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4 Introduction aux ondes électromagnétiques


4.1 Introduction

Les phénomènes électromagnétiques les plus importants pour les technologies modernes,et en particulier pour les télécommunications, sont ceux liés à la génération, propagationet captation d’ondes électromagnétiques (ondes EM). La vie moderne nous a familiariséavec les ondes électromagnétiques qui ne sont plus le rayonnement mystérieux que Hein-rich Hertz observait pour la première fois dans son laboratoire de Karlsruhe, Allemagne,en �� et dont l’existence avait été prédite par James Clerk Maxwell dans ses fameusesÉquations de l’Électromagnétisme (��). Dans ce chapitre, on introduit le concept d’ondeplane qui est l’expression mathématique la plus simple possible pour les champs d’uneonde EM. Après une étude simplifiée des propriétés générales de ces ondes planes, onvérifie que ces ondes sont en effet une solution des équations de Maxwell et on examined’autres propriétés spécifiques, notamment la relation entre les champs électrique et ma-gnétique d’une onde EM plane.

4.2 Concepts élémentaires

Les cours de physique nous familiarisent avec beaucoup de phénomènes ondulatoires,dont plusieurs (oscillations d’une corde, vagues dans la surface d’un liquide) partagentbeaucoup de propriétés communes avec les ondes EM et peuvent être utilisés commede bonnes analogies pour les expliquer. Ainsi, tous ces phénomènes ondulatoires ont uncaractère “transverse”, car le support matériel de l’onde (atomes de la corde, moléculesd’eau dans un étang) vibrent dans une direction perpendiculaire à la direction de propaga-tion. Les physiciens du �� siècle ont cru bon de postuler l’existence de “l’éther”, un milieudont les vibrations transverses seraient à l’origine des ondes EM. Le point de vue moderneest que les ondes EM n’ont pas besoin d’un support matériel (elles peuvent se propagerdans le vide) et que les agents dont la vibration transverse supporte la propagation d’uneonde EM sont deux champs vectoriels, le champ électrique et le champ magnétique, qu’onconsidère comme des propriétés ou des états particuliers des points de l’espace.

Plus près de notre domaine, on a vu que la généralisation de la théorie des circuits auxlignes de transmission conduit à des tensions et des courants qui se comportent commedes ondes, avec une amplitude, une phase, une fréquence et une vitesse (ou exposant depropagation dans le domaine fréquentiel). Pour le cas sans pertes, on a la dépendancemathématique classique

�� (4.2.1)

32 Cours d’Électromagnétisme I EPFL, © Juan Mosig, 15 octobre 2003

4.2 Concepts élémentaires

ou en termes de phaseurs

� �� (4.2.2)

où �� est un nombre complexe dont la norme (amplitude) et l’argument corres-pondent, respectivement, à la valeur efficace et à la phase de la grandeur harmonique�� représentée et où � ��.

Il est important de rappeler que la théorie des lignes de transmission montre clairementque tandis qu’amplitude, phase et fréquence sont imposées par le générateur, l’exposantde propagation, et donc la longueur d’onde et la vitesse, dépendent des propriétés de laligne.

Si la ligne de transmission n’est pas dirigée selon l’axe � mais selon une direction quel-conque définie par un vecteur unitaire ��, il suffit de remplacer la coordonnée � par le pro-duit scalaire �� . Maintenant, à la place du produit ��, il est utile d’écrire �� .On crée ainsi un exposant de propagation vectoriel � � �� qui inclut l’information sur ladirection de la ligne.

Il est raisonnable de s’imaginer que les champs d’une onde EM, qui se propage selon ladirection ��, doivent obéir au même type de dépendance mathématique. On peut donc es-sayer pour toute composante scalaire des champs électrique et magnétique (� � 3 � 3!� 3 ,4 �4!�4 ) une expression du type

��

�� (4.2.3)

valable en tout point � � �1� .� �� de l’espace euclidien tridimensionnel.L’exposant de propagation est désormais un vecteur

� � �� où � � �� ! � � � � �� $ ��%� � �� $ ��%� � �� $� (4.2.4)

avec, en général, trois composantes qui dépendent de la direction de propagation (coor-donnés sphériques $� % contenues dans le vecteur unitaire ��).

