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Département Mécanique Énergétique

Optique

4. Systèmes optiques

Laurence BERGOUGNOUX

http://iusti.polytech.univ-mrs.fr/~bergougnoux/

Optique (3) 1 / 40

http://iusti.polytech.univ-mrs.fr/~bergougnoux/

Systèmes optiques

Plan du cours

1 Introduction2 Principes3 Systèmes optiques

IntroductionStigmatismeLe dioptre sphériqueExercicesLentilles mincesInstruments optiquesAberrations

4 Sources et Détecteurs5 Applications

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Systèmes optiques Lentilles minces

Lentilles minces

Milieu d’indice n2 limité par deux dioptres sphériques :le dioptre d’entrée : S1, C1, V1 : A→ I

le dioptre de sortie : S2, C2, V2 : I → B

A BC1

n1 n1n2

S1C2 S2I

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Lentilles minces : Formules de conjugaison

pour le dioptre d’entrée :

− n1S1A

+n2S1I

= V1, G1 =n1n2

S1I

S1A

pour le dioptre de sortie :

− n2S2I

+n1S2B

= V2, G2 =n2n1

S2B

S2I

avec chacun pour vergence :

V1 =n2 − n1S1C1

, V2 =n1 − n2S2C2

Approximation de lentille mince :

S1S2 � S1A, S2B → S1 = S2 = O

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Lentilles minces . . .

Somme des formules de conjugaison :

− n1OA

+n2OI− n2OI

+n1OB

= V1 + V2

La vergence de la lentille est :

V = V1 + V2 = − n1OA

+n1OB

V = (n2 − n1)(

1

S1C1− 1

S2C2

)

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Lentilles minces

Pour une lentille mince dans l’air où n1 = 1 :

V = − 1

OA+

1

OB

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Lentilles minces : grandissement

AA′ → II ′ → BB′

G1 =II ′

AA′, G2 =

BB′

II ′

Grandissement de la lentille :

G =BB′

AA′= G1.G2 =

OB

OA

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Foyers image et objet

Foyer image : image d’un point à l’infini (OA→∞)

OF =1

V

Foyer objet : objet dont l’image est à l’infini (OB →∞)

OF ′ = − 1

V

Distance focale :OF = −OF ′ = f =

1

V

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Exemples

Lentilles convergentes :

Biconvexe Plan-convexe Ménisque schéma

Lentilles divergentes :

Biconcave Plan-concave Ménisque schéma

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Constructions géométriques

3 rayons particuliers :→ celui passant par O n’estpas dévié, si le milieu est le mêmede chaque côté de la lentille→ celui // à l’axe avant lalentille est dévié et le rayonsortant passe par le foyerimage F’→ celui passant par F avant lalentille est dévié et ressort // àl’axe

F F'O

A'

B'

BAα

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Exercice : Lentilles minces

Trouver la position et la taille de l’image par le calcul et par constructiongraphique dans les cas suivants :

Lentille convergente de 50δ, objet de hauteur 1 cm.◦ objet réel à 6 cm,◦ objet réel à 1 cm,◦ objet virtuel à 3 cm.

Lentille divergente de -50δ, objet de hauteur 1cm.◦ objet réel à 2 cm,◦ objet virtuel à 1 cm,◦ objet virtuel à 4 cm.

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OB s’obtient à partir de V = − 1OA + 1

OB , le grandissement G = OBOA

Lentille convergente avec V = 50 δ

◦ OA = −6 cm → OB = 3 cm G = −0.5 image réelle◦ OA = −1 cm → OB = −2 cm G = 2 image virtuelle◦ OA = 3 cm → OB = 1.2 cm G = 0.4 image réelle

F

O

A'

B'

BA

α

OA= -6 cmf=2 cm =1/50δ

OB= 3 cm

F' F

O

A'B'

B A

OA= -1 cm

f=2 cm =1/50δ

OB=-2 cm

F'

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OB s’obtient à partir de V = − 1OA + 1

OB , le grandissement G = OBOA

Lentille divergente avec V = −50 δ◦ OA = −2 cm → OB = −1 cm G = 0.5 image virtuelle◦ OA = 1 cm → OB = 2 cm G = 2 image réelle◦ OA = 3 cm → OB = −4 cm G = −1 image virtuelle

F

O

A'

B'

B

A

OA= -2 cm

f=-2 cm =-1/50δ

OB= -1 cm

F' F

O

A'

B'

BA

OA= 1 cm

f=2 cm =1/50δ

OB=2 cm

F'

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Systèmes optiques Instruments optiques

Instruments optiques

Rôle des instruments optiques :améliorer la vision des objets perçus par l’œilleurs caractéristiques sont définies en fonction de l’œil.

