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2 DEFINITION DE LA GEOMETRIE DE LA DENTURE

2.1 INTRODUCTION

Les dentures Klingelnberg sont produites par un outil coupant pendant une procédure de génération

continuelle [9]. Les réglages de la machine sans correction produisent des surfaces de denture

conjuguées (Fig. 2.1), mais c'est une possibilité théorique dans la plupart des applications.

Fig. 2.1 Disposition des engrenages spiro-coniques Klingelnberg

38

Définition de la géométrie de la denture

La forme de la courbure directrice est une épicycloïde allongée, qui se crée par un mouvement

de roulement sans glissement. La hauteur de denture est constante. Le point de référence P pris au

milieu de la denture (Fig. 2.1) est situé à l'intersection de la courbure directrice et d'un cercle, ce

cercle a un rayon égal à la longueur de la génératrice moyenne, Ceci se réalise dans le plan de la

génération. Le surface de denture définitive est déterminée par la forme de la courbure directrice, la

forme de l'outil coupant et son positionnement dans l'outil. Dans les applications réelles, les surfaces

réelles déviennent des surfaces de denture conjuguées pour plusieurs raisons, mais principalement

pour éviter le contact aux parties extrêmes au pied de la denture et en tête en assurant une portée

localisée. Cette déviation est assurée par les corrections des dentures, en utilisant les réglages de

machine appropriés. Mais il faut éviter une fonction non-continue de l'erreur cinématique [54, 55, 26,

40, 28], et en même temps assurer une portée localisée.

2.2 OUTILS DE CORRECTIONS ET DE MODIFICATIONS DE LA GEOMETRIE DE LA DENTURE

Deux types principaux de corrections sont utilisés :

- premièrement, les corrections de la portée qui contient des points conjugués sur le flanc de denture

modifié [40], sont considérées. Elles sont considérées dans deux directions sur la surface de denture

de la pièce, d'un côté en longueur, et d'un autre coté en hauteur de la denture de pignon. La

correction en longueur se réalise par une variation du rayon de la fraise (Fig. 2.2). Cependant, la

courbure de la forme longitudinale de la partie convexe de la roue génératrice est modifiée. Si le

rayon est réduit, la courbure augmente. Elle influence aussi la distance machine.

Fig. 2.2 Corrections en longueur

- deuxièmement, un outil coupant courbé est introduit s'opposant à l'outil coupant originalement droit,

afin de modifier en hauteur la surface de denture (Fig. 2.3).

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Les deux corrections conduisent à une erreur cinématique nulle à cause des points conjugués

restants. En observant la correction en longueur, une aire de contact se forme à travers la surface de

denture. Au contraire, pour la correction en hauteur, un contact longitudinal apparaît. L'aire de contact

conjuguée en ligne devient une aire de contact ponctuelle si la surface est modifiée au moins dans

une seule direction. Il reste un seul point conjugué si la surface subit une double correction et il en

résulte une fonction parabolique de l'erreur cinématique. En conséquence, plusieurs réglages de

machine peuvent être considérés.

En regardant les engrenages spiro-coniques du système Gleason, plusieurs auteurs [32, 24]

ont décrit les influences de la rotation de l'outil. Par ailleurs, le décalage hypoïde, le déplacement du

centre de la machine et autres paramètres ont une influence sur la localisation de l'aire de contact.

Ainsi, la rotation de l'outil coupant a été examinée comme une modification non-conjuguée. Elle

influence la géométrie de la surface de denture. Cette modification est toujours attachée à une

correction de surface. Initialement, le plan de l'outil coupant est dirigé au centre de rotation instantané

dans la position de contact centrale au plan primitif (Fig. 2.2).

Fig. 2.3 Correction en hauteur

2.3 MODELE MATHEMATIQUE DE LA GENERATION DE SURFACE ISSU DU SYSTEME CYCLO-PALLOID KLINGELNBERG

La génération de la denture est déduite de la méthode de fabrication. Elle est simulée par un logiciel

spécialement conçu pour simuler la fabrication. Les rotations simultanées pendant les générations

sont décrites par des transformations matricielles.

2.3.1 Génération du pignon (Indice 1 lié au pignon)

La géométrie de l'outil (Fig. 2.4 et Fig. 2.5 pour les flancs convexe et concave respectivement) est

décrite dans le repère Sb1, le point P de génération instantané est présenté par le vecteur rayon rb1(t).

Le repère Sb1 est tourné autour l'axe zt1 par la somme des angles ν et κ. L'angle ν est un angle de

base quand le plan de l'outil est dirigé vers l'axe instantané I de rotation (Fig. 2.2).

40


Le repère complémentaire St1 est fixé au repère Sh1 de la fraise. Le rayon de la fraise est

111 hth OOR = . Le repère Sh1 tourne autour de l'axe zu1, l'angle de rotation est ϕ1. Le repère

complémentaire Su1 est fixé à un autre repère complémentaire Sv1. La distance machine

111 vud OOM = connecte les deux repères Su1, Sv1. Le repère Sv1 tourne autour l'axe zc1, ϕa1 est l'angle

de rotation actuel. Le repère Sc1 est lié à la roue génératrice. Les angles ϕ1 et ϕa1 sont liés par la

relation décrite par l'équation (2.1) (i=1 sur la figure 2.6) où p1 et ρ1 sont respectivement les rayons du

cercle roulant et du cercle de base.