Donc une expression complète pour le champ électrique (vecteur �2) d’une onde EMpourrait être :

��

�3� �� 3�! �� !�3� ��

��

�� (4.2.5)

où l’on a accepté que les amplitudes et phases de chaque composante cartésienne peuventêtre quelconques. Une expression tout à fait identique s’appliquerait au champ magné-tique.

Une onde EM dont les champs électrique et magnétique sont donnés par des expres-sions du type (4.2.5) est appelée onde plane. En effet, les champs ont une amplitudeconstante �� en tout point de l’espace et la direction de propagation � est aussi un vec-teur fixe. La seule dépendance avec les coordonnés apparaît dans le terme exponentieldonnant la phase de l’onde. Tous les points situés dans des plans � � � � cste, perpendi-culaires à �, ont la même phase. Donc les surfaces équiphases sont des plans parallèleset l’onde est appelé “plane”.

Cours d’Électromagnétisme I EPFL, © Juan Mosig, 15 octobre 2003 33


Il est remarquable de constater que la notation phaseur permet de maintenir une écri-ture très compacte. Le prix est de devoir introduire une entité mathématique hybride

��

�3� � !�� 3�! � !��!�3� � !��

�� (4.2.6)

qui est appelée vecteur complexe ou vecteur-phaseur et qui doit être interprétée commeun vecteur dont les � composantes cartésiennes sont des nombres complexes. L’étudedétaillée des propriétés mathématiques de ces vecteurs-phaseurs est très importante enélectromagnétisme et fera l’objet des sections suivantes.

4.3 Polarisation des champs

Considérons le vecteur-phaseur donnant l’amplitude du champ d’une onde plane. On peutdévelopper l’équation (4.2.6) comme :

��

�3� � !�� 3�! � !��!�3� � !��

��

�3� �� 3�! ��!�3� ��

��

�3� �� 3�! ��!�3� ��

��

(4.3.1)

Donc, un vecteur-phaseur peut être vu comme un vecteur dont les composantes sont desnombres complexes mais aussi comme un nombre complexe dont la partie réelle et ima-ginaire sont des vecteurs.

Ce dernier point de vue est très intéressant. En effet, on revient au domaine temporelcomme suivant :

��

��

��

��

��

��

(4.3.2)

et on voit que le champ est une combinaison linéaire des deux vecteurs �� et ��. Il doitdonc rester à tout moment dans le plan formé par ces deux vecteurs. On peut maintenantse demander quelle est la variation temporelle de ce champ, c’est à dire quelle est la figuredécrite par l’extrémité du vecteur champ en fonction du temps. On appelle ce phénomènepolarisation du champ.

Le premier constat est que cette figure géométrique sera la même en tout point de l’es-pace, car on peut compenser un changement dans � � � en changeant l’origine de temps.Prenons alors — pour simplifier le calcul — le point � � , où

��

�� (4.3.3)

On voit alors qu’il existe une relation immédiate entre les parties réelle et imaginaire duvecteur-phaseur et les valeurs temporelles du champ, car

�� -��

�� (4.3.4)


4.4 L’onde plane solution des équations de Maxwell

où l’instant � � -�� (un quart de la période) correspond à �� )��. Alors, on peut réécrireéquation (4.3.3) comme

�� -�� (4.3.5)

Ceci est l’équation paramétrique d’une ellipse dont

�� et �� -��

�� (4.3.6)

seraient deux demi-axes conjugués.Donc, tout champ obéissant à l’équation (4.2.5) possède une polarisation elliptique.

