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L'ensemble du projet de recherche mené en collaboration avec Venmar vise la simulation de l'aérodynamique interne de ventilateurs centrifuges de t tpe cage d7écureui1 B. Parmi les moyens entrepris pour atteindre les objectifs de la compagnie, un modèle numérique a d'abord été créé et validé pour la simulation de l'aérodynamique interne de la roue. La réalisation de cet outil numérique constitue le sujet du présent document.

Le modele développé, basé sur la théorie des écoulements potentiels, consiste en une méthode de panneaux 2-D, axisymétrique, couplée à une méthode intégrale de couche limite et à un modèle de sillage, et modifiée pour tenir compte de la périodicité circonférentielle des aubes et de la rotation de la roue. Le débit est modélisé par une source centrale et la rotation de la roue est représentée par la superposition d'un champ de vitesse correspondant à celui d'un corps rigide en rotation. Cette formulation qui rend l'écoulement rotationnel dans le repère de la roue élimine la nécessité d'introduire un facteur de glissement pour rendre l'écoulement irrotationnel dans le repère fixe. Une formulation modifiée de l'équation de Bernoulli a été utilisée pour tenir compte de l'accélération centripète du repère en rotation dans le calcul du champ de pression. Po-ùr le calcul de l'évolution de la couche limite sur les aubes, l'équation intégrale de von Ktirrnfin a été dérivée en coor- données curvilignes dans un repère en rotation en négligeant les termes d'ordre supérieur et d'accélération normale. La relation obtenue, qui a la même forme que celle développée dans un repère inertiel, a permi d'appliquer les méthodes intégrales de couche limite existantes au cas présent. Pour la simulation du sillage, un nouveau modèle basé sur l'utilisation judicieuse d'éléments potentiels a été développé et validé pour des corps profilés soumis à un écoulement uniforme. Malgré les excellents résultats obtenus, ce modèle est limité par sa nature à la simulation d'écoulements externes en absence de bulle de séparation.

Le modèle couplé a d'abord été validé à partir d'une roue générique de roue 2-D, conçue pour permettre l'analyse qualitative et quantitative des caractéristiques de t'écoulement par la méthode de vélocimétrie par imagerie des particules. Les performances de deux roues de ventilateurs centrifuges réels ont ensuite été mesurées et comparées à celles prédites par le présent modèle. Pour ce faire, l'augmentation de pression totale a dû être corrigée pour les pertes d'entrée, de fiction entre les aubes, de sillage et de volute. Pour les deux roues, l'utilisation de certaines hypothèses a permi d'obtenir des résultats en bon accord avec ceux obtenus expériment alement et ceci, malgré les effets tridimensionnels iniport ants présents pour ce type de ventilateurs.

REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier personnellement les personnes et organismes suivants sans qui. la réalisation de ce travail n'aurait pas été possible :

- Mon directeur de recherche Martin Brouillette pour son aide et ses conseils éclairés, ainsi que pour la confiance qu'il .m'a portée tout au long du projet ce qui m'a permis d'approfondir davantage mes recherches et connaissances :

- Venmar Ventilation inc. pour le support financier accordé au projet, et tout particulièrement Michel Julien et Jean-Bernard Piaud pour l'excellente collaboration établie, leur implication, l'intérêt porté à mes travaux et pour leur niveau d'attente élevé ;

- Les autres professeurs participant a u projet soit Stéphane Cyr pour ses excellents conseils et sa disponibilité, ainsi que François Charron et Jean Nicolas ;

- Les autres étudiants participant au projet soit Sylvain Bonneville et Stéphane Jourdain pour leur collaboration et l'aide précieuse apportée ;

- Le Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG) pour l'aide financière accordée ;

- Tout le personnel du Département de génie mécanique de l'Université de Sherbrooke pour leur contribution directe ou indirecte à la réalisation de ce travail ;

- Louis et Marie-Hélène pour leur amitié;

- Tous les membres de ma famille pour leur compréhension et leur support soutenu.

Je dédie ce travail à mes parents qui m'ont appuyé pendant toute la durée de mes études et qui n'ont cessé de m'encourager jusqu'à la ri.

Table des matières

1 INTRODUCTION

1.1 Mise en contexte. problématique et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . généraux

1.2 Description des objectifs spécifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 REVUE DES CONNAISSANCES

2.1 Généralités sur les ventilateurs centrifuges . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Aér~d~vnamique interne des vent il at eurs centrifuges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Études expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Études théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Acoustique des ventilateurs centrifuges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 -4 Modélisation numérique des écoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.2 Écoulements potentiels et méthodes de panneaux . . . . . . . . . . 13

2.4.3 Couches limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.4 Sillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 CONSIDÉRATIONS THÉORIQUES 18

3.1 Ventilateurs centrifuges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Théorie 1-D 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Pertes de pression totale 21

3.1.3 Pression totale et Bernoulli en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Couches limites 26

3.2.1 Équation de von Ktirmân en coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans un repère en rotation 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Coordonnées cylindriques 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Modèles de couche limite 2 1

4 MODÈLES NUMÉRIQUES DÉVELOPPÉS 30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Méthodes de panneaux de base 30 C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Elémentspotentiels 30

. . . . . . . . . . . 4.1.2 Corps profilés soumis à un écoulement uniforme 30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 -3 Roue de ventilateur 35

. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Méthodes de panneaux avec modèle de sillage 37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Cylindres 37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Corps profilés 39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Hypothèses 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Limites 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Modèles de couche limite 45

. . . . . . . . . 4.4 Couplage écoulement potentiel - couche limite - séparation 45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Calcul des performances 48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Profils 2-D 48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Roues centrifuges 2-D 50

3.1 Modèle numérique pour cylindres . - . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Modèles numériques pour corps profilés . . . . . . . - . . . . - . - - . - . . 64

5.3 Modèle numérique pour roues de ventilateurs centrifuges.. . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3-1 Validation . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . 76

5.3.3 Prédiction des performances de ventilateurs centrifuges - . - . . . . 81

CONCLUSION

A Modèle théorique de pertes de sillage

B Équation de Bernoulli en rotation

C Couches limites

C.1 Équation de von K5mh.n en coordonnées curvilignes dans un repère en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

C.1.I Développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

C-1.2 Discussion sur les hypothèses - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

C.2 Équation de von Kfum&n en coordonnées cylindriques pour un écoulement divergent dans un repère fixe . . . . . . . 125

C.2.1 Développement . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . 125

C.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

D Principaux éléments potentiels 132

Bibliographie 134

Liste des figures

1.1 Schéma d'un appareil de ventilation résidentielle générique . . . . . . . . . . 3

1.2 Schéma d'un ventilateur centnfuge de ippe « cage d'écureuil *- . . . . . . . 2

1.3 Modélisation de l'écoulement incompressible. bidimensionnel et &symétrique dans le plan r-8 pour la roue du ventilateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Schéma du modèle expérimental pour la validation de la roue en 2-D par la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . méthode PIV .

3

2.1 T-ypes de ventilateurs centrifuges et efficacités approximatives maximales . atteignables [Bleier 19981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

2.2 Représentation schématique des principaux éléments potentiels 2.D . . . . . 14

2 -3 Représentation schématique des méthcdes de panneaux . . . . . . . . . . . . 14

3.1 Triangles de vitesse à l'entrée et à la sortie de roues de ventilateurs centrifuges sans aubes de redressement (G~ = O) . Les vecteurs vitesse sont reliés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . entre eux par : Z = ü + W 19

3.2 Montage expérimental pour l'évaluation des pertes d'entrée . . . . . . . . . 22

4.2 Méthode de panneaux de Hess & Smith (1966) . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Méthode de panneaux de tourbillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Modèle de séparation pour cylindres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Variation de la position radiale optimale des sources ponctuelles en fonction de l'angle de séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Modèle de séparation pour corps profilés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Région de transition autour d'un point de séparation pour la distribution de tourbillons. . . . . - . . . . . , . . . . . . , . . . . - , - . . - , . . . . ,

Modèle de couche limite laminaire-turbulente utilisé pour les différents codes développés (cylindres, pro&, roues de ventilateur). . . . . . . . . . . . . .

Schéma de fonctionnement utilisé pour les différents codes développés (cylindres, profils, roues de ventilateur). . . . , , . . - . . - + . . . . . . . , .

Comparaison des distributions de pression e-rpérimentales, théoriques et obtenues numériquement pour un cylindre lisse à @,, = 80, 104 et 120 deg. .

Lignes de courant obtenues numériquement pour un cylindre lisse à différents angles de séparation. . . - . - - . . . , . . . . . . , . . - . . . - . . . . . .

Comparaison des distributions de pression eupérimentale et obtenue numé- riquement avec le modèle couplé pour un cylindre lisse à ReD = 14 500. . .

Effet du nombre de panneaux sur les résultats du présent modèle couplé pour un cylindre lisse à ReD = 14 500. . . . . , . . . . . . - . . . . . . . .

Coefficients de traînée expérimentaux et obtenus numériquement en fonction du nombre de Reynolds pour un cylindre Lisse. . . . . . . . . . . . . . . . .

Coefficients de pression de séparation expérimentaux et obtenus numériquement en fonction du nombre de Re_vnolds pour un cylindre lisse. . - - . . . . . .

Position des points de séparation expérimentaux et obtenus numériquement en fonction du nombre de Reynolds pour un cylindre lisse. . . . . . . . . .

Comparaison des distributions de pression obtenues avec les deux modèles de base développés pour un profil Joukowsky. . . . . . . . . . . . . . . . .

Lignes de courant et distribution de pression pour un profil Joukowsky. . .

Lignes de courant et distribution de pression pour le profil NASA GA(W)-1 [McGhee & Beasley 19731 : cr,, = 12.2 deg, Re, = 6.3 x 106, (x/c)~,, = 0.08,90 panneaux. - . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . - . . . . . . . .

Lignes de courant et distribution de pression pour le profil NASA GA(W)-1 [McGhee & Beasley 19731 : a,, = 16.2 deg, Rec = 6.3 x 106, (X/C)~, = 0.08,90 panneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lignes de courant et distribution de pression pour le profil NASA GA(W)-1 [McGhee & Beasley 19731 : a,, = 20.25 deg, Re, = 6.3 x IO6, (X/C)~, = 0.08, 90 panneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5-13 Lignes de courant et distribution de pression pour le profil KAS-% G-%(IV)-1 [McGhee & Beasley 19731 : a, = 21.34 deg, Re, = 6.3 x 106, ( x /&~ , = 0.08,90 panneaux. . . . . . . . - . - . . . . . - . - . . . . . . . . , . . . .

3.14 Coefficients de performance pour le profil NASA G.4(W)-1. Re, = 6.3 x 106. (z/c),, = 0.08, 90 panneaux. . . . - . . . - . - - . - . - . - . . - . . . . .

5 -13 Coefficients de performance pour le profil KAS.4 GA(W)-1: Re, = 1.9 x 10% (x /c ) ( , , = 0.08, 90 panneaux. - - . . - . - . - - . . . . . . . . . . . . . - .

5.16 Coefficients de performance pour le profil NACA 4412, Re, = 3.0 x 106. transition libre, 160 panneaux. . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . .

5-17 Effet du nombre de panneaux sur les résultats du présent modèle couplé pour un profil WACA 4412 à a=10 deg., Re, = 3.0 x 106, 160 panneaux. .

5.18 Roue expérimentale conçue pour la validation du présent modèle par la méthode PW. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.19 Roues utilisées pour la validation des performances prédites par le présent modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . - . . . .

5.20 Lignes de courant obtenues expérimentalement à O rpm, 100-120 gpm [Bonneville 2000]. . - . . . . - . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . .

5.21 Lignes de courant obtenues expérimentalement à 2 rpm, 100-120 gpm [Bonneville 20001. . - . - . . . . . . . . . . - - . . . - . . - . . - - . - . . -

5.22 Lignes de courant obtenues expérimentalement à 6 rpm, 100-120 gpm [Bonneville 20001. - . . . . . . - - . . - . . . . . . . - . . . . . . - . . . . .

