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Universit Joseph Fourier - Grenoble I

N attribu par la bibliothque :

THSE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE LUNIVERSIT JOSEPH FOURIER

Spcialit : Matriaux, Mcanique, Gnie Civil, lectrochimie

prpare au laboratoire Sols, Solides, Structures - Risquesdans le cadre de lcole Doctorale I-MEP2

prsente et soutenue publiquement par

Fabrice Dupray

le 5 dcembre 2008

Comportement du bton sous fort confinement :tude en compression et en extension triaxiales lchelle

msoscopique

Directeur de thse : Laurent DaudevilleCo-directeur de thse : Yann Malcot

JURY

M. A. Ibrahimbegovi Professeur lENS Cachan PrsidentM. I. Carol Professeur lUPC, Barcelone RapporteurM. C. La Borderie Professeur lISA-BTP, Pau RapporteurM. E. Buzaud Docteur-Ingnieur au CEG/DGA ExaminateurM. L. Daudeville Professeur lUJF, Grenoble Directeur de thseM. Y. Malcot Matre de Confrence lUJF, Grenoble Co-directeur de thse

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Remerciements

Tout dabord, je tiens remercier ma femme Blandine pour son soutien durant ces troisannes, et surtout pendant la priode de rdaction : lautisme peut bel et bien ntre quetemporaire, et langoisse de la page blanche nexiste quen littrature.

Puis mes camarades du labo, ceux qui ont termin bien avant, Thomas, Hong, Luisa oudisons, en mme temps, Stphane, Florent, Luc, Lionel, Manu, Wenjie, Marcos... Sans oubliernos successeurs les Cdric, les Jrme, Jessica et tous les autres. Jen ai beaucoup appris surla montagne et lescalade, mais heureusement il y avait aussi les gteaux, que je gotais plus.Et tous les autres, runis le plus souvent autour de croissants comme tout bon vendredi matin.

Cette page est aussi loccasion de rendre hommage ceux qui nous quitt trop vite : Jane,Mark, Luc, les docteurs pensent vous.

Merci Yann pour sa prsence permanente, mme de loin, Laurent, jamais loin quandse faisait sentir le besoin dune signature urgente, et ric pour son savoir transmis. Maissurtout merci eux trois, et Jacky, de mavoir fait confiance depuis maintenant 4 ans, lersultat valait le coup, je crois.

Une bonne thse exprimentale ne peut exister sans bons techniciens, alors merci Chris-tophe et Roger.

Enfin, jexprime ici ma gratitude envers les professeurs qui mont fait lhonneur de parti-ciper au jury de cette thse, MM. Ibrahimbegovi, Carol et La Borderie.

Et pour finir comme Binet dans les Bidochon, je ne remercie pas la SNCF, qui ma rgu-lirement emmen ou ramen en retard cette dernire anne, le record de 300% de retard sur50minutes de trajet restant battre lheure actuelle.

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Rsum

Ce mmoire de thse a pour objectif de caractriser et de modliser le comportement m-canique du bton sous fort confinement, lchelle msoscopique, celle des granulats et de lamatrice cimentaire. Le cadre plus gnral de cette tude est la comprhension du comporte-ment du bton sous chargement dynamique de type impact, pouvant gnrer des pressionsmoyennes de lordre du GPa. Mais la caractrisation de la rponse dun matriau, dans un tatde contraintes homogne, ne peut se faire que par des essais quasi-statiques. Les essais djraliss au laboratoire 3S-R ont mis en vidence limportance des granulats dans la rponseen compression triaxiale du bton. La modlisation du bton lchelle msoscopique, sous laforme dune phase mortier et dune phase granulats, permet une reprsentation de leffet desgranulats. Une tude exprimentale du comportement de la phase mortier est ralise. Desessais usuels et des essais hydrostatiques et triaxiaux entre 60 et 650MPa de confinement per-mettent didentifier les paramtres dun modle de comportement de type plasticit couple lendommagement. Celui-ci reproduit la compaction non-linaire du mortier, lendommage-ment des essais de compression ou de traction simple et la plasticit sous fort confinement.Le modle biphasique utilise la mthode des lments finis, en utilisant un maillage cubiquergulier. Une mthode de Monte-Carlo est utilise pour placer sur cette grille des granulatsquasi-sphriques selon la granulomtrie mesure sur le bton de rfrence. Les simulationsnumriques sont compares aux essais exprimentaux sur ce bton. Ces simulations, dont lesparamtres sont identifis par les essais exprimentaux sur mortier, reproduisent les diff-rentes phases observes lors de la compaction hydrostatique. Lvolution des raideurs axialesavec le confinement est souligne, ainsi que la bonne reproduction des tats-limites des essaistriaxiaux sous fort confinement. Les facis de rupture des essais numriques sont comparables ceux des essais exprimentaux. Les chargements dextension triaxiale mettent en videnceles limites du modle biphasique.

Mots ClsBton ; Mortier ; Essai triaxial ; Bton numrique ; Modle coupl plasticit-endommagement.

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Abstract

This Ph.D. thesis aims at characterising and modeling the mechanical behaviour of concreteunder high confinement at the mesoscopic scale. This scale corresponds to that of the largeaggregates and the cementitious matrix. The more general scope of this study is the unders-tanding of concrete behaviour under dynamic loading. A dynamic impact can generate meanpressures around 1GPa. But the characterisation of a material response, in an homogeneousstate of stress, can only be achieved through quasi-static tests. The experimentations led in3S-R Laboratory have underlined the importance of the aggregates in the triaxial response ofconcrete. Modeling concrete at the mesoscopic level, as a composite of an aggregates phaseand a mortar phase, permits a representation of the aggregates effect. An experimental studyof the behaviour of mortar phase is performed. Usual tests and hydrostatic and triaxial highconfinement tests are realised. The parameters of a constitutive model that couples plasticitywith a damage law are identified from these tests. This model is able to reproduce the non-linear compaction of mortar, the damage behaviour under uniaxial tension or compression,and plasticity under high confinement. The biphasic model uses the finite element methodwith a cubic and regular mesh. A Monte-Carlo method is used to place quasi-spherical aggre-gates that respect the given granulometry of a reference concrete. Each element is identifiedby belonging either to the mortar or to the aggregate phase. Numerical simulations are com-pared with the experimental tests on this concrete. The parameters for these simulations areonly identified on the mortar. The simulations reproduce the different phases observed in hy-drostatic compression. The evolution of axial moduli under growing confinement is shown, asis the good reproduction of the limit-states experimentally observed under high confinement.The fracture aspect of numerical simulations is comparable with that of experimental tests.The triaxial extension loading shows the limits of this numerical model.

KeywordsConcrete ; Mortar ; Triaxial tests ; Numerical concrete ; Damage-plasticity model.

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Table des matires

Remerciements 3

Rsum 4

Abstract 7

Table des matires 9

Symboles et conventions 14

Introduction gnrale 19

Chapitre 1 tude bibliographique 23

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Comportement exprimental des btons et mortiers sous fort confinement 24

1.2.1 Comportement des mortiers sous fort confinement . . . . . . . . . . . 241.2.1.1 Phnomne de compaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.1.2 Comportement triaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.2 Comportement des btons sous fort confinement . . . . . . . . . . . . 311.2.2.1 Comportement en compression triaxiale . . . . . . . . . . . . . . 351.2.2.2 Comportement en extension triaxiale . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3 Modles de comportement du bton sous fort confinement . . . . . . . . 42

1.3.1 Les modles dendommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.3.2 Les modles de plasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4 Modlisation biphasique du comportement du bton . . . . . . . . . . . . 49

1.4.1 Les modles lments discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.2 Les modles lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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10 TABLE DES MATIRES

Chapitre 2 Essais exprimentaux sur mortier 59

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2 Dispositifs exprimentaux et chanes de mesure . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.1 Dispositifs pour les essais usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.1.1 Compression simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.1.2 Flexion 3 points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.1.3 Mesure par jauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.2 La presse GIGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.2.1 Prsentation de la presse triaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.2.2 Moyens de mesure et traitement des signaux . . . . . . . . . . . 66

2.3 chantillons de mortier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.3.1 Composition et ralisation des chantillons . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.3.1.1 Compositions du bton et du mortier . . . . . . . . . . . . . . . 722.3.1.2 Usinage des chantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3.1.3 Conservation du mortier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3.1.4 Porosit du mortier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.2 Mise en uvre des chantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3.2.1 Instrumentation des chantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3.2.2 Protection des chantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4 Rsultats dessais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.1 Essais non confins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4.1.1 Essais de compression simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.1.2 Essais de flexion 3 points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4.2 Essais confins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.4.2.1 Essais de compression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4.2.2 Essais de compression triaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.5 Compaction et modes de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.5.1 Caractrisation de la compaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.5.2 Caractrisation du comportement dviatorique . . . . . . . . . . . . . 89

2.5.3 Facis et modes de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Chapitre 3 Modle coupl endommagement-plasticit 95

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2 Description du modle PRM coupl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.1 Le modle de plasticit de Krieg, Swenson et Taylor . . . . . . . . . . 96

3.2.1.1 Description gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.1.2 Fonctionnement de la compaction . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.1.3 Fonctionnement du glissement de cisaillement . . . . . . . . . . . 98

3.2.2 Le modle dendommagement Pontiroli-Rouquand-Mazars . . . . . . . 99

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TABLE DES MATIRES 11

3.2.2.1 Description en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2.2.2 Formulation en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2.3 Fonctionnement du couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.3 Identification des paramtres pour le mortier . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.3.1 Paramtres dendommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.3.2 Paramtres de plasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.3.3 Comparaison avec les essais sur mortier . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Chapitre 4 Modle de bton numrique 123

