Ecole Nationale des

Ponts et Chausses

D.E.A Sciences et techniques

de lenvironnement

HYDROLOGIE

CHAPITRE 6

HYDROLOGIE STATISTIQUE Introduction lEtude des Processus Hydromtorologiques

Application la Prdtermination

des Dbits de Crues

et dEtiage

Jacques MIQUEL

2009-2010

2

SOMMAIRE

Introduction

Premire partie : introduction aux processus stochastiques hydromtorologiques

1. dfinitions et proprits des processus

2. utilit de ltude des processus stochastiques en hydromtorologie

3. les modles dinterpolation et de reconstitution

4. les modles de simulation stochastique

5. les modles de prvision

6. les modles de prdtermination

Deuxime partie : la prdtermination des crues

1. quelle variable faut-il tudier ?

2. quelle mthode employer ?

3. la mthode des Maxima Annuels

4. la mthode du Renouvellement

5. la mthode du Gradex

6. conclusions sur la prdtermination des crues

Troisime partie : valuation des risques de crue de la Garonne Mas dAgenais

1. lanalyse hydromtorologique

2. les donnes et leur critique

3. ltude par la mthode des Maxima Annuels

4. ltude par la mthode du Renouvellement

Quatrime partie : la prdtermination des tiages

1. Lapproche globale Dbit- Dure

2. Les principaux indicateurs dtiages

3. Analyse statistique des indicateurs dtiage.

4. Les courbes Dbit-Dure-Frquence

5. Conclusion sur la prdtermination des tiages

Annexe 1: ajustement de quelques lois usuelles en hydrologie

Annexe 2: estimation des paramtres de la mthode du Renouvellement et de leurs

incertitudes

Annexe 3: tables statistiques et papiers Gauss et Gumbel

Rfrences bibliograhiques

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INTRODUCTION

Ce cours est organis en quatre parties:

la premire partie, introduction aux processus stochastiques hydromtorologiques, est destine poser quelques bases gnrales auxquelles tous les travaux dhydrologie statistiques

se rattachent plus ou moins. Toute tude hydrologique a pour finalit de comprendre et

connatre davantage un ou plusieurs processus stochastiques hydromtorologiques, et/ou

dutiliser leurs proprits statistiques pour aider certains dcideurs mieux dimensionner et

mieux grer en continu des ouvrages ou des dispositifs soumis aux alas

hydromtorologiques.

la deuxime partie, la prdtermination des crues, applique les notions vues en premire partie en traitant un processus hydromtorologique particulier: elle prsente les diffrentes

approches thoriques les plus frquemment utilises pour rpondre la question de

lvaluation du risque de crue en un point dun cours deau.

la troisime partie, valuation des risques de crue de la Garonne Mas dAgenais, est une illustration sur un cas rel rel dune classe de mthodes de prdtermination mentionnes

en deuxime partie: les mthodes danalyse des sries chronologiques de dbits observs.

La quatrime partie, la prdtermination des tiages est ladaptation des mthodes des deux premires parties pour valuer le risque, cette fois, de pnurie deau.

En allant du gnral au particulier, ce cours a pour ambition la fois dapporter une vision

densemble, permettant de situer les mthodes usuelles, pouvant galement expliquer lintrt

actuel des chercheurs pour des thmes comme lanalyse rgionale, ou lidentification des

drives et ruptures hydrologiques avec leurs consquences dcisionnelles, mais aussi de se

frotter bien concrtement une question hydrologique essentielle avec un premier aperu des

outils existants, tout en sachant bien que la pratique et la critique des donnes construisent la

vraie comptence.

Ce cours doit beaucoup au professeur Jacques BERNIER qui a introduit en France lessentiel

de ces mthodes. La premire partie sinspire en particulier directement des exposs quil

faisait lENPC.

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PREMIERE PARTIE : INTRODUCTION AUX PROCESSUS STOCHASTIQUES

HYDROMETEOROLOGIQUES

1. Dfinitions et proprits des processus

On suppose connues les bases du calcul des probabilits et les principes de lanalyse

statistique, en particulier la notion de variables alatoires, de leurs proprits et des concepts

probailistes habituels (si un rafrachissement est ncessaire, les ouvrages de [2] et [5] sont

recommands).

Les dfinitions suivantes permettent de dcrire un processus stochastique

hydromtorologique:

Processus stochastique: un processus stochastique est une chronologie de variables ou dvnements inscrit dans le temps qui induit un ordre dans leurs occurences [1]. Il est donc

caractris par une ou plusieurs variables alatoires multidimensionelles: Z(x1,x2,....xn).

Processus stochastique hydromtorologique : cest un processus stochastique, en gnral deux dimensions, lespace et le temps, caractris par une variable alatoire

hydromtorologique, cest dire descriptive dun phnomne hydromtorologique:

Z(x, tx) x={x1,x2} coordonnes gographiques

tx=={t1,t2 ,.......,tnx} ensemble dinstants o ont t obtenues les observations de

Z

Exemples: La pluie mesure P (x, t1) un instant t1 au point x, est une ralisation observe du processus

constitu par la lame deau dune averse.

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Autre exemple : Une chronique de dbits mesurs Q(x, tx) en une station est une ralisation

observe du processus constitu par les dbits couls dans les diffrents cours deau dun bassin

versant.

Ou encore : Le quantile dcennal Q10(x, nx) de dbits en une station est une ralisation observe du

processus constitu par les dbits dcennaux dans les diffrents cours deau dun bassin versant. Champ spatial : cest le domaine de variations spatiales des coordonnes x. Les observations seront diversement distribues en quelques points x

1 ,x

2 ......x

k .

Variable rgionalise: variable hydromtorologique Z(x, tx) pour laquelle tx est indpendant de x. Autrement dit le processus Z(x) est dpendant des seules coordonnes

spatiales.

Exemples: La prcipitation totale dune averse sur lensemble dun bassin

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Processus intrinsque: cest un processus caractris par une variable rgionalise stationnaire du premier et du deuxime ordre par rapport x. Autrement dit:

E[Z(x)]=m(x)=m constante "x

Var[Z(x)-Z(x+h)]= fonction de h seulement "x

Variables spatiales changeables: ce sont des variables qui caractrisent un processus dont lala spatial est spar et indpendant de lala temporel.

Explication:

Z(x,t), x fix, constitue une variable alatoire Z(x) de densit de probabilit f(z;q(x)). Lala

temporel sexprime au travers de cette densit de paramtre q. En diffrents points x1 ,x2 ......xk,

les q(xi) constituent une variable rgionalise qi, traduisant lala spatial avec la densit de

probabilit p(q1,q2,... qk). On dira que les variables Z(xi) sont changeables si toute permutation

dans lordre des qi ne change pas la densit de probabilit p(qi), autrement dit p(q1,q2,... qk)

=p(qj1,qj2,... qjk). Exemple:

Cest le cas si, aprs changement de variable, une structure de distribution spatiale des pluies

mesures permet de constater que qi= m + ei , o ei est une variable rgionalise intrinsque. Les variables seront dites partiellement changeables si cette structure sexprime par une relation

du type qi= Sbi. fi + ei , o fi sont des variables explicatives et les bi des coefficients.

Echantillonage dune variable hydomtorologique: il sagit de la rpartition des instants dobservation. Cet chantillonage peut tre pas de temps constants (lintervalle de temps

entre deux mesures est toujours le mme) ou vnementiel (on connait les instants o certains

seuils sont franchis par la variable, ou son gradient).

Exemple dchantillonage pas de temps constants: la srie des dbits moyens journaliers en une

station.

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Exemple dchantillonage vnementiel: les surplus et dficits par rapport diffrents seuil en

dbit

Stationnarit du premier ordre dune variable hydomtorologique: une variable hydromtorologique Z(xt, t) chantillone pas de temps constant est dite stationnaire du

premier ordre si son premier moment est indpendant du temps. Autrement dit:

E(Z(xt, t)) = Z(xt, t).f(Z(xt, t),t) dxt= M1 (t) est constant " t.

Elle est dite stationnaire du deuxime ordre si son second moment et son autocovariance sont

indpendants du temps. Autrement dit

E([Z(xt, t)-M1(t)]2) =([Z(xt, t)-M1(t)]2).f(Z(xt, t),t) dxt= M2 (t) est constant " t.

[Z(xt, t)-M1(t)].[Z(x t-t, t-t)-M1(t-t)].f(Z(xt, t),Z(x t-t,t-t),t,t-t) dxtdxt-t= cov(t,t) est constant " t, et ne dpende que de t.

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Exemple de non stationnarit: Z(xt, t)= {dbits journaliers du jour t de lAllier Vieille Brioude}

Mmoire dune variable hydomtorologique: la mmoire dune

variable hydromtorologique Z(x, t)

chantillone pas de temps constant peut

se mesurer par son autocorrlation: r (t,t)=

cov(t,t) / [M2(t).M2(t-t)]2 qui est dautant

plus forte que r(t,t) est proche de 1.

Exemples de mmoire:

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2. Utilit de ltude des processus stochastiques en hydromtorologie

En quoi lensemble des dfinitions et proprits mentionnes au paragraphe prcdent

intressent elles lhydrologue ?

Premirement parce que les phnomnes physiques tudis ont de fortes variations spatiales et

temporelles, et ceci quil sagisse de tempratures, de pressions, de vent, de prcipitations, de

dbits, etc...

Ensuite parce quon identifie des structures aussi bien spatiales que temporelles dans ces

variations:

la gomorphologie des bassins (pente, superficie, chevelu hydrographique,...), leurs altitudes, leurs reliefs, leur gologie, leur couverture vgtale, ont une influence dterminante

sur les structures spatiales,

les facteurs climatiques, avec des effets saisonniers mais galement vnementiels sont dterminants aussi bien sur le plan temporel (scheresses) que spatial (orages locaux par

opposition aux perturbations gnralises).

laction de lhomme, toute proportion garde, nest pas ngligeable quil sagisse de rgulariser (rservoirs de soutien dtiage) ou daccentuer certains contrastes (prlvements).

