a contrarioen seconde - free

A contrario...en terminale S : une année d'exercices de maths - Saison 2014-2015 sur 48

Ce document est exclusivement mis en ligne par la Taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com). Tous droits réservés. Edition corrigée du jeudi 14 juillet 2016.

Analyse

Liaison rationnellement fatale

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. La fonction f est définie sur l'ensemble ] [ ] ]; 2 2;1fD = −∞ − ∪ − par :

( )2

7

2

x xf x

x

+ +=

+

On appelle ( )fC sa courbe représentative.

1. Justifier que la fonction f est bien définie sur l'ensemble fD .

2. Calculer les images ( )5f − et ( )1f .

3. Déterminer la limite de la fonction f en −∞ .

Cette limite induit-elle une asymptote pour la courbe ( )fC ? Si oui, on précisera

son équation réduite.

4. Déterminer les limites de ( )f x lorsque x tend vers 2− par la gauche, puis par la

droite.

Ces limites induisent-elles des asymptotes pour la courbe ( )fC ? Si oui, on

précisera leurs équations réduites.

5. Justifier que la fonction f est dérivable sur son ensemble de définition fD .

Etablir que pour tout réel fx D∈ , on a :

( )( )

2

2

4 5

2

x xf x

x

+ −′ =

+

En déduire les variations de la fonction f sur son ensemble de définition fD .

b. La fonction g est définie sur l'intervalle ] [1;gD = +∞ par :

( )2

52

2 2g x

x x= −

− +

On appelle ( )gC sa courbe représentative.

1. Justifier que la fonction g est bien définie sur l'intervalle ] [1;+∞ .

2. Déterminer les limites de la fonction g aux bornes de gD .

Ces limites induisent-elles des asymptotes pour la courbe ( )gC ?

3. Justifier que g est dérivable sur son ensemble de définition ] [1;gD = +∞ .

Démontrer que pour tout réel gx D∈ , on a :

( )( )22

10 10

2 2

xg x

x x

−′ =

− +

En déduire les variations de la fonction g sur son ensemble de définition gD .

c. On souhaite constituer une super fonction j étant égale à f à gauche de 1 et à g à droite de

1. Formellement, la définition de j sur l'ensemble \ 2− est la suivante :

( ) ( ) ] [ ] ]( ) ( ) ] [

si ; 2 2;1

si 1;

j x f x x

j x g x x

= ∈ −∞ − ∪ −

= ∈ +∞

Sa courbe représentative ( )jC a été tracée dans un repère simplement orthogonal sur le

graphique ci-dessous. Malheureusement, elle a été détériorée au voisinage de 1.

Se pose le problème de la liaison en 1 entre les courbes ( )fC et ( )gC constituant ( )jC .

1. La fonction j est-elle continue en 1 ? On justifiera sa réponse.

2. La fonction j est-elle dérivable en 1 ? On justifiera sa réponse.

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. La fonction f est le quotient des polynômes ( ) 2 7u x x x= + + et ( ) 2v x x= + qui sont

définis et dérivables sur . Par conséquent :

( ) ( )Le quotient existe Son dénominateur est non nul

2 0 2

f x v x

x x

⇔

⇔ + ≠ ⇔ ≠ −

C'est pour cela que la fonction f est parfaitement définie sur l'ensemble ] ] ;1 \ 2−∞ − .

x

y

( )jC ( )jC

( )jC



a.2. Calculons les images demandées :

( ) ( ) ( )( )

( )

2

2

5 5 7 25 2 275 9

5 2 3 3

1 1 7 91 3

1 2 3

f

f

− + − + +− = = = = −

− + − −

+ += = =

+

a.3. De prime abord :

( ) ( ) ( )( )

2 77lim lim

2 2x x

x xf x

x→−∞ →−∞

+∞ + −∞ ++ += = =

+ −∞ + −∞Forme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminée

Pour lever l'indétermination, nous allons factoriser numérateur et dénominateur de la

fonction rationnelle ( )f x par leurs termes nous paraissant les plus forts : 2x et x.

( )

22

17

2

xx

x xf x

x

× ++ +

= =+

2x

22

7

21

xx

xx

+

= × +

x

2 2

1 7 1 71 1

2 21 1

x xx xx

x x

+ + + +× = ×

+ +

Il ne reste plus qu'à conclure :

( ) ( ) ( )2

1 71

1 0 0 1lim lim

2 11 01x x

x xf x x

x

− +

−→−∞ →−∞

+ ++ +

= × = −∞ × = −∞ × = −∞++

Cette limite infinie à l'infinie n'a aucune conséquence asymptotique sur la courbe ( )fC .

a.4. Lorsque x tend vers 2 :−

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

22par continuité

mais de qu

7 2 2 7 9

2 2 2 el sig0 n e ?

x

x

u x x x

v x x

→−

→−

= + + − + − + =

= + − +

→

=

→

Le tableau de signe du dénominateur ( )v x est :

x −∞ 2− +∞

2x + – 0 +

A gauche de 2−

( )2

9lim

0x

f x− −

→−= = −∞

A droite de 2−

( )2

9lim

0x

f x+ +

→−= = +∞

La conséquence graphique de ces deux limites infinies en 2− est que la droite verticale

d'équation 2x = − est une asymptote à la courbe ( )fC . Cette dernière plonge à gauche de

cette droite et ça s'envole à droite.

a.5. f est le quotient des fonctions ( )( )

27

2 1

Dérivable sur

u x x x

u x x

= + +

′ = +

et ( )( )

2

1

Dérivable sur

Non nulle sur \ 2 .

v x x

v x

= +

′ =

−

.

Donc f est parfaitement dérivable sur son ensemble de définition ] [ ] ]; 2 2;1fD = −∞ − ∪ − et

pour chaque réel x de celui-ci, on a :

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2 2

2 2

2 2

2 1 2 1 7

2

2 4 2 7 4 5

2 2

x x x xu v v uf x

v x

x x x x x x x

x x

2

+ × + − × + +′ ′× − ×′ = =

+

+ + + − − − + −= =

+ +

Le signe de la dérivée ( )f x′ va nous donner le sens de variation de f.

Le signe du numérateur ( ) 2 4 5N x x x= + − demeure inconnu. C'est une forme du second

degré. Calculons son discriminant :

( ) ( )2 24 4 1 5 16 20 36 6N x∆ = − × × − = + = =

Son discriminant étant positif, ( )N x a deux racines réelles et distinctes :

4 6 10 4 6 25 ou 1

2 1 2 2 1 2x x

− − − − += = = − = = =

× ×

Le tableau de signe de ( )f x′ et celui de variation de f sont les suivants :

x −∞ 5− 2− 1

( )N x + 0 – –

( )22x + + + 0 +

( )f x′ + 0 – –

9− +∞

f

−∞ −∞ 3



b.1. La seule chose qui puisse faire que ( )g x n'existe pas est l'éventuelle nullité du

dénominateur ( ) 2 2 1u x x x= − + . Calculons le discriminant de cette forme du second degré.

( ) ( )22 4 1 2 4 8 4u x∆ = − − × × = − = −

Son discriminant étant négatif, le dénominateur ( )u x n'est jamais nul mais toujours positif

comme son coefficient dominant 1.

C'est pour cela que la fonction g est toujours définie. Elle l'est en particulier sur ] [1;+∞ .

b.2. Concernant g, deux limites sont à déterminer : l'une à droite de 1 et l'autre en +∞ .

La limite de g à droite de 1.

Le polynôme ( ) 2 2 1u x x x= − + étant continu sur , il l'est en particulier en 1.

Donc ( ) ( ) 2

1

lim 1 1 2 1 2 1 2 2 1x

u x u+→

= = − × + = − + =

Il vient alors : ( )( )1 1

5 5lim lim 2 2 3

1x x

g xu x+ +→ →

= − = − =

Cette limite finie en un point n'a aucune conséquence asymptotique sur ( )gC .

La limite de g en +∞∞∞∞ Occupons-nous d'abord de la limite du polynôme u en +∞ !

( ) ( ) ( ) ( )2

2

2 21 1 0 0 1

xu x x

x x →+∞+ +

= × − + +∞ × − + = +∞ ×

→ = +∞

Nous en déduisons :

( )( )5 5

lim lim 2 2 0 2 2x x

g xu x

+

→+∞ →+∞= − = − = − = −

+∞

La conséquence de cette limite finie à l'infini est que la droite d'équation 2y = − est une

asymptote horizontale à la courbe ( )gC au voisinage de +∞ .

b.3. La fonction g est de la forme 1

5 2gu

= × − avec ( )( )

22 2

2 2

Dérivable et non nulle sur

u x x x

u x x

= − +

′ = −

Donc la fonction g est dérivable sur et par conséquent sur l'intervalle ] [1;+∞ .

( ) ( )

( ) ( )2 2 22 2

2 2 10 105 0 5

2 2 2 2

xu xg x

u x x x x

− −′− − +′ = × + = × =

− + − +

Le signe de la dérivée ( )g x′ va nous donner les variations de la fonction g.

x 1 +∞

10 10x− + –

( )222 2x x− +

+

( )g x′ –

3

g

2−

c.1. D'abord, comme sur l'intervalle ] ]2;1− , la fonction j est égale à la fonction f ,alors :

( ) ( )1 1 3

est continue comme (qui est dérivable) à gauche de 1.

j f

j f

= =

Ensuite, à droite de 1, la fonction j est égale à g.

Donc la limite de j à droite de 1 est donnée par :

( ) ( ) ( )1 11 1

lim lim 3 1x xx x

j x g x j+ +→ →

≠ ≠

= = =

Conclusion : la fonction j est continue en 1.

c.2. Depuis la question a.5, nous savons que f est dérivable sur l'intervalle ] ]2;1− .

Par conséquent, j est dérivable à gauche de 1 et le nombre dérivé de j à gauche de 1 est

donné par :

( ) ( )( )

2

2

1 4 1 5 01 1 0

91 2gj f

+ × −′ ′= = = =

+

Maintenant, si l'on se positionne à droite de 1, l'éventuel nombre dérivé de j à droite de 1 est

la limite lorsque x tend vers 1 par la droite du quotient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

Car à droite de 1

1

,

1

1

1 3 1lim lim lim 1

1 1 1x x x

j x g x

j x j j x g x gg

x x x+ + +→ →

=

→

− − −′= = =

− − −

Implicitement, nous prolongeons la fonction g en 1. Il n'y a aucun problème à ce

prolongement car nous avons établi lors de la question b.3 que la fonction g était

parfaitement définissable et dérivable sur .

On évite ainsi une forme indéterminée ∞∞∞∞----∞∞∞∞....

D'après la limite de g en 1, question b.2.



Revenons à la fonction j. Celle-ci est donc dérivable à droite de 1 et le nombre dérivable de j

à droite de 1 est donné par :

( ) ( )( )2 22

10 10 1 01 1 0

11 2 1 1dj g

− ×′ ′= = = =

− × +

Conclusion : comme les nombres dérivés de j à gauche et à droite de 1 sont égaux, alors la

fonction j est bien dérivable en 1.

Une autre façon de faire en revenant sur la définition de ce qu'est un nombre dérivé.

Nombre dérivé à gauche de 1 - est un réel négatif proche d 1e 0 0h h⇔ + <

( ) ( )( ) ( )

( )( )

22

2

1 1 7 1 2 1

3

3331 1 1 2

h h h h h

j h j h h

h h

h

h

h

+ + × ++ + + + + + −−+ − + + += =

=h ( ) 0

0 00

3 33 0 3h

h

hh−→

− −+

−→= = =

+× + +

Nombre dérivé à droite de 1 - est un réel positif proche d 1e 0 0h h⇔ + >

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

2

2

2

5 5 552 35

1 1 1 2 1 2 1 1

5

1h

j h j h h h h

h h h h

h

−− − −

+ − + − + + + += =

−=

×

×

+

=

h ( ) 022

5 5 0 00

11 0 11 h

h

hh+

−

→

+ −

+

− − ×= =

+×→

+ =

+

Graphiquement, la situation de l'exercice est la suivante :

x

y

-9 -6 -3 3 6

-12

-9

-6

-3

3

6

9

Asymptote 2x = −

Asymptote 2y = −

( )gC

( )fC

( )fC

La demi-tangente de f à gauche de 1 s'emboite avec la demi-tangente de g à droite de 1.



Méchantes questions en vrac !

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Les questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.

a. Dans cette question, il s'agit de déterminer deux primitives.

1. Déterminer une primitive F définie sur l'intervalle ] [0;+∞ de la

fonction ( ) 2

2

3 2 16 5 4f x x x

xx x= + − + − + .

2. Déterminer la primitive G définie sur l'intervalle 11

;3

+∞

de la

fonction ( )22

9

3 113 11

x xg x

xx

= +−−

telle que ( )2 5G = .

b. Exprimer les trois nombres suivants en fonction de ( )ln 2 et ( )ln 7 :

( ) 49 7ln 28 ln ln

8 2a b c

= = =

c. Déterminer les deux limites suivantes :

( )( )

( ) 32

20

ln1lim ln lim

ln 1 1xx

x xx x

x x+ →+∞→

−+

+ +

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé

a.1. Toute primitive F de la fonction ( ) 2

2

1 1 16 5 4 3 2f x x x

xx x= × + × − + × − × + est de la

forme ( ) ( )

( )

3 2

3 2

1 1 16 5 4 3 2 2 ln

3 2

12 2,5 4 6 2 ln

F x x x x x x Cstex

x x x x x Cstex

= × + × − + × − × − +

= + − + − − +

Si l'on souhaite une primitive particulière, il suffit de fixer la constante Cste à 0.

a.2. Examinons les deux termes constituant la différence ( )g x :

Le terme 2

9

3 11

x

x − est presque de la forme

u

u

′ avec ( )

( )

23 11

6

u x x

u x x

= −

′ =

.

Nous avons : 2 2

1 69 39

23 11 3 116

x x u

ux x

×′

= × = ×− −

Cette fonction a pour primitive 3

22× 23 3 11u x= −

Le terme 2

3 11

x

x − est presque de la forme

u

u

′ avec encore ( )

( )

23 11

6

u x x

u x x

= −

′ =

.

Nous avons : 2 2

1

63 11 3 1

1

1

6

6

x x u

ux x×

′= = ×

− −

Cette fonction a pour primitive ( ) ( )21 1ln ln 3 11

6 6u x× = −

Donc une écriture de la primitive G est ( ) ( )2 213 3 11 ln 3 11

6G x x x Cste= − + − +

On détermine la constante Cste en sachant que :

( ) ( )( )

2 212 5 3 3 2 11 ln 3 2 11 5

6

13 1 ln 1 5

6

13 0 5 2

6

G Cste

Cste

Cste Cste

= ⇔ × × − + × × − + =

⇔ × + × + =

⇔ + × + = ⇔ =

Conclusion : une écriture de la primitive G est ( ) ( )2 213 3 11 ln 3 11 2

6G x x x= − + − +

b. Il s'agit d'écrire les trois nombres proposés sous la forme ( ) ( )ln 2 ln 7× + ×… … en

utilisant les propriétés algébriques du logarithme népérien.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 3

ln 28 ln 4 7 ln 4 ln 7 ln 2 ln 7 2ln 2 ln 7

49ln ln 49 ln 8 ln 7 ln 2 2ln 7 3ln 2

8

7 1ln ln 7 ln 2 ln 7 ln 2

2 2

a

b

c

= = × = + = + = +

= = − = − = −

= = − = −

Dérivable et positive sur l'intervalle de travail.



c.1. Nous avons : ( )( ) ( )

2

0

2 2 2lim ln 0 0 0 0 0

ln 1 1x

x xx+

− − − − −

→+ = + = + = + =

+ −∞ + −∞

c.2. De prime abord : ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

2

lnlim

11x

x x

x→+∞

− +∞ − +∞= =

+∞ + +∞+

Forme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminée

Nous allons lever cette indétermination en factorisant les numérateur et dénominateur du

quotient par leurs termes nous paraissant les plus forts : 3x pour le haut et 2x pour le bas.

( )( ) ( ) ( )3

3 3 3 3 3

2 22

2 22

ln ln ln1 1 1

ln

1 111 1 11

x x xx

x x x x x xxx x

xx xx

× − − −− = = × = ×

+ + +× +

Il vient : ( )

( )

( ) ( )3 3

2

2

ln1

ln 0 1 1lim lim

1 11 1 01x x

x

x x xxx

x

+

+→+∞ →+∞

−− − −

= × = +∞ × = +∞ × = −∞+ ++

Ln pose problème !

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé La fonction f est définie sur l'intervalle ] [2;+∞ par :

( )2

1ln

4

xf x

x

+ =

−


a. Expliquer pourquoi la fonction f est bien définie sur l'intervalle ] [2;+∞ .

Existe-t-il d'autres intervalles où cette fonction f pourrait être définie ? Si oui, les citer.

b. Déterminer la limite de ( )f x lorsque x tend vers 2 par la droite.

Cette limite implique-t-elle une asymptote pour la courbe ( )fC ? Si oui, on précisera son

équation réduite.

c. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ .


équation réduite.

d. Justifier que la fonction f est dérivable sur son intervalle de définition, puis établir que

pour tout réel ] [2;x∈ +∞ , on a :

( )( ) ( )

2

2

2 4

1 4

x xf x

x x

− − −′ =

+ −

e. Conclure en dressant le tableau de variation de la fonction f sur ] [2;+∞ .

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a. Le logarithme d'une quantité ne peut exister que si et seulement si cette quantité est

strictement positive. Dressons le tableau de signe sur de la quantité ( )q x .

x −∞ 2− 1− 2 +∞

1x + – – 0 + +

2 4x − + 0 – – 0 +

( )q x – + 0 – +



Le quotient ( )q x étant strictement positif sur l'intervalle ] [2;+∞ , son logarithme népérien

( ) ( )( )lnf x q x= est bien défini sur cet intervalle.

Cette fonction logarithmique f peut aussi être étendue à l'intervalle ] [2; 1− − pour cette même

raison.

b. Pour déterminer la limite de la fonction ( )lnf q= à droite de 2, nous allons

préalablement nous intéresser à celle de q au même endroit.