La roue génératrice donne la surface de denture (Fig. 2.7) et le repère Sc1 tourne autour de

l'axe zm par l'angle de rotation ψ1. Parallèlement, le repère propre S1 du pignon tourne autour de l'axe

zw1 par l'angle de rotation ψa1. L'installation du repère Sw1 en relation avec la position du repère Sm est

déterminée par l'angle primitif δm1 mesuré dans le sens de rotation positive. La relation entre les deux

angles ψ1 est ψa1 est donnée par l'équation (2.2). L'axe de vissage ou l'axe instantané du mouvement

est l'axe ym du repère Sm lié à la machine.

1

1

1

1pa

ρ=ϕ

ϕ (2.1)

1

1

1 sin ma

δ=ψψ

(2.2)

Fig. 2.4 Géométrie de l'outil pour la génération du pignon, flanc convexe

Fig. 2.5 Géométrie de l'outil pour la génération du pignon, flanc concave

41


Fig. 2.6 Génération de la roue plate génératrice

Fig. 2.7 Génération du pignon

2.3.2 Génération de la roue (Indice 2 est lié à la roue)

La géométrie de l'outil est présentée dans le repère Sb2 (Fig. 2.8 et 2.9 pour les flancs concave et

convexe respectivement). Le processus pour obtenir la roue génératrice est réalisé par la même

méthode que celle du pignon (i=2 sur la figure 2.6). La roue génératrice crée la surface de denture

(Fig. 2.10) et le repère Sc2 tourne autour de l'axe zm par l'angle de rotation ψ2. En même temps, le

repère S2 liée à la roue tourne autour de l'axe zw2 par l'angle de rotation ψa2. L'installation du repère

Sw2 en relation avec la position du repère Sm est déterminée par l'angle primitif δm2 mesuré dans le

sens de rotation positive. La relation entre les deux angles ψ2 est ψa2 est donnée par l'équation (2.3).

42


L'axe de vissage est l'axe ym du repère Sm lié à la machine.

2

2

2 sin ma

δ=ψψ

(2.3)

Fig. 2.8 Géométrie de l'outil pour la génération de la roue, flanc concave

Fig. 2.9 Géométrie de l'outil pour la génération de la roue, flanc convexe

Fig. 2.10 Génération de la roue

43


2.3.3 Obtention de la surface de denture

Pendant les transformations matricielles et calculs (Annexe 1.1), la famille des surfaces de la roue

plate génératrice est décrite dans le repère Sci par le vecteur rci(ϕ i,ti). Quand le mouvement de

génération se réalise, la surface de denture est présentée dans le repère Si. La famille des surfaces

ri(ϕ i,ti,ψi) est décrite par l'équation matricielle (2.4),

( ) )()()()()(,, ibtbhtiuhvuicvimcwmiiwiiii tt rMMMMMMMMr ⋅⋅⋅ϕ⋅⋅ϕ⋅ψ⋅⋅ψ=ψϕ (2.4)

où ri est le vecteur de position de la surface de denture. La surface de denture dépend de trois

paramètres comme t le point de génération de l'outil, la rotation de la fraise ϕ i et la rotation de la roue

génératrice ψi. Le paramètre t n'est pas indépendant des autres deux paramètres [5/14], équation

(2.5).

( )iii tt ψϕ= , (2.5)

La condition de génération pour la denture est la ligne colinéaire avec le vecteur unitaire situé

sur la surface de la roue génératrice qui passe par l'axe de vissage (Annexe 2). Le procédé est résolu

par une méthode numérique Gauss (Annexe 1.3) qui est aussi impliquée dans les analyses de

contact.

2.4 METHODE D’INSPECTION DES ENGRENAGES SPIRO-CONIQUES

Dans ce chapitre, une méthode révisée [20] est présentée pour trouver des facteurs d’erreurs de

l’obtention des erreurs des données mesurées sur une surface de denture : notamment, une méthode

de sélection des facteurs d’erreurs et une méthode d’inspection appliquée au système Cyclo-Palloïd

Klingelnberg. La conception est la suivante :

- l'ensemble des cordonnées des points de la pièce est déterminé par une mesure CMM (Mesure des

Cordonnées par Machine à mesurer). La surface théorique de la dent en fonction des paramètres de

taillage est estimée par la méthode des moindres carrés pour définir comment elle s’ajuste aux

données mesurées. Les déviations estimées des paramètres de taillage sont considérées comme

des erreurs de taillage dues la fabrication. Ces erreurs peuvent ensuite être ramenées à la

procédure de fabrication, pour obtenir ainsi une pièce plus précise,

- les mesures ont été effectuées dans les laboratoires de l’INSA de Lyon en mars 2000. Quatre flancs

d’un pignon ont été mesurés dont deux flancs convexes et deux flancs concaves (Fig. 2.11), donc

deux creux de denture sont aussi concernés. Pendant la phase de préparation de l’estimation des

erreurs dues à la fabrication, on a été confronté au problème du manque d’informations. Notamment,

les paramètres de taillage liés aux flancs concaves du pignon n’avaient pas été communiqués par le

constructeur, ainsi on a du faire une estimation des paramètres de taillage dans une première étape,

ensuite on a fait l’estimation des erreurs de fabrication.

