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Exercice 1 4 points

La figure 1 ci-contre représente un cube en bois ABCDHEFG dont les faces opposées sont décorées avec le même motif : hachures, points ou uni.

Le volume de ce cube est 216 cm3.

h1 Nommer chaque face cachée de ce cube et indiquer son motif.

h2 Parmi les patrons suivants quels sont ceux qui correspondent au cube ABCDHEFG ? Justifier la réponse.

h3 Le cube ABCDHEFG est scié en petits cubes iden-tiques dont les arêtes sont 3 fois plus petites que celles du cube ABCDHEFG (cf. figure 2).a) Combien de petits cubes obtient-on ?b) Déterminer le volume d’un petit cube.c) En déduire la longueur des arêtes d’un petit cube et du grand cube ABCDHEFG.d) Ces petits cubes n’ont pas tous le même nombre de faces décorées. Reproduire et compléter le tableau sui-vant qui compte les cubes ayant le même nombre de faces décorées.

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Nombre de faces décorées 0 1 2 3 4 5 6

Nombre de petits cubes

e) Quel est le nombre total de petites faces décorées ?

h4 Par assemblage et collage, on reconstitue le gros cube initial auquel on retire un petit cube à chacun de ses 8 sommets ; on obtient ainsi un nouveau solide.a) Calculer le volume de ce solide.b) Calculer son aire.

Exercice 2 4 points

Deux villes A et B se situent du même côté d’une voie ferrée rectiligne (CD), comme l’in-dique le schéma ci-dessous.On cherche où construire une gare G pour que le trajet de la ville A à la ville B en passant par la gare G soit le plus court possible.

A

6 km 4 km

14 km

B

G CD

h1 Représenter les points A, B, C et D sur une figure pour laquelle 1 cm correspond à 1 km. Quelle est l’échelle de cette représentation ? Justifier la réponse.

h2 Construire le point E symétrique du point B par rapport à la droite (CD).

h3 On appelle F le point d’intersection des droites (AE) et (CD).Soit M un point quelconque du segment [DC] distinct du point F. Démontrer que AM + MB > AF + FB.

h4 En déduire l’endroit où l’on doit construire la gare G.

h5 Démontrer que : FD = 23 FC.

h6 En déduire que FC = 5,6 km.

h7 Calculer, au mètre près, la longueur du trajet de la ville A à la ville B en passant par la gare G.

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Question complémentaire 5 points

Étude des documents 1 et 2 de l’annexe 1

h1 On considère d’abord le document 1.a) Décrire deux procédures possibles des élèves en réponse à la question 1.

b) Quelle propriété le maître souhaite-t-il faire émerger en proposant cette situation ? Citer une difficulté qui peut faire obstacle à l’émergence de cette propriété ?

c) Pourquoi la consigne préalable aux questions 2, 3 et 4 précise-t-elle que la droite tra-cée ne doit pas être parallèle aux bords de la feuille ?

d) En prolongement de la question 4 du document 1, indiquer quel est l’ensemble consti-tué par tous les points situés à 7 cm de la droite ?

h2 On considère maintenant le document 2 (copie d’écran).Pour procéder à une synthèse de l’activité précédente, l’enseignant décide de projeter sur tableau blanc une figure réalisée avec un logiciel de géométrie dynamique. Le point P peut alors être déplacé sur la droite, et la distance AP s’afficher, comme sur la copie d’écran. Le point A et la droite peuvent également être déplacés.

Quel avantage peut apporter ce support, pour la connaissance visée, par rapport au des-sin sur feuille des élèves ?

Exercice 3 4 points

h1 On dispose de jetons bleus et de jetons rouges. Les jetons bleus ont pour valeur 3 points tandis que les jetons rouges ont pour valeur 7 points.

a) Pierre n’a que des jetons bleus et Jean n’a que des jetons rouges. Pierre doit donner 34 points à Jean. Comment Pierre et Jean peuvent-ils procéder ? Donner une solution.

b) Paul dit qu’il a 29 jetons qui représentent une valeur totale de 94 points. Que penser de l’affirmation de Paul ? Justifier la réponse.

c) Céline possède des jetons bleus et des jetons rouges pour une valeur totale de 34 points. Combien de jetons de chaque couleur possède-t-elle ? Trouver toutes les solutions.

h2 Quel nombre maximum de rectangles de 3 cm de large et 7 cm de long peut-on effectivement obtenir en découpant une plaque rectangulaire de dimensions 21 cm et 34 cm ? Justifier la réponse.On pourra utiliser le résultat de la question 1c.