( )2

2 2

1 3lim lim

4 0x x

xq x

x+ + +→ →

+= = = +∞

−


( ) ( )( ) ( )2 2

lim l m ln lnix x

f x q x+ +→ →

= = +∞ = +∞

La conséquence de cette limite infinie en un point est que la droite d'équation 2x = est une

asymptote verticale à la courbe ( )fC .

c. Comme toutes les fonctions rationnelles aux infinis, il y a de grandes chances que ( )q x

nous amène à une forme indéterminée du type ∞∞

. C'est pour éviter cet écueil que nous

allons factoriser d'emblée les numérateur et dénominateur de ( )q x par leurs termes nous

paraissant les plus forts : x et 2x .

( )2

2

2

11

1

441

xx xx

q xx

xx

× + + = = = − × −

2x2 2

1 11 1

1

4 41 1

x x

x

x x

+ +× = ×

− −

Nous en concluons :

( )2

11

1 1 0 1lim lim 0 0 0

4 11 01x x

xq xx

x

++ + +

+→+∞ →+∞

+ += × = × = × =

−−

Il vient alors pour la fonction f :

( ) ( )( ) ( )lim lim nln l 0x x

f x q x→+∞ →

+

+∞= = = −∞

Cette limite n'a aucune conséquence asymptotique sur la courbe ( )fC .

d. Comme la fonction ( )2

1

4

xq x

x

+=

− est dérivable et surtout positive sur ] [2;+∞ , alors son

logarithme ( )lnf q= est aussi dérivable sur cet intervalle.

Avant de dériver f et dans le souci de nous éviter des calculs trop compliqués, nous allons

assouplir son écriture :

( ) ( ) ( )] [2

Ces deux logarithmes existent

car 1 et 4 sont positifs su

2

r

2

2; .

1ln ln 1 ln 4

4

x x

xf x x x

x

+ − +∞

+= = + − −

−

Le premier terme ( )ln 1x + est de la forme ( )ln u avec ( )( )

1

1

u x x

u x

= +

′ =

Le second terme ( )2ln 4x − est aussi de la forme ( )ln u avec ( )

( )

24

2

u x x

u x x

= −

′ =

Nous pouvons alors écrire que pour tout réel ] [2;x∈ +∞ , nous avons :

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2

2 2 2

2

1 2

1 4

1 2 4 2 2 2 4

1 1 4

1

4 1 4

4

xf x

x x

x x x x x x

x x x x x

u

x

x

u

x

uu′ = − = −

+ −

− − − − − − −= = =

+ −

× − × +

+ +

′′

− −

e. Encore une fois, c'est le signe de la dérivée ( )f x′ qui va nous donner les variations de la

fonction f.

x 2 +∞

( )n x –

1x + +

2 4x − +

( )f x′ –

+∞

Les signes des facteurs du dénominateur nous

sont connus. Reste à déterminer celui du

numérateur ( ) 2 2 4n x x x= − − − qui est une

forme du second degré.

Calculons son discriminant !

( ) ( ) ( ) ( )22 4 1 4 4 16 12n x∆ = − − × − × − = − = −

Son discriminant étant négatif, le trinôme ( )n x

est toujours du signe de son coefficient

dominant. Il est toujours négatif comme 1− .

Le tableau de variation de la fonction f sur

l'intervalle ] [2;+∞ est celui ci-contre

f

−∞

Voir le tableau de signe de q(x) de la question a.

D'après le tableau de signe de q(x)...



Re-méchantes questions en vrac !

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Les questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.

a. La fonction f est définie pour tout réel x par :

( )32 xf x e −=

1. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ , puis en +∞ .

2. Calculer la dérivée ( )f x′ et en déduire les variations de la fonction f sur

l'intervalle ] [;−∞ +∞ .

b. Déterminer une expression de la primitive F de la fonction ( ) 410 7 5 xf x x e= + + qui est

définie sur et est telle que ( )0 3,25F = .

c. Dans ces questions, il n'est question que de limites.

1. Compléter les limites suivantes où n est un entier strictement positif.

( ) ( ) ( )0

lnlim ln lim ln lim

lim lim lim

n

nx xx

xx n x

nx x x

xx x x

x

ee x e

x

+→+∞ →+∞→

→+∞ →−∞ →+∞

= = =

= = =

…… …… ……

…… …… ……

2. Déterminer la limite lorsque x tend vers +∞ de la fonction ( ) ( ) 7ln

x

x xf x

e x

+=

−

d. Simplifier l'écriture du nombre réel ( )43 7

12

e eA

e

−×=


a.1.

( )3

3

3

2

Quand tend vers ,

2 2

x

x

x

x

x x

x

e e

→−∞

→−∞

→−− +

∞∞

− ∞ −∞

− − −∞ = +

→

→

→

∞

= +∞

De même,

( )3

3

3

2

quand s'envole vers ,

2 2

0x

x

x

x

x x

x

e e

→+∞

→+∞

→+∞− −∞ +

+ ∞ +∞

− −

→

→

+

→

∞ = −∞

=

x −∞ 0 +∞

3− – –

2x + 0 +

32 xe − + +

( )f x′ – 0 –

+∞

a.2. La fonction f est de la forme ue

avec ( )( )

3

2 2

2

0 3 3

Dérivable sur

u x x

u x x x

= −

′ = − = −

.

Donc la fonction f est dérivable sur et

pour tout réel x, nous avons :

( )22 23u xf x u e x e −′ ′= × = −

Comme toujours, c'est le signe de la dérivée

qui va nous donner les variations de la

fonction

f

0+

b. Examinons les deux principaux termes constituant la somme ( )f x :

Une primitive sur de 10 7x + est 2 21

10 7 5 72x x x x× + = + .

Le terme 43 xe est presque de la forme uu e′× avec ( )( )

4

4

u x x

u x

=

′ =

.

Nous avons : 4 4 5

5 54

14

4

x x ue e u e′× × ××= = ×

Cette fonction a pour primitive 45 5

4 4

u xe e× = ×

Donc une écriture générique de la primitive F est ( ) 2 455 7

4

xF x x x e Cste= + + +

On détermine la constante Cste en sachant que :

( ) 2 00 3,25 5 0 7 0 1,25 3,25

0 0 1,25 1 3,25 3,25 1,25 2

F e Cste

Cste Cste

= ⇔ × + × + × + =

⇔ + + × + = ⇔ = − =

Conclusion : une écriture de la primitive F est ( ) 2 455 7 2

4

xF x x x e= + + +



c.1. Petites questions de connaissance en introduction !

( ) ( ) ( )0

lnlim ln lim ln 0 lim 0

lim lim 0 lim

n

nx xx

xx n x

nx x x

xx x x

x

ee x e

x

+

+

→+∞ →+∞→

→+∞ →−∞ →+∞

= +∞ = =

= +∞ = = +∞

c.2. De prime abord : ( ) ( ) ( )

( ) ( )

7ln

limxx

x x

e x→+∞

+ +∞ + +∞ +∞= =

+∞ − +∞− Forme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminée

Nous allons lever cette indétermination en factorisant les numérateur et dénominateur du

quotient par leurs termes nous paraissant les plus forts : 7x pour le haut et xe pour le bas.

( ) ( )( ) ( )7

7 7 7 7

ln ln1 1

ln

11x x

xxx

x xx

x x x x xf xxxe x e

eee

× + + + = = = ×

− −× −

Comme limx

nx

e

x→+∞= +∞ , alors, pour son inverse, nous avons :

1lim 0

n

xx

x

e

+

→+∞= =

+∞

Il vient alors :

( )

( )7 7

ln1

0 1 1lim lim 0 0 0

11 01xx x

x

x

x xf xxe

e

++ + +

+→+∞ →+∞

++

= × = × = × =−−

d. Simplifions l'écriture du nombre A avec les propriétés algébriques de l'exponentielle.

( ) ( )4

3 712 74 3 7 12 7 5

5 6 1

6 6 6112 122

1e e

e e e e e eA e e

ee e eee

−+ −× − −

− −

×

×× ×

= = = = = = = =

Exponentielle pose problème !

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé La fonction f est définie sur par :

( ) ( )22 2

xf x x x e= + − ×


a. Déterminer la limite de ( )f x lorsque x tend vers −∞ .


équation réduite.

b. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ .


équation réduite.

c. Calculer l'image de 0 par la fonction f, puis déterminer les antécédents de 0 par cette

même fonction f.

d. Justifier que la fonction f est dérivable sur , puis établir que pour tout réel x, on a :

( ) ( )24

xf x x x e′ = + ×

e. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ] [;−∞ +∞ .

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a. Sous la forme qui nous est proposée, ( )f x est une forme indéterminée en −∞ . En effet :

( ) ( ) ( ) ( )( )2lim lim 2 2 2 0

x

x xf x x x e

+

→−∞ →−∞= + − × = +∞ + −∞ − × =


Forme trèsForme trèsForme trèsForme très

indéterminéeindéterminéeindéterminéeindéterminée

Dans les faits, il s'agit d'une «petite forme indéterminée» car il suffit juste de développer :

( ) 2 2 2 0 2 0 2 0 0x x

x

xf x x e xe e→−∞

+ + + += + × − × + × − × → =

Nous en concluons que l'axe des abscisses, droite dont l'équation réduite est 0y = , est une

asymptote horizontale à la courbe ( )fC au voisinage de −∞ .

Que n valle 1 ou 7 !



b. La limite de f en +∞ ne pose guère de problèmes ! En effet :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2lim lim 2 2

2

x

x xf x x x e

→+∞ →+∞= + − ×

= +∞ + +∞ − × +∞ = +∞ × +∞ = +∞

Cette limite infinie à l'infini n'a aucune conséquence asymptotique.

c. L'image de 0 par la fonction f nous est donnée par :

( ) ( )2 00 0 2 0 2 2 1 2f e= + × − × = − × = −

Pour connaître les antécédents de 0 par la fonction f, nous résolvons dans l'équation :

( ) ( )Un produit est nul... ...l'un de ses facteurs

Niet !

l'

2

e

2

st.

0 2 2 0 2 2 0 ou 0x xf x x x e x x e= ⇔ + − × = ⇔ + − = =

Une exponentielle étant toujours strictement positive, la seconde sous-équation 0xe = n'a

aucune solution.

Pour résoudre la première sous-équation 2 2 2 0x x+ − = qui est du second degré, nous

allons calculer son discriminant :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 4 1 2 4 8 12 12 4 3 2 3∆ = − × × − = + = = = × =

Son discriminant étant positif, cette première sous-équation admet deux solutions :

22 2 3

2 1x

− −= =

×

( )1 3

2

× − − 2 2 31 3 ou 1 3

2 1x

− −= − − = = − +

×

Conclusion : 0 a deux antécédents par la fonction f qui sont 1 3− − et 3 1− .

d. La fonction f est le produit des fonctions ( )( )

22 2

2 2

Dérivable sur

u x x x

u x x

= + −

′ = +

et ( )( )

Dérivable sur

x

x

v x e

v x e

=

′ =

.

Donc la fonction f u v= × est dérivable sur et pour tout réel x, nous avons :

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 4

x x

x

x x

f x u v v u

x e e x x

e x x x

e x x e x x

′ ′ ′= × + ×

= + × + × + −

= × + + + −

= × + = × × +

e. Le signe de la dérivée ( )f x′ nous donne les variations de f.

x −∞ 4− 0 +∞

x – – 0 +

4x + – 0 + +

xe + + +

( )f x′ + 0 – 0 +

46e− +∞

f

0+ 2−

Calculons l'image de 4− par la fonction f :

( ) ( ) ( )( ) ( )2 4 4 44 2 4 2 16 8 2 6f x e e e

− − −= − + × − − × = − − × =



Un plant façon indienne

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est une adaptation d'un autre donné au bac S à Pondichéry, avril 2013.

a. On s’intéresse à l’évolution de la hauteur h d’un plant de maïs en fonction du temps t.

Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur h est exprimée en mètres et le

temps t en jours.

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :

( )0,04

1t

ah t

be−

=+

où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en

jours et ( )h t désigne la hauteur du plant exprimée en mètres.

On sait qu’initialement, pour 0t = , le plant mesure 0,1 mètres et que sa hauteur tend vers

une hauteur limite de 2 mètres.

1. Exprimer l'image ( )0h et la limite ( )limt

h t→+∞

en fonction de a et b.

2. En déduire les valeurs des coefficients a et b. Une réponse directe et non justifiée

sera considérée comme fausse.

b. On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f

définie sur l'intervalle [ ]0;250 par :

( )0,04

2

1 19t

f te

−=

+

où t est une grandeur temporelle exprimée en jours et ( )f t est exprimée en mètres.

1. Calculer la dérivée ( )f t′ en fonction de t, puis en déduire les variations de la

fonction f sur l'intervalle [ ]0;250 .

2. Calculer le temps nécessaire pour que la hauteur du plant de maïs dépasse les 1,5

mètres.

3. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs; elle est donnée par la

fonction dérivée de la fonction f . La vitesse de croissance est maximale pour une

certaine valeur de t.

En utilisant le graphique ci-contre qui est reproduit sur la feuille annexe, déterminer

une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

Les constructions à faire le seront sur le graphique de la feuille annexe. On laissera

apparents les traits de construction.

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. Exprimons en fonction de a et b l'image et la limite demandées.

( )

( ) ( )

0,04 0 0

0,04

L'image : 01 1 11 1

La limite : lim1 1 0 1 01t

a a a ah

b bbe be

a a a ah t a

be bbe

− ×

−∞ + +− × +∞→+∞

= = = =+ × ++ +

== = = = =+ + × ++

a.2. Exploitons les renseignements apportés par l'énoncé :

«sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 mètres»

( )lim 2 2t

h t a→+∞

= ⇔ =

«initialement, pour 0t = , le plan mesure 0,1 mètres»

( ) ( )0 0,1 0,1 2 0,1 11

2 0,1 1,92 0,1 0,1 19

0,1 0,1

ah b

b

b b

= ⇔ = ⇔ = × ++

−⇔ = + × ⇔ = = =

t

h

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

Temps t en jours

Hauteur h en mètres



b.1. f est de la forme 1

fu

= avec ( )( ) ( )

0,04

0,04

1 19

19 0,04

Dérivabl

1 19

0

e et non nulle sur

19

u

u

t

t

u x e

u

e

ex eu

−

−

= + ×

′ = = × −

= + ×

′+ ×× ×

Par conséquent, la fonction f est dérivable sur , donc en particulier sur [ ]0;250 et pour tout

réel t de cet intervalle, nous avons :

( ) ( )

( ) ( )0,04 0,04

2 2 20,04 0,04

2 0,76 1,522

1 19 1 19

t t

t t

eu ef t

u e e

− −

− −

× − ×′ × ′ = × − = − = ×

= + +

⊕ ⊕

⊕

Tous les facteurs apparaissant de ce quotient étant positifs, nous en déduisons que la dérivée

( )f t′ est aussi strictement positive sur l'intervalle [ ]0;250 .

Donc la fonction f est strictement croissante sur ce dernier ensemble.

b.2. Dans cette question, on cherche l'antécédent de 1,5 par la fonction f. Il s'agit de résoudre

l'équation :

( )

( ) ( )

Inverse0,04

0,04

0,04 0,04

Ln0,04

2 1 19 11,5 1,5

2 1,51 19

2 4 11 19 19 1

1,5 3 3

ln 5710,04 ln 57 101,08

57 0,04

t

t

t t

t

ef t

e

e e

e t t

−

−

− −

−

+ ×= ⇔ = =

+ ×

⇔ + × = ⇔ × = −

=

⇔ = − = − ⇒ = ≈

→

→

Conclusion : le plant de maïs dépasse les 1,5 mètres à l'issue du 101ième jour.

b.3. La vitesse de croissance du plant est maximale lorsque le nombre dérivé de f est

maximal, c'est-à-dire lorsque le coefficient de la tangente à la courbe ( )fC est maximal,

autrement dit lorsque cette tangente est la «plus pentue» possible.

Vu le graphique, la tangente semble la «plus pentue» au voisinage de 80 jourst = .

Le plant mesure alors près de 1,13 mètres.

La vérité par les nombresLa vérité par les nombresLa vérité par les nombresLa vérité par les nombres Pour savoir quand la croissance est maximale, nous pourrions dériver la dérivée ( )f t′ qui

est un quotient et nous aboutirions à la dérivée seconde de f :

( )( )

( )

0,04 0,04

30,04

0,0608 19 1

19 1

t t

t

e e

f t

e

− −

−

× × × −′′ =

+

Dans ce quotient, seul le facteur 0,0419 1te−× − change de signe, les autres étant positifs.

La dérivée ( )f t′ est maximale lorsque la dérivée seconde ( )f t′′ change de signe, c'est-à-

dire est nulle, c'est-à-dire lorsque :

( ) ( )0,04 Ln0,04 ln 19119 1 0 0,04 ln 19 73,6

19 0,04

t te e t t

− − →× − = ⇔ = − = − ⇒ = ≈

La croissance est donc maximale pour 73,61 jourst ≈ .

t

h

Coef. Dir=0,0197

1,13

Coef. Dir=0,02

73,61

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

Temps t en jours

Hauteur h en mètres



Exponentielle des Caraïbes

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est une adaptation d'un autre donné au bac S Antilles-Guyane, juin 2014.

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'ensemble par :

( ) 1x

xf x x

e= + +

On note ( )C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a. On appelle g la fonction définie et dérivable sur l’ensemble par :

( ) 1 xg x x e= − +

1. Calculer l'image ( )0g .

2. Déterminer les limites de la fonction g en −∞ , puis en +∞ .

3. Calculer la dérivée ( )g x′ .

4. Résoudre dans l'équation 1 0xe − > .

5. Dresser le tableau donnant les variations de la fonction g sur .

6. En déduire le signe de ( )g x sur .

b. Déterminer les limites de f en −∞ , puis en +∞ .

c. On appelle f ′ la dérivée de la fonction f sur . 1. En calculant la dérivée de la fonction f, établir que pour tout réel x, on a :

( ) ( )xf x e g x−′ = ×

2. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur .

3. Démontrer que l'équation ( ) 0f x = admet une unique solution α dans .

Donner une valeur approchée au dixième près de cette unique solution α.

d. On appelle TTTT la droite d'équation 2 1y x= + .