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Fig. 2.11 Points mesurés sur les flancs de la pièce

Le flanc de la denture des engrenages spiro-coniques dans le système Cyclo-Palloïd

Klingelnberg sont présentés par deux paramètres (voir Chapitre 2.3) dans le repère Sg fixé où l’axe du

pignon est zg. Les deux paramètres ϕ i et ψi pour décrire la surface sont variables. Autrement, les

paramètre C1,C2,…,Cn pour présenter les paramètre de réglage de machine, sont invariables car ce

réglage de machine ne change pas pendant la fabrication. En utilisant ces deux paramètres ϕ i et ψi,

les points surfaciques sont présentés par un vecteur normal unitaire ng et un vecteur de position rg

dans le repère Sg par les fonctions de vecteurs suivant (Eq. 2.6 et 2.7) :

( )ngg CCC ,,,;, 21 …ψϕ=rr (2.6)

( )ngg CCC ,,,;, 21 …ψϕ=nn (2.7)

Les erreurs de fabrication des engrenages sont inévitables, les valeurs C1,C2,…,Cn sont

différentes des valeurs des paramètres de machine de base. On utilise les mêmes symboles

C1,C2,…,Cn pour les facteurs d’erreurs correspondants.

Pendant la mesure, le pignon a une installation quelconque dans la machine à mesurer CMM,

son repère est Sm. La position de l’axe du pignon et le sommet du cône sont déterminés par une

mesure indépendante de la mesure de la surface de denture. L’origine Om et l’axe zm sont

respectivement coïncidents à l’origine Og et l’axe zg (Fig. 2.12). Mais l’angle de rotation du pignon

autour de cet axe est inconnu. C’est pourquoi, on doit définir cet angle Φ entre l’axe xg et xm par une

simulation. Les vecteurs rg et ng sont transformés du repère Sg au repère Sm par une transformation

matricielle. Ces vecteurs transformés s’appellent rm, nm (Eq. 2.8 et 2.9) :

( )gmgm Φ vMr = (2.8)

( ) gmgm Φ nMn = (2.9)

où Mmg est la matrice de transformation en respectant la rotation autour l’axe zm.

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Fig. 2.12 Repères Sg et Sm

La mesure a été réalisée par un palpeur sphérique, son rayon est r0, il est en contact avec la

surface au point Qm (Fig. 2.13). Les cordonnées du centre Pm du palpeur sont théoriquement

exprimées par un vecteur de position p dans le repère Sm (Eq. 2.10 et 2.11) :

mmm r nrP 0+= (2.10)

( )pppp zyx ,,= (2.11)

Fig. 2.13 Mesure de la surface de denture

D’un autre côté, ces cordonnées mesurées du centre Pm du palpeur par la machine à mesurer

CMM sont exprimées par un vecteur de position m (Eq. 2.12) dans le repère Sm :

( )mmmm zyx ,,= (2.12)

Les vecteur p et m sont exprimés dans le repère Sm cartésien, et après sont transformés dans le

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repère cylindrique Sm (Eq. 2.13 et 2.14).

( )pppp zr ,,θ= (2.13)

( )mmmm zr ,,θ= (2.14)

Φ n’est impliqué qu’avec la cordonnée θp :

On égalise les cordonnées rp et zp à rm et zm respectivement.

Les paramètres ϕ et ψ dans les équations (2.15 et 2.16) sont indépendants de l’angle Φ, mais ils

dépendent de C1,C2,…,Cn.

( )n

CCC ,,,21…ϕ=ϕ (2.15)

( )n

CCC ,,,21…ψ=ψ (2.16)

Les paramètres ϕ et ψ sont substitués à θp, après θP est comparé à θm. Si l’angle Φ est connu

et la surface de denture est taillée parfaitement, les cordonnées cylindriques θp et θm devraient être

impérativement égales. Dans la pratique, elles ne sont jamais égales car l’angle Φ est inconnu et le

taillage de surface contient toujours des erreurs inévitables. Le résidu E est défini comme la différence

entre θp et θm (Eq. 2.17) :

( )nCCCE ,,,, 21 …Φθ−θ= pm (2.17)

L'indice m correspondant aux cordonnées sont liées à m points mesurés sur la surface du

pignon. Chaque résidu Ei (i=1,2,…,m), correspondant à ième mi point mesuré, est calculé par l’équation

(2.17). On ne peut pas obtenir automatiquement les valeurs Φ, C1,C2,…,Cn afin que tous les résidus Ei

(i=1,2,…,m) proches ou égaux à zéro. Ainsi, on estime ces valeurs Φ, C1,C2,…,Cn en minimalisant la

somme de carré du résidu Ei (i=1,2,…,m), il s’agit une estimation des valeurs par la méthode des

moindres carrés (2.18). Cette somme de carrés du résidu Ei est nommée F :

∑

==

m

iiEF

1

2 (2.18)

Toutefois, l’extension de la surface de denture est située sur une aire limitée en comparaison à

la surface théorique qui a une extension plus grande. Les erreurs C1,C2,…,Cn sont faibles et la surface

de denture est très complexe. Deux cas peuvent se produire :

- quelques erreurs ont les mêmes effets sur la surface de denture. Dans ce cas, c’est assez difficile de

distinguer les effets de ces erreurs,

- erreurs C1,C2,…,Cn qui ont des effets très significatifs ou faibles sur la surface du pignon sont

mixées. Ainsi les effets faibles sont parfois cachés par les effets significatifs.

47


Dans tous les cas, il est difficile d’estimer les valeurs C1,C2,…,Cn simultanément. C’est pourquoi

on les estime séparément. L’équation simultanée est obtenue de la méthode de moindres carrés. On

estime la valeur de Φ comme la moyenne de toutes les valeurs Φi (Eq. 2.19) :

m

m

ii∑

=Φ

=Φ 1 (2.19)

Puis, on fait l’estimation pour les autres valeurs C1,C2,…,Cn.

