5. Résumé de mon activité de recherche récente

Au cours des dernières années, mon activité scientifique a été centrée sur la préparation et l'étude numérique de modèles visant à analyser des travaux expérimentaux portant sur des solitons de cavité, des structures spatiales localisées se formant dans des cavités optiques non linéaires. Cette activité a été développée en collaboration avec des groupes expérimentaux en France, en Ecosse et en Italie. Par ailleurs, j'ai coordonné l'Unité de recherche théorique d'un projet de recherche national Italien (équivalent ANR – jeunes chercheurs) visant à intégrer les solitons optiques propagatifs/conservatifs avec les structures localisées générées dans des systèmes optiques dissipatifs hors équilibre. Récemment, en collaboration avec le groupe du Prof. Gian-Luca Oppo à l'Université de Strathclyde en Ecosse, je me suis occupée de l'étude d'une ligne à retard optique basée sur des solitons de cavité dans un laser à semi-conducteur à grande section transverse, injecté par un champ externe, au dessus du seuil laser (résultat publié sur Phys. Rev. A en 2010). Pour le même système, nous avons aussi mis en évidence des propriétés dynamiques intéressantes: en particulier, nous avons démontré la nature strictement hybride des solitons, c'est à dire, leur caractère intrinsèquement matériel: quand les solitons sont soumis à des gradients paramétriques très intenses, leur composante lumineuse essaye de bouger à une vitesse qui est trop élevée pour que la composante matériel (qui évolue sur l'échelle temporelle de la nanoseconde) puisse suivre (voir Figure 1). Donc nous observons la séparation

Figure 1. Profils de solitons de cavité ultra-rapides (intensité du champ électrique à gauche et population des porteurs à droite) pour deux valeurs différentes d'intensité du gradient de phase (dirigé vers la droite). Une forte déformation est visible dans la première ligne, et la nature de particule des solitons est complètement perdue dans la deuxième ligne, où le gradient est plus fort.

physique des deux composantes, ce qui démontre leur nature matérielle (publié sur Eur. Phys. J. D en 2010). Cet argument a été à la base d'une Correspondence à Nature Photonics publiée en 2012 (voir la suite). De l'autre coté, en collaboration avec mes anciens collègues de Côme, j'ai continué l'étude du laser à solitons de cavité monolithique. Il s’agit d’un laser à semi-conducteur qui contient un milieu absorbante saturable dans sa cavité : ce type de microcavités (VCSEL avec absorbante saturable) sont construites, caractérisées et utilisées dans des expériences au Laboratoire C2N (Centre de Nanosciences et de Nanotechnologies, ancien LPN) à Paris, par l’equipe de Sylvain Barbay (et précédemment pas R. Kuszelewicz), avec qui j’ai collaboré dans le cadre de deux projets Européens entre 1998 et 2008. Dans le cas de section carrée (publié sur Phys. Rev. A en 2011), nous avons étudié la réalisation de billards optiques à solitons, qui présentent des similarités surprenantes avec des systèmes très différents, constitués par des gouttes de liquide qui bougent spontanément sur une pellicule du même liquide en vibration (Y. Couder, et al., Nature 437, 208 (2005)). Les collisions entre solitons qui se déplacent (voir figure 2) et entre solitons et défauts de la cavité (modélisés comme des inhomogénéités dans le profil du courant de pompage) donnent lieu à des comportements dynamiques très intéressants, et ont été l'objet d'une publication sur Eur. Phys. J. Special Topics en 2012. Les interactions entre solitons stationnaires supportées par leurs phases (publiée sur Phys. Rev. A en 2011) et la réalisation numérique d'un optical switch à énergie très basse (publiée sur Eur. Phys. J. D en 2012) ont étés étudiés en collaboration avec l'Université de l'Insubria et un étudiant de Doctorat Iranien (H. Vahed). En collaboration avec Stéphane Barland à l'INLN et les ex-partenaires du projet Européen FunFACS, nous avons publié une Correspondence à Nature Photonics en 2012, pour souligner la nature matérielle des solitons de cavité, en opposition avec une publication récente (Sich, M. et al. Nature Photon. 6, 50–55(2012)) où les auteurs se referaient aux solitons de cavité dans les semi-conducteurs comme à des structures constituées purement par la lumière (“light-only solitons in semiconductor cavity lasers” ou “pure-light cavity solitons in wide - aperture semiconductor lasers”), en contraposition avec les "polariton solitons".