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2 Ralisation et caractristiques du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.2.1 Stratgie globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2.1.1 Type dlments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.2.1.2 Mthode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.2.1.3 Choix des modles et caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2.2 Mise en place des granulats dans lchantillon . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.2.1 Caractrisation des granulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.2.2 Algorithme de placement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2.2.3 Type dchantillon et taille de maille . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.3 Validation du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.3.1 Validation du maillage et du chargement sur un cylindre monophasique 128

4.3.2 Sensibilit du modle la taille de maille . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3.3 Effet de la distribution des granulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.3.4 Effet de la limite dendommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.3.5 Validation des paramtres identifis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.4 Rsultats compars dessais numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.4.1 Modle granulats lastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.4.1.1 Comportement hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.4.1.2 Comportement triaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.4.1.3 Comportement en compression simple . . . . . . . . . . . . . . . 1444.4.1.4 Rponse globale du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.4.2 Modle affin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.4.2.1 Dfinition du modle affin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.4.2.2 Rsultats dessais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Chapitre 5 Comportement en extension triaxiale 155

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

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12 Table des matires

5.2 Comportement dun BHP en traction confine . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.2.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.2.2 Caractrisation uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.2.2.1 Matriau et chantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.2.2.2 Rsultats des essais usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.2.3 Essais de traction confine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.2.3.1 Dispositif exprimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.2.3.2 Chemin de chargement et rsultats dessais . . . . . . . . . . . . 161

5.2.4 Essais dextension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.2.4.1 Protocole exprimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.2.4.2 Rsultats dessais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.2.5 Analyse des rsultats dessais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.2.5.1 Effet du confinement sur le comportement en traction . . . . . . . 164

5.3 Comportement du modle numrique en extension . . . . . . . . . . . . . 1695.3.1 Objectifs de ces essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.3.2 Rsultats dessais dextension sur bton numrique . . . . . . . . . . . 170

5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Conclusions et perspectives 171

Bibliographie 176

Liste des figures 183

Liste des tableaux 190

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Table des matires 13

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14 Symboles et conventions

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Symboles et conventions

Abrviations

FEM ou MEF Finite Element Method ou Mthode des lments Finis

ITZ Interfacial Transition Zone ou aurole de transition

R30A7 Bton de rfrence, de rsistance caractristique fc28=30MPa et daffais-sement au cne dAbrams 7 cm

MR30A7 Mortier constituant du bton R30A7

HYD650 Essai de compression hydrostatique 650MPa de confinement

TXC50 Essai de compression triaxiale de rvolution 50MPa de confinement

TXE250 Essai dextension triaxiale de rvolution 250MPa de confinement

BHP Bton Hautes Performances

BN Bton Numrique

EL tat-limite

Notations exprimentales

Pc Pression de confinement

x, , m Contrainte axiale, latrale, moyenne

x, , v Dformation axiale, circonfrentielle, volumique

xd, d Dformations axiale et circonfrentielle recales aprs la phasehydrostatique

Conventions diverses

f 6= f Autant que possible, on diffrencie les paramtres et variables f critesen italique des fonctions f(x) crites en police droite

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Convention de signes pour les chapitres 2 et 4

x 0 en compressionx et 0 en contraction

Convention de signes pour le chapitre 3

x 0 en compressionx et 0 en contraction

Notations tensorielles

, Tenseur des contraintes, tenseur des dformations

I1 = Trace() Premier invariant du tenseur des contraintes

J2, J3 Deuxime et troisime invariants de la partie dviatoriquedu tenseur des contraintes

p =I13

Pression moyenne

q =3J2 Dviateur, ou contrainte dviatorique de von Mises

=13arccos

(33

2J3

J3/22

)Angle de Lode

Relations entre les notations pour les essais symtrie de rvolution

Pc = La pression de confinement donne la contrainte latrale

p = m = (x + 2)/3 Pression ou contrainte moyenne sont quivalentes

q = |x | Calcul du dviateur des contraintes

Les notations mnent la relation suivante, pour ces essais ou en contraintes principales :123

= p111

+ 23q

cos cos ( 2pi3 )cos( + 2pi3

)

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Symboles et conventions 17

Notations pour le modle coupl

en 1D en 3D Dformation (resp. tenseur des dformations)

Contrainte (resp. tenseur des contraintes)

E0 Module dYoung

0 Coefficient de Poisson

0 et 0 Coefficients de Lam

Dt Endommagement de tension (scalaire)

Dt,comp Endommagement de tension li de la compression

Dt,tens Endommagement de tension li de la traction

Dc Endommagement en compression

t Part du chargement correspondant de la tension

ft ft Contrainte (resp. tenseur des contraintes) de fermeture des fissuresen traction (ft0 caractristique scalaire initiale du matriau)

ft ft Dformation irrversible (resp. tenseur des dformations irrver-sibles) correspondant ft (resp. ft) (ft0 caractristique scalaireinitiale du matriau)

(fc, fc) (fc, fc) Caractristiques du matriau, correspondant en 1D au point focaldes dcharges en compression

M Dformation quivalente selon Mazars (1984) calcule partir de (resp. )

DM Endommagement selon Mazars (calcul partir de M )

DtM et DcM Endommagement en tension (resp. en compression) dfini parMazars (1984) partir de M

tM et cM Parts respectives entre DtM et DcM

0M , AcM , BcM , Caractristiques du matriau dcrivant lvolution de DcM et DtMAtM , BtM

Dformation quivalente calcule partir de ft (resp. ft)Dtt et Dct Endommagement en tension (resp. en compression) selon Mazars

calcul partir de

tt et ct Parts respectives entre Dtt et Dct

0, Ac, Bc, At, Bt Caractristiques du matriau dcrivant lvolution de Dct et Dtt

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Introduction gnrale

Contexte de ltude

La plupart des ouvrages dinfrastructure sont aujourdhui raliss en bton arm ou prcon-traint : ponts et ouvrages dart, barrages, enceintes de centrales nuclaires, ouvrages sensiblesde dfense. Si ce matriau est donc considr comme offrant une bonne rsistance dans cesusages sensibles, la quantification de cette rsistance aux impacts ou aux ondes de choc estun sujet ouvert. Les phnomnes ayant cours dans le bton lors dun impact sont aujourdhuibien dcrits, par exemple par Zukas (1992) ou Bailly et al. (1996), dont les conclusions sontreprises la figure 1. On observe en particulier que pendant la phase de pntration de lim-pacteur, ltat de sollicitation est un tat de compression triaxiale. En avant de limpacteur,on a des contraintes de cisaillement et de traction, donc un tat multiaxial.Le principal obstacle est la difficult obtenir une mesure exprimentale de la rponse dumatriau bton sous ces sollicitations dynamiques, en raison des caractres transitoire ethtrogne du champ de contraintes dans lchantillon. Une dmarche permettant une quan-tification de ce comportement est dutiliser comme point de dpart une tude statique soustrs fort confinement, complte par la prise en compte de leffet de la vitesse de chargement.

Le laboratoire 3S-R mne, en collaboration avec la DGA (Dlgation Gnrale lArme-ment), une tude long terme du comportement du bton sous sollicitations svres. Dansle cadre du protocole de collaboration PREVI (Ple de Recherche sur la Vulnrabilit desInfrastructures) entre la DGA, lUniversit Joseph Fourier, le CNRS et Grenoble INP, le vo-let exprimental de cette tude a conduit linstallation dune presse triaxiale statique degrande capacit, la presse GIGA. Cette presse a t installe sur le site du laboratoire 3S-R Saint-Martin-dHres, et a t inaugure en mai 2004. Son principal intrt est de permettreltude de grands chantillons de bton (de lordre du dcimtre), qui peuvent donc treconsidrs comme homognes, jusqu des niveaux de contrainte moyenne indits, de lordredu GPa. Un bton de rfrence, appel R30A7, a t cr cette occasion pour lensemble dela collaboration.

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Figure 1 Sollicitation dans le bton impact (in Bailly et al. (1996)

Comportement dynamique, statique et confin du bton

Le comportement dynamique du bton peut tre caractris directement par des essaisdynamiques, dont le dispositif le plus usuel est celui aux barres de Hopkinson. Cette mthodedessai noffre quune matrise trs relative du chemin de chargement, ainsi que des possibilitsdinstrumentation limites, lies la petite taille de lchantillon. Par ailleurs, cet essai nepermet pas datteindre lquilibre dans lchantillon, lorsque le matriau est fragile. Un autredispositif est lessai plaque-plaque, qui permet de caractriser le comportement dynamique dubton, mais dans des conditions plus svres, gnralement suprieures celles atteintes lorsdimpact classiques. Ce dispositif ne permet cependant pas de caractriser la rponse dunmatriau un trajet de chargement.

Les pressions atteintes dans le bton lors dun impact dun projectile de taille moyenne sontde lordre de plusieurs centaines de MPa. Pour un projectile ogival de 2,3 kg en acier, lanc 315m.s1, Gran et Frew (1997) ont mesur des pressions maximales denviron 300MPa.Des impacteurs diffrents peuvent mener des valeurs plus leves, il apparat donc utile desintresser des pressions plus leves. Seuls des essais quasi-statiques peuvent reproduireces niveaux de pression de manire homogne dans un chantillon.