2.4.1 Méthode de sélection des facteurs d’erreur Si on sélectionne le facteur d’erreur qui a l'effet le plus significatif sur la surface de denture, la surface

théorique ne s’ajuste pas correctement aux données mesurées. Donc, l’erreur du facteur d’erreur est

choisie la plus petite. Dans ce cas-là, la déviation de la valeur estimée de la valeur théorique est

ramenée à la fabrication, pour obtenir une surface de denture plus précise. Ainsi, il faut trouver les

facteurs d’erreur présents par une façon appropriée depuis les données mesurées.

Toutes sont estimées séparément, en commençant par les valeurs C1 et Φi. En même temps,

on suppose que les valeurs des facteurs d’erreur sont égales à zéro. Après on estime les autres

erreurs C2,…,Cn successivement. Puis, on calcule ∆t par l’équation (2.20) qui correspond à la

déviation standard en statistique et on représente la précision de l’ajustement définie autour de la

circonférence du pignon.

mFRt mm δ=∆ sin (2.20)

Dans l’équation (2.20), Rm est la génératrice moyenne, δm est l’angle primitif. Quand une valeur

théoriquement estimée s’ajuste complètement aux données mesurées mi (i=1,2,…,m), ∆t est égal à

zéro. Autrement si cette valeur ∆t est assez petite, la surface théorique est proche aux données

mesurées. De cette phase là, le facteur d’erreur indiquant le plus petit ∆t est considéré comme un

facteur d’erreur détecté. Comme on avait mesuré deux surfaces concaves et deux surfaces convexes,

on envisage toutes les erreurs liées à chaque surface séparément, puis on compare des valeurs de

chaque surface de même type, l’une pour les surfaces concaves, l’autre pour les surfaces convexes,

Car ce n’est pas sûr que les autres erreurs des facteurs d’erreur sont petites ou non. C’est

pourquoi, on estime séparément les valeurs des autres facteurs d’erreur et calcule chaque ∆t en

utilisant la valeur du premier facteur d’erreur. Si une erreur est plus petite que la première, elle est

aussi considérée comme un facteur d’erreur détecté. Autrement, seulement la première a été

détectée.

Comme c’était déjà dit, les déviations des valeurs estimées des facteurs d’erreur des

paramètres de fabrication sont considérées comme des erreurs du réglage de machine.

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2.4.2 Résultat Cette méthode d’inspection pour le système Cyclo-Palloïd Klingelnberg a été proposée pour établir

une méthode de validation de la procédure de fabrication. Les dimensions de la pièce inspectée sont

dans le tableau A5.1. Les dimensions de l’outil et de la machine (Tableau 2.1) ne sont présentées que

pour la surface de denture convexe. La détermination des dimensions de la surface de denture

concave reste à accomplir. On a mesuré la surface par plusieurs points (Tableau 2.2) afin d’éviter des

erreurs éventuelles de mesure. On a réalisé les mesures sur la surface en prenant une direction

perpendiculaire de la mesure à l’axe de la pièce (Fig. 2.14). Ensuite pour la présentation de l’erreur,

on transforme des cordonnées à une grille symétrique.

Rayon de fraise Rh (mm) 135 Distance machine Md (mm) 149,6 Cercle de rayon lié à la fraise ρ (mm) 132,58 Cercle de rayon lié à la roue plate p (mm) 17,02 Module d’outil mo (mm) 6 Angle de pression αn (°) 20 Rayon de la tête de l’outil Rc (mm) 1,8 Nombre de groupes coupant 5

Tableau 2.1 Paramètres de taillage liés à la surface de denture convexe

Surface Type de surface Nombre de points mesurés

1 convexe 75 (5x15) 2 concave 60 (5x12) 3 concave 60 (5x12) 4 convexe 75 (5x15)

Tableau 2.2 Type de surfaces et nombre de points mesurés sur les surfaces

Fig. 2.14 Positionnement des points mesurés sur la surface de denture

Les facteurs sont les suivants :

- distance machine Md,

- rayon de la fraise Rh,

- angle de pression αn,

- angle primitif δm,

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- génératrice primitive Re,

- distance du décalage hypoïde Ix.

La distance d’offset est examinée tout au long de l’axe xs du repère global Ss de la machine (Fig. 3.1

du Chapitre 3) en respectant le positionnement de la pièce.

2.4.3 Surfaces convexes Les dimensions du pignon sont présentées sur le tableau. Les autres dimensions liées respectivement

à l’outil et aux paramètres de machine sont présentées sur le tableau. Le rayon du palpeur sphérique

r0=0,99585 mm a utilisé pour la mesure des flans convexes. Les valeurs des erreurs dans les points

mesurés sont calculées (Fig. 2.15 et 2.16 liées respectivement aux surfaces 1 et 4).

Fig. 2.15 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface convexe 1

Fig. 2.16 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface convexe 4

Chaque valeur ∆t et l’angle Φ ont été calculée. Les résultats correspondant aux surfaces

convexes 1 et 4 montrent (Tableaux 2.3 et 2.4) que les déviations des valeurs estimées des facteurs

50


erreurs des paramètres de fabrication se présentent comme des erreurs.

