σ(M4)

σ(M3)

où A∗2 désigne la section critique associée à l’écoulement isentropique entre les sections 3 et 4. On a

donc σ(M4) = 5.9 × σ(M3) avec σ(M3) = σ(2) = 1.6875 (par lecture de la table IV du poly), soitσ(M4) = 9.956 et, par lecture inverse de la partie supersonique de la table (M4 > 1), M4 ≈ 3.92.La pression statique p4 est connue en fonction de la pression d’arrêt associée p04 et du nombre de MachM4. Comme l’écoulement est isentropique entre les sections 3 et 4, p04 = p03 et la pression d’arrêt p03

est connue à partir de p3 et M3 calculés en b). On a donc : p04 = p03 = p3/π(M3) = 23.24 atm, d’oùp4 = p04π(M4) = 0.170 atm.On sait par b) que T03 = T04 = 4749.5 K donc T4 = T04τ(M4) = 1166 K. La vitesse du fluide dans lasection d’éjection est telle que :

u4 = M4a4 = M4

√γrT4 = 2683 ms−1.

Chapitre 5

Problèmes

Ce dernier chapitre fournit des exemples d’applications des notions présentées dans les chapitresprécédents du cours. Ces applications correspondent en général à des sujets d’examens des annéespassées et doivent vous permettre d’évaluer votre compréhension des notions présentées dans cecours. Si vous rencontrez des difficultés pour traiter en un temps raisonnable ces différents problèmes,n’hésitez pas à venir demander des explications supplémentaires !

5.1 Choc droit / choc oblique et pression d’arrêt

Ce problème est tiré de l’examen de revalidation ECOUL1 de juin 2000.

• Soit une ligne de courant le long de laquelle M1 = 4 et p1 = 1 atm. On envisage la rencontrede cette ligne de courant avec 2 structures de choc différentes : a) un choc normal, b) un choc obliqued’inclinaison β = 40, suivi d’un choc droit.Déterminer dans les 2 cas le rapport (p0)amont/(p0)aval où (p0)amont (resp. (p0)aval) est la pressiontotale avant (resp. après) la structure de choc.

Etat 2

choc droit

β

choc oblique choc droit

(b)(a)

Etat 3

Etat 2

pM1

1pM

1

1

¤ Déterminons tout d’abord (p0)amont = (p0)1. On a :

(p0)1

p1

= f(M1) = (1 +γ − 1

2M2

1 )

γ

γ − 1

77

78 CHAPITRE 5. PROBLÈMES

d’où (p0)1 = 152 p1 = 152 atm.a) On cherche à calculer (p0)2 ; cette grandeur est donnée par : (p0)2/p2 = f(M2). Il nous faut doncp2 et M2

2 . On a :

p2

p1

= 1 +2γ

γ + 1(M2

1 − 1) = g(M1)

M22 =

1 + γ−12

M21

γM21 − γ−1

2

= h(M1)

d’où p2/p1 = 18.5 soit p2 = 18.5 atm, et M22 = 0.189. On en tire (p0)2 = 21 atm. La perte de pression

totale est donc donnée par :(p0)1

(p0)2

=(p0)amont

(p0)aval

= 7.2.

b) L’état 2 derrière le choc oblique est donné par : p2

p1

= g(M1 sin(β))

M22 sin2(β − θ) = h(M1 sin(β))

où θ désigne l’angle de déflection. Pour déterminer M2 on a donc besoin de connaître (β − θ) ; cetangle est obtenu par la relation :

tan(β − θ) = tan(β)(γ − 1)M2

1 sin2(β) + 2

(γ + 1)M21 sin2(β)

On trouve : p2 = 7.5 p1 = 7.5 atm et (β − θ) = 13.8 d’où M2 = 2.1.On passe ensuite de l’état 2 à l’état 3 par un choc droit, d’où les relations :

p3

p2

= g(M2)

M23 = h(M2)

On trouve finalement p3 = 38 atm, M23 = 0.31 d’où (p0)3 = 47 atm et

(p0)1

(p0)3

=(p0)amont

(p0)aval

= 3.2.

On observe donc que l’association d’un choc oblique et d’un choc droit produit une perte de pressiond’arrêt bien moins importante que celle générée par un unique choc droit. ¤

5.2 Ecoulement à grand Mach sur une rampeCe problème est tiré de l’examen final ECOUL1 de février 1997.

• On considère l’écoulement à incidence nulle sur un coin formant un angle θ avec l’horizontale(on supposera θ petit) :

θ

β1

2p

p

1M

5.2. ECOULEMENT À GRAND MACH SUR UNE RAMPE 79

On observe la formation d’un choc oblique, incliné d’un angle β par rapport à l’horizontale.On souhaite simplifier l’évaluation de l’état 2 derrière ce choc oblique dans le cas où le Mach amontM1 est grand devant 1 (i.e. l’écoulement incident est hypersonique).

1) • Montrer que l’on peut écrire de façon approchée :

M21 β2 − 1 =

γ + 1

2M2

1 θβ (5.1)

2) • En déduire la relation permettant de calculer β en fonction de θ et M1.

3) • On définit le coefficient de pression : Cp =p2 − p1

12ρ1V 2

1

où p1, ρ1 et V1 désignent respectivement la

pression, la densité et la norme de la vitesse dans l’écoulement en amont du choc, et p2 la pressionen aval du choc.Montrer que Cp peut s’écrire :

Cp = 2θ2[k1 +

√k2

1 +1

(M1θ)2] , k1 =

γ + 1

4(5.2)

4) On suppose maintenant θ = 3 et on considère un gaz parfait tel que γ = 1.4.• Dans le cas où M1 = 5 puis M1 = 10, comparer le résultat donné par (5.2) avec celui fourni par ladémarche exacte, que l’on détaillera.Note : une abaque de la relation θ − β −M du choc oblique est fournie page suivante.• Conclure quant à la validité de l’approximation (5.2).

¤ 1) Puisque l’angle de déflection θ est supposé petit et que le nombre de Mach incident M1 estsupposé grand, l’angle d’inclinaison du choc β peut être supposé petit. La relation θ−β−M générales’écrit :

tan(β − θ) = tan(β)[(γ − 1)M2

1 sin2(β) + 2

(γ + 1)M21 sin2(β)

]

Puisque les angles β et θ sont supposés petits, on peut écrire plus simplement :

(β − θ) ≈ β(γ − 1)M2

1 β2 + 2

(γ + 1)M21 β2

Après développement et simplification, on obtient la relation demandée :

M21 β2 − 1 ≈ (γ + 1)

2M2

1 βθ

2) La relation ci-dessus constitue une équation du second degré en l’inconnue β ; l’angle d’inclinaisondu choc étant positif on retient la racine :

β =(γ + 1)

4θ +

√1

M21

+(γ + 1)2

16θ2


6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

13

13.5

14

14.5

15

2 2.5 3 3.5 4

Angle

d i

ncl

inai

son :

bet

a (e

n d

egre

s)

Angle de deflection : theta (en degres)

CHOC OBLIQUE * gamma=1.4

M1 = 5

M1 = 10

Fig. 5.1 – Représentation graphique de la relation θ − β −M : vue détaillée pour θ petit.

que l’on peut aussi mettre sous la forme :

β = θ[k1 +

√k2

1 +1

(M1θ)2]

en posant k1 =γ + 1

4.