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Question complémentaire 3 points

Observer les trois problèmes présentés dans l’annexe 2.

h1 Dans quel cycle de l’école primaire ces problèmes pourraient-ils être traités ? Justifier la réponse.

h2 Proposer deux erreurs différentes de procédure que pourraient commettre des élè-ves dans le problème n° 1.

h3 Indiquer les principales étapes de la procédure que pourrait adopter un élève pour résoudre le problème n° 2.

h4 Quelles connaissances supplémentaires, par rapport aux deux problèmes précé-dents, la résolution du problème n° 3 suppose-t-elle ?

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Annexe h1 Documents 1 et 2

Document 1

1) Place, sur la droite, le point qui est le plus proche du point A (le dessin ci-contre est une réduction d’une fiche format A4 fournie aux élèves).

Pour les questions 2, 3 et 4, utilise à chaque fois une feuille de papier uni et trace une droite. La droite que tu traces ne doit pas être parallèle aux bords de la feuille.

2) Avec ton équipe, propose une méthode qui permet de placer, du premier coup, un point qui est exactement à 7 cm de la droite.

3) Place un point en dehors de la droite, nomme-le A.Comment faire pour déterminer rapidement le point de la droite qui est le plus proche du point A ?

4) Place rapidement et avec précision 24 points à 7 cm de la droite.

Extrait d’un manuel de cycle 3 (Cap Maths, Hatier, 2004).

Document 2 : Copie d’écran (logiciel de géométrie dynamique)

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Annexe h2

Les étiquettes mentionnées ci-dessous ne sont pas reproduites en couleur. Cela n’a aucune incidence dans le traitement des questions posées.

Extrait d’un manuel de la collection Cap maths, Hatier, 2004.

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Exercice 1 4 points

h1 La face ABCD est en pointillé.La face ADHE est unie.La face HDCG est hachurée.

h2 L’énoncé annonce qu’on est en présence de patrons, il y a donc seulement à vérifier que la décoration correspond au cube présenté. Il y a bien deux faces pour chaque décoration. Pour que deux faces opposés aient une déco-ration identique, il faut (et il suffit) que deux faces qui ont la même décoration n’aient ni cotés, ni sommets communs.Ainsi les patrons correspondant au cube sont les patrons 1 et 3.

h3 a) Nombre de petits cubes : 3 × 3 × 3 = 27.

b) 216 : 27 = 8.Volume d’un petit cube : 8 cm3.

c) Longueur d’une arête d’un petit cube : 2 cm car 2 × 2 × 2 = 8.Longueur d'une arête du grand cube : 6 cm car 3 × 2 = 6.

d) Nombre de faces décorées 0 1 2 3 4 5 6

Nombres de petits cubes 1 6 12 8 0 0 0

e) Nombre de faces décorées : 6 × 1 + 12 × 2 + 8 × 3 = 54(vérification : 9 × 6 = 54).

h4 a) On a enlevé 8 cubes de 8 cm3, donc le volume du solide obtenu est de 152 cm3 car : 216 – (8 × 8) = 152.

b) Un cube retiré à chaque sommet ne change pas l’aire, car enlever un cube à un som-met fait « disparaître » 3 faces et en fait apparaître 3 autres identiques.

L’aire du solide est donc l’aire du grand cube de départ. Ce cube a 6 faces dont chacune à une aire de 6 cm × 6 cm = 36 cm², donc l'aire du solide est : 6 × 36 cm² = 216 cm².

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Exercice 2 4 points

Ici on peut utiliser l’équerre, puisqu’on ne donne pas de contrainte au niveau des outils.

h1 1 cm correspond à 1 km = 100 000 cm, donc l’échelle est 1 / 100 000.

h2 La figure ci-dessous est deux fois plus petite que la figure à réaliser.