1. Démontrer que cette droite TTTT est tangente à la courbe ( )C au point d'abscisse 0.

2. En étudiant le signe de la différence d'ordonnées ( ) ( ) ( )2 1Cy y f x x− = − +TTTT ,

déterminer la position relative de la courbe ( )C et de la droite TTTT.

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. Calculons l'image demandée : ( ) 00 1 0 1 1 2g e= − + = + =

a.2. La limite de g en −∞ ne pose guère de difficultés :

( ) ( )lim lim 1 1 0x

x xg x x e +

→−∞ →−∞= − + = − −∞ + = +∞

Pour la limite de g en +∞ , ce sera une autre affaire !

( ) ( ) ( )lim lim 1 1x

x xg x x e

→+∞ →+∞= − + = − +∞ + +∞ = Forme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminée

L'indétermination se lève en factorisant la somme ( )g x par son terme le plus fort : xe .

( ) 11 1x x

x x

xg x x e e

e e

= − + = × − +

D'après le cours, le quotient x

e

x tendant vers +∞ , son inverse

x

x

e tend vers

10

+=+∞

.

Il vient alors :

( ) ( ) ( )1 1lim lim 1 0 1 0 1

x

x xx x

xg x e

e e

+ +

→+∞ →+∞

= × − + = +∞ × − + = +∞ × + = +∞ +∞

a.3. La fonction g est dérivable sur car elle est une somme de telles fonctions.

Pour tout réel x, nous pouvons écrire :

( ) 0 1 1x xg x e e′ = − + = −

a.4. Résolvons dans l'équation demandée :

( )

] [( )Ln

Croissante sur 0;

1 0 1 ln 1 0

g x

x xe e x

+∞

′

− > ⇔ > >→ =

x −∞ 0 +∞

( ) 1xg x e′ = − – 0 +

+∞ +∞

a.5. La question précédente

nous indique le signe de la

dérivée ( )g x′ . Elle est

négative avant 0, nulle en 0 et

positive après.

Par conséquent, le tableau de

variation de g sur est celui

ci-contre

g

2

a.6. Le minimum de la fonction g sur étant 2, ( )g x est toujours strictement positif.



b. Déterminons les deux limites demandées :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

lim lim 1 10

1

0

lim lim 1 1 0

xx x

xx x

xf x x

e

xf x x

e

+→−∞ →−∞

+

+

→+∞ →+∞

−∞= + + = −∞ + +

= −∞ + −∞ × = −∞ + −∞ × +∞ = −∞ + −∞ = −∞

= + + = +∞ + + = +∞

c.1. Calculons la dérivée de la fonction f.

( )( )2 2

11 1 0 1 1

1

x x

xx

x

u u v vx e e xf x x

e e

e

u

v v

′ ′ ′× − × ′ × − × ′ = + + = + + = + = +

=

+

( )2

1 x

e

− ( ) ( ) ( )1 1 1x

x

x x xx

g xxg x e g x

e e e

e −+ −= = = × =

×

x −∞ +∞

( ) ( )xf x e g x−′ = × +

+∞

c.2. L'exponentielle xe− est toujours

strictement positive comme ( )g x .

Par conséquent, la dérivée ( )f x′ = ×⊕ ⊕

est strictement positive et la fonction f est

strictement croissante sur . f

−∞

c.3. Comme

( ) ] [

la fonction est continue car dérivable sur

la fonction est strictement croissante sur

0 appartient à l'intervalle image ;

f

f

f = −∞ +∞

alors, d'après le théorème de la bijection, l'équation ( ) 0f x = admet une unique solution α

dans .

D'après la calculatrice, une valeur approchée au dixième près de cette solution α est : 0,4α ≈ −

d.1. L'équation réduite de la tangente à la courbe ( )C en son point d'abscisse 0 est de la

forme :

( ) ( ) ( )0 0 0y f x f′= × − +

avec ( ) ( ) ( )0

0

00 0 1 2 2 et 0 0 1 1f e g f

e

−′ = × = × = = + + =

Nous en déduisons que l'équation réduite de la tangente est :

2 1y x= + .

Soit l'équation de la droite TTTT.

d.2. Explicitons la différence d'ordonnées proposée :

( ) ( ) ( )

( )2 1

11 2 1

C

xx

x x x x

y y f x x

x ex x x xex x x

e e e e

− = − +

−−= + + − − = − = =

TTTT

x −∞ 0 +∞

x – 0 +

1 xe− + 0 –

xe + +

Le signe de ( )1 1x x

e e− = − −

est le signe contraire de ( )g x′ .

Le signe de la différence

d'ordonnées ( )Cy y− TTTT est celui

ci-contre

( )Cy y− TTTT – 0 –

Conclusion : Sauf en 0x = où elles se touchent, la courbe ( )C est toujours au-dessous de la

droite TTTT. Graphiquement, la situation est la suivante :



Exponentielle vs. alien carré

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé La fonction f est définie par :

( )2

2

3 2x

x

x ef x

e x

−=

+


a. Justifier que la fonction f est parfaitement définie sur .

b. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ , puis en +∞ .

Quelles sont les conséquences asymptotiques de ces deux limites ?

c. Démontrer que la dérivée ( )f x′ est donnée, pour tout réel x, par :

( ) ( )

( )22

5 2 x

x

x x ef x

e x

× − ×′ =

+

En déduire les variations de la fonction f sur .

d. Démontrer que l'équation ( ) 0f x = admet dans une unique solution α dont on donnera

une valeur approchée au centième près.

En déduire le tableau de signe de ( )f x sur .

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a. f est le quotient du numérateur ( ) 23 2 xu x x e= − et du dénominateur ( ) 2xv x e x= + qui

sont deux fonctions définies sur .

De plus, le dénominateur ( )v x est toujours strictement positif car il est la somme des deux

quantités positives xe et 2x dont la première l'est strictement.

Le dénominateur ( )v x ne s'annulant jamais, la fonction quotient f est bien définie sur .

b. Commençons par déterminer la limite de la fonction f en −∞ .

De prime abord :

( ) ( )( )

2

2

3 2 03 2lim lim

0

x

xx x

x ef x

e x

+

+→−∞ →−∞

× +∞ − ×− +∞= = = =

+∞+ + +∞

Forme Forme Forme Forme

indéterminéeindéterminéeindéterminéeindéterminée

Pour lever cette dernière, nous allons factoriser les numérateur et dénominateur par leurs

termes nous paraissant les plus forts : 2x dans les deux cas.

Pour tout réel ] [;0x∈ −∞ , nous pouvons écrire :

( )2 2

2

3 2 x

x

x e xf x

e x

−= =

+ 2x

2

2

03 3

3 0 33

10 0 11 1

x

x

x

e

x

e

x

++

→ +− +∞→

− − −+∞× = = =+

+ ++∞

La conséquence asymptotique de cette limite est que la droite d'équation 3y = est une

asymptote horizontale à ( )fC au voisinage de −∞ .

A présent, déterminons la limite de la fonction f au voisinage de +∞ .

De prime abord :

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

3 23 2lim lim

x

xx x

x ef x

e x→+∞ →+∞

× +∞ − × +∞−= = =

+∞ + +∞ +∞+


Nous allons lever l'indétermination en factorisant les numérateur et dénominateur par leurs

termes nous paraissant les plus forts : xe dans les deux cas.

Pour tout réel ] [0;x∈ +∞ , nous pouvons écrire :

( )2

2

3 2x x

x

x e ef x

e x

−= =

+ xe

2 2

2 2

3 2 3 2

1 1

x x

x x

x x

e e

x x

e e

× − × −× =

+ +

D'après le cours, lorsque x tend vers +∞ , le quotient 2

xe

x s'envole vers +∞ .

Donc son inverse 2

x

x

e s'en va vers

10

+=+∞

Nous en concluons :

( )

2

2

3 23 0 2 0 2

lim lim 211 0

1

x

x x

x

x

ef xx

e

+ +

+→+∞ →+∞

× −× − −

= = = = −+

+

La conséquence graphique de cette limite est que la droite d'équation 2y = − est une

asymptote à la courbe ( )fC au voisinage de −∞ .



c. f est le quotient des fonctions ( )( )

23 2

3 2 2

6 2

Dérivable sur

x

x

x

u x x e

u x x e

x e

= −

′ = × −

= −

et ( )( )

2

2

Dérivable et

non nulle sur

x

x

v x e x

v x e x

= +

′ = +

.

Par conséquent, la fonction f est dérivable sur et pour tout réel x, nous avons :

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 22

3

6 2 2 3 2

6 6

x x x x

x

x

x e e x e x x eu v v uf x

v e x

xe x

− × + − + × −′ ′× − ×′ = =

+

+=

22 xe− 2 2 22 3 2x x xx e x e e− − + 36x−

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

22

2

2 2 2 22 2 2 2

4

5 2 5 210 5 5 2 5

x

x

x xx x x x

x x x x

xe

e x

xe x x x exe x e xe xe x

e x e x e x e x

+

+

× − −− × − ×= = = =

+ + + +

Les signes de tous les facteurs apparaissant dans le quotient précédent nous sont connus.

Calculons les valeurs des deux extrema qui vont apparaitre dans le tableau :

( ) ( )2 0 2 2 2

0 2 2 2 2

3 0 2 0 2 1 2 3 2 2 12 20 2 2 0,24

1 0 10 2 4

e e ef f

e e e

× − × − × − × − × −= = = = − = = ≈ −

++ + +

Le tableau de signe de la dérivée ( )f x′ et celui de variation de f sont les suivants :

x −∞ 0 2 +∞

5x

– 0 +

+

2x− +

+

+ 0 –

xe

+

+

+

( )22xe x+

+

+

+

( )f x′

– 0 + 0 –

3 ( )2 f ⊖

f

2− 2−

d. Comme ] [] [

] [( ) ] [

la fonction est continue car dérivable sur ;0

la fonction est strictement décroissante sur ;0

0 appartient à l'intervalle image ;0 3; 2

f

f

f

−∞

−∞

−∞ = − −

alors, en application du théorème de la bijection, l'équation ( ) 0f x = admet une unique

solution α dans ] [;0−∞ .

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle [ [0;+∞ qui est égal à ( )2f étant négatif,

l'équation ( ) 0f x = n'admet aucune solution dans cet intervalle.

D'après la calculatrice, une valeur approchée au centième près de cette unique solution α est :

0,60α ≈ −

Compte tenu des variations de f et de ce qui précède, le tableau de signe de ( )f x est :

x −∞ α +∞

( )f x + 0 –

A l'issue de l'exercice, la situation graphique de la courbe ( )fC accompagnée de ses deux

asymptotes et de ses deux tangentes horizontales est la suivante :

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

α

( )fC

0T

2T

3y =

2y = −



Intégrales Lepter

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est constitué de trois sous-parties indépendantes. Un résultat fourni seul, sans

justifications, ne sera pas pris en compte.

a. Calculer les intégrales suivantes. On donnera leurs valeurs exactes.

2 4 42

2 321 0 1

2 1 2 49

3 1

xI x x dx J dx K dx

x x x xx

= − + = = − + +∫ ∫ ∫

b. La fonction f est définie sur par :

( ) ( )26 2x

f x x x e−= −

1. Démontrer que la fonction ( ) ( )22 2 2

xF x x x e

−= − − est une primitive de la

fonction f sur .

2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [ ]0;3 .

c. La fonction f est définie sur l'intervalle ] [0,5;− +∞ par :

( )3 2

6 17 2 3

2 1

x x xf x

x

− − −=

+

1. Par la méthode de votre choix, déterminer quatre coefficients entiers a,b, c et d tels

que pour tout réel 1;

2x

∈ − +∞ , on ait : ( ) 2

2 1

df x ax bx c

x= + + +

+

2. Sur le graphique ci-contre, on a tracé la courbe ( )fC représentant la fonction f

dans un repère orthogonal où une unité de longueur en abscisse vaut 3 centimètres

et une unité de longueur en ordonnée vaut 1 centimètre.

La courbe ( )fC franchit l'axe des abscisses ( )Ox au point d'abscisse 3x = .

Calculer la valeur exacte exprimée en centimètres carrés de l'aire géométrique du

domaine hachuré sur la figure ci-contre qui est compris entre l'axe des abscisses

( )Ox , l'axe des ordonnées ( )Oy , la droite d'équation 3x = et la courbe ( )fC .

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. Commençons par calculer l'intégrale I.

Une primitive sur de 2 1

9 2x xx

− + × est ( ) ( )3 2

3 219 2 ln 3 2ln

3 2 2

x xx x x x× − + × = − +

Il vient alors :

( )

( ) ( )

( ) ( )

22

1

23 2

1

3 2 3 2

29

13 2 ln

2

1 13 2 2 2 ln 2 3 1 1 2 ln 1

2 2

24 2 2ln 2 3 0,5 2 0 19,5 2 ln 2

I x x dxx

x x x

= − +

= − + ×

= × − × + × − × − × + ×

= − + − + − × = + ×

∫

a.2. Calculons la valeur de l'intégrale J.

La fonction 23 1

x

x + est presque de la forme

u

u

′ avec ( )

( )

23 1

3 2 6

Dérivable et positive sur

u x x

u x x x

= +

′ = × =

Plus particulièrement : 2 2

1

63 1 3 1

1 6

6

x x u

ux x

′= = ×

+

×

+× .

x

y

1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

( )fC



Donc une primitive sur de la fonction 23 1

x

x + est

21 12 3 1

6 3u x× = × +

Il vient alors : 4

20

42 2 2

0

3 1

1 1 1 1 1 7 13 1 3 4 1 3 0 1 49 1 2

3 3 3 3 3 3 3

xJ dx

x

x

=+

= + = × + − × + = − × = − =

∫

a.3. Calculons la valeur exacte de l'intégrale K.

Une primitive sur ] [0;+∞ de la fonction 2 3

1 1 12 4

x x x− × + × est la fonction :

2 2

1 1 2 22 2 4 2

2x x

x xx x

− −− × + × = + −

Il vient alors : 4

2 31

4

2 2 21

1 2 4

2 2 2 2 2 22 2 4 2 1

4 14 1

194 0,5 0,125 2 2 2 2,375

8

K dxx x x

xx x

= − +

= + − = + − − + −

= + − − − + = =

∫

b.1. Calculons la dérivée de la fonction ( ) ( )22 2 2

xF x x x e

−= − − qui est le produit u v×

des fonctions ( )( )

22 2 2

2 2 2 4 2

Dérivable sur

u x x x

u x x x

= − −

′ = × − = −

et ( )( ) 1

Dérivable sur

u

u

x

x x

v x e

v x e

e

u ee

−

− −

=

′

=

′ = =× − × =

Donc la fonction F est dérivable sur et pour tout réel x, on a :

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

4 2 2 2 2

4 2 2 2 2

4 2

x x

x

x

F x u v v u x e e x x

e x x x

e x

− −

−

−

′ ′ ′= × + × = − × + − × − −

= × − − − −

= × − 22 2 2x x− + + ( ) ( )2

6 2x

e x x f x− = × − =

Conclusion : comme la fonction f est la dérivée de la fonction F sur , alors F est une

primitive de f sur ce même ensemble.

b.2. La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [ ]0;3 est donnée par la formule :

[ ] ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

3

0

3

0

2 3 2 0

33

1Valeur moyenne de sur 0;3

3 0

1 13 0

3 3

12 3 2 3 2 2 0 2 0 2

3

1 2 1010 2 1

3 3

f f x dx

F x F F

e e

ee

−

−−

= ×−

= × = × −

= × × − × − × − × − × − ×

+= × + × =

∫

c.1. Décomposons la fonction rationnelle ( )f x en utilisant la «méthode par identification

des coefficients de même degré».

On veut écrire ( )f x sous la forme :

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

3 2 2

3 2 3 2

2 1

2 1

2 2 2

2 1

6 17 2 3

2 1

2 2 2

2 1 2 1

df x ax bx c

x

ax bx c d

x

ax ax bx bx cx c d

x

x x x a x a b x b c x c d

x x

x

= + + ++

+ + +=

+

+ + + + + +=

+

+ − + − + − + + + + + +=

+

×

+

+

Les deux numérateurs polynomiaux étant égaux, leurs coefficients de même degré sont aussi

égaux. Il vient :

3

2

6 2 3

17 2 17 3 2 2 20

En

10

2 2 2 10 2 2 8 4

3 3 4

E

Constant

n

7

E

n

x

a a

a b b b b

b c c c c

d

x

x

c d d

= ⇔ =

− = + ⇔ − = + ⇔ = − ⇔ = −

− = + ⇔ − = − + ⇔ = ⇔ =

− = + ⇔ − = + ⇔ = −

Conclusion : la forme décomposée de la fonction rationnelle f est :

( ) 2 73 10 4

2 1f x x x

x= − + −

+



Une autre méthode : par extraction du dénominateur de chacun des termes du numérateur

( )( )

( )

2 2 23 2

2

3 2 1 3 17 2 36 17 2 3

2 1 2 1

3 2 1

x x x x xx x xf x

x x

x x

+ − − − −− − −= =

+ +

+=

2 1x +

( )

( )

22

2

10 2 1 10 2 320 2 33

2 1 2 1

10 2 13

x x x xx xx

x x

x xx

− + + − −− − −+ = +

+ +

+= −

2 1x +

( )

( )

2

2

4 2 1 4 38 33 10

2 1 2 1

4 2 13 10

xxx x

x x

xx x

+ − −−+ = − +

+ +

+= − +

2 1x +27 7

3 10 42 1 2 1

x xx x

− = − + −+ +

c.2. Le calcul de l'intégrale ( )3

0

f x dx∫ dépend de la connaissance d'une primitive F de f.

D'abord, une primitive sur de 23 10 4x x− × + est 2

3 3 210 4 5 4

2

xx x x x x− × + = − + Puis,

la fonction 7

2 1x

−+

est presque de la forme u

u

′ avec ( )

( )[ ]

2 1

2

Dérivable et positive sur 0;3

u x x

u x

= +

′ =

.