3) Compte tenu de :ρ1V

21 = ρ1a

21M

21 = ρ1

γp1

ρ1

M21 = γp1M

21

on peut réécrire le coefficient de pression Cp sous la forme :

Cp =2

γM21

(p2

p1

− 1)

Le saut de pression à travers un choc oblique d’inclinaison β et de nombre de Mach amont M1 estdonné par :

p2

p1

− 1 =2γ

γ + 1(M2

1 sin2(β)− 1)

Dans le cas présent, β est supposé petit et on peut donc remplacer l’expression (M21 sin2(β)− 1) par

(M21 β2 − 1) soit encore

γ + 1

2M2

1 βθ compte tenu de 1). Après simplification on obtient donc :

Cp = 2θβ

5.2. ECOULEMENT À GRAND MACH SUR UNE RAMPE 81

qui correspond bien à la formule demandée compte tenu de l’expression de β établie en 2).4) On a obtenu en 3) une relation qui permet de calculer - de façon approchée - le coefficient depression Cp associé à un choc oblique à grand nombre de Mach sur une rampe faiblement inclinéesans recourir à une abaque pour déterminer l’inclinaison de ce choc.La valeur exacte de Cp est donnée par (cf. 3)) :

Cp =4

γ + 1(sin2(β)− 1

M21

)

où β doit être déterminé à l’aide d’une abaque traduisant graphiquement la relation implicite θ −β −M .Dans le cas où θ = 3, on obtient de façon immédiate (en pensant bien à exprimer l’angle θ en radianspour le calcul approché) :

(Cp)exact (Cp)approché Erreur

M1 = 5 2.55× 10−2 (β ≈ 13.6) 2.45× 10−2 4%M1 = 10 1.403× 10−2 (β ≈ 7.8) 1.427× 10−2 1.7%

On constate naturellement que plus le nombre de Mach incident est élevé, plus la formule approchéeest précise puisque, à angle de déflection θ donné, l’hypothèse β faible est d’autant plus vérifiée queM1 est grand.¤


5.3 Etude d’un dispositif plaque / volet en régime superso-nique

Ce problème est tiré de l’examen final ECOUL1 de février 1998.

1) On considère une plaque plane de longueur c placée dans un écoulement supersonique de fluideparfait avec une incidence α faible. L’état infini amont est caractérisé par un nombre de Mach M∞et une pression p∞.

α > 0

y

x

Μ 8 > 1

c

On cherche à estimer la portance et la traînée de cette plaque.• Justifier l’utilisation de la théorie des profils minces et donner les valeurs des coefficients de por-tance CL et de traînée CD fournis par cette approche, en fonction de α et M∞.Note : la tangente d’un angle petit pourra être assimilée à cet angle.

2) On munit maintenant cette plaque d’un volet de bord de fuite inclinable d’un angle ξ par rapportà la plaque et dont l’articulation se situe à une distance e× c du bord de fuite de la plaque toujourssupposée de longueur c :

y

x

c

e cα = 0

x

volet levé

x

ξ > 0

volet abaissé

ξ < 0

y

α > 0

y

Μ 8 > 1Μ 8 > 1

α > 0

• Calculer les coefficients de portance et de traînée de ce dispositif en fonction de α, ξ, e et M∞.• Expliquer l’influence de ξ sur les performances aérodynamiques du dispositif.

5.3. ETUDE D’UN DISPOSITIF PLAQUE / VOLET EN RÉGIME SUPERSONIQUE 83

3) On suppose maintenant que l’incidence α et la localisation e du volet sur la plaque sont fixées.On note f(ξ) = CL/CD la finesse du dispositif aérodynamique étudié.• Montrer que s’il existe un angle ξopt d’inclinaison du volet qui permet de maximiser f pour α et edonnés, cet angle vérifie la relation :

eξ2opt + 2αξopt + α2 = 0 (5.1)

• En supposant maintenant que e est un petit paramètre et que α et ξ restent du même ordre degrandeur, trouver une expression très simple pour ξopt et montrer que le gain de finesse procuré parl’inclinaison du volet par rapport au cas de la plaque seule s’écrit :

fopt − fps

fps

≈ e

4(5.2)

où fopt = f(ξopt) et fps est la finesse correspondant au cas 1).• Expliquer comment est obtenu ce gain de finesse (en termes de gain ou de perte de portance ou detraînée).

4) On suppose e = 1/10 et α = 1.• Calculer le gain de finesse (en %) offert par la plaque munie d’un volet relevé d’un angle ξ = −0.5

par rapport au cas de la plaque simple.

¤1) Les angles qui interviennent dans l’écoulement sont supposés faibles de sorte que la théorie desprofils minces peut s’appliquer. Celle-ci stipule que portance et traînée s’expriment directement enfonction de la pente locale du profil considéré ; par exemple :

L =−2q∞√M2∞ − 1

∫ c

0

(dyU

dx) + (

dyL

dx)dx

où q∞ désigne la pression dynamique de référence, et yU et yL désignent respectivement l’équationde la partie supérieure et inférieure du profil de corde c. Dans le cas de la plaque à incidence α on atout simplement yU = yL = −tan(α)x ≈ −αx soit dyU/dx = dyL/dx = −α de sorte que le coefficientde portance CL = L

q∞cest donné par CL = 4α/

√M2∞ − 1. On établit tout à fait similairement :

CD = 4α2/√

M2∞ − 1.2)Munir la plaque d’un volet orientable revient à introduire des variations de pente dans la définitiondu profil : dy/dx = −α pour x ∈ [0, c − ec] et dy/dx = −α − ξ pour x ∈ [c − ec, c]. On en déduitdonc :

CL =−2

c√

M2∞ − 1[

∫ c(1−e)

0

−2αdx +

∫ c

c(1−e)

−2(α + ξ)dx]

soit par intégration immédiate CL = 4(α+eξ)√M2∞−1

. On observe donc que la configuration “volet abaissé”

(ξ > 0) entraîne une augmentation de la portance alors que la configuration “volet levé” (ξ < 0)diminue la portance du dispositif. Un calcul similaire conduit à : CD = 4√

M2∞−1(α2 + 2eαξ + eξ2).

On observe que ξ > 0 conduit nécessairement à une augmentation de la traînée alors que ξ < 0 peutentraîner une diminution de cette traînée (si ξ est tel que 2eαξ + eξ2 < 0 i.e. ξ > −2α). La question


à se poser maintenant est bien sûr de savoir s’il existe une valeur de ξ qui permet de gagner enfinesse par rapport au cas sans volet soit par une diminution de traînée supérieure à l’augmentationde portance associée (ξ < 0) soit par une augmentation de portance supérieure à l’augmentation detraînée associée (ξ > 0).3) Pour répondre à la question ci-dessus, on exprime le rapport CL/CD comme une fonction de ξ (eet α sont supposés fixés) et on calcule la variation de cette fonction par rapport à ξ : on constate trèsfacilement que df/dξ s’annule (donc atteint un extremum) pour ξ = ξopt tel que eξ2

opt+2αξopt+α2 = 0.Si on suppose que α et ξopt sont du même ordre et que e est un petit paramètre, on peut négliger eξ2

opt

devant αξopt et α2 de sorte que ξopt vérifie simplement 2αξopt ≈ −α2 soit ξopt ≈ −α/2. En donnantalors à ξ la valeur −α/2 dans l’expression de CL et CD, on obtient très facilement la relation :

fopt =α(1− e

2)

α2(1− 3e4)

Compte tenu de fps = 1/α, on en déduit - en utilisant le fait que e est un petit paramètre - :fopt = fps(1− e

2)(1+ 3e

4+O(e2)) = fps(1+ e

4+O(e2)) ≈ fps(1+ e

4). On constate que le gain de finesse

est obtenu par une diminution de traînée (CD ∝ α2(1− 3e4) au lieu de CD ∝ α2) supérieure à la perte

de portance associée (CL ∝ α(1− e2) au lieu de CL ∝ α).