5.23 Lignes de courant obtenues numériquement à O rpm, 100 gpm. . . . . . . .

5.24 Lignes de courant obtenues numériquement à 2 rpm, 100 gpm. . . . . . . .

5.25 Lignes de courant obtenues numériquement à 6 rpm, 100 gpm. . . . . , . .

5.26 Distributions des vitesses de surface pour la roue expérimentale à 2 rpm, 100-120 gpm. . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.27 Distributions des vitesses de surface pour la roue expérimentale à 6 rpm, 100-120 gpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.28 Exemple de résultats obtenus par PIV (Particle Image Velocimetry) pour la roue expérimentale à 2 rpm, 100-120 gpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.29 Distributions des vitesses et angles de l'écoulement passant par la ligne médiane entre deux aubes à 2 rpm, 100-120 gpm. . . . - . . . . - - . - . . 94

5.30 Distributions des vitesses et angles de l'écoulement passant par la ligne médiane entre deux aubes à 6 rpm, 100-120 gpm- . . - . . . . . - , . . . . 93

5 -31 Distributions des vitesses et angles d'entrée et de sortie à 2 rpm, 100-120 gpm- 96

5.32 Distributions des vitesses et angles d'entrée et de sortie à 6 rpm, 100-120 gpm. 97

5.33 Courbes de pression théoriques et obtenues avec le présent modèle pour l'écoulement potentiel sans sillage ni pertes ajoutées. . . . . . . . . . . . . 98

3.34 Comparaison des courbes de performance mesurées et prédites avec le présent modèle pour la roue commerciale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . 99

5.35 Comparaison des courbes de performance mesurées et prédites avec le présent modèle pour le prototype développé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.36 Effet de la position du point de séparation à l'extrados sur les performances des deux roues étudiées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.37 Distribution des pertes prédites par le présent modèle pour la roue cornmer- ciale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.38 Distribution des pertes prédites par le présent modèle pour le prototype développé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 103

3.39 Lignes de courant prédites avec le présent modèle. . . . . . . . . . . . . . . 104

5.40 Distributions de vitesse et de pression statique en surface des aubes pour la roue comrnerciale~ QtOt=80 11s et b=41 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5-41 Distributions de vitesse et de pression statique en surface des aubes pour le prototype développé, QtOt=60 l/s et b=38 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . 106

-4.1 Schéma utilisé pour le développement du modèle théorique de pertes de sillage. Les vitesses u< et Ü2 sont les vitesses moyennes absolues (repère fixe). 111

A-2 Pressions sur la frontière du volume de contrôle. . . . . . . . . . . . . . . . 112

B.1 Schéma du déplacement d'un élément fluide sur une ligne de courant dans un repère inertiel, . . . . . . . - . . - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

B.2 Schéma du déplacement d'un élément fluide sur une ligne de courant dans un repère en rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

C-1 Schéma des différents types d'accélération normale pour un écoulement non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . séparé sur une aube de roue centrifuge 124

C.2 Développement d'une couhe limite sur une plaque plane et mince soumise à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . un écoulement divergent 128

Liste des tableaux

Comparaison des résultats obtenus avec le présent modèle et ceux obtenus expérimentdement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

-4ngles de séparation prédits pour I'écoulement potentiel autour d'un c-- - - lindre. Résultats indépendants du nombre de Reynolds. . . . . . . . . . . . JJ

Caractéristiques des roues et de Ia volute utilisées. . . . . . . . . . . . . . . 83

Position du point de séparation sur une plaque plane soumise à un écoulement divergent. Comparaison des résultats obtenus avec différents modèles de couche limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Vitesses induites par les principaux éléments potentiels. . . . . . . . . . . . 132

Vitesses induites au centre des panneaux distribués, P($, O*). . . . . . . . 133

NOMENCLATURE

a) Symboles romains

Paramètre Description Dimension

Épaisseur de la roue

Épaisseur de la volute

Corde (aubes ou corps profilés)

Coefficient de traînée 2-D

CoeEcient de fnction (couche limite)

Coefficient de portance 2-D

Coefficient de moment 2-D au quart de corde -

Coefficient de pression statique

Diamètre hydraulique

Diamètre et rayon intérieur de la roue L

Diamètre et rayon extérieur de la roue L

Énergie massique interne du gaz parfait L*T-~

Facteur de friction -

Pertes de pression totale ML-1T-2

Facteur de forme (couche limite) -

Enthalpie massique du gaz parfait L2T-2

Indice d'expansion de la volute -

Coefficient de perte de pression totale -

Longueur d'un panneau, longueur caractéristique L

Débit massique MT-1

Nombre d'aubes -

Puissance développée à l'arbre

Pression statique

Pression totale

Augmentation de pression totale

Débit volumique

Débit surfacique (QtOt / b)

position radiale par rapport au centre de la roue

Rayon de courbure à la paroi

Sombre de Reynolds basé sur la corde

Kombre de Reynolds basé sur le diamètre

Nombre de Reynolds basé sur le diamètre hydraulique

Nombre de Reynolds basé sur l'épaisseur de quan- tité de mouvement

Nombre de Reynolds basé sur la position à partir du point de stagnation

Espacement entre deux aubes

Paramètre de couche limite défini par $Re&,

Couple à l'arbre

Vitesse absolue du fluide (repère fixe)

Vitesse extérieure à la couche limite

Vitesse radiale

Vit esse tangentielle

Vitesse de l'écoulement uniforme incident

b) Symboles grecs

Paramètre Description Dimension

Angle d'incidence (corps profilés soumis à un écoulement uniforme)

Angles géométriques d'entrée et de sortie des aubes

Position angulaire des points de séparation à partir du point de stagnation (cylindres)

Épaisseur de couche limite

Épaisseur de déplacement (couche limite)

rapport entre la section occupée par le sillage et la section entre deux aubes consécutives (E = &/eh) Coefficient de débit volumique

Intensité d'un tourbillon ponctuel

Intensité d'un tourbillon distribué

Efficacité de ventilation

Position angulaire dans Ie repère global fixe situé au centre de la roue

Intensité d'une source ponctuelle

Intensité d'une source distribuée

Paramètre adimensionnel de gradient de pression (couche limite)

Coefficent de puissance de ventilation

Facteur de glissement

Viscosité dynamique du fluide

Viscosité cinématique du fluide

Épaisseur de quantité de mouvement (couche limite)

Angles de cambmre des aubes au bord d'attaque et au bord de fuite

-

-

-

L

L -

-

L2T-1

LT- 1

-

-

L ~ T - I

LT- 1

-

-

-

ML-lT-=

L2T-l

L

-

Section angulaire entre deux aubes consécutives - (eh = 2r/Nazcbes)

Section angulaire occuppée par le sillage -

Densité àu fluide ML -3

Contrainte de cisaillement hlL-'T-*

Contrainte de cisaillement à Ia paroi & ~ L - ~ T - z

Vitesse de rotation de la roue T-'

Coefficient d'augmentation de pression totale -

Chapitre 1

INTRODUCTION

1.1 Mise en contexte, problématique et objectifs généraux

'Avec la principale part du marché canadien, Venmar Ventilation Inc. est le chef de file dans la conception, la fabrication et la mise en marché d'appareils de ventilation résidentielle. Les produits novateurs Venmar sont réputés pour leur efficacité énergétique ainsi que pour leur opération silencieuse. Ces caractéristiques sont le résultat d'efforts soutenus en recherche et développement qui ont été menés dans le passé principalement en collaboration avec les chercheurs de l'université de S herbro O ke.

Parmi les produits fabriqués par Venmar, on retrouve les appareils de ventilation génériques (figure 1.1) qui sont constitués des sous-systèmes suivants :

i) un ou plusieurs ventilateurs centrifuges, chacun équipé d'un moteur électrique ;

ii) un noyau d'échange thermique (optionnel) ;

iii) un module de contrôle électronique ;

iv) un caisson / sous-système de support.

Les performances aérodynamiques de l'appareil sont déterminées par la configuration des ventilateurs, les conditions d'opération ainsi que par les pertes de charge obtenues dans le noyau d'échange. D'autre part, les performances acoustiques de l'appareil dépendent du bruit généré par les ventilateurs, le moteur et le caisson. Par conséquent, le ventilateur centrifuge est d'une importance capitale tant au point de vue aérodynamique qu'acoustique.

'Les chapitres 1 et 2 sont partiellement inspirés de la demande de subvention au Conseil de recherches en sciences naturelies et en génie du Canada (CRSNG) effectuée par M. Martin Brouillette (1996). Ce document décrit de façon détaillée l'ensemble du projet fait en collaboration avec Venmar. Ainsi, avec l'accord de ce dernier, certaines figures et une partie du texte en proviennent directement.

/ \ Ventilateur Moteur

\ Noyau

\ Caisson

centrifuge électrique d'échange

FIG . 1.1: Schéma d'un appareil de ventilation résidentielle générique.

Dans le cas des appareils de ventilation Venmar, des ventilateurs centrifuges de type « cage d'écureuil * ou n sirocco w sont utilisés (figure 1.2). Actuellement, la littérature comporte très peu d'études approfondies sur ce type de ventilateurs et ceux-ci sont généralement conçus de façon empirique dans l'industrie.

Roue à aubes,

Moteur

FIG. 1.2: Schéma d'un ventilateur centrifuge de type « cage d'écureuil B.

Pour remédier aux lacunes de ce processus empirique, Venmar veut maintenant se doter d'un outil de simulation et de conception aérodynamique et acoustique pour ce type de ventilateur. L'entreprise espère ainsi :

i) réduire le temps et les coûts de développement ;

ii) augmenter l'efficacité énergétique de leurs produits ;

iii) réduire le bruit d'origine aérodynamique de leurs appareils.

1.2 Description des objectifs spécifiques

Le pro jet de recherche vise la simulation de l'aérodynamique incompressible interne d'un ventilateur centrifuge. Ceci inclut la simulation de l'écoulement dans la roue et la prédiction des performances globales du ventilateur par la création et validation d'un outil numérique pour la simulation 2-D de l'aér~d~mamique de la roue. Aussi, le projet comporte des acti- vités visant à établir des stratégies de conception pour le type de ventilateur en question.

Pour simuler l%coulement à l'intérieur du ventilateur jusqu'à la sortie de la roue. les hy- pothèses qui suivent on été utilisées : i) écoulement incompressible, ii) bidimensionnel. et iii) axisymétrique dans le plan r-8 (figure 1.3). Cette dernière hypothèse signifie que la roue a d'abord été considérée comme étant découplée de la volute. Ceci permet de considérer l'écoulement axisymétrique autour de l'axe de rotation de la roue, de simplifier les calculs et de diminuer considérablement le temps de calcul et la quantité de mémoire requise. Cependant, il est à noter que le découplage de la roue et de la volute élimine la possibilité de connaître avec précision l'influence que l'une a sur l'autre.

Le modèle de simulation aérodynamique développé consiste en une méthode de panneau couplée à une méthode intégrale de couche limite et à un modèle de sillage. Cette méthode, qui incorpore pour la première fois le couplage du calcul potentiel, de la couche limite et du sillage dans une formulation cucisymétrique pour une turbomachine, permettra d'étendre le domaine d'application pour la simulation potentielle des écoulements séparés. -4ussi, l'utilisation de cette méthode s'est avéré être le meilleur choix principalement à cause des ressources de calcul limitées dont dispose Venrnar- Par ailleurs, les intrants du calcul sont le débit, la vitesse de rotation et la géométrie de la roue (diamètres interne et externe? largeur, forme des aubes et leur nombre). Les extrants sont les champs de vitesse et de pression, le couple (ou la puissance) développé sur la roue, la surpression produite et les pertes associées aux effets tridimensionnels ou à la séparation de l'écoulement sur les aubes. Cette approche incorpore en particulier les caractéristiques suivantes :

1- Formulation d'une methode de panneaux modifiée tenant compte de la pé- riodicité circonférentielle des aubes et de la rotation de la roue;

2- Représentation du débit par l'utilisation d'une source située au centre de la roue et représentation de la rotation par la superposition d'un champ de vitesse d'un corps rigide en rotation (figure 1.3). Cette formulation qui rend l'écoulement rotationnel (non potentiel) dans le repère de la roue, permet d'éviter la nécessité d'introduire un facteur de glissement pour rendre l'écoulement irrotationnel dans le repère fixe ;

3- Formulation modifiée de l'équation de Bernoulli qui tient compte de l'accélé- ration centripète de ce repère non inertiel dans le calcul du champ de pression (ajout d'un gradient de pression linéaire) ;

4 Calcul de l'évolution de la couche limite sur les deux côtés des aubes a partir de l'équation intégrale de von Kiirmzin (1921) dont l'utilisation a été vérifiée et validée pour le cas d'un repère en rotation. Ceci permet l'utilisation de

modèles existants pour des couches limites laminaires [Thwaites 19491 et turbulentes [Head 1938, Cebeci & Bradshaw 197T] basés sur la distribution de vitesse en surface. Pour les ventilateurs en question. les couches limites sont laminaires car les nombres de Reynolds, basés sur la corde des aubes, J-

sont de l'ordre de 10 000 à 20 000;

Prédiction, par le caIcul des paramètres de couche limite, de la position du point de décollement et cela, sur les deux côtés des aubes: Modélisation de la région séparée de l'écoulement (sillage) par l'ajout et l'élimination de singularités de surface positionnées judicieusement et dont l'intensité modifiera correctement le champ d'écoulement extérieur au sillage ; Processus itératif entre la méthode de panneaux, le calcul de la couche limite et celui du sillage.

champ de vitesse d'un corps rigide en rotation

FIG. 1.3: Modélisation de l'écoulement incompressible, bidimensionnel et auisymétrique dans le plan r-8 pour la roue du ventilateur.

Le modèle de simulation numérique proposé est le résultat d'intenses recherches et de l'utilisation de modèles existants ou qui ont été développés dans le domaine de l'aérodynamique incompressible. Les principales difficultés rencontrées et qui ont été solutionnées se sont situées au niveau de la modélisation des écoulements dans un repère en rotation, de la simulation du sillage et de la prédiction des pertes inhérentes aux ventilateurs centrifuges. Ainsi, il a fallu s'assurer de la validité des modèles de couche limite existants dans un repère en rotation. De même, un modèle de sillage simple et efficace a été développé. Ce dernier permet de prédire avec une très bonne précision les performances de profils avec une séparation prononcée de I'écoulement et par extension, permet d'améliorer significativement le calcul des performances de roues de ventilateurs centrifuges constitués d'aubes. En parallèle, un modèle théorique pour évaluer les pertes de sillage a également été développé.