Une primitive de 1 27

7 3,52 1 2 12

u

x x u

′−= − × = − ×

+ +× est ( ) ( )3,5 ln 3,5 ln 2 1u x− × = − × +

Par conséquent, une primitive de f sur [ ]0;3 est ( ) ( )3 25 4 3,5 ln 2 1F x x x x x= − + − × +

Il vient alors :

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )

33

00

3 2 3 2

3 0

3 5 3 4 3 3,5 ln 2 3 1 0 5 0 4 0 3,5 ln 0 1

27 45 12 3,5 ln 7 0 3,5 ln 1

6 3,5 ln 7 unités d'aire

f x dx F x F F = = −

= − × + × − × × + − − × + × − × +

= − + − × − − ×

= − − ×

∫

Une unité d'aire est l'aire d'un rectangle de 3 centimètres en abscisse sur 1 centimètre en

ordonnée. Une unité d'aire vaut donc 23 cm .

De plus, l'aire calculée a été comptée négativement car la fonction f est négative ou nulle sur

l'intervalle [ ]0;3 .

Conclusion : l'aire du domaine hachuré est de ( ) ( ) 26 3,5 ln 7 u.a 18 10,5 ln 7 cm+ × = + ×



Géométrie et nombres complexes

Petits jeux entre complexes

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. Le polynôme P est défini pour tout nombre complexe z par :

( ) 3 22 9 16 15P z z z z= − + −

1. Calculer ( )2,5P .

2. Déterminer trois entiers relatifs a, b et c tels que pour tout nombre complexe z, on

ait :

( ) ( ) ( )22 5P z z az bz c= − × + +

3. Résoudre dans l'équation ( ) 0P z = .

b. On appelle f la fonction affine de variable complexe z définie par :

( ) ( )3 2 4f z z= − × −i i

1. Calculer les images ( ) ( ) ( ) 12 3 1 4

2 3f f f f

− + + i i

i

2. Résoudre dans l'équation ( ) 8 5f z = − i .

Que vient-on de déterminer vis-à-vis de f ?

c. La formule de résolution des équations du second degré vue en première et prolongée en

terminale fonctionne quelque soit la nature des coefficients de celles-ci : réels ou complexes.

Le but de cette question est la résolution dans de l'équation du second degré à coefficients

complexes d'inconnue z suivante : 2 2 1 8 0z z− × − − =i i

1. Calculer le discriminant ∆ d'une telle équation. 2. Vérifier que le complexe 4 4+ i a pour carré ∆.

3. En déduire les solutions dans de l'équation 2 2 1 8 0z z− × − − =i i .

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. Calculons l'image de 2,5 par le polynôme P.

( )3 2

5 5 5 125 252,5 2 9 16 15 2 9 40 15

2 2 2 8 4

125 225 10025 25 25 25 0

4 4 4

P

= × − × + × − = × − × + −

−= − + = + = − + =

2,5 étant une racine du polynôme P, alors ce dernier est factorisable par le facteur 2,5z −

ainsi que par son double 2 5z − . Ce qui va être fait dans la question suivante.

a.2. Procédons par identification. On veut écrire le polynôme P sous la forme :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2 2

3 2 3 2

2 5

2 2 2 5 5 5

2 9 16 15 2 2 5 2 5 5

P z z az bz c

az bz cz az bz c

z z z a z b a z c b z c

= − × + +

= + + − − −

+ − + + − = + − + − + −

Deux polynômes égaux ont des coefficients de même degré égaux :

3

2

2 2 1

9 2 5 9 2 5 2 4 soit 2

16 2 5 16 2 10

Const

En

En 2 6

ant

3

5

n

15 3

E

z

z

D'un !

De deux !

De trois

a a

b a b b b

c b !

La vérif'

z

c c c

c c !

= ⇔ =

− = − ⇔ − = − ⇔ = − = −

= − ⇔ = + ⇔ = ⇔ =

− = − ⇔ =

Conclusion : une écriture factorisée du polynôme P est : ( ) ( ) ( )22 5 2 3P z z z z= − × − +

a.3. Utilisant ce qui vient d'être fait, résolvons dans l'équation....

( ) ( ) ( )Un produit est nul... ...l'un de ses facteurs l'est

2

.

20 2 5 2 3 0 2 5 0 ou 2 3 0P z z z z z z z= ⇔ − × − + = ⇔ − = − + =

Solutionnons séparément ces deux sous-équations :

La première sous-équation ne pose guère de problèmes !

On s'e2 5 0 n serait douté 5 !2 2,5z z z− = ⇔ = ⇔ =

Calculons le discriminant de l'autre sous-équation 2 2 3 0z z− + = .

( ) ( )222 22 4 1 3 4 12 8 4 2 2 2∆ = − − × × = − = − = × × =i i

Son discriminant étant négatif, cette sous-équation du second degré admet deux

solutions complexes, conjuguées et non réelles :

( )2 2 2 2

2 1z

− − −= =

×

i 2− 2

2

i ( )2 2 21 2 ou 1 2

2 1z

− − += − = = +

×

ii i

Conclusion : l'équation ( ) 0P z = admet trois solutions dans le corps des complexes :

2,5 1 2 1 2S = − +i i



b.1. Calculons les quatre images demandées. Il suffit juste de remplacer z par la valeur

donnée.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

2 2

2 3 2 2 4 6 4 4 6

3 3 2 3 4 9 6 4 5 6 1 6 5

1 4 3 2 1 4 4 3 12 2 8 4 11 6

3 21 13 2 4 4

2 3 2 3 2 3

6 9 4 6 6 13 64 4 4 5

132 3

2 3

2 3

f

f

f

f

− = − × − − = − + − = −

= − × − = − − = − × − = +

+ = − × + − = + − − − = +

− = − × − = − + + +

− − + − −= − = − = − − = −

+

× −

× −

i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

ii i i

i i i

i i i ii i i

i

i

i i

b.2. Résolvons dans l'équation proposée :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

2

2 2

48 5 3 2 4 8 5 3 2 8

88 24 16 3 2

3 2 3 2 3 2

24 13 2 1 26 132

9 4 13

3 2

3 2

f z z z

z

+= − ⇔ − × − = − − × = −

−− + − −⇔ = = =

− − +

+ − × − +

× +

× +

=+

→

= = +

i

i

i i i i i i

ii

i

i i i

i i

i ii

Conclusion : 8 5− i a un seul antécédent par la fonction. Il s'agit de 2+ i .

c.1. Notre équation du second degré est de la forme 2 0az bz c+ + = avec :

1 2 1 8a b c= = − = − +i i

Par conséquent, le discriminant de notre équation est donné par :

( ) ( )22 24 2 4 1 1 8 4 4 32 4 4 32 32b a c∆ = − × × = − − × × − − = + + = − + + =i i i i i i

c.2. Nous avons : ( ) ( )2 224 4 4 2 4 4 4 16+ = + × × + =i i i ( )32 16 1+ + × −i 32= i

Nous pourrions presque dire que 4 4+ i est une racine du nombre complexe 32i .

c.3. Appliquant les formules bien connues, nous en déduisons que les deux solutions dans

de l'équation du second degré 2 2 1 8 0z z− × − − =i i sont :

( ) ( )

( ) ( )

1

2

2 4 4 2 4 4 4 22

2 2 2 2

2 4 4 2 4 4 4 62 3

2 2 2 2

bz

a

bz

a

− − − +− − ∆ − − − −= = = = = − −

×− − + +− + ∆ + + +

= = = = = +×

i i i i ii

i i i i ii

Bon plan complexe...ou pas

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Sur la figure ci-après, le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct ( )O; ,u v

d'unité graphique centimétrique. On a aussi tracé les demi-droites radiales d'origine O

formant un angle remarquable avec le premier vecteur de base u.

Enfin, dans ce repère, on a placé les points A, B et C dont les affixes sont :

A B C6 1 4 2z z z= − = − = −i i

a. On appelle D le point d'affixe D 3 3 3z = − − i .

1. Déterminer les module et arguments du nombre complexe Dz .

2. En déduire la position et placer le point D sur la figure ci-contre.

3. Le point A appartient-il au cercle de centre O passant par D ? On justifiera sa

réponse.

b. On appelle E le quatrième sommet du parallélogramme CDBE.

1. Calculer l'affixe Ez du point E.

2. Construire au compas le point E sur la figure ci-contre.

3. Calculer l'affixe Iz du milieu I du segment [BC].

4. Justifier que le point I est aussi le milieu du segment [ED].

c. On appelle G le point du plan vérifiant l'égalité vectorielle :

5 AG 2 BG o× + × =

1. Déterminer l'affixe Gz du point G.

2. Placer le point G sur la figure.

d. On appelle H le point dont l'affixe Hz a pour module 5 et pour argument 29

6

π.

1. Ecrire Hz sous forme exponentielle, puis en déduire son écriture algébrique.

2. Placer le point H sur la figure.

3. Démontrer que le nombre

18H

5

zp

=

est un réel.



Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé A l'issue de l'exercice, la figure est la suivante :

a.1. On commence par calculer le module du nombre complexe D 3 3 3z = − − i .

( ) ( )22D 3 3 3 3 3 3 9 9 3 36 6z = − − = − + − = + × = =i

u

v

π/6

-π/6

π/4

-π/4

π/3

-π/3

2π/3

-2π/3

3π/4

-3π/4

5π/6

-5π/6 EEEE

O 0

π/2

π ou

-π

-π/2

A

B

C

D

E

I

G

L

J

H

FFFF

u

v

π/6

-π/6

π/4

-π/4

π/3

-π/3

2π/3

-2π/3

3π/4

-3π/4

5π/6

-5π/6

O 0

π/2

π ou

-π

-π/2

A

B C



Les arguments de Dz sont les réels θ vérifiant les deux égalités :

( ) ( )3 1 3 3 3 2cos et sin modulo 2

6 2 6 2 3

− − πθ = = − θ = = − ⇔ θ = − π

a.2. Vu son module, D appartient au cercle de centre O et de rayon 6.

Vu ses arguments, D appartient à la radiale d'origine O formant un angle de 2

3

π− avec u

.

a.3. Calculons la distance OA.

( )2 2AOA 1 6 1 6 1 36 37 6z= = − + = − + = + = ≠i

Conclusion : la distance OA étant différente du rayon du cercle de centre O passant par D, le

point A n'appartient pas à ce dernier ensemble.

b.1. Comme CDBE est un parallélogramme, alors ces quatre sommets vérifient l'égalité

vectorielle :

( ) ( ) ( )

Traduction ou transcription comEgalité vectoriell ple

E B C DBE DC

E D

e

C

xe

B

BE DC o

4 2 3 3 3 5 3 3

z z z z z z

z z z z

= ⇔ = = ⇔ − = −

⇔ = + −

= − + − − − − = −i i i + i

b.2. Le point E se construit au compas en s'appuyant sur le triangle de base CDB.

b.3. Comme I est le milieu du segment [BC], alors son affixe est donnée par :

( ) ( )B CI

4 2 21

2 2 2 2

z zz

− + −+ −= = = = −

i i i

b.4. Les diagonales [BC] et [ED] du parallélogramme CDBE se coupant en leurs milieux, le

point I qui est le milieu du segment [BC] est aussi le milieu de [ED].

c.1. Traduisons sous la forme d'une égalité complexe l'égalité vectorielle définissant le point

G.

( ) ( )( ) ( )

Traduction ou transcription coEgalité vect

G A G BAG BG

G

o mplex

G

iel er le

5 AG 2 BG o 5 2 o 5 2 0

5 5 6 1 2 2 4 0

7

z z z z z z

z z

× + × = ⇔ × + × = ⇔ × − + − =

⇔ × − × − + × − × − =

⇔

i i

G G

G G

30 5 8 2 0 7 3 28 0

3 28 37 3 28 4

7 7 7

z z

z z

× − + − + = ⇔ × − − =

⇔ × = + ⇔ = + = +

i i i

i i i

c.2. Vu son affixe, le point G appartient à la droite horizontale d'équation 4y = .

Vu la relation vectorielle définissant G, les vecteurs AG

et BG

sont colinéaires. Donc le

point G appartient aussi à la droite (AB).

C'est à l'intersection de ces deux droites que l'on place le point G.

d.1. Modulo 2π, l'argument 29 12 5 5

2 2 tours6 6 6 6

π π π π= × + = + est congru à

5

6

π.

Nous pouvons alors écrire :

Forme trigonForme algébr

29 5

6 6

Forme exponen

ométriq

tielle

u

H

ueiq e

5 5

5 5 3 15 cos sin 5 2,5 3 2,5

6 6 2 2

z e e

π π

= × = ×

π π = × + = × − + × = − +

i i

i i i

d.2. Le point H se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 5 ainsi que sur la demi-droite

radiale d'origine O formant un angle de 5

6

π avec le premier vecteur de base u

.

d.3. Nous pouvons écrire :

18H 5

5

zp

= =

5

6

5

e

π

×i

18 car 15 7 2

518

3 5 156 1e e e e

π× ×

π= × π

π π π

+π

= = = = = −

ii i i

e.1. Ecrivons sous forme algébrique le quotient q :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

B C

A C

2

2 2

1

4 2

6 1 2

6 6 36 6 6

6

6

11 16 6

z zq

z z

× −

× −

− − −−= =

− − − −

− − − += = =

+ +

i

i

i i i ii

ii

37 6− −i 37

37= −

37

i= −i

e.2. Le nombre complexe −i ayant pour module 1 et pour argument 2

π− , nous avons :

2q e

π−

= − =i

i



e.3. Interprétons géométriquement le quotient q.

Du point de vue de son module : B C

A C

CB

CA

z zq

z z

−= =

−

Il vient : CB

1 1 CB CA ABC est isocèle en CCA

q = ⇔ = ⇔ = ⇒

Du point de vue de ses arguments : ( ) ( )B C

A C

arg arg CA,CBz z

qz z

−= =

−

Il vient : ( ) ( )modulo 2 bien sûr !

arg CA,CB ABC est rectangle en C2 2

q

π

π π= − ⇔ = − ⇒

Conclusion : le triangle ABC est isocèle et rectangle (indirect) en C.

f.1. L est le point d'affixe L 3 4z = − i . L'égalité définissant l'ensemble EEEE s'écrit aussi :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

modulo

2 to

L

urs

2

19 8 3M arg 3 2 arg 3 2 arg 2

4 4 4

3,LM modulo 2

4

z z z z z

u

π

−

π π π∈ ⇔ − + = − − = − = − = − × −

π⇔ = − π

i i

EEEE

L'ensemble EEEE est la demi-droite d'origine L formant un angle de 3

4

π− avec u

.

f.2. L'égalité définissant l'ensemble FFFF s'écrit aussi :

( ) LM 3 2 6 6 LM 6

M appartient au cercle de centre L et de rayon 6

z z z z∈ ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =

⇔

iFFFF

f.3. Comme le point J appartient aux deux ensembles EEEE et FFFF, alors son affixe Jz vérifie :

( ) ( )

Appartenance à Apparten

J L

ance à

J L19 3

6 et arg 24 4

z z z zπ π

− = − = − = − π

EEEEFFFF

Par conséquent, l'écriture exponentielle du nombre complexe J Lz z− est :

3

4J L

3 3 2 26 6 cos sin 6

4 4 2 2

3 2 3 2

z z e

π− π π

− = × = × − + − = × − − ×

= − −

ii i

i

Nous en déduisons : ( ) ( )J L 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2z z= − − = − − − = − − +i i i i

Petit complexe fonctionnel

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. Le polynôme P est défini pour tout nombre complexe z par :

( ) ( ) ( )3 24 4 4 6 4 6P z z z z= − + + + −i i i

4. Calculer ( )P i .

5. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout nombre complexe z, on ait :

( ) ( ) ( )2P z z az bz c= − × + +i

6. Résoudre dans l'équation ( ) 0P z = .

b. On appelle f l'application du plan dans lui-même qui a tout point M d'affixe z différente de

2 associe le point M′ d'affixe z′ définie par :

2

zz

z

−′ =

−i

On appelle B le point d'affixe B 2z = .

1. Déterminer l'affixe Az ′ du point A′ qui est l'image du point A d'affixe A 3z = i par

l'application f. On indiquera le détail des calculs.

2. On appelle x et y les parties réelle et imaginaire du nombre complexe z x y= + i .

Etablir que l'écriture algébrique du nombre complexe z′ est :

( ) ( )

2 2

2 22 2

2 2

2 2

y x x yz

x y x y

− − −′ = + ×

− + − +i

3. Déterminer l'ensemble EEEE des points M d'affixe z tels que z′ soit un réel. 4. Déterminer l'ensemble FFFF des points M d'affixe z tels que z′ soit un imaginaire pur.

5. Démontrer que si M′ est l'image du point M par l'application f, alors ces deux

points vérifient les égalités :

( ) ( )OMOM et ,OM BM,OM modulo 2

BM 2u

π′ ′= = − π

6. En déduire que l'image de la médiatrice ∆ du segment [OB] par l'application f est

incluse dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

LLLLe corrigée corrigée corrigée corrigé a.1. Calculons l'image i par le polynôme P.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 24 4 4 6 4 6

4 4 4 1 6

P = × − + × + + × −

= × − − + × − +

i i i i i i i

i i i2

4 6+ −i i 4 4 4 4 0= − + + − =i i

Donc i est une racine du polynôme ( )P z et ce dernier est factorisable par le facteur z − i .



a.2. Procédons par identification. On veut écrire le polynôme ( )P z sous la forme :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2 2

3 2 3 24 4 4 6 4 6

P z z az bz c

az bz cz az bz c

z z z a z b a z c b z c

= − × + +

= + + − − −

+ − − + + + − = + − + − + −

i

i i i

i i i i i i

Deux polynômes égaux ont des coefficients de même degré égaux :

3

2En

4 4

4 4 4

n

4

E

z

z a a

b a

D'un != ⇔ =

− − = − ⇔ − −i i i 4b= − i

En

4

6 4 6 4z

De db

c b

eux !⇔ = −

+ = − ⇔ +i i i 4c= + i

Constant

6

6 6

De trois !

La vérif' !

c

c c

⇔ =

− = − ⇔ =i i

Conclusion : une écriture factorisée du polynôme P est :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 24 4 4 6 4 6 4 4 6P z z z z z z z= − + + + − = − × − +i i i i

a.3. Utilisant ce qui vient d'être fait, résolvons dans l'équation....

( ) ( ) ( )Un produit est nul... ...l'un de ses facteurs l'est.

2 20 4 4 6 0 0 ou 4 4 6 0P z z z z z z z

z

= ⇔ − × − + = ⇔ − = − + =

=

i i

i

Il nous reste à résoudre la seconde sous-équation 24 4 6 0z z− + = qui est du second degré.