Dans les deux cas, c’est la distance d’offset Ix qui a la plus petite erreur. La surface théorique

du pignon qui correspond à la valeur estimée Ix, peut être considérée comme celle qui s’ajuste plus

précisément aux données mesurées. Donc, on refait l’estimation en utilisant les valeurs où ∆Ix1 est

égal à 0,177 mm et où ∆Ix4 est égal à 0,156 mm, ainsi cette erreur de la distance d’offset devrait être

zéro. Par ailleurs, on estime les autres valeurs Md, Rh, αn, δm, et Re séparément pour savoir les

valeurs des autres facteurs d’erreur.

Selon les résultats de la première estimation, on peut constater qu’une seule erreur reste

significative, celle qui a le plus petit ∆t, ceci est lié à l’angle de pression αn, donc une nouvelle

estimation est encore nécessaire pour éliminer des effets de ce mauvais réglage de l’angle de

pression (Tableaux 2.5 et 2.6). L’angle de pression ∆αn1 est égal à 2,697 ° et ∆αn4 est égal à 5,259 °.

Les autres facteurs Md, Rh, δm, et Re sont très proches des paramètres de fabrication dès le premier

changement de réglage.

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) Md -0,218 mm 57,969 18,03 αn 2,563 ° 58,068 44,99 Rh 0,453 mm 57,611 20,36 δm -0,854 ° 58,739 31,86 Ix 0,177 mm 57,927 13,73 Re -0,256 mm 58,130 40,25

Tableau 2.3 Résultats de l’inspection sur la surface convexe 1

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm)

Md -0,203 mm 20,060 21,08 αn 1,999 ° 20,149 36,68 Rh 0,457 mm 19,698 22,49 δm -0,082 ° 20,219 35,60 Ix 0,156 mm 20,121 14,68 Re -0,107 mm 20,176 36,17

Tableau 2.4 Résultats de l’inspection sur la surface convexe 4

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) Md -0,0006 mm 57,927 13,73 αn 2,697 ° 57,927 13,48 Rh -0,0019 mm 57,929 13,71 δm -0,0007 ° 57,928 13,73 Re -0,006 mm 57,926 13,70

Tableau 2.5 Résultats de l’inspection sur la surface convexe 1, ∆Ix1=0,177 mm

Après la deuxième estimation, leurs valeurs d’erreur ne sont pas considérablement plus

grandes que la première (Tableaux 2.7 et 2.8). Ainsi un éventuel nouveau taillage doit être fait avec

deux changements du réglage qui touchent la distance d’offset et l’angle de pression. Les valeurs des

erreurs après les deux estimations dans les points mesurés sont présentées sur les figures 2.17 et

2.18 liées respectivement aux surfaces 1 et 4.

51


Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) Md 0,002 mm 20,121 14,68 αn 5,259 ° 20,119 12,71 Rh -0,006 mm 20,127 14,68 δm 0,057 ° 20,069 13,50 Re 0,047 mm 20,108 14,07

Tableau 2.6 Résultats de l’inspection sur la surface convexe 4, ∆Ix4=0,156 mm

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) Md 0,0003 mm 57,927 13,46 Rh -0,004 mm 57,931 13,47 δm -0,017 ° 57,942 13,44 Re 0,007 mm 57,925 13,46

Tableau 2.7 Résultats de l’inspection sur la surface convexe 1, ∆Ix1=0,177 mm, ∆αn1=2,697 °

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) Md 0,00001 mm 20,119 12,71 Rh 0,0003 mm 20,119 12,71 δm -0,022 ° 20,138 12,64 Re -0,011 mm 20,122 12,69

Tableau 2.8 Résultats de l’inspection sur la surface convexe 4, ∆Ix4=0,156 mm, ∆αn4=5,259 °

Fig. 2.17 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface convexe 1, ∆Ix1=0,177 mm, ∆αn1=2,697 °

Les résultats montrent que les facteurs d'erreurs se reproduisent dans les deux cas de surfaces

de denture convexes. Le positionnement des pics (Fig. 2.17 et 2.18) est presque identique dans les

cas 1 et 4, il ne disparaît pas après les estimations, ceux qui peuvent être liés au mauvais réglage de

fabrication ou à une défaillance du traitement de chaleur. Donc, il peut être supposé que cette pièce

ne fonctionne pas conformément aux exigences d'engrènement. Cette hypothèse est soutenue par les

informations obtenues du fabricant.

52


Fig. 2.18 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface convexe 4, ∆Ix4=0,156 mm, ∆αn4=5,259 °

2.4.4 Surfaces concaves Dans ce cas là, l'intention est d’identifier les paramètres de taillage car ils n’avaient pas été

communiqués par le constructeur de la pièce. Ainsi, on doit supposer en s'appuyant sur la particularité

du système Cyclo-Palloïd Klingelnberg que l’outil a les mêmes paramètres pour les surfaces qu’elles

soient concaves ou soient convexes. Les distances de machine, donc les points d’ajustement

théoriques de l'outil coupant sont différents (Fig. 1.5) ce qui sera vérifié par les estimations, mais pour

la première approche, on vise que les réglages de machine sont identiques pour la surface convexe

aussi pour la surface concave (Fig. 2.19 et 2.20). Le rayon du palpeur sphérique r0=0,99595 mm a

utilisé pour la mesure des flancs concaves. On a mesuré la surface sur plusieurs points (Tableau 2.2)

afin d’éviter des erreurs de mesure éventuelles.