Figure 2. Trajectoires de solitons auto-propageant en cas de collision frontale, représentées pour différents paramètres d'impacte.

Dans le cadre du projet Italien PHOCOS ("Spatial solitons composites bridging PHOtorefractive and Cavity Optical Structures"), dont j'ai coordonné l'Unité de Recherche théorique, nous nous sommes intéressés à l'intégration de deux systèmes très différents qui peuvent présenter la formation de solitons spatiaux, c'est à dire, les solitons de cavité dans les amplificateurs à semi-conducteur (dissipatifs) et les solitons spatiaux propagatifs (conservatifs) dans les cristaux photoréfractifs.

Depuis Janvier 2011 je suis Maître de Conférences à l'Institut Non Linéaire de Nice (devenu en 2017 l’Institut de Physique de Nice), donc j'ai laissé mon poste à Côme et aussi la place officielle de coordinateur de la partie théorique du projet. Pourtant, j’ai maintenu la coordination de la recherche théorique et numérique, et j’ai poursuit la collaboration avec les partenaires du Projet comme membre externe. A démonstration de ça, j'ai organisé à l'INLN les quatre dernières réunions scientifiques du Projet (en Juillet 2011, en Mars et Novembre 2012, en Septembre 2013). Un premier résultat purement théorique,

concernant le contrôle de solitons de cavité par les solitons photoréfractifs, a été publié sur Optics Letters en 2012. Une application du même schéma a été proposée pour la réalisation des portes logiques toutes-optiques (voir Figure 3), et publié sur Optics Express en Février 2014. La réalisation expérimentale du schéma à la base du Projet PHOCOS, obtenue dans l’équipe de Eugenio del Re à l’Université de La Sapienza à Rome, a été publiée (avec nos simulations numériques) sur Optics Express en Décembre 2014. En collaboration avec mes anciens collègues de Côme et le groupe de Stéphane Barland à l'INLN (Thèse de M. Turconi, soutenue en Avril 2013, dont j'ai informellement dirigé la partie théorique et numérique) je me suis dédiée à étudier les instabilités dynamiques des solitons de cavité dans les lasers avec absorbante saturable et la formation des solitons oscillantes et chaotiques. Ce travail a été publié dans Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences en Août 2014. Egalement, nous avons démontré l'existence de solitons de cavité excitables dans ce système, et nos résultats ont été publiés sur Physical Review A en Décembre 2015. En outre, en collaboration avec Stéphane Barland à l'INLN, nous avons obtenu le financement du projet de recherche intitulé: Excitabilité et BUFFer Optique dans un laser à semi-conducteur (e-Buffo), qui a été cofinancé par la Région PACA et le CNRS, avec la participation de l’entreprise CERSA-MCI comme partenaire industriel.

Figure 3. Réalisation de 10 cycles de l'opération logique NOT A: à la sortie Xout un soliton est présent (1) seulement si la porte XA est vide (0).