A

B

CD

E

FM

h3 On peut envisager de comparer AM et AF d’une part et MB et FB d’autre part ; malheureusement si AM < AF alors MB > FB. On est donc amené à remplacer certaines longueurs par des longueurs égales. Il est d’autre part nécessaire de faire intervenir le fait que E est le symétrique de B par rapport à (CD).

E est le symétrique de B par rapport à (DC) et M est son propre symétrique, donc MB = ME (car la symétrie axiale conserve les longueurs). De même FB = FE.En conséquence AM + MB = AM + ME et AF + FB = AF + FE.Or AM + ME > AE (d’après l’inégalité triangulaire).Or AE = AF + FE ( car F est un point du segment [AE]).Donc AM + ME > AF + FE.Donc AM + MB > AF + FB.

h4 Comme on souhaite que la distance AG + GB soit minimum, il faut placer G en F, c’est-à-dire à l’intersection de (DC) avec la droite joignant A au symétrique de B par rap-port à (DC).

h5 Il s’agit de démontrer l’égalité de deux longueurs dont l’une est affectée d’un rapport ; on pense au théorème de Thalès et ce d’autant plus qu’on reconnaît une configuration de Thalès : le « nœud papillon » avec les points A, F et E et D, F et C ainsi que les parallèles (AD) et (BE).

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Les points A, F et E d’une part et les points D, F et C d’autre part sont alignés, de plus (AD) et (BE) sont parallèles (car ce sont deux droites perpendiculaires à (DC)), donc d’après le théorème de Thalès on a :

FCFD

CAD ( E)E F

FA= = , donc FC

FD46

23= = , donc FD = 2

3 FC.

h6 L’unité de longueur est ici le km.FD + FC = DC (car F est un point du segment [DC]).

FD + FC = 14, donc 23 FC + FC = 14, donc 2

5 FC = 14.

En conséquence FC = 528 = 5,6.

h7 Il s’agit de calculer AF + FB et donc de calculer AF et FB. L’utilisation du théo-rème de Pythagore s’impose avec les triangles rectangles ADF et FBC.

Dans le triangle rectangle AFD, on a d’après le théorème de Pythagore : AD² + DF² = AF²De plus FD = DC – FC (car F est un point de [DC]), donc FD = 14 – 5,6 = 8,4.Donc 6² + 8,4² = AF², donc AF² = 106,56, donc AF = 106,56 .

De même dans le triangle rectangle BFC, on a d’après le théorème de Pythagore : BC²+ CF² = BF².Donc 4² + 5,6² = BF², donc BF² = 47,56, donc BF = 47,36 .

AF + FB = 106,56 47,36 17,205+ . si on prend un arrondi à un mètre près.Donc le trajet de la ville A à la ville B passant par G est environ : 17,205 km.

Pensez à vérifier la vraisemblance du résultat trouvé sur le dessin.

Attention : a b+ ≠ a b+ .

Question complémentaire (exercice 2) 5 points

h1 a) Des procédures possibles pour répondre à la question :- L’élève place un point au hasard, éventuellement en s’appuyant sur une estimation per-ceptive de la plus courte distance.- L’élève tâtonne en plaçant différents points sur la droite, en mesurant la distance de ces points à A et en comparant les longueurs ainsi obtenues.

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- L’élève trace la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à la droite. L’intersection de cette perpendiculaire et de la droite est le point cherché.- L’élève utilise son compas et essaie de tracer un cercle qui touche la droite sans la traverser (cercle tangent à la droite).

b) Propriété attendue : Le point d’une droite le plus proche d’un point donné extérieur à la droite est le point d’intersection entre cette droite et la perpendiculaire à cette droite passant par le point donné.Une difficulté provient du fait que, si les élèves tâtonnent pour trouver ce point, ils peuvent penser qu’il y a plusieurs points possibles à cause des imprécisions de mesure. On peut aussi avoir des erreurs de mesurage.Une autre difficulté peut provenir du fait que la réponse (située dans le domaine des angles : angle droit) ne correspond pas au même domaine que la question posée (située dans celui des distances ou des longueurs).

