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V BLANCHOT

Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs

47

Chapitre 2 :

Torseur des efforts intérieurs

V BLANCHOT


48

Objet du chapitre

2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs

2.2. Dénomination des composantes de ce torseur

2.3. Diagrammes de sollicitation

2.4. Application : tir à la corde

2.5. Application : potence de perceuse

Sommaire du chapitre

Détermination et identification des sollicitations dans

les poutres. Diagrammes associés.

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49

Définition générale

Le torseur des efforts intérieurs représente les actions de cohésion au niveau

de la section de la poutre.

Il rend compte de l’état et du niveau de sollicitation d’une section.

Torseur des efforts intérieurs

=

Torseur de cohésion

=

Torseur de section

Vocabulaire

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50

2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.1. Coupure artificielle

Figure 2.1 : Représentation de la coupure artificielle

x

y

z

O

E1 E2

(S)

Partie amont Partie avale

G

E = E1 U E2

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51


Figure 2.1 : Représentation de la coupure artificielle

Equilibre de l’ensemble E :

PFS { } { }GGEExt 0T =→

Puisque E = E1 U E2 :

{ } { } { }G2EExtGEExtGEExt TTT1 →→→ +=

Soit :

{ } { } { }GG2EExtGEExt 0TT1

=+ →→

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52

E2

Partie avale


x

y

z

O

E1

(S)

Partie amont

G

Figure 2.2 : Poutre séparée artificiellement en 2 par la coupure en G

V BLANCHOT


53

partie des actions mécaniques extérieures sur E1 :

actions de E2 sur E1 à travers la section (S).

2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.2. Equilibre de l’amont (E1)

{ }GEExt 1

T →

Bilan des actions mécaniques sur E1 :

La liaison entre E2 et E1 est un encastrement.

{ }GEET

12→

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54

Le torseur des actions mécaniques de E2 sur E1 est appelé torseur des efforts

intérieurs ou torseur de cohésion ou encore torseur de section. C’est en effet cette

liaison (les efforts et moments qu’elle transmet) qui assure la cohésion des deux

éléments E1 et E2 de la poutre E.

Le choix de prendre les actions de la partie avale E2 sur la partie amont E1 est

une convention. Il dépend donc du choix de l’orientation de fait précédemment !!!


Définition du torseur des efforts intérieurs :

{ } { } { }GEEGamontavalGint TTT

12→→ ==

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55

{ } { } { }GamontExt,G

amontExt

GamontExt,G

amontExtGEExtGaExtGint M

FMF

TTT1 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=−=∑∑

∑∑

→

→

→

→ r

r

r

r

→mont→


PFS appliqué au tronçon de poutre E1 :

{ } { } { }GGintGEExt 0TT1

=+→

D’où la relation suivante du torseur des efforts intérieurs :

Résultante du torseur des efforts intérieurs

Moment du torseur des efforts intérieurs

V BLANCHOT


56

partie des actions mécaniques extérieures sur E2 :

actions de E1 sur E2 à travers la section (S).

2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.3. Equilibre de l’aval (E2)

{ }GEExt 2

T →

Bilan des actions mécaniques sur E2 :

{ } { } { }GintGavalamontGEE TTT −== →→ 21

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57

{ } { } { }GavalExt,G

avalExtGEExtGalaExtGint M

FTTT

2 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

===∑∑

→

→r

r

→v→


PFS appliqué au tronçon de poutre E2 :

D’où la relation suivante du torseur des efforts intérieurs :

Résultante du torseur des efforts intérieurs

Moment du torseur des efforts intérieurs

2.1.3. Equilibre de l’aval (E2)

{ } { } { }GGintGEExt 0TT2

=−→

V BLANCHOT


58


Par convention, le torseur des efforts intérieurs est le torseur des actions mécanique de l’aval sur l’amont (ici E2 sur E1).

Il s’exprime au point G et peut donc se calculer de 2 manières :

en passant par l’amont (voir 2.1.1)

en passant par l’aval (voir 2.1.2)

Synthèse :

{ } { } { } { }GaExtGaExtGamontavalGint TTTT mont→val→→ −===

2.1.3. Bilan et règle de calcul

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59


Le torseur des efforts intérieurs évolue en fonction de la position du point G qui peut bouger.