Calculons son discriminant !

( )

( )

2

2 2 2

4 4 4 6 16

1 80 80 16 5 4

80

5

96

= − × = ×

∆ = − − × × = −

= × × =

−

=

i i i

Cette seconde sous-équation admet deux solutions complexes et conjuguées qui sont :

( ) 44 4 5

2 4z

− − −= =

×

i ( )1 5

2 4

× −

×

i ( )4 4 51 5 1 5ou

2 2 4 2z

− − +− += = =

×

ii i

Conclusion : l'équation ( ) 0P z = a trois solutions complexes : 1 5 1 5; ;

2 2S

− + =

i ii

b.1. L'affixe Az ′ du point A′ est donnée par :

( )( ) ( ) ( )

2A

A 2

1

2A

33 3 6 9 6 9

2 3 2 2 3 2 3 13 132

2 3

32 3

zz

z

−

′×− × − × − × − −

= = = = = = − −− − − + − +

− −

× − − − +

ii i i i ii

i i i i

b.2. Nous pouvons écrire :

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2

2

22

x yz x yz

z x y x y

y x yx xy

x yx y

− × +− − −′ = = =

− + − − +

−= =

− +

× − − × − −

i ii i

i

i

i

i

i

i

i 2 22 2y y x x xy− − − + −i i i

( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 22 2

2

2 2

2 2

x y

y x x y

x y x y

− +

− − −= + ×

− + − +i

b.3. Nous pouvons écrire pour tout nombre complexe 2z ≠ :

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22

Possible car

2 22 2

2 2

2 22 2 2

2 2 2

On appelle le point d'aff

2

M est un réel la partie imaginaire de est nulle

20 2 0

2

2 0 1 1 0 0

1 0 1 M 1 M 1 1

x y

z

z z z

x x yx x y

x y

x x y x y

x y

× − +

Ω

≠

′ ′∈ ⇔ ⇔

− −⇔ = − − =

− +

⇔ −

→

+ = ⇔ − − + − =

⇔ − + − = ⇔ Ω = ⇔ Ω = =

EEEE

ixe 1

M apparttient au cercle de centre et de rayon 1

zΩ=

⇔ Ω

Conclusion : l'ensemble EEEE est le cercle de centre Ω d'affixe 1zΩ = et de rayon 1...privé du

point B d'affixe 2.

b.4. Nous pouvons écrire pour tout nombre complexe 2z ≠ :

( )

( )

( )

( )

2 22

Possible ca2 2 r 2

M est un imaginaire pur la partie réelle de est nulle

20 2 0

2

00

2

M appartient à l'axe des abscisses O;

x y

z

z z z

yy

x y

y y

u

× − + ≠

′ ′∈ ⇔ ⇔

−⇔ = − =

− +

⇔ = ⇔

=−

⇔

→

FFFF

Conclusion : l'ensemble FFFF est l'axe des abscisses ( )O;u

...privé du point B d'affixe 2.

b.5. Si le point M′ d'affixe z′ est l'image du point M d'affixe z par l'application f, alors celles-ci sont liées par la relation :

2

zz

z

−′ =

−i



Interprétons cette égalité du point de vue de...

...de son module :

B

1 OMOM

2 2 2 BM

z z zzz

z z z z z

− × ×−′ ′= = = = ⇔ =

− − − −

ii

...de ses arguments :

( ) ( ) O

B

0arg arg arg arg arg modulo 2

2 2 2

z zz zz

z z z z

−− − π ′ = = − + = − + π − − −

ii

Traduit sous forme d'angles orientés, nous en déduisons :

( ) ( ) ( ),OM BM,OM BM,OM modulo 22 2

uπ π

′ = − + = − π

b.6. Soit M un point de la médiatrice ∆ du segment [OB].

De par sa définition, M est équidistant des deux extrémités du segment. Donc OM BM= .

Il vient alors :

OMOM 1 M appartient au cercle de centre O et de rayon 1

BM′ ′= = ⇒

Conclusion : l'image ( )∆f est incluse dans le cercle de centre O et de rayon 1.

Espace des tentes

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Les questions b, c, d et e sont dépendantes les unes des autres. La question a est

indépendante des autres.

a. Cette question est une «restitution organisée des connaissances» aussi appelée «question

de cours». On rappelle la définition suivante :

Dire qu'une droite est perpendiculaire à un plan signifie qu'elle est orthogonale à chaque

droite incluse dans ce plan.

D'abord, 1d de vecteur directeur 1u

et 2d de vecteur directeur 2u

sont deux droites

incluses dans un plan P. De plus, ces deux droites sont sécantes en un point A.

Ensuite, d est une droite quelconque du plan P qui a pour vecteur directeur w.

Enfin, ∆ est une autre droite de l'espace de vecteur directeur v. ∆ est orthogonale aux

droites 1d et 2d .

1. Justifier qu'il existe deux réels α et β tels que 1 2w u u= α × + β×

.

2. Démontrer que la droite ∆ est perpendiculaire au plan P.

Dans le reste de l'exercice, l'espace est rapporté à un repère orthonormé ( )O; , ,i j k

dans

lequel on considère les points de coordonnées :

( ) ( ) ( )A 2;3;1 B 4;5;5 C 5;9;4−

b. Le triangle ABC est-il isocèle en A ? On justifiera sa réponse

c. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan qui nous appellerons P dans le

reste de l'exercice.

d. ∆ est la droite dont une représentation paramétrique est :

2 3

14 5 avec

3 7

x t

y t t

z t

= +

= − ∈ = − +

1. Le point C appartient-il à la droite ∆ ? On justifiera sa réponse. 2. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur v

de la droite ∆.

3. Démontrer que la droite ∆ est perpendiculaire au plan P. Qu'est alors le vecteur de coordonnées v

pour le plan P ?

4. En déduire une équation cartésienne du plan P.

5. Justifier que le plan P est sécant avec l'axe des ordonnées ( );O j

, puis déterminer

les coordonnées de leur point d'intersection E.



e. On appelle Q le plan dont une équation cartésienne est 9 4 77 0x y z+ − − = .

1. Déterminer la position relative de la droite ∆ et du plan Q. 2. Déterminer les coordonnées du point I qui est le milieu du segment [AB].

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d qui est la parallèle à la

droite (AC) passant par le point I.

4. Déterminer les coordonnées du point F qui est l'intersection de la droite d avec le

plan Q.

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. D'abord, les droites 1d et 2d n'étant pas parallèles, leurs vecteurs directeurs 1u

et 2u

ne sont pas colinéaires. Le couple ( )1 2,u u

est une base du plan P.

La droite d appartenant au plan P, son vecteur directeur w est coplanaire avec les deux

vecteurs de base 1u

et 2u

du plan P.

Il existe donc deux réels α et β tels que 1 2w u u= α × + β×

.

a.2. Comme la droite ∆ est orthogonale aux droites 1d et 2d , alors son vecteur directeur v

est orthogonal aux vecteurs directeurs 1u

et 2u

. Donc des produits scalaires sont nuls :

1 2et 0 0v u v u⋅ = ⋅ =

Concernant n'importe quelle autre droite d de vecteur directeur w du plan P, il vient :

( )On distribue scalairement par

1

lant

2 1 1

...

0 0 0

v

v w v u u v u v u⋅ = ⋅ α × +β × = α × ⋅ +β × ⋅ = α × + β × =

Comme leur vecteurs directeurs v et w sont orthogonaux, alors la droite ∆ est orthogonale

à n'importe quelle droite d du plan P.

Conclusion : la droite ∆ est perpendiculaire au plan P.

b. Pour savoir si le triangle ABC est isocèle en A, le mieux est encore de calculer les

longueurs des deux côtés adjacents.

( )2 2 2

2 2 2

4 2 6

AB 5 3 2 AB 6 2 4 36 4 16 56

5 1 4

5 2 3

AC 9 3 6 AC 3 6 3 9 36 9 54

4 1 3

− − = − − = ⇒ = − + + = + + = − =

− = − = ⇒ = + + = + + = − =

Conclusion : les côtés adjacents [AB] et [AC] ayant des longueurs différentes, le triangle

ABC n'est pas isocèle en A.

c. Pour qu'ils définissent un plan, il faut et il suffit que les points A, B et C ne soient pas

alignés. Une question se pose : les coordonnées des vecteurs AB

et AC

sont-elles

proportionnelles ?

( )

3

0,75

0,5

AB AC

Abscisses 6 3

Ordonnées 2 6

Cotes 4 3

×

×

−

×

→

−

→

→

Leurs coordonnées n'étant pas proportionnelles, les vecteurs AB

et AC

ne sont pas

colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés et ils définissent un plan P.

d.1. Les coordonnées du point C vérifient-elles la représentation paramétrique de ∆ ? Existe un réel t tel que

La réponse est oui ! Il s'agi

C C C

t de la valeur 1

2 3 et 14 5 et 3 7

5 2 3 9 14 5 4 3 7

3 3 5 5 7 7

1 1 1

t

x t y t z t

t t t

t t t

t t t

=

= + = − = − +

= + = − = − +

= − = − =

= = =

?

Conclusion : le point A appartient bien à la droite ∆.

d.2. D'après sa représentation paramétrique, un vecteur directeur de la droite ∆ est

3

5

7

v

−

.

d.3. Regardons si v est orthogonal aux vecteurs AB

et AC

qui sont directeurs pour le plan

P.

( ) ( )

( )

3 6

AB 5 2 3 6 5 2 7 4 18 10 28 0 AB

7 4

3 3

AC 5 6 3 3 5 6 7 3 9 30 21 0 AC

7 3

v v

v v

− ⋅ = − ⋅ = × − + − × + × = − − + = ⇒ ⊥

⋅ = − ⋅ = × + − × + × = − + = ⇒ ⊥

Comme le vecteur v est orthogonal aux vecteurs AB

et AC

qui sont non colinéaires et

directeurs pour le plan P, alors v est un vecteur normal de P. Par conséquent, la droite ∆ est

perpendiculaire à ce plan.



d.4. Le plan P est entièrement défini par l'un de ses points A, B ou C ainsi que par son

vecteur normal v. Il est même l'ensemble des points M de l'espace tel que les vecteurs AM

et v soient orthogonaux. En conséquence, nous pouvons écrire :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 3

M ; ; Les vecteurs AM 3 et 5 sont orthogonaux

1 7

AM 0 2 3 3 5 1 7 0

3 6 5 15 7 7 0 3 5 7 2 0

x

x y z y v

z

v x y z

x y z x y z

− ∈ ⇔ − − −

⇔ ⋅ = ⇔ − × + − × − + − × =

⇔ − − + + − = ⇔ − + + =

P

Conclusion : une équation cartésienne du plan P est 3 5 7 2 0x y z− + + = .

d.5. La première chose à vérifier est que le plan P de vecteur normal v est bien sécante,

c'est-à-dire non parallèle avec la droite ( )O; j

de vecteur directeur j

.

Calculons leur produit scalaire :

( )3 0

5 1 3 0 5 1 7 0 0 5 0 5 0

7 0

v j

⋅ = − ⋅ = × + − × + × = − + = − ≠

Leur produit scalaire étant non nul, le vecteur normal v de P n'est orthogonal au vecteur

directeur j

de ( )Oy . Donc le plan est sécant avec l'axe des ordonnées. Le point E annoncé

par l'énoncé existe. Déterminons-en les coordonnées !

D'abord, comme le point E appartient à l'axe ( )O; j

, alors son abscisse et sa cote sont

nulles.

Ensuite, comme ( )EE 0; ;0y appartient également au plan P, alors les coordonnées du

premier vérifient l'équation du second.

E E E E E

E

3 5 7 2 0 3 0 5 7 0 2 0 5 2

20,4

5

x y z y y

y

− + + = ⇔ × − + × + = ⇔ − =

⇔ = = −−

Conclusion : le point E a pour coordonnées ( )0; 0,4;0− .

e.1. Position relative de la droite ∆ de vecteur directeur v et du plan Q, cela signifie savoir si

la première est incluse, parallèle distincte ou bien sécante au second.

Q ayant pour équation 9 4 77 0x y z+ − − = , l'un de ses vecteurs normaux est ( )9;4; 1n −

.

Calculons le produit scalaire de ce dernier avec le vecteur directeur v de ∆.

( ) ( )3 9

5 4 3 9 5 4 7 1 27 20 7 0

7 1

v n

⋅ = − ⋅ = × + − × + × − = − − = −

Le directeur v de ∆ étant orthogonal au normal n

de Q, la droite est parallèle au plan. Il

reste à savoir si c'est un parallélisme inclus ou strict.

La question d.1 nous a appris qu'un point de la droite ∆ est C. D'après sa représentation paramétrique, un autre point de ∆ a pour coordonnées ( )2;14; 3− .

Regardons si les coordonnées du point C vérifient l'équation du plan Q.

C C C9 4 77 9 5 4 9 4 77 45 36 4 77 0x y z+ − − = × + × − − = + − − =

Ses coordonnées en vérifiant l'équation, le point C appartient au plan Q. La droite ∆ étant parallèle au plan Q et ayant l'un de ses points dans ce dernier a tous ses points dans Q.

Conclusion : la droite ∆ est incluse dans le plan Q.

e.2. I étant le milieu du segment [AB], ses coordonnées sont données par les formules :

A B A B A BI I I

2 4 3 5 1 51 4 3

2 2 2 2 2 2

x x y y z zx y z

+ + +− + += = = − = = = = = =

e.3. La droite d est entièrement définie par son point I et le vecteur directeur ( )AC 3;6;3

.

( )( )

M ; ; Les vecteurs IM et AC sont colinéaires

1 3

Il existe un réel tel que IM AC soit 4 6

3 3

x y z d

x t

t t y t

z t

∈ ⇔

− − = ×

⇔ = × − = × − = ×

Conclusion : une représentation paramétrique de la droite d est

1 3

4 6

3 3

x t

y t t

z t

= − +

= + ∈ = +

e.4. La première chose à vérifier est que la droite d est bien sécante au plan Q.

( )3 9

AC 6 4 3 9 6 4 3 1 27 24 3 48 0

3 1

n

⋅ = ⋅ = × + × + × − = + − = ≠ −

Le directeur AC

n'étant pas orthogonal au normal n, la droite d et le plan Q ne sont pas

parallèles mais sécants en un point qui a été baptisé F.

Ensuite, comme F appartient à la droite d, alors il existe un réel Ft tel que

F F

F F

F F

1 3

4 6

3 3

x t

y t

z t

= − +

= + = +



Enfin, F faisant partie du plan Q, ses coordonnées en vérifient l'équation :

( ) ( ) ( )F F F F F F

F F F

F F F

9 4 77 0 9 1 3 4 4 6 3 3 77 0

9 27 16 24 3 3 77 0

7348 73 0 48 73

48

x y z t t t

t t t

t t t

+ − − = ⇔ × − + + × + − + − =

⇔ − + + + − − − =

⇔ − = ⇔ = ⇔ =

Nous en concluons :

F F F73 57 73 105 73 121

1 3 4 6 3 348 16 48 8 48 16

x y z= − + × = = + × = = + × =



Probabilités

Préludes improbables

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. Développer et réduire l'expression de la fonction :

( ) ( )52 3f x x= −

On indiquera le détail des calculs.

b. Toto est furieux : son jeu de cartes préféré qui en comptait à l'origine 32 n'en a plus que

28. Ont disparu les as de pique et de coeur, le roi de carreau et la dame de coeur.

Histoire de se calmer, Toto s'amuse à tirer au hasard et simultanément quatre cartes dans son

jeu de 28. Il constitue ainsi une main de quatre cartes.

1. Combien existe-t-il de mains possibles au total ?

2. Combien existe-t-il de mains constituées de deux as et deux dames ?

3. Combien existe-t-il de mains contenant exactement trois coeurs ?

c. Cette question est une restitution organisée des connaissances (aussi appelée question de

cours). Dans ce qui suit, A et B sont deux événements de probabilités non nulles.

1. Donner les trois égalités définissant l'indépendance des événements A et B.

2. Démontrer que si A et B sont deux événements indépendants, alors les événements

A et B le sont aussi.

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a. En utilisant la formule du binôme de Newton, nous pouvons écrire :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

5

5 5

0

0 5 1 4 2 3

3 2 4 1 5 0

2 3

4 5

5

52 3 2 3

5 5 52 3 2 3 2 3

0 1 2

5 5 5 2 3 2 3 2 3

3 4 5

1 1 243 5 2 81 10 4 27 10 8 9

5 16 3 1 32 1

32 24

k k

k

f x x xk

x x x

x x x

x x x

x x

x

−

=

= − = × × −

= × × − + × × − + × × −

+ × × − + × × − + × × −

= × × − + × × + × × − + × ×

+ × × − + × ×

= −

∑

4 3 20 720 1080 810 243x x x x+ − + −

b.1. Le tirage des quatre cartes étant simultané, Toto constitue des combinaisons.

Par conséquent, il existe

4 cartes à choisir parmi 28

28 28 27 26 2520475 mains possibles

4 1 2 3 4

= × × × =

b.2. Le jeu de cartes de Toto comprend deux as et trois dames.

Donc il existe

2 as 2 dames à à choisir parmi 2 choisir parmi 3

2 31 3 3 mains avec 2 as et 2 dames

2 2

× = × =

b.3. Le jeu de cartes de Toto comprend 6 coeurs et 22 autres cartes.

Donc il y a

3 coeurs à 1 autre carte à choisir parmi 6 choisir parmi 22

6 2220 22 440 mains avec exactement 3 coeurs

3 1

× = × =

c.1. Trois égalités permettent de définir l'indépendance de deux événements A et B.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

La réalisation d'un événement ne change pas

la probabilité l'autr

La probabilité de l'intersectionest le produit des probabilités

des deux événeme. e

et sont indépendants BA B p A p A p A B p A p B⇔ = ⇔ ∩ = ×

( ) ( )

nts.

Ap B p B⇔ =

c.2. Soient A et B deux événements indépendants. Ils vérifient donc l'égalité :

( ) ( ) ( )p A B p A p B∩ = ×

Les événements B et B formant une partition de l'univers des possibles, il vient en

application de la formule des probabilités totales :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )1

p A p A B p A B p A p A p B p A B

p A B p A p A p B

p A p B p A p B

= ∩ + ∩ ⇔ = × + ∩

⇔ ∩ = − ×

= × − = ×

Donc les événements A et B sont indépendants.