Pour comprendre et mieux agir, les processus et les structures sous-jacents des phnomnes

physiques ont t recherchs, et finalement des reprsentations schmatises baptises

modles ont t dveloppes. Ces derniers se classent, selon leur finalit, en quatre

catgories:

les modles dinterpolation ou de reconstitution: ils aident mesurer,observer, constater, estimer. Quil sagisse dacqurir linformation la plus reprsentative pour un effort de

mesure donn, et donc de slectionner les futurs lieux dobservation, ou bien dvaluer une

grandeur intgratrice dune grande diversit spatiale, ou encore de complter une information

momentanment manquante. Ils servent donc autant dcrire qu dcider.

les modles de simulation: ils reproduisent un processus, ou une partie de processus, partir dobservation existantes, mails il peuvent aussi gnrer des scnarios possibles et

conformes statistiquement au processus tudi. Ces modles sont par exemple trs utiles pour

simuler les effets ou le fonctionnement futur dun ouvrage. Ils permettent de faire des

projections sur lavenir, et sont intressants au plan dcisionnel, en particulier pour lanalyse

des risques, y compris conomiques.

les modles de prvision, cest dire utiliss un instant t pour prvoir lavenir. On devine quils auront une finalit essentiellement oprationnelle: alerte en priode de crue,

anticipation en priode de scheresse, plus gnralement aide la gestion de la ressource en

eau dun bassin.

les modles de prdtermination, cest dire qui valuent la probabilit doccurrence dun vnement, mais non le moment o il se produira, est surtout utile aux projeteurs, ceux qui

doivent dimensionner un ouvrage soumis aux alas hydromtorologiques, valuer les

risques.

Nous voquerons quelques uns de ces modles dans les paragraphes suivants.

10

11

3. Les modles dinterpolation et de reconstitution

objectifs et principes: si, en un point donn, un dispositif de mesures de pluie ou de dbit tombe en panne momentanment, alors on va chercher reconstituer tout ou partie de linformation

manquante. Plus gnralement, pour des raisons conomiques videntes, il est impossible de

mesurer tout et partout: se pose alors la question de choisir des emplacements de mesures de

telle sorte qu partir de cette information il soit possible destimer les valeurs de la

variable hydrologique en tout point du champ spatial. Cest donc une sorte dinterpolation.

Dans tous les cas le principe est le mme: il sagit de reconstituer au mieux la ralisation

dun processus dont on en connait une partie, et ceci compte tenu des structures de processus

que lon mettra en vidence.

Transfert dinformation entre deux sites par rgression linaire: Considrons deux sries (par exemple de dbits en deux points dun mme cours deau), lune X1 de n observations xi(i) rgulirement espaces, et lautre X2 de p observations x2(i)

concommittantes avec une partie des observations de X1 (autrement dit p

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A noter que ce raisonnement fait deux dimensions peut stendre de faon analogue k

dimensions, cest dire lorsquil existe une relation Xk= q0+q1X1+....+qk-1.Xk-1 + e.

Interpolation spatiale par la mthode du Krigeage: Il sagit de calculer la valeur dune variable rgionalise en un point X non mesur, partir dobservations faites en k points Xk . Ceci est particulirement utile pour tracer des

courbes iso-valeurs dune grandeur rpartie spatialement comme par exemple la pluie.

On cherche alors approcher la valeur inconnue de Z(X) par une valeur approche

Z(X)=Sli(X).Z(Xi).

Si le processus est intrinsque et sans drive, cela signifie que la variable Z(X) est telle que

"x E[Z(x)]=m(x)=0

Var[Z(x)-Z(x+h)]= Variogramme = 2. F(h) (fonction appele variogramme ,

et ne dpendant que de h)

On calcule alors les li de faon que E[Z(X)-Z(x)]=0 et E[Z(X)-Z(x)]2= minimum. On

peut alors montrer [13] que cela revient rsoudre le systme:

Sli . gi,j + m = 0 ( j=1,...,k ) avec: gi,j =F ( distance[Xi;Xj] )

m = multiplicateur de Lagange

Sli = 1

La principale difficult de cette mthode est lestimation de la fonction F qui peut tre

sensible des phnomnes locaux et ponctuels. Cette estimation est ralise en utilisant les

covariances aux points observs selon leurs distances. Exemple schmatique :

Identifier g(h) partir des covariances

(Exemple emprunt Stphanie Bourgon de l'Universit Laval au Canada)

19

13

Les mthodesclassique destimation de (h) sont rsume ci-dessous :

Limportance du choix du modle est visible sur lexemple rel ci-dessous :

14

15

La mthode peut tre tendue au cas o la drive nest pas nulle, mais fixe, par exemple en

fonction des coordonnes gographiques des X.

Interpolation spatiale par lAnalyse en Composantes Principales:

Il sagit encore de calculer la valeur dune variable rgionalise Z en un point X non mesur, partir dobservations faites en k points Xk mais cette fois en supposant quil existe

un processus sous jacent Y; Autrement dit

Z(X,t)=SaX,i.Yj(t) + e(X,t) (j=1,...,k)

avec e(X,t) = rsidu en un point x (cart entre Z(X,t) et la partie explique par le

processus sous jacent, cest dire SaX,i.Yj(t) ).

Il faut donc identifier les aX,i et lesYj(t). Pour cela on va exploiter les covariances ri,j existant entre les Z(Xi, t) pour les diffrents i = 1,...,k, (ou sur leurs variables centres

rduites). Soit :

- R la matrice des covariances ri,j.

- lj ses valeurs propres, obtenues en rsolvant le dterminant de [R-lI] avec I=matrice unit, et ranges de la plus forte la plus faible.

- B=[bij] la matrice des vesteurs propres associs aux lj , et A=[aij]=B-1

=BT

Alors on peut montrer que les aij de la matrice A, et les Yj(t)= Sbj,i. Z(Xi, t) sont une

dcomposition possible des Z(Xi, t) initiaux, respectant la structure des corrlations.

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Il est possible de dfinir un processus sous jacent Y, obtenu en prenant non pas les k vecteurs propres, mais les plus essentiels, par exemple les p premiers: le pourcentage de

variance explique sera alors gale Lp / Lk , o Lp=Slj avec j= 1,...,p et Lk= Slj avec j= 1,...,k.

Dun point de vue pratique cela parmet de rechercher les 2 ou 3 facteurs explicatifs prpondrants dun phnomne spatial observ. Par exemple, pour expliquer les hauteurs de

plusieurs pisodes pluvieux, la cartographie des coordonnes dun vecteur propre peut aider

comprendre diffrents effets, comme leffet orographique.

Pourcentage de variance explique par les 30 premires composantes sur les hauteurs de pluies de 84 pisodes pluvieux observs en 73 stations des Cvennes:

Soulignons pour terminer que cette mthode peut tre trs intressante pour

optimiser un rseau, en montrant lapport

Exemple dACP sur des pluies mensuelles (BV Allier) daprs CREUTIN [12]

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dun point de mesure sur la variance explique, ou ce qui revient au mme sur les rsidus.

4. Les modles de simulation stochastique

objectifs et principes: Les modles de simulation ne cherchent pas reproduire une partie de la ralisation dun processus, mais gnrer des scnarios possibles dun processus dont on connait une

ralisation. Dun point de vue pratique ces scnarios, par exemple sil sagit de dbits,

peuvent tre utiles comme donnes dentre pour vrifier le bien fond dune gestion de crue,

pour calculer le bilan conomique de lexploitation dun rservoir, etc.

Les modles de simulation souvent sollicits pour dcrire les volutions temporelles, autant que spatiales, en gnrant des sries. Par exemple gnrer plusieurs centaines dannes

de dbits journaliers.

Leur principe est dutiliser des gnrateurs de variables alatoires qui devront respecter la structure statistique des processus reproduire.

Modle Markovien stationnaire dordre 1 Il sagit dun processus dont la variable alatoire X(t) peut se reprsenter par lquation suivante:

X(t)- m = r.[X(t-1)-m] + e(t). s.[1-r2]2

X= variable Normale (si ncessaire transforme de la variable initiale)

de moyenne m et dcart type s constants (processus stationnaire)

e = variable alatoire Normale centre rduite, indpendante de X et de

e(t-k)

r = constante

On peut montrer que r = E[(X(t)-m). (X(t-1)-m))]/s2

et plus gnralement rk= E [(X(t)-m).(X(t-k)-m)]/s2 = r

k.

1

r(k)

k

A noter que la gnration dune srie respectant ce processus Markovien de paramtres

[m;s;r ] consistera tirer au hazard une srie de valeurs {a1,a2,...ai,...an} suivant une loi

Normale centre rduite grce un gnrateur, puis gnrer le scnario:

X(1)=m + a1.s

X(2)=m + r.[X(1)-m] +a2 .s.[1-r2]2

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...............

X(i)=m + r.[X(i-1)-m] +ai .s.[1-r2]2 (i=3,....,n)

A noter que lorsque la moyenne et lcart type ne sont plus stationnaire, on peut parfois se ramener un processus analogue en effectuant le changement de variable

X(t)=[X(t)-m(t)]/s(t).

Modle Markovien gnral

Cette fois, la moyenne et lcart-type ne sont plus stationnaires, et la condition rk= rk

nest plus vrifie. Lexpression gnrale de ce modle scrit :

(X(t)- m(t))/s(t) = r.[(X(t-1)-m(t))/s(t-1)] + e(t).[1-r2]2

Ainsi un processus sera Markovien sil vrifie :

rt,t-2=rt.rt-1 rt,t-3=rt.rt-1.rt-2 etc...

t t-1 t-2 t-3

rt rt-1 rt-2

rt, t-2

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A titre dexemple, pour le Rhin Ble, les corrlations des dbits mensuels de la priode 1908-1926 taient:

mois rt.rt-1 rt,t-2 mois rt.rt-1.rt-2 rt,t-3

janv-fv 0.25 0.23 janv-avril 0.15 0.04

fv-avril 0.31 0.26 fv-mai 0.18 0.25

juin-aot 0.43 0.38 juin-sept 0.28 0.26

Ces valeurs montrent que la srie des dbits mensuels est assez bien reprsente par un processus de Markov de paramtres [m(t);s(t);r(t)] t=1,...12 o t est le numro de mois.

0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,125

0,15

0,175

0,2

0,225

0,25

0,275

0,3

0,325

0,35

0,375

0,4

0,425

0,45

Markov

Ob

se

rv

Modles Autorgressifs stationnaires: AR(p) Le modle rgressif voqu pour linterpolation, peut tre utilis en simulation: il suffit de

gnrer des rsidus e par tirage dans une loi Normale. Mais nous avons vu avec le modle de

Markov lintrt en simulation dun modle linaire qui prennent en compte non pas

seulement un processus support diffrent du processus tudi, mais galement les ralisations

antrieures de la variable elle mme. Sous lhypothse de stationnarit, ceci a t gnralis,

principalement par BOX et JENKINS [ ] en distinguant les modles autorgressifs simples

(AR(p)), les modles de moyennes mobiles (MA(q)) et les modles mixtes (ARMA(p,q)).

Lorsque des non stationnarits priodiques sont bien identifies, alors une version non

stationnaire de ARMA peut tre utilise: ARIMA(p,d,q) .