Le comportement statique du bton est trs tudi, et de nombreuses modlisations sontproposes, bases sur lendommagement ou la plasticit. Pour passer de la statique la dyna-mique, on doit caractriser leffet de la vitesse de chargement sur le comportement du bton.Une vitesse de chargement leve se traduit par une apparente augmentation de la rsistance la compression (jusqu environ 3 fois fc) (voir Bischoff et Perry (1991)). Cet effet est prin-cipalement attribu aux effets dinertie tendant confiner le matriau pendant lessai (voirHentz et al. (2004)). Une trs forte augmentation de la rsistance la traction a aussi t ob-

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serve (jusqu environ 10 fois fc) (voir Rossi et al. (1994)). Ces augmentations de rsistancesont lies la teneur en eau du bton pour de faible vitesses de chargement. haute vitesseen traction, laugmentation de rsistance semble lie au mode de propagation des dfauts (cf.Hild et al. (2003)). La modlisation de cet effet est possible, par un modle comme celui dve-lopp par le Comit Euro-international du Bton (1993). Le reste du document ne concerneraque des chargements quasi-statiques.

Le comportement confin a t largement tudi jusqu des niveaux de pression de lordre de200MPa, et ce nest que rcemment que des niveaux suprieurs ont t atteints, par exemplepar Schmidt et al. (2008). Linfluence du confinement sur le bton est assez diffrencie decelle sur le mortier, comme cela a t mis en vidence par Akers et Phillips (2004). Les travauxde Vu (2007) et de Gabet et al. (2008) ont ouvert de nouvelles pistes dans ltude du com-portement du bton sous trs fort confinement, jusqu 650MPa. Les niveaux de contraintesatteints, la varit des trajets de chargement ainsi que les variations des paramtres du mat-riau (taux de saturation, rapport E/C, variations sur les granulats), ont conduit une meilleurconnaissance de la rponse du matriau, ainsi qu des questions sur les causes de ces obser-vations. En particulier, Vu et al. (2008a) a mis en vidence une prpondrance de linfluencedu squelette granulaire dans le comportement la limite sous fort confinement.

Lobjectif de cette tude est de valider une approche de modlisation biphasique, sparantmortier et granulats, comme indiqu la figure 2, pour des essais quasi-statiques et un tat secdu matriau, afin de mieux comprendre quels phnomnes proviennent du comportement dumortier et de celui des granulats lorsquon observe le comportement global du bton. On sou-haite donc tudier le matriau bton lchelle msoscopique, intermdiaire entre les aspectsmicromcaniques des phnomnes ayant lieu dans la pte de ciment et lchelle macrosco-pique qui considre le bton homogne. Cet outil doit permettre dtudier leffet de variationsde paramtres physiques ou gomtriques. Les observations de leffet du trajet de chargementmenes exprimentalement par Gabet (2006) sur le bton de rfrence peuvent tre comparesaux rsultats numriques. Ces observations, ainsi que la reproduction du comportement dubton exprimental, servent valider la modlisation biphasique mise en place, et identifierles points amliorer.

Figure 2 Principe de reprsentation du bton en 2 matriaux

Organisation du mmoire

Ce mmoire de thse est organis en cinq chapitres. Le premier chapitre prsente ltatdes connaissances sur les sujets lis ltude. Le comportement exprimental des mortiers et

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des btons sous fort confinement est dabord revu, puis leur modlisation par des modlesmonophasiques. Les modles dendommagement et de plasticit sont prsents, ainsi que ceuxutilisant les deux aspects de manire couple. Enfin on aborde les premiers dveloppementsde modles biphasiques raliss.Le deuxime chapitre est consacr ltude exprimentale du mortier constituant, avec lesgranulats, le bton de rfrence R30A7. On prsente avec prcision le dispositif exprimental,et la manire dont ont t prpars les chantillons de mortier. Les rsultats dessais sontensuite exposs et analyss en comparaison avec dautres essais sur mortier et avec les essaissur bton.Le troisime chapitre dcrit le modle utilis pour la modlisation biphasique du bton. Ilest constitu par couplage entre un modle dendommagement et un modle de plasticit.Chacun est dcrit sparment, puis la mthode de couplage est expose. Enfin on identifie lesparamtres du modle pour le cas du mortier de ltude.Le quatrime chapitre montre comment est ralis le modle de bton numrique biphasique,au niveau des stratgies de modlisation et de placement des granulats. Les rsultats descalculs effectus, bass sur la seule identification du comportement du mortier, sont ensuiteconfronts aux rsultats exprimentaux obtenus sur le bton R30A7.Le cinquime chapitre tend cette approche une autre sollicitation, lextension triaxiale.Des essais de traction confine et dextension triaxiale ont t raliss sur un autre bton, hautes performances. Le comportement du modle numrique biphasique est valu pour cessollicitations.On conclut sur les capacits du modle biphasique, et sur lapport de ces calculs dans lacomprhension des phnomnes mcaniques se droulant lchelle msoscopique dans lebton.

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CHAPITRE 1

tude bibliographique

1.1 Introduction

Le contexte gnral de ltude est la vulnrabilit des ouvrages en bton arm soumis desimpacts. Lorsquun massif de bton est soumis limpact dun projectile, de fortes contraintes,et particulirement une forte contrainte moyenne, sont observes dans le bton au voisinagedu projectile (cf. Gran et Frew (1997)). Le caractre directionnel du projectile est lui la causedun fort dviateur de contraintes, et sa vitesse implique des effets dynamiques. La prcisionet les difficults lies aux essais dynamiques rendent ncessaires une caractrisation quasi-statique de la rponse du bton sous fort confinement. Celle-ci permet des mesures prciseset directes des contraintes et des dformations dun chantillon, par des mthodes explicitesdans la section 1.2. La littrature sur le comportement mcanique du bton et sa modlisationmettent en vidence des approches diffrentes chelles, de la micromcanique de la ptede ciment au comportement homogne du bton lchelle macroscopique. Un objectif dela prsente tude tant daller vers le calcul douvrages, il parait logique de considrer lesmodles homognes, dont quelques exemples sont explicits la section 1.3. Cependant, lataille des chantillons de laboratoire ouvre la possibilit de sintresser des niveaux de dtailsuprieurs, comme cest lide de dpart des modles biphasiques, prsents dans la section 1.4.Cette approche souligne limportance du mortier dans le comportement global, cest pourquoile comportement exprimental sous fort confinement du mortier constituera le point de dpartde cette tude bibliographique.

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1.2 Phnomnologie exprimentale du comportement des btonset mortiers sous fort confinement

1.2.1 Comportement des mortiers sous fort confinement

Le mortier en tant que tel est rarement utilis comme matriau de construction, mais est unmatriau dont les caractristiques se rapprochent des btons, et en outre constitue une partiedu bton. Labsence de gros granulats implique que lon peut considrer des chantillons demortier comme homognes ds des dimensions rduites. Cela a longtemps rendu son tudeplus aise que celle du bton, tant donn les limitations techniques imposes par les pressestriaxiales fort confinement. Il concentre en outre les principales variations possibles dans lacomposition dun bton : type de ciment, rapport E/C, adjuvants ; ensuite, le taux de satu-ration du bton dpend pratiquement uniquement de celui du mortier ; enfin les dgradationsdorigine chimique agissent aussi sur lui. Cela en fait donc un matriau adapt des tudes ducomportement mcanique sous linfluence de variations de ces diffrents paramtres. Plusieursauteurs ont donc dcrit les caractristiques de son comportement mcanique non confin ousous confinement.

1.2.1.1 Phnomne de compaction

Une des proprits remarquables du mortier ltat initial est sa forte porosit, qui estparfois suprieure 30%. Une tude du comportement sous fort confinement du mortierpasse donc par ltude du comportement volumique, qui met en vidence le phnomne decompaction, phnomne diffus qui modifie les proprits lastiques du matriau et induitdes dformations irrversibles. Deux axes sont possibles pour les essais exprimentaux :unchargement en dformation uniaxiale, ou chargement oedomtrique, qui est plus facile mettreen uvre, ou un chargement de compression hydrostatique, qui ncessite lutilisation dunfluide pour lapplication de la pression de confinement.

La premire mthode, qui a t utilise par Baant et al. (1986) et Burlion (1997) prsentelavantage de permettre, avec un confinement passif, donc une simple presse, lobtention detrs fortes dformations volumiques. Son principal inconvnient est dentraner un tat decontraintes non homogne dans lchantillon, ce qui peut nuire la bonne comprhension desphnomnes mcaniques sy droulant. La seconde mthode a t utilise par Burlion et al.(2001) pour comparaison avec des essais oedomtriques, et par Williams et al. (2005).

Une revue de ces diffrents essais laisse apparatre des disparits trs nettes la fois dansles mthodes utilises et dans les rsultats. Les premires mthodes pour raliser des essais dedformation uniaxiale consistaient utiliser une chemise mtallique relativement mince placeautour de lchantillon du matriau tudi, suppos de module lastique trs infrieur celui delacier. Des jauges de dformations places sur la chemise permettent daccder la contraintelatrale applique lchantillon, tandis que des capteurs de force et de dplacement placsaxialement renseignent les contraintes et dformations axiales. Ces mthodes ne permettentcependant pas daller dans le domaine des trs hautes pressions, car lessai tait souvent arrtpar la rupture de la chemise, en particulier avec un matriau comme le bton dont le moduledYoung est tout de mme de lordre de 15% de celui de lacier.

Une autre mthode fut celle utilise par Baant et al. (1986) : au lieu de mesurer les

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1.2. Comportement exprimental des btons et mortiers sous fort confinement 25

contraintes latrales, les auteurs ont prfr sassurer que les dformations latrales restaientnulles, et ont donc utilis une chemise mtallique de trs grandes dimensions par rapport celles de lchantillon, selon le principe montr figure 1.1. Cette mthode est bien sr la plusproche de la thorie, mais certaines grandeurs demeurent inaccessibles.