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Première approche de l’œil

nerf optique

RCornée

Cristallin

humeuracqueusen=1,336

humeur vitreusen=1,336

n=1,4

Sclérotique

Système optique complexe

◦ plusieurs dioptres pas parfaitementsphériques,

◦ φ moyen du globe oculaire ≈ 25 mm,

◦ Cornée → membrane transparente,

◦ Pupille + Iris → diaphragme de φvariable qui limite la quantité delumière pénétrant dans l’œil,

◦ Intérieur du globe oculaire → liquided’indice 1.336,

◦ Cristallin → lentille biconvexeélastique (V variable) d’indice 1.4,

◦ Rétine → détecteur d’images, forméede cellules (cônes, bâtonnets) dont lataille moyenne est de 4 µm.

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Première approche de l’œil

V=60 δ, Fi=22.3 mm, Fo=-16.7 mm

Œil normal :◦ forme une image sur la rétine ;◦ objet mobile sur l’axe optique : le cristallin se déforme pour former

l’image sur la rétine → accommodation.◦ déformation maximale pour un objet placé à dm : distance minimale

de vision distincte dm=f(individu, âge, . . .)

dm ≈ 25 cm

Principaux défauts de l’œil :

◦ myope : trop convergent → l’image d’un point à l’∞ se forme avant larétine,◦ hypermétrope : pas assez convergent → l’image se forme derrière la

rétine (accommodation)Optique (3) 16 / 40


Modèle simple de l’œil

L’oeil est équivalent à un dioptre sphérique, on note E la position de larétine.

S C EA

n = 1.336, R = SC = 5.6 mm, − 1SA + n

SE = n− 1R

Distance mini : SA = dm = 25 cmDistance maxi : SA =∞

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Modèle simple de l’œil

Variation du rayon de courbure effectif :

SA = −∞ n

SE=n− 1

Rmax

SA = −dm 1

dm+

n

SE=n− 1

Rmin

Donc :

Rmax

Rmin= 1.07

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Limite de résolution

Sur la rétine, l’image de deux points A et A′ est distincte si la distanceBB′ est supérieure à 2 fois la taille d’une cellule.

S

C B

B'A

A'

α

α ≈ tanα =BB′

BC=AA′

AC

BB′ = 2× 4 µm et BC = 16.7 mm → α > 5× 10−4 rad = 1.4◦

L’image est inversée sur la rétine, c’est le cerveau qui la redresse !

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Exercice

Calculer la taille minimum d’un objet placé :au minimum de vision distincte dm,à 10 m.

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Exercice : la correction

Calculer la taille minimum d’un objet placé :

→ au minimum de vision distincte dm

AA′ = tan(α)×dm =BB′

BC×dm =

2× 4 10−6 × 25 10−2

16.7 10−3= 0.12mm

→ à 10 m

AA′ =AC ×BB′

BC≈ 10× 8 10−6

16.7 10−3≈ 5 mm

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Défauts de l’œil

Astigmatisme :◦ différence de focalisation dans un même plan de front des images de

deux directions perpendiculaires du plan objet◦ due au défaut de symétrie de révolution de la cornée◦ cet astigmatisme est compensé à l’aide de verres eux-mêmes

astigmatiques.

Correction des défauts de l’œil (myope et astigmatisme) :

◦ modification de la géométrie de la surface de la cornée◦ avec un laser excimère (exciplexes c.f. UV) on réalise une

photo-ablation d’une partie de la cornée, ce qui modifie sa courbure etdonc sa vergence.

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Défauts

Presbytie :◦ défaut d’accommodation de l’œil◦ éloignement du Punctum proximum◦ verres à correction progressive, la partie supérieure du verre

permettant la vision éloignée et la partie basse la vision proche.

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Loupe : une lentille convergente de faible focale

. . . qui augmente l’angle sous lequel on voit l’objet. L’objet est placé aufoyer objet.

S

C B

B'A

A'

α

vision à l’oeil nu

dm

S

C B

B'A

A'

β

Loupe

Sans loupe, l’objet est vu sous l’angle tanα = AA′/dm. Avec loupe, il estvu sous l’angle tanβ = AA′/f

Grossissement : G =tanβtanα = dm

f

Exemple : dm = 25 cm, f = 5 cm → G = 5 (×5 en notation commerciale)Optique (3) 24 / 40


Exercice : le microscope

A

A'

∆

FO1 F

i1 F

O2 F

i2

Objectif Oculaire

◦ Schématiser les faisceaux issus de A et A’ et construire l’image de lamonture de l’objectif donnée par l’oculaire (cercle oculaire). En déduirepourquoi l’observateur place son oeil au voisinage de F 2

i .