Chaque valeur ∆t et Φ a été calculée. Les résultats correspondant aux surfaces concaves 2 et 3

montrent (Tableaux 2.9 et 2.10) que les déviations des valeurs estimées des facteurs erreurs des

paramètres de fabrication se présentent comme des erreurs. Dans les deux cas, les distances de

machine Md ont les valeurs plus petites. En respectant la théorie du Cyclo-Palloïd Klingelnberg, on

ramène ces valeurs des distances machines Md2 et Md3 à l’estimation.

Dans les deux cas, la distance machine Md a la plus petite erreur. La surface théorique du

pignon qui correspond à la valeur estimée Md peut être considérée comme celle qui s’ajust plus

précisément aux données mesurées. Donc, on refait l’estimation en utilisant les valeurs ∆Md2 est égal

à 0,695 mm (Md2=150,695 mm) et ∆Md3 est égal à 0,615 mm (Md3=150,615 mm) et, ainsi cette erreur

de la distance machine devrait être zéro. Par ailleurs, on estime les autres valeurs Rh, αn, δm, Re et Ix

séparément pour connaître les valeurs des autres facteurs d’erreur.

Après la première estimation (Fig. 2.21 et 2.22), on peut constater que l'erreur de la génératrice

moyenne donne le plus petit ∆t, donc une nouvelle estimation est demandée pour éliminer les effets

de ce mauvais réglage de la génératrice moyenne (Tableaux 2.11 et 2.12). La génératrice moyenne

∆Re2 est égale à 0,483 mm et ∆Re3 est égal à 0,462 mm. Les autres facteurs Rh, αn, δm, et Ix sont

estimés à nouveau séparément.

53


Fig. 2.19 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface concave 2

Fig. 2.20 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface concave 3

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) Md 1,095 mm 65,792 37,904 αn 1,978 ° 65,313 156,916 Rh -2,499 mm 67,777 41,788 δm -1,357 ° 64,230 103,662 Ix -1,529 mm 66,592 64,610 Re 1,308 mm 64,498 138,446

Tableau 2.9 Résultats de l’inspection sur la surface concave 2

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) Md 1,015mm 27,846 30,015 αn 1,516° 27,399 159,378 Rh -2,304mm 29,673 35,334 δm -1,339° 26,343 114,597 Ix -0,883mm 28,025 51,959 Re 1,198mm 26,662 145,999

Tableau 2.10 Résultats de l’inspection sur la surface concave 3

54


Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) αn 0,341 ° 65,795 35,083 Rh 0,108 mm 65,687 34,951 δm -0,406 ° 65,452 25,948 Ix -0,195 mm 65,956 32,834 Re 0,483 mm 65,499 20,179

Tableau 2.11 Résultats de l’inspection sur la surface concave 2, Md2=150,695 mm

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) αn -2,000° 27,847 27,625 Rh -0,002mm 27,849 30,004 δm -0,441° 27,480 18,454 Ix 0,0001mm 27,846 30,016 Re 0,462mm 27,569 11,558

Tableau 2.12 Résultats de l’inspection sur la surface concave 3, Md3=150,615 mm

Fig. 2.21 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface concave 2, Md3=150,695 mm

Fig. 2.22 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface concave 3, Md3=150,615 mm

55


Issue de la deuxième estimation, on peut constater que l'erreur du rayon d'outil donne le plus

petit ∆t, donc une nouvelle estimation est demandée pour éliminer les effets de ce mauvais réglage

(Tableaux 2.13 et 2.14). Le rayon d'outil ∆Rh2 est égal à 0,179 mm (Rh2=135,179 mm) et ∆Rh3 est

égal à 0,077 mm (Rh3=135,077 mm). Les autres facteurs αn, δm, et Ix sont estimés à nouveau

séparément.

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) αn -0,277° 65,501 20,399 Rh 0,179mm 65,324 16,768 δm 0,0767° 65,567 20,144 Ix 0,075mm 65,437 18,981

Tableau 2.13 Résultats de l’inspection sur la surface concave 2, Md2=150,695 mm et ∆Re2=0,483 mm

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) αn -0,719° 27,570 11,381 Rh 0,077mm 27,493 10,135 δm 0,007° 27,576 11,315 Ix 0,025mm 27,552 10,722

Tableau 2.14 Résultats de l’inspection sur la surface concave 3, Md3=150,615 mm et ∆Re3=0,462 mm

Issues de la troisième estimation, les valeurs ∆t sont déjà assez proche ainsi une nouvelle

quatrième estimation ne sera pas faite (Tableaux 2.15 et 2.16) (Fig. 2.23 et 2.24). En vérifiant les

valeurs d'erreurs de la surface de denture 2, l'erreur de l'angle primitif devient le plus petit ∆t, ∆δm2 est

égal à -0,085 °, la nouvelle estimation ne donne pas des valeurs considérablement différentes des

précédentes (Tableau 2.17).