Commenons par le modle AR(p), dont la formulation gnrale est :

Z(t)=SFi.Z(t-i) + e(t) (j=1,...,p)

hypothses:

E[e(t)]=0

E[e(t). e(t-k)]=0 "k>0

E[e(t). Z(t-k)]=0 "k>0

Le processus tant stationnaire, on peut trouver un ensemble {Fi} qui respecte les covariances:

Sachant que E[e(t). Z(t-k)]=0, on a :

20

E[Z(t). Z(t-k)]=SFi. E[Z(t-i). Z(t-k)] ( i =1,...,p)

Do lon tire :

rk=SFi.rk-i ( i =1,...,p)

ou encore

[r]=[P].[F] avec

r1 F1 1 r1 r2 .......................rp-1

r2 F2 r1 1 r1 ......................rp-2

.. .. ........................................

[r]= rk [F]= Fk [P]= rk-1 .............1 r1 ........... rp-k .. .. ........................................

rp Fp rp-1 .................................1

Rsoudre ce systme, dit de YULE WALKER, revient calculer ainsi les Fi :

[F] =[P]-1

.[r]

Comme prcdement, la simulation dun scnario consiste tirer alatoirement des e(t), et

un terme Z(1) initial, puis, connaissant les ri et Fi, en dduire la srie des Z(t).

Les autres modles Autorgressifs : MA(q), ARMA(p,q) et ARIMA(p,d,q) Le modle MA(q), Moving Average ou moyenne glissante, exprime que le processus est une sorte de lissage dun processus sous jacent:

Z(t)= -SQ i. e(t-i) + e(t) ( i =1,...,q)

dans ce cas se

2= sZ

2 / (1+SQ i

2) et rk=[-Qk

2. SQ i.Qi+k]/(1+SQ i

2)

Le modle ARMA(p,q) combine les deux modles prcdents:

Z(t)=SFi.Z(t-i) -SQ j. e(t-j) + e(t) ( i =1,...,p) ( j =1,...,q)

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Enfin le modle ARIMA(p,d,q) est un cas particulier du modle ARMA appliqu une variable transforme: Z(t)= Z(t)-Z(t-d), de faon gommer les nonstationnarits de priode

d.

Les modles conceptuels Ces modles intgrent dans la structure du processus des lments physiques : ainsi le processus des dbits sera reconstitu soit en partant du processus des pluies, en utilisant une

schmatisation pluie-dbit trs globale, et en compltant par des termes alatoires dont les

caractristiques auront t identifis sur des ralisations concommitantes.

Exemple du modle vidange-impulsion: cest la combinaison dun modle stochastique simulant des pisodes pluvieux et dun modle pseudo-dterministe utilisant une relation pluie-dbit pour gnrer des dbits

journaliers complt par un terme alatoire.

Q(i)=qi.Q(i1) + mi. P(i) + e (i) o Q(i) reprsente le dbit moyenne observ au jour.i.; P(i) la pluie moyenne tombe le jourX;

qi le paramtre de tarissement de la nappe

mi est le paramtre de rponse la pluie (reprsente la raction la pluie) e (i) est un rsidu qui suit une loi normale centre, dcart-type s

Le paramtre de tarissement traduit la chute du dbit en labsence de pluie : on a alors un modle

autorgressif paramtre variable: Q(i) =qi . Q(i-1) + e (i)

La quantit mi. P(i) est interprte comme tant le volume de pluie efficace cest--dire la fraction de la pluie brute P(i) qui est suppose atteindre lexutoire du bassin par ruissellement superficiel.

Le schma ci-dessus reprsente, de faon simplifie, lvolution des dbits au cours du temps. On constate quil

y a dcroissance exponentielle des dbits en labsence de pluie (cest lalimentation par la nappe) et des sauts

sinon (cest le ruissellement conscutif une pluie).

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La qualit du modle dpendra la fois de lidentification du processus simulant les pluies et de la qualit du modle pseudo-dterministe simulant les alas de la raction pluie-dbit. Ce dernier peut tre contrl ds

quon connait des ralisations de pluies et de dbits concommitantes (figure ci-dessous):

Exemple du modle DEJOREG-TIERCELIN: le principe de schmatisation et de simulation reste le mme

que prcdemment, sauf que ce modle ne travaille pas sur des impulsions de pluies, mais sur des averses

de volume V(i) quil rpartit de faon triangulaite sur une dure T(i) (figure ci-dessous)

Exemple du modle DPFT: ce modle affine le devenir de la pluie prcipite en modlisant la part efficace de la pluie qui participe directement lcoulement (le reste tant infiltr ou vapotranspir), et

recompose les dbits partir des pluies nettes successives (schmatisation linaire comme lhydrogramme

unitaire).

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Ainsi la pluie efficace PE se dduit de la pluie brute P: PE(i)=P(i)2 / [P(i)=b(i)] o b(i) est une fonction de ltat du sol au moment de laverse. Les dbits se calculent par une expression de la forme: Q(j)=Q(j-1)+Sli. PE(i)+e(j) o les sont des coefficients. Lidentification des b(i) et desli est itrative et fait loriginalit de la mthode.

Exemple des modles rservoirs: en modlisant les stocks et les flux globaux pour mieux prciser le devenir de la pluie, on atteint le stade le plus explicatif des modles conceptuels. A titre dexemple voici un shma de ce type de modle:

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5. Les modles de prvision

objectifs et principes: Les modles de prvision cherchent, un instant donn t, prvoir pour des instants

futurs (t+Dt) le devenir dune ralisation connue jusqu t. Par exemple, connaissant jusqu

aujourdhui le dbit dun cours deau en un point donn ainsi que les prcipitations en

quelques endroits du bassin versant, comment prvoir le dbit du mme cours deau, au mme

endroit, demain, aprs demain, etc...?

Leur principe est finalement proche des modles de simulation: chaque pas de temps t, prvoir revient gnrer un, ou plusieurs scnarios, pour en tirer le comportement futur le

plus probable, conditionn linformation connue. Pratiquement tous les modles passs en

revue pour simuler, sont utilisables en prvision.

Ce qui distingue les modles de prvision des modles de reconstitution, cest dune part le traitement qui est fait des erreurs, et dautre part lintgration de linformation connue,

parfois appele a priori. Des procdures ont t labores, consistant utiliser plusieurs

modles en parallle, analyser leurs erreurs, et ajuster la prvision en mixtant ou en

slectionnant les rsultats de ces modles en fonction de leurs erreurs passes.

Nous nen dirons pas plus sur les modles de prvision, mais si nous avons tenu garder un paragraphe spcifique ces modles de prvision, cest bien pour souligner ces diffrences

dutilisation entre simulation et prvision, mme si le coeur des modles utiliss sont les

mmes.

6. Les modles de prdtermination

objectifs et principes: quand il faut dimensionner un pont pour quil laisse passer une crue sans dommage, on ne sintresse pas au moment o la crue se produira, on ne cherche

donc pas prvoir, mais valuer la probabilit doccurence quune crue ne dpasse une

valeur critique: cest la prdtermination.

On choisira une ou plusieurs variables utiles pour le projeteur, et on valuera la probabilit doccurence de ces variables pendant une dure de rfrence. Cest par exemple

pour le pont, la probabilit que le dbit maximum dune crue ne dpasse une valeur Qc au

cours dune anne. On est davantage dans une problmatique de risque qui associe probabilit

doccurence dun vnement et dommages associs.

choix des variables alatoires: les variables qui peuvent intresser lhydrologue sont trs diverses: des pluies, dbits, tempratures, maximaux instantans ou moyens pendant une

priode, des volumes ou des dures au dessus ou au dessous de certains seuils, etc...variables

qui concernent aussi bien les crues, les tiages, les scheresses, et bien dautres phnomnes.

Pour des raisons de simplicit, on ne traitera dans la suite que des variables une dimension Z(t).

25

fonction de rpartition, priode de retour, intervalles entre crues, probabilit doccurrence: Considrons une variable Z(t) dont nous connaissons la fonction de rpartition, cest

dire F(Z)=Prob[z[Z, au cours dune dure Dt donne].

Alors on appelle priode de retour T(Z) la grandeur: T(Z)= Dt / [1-F(Z)]. Par exemple, la crue correspondant au dbit qui a une chance sur 100 dtre dpass lanne venir est de

priode de retour 100 ans: cest la crue centennale.

On entend souvent dire que la crue de priode de retour T revient en moyenne toutes les T annes: cest vrai au sens statistique si la stationnarit est parfaite. Mais bien

videmment les crues ne se produisent pas intervalles rguliers. En fait le processus

darrive des crues est poissonien: autrement dit lintervalle de temps IT sparant deux crues

successives de priode de retour T est uneloi exponentielle: Prob[IT>t]=exp(-t/T). A partir de l on peut calculer la probabilit doccurence dobserver au moins K crues

de priode de retour T en t annes:

Ces calculs sont intressants pour juger des risques globaux encourus par un ouvrage de dure de vie fixe.

les lois classiques:

Lobjectif est de trouver une loi thorique dont on puisse montrer quelle reprsente bien la fonction de distribution du processus tudi. Nous verrons plus loin comment ajuster plusieurs

lois partir des observations et en choisir une.

Mais commenons par lister les lois les plus frquemment utilises en hydrologie: Loi Normale : F(Q) = exp [- ] . dt

Loi Log.Normale : F(Q) = exp[ - ] . dt

Loi de Gumbel (ou Valeurs extmes) : F(Q) = exp [-exp (- ) ]

Loi de Frchet : F(Q) = exp [-exp (- ) ]

1

2p b

Q

-

1 t-a 2

2 b

1

2p b

Q

-

1 log t-a 2

2 b

Q-a

b

log Q-a

b

26

Loi de Pearson : F(Q) = exp [- a (t b) ].[ a (t b) ] g-1

dt

Lois exponentielles : F(Q) = 1 exp [- r (a b)p ]

Loi de Poisson : P(n) = e m

. mn

/ n!