La validation expérimentale de la méthode de calcul décrite précédemment a été effectuée en partie par des essais sur un modèle générique de roue en 2-D (figure 1.4). Pour une vanété de conditions, le champ de vitesse bidimensionnel a été mesuré dans le plan de la roue par

la méthode P N (Particle Image Velocimetry ou vélocimétrie par imagerie des particules) et a été comparé aux résultats numériques. De même, les courbes de performance obtenues avec le code et corrigées par des modèles de pertes approximatifs ont é té comparées à celles de ventilateurs réels instrumentés.

Arrivée d'air a débit contrôlé

feuille de lumière

tuyau poreux

camera

FIG. 1.4: Schéma du modèle expérimental pour la validation de la roue en 2-D par l a méthode Pm.

La méthode de calcul décrite plus haut a été utilisée de façon pïéliminaire pour mettre e n relief les différents paramètres physiques qui influencent les performances aérodynamiques de la roue de ventilation. En particulier, la forme des aubes a été optimisée de façon à limi- ter la séparation de l'écoulement et, par le fait même; augmenter le rendement et réduire l e bruit aérodynamique du ventilateur. La solution qui a été envisagée consiste à utiliser de s profils épais au lieu des arcs de cercle minces conventionnels. En effet, l'utilisation courante des arcs de cercle dans les ventilateurs résidentiels et industriels est à la fois due à leur simplicité de fabrication et à la croyance populaire [Eck 1973, Bleier 19981 selon laquelle, i l n'est pas possible d'améliorer les performances aérodynamiques et acoustiques des ventilateurs ceritrifuges haute pression par l'utilisation de profils épais. Aussi, conformément aux notions établies d'aérodynamique externe, un profil très mince et isolé est plus avantageux pour un écoulement à faibles nombres de Reynolds [Charwat 19571. Or, les travaux de Bornmes et. al. (1995) montrent que la décélération de l'écoulement dans une roue centrifuge est complètement différente de celle observée sur un profil dans un écoulement externe. Aussi, d'après les travaux préliminaires effectués par Brouillette (l995), il est montré que l'utilisation de profils épais et fortement cambrés peut donner lieu à des améliorations me- surables des performances aérodynamiques et acoustiques. D'ailleurs, en plus de Venrnar, les manufacturiers asiatiques (Panasonic, Alaska) ont commencé à implanter des profils épais dans leurs ventilateurs.

Chapitre 2

REVUE DES CONNAISSANCES

Les différents aspects qui concernent les ventilateurs centf iges et qui sont couverts par la littérature se divisent en trois grandes catégories : l'étude des caractéristiques générales des ventilateurs centrifuges, l'examen de leur aérodynamique interne et l'étude de leurs performances acoustiques. -4ussi, un grand nombre de concepts d'aérodynamique générale pour la modélisation numérique des écoulements s'appliquent directement aux ventilateurs centrifuges.

2.1 Généralités sur les ventilateurs centrifuges

Les ventilateurs sont des appareils utilisés pour le transport d'un gaz pur ou chargé de particules solides ou liquides. Parmi les différents types de ventilateurs existants, on retrouve les ventilateurs de type centrifuge qui sont très utilisés tant pour les applications résidentielles que commerciales ou industrielles. Ces derniers sont principalement constitués d'une roue à aubes et d'une volute (figure 1.2). La roue à aubes, dont' la rotation est assurée par un moteur électrique, augmente l'énergie cinétique du gaz qui la traverse. Pour ce faire, le fluide reçoit une accélération tangentielle et le travail effectué se manifeste par une augmentation du momentum angulaire (ou moment cinétique). Cette énergie cinétique est ensuite transformée en énergie potentielle par l'intermédiaire de la volute qui agit comme un diffuseur. Par ce processus, la pression statique du gaz est plus élevée à la sortie qu'à l'entrée et cette augmentation est nécessaire pour contrer les pertes de charge qui s u ~ e n n e n t en aval (caisson, tuyauterie, etc.). Selon leur contiguration et leur application, les ventilateurs peuvent entraîner des débits allant de 20 à 2 000 000 pcm (pieds3/minute) et des pressions de refoulement de 0.05 à 10 pouces H20 (12 à 2500 Pa) [Thin 19561. Lors de l'analyse de l'écoulement interne: on considère généralement ce dernier comme étant incompressible. Selon le débit entrahé et la taille du ventilateur, l'écoulement peut être considéré comme étant laminaire ou turbulent, avec ou sans zone de transition.

aubes inclinées vers l'arrière $, < 90". q = 0.850.92

aubes radiales = 90". q = 0.70

aubes inclinées vers l'avant $, > 90". q = 0.65

FIG. 2.1: T-ypes de ventilateurs centrifiges et efficacités approximatives masimales atteignables [Bleier 19981.

Les ventilateurs centrifuges peuvent être divisés en trois catégories selon la géométrie de la roue. En effet, selon l'angle de sortie des aubes, on distingue les roues dont les aubes sont inclinées vers l'arrière, radiales ou inclinées vers l'avant (figure 2.1). Ainsi, les venrilateurs centrifuges industriels de grande capacité se différencient des ventilateurs résidentiels. La roue d'un ventilateur industriel possède des aubes radiales ou inclinées vers l'arrière, dont le nombre est réduit (6-16) et dont le rapport de la corde sur le diamètre extérieur de la roue est grand. Cette configuration permet d'atteindre des rendements énergétiques élevés et des débits modérés. De plus, l'utilisation d'aubes profilées permet d'améliorer les performances aérodynamiques et acoustiques de ce type de ventilateur puisque l%coulement, peu perturbé, se rapproche de celui que l'on retrouve sur des profils en aérodynamique conventionnelle. A l'opposé, les aubes des ventilateurs résidentiels' sont plus nombreuses (30-60): plus courtes et inclinées vers l'avant. Malgré les rendements inférieurs obtenus. cette configuration leur permet de produire un plus grand débit et une plus forte surpression. Pour ce type de ventilateur, les considérations aérodynamiques sont généralement corsidérées comme étant d'importance secondaire. Par exemple, il semble établi que l'utilisation d'aubes profilées ne permet pas d'améliorer significativement les performances puisque l'écoulement est fortement dévié et devient très turbulent dès son entrée dans la roue [Eck 1973, Bleier 19981.

Finalement, à cause de leurs applications plus nombreuses, de leur plus grande taille et de leur géométrie plus simple, les ventilateurs centrifuges industriels ont suscité plus d'intérêt par le passé que les ventilateurs résidentiels ou commerciaux. Ainsi, autant en ce qui a trait aux études expérimentales et théoriques, la Iittérature traite généralement des ventilateurs industriels.

IEn plus des applications résidentielles teks Ie chauffage, la climatisation ou Ia ventilation, ce type de ventilateur est également utilisé pour le refroidissement de composants électroniques et pour des applications où de faibles vitesses de rotation sont désirables pour prévenir les vibrations,

2.2 Aérodynamique interne des ventilateurs centrifuges

2.2.1 Études expérimentales

Parmi les études expérimentales menées antérieurement, on retrouve surtout des travaux qui portent sur les compresseurs centrifuges de t urb omachines, pompes centrifuges. et ventilateurs industriels. Ces études concernent principalement la mesure et la visualisation de l'écoulement interne: et des conditions d'entrée et de sortie. Par exemple. Cheng Sr Yuen (1987): à l'aide d'injection de fumée, ont visualisé l'écoulement dans le divergent de la volute d'un ventilateur pour en améliorer l'efficacité. Kjork & Lodfdahl (1989) ont mesuré. à l'aide d'un fil chaud, les trois composantes de vitesse et les contraintes de Reynolds (reliées au niveau de turbulence de l'écoulement) à l'intérieur d'une roue de ventilateur industriel comportant neuf aubes inclinées vers l'arrière. Leurs résultats montrent qu'au point d'opération de design de l'appareil, l'écoulement est attaché avec un profil de vitesse radiale quasi linéaire entre les aubes. De même, les vitesses obtenues étaient généralement plus élevées au fond du ventilateur (surface opposée à I'entrée) ce qui confkne la présence d'une région de recirculation à l'entrée du ventilateur. D'autres études expérimentdes ont également été effectuées sur des roues à aubes inclinées vers l'arrière pour visualiser l'écoulement interne et en mesurer les caractéristiques dans diverses conditions d'opération [Howard & Lennemann 1971, Howard & Kittmer 1975, Murakami et al. 1980].

D'autre part, bien qu'elles soient peu nombreuses, certaines études expérimentales ont été menées pour d'améliorer les performances des ventilateurs de type « cage d'écureuil » et d'en comprendre l'écoulement interne. Ainsi, à l'aide de mesures au fil chaud et de différentes techniques de visualisation sur une roue de rapport2 & = 0.63, Raj & Swim (1981) ont déterminé que 1:écoulement interne était hautement turbulent et tridimensionnel. Selon leurs résultats. l'écoulement à l'entrée de la roue remplissait environ 75% de son épaisseur ce qui c o n h e l'existence d'une région de recirculation importante causée par le changement de direction de l'écoulement à I'entrée du ventilateur. Cette proportion variait selon la position circonférentielle et le débit. Plusieurs autres auteurs [Gessner 1967, Roth 198 1, Dielmann 1982, Shibl 1983, Wright 1984aI ont noté l'importance de réduire ou d'éliminer cette région de recirculation. La configuration de l'entrée du ventilateur (rayon d'entrée, espace de dégagement) ainsi que certains moyens actifs tels l'aspiration ou le soufflage tangentiel peuvent contribuer significativement à améliorer l'écoulement et par le fait même, les performances des ventilateurs. Par ailleurs, à la sortie de la roue utilisée par Raj & Swim, l'écoulement sortait à la manière d'un jet du côté haute pression accompagné d'une région de séparation du côté basse pression des aubes. Ce type d'écoulement, constitué d'un jet de haute énergie (côté haute pression) et d'un siilage important de basse énergie (côté

*Selon la théorie qui néglige tous les effets 3-D et la recirculation de l'écoulement à l'entrée, le rapport optimal est de 0.25. Ceci s'obtient en faisant correspondre la surface de la section d'entrée du

ventilateur à celle de l'entrée de la roue : I ~ D ? = b rrDint & = 0.25

basse pression) a également été constaté par Roth (1981) et Cau et al. (1987). II s'apparente aussi à celui rencontré dans les compresseurs centrifuges bien que ceux-ci se distinguent par leur rapport de compression élevé. Les résultats de Raj & Smim confirment donc qu'il y a séparation au bord d'attaque des aubes dont la forme est conventionnelle (arcs de cercle minces). Ils sont d'ailleurs parmi les seuls auteurs à recommander d'améliorer I%coulement interne des ventilateurs résidentiels en utilisant des aubes épaisses de forme profilée.

D'autre part, Roth (1981) a mené une série de mesures expérimentales sur des roues de rapport $- = 0.5 en changeant le nombre de Reynolds, h nombre d'aubes et leurs angles

tnt d'entrée et de sortie, BI et P2- Selon leurs résultats, les performances s'amélioraient avec une augmentation du nombre de Reynolds, Re =

V mais n'étaient plus affectées

à partir de valeurs supérieures à environ 3 x 105. Contrairement à ce que l'on aurait pu s'attendre, les angles d'entrée géométriques les plus grands (Ol=80 deg avec &=170 deg) ont donné les meilleurs résultats tant en débit et en pression qu'en efficacité. De plus. les volutes les plus minces ont donné les meilleures efficacités, celles-ci commençant à décroître à > 1.1 pour tous les angles de développement de volute testés. Une efficacité maximale de 0.74 a été obtenue avec un angle de développement de 5 deg au coût d'un débit moindre- Pour des volutes plus épaisses, de rapport + = 1.54, et aux débits supérieurs à celui au point d'efficacité maximale, Roth a remarqué d'importantes instabilités - 11 attribue ces instabilités ainsi que la chute d'efficacité associée, à la présence de régions de recirculation fortement prononcées qui augmentent les pertes par diffusion. Les résultats de Roth sont en accord avec ceux de Raj & Swim (1981) et de Kind & Tobin (1990) dont les roues étaient relativement épaisses (& = 0.63 et 0.66 respectivement) et contenaient cette région de recirculation sur une certaine proportion de leur épaisseur. Par contre, ils direrent de ceux des autres auteurs qui ont trouvé les meilleures efficacités pour des rapport f = 2.5 [Moser 1957, Broecker 1960, Dielmann 19821. Cependant, ces derniers utilisaient des roues plus minces de rapport & 2 0.25 de façon à ce que l'épaisseur relative totale et optimale était

B similaire (=lqt = 0.55 - 0.65). Ceci semble confirmer qu'une roue mince, disposée au fond d'une volute relativement epaisse, n'opère pas à l'intérieur de la région de recirculation à l'entrée du ventilateur et que l'utilisation d'une roue épaisse dans une volute relativement mince donne des performances similaires- . -

Par ailleurs, Roth a également mesuré les performances d'une roue mince de rapport 1- Dint

- 0.175 avec un diffuseur de sortie constitué de deux plaques parallèles et utilisé pour assurer la symétrie circonférentielle de l'écoulement. Les performances obtenues avec cette configuration étaient supérieures à celles obtenues avec une roue équivalente (mais plus épaisse) disposée dans une volute. L'efficacité maximale ainsi atteinte était de 0.82. La forte influence de la volute sur la roue a également été constatée par Kind & Tobin (1990) et ceci, principalement près du bec de volute. Ces derniers ont remarqué que l'efficacité des roues testées ne dépendait pas du débit et que les variations d'efficacité globale du ventilateur seraient principalement causées par l'augmentation des pertes dans la volute en s'éloignant du point d'efficacité maximale.