Burlion dsirant aussi utiliser son dispositif pour ltude dun bton, il avait besoin de pou-voir tudier des chantillons de dimensions plus importantes. Il a donc utilis le premier prin-cipe prsent, mais avec une chemise beaucoup plus paisse et largement instrumente, ainsiquon peut le voir figure 1.2. Ainsi les essais ont pu tre mens jusqu de fortes contraintesmoyennes, en prservant des dformations radiales trs faibles et en mesurant la contraintelatrale en plusieurs points. Son tude approfondie des phnomnes se droulant lors de cetessai lont conduit adopter des mthodes concernant le remplissage de lespace initial entrelchantillon et la chemise, le graissage de la chemise, et la prise en compte de ces biais dansla mesure.

Williams, Akers et Reed ont eux choisi dutiliser une presse triaxiale de rvolution classique,dans laquelle lchantillon est donc entour de simples membranes, et o le confinement latralest contrl par un systme dasservissement de la pression de confinement aux dformationslatrales. Celles-ci sont mesures par un capteur LVDT mont sur des bras reliant deux plaqueselle-mme colles en vis--vis sur lchantillon. Ce dispositif, prsent figure 1.3, prsentelavantage de rduire toute influence lie aux frottements entre lchantillon et la chemise,mais sa prcision dpend entirement de celle du dispositif de mesure, qui repose sur unLVDT lui-mme trs sensible la pression, comme cela a t prouv par Gabet (2006) et Vu(2007), et qui en outre est localis au centre de lchantillon et ne peut donc garantir queltat de dformations est homogne.

Figure 1.1 Schma de principe des essais domtriques de Baant et al. (1986)

Tous les essais hydrostatiques sont raliss dans des appareillages similaires celui prsentfigure 1.3, mais sans utilisation du vrin axial. On prsente figure 1.4 les rsultats compars desessais de Williams et al. (2005) et dune partie de ceux de Burlion et al. (2001), qui a ralisdes essais sur des mortiers normaliss diffrents rapports E/C. Les compositions et dautresgrandeurs disponibles des mortiers sont reprises dans le tableau 1.1. Bien que lgrementdiffrents, ces mortiers sont comparables, ainsi que le montrent les courbes hydrostatiquesrespectives. On distingue nettement trois phases dans lvolution du comportement volumiquedes mortiers en compression hydrostatique : une premire phase lastique, dans les pressions delordre de leur rsistance la compression ; suivie dune phase plastique avec de lcrouissage,qui correspond aux grandes dformations ; et les essais se terminent par une phase durcissante.Il est plus dlicat de conclure sur les essais domtriques, qui savrent trs diffrents entreeux, les dformations volumiques atteintes par le mortier chemis tant pratiquement deux fois

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Figure 1.2 Schma de principe des essais domtriques de Burlion et al. (2001)

Figure 1.3 Schma de principe des essais domtriques et hydrostatiques deWilliams et al. (2005)

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plus importantes que celle atteintes dans le dispositif asservi. Cependant, mme dans les essaissur le mortier FACM, on constate un effet compactant des contraintes de cisaillement, quidiffrencient lessai oedomtrique de lessai hydrostatique. Une explication de ce phnomneest que ces contraintes peuvent favoriser le rarrangement des grains de sable du mortier unefois la pte de ciment fortement endommage, ce qui nest pas possible sous la seule pressionhydrostatique, et donc favoriser une diminution de volume supplmentaire. On retrouve dansles deux cas une phase plastique importante, suivie dune phase durcissante, mais seul lessaide Williams prsente une phase lastique initiale. Tout cela met en vidence limportance trsforte du dispositif exprimental, des conditions de drainage et de schage, sur le rsultat desessais.

nom du mortier mortier normal E/C 0,5 mortier FACMauteurs Burlion, Yurtdas Williams, Akers

Composants exprims pour 1m3 de btonSable 1350 kg/m3 1445 kg/m3

Ciment CEM I 42,5 : 450 kg/m3 ASTM Type I/II : 474 kg/m3

Eau 225 l/m3 275 l/m3

Agent rducteur deau 1,54 l/m3

Caractristiques physiques et mcaniquesPorosit 18.2% 23,7%Taux de saturation n.d. env. 50%Rsistance la compression n.d. (> 42,5MPa) 46MParapport E/C 0,5 0,58

Table 1.1 Caractristiques du mortier normalis de Burlion et du FACM de Williams

0 5 10 15 20 25 30 350

100

200

300

400

500

600

700

dformation volumique v = dV/V (%)

con

train

te m

oyen

ne p

(MPa

)

essai hydrostatique Burlionessai oedomtrique Burlionessai hydrostatique Williamsessai oedomtrique Williams

Figure 1.4 Comparaison des essais oedomtriques et hydrostatiques de Burlion et Williams

Ces diffrents auteurs ont donc mis en vidence et caractris le phnomne de compac-tion. Lendommagement du bton est coupl laugmentation de la microfissuration lie un chargement mcanique (Hsu et al. (1963)), et se traduit par un baisse de la raideur axialedu matriau. Une question importante est de dterminer si cette fermeture de la porositpeut tre assimile de lendommagement du matriau ou non. Pour cela, une comparai-son avec un autre matriau poreux de nature plus homogne, un aluminium poreux, est utile.Deux aluminiums poreux, respectivement 9 et 17%, ont t tudis par Bonnan (1996), sous

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chargements hydrostatique et domtrique. La forme gnrale des courbes, avec 3 phases suc-cessivement lastique, plastique avec crouissage et durcissante, constitue une caractristiquecommune avec les courbes obtenues sur mortier. Cependant on constate que les deux typesdessai donnent des rponses volumiques trs proches, au contraire des essais sur mortier. Enoutre, la rponse en dcharge est trs particulire, puisque linaire jusqu dcharge complte,et aprs retour pression nulle, la diminution de volume rsiduelle correspond exactementau volume des vides initial. Ces courbes mettent donc en vidence la stricte influence de lacompaction seule, sans endommagement.

Figure 1.5 Courbes de comportement volumique daluminiums poreux lors dessais hydro-statiques et domtriques : contrainte moyenne en fonction de la dformationvolumique (Bonnan (1996))

Dans ltude de Burlion comme dans celle de Williams, des cycles de dchargement-rechargement ont t effectus lors des essais oedomtriques. La conclusion est que les cyclesnont aucune influence sur la courbe enveloppe du comportement : cest--dire que ltat finalde contraintes et de dformation dun chantillon sollicit en dformations uniaxiales sera lemme quil y ait eu ou non des dcharges sur le chemin de chargement. On peut donc direque les cycles de charge-dcharge en compression hydrostatique ou domtrique ne sont paseux-mme source dendommagement. La dcharge elle-mme apporte dautres informations :le module de dcharge est trs lev, et les dformations rsiduelles sont importantes, ainsiquon peut le voir sur la figure 1.6. Les dformations rsiduelles sont cependant fortementlimites par la trs forte diminution du module de dcharge en fin dessai, qui donne doncun fort recouvrement de volume. Le phnomne dhystrsis visible sur cette figure nest pasncessairement li la rponse matriau, car les frottements entre lchantillon et la chemisepeuvent provoquer ce type de dissipation dnergie. La rponse du mortier sous ce type dechargement est clairement irrversible.

Les diffrences principales avec laluminium poreux sont donc dabord la dpendance ducomportement volumique la contrainte moyenne et la contrainte dviatorique, classiquepour les gomatriaux, et llasticit rsiduelle en fin de dcharge. Ces deux caractristiquesproviennent de lhtrognit du mortier lchelle microscopique. Le mortier est donc sus-ceptible de subir des rorganisations internes au niveau du squelette granulaire, dpendantesdu chemin de chargement.

Des informations supplmentaires importantes sur le comportement du mortier sous char-

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gement hydrostatique nous sont apportes par Schickert et Danssmann (1984). Ces auteursont ralis des essais de compression simple sur des chantillons ayant subi au pralable unchargement hydrostatique. Les principaux rsultats de ces essais sont repris figure 1.7. Onconstate une trs nette dgradation de la rsistance la compression simple des chantillonssollicits en compression hydrostatique. Cela dmontre que des dgradations de la structure dumortier et non seulement une rduction de sa porosit ont t provoqus par la compression hy-drostatique pralable. Lendommagement provoqu par une forte compression hydrostatiqueou domtrique, qui est li une forte rduction de volume et de porosit de lchantillon,sexprime une fois la pression de confinement redescendue.

Figure 1.6 Force axiale en fonction du dplacement axial pour un essai domtrique cy-clique de Burlion (1997)

Figure 1.7 Essais de Schickert et Danssmann (1984) : Rsistance rsiduelle la compres-sion simple en fonction de la pression hydrostatique de pr-sollicitation

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1.2.1.2 Comportement triaxial des mortiers

Le paragraphe prcdent a mis en vidence linfluence du chemin de chargement hydrosta-tique ou domtrique sur la courbe de comportement. Une faon classique de reprsenter lecomportement complexe de matriaux est de sparer les rponses sous chargement hydrosta-tique (la contrainte de rfrence tant la pression hydrostatique pour un essai hydrostatique,on utilise la contrainte moyenne p pour les autres chargements) et sous chargement dvia-torique (la contrainte de rfrence pour cette partie est la contrainte dviatorique q). Nousavons vu qu contrainte moyenne gale, les dformations volumiques atteintes taient plusleves lorsquune composante dviatorique des contraintes tait prsente.

Pour aller plus loin et caractriser cette rponse sous contrainte dviatorique, des essaistriaxiaux de rvolution sont ncessaires. Des essais de compression triaxiale ont t ralisspar Williams et al. (2005) dans ltude dj prsente, leurs principaux rsultats tant reprisfigure 1.8.Dautres essais ont t raliss par Buzaud (1998), mais sur un matriau lgrementdiffrent, le microbton MB50, tude dont les principaux rsultats sont prsents figure 1.9.Un microbton contient une plus grande quantit de sable (proche de la quantit utilise dansun bton normal), mais la taille du plus gros granulat est identique celle des mortiers. Cescourbes mettent en vidence les caractristiques majeures du comportement des mortiers liesau confinement.