Nous irons tous au paradis...ou pas !

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Après le temps de l'existence terrestre, vient celui du purgatoire où chaque ancien vivant

saura s'il passe le reste de l'éternité en enfer ou bien au paradis.

De divines études menées depuis la nuit des temps ont établi les données suivantes :

30% du genre humain est croyant, 20% est athée et le reste est indécis.

62% des croyants et 56% des indécis vont au paradis; 23% des athées finissent en

enfer.

Le cas échéant, les probabilités calculées seront arrondies au millième près.

a. On rencontre au hasard un ancien vivant au purgatoire et on définit les événements

suivants :

«l'ancien vivant était un croyant»

«l'ancien vivant était un athée»

= «l'ancien vivant était indécis»

«l'ancien vivant finira au paradis»

«l'ancien vivant finira en enfer»

C

A

I

P

E

=

=

=

=

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation d'un ancien vivant rencontré au

hasard au purgatoire.

2. Calculer la probabilité de l'événement E.

3. Les événements C et E sont-ils indépendants ? On justifiera sa réponse.

Le fait d'être croyant prédispose-t-il plus au paradis ?

4. On sait que l'ancien vivant rencontré ira au paradis. Calculer la probabilité qu'il fut

athée.

b. Un groupe de 14 anciens vivants ne se connaissant pas vient d'arriver au purgatoire. On

note X la variable égale au nombre de ceux-ci qui étaient croyants.

1. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X ?

Quelle est la loi de probabilité de X ? On justifiera sa réponse.

2. Déterminer la probabilité qu'exactement 5 de ces 14 anciens vivants fussent

croyants.

3. Déterminer la probabilité qu'au moins 6 de ces 14 anciens vivants fussent croyants.

c. Un autre groupe de n anciens vivants ne se connaissant pas vient d'arriver au purgatoire.

On appelle np la probabilité qu'au moins un de ces n anciens vivants fut un croyant.

1. Exprimer np en fonction de l'entier n.

2. Déterminer le nombre minimal n d'anciens vivants que doit contenir le groupe pour

que la probabilité np soit supérieure à 99,99%.

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. La situation d'une personne rencontrée au hasard au purgatoire est la suivante :

a.2. Les événements C, I et A formant une partition de l'univers des possibles, il vient en

application de la formule des probabilités totales :

( ) ( ) ( ) ( )0,3 0,38 0,5 0,44 0,2 0,23 0,38

p E p E C p E I p E A= ∩ + ∩ + ∩

= × + × + × =

a.3. D'après l'énoncé, la probabilité de l'événement E sachant que l'événement C est réalisé

est égale à 0,38. Ainsi, la réalisation de l'événement C n'altère pas la probabilité de

réalisation de l'événements E. Donc E et C sont indépendants.

Comme les événements E et C sont indépendants, alors les événements C et E P= le

sont aussi. Par conséquent, le fait d'être croyant (ou pas) n'a aucune influence sur l'accès au

paradis : il ne prédispose, ni n'indispose.

a.3. Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle :

( ) ( )( )

0,2 0,77 0,154 sachant 0,248

1 0,38 0,62

p A Pp A P

p P

∩ ×= = = ≈

−

C

A

I

0,3

0,5

0,2

Où finira-t-il ? Sa conviction religieuse

On rencontre un ancien vivant...

P

E

0,62

0,38

P

E

0,56

0,44

P

E

0,77

0,23



b.1. X comptant un nombre d'individus au plus égal à 14, X peut prendre toutes les valeurs

entières entre 0 et 14.

Arrivant au purgatoire, chacun de 14 anciens vivants est une épreuve de Bernoulli :

Les 14 anciens vivants ne se connaissant pas sont indépendants les uns des autres. Par

conséquent, ils forment un schéma de Bernoulli de 14 épreuves précédentes.

Par conséquent, la variable aléatoire X qui compte le nombre de croyants parmi les 14

anciens vivants suit la loi binomiale ( )14;0,3B .

b.2. Il s'agit de calculer la probabilité :

( ) 5 9 5 9145 0,3 0,7 2002 0,3 0,7 0,196

5p X

= = × × = × × ≈

Cette probabilité peut aussi se calculer directement avec la fonction dédiée de la calculatrice.

b.3. Il s'agit de calculer la probabilité :

( ) ( ) ( )6 1 6 1 5 1 0,781 0,219p X p X p X≥ = − < = − ≤ ≈ − =

...en utilisant l'événement contraire et la fonction «cumul binomial» de la calculatrice.

c.1. La situation est similaire à celle décrite dans les questions b sauf que la variable

aléatoire X suit désormais la loi binomiale ( );0,3B n .

La probabilité np est donnée par :

( )( ) ( )

0

1

1 1 1 0

1 0,3 0,7 1 1 1 0,7 1 0,70

n

n n n

p p X

p X p X

n

= ≥

= − < = − =

= − × × = − × × = −

c.2. On cherche la valeur de n pour laquelle :

( )( )

] [( ) ( )

( ) ( )( )

11

ln

Croissantesur 0;

ln 0,7

qui est négatif

1 99,99% 0,9999 1 0,7 0,9999

0,7 0,0001 0,7 0,0001

ln 0,7 ln 0,0001

ln 0,000125,82

ln 0,7

nn

n n

p X p

n

n

× −−

+∞

÷

≥ > ⇔ > ⇔ − >

− > − <

×

→ →

→

→

<

> ≈

Conclusion : pour que la probabilité qu'il y ait au moins un croyant dans le groupe soit

supérieure à 99,99%, il faut qu'il y ait au moins 26 personnes dans ce dernier.

L'improbable vie continue de Toto

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. Le cours de mathématiques vient de débuter et Toto est au tableau. Il a à résoudre un

exercice où il est question d'une variable aléatoire continue X prenant ses valeurs dans et

qui est uniformément distribuée sur l'intervalle [ ]27; 7− − .

1. Donner l'expression de la densité de probabilité f de la loi de probabilité de X.

2. Calculer la probabilité que X appartienne à l'intervalle [ [30; 15− − .

3. Donner l'espérance mathématique ( )E X .

b. C'est enfin la pause et Toto va pouvoir jouer à son jeu vidéo préféré sur son téléphone

portable. On appelle S la variable aléatoire continue égale au score (au nombre de points)

que fait un joueur au cours d'une partie de ce jeu.

Des études ont montré que cette variable aléatoire S qui prend ses valeurs dans [ [0;+∞ suit

une loi exponentielle de paramètre λ. 1. Rappeler la densité de probabilité de la loi de probabilité de S.

Démontrer que [ ]( ) 10000;1000 1p S e

− λ∈ = − .

2. On sait qu'exactement 50% des parties se terminent avec un score S inférieur ou

égal à 1000 points.

Déterminer la valeur exacte du paramètre λ.

Dans la suite de cette partie, nous supposerons que 0,000693λ = . Les probabilités

retournées seront arrondies au millième près.

3. Calculer la probabilité que Toto dépasse les 2000 points à l'occasion d'une partie.

4. Toto est excité comme jamais ! Il vient de franchir le cap des 2000 points.

Calculer la probabilité qu'il ne dépasse pas les 3000 points lors de la partie en

cours.

5. Calculer l'espérance mathématiques ( )E S .

Quelle est la signification de cette grandeur pour Toto ?

6. Au cours d'une pause particulièrement longue, Toto réussit à faire 9 parties de

suite qui sont indépendantes les unes des autres. A la fin de chaque partie, le score

est remis à zéro.

Calculer la probabilité que, sur au moins 4 parties, son score dépasse les 2000

points.

c. Il est midi ! Et à midi, c'est ravioli à la cantine du lycée ! Ils sont conditionnés en

barquettes de 275 grammes par la machine de la cuisine centrale. Sauf que la machine étant

imparfaite, ces barquettes pèsent environ 275 grammes.

On appelle M la masse exprimée en grammes d'une barquette servie à la cantine.

La variable aléatoire continue M suit la loi normale d'espérance mathématique 275 et d'écart-

type 7.

Oui (Succès)

Non (Echec)

0,3

L'ancien vivant était-il croyant ? 0,7



Les probabilités demandées seront arrondies au millième près.

1. Calculer la probabilité qu'une barquette de ravioli servie à la cantine ait une masse

comprise entre 260 et 278 grammes.

2. On sait qu'une barquette pèse plus de 280 grammes. Calculer la probabilité qu'elle

pèse moins de 290 grammes.

3. Sur les barquettes de la cuisine centrale, il est indiqué qu'exactement 77% des

barquettes contiennent plus de m grammes de ravioli.

Déterminer cette masse minimale m au dixième de gramme près par défaut.

d. Le déjeuner passé, Toto entame sa sieste quotidienne de début d'après-midi qui dure entre

une et deux heures. On appelle D la variable aléatoire continue égale à la durée exprimée en

heures de la sieste de Toto.

D prend ses valeurs dans l'intervalle [ ]1;2 et sa loi de probabilité a pour densité la fonction

( ) 2

2

10,6 0,6f t t t

t= × − × + .

1. Déterminer une expression d'une primitive F de la fonction f sur

l'intervalle ] [0;+∞ .

2. Démontrer que la fonction f est bien une densité de probabilité sur

l'intervalle [ ]1;2 .

3. Déterminer une valeur approchée au millième-près de la probabilité que la sieste

de Toto dure entre 1 heure 20 et 1 heure 40.

4. Calculer l'espérance mathématique ( )E D . On donnera d'abord la valeur exacte,

puis une valeur approchée au centième près.

Conclure.

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. D'après un résultat du cours, la densité de probabilité de la loi de probabilité de la

variable X est la fonction f définie sur par :

( )( ) ( )

[ ]

( ) ] [ ] [

1 10,05 si 27; 7

7 27 20

0 si ; 27 7;

f t t

f t t

= = = ∈ − −− − −

= ∈ −∞ − ∪ − +∞

a.2. Il s'agit de calculer la probabilité :

[ [( ) [ [( ) [ [( )( ) ( )( ) ( )

30; 15 30; 27 27; 15

15 27 120 0,6

7 27 20

p X p X p X∈ − − = ∈ − − + ∈ − −

− − −= + = =

− − −

a.3. La variable aléatoire continue X étant uniformément distribuée, son espérance

mathématique ( )E X est donnée par la formule :

( ) ( ) ( )27 7 3417

2 2E X

− + − −= = = −

b.1. La densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre λ suivie par par la variable aléatoire continue S est la fonction f définie sur l'intervalle [ [0;+∞ par :

( ) tf t e−λ= λ

La probabilité demandée est donnée par l'intégrale :

[ ]( )

( ) ( )

1000

0

10001000 0 1000 0 1000

0

0;1000

1

t

t

p S e dt

e e e e e e

−λ

−λ −λ× −λ× − λ − λ

∈ = λ

= − = − − − = − + = −

∫

b.2. La probabilité que la variable aléatoire S appartienne à l'intervalle [ ]0;1000 est égale à

0,5. Ce fait nous amène à résoudre l'équation suivante d'inconnue λ :

[ ]( )( )

( ) ( )

1000

1000 Ln

0;1000 0,5 1 0,5

0,5 1000 ln 0,5

ln 2 ln 20,000693

1000 1000

p S e

e

− λ

− λ →

∈ = ⇔ − = ⇔

⇔ = − λ =

−⇔ λ = = ≈

−

b.3. En utilisant les formules vues dans le cours, il s'agit de calculer la probabilité :

( ) 2000 1,3862000 0,250p S e e− ×λ −≥ = = ≈

b.4. Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle :

( ) ( )( )

[ [( )( )

2000 3000 1,386

1,386

3000 et 20003000 sachant 2000

2000

2000;3000

2000

p S Sp S S

p S

p S

p S

e e e

e

− λ − λ −

−

< ≥< ≥ =

≥

∈=

≥

−= =

1,386e

−

2,079

1,386

0,6931 0,500

e

e

e

−

−

−

−

= − ≈

Ce résultat était prévisible du fait que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans

vieillissement.



b.5. S suivant une loi exponentielle de paramètre 0,000693λ = , son espérance

mathématique est donnée par la formule :

( ) 11443 pointsE S = ≈

λ

Il s'agit là du score moyen que peut espérer faire Toto sur un très grand nombre de parties.

b.6. Chaque partie est pour Toto une épreuve de Bernoulli :

Les neuf parties qui sont indépendantes les unes des autres, forment un schéma de Bernoulli.

Par suite, la variable aléatoire N qui compte le nombre de succès au cours des 9 épreuves suit

la loi binomiale ( )9;0,25B .

La probabilité qui nous est demandée est :

( ) ( ) ( )

On va chercher l'événement contraire pour utiliserla fonction de cumul binomial de la calculatrice

4 1 4 1 3 1 0,834 0,166p N p N p N≥ = − < = − ≤ ≈ − =

c.1. Avec la fonction ad-hoc de la calculatrice, il s'agit de calculer la probabilité :

[ ]( )260;278 0,650p M ∈ ≈

c.2. Il s'agit la probabilité conditionnelle :

( ) ( )( )[ ]( )

( )

290 et 280290 sachant 280

280

280;290 0,22150,932

280 0,2375

p M Mp M M

p M

p M

p S

≤ ≥≤ ≥ =

≥

∈= ≈ ≈

≥

c.3. On cherche la valeur de m pour laquelle :

( ) ( )En utilisant la fonction d'inversion de la loi normale de la calculatrice

0,77 1 0,77 0,23 269,8 grammesp X m p X m m≥ = ⇔ < = − = ⇔ ≈

d.1. Une primitive sur l'intervalle ] [0;+∞ de la fonction ( ) 2

2

10,6 0,6f t t t

t= × − × + est la

fonction ( )3 2

3 21 10,6 0,6 0, 2 0,3

3 2

t tF t t t

t t= × − × − = − −

d.2. La fonction f est une densité de probabilité sur l'intervalle [ ]1;2 car :

f est définie et dérivable donc continue sur ] [0;+∞ sur l'intervalle [ ]1;2 .

f est strictement positive sur l'intervalle [ ]1;2 car ( ) ( )

ou 0car 1

ou 0

2

10,6 1

t

f t t tt

≥

= × − +

⊕

⊕⊕

⊕

.

C'est une somme de termes positifs dont l'un l'est strictement.

L'intégrale sous la courbe de f prise sur l'intervalle [ ]1;2 vaut 1.

( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

1;2 1

3 2 3 2

2

1

2 1

1 10,2 2 0,3 2 0,2 1 0,3 1

2 1

1,6 1,2 0,5 0,2 0,3 1

0,1 1,1 1

f t dt f t dt F t

F F

= =

= −

= × − × − − × − × −

= − − − − −

= − − − =

∫ ∫

d.3. Un tiers d'une heure représentant 20 minutes, 1 heure 20 représente 4

3 d'heure

et 1 heure 40 en vaut 5

3. Donc, il s'agit de calculer la probabilité :

( ) ( )

0,5074 0,809

5/3 5/3

4/34/3

3 2 3 2

2

4 5;

3 3

5 4

3 3

5 5 1 4 4 10,2 0,3 0,2 0,3

3 3 5 / 3 3 3 4 / 3

p D f t dt F t

F F

− −

∈ = =

= −

= × − × − − × − × −

∫

1630,302

540= ≈

Conclusion : la probabilité que Toto dorme entre 1 heure 20 et 1 heure 40 est de 0,302.

d.4. L'espérance de la variable aléatoire D est donnée par la formule :

( ) ( )2 2

3 2

1 1

10,6 0,6E S t f t dt t t dt

t

= × = × − × + ∫ ∫

Oui (Succès)

Non (Echec)

0,25

Va-t-il dépasser les 2000 points au cours de la partie ? 0,75



Or, une primitive de ( ) 3 2 10,6 0,6g t t t

t= × − × + sur l'intervalle ] [0;+∞ est la fonction :

( ) ( ) ( )4 3

4 30,6 0,6 ln 0,15 0,2 ln

4 3

t tG t t t t t= × − × + = − + .

Il vient alors :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

22

11

4 3 4 3

2 1

0,15 2 0,2 2 ln 2 0,15 1 0,2 1 ln 1

2,4 1,6 ln 2 0,15 0,2 0 0,85 ln 2 1,543 heures

E D g t dt G t

G G

= =

= −

= × − × + − × − × +

= − + − − + = + ≈

∫

Conclusion : à chaque sieste, Toto peut espérer dormir un peu moins d'une heure et 33

minutes...en moyenne.

Toc toc badaboum !

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. La Blancoise des farces et attrapes vient de lancer la production d'un nouveau type de

bombe atomique : la Tookipait. Chacune de ses armes doit délivrer une puissance d'environ

127kt (comprenez kilotonnes, c'est-à-dire la puissance équivalente à 127 000 tonnes de

TNT).

On appelle X la puissance exprimée en kilotonnes délivrée par une bombe Tookipait. Des

études ont montré que la variable aléatoire continue X suivait la loi normale d'espérance 127

et d'écart-type 7,5.

1. Calculer la probabilité qu'une bombe délivre une puissance comprise entre 125 et

130 kilotonnes. On arrondira le résultat au millième près.

2. Déterminer le réel positif a pour lequel [ ]( )127 ;127 0,6P X a a∈ − + = . La valeur

de a retournée sera arrondie au dixième près.

Quelle est la signification de ce résultat ?

b. La compagnie commercialise un autre modèle de bombe : la Padreugray. La puissance Y

exprimée en kilotonnes délivrée par cette bombe est une variable aléatoire continue suivant

la loi normale d'espérance 255 ktµ = mais d'écart-type σ inconnu.

On appelle Z la variable aléatoire définie par : 255Y

Z−

=σ

.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Z ?

2. On sait que ( )260 0,7P Y ≤ = . Déterminer l'écart-type σ. On donnera une valeur

approchée au dixième près.

c. Le président de la Blancoise des farces et attrapes affirme que les deux tiers de ses clients

sont des femmes. Pour corroborer cette affirmation, un institut d'études d'opinion a réalisé un

sondage sur un échantillon de 783 clients de la compagnie choisis au hasard.

On appelle f la fréquence observée sur cet échantillon

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence

f. On écrira les formules adéquates et on arrondira ses bornes au millième près.