Dans ces lois les a, b,.... sont des paramtres qui doivent tre estims comme indiqu au prochain paragraphe.

lestimation des paramtres des lois:

Comment estimer les paramtres a et b de faon ce quune loi reprsente bien la distribution inconnue, dont on ne connait quune ralisation au travers dune srie de

Nobservations {Qi}? Voici les deux mthodes les plus frquemment utilises :

La mthode des Moments consiste verifier que les premiers moments de la loi et les

moments empiriques des observations concident, autrement dit :

m (a, b,.) = Q dQ et s (a, b,.) = [Q - m (a, b,.) ]2. dQ

La mthode du Maximum de Vraisemblance attribue les valeurs des paramtres qui maximisent la probabilit davoir observ les observations. Cette probabilit est appele

Vraisemblance de lchantillon. Elle scrit :

V(a,b,) = f (Q1,a,b,) . f (Q2,a,b,) . f (Q3,a,b,) . f (QN,a,b,)

Maximiser cette Vraisemblance par rapport a, b,etc, revient rsoudre le systme ci-dessous :

= 0 = 0 etc Comme prcdemment, le calcul des paramtres se dduit de la rsolution de ce systme. Pratiquement la mthode des Moments est souvent employe car les calculs sont plus simples

que ceux de la mthode du Maximum de Vraisemblance. Cependant on utilisera cette dernire

chaque fois que possible car elle est plus performante: on peut montrer quavec le mme

nombre N dobservations ses estimations convergent plus rapidement.

Comment apprcier la bonne adquation des lois? graphique et test du c 2

a G( g )

Q

e

-

F Q

-

F Q

V(a,b,) a

V(a,b,) b

27

Un ajustement graphique permet de voir si la forme de la loi F est bien celle de la distribution des Q1 observs. Pour cela on range les Q par ordre croissant QI 5 sinon

regrouper 2 classes) et soit NTi = N/K le

nombre quon aurait d avoir si on

suivait parfaitement la loi F(Q), alors la

quantit

c 2= S[(NOi - NTi)2 / NTi] i=1,...,K

suit une loi de c 2 n degrs de libert,

avec n=K-1-NPA o NPA est le nombre

de paramtres de F.

Enfin on sassure que le c 2 obtenu est infrieur la valeur thorique

correspondant au risque a accept (5%

par exemple) et au nombre de degrs de

libert (voir table du c 2).

les hypothses de base: homognit, indpendance et stationnarit

Les estimations seront solides condition quaucun phnomne parasite et systmatique

ne soit intervenu: drive dans le temps des sries par lamnagement des cours deau,

vnements dimportance ou dorigines trop diffrentes, interdpendance entre les

vnements,etc...

Les contrles sont faire au cas par cas. Il faut sassurer notament que les vnements de

lchantillon seront bien reprsentatifs des vnements dont on cherche lestimation: par

exemple les crues en dessous dun certain niveau ont peu avoir avec des vnement de

28

priode de retour 1.000 ans, et peuvent masquer par leur nombre les quelques fortes crues

disponibles. Voici cependant trois contrles frquemment

utiliss:

- Homognit saisonnire (figure ci-contre): si les vne ments au cours de

lanne sont homognes, les estimations

seront cohrentes avec lestimation

annuelle si:

Fannuelle(Q)= Fhiver(Q).Fprintemps(Q).

Ft(Q).Fautomne(Q).

- Indpendance des vnements successifs: parfois un vnement et le suivant peuvent

avoir une relation entre eux (scheresse

par exemple) alors mme que les

estimateurs utiliss suppose

lindpendance. Ceci est facilement

vrifiable en calculant le coefficient

dautocorrlation de pas 1 et en testant

lhypothse quil est nul.

Stationnarit: que les caractristiques statistiques

soient invariantes avec le temps est videmment indispensable pour la crdibilit de

lestimation. Plusieurs tests peuvent tre faits sur diverses caractristiques: lun des plus

faciles est la comparaison des moyennes. Si on coupe en deux lchantillon initial, et quon

calcule les moyennes m et m, ainsi que les carts-type s et s de chaque sous-chantillon de

longueur n, alors la grandeur

t = n . (m-m) / (s2+s2)

suit une loi de Student 2n-2 degrs de libert.

incertitudes et intervalles de confiance Du fait de la longueur limit N observations, les estimations de probabilit des dbits

(ou de toute autre variable tudie) sont entaches dune incertitude, dite

dchantillonnage, fonction de N, mais galement de lestimateur utilis.

Une faon de quantifier cette incertitude est lIntervalle de Confiance, cest dire les

limites entre lesquelles il y a a% de chances que se situe la vraie valeur inconnue: par

exemple si la crue centennale a t estime la valeur la plus probable 250m3/s, on pourra

calculer quil y a 70% de chances que la vraie valeur se situe entre 220 et 285 m3/s. A

noter que le choix de la valeur a% est arbitraire comme dans tout test, et que les 70% de

lexemple ne sont que la valeur la plus couramment utilise de faon avoir des

intervalles sensibles lchantillonage sans tre xagrment larges et inutilisables par le

projeteur.

29

En effet lorsquon fournit un projeteur une estimation, il est absolument ncessaire de lui fournir une ide du risque derreur dvaluation associ: mme sil nintgre pas toujours

cette information dans son analyse conomique, cela reste un lement de dcision aussi

important que lestimation elle mme: dune certaine faon louvrage sera expox un

risque qui combine la fois lala naturel et celui de lestimateur.

Il faut souligner que cette problmatique de prise en compte de lincertitude se pose

galement pour les modles de prvision, avec toutefois, on a vu, la particularit de

pouvoir intgrer les erreurs passes dans les prvisions.

Pour les principales lois voques prcdement, on trouvera en annexe 1 une aide au

calcul pour raliser leurs ajustements et proposer des estimations.

30

DEUXIEME PARTIE : LA PREDETERMINATION DES DEBITS DE CRUES

Ds que l'on veut construire un pont, un barrage, un ouvrage fluvial expos aux dbits

extrmes, se pose le problme du dimensionnement : qu'il s'agisse de l'application d'une

norme ou du rsultat d'une tude conomique, on est forcment amen choisir un dbit, et

donc un risque de dpassement de ce dbit. Une erreur sur le risque associ ce dbit, peut

avoir des consquences catastrophiques, d'un point de vue conomique (ruine de l'ouvrage),

humain parfois (rupture de barrage par exemple).

1. quelle variable faut-il tudier ?

Dune faon gnrale cest lutilisation qui dtermine le choix de la variable: pour une

installation qui subira des dommages importants ds le dbut de la submersion, ce sera la

hauteur maximale atteinte par la crue, sil sagit dun dversoir dimensionner ce sera le dbit

maximum instantan voire lhydrogramme de crue complet, pour grer un rservoir les dbits

ou les volumes au dessus dun seuil seront plus pertinents, alors quenfin pour un producteur

agricole ce pourra tre la dure de submersion.

La probabilisation des hauteurs est cependant dconseille car:

Si la srie des dbits de crues est souvent relativement stationnaire, celle des hauteurs l'est rarement : il arrive souvent que deux crues, loignes dans le temps, aient eu le mme niveau

maximum avec pourtant des dbits sensiblement diffrents. Il suffit pour cela que le profil en

travers varie (creusement ou apport dus aux crues passes, travaux de protection, etc...).

Le point ci-dessus implique qu'il est peut-tre possible de trouver des lois de probabilits stables et ayant un sens physique, pour les dbits, mais bien rarement pour les hauteurs. Ceci

s'explique par le fait que les dbits sont le rsultat d'un ensemble de phnomnes

hydrologiques, assez rguliers. Par contre les hauteurs mlangent la fois l'aspect

hydrologique et l'aspect hydraulique, tout fait local, et modifiable dans le temps.

Comment valuer l'effet d'un barrage amont qui gre des dbits ? Le seul moyen est de repasser, au moins provisoirement, en dbit : donc autant probabiliser directement les

dbits.Une tude en dbit reste valable dans l'avenir : il est plus facile de rpercuter les

modifications locales de l'coulement pour retrouver la cote associe un risque fix. Par

contre une tude en hauteur devra tre reprise au dbut.

Enfin il est plus facile de vrifier la compatibilit des estimations en dbit de plusieurs stations d'une mme rivire.

Ce qui vient d'tre dit a des consquences propos des mesures : on trouve dans les archives

de nombreux renseignements sur des hauteurs de crue, mais souvent ils sont inexploitables.

En effet deux crues dcrites comme diffrentes donnent des hauteurs semblables (obstruction

d'un

31

pont, prise en glace, etc...) et rendent inutile cette information, qui aurait t prcieuse si une

valuation mme grossire du dbit avait t faite. Une crue n'est correctement et utilement

dcrite que si son dbit est estim.

La variable la plus frquemment probabilise est donc le dbit moyen journalier maximum de

la crue. Cependant on est souvent intress par le dbit maximum instantan de la crue

(problme de submersion). L'cart entre maximum journalier et moyenne journalire est

parfois important et doit tre analys partir d'hydrogrammes continus.

2. quelle mthode employer ?

Le choix est si grand que le non-spcialiste s'y perd un peu, et que certains pays ont tout

simplement normalis, par textes de loi, l'analyse des dbits extrmes. Or, y regarder de plus

prs, beaucoup de mthodes ont des principes communs, avec des variantes statistiques

mineures.

Les mthodes probabilistes qui qui nous intressent peuvent se ranger en trois catgories :

les mthodes danalyse du processus des dbits, les mthodes hydromtorologiques qui intgrent linformation pluviomtrique, les mthodes de simulation stochastiques.

Les mthodes de simulation stochastiques, en modlisant statistiquement les processus

l'chelle journalire ou mensuelle, et en gnrant des scnarios sont trs utiles pour tudier par

simulation, des variables complexes, mais elles contrlent mal les incertitudes, ce qui limite la

validit des extrapolations. Comme elles sont nettement moins employes, nous ne les

aborderons pas ici.

Les mthodes hydromtorologiques sont fiables et oprationnelles pour des bassins versants

limits et homognes. Elles ont galement l'avantage d'analyser les vnements gnrateurs,

et d'tre ainsi plus proches de la physique des phnomnes. Nous en prsenterons la plus

utilise: la mthode du GRADEX.

Nous dtaillerons et illustrerons naturellement les mthodes danalyses des dbits, sous leur

forme traditionnelle (mthode des Maxima Annuels) ou plus rcente (mthode du

Renouvellement).

Nous dirons un mot enfin des mthodes empiriques ou dterministes qui en maxi-

misant les phnomnes n'valuent pas clairement les risques.

3. La mthodes des MAXIMA ANNUELS

Le recueil et la critique des donnes ayant t pralablement faits, on dispose au dpart dune

chronique de dbits journaliers, et on veut dterminer Prob[q*

32

Lchantillonage

Pour constituer lchantillon de travail, lide vient naturellement dextraire le dbit le plus

fort de chaque anne :

On obtient donc un chantillon {q*i} o i varie de 1 NA (nombre dannes). La marche suivre est ensuite la suivante:

- Aprs avoir rang ces q*i du plus fort au plus faible, on associe chacun une frquence empirique fi = i / (NA+1).