La rsistance la compression triaxiale du matriau est nettement suprieure la rsis-tance la compression simple, et ce ds les faibles confinements, et que lon considre lacontrainte axiale totale ou la contrainte dviatorique. Le comportement volumique (figure1.8 droite) prsente une caractristique commune tous les essais, quon appellera la tran-sition contractance-dilatance, et qui correspond pour les essais o lon distingue un pic decontrainte un point trs proche, lgrement infrieur ce pic. Cette transition permet dedfinir un tat-limite caractristique du matriau, qui est une alternative ltat-limite usuel(pic de contrainte) dans les cas o un tel pic nest pas observ. La figure 1.8 (gauche) permetaussi de distinguer un changement dans le type de rponse du matriau entre les faibles confi-nements (jusqu 50MPa), la rponse 100MPa et les plus forts confinements (200MPaet plus). Jusqu 50MPa, on observe un pic de contrainte dviatorique, assez marqu jus-qu 20MPa, moins net 50MPa, pic croissant avec la pression de confinement. Lessai 50MPa est le premier prsenter une ductilit importante, ce qui permet dailleurs auxauteurs daller dcharger lchantillon, alors quune rupture tait intervenue aux niveaux in-frieurs. Lors de lessai 100MPa, le comportement est plastique avec crouissage, mais leniveau de contrainte dviatorique atteint est encore suprieur lessai 50MPa. Pour lesessais au-del de 200MPa, on observe une plastification assez brutale suivie dun plateaulgrement adoucissant, ce qui nest pas en ligne avec lvolution observe prcdemment.Surtout, les courbes dviatoriques des essais 200, 300 et 400MPa sont trs proches, diff-rant seulement par leur raideur tangente, lgrement croissante avec le confinement. Cet effetde seuil est reprsent la figure 1.8 (bas), o lon observe nettement un plateau de contraintedviatorique fort confinement.

Tous ces effets se retrouvent peu ou prou dans ltude de Buzaud. En particulier on retrouvele caractre plastique du mortier sous fort confinement, et le plateau de contrainte dviatoriquesur la figure 1.9 (droite), qui correspond aux extrmits des courbes. Dans cette tude, onconnat la conservation des chantillons, qui aprs conservation saturation, ont t exposs lair libre pendant 7 jours, ce qui pour des chantillons de petite taille (ici = 20 mm)suffit atteindre un taux de saturation de lordre de 50%, similaire celui mesur sur les

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chantillons du mortier FACM.

Les rsultats de ltude de Vu (2007) sur linfluence de leau sur le comportement dun btonmettent en vidence une courbe dtats-limites tout fait similaire dans le cas particulierdun matriau partiellement satur. Le niveau du plateau est fonction de la teneur en eaudu bton (Vu et al. (2008b)). Une tude de Yurtdas et al. (2004) sur leffet du schage surle comportement triaxial du mortier normal E/C 0,5 dont la composition a t donne dansle tableau 1.1 permet de confirmer cette hypothse, en montrant quun chantillon sec peutsupporter une contrainte dviatorique suprieure un chantillon humide, comme le montrele cas prsent figure 1.10.

Parmi ces tudes, seule celle de Buzaud dtaille le facis final des chantillons, pour ceux sousfort confinement : ceux-ci peuvent prsenter soit une forme lgrement en tonneau, soit unezone de forte dformations latrale, Buzaud souponnant celle-ci de provenir dun flambagestructurel initial. Dans tous les cas, au-dessus de 200MPa de confinement, aucun auteurne signale de fracture localise. Au contraire, une tude de Rutland et Wang (1997) visespcifiquement caractriser lorientation de la fracturation dans le mortier lors dessais decompression triaxiale quasi-statiques, jusqu 56MPa. Les rsultats de cette tude sont reprisfigure 1.11, et montrent que langle de la fracture par rapport la verticale augmente avecle confinement dans les basses pressions avant de se stabiliser vers 35. Ces deux rsultatscorroborent le changement de rgime de rupture qui a aussi t signal sur les essais deWilliams et al. , et quon appellera transition fragile-ductile.

La littrature donne un assez bon aperu des caractristiques qualitatives et quantitativesdu comportement et de la rupture du mortier en compression triaxiale ; ces essais sont pluscommuns que ceux dextension triaxiale (cest--dire un essai o la contrainte axiale est in-frieure la pression de confinement), car ils correspondent un tat de chargement plusfrquemment rencontr lors des impacts. Cependant, pour caractriser lensemble du com-portement triaxial du mortier, des essais dextension sont utiles, et trs peu dinformationssont disponibles. Quelques essais dextension avec diffrents chemins de chargement ont traliss des pressions de confinement moyennes (entre 50 et 65MPa) par Williams et al.(2005), et ces rsultats sont repris figure 1.12. Williams et al. dcrivent que chaque essai a tmen la rupture, et on voit que la courbe de rupture en extension est significativement plusbasse en valeur absolue que la courbe dtats-limites en compression, sans noter dinfluencedu chemin de chargement. On observe donc une forte influence de langle de Lode, surtout bas confinement, dont il faudra tenir compte dans tout modle de comportement hautepression.

Lensemble de ces tudes permet dapprhender les caractristiques ncessaires incluredans la modlisation du comportement du mortier : celles-ci sont donc la reprsentation de lacompaction, la reprsentation de lendommagement avec une fonction mmoire dpendante dela pression moyenne, et une diffrenciation des comportements en compression triaxiale sousfaible confinement (pic suivi dun adoucissement), fort confinement (plasticit), ainsi quenextension triaxiale.

1.2.2 Comportement des btons sous fort confinement

Le matriau bton peut tre dcrit comme constitu dun mortier similaire ceux quiviennent dtre prsents, et de granulats de plus grandes dimensions. On sattend donc

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Figure 1.8 Rsultats dessais triaxiaux entre 5 et 400MPa de confinement sur le mortierFACM par Williams et al. (2005) :

(gauche) Courbes contrainte dviatorique q - dformation axiale x(droite) Courbes contrainte dviatorique q - dformation volumique v

(bas) Contrainte dviatorique q la transition contractance-dilatance en fonctionde la contrainte moyenne p

Figure 1.9 Rsultats dessais triaxiaux entre 30 et 800MPa de confinement sur le micro-bton MB50 par Buzaud (1998) :

(gauche) Courbes contrainte axiale x - dformation axiale x(droite) Courbes contrainte dviatorique q - contrainte moyenne p

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Figure 1.10 Essais sur mortier 15MPa de confinement par Yurtdas et al. (2004) :Contrainte dviatorique maximale en fonction de la perte en masse

Figure 1.11 Angle de fracturation en fonction de la pression de confinement (inRutland et Wang (1997))

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retrouver certaines caractristiques communes avec le mortier. Cependant, bton et mortierdiffrent sur des points importants : dabord, la porosit dun bton est infrieure celle dunmortier, si on utilise des granulats peu poreux. Ensuite la prsence de ces granulats lors ducoulage a des consquences sur la microstructure du mortier : un bton moins fluide que lemortier coul seul peut plus facilement retenir des bulles dair, ce qui tend augmenter laporosit de la phase mortier du bton si on la compare la mme phase coule seule. En outre,il se cre linterface entre les granulats et le mortier une zone de transition, plus poreuse etplus fragile, appele aurole de transition (ITZ pour Interfacial Transition Zone). Pour finir,les granulats sont gnralement beaucoup plus rigides tant axialement que volumiquement, etils constituent un squelette granulaire lintrieur du bton.

Dun point de vue exprimental, le bton est plus difficile tudier, car la prsence desgranulats de grande dimension a pour consquence quun chantillon de bton ne peut treconsidr comme homogne que si ses dimensions sont trs suprieures celles du plus grosgranulat, ce qui donne une dimension caractristique de 10 cm pour un plus gros granulat de1 cm. Cette condition ne pose pas de problme en compression simple, mais reste un frein la ralisation dessais sous fort confinements. Les dispositifs dessais sous fort confinement(200MPa et plus) sont en effet dun cot lev, d leurs dimensions trs suprieures ladimension typique de lchantillon, en raison de lpaisseur ncessaire de la paroi de cellule,et du volume de fluide mettre sous pression.