c) Si les droites sont parallèles au bord de la feuille, les élèves peuvent être tentés de tracer des perpendiculaires dans la mesure où on se retrouve dans des situations prototypi-ques classiques. Ils réussiront ainsi la tâche dans cette situation mais auront peu de chance de la réussir dans le cas où la droite n’est plus parallèle au bord de la feuille.

d) Il s’agit de deux droites parallèles à la droite. Ces deux droites passent par un des points situés à 7 cm de la droite, dans chacun des demi-plans délimités par la droite.Avantages du travail avec un logiciel de géométrie dynamique :- cela permet d’effectuer de nombreux essais de points rapidement ;- les élèves peuvent visualiser l’évolution des distances en fonction de la position du point ;- cela évite les erreurs de mesurage ;- il est possible de varier la position de la droite et du point très facilement.

Exercice 3 4 points

h1 a) 34 n’est pas un multiple de 3, il est donc nécessaire que Pierre donne plus de 34 points en jetons bleus et que Jean lui donne des jetons rouges. Donc Pierre doit donner au minimum 12 jetons. On peut procéder par tâtonnement orga-nisé puisqu’on ne demande qu’une solution.

Pierre donne Jean doit rendre Possible ou non

12 jetons bleus ➔ 36 points 2 points Impossible

13 jetons ➔ 39 points 5 points Impossible

14 jetons ➔ 42 points 8 points Impossible

15 jetons ➔ 45 points 11 points Impossible

16 jetons ➔ 48 points 14 points ➔ 2 jetons rouges Possible.

Donc Pierre peut donner 16 jetons bleus et Jean lui rendre 2 jetons rouges.

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b) Ici on a deux inconnues : le nombre de jetons bleus et le nombre de jetons rouges et on a deux informations qui peuvent facilement se traduire en deux équations. Il est donc possible de trouver le nombre de jetons de chaque sorte que peut avoir Paul.

Soit x le nombre de jetons bleus et y le nombre de jetons rouges possédés par Paul (x et y sont des nombres entiers).On a donc : x + y = 29 et 3x + 7y = 94.

On a donc un système à résoudre soit par combinaison linéaire, soit par subs-titution ; on choisit ici la substitution.

x y x y y3 7 94 3 7 94+ = + = =

y y

y3 29 947

- -

- +

x y x x29 29 29+ = = =

^ h* * *

y =y

4 7-x 29=

*

Donc y = 47 , ce qui est impossible puisque x et y sont des nombres entiers.

Donc l’affirmation de Paul est fausse.

Autre méthode : On peut aussi remarquer que 94 est pair, donc le nombre de points en jetons bleus et le nombre de points en jetons rouges doivent être simultanément pairs ou impairs (car si la somme de deux nombres est paire alors ces deux nombres sont simultanément pairs ou impairs). Mais 29 est impair donc, si le nombre de jetons bleus est pair, le nombre de jetons rouges est impair (ou inversement, car si la somme de deux nombres est impaire alors ces deux nombres ne peuvent être simultanément pais ou impairs). Or la parité de la valeur des jetons est la même que celle du nombre de ces jetons (car la valeur des jetons est impaire et le produit d’un nombre impair par un nombre entier a même parité que ce nombre). Il est donc impossible de conci-lier le fait que 94 est pair et que 29 est impair.

c) Ici on a encore deux inconnues (le nombre de jetons bleus et rouges), mais on n’a qu’une information (donc une seule équation). On peut tout de même trouver l’ensemble des solutions qui a un nombre fini d’éléments car x et y sont des nombres entiers.

Soit x le nombre de jetons bleus et y le nombre de jetons rouges possédés par Céline (x et y sont des nombres entiers).Donc 3x + 7y = 34.

Ici 3 et 34 n’ont pas de diviseurs communs autres que 1 (ils sont premiers entre eux) ; il en est de même de 7 et 34. On ne peut donc pas utiliser de consi-dération de divisibilité pour réduire le nombre de cas à étudier. On va donc uniquement utiliser des encadrements du nombre de jetons rouges car ils ont une plus grande valeur.