2.2.2 Études théoriques

Les outils disponibles pour étudier et optimiser les performances aérod~amiques des ventilateurs centrifuges vont du modèle théorique 1-D pour un fluide parfait jusqu'à la simulation numérique tridimensionnelle avec un modèle de turbulence. 11 est évident que la qualité des résultats obtenus par les approches numériques s'améliore avec la complexité du modèle utilisé. Cependant, l'utilisation de modèles complexes nécessite un temps de développement élevé: des ressources de calcul importantes et par le fait même. des coûts élevés-

D'abord, la théorie de base pour l'étude quasi 1-D des ventilateurs centrifuges se base sur l'équation d'Euler qui relie la surpression produite avec la cinématique de l'écoulement à l'entrée et à la sortie de la roue [Osborne 1977, Eck 19731. Cette théorie peut être corrigée par I'application d'un facteur de glissement pour tenir compte du fait que l'écoulement est rotationnel dans le repère de la roue [Stodola 1927, Kearton 1933, Stanitz 1932. Wiesner 1966; Eck 19731. De même, elle ne tient pas compte de la séparation de l'écoulement sur les aubes. Cette séparation qui est généralement très prononcée dans le cas des ventilateurs de type « cage d'écureuil », peut modser considérablement le champ de vitesse à l'intérieur de la roue. Cette raison ainsi que tous les effets tridimensionnels qui surviennent dans les ventilateurs centrifuges rendent l'analyse quasi 1-D pour un fluide parfait inadéquate pour prédire correctement les performances. Cependant, cette dernière peut être modifiée par un ensemble de facteurs de correction surtout empiriques pour tenir compte des divers mécanismes de pertes. Ainsi, Dick et Belkacemi (1991) ont proposé un modèle semi- empirique, comprenant plusieurs constantes « universelles s, qui parvient à reproduire des données expérimentales à f 10% pour certaines configurations de pompes et de ventilateurs dont les aubes sont inclinées vers l'arrière. L'avantage marqué de cette approche est la facilité d'effectuer des études paramétriques sur la géométrie d'un ou plusieurs composants. Les inconvénients se situent surtout au niveau de « l'universalité » des corrélations utilisées qui nécessitent un grand effort de validation expérimentale et au fait que cette a p proche globale ne se prête pas directement à l'optimisation des performances acoustiques. En général, la théorie quasi 1-D pour un fluide parfait ne peut fournir qu'une indication qualitative quant à la courbe de ventilation (pression vs débit) pour une géométrie donnée et, par le fait même, ne constitue pas un outil de conception performant.

D'autre part, Kind (1997) a proposé une méthode quasi 2-D et semi-empirique pour la prédiction de l'écoulement et des performances spécialement pour des ventilateurs centrifuges de type u cage d'écureuil B. Selon cette approche, le ventilateur est divisé en trois zones principales (l'entrée, la roue et la volute) et chacune de ces zones est divisée en éléments. L'écoulement dans les zones et éléments ainsi que les interactions entre eux sont modélisés par l'utilisation d'équations de conservation appropriées et de corrélations empiriques. La région de la roue est simulée en utilisant certaines relations empiriques pour estimer 13ngle de déflection de l'écoulement et la perte de pression totale. Ces dernières ont été déterminées expérimentalement à partir d'une cascade d'aubes concentrées, inclinées vers l'avant et fabriquées de feuilles métalliques. Il est à noter que ce modèle de pertes de

sillage est probablement Ie seul disponible dans la littérature pour une cascades d'aubes et des nombres de ReYvnolds similaires à ceux rencontrés dans les ventilateurs résidentiels, Les résultats prédits sont raisonnablement en accord avec ceux obtenus expérimentalement aus débits de design et supérieurs. Malgré la simplicité de la méthode, celle-ci reconnaÎt les principales caractéristiques de l'écoulement et les interactions entre les différentes zones. Cette approche constitue donc un outil de conception intéressant parce qu'elle a été développée spécialement pour les ventilateurs de type cage d'écureuil et non pour des pompes centrifuges, ventilateurs industriels ou compresseurs de turbomachines. Cependant. à cause d u grand nombre de relations empiriques utilisées. la méthode demanderait d'être validée sur un plus grand nombre de ventilateurs et de conditions d'opération.

En dernier lieu, à un niveau de complexité plus élevé, on retrouve les approches numériques 2-D et 3-D pour un fluide parfait ou visqueux. La plupart de ces travaux sont difigés vers L'étude des ventilateurs centrifuges de type industriel: des pompes centrifuges et des compresseurs centrifuges pour les turbines à gaz. Dans cette catégorie, on retrouve tout le spectre des simulations allant du 2-D potentiel [Stanitz 1952? Acosta 1954, Morfiadakis et al. 19911: quasi 3-D potentiel [Novak 1967, Badie et al. 1994, Fatsis et al. 19951, 3-D potentiel [Laskaris 1978, et al. 1982 et 1984b, Prince & Bryans 1984, Yamamoto & Kawahashi 1995],3-D potentiel avec calcul distinct pour la couche limite [Gao & Kamamoto 1993, Zangeneth 19931 jusqu'au 3-D visqueux avec modèle de turbulence à l'aide d'un code commercial [Howard & As hrafizaadeh 19941. Certaines simulations incluent la volute et sont exécutées en régime instationnaire. Contrairement aux autres types d'appareils centrifuges, les études numériques qui concernent les ventilateurs centrifuges de type résidentiel sont pratiquement inexistantes.

2.3 Acoustique des ventilateurs centrifuges

Bien que l'étude détaillée des performances acoustiques ne fasse pas l'objet principal du présent rapport, les éléments importants sont ici présentés. Le bruit produit par un ventilateur peut parvenir de trois sources distinctes : l'aérodynamique interne, les vibrations mécaniques et le bruit électromagnétique du moteur. Parmi ces trois sources potentielles de bruit, on reconnaît que les propriétés de l'écoulement à l'entrée, à l'intérieur et à la sortie du ventilateur constituent le facteur dominant l'intensité et les caractéristiques spectrales du bruit produit [Cory 19951. Parmi les mécanismes aérodynamiques de génération de bruit, on retrouve les sources monopolaires causées par la pulsation du débit du ventilateur, les sources dipolaires produites par I'échappement tourbillonnaire derrière une aube décollée ou par le passage d'une aube devant le bec de volute, et les sources quadripolaires dues à la turbulence de l'écoulement et au déplacement de l'air par l'épaisseur de l'aube. De tout ces mécanismes, il est admis que les sources dipolaires, qui originent du décollement de la couche limite sur les aubes, représentent la source principale de bruit pour un ventilateur bien conçu [Neise 19881.

Pour évaluer le niveau sonore de ventilateurs, les comparer entre eux et examiner les effets

d'échelle, plusieurs approches ont été développées. Par exemple, Madison (1949): un des premiers chercheurs à s'intéresser au bruit des ventilateurs industriels, a conclu qu'il était possible de relier la puissance acoustique émise à la surpression et au débit volumétrique par un facteur de niveau sonore spécifique. Maling (1963) proposa par la suite une formulation améliorée de corrélation adimensionnelle basée sur une nouvelle méthode de mesure du bruit, la modélisation du spectre sonore et l'examen des limites des lois d'échelle. Cette formulation reprise et améliorée par Weidemann (1971)' Xeise (1975) et Konieczn- k Bolton (1995) permet d'examiner la similitude physique entre les ventilateurs géométriquement similaires. Ces approches de corrélation permettent de comparer des ventilateurs entre eux mais sont incapables de prédire les performances acoustiques d'une configuration donnée- Ainsi, certains auteurs ont tenté de modéliser par des approches numériques complexes l'acoustique de ces ventilateurs par la solution de l'équation d'onde couplée à celle de I'écoulernent [Thompson et al. 1992, Croba & Kuerny 19921- Bien que les résultats soient prometteurs, les ressources de calcul requises pour obtenir des résultats réalistes sont énormes. Par ailleurs, puisque le décollement de la couche limite dans un gradient de pression adverse constitue une source de bruit dominante, Bommes et al. (1995) furent les premiers à examiner de façon qualitative la relation entre la décélération de l'écoulement. calculée par une approche 1-D, et le niveau sonore de plusieurs ventilateurs industriels- Cette étude montre que plus la décélération est forte, plus le niveau de bruit est élevé.

D'autre part, Morinushi (1987) a examiné l'influence de différents paramètres géométriques sur le bruit généré par des ventilateurs centrifuges de type résidentiel. Les paramètres étudiés sont le rapport $--- l'espace de dégagement entre le convergent d'entrée et la partie supérieure de la roue, la position angulaire et le rapport d'espacement s/c des aubes, et l'indice d'expansion de la volute 1, (r = r0 - exp(I,8) où B est en radians). Les résultats montrent une efficacité optimale et un bruit minimal pour & = 0.5 - 0.6 ce qui est en accwd avec les résultats de Roth (1981), Raj & Swim (1981) et Kind âL Tobin (1990). Aucune influence importante n'a été notée pour l'espace de dégagement entre le convergent d'entrée et la partie supérieure de la roue. La position angulaire optimale des aubes était d'environ 26 deg ce qui correspond à des angles et ,& de 74 et 104 deg respectivement pour un arc de cercle de 84 deg et un rapport & de 0.85. Le rapport d'espacement s/c optimal variait entre 0.7 pour les débits élevés et 1.1 aux faibles débits. Enfin, l'indice d'expansion optimal de la volute se situait aux alentours de 0.05 à 0.10.

Pour terminer, une revue de la littérature effectuée par Neise (1976) regroupe les principaux travaux effectués dans le but de réduire le bruit des différents types de ventilateurs centrifuges.

2.4 Modélisation numérique des écoulements

2.4.1 Généralités

Plusieurs types de méthodes peuvent être utilisées pour la simulation numérique d'écou- lements fluides autour de corps solides. D'abord, il y a celles qui consistent à résoudre dans tout le domaine les équations de conservation qui gouvernent le t y p e d'écoulement en cause (différences finies: éléments finis, etc.)- 11 est alors possible d'obtenir des solutions numériques à partir de modèles dont la compiexité peut varier selon les conditions (écoulements tridimensionnels, internes, compressibles, visqueux. adiabatiques, turbulents. instationnaires, etc.) et le degré de précision désiré- Avec ces méthodes, la construction d'un maillage approprié est requise et constitue une étape importante du processus de résolution puisque ce dernier peut avoir une Influence significative sur les résultats finail.;. La grande flexibilité de ces méthodes pour résoudre pratiquement tous les types d'écoulements en a fait un outil très pxissant et très utilisé. Cependant, malgré l'avancement très rapide des technologies informatiques, leur principal inconvénient se situe toujours au niveau des ressources de calcul énormes qu'elles requièrent.

En second lieu: à cause de leur simplicité, les méthodes de frontière, communément appelées méthodes de panneaux en aérodynamique, sont probablement celles qui ont marqué les débuts des calculs numériques en aérodynamique. En effet, ces dernières ont remplacé certaines théorie plus simplistes (comme la théorie des profils minces, de la ligne portante, etc.) qui étaient mal adaptées pour prédire avec précision les écoulements autour de corps complexes, épais et fortement cambrés, et dont la solution étaient souvent localement faussée. Les principaux développements concernant les différents types de méthodes de panneaux ont été accomplis depuis les années 60. Avec les progrès effectués, ces méthodes permettent aujourd'hui d'obtenir des solutions dans des conditions et autours de configurations relativement complexes (corps multiples et tridimensionnels, en régime instationnaire, etc.) avec un minimum d'effort de calcul [Hess 1990]. Les principaux avantages des méthodes de panneaux résident dans leur simplicité et dans les ressources de calcul requises qui sont minimes- Aussi, bien que leur utilisaiion soit limitée à la modélisation d'écoulements po- tentieIs, elles sont tout de même capables de simuler l'influence de régions non potentielles comme les couches limites, sillages, bulles de séparation, etc.