Ainsi des essais sur des chantillons de bton ont t raliss partir de 1997 parGran et Frew (1997), qui a t jusqu une pression de confinement de 300MPa, puis parSchmidt et al. (2008), Warren et al. (2004), Williams et al. (2006), jusqu 400 ou 450MPa,et enfin par Gabet (2006) et Vu (2007) jusqu 650MPa. On prsente dans le tableau 1.2 lescompositions des diffrents btons cits.

type de bton bton B23 bton WES5000 bton SAM-35 bton R30A7auteurs Warren Schmidt Williams, Akers Gabet, Vu, Poinard

Composants exprims pour 1 l deauGranulats en kg 0,31 7,11 5,42 5,96Sable en kg 5,87 5,76 6,15 4,96Ciment Portland en kg Type I/II : 1,17 Type I : 1,81 Type I/II : 1.59 CEM I 52,5 : 1,56Eau en l 1 1 1 1Cendres volantes en kg 0 0,384 0 0Rducteur deau en l 0,009 0,015 (2 types) 200N : 0,0041 0Entraneur dair en l 0 0 0,0005 0

Caractristiques physiques et mcaniquesPorosit n.d. n.d. 20% 12,6%Taux de saturation n.d. sec n.d. sec env. 40% variableRsistance en compression 23MPa 45MPa 33,6MPa 38MParapport E/C 0,85 0,55 0,63 0,64

Caractristiques des essaish des chantillons (mm) 50 110 50 110 50 110 70 140Pc maximale (TXC) 400MPa 450MPa 400MPa 650MPa

Table 1.2 Caractristiques des btons tudis

Ces diffrentes tudes ont rvl de nombreuses caractristiques communes avec le compor-tement des mortiers. En particulier, sous un chargement de compression hydrostatique, onretrouve un comportement assez similaire, avec une compaction de lchantillon de bton quiest, si on la compare celle dun mortier, proportionnelle leur porosit respective, et quicomprend les mmes phases successives : lastique, de compaction et de durcissement. Ltudede Schickert et Danssmann (1984) a aussi dmontr que les mcanismes dendommagement

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sous compression hydrostatique taient les mmes entre le mortier et le bton. En effet, lafigure 1.7 montre quune pr-compression hydrostatique a les mmes effets sur la rsistance la compression des mortiers et du bton, dont les rsistances initiales taient comparables.Cette tude relativement faible confinement na pas mis en vidence dinfluence du com-portement des granulats sous ce type de chargement. Une tude de Poinard et al. (2008) surltat du bton aprs une compression hydrostatique met en vidence une fracturation fortedes granulats, ds un niveau de confinement de 400MPa. Celle-ci peut tre une source dediffrences entre les comportements des mortiers et des btons sous trs fort confinement. Lecomportement triaxial du bton diffre plus nettement de celui du mortier, sous linfluencedu squelette granulaire.

1.2.2.1 Comportement en compression triaxiale

Les diffrentes tudes mettent en vidence la hausse de la rsistance la compressiontriaxiale du bton. Comme sur les mortiers, on observe un pic de rsistance bas confine-ment, accompagn dun changement dvolution volumique de la compaction vers la dilatance.Sous fort confinement, on a de nouveau une absence de pic de contrainte axiale, mais tou-jours un tat-limite caractris par la transition contractance-dilatance du matriau. Cet effetest visible sur les courbes prsentes figure 1.13, tires des tudes de Williams et al. (2006)et de Schmidt et al. (2008). On caractrise donc de la mme manire que pour les mortiersltat-limite dun bton en compression triaxiale.

Cependant, les facis des chantillons aprs compression triaxiale diffrent nettement desfacis observs sur le mortier, qui se caractrisaient par une forte dformation en tonneauavec une fissure plus ou moins incline sous faible confinement et par labsence de macro-fissure sous fort confinement. Une tude de Sfer et al. (2002) dtaille le type de rupture enfonction du confinement jusqu une pression de 60MPa pour un bton usuel, et ce pourdes chantillons de grandes dimensions (diamtre 15 cm). Les rsultats de cette tude, pr-sents figure 1.14, mettent en vidence le changement de type de fracturation, passant dunefissuration distribue sous trs faible confinement une fracturation constitue dune ou deuxmacro-fissures trs inclines accompagnes dune forte micro-fissuration dans les granulats.Les tudes de Gabet (2006) et Vu (2007) compltent ces observations pour des plus fortespressions de confinement. Une vue densemble des facis de rupture est prsente la figure1.15. On retrouve 50MPa un facis comparable avec celui observ par Sfer et al. , avecune ou deux macro-fissures inclines. une pression suprieure, on retrouve une ou plusieursmacro-fissures, ou bandes de localisation, mais perpendiculaires laxe de chargement prin-cipal, ce qui diffre nettement du comportement des mortiers. Vu constate que ces bandescorrespondent une ruine totale de la matrice cimentaire, accompagne dun dchaussementde granulats. Le nombre de bandes semble dpendre de la dformation axiale maximale im-pose. Dans ce cas o la matrice cimentaire est totalement endommage, on met donc envidence leffet de la prsence des granulats.

Il est intressant de constater que leffet de hausse de la rsistance la compression triaxialepar rapport celle la compression simple est plus marqu sur un bton de faible rsistanceen compression simple, comme cest le cas de celui de ltude de Warren et al. (2004), dont lesrsultats sont prsents figure 1.16, que sur un bton de rsistance usuelle ou a fortiori sup-rieure. On constate en effet sur la figure 1.17 quil ny a pas de corrlation entre la rsistance la compression simple et la rsistance la compression confine. On trouve runis sur cettefigure des essais sur des btons entre 23 et 140MPa, et on saperoit que le bton ayant

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Figure 1.12 Rsultats dessais dextension triaxiale selon diffrents chemins de charge-ment sur le mortier FACM par Williams et al. (2005) :

(gauche) Courbes contrainte dviatorique q - dformation axiale x(droite) Courbes contrainte dviatorique q - contrainte moyenne p

Figure 1.13 Courbes contrainte dviatorique q en fonction des dformations volumiquesv (et axiales x droite) pour 2 types de bton :

(gauche) entre 100 et 400MPa de confinement sur le bton SAM-35 parWilliams et al. (2006)

(droite) 375MPa de confinement sur le bton WES5000 par Schmidt et al. (2008)

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Figure 1.14 Rsultats dessais triaxiaux basse pression (in Sfer et al. (2002)) :(gauche) volution des facis de rupture(droite) volution des comportements axial et volumique

Figure 1.15 Facis de rupture dchantillons secs de R30A7 (in Vu (2007))

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la plus grande rsistance la compression sous fort confinement a une rsistance la com-pression simple moyenne. La dispersion entre ces essais reste faible, en particulier dans lespressions de confinement moyennes, entre 100 et 200MPa. En dessous, la rsistance lacompression simple garde un effet important, comme on le voit sur les rsultats dessais deHanchak et al. (1992), qui sont dans le haut du spectre faible confinement, puis dans le basensuite. Il semble donc impossible de corrler la rsistance la compression simple cellesous fort confinement, cause de la prsence du squelette granulaire, qui semble contrler lecomportement du bton sous fort confinement (Vu (2007)). Inclure dans un unique modlede comportement un comportement de matrice et un comportement de squelette mne desmodles forcment trs complexes, qui justifient la dmarche de cette thse.

Un autre point a t relev par Schmidt (2003) dans sa thse concernant le comportementsous fort confinement du bton : il sagit du fluage sous compression hydrostatique ou triaxiale.Ce fluage est notable ds quelques dizaines de secondes de palier de chargement, Schmidtayant trouv une stabilisation au bout denviron 30 minutes. Ses essais montrent cependantquaprs une phase de fluage, la courbe de comportement du bton rejoint la courbe souschargement monotone. Cest un point qui a une forte influence sur les aspects exprimentaux,car il empche dobtenir la pente initiale dans la phase triaxiale. En effet, dans un dispositifexprimental classique, il se passe un certain temps aprs la fin du chargement hydrostatique,avant la mise en contact du piston axial et de lchantillon. Lchantillon se retrouve donctemporairement dans un tat de fluage. Cela permet au contraire lors de la dterminationdun module de dcharge dliminer toute composante de fluage de la mesure.

Figure 1.16 Rsultats dessais triaxiaux sur B23 (in Warren et al. (2004)) : Contrainteaxiale x en fonction de la dformation axiale x

1.2.2.2 Comportement en extension triaxiale

Comme pour les mortiers, on doit sintresser dans le cadre dun modle gnral sous fortconfinement des chargements triaxiaux autres que ceux de compression triaxiale, cest--dire les chargements pour lesquels langle de Lode est diffrent de 0. Le plus courant estlextension triaxiale, pour laquelle langle de Lode vaut 180. Des applications particuliresdu bton ont fait quune littrature plus riche que celle sur les mortiers sous le mme cheminde chargement existe. En effet, un tat de contrainte avec de la compression dans toutesles directions, mais avec deux directions dominant la troisime peut se rencontrer dans des

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Figure 1.17 Comparaison des tats-limites en compression de diffrents btons, tir deBuzaud (2004) et complt : contrainte dviatorique q ltat-limite en fonc-tion de la contrainte moyenne p

Figure 1.18 Rsultats dessais triaxiaux avec phases de fluage sur bton WES5000 parSchmidt (2003) :

(gauche) phase hydrostatique : contrainte moyenne p en fonction des dformations(droite) phase dviatorique : contrainte dviatorique q en fonction des dformations

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structures relles, lorsque lon met en uvre de la prcontrainte dans deux directions, etquun chargement quelconque vient sappliquer dans la troisime. Le confinement li laprcontrainte est couramment de lordre de 10MPa, ce qui a amen diffrents auteurs tudier lextension triaxiale des btons des pressions de confinement faibles moyennes. Ilfaut noter que sous faible confinement, la rsistance du bton est gnralement suffisante pourobtenir une contrainte de tension dans la direction axiale, on ne parlera plus alors dextensiontriaxiale mais de traction confine, ce qui ncessite un dispositif exprimental particulier,lchantillon devant tre coll au systme de chargement axial.

Les plus anciennes tudes du domaine de lextension triaxiale ont t ralises parMills et Zimmerman (1970) sur un bton usuel, et par Kotsovos et Newman (1979) sur diff-rents btons de rsistance la compression comprise entre 32 et 62MPa, pour des pressionsde confinement entre 17 et 69MPa, Kotsovos ayant en outre tudi le domaine de la trac-tion confine lors de ces essais. On prsente figure 1.19 certains de ces essais, qui rvlent lescomportements axiaux et radiaux typiques. On remarque que la dformation volumique estpratiquement nulle au cours de ces essais, puis dilatante en fin dessai, et que mme sous unepression leve, la contrainte finale est proche de 0MPa, donc du domaine de la traction.