Deux cas particuliers sont intéressants en technologie des télécommunications :

(a) Si les deux demi-axes conjugués sont perpendiculaires et de même longueur on aune polarisation circulaire :

�� et �� (4.3.7)

(b) Si les deux demi-axes conjugués sont colinéaires, l’ellipse dégénère en droite et ona une polarisation linéaire :

�� (4.3.8)

Dans le cas général l’ellipse est quelconque et ses demi-axes majeur et mineur ainsi queson orientation dans l’espace doivent être déterminés.

4.4 L’onde plane solution des équations de Maxwell

Tout courant électrique variant dans le temps, représenté par une densité de courant �#�m2 , est susceptible de générer un rayonnement électromagnétique. Si le courantagit dans un milieu linéaire des propriétés �5� 6), le champ électromagnétique �� estsolution des équations de Maxwell :

�� 6��

� �� 5�

�(4.4.1)

Ces équations seraient celles qu’on devrait résoudre (avec les conditions initiales et auxlimites adéquates) pour trouver, par exemple, les champs générés par une antenne. Icion considérera plusieurs simplifications supplémentaires. Tout d’abord, on fera l’hypothèsehabituelle d’un régime harmonique qui permet le remplacement �

� �� . Puis on renon-cera à étudier la génération des ondes et on se limitera à décrire leur propagation à l’ex-térieur des sources. Finalement, on commencera par considérer le cas simple d’un milieusans pertes à conductivité nulle �7 � ��. Donc, dans la région d’intérêt, il n’y a ni courantsde source ni courants de conduction et � �.

Alors, la version finale des équations de Maxwell à utiliser est :

�� 6� � �� 5� (4.4.2)



Il n’est pas difficile de remarquer déjà à ce stade la similitude avec les équations de télégra-phistes. Il s’agit en fait d’une généralisation vectorielle et tridimensionelle de ces équations.

Pour compléter le traitement mathématique, on prend d’abord la divergence des équa-tions (4.4.2) avec le résultat :

� �� (4.4.3)

Ces équations sont aussi associées au nom de Maxwell et elles montrent qu’en dehorsdes sources les champs électrique et magnétique l’ont une divergence nulle.

Maintenant, en prenant le rotationnel des équations (4.4.2) et en tenant compte deséquations (4.4.3) et de certaines propriétés du calcul vectoriel on trouve :

�� 65� � � ��

�� 65� � (4.4.4)

Ce sont des équations de Helmholtz, parfaitement analogues aux équations d’onde trou-vées pour la tension et le courant dans une ligne de transmission.

On peut enfin vérifier par substitution directe que les expressions postulées pour leschamps d’une onde plane (voir équation (4.2.5))

��

�� (4.4.5)

sont solution des équations de Helmholtz si l’on impose la condition

� � �� 65 � � � �

�65 (4.4.6)

On confirme donc la validité de la formulation “onde plane” pour les champs électrique etmagnétique d’une onde EM.

4.5 Relation entre les champs électrique et magnétique

L’introduction des expressions de l’onde plane (4.4.5) dans les équations de Maxwell (4.4.2)et (4.4.3) fournit la série d’équations suivant, liant les vecteurs��,��, � d’une onde plane :

� �� 6�� 5�� (4.5.1)

� � �� (4.5.2)

Avant d’interpréter physiquement ces équations il faut rappeler ici que tandis que � � ��et � est un vecteur purement réel, �� et �� sont des vecteurs-phaseurs complexes va-riant dans le temps dans un plan fixe et avec une polarisation elliptique (section 4.3). Leséquations (4.5.1) et (4.5.2) s’écrivent en termes de vecteurs réels comme :

� �� 6�� 5�� (4.5.3)

� �� (4.5.4)

Donc, en tout moment du temps les trois vecteurs �, �, � définissent un trièdre trirec-tangle. Les champs électrique et magnétique se trouvent tous les deux dans le plan per-pendiculaire (transversal) à l’exposant de propagation et donc à la direction de propagation


4.6 Modèle en ligne de transmission d’une onde EM plane

1

.