2.4.2 Écoulements potentiels et rnét hodes de panneaux

Les méthodes de panneaux sont basées sur le principe de superposition d'éléments potentiels singuliers ou infinis. Ces derniers ont la propriété d'engendrer un champ d'écoulement irrotationnel qui satisfait la conservation de la masse (sauf aux points singuliers). Un écoulement est dit irrotationnel lorsque les particules qui le composent ne tournent pas sur elles-mêmes. De même, il peut être démontré que ce type d'écoulement peut être décrit par un potentiel de vitesse 4 dont le Laplacien est nul (v2@ = O) et dont le gradient

dans une direction quelconque donne la vitesse dans cette direction. Pour cette raison. un écoulement irrotationnel est également appelé écoulement potentiel. En pratique, il est rencontré lorsque les forces de cisaillement dues à la viscosité sont nulles. Par exemple. comme proposé pour la première his par Prandtl (1904): l'écoulement autour d'un corps peut être divisé en deux région; une région externe potentielle et une region interne où sont confinés les effets visqueux.

écoulement uniforme source tourbillon doublet

FIG. 2.2: Représentation schématique des principaux éléments potentiels 2-D.

Parmi les principaux éléments potentiels, on retrouve principalement les écoulements uni- formes, les sources (ou puits), les tourbillons et les doublets (figure 2.2). Comme mentionné précédemment, les champs de vitesse produits par ces éléments potentiels peuvent être superposés pour obtenir un écoulement complexe également potentiel. Ainsi, en position- nant judicieusement ces éléments et en déterminant leur intensité, il est possible d'obtenir des solutions autour de corps de formes diverses.

, diskibution

- panneau \point de contrôle

FIG. 2.3: Représentation schématique des méthodes de panneaux.

Dans le cas d'une méthode de panneaux, la surface du (ou des) corps est divisée en un nombre fini de sections nommées panneaux (figure 2.3). Des singularités ponctuelles ou distribuées sont positionnées sur chacun des panneaux et leur intensité est déterminée de façon à satisfaire la condition de glissement aux points de contrôle (écoulement tangent à la surface). Il existe plusieurs types de méthodes de panneaux selon la nature des singularités utilisées, leur distribution et selon la méthode de résolution (conditions de Neumann ou de Dirichlet) [Katz & Plotkin 19911. La sensibilité et la précision des résultats obtenus varie selon le type utilisé et certaines méthodes sont plus efficaces que d'autres selon le problème à résoudre. Pour l'écoulement bidimensionnel et incompressible autours d'un corps portant profilé, celle de Hess & Smith (1966) utilise des panneaux distribués de sources et de tourbillons et est sans doute l'une des plus utilisées.

2.4.3 Couches limites

Comme mentionné plus haut, les méthodes de panneaux sont incapables de simuler correctement les écoulements rotationnels comme dans les couches limites et le sillage. Or. les effets visqueux peuvent avoir une grande d u e n c e sur l'écoulement global ainsi que sur les performances aérodynamiques des corps. En effet, pour tout écoulement ~ S ~ U ~ U S

non séparé, une couche limite est présente en surface. Cette dernière augmente l'épaisseur équivalente du corps et peut entraîner la séparation de l'écoulement en présence d'un gradient de pression adverse. Une simulation de la couche limite et du sillage s'avère donc nécessaire pour prédire la position du point de séparation (s'il y a lieu) et la forme du sillage à l'arrière du corps qui peut changer significativement les caractéristiques de l'écoulement. Les caractéristiques de la couche limite, du sillage, et de l'écoulement esterne sont donc interdépendantes et les modèles de simulation doivent être résolus par un processus itératif.

Les modèles de couche limite sont tous basés sur les équations de conservation de Navier- Stokes. Leur précision et leur complexité varient selon leur caractère (laminaire ou turbulent, incompressible ou compressible, instationnaire ou non, adiabatique ou non' etc.) et le mode de résolution (différences finies ou méthodes intégrales). En faisant l'h-ypothèse que la pression statique à travers la couche limite est constante et que la composante normale de la vitesse y est faible, ces équations peuvent être simplifiées sous la forme des équations de couche limite dérivées par Prandtl. Parmi les modèles les plus simples, on retrouve les méthodes intégrales basées sur l'équation de von K h 6 . n (1921) dérivée à partir d'hy- pothèses simplificatrices et des équations de couche limite. Cette équation est applicable pour des couches limites laminaires ou turbulentes, bidimensionnelles et avec gradients de pression. La théorie généraie traitant des couches limites ainsi qu'une description des principaux modèles sont présentées dans la plupart des livres traitant d'écoulements visqueux [Schlichting 1979, White 1991, Chang 1970, Rosenhead 1963, Curie 19621.

Parmi les principales méthodes intégrdes de couche limite laminaire, on retrouve celles de Pohlhausen (1921) et de Thwaites (1949), cette dernière étant l'une des plus simples et efficaces- Pour des écoulements incompressibles et sans transfert de chaleur, la transition libre de la couche limite d'un état laminaire à turbulent peut être estimée par le critère de Michel (1951). Ce critère a été obtenu à l'aide de données recueillies sur des profils d'aile et ne peut être utilisé pour d'autres applications sans attention particulière. Aussi, il ne tient pas compte de la rugosité de surface qui peut avoir un effet très important sur la position du point de transition. D'autre part, un des modèles turbulents les plus utilisés est celui de Head (1958) simplifié par Cebeci & Bradshaw (1977). Ce dernier est basé sur l'équation de von Kirrn6.n ainsi que sur une relation d'entraînement semi-empirique qui caractérise l'entraînement du fluide extérieur vers l'intérieur de la couche limite turbulente. Aussi, il doit être complété par une dernière relation qui relie le coefficient de fnction au nombre de Reynolds local basé sur l'épaisseur de quantité de mouvement. Pour ce faire, la corrélation classique de Ludwieg-Tillman (1949) ainsi que celle de Coles peuvent être utilisées avec une précision de 110% et I 3 % respectivement [White 19911.

Pour terminer, la présence d'une couche limite sur la surface d'un corps peut modifier

l'écoulement qui en est responsable. En effet, le déficit en débit à l'intérieur de la couche limite peut être traduit par une certaine épaisseur de déplacement. Cette épaisseur est correspond à celle que l'on devrait ajouter au corps pour que l'effet de la couche limite sur l'écoulement extérieur soit le même. Un résumé des principdes méthodes de traitement de l'épaisseur de déplacement est présenté dans LighthiH (1958) pour des écoulements 2-D et 3-D .

2.4.4 Sillages

L'existence d'un point de séparation et d'un sillage peut modifier considérablement les performances aéroci_vnamiques des corps. Pour cette raison, une modélisation adéquate s'avère nécessaire pour prédire correctement le champ d'écoulement. Cependant, l'utilisation d'éléments potentiels n'est pas suffisante pour représenter tous les phénomènes de turbulence a l'intérieur du sillage mais certaines hypothèses permettent tout de même d'obtenir des résultats acceptables.. D'abord, il est nécessaire de simuler correctement la forme de la région séparke qui perturbe l'écoulement à l'extérieur- En second lieu, il peut être assumé que la pression dans région séparée est constante (sur une certaine distance en aval) et égale à la pression au point de séparation. Ces deux hypothèses sont suffisantes pour obtenir des résultats représentatifs des écoulements réeIs [Roshko 1954, Woods 1955, W u 19621.

D'abord, une bonne partie des travaux effectués dans le domaine de la simulation des sillages touche les écoulements autours de corps non profilés ou arrondis. Une revue ex- haustive de la littérature concernant l'écoulement autours d'un cylindre a été effectuée dans le cadre de ce projet de recherche [Tardif 19971. Un modèle de simulation du sillage combiné à la solution potentielle de l'écoulement et à la méthode de Thwaites (1949) pour les couches limites laminaires, ou de Head (1958) et Cebeci & Bradshaw (1977) pour les couches limites turbulentes, y est présenté. La solution potentielle est obtenue à l'aide d'une méthode de panneaux ouverte et de deux sources ponctuelles positionnées judicieusement de façon à reproduire correctement les résultats expérimentaux. Le processus itératif employé mène à d'excellents résultats et ces derniers pourront éventuellement ser- vir pour simuler I'écoulement autours de corps profilés par l'utilisation de transformations conformes.

De la même façon, pour la simulation d'écoulements séparés autours de corps profilés bidimensionnels, on retrouve les travaux basés sur la théorie des écoulements potentiels. Dans Yeung & Parkinson (1993)' le sillage est représenté par l'utilisation d'une source et d'un doublet disposés sur la surface d'un cylindre (lui-même modélisé par la combinaison d'un écoulement uniforme et d'un doublet) et l'écoulement équivalent pour un profil Joukowsky est obtenu par une série de transformations conformes. Le point de séparation (ou la pression de séparation) est ajusté de façon à reproduire Ies résultats expérimentaux. De même, Cebeci et al. (1986) ont développé une méthode similaire basée sur l'utilisation de transformations conformes. Leur modèle utilise un modèle de couche limite turbulent basé sur

la résolution numérique des équations différentielles et sur la formulation d'une viscosité numérique de turbulence [Cebeci & Smith 19741. Les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats expérimentaux jusqu'au point de décrochage. Une méthode améliorée par Cebeci et al. (1995) a été développée et permet de prédire les performances de profils au-delà du décrochage. Maskew & Dvorak (1978) ainsi que williams (1985) ont également proposé un méthode itérative entre la solution de l'écoulement potentiel et celle de la couche limite. L a région séparée est modklisée par une feuille tourbillonnaire libre qui requiert une itération préliminaire pour déterminer sa forme. Le modèle de Williams utilise également des sources sur cette feuille pour simuler i'épaisseur de déplacement du sillage. Coton Ac Galbraith (1989) ont présenté une méthode similaire pour une séparation laminaire de l'écoulement et où le sillage est simulé par l'ajout de deux feuilles tourbillonnaires partant des points de séparation et se rejoignant à l'arrière du profil. Leur position est déterminée de façon itérative jusqu'à ce qu'à ce qu'elles correspondent à une ligne de courant. D'autre part, Wilkinson (1988) a développé une méthode de simulation d'écoulements séparés autours de géométries constituées d'un mat et d'une voile flexible. Une méthode de panneaux utilisant une combinaison d'éléments de tourbillons, doublets et de sources superposés est utilisée. La méthode présentée ne nécessite pas de processus itératif de résolution puisque la position des points de séparation et de rattachement est déterminée de façon empirique. Finalement, Cyr (1996) a proposé un méthode de prédiction pour les écoulements séparés autours de profils rigides ou flexibles, bidimensionnels et à l'angle d'incidence de design. Un élément de source ponctuel situé en surface est utilisé pour simuler l'effet de la région séparée. Le point de séparation est trouvé par le calcul de la couche limite et de conditions supplémentaires pour assurer le caractère unique de la solution.

Chapitre 3

3.1 Ventilateurs cent rifiges

3.1.1 Théorie 1-D

La théorie 1-D relie la surpression produite par une roue de ventilateur centrifuge à la cinématique de I'écoulement à son entrée et à sa sortie. Ainsi, pour lin écoulement incompressible et irrotationnel, la puissance développée par la roue (travail effectué dans la direction tangentielle par unité de temps) est donnée par :

1 dev dptot = - = P ( ~ 2 ç'a - Ul ' cul)

Qtot

où T est le torque causé par le changement de direction de l'écoulement et riz le débit massique. Cette équation est souvent référée comme étant l'équation d'Euler pour une roue centrifuge. La figure 3-1 montre les triangles de vitesse correspondants pour les trois types de roues centrifuges existants.

Précédemment, il a été assumé que l'écoulement pouvait entrer avec n'importe quelle direction. Par exemple, l'utilisation d'aubes de redressement fixes peut augmenter ou réduire la surpression produite selon la direction de la prérotation ajoutée. En pratique, les ventilateurs centrifuges utilisent rarement ce type d'aubes et la vitesse absolue théorique à l'entrée de la roue est radiale (G~ = O). Dans ce cas, l'augmentation de pression totaIe produite par la roue se réduit à :

a) P 2 < 90 deg

b) B2 = 90 deg

C) p2 > 90 deg

FIG. 3.1: Triangles de vitesse à l'entrée et à la sortie de roues de ventilateurs centrifuges sans aubes de redressement (G~ = O). Les vecteurs vitesse sont reliés entre eux par : ë= ü+ 5.

-4 partir de cette équation, on peut remarquer que le travail effectué sur l'écoulement augmente avec la vitesse tangentielle de sortie cu2? celle-ci augmentant avec de l'angle géométrique de sortie a. En se basant sur la géométrie des triangles de vitesse. l'augmentation de pression totale théonque peut être exprimée en fonction du débit. de la vitesse de rotation et des paramètres de la roue :

i) & < 90 deg : G~ =

d ~ t o t =

G) p2 = 90 deg : =

dptot =

avec: u2 =

ç n 2 =

Pour une roue réelle ayant u n nombre fini d'aubes, la théorie 1-D peut être corrigée par l'application d'un facteur de glissement. En effet, l'inertie du fluide a tendance à le faire circuler dans le sens contraire à la rotation de la roue ce qui réduit la vitesse tangentielle à sa sortie. Pour des roues de ventilateurs centrifuges où le rapport Dint/ Den est relativement grand, la formule de Eck (1973) est généralement acceptée :

où X est un paramètre empirique et PÎ est en degrés.

