3_fonctions_generalites

7/25/2019 3_Fonctions_generalites

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Yvan Monka Acadmie de Strasbourg www.maths-et-tiques.fr

LES FONCTIONS :GENERALITES ET VARIATIONS

Activit conseille Activit conseillep42 n1 : volution du climat p22 n1 : volution du climatODYSSE 2de HATIER Edition2010 ODYSSE 2de HATIER Edition2014

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp61 n5p74 n82

p61 n7 p43 n19p44 n20

p44 n21

ODYSSE 2de HATIER Edition2010 ODYSSE 2de HATIER Edition2014

I. Vocabulaire et notations

1. Exemple dintroduction :

Avec une ficelle de longueur 10 cm, on fabrique un rectangle.On dsigne parxla longueur dun ct de ce rectangle.

a) Calculer l'aire du rectangle lorsquex= 3 cm.

Si la longueur est gale 3 cm alors la largeur est gale 2 cm.DoncA= 3 x 2 = cm2.

b) Exprimer en fonction dexlaire du rectangle.

Les dimensions du rectangle sont donc : xet 5 x.En effet : P= 2x+ 2(5 x) = 10 cm.

Ainsi laire du rectangle sexprime par la formuleA=x(5 x)

c) Dvelopper A.

A=x(5 x) = 5xx2

d) On peut calculer laire du rectangle pour diffrentes valeurs dex :

x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Aire 4 5,25 6 6,25 6 5,25 4 2,25

Ce tableau est appel un tableau de valeurs.

x

5 x


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Pour chaque nombrex, on a fait correspondre un nombre gal laire du rectangle.Par exemple : 1! 4

2! 6

De faon gnrale, on note : A:x! 5xx2

x! 5xx2 se lit x,on associe5xx2

Aest appele une fonction. Cest une machine mathmatique qui, un nombredonn, fait correspondre un autre nombre.

!

nombre de dpart nombre correspondant

LexpressionAdpend de la valeur dexet varie en fonction dex.xest appele la variable.

On note ainsi : A(x) = 5xx2

A(x) se lit Adex.

2. Dfinitions

Dfinitions :Soit Dune partie de lensemble des nombres rels ! .Une fonctionfdfinie sur Dassocie tout nombre relxde Dun unique nombrerel, notf(x).Dest appel lensemble de dfinition de la fonctionf.

On note :f :D!! x! f(x)

Et on lit : La fonctionf, dfinie pourxappartenant D, qui un nombrexassocie le nombref(x).

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp63 n16 18p63 n12p62 n14p63 n15*p64 n21*

p61 n6 p42 n5 8p43 n9, 12, 13

p43 n10


A

x 5xx2


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3. Image, antcdent

Exemples :

Pour la fonctionAdfinie plus haut, on avait :

A(2,5) = 6,25 A(1) = 4

On dit que :- limagede 2,5par la fonctionAest 6,25. 2,5! 6,25- un antcdentde 6,25par Aest 2,5.

Remarques :

- Un nombre possde une unique image.- Cependant, un nombre peut possder plusieurs antcdents.Par exemple : les antcdents de 5,25sont 1,5et 3,5(voir tableau de valeurs).

Mthode : Calculer une image ou un antcdent

Soit la fonctionf dfinie parf(x) = x +1 1) Complter le tableau de valeurs :

2) Complter alors :a) Limage de 4 parfest !b) Un antcdent de 5 parfest !c)f: !! 4,2d)f(20,25) = !

3) Calculerf(4,41) etf(1310,44)

1)

2) a) Limage de 4 parfest 3.b) Un antcdent de 5 parfest 16.

c)f: 10,24 ! 4,2

d)f(20,25) = 5,5

Antcdent de6,25

Image de 2,5

x 4 10,24 16 20,25

x +1

x 4 10,24 16 20,25

x +1 3 4,2 5 5,5


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3) f(4,41) = 4,41 + 1 = 3,1

f(1310,44) = 1310,44 + 1 = 37,2

Exercices conseills Exercices conseills

p69 n62p61 n1 4p69 n63 et 64

p42 n1 4p48 n52


TP conseill TP conseillTP Algo 1 p56 : Lire un algorithmedans diffrents langages

p35 TP2 : Lire un algorithmedans diffrents langages


II. Reprsentation graphique

1. Courbe reprsentative

Exemple :Reprsenter les donnes du tableau de valeurs du paragraphe I.dans un repre telquon trouve en abscisse la longueur du ct du rectangle et en ordonne son airecorrespondante.

En reliant les points, on obtient une courbe C.Tout point de la courbe Cpossde donc des coordonnes de la forme (x ;A(x)).

C

x

A(x)

(4 ;A(4))

exemple


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En latin, curbus dsignait ce qui est courb. On retrouve le moten ancien franais sous la forme de corbe . Le corbeau est ainsiappel cause de la forme de son bec.

Exercices conseills Exercices conseills

p62 n10, 11p68 n60p70 n71

p44 n23p45 n24p52 n74p57 n90


Ouvrir le logiciel GeoGebraet saisir directement lexpression de la fonctionA.Dans la barre de saisie, on criera : a(x)=5x-x 2

La courbe reprsentative de la fonctionAdpasse les limites du problme.En effet, lexpression de la fonctionAaccepte par exemple des valeurs ngatives dex,ce que les donnes du problme rejettent puisquexreprsente une longueur !