- On vrifie les hypothse dindpendance et de stationnarit.

- Puis on choisit parmi les lois classiques (Normale, Log Normale, Gumbel, etc...) celle qui s'ajuste le mieux l'chantillon des crues maxima annuelles observes (voir 1re

Partie et annexe1).

- La meilleure loi F(Q) tant choisie, on pourra dire que

la crue Q est de priode de retour T =

Inversement T donne on pourra dterminer QT = F-1

(1 1/T)

- Il conviendra enfin d'indiquer quelle est la qualit de l'estimation au moyen des trois renseignements suivants :

~ l'ajustement graphique est-il bon, ou bien y a-t-il des anomalies locales

(dispersion) ou gnrales (courbures ou cassures) ? Q est-il dans une zone loigne

ou non de celles des observations (extrapolation) ?

~ rsultats du test du X2 (dispersion);

1

1 F(Q)

33

~ les limites de l'intervalle de confiance a % (l'usage est de prendre pour les crues

70% mais ce choix doend des consquences d'une erreur d'estimation).

Force et faiblesses

La force de cette mthode est sa simplicit, et on en trouvera une illustration en 3me Partie.

Elle nest cependant pas exempte de critiques:

L'aspect processus de la srie des dbits d'une rivire est compltement ignor : on se ramne un problme de tirage dans une urne. La mthode est particulirement simple, par

contre elle nglige beaucoup d'information : toutes les fortes crues qui n'ont pas eu la

chance d'tre le maximum de l'anne o elles se sont produites. Cette information oublie

fait cruellement dfaut lorsque l'chantillon est court.

Certaines annes la crue maximum annuelle n'a pas t forte : ce type de crue faible n'a pas grand chose voir avec les crues importantes dont on veut connatre la probabilit.

L'hypothse dhomognit de l'chantillon est donc mal vrifie.

Toutes ces raisons ont conduit dvelopper la mthode du RENOUVELLEMENT qui est

dcrite au paragraphe suivant.

4. La mthode du RENOUVELLEMENT

On veut toujours dterminer F(Q)= probabilit annuelle [q < Q], c'est--dire la probabilit

que le dbit le plus fort de l'anne ne dpasse pas Q.

Lchantillonage

Considrons la srie des dbits moyens journaliers observs. Cette srie est une ralisation

du processus des dbits journaliers.

On commence par ne retenir de ce processus que la partie qui contient de l'information utile

pour la connaissance des fortes crues. Pour cela on se fixe un seuil S et on conserve les dbits

suprieurs.

34

On obtient ainsi une srie de chapeau d'hydrogrammes dpassant le seuil S, dont on ne

retient que le maximum.

On limine les maxima faisant visiblement partie de la mme crue (le point B sur le schma

prcdent), car ils mettraient en dfaut lhypothse

dindpendance.

On devine ainsi l'effet du seuil S :

plus S est lev, plus les crues seront fortes et indpendantes, et plus l'chantillon sera homogne,

plus S est bas, plus nombreuses seront les crues retenues ce qui amliore l'chantillonnage.

Le choix de S est donc un compromis: en pratique l'tude de 2 ou 3 seuils suffit pour trouver

la bonne valeur, en sassurant quautour de cette valeur les estimations ne doivent pas varier

de faon importante.

35

Finalement on se retrouve la tte de deux chantillons:

les dbits maxima des crues suprieurs S: {q i } i=1,.....,NC (NC=nombre total de maxima de crue) les dates doccurence de ces maximas. En fait on va remplacer ce deuxime chantillon par la srie des nombres de maxima observs chaque anne.

{n k } k=1,.....,NA (NC=nombre dannes)

Le contrle des hypothses

Lhypothse dindpendance se contrle classiquement par le calcul du coefficient

dautocorrlation de pas_1. Autrement dit on vrifie que le coefficient de corrlation des deux

sries X et Y ci dessous nest pas significativement diffrent de 0:

X={q 1,q 2,......................,q NC-2,q NC-1}

Y={q 2,q 3,.......................,q NC-1 ,q NC}

Lhypothse de stationnarit peut tre vrifie par le test sur les moyennes. Une autre faon

consiste montrer que les dates doccurrences de crues suprieures au seuil S sont

uniformment rparties dans le temps:

Pour cela on trace les crues par ordre d'arrive. Il y a stationnarit si la courbe (C) serpente

bien autour de la droite (D). L'hypothse sera fausse si au contraire la courbe (C) se trouve

systmatiquement au-dessus ou bien en dessous, de (D).

Quantitativement on peut tudier la variable alatoire constitue par les dates d'occurrence des

crues observes : t1, ..., tN,.

Elles doivent tre uniformment rparties sur l'intervalle [t0,tN+1]. Dans ces conditions la

moyenne thorique m = (tN+1 + t0)/2 est comparer avec la moyenne observe m* = (Sti)/N

et la variance thorique s2

=( tN+1 - t0)2/12 est comparer avec la variance observe s*. Si

36

on admet que la variable u = N1/2

.(m-m*)/s suit une loi normale, on pourra accepter

l'hypothse de stationnarit avec un risque 5 % de se tromper chaque fois que u < 1,96 .

Le modle de Renouvellement

Soit q la crue la plus forte de l'anne. On veut dterminer :

F(Q) = Prob [q < Q].

Nous allons construire le modle en dcomposant cette probabilit en deux : la probabilit de

dpasser le seuil S un nombre de fois k dans lanne, et la probabilit de ne pas dpasser le

niveau Q bien quayant dpass S. On applique simplement les rgles de composition des

probabilits d'vnements indpendants :

Prob [q < Q] = Prob [Au cours de l'anne, $ 0 crue > S]

+ Prob [Au cours de l'anne, $ 1 crue > S et < Q]

+ Prob [Au cours de l'anne, $ 2 crues > S et toutes < Q]

..............................

+ Prob [Au cours de l'anne, $ k crues >S et toutes < Q]

........... .

en abrg :

Prob [q < Q] = S Prob [Au cours de l'anne, $ k crues >S et toutes < Q] k=0,.....,

ou encore :

Prob [q < Q] =S P(k).G(Q)k k=0,........,

O P(k) est la probabilit dobserver exactement k crues suprieures S en un an. On

constate en pratique que la loi de Poisson P(k) = e-m

. mk

/ k! sajuste bien aux observations,

sauf dans quelques cas rares la loi Binmiale Ngative la remplacera.

G(Q) est estime par une loi de type exponentielle. Elle sajuste trs classiquement

lensemble des dbits maximaux des crues ayant dpass le seuil S. La qualit dajustement

doit toujours tre vrifie grapgiquement et par le test du c2 . En gnral, lune des eux lois

ci-dessous convient :

G(Q) = 1 - e loi exponentielle simple

G(Q) = 1 - e loi de Weibull

-r(Q-S)

-r(Q-S)p

37

Lorsqu'on s'intresse des crues rares, la Prob [q < Q] peut tre approxime par une relation

trs simple. En effet si la crue est rare cela signifie que G(Q) est proche de l :

F(Q)=Prob [q* < Q] =S P(k).G(Q)k

F(Q)Y S P(k).{ l - k[1 - G(Q)] }

F(Q) j l - N.[l- G(Q)]

o N est le nombre moyen annuel de crues dpassant S ( N =S k.P(k) )

Exemple d'application simple : On veut connatre la crue centennale d'une rivire dont on

dispose de 30 ans de relevs hydromtriques. On s'est fix un seuil S = 100 m3/s, on a observ

100 crues suprieures S et de moyenne 150 m3/s. Si ces crues suivent une loi G(Q)

exponentielle simple, on aura :

F(Q)=Prob [q* < Q] 1 - (100/30).exp[-(Q-100)/(150-10] F(Q)=Prob [q* < Q] 1 -3,33.exp[-(Q-100)/50] Ainsi la crues centennale Q100 390 m3/s

Remarques Tout ce qui vient d'tre dit pour l'anne (maximum annuel, nombre de crues par an

suprieures S, etc...) peut tre transpos d'autres chelles de temps : le mois, la saison,

etc... Il importe seulement de ne pas mlanger des rgimes diffrents : ne pas traiter l'chelle

mensuelle l'ensemble des crues d'hiver et d't, car le nombre moyen mensuel de crues est

diffrent en hiver et en t et la loi P(k) est galement diffrente. Par contre on peut faire une

tude l'chelle mensuelle si on dsire tudier les crues d't et que l'on ne retienne que les

dbits de juillet-aot : le rsultat final sera la probabilit de la crue maximum de ces deux

mois, ou de l'un d'entre eux (ceci intresse ceux qui doivent effectuer des travaux dans le lit

d'une rivire et qui veulent savoir quels risques ils s'exposent selon le mois).

II existe des variantes de ces mthodes (lois tronques sur les Maxima Annuels,

Renouvellement avec variations saisonnires des paramtres, etc...) mais leurs principes de

base se ramnent pratiquement toujours ceux qui ont t dcrits.

Lestimation des parametres du Renouvellement

La forme la plus usuelle de la fonction de rpartition par le Renouvellement scrit donc :

F(Q) = Prob [ q* < Q] = S P(k).G(Q)k k=0,.....,

Avec P(k) = e-m

. mk

/ k! et G(Q) = 1 - e

Il sagit de dterminer les paramtres r, m et p de ces lois partir des crues observes. Pour

cela, nous allons utiliser les deux chantillons que nous avons constitus, savoir :

Les dbits maxima des crues suprieures S : {Qi} i = 1, NC (nombre de crues >S)

-r(Q-S)p

38

Les nombres de crues suprieures S chaque annes : {nk} k = 1, NA (nombre dannes)

Lestimateur utilis est celui du Maximum de Vraisemblance (voir annexe 2 le dtail du

calcul).

Les paramtres r*, m* et p* optimaux sont les rsultats du systme ci-dessous, rsolu par

approximations successives :

m

= NC / NA

r = NC / S (Qi S)p

NC/p + S log(Qi S) . S (Qi S)p.log(Qi S) = 0 Ce jeu de paramtres r*, m* et p* trouv, il reste vrifier que les lois choisiees conviennent

bien, aussi bien graphiquement, quavec les test de type c2.