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) αn 3,5625 ° 65,324 16,768 δm -0,085 ° 65,251 15,808 Ix -0,024 mm 65,344 16,617

Tableau 2.15 Résultats de l’inspection sur la surface concave 2, Md2=150,695 mm, ∆Re2=0,483 mm et Rh2=135,179 mm

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) αn -0,391 ° 27,493 10,135 δm -0,051° 27,449 10,315 Ix -0,006 mm 27,497 10,105

Tableau 2.16 Résultats de l’inspection sur la surface concave 3, Md3=150,615 mm et ∆Re3=0,462 mm et Rh3=135,077 mm

Facteur d’erreur Erreur Φ (°) ∆t (µm) αn -0,939° 65,251 15,808 Ix 0,023 mm 65,231 15,638

Tableau 2.17 Résultats de l’inspection sur la surface concave 2, Md3=150,695 mm et ∆Re3=0,483 mm, Rh3=135,179 mm et

∆δm2= -0.085 °

56


Fig. 2.23 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface concave 2,

Md2=150,695 mm, ∆Re2=0,483 mm et Rh2=135,179 mm

Fig. 2.24 Valeurs des erreurs dans les points mesurés, surface concave 3,

Md3=150,615 mm et ∆Re3=0,462 mm et Rh3=135,077 mm

On a constaté dont on a eu besoin plusieurs estimations, notamment trois dans le cas de la

surface de denture concave, où il est devenu claire que ces estimations étaient plutôt des

déterminations des paramètres de machine, même l'éventuelle erreur de la génératrice primitive est

détectée. La particularité du système Cyclo-Palloïd Klingelnberg est vérifiée. Il reste de faire comparer

les données obtenues aux réglages de machine. Les erreurs sont répétables, ainsi les effets des

traitements après taillage n'ont pas été identifiés.

2.4.5 Direction de l'outil coupant

La direction de l'outil coupant n'était pas tenue en compte comme un facteur d'erreur dans les

estimations aux réglages de machine. Entant un paramètre à la localisation de la portée, le réglage de

direction de l'outil coupant est étudie. Les valeurs ont été estimées à la dernière estimation dans tous

les quatre cas (Tableau 2.18) et elles montrent que le plan contenant de l'outil est orienté au centre de

57


rotation instantané dans la position de contact central au plan primitif.

Surface convexe 1

Surface convexe 4

Surface concave 2

Surface concave 3

Angle rotation κ (°) 0,011 0,011 0,938 0,507

Tableau 2.18 Angle de rotation de l'outil coupant

2.4.6 Conclusion

La détermination numérique des paramètres de taillage de la surface réelle issue de la mesure 3D est

utilisée comme une phase de vérification de la fabrication. La pièce mesurée a des erreurs de

fabrication qui se répètent. Les surfaces convexes présentent des pics. La pièce mesurée ne peut

donc pas être utilisée pour des applications devant satisfaire à des exigences de bruit et de vibration.

Un nouveau taillage serait nécessaire pour avoir des comportements cinématique et dynamique

satisfaisants. Les réglages des machines générant les surfaces de denture concaves sont identifiés.

2.5 COMPARAISON DES SURFACES OBTENUES AVEC DIFFERENTES CORRECTIONS

L'influence des variations de la forme de l'outil coupant et des réglages de machine sur la surface de

denture présentée est le résultat d’une simulation numérique. Les cas traités sont décrits dans

l'Annexe A.5. La méthode de comparaison du rapprochement des surfaces est présentée dans

l'Annexe A.6.

Les comparaisons des surfaces de denture correspondent à un premier pas vers la simulation

de contact. Il s’agit d'avoir une portée localisée, d’éviter le contact aux extrémités de la surface de

denture et d'améliorer les comportements dynamiques et cinématiques, en exploitant les possibilités

des machines de taillage.

Premièrement, on définit des paramètres de taillage de la surface de base : une surface de

référence. Toutes les variations de la géométrie de la surface de denture ayant subie des corrections

ou des modifications seront comparées à cette surface en présentant l'enlèvement de matière par

rapport à elle. Cette surface de denture de base est simulée avec un outil coupant droit, sans rotation

de l'outil coupant, ce cas est nommé cas 01 (voir Annexe 4.5).

Les corrections en longueur et en hauteur sont envisagées. La correction en hauteur est

obtenue par la variation du rayon d'outil (Fig. 2.2). En hauteur, les variations de la courbure de l'outil

coupant (Fig. 2.3) ou de rotation de l'outil coupant (Fig. 2.2) sont considérées. Six cas seront traités.

L'influence de la direction de la rotation de l'outil coupant par un angle positif de 10 ° (cas 02), dans la

direction négative par l'angle –10 ° (cas 03). Par ailleurs, les influences des différentes corrections en

longueur (cas A1), en hauteur (cas B1). Finalement des effets de cumul des modifications appliquées

en parallèle. Une surface corrigée dans toutes les deux directions, en longueur et en hauteur

(cas C1), et l'effet d'une rotation additionnelle de l'outil coupant à cette surface deux fois corrigée

(cas C2) seront concernés dans la comparaison. Les limites de surface active sont aussi comparées.

58


Mais ces limites ne sont pas identiques, elles varient selon les corrections appliquées. Les différences

des limites des surfaces de denture actives sont présentées sur la ligne de la limite de la surface

active de la surface de denture de base.

Coordonnées x,y de la grille (mm)

Cas 02 Cas 03 Cas A1 Cas B1 Cas C1 Cas C2

-26,5;4 -1,068 -1,506 3,894 0,942 4,83 3,744-26,5;0 0 0 4,044 0 4,044 4,044-26,5;-4 1,74 2,514 4,32 2,67 7,002 8,808

0;4 -1,164 -1,158 0,006 0,876 0,882 -0,3060;0 0 0 0 0 0 00;-4 1,566 1,584 0 1,662 1,668 3,234

26,5;4 -1,23 -0,972 3,624 0,858 4,488 3,23426,5;0 0 0 3,414 0 3,414 3,41426,5;-4 1,494 1,194 3,162 1,314 4,476 5,958

Tableau 2.19 Valeurs des différences entre les surfaces comparées (en arc seconde)

La rotation de l'outil coupant a des effets sur la surface de denture en hauteur, en fonction de la

direction du coupant, il y a plus de différence absolue au début, moins à la fin de la surface, cas 03

par rapport au cas 02. Dans les deux cas, la différence absolue est moindre à la tête qu'au pied du

flanc. Une différence à la tête est de 34,54 % inférieure par rapport au pied, à la position latitudinale

médiane au cas 02 (Tableau 2.19). Un renforcement de matière se réalise à la tête et un enlèvement

au pied de la denture (Fig. 2.25 et 2.26) ce qui est indépendant de la direction de la rotation de l'outil

coupant.