�

#

0

2

�

FIG. 4.1: Les ellipses de polarisation des champs électrique et magnétique d’une ondeEM plane, situés dans le plan perpendiculaire 1. à la direction de propagation � (axe �).# �� 0 �� -�� 2 �� -��

de l’onde. En plus, ils doivent avoir le même type de polarisation, mais les ellipses respec-tives sont tournées de �Æ � )�� l’une par rapport à l’autre. Il s’agit d’une onde planetransverse. La FIGURE 4.1 montre les relations géométriques entre ces vecteurs. La re-lation entre les amplitudes des champs électrique et magnétique est facilement trouvéecomme :

��

��

�6

5� � �� (4.5.5)

Par analogie avec la théorie des lignes de transmission, on appelle cette quantité impé-dance caractéristique du milieu où se propage l’onde. Elle a bien les dimensions d’uneimpédance mais elle n’a rien à voir avec le concept correspondant en théorie des circuits.Dans le vide (et à peu près dans l’air) � �

�6��5� ��) �. Ceci veut dire simplement

pour toute onde EM se propageant dans le vide loin des sources, le rapport entre le champélectrique mesuré en [V/m] et le champ magnétique mesuré en [A/m] est toujours de �� .

4.6 Modèle en ligne de transmission d’une onde EM plane

Compte tenu des valeurs obtenues pour l’exposant de propagation et pour l’impédance ca-ractéristique, on peut facilement conclure que les (composants des) champs électrique etmagnétique d’une onde EM se propagent dans un milieu sans pertes �5� 6� comme la ten-sion et le courant dans une ligne. L’impédance linéique de la branche série et l’admittancelinéique de la branche parallèle ont les valeurs :

� � � � ��6� � � �

�� 5 (4.6.1)



Donc le circuit équivalent associé à une distance élémentaire dans la direction de la pro-pagation est le circuit � de la FIGURE 4.2(a).

�� 6

� � 5

(a) Milieu sans pertes.

�� 6

� � 5

�� 7

(b) Milieu avec pertes de conduction.

FIG. 4.2: Circuits équivalents modélisant une distance élémentaire dans la direction de lapropagation d’une onde plane.

4.7 Généralisation aux milieux avec pertes

La propagation d’une onde EM au sein d’un milieu avec pertes (caractérisé par une conduc-tivité 7 non nulle et par la validité de la loi d’Ohm) se traduit par l’apparition d’un exposantcomplexe dans les expressions de l’onde plane, de la même façon que lorsqu’on introduitdes éléments résistifs dans une ligne de transmission.

En fait, la densité de courant n’est jamais nulle dans un milieu avec pertes même àl’extérieur des sources car la loi d’Ohm demande � 7� et des courants de conductionseront crées au passage de l’onde EM. Dans ce cas là, les équations de Maxwell (4.4.1)s’écrivent à l’extérieur des sources comme :

�� 6� � �� 5 � 7�� (4.7.1)

et les équations de Helmholtz deviennent :

�� 6��5 � 7��

�� 6��5 � 7�� (4.7.2)

Il suffit donc de remplacer formellement ��5 par ��5� 7. Ainsi du point de vue du circuitéquivalent, il suffirait d’ajouter une résistance en série (FIGURE 4.2(b)).

Une autre façon de voir les choses est d’écrire ��5� 7 � ��5 � �7�� et d’affirmerque les pertes de conduction se traduisent par une partie imaginaire négative s’ajoutant àla permittivité qui devient ainsi une permittivité complexe 5" avec

5" � 5� �7

�(4.7.3)

Quoi qu’il en soit, l’exposant de propagation de l’onde plane doit obéir maintenant auxéquations :

� � �� 6��5� 7� (4.7.4)


4.7 Généralisation aux milieux avec pertes

Malheureusement, ces équations ne suffisent pas à déterminer complètement le vecteur-phaseur tant qu’on ne connaît pas la direction des vecteurs (�, �) et surtout l’angle qu’ilsforment entre eux.