Puisque ξ = −0.5 = ξopt pour α = 1, on peut directement écrire var(f) ≈ 1/40 soit un gain definesse de 2.5%. ¤

5.4 Etude de la poussée d’un moteur-fuséeCe problème est tiré de l’examen final ECOUL1 de février 1997.

1) On considère la tuyère convergente-divergente d’un moteur-fusée.Cette tuyère est telle que sa section au col est Ac = 1 cm2.Les conditions en amont de la section d’entrée sont les conditions d’arrêt : p0 = 100 atm, T0 = 2000 K.Le gaz de combustion est un gaz parfait tel que r = 415.7 J kg−1 K−1 et γ=1.25.On supposera dans toute la suite du problème que la tuyère est amorcée.• Calculer m = ρuA, le débit-masse de la tuyère.

2) La poussée du moteur fusée est donnée par la formule :

P = mue + Ae(pe − pa) (5.1)

où ue désigne la vitesse dans la section d’éjection, pe est la pression dans la section d’éjection et pa

la pression ambiante.On admettra ici que la poussée est maximale quand la tuyère est adaptée à la pression ambiante,c’est-à-dire quand la pression dans la section d’éjection est égale à la pression ambiante, avec unécoulement isentropique dans toute la tuyère, y compris dans la section d’éjection.Au cours d’un vol, la pression ambiante va naturellement varier avec l’altitude et il n’est donc paspossible d’avoir une tuyère adaptée à tout moment. On se pose ici la question de savoir s’il est pré-férable d’adapter la tuyère aux conditions au sol ou à grande altitude.

5.4. ETUDE DE LA POUSSÉE D’UN MOTEUR-FUSÉE 85

Supposons la pression ambiante connue et la tuyère adaptée.• Donner les relations qui permettent de calculer le Mach Me, la température Te et la vitesse ue dans lasection d’éjection ; préciser également la relation permettant de calculer l’aire de la section d’éjection.

3) On considère tout d’abord le cas d’une tuyère adaptée à la pression ambiante au sol : pa = 1 atm.• Déterminer l’aire de la section d’éjection d’une telle tuyère.• Calculer la poussée développée au sol et à une altitude de 23.5 km, à laquelle la pression ambiantevaut pa = 0.03 atm.

4)On considère maintenant le cas d’une tuyère adaptée à la pression ambiante à l’altitude de 23.5 km :pa = 0.03 atm.• Déterminer l’aire de la section d’éjection d’une telle tuyère.• Calculer la poussée développée à l’altitude de 23.5 km.• Montrer que pour une valeur de la pression ambiante très proche de 1 atm, un choc droit apparaîtdans la section d’éjection de la tuyère.• Calculer la poussée développée dans ces conditions (on assimilera le résultat obtenu à la valeur dela poussée exactement au sol).

5) • Comparer les résultats obtenus en b) et c) - que l’on pourra regrouper dans un tableau du typeci-dessous - et tirer une conclusion argumentée quant au choix de telle ou telle tuyère (tenant comptedes poussées prévues et de la dimension de la tuyère).

Tuyère Poussée au sol (N) Poussée à h = 23.5 km (N) Aire de Ae (cm2)Adaptée au sol

Adaptée à h = 23.5 km

¤1) Le débit étant constant dans l’écoulement, il est en particulier égal à sa valeur au col :

m = ρcucAc

Puisque la tuyère est amorcée, l’état sonique est atteint au col donc uc = ac =√

γrTc ; en utilisantde plus la loi d’état pour exprimer ρ en fonction de T et p on peut réécrire :

m =pc√

γ√rTc

Ac

On utilise alors les relations liant état sonique (ou au col) et état d’arrêt (obtenues comme casparticulier (M = 1) des relations générales des écoulements isentropiques) :

p0

pc

= (γ + 1

2)

γγ−1 et

T0

Tc

=γ + 1

2

Après calcul, on obtient finalement :

m =

√γ

r(

2

γ + 1)

γ+12(γ−1)

p0√T0

Ac


L’application numérique conduit (si on pense bien à convertir les pressions exprimées en atm enpressions exprimées en Pascal ; on rappelle que 1 atm = 101325 Pa) à m = 0.731 kg s−1.

2) Si la tuyère est adaptée, on a un écoulement isentropique dans toute la tuyère et on peut écrireen particulier au niveau de la section d’éjection :

p0

pe

= (1 +γ − 1

2M2

e )γ

γ−1

Comme la tuyère est adaptée on sait que la pression dans la section d’éjection est exactement égale àla pression ambiante soit pe = pa ; la pression totale est constante dans cet écoulement isentropique etdonc égale à sa valeur en entrée de la tuyère. p0 et pa étant connues, on déduit de la relation ci-dessusla valeur du nombre de Mach Me dans la section d’éjection. Pour déterminer la température, onapplique la relation :

T0

Te

= (1 +γ − 1

2M2

e )

T0 et Me étant connus, on peut calculer Te.On déduit de Me et Te la vitesse dans la section d’éjection en écrivant : ue = aeMe =

√γrTeMe.

Enfin, l’aire Ae de la section d’éjection est obtenue en appliquant la relation section-nombre de Machdes écoulements isentropiques dans des conduits de section variable (en tenant compte du fait que lasection critique est la section au col, d’aire connue, puisque la tuyère est amorcée) :

Ae

Ac

=1

Me

[2

(γ + 1)(1 +

γ − 1

2M2

e )]γ+1

2(γ−1)

3) Dans le cas où la tuyère est adaptée à la pression ambiante au sol, on a : pe = pa = 1 atm ; on en tireMe = 3.48. Cette valeur du Mach nous permet alors d’établir : Ae/Ac = 10.67 soit Ae = 10.67 cm2.On trouve par ailleurs Te = 795 K d’où l’on déduit ue = 2237.6 m/s.La poussée au sol de cette tuyère adaptée au sol est égale au produit du débit masse m calculé en 1)par la vitesse d’éjection qui vient d’être déterminée (puisque pe = pa on n’a pas de contribution dusecond terme qui compose la poussée) ; on trouve Psol = 1635.7 N .La poussée en altitude de cette tuyère adaptée au sol se calcule très simplement : la pression ambianteen altitude (pa = 0.03 atm) étant inférieure à la pression au sol pour laquelle la tuyère a été adaptée,l’écoulement dans la tuyère en altitude reste inchangé par rapport à l’écoulement dans la tuyère ausol ; il se forme simplement une détente en sortie de tuyère afin d’abaisser la pression de sa valeurpe = 1 atm dans la section d’éjection à la valeur ambiante pa = 0.03 atm. La vitesse d’éjection n’estdonc pas modifiée par rapport au cas précédent ; il faut par contre tenir compte de la contributionAe(pe − pa) à la poussée. Ae, pe et pa étant connus, on trouve sans difficulté : Palt = 1740 N .

4) Supposons maintenant la tuyère adaptée à l’altitude. Dans ce cas : pe = pa = 0.03 atm doncMe = 5.7 et on en déduit Ae = 152 cm2. On trouve également Te = 395 K d’où ue = 2583 m/s.La poussée en altitude de cette tuyère adaptée en altitude est donnée par Palt = mue soit Palt =1888 N .On s’intéresse maintenant à ce qui se passe dans cette tuyère lorsqu’elle est utilisée au sol. La pressionambiante au sol étant plus élevée que la pression ambiante en altitude, la tuyère ne peut rester adaptéeque s’il existe un phénomène de recompression de l’écoulement qui permette de faire passer la pressionde la valeur 0.03 atm dans la section d’éjection à la valeur 1 atm dans l’atmosphère ambiante. Enfait, comme l’énoncé le laisse entendre, cette recompression est assurée par un choc droit localisé