A la base du projet il y avait l'idée suivante: un laser à semi-conducteur peut sous certaines conditions répondre à une perturbation externe d'une façon analogue à un neurone, émettant des impulsions toutes parfaitement identiques les unes aux autres. En plaçant ce neurone dans une boucle de rétroaction optique on peut réaliser une mémoire optique où chaque impulsion représente une unité d'information. Le financement de ce projet a

permis de recruter un doctorant, Bruno Garbin, qui a fait sa Thèse sous la Direction de Stéphane Barland et sous ma codirection, pour ce qui concerne la partie théorique et numérique. La Thèse a été soutenue à l'INLN le 11 Décembre 2015. Les premiers résultats expérimentaux (voir Figure 4),

intégrés par des simulations numériques basées sur un premier modèle très simplifié, ont été publiés sur Nature Communications en Janvier 2015. Sous ma codirection, Bruno a développé un modèle de laser à semi-conducteur de classe C avec rétroaction qui décrit ce système d'une façon beaucoup plus réaliste. Les premières simulations numériques montrent une correspondance assez étonnante avec l'expérience. Les interactions entre solitons ont été reproduites numériquement, et la possibilité de créer de matrices de solitons reconfigurables en piégeant les solitons dans de maxima de la phase du champ injecte a été réalisée. Ce travail a été soumis a Physical Review Letters, et il est maintenant en cours de resoumission. En outre, un papier purement numérique sur les interactions de solitons basées sur le modelé complet a été accepte pour la publication sur Chaos (Juillet 2017). Dans un système similaire, mais sans le miroir de rétroaction, nous avons caractérisé expérimentalement et numériquement le temps réfractaire des pulses excitables. Ce résultat a été publié sur Physical Review E en Janvier 2017.

Figure 4. Nucléation de deux solitons de phase (Φ-bits) dans la représentation espace-temps. En (a) une perturbation de phase est appliquée quand le laser se trouve dans un état stationnaire accroché a la fréquence d'injection. Une impulsion est ainsi créée et se reproduit avec une périodicité proche du temps de retard de rétroaction. Ensuite (b), une deuxième perturbation est appliquée sur le système où le premier Φ-bit se trouve déjà. Les 2 Φ-bits se propagent dans la boucle de rétroaction sans se déranger.

Une autre ligne de recherche récemment développée concerne l'étude des solitons temporels et du mode-locking dans une cavité laser à semi-conducteur avec signal injecté, dans le cadre du Projet ANR "Mode-Locking and Solitons in Semiconductors – MOLOSSE", www.molosse.org.

Le but

est la

modélisation d'une expérience menée récemment à l'Institut de Physique de Nice, où un amplificateur à semi-conducteur est placé dans une cavité en anneau étendue, injectée par en champ externe cohérent (Thèse de F. Gustave sous la direction de Stéphane Barland, voir Figure 5). Une configuration expérimentale type Fabry—Pérot a été plus récemment mise en place par Pierre Walczac (post doc). Dans la configuration en anneau, nous avons démontré l’existence de solitons dissipatifs stables avec charge topologique. Un support de ma part pour la modélisation et la réalisation de simulations numériques de ce système a été précieux pour comprendre et guider les résultats expérimentaux. Ce travail a été fait en collaboration avec mes anciens collègues de Côme (Prof. Franco Prati, professeur invité à l'Université de Nice pendant 1 mois) et de Bari (Dr. Lorenzo Columbo et Prof. Massimo Brambilla). Un premier papier a été publié sur Physical Review Letters en Juillet 2015, et une version plus détaillée a été publiée sur Physical Review A en Juin 2016. Dans le même système nous avons également étudié les interactions entre solitons de phase, qui peuvent conduire à la formation de clusters de solitons. Un papier, contenant résultats expérimentaux et numériques, a été publié sur une Special Issue de EPJD (pour l’anniversaire de 30 ans de l’équation de Lugiato-Lefever) en Avril 2017. Depuis 2014, j'ai commencé à m'intéresser à une nouvelle ligne de recherche, qui concerne les phénomènes extrêmes dans les cavités optiques non linéaires spatialement étendues.