◦ Calculez le grossissement G, rapport du diamètre apparent de l’objet vu aumicroscope et du diamètre apparent vu à l’oeil nu.

◦ Vérifiez que pour f1 << ∆, G = ∆dm/(f1f2)

◦ A.N. f1 = 5mm, f2 = 25mm et ∆ = 16cm.

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A

A'

∆

FO1 F

i1 F

O2 F

i2

Objectif Oculaire

α β

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◦ − 1O1A

+ 1O1B

= 1f1, − 1

O2B= 1f2, ∆ + f1 = O1B

1O1A

= 1∆ + f1

− 1f1

= −∆f1(∆ + f1)

, F 1OA = f1 +O1A = −f

21

∆

β = BB′

f2, BB′

∆ + f1= AA′

AO1, G =

ββ0

où β0 est l’angle sous lequel l’observateur verrait l’objet à une distancedm

◦ β0 = AA′

dm, G = dm∆

f2f1

◦ Ex : f1 = 5 mm, f2 = 25 mm et ∆ = 16 cm → G = 320

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Microscopes optiques

monoculaire : 1 objectif, 1 oculaire ;binoculaire : 1 objectif, 2 oculaires ;trinoculaire : 1 objectif, 2 oculaires + sortie photo/vidéostéréoscopique : 2 objectifs, 2 oculaires ;objets opaques : éclairage par dessus ;contraste de phase : pour objets transparents ;

Limite de résolution : taille de l’objet ≈ λ (≈ 0.5 µm)

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Microscope électronique

photon ↔ électron ;lentille ↔ lentille magnétique ;

λ = h/p

Tension typique : 100 kV → G=500 000

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AFM : Atomic Force Microscope

basé sur l’interaction de dipôles

laser détecteur

pointe

objet

déplacementXY

Force constante ↔ distance pointe/surface constante

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Aberrations

Défauts des systèmes optiques :aberrations géométriquesaberrations chromatiques

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Systèmes optiques Aberrations

Aberrations géométriques

Dans l’approximation de Gauss, tous les rayons convergent au foyer.

C F B

Iθ1

θ2

α

Angles faibles : sin θ ≈ θ

Ce n’est pas vrai pour tous les rayons !

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n1 sin θ1 = n2 sin θ2IC

sinα=

CB

sin θ2α = θ1 − θ2

R

CB=

sin(θ1 − θ2)sin θ2

=sin θ1 cos θ2 − cos θ1 sin θ2

sin θ2= n cos θ2 − cos θ1

et

cos θ ≈ 1− θ2

2

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R

CB= n

(1− 1

2

θ21n2

)−(

1− θ212

)= (n− 1)

(1 +

θ212n

).

donc CB diminue quand θ1 augmente.

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Aberrations chromatiques

L’indice des verres varie avec la fréquence : c’est la dispersion qui permet ladécomposition de la lumière blanche.

Cauchy :

n ≈ n0 +C

λ20

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Cas des lentilles minces :

V = V1 + V2 = (n1)

(1

R1− 1

R2

)=

1

f

(n− 1)f =n− 1

V=

R1R2

R2 −R1

La quantité (n− 1)f est indépendante de la longueur d’onde.

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Toute variation ∆λ de λ entraîne donc une variation de f (et V ) :

∆V

V= −∆f

f=

∆n

n− 1.

On peut caractériser ∆n/(n− 1) pour des longueurs d’ondes de référence :radiation C (rouge) : 656.3 nm → nC

radiation D (jaune) : 587.6 nm → nD

radiation F (bleu) : 486.1 nm → nF ;

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Pouvoir dispersif :

K =nF − nCnD − 1

Autre notation : nombre d’Abbe :

A =1

K=

nD − 1

nF − nC

Classification des verres :Flints → silicates de potassium et Plomb avec n ≈ 1.6, 30 < A < 50.Ce sont des verres lourds qui dispersent beaucoup. Le cristal en faitpartie.Crowns → silicates de potassium et calcium avec n ≈ 1.5,50 < A < 65. Ce sont des verres légers qui dispersent peu. Ils sonttrès utilisés dans l’industrie.

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Réduction des aberrations

Deux lentilles accolées de matériaux différents :

∆λ0 → ∆V1, ∆V2

On cherche∆V = ∆V1 + ∆V2 = 0

soit0 =

∆n1n1 − 1

V1 +∆n2n2 − 1

V1A1

+V2A2

= 0

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Réduction des aberrations

Deux lentilles de vergences opposées : convergente + divergente

V1 =A1

A1 −A2V

Si V1 > 0 et A1 > A2 alors V > 0.

Crown Flint

1,5 1,6

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