La propagation dans un milieu avec pertes est en général un sujet mathématique fortdélicat. Par exemple, les équations (4.5.1), (4.5.2) restent valables mais maintenant lestrois vecteurs ��, ��, � sont complexes. De ce fait, le produit scalaire nul � �� n’im-plique aucune perpendicularité géométrique mais des relations algébriques assez compli-quées entre quatre vecteurs réels ��, ��, �, �.



Complément au thème IV : Propriétés physiques des ondesplanes

4.8 Les vagues dans un étang : ondes circulaires et ondesplanes

Les expressions ��

�� (voir éq. (4.4.5)) sont certainement so-lution des équations de Maxwell et peuvent donc correspondre aux champs d’une ondeEM. Cependant, on doit s’interroger sur la viabilité physique de telles expressions.

En effet, on a pris comme modèle et point de départ les expressions pour la tension etle courant dans une ligne de transmission. Mais là, il s’agit de grandeurs définies seulementpour certains points de l’espace, tandis que l’onde EM est un phénomène continu qui existedans tout l’espace euclidien. Or, l’équation postulée implique un champ électrique dont laphase varie linéairement avec les coordonnées, mais dont l’amplitude resterait constanteen tout point de l’espace depuis moins l’infini jusqu’à plus l’infini !

Ceci est de tout évidence une impossibilité physique et nos formules seront au mieuxune approximation valable dans une certaine région. Pour mieux comprendre les restric-tions physiques à imposer, on peut revenir à l’analogie de la surface de l’eau dans unétang (au laboratoire un grand bac suffit ...) au centre duquel on génère un mouvementharmonique vertical avec une fréquence ��)� [Hz] fois par seconde (par exemple enintroduisant et retirant la main).

Ce problème s’étudie logiquement en coordonnés cylindriques. Les phénomènes àproximité de la main sont fort complexes. Néanmoins, dans les points de la surface del’étang relativement éloignés de la main, il s’établit une succession de vagues dont la hau-teur obéit à la loi

8�� %� �� 8�� %� �� (4.8.1)

Cette expression nous montre que les vagues se propagent de forme radiale à partir deleur source (la main). Les “fronts d’onde” ou lignes équiphase (les lieux des points oùse trouvent, par exemple, les maximum des vagues à chaque moment) sont donnés parl’équation �� +9�� et ce sont donc des cercles centrés sur le centre de la source. Lafonction d’amplitude 8� � 8�� %� peut dépendre de la coordonnée angulaire (vagues plusfortes dans certaines directions) ou sera indépendante de l’angle % si la source a unesymétrie de révolution (un piston cylindrique à la place de la main). Mais en tout cas,l’amplitude doit décroître avec la distance à la source �, comme il faut dans ce type dephénomènes physiques. Si maintenant on observe les vagues dans un secteur petit del’étang limité par les coordonnées cylindriques

�� %� ��%� avec �� %� �) (4.8.2)

on constate que l’on peut introduire sur cette région l’approximation “amplitude constante”suivante :

8�� %� �� 8�� %� �� 8�� %�� 4� �� (4.8.3)


4.9 Les champs d’une antenne dipole : ondes sphériques et planes

Remarquons cependant qu’on ne peut pas faire en général l’approximation � � � dans leterme de phase car la distance est multipliée par l’exposant de propagation et peu importeque �� soit petit par rapport à �� si �� demeure un angle de valeur non négligeable.

Donc, sur une petite portion de l’étang les vagues ont une amplitude presque constanteet les fronts d’onde (cercles de grand rayon) apparaissent comme des lignes droites per-pendiculaires à la direction de propagation.