Ces tudes utilisent un dispositif exprimental similaire celui des essais de compression djprsents, cest--dire quil sagit dessais triaxiaux de rvolution. Un autre type de dispositifpeut tre utilis, il sagit de presses triaxiales "vraies", utilisant des peignes pour appliquerles efforts sur un cube de matriau. De tels essais ncessitent des moyens exprimentauxparticuliers, et ont t raliss par Jiang et al. (1991), ou par Petkovski et al. (2006) dans lecas particulier des hautes tempratures. Ceux-ci permettent en outre de faire varier langle deLode, et donc davoir la rponse sous des chargements sans symtrie de rvolution. Tous lesessais dextension, indpendamment du dispositif, ont t runis dans le plan q/fc en fonctionde p/fc par Seow et Swaddiwudhipong (2005), dont on reprend la compilation de rsultatsfigure 1.20.

On observe 2 tendances sur cette figure : tout dabord, la courbe dtats-limites identifiepar Seow et Swaddiwudhipong en extension est significativement plus basse en valeur absolue,et donc non symtrique de la courbe dtats-limites en compression ; ensuite, si on observeles points exprimentaux et non la courbe, ceux-ci prsentent 2 phases : jusqu environ/fc = 2, soit p/fc = 1, 2, on nobserve pas de changement de pente, les points exprimentauxsont pratiquement aligns (le spectre slargit, mais il ny a pas dinflexion gnrale). Au-del,la courbe dessine par ces points sinflchit puis reste pratiquement parallle la courbe encompression pour les pressions leves. Mais le plus remarquable reste la trs faible dispersiondes rsultats, moindre quautour de la courbe en compression, alors que les donnes sontramenes une donne usuelle, la rsistance la compression, qui est gnralement considrecomme non caractristique haute pression. Les observations correspondent celles dj faitessur le comportement des mortiers en extension triaxiale.

Lensemble des essais triaxiaux sur bton prsents ont confirm la plupart des observationsralises sur les mortiers. La compaction est logiquement infrieure celle sur le mortier maisprsente les mmes phases successives (lastique, de compaction, puis de consolidation). Cecisexplique principalement par la porosit moindre du bton. Les courbes de comportementdviatorique prsentent les mmes caractristiques que celle du mortier, contrairement auxfacis de rupture, qui sont caractristiques des 2 matriaux : le bton prsente des bandesde localisation, dont linclinaison varie avec la pression jusqu tre perpendiculaires laxeprincipal de chargement, tandis que sur le mortier ces bandes napparaissaient plus au-del

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Figure 1.19 Rsultats dessais dextension triaxiale sur bton de rsistance 46,9MPa dif-frentes pressions de confinement (in Kotsovos et Pavlovic (1995)) : contrainteaxiale (en N/mm2 ou MPa) en fonction des dformations axiales et radialestotales

Figure 1.20 Comparaison des tats-limites de diffrents btons, tir deSeow et Swaddiwudhipong (2005) : ratio de contrainte dviatorique /fc( =

23q) ltat-limite en fonction du ratio de contrainte moyenne /fc

( =3p)

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dun confinement denviron 100MPa.

Les qualits dun modle ncessaires la description du comportement sous fort confinementdu bton ont t mises en avant, en premier lieu desquelles lutilit de sparer les deux phasesdu bton afin de mettre en vidence linfluence du squelette granulaire sur le comportementdensemble ; mais aussi les caractristiques (endommagement, compaction, plasticit) utiles la description du comportement du mortier.

1.3 Modlisation monophasique du comportement du bton sousfort confinement

Les modles visant dcrire un gomatriau htrogne petite chelle de manire homo-gne pour une utilisation lchelle macroscopique sont trs nombreux. On peut les classer detrois manires : les modles de plasticit, dendommagement et de fracturation. Il existe biensr des modles combinant ces diffrents effets. Dautre part, la formulation des critres peutse prsenter de deux manires : formulation en contraintes ou en dformations. Les critres deplasticit sexpriment en contraintes sous la forme F () = 0, ou parfois des formes simplifiesen raison du caractre isotrope du matriau, dans lesquelles est remplac par les contraintesprincipales [1, 2, 3] ou les invariants [I1, J2, J3] ou [m, vM , ], o vM est la contraintequivalente de von Mises et langle de Lode. Au-del de ce critre, une loi dvolution plas-tique gouverne le comportement. Les modles dendommagement peuvent tre exprims de lamme manire ou bien crits en dformations, cest dire F () = 0, et l encore on a ensuiteune loi dvolution, cette fois de lendommagement. Les modles de fracturation prsententaussi ce genre de critre, mais diffrent largement des deux autres puisquils introduisent uneligne de fracturation dans llment atteignant le critre, ligne qui a son propre comportementdinterface tandis que le reste du matriau garde les mmes proprits. On ne dtaillera queles deux premires familles qui nous intressent ici.

Lobjectif final de ltude mene au laboratoire 3S-R en collaboration avec le Centre dtudesde Gramat (DGA/CEG) est lapplication du modle a des problmes dynamiques. Le choixa donc t fait au dpart dutiliser une modlisation lments finis de type explicite, parfaite-ment adapte aux problmes dynamiques, et utilisable pour des cas quasi-statiques conditionde contrler les phnomnes inertiels. Celle-ci permet dutiliser, temps de calcul gal, desmodles de comportement plus fins, en raison de labsence ditration dans un pas de calcul.

1.3.1 Les modles dendommagement

La mcanique de lendommagement permet de modliser les effets de la microfissuration surle comportement lchelle macroscopique du bton. La base des modles dendommagementest lintroduction dune variable locale dendommagement jouant sur la raideur du matriau.Ce type de modle a t introduit initialement pour des matriaux mtalliques, pour repr-senter lchelle dune longueur caractristique des phnomnes de fissuration anisotrope dedimension caractristique trs infrieure (quelques microns contre quelques diximes de milli-mtres) (voir les travaux de Lemaitre et Chaboche (1978), repris par Montheillet et Moussy(1986)). Mazars (1984) a crit un modle de comportement driv de ces travaux adapt aucomportement uniaxial du bton, en compression comme en tension. Le modle utilise une

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1.3. Modles de comportement du bton sous fort confinement 43

seule variable scalaire dendommagement. Cela signifie que la densit de microfissures estsuppose la mme dans toutes les directions de lespace, ou encore que le matriau subit unendommagement isotrope. En outre, lhypothse classique que lendommagement ne dpendque des contraintes effectives , dfinies comme les contraintes sappliquant sur une surfacenon endommage, permet dcrire une quivalence en dformations, et donc dexprimer lemodle en dformations.

On va prsenter les quations constitutives de ce modle en mettant en vidence les pointsqui ont t amliors ultrieurement par diffrents auteurs. La variable interne dendomma-gement est D. Le potentiel dnergie libre W , exprim en dformations, scrit de la maniresuivante :

W =12(1D)ijEijklkl (1.1)

o Eijkl est le tenseur de Hooke, et ij sont les dformations. Les lois dtat dcoulent de cepotentiel par les drivations classiques :

ij =W

ij= (1D)Eijklkl (1.2)

Y = WD

=12ijEijklkl (1.3)

o ij sont les contraintes associes aux dformations ij , et Y le taux de restitution dnergieassoci lendommagement, qui est positif ou nul. Le taux de dissipation est gal ladiffrence entre la variation totale de lnergie mcanique et le taux dnergie libre. Il doitvrifier le second principe de la thermodynamique, ou ingalit de Clausius-Duhem :

= ij ij W = Y D 0 (1.4)

do D 0 du fait que Y 0. Cela signifie que dans un tel modle, lendommagement nepeut pas dcrotre. Il faut encore dfinir lvolution de lendommagement, qui est pilote parune fonction seuil et une loi dpendant des dformations. Le modle (potentiel dnergie libreet loi dvolution de lendommagement) est donc entirement crit en dformations.

On commence par la fonction seuil du modle de Mazars (1984), qui scrit de la maniresuivante :

f = (D) (1.5)o est la dformation quivalente selon Mazars (voir lquation 1.6), et la variable dhis-toire, valant initialement D0 le seuil dendommagement en tension, puis prenant la valeurmaximale historique de .

=

i

i2+ (1.6)

avec i les dformations principales ( x+ = x si x > 0 et x+ = 0 sinon). Ceci traduit le faitque lendommagement dans ce modle nvolue que sous leffet de dformations de tension,ce qui a t justifi par Mazars (1986), et correspond des microfissurations principalementnormales laxe de chargement en traction et parallles en compression.

Enfin la loi dvolution de lendommagement scrit sous la forme :

Di() = 1 D0(1Ai)

AieBi(D0 )

(1.7)

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dans laquelle lindice a prend les valeurs t (resp. c) pour la traction (resp. la compression).Les coefficients At, Bt, Ac et Bc sont les paramtres caractristiques du matriau. Enfin, lesdeux variables intermdiaires dendommagement Dt et Dc sont runies en fonction de ltatde dformations du matriau sous cette forme :

D = t()Dt + (1 t())Dc (1.8)

o t est la proportion relative des dformations positives, et un paramtre constant re-prsentant la dpendance au cisaillement. Ce modle reproduit bien le comportement typiquepour des chargements non-cycliques, comme on peut le voir figure 1.21.

Figure 1.21 Rponse du modle dendommagement de Mazars en traction simple (a) et encompression simple (b) (in Mazars (1994))

On voit donc quil est facile partir de l dintroduire plusieurs variables dendommage-ment scalaires indpendantes en compression et en traction, modification qui a t apporteultrieurement par Mazars et al. (1990) et La Borderie (1991).

A partir du mme cadre (mme potentiel dnergie libre), Marigo (1981) a dvelopp unmodle dans lequel la fonction seuil est exprime diffremment, sous la forme suivante :

f = Y (D) (1.9)

La loi dvolution est donne par la condition de consistance f = 0 et f = 0, qui mne :

D = fY

= (1.10)

o est appel le multiplicateur dendommagement. puis D = 1(Ymax).