Il devient alors possible de calculer le dbit de la crue de priode de retout T :

QT = S +

A noter le cas particulier de la loi exponentielle simple qui nest autre que la loi de weibull

avec un paramtre p* gal 1: F(Q) = 1 - e-r(Q-S)

Dans ce cas le calcul des paramtres est immdiat: m* = NC/NA et r* = 1 / ( SQi - S)

Le calcul des incertitudes

Les valeurs trouves des paramtres m*, r* et p* ne sont que des estimations de leurs vraies

valeurs m, r et p inconnues. Autrement dit, m*, r* et p* nous apparaissent comme des

variables alatoires, dont on peut montrer quelles suivent une loi Normale, avec une matrice

de covariances explicitement calcule en annexe 2. On en dduit la variance de QT :

Var (QT ) = .Var r* + .Var m* + .Var p*

+ 2. .Cov r*p* - 2. . .Cov r*m*

- 2. .Cov m*p*

NC

S (Qi S)p

Log (m*T) 1/p*

r*

(QT S)2

r*2. p*

2

(QT S)2(1-p)

r*2. m*

2.p*

2

(QT S)2.log

2 (QT S)

p*2

(QT S)2.log (QT S)

r* . p*2

(QT S)(2-p)

r*2. m* . p*

2

(QT S)(2-p)

. log (QT S)

r*. m* . p*2

39

Si on fait ensuite lapproximation que QT suit une loi Normale, on en dduit lintervalle de

confiance 70%: [Q1;Q2] avec Q1= QT - 1,04.sQ et Q2= QT + 1,04.sQ

Linformation historique Lintervalle de confiance calcul ci dessus prend en compte les incertitudes dchantillonage

lies la taille limite de lchantillon. Il existe dautres sources dincertitudes trs

difficilement quantifiables: les erreurs de mesures qui peuvent entacher les donnes,

linadquation toujours possible des lois retenues surtout pour les trs grandes crues, des

dfauts de stationnarit, etc.... Pour sen prserver partiellement, il est vivement conseill de

rechercher linformation historique.

Longtemps nglige, parce que considre comme peu sre, l'information historique, c'est--

dire les renseignements sur des crues anciennes, particulirement fortes, au cours des 100 ou

200 dernires annes, est en fait capitale et mme dans certains cas plus prcieuse que la srie

des observations rgulires : par exemple si on dsire estimer la crue centennale, la

connaissance des 2 ou 3 plus forts vnements du sicle pass est plus importante qu'une

dizaine d'annes de dbits.

Supposons donc qu'une analyse critique ait permis de rassembler un catalogue des NP plus

fortes crues en NAS annes supplmentaires, et qu'elles soient ranges par ordre dcroissant.

Comment prendre en compte ces crues ?

La technique classique, utilise pour la mthode des Maxima Annuels, consiste affecter

chaque crue une probabilit empirique [ fi = i / (NAS+1)] et reporter les points reprsentatifs

de ces crues sur le graphique d'ajustement des crues de l'chantillon rgulier. On vrifie ainsi

que ces crues exceptionnelles sont compatibles avec le modle statistique retenu.

Ce procd est simple mais il offre deux inconvnients : d'abord il ne comporte pas de critre

clair pour accepter ou refuser un ajustement en fonction des carts observs, d'autre part

mme si les carts sont acceptables, on ne corrige pas la loi initiale en tenant compte de ces

crues historiques.

De son ct la mthode du Renouvellement peut intgrer facilement cette information : il

suffit dans le calcul de la vraisemblance de l'chantillon, d'introduire galement la

vraisemblance des crues historiques . On crira :

VT = V1 * V2

avec VT= Vraisemblance globale des deux chantillons

V1= Vraisemblance de lchantillon des crues rgulirement observes

V2= Vraisemblance de lchantillon des crues historiques

Le calcul de V1 est le mme que prcdemment. Tandis que V2 est la probabilit davoir

observ en NAS annes supplmentaires, dune part les crues de lchantillon, et dautre part

que toutes les autres crues suprieures S taient infrieures QNP.

40

Le calcul dtaill est fourni en annexe 2: le systme rsoudre pour avoir les nouvelles

valeurs de r, m et p, ainsi que est peine plus compliqu quavant.

En guise de conclusion concernant la mthode du Renouvellement, son domaine de validit,

comme dailleurs celui de la mthode des Maxima Annuels, est plutt celui des grands bassins

versants (plus de 10.000 km2). En effet ses estimations sont fondes sur des vnements

courants, dont le hasard des combinaisons est bien reprsent par les lois retenues. Ds que

lon veut estimer des vnements de priode de retour leve (100 1.000 ans), elle ne

conviendra pas pour les petits bassins versants o des effets tout fait locaux (orages par

exemple), parfois jamais mesurs aux points dtude, peuvent devenir dimensionnants.

La mthode du Gradex qui intgre dune certaine faon la physique des phnomnes

extrmes, prsente lavantage dtre bien adapte ces cas l.

5. La mthode du GRADEX

Avec la mthode du GRADEX nous abordons une autre classe de mthodes: celles qui

utilisent linformation hydromtorologique, cest dire la pluie gnratrice des coulements.

Ainsi on dispose de deux chantillons : un chantillon de pluies pas de temps fin (horaire

par exemple) et de dbits journaliers complts par quelques hydrogrammes de crue pas de

temps fin galement.

Principes, hypothses et domaine de validit Le postulat de base de la mthode est quil doit y avoir une relation entre la distribution des

dbits et celle des pluies gnratrices puisque les dbits sont forms par les pluies. Cette

relation est elle simple?

Dans certaines conditions dcoulement extrmes (crues exceptionnelles), oui : le sol est si

satur que tout accroissement de pluie va se traduire, exprim en volume, par le mme

accroissement en dbit. Autement dit tout ce qui est prcipit, ruisselle. Si la distribution de la

variable alatoire pluie est exponentielle, alors on peut montrer que celle des dbits dans ces

conditions extrmes est asymptotiquement exponentielle, et que ses paramtres se dduisent

de ceux des pluies. Examinons les hypothses qui correspondent ces conditions:

Hypothse 1: la distribution des precipitations moyennes sur un bassin pendant une dure

t de quelques heures ou quelques jours est de type exponentiel: F(P)]= 1 - constante.exp(-

P/at

). On peut

41

montrer quil sen dduit que la distribution des prcipitations maximales annuelles,

moyennes sur un bassin pendant quelques heures ou quelques jours est de type GUMBEL:

F(P)]= exp {-exp[ -(P0 - P)/ at] }

o P0 est une constante, ainsi que at qui est appel Gradex.

Hypothse 2 : si le dbit dpasse une certaine valeur (qui selon les sols peut varier du dbit dcennal au dbit cinquantennal), alors le sol est satur, de sorte que, pendant le temps

de base de ruissellement t, tout accroissement de pluie gale le mme accroissement en dbit,

autrement dit: dQ=dP.

Le mcanisme de saturation progressive au cours dune averse peut se traduire sur la figure ci-

dessous :

42

Le corollaire de cette hypothse combine la prcdente est que la distribution des dbits

sera asymptotiquement exponentielle, et de mme paramtre at

que celle des pluies.

Ds lors lestimation du dbit Qt

de priode de retour T sestime ainsi :

t t

tQ (T) = Q (T ) + a log (T / T ) 0 0 avec T > T0

et T0 est une priode de retour au-del de laquelle le sol est satur.

Hypothse 3: le rapport moyen, appel coefficient de forme, entre le dbit maximum

instantan dun hydrogramme de crue, et le dbit maximum moyen sur la priode t est

indpendant du dbit. La figure ci-dessous, concernant le rapport dbit maximum/dbit

moyen, est tablie chaque tude:

43

La premire et la troisime hypothses sont assez facile vrifier: les nombreux ajustements

de lois de GUMBEL sur des chantillons de pluie et les graphiques dbits de pointe/dbits

moyenns sur une dure t ont permis de montrer, hormis quelques cas rares, le bien fond de

ces hypothses. Reste la deuxime hypothse concernant la relation pluie/dbit: cest elle qui

fixe dune certaine faon le domaine de validit de la mthode. En effet on imagine bien que

la saturation de lensemble du bassin sera dautant plus vite atteinte que les sols sont peu

permables, et que le bassin versant est de petite taille (50 1.000 km2) pour tre arros de

faon homogne. Le choix de la priode de retour T0 est faire au cas par cas : elle doit tre

suffisement leve pour que la saturation soit bien garantie au-del de ce seuil.

Les tapes du calcul par la mthode du GRADEX Description des phnomnes et critique des donnes: comme pour toutes les mthodes le premier travail est la description hydroclimatologique et la critique des donnes. La mthode

du GRADEX demande en plus de constituer un chantillon pluviomtrique qui est en fait le

rsultat dune tude: en gnral on dispose deplusieurs sries pluviomtrique, et par des

analyses dinterpolation comme celes voques en premire Partie, on reconstitue une

chronique destimation de la lame deau moyenne.

Analyse des hydrogrammes : on en dduit le pas de temps t retenir (on arrondit celui

des donnes), et dautre part on tablit le coefficient de forme. En outre on value le dbit de

rtention limite partir duquel la saturation est suppose atteinte.

Calcul du Gradex des pluies : on estime pour chaque saison le Gradex en ajustant les pluies de la saison une loi de Gumbel, et on en dduit le Gradex annuel qui,

asymptotiquement, est le plus fort des Gradex saisonniers.

Calcul du dbit limite de rtention: on estime le dbit dcennal (ou plus si ncessaire) en appliquant la mthode des Maxima annuels ou du Renouvellement la srie des dbits

observs (moyens sur la dure t).

Calcul du dbit maximal instantan de priode de retour donn: aprs avoir calcul le Gradex Instantan partir du Gradex moyen (a=a.r o r est le coefficient de forme), on

tablit la distribution des dbits instantans traant la loi de Gumbel de paramtre a partir

du dbit limite de rtention.

44

Pour terminer soulignons que cette mthode est bien adapte aux estimations dvnements

extrmes (crues dcamillnnales) car lhypothse lie la saturation est dautant mieux

vrifie que le dbit est important.

6. Conclusions sur la prdtermination des crues

Nous venons de voir les trois mthodes de prdtermination des crues les plus utilises en

France, et dans les pays qui ont une approche statistique du risque prendre en compte pour

le dimensionnement douvrages.

Quelle mthode choisir ?

Les mthodes des Maxima Annuels ont pour elles, on la vu, leur simplicit, et il est vrai que

pour des bassins versants assez grands (plus de 10.000 km2), disposant de quelques dizaines

45

dannes de dbits observs, lestimation de la crue dcennale est accessible sans trop de

risques. Au del, il conviendra dtre prudent et disposer de suffisement dinformations.

De toute faon, compte tenu des moyens de calcul actuels, on a intrt utiliser la mthode du

Renouvellement, qui grce sa faon de bien valoriser linformation, et en plus de conforter

les extrapolations par linformation historique, est plus sre. Toujours pour des bassins

versants assez grands (plus de 10.000 km2), elle permet destimer, avec des incertitudes

souvent acceptables, des vnements de priode de retour pouvant atteindre 100 ans, voire

1.000 ans.