5.5. RELATION SECTION CRITIQUE / PRESSION TOTALE 87

dans la section d’éjection de la tuyère. Pour vérifier ce point, on va supposer que l’écoulement dansla tuyère reste isentropique jusque dans la section d’éjection où un choc droit se forme ; les valeursdu nombre de Mach et de la pression juste en amont de ce choc sont donc les valeurs déterminéesci-dessus dans le cas de l’écoulement en altitude, i.e. Mamont = 5.7 et pamont = 0.03. On peut alorsutiliser les relations de choc droit pour déterminer la pression d’éjection dans le cas de cet écoulementau sol ; cette pression d’éjection est en effet égale à la pression en aval du choc droit. Compte tenude paval

pamont= 1 + 2γ

γ+1(M2

amont− 1), on établit paval ≈ 1.1 atm donc la pression derrière le choc droit estsensiblement égale à la pression atmosphérique.Ainsi, en inversant la proposition, pour une pression ambiante pratiquement égale à la pression ausol (1 atm), la tuyère adaptée à l’altitude présente bien un choc dans sa section d’éjection.Pour calculer la poussée développée dans de telles conditions il faut calculer la vitesse d’éjection,donnée par les relations de choc droit sur la vitesse :

uamont

uaval

=(γ + 1)M2

amont

2 + (γ − 1)M2amont

où uamont = 2583 m/s, Mamont = 5.7 et uaval est la vitesse d’éjection cherchée. On trouve ue =358 m/s. La pression dans la section d’éjection pe est égale à la pression atmosphérique pa puisque latuyère est adaptée aux conditions au sol par le choc droit ; la poussée au sol de cette tuyère adaptéeà l’altitude vaut donc P = 262N .

5) On tire le bilan de l’étude précédente en rassemblant dans le tableau ci-dessous les principales ca-ractéristiques (poussée au sol, poussée en altitude, aire de la section d’éjection) de la tuyère adaptéeau sol ou à l’altitude.

Tuyère Poussée au sol (N) Poussée à h = 23.5 km (N) Aire de Ae (cm2)Adaptée au sol 1636 1740 10.67

Adaptée à h = 23.5 km 262 1888 152

On constate que les avantages d’une tuyère adaptée à l’altitude sont bien minces : la poussée enaltitude est certes un peu plus élevée (8.5%) que celle développée par une tuyère adaptée au sol maisau prix d’une tuyère particulièrement volumineuse (donc pesante) ; en outre, la poussée au sol estextrêmement médiocre.Le choix de l’adaptation au sol, qui assure un niveau de poussée correct au sol comme en altitudepour une taille de tuyère raisonnable s’impose donc. ¤

5.5 Relation section critique / pression totale• On considère une tuyère convergente-divergente ; une onde de choc est située dans le divergent.On note (.∗)1 l’état critique associé à l’écoulement isentropique en amont de ce choc droit : (ρ∗)1,(p∗)1, (T∗)1, (u∗)1, (A∗)1 sont donc respectivement la densité, la pression, la température, la vitesseet la section critique (ou sonique) en amont du choc.On introduit similairement (.∗)2, l’état critique associé à l’écoulement en aval du choc. (ρ∗)2, (p∗)2,(T∗)2, (u∗)2, (A∗)2 désignent alors respectivement la densité, la pression, la température, la vitesseet la section critique (ou sonique) en aval du choc. On notera également (p0)1 la pression d’arrêt


isentropique associée à l’écoulement avant le choc et (p0)2 la pression d’arrêt isentropique associée àl’écoulement après le choc.

En écrivant la conservation de la masse entre l’état (.∗)1 et (.∗)2, démontrer la relation :

(A∗)2.(p0)2 = (A∗)1.(p0)1

¤ La conservation de la masse entre l’état critique associé à l’écoulement en amont du choc et l’étatcritique associé à l’écoulement en aval du choc s’écrit :

(ρ∗)1(u∗)1(A∗)1 = (ρ∗)2(u∗)2(A∗)2

A l’état critique, u∗ = a∗ =√

γrT∗. Par ailleurs, ρ peut s’exprimer en fonction de la pression et de latempérature à l’aide de la loi d’état : p = ρrT . On peut donc réécrire la relation ci-dessus :

(p∗)2

(p∗)1

·√

(T∗)1

(T∗)2

· (A∗)2 = (A∗)1

La température sonique est une constante de l’écoulement (pour un écoulement adiabatique) donc(T∗)2 = (T∗)1. La relation précédente se simplifie donc pour donner :

(p∗)2(A∗)2 = (p∗)1(A∗)1

On sait que dans un écoulement isentropique : pp0

= f(M) ; donc, en particulier p∗p0

= f(1) = cste. Onen déduit donc : (p∗)2

(p∗)1= (p0)2

(p0)1. Comme la pression totale associée à l’écoulement en amont du choc est

la pression p0, on en tire la relation souhaitée :

(A∗)2 · (p0)2 = (A∗)1 · (p0)1 ¤

5.6 Calcul de la position d’un choc dans une tuyère• On considère une tuyère convergente-divergente de section au col et de section d’éjection d’airerespective 0.25 m2 et 0.5 m2. Dans la section d’entrée, la pression est la pression d’arrêt p0 = 1 atm,la pression de sortie est pe = 0.6 atm. Pour ce rapport de pression, l’écoulement est supersoniquedans une partie du divergent puis un choc droit se positionne dans le divergent.Déterminer la position de ce choc.

¤ La tuyère est amorcée ; la section au col est donc la section critique associée à l’écoulement isentro-pique en amont du choc droit : (A∗)amont = Ac = 0.25 m2. On connaît également la pression d’arrêten amont du choc (p0)amont = 1 atm.Si (p0)aval est connue alors la valeur de (p0)aval/(p0)amont permet de déterminer Mamont, le Mach justedevant le choc, par lecture des tables I de choc droit , et grâce à la valeur de Mamont, par lecture destables IV d’écoulement isentropique avec changement de section, on détermine As/(A∗)amont, où As

est l’aire de la section de la tuyère au niveau du choc que l’on cherche précisément à déterminer.Malheureusement, (p0)aval n’est pas connue ; qu’à cela ne tienne, supposons sa valeur connue. Lerapport des sections critiques associées respectivement à l’écoulement isentropique en amont et enaval du choc, (A∗)amont/(A∗)aval, est égal au rapport (p0)aval/(p0)amont comme on vient de le démon-trer dans le problème précédent. Une fois (A∗)aval connue, on peut évaluer par tabulation le rapport

5.7. DESCRIPTION D’UN ÉCOULEMENT EN SORTIE DE TUYÈRE 89

pression d’éjection / pression d’arrêt isentropique associée : pe/(p0)aval ; pe étant connue, on obtientune nouvelle valeur de (p0)aval et on peut itérer ce processus jusqu’à obtention d’une valeur convergéede (p0)aval, qui nous fournira alors As comme décrit plus haut.Puisque derrière le choc droit l’écoulement est subsonique, la pression statique n’est pas très diffé-rente de la pression d’arrêt et on peut initialiser le processus ci-dessus par (p0)aval = pe.Itération 1 : si (p0)aval = 0.6 atm alors (p0)aval/(p0)amont = (A∗)amont/(A∗)aval = 0.6 donc Ae/(A∗)aval =(Ae/(A∗)amont) × (A∗)amont/(A∗)aval = 2 × (A∗)amont/(A∗)aval = 1.2 d’où (l’écoulement étant subso-nique derrière le choc droit, on cherche la valeur de Ae/(A∗)aval associée à un nombre de Machinférieur à 1) pe/(p0)aval = 0.79 et (p0)aval = 0.76 atm.Itér. 2 : (A∗)amont/(A∗)aval = 0.76 ; Ae/(A∗)aval = 1.52 ; pe/(p0)aval = 0.88 ; (p0)aval = 0.68 atm.Itér. 3 : (A∗)amont/(A∗)aval = 0.68 ; Ae/(A∗)aval = 1.36 ; pe/(p0)aval = 0.85 ; (p0)aval = 0.71 atm.Itér. 4 : (A∗)amont/(A∗)aval = 0.71 ; Ae/(A∗)aval = 1.41 ; pe/(p0)aval = 0.86 ; (p0)aval = 0.70 atm.Itér. 5 : (A∗)amont/(A∗)aval = 0.70 ; Ae/(A∗)aval = 1.39 ; pe/(p0)aval = 0.86 ; (p0)aval = 0.70 atm.On peut donc considérer que (p0)aval = 0.7 atm est la valeur convergée de notre processus ité-ratif. On a alors : (p0)aval/(p0)amont = 0.7 d’où Mamont = 2.04 d’où As/(A∗)amont = 1.745 etAs = 1.745 × 0.25 = 0.436 m2. Le choc droit est donc situé dans la section du divergent d’aire0.436 m2 (on vérifie au passage que ceci est réaliste puisque Ac < As < Ae). ¤

5.7 Description d’un écoulement en sortie de tuyère• On considère une tuyère convergente-divergente. L’écoulement est supersonique dans le divergent.Le rapport de section entre la sortie et le col est égal à 10 ; la pression d’arrêt est p0 = 10 atm et lapression ambiante pa = 0.04 atm.Décrire précisément l’écoulement à la sortie de la tuyère.