Bod (1994) a suivi une autre approche en crivant la fonction seuil sous la forme suivante,qui est un pseudo-potentiel de dissipation :

f = Y k(Y ) (1.11)

o k est nomme variable dcrouissage par analogie avec la plasticit. La condition de consis-tance sapplique toujours et mne au mme multiplicateur dendommagement, mais on a lavariable supplmentaire z, fonction dcrouissage associe :

z = f

= (1.12)

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On choisit pour z la forme z = H, o H est donc appel module dcrouissage. On a doncD = z, ce qui permet de dcrire lvolution de lendommagement :{

si (f(Y ) = 0 et f(Y ) = 0) alors D = HYsi (f(Y ) < 0) ou (f(Y ) = 0 et f(Y ) < 0) alors D = 0

(1.13)

Il reste choisir une fonction H, fonction du taux de restitution dnergie Y, qui doit treintgrable de faon exprimer D en fonction de Y , ce quon ne prsentera pas ici.

Tous ces modles ont t appliqus avec succs au comportement du bton, en particulier enrsolution analytique. Lapplication des simulations numriques est plus dlicate : en effet,ces modles sont adoucissants aussi bien en traction quen compression (voir figure 1.21), cequi rend le problme numrique mal pos ds que le comportement devient adoucissant enun point. Il sagit alors de localisation, dfinie gnralement comme une zone o les dfor-mations restent continues, mais se concentrent dans une zone de taille trs petite vis--visde la structure (voir Bod (1994)). Avec ce type de modles, on trouve de forts gradientsdendommagement dans cette zone, ce qui entrane pour les simulations par lments finisune dpendance des rsultats au maillage. En effet, Baant (1976) a observ que la zone delocalisation devient proportionnelle la taille de llment fini o le critre de localisation estatteint. Plus la maillage est raffin, moins on dissipe dnergie, jusquau cas thorique extrmeo les dformations se concentrent dans un volume nul, do une nergie dissipe nulle (voirPijaudier-Cabot et Bod (1992)).

Adapter les modles dendommagement pour viter la dpendance au maillage a donc tune priorit pour leur dveloppement, ce qui a pris plusieurs formes. La premire, la plussimple, nomme crack band model par Pietrusczak et Mroz (1981) et Baant et Oh (1983),tait de fixer la taille de maille optimale pour la zone de localisation en fonction du modleutilis. Cette taille de maille devenait alors un paramtre du modle que lutilisateur devaitrespecter.

Une autre possibilit est dcrire le modle de telle manire que la densit dnergie dissipelors de la rupture (aire sous la loi de comportement) soit variable en fonction de la tailledes lments finis. Cette approche a t utilise par Willam et al. (1986), en utilisant commerfrence une proprit matrielle du matriau, lnergie de fissuration Gf , cest--dire laquantit dnergie dissipe lors de la rupture dune prouvette de longueur quelconque et desection constante. Ainsi la loi de comportement nest plus crite en fonction des dformationsmais en fonction des dplacements aux extrmits de llment fini de structure analys.

Une deuxime mthode est dintroduire directement dans la loi de comportement une lon-gueur interne. On peut pour cela utiliser une thorie non-locale, mthode dveloppe parPijaudier-Cabot (voir Pijaudier-Cabot et Baant (1987) et Pijaudier-Cabot et Bod (1992)).La fonction seuil devient dpendante de lnergie dissipe dans un volume autour du pointmatriel considr, caractris par une longueur caractristique lc. Pijaudier-Cabot et Baant(1987) ont observ que cette longueur est dpendante de la taille des htrognits du milieuconsidr, et ont propos pour le bton lc = 3g.

Ces diverses volutions ont conduit des modles robustes et utilisables aussi bien ana-lytiquement que dans des codes lments finis, mais ils ont toujours t optimiss pour leschargements non confins, compression ou traction uniaxiale, et donc adapts aux calculs destructures quasi-statiques ou vibratoires, mais pas la dynamique rapide ou aux forts confi-nements. Pour ces aspects, les recherches ont plutt port sur des modles de plasticit qui

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sont prsents au paragraphe suivant.

1.3.2 Les modles de plasticit

Les modles de plasticit trouvent une justification physique dans la mcanique des mtaux,et ont donc t dvelopps dans ce cadre. Lemploi de ces modles pour le bton pose desproblmes thermodynamiques, mais donne cependant de bons rsultats pour certains typesde trajets de chargement. Le principal obstacle lutilisation des modles de plasticit estle caractre unilatral du bton : en traction, le bton est un matriau fragile, tandis quencompression, il prsente plutt un caractre lasto-plastique crouissage ngatif : cela im-pose donc ventuellement de diffrencier la loi dcoulement plastique en fonction de ce critre.Feenstra (1993) a not que ces modles donnent cependant aussi de bons rsultats en compres-sion biaxiale. Avant de voir leurs capacits sous fort confinement, les principes de la plasticitet les principaux modles adapts au bton seront prsents.

Le principe gnral consiste en une partition incrmentale des dformations de la maniresuivante :

d = de + dp (1.14)

o e est le tenseur des dformations lastiques et p est le tenseur des dformations plastiques,dformations calcules incrmentalement par application dune loi dcoulement plastique.Lexistence dun potentiel dnergie libre est postul et permet la dtermination des quationsdtat. Le domaine de rversibilit du comportement est limit par une surface de charge F,plafond des dformations lastiques. Lvolution des dformations plastiques est guid parcette surface. Les conditions dvolution sont donnes par les ingalits suivantes :

F < 0 comportement lastiqueF = 0 et F = 0 coulement plastiqueF = 0 et F < 0 dcharge lastique

(1.15)

La forme de cette surface dans lespace des contraintes est un point-cl qui diffrencie lesmodles de plasticit. En fonction du nombre de paramtres dont elle dpend on la reprsentesimplement dans le plan (p, q), si le critre de plasticit est indpendant de langle de Lode, ouconjointement dans le plan dviatorique (perpendiculaire laxe hydrostatique). Les modlesde plasticit les plus simples sont de la forme F = g() k, o g est une fonction simple descontraintes principales ou des invariants de , et k est un paramtre qui peut tre fixe (ondit alors que la surface est sans crouissage), ou dpendre dautres paramtres et reprsenterlcrouissage. Par exemple, les critres de Tresca et de von Mises utilisent comme fonction gles dfinitions de la contrainte de Tresca (T = max

ij|ij |), respectivement de la contrainte

de von Mises q = vM =

12 [(1 2)2 + (2 3)2 + (1 3)2]. Dans le domaine des

gomatriaux, la contrainte de von Mises, qui est relie de faon bijective la valeur absoluedu deuxime invariant des contraintes, est la plus employe. Les modles de plasticit pour lesgomatriaux ont donc souvent consist crire la surface seuil sous la forme F = qF0Fpi, oF0 reprsente la fonction dfinissant le critre dans le plan (p, q) et Fpi est la fonction associe sa forme dans le plan dviatorique, gale 1 si celle-ci est un cercle, cest--dire dans lescas o lon considre un modle indpendant de langle de Lode.

Dans ce cadre, on peut citer les modles principaux que sont le modle de Drucker-Prager(Drucker et Prager (1952)), qui a introduit partir du modle de von Mises la bien connue

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dpendance des gomatriaux la contrainte moyenne sous la forme suivante :

F0 = p+ k et Fpi = 1 (1.16)

o et k sont les paramtres du matriau, pour ce critre qui prend la forme dun cnecentr sur laxe hydrostatique dans lespace des contraintes. La forme du seuil de plasticitdans le plan (p, q) est un paramtre dterminant dans lapplication dun modle de plasti-cit un matriau donn. Dans le cas du bton en compression triaxiale, il est admis (voirsection 1.2) quune courbe linaire est inadapte la description des tats-limites du btondans une large gamme de pressions. Lintroduction de fonctions F0 paraboliques a dans unpremier temps permis de dcrire ce type de forme, comme dans le modle de Mises-Schleicher(Schleicher (1926)). Les problmes poss par ce type de fonctions sur les essais sous trshaute pression ont men lintroduction de fonctions diffrentes, permettant de mieux repr-senter la faible augmentation du dviateur limite sous les trs forts confinements. On peutciter les fonctions de type racine de polynme (Swenson et Taylor (1983)), de type puissance(Kotsovos et Pavlovic (1995)), ou bien lutilisation de fonctions par morceaux, comme dansle critre MSDP (Aubertin et Simon (1998)), qui utilise le critre de Mises-Schleicher basconfinement puis le critre de Drucker-Prager (linaire) sous fort confinement.

Le critre le plus utilis pour les gomatriaux avoir introduit la dpendance de lasurface de plasticit langle de Lode est le critre de Willam-Warnke 3 paramtres(Willam et Warnke (1974)). Si on reprend le formalisme indiqu plus haut, on peut lexprimerainsi :

F0 = p b et Fpi = () (1.17)o b est un paramtre matriau et une fonction dpendante du matriau, dunique variable langle de Lode. Cette dpendance langle de Lode est indispensable pour reprsentercorrectement la fracturation en tension observe exprimentalement, comme sur la figure 1.20.Elle est gnralement dtermine partir du rapport des rayons en compression et en tractiondans le plan dviatorique, comme cela est indiqu la figure 1.22, dans le cas particulier delExtended Leon Model (ELM) (voir Etse et Willam (1994)), un modle driv du critre deWillam-Warnke 3 paramtres.

Figure 1.22 Influence de lexcentricit sur la forme de la surface de charge dans le plandviatorique pour lLM (Extended Leon Model)

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