3_fonction_exponentielle_10_11
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Jean Wacksmann-Lycée Louis Le Grand 1
TS3 Exercices sur la fonction exponentielle. 2010-2011 Exercice1. Pour chaque fonction ci-dessous, déterminer son ensemble de définition, l’ensemble de définition de sa fonction dérivée et calculer cette dérivée.
: exp( )f x x x−a ; 2: exp( )g x x x−a
exp( ): xh xx−a ;
2 1:exp(2 )
xk xx
−a ;
: cos( )exp( )l x ax axa , (a réel donné). : tan( ) exp( 2 )m x x x−a .
Exercice 2. Soit ( )nu une suite arithmétique définie sur ¥ , de raison r. Que peut-on dire de la suite
( )nv telle que : , exp( )n nn v u∀ ∈ =¥ ? Exercice 3. ( vrai _ faux) Est-il exact que : 1) a∀ ∈ ¡ , ( ) ( )exp 2 2 expa a= ? 2) pour tout réel a et tout réel b ,
2 2a b a be e e+ = × ? 3) pour tout réel a et tout réel b ,
2 22 a b a be e e+ = + ?
4) il existe un réel a et il existe un réel b, tels que 2 22 a b a be e e+ = + ?
5) il existe un réel a et il existe un réel b, tels que 2 2 2a b a be e e ++ < ?
( justification attendue pour chaque question) Exercice 4. ( d’après BAC C 1990)
Soit f la fonction définie sur ¡ par exp( ):exp( ) 1
xf xx +
a .
On désigne par fC la représentation graphique de la fonction f relativement à un repère orthonormal.
1) Montrer que le point 1(0, )2
A est un centre de symétrie pour la courbe fC .
2) Déterminer une équation de la tangente (T) à fC au point A. 3) Etudier la position de la courbe fC par rapport à la droite (T). Exercice 5. (un encadrement)
Montrer que : [ [0;x∀ ∈ +∞ , 2
1 12
x xx e x−− ≤ ≤ − + .
Exercice 6. ( d’après concours FESIC)
Soit la suite ( )un définie pour tout entier naturel n par : u0 0= et ue
un n+ = −11
1( ) .
Pour tout n ∈ ¥ , on pose : v uen n= −
−1
1 , S un k
k
n
==
∑0
et T vn kk
n
==
∑0
.
1) Montrer que la suite ( )vn est géométrique de raison 1e
.
2) En déduire que ue en
n=−
−1
11
1[( ) ] .
3) Calculer nS en fonction de n .
4) En déduire que, quel que soit n ∈ ¥ , le rapport 1
n nT Sn
−+
est constant.
Exercice 7. ( convexité de exp) Soient a et b deux réels .
1) Comparer 2a b
e+
et 2
a be e+ .
2) Interpréter graphiquement l’inégalité obtenue.
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Exercice 8. ( calculs de limites avec exp) 1) Livre n°21 à n°34 page 102.
2) Soit :1
xef xx −
a . Déterminer les limites de cette fonction aux bornes de son ensemble de définition.
3) Soient a et b deux réels distincts non nuls. Déterminer :
a) 2
0lim
x x
x
e ex→
− puis, 0
limax bx
x
e ex→
− .
b) Déterminer 0
1limsin( )
x
x
ex→
− puis, 0
1limsin( )
ax
x
ebx→
− .
4) Déterminer 1 1
1lim x xx
x e e +
→+∞
−
.
Exercice 9. (dérivabilité en 0) Soit f la fonction définie sur ¡ par :
( )1
si 00 si 0
xe xf xx
− ≠= =
.
Etudier la dérivabilité de f en 0. Exercice 10. ( convergence vers e ) 1) Etudier les variations sur ¡ de la fonction : 1xf x e x− −a . 2) En déduire que : , 1xx e x∀ ∈ ≥ +¡ . Pour quelles valeurs de x l’inégalité est-elle stricte ?
3) Montrer que ] [ 1,1 ,1
xx ex
∀ ∈ −∞ ≤−
.
Pour quelles valeurs de x l’inégalité est-elle stricte ?
4) En déduire que, pour tout *n∈¥ , on a :11 11 1
n n
en n
+ + < < +
.
5) Pour tout *n∈¥ , on pose 11n
nun
= +
. Montrer que: 30 ne un
< − < .
En déduire la limite de la suite ( )nu lorsque n tend vers +∞ .
6) Déterminer un entier 1p ≥ tel que, pour n p≥ , on ait : 410ne u −− < . Exercice 11. ( dérivée de ( )u xx e→ ) Livre n°37 à n°44 page 103. Exercice 12. ( dérivablité en 0) Livre n°69 & n°72 page 107. Exercice 13. (dérivée n-ième) Livre n°77 page 108 ( sauf question 3) & n°78 page 109.