¤ La tuyère est amorcée donc la section au col est la section critique : Ac = A∗. On a par conséquentAe/A∗ = Ae/Ac = 10 où Ae désigne l’aire de la section de sortie.L’écoulement est supersonique en sortie d’où par tabulation : Me = 3.92. La pression dans la sectiond’éjection est donnée par :

p0

pe

= (1 +γ − 1

2M2

e )γ

γ−1

d’où pe = 0.0733 atm. En sortie, on a donc une détente supersonique (phénomène isentropique) quipermet de diminuer la pression de sa valeur dans la section d’éjection à sa valeur dans l’atmosphèreenvironnante.Précisément, le Mach dans l’atmosphère est tel que :

p0

pa

= (1 +γ − 1

2M2

a )γ

γ−1

soit Ma = 4.38. La détente supersonique fait donc tourner l’écoulement d’un angle θ tel que :ν(Ma) = θ + ν(Me), où ν désigne la fonction de Prandtl-Meyer.Compte tenu de ν(3.92) ≈ 64.75 deg et ν(4.38) ≈ 70.5 deg on en déduit θ = 5.75 deg. ¤

Bibliographie

[1] J.D. Anderson Jr, Modern compressible flow, McGraw-Hill (1995)[2] J.J. Bertin, M.L. Smith, Aerodynamics for engineers, Prentice Hall (1988)[3] S. Candel, Mécanique des Fluides, Dunod (1995)[4] J. Délery, Cours d’Aérodynamique, Université de Versailles-Saint-Quentin-en -Yvelines (2001).[5] A.M. Kuethe, C.Y. Chow, Foundations of Aerodynamics - Bases of Aerodynamic Design, Wiley

(1998)[6] H.W. Liepmann, A. Roshko, Elements of Gas Dynamics, Wiley (1957)[7] R. Ouziaux, J. Perrier, Mécanique des fluides appliquée, Dunod (1978)[8] I.L. Ryhming, Dynamique des Fluides, Presses polytechniques et universitaires romandes (1985)

91

92 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 6

Annexe

On fournit en annexe de ce document :

I) un tableau des relations de choc.

Pour une valeur donnée du nombre de Mach normal en amont du choc (ce Mach normal (Mn)1

est égal au nombre de Mach M1 dans le cas du choc droit), sont fournies (en supposant γ = 1.4) lesvaleurs du saut de pression statique à la traversée du choc, du saut de pression totale et du MachM2 en aval du choc (cette donnée n’est valable que dans le cas d’un choc droit).Le saut de pression est calculé grâce à la relation (1.11).Le Mach aval dans le cas du choc droit est donné par la relation (1.9).Le saut de pression totale est obtenu par le raisonnement suivant :la pression totale (p0)1 associée à l’écoulement isentropique en amont du choc est liée à la pressionstatique p1 par la relation (1.14) :

(p0)1

p1

= (1 +γ − 1

2M2

1 )γ

γ−1 = f(M1)

Similairement :(p0)2

p2

= f(M2). On peut alors écrire :

(p0)2

(p0)1

=(p0)2

p2

· p2

p1

· p1

(p0)1

= f(M2) · p2

p1

· 1

f(M1)

Le rapportp2

p1

est connu en fonction de M1 par (1.11) ; M2 est connu en fonction de M1 par (1.9) ; le

rapport(p0)2

(p0)1

peut donc être évalué en fonction de la seule donnée de M1.

II) une abaque de la relation θ − β −M (2.5) :

tan(β − θ) = tan(β)[(γ − 1)M2

1 sin2(β) + 2

(γ + 1)M21 sin2(β)

]

On trace les courbes β = β(θ, M1) où le Mach amont M1 est fixé.

III) un tableau des valeurs de la fonction de Prandtl-Meyer.

93

94 CHAPITRE 6. ANNEXE

Pour une valeur donnée de la fonction de Prandtl-Meyer ν(M) :

ν(M) =

∫ √M2 − 1

1 +γ − 1

2M2

dM

M=

√γ + 1

γ − 1tan−1(

√γ − 1

γ + 1(M2 − 1))− tan−1(

√M2 − 1)

la table III fournit la valeur du nombre de Mach M correspondant et de l’angle de Mach associésin−1( 1

M).

IV) un tableau regroupant les rapports pression statique/pression totale (p/p0)et aire de la section locale/aire de la section critique (A/A∗) pour un nombre de Mach donné.

Ces rapports sont déduits de la relation fondamentale (4.4), valable pour les écoulements isentro-piques.On notera bien que pour une même valeur du rapport A/A∗ on a deux entrées possibles au niveaudu nombre de Mach : l’une en régime subsonique, l’autre en régime supersonique. Le choix de l’uneou l’autre de ces valeurs est fonction de la connaissance de l’écoulement dans la tuyère considérée.

95

(M1)np2

p1

(p0)2

(p0)1

M2

(choc droit)1.00 1.0000 1.0000 1.00001.01 1.0235 1.0000 0.99011.02 1.0471 1.0000 0.98051.03 1.0710 1.0000 0.97121.04 1.0952 0.9999 0.96201.05 1.1196 0.9999 0.95311.06 1.1442 0.9998 0.94441.07 1.1691 0.9996 0.93601.08 1.1941 0.9994 0.92771.09 1.2195 0.9992 0.91961.10 1.2450 0.9989 0.91181.11 1.2708 0.9986 0.90411.12 1.2968 0.9982 0.89661.13 1.3230 0.9978 0.88921.14 1.3495 0.9973 0.88201.15 1.3763 0.9967 0.87501.16 1.4032 0.9961 0.86821.17 1.4304 0.9953 0.86151.18 1.4578 0.9946 0.85491.19 1.4855 0.9937 0.84851.20 1.5133 0.9928 0.84221.21 1.5415 0.9918 0.83601.22 1.5698 0.9907 0.83001.23 1.5984 0.9896 0.82411.24 1.6272 0.9884 0.81831.25 1.6562 0.9871 0.81261.26 1.6855 0.9857 0.80711.27 1.7150 0.9842 0.80161.28 1.7448 0.9827 0.79631.29 1.7748 0.9811 0.79111.30 1.8050 0.9794 0.78601.31 1.8354 0.9776 0.78091.32 1.8661 0.9758 0.77601.33 1.8970 0.9738 0.77121.34 1.9282 0.9718 0.76641.35 1.9596 0.9697 0.7618

