23/04/2014 les options exotiques emmanuel bioux matthieu fournil-moussÉ loïc tonnelier

11/04/23

Les Options Exotiques

Emmanuel BIOUX

Matthieu FOURNIL-MOUSSÉ

Loïc TONNELIER

PFE : Les Options Exotiques

m

Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER

Sommaire

Introduction Modélisation des options exotiques Simulation des options exotiques Conclusion

11/04/23

PARTIE 1

Modélisation des options exotiques


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Modélisation des options

I) Les option Non-Path-Dependent• Le prix dépend du chemin suivi par le sous jacent

II) Les options Path-Dependent • Le prix ne dépend pas du chemin suivi par le sous

jacent

Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt Non Path DependentII) Opt. Path Dependent


m


Différentes options exotiquesPartie 1 : Modélisation des opt.I) Opt Non Path DependentII) Opt. Path Dependent


m


Options Non Path Dependent

On s’intéresse qu’à la valeur du sous-jacent à maturité de l’option, et non durant sa vie

3 principales options non Path dependent :• Option binaire• Option à panier• Option Contingente



m


Les options Binaire

Option dont le Pay-Off dépend du franchissement par le sous-jacent à l’échéance de l’option d’un niveau de cours prédéterminé

4 types d’options binaires :• All or Nothing• Asset or Nothing• Gap• Contingent Premium

I) Opt. Non Path Dependent1) Options Binaire

a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts

c) ModélisationII) Opt. Path Dependent


m


Pay-Off des options binairesI) Opt. Non Path Dependent1) Options Binaire




m


Pay-Off des options binaires

Pour simplifier :

Avec :




GKSHX TeCallBinair GSKHX TPutBinaire

NG ngAllOrNothi

ThingAssetOrNot SMG

YSG TGap

Pr DSKG TemiumContingent


m


Pourquoi utiliser des options binaires ?

Certitude du Pay-Off

Flexibilité pour le client

Vente d’options binaires tout en connaissant parfaitement le risque maximal de pertes





m


Modélisation des options Binaires en Temps Discret





m


Modélisation des options Binaires en Temps Continu

Asset Or Nothing :

Asset Or Nothing :

Gap :

Avec :

2dNeNC tTrngAllOrNothi

1dNSMC hingAssetOrNot

tbxbNeXbxbNeSbC trtdgap

tt

eX

eS

xtr

td

2

1ln





m


Les options à panier

L’actif sous-jacent servant à déterminer le Pay-Off est composé de plusieurs actifs avec une pondération déterminé par avance

Formation d’un indice synthétique : le panier

I) Opt. Non Path Dependent2) Option à panier



0,max 2211 XSaSaSaX nnc

0,max 2211 nnp SaSaSaXX


m


Pourquoi utiliser des options à panier ?

Réduction du prix

Diversification des risques

Choix de la devise de référence





m


Modélisation des options à panier

Approximation : A+B est lognormal Utilisation de la formule de Black&Scholes





m


Les options Chooser

Permet de choisir à l’échéance entre un Call et un Put de strike prédéfini

I) Opt. Non Path Dependent3) Option chooser



PCX ,max


m


Pourquoi utiliser des options chooser ?

Incertitude sur l’évolution du sous-jacent : • Élection dont l’issue n’est pas sûr• Conflit armé• Négociation avec l’Irak





m


Modélisation des options chooser

En temps continu :

Pricing :

Avec :




1212,max,max ttrttd eXSeCCPC

SeXeCPC ttdrttd 1212 ,0max,max

ttyNeXyNeS

ttxNeXxNeSC

ttrttd

ttrttdreg

1

2

22

22

tt

tt

eX

eS

xttr

ttd

2

22

1ln

2

2

tt

tt

eXeS

yttr

ttd

1

1 2

1ln

2

2


m


Options Path Dependent

Leur Pay-Off dépend de la valeur du sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option

3 principales options Path dependent :• Option Barrière• Option Look Back• Option Asiatique



m


Les options Barrière

Valeur à l’échéance dépend du franchissement au cours de vie d’une barrière

Différents types :• Barrière activantes (in)• Barrière désactivantes (out)

Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière


c) Modélisation


m


Pay-off d’un callPartie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière


c) Modélisation


m


Pay-off d’un putPartie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière


c) Modélisation


m


Pourquoi utiliser des Options à barrières ?