Figure 5. Diagramme expérimental Y-T montrant l'intensité émise par un laser en anneau avec des degrés de liberté spatiaux le long de la direction de propagation sous l'influence d'un forçage cohérent. L'axe horizontal montre l'espace (correspondant a environ 3ns de temps de propagation) et l'axe vertical le temps en nombre de tours de cavité. L'impulsion se propageant depuis l'angle inférieur gauche est interprétée comme un saut de phase séparant deux états accrochés et de phase identique (modulo 2*\pi). Image: Francois Gustave

Les microcavités à semi-conducteur comme les VCSELs (Vertical Cavity Surface Emitting Lasers) sont des candidats idéals pour explorer les mécanismes dynamiques qui sont à l'origine de phénomènes extrêmes comme les vagues scélérates océaniques. Ces cavités sont caractérisées par une longueur de l'ordre de la longueur d'onde optique et un diamètre transverse de plus de 200 microns. En outre, la rapidité extrême de ce système peut permettre de recueillir et traiter la statistique d'un nombre très élevé de données expérimentales ou numériques. Sur ce sujet, j’ai dirigé la Thèse de Cristina Rimoldi (2014—2017, Contrat Doctoral d'Etablissement, soutenue le 8 Décembre 2017), intitulée "Evénements extrêmes dans les cavités optiques non linéaires étendues".

Sur le même sujet, j’ai participé au Projet ANR "Optical Rogue Waves in Nonlinear Optical Cavities: OptiRoC" (2013—2016). Avec mon étudiante, nous nous sommes d'abord concentrées sur le cas de cavités qui sont étendues dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation de la lumière, où les modèles sont bien établis. Le premier cas que nous avons exploré est celui d’un VCSEL avec absorbante saturable, ou nous avons prévu la formation de Rogues Waves (voir Figure 6) dans un régime de chaos spatio-temporel. Ces résultats ont été présentés à plusieurs conférences internationales, et un papier est a été publié sur Physical Review A en Janvier 2017. Sur ce Thème j’ai récemment reçu l’invitation à présenter un Invited Talk a la Conférence SPIE Photonics Europe, à Strasbourg, en Avril 2018. Ensuite, nous avons dirigé cette ligne de recherche vers l'étude de la statistique des pics d'intensité dans l'expérience du Projet ANR Molosse, où la dimension spatiale étendue est donnée par la longueur de la cavité, et donc dans le sens de la propagation de la lumière. Deux papiers ont été publies sur Optics Letters et Optics Express en 2017.

Figure 6. Intensité du champ électrique dans le plan transversal à la propagation de la lumière émise par un laser avec absorbante saturable en régime turbulent (chaos spatio-temporel): la ligne orange met en evidence le profil d'une Rogue Wave. Image: Cristina Rimoldi

Dans le premier papier, nous avons considéré un régime ou le laser esclave est accroché en fréquence avec le laser maître, et les solitons de phase sont stables. Par contre, le courant de seuil est assez élevé et la puissance d’injection très proche du lower turning point: ces deux conditions font que l’état accroché se déstabilise spontanément (simplement à cause du bruit, expérimental ou numérique), et on observe la formation spontanée de structures transitoires propageant a des vitesses différentes (voir Fig. 7). Ces structures peuvent rentrer en collision avec de solitons de phase, ou des clusters de solitons de phase, a cause de la différence de vitesse. Suite à la collision, un pic d’intensité se forme, qui peut être considéré comme un événement extrême et qui donne lieu à une PDF avec queue lourde. L’analyse numérique montre de résultats en très bon accord avec l’expérience (voir Fig. 7 (a) et (b)), et a permis d’identifier le rôle de la phase dans ce comportement dynamique. Ce résultat a été publie sur Optics Letters en Août 2017. De l’autre coté, nous avons considéré pour le même système un régime ou la branche haute de la solution stationnaire homogène accrochée en fréquence n’est pas stable (donc dans ce régime, les solitons dissipatifs n’existent pas), et on trouve une solution spatialement modulée, qu’on peut appeler phase bounded, car la phase reste confinée dans une partie du plan de Argand (le plan ReE, ImE). Cette solution, qui présente une modulation spatiale de l’intensité type Rolls, peut elle même se déstabiliser en se rapprochant du lower turning point (c’est à dire, en diminuant la puissance d’injection).