2.1.3. Bilan et règle de calcul

On peut être amené à considérer plusieurs coupures pour une même poutre, en

particulier lorsqu’on rencontre :

une discontinuité d’ordre géométrique (changement de direction de la

ligne moyenne), cas d’une poutre en équerre par exemple,

une discontinuité liée à des efforts concentrés ou à une liaison.

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60

2.2. Dénomination des composantes du torseur de section

X

YZ

2.1.3. Repère global et repère local

Une fois le torseur des efforts intérieurs calculé, il est intéressant de l’exprimer dans le repère local à la section droite.

Conventions du repère local :origine sur la fibre moyenne, en G,

est porté par la fibre moyenne de la poutre.xr

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61

Repères locaux

x

yz

2.2. Dénomination des composantes du torseur de section

X

YZ

zxy G

xyz G

B

C

D

AGX

YZ

2.1.3. Repère global et repère local

Figure 2.3 : poutre dans l'espace, repère global et repère localRepère global

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62

2.2. Dénomination des composantes du torseur de section2.1.3. Composantes du torseur de section

{ }Gz

y

z

yGint

MfMfMt

TTN

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

Expression du torseur des efforts intérieurs dans le repère local :

Nom des composantes :

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63

2.2. Dénomination des composantes du torseur de section2.1.3. Composantes du torseur de section

Semestre 1

Semestre 2

V BLANCHOT


64

2.3. Diagrammes de sollicitation

Ils consistent à tracer l’évolution de chacune des composantes du torseur de section en fonction de la position de la coupure en G.

Intérêt : localiser la section la plus sollicitée (voir applications)

zy T=

x∂Mf∂

yz T

xMf

−=∂∂

On démontre les relations suivantes entre les diagrammes d’effort tranchant et de moment de flexion :

Elles permettent de vérifier les résultats !!!!

V BLANCHOT


65

2.4. Application : tir à la corde2.4.1. Présentation du problème, modélisation

2 équipes de 7 joueurs

Figure 2.4 : tir à la corde au pays basque

V BLANCHOT


66

2.4. Application : tir à la corde2.4.1. Présentation du problème, modélisation

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

A B C D E F H

FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN

O

x

y

Simplification du modèle par symétrie

V BLANCHOT


67

2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

A B C D E F H


O

x

y

6 discontinuités (6 forces ponctuelles)

7 torseurs de section à exprimer :OA – AB – BC – CD – DE – EF – FH

Nombre de coupures

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68


1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

A B C D E F H


O

x

y

Torseur de cohésion entre F et H (soit 6<x<7)

G

Partie amont Partie avale

Rappel : { } { } { } { }GaExtGaExtGamontavalGint TTTT mont→val→→ −===

Le plus judicieux

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69



Calcul par l’aval :

{ } { } { } { }GGHExt,G

GHExtGHExtGaExtGamontavalGint M

FTTTT

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

====∑∑

→

→→ r

r

val→→

Bilan des actions mécaniques extérieures sur le tronçon GH :

seulement la force FH au point H

V BLANCHOT


70

Moment en G du torseur de cohésion : 2 méthodes de calcul

- Calcul vectoriel :

- Calcul algébrique :



Résultante du torseur de cohésion :00

N1000

00F

FFH

HGHExt ===∑ →

rr

000F

00

x70FGH)F(M)F(MM

H

HHHHGGHExt,G

rrrrrrrr=∧

−+=∧+==

→

→∑

0r

HFr

car la distance GH est parallèle à la force

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71



Commentaires :

Le tronçon FH est soumis à un effort normal N = 1000N.

N>0 c’est donc de la traction d’une intensité de 1000N.