Fig. 2.25 Différences des surfaces, rotation de l'outil coupant, cas 02

La correction en longueur (cas A1) effectue l'enlèvement de matière (Tableau 2.19) au début et

à la fin de la surface, une ligne composée des points restants conjugués se trouve au milieu de la

surface en la traversant (Fig. 2.27). Au petit bout, la différence des surfaces par rapport au gros bout

est de 18 % supérieure, dans la position longitudinale médiane (Tableau 2.19).

59


Fig. 2.26 Différences des surfaces, rotation de l'outil coupant, cas 03

Fig. 2.27 Différences des surfaces, correction en longueur, cas A1

La correction en hauteur (cas B1) effectue l'enlèvement de matière (Tableau 2.19) au pied et à

la tête de la surface, une ligne composée des points restants conjugués se trouve au milieu de la

surface en longueur, où la géométrie de denture ne varie pas en fonction de cette correction

(Fig. 2.28). La différence des surfaces à la tête par rapport au pied dans la position latitudinale

médiane est de 89,76 % inférieure (Tableau 2.19). Cet écart est plus grand au petit bout, il diminue

vers le gros bout de la surface. En rapprochant à la limite de la surface active la différence augmente

excessivement (Fig. 2.28). Les points conjugués sont en ligne longitudinale médiane.

60


Fig. 2.28 Différences des surfaces, correction en hauteur, cas B1

Fig. 2.29 Différences des surfaces, correction en hauteur et longueur, cas C1

Finalement les effets de cumul des modifications appliquées en parallèle sont envisagés. La

surface est corrigée dans les deux directions, en longueur et en hauteur (cas C1). On constate que

des effets séparés des corrections, soit en longueur, soit en hauteur, s'additionnent (Fig. 2.29). La

valeur de la différence est quasiment la somme des valeurs des différences obtenues séparément par

61


les corrections en hauteur et en longueur, dans les points correspondants du quadrillage (Tableau

2.19). Seul le point conjugué par rapport à la surface de base reste, il est situé au milieu de la surface,

dans l'axe des lignes longitudinales et latitudinales médianes.

L'effet d'une rotation additionnelle de l'outil coupant à cette surface deux fois corrigée (cas C2)

est aussi concerné dans la comparaison. Comme cela a déjà été constaté, les influences aussi

s'additionnent dans ce cas-là. A cause de la rotation de l'outil coupant, l'enlèvement de matière à la

partie basse de la denture augmente considérablement. Ainsi le point conjugué se déplace vers le

haut de la denture, le point qui a la différence plus négative (Fig. 2.30).

Fig. 2.30 Différences des surfaces, correction en hauteur et longueur, rotation additionnelle de l'outil coupant, cas C2

En conclusion, la comparaison des surfaces de denture visualise la différence entre leurs géométries.

Les effets de chaque correction sur les différences entre les surfaces s'additionnent si ces corrections

sont appliquées en même temps. La ligne des points conjugués se transforme à un seul point si

plusieurs corrections sont prises en compte.

62


2.6 DETERMINATION DES RAYONS DE COURBURE PAR UNE METHODE ITERATIVE

Les surfaces des engrenages spiro-coniques sont complexes et leur géométrie peut être difficilement

décrite par les méthodes analytiques. Cette particularité concerne la détermination des rayons de

courbure de la surface. Ils présentent la base de la théorie de Hertz (Annexe 3) qui sert à définir le

rapprochement des surfaces sous charge. Les surfaces sous charge ont une déformée flexible et le

point de contact devient un contact surfacique qui est estimé par une ellipse. Pour déterminer ces

ellipses, la valeur de déformation et la pression de contact, la connaissance des valeurs des rayons

de courbure est demandée.

Cependant, les calculs analytiques (Annexe 1.2) n'ont pas donné les valeurs recherchées des

rayons de courbure, ainsi on a du choisir une estimation itérative. Pour un point donné de la surface

de denture, on envisage des intersections de la surface et un plan tournant autour la normale de la

surface dans ce point. Ces intersections sont des courbes qui composent la surface. Donc, les plans

sont parallèles avec la normale n (Fig. 2.31). On définit une distance (d=0,01 mm) le long la normale

définie par l'intersection le plan tangent et le plan parallèle, on mesure cette distance de l'origine Oi,

donc on obtient un point P sur le plan tangent. Puis nous calculons la distance l entre le pont M de la

courbe et le plan tangent. Le rayon de courbure actuel Rx est calculé par l'équation 2.21. En tournant

le plan, un cylindre se crée, et les valeurs de rayon de courbure sont recherchées. Théoriquement les

plans contenant les rayons à valeurs minimale et maximale sont perpendiculaires.

lld

Rx 2

22 += (2.21)

Fig. 2.31 Détermination des rayons courbure principaux

63

2 definition de la geometrie de la denturecsidoc.insa-lyon.fr/these/2002/lelkes/chap2.pdf ·...

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