On peut ainsi dresser un tableau de signes de la fonctionAsur un intervalle plusgrand :

x -1 0 5 6A(x) - 0 + 0 -


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Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp63 n19 et 20p64 n23 et 25p52 Tice1 Ex2

p64 n24 p45 n25, 26p50 n65p34 et 35 TP1

p45 n27


2. Rsolution graphique dquations et dinquations

Exemples :

Rpondre graphiquement aux questions suivantes :a) Rsoudre l'quation 5xx2= 2.b) En dduire un ordre de grandeur des dimensions dun rectangle dont laire est

gale 2 cm2.c) Rsoudre graphiquement linquation 5xx2> 2. Donner une interprtation

du rsultat.

a) Il sagit de trouver les antcdents de2 par la fonctionA.Ce qui revient rsoudre lquationA(x) = 2.

On dtermine les abscisses des pointsdintersection de la courbe Cavec ladroite !parallle laxe des abscisses

passant par le point (0 ; 2).On lit graphiquement que lquation5xx2= 2 admet pour solutions : lesnombres 0,5 et 4,5.

b) Le rectangle de dimensions 0,5 cmsur 4,5 cm possde une aire environgale 2 cm2.

c) Rsoudre linquation 5xx2> 2 revient dterminer les abscisses des points deC pour lesquels Cest au-dessus la droite ".On lit graphiquement que linquation 5xx2> 2 admet pour solutions tous lesnombres de lintervalle [0,5 ; 4,5].

Si une dimension du rectangle est comprise entre 0,5 et 4,5 alors son aire estsuprieure 2.

Remarques :

a) Par lecture graphique, les solutions obtenues sont approches.

0,5 4,5

!


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b) LquationA(x) = 7 na pas de solution car dans ce cas la droite "ne coupepas la courbe.

c) Graphiquement, on ne peut pas tre certain que les solutions qui apparaissent

sont les seules. Il pourrait y en avoir dautres au-del des limites de lareprsentation graphique trace.

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp64 n27 et 26p65 n30 et 32p65 n35, 31,37p64 n28*

p65 n33 p45 n29 33p46 n34 37p50 n64, 66p53 n78*, 79*

p45 n28


III. Variations dune fonction

1. Exemple

Pour des valeurs croissantes choisies pourxdans lintervalle [0 ; 2,5], laireAdurectangle est galement croissante.

Par exemple : 1< 2etA(1)


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Par exemple : 3< 4etA(3) >A(4).

On dit que la fonctionAest croissante sur lintervalle [0 ; 2,5] et dcroissante surlintervalle [2,5 ; 5].

2. Dfinitions

Soitfune fonction dfinie sur un intervalle I.

- Dire quefestcroissante sur I signifie que pour tous rels aet bde I :si a < b alorsf(a) ! f(b) .

- Dire quefestdcroissante sur I signifie que pour tous rels aet bde I :si a < b alorsf(a) ! f(b) .

- Dire quefest constante sur I signifie que pour tous rels aet bde I :f(a) = f(b) .

- Dire quefest monotone sur I signifie quefest soit croissante sur I, soitdcroissante sur I.

Remarques :- On dit quune fonction croissante conserve lordre.- On dit quune fonction dcroissante renverse lordre.- Une fonction constante sur I peut tre considre comme croissante etdcroissante sur I.

3. Maximum ; minimum

Exemple :

Pour tout nombre relxde lintervalle [0 ; 5], on a :A(x) #6,25.6,25 est le maximum de la fonctionA.Laire du rectangle est maximum pourx = 2,5.

Dfinitions :Soitfune fonction de lintervalle I.aet bdeux nombres rels de I.

- Dire quefadmet un maximum Men ade I signifie que pour tout nombre

relxde lintervalle I, f(x) ! M.

- Dire quefadmet un minimum men bde I signifie que pour tout nombre

relxde lintervalle I,f(x) ! m

.


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Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp66 n41, 42p67 n46 48p52 Tice1 Ex1p53 Tice1 Ex3

p67 n45 p46 n41p47 n43 46p51 n71p56 n88

p47 n42


4. Tableau de variations

Un tableau de variations rsume les variations d'une fonction en faisant apparatreles intervalles o elle est monotone.

Exemple :

La fonctionAest croissante sur lintervalle [0 ; 2,5] et dcroissante sur lintervalle[2,5 ; 5].A(0) = 0A(2,5) = 6,25A(5) = 0

Mthode :

On considre la reprsentation graphique la fonctionf:

x 0 2,5 5

A(x)

6,25

0 0


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1) Donner son ensemble de dfinition.2) Donner les variations de la fonction.3) Donner les extremums de la fonction en prcisant o ils sont atteints.4) Rsumer les rsultats prcdents dans un tableau de variations.

1) La fonctionfest dfinie sur [-5 ; 7].2) La fonctionfest croissante sur les intervalles [-4 ; 0] et [5 ; 7]. Elle estdcroissante sur les intervalles [-5 ; -4] et [0 ; 5].3) Le maximum defest 3,5. Il est atteint enx= 0.Le minimum defest -4. Il est atteint enx= -4.4)

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp66 n43p67 n50 54p67 n55*, 57*p71 n74*

p66 n44 p47 n47 49p51 n67*p54 n80*

p47 n50


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