Finalement on a pour le torseur de cohésion entre F et H (6<x<7) :

{ }G

GFH

int

000

00

N1000T

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

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72


1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

A B C D E F H


O

x

Torseur de cohésion entre E et F (soit 5<x<6)

G

y Partie amont Partie avale

Rappel : { } { } { } { }GaExtGaExtGamontavalGint TTTT mont→val→→ −===

Le plus judicieux

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73



Bilan des actions mécaniques extérieures sur le tronçon GH :

toujours la force FH au point H

et en plus la force FF au point F

{ } { } { } { }GGHExt,G

GHExtGHExtGaExtGamontavalGint M

FTTTT

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

====∑∑

→

→→ r

r

val→→


V BLANCHOT


74

Moment en G du torseur de cohésion : 2 méthodes de calcul

- Calcul vectoriel :

- Calcul algébrique :


Résultante du torseur de cohésion :

0r

car les bras de levier sont // aux forces

00

N2000

00

FF

00F

00F

FFFHFHF

HFGHExt =+

=+=+=∑ →

rrr

0FGH)F(MFGF)F(M)F(M)F(MM HHHFFFHGFGGHExt,G

rrrrrrrrrrrr=∧++∧+=+=

→→

→∑


V BLANCHOT


75


Commentaires :

Le tronçon EF est soumis à un effort normal N = 2000N.

N>0 c’est donc de la traction d’une intensité de 2000N.

Finalement on a pour le torseur de cohésion entre E et F (5<x<6) :

{ }G

GFH

int

000

00

N2000T

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=


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76


Synthèse des 7 torseurs de cohésion

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

A B C D E F H


O

x

y

G000

00

N7000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

G000

00

N6000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

G000

00

N5000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

G000

00

N4000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

G000

00

N3000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

G000

00

N2000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

G000

00

N1000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Chaque tronçon de corde entre 2 joueurs n’est donc pas sollicité de la même manière.

V BLANCHOT


77

2.4. Application : tir à la corde2.4.3. Diagrammes de sollicitation

Seule la composante d’effort normal est non nulle.

Figure 2.9 : diagramme de sollicitation en traction

Diagramme d’effort normal :

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78

600 mm

800

mm

A

B C

2.5. Application : potence de perceuse

Support de perceuse constitué de 2 profilés alu montés en équerre

2.5.1. Présentation du problème, modélisation

Figure 2.10 : potence de perceuse

FC = 100N

X

Y

Figure 2.11 : support perceuse, modélisation

modélisation600 mm

800

mm

10 kg

V BLANCHOT


79

2.5. Application : potence de perceuse2.5.2. Réaction de liaison

Potence encastrée en A Déterminons ses réactions

Bilan des actions mécaniques

{ }CC

CCABCF

000

0N100

0

000

0F0

TC

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

→r

Soit sous la forme d’un torseur :

{ }AA

A

A

AABCntencastreme

N00

0YX

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=→

Encastrement en A :

0N100

0

0F0

F CC −=−=r

Force ponctuelle en C :

Le problème est plan !

V BLANCHOT


80


PFS

Résultante :⎩⎨⎧

=+−=+

⇒=∑ → 0YF:y0X0:x

0FAC

AABCExt r

rrr

Moment en A : 0MM0M ABCntencastreme,AABCF,AABCExt,A C

rrrrrr =+⇒= →→→∑

V BLANCHOT


81


PFS

ABCF,A CM

→r

rCalcul de

Vectoriellement : CABCF,CABCF,A FACMMCC

rrrrr ∧+=

→

→→

= 0r

+C

C

xF60000

0F0

0800600

−=−∧

V BLANCHOT


82


PFS

ABCF,A CM

→r

rCalcul de

Algébriquement :

le moment est suivant Z

le bras de levier de A à C est égal seulement à

la distance BC car la distance AB est parallèle à

la direction de la force

le moment tourne de Y vers X, sens anti trigo

donc le moment est négatif

800

mm

A

B C

FC = 100N

X

Y

Figure 2.12

d

MA,Fc

Ainsi :

C

CABCF,A

xF60000

zFdMC

−=×−=

→

rrr

V BLANCHOT


83


Torseur des actions mécaniques de l’encastrement en A

800

mm

A

B C

FC = 100N

X

Y60 Nm

{ }AAC

CAABCntencastreme

Nm6000

0N100

0

F60000

0F0

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=→

100 NV BLANCHOT


84

2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs

Nombre de coupures

A

B C

FC = 100N

X

Y

1 discontinuitégéométrique

2 torseurs de section à exprimer :entre AB et entre BC

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85


Repères

A

B C

FC = 100N

XY

Repère global (A, X, Y, Z)

x

y

Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z)

xy

Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z)