La mthode du Gradex est tout fait complmentaire puisquelle sapplique mieux aux

vnements les plus extrmes (dcamillennaux) survenant sur des bassins de taille modrs.

En outre elle nexige pas de longues sries de dbits, rarement disponibles sur les petits

bassins, mais demande des sries pluviomtriques.

Dautres mthodes sont-elles utilses?

De nombreuses variantes ou complments aux mthodes statistiques prsentes ici existent:

lois de Valeurs Extrmes Gnralises, changements de variables divers, combinaisons de

lois, etc...Signalons que parmi les approches statistiques intressantes qui na pu tre

prsente ici figure lanalyse Baysienne qui est bien plus quune estimation, mais plutt

une approche dynamique de la faon dutiliser linformation. En effet son principe est de

considrer que le projeteur a toujours au dpart, cest dire avant dutiliser une nouvelle

information, une apprciation a priori du phnomne quil tudie, et que linformation

reue va lui enrichir cette apprciation qui deviendra apprciation a posteriori, juqu la

prochaine information.....

Concernant la mthode du Gradex, dont le domaine de prdilection concerne les vnements

extrmes (10.000 ans), des travaux ont t conduits afin de la rendre davantage utilisable dans

la zone des crues moins extrmes (10 1.000 ans). La mthode AGREGEE mise au point par

le CEMAGREF sattache en particulier prciser la zone de transition au moyen de fonctions

de raccordement ajuster au cas par cas. La variante la plus utilise est AGREGEE

"Esthtique" : on considre que le paramtre Gradex varie entre deux valeurs :

a (T) = a T

T + p a et

a (T) = a (T) . T

T + donc a (T) = a

T

+ ) (T + )q p q

2

d a d

,(T

o (a et d sont des

constantes calcules grce une condition de raccordement la distribution des crues

observes). Ds lors : Q(T)= Q Ta

( - )

T

T

T

T( ) * .log .log0

0 0

+

+

+

-

+

+

a d

a

a

a

d

d

d

si T>T0

Dans les pays anglo-saxons, o les mthodes statistiques sont largement employes pour les

vnement de priode de retour modre (10 100 ans), la mthode de la PMF (Probable

Maximum Flood) est exige pour les dimensionnement douvrages o des vies humaines sont

concernes. Cette mthode nest pas statistique et consiste maximiser les variables

explicatives des prcipitations (humidit, vent, conditions de prcipitation), maximiser les

46

scnarios temporels de prcipitations (concommitances, prcipitations successives,...), puis

transformer cette pluie en dbit, dabord en dterminant la part efficace qui, comme le

Gradex est proche de dQ=dP, et ensuite en la convertissant en dbit par des mthodes plus ou

moins classiques en hydrologie (du type Hydrogramme Unitaire,...).

Bien que non statistique, cette mthode de la PMF devait tre mentionne car elle utilise par

de nombreux bureaux dtudes internationaux, souvent la demande de clients qui y voient

une forme de protection infranchissable. sans lui nier ses avantages, qui rsident dans

lanalyse hydromtorologique, et donc lintgration dun maximum dinformations, il

convient nanmoins de garder lesprit les limites de la mthode :

une crue de projet dont la probabilit nest pas estime (et pour cause) alors que les maximisations effectues sont bases sur les observations, qui peuvent tre trs rduites en

certains endroits: il sen suit un faux sentiment de scurit

des estimations linverse trs importantes quand les informations sont riches, qui surdimensionneraient exagrment les ouvrages, ce qui conduit les projeteurs corriger par

un coefficient dabattement non moins risqu...

enfin une complexit de mise en oeuvre qui gnrent beaucoup de choix difficiles et qui ne permet pas la fin du calcul davoir une forme dvaluation de lincertitude.

TROISIEME PARTIE : VALUATION DES RISQUES DE CRUE DE LA GARONNE MAS DAGENAIS

Cet exemple illustre lapplication de la mthode des Maxima Annuels et de celle du Renouvellement.

Pour rester simple et illustratif, tous les calculs dtaills ne sont pas exposs: en revanche les

rsultats majeurs de chaque tape sont fournis, de sorte quils peuvent tre retrouvs en saidant de

la Partie 2 et des annexes 1 et 2.

Nous verrons successivement:

lanalyse hydromtorologique

les donnes et leur critique

ltude par la mthode des Maxima Annuels

vrification des hypothses

ajustements des lois statistiques

rsultat et incertitudes

ltude par la mthode du Renouvellement

vrification des hypothses

ajustements des lois statistiques au nombre annuel de crues

ajustements des lois statistiques aux amplitudes de crues

rsultat et incertitudes

1. lanalyse hydromtorologique

La station de Mas dAgenais est situe sur la Garonne, juste laval du confluent avec le Lot,

correspondant un

bassin versant de 52.000

km2. Ses crues sont donc

formes de celles de la

Garonne amont, de

lArige, des rivires du

Lanmezan, du Tarn et du

Lot. La cohrence des

coulements a pu tre

tudie grce une srie

de stations hydro-

mtriques sur ces cours

deau ou intermdiaires

sur la Garonne, en

particulier Portet, Mas

Grenier, Hauterive,

Rouby, Lamagistre, et

Cahors. De plus des rservoirs, reprsentant au total un volume de 1,3 million de m3, construits

essentiellement aprs 1945, situs dans les Pyrnes et dans le Massif Central impactent les dbits de

la Garonne.

47

Sur le plan hydromtorologique, on distingue trois classes de crues, qui peuvent aussi se combiner:

les crues pyrnennes, les crues ocaniques, et les crues mditerranennes. A chacune delle

correspond des situations mtorologiques

identifies en fonction de la position de

lanticyclone (Golfe de Gascogne, ou ouest

Espagne ou sud Espagne) et dune ou plusieurs

dpressions associes (Irlande, France,

Mditerrane,...). Les fortes crues proviennent de

la Haute Garonne (crues ocaniques ou

ocaniques-pyrnennes), ou de crues ocaniques

de la Moyenne Garonne gonfles par une crue

dun affluent, ou encore du fait de crues

successives.Ci contre: exemple de situation mtorologique:

la journe du 22 janvier 1955

2. les donnes et leur critique

Nous ferons lhypothse pour cet expos que la variable utile au projeteur est le dbit moyen

journalier. Dautre part ltude cite ici en exemple ayant t ralise en 1977, les donnes

ultrieures nont pas t intgres.

La station de Mas dAgenais est abondante en donnes: dbits journaliers depuis 1913, auxquels

sajoutent 12 crues historiques en 143 ans supplmentaires. La qualit de ces donnes a fait lobjet

de nombreuses tudes, en particulier par PARDE qui proposait quelques corrections au dessus du

dbordement (3.800 m3/s). Ce sont ces valeurs qui ont t retenues et qui correspondent aux

chantillons ci aprs: crues maxima annuelles, crues suprieures 2.500 m3/s, et crues historiques

Crues maximales annuelles

crues historiques

1770 7.000 7.400 m3/s

1772 6.300 m3/s

1783 7.000 7.200 m3/s

1827 6.500 m3/s

1835 6.400 m3/s

1843 6.500 m3/s

1855 7.000 m3/s

1856 6.200 m3/s

1856 6.600 m3/s

1875 7.000 7.500 m3/s

1879 6.300 m3/s

1879 7.000 m3/s

48

Crues suprieures 2.500 m3/s

3. ltude par la mthode des Maxima Annuels

vrification des hypothses

Indpendance:

Le coefficient de corrlation de pas 1 sur 63 valeurs est de 0,034.

La variable test de Student t=R. [(N-2)/(1-R2)]0,5 vaut ici 0,264.

Le risque 5% de rejeter tort correspond t=1,68 : on peut considrer que lhypothse

dindpendance est largement acceptable.

Stationnarit:

En dcoupant en deux lchantillon, on obtient deux moyennes assez diffrentes:

m1= 4 317 m3/s s1= 1 268 m3/s

m2= 3 485 m3/s s2= 1 284 m3/s

La variable test de Student

t=(m1-m2).[32/(s12+s22)]0,5

vaut ici 2,6: lhypothse de

stationnarit peut donc tre

remise en cause. Le graphique

ci contre des moyennes glis-

santes montre effectivement

49

une particularit partir du milieu de la srie. Nous la gardons en mmoire pour la discussion finale

des incertitudes.

ajustements des lois statistiques

ajustement la loi Normale : il est peu satisfaisant, une courbure apparaissant.

loi Normale: loi Log-Normale:.:

loi des Valeurs Extrmes: .

50

ajustement la loi Log-Normale: il est meilleur. Le test de dispersion du 2 vaut 10,2 pour 10

classes, la valeur acceptable pour un risque de 5% tant 14.

ajustement la loi des Valeurs Extrmes: de qualit voisine de celle de la loi Log-Normale, le

test de dispersion est meilleur : 2 = 5,9.

Finalement la loi retenue est celle des Valeurs Extrmes (ou Gumbel).

rsultats et incertitudes

Sachant que la moyenne de lchantillon est 3.910 m3/s et son cart-type 1.330 m3/s, les paramtres

de la loi de Gumbel sont =3 310 et = 1 040, de sorte que le dbit de priode de retour donne

scrit: QT= 3 310 + 1 040.[-log[-log(1-1/T)]]

crue decennale 5.650 m3/s

crue centennale 8.100 m3/s

crue millennale 10.500 m3/s

Lintervalle de confiance 70% est calcul partir de labaque de BERNIER:

pour la crue millennale: T1=0,76

T2=0,66 ====> 8.600< Q1000

Deuxime vrification: les dates doccurence de crues suprieures 2.500 m3/s.

Le test de rpartition uniforme apparait ci

contre. Lorsque quon calcule la variable

test u (voir p. 25), on obtient 2,62 alors

que la valeur admissible 5% est 1,96:

nous trouvons donc de nouveau que

lhypothse de stationnarit nest pas trs

bien assure.

A y regarder de plus prs , on note une

absence de crue importante de 1946

1949. Ceci nexplique quen partie cette

difficulte.

ajustements des lois statistiques au nombre annuel de crues

Nous allons examiner si la loi de Poisson sajuste la srie du nombre dpassant chaque anne le

seuil 2.500 m3/s. Le paramtre de la loi de Poisson est m=NC/NA, ici = 2,32; On en dduit les

valeurs du nombre thorique dannes ayant k crues suprieures 2.500 m3/s:

k nombre observ nombre thorique (NTk= NA.exp(-2,32). 2,32k/k! )

0 8 6,4

1 16 14,8

2 15 17,2

3 8 13,3

4 11 7,7

5 et plus 7 5,6

2 = (NOk-NTk)2/NTk=4,65 pour 3 degrsde libert, la valeur admissible 5% tant

7,81.