3.1.2 Pertes de pression totale

-4 cause des effets tridimensionnels et des différents mécanismes de perte présents à l'inté- rieur des ventilateurs centrifuges, la théorie 1-D pour un fluide parfait surestime considéra- blement l'augmentation de pression totale. Cette dernière peut néanmoins être modifiée par un ensemble de facteurs de correction qui caractérisent les pertes à l'entrée du ventilateur. à l'intérieur de la roue et dans la volute. Actuellement, les corrélations proposées dans la littérature ne permettent de fournir qu'une approximation grossière des pertes. Celles-ci sont souvent contradictoires et l'existence d'interactions entre les différents mécanismes de perte est fort probable. Pour ces raisons, eues nécessiteraient plusieurs modifications et un grand effort de validation expérimentale.

a) Pertes d'entrée

Les pertes à l'entrée du ventilateur proviennent du changement de direction de l'écoulement (axial à radial), de son expansion (s'il y a lieu) et dépendent de la forme du convergent d'entrée. Selon Dick & Belkacemi (1991), la perte de pression totale associée au changement de direction de l'écoulement est donnée par :

De même, selon Osborne (1977), la perte causée par l'expansion de l'écoulement est donnée par :

avec KO2 = 0.4

On peut douter de la validité de ces dernières relations puisque leur somme mène à des pertes d'entrée inférieures à la perte minimale qui survient lors d'une expansion à l'infini- En effet, la constante de perte pour une expansion i d n i e de l'écoulement est de 1.0, devient supérieure à l'unité lorsqu'une plaque est disposée perpendiculairement à l'entrée et devient infinie quand la plaque bouche complètement l'entrée. Une étude expérimentale, menée dans le cadre de ce projet de recherche, a permis de trouver la relation suivante pour l'ensemble des pertes d'entrée :

1 Ho = K, 5 P c: avec Ko 2i

0.0356 + 1.14 (B/Dint) 3-5

Cette relation a été obtenue à partir d'un montage constitué de deux plaques horizontales circulaires dont l'espacement était variable (figure 3.2). Le fluide pénétrait au centre de la plaque supérieure à travers une ouverture circulaire et changeait de direction à cause

de la présence de la plaque inférieure. Une plaque de sortie a été utilisée pour empêcher l'air environnant de pénétrer à l'intérieur, de se mélanger avec l'écoulement interne et de fausser les résultats. Dans ce cas-ci, le coefficient de perte était toujours supérieur à l'unité. Il est probable qu'une portion des pertes obtenues provenait de régions de recirculation supplémentaires causées par la plaque de sortie- En divisant la relation par 1.14. on satisfait les deux conditions limites où K, = 1.0 pour une expansion infinie et K, + oc pour une contraction infinie de l'écoulement. La reIation comgée correspondante pour ho est la suivante :

Un « convergent A de sortie a aussi été utilisé pour B/Dht = 0.55 de façon à minimiser les pertes associées à la plaque de sortie. Ce faisant, une portion importante des pertes de recirculation d'entrée, qui sont généralement présentes dans les volutes, a également été éliminée, Finalement, il est à noter qu'une meilleure relation pourrait être obtenue en tenant compte de Ia présence d'un disque supplémentaire pour simuler le fond de la roue.

p,, v, ptot, = p, + z p v , ~

convergent de sortie 111111111

FIG. 3.2: bf ontage expérimental pour l'évaluation des pertes d'entrée.

b) Pertes à l'intérieur de la roue

Pour des ventilateurs centrifuges, les pertes qui s u ~ e n n e n t à l'intérieur de la roue proviennent principalement de la séparation de l'écoulement sur ies aubes (pertes de sillage) et les pertes de fiction sont généralement négligeables. Les pertes de sillage constituent une portion importante des pertes totales et ceci est particulièrement vrai dans le cas de ventilateur de type « cage d'écureuil » où la séparation de l'écoulement est généralement très prononcée.

Dans la littérature, le modèle empirique de Kind (1997) est probablement le plus appro- prié pour évaluer les pertes de sillage à travers une cascade d'aubes minces et fortement

cambrées. Ce dernier est basé sur une série de tests expérimentaux effectués sur des arcs de cercles de 60 deg à des nombres de Reynolds basés sur la corde d'environ 6500. L'angle de sortie moyen de l'écoulement et la perte de pression totale ont été mesurés pour différents angles d'incidence et rapports d'espacement entre les aubes. Deux corrélations ont ensuite été développées en utilisant les r é d t ats obtenus. L'avantage de ta méthode expérimentale pour l'évaluation des pertes de sillage se situe au niveau de la précision obtenue. -Ainsi. Kind a pu déterminer que les pertes à travers une cascade d'aubes fortement cambrées sont très élevées comparativement à celles obtenues pour des cascades d'aubes conven- tionnelles. Ceci confirme la présence d'un sillage important sur les aubes utilisées dans les roues centrifuges de type a cage d'écureuil B. Cependant, étant donné le très grand nombre de paramètres qui peuvent définir la forme des aubes, la méthode expérimentale s'apprête mal au développement et à l'optimisation des performances de la roue.

Dans le cadre de ce projet de recherche, un modèle théonque de pertes de sillage a été développé pour être utilisé avec le code numérique. Ce dernier est basé sur les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement et fait l'hypothèse que le sillage et I'écoulement externe se mélangent instantanément à une certaine position radiale. Aussi' il requiert la connaissance de l'écoulement à l'intérieur de la roue et de la forme du sillage. La relation obtenue, développée à l'annexe -4, est la suivante :

avec : - a = s i n ( $ ) - nn(-++es)

u, et u g = vitesses radiale et tangentielle moyennes à l'extérieur du sillage (repère fixe) E = rapport entre la section occupée par Ze sillage et la section totale : E = O,/& oh = angle compris entre deux aubes consécutives : Bh = 2?r/Naubes 0, = angle occupé par le sillage

Pour des angles Oh et O, petits, il peut être démontré que le modèle se ramène à :

et correspond aux pertes de sillage obtenues pour un corps soumis à un écoulement uniforme. Pour le cas des roues de type * cage d'écureuil. où les aubes sont relativement nombreuses, plusieurs tests ont démontré que l'effet de la divergence de l'écoulement n'est

pas négligeable et le modèle simplifié précédent ne peut être utilisé1. L'avantage principal du modèle théorique (équation 3.3) se situe au niveau de sa simplicité et de sa capacité à prédire les pertes pour n3mporte quelle forme d'aubes. Cependant, ce dernier dépend fortement de la forme du sillage et du modèle utilisé pour le simuler.

D'autre part, bien qu'elles soient généralement faibles, les pertes de fnction peuvent devenir significatives si le nombre d'aubes est élevé ou si leur épaisseur est importante. Ces pertes peuvent être estimées par le calcul basé sur le diamètre hydraulique moyen du passage entre deux aubes consécutives et sur l'utilisation de la corrélation de Blasius pour le facteur de fiction turbulent à l'intérieur de tuyaux lisses. Pour le calcul du diamètre hydraulique Rh.

Section du passage Dh = 4

Périmètre mouillé

où w est l'épaisseur de la roue, a la largeur minimale approximative du aubes et t,, l'épaisseur maximale des aubes. La perte de friction Hi2

passage entre deux est donnée par :

où ReDh est le nombre de Reynolds basé sur le diamètre hydraulique, Ü'' la vitesse de surface moyenne à l'extérieur de la couche limite, f le facteur de friction turbulent de Blasius valide pour environ 4000 < ReDh 5 IO5, et c la corde des aubes2.

c) Pertes de volute

Pour estimer les pertes de volute, deux modèles présentés dans la littérature ont été testés [Dick & Belkacemi 1991, Eck 19731. Le plus simple et celui qui a donné les meilleurs résultats pour des roues de type cage d'écureuil x est celui de Eck. Ce dernier relie la perte au changement de vitesse entre la sortie de la roue et celle de la volute :

avec Ku N 0.25

'Les angles Oh et 8, ne peuvent donc pas être considérés comme étant petits. 2 ~ a corde représente ici approximativement la longueur du passage hydrauiique.

où C* et c4 sont les vitesses absolues moyennes3 à la sortie de la roue et de la volute respectivement. Cette relation englobe tous les types de pertes qui surviennent à l'intérieur de la volute sans toutefois les distinguer.

3.1.3 Pression totale et Bernoulli en rotation

Soit un élément fluide se déplaçant le long d'une ligne de courant dans un écoulement irrotationnel, incompressiblet en régime permanent et où les forces de volume sont négligeables. Dans un repère fixe, l'équation de Bernoulli s'obtient aisément en intégrant l'équation d'Euler :

Euler :

Bemoullî : p + $ p U2 = cte

où p est la pression statique, $ p U* la pression dynamique, et où la constante cte représente l'énergie totale par unité de volume mieux connue sous le nom de pression totale ou d e stagnation. Toutefois, dans un repère en mouvement, cette relation ne s'applique plus- Pour le cas d'un repère en rotation, on peut démontrer (annexe B) que la forme alternative de l'équation de Bernoulli s'écrit :

Bernoulli en rotation :

La nouvelle pression totale dans un repère en rotation, d e + $ p R2 r2, n'est plus constante mais augmente avec le rayon. Dans ce cas, la constante cte représente la pression totale à l'origine du repère en rotation et pour une roue de ventilateur centrifuge, elle représente la pression atmosphérique.

3Pour la vitesse cz à la sortie de la roue, deux possibilités existent. La première consiste à utiliser la vitesse moyenne en dehors du sillage entre deux aubes alors que la deuxième consiste à distribuer la vitesse sur toute la section de sortie de la roue en utilisant les relations A-1 et A.? de l'annexe A. La deuxième possibilité est probablement la plus appropriée et a donné de bons résultats.

3.2 Couches limites

3.2.1 Équation de von Karman en coordonnées curvilignes dans un repère en rotation

Pour une couche b i t e laminaire ou turbulente se développant sur un corps en rotation soumis à un écoulement incompressible, 2-D, en régime permaaent et où les forces de volume extérieures sont négligeables, l'équation de von K5rméin en coordonnées curvilignes soécrit (annexe C, section CA) :

Cette relation: équivalente à l'équation de von K h i h écrite en coordonnées cartésiennes dans un repère fixe, est uniquement valide si l'effet de la courbure des lignes de courant est faible et si on néglige les termes d'accélération de Coriolis et centripète dans la direction normale. Ceci permet de considérer le gradient de pression à travers la couche Limite comme étant nul.

Pour des roues de ventilateurs centrifuges de type cage d'écureuil les hypothèses concernant les accélérations nomales sont discutées en annexe à Ia section C.1.2. De manière générale, ces accélérations sont importantes et ne peuvent être négligées. Ainsi, le dévelop- pement de la couche limite est généralement défavorisé à l'ex-trados d'où une séparation précipitée de l'écoulement. Inversement, le développement est habituellement favorisé à l'intrados. Les effets de courbures sont également très prononcés lorsque des aubes fortement cambrées sont utilisées. Cependant, bien que les accélérations normales puissent être élevées, leur influence directe sur le développement de la couche limite n'est pas claire. Aussi: pour tenir compte de ces eEets, le calcul de couche limite nécessite I'utilisation de méthodes numériques plus complexes que celles des méthodes intégrales. Pour des fins de simplicité, les modèles de couche limite existants basés sur L'équation de von Karman curviligne peuvent être utilisés comme première approximation.

3.2.2 Coordonnées cylindriques

A priori, l'étude des couches limites à l'intérieur de roues de ventilateurs centrifuges semble nécessiter l'utilisation de modèles basés sur les équations de conservation écrites en coordonnées cylindriques. En effet, la nature divergente de l'écoulement peut modifier l'évolution de la couche limite. À la section C.2 de l'annexe C, il est démontré que l'équation de von K h a n en coordonnées cylindriques dans un repère fixe s'écrit :

Cette équation difRere de l'équation précédente par le système de coordonnées utilisé ainsi que par la présence d'un terme supplémentaire. Ainsi, si on prend l'exemple d'une plaque plane soumise à un écoulement divergent sans angle d'incidence (voir section C.3). la séparation est retardée par rapport au cas équivalent où Ia même distribution de vitesse est appliquée sur une plaque plane dans un écoulement cartésien. Pour le cas des couches limites se développant sur des aubes de ventilateurs centrifuges, les modèles basés sur l'équation de von Kiirmiin en coordonnées cylindriques s'apprêtent mal au calcul. En effet. à cause de l'angle d'incidence des aubes et de leur épaisseur, l'écoulement n'est pas strictement radial et divergent. Aussi, avec les modèles cylindriques éctits à partir de la variable r? il n'est pas possible de « dérouler » la surface du corps comme dans le cas des repères cartésien ou curviligne. Par conséquent, bien qu'ils ne tiennent pas compte de la nature de l'écoulement et de la forme des lignes de courant, les modèles de couche limite basés sur l'équation de von K&m& en coordonnées curvilignes s'apprêtent beaucoup mieux au problème des roues de ventilateurs centrifuges.