2. L'institut a compté qu'il y avait 503 femmes dans l'échantillon de 783 clients.

Au regard de ce résultat, peut-on considérer, au seuil de 95%, que l'affirmation du

président de la compagnie est fondée ?



d. Tous les ans, l'institut d'études d'opinion réalise une enquête de satisfaction sur les clients

de la Blancoise des farces et attrapes.

En mai 2014, elle avait interrogé 527 clients pris au hasard et 347 s'étaient déclarés

satisfaits par les produits de la compagnie.

En mai 2015, elle a interrogé 389 clients toujours choisis au hasard et 290 d'entre

eux ont déclarés être satisfaits par les produits de la compagnie.

1. On considère que toutes les conditions requises pour pouvoir parler d'intervalles de

confiance au seuil de 95 % sont réunies.

Déterminer pour chaque échantillon un intervalle de confiance au seuil de 95% de

la proportion de clients satisfaits. Les bornes seront arrondies au millième près.

2. Ces intervalles de confiance permettent-ils, au niveau de confiance 0,95, de

considérer que les clients ont été plus satisfaits en mai 2015 qu'en mai 2014.

3. La Blancoise des farces et attrapes souhaite obtenir un intervalle de confiance au

seuil de 95% dont la longueur serait inférieure à 0,02. Combien l'échantillon

constitué doit-il alors compter de clients ?

Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. En utilisant la fonction ad hoc de la calculatrice, la probabilité qu'une bombe délivre

entre 125 et 130 kilotonnes est donnée par :

[ ]( )125;130 0,261P X ∈ ≈

a.2. La densité de probabilité de la loi normale ( )127;7,5N étant symétrique par rapport à

la droite verticale d'équation 127x = , nous avons que :

[ ]( ) [ ]( )127 ;127 2 127;127P X a a P X a∈ − + = × ∈ +

A partir de là, nous cherchons le réel positif a pour lequel :

[ ]( ) [ ]( )[ ]( )

( ) [ ]( )( )

( )avec 127 et 7,5

127

127 ;127 0,6 2 127;127 0,6

127;127 0,3

127;127 0,3

127 0,8

127 InversionNormale 0,8 133

0,

,3

6

5

,3

P X a a P X a

P X a

P X a

P X

P X

a

a

a

µ= σ=

∈ − + = ⇔ × ∈ + =

⇔ ∈ + =

⇔ ∈ + =

⇔ ≤ + =

⇔ + = ≈

⇔ ≈

< + +

Conclusion : il y a 60% de chance que la puissance délivrée par une bombe Tookipait se

trouve entre 120,7 et 133,3 kilotonnes.

b.1. Par définition, si la variable aléatoire Y suit la loi normale ( )2255;σN , alors la variable

aléatoire centrée réduite Z suit la loi normale centrée réduite ( )0;1N .

b.2. Nous avons l'équivalence :

255

255

255 5260 255 5

YY Y Z

− ÷σ

+ ×σ→ →← ←

−≤ − ≤ = ≤

σ

σ

Ainsi, vient-il :

( ) ( )

avec pour espérance 0 et écart-type 1

5 5260 0,7 0,7 InversionNormale 0,7 0,524P Y P Z

≤ = ⇔ ≤ = ⇔ = ≈ σ σ

Nous en concluons que l'écart-type σ est égal à 5

9,50,524

≈

c.1. D'abord, remarquons que toutes les conditions pour parler d'intervalle de fluctuation sont

remplies :

( )

783 30

2783 522 5

3

11 783 261 5

3

n

n p

n p

= ≥

× = × = ≥

× − = × = ≥

Ensuite, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence f a pour

bornes : ( )

( )

1 2 1/ 3 2 / 3Borne inférieure 1,96 1,96 0,634

3 783

1 2 1/ 3 2 / 3Borne supérieure 1,96 1,96 0,700

3 783

p pp

n

p pp

n

× − ×= − × = − × ≈

× − ×= + × = + × ≈

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est [ ]0,634;0,700

c.2. La fréquence f de femmes observée sur l'échantillon est égale à 503

0,642783

f = ≈ .

Cette dernière n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique précédent, on peut

considérer que l'affirmation du président de la compagnie est fondée au seuil de risque 5%

d.1. La fréquence de clients satisfaits observée sur l'échantillon mai 2014 est :

14347

0,658527

f = ≈

La proportion 14p de clients satisfaits en 2014 appartient avec une probabilité d'au moins

95% à l'intervalle de confiance qu'est [ ]

En minorant la borne inf

14 1414

,en majorant la borne s

14

up.1 1

; 0,614;0,703f fn n

− + =



La fréquence de clients satisfaits observée sur l'échantillon mai 2015 est :

15290

0,746389

f = ≈

La proportion 15p de clients satisfaits en 2015 appartient avec une probabilité d'au moins

95% à l'intervalle de confiance qu'est [ ]15 1515 15

1 1; 0,694;0,797f f

n n

− + =

d.2. Les deux intervalles de confiance se chevauchant, il n'est pas exclu que la proportion

15p soit inférieure ou égale à la proportion 14p . Par conséquent, on ne peut pas déduire des

résultats précédents que les clients étaient plus satisfaits en mai 2015 qu'en mai 2014.

d.3. La longueur d'un intervalle de confiance au seuil de 95% se rapportant à un échantillon

de n individus est égale à 2

n.

On veut savoir pour quelles valeurs de n on a :

] [

] [

Inverse 2

Décroissantesur 0;

Carré

Croissantesur 0

2

;

2 1 20,02 100

2 0,02 0,02

100 10000

nn

n

n

×

+∞

+∞

→ →

≤ ≥ ≥ =

≥ =→

Conclusion : pour que l'intervalle de confiance au seuil de 95% ait une longueur au plus

égale à 0,02, il faut que l'échantillon compte au moins 10000 individus.



Suites

Harry Métik vs. Jay O'Maytrick

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé La suite ( )nu est définie par récurrence par :

0

1

2

42 pour tout entier naturel

11n n

u

u u n+

=

= × −

a. Sur le graphique ci-contre, construire sur l'axe des abscisses ( )Ox à la seule règle et sans

calculs les quatre premiers termes 0 1 2 3u u u u de la suite ( )nu .

b. Démontrer par récurrence sur l'entier naturel n la propriété :

1: 4 3n n nP u u+− ≤ < ≤

Que peut-on en déduire quant à la suite ( )nu ? On justifiera sa réponse.

c. On appelle ( )na la suite définie pour tout entier naturel n par :

22

7n na u= +

1. Démontrer que la suite ( )na est géométrique de raison 4

11.

2. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : 36 4 22

7 11 7

n

nu = × −

3. En déduire la limite de la suite ( )nu .

d. On considère l'algorithme suivant :

L'entier n vaut 0 et le réel u est égal à 2

Tant que u > -3,14

n prend la valeur n+1

4u prend la valeur ×u-2

11

En sortie, afficher la valeur de n

Que permet de faire cet algorithme ? Quelle est la valeur de n affichée à son issue ?

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5




a. On passe d'un terme de la suite au suivant en appliquant la fonction ( ) 42

11f x x= − .

( ) ( )0 1 0 2 14

211

f f fn n n nu u f u u u u u f u+→ → −→= = =… …

Afin d'effectuer la construction, on trace préalablement deux droites : la première est la

courbe ( )C représentant la fonction f; la seconde qui est la première bissectrice du plan a

pour équation y x= .

On place 0u sur l'axe des abscisses. Se projetant verticalement sur la courbe ( )C , le point

rencontré a pour coordonnées ( )( )0 0 1;u f u u= . On ramène cette ordonnée 1u sur l'axe des

abscisses en se projetant horizontalement sur la première bissectrice du plan. On aboutit

alors au point de coordonnées ( )1 1;u u .

Pour obtenir 2u , on recommence le processus à repartant de 1u .

b. Démontrons par récurrence sur l'entier naturel n la propriété :

1: 4 3n n nP u u+− ≤ < ≤ .

Au premier rang pour 0n = , la propriété 0P est-elle vraie ?

Nous avons 0

1

2

4 4 8 22 142 2 2

11 11 11 11 11n

u

u u

=

= − = × − = − = −

Ayant bien 1 04 3u u− ≤ < ≤ , la propriété 0P est donc vraie.

Le principe de récurrence ou de propagation ou, hérédité

Supposons que la propriété kP soit vraie jusqu'à un certain entier n.

La propriété 1nP + est-elle alors vraie ?

Comme la propriété nP est (supposée) vraie, alors nous pouvons écrire :

2 1

4

111 1

12

16 4 4 124 3

11 11 11 11

38 4 4 102 2

11 11 11 11

n n

n n n n

n n

u u

u u u u

u u

+ +

×

−

+ +

+

− ≤ < ≤ − ≤ × < × ≤

− ≤ × − < × −

→

≤ −→

Comme 38 44

411 11

−− > = − et

103

11− < , alors finalement 2 14 3n nu u+ +− ≤ < ≤ .

Donc la propriété 1nP + est alors vraie. Le principe de récurrence est établi.

La propriété qui vient d'être établie a deux conséquences :

( )( )

1Pour tout entier , est strictement décroissante.

Pour tout entier , 4 est minorée par 4

n n n

n n

n u u u

n u u

+> ⇒

≥ − ⇒ −

Conclusion : la suite ( )nu étant décroissante et minorée, elle est convergente.

c.1/2. Pour tout entier naturel n, nous pouvons écrire :

1

1 122

7

4 22 4 14 22 4 82

11 7 11 7 7 11 7

4 22 8 4 4

11 7 7 11 11

n

n

n n

n n n

n n

u

u

a u

u u u

a a

+

+ += +

= × − + = × − + = × +

= × − + = × −

2 11××

8 4 8 8 4

7 7 11 7 7 11n na a+ = × − + = ×

x

y

( )C

y x=

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

u0 u1 u2 u3



Donc la suite ( )na est géométrique de raison 4

11q = et de premier terme :

0 022 22 14 22 36

27 7 7 7 7

a u= + = + = + =

Par conséquent, le terme général de la suite annexe ( )na est donnée par :

036 4

7 11

nn

na a q = × = ×


22 22 36 4 22

7 7 7 11 7

n

n n n na u u a = + ⇔ = − = × −

c.3. Nous pouvons écrire :

] [0;1

36 4 22 36 22 22 22lim lim 0 0

7 11 7 7 7 7 7

q

n

nn n

u+ +

→+∞ →+

∈

∞

= × − = × − = − = −

d. L'algorithme proposé calcule successivement tous les termes de la suite ( )nu jusqu'à ce

qu'ils deviennent inférieurs ou égaux à 3,14− .

En utilisant la calculatrice (tableau de valeurs de la suite ou calcul successif de tous ses

termes), on détermine que la variable u qui est aussi le terme nu devient inférieure ou égale

à 3,14− à partir de 8n = .

Tiercé gagnant...ou pas

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est constitué de trois sous-parties indépendantes.

a. La suite ( )nu est arithmétique et est telle que 100

250

37

59

u

u

=

=

Calculer la somme de termes consécutifs

( )Somme de tous les termes

de la suite entre les rangs 100 et

100 101 1

1000

02 1000

nu

S u u u u= + + + +

…

b. Déterminer la limite de suite ( )nu définie pour entier strictement positif n par :

( )35 2

n

n n nu

−=

−

c. La suite ( )nu est définie pour tout entier strictement positif n par :

( )

( )

sin1

1 ln

n

ne

un

−=

+

1. Démontrer que, pour tout entier strictement positif n, on a :

( ) ( )

11

1

1 ln 1 lnn

e eun n

−−≤ ≤

+ +


Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a. La somme des 901 termes consécutifs de la suite arithmétique ( )nu est donnée par la

formule :

Somme de 901 termes cons

100 100010

écutifs

0 101 102 1000 9012

u uS u u u u

+= + + + + = ×

…

L'obtention de la valeur du terme 1000u passe par la connaissance de la raison r de la suite.

Cette dernière vérifie l'égalité :

( )250 100 250 100 59 37 150 150 22

22 11

150 75

u u r r r

r

= + − × ⇔ = + × ⇔ × =

⇔ = =



Le terme 1000u est alors donné par l'égalité :

( )1000 10011

1000 100 37 900 37 132 16975

u u r= + − × = + × = + =

Finalement, nous en concluons à propos de la somme S :

100 1000 37 169 206901 901 901 92803

2 2 2

u uS

+ += × = × = × =

b. De prime abord, nous pouvons écrire :

( )( ) ( )

3lim lim

5 2

n

n n nn nu

→+∞ →+∞

−= = =

+∞ − +∞−

no limite ???no limite ???no limite ???no limite ???


Pour lever cette indétermination, nous allons juste factoriser le dénominateur par son terme

nous semblant plus fort : 5n .

Pour tout entier strictement positif n, nous avons :

( ) ( )3 3 1 3 1 10 0

55 2 5 2 1 021 1

55

n n n

n n n n n n n

n

u+→+∞

− − = = × = − × × = − − − −

→

c.1. Pour tout entier strictement positif n, nous pouvons écrire :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )

sin sin1 1

si

1Exponentielle

Croissante qui estsur négatif

1

1 ln

qui est positif

n

11 sin 1

11 1 1

11

1

1 ln 1 ln

n

n

n

n

n

n e e e e ee

e ee

e eun n

− × −

+

÷ +

→ →

→

− ≤ ≤ ≤ ≤ − ≥ − ≥ −

− ≤ − ≤ +

−−≤ ≤→

+

+

c.2. Déterminons les limites des suites constituant les membres de gauche et de droite de

notre encadrement.

( ) ( )

( ) ( )

1 réel négatif réel négatifA gauche : lim 0

1 ln 1

11

réel positif réel positifA droite : lim 0

1 ln 1

n

n

e

n

e

n

−

→+∞

+

→+∞

−= = =

+ + +∞ +∞

−= = =

+ + +∞ +∞

Etant encadré par deux suites tendant vers 0, la suite ( )nu tend elle aussi vers 0 en

application du «théorème des gendarmes».

Massacre à la suiteçonneuse

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé La suite ( )nu est définie par récurrence par :

0

1

2

7pour tout entier naturel

1

nn

n

u

uu n

u+

=

=+

a. Sur le graphique ci-dessous où l'on a tracé en rouge la courbe d'équation 7

1

xy

x=

+,

construire à la seule règle sur l'axe des abscisses ( )Ox les quatre premiers termes

0 1 2 3u u u u de la suite ( )nu .

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1

2

3

4

5

6

7

7

1

xy

x=

+



b. Dans les trois algorithmes suivants, les variables i et n sont deux entiers naturels alors que

la variable u est un réel.

Dans ces trois algorithmes, on demande à l'utilisateur de donner une valeur à l'entier n en

entrée. Mais seulement deux de ces trois algorithmes calculent et affichent en sortie

d'exécution la valeur du terme nu .

Algorithme premier Algorithme deuxième Algorithme troisième Demander n

i=0

u = 2

Tant que i< n

i= i+1

7uu =

1+u

Afficher u

Demander n

u = 2

Pour i =0 jusqu'à n

7u u =

1+u

Afficher u

Demander n

u = 2

Pour i =1 jusqu'à n

7u u =

1+u

Afficher u

Parmi les trois algorithmes précédents, lequel ne calcule pas et n'affiche pas en sortie

d'exécution la valeur du terme nu ? On expliquera son choix.

c. Dans ces questions, on s'intéresse à l'éventuelle convergence de la suite ( )nu .

1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout réel 1x ≠ − , on ait :

7

1 1

x ba

x x= +

+ +

2. Démontrer par récurrence sur l'entier naturel n la propriété :

1: 0 7n n nP u u +≤ < ≤

3. Justifier que la suite ( )nu est convergente.

d. On appelle ( )na la suite définie pour tout entier naturel n par :

2

6

nn

n

ua

u=

−

4. Calculer 0a .

5. Démontrer que la suite ( )na est géométrique de raison 7.

6. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : 6 7

7 2

n

n nu

×=

+


Le corLe corLe corLe corrigérigérigérigé

a. On passe d'un terme de la suite au suivant en appliquant la fonction ( ) 7

1

xf x

x=

+.

( ) ( )0 1 0 2 17

1

f f f nn n n

n

uu u f u u u u f u

u+= = =

+→ → →… …

Afin d'effectuer la construction, on trace préalablement la première bissectrice du plan qui

est la droite ayant pour équation y x= .

On place 0u sur l'axe des abscisses. Se projetant verticalement sur la courbe ( )C , le point

rencontré a pour coordonnées ( )( )0 0 1;u f u u= . On ramène cette ordonnée 1u sur l'axe des

abscisses en se projetant horizontalement sur la première bissectrice du plan. On aboutit

alors au point de coordonnées ( )1 1;u u . Une projection verticale de ce dernier point sur l'axe

des abscisses permet de construire le terme 1u sur ce dernier axe.

x

y y x=

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1

2

3

4

5

6

7

u0 u1 u2 u3

7

1

xy

x=

+



b. Pour calculer le terme de rang n partant du terme de rang 0, il faut itérer n fois la formule

de récurrence 17

1

nn

n

uu

u+ =

+.

Dans le premier algorithme, la variable i prend successivement toutes les valeurs entières

entre 0 et 1n − car i progresse d'une unité à chaque boucle Tant que et doit demeurer

strictement inférieur à n. La formule de récurrence est appliquée à n reprises. Cet algorithme

calcule le terme de rang n de la suite

Dans le deuxième algorithme, la variable i doit prendre toutes valeurs entières entre 0 et n.

Donc la boucle Pour effectue 1n + itérations de la formule de récurrence 17

1

nn

n

uu

u+ =

+.

Une de trop ! Ce deuxième algorithme calcule la valeur du terme de rang 1n + .

A contrario, dans le troisième algorithme, la variable i prend bien n valeurs de 1 à i. Celui-ci

calcule donc bien le terme de rang n de la suite

Une autre façon de voir ce qui foire :Une autre façon de voir ce qui foire :Une autre façon de voir ce qui foire :Une autre façon de voir ce qui foire : pour mieux se rendre compte de qui fait quoi, on

peut aussi exécuter les algorithmes en prenant une petite valeur de n comme 1 ou 2.