(M1)np2

p1

(p0)2

(p0)1

M2

(choc droit)1.36 1.9912 0.9676 0.75721.37 2.0230 0.9653 0.75271.38 2.0551 0.9630 0.74831.39 2.0874 0.9607 0.74401.40 2.1200 0.9582 0.73971.41 2.1528 0.9557 0.73551.42 2.1858 0.9531 0.73141.43 2.2190 0.9504 0.72741.44 2.2525 0.9476 0.72351.45 2.2863 0.9448 0.71961.46 2.3202 0.9420 0.71571.47 2.3544 0.9390 0.71201.48 2.3888 0.9360 0.70831.49 2.4234 0.9329 0.70471.50 2.4583 0.9298 0.70111.51 2.4934 0.9266 0.69761.52 2.5288 0.9233 0.69411.53 2.5644 0.9200 0.69071.54 2.6002 0.9166 0.68741.55 2.6363 0.9132 0.68411.56 2.6725 0.9097 0.68091.57 2.7090 0.9062 0.67771.58 2.7458 0.9026 0.67461.59 2.7828 0.8989 0.67151.60 2.8200 0.8952 0.66841.61 2.8575 0.8915 0.66551.62 2.8951 0.8877 0.66251.63 2.9330 0.8838 0.65961.64 2.9712 0.8799 0.65681.65 3.0096 0.8760 0.65401.66 3.0482 0.8720 0.65121.67 3.0870 0.8680 0.64851.68 3.1261 0.8639 0.64581.69 3.1654 0.8599 0.64311.70 3.2050 0.8557 0.64051.71 3.2448 0.8516 0.6380

I - (1) Relations de choc


(M1)np2

p1

(p0)2

(p0)1

M2

(choc droit)1.72 3.2848 0.8474 0.63551.73 3.3250 0.8431 0.63301.74 3.3655 0.8389 0.63051.75 3.4062 0.8346 0.62811.76 3.4472 0.8302 0.62571.77 3.4884 0.8259 0.62341.78 3.5298 0.8215 0.62101.79 3.5714 0.8171 0.61881.80 3.6133 0.8127 0.61651.81 3.6554 0.8082 0.61431.82 3.6978 0.8038 0.61211.83 3.7404 0.7993 0.60991.84 3.7832 0.7948 0.60781.85 3.8262 0.7902 0.60571.86 3.8695 0.7857 0.60361.87 3.9130 0.7811 0.60161.88 3.9568 0.7765 0.59961.89 4.0008 0.7720 0.59761.90 4.0450 0.7674 0.59561.91 4.0894 0.7627 0.59371.92 4.1341 0.7581 0.59181.93 4.1791 0.7535 0.58991.94 4.2242 0.7488 0.58801.95 4.2696 0.7442 0.58621.96 4.3152 0.7395 0.58441.97 4.3611 0.7349 0.58261.98 4.4071 0.7302 0.58081.99 4.4534 0.7255 0.57912.00 4.5000 0.7209 0.57742.01 4.5468 0.7162 0.57572.02 4.5938 0.7115 0.57402.03 4.6410 0.7069 0.57232.04 4.6885 0.7022 0.57072.05 4.7362 0.6975 0.56912.06 4.7842 0.6928 0.56752.07 4.8324 0.6882 0.5659

(M1)np2

p1

(p0)2

(p0)1

M2

(choc droit)2.08 4.8808 0.6835 0.56432.09 4.9295 0.6789 0.56282.10 4.9783 0.6742 0.56132.11 5.0275 0.6696 0.55982.12 5.0768 0.6649 0.55832.13 5.1264 0.6603 0.55682.14 5.1762 0.6557 0.55542.15 5.2263 0.6511 0.55402.16 5.2765 0.6464 0.55252.17 5.3271 0.6419 0.55112.18 5.3778 0.6373 0.54982.19 5.4288 0.6327 0.54842.20 5.4800 0.6281 0.54712.21 5.5314 0.6236 0.54572.22 5.5831 0.6191 0.54442.23 5.6350 0.6145 0.54312.24 5.6872 0.6100 0.54182.25 5.7396 0.6055 0.54062.26 5.7922 0.6011 0.53932.27 5.8450 0.5966 0.53812.28 5.8981 0.5921 0.53682.29 5.9514 0.5877 0.53562.30 6.0050 0.5833 0.53442.31 6.0588 0.5789 0.53322.32 6.1128 0.5745 0.53212.33 6.1670 0.5702 0.53092.34 6.2215 0.5658 0.52972.35 6.2762 0.5615 0.52862.36 6.3312 0.5572 0.52752.37 6.3864 0.5529 0.52642.38 6.4418 0.5486 0.52532.39 6.4974 0.5444 0.52422.40 6.5533 0.5401 0.52312.41 6.6094 0.5359 0.52212.42 6.6658 0.5317 0.52102.43 6.7224 0.5276 0.5200


97

(M1)np2

p1

(p0)2

(p0)1

M2

(choc droit)2.44 6.7792 0.5234 0.51892.45 6.8362 0.5193 0.51792.46 6.8935 0.5152 0.51692.47 6.9510 0.5111 0.51592.48 7.0088 0.5071 0.51492.49 7.0668 0.5030 0.51402.50 7.1250 0.4990 0.51302.51 7.1834 0.4950 0.51202.52 7.2421 0.4911 0.51112.53 7.3010 0.4871 0.51022.54 7.3602 0.4832 0.50922.55 7.4196 0.4793 0.50832.56 7.4792 0.4754 0.50742.57 7.5390 0.4715 0.50652.58 7.5991 0.4677 0.50562.59 7.6594 0.4639 0.50472.60 7.7200 0.4601 0.50392.61 7.7808 0.4564 0.50302.62 7.8418 0.4526 0.50222.63 7.9031 0.4489 0.50132.64 7.9645 0.4452 0.50052.65 8.0262 0.4416 0.49962.66 8.0882 0.4379 0.49882.67 8.1504 0.4343 0.49802.68 8.2128 0.4307 0.49722.69 8.2754 0.4271 0.49642.70 8.3383 0.4236 0.49562.71 8.4014 0.4201 0.49492.72 8.4648 0.4166 0.49412.73 8.5284 0.4131 0.49332.74 8.5922 0.4097 0.49262.75 8.6562 0.4062 0.49182.76 8.7205 0.4028 0.49112.77 8.7850 0.3994 0.49032.78 8.8498 0.3961 0.48962.79 8.9148 0.3928 0.4889

(M1)np2

p1

(p0)2

(p0)1

M2

(choc droit)2.80 8.9800 0.3895 0.48822.81 9.0454 0.3862 0.48752.82 9.1111 0.3829 0.48682.83 9.1770 0.3797 0.48612.84 9.2432 0.3765 0.48542.85 9.3096 0.3733 0.48472.86 9.3762 0.3701 0.48402.87 9.4430 0.3670 0.48332.88 9.5101 0.3639 0.48272.89 9.5774 0.3608 0.48202.90 9.6450 0.3577 0.48142.91 9.7128 0.3547 0.48072.92 9.7808 0.3517 0.48012.93 9.8490 0.3487 0.47952.94 9.9175 0.3457 0.47882.95 9.9862 0.3428 0.47822.96 10.0552 0.3398 0.47762.97 10.1244 0.3369 0.47702.98 10.1938 0.3340 0.47642.99 10.2634 0.3312 0.47583.00 10.3333 0.3283 0.47523.10 11.0450 0.3012 0.46953.20 11.7800 0.2762 0.46433.30 12.5383 0.2533 0.45963.40 13.3200 0.2322 0.45523.50 14.1250 0.2129 0.45123.60 14.9533 0.1953 0.44743.70 15.8050 0.1792 0.44393.80 16.6800 0.1645 0.44073.90 17.5783 0.1510 0.43774.00 18.5000 0.1388 0.43505.00 29.0000 0.0617 0.4152



0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48Angle de deflection θ

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Incl

inais

on

du

ch

oc

β

1.1 1.3 1.5 1.7 2.0 2.5 3.0 4.0

M1=5.0

II - Variation de l’inclinaison β du choc en fonction de l’angle de déflection θpour différentes valeurs du nombre de Mach amont M1

99ν(deg) M µ(deg) ν(deg) M µ(deg) ν(deg) M µ(deg)