3.2.3 Modèles de couche limite

a) Couche limite laminaire [Thwaites 1949, Cebeci âr Bradshaw 19771

Puisque les nombres de Reynolds basés sur la corde sont d'environ 10 000 à 20 000 pour des aubes de ventilateurs centrifuges résidentiels, le développement des couches limites se fait entièrement de façon laminaire. À cause de sa simplicité, le modèle semi-empirique de Thwaites est l'un des plus utilisés. Bien qu'il ne fasse aucune hypothèse concernant la forme des profils de vitesse à l'intérieur de la couche limite, il fournit ses principaux paramètres tels l'épaisseur de déplacement (F), l'épaisseur de quantité de mouvement (O), le facteur de forme (H) et la contrainte de cisaillement à la paroi (T,). Le développement de ce modèle est similaire à celui fait à la section C.2.2 à la différence près qu'il est basé sur l'équation de von K&rm&n en coordonnées curvilignes.

Le calcul des paramètres de couche limite se fait d'abord en calculant e 2 ( x ) à partir de la distribution de vitesse Lie (x) :

Le même calcul peut également être effectué à partir de la distribution de pression en isolant U,(x) dans l'équation de Bernoulli. Dans un repère fixe ou en rotation, on a :

où ptot correspond à la pression ambiante (pamb) dans un repère fixe et à Pamb + $ p R2r2 dans un repère en rotation.

Aussi, notons que le système de coordonnées peut être cartésien ou curviligne puisque l'équation de von KkrmAn est la même dans les deux cas. Une fois 8 connu' X peut être calculé et les paramètres H(X) et S(X) peuvent être déterminés à partir des courbes de Thwaites ou des corrélations proposées par Cebeci & Bradshaw (1977) :

= 2.61 - 3.75X + 5.24X2 pour O < A < 0-1

pour -0.1 < X < O

1 S(X) = - Ree Cf = 0.22 + 1.57X - 1.8X2 pour O < X < 0.1

2

= 0.22 + 1.402X + 0.018X pour -0.3. < X < O

X + 0.107

Il est à noter que le modèle de Thwaites est basé sur la solution d'une équation différentielle ordinaire du premier ordre et requiert une condition initiale pour débuter le calcul :

La valeur initiale de la constante après intégration est nulle puisque U, = O au point de stagnation et l'équation 3.10 pour le calcul de e 2 ( x ) peut être utilisée directement4.

D'autre part, au point de stagnation, il peut être démontré pour des profils [Moran 19841 que X = 0.075 (S = 0.328 et H = 2.358) et que la valeur de 8 est donnée par :

4L'ajout de e 2 ( x = 0) à l'intégrale est une erreur fréquemment rencontrée dans la littérature.

Aussi, la séparation survient quand X = -0.09 (S = O, H = 3.55).

b) Transition laminaireturbulente [Michel 19511

Pour des écoulements incompressibles et sans transfert de chaleur: la transition libre de la couche limite d'un état laminaire à turbulent peut être estimée par le critère de Michel :

Ce critère a été obtenu à l'aide de données recueillies sur des profils d'aile et ne peut être utilisé pour d'autres applications sans attention particulière. Aussi: il ne tient pas compte de la rugosité de surface qui peut avoir un effet très important sur la position du point de transition. Pour des aubes de ventilateurs centrifuges de type résidentiel où les nombres de Reynolds sont faibles, il est peu probable qu'une transition libre survienne avant qu'il y ait séparation.

c) Couche limite turbulente [Head 1938, Cebeci & Bradshaw 19771

Le modèle de Head (1958) simplifié par Cebeci & Bradshaw (1977) est l'un des modèles turbulents les plus utilisés. Ce dernier est basé sur l'équation de von Karman (en coordonnées curvilignes ou cartésiennes) ainsi que sur une relation d'entraînement semi-empirique qui caractérise l'entraînement du fluide extérieur vers l'intérieur de la couche limite turbulente. Aussi, il doit être complété par une relation qui relie le coefficient de friction au nombre de Reynolds local basé sur l'épaisseur de quantité de mouvement. Pour ce faire, la corrélation de Coles peut être utilisée avec une précision de &3% [White 19911. Ainsi, on a un système de 4 équations à 4 inconnues à résoudre simultanément à partir de la distribution de vitesse

Équation de von K b & n

Relation d'entraînement :

Relation entre H et Hl :

Relation de Coles :

3.3 + 0.8234(H - 1.1)-1-287 pour N 5 1.6 a = {

3.3 + 1.5501(H - 0.6778)-~-~~~ pour H > 1.6

Les deux équations différentielles ordinaires doivent être résolues numériquement par une méthode d'intégration comme Runge-Kutta et en utilisant comme valeurs initiales O = et H 2i 1.3. Le caicul s'arrête au point de séparation quand H atteint environ 1.8.

Chapitre 4

MODELES NUMERIQUES

4.1 Méthodes de panneaux de base

Comme mentionné au chapitre 2, les méthodes de panneaux reposent sur le principe de superposition d'éléments potentiels. Pour le cas présent, elles sont utilisées pour calculer l'écoulement bidimensionnel autour de corps simples ainsi que celui à l'intérieur de roues de ventilateurs centrifuges. Cette section présente les méthodes de panneaux de base où l'écoulement n'est pas séparé.

4.1.1 Éléments potentiels

Les vitesses induites par les principaux types d'éléments potentiels 2-D sont données à l'annexe D. D'autres types d'éléments (doublets de sources ou de tourbillons), d'ordre plus élevé (distribution quadratique) ou de géométrie plus complexe (panneaux quadratiques) existent également. Pour le type d'application à l'étude, l'utilisation des éléments les plus simples s'est avérée sufEsante.

4.1.2 Corps profilés soumis à un écoulement uniforme

Pour amver à modéliser l'écoulement à l'intérieur de roues de ventilateurs centrifuges, plusieurs modèles numériques ont dû d'abord être développés pour calculer celui autour de corps profilés simples. Parmi toutes les méthodes testées (panneaux de sources, de tourbillons et/ou de doublets, distribution constante de tourbillons sur la corde, panneaux d'ordre supérieur, utilisation de la condition de Dirichlet [Katz & Plotkin 19911, etc.), seules

deux ont été retenues pour des raisons de simplicitéo de précision et de stabilité numérique. Les modéles résultants possèdent chacun leurs caractéristiques distinctes. avantages et inconvénients et sont discutés ci-après.

a) Premier modèle

Le premier est basé sur la méthode de panneaux de Hess & Smith (1966) qui consiste à utiliser sur toute la surface du corps des panneaux de sources distribués de façon constante (figure 4.1). Leur intensité, qui varie d'un panneau à l'autre. est fùrée de manière à satisfaire la condition de glissement aux points de contrôle disposés au centre des panneau. Pour satisfaire la condition de Kutta dans le cas des corps portants: une distribution constante de tourbillons est utilisée sur toute la surface. Comme il sera montré plus loin à la section 4.3, ce modèle permet aisément de simuler la présence d'un sillage dans le cas où une séparation de l'écoulement survient sur la surface du corps. Ceci se fait en générant un certain débit émanant de la surface du corps, par l'élimination judicieuse de panneau de source et par le contrôle de l'intensité des panneaux de tourbillon autour de la séparation. Cepen- dant, à cause des erreurs numériques rattachées aux méthodes de panneaux: ce modèle ne conserve généralement pas parfaitement la conservation de la masse et ceci: même pour un écoulement non séparé. L4insi: un certain débit étant particulièrement vrai pour des corps minces

est généré ou absorbé par le corps, ceci et aux angles d'incidence élevés.

sources tourbillons

FIG. 4.1: Méthode de panneaux de Hess & Smith (1966).

La résolution du système se fait donc de manière à satisfaire la condition de glissement (vitesse normale nulle) sur chacun des panneaux du corps ainsi que la condition de Kutta selon laquelle la vitesse tangentielle au bord de fuite est la même à l'intrados et à l'extrados' : Kan(l) = -Van(n). Pour un corps à n panneaux, on obtient alors un système de n+l équations à n f l inconnues 7) qui s'écrit :

Contributions normales pour la condition de glissement (i=l+n) :

'Le signe - du terme de droite provient du fait que l'écoulement se dirige dans le sens des panneaux d'un côté et dans le sens contraire de l'autre. Dans la littérature, les profils sont généralement definis dans le sens horaire en partant du bord de fuite à l'intrados.

Contributions tangentielles pour la condition de Kutta :

avec : UV = ui j cos% sin si ne^ Vi j = .il; sin Oj + U; COS Oj

u i j et vu = contrib- en x et y du panneau j au point de contrôle i (repère global)

u; et v b = contrib. en x et y du panneau j au point de contrôle i (repère du panneau j)

u et v = composantes des vitesses inconnues/intensité des panneaux (l/L] U et V = composantes connues (écoulement uniforme) b/T]

Oi et Oj = angles d'orientation des panneaux dans le repère global

X j et y = intensité des panneaux distribués de sources et de tourbillons [L/T]

Sous forme matricielle, le système s'écrit :

A coef RHSA

G ~ n t n ' b ~ ~ normale des panneaux de sources j aux points d e cantrole i

Écwkment tangent aux poinîs d e mntrôie

Ce système d'équations, de dimensions relativement faibles, peut être résolu par élimin ation de Gauss. En surface, le calcul des vitesses aux points de contrôle est simplifié en conservant en mémoire les contributions uij et v~ sous forme matricielle pour les sources et d'un vecteur pour les tourbillons. Ailleurs dans l'écoulement, ces coefficients d'influence doivent être recalculés.

b) Second modèle

Quant à lui, le second modèle développé n'utilise que des panneaux de tourbillons linéaires (figure 4.2). Leur intensité est continue sur toute la surface et comme pour le premier modèle, elle est déterminée de façon à satisfaire la condition de glissement a m points de contrôle disposés au centre des panneaux. Cependant, l'intensité devient nulle au bord de fuite et aucun point de contrôle n'est utilisé sur les premier et dernier panneaus. Pour satisfaire la condition de Kutta, un point de contrôle supplémentaire est disposé à l'exzérieur du corps profilé à environ une demi-longueur des panneaux au bord de fuite, sur la conti- nuation de la ligne de cambrure. C o ~ a i s s a n t la direction de 17écoulement en ce point, une condition de glissement (ou d'écoulement tangentiel) y est également appliquée. Contrai- rement au modèle précédent, celui-ci possède l'avantage de conserver la masse. De même. il permet de réduire considérablement les erreurs numériques rattachées aus corps minces et aux angles d'incidence élevés. Cependant, à cause de sa nature, ce modèle ne s'apprête pas à la génération d'un sillage.

tourbillons linéaires

FIG. 4.2: Méthode de panneaux de tourbillons.

Pour un corps à n panneaux, le système à résoudre comporte donc n-1 équations (conditions de glissement aux points de contrôle) et n-1 inconnues (intensité des tourbillons yl,,-l a u extrémités des panneaux).

Contributions normales pour la condition de glissement (i=l+n-1) :

n-L

(-LT sin Bi + V cos B i ) + (-u;, sin Of + dTj COS &)yj = O - d j=l t

/

Écoulements connus Tourbillons

avec : utTj et ut,, = contrib- en x et y du coefficient 7j au point de contrôle i (repère global) - Yj = intensité des coefficients de tourbillons [L/T]

Ainsi, contrairement au premier modèk où les éléments potentiels sont distribués de façon constante sur les panneaux, les coefficients d'infiuence de la matrice ne représentent plus une contribution indépendante de chaque panneau mais bien une contribution des coefficients de tourbillons. En effet, puisque les intensités yj sont définies aux extrémités des panneaux, leur contribution s'étend sur les deux panneaux adjacents j et j - 1. De même, en référence

à l'annexe D, la distribution de tourbillons sur chaque panneau peut être di~isée par une contribution constante et une autre linéaire. Par exemple, les contributions du panneau j en un point quelconque P ( x , y) s'écrivent (dans le repère du panneau) :

Ainsi, pour chaque panneau j, les coefficients yj et yj+i contribuent indépendamment au champ d'écoulement. Sous forme matricielle, le système s'écrit :

Contribution normale des coeffiaenrs de tourbillons j aux points de cantrdle i

coef

Écoulement tangent aux points de contr6le

Comme pour le premier modèle, ce système d'équations peut être résolu aisément par élimination de Gauss.

34

4.1.3 Roue de ventilateur

Pour des roues de ventilateurs centf iges où les aubes sont disposées de manière asi- symétrique dans le plan T - 0, la résolution du système est très similaire à celle pour des corps simples. D'abord, l'écoulement uniforme est remplacé par une source centrale ponctuelle dont le débit bidimensionnel est connu. Un champ de vitesse rotationnel est égaiement ajouté pour tenir compte de Ia rotation de la roue (voir figure 1.3). Ensuite. puisque la distribution des sources et des tourbillons est la même sur chacune des aubes (hypothèse d'écoulement âxisymétrique), aucune inconnue supplémentaire n'est rajoutée et le système conserve les mêmes dimensions que celles pour un corps simple. Si on considère la contribution des panneaux j comme étant la somme des panneaux correspondant sur chacune des aubes, le système à résoudre s'écrit exactement comme cehi pour un corps simple à la différence près des coefficients ug et uij qui s'écrivent maintenant :

Naubes

W j = C uijk COS Ojk - vijk sinejk

UV et uij = contrib. en x et y des Naubes panneaux j au point de contrôle i (repère global)

Ut ,,, - et uijk = contrib. en x et y du panneau jk au point de contrôle i (repère du panneau jk)

Comme on peut le constater, le calcul complet de l'écoulement est effectué par rapport aux points de contrôle d'une seule aube. Cependant, la contribution des panneaux j est maintenant la somme des panneaux correspondants sur chacune des aubes. Par conséquent, bien que la forme genérale soit la même, les coefficients de la matrice -4 et du vecteur RHSA different de ceux pour un corps simple.