La forme gnrale de lajustement graphique ci

contre tant assez satisfaisante (lallure gnrale

est respecte, mme si les classes 3 et 4

prsentent des carts sensibles), la loi de

Poisson peut donc tre retenue .

52

ajustements des lois statistiques aux amplitudes de crues

Nous ajustons la loi de Weibull (ci-dessous droite) et la loi Exponentielle Simple (ci-dessous

gauche), aprs avoir calcul leurs cofficients:

La qualit des deux ajustements est acceptable et la loi Exponentielle Simple savre pratiquement

suffisante.

Les crues millnnales estimes sont de 11.000 m3/s pour la loi Exponentielle Simple et 9600 m3/s

pour la loi de Weibull, tandis que Q = 900 m3/s.

ajustements utilisant lInformation

Historique

Nous reprenons lajustement de la loi de

Weibull (ci-contre) aprs avoir calcul leurs

cofficients: Les points des crues

historiques se placent bien, et la qualit de

lajustement demeure satisfaisant.

La crue millnnale estime reste aux

alentours de 9600 m3/s, tandis que Qdiminue 500 m3/s.

53

rsultat final et incertitudes

En retenant finalement les rsultats de la mthode du Renouvellement intgrant lInformation

historique le rsultat peut tre synthtis par la

figure ci-contre qui fournit les limites de

lintervalle de confiance 70% (Q =500 m3/s).

Le dbit de priode de retour T sestime ainsi:

QT = 2500 + [log(2,36.T)/0,00025]0,857

auquel sajoute lintervalle de confiance.

En matire dincertitudes nous avons dj

valu celles lies la taille limite de

lchantillon (2x 500 m3/s)..

Les incertitudes lies au choix du seuil ont t

values en rptant ltude avec plusieurs seuils:

9 1009 7009 7509 5509 6509 450Q1000

3 2503 0002 7502 5002 2502 000Seuil

On peut considrer que lincertitude rsiduelle ne dpasse gure 300 m3/s.

Les risques de non stationarit rencontrs deux reprises dans ltude ont t valus en rptant

ltude sur les sous chantillons 1913-1945 et 1946-1977: lcart maximal obtenu sur lestimation de

la crue millennale est de 400 m3/s.

De la mme faon une analyse de sensibilit sur la correction des donnes abouti un cart de 200

m3/s.

Bien entendu tous ces carts ne sont pas cumulatifs: ils constituent des ordres de grandeurs avoir

contrl avant une dcision de dimensionnement pour prendre les scurits adaptes aux enjeux.

_______________________________

54

QUATRIEME PARTIE : LA PREDETERMINATION DES ETIAGES

Ltiage, comme lhydrogramme de crue, constitue une partie du processus des dbits : il peut

tre statistiquement tudi comme le furent les dbits de crue, cette diffrence prs que le

dbit minimum instantan est rarement la variable intressante pour lutilisateur comme ltait

le dbit maximum instantan pour ltude des crues. Ce dernier sintresse ncessairement

des grandeurs couples dbits et dures : dbits mensuels, nombre total de jours annuels sous

un seuil en dbit, nombre de jours conscutifs sous un seuil en dbit, etcIl ny a donc plus

une variable privilgie une dimension dont il faut estimer la probabilit doccurrence ou de

dpassement comme nous lavions vu pour les crues, mais une variable deux dimensions

dbit-dure.

1. Lapproche globale Dbit- Dure

La prdtermination dune variable deux dimensions accrot singulirement la complexit

des estimations. Nanmoins plusieurs auteurs sy attaqurent dans les annes 1970-80 :

YEVJEVICH [25] qui dveloppa au USA et adapta pour ltiage les mthodes dites Partial

Duration Curves , et NORTH [26] qui proposa dans sa thse lEPL (Suisse) un modle

global.

Les premires applications en France ont dabord consist se ramener pragmatiquement

lestimation probabiliste dune variable conditionne par lautre, elle-mme fixe. Quitte

ensuite paramtrer cette variable fixe : par exemple on estime la probabilit que le dbit de

la Garonne reste plus de 90 jours en dessous de 70 m3/s, puis on rpte lopration pour

dautres seuils, comme 50, 90, 110, 120 m3/s, etc. On se ramne une variable, et on peut

ainsi utiliser la panoplie des outils de prdtermination classiques, simplement il faut ensuite

multiplier lanalyse pour des seuils fixs diffrents (en dbit ou bien en dure selon le cas).

Nous verrons que la prsentation des rsultats reprend une forme dj bien connue et utilise

pour ltude des pluies : les courbes Intensit-Dure-Frquence , baptises pour ltude des

dbits (et notamment des tiages), courbes Dbits-Dure-Frquence .

56

Ainsi, sur la figure ci-dessus Dbit Class-dure-frquence , on peut lire que le dbit class

dcennal de 350 jours (QC350), cest dire le dbit dpass 350 jours par an, vaut 58 m3/s, le

dbit class centennal de 350 jours (QC350) vaut 43 m3/s, ou encore que le dbit dcennal de

315 jours (QC315) vaut 75 m3/s.

Ces approches ont t dveloppes en France, par Electricit de France pour ltude de la

svrit des tiages des cours deau au droit de ses installations de production dnergie

(MIQUEL et coll. [27]), par des canadiens (MATHIER et coll. [28]), et par le CEMAGREF

en collaboration avec des chercheurs canadiens et roumains, non seulement pour lvaluation

des risques dtiage (GALEA, et coll. [29] et [30] ), mais galement des dures dinondation

(GALEA, et coll. [31] ).

2. Les principaux indicateurs dtiages

La mthode mme dtude a permis de dfinir les principaux indicateurs, soit en fixant un

dbit (on parle alors dindicateur dbit fix ), soit en fixant une dure (on parle alors

dindicateur dure fixe ).

Voici un tableau propos en 1978 par MIQUEL et coll. ([25]):

( Daprs [27] )

57

INDICATEURS

DEFINITIONS

DUREE

FIXEE

- Dbit class (Q, D)

- Dbit moyen mensuel (Q, i) - Dbit minimum mensuel (Q, i)

- Dbit moyen mobile minima (Q, D)

- Dbit dpass D jours dans lanne

- Dbit moyen du ime mois - Dbit minimum du ime

mois

- Moyenne glissante des dbits de D jours conscutifs la plus

faible de lanne

DEBIT

FIXE

- Dure classe annuelle (Q, D)

- Dure individualise (Q, D)

- Dure classe mensuelle (Q, D, i)

- Dure totale dans lanne o le dbit est infrieur Q fix

- Dure pendant laquelle le dbit reste sans interruption

infrieur Q fix

- Dure totale dans le mois i o le dbit est infrieur Q

fix

Bien entendu dautres indicateurs peuvent tre ajouts dans lune ou lautre catgorie, en

fonction de leur utilisation. Les indicateurs frquemment rencontrs sont :

Indicateurs dbit fix

- Les volumes manquants sous un seuil en dbit fix. Cet indicateur est utile pour valuer la capacit dune rserve maintenir ponctuellement un dbit aval. A

noter que les volumes manquants cumuls dans lanne sont lis aux dbits

classs.

- Les dficits mensuels successifs : au Canada (INRS Eau), un seuil mensuel Qm0 en dbit est dfini pour chaque mois (par exemple un quantile de la distribution des

dbits moyens du mois). Ensuite, chaque mois correspond deux possibilits : que

le dbit mensuel soit au dessus ou au dessous du seuil. Ds lors, lindicateur est le

nombre de mois successifs dficitaires ou au contraire sans dficit. Ce type

dindicateur convient bien aux analyses de risques de baisses de production

hydrolectrique associes aux dficits de la ressource en eau dallure assez lisse.

Indicateurs dure fixe

- QMNA : Dbit moyen mensuel le plus faible de lanne (trs utilis au niveau europen, et en France dans les plans scheresse pour caractriser de faon

gnrale la priode dtiage, notamment le QMNA5, de priode de retour 5 ans).

58

- VCNd: Dbit moyen minimum de d jours conscutifs de lanne, ou bien dun mois donn au cours. Cet indicateur dure fixe est analogue un Dbit moyen

mobile minima (Q, D) le plus faible de lanne.

- QCNd: Dbit seuil minimum (de lanne, ou bien dun mois donn) de d jours conscutifs. Cet indicateur dure fixe est analogue au seuil en dbit de la Dure

Individualise la plus faible de lanne.

- Le dbit moyen journalier le plus faible de lanne (de moins en moins utilis car trop dpendant des effets anthropiques).

- La plus faible moyenne des dbits de 7 jours conscutifs (utilis surtout aux USA dans les annes 1980). Cet indicateur nest rien dautre que le Dbit moyen mobile

minima (Q, 7) mentionn dans le tableau prcdent.

- Le module est une faon globale de juger de la svrit dune anne, mais il mlange plusieurs phnomnes (tiage, crue, dbits intermdiaires). Il peut

nanmoins tre utilement restreint une partie de lanne juge sensible pour un

usage. Il se rapproche alors soit dun dbit moyen saisonnier, soit dun dbit

moyen glissant sur de longues dures.

Cette liste nest pas exhaustive, et les indicateurs sont nombreux. Mais alors quel indicateur

choisir ?

La rponse cette question dpend essentiellement de lutilisation qui en sera faite : a-

t-on un problme de disponibilit de la ressource exprim en dbit seuil critique

(prises deau industrielles par exemple), ou bien en terme de capacit tenir pendant

une dure limite (si un usage dispose dune rserve), ou bien encore cherche-t-on un

indicateur multi-usage , utile un ensemble dusages plus ou moins bien cibls,

pour lesquels il faut qualifier la svrit dun pisode ?

Accessoirement, il peut tre intressant que lindicateur soit peu sensible aux effets

anthropiques, ou en tout cas permette de facilement identifier les effets anthropiques

de la partie naturelle : cest la raison pour laquelle le dbit instantan annuel est dlicat

manier, compte tenu de sa sensibilit de multiples interactions parfois trs brves et

difficiles identifier.

3. Analyse statistique des indicateurs dtiage

La plupart des indicateurs utiliss en pratique sont chantillonnage annuel, c'est--dire

forms par des sries de dbits ou de dures annuelles comme ltaient les dbits maxima

annuels de crue.

Cependant, les chantillons de certains indicateurs, notamment dbit fix, comme les Dures

Individualises son