0.0 1.000 90.000 17.5 1.689 36.293 35.0 2.329 25.4300.5 1.051 72.099 18.0 1.706 35.874 35.5 2.349 25.1961.0 1.082 67.574 18.5 1.724 35.465 36.0 2.369 24.9651.5 1.108 64.451 19.0 1.741 35.065 36.5 2.390 24.7362.0 1.133 61.997 19.5 1.758 34.673 37.0 2.410 24.510

2.5 1.155 59.950 20.0 1.775 34.290 37.5 2.431 24.2873.0 1.177 58.180 20.5 1.792 33.915 38.0 2.452 24.0663.5 1.198 56.614 21.0 1.810 33.548 38.5 2.473 23.8474.0 1.218 55.205 21.5 1.827 33.188 39.0 2.495 23.6314.5 1.237 53.920 22.0 1.844 32.834 39.5 2.516 23.418

5.0 1.256 52.738 22.5 1.862 32.488 40.0 2.538 23.2065.5 1.275 51.642 23.0 1.879 32.148 40.5 2.560 22.9976.0 1.294 50.619 23.5 1.897 31.814 41.0 2.582 22.7906.5 1.312 49.658 24.0 1.915 31.486 41.5 2.604 22.5857.0 1.330 48.753 24.5 1.932 31.164 42.0 2.626 22.382

7.5 1.348 47.896 25.0 1.950 30.847 42.5 2.649 22.1828.0 1.366 47.082 25.5 1.968 30.536 43.0 2.671 21.9838.5 1.383 46.306 26.0 1.986 30.229 43.5 2.694 21.7869.0 1.400 45.566 26.5 2.004 29.928 44.0 2.718 21.5919.5 1.418 44.857 27.0 2.023 29.632 44.5 2.741 21.398

10.0 1.435 44.177 27.5 2.041 29.340 45.0 2.764 21.20710.5 1.452 43.523 28.0 2.059 29.052 45.5 2.788 21.01711.0 1.469 42.894 28.5 2.078 28.769 46.0 2.812 20.83011.5 1.486 42.287 29.0 2.096 28.491 46.5 2.836 20.64412.0 1.503 41.701 29.5 2.115 28.216 47.0 2.861 20.459

12.5 1.520 41.134 30.0 2.134 27.945 47.5 2.886 20.27713.0 1.537 40.585 30.5 2.153 27.678 48.0 2.910 20.09613.5 1.554 40.053 31.0 2.172 27.415 48.5 2.936 19.91614.0 1.571 39.537 31.5 2.191 27.155 49.0 2.961 19.73814.5 1.588 39.035 32.0 2.210 26.899 49.5 2.987 19.561

15.0 1.605 38.547 32.5 2.230 26.646 50.0 3.013 19.38615.5 1.622 38.073 33.0 2.249 26.397 50.5 3.039 19.21316.0 1.639 37.611 33.5 2.269 26.151 51.0 3.065 19.04116.5 1.655 37.160 34.0 2.289 25.908 51.5 3.092 18.87017.0 1.672 36.721 34.5 2.309 25.668 52.0 3.119 18.701

III - (1) Fonction de Prandlt-Meyer ν(M), nombre de Mach M et angle de Mach µ

100 CHAPITRE 6. ANNEXEν(deg) M µ(deg) ν(deg) M µ(deg) ν(deg) M µ(deg)

52.5 3.146 18.532 70.0 4.339 13.325 87.5 6.390 9.00353.0 3.174 18.366 70.5 4.382 13.191 88.0 6.472 8.88853.5 3.202 18.200 71.0 4.426 13.059 88.5 6.556 8.77454.0 3.230 18.036 71.5 4.470 12.927 89.0 6.642 8.66054.5 3.258 17.873 72.0 4.515 12.795 89.5 6.729 8.546

55.0 3.287 17.711 72.5 4.561 12.665 90.0 6.819 8.43355.5 3.316 17.551 73.0 4.608 12.535 90.5 6.911 8.32056.0 3.346 17.391 73.5 4.655 12.406 91.0 7.005 8.20756.5 3.375 17.233 74.0 4.703 12.277 91.5 7.102 8.09557.0 3.406 17.076 74.5 4.752 12.149 92.0 7.201 7.983

57.5 3.436 16.920 75.0 4.801 12.021 92.5 7.302 7.87158.0 3.467 16.765 75.5 4.852 11.894 93.0 7.406 7.76058.5 3.498 16.611 76.0 4.903 11.768 93.5 7.513 7.64959.0 3.530 16.458 76.5 4.955 11.642 94.0 7.623 7.53859.5 3.562 16.306 77.0 5.009 11.517 94.5 7.735 7.428

60.0 3.594 16.155 77.5 5.063 11.392 95.0 7.851 7.31860.5 3.627 16.005 78.0 5.118 11.268 95.5 7.970 7.20861.0 3.660 15.856 78.5 5.174 11.145 96.0 8.092 7.09961.5 3.694 15.708 79.0 5.231 11.022 96.5 8.218 6.98962.0 3.728 15.561 79.5 5.289 10.899 97.0 8.347 6.881

62.5 3.762 15.415 80.0 5.348 10.777 97.5 8.480 6.77263.0 3.797 15.270 80.5 5.408 10.656 98.0 8.618 6.66463.5 3.832 15.126 81.0 5.470 10.535 98.5 8.759 6.55664.0 3.868 14.983 81.5 5.532 10.414 99.0 8.905 6.44864.5 3.904 14.840 82.0 5.596 10.294 99.5 9.055 6.340

65.0 3.941 14.698 82.5 5.661 10.175 100.0 9.210 6.23365.5 3.979 14.557 83.0 5.727 10.056 100.5 9.371 6.12666.0 4.016 14.417 83.5 5.795 9.937 101.0 9.536 6.01966.5 4.055 14.278 84.0 5.864 9.819 101.5 9.708 5.91367.0 4.094 14.140 84.5 5.935 9.701 102.0 9.885 5.806

67.5 4.133 14.002 85.0 6.006 9.58468.0 4.173 13.865 85.5 6.080 9.46768.5 4.214 13.729 86.0 6.155 9.35069.0 4.255 13.593 86.5 6.232 9.23469.5 4.297 13.459 87.0 6.310 9.119

III - (2) Fonction de Prandlt-Meyer ν(M), nombre de Mach M et angle de Mach µ

101

M p/p0 A/A∗0.01 0.999930 57.8738400.02 0.999720 28.9421230.03 0.999370 19.3005430.04 0.998881 14.4814820.05 0.998252 11.5914430.06 0.997484 9.6659110.07 0.996577 8.2915260.08 0.995533 7.2616080.09 0.994350 6.4613420.10 0.993032 5.8218290.11 0.991576 5.2992280.12 0.989985 4.8643170.13 0.988260 4.4968580.14 0.986400 4.1823990.15 0.984408 3.9103430.16 0.982284 3.6727380.17 0.980030 3.4635080.18 0.977647 3.2779260.19 0.975135 3.1122580.20 0.972497 2.9635200.21 0.969733 2.8292940.22 0.966845 2.7076020.23 0.963835 2.5968110.24 0.960703 2.4955630.25 0.957453 2.4027100.26 0.954085 2.3172870.27 0.950600 2.2384700.28 0.947002 2.1655530.29 0.943291 2.0979270.30 0.939470 2.0350650.31 0.935540 1.9765070.32 0.931503 1.9218510.33 0.927361 1.8707450.34 0.923117 1.8228760.35 0.918773 1.7779690.36 0.914329 1.7357780.37 0.909790 1.6960860.38 0.905156 1.6586960.39 0.900430 1.6234330.40 0.895615 1.590140

