Mr ABIDI Farid Série : ellipse 4 M3 (N-P)

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Exercice 1 Une unité de longueur étant choisie, on considère dans le plan un cercle (C) de centre F et de rayon 3a, où a est un réel strictement positif , et A un point du plan tel que AF = 2a . On considère les ellipses (E) dont l'un des foyers est F , passant par A et admettant (C) pour cercle directeur relatif au foyer F. La demi-droite [FA) coupe le cercle (C) en un point G . 1° a) Montrer que si F' est le second foyer d'une ellipse (E) alors F' appartient au cercle (C') de centre A et de rayon a . b) Soit I un point du cercle (C') privé de G , montrer que I est le second foyer d'une ellipse (E) . c) En déduire l'ensemble () des seconds foyers de ces ellipses (E) ? 2° F' étant un point de () , la droite (AF') recoupe l'ellipse correspondante ( 1E ) en B .

a) Montrer que BF + BA = 4a . b) Préciser l'ensemble (E') des points B lorsque F ' décrit () . c) Montrer que ( 1E ) et (E') ont même tangente en B .

3° Soit 'F1 et 'F2 deux points distincts de () . a) Préciser les tangentes en A aux ellipses ( 1E ) et ( 2E ) correspondantes respectivement à

'F1 et 'F2 . b) Comment doivent être disposés 'F1 et 'F2 par rapport à A pour que ces tangentes soient

perpendiculaires ? c) Construire ( 1E ) et ( 2E ) dans le cas où ( 'F1 'F2 ) est perpendiculaire à (FG) .

Exercice 2 On considère un triangle OBF rectangle en O tel que OF > OB et (E) l'ellipse de centre O dont l'un des foyers est F et dont l'un des sommets de l'axe non focal est B. 1. Construire les sommets de (E), on désignera par A et A' les sommets de l'axe focal et F' le

second foyer de (E). 2. Construire les deux tangentes à (E) parallèles à (BF) et préciser les points de contacts des ces

tangentes avec (E). 3. Soit H le point de [FB) tel que OH = BF et () la perpendiculaire à (BF) en H. Montrer que

() est tangente à (E). 4. Soit I un point du cercle de centre O et de rayon AB. Soit (C ) le cercle de centre I et passant par F et (C ') le cercle directeur relatif au foyer F'. les cercles (C ) et (C ') sont sécants en G et G'.

a) Déterminer les tangentes (D) et (D') à (E) issues de I. b) Montrer que 2 2 2IG IF ' AA ' . En déduire que IGF' est un triangle rectangle. c) Montrer que (D) et (D') sont perpendiculaires.

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Corrigé Exercice 1 :

1.a) On a : A appartient à (E) et 3a est le grand axe de (E) donc AF + AF’ = 3a D’où AF’ = 3a – AF = 3a – 2a = a. Ainsi: si F’ est le second foyer de (E) alors F’ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon a. b) I appartient à (C’) donc IA = a. AI + AF = a + 2a = 3a. Comme A E , F est un foyer de (E) et les points A, I et F ne sont pas alignés alors I est le second foyer d’une ellipse (E).

d) AF + AF’ = 3a donc AF’ = a. par conséquent l’ensemble ( ) des second foyers des ellipses (E) est le cercle (C’) privé de son point G. G n’appartient pas à cet ensemble car A est un point de (E) et A est un point du segment [FG].

2.a) 1B E BF BF' 3a BF BA AF' 3a BF BA 3a AF' Or F' alors AF’ = a. Par suite : BF + Ba = 3a + a = 4a. b) Lorsque F’ décrit ( ) , B décrit l’ellipse (E’) de foyers F et A et de grand axe 4a. c) B appartient à (E1) donc la tangente à (E1) en B est la bissectrice extérieure de l’angle FBA . Comme F’ appartient à la demi droite [BA) alors FBA = FBF' . On conclue que les ellipses (E1) et (E’) ont même tangente en B. 3. a) (E1) est l’ellipse de foyers F et F1’ , [FG) coupe (C) en G donc la tangente à (E1) en A est la médiatrice de [F’1G]. Puisque A est le centre de ( ) , F’ et G sont deux points de ( ) alors AG = AF’1 donc A appartient à la médiatrice de [F’1G] et A appartient à [FG] . IL en résulte que : AF + AF’1 = AF + AG = 3a donc A est un point de (E1).

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D’où la médiatrice de [F’1G] est la tangente à (E1) en A. Aussi la tangente en A à (E2) est la médiatrice de [F’2G]. b) Soit () la tangente à (E1) en A et (’) la tangente à (E2) en A. donc 1 2F G F G .

Comme F1’, F2’ et G sont des points de ( ) alors le triangle GF’1F’2 est rectangle et est inscrit dans le cercle ( ) donc [F’1F’2] est un diamètre de ( ) d’où A 1 2S F' F .

c) 1 2F F FG .

Soit O le milieu de [FF’1], 3aOC OC'.2

C et C’ sont les sommets principaux de (E1). 3aFD FD'2

, D et D’ sont les sommets secondaires de (E1).

Soit O’ le milieu de [FF’2], 3aOK OK '.2

K et K’ sont les sommets principaux de (E2). 3aFH FH'2

, H et H’ sont les sommets secondaires de (E2).

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Exercice 2 :

1. A,A C (O, BF) O(OF) ; F' S (F).

2. La perpendiculaire à (BF) en F coupe le cercle C (F’, 2BF), directeur relatif au foyer F’ de l’ellipse (E), en 1 2N et N . (T1) la médiatrice de [FN1] et T2 la médiatrice de [FN2] sont les tangentes à l’ellipse (E) parallèles à (BF).

3. H est le projeté orthogonal de F sur ( ) et OH = BF donc H est un point du cercle principal de (E) d’où ( ) est tangente à (E).

4. a) (D) la médiatrice de [FG] et (D’) celle de [FG’] sont les tangentes à (E) issues de I.

b) IG = IF donc IG² + IF’² = IF² + IF’² = 2 IO² + 2FF'

2 = 2 AB² +

2FF'2

= 2 OB² + 2OA² + 2OF² = 2 OA² + 2(OB² + OF²) = 2 OA² + 2BF² = 4OA² = AA’² Comme F’G = AA’ et IG² + IF’² = AA’² alors IG² + IF’² = GF’² D’où IGF’ est un triangle rectangle en I. c) (IG) est perpendiculaire à (IF’) dont (IG’) est perpendiculaire à (IF’) d’où [GG’] est un diamètre de (C).

D' D D'S S (G) S (F) G ' donc D' D IS S S il en résulte que D D'.