V BLANCHOT


86


Torseur de cohésion entre B et C

A

B C

FC = 100N

xy


G(x)x

Figure 2.14

avalamont


0N100

0

0F0

FF CCGCExt −=−==∑ →

rr


{ } { } { } { }GGCExt,G

GCExtGCExtGaExtGamontavalGint M

FTTTT

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

====∑∑

→

→→ r

r

val→→

Bilan des actions mécaniques ext sur la partie avale :Seul la force FC agit sur l’aval, en C

V BLANCHOT


87



A

B C

FC = 100N

xy


G(x)x

Figure 2.14

avalamont

Moment en G du torseur de cohésion :Calcul vectoriel :


{ } { } { } { }GGCExt,G


FTTTT

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

====∑∑

→

→→ r

r

val→→

C

CCCCCGGCExt,G

F)x600(00

0F0

00

x6000FGC)F(M)F(MM

−−=∧

−+=∧+==

→

→∑rrrrrrr

V BLANCHOT


88



A

B C

FC = 100N

xy


G(x)x

Figure 2.14

avalamont

Moment en G du torseur de cohésion :Calcul algébrique :


{ } { } { } { }GGCExt,G


FTTTT

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

====∑∑

→

→→ r

r

val→→

C

CF,G

F)x600(00

zFGCMC

⋅−−=×−=

rrr

d

V BLANCHOT


89



A

B C

FC = 100N

xy


G(x)x

Figure 2.14

avalamont

Torseur de cohésion entre B et C, dans le repère local

{ }GGC

CGBC

int

100)x600(00

0N100

0

F)x600(00

0F0

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−−−=

Flexion simple suivant z

zr

V BLANCHOT


90


Torseur de cohésion entre A et B

A

B C

FC = 100N

xy


G(x)

x

Figure 2.15

aval

amon

t

Calcul par l’amont :{ } { } { } { }

GAGExt,G

AGExtAGExtGontaExtGamontavalGint M

FTTTT

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=−==∑∑

→

→→ r

r

m→→

V BLANCHOT


91



A

B C

FC = 100N

xy


G(x)

x

Figure 2.15

aval

amon

t

Rappel dans le repère global (A, X, Y, Z) :

{ }AAC

CAABCntencastreme

Nm6000

0N100

0

F60000

0F0

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=→

Bilan des actions mécaniques sur la partie amont :Seul l’encastrement en A agit sur l’amont

XY

Soit dans le repère local (A, x, y, z) :

{ }AAC

C

AABCntencastreme

Nm6000

00

N100

F60000

00

FT

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=→

V BLANCHOT


92



A

B C

FC = 100N

xy


G(x)

x

Figure 2.15

aval

amon

t

XY


GAGExt,G


FTTTT

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=−==∑∑

→

→→ r

r

m→→


00

N100

00F

FFC

ABCntencastremeAGExt

−=

−=−=− →→∑

rr

V BLANCHOT


93



A

B C

FC = 100N

xy


G(x)

x

Figure 2.15

aval

amon

t

XY


GAGExt,G


FTTTT

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=−==∑∑

→

→→ r

r

m→→

Moment en G du torseur de cohésion :⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∧+→−=→−=− →

→

→∑ ABCntencastremeAGAGExt,G FGA)ABCenc(M)ABCenc(MMrrrr

C

C

C F60000

00

F

00x

F60000

⋅−=∧

−−

⋅−=

V BLANCHOT


94



A

B C

FC = 100N

xy


G(x)

x

Figure 2.15

aval

amon

t

Torseur de cohésion entre A et B, dans le repère local

En passant par l’aval, on obtiendrait la même chose

{ }GGC

C

GAB

int

Nm6000

00

N100

F60000

00F

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−

−=

Effort normal : N Flexion pure autour de z

V BLANCHOT


95


Bilan des torseurs

A

B C

FC = 100N

xy

Figure 2.15

xy

Entre A et B : Entre B et C :

{ }G

GAB

int

Nm6000

00

N100T

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−= { }

G

GBC

int

100)x600(00

0N100

0T

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−−−=

V BLANCHOT


96

2.5. Application : potence de perceuse2.5.4. Diagrammes de sollicitation

Entre A et B : Entre B et C :

{ }G

GAB

int

Nm6000

00

N100T

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−= { }

G

GBC

int

100)x600(00

0N100

0T

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−−−=

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