M p/p0 A/A∗0.41 0.890711 1.5586730.42 0.885722 1.5289050.43 0.880651 1.5007180.44 0.875498 1.4740050.45 0.870267 1.4486720.46 0.864960 1.4246290.47 0.859580 1.4017950.48 0.854128 1.3800970.49 0.848607 1.3594680.50 0.843019 1.3398430.51 0.837367 1.3211680.52 0.831654 1.3033880.53 0.825881 1.2864540.54 0.820050 1.2703210.55 0.814165 1.2549480.56 0.808228 1.2402950.57 0.802241 1.2263260.58 0.796206 1.2130070.59 0.790127 1.2003080.60 0.784004 1.1882000.61 0.777841 1.1766540.62 0.771640 1.1656450.63 0.765402 1.1551510.64 0.759131 1.1451480.65 0.752829 1.1356160.66 0.746498 1.1265350.67 0.740140 1.1178870.68 0.733758 1.1096540.69 0.727353 1.1018220.70 0.720928 1.0943730.71 0.714485 1.0872930.72 0.708025 1.0805710.73 0.701552 1.0741920.74 0.695068 1.0681440.75 0.688573 1.0624170.76 0.682070 1.0569990.77 0.675562 1.0518810.78 0.669050 1.0470530.79 0.662536 1.0425050.80 0.656022 1.038230

IV - (1) Ecoulement isentropique avec changement de section (γ = 1.4)


M p/p0 A/A∗0.81 0.649509 1.0342190.82 0.643000 1.0304640.83 0.636496 1.0269590.84 0.630000 1.0236960.85 0.623512 1.0206690.86 0.617034 1.0178710.87 0.610569 1.0152970.88 0.604117 1.0129410.89 0.597680 1.0107980.90 0.591260 1.0088630.91 0.584858 1.0071310.92 0.578476 1.0055970.93 0.572114 1.0042570.94 0.565775 1.0031080.95 0.559460 1.0021450.96 0.553170 1.0013640.97 0.546905 1.0007630.98 0.540668 1.0003370.99 0.534460 1.0000841.00 0.528282 1.0000001.01 0.522134 1.0000831.02 0.516018 1.0003301.03 0.509935 1.0007381.04 0.503886 1.0013051.05 0.497872 1.0020291.06 0.491894 1.0029071.07 0.485952 1.0039381.08 0.480047 1.0051191.09 0.474181 1.0064491.10 0.468354 1.0079251.11 0.462567 1.0095471.12 0.456820 1.0113121.13 0.451115 1.0132191.14 0.445451 1.0152671.15 0.439829 1.0174541.16 0.434251 1.0197791.17 0.428716 1.0222421.18 0.423225 1.0248401.19 0.417779 1.0275731.20 0.412377 1.030439

M p/p0 A/A∗1.21 0.407021 1.0334391.22 0.401711 1.0365721.23 0.396446 1.0398351.24 0.391229 1.0432291.25 0.386058 1.0467531.26 0.380934 1.0504061.27 0.375857 1.0541891.28 0.370828 1.0581001.29 0.365847 1.0621381.30 0.360914 1.0663041.31 0.356029 1.0705981.32 0.351192 1.0750181.33 0.346403 1.0795651.34 0.341663 1.0842381.35 0.336971 1.0890381.36 0.332328 1.0939641.37 0.327733 1.0990151.38 0.323187 1.1041931.39 0.318690 1.1094961.40 0.314241 1.1149261.41 0.309840 1.1204811.42 0.305488 1.1261621.43 0.301185 1.1319691.44 0.296929 1.1379031.45 0.292722 1.1439631.46 0.288563 1.1501491.47 0.284452 1.1564631.48 0.280388 1.1629031.49 0.276372 1.1694711.50 0.272403 1.1761671.51 0.268481 1.1829911.52 0.264607 1.1899431.53 0.260779 1.1970231.54 0.256997 1.2042341.55 0.253262 1.2115741.56 0.249573 1.2190441.57 0.245930 1.2266441.58 0.242332 1.2343761.59 0.238779 1.2422391.60 0.235271 1.250235


103

M p/p0 A/A∗1.61 0.231808 1.2583641.62 0.228389 1.2666251.63 0.225014 1.2750211.64 0.221683 1.2835531.65 0.218395 1.2922191.66 0.215150 1.3010211.67 0.211948 1.3099601.68 0.208788 1.3190371.69 0.205670 1.3282521.70 0.202593 1.3376061.71 0.199559 1.3471001.72 0.196564 1.3567351.73 0.193611 1.3665121.74 0.190697 1.3764301.75 0.187824 1.3864921.76 0.184990 1.3966981.77 0.182195 1.4070491.78 0.179438 1.4175461.79 0.176720 1.4281901.80 0.174040 1.4389821.81 0.171398 1.4499231.82 0.168792 1.4610131.83 0.166224 1.4722541.84 0.163691 1.4836481.85 0.161195 1.4951941.86 0.158734 1.5068941.87 0.156309 1.5187491.88 0.153918 1.5307611.89 0.151562 1.5429291.90 0.149240 1.5552561.91 0.146951 1.5677441.92 0.144696 1.5803901.93 0.142473 1.5932001.94 0.140283 1.6061721.95 0.138126 1.6193091.96 0.135999 1.6326111.97 0.133905 1.6460801.98 0.131841 1.6597171.99 0.129808 1.6735232.00 0.127805 1.687500

M p/p0 A/A∗2.02 0.123888 1.7159712.04 0.120087 1.7451392.06 0.116399 1.7750162.08 0.112823 1.8056142.10 0.109353 1.8369432.12 0.105988 1.8690152.14 0.102726 1.9018432.16 0.099562 1.9354372.18 0.096495 1.9698102.20 0.093522 2.0049742.22 0.090640 2.0409442.24 0.087846 2.0777312.26 0.085139 2.1153482.28 0.082515 2.1538112.30 0.079973 2.1931302.32 0.077509 2.2333232.34 0.075122 2.2744022.36 0.072810 2.3163802.38 0.070570 2.3592752.40 0.068399 2.4031002.42 0.066297 2.4478702.44 0.064261 2.4936022.46 0.062288 2.5403092.48 0.060378 2.5880102.50 0.058528 2.6367192.52 0.056736 2.6864532.54 0.055000 2.7372282.56 0.053319 2.7890632.58 0.051692 2.8419722.60 0.050115 2.8959752.62 0.048589 2.9510882.64 0.047110 3.0073302.66 0.045679 3.0647192.68 0.044292 3.1232742.70 0.042950 3.1830112.72 0.041650 3.2439522.74 0.040391 3.3061132.76 0.039172 3.3695152.78 0.037992 3.4341792.80 0.036848 3.500123



M p/p0 A/A∗2.82 0.035741 3.5673682.84 0.034669 3.6359342.86 0.033631 3.7058412.88 0.032625 3.7771132.90 0.031651 3.8497702.92 0.030708 3.9238302.94 0.029795 3.9993192.96 0.028910 4.0762552.98 0.028054 4.1546643.00 0.027224 4.2345693.10 0.023449 4.6573113.20 0.020228 5.1209593.30 0.017477 5.6286483.40 0.015125 6.1837003.50 0.013111 6.7896213.60 0.011385 7.4501103.70 0.009903 8.1690663.80 0.008629 8.9505863.90 0.007532 9.7989744.00 0.006586 10.7187514.10 0.005769 11.7146514.20 0.005062 12.7916404.30 0.004449 13.9549074.40 0.003918 15.2098654.50 0.003455 16.5621974.60 0.003053 18.0177924.70 0.002701 19.5828274.80 0.002394 21.2637214.90 0.002126 23.0671275.00 0.001890 25.0000045.10 0.001683 27.0695845.20 0.001501 29.2833275.30 0.001341 31.6490595.40 0.001200 34.1748165.50 0.001075 36.8689615.60 0.000964 39.7401965.70 0.000866 42.7974365.80 0.000779 46.0500185.90 0.000702 49.5074966.00 0.000633 53.179802


aero 2006 supersonic

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