Figure 7. (a) Diagramme expérimental X-T montrant l'intensité émise par un laser en anneau. Des événements extrêmes (sous forme de pics d'intensité) apparaissent suite à la collision entre structures contre-propageant. Image: Pierre Walczak. (b) Simulation numérique qui montre le même comportement dynamique. Image: Cristina Rimoldi

Dans ce cas, on observe de pics de grande intensité, positionnés sur un fond irrégulièrement modulé. Ce régime a été reproduit numériquement, et on peut associer à la formation de chaque événement extrême la coexistence et l’interaction entre deux charges chirales de sens opposé, comme décrit pour un laser de class A avec 2 dimension transverses avec injection cohérente par le groupe de Gian Luca Oppo [C.J. Gibson et al, Phys. Rev. Lett. 116, 043903 (2016)]. Comme on peut le remarquer en comparant les figures 8 et 9, l’accord entre théorie et expérience est très bon. Ce résultat a été publie sur Optics Express en Septembre 2017. Récemment, toujours sur le thème des vagues scélérates optiques, j’ai soumis en collaboration avec un chercheur Iranien (Mansour Eslami) un projet pour obtenir une bourse postdoctorale financée par le Fond AXA pour la Recherche. Ce projet, intitulé “Optical rogue waves: generating mechanisms and prediction strategies”, avait passé la première étape d’évaluation en Février 2017, il a été donc resoumis en version étendue, et il a reçu 3 rapports très positifs par des Rapporteurs de l’European Science Foundation (Septembre 2017). Le projet aurait permis de payer le salaire d'un post doc pendant 2 ans ainsi que les coûts d'environnement (conférences, station de calcul). Malheureusement, le Comité Scientifique du Fond AXA pour la Recherche n’a pas retenu notre projet a l’étape finale de l’èvaluation.

Figure 8. (a) Diagramme expérimental X-T montrant l'intensité émise par un laser en anneau. Des événements extrêmes (sous forme de pics d'intensité) sont identifiables, superposés à un fond qui montre des oscillations de phase. (b) Traces temporelles correspondantes aux tours de cavité indiques en (a) par I-IV. Image: Francois Gustave

Pendant la dernière période de la Thèse de Cristina, nous avons aussi collaboré à l’étude des interactions entre solitons de cavité dans un laser à semiconducteur à section large et injection cohérente. Cette recherche a été menée en collaboration avec le Prof. F. Prati de l’Université de l’Insubria a Côme, le Professeur Iranien Reza Kheradmand (dont j’avais co-encadré la Thèse quand je travaillais a Côme) et sa Doctorante Iranienne Shayesteh Rahmani Anbardan. Un papier a été publié sur ce sujet sur Physical Review E en Mars 2018. Pour résumer, mon activité de recherche est caractérisée par un effort constant d’aller vers les expériences. Ceci m’a permis de développer des modèles rigoureux, décrivant d’une façon précise l’interaction dynamique entre la lumière et le matériau non linéaire (basée sur les équations de Maxwell – Bloch), mais qui néanmoins contiennent les particularités propres à chaque expérience, ce qui permet un échange constant avec les expérimentateurs et la possibilité de diriger les mesures vers les résultats prévus par la théorie. L’objective de ma recherche est contribuer à la compréhension des phénomènes complexes émergeant dans des systèmes d’ondes non—linéaires.

Figure 9 Résultats numériques, à comparer avec la Fig. 8 (a) Diagramme X-T montrant l'intensité émise (b) Traces temporelles correspondantes aux tours de cavité indiques en (a) par 1 – 4. Image: Cristina Rimoldi