4.9 Les champs d’une antenne dipole : ondes sphériques etplanes

Pour généraliser l’exemple précédent, nous considérons maintenant la fonction ondulatoireen coordonnées sphériques

�� $

�� (4.9.1)

qui est associée aux champs électrique et magnétique générés par une antenne dipôle élé-mentaire (doublet de Hertz) dans la region du champ lointain. Si l’on observe cette fonctiondans le plan 1� �. � �� et à un moment donné (pour une valeur fixe du temps), on obtientle comportement relativement complexe des FIGURE 4.3(a) (représentation 3D avec MAT-LAB SURF) et 4.3(b) (représentation courbes de niveau avec MATLAB CONTOUR). Dansla FIGURE 4.3(b), le plan 1� est le plan de la figure et les coordonnées sphériques �� $�deviennent les coordonnées polaires par rapport à l’axe vertical. Si maintenant on étudie

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

(a) Réprésentation �� dans un plan coordonné etdans un instant du temps pour �� .

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

(b) Réprésentation en lignes de niveau del’onde EM sphérique de la FIGURE 4.3(a)dans un plan coordonné et dans un instantdu temps pour �� .

FIG. 4.3: Réprésentation d’une onde EM sphérique. Les petites valeurs de � ne sont pasreprésentées pour indiquer que l’expression n’est pas valable près de la source.



l’amplitude de l’onde (l’enveloppe de toutes les variations temporelles) �� $��on obtient les surfaces équiamplitude des FIGURE 4.4 qui montrent clairement des va-leurs maximales dans les directions horizontales $ � )�� )�� et nulles dans les direc-tions $ � �� ). Néanmoins, les surfaces équiphase sont toujours des surfaces sphériquesconcentriques (cercles noirs dans les FIGURE 4.4). On a bel et bien une onde sphérique.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(a) Surfaces équiamplitudes en couleur. (b) Surfaces équiamplitudesen lignes de niveau.

FIG. 4.4: Surfaces équiamplitude (frontières délimitant des zones de couleur différente) etéquiphase (cercles concentriques noirs) associées à l’onde EM générée par une antennedipôle.

Maintenant, on peut se concentrer sur une région dont les dimensions sont petitespar rapport à la distance à la source (le carré noir des FIGURE 4.4 ). Les FIGURE 4.5 etmontrent un zoom de cette région. On voit que l’amplitude varie relativement peu et pourraitêtre considérée comme constante sur toute la région. En revanche, la phase a encore unevariation très importante. En fait, la phase ne peut être considérée constante que si lesdimensions de la région sont petites par rapport à la longueur d’onde, tandis que pour uneamplitude presque constante il suffit que la taille de la région soit petite par rapport à ladistance à la source.

A cause des dimensions de la région représentée dans la FIGURE 4.5(a), les surfaceséquiamplitude et équiphase apparaissent toutes les deux comme des plans et l’on parled’onde plane. Cependant, il faut remarquer que l’orientation de ces plans est en généraldifférente pour l’amplitude et pour la phase. Une onde plane dont les plans équiamplitudeet équiphase coïncident (les variations de l’amplitude et de la phase se font dans la mêmedirection) est appelée uniforme. Quand on approche l’amplitude par une valeur constante(dans une région éloignée des sources et dans un milieu sans pertes), il n’y a plus deplans équiamplitude (toute la région est équiamplitude !) et l’onde plane est par définitionuniforme.

Par exemple, lors de l’étude de la réception d’ondes EM dans un téléphone portable(dimensions de l’ordre de la dizaine de centimètres), la source (station de base) se trouve


4.10 La décroissance radiale des champs électromagnétiques

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

0.76

0.78

(a) Surfaces équiamplitudes en couleur.

0.78

0.76

0.74

0.72

0.7

0.68

0.66

0.64

60

80

100

120

(b) Surfaces équiamplitudes enlignes de niveau.

FIG. 4.5: Zoom de la FIGURE 4.4(a). Sur cette région l’onde peut être considérée commeétant “plane”.

d’habitude à une distance variant entre quelques dizaines de mètres et quelques kilo-mètres. Le téléphone (et même un volume plusieurs fois plus grand) peut être considérécomme étant sous l’effet d’une onde plane d’amplitude constante. En revanche, à la fré-quence du téléphone (environ �GHz), la longueur d’onde est de �� cm et donc � cm repré-sente déjà un changement de phase de ��Æ � �)�� rad. La variation linéaire de la phasedoit être conservée dans les calculs.