Prix des options comparées aux options standards

Grande flexibilité

Levier et rendement important

Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière


c) Modélisation


m


Les options LookBack

On ne retient parmi les niveaux atteints par le sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option que la valeur la plus favorable pour le détenteur de l’option

3 Types d’options Lookback :• Price Lookback• Strike Lookback• Partial LookBack

Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack


c) Modélisation


m


Price LookBack Option

Permet de recevoir à l’échéance la différence entre le prix d’exercice défini à l’origine, et le cours le plus favorable



c) Modélisation

0,supmax_ KSX priceLBC 0,infmax_ SKX priceLBP


m


Strike LookBack Option

Permet de recevoir à l’échéance la différence entre le prix d’exercice le plus favorable et le cours à l’échéance



c) Modélisation

0,infmax_ SSXTstrikeLBC 0,supmax_ TstrikeLBP SSX


m


Partial LookBack Option

Partial LookForward :

Partial Strike LookBack :



c) Modélisation

0,)(supmax_ KSX

PériodePemière

dlookforwarLBC

0,infmax_ SKX

PériodePemière

dlookforwarLBP

0,infmax_ SSX

PériodePemièrelTkForwardpStrikeLooLBC

0,supmax_ lT

PériodePemière

kForwardpStrikeLooLBP SSX


m


Pourquoi utiliser des options lookback ?

Capter les points extrêmes

La vente d’options lookback permet de bénéficier de primes élevées



c) Modélisation


m


Les options Asiatique

La valeur à l’échéance dépend du prix moyen de l’actif sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option

Avec :

Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 3) Options Asiatique


c) Modélisation

0,max KSMoyX t

tqueCallAsiati

0,max t

tuePutAsiatiq SMoyKX

N

iObst

Arithmi

SN

SMoy1.

1 N

N

iObst

Géomi

SSMoy

1.


m


Pourquoi utiliser une option Asiatique ?

Réduction du risque

Flexibilité du produit

Prix d’acquisition



c) Modélisation


m


Modélisation des options Asiatiques

Moyenne géométrique



c) Modélisation

zxNeXxNeeXC trz

ytr

ag 2

²

0

zz

yX

X

x

0ln

fTT

fT

fTT

T

SAX

21

2

21

1

00

2

²

2 21

220

dr

fTT

fTTTy

²6

2²

221

2220

fTT

fTfTTTz


m




c) Modélisation

Modélisation des options Asiatiques

Moyenne arithmétique

1

0

1

1

00

11t

t

tTrtTr

aa duuStT

XetTr

eSC

T

t

duuStT

00

1Avec: moyenne calculée entre 0t et T

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PARTIE 2

Simulation des options exotiques


m


Simulation des options exotiques

Introduction Modélisation Simulations d’actif Path independ Génération de variables normalement distribuées Génération de variables uniformément distribuées Transformation d'une variable aléatoire uniformément distribuée en

normalement distribuée Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées Qualité du résultat Comparaisons des résultats Path dependent Ponts Browniens : Correction de la probabilité d’atteindre la barrière


m


Modélisation

WddtrS

dS ˆ

S, est supposé suivre un mouvement brownien géométrique, tel que, dans l'univers risque neutre :

tWTWtTrtSTS ˆˆ²

2

1exp

Le lemme d'Itô, suivie d'une intégration donne:


m


Simulations d’actif

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

02/01/04 02/04/04 02/07/04 02/10/04 02/01/05 02/04/05 02/07/05 02/10/05


m


Path independ (1/3)

Seule la valeur de l’actif à l’échéance compte Cas d’un call :


m


Path independ (2/3)


m


L’erreur doit tendre vers 0 lorsque l’on augmente N

Le choix du générateur aléatoire est donc capital

Path independ (3/3)


m


Génération de variables normalement distribuées

La simulation de variables distribuées selon cette loi exige d'abord la génération de variables uniformément distribuées

²2

1

2

1 xexf


m


Génération de variables uniformément distribuées

Les Générateurs Linéaires Congruentiels • Xn=(a Xn-1 + b) mod m

• Le choix des constantes n’est pas à négliger : • m = 1012 - 11

a = 427419669081b = 0:


m


Les Registres à Décalage à Rétroaction Linéaire

• Le registre est successivement à la valeur 0111, 0011, 0001, 1000, 0100...

Génération de variables uniformément distribuées


m


Transformation d'une variable aléatoire uniformément distribuée en normalement distribuée

Inversion de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite

Inversion de Moro


m


Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées

Performances temporelles


m


Qualité du résultat

Cf p72


m


Comparaisons des résultats


m


Path dependent

barrière Down & Out option annulée

98

98,5

99

99,5

100

100,5

101

101,5

102

102,5

02/01/2004 02/04/2004 02/07/2004 02/10/2004 02/01/2005 02/04/2005 02/07/2005 02/10/2005


m


Ponts Browniens : Correction de la probabilité d’atteindre la barrière

Andersen et Brotherton-Ratcliffe (1996)

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Les options

Les options Exotiques

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