Prenons 2n = . Un bon algorithme doit retourner 2 98 /17u =

Algorithme premier Algorithme deuxième Algorithme troisième n=2 i=0 u=2 0u=

TQ: comme i<2, boucle

1

1

u

=

=

i = i+1

u = 7u/(1+u)

TQ: comme i<2, boucle

2

2

u

=

=

i = i+1

u = 7u/(1+u)

TQ: comme i=2, break! La valeur finale de u est bien

égale à 2u

n=2 u=2 0u=

Pour i=0 jusqu'à 2

1u=u = 7u/(1+u)

Pour i=1

2u=u = 7u/(1+u)

Pour i=2

3u=u = 7u/(1+u)

La valeur finale de u est

égale à 3u

n=2 u=2 0u=

Pour i=1 jusqu'à 2

1u=u = 7u/(1+u)

Pour i=2

2u=u = 7u/(1+u)

La valeur finale de u est

bien égale à 2u

Le mauvais algorithme est bien le deuxième : il effectue une boucle en trop.

c.1. Pour tout réel 1x ≠ − , nous pouvons écrire :

( ) ( )7

7 17 1 77

1 1

x

xxx

x x

× +× + −= =

+ +

1 x+

7 77

1 1x x

−+ = −

+ +

Conclusion : pour tout entier naturel n, nous avons : 17

71

nn

uu

+ = −+

c.2. Démontrons par récurrence sur l'entier naturel n la propriété 1: 0 7n n nP u u +≤ < ≤

Au premier rang pour 0n = , la propriété 0P est-elle vraie ?

Nous avons 0

01

0

2

7 7 2 14

1 1 2 3

21

3

u

uu

u

=

×= = <=

+ +

Comme nous avons 0 10 7u u≤ < ≤ , alors la propriété 0P est donc vraie.

Le principe de récurrence ou de propagation ou hérédité

Supposons que la propriété kP soit vraie jusqu'à un certain entier n.

La propriété 1nP + est-elle alors vraie ?

Comme la propriété nP est (supposée) vraie, alors nous pouvons écrire :

] [

( )

1 1

1

Inverse

Décroissantesur 0;

7

7

1

1

1

1

1

0 7 1 1 1 8

1 1 1 1

1 1 1 8

7 7 77

1 1 8

7 70 7 7

1 1

n nu

n n n n

n n

n n

n n

u

u u u u

u u

u u

u u

+ +

+

+

+ +

+

+

×

+

∞

−

+

≤ < ≤ ≤ + < + ≤

≥ > ≥+ +

− −− ≤ < ≤ −

+ +

≤ − < −+

→

→

→

→+

777

8≤ + ≤−

Donc la propriété 1nP + est alors vraie. Le principe de récurrence est établi.

c.3. D'après ce qui précède :

( )( )

1Pour tout entier , est strictement croissante.

Pour tout entier , 7 est majorée par 7

n n n

n n

n u u u

n u u

+< ⇒

≤ ⇒

Conclusion : la suite ( )nu étant croissante et majorée, elle converge.

d.1. Calculons 00

0

2 2 2 41

6 6 2 4

ua

u

× ×= = = =

− −



d.2. Pour tout entier naturel n, nous pouvons écrire :

( )1

11

147 142

12 1 1

7 6 766

1 1

1

nn n

nn n nn

n nn

n n

n

uu u

uu u ua

u uu

u u

u+

++

×++ +

= = = =−

+ +

+ −− × 6

1

n

n

u

u

−

+

14 7 2 27 7

6 6 6

n n nn

n n n

u u ua

u u u

×= = = × = ×

− − −

Donc la suite ( )na est géométrique de raison 7q = et de premier terme 0 1a = .

Par conséquent, pour tout entier naturel n, il vient :

0 1 7 7n n nna a q= × = × =

d.3. Connaissant l'expression de na en fonction de n, nous allons pouvoir déterminer celle

du nu . Pour tout entier naturel n, nous pouvons écrire :

( )

( )

27 6 2 6 7 7 2

6

2 7 6 7 2 7 6 7

6 7

7 2

n n nnn n n n n

n

n n n nn n n

n

n n

ua u u u u

u

u u u

u

= ⇔ × − = ⇔ × − × =−

⇔ × + × = × ⇔ × + = ×

×⇔ =

+

d.4. Ayant son expression, nous pouvons désormais déterminer la limite de la suite ( )nu .

( )( )66 7

lim lim27 2

n

n nn nu

→+∞ →+∞

× +∞× +∞= = = =

+∞ + +∞+Forme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminée

Mais il s'agit là d'une petite indétermination qui se lève en factorisant numérateur et

dénominateur par le facteur 7n . Pour tout entier naturel n, nous pouvons écrire :

6 7 7

7 2

n n

n nu

×= =

+ 7n

6 6 6 66

2 2 2 1 01 1 17 7

n

n n

→+∞ +→× = = =

++ + ++∞



En vrac

Des questions d'analyse bien complexes

L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des dix questions, quatre

propositions sont faites mais une seule est exacte. Une bonne réponse rapporte 0,5 points;

une absence ou une mauvaise réponse n'enlève ni ne rapporte de points.

1. Une primitive définie sur ] [0;+∞ de la fonction ( ) 2

2

212 8 1f x x x

x= − + − est :

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

3 2 3 2

2 23 4 4 8

2 24 4 4 4

F x x x x F x x x xx x

F x x x x F x x x xx x

= − + + = − + +

= − + + = − + −

a. b.

c. d.

2. Une primitive définie sur de la fonction ( )24 1

xf x

x

=+

est :

( ) ( )

( ) ( )

2 2

22

4 1 4 1

8 4

4 12 4 1

2

x xF x F x

xF x F x x

+ += =

+= = +

a. b.

c. d.

3. Une primitive définie sur de la fonction ( )2

1x

f xe

= est :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 1 1 2

2 2x x x x

F x F x F x F xe e e e

= − = − = =a. b. c. d.

4. Une primitive définie sur de la fonction ( )( )

8 12

72

x x

x

e ef x

e

×= est :

( ) ( ) ( ) ( )6 31 10 1

6 3

x xF x e F x e F x F x x= = = = +a. b. c. d.

5. Parmi les quatre limites suivantes, une seule est fausse. Laquelle ? 2 2

2 2

lim 0 lim

lim lim

x x

x x

x xx x

x e x e

x x

e e

→−∞ →+∞

→−∞ →+∞

= = +∞

= +∞ = +∞

a. b.

c. d.

6. Un argument du nombre complexe ( )20151 3z = − i est :

2 2

3 3 3 3

π π π π− −a. b. c. d.

Sur la figure ci-dessous qui sera utilisée dans les questions 7, 8 et 9, le plan complexe est

rapporté à un repère orthonormé direct ( )O, ,u v

.

Les points A, B et I sont pour affixes respectives:

A B I3

5 1 3 32

z z z= = − = −i

i

On a également tracé les quatre ensembles EEEE, FFFF, GGGG et HHHH.

u

v

FFFF

GGGG HHHH

O

A

B

I

EEEE



7. EEEE est l'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant :

( ) ( ) ( ) ( )5 9arg 5 2 arg 5 2

4 4

5 3 1 5 5

z z

z z z

π π− = − π − = π

− = + − − =i

a. b.

c. d.

8. FFFF est l'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant :

( ) ( ) ( ) ( )5 9arg 5 2 arg 5 2

4 4

5 3 1 5 5

z z

z z z

π π− = − π − = π

− = + − − =i

a. b.

c. d.

9. GGGG est l'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant :

( ) ( ) ( ) ( )5 9arg 5 2 arg 5 2

4 4

5 3 1 5 5

z z

z z z

π π− = − π − = π

− = + − − =i

a. b.

c. d.

10. Dans cette question, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( )O, ,u v

.

Dans celui-ci, on a construit le triangle ABC qui présente deux caractéristiques :

Le côté [BC] mesure la moitié du côté [AB].

L'angle orienté ( )BC,BA

mesure 2

π− radians.

On appelle A B C, et z z z les affixes des points A, B et C.

Parmi les propositions suivantes, une seule égalité est vraie. Laquelle ?

A B A B

C B C B

A B A B

C B C B

22

22

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

− −= − = −

− −

− −= =

− −

ii

ii

a. b.

c. d.


1. Toute primitive F de la fonction ( ) 2

2

112 8 1 2f x x x

x= × − × + − × est de la forme :

( ) 3 2 3 21 1 1 212 8 2 4 4

3 2F x x x x Cste x x x Cste

x x

−= × − × + − × + = − + + +

La réponse correcte est la c.

2. La fonction ( )24 1

xf x

x

=+

est presque de la forme u

u

′ avec ( )

( )

24 1

4 2 8

Dérivable et sur

u x x

u x x x

= +

′ = × =

⊕

En effet : ( )2 2

1 8 1

84 1 4 18

x x uf x

ux x

′= = = ×

+ +× .

Donc toute primitive F de la fonction f est de la forme :

( ) 21 12 4 1

8 4F x u Cste x Cste= × + = × + +

La proposition correcte est la b.

3. La fonction ( ) 2

2

1 x

xf x e

e

−= = est presque de la forme uu e′× avec ( )( )

2

2

Dérivable sur

u x x

u x

= −

′ = −

En effet : ( ) ( )2 212

2

1

2

x x uf x e e u e

− −× − × ′= − ×−

= = ×

Donc toute primitive F de la fonction f est de la forme :

( ) 2

2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

u x

x xF x e Cste e Cste Cste Cste

e e

−= − × + = − × + = − × + = − +

La réponse correcte est la b.

4. D'abord, simplifions l'écriture de cette fonction f en utilisant les propriétés algébriques de

l'exponentielle :

( )( )

1128 12 8 8 8 6 142

14 147 7 22

xx x x x x x x x

x xxx

e e e e e e e ef x

e eee

× 6 +

×

× × ×= = = = =

14xe1=

Par conséquent, nous en déduisons que toutes les primitives F de la fonction f sont de la

forme :

( )F x x Cste= +

La proposition correcte est la d.

5. Passons les quatre propositions en revue :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

lim 0

lim

1lim

0 0

1Comme lim alors li

C'est une limite du cours

m 0

x

x

x

x

xx

x

xx x

x e

x e

x

e

e x

x e

→−∞

→+∞

+ +→−∞

+

→+∞ →+∞

=

= +∞ × +∞ = +∞

+∞= = +∞ × = +∞ × +∞ = +∞

= +∞ = =+∞

←a.

b.

c.

d.

La proposition correcte (c'est-à-dire fausse) est la d.



6. D'abord, déterminons un argument du nombre complexe 1 3a = − i . Pour ce faire, nous

devons d'abord calculer son module :

( )221 3 1 3 1 3 4 2a = − = + − = + = =i

Ensuite, les arguments de a sont les réels θ vérifiant les deux égalités :

( ) ( )1 3cos et sin modulo 2

2 2 3

− πθ = θ = ⇔ θ = − π

Il vient alors :

( ) ( ) ( )2015 2015arg arg 2015 arg 2015 modulo 2

3 3z a a

−π π= = × = × = − π

Un tour correspondant à 2 63

ππ = × , procédons à la division euclidienne de 2015 par 6 !

3 2015 6 5 52015 335 6 5 335 335 tours

3 3 3 3

π× π π π π

= × + = × + = +→

Nous en concluons :

( )Tour

2015 5 5arg 355 2 modulo 2

3 3 3 3z

− π π π π= = − × π − = − = π

La réponse correcte est la c.

7. EEEE étant le cercle de centre A passant par B, il est l'ensemble des points M d'affixe z tels

que :

( ) ( )

A B A

2 2

AM AB 5 1 3 5 4 3

4 3 25 5

z z z z z= ⇔ − = − ⇔ − = − − = − −

= − + − = =

i i

La proposition correcte est la d.

8. L'ensemble FFFF étant la médiatrice du segment [AB], il est l'ensemble des points M d'affixe

z équidistants de A et B, c'est-à-dire ceux tels que :

( )A BAM BM 5 1 3

5 1 3

z z z z z z

z z

= ⇔ − = − ⇔ − = − −

⇔ − = − +

i

i

La proposition correcte est la c.

9. La demi-droite GGGG est l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant :

( ) ( ) ( )

Modulo 2 bien sûr !

1 tour

A3 3 5

,AM arg arg 54 4 4

8

4u z z z

π

π−

π π π= ⇔ − = ⇔ − = −

La proposition correcte est la a.

10. Le côté [BC] mesurant la moitié du côté [AB], nous pouvons écrire :

1 BC 1 BABC BA 2

2 BA 2 BC= × ⇔ = ⇔ =

Interprétons le quotient A B

C B

z z

z z

−−

selon deux critères :

Son module : A B

C B

BA2

BC

z z

z z

−= =

−

Ses arguments : ( )A B

C B

arg BC,BA modulo 22

z z

z z

− π= = − π

−

Il vient alors :

( )A B 2

C B

2 2 2z z

ez z

π−−

= × = × − = −−

ii i

La proposition correcte est la a.

Et l'année prochaine, ce sera Et l'année prochaine, ce sera Et l'année prochaine, ce sera Et l'année prochaine, ce sera vachement vachement vachement vachement plus plus plus plus pire !pire !pire !pire !



Le mot de l'auLe mot de l'auLe mot de l'auLe mot de l'auteur : teur : teur : teur : le bac, c'est génial ! Mais je sais pas pourquoi le bac, c'est génial ! Mais je sais pas pourquoi le bac, c'est génial ! Mais je sais pas pourquoi le bac, c'est génial ! Mais je sais pas pourquoi Jusqu'à fin juin 2015, je pensais encore que le baccalauréat sanctionnait un niveau d'étude. Mais je dois bien avouer que mes quelques doutes se sont évaporés. Sans doute la conséquence des grosses chaleurs du début d'été 2015. Certes, le sujet donné cette année en S était plus abordable (ou moins inaccessible) que celui de l'an passé. Cela étant, j'ai été déconcerté par la manière dont certaines questions étaient posées. Leur difficulté principale résidait dans leur compréhension; de grands maquis verbeux ne cachaient que de petites choses faciles. Ensuite, il y a eu la piste de skate-board du quatrième exercice dont la seule justification était de montrer que les maths sont une discipline sexy utile dans la vie de tous les jours. Sauf qu'on n'a toujours pas trouvé le rider inconscient qui se risquerait sur une piste aussi dangereuse ! Puis, vint le barème dont je ne puis vous parler vu qu'il est confidentiel. Sa principale qualité est qu'il m'a bien fait rire ! Dans ma conception des choses, le nombre de points attribués à une question a toujours été fonction de sa difficulté ou de sa longueur. Pas au bac ! Et puis, pour une même question traitée, le candidat qui rédige bien, qui détaille tout, n'aura pas nécessairement plus que celui qui expédie le truc parce qu'il s'en fout ! Enfin, il y eut les ahurissantes interrogations à propos du barème entendues chez certains collègues le jour de la remise des copies. Ca aussi, je ne peux pas vous en parler mais c'était très drôle ! Le problème des gens intelligents est qu'ils se posent trop de questions. Moi, avec mon intelligence très limitée, j'avais juste compris que la cinquantaine de copies que l'on m'avait attribuée était le seul obstacle qui me séparait de mes vacances. Alors j'ai appliqué bêtement un barème inepte sur un sujet insipide. Et vous savez quoi ? J'ai fini par être en vacances !

Jérôme Onillon

Au sommaire du rodéo :Au sommaire du rodéo :Au sommaire du rodéo :Au sommaire du rodéo :

AnalyseAnalyseAnalyseAnalyse............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 1111 Liaison rationnellement fatale.......................................................................................................1 Méchantes questions en vrac ! ....................................................................................................... 5 Ln pose problème !..................................................................................................................................6 Re-méchantes questions en vrac !............................................................................................... 8 Exponentielle pose problème ! .......................................................................................................... 9 Un plant façon indienne................................................................................................................... 11 Exponentielle des Caraïbes ..............................................................................................................13 Exponentielle vs. alien carré........................................................................................................... 15 Intégrales Lepter...................................................................................................................................17

Géométrie et nombres complexesGéométrie et nombres complexesGéométrie et nombres complexesGéométrie et nombres complexes ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 20202020 Petits jeux entre complexes ........................................................................................................... 20 Bon plan complexe...ou pas............................................................................................................21 Petit complexe fonctionnel ..............................................................................................................24 Espace des tentes ................................................................................................................................... 26

ProbabilitésProbabilitésProbabilitésProbabilités ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 30303030 Préludes improbables ........................................................................................................................ 30 Nous irons tous au paradis...ou pas ! ......................................................................................31 L'improbable vie continue de Toto.............................................................................................32 Toc toc badaboum !.............................................................................................................................35

SuitesSuitesSuitesSuites .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 38383838 Harry Métik vs. Jay O'Maytrick ...............................................................................................38 Tiercé gagnant...ou pas..................................................................................................................... 40 Massacre à la suiteçonneuse ........................................................................................................41

En vracEn vracEn vracEn vrac ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 45454545 Des questions d'analyse bien complexes ..............................................................................45

Tous les exercices présents dans ce recueil, énoncés et corrigés, ont été conçus et Tous les exercices présents dans ce recueil, énoncés et corrigés, ont été conçus et Tous les exercices présents dans ce recueil, énoncés et corrigés, ont été conçus et Tous les exercices présents dans ce recueil, énoncés et corrigés, ont été conçus et mis en forme par Jérôme ONILLON, professeur de mathématiquesmis en forme par Jérôme ONILLON, professeur de mathématiquesmis en forme par Jérôme ONILLON, professeur de mathématiquesmis en forme par Jérôme ONILLON, professeur de mathématiques dégradé mais non dégradé mais non dégradé mais non dégradé mais non biodégradablebiodégradablebiodégradablebiodégradable.... L'auteur ne saurait garantir la conformiL'auteur ne saurait garantir la conformiL'auteur ne saurait garantir la conformiL'auteur ne saurait garantir la conformité du programme de mathématiques de té du programme de mathématiques de té du programme de mathématiques de té du programme de mathématiques de terminale Sterminale Sterminale Sterminale S à à à à sssses exercices.es exercices.es exercices.es exercices. Aucune exploitation commerciale n'est autorisée.Aucune exploitation commerciale n'est autorisée.Aucune exploitation commerciale n'est autorisée.Aucune exploitation commerciale n'est autorisée.

a contrarioen seconde - free

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