On a au maximum 4 jetons rouges car il ne faut pas dépasser 34 points, car 7 × 5 = 35.

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Nombre de jetons rouges

Valeur totale des jetons rouges

Valeur restante en jetons bleus

Nombre de jetons bleus

4 28 6 2

3 21 13 impossible

2 14 20 impossible

1 7 27 9

0 0 34 impossible

Il n’y a donc que deux possibilités : 4 jetons rouges et 2 jetons bleus ou bien 1 jeton rouge et 9 jetons bleus.

Attention : Il ne s’agit pas de trouver les solutions au hasard, il faut bien mon-trer qu’il y a celles-ci et uniquement celles-ci en faisant une étude exhaustive de tous les cas.

h2 Attention : Spontanément on a tendance à penser que les rectangles sont tous disposés dans le même sens ! La question complémentaire pouvait nous aider à ne pas tomber dans ce piège. D’où l’importance de lire l’intégralité de l’énoncé d’un exercice avant de commencer à le résoudre.

Cherchons le nombre maximum de rectangles possibles, du point de vue de l’aire de la plaque :- L’aire de la plaque en cm² est de : 34 × 21 = 714 - L'aire d'un rectangle en cm² est de : 7 × 3 = 21714 : 21 = 34, on peut donc mettre au maximum 34 rectangles.

Prouvons que ce nombre de rectangles est possible. Soit x le nombre de rectangles dont la longueur est dans le même « sens » que la longueur de la plaque et y le nombre de rectangles dont la largeur est dans le même « sens » que la longueur du rectangle.

On a donc 7x + 3y = 34 avec x et y entiers.D’après la question 1c, il n’y a que deux possibilités : x = 1 et y = 9 ou x = 4 et y = 3.

Si x = 1 et y = 9, la première ligne correspond au dessin ci-dessous :

On peut donc placer dans la 1re colonne 7 rectangles disposés comme le rectangle le plus à gauche (car 21 ÷ 3 = 7).

Sur chacune des 9 colonnes qui suivent on peut placer 3 rectangles disposés comme le 1er rectangle de la 2e colonne (car 21 ÷ 7 = 3). Cela fait au total 9 × 3 = 27 rectangles. Ce qui

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avec les 7 rectangles de la 1re colonne fait 34 rectangles. On a donc trouvé une disposition possible comprenant 34 rectangles, ce qui est le maximum.Donc le nombre maximum de rectangles que l’on peut obtenir est bien 34.

Il est inutile de regarder ce qui se passe pour x = 4 et y = 3.

Question complémentaire (exercice 3) 3 points

h1 Voir le conseil méthodologique n° 2 p. 116.

Il s’agit d’activités qui ne se résolvent pas en appliquant une procédure toute prête. L’élève doit élaborer sa propre procédure. Le problème 3 fait appel au calcul du périmètre du carré. C’est donc une activité du cycle 3.

h2 Voir le conseil méthodologique n° 5 p. 117. 1re erreur : L’élève ne prend pas en compte la contrainte donnée dans l’énoncé « Le dessin n’est pas en vraie grandeur » et il mesure les dimensions du rectangle du dessin.2e erreur : Comme il a divisé 12 par 2 pour trouver la longueur d’une plaque, il divise 10 par 2 pour trouver la largeur.

Attention : Les erreurs de calculs ne sont guère réalistes ici.

h3 Étapes d’une procédure possible (on suppose la procédure correcte) :1re étape : L’élève calcule la longueur de l’étiquette en divisant 18 par 3. Il obtient 6 cm.2e étape : Il retranche 12 cm (2 × 6) à 16 cm. Il obtient 4 cm ce qui correspond à deux largeurs. 3e étape : Il calcule la largueur en divisant 4 par 2 : 2 cm.

h4 Ce problème fait appel au périmètre du carré et plus précisément à la compétence « savoir calculer la longueur d’un côté quant on connaît son périmètre et inversement ». Il faut aussi savoir qu’un carré a ses 4 côtés de même longueur.

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