Aussi, la lumière du Soleil peut être considéré comme une onde plane sur la totalité dela planète Terre.

4.10 La décroissance radiale des champs électromagnétiques

On peut essayer ici de préciser la loi avec laquelle les champs doivent décroître avec la dis-tance. Si l’on considère un ballon formé par une membrane élastique de forme sphériqueet masse total : , on comprend tout de suite que la densité surfacique de la membrane� �kg�m� (la masse au mètre carré, qui sera en principe proportionnelle à l’épaisseur dela membrane) dépendra de l’état de gonflement du ballon. Si � est le rayon du ballon, onaura � � :��)��. Ceci est vrai seulement si chaque molécule du ballon se déplace defaçon strictement radiale pendant le gonflement.

Pour une onde EM dans un milieu sans pertes c’est la puissance ; �W de l’émet-teur qui doit se conserver car dans ce cas l’énergie électromagnétique ne peut pas setransformer dans un autre type d’énergie. Près de la source il y a des “tourbillons” et desdéplacements latéraux de l’énergie. Mais à partir d’une certaine distance, le front d’ondedevient sphérique et la propagation est purement radiale. Alors, au fur et à mesure quel’onde s’étale sur des surfaces sphériques de rayon � croissant, la densité surfacique de



puissance � �W�m� doit décroître comme le carré de la distance : � � ;��)��. On peutmontrer en théorie de l’électromagnétisme que la densité de puissance d’une onde EMest donnée par le produit des champs électrique � �V/m et magnétique � �A/m de l’ondeet que ces deux champs sont proportionnels entre eux. On en conclut que les champsd’une onde EM décroissent dans la region du champ lointain comme l’inverse de ladistance à la source. Ceci confirme le fait que dans l’espace libre l’onde plane à ampli-tude constante n’est qu’une approximation et une simplification mathématique d’une réalitébien plus complexe.

4.11 Ondes électromagnétiques planes

On peut maintenant résumer les différentes propriétés des ondes EM :

– Près de la source (par exemple une antenne) les champs ont une variation fort com-plexe (on parle de la région du champ “proche”).

– Loin de la source (région du champ “lointain”) les fronts d’onde sont des surfacessphériques centrées dans le centre de la source (ondes sphériques).

– L’amplitude des champs électrique et magnétique associés à l’onde EM peut dé-pendre beaucoup de la direction ($� %) (antennes directives ou directionnelles) oupresque pas (antennes quasi-isotropes), mais dans tous les cas, l’amplitude doitdécroître avec la distance � à la source pour une direction donnée. La phase deschamps varie linéairement avec �.

– Toutefois, sur des régions de dimensions petites par rapport à la distance � à lasource, on peut approcher les champs comme ayant une amplitude constante (laphase varie toujours linéairement avec �). Les fronts d’onde sont alors approchéspar des plans perpendiculaires à la direction de propagation. Les champs sont re-présentés mathématiquement par des expressions du type (4.2.5) avec amplitudeconstante et phase linéaire. Il s’agit de l’approximation onde plane.

– Pour les milieux avec pertes, une décroissance exponentielle � !��!�� s’ajoute à ladécroissance �� . L’onde reste plane mais l’amplitude ne peut plus être considéréeconstante. Si les plans équiamplitude et équiphase sont parallèles (ce qui n’est pasforcément le cas) l’onde est uniforme.

– Dans le cas d’une onde plane uniforme, les champs restent dans un plan perpendi-culaire à la direction de propagation (onde transverse) et sont perpendiculaires entreeux. Ils décrivent en tout point de l’espace et en fonction du temps des ellipses depolarisation qui ont la même forme pour le champ électrique et le champ magnétique.


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