Par ailleurs, le calcul de l'écoulement sur des roues de ventilateurs centrifuges peut être modifié dans certaines conditions. En effet, des aubes de redressement fixes à l'entrée de la roue peuvent être utilisées pour augmenter ou réduire la surpression produite par la roue. La déviation de l'écoulement associée peut être simulée façon approximative par l'ajout d'un tourbillon central. De même, le ralentissement de l'écoulement divergent peut être éliminé par une diminution équivalente de l'épaisseur de la roue. Ceci contribue à retarder la séparation de l'écoulement sur les aubes et à améliorer les performances de la roue. Pour tenir compte de cette possibilité, un champ de vitesse connu et non-potentiel peut être superposé à celui provenant de la source centrale ponctuelle. En résumé, les champs de vitesse connus sont donnés par :

i) Débit (source ponctuelle centrale)

ü) Rotation de la roue (champ d'un corps solide en rotation)

iii) Aubes de redressement (tourbillon ponctuel central)

iv) Roue convergente

avec convergence \champ de vitesse radiale ajoute

sans convergence

Sans convergence : u; = Qtot / k t

2 ~ 7 -

Avec convergence : Qtot l b in t Urc =

2 r R i , t

Les composantes U et V des champs de vitesse connus aux points de contrôle sont trouvées à partir des composantes radiales et tangentielles par :

où (Di est l'angle de positionnement du point de contrôle i dans le repère global situé au centre de la roue.

36

4.2 Méthodes de panneaux avec modèle de sillage

La complexité de l'écoulement autour de corps non profilés ou disposés à grands angles d'incidence provient de l'existence d'un sillage important, instationnaire en aval et ca- ractérisé par la formation de tourbillons. Ainsi, la position des points de séparation. les caractéristiques du sillage ainsi que les forces exercées sur le corps peuvent également être instationnaires, très sensibles aux conditions expérimentales et difficiles à recueillir avec précision en laboratoire. Par le fait même, ces écoulements sont dBiciles à prédire théoriquement et à modéliser. À cause de cette complexité. aucune théone n'est capable à ce jour de reproduire tous les aspects des écoulements séparés. Malgré tout, des progrès considérables ont été faits par le passé et plusieurs modèles simples sont aujourd'hui capables de donner de bons résultats.

Pour bien prédire les performances aérodynamiques d'un corps, il est nécessaire, s'il y a décollement de la couche limite, de simuler correctement les effets du sillage sur l'écoulement externe. Pour ce faire: deux modèles de sillage ont été développés, le premier pour les cylindres circulaires et le second pour les corps profilés. Bien qu'ils aient chacun leurs limitations, ils sont capables de modéliser avec une bonne précision les performances des corps pour lesquels ils ont été développés. Leur grande simplicité en font également des outils de calcul intéressants et rapides- Quelques résultats sont présentés au chapitre 5.

4.2.1 Cylindres

Le premier modèle de sillage a été développé pour des cylindres circulaires. En effet, de façon similaire à Yeung & Parkinson (1993), l'objectif initial était d'obtenir les performances autour de profils par une série de transformations conformes appliquées aux résultats- Cependant, bien qu'elle puisse s'appliquer à des corps profilés soumis à un écoulement uniforme, cette méthode ne peut pas être utilisée pour simuler l'écoulement autour de cascades d'aubes situées à l'intérieur de roues de ventilateurs. Les points importants sont tout de même présentés ici et une revue détaillée de la littérature concernant les performances aérodynamiques des cylindres ainsi qu'une présentation de la méthode et des résultats obtenus sont présentée dans Tardif (1997). Les principaux résultats obtenus sont également présentés au chapitre 5

Le modèle est basé sur la méthode de panneaux de Hess & Smith (1966) décrite précé- demment. Cependant, étant donné la symétrie de l'écoulement et l'absence de portance, les panneaux de tourbillons ainsi que la condition de Kutta sont éliminés. Le modèle de sillage, illustré à la figure 4.3, consiste à éliminer tous les panneaux de source situés vis-à- vis et à l'arrière des points de séparation. Le sillage est alors formé par le débit créé par les panneaux de source situés dans la,région non séparée de l'écoulement. Pour que son influence sur les reste de l'écoulement sait appropriée, la forme du sillage doit généralement être corrigée. Pour ce faire, deux sources ponctuelles additionnelles sont disposées entre le centre du cylindre et les points de contrôle des panneaux où la séparation survient. En ces

Sources distribuées de façon constante sur chaque panneau

Sources ponctuelles (position radiale variable)

FIG. 4.3: Modèle de séparation pour cylindres.

deux points de contrôle, une condition de glissement est imposée de façon à s'assurer que l'écoulement quitte la surface de façon tangentielle.

Bien que la conservation de la masse ne soit pas respectée, il est à noter que l'ajout de débit n'est qu'un moyen artificiel de simuler l'influence du sillage sur l'écoulement externe. Par conséquent, I'écoulement intérieur peut être totalement ignoré et conformément au grand nombre d'essais expérimentaux menés par le passé, Ia pression statique peut y être considérée constante.

Pour effectuer le calcul de l'écoulement, la position du point de séparation doit être préalablement k é e par l'utilisateur ou évaluée à l'aide d'un modèle de couche limite. Si la deuxième option est choisie, un processus itératif peut être utilisé jusqu'à la convergence de la solution. D'autre part, la position radiale des sources ponctuelles doit également être donnée. Bien que leur intensité soit faible, leur position peut influencer significativement le coefficient de pression dans la région séparée et par le fait même, le coefficient de traînée. Ainsi, en ajustant cette position radiale de manière appropriée, il est possible d'obtenir des résultats très près de ceux obtenus expérimentalement. La figure 4.4 montre I'évolution de la position radiale optimale des sources en fonction de la position angulaire du point de séparation. Cette courbe, qui peut être incorporée au calcul de l'écoulement, est estimée par l'expression suivante :

avec 80 < /3,, < 120 degrés.

FIG. 4.4: Variation de la position radiale optimale des sources ponctueiles en fonction de l'angle de séparation. Les Lignes pointillées illustrent la sensibilité de cette position sur la valeur du coefficient de séparation (Cp,, * 0.05).

La sensibilité de la position des sources ponctuelles ajoutées sur la valeur du coefficient de pression de séparation (Cp, , =t 0.05) est également montrée. On peut remarquer que leur position a peu d'influence sur les résultats pour des angles de séparation faibles alors qu'à des angles de séparation élevés, les résultats sont beaucoup plus sensibles. Finalement, il est à noter que l'utilisation d'un nombre de panneaux trop faible peut modifier signi- ficativernent la position optimale des sources ponctuelles. Cependant, au-delà d'environ 100 panneaux de même longueur sur toute la circonférence du cylindre, les résultats se stabilisent -

4.2.2 Corps profilés

Puisque l'utilisation de transformations conformes s'apprête mal à la simulation de l'écoule- ment séparé autour d'aubes de ventilateurs, un second modèle a dû être développé. Comme pour les cylindres, ce dernier utilise des éléments potentiels positionnés judicieusement de façon à simuler correctement la forme du sillage. Il permet donc de calculer directement l'écoulement séparé autour de corps profilés sans étape intermédiaire et peut, par le fait même, être utilisé pour des aubes de roues de ventilateurs centrifuges.

Bien qu'il soit d'une grande simplicité, le présent modèle a nécessité un grand effort de développement. Ainsi, l'utilisation d'éléments ponctuels ou distn bués (sources. doublets ou tourbillons), disposés de ditférentes façons (surface, ligne de cambrure. domaine extérieur au corps), a été testée. Contrairement au modèle développé pour les cylindres, l'utilisation d'éléments ponctuels n'a pas permis de simuler le sillage de manière satisfaisante. Cepen- dant, l'utilisation d'éléments distribués sur une certaine région de la surface ou de la ligne de cambrure a mené à d'excellents résultats.

sources tourbillons

FIG. 4.3: Modèle de séparation pour corps profilés. Contrairement à ce qui est montré ici pour des fins d'ihstration, il est préférable que la région de transition pour les tourbillons se fasse sur plusieurs panneaux.

Encore ici, tous les modèles de sillages qui ont été testés étaient basés sur la méthode de Hess & Smith décrite précédemment. Parmi ces derniers, celui qui a donné les meilleurs résultats consiste à éliminer les panneaux de sources situés en aval du point de séparation et à modifier l'intensité des tourbillons dans cette même région (figure 4.5). Cette inconnue supplémentaire est fixée de façon à ce que l'écoulement quitte la surface de manière tangentielle aux points de séparation. Dans le cas ou il y a séparation de l'écoulement des deux côtés du corps, l'intensité des tourbillons prend une valeur différente sur chacun des deux côtés. La distribution constante des tourbillons dans la région non séparée du corps est fkée de façon a ce que Ia vitesse de l'écoulement soit la même a u deux points de séparation2. En résumé; on a :

Sources Xi 1 Condition de glissement aux panneaux i

Inconnues Conditions

Tourbillons y,, - région séparée

Tourbillons 7 - région non séparée

Séparation tangentielle de l'écoulement au point de séparation correspondant

Même vitesse tangentielle aux points de séparation, %=,(sepl) = -Ka, (sep2)

Il est à noter qu'une région de transition est utilisée pour la distribution de tourbillons autour des points de séparation (figure 4.6). Ceci permet d'éliminer la singularité de bout

2Dans le cas où l'écoulement n'est pas séparé sur un côté, le point de contrôle du dernier panneau au bord de fuite (i=l ou i=n) est considéré comme étant le point de séparation sur ce côté.

de panneau qui survient quand le passage de 7 à y,, se fait instantanément. Cette transition se fait sur un to td de 9 panneaux linéaires situés de part et d'autre des points de sép~a t ion . Puisque le nombre de panneaux utilisés est constant, la longueur géométrique de cette transition varie avec le nombre total de panneaux utilisés pour définir le profil, Les peflormances des profils sont donc également susceptibles de varier avec le nombre de panneaux et ceci, principalement lorsque la séparation de l'écoulement est prononcée. Ceci constitue un inconvénient du présent modèle de sillage. Par ailleurs, aucune inconnue n'est ajoutée puisque l'intensité des panneaux de transition dépend de y ou de T,, selon le côté. Pour les panneaux de sources, aucune région de transition n'est utilisée puisque l'effet de la singularité de bout de panneau associée est généralement faible.

p a n / y a 1.0 0.9 0.65 03 0.1 0.0

ytran / ysep a 0.0 0.1 03 0.6s 0.9 1.0

FIG. 4.6: Région de transition autour d'un point de séparation pour la distribution de tourbillons.

Pour un corps défini par n panneaux avec nB panneaux non séparés, on obtient un système de nBi-3 équations à nB+3 inconnues lorsqu'il y a séparation de l'écoulement sur les deux côtés (nBf2 lorsque la séparation ne suMent que d'un seul côté). Ce système s'écrit :

Contributions normales pour la condition de glissement (i=sepl+sep2) :

sep2-1 s e p 1

(-U sin Oi + I.' COS B i ) + C ( -u t sin Bi + v:j COS B i ) X j + C (-us sin Bi + ZJ:, cos Bi)rs,i t - 4 4 j = s e p ï + ï j=l v

Écoulements cornus Sources Tourbillons, sep 1

+ C (-U& sin Bi + COS Bi)? + C (-US sin Oi + $ COS di)ySep2 = O I

j= sep ï - j=sep2 f

Tourbillons, non sép. Tourbillons, sep2

Contributions tangentielles pour la condition de Kutta :

s e pl sep2 t C (u:ep2, c o s e s e p 2 + d p 2 , ~ ~ s e p 2 ) î s e P ï - C (utep2, COS osep? + v S e p 2 , sin e s e p 2 ) f -

Pour le calcul des contributions uij et u:~, les panneaux de tourbillons sont distribués de façon constante à l'extérieur des régions de transition (passage de y à y,,). À l'intérieur. elles sont obtenues à partir d'une combinaison de panneaux distribués de façon constante et linéaire dont l'intensité est fonction (vçir constantes à la figure 4.6) de y et de y,,.

Sous forme matricielle, le système s'écrit :

coef RHSB Écmiement tangent a sepi

Écmhent tangent aux ~~%nts de cootrdle

Écarkment tangent A sep2

Partie de ia matrice principde A et du p l a i r RHSA

En surface, le calcul des vitesses aux points de contrôle est simplifié en conservant en mémoire les contributions îI, et v~ sous forme matricielle pour les sources constantes, tourbillons constants et tourbillons linéaires. Contrairement au cas où il n'y a pas séparation

de l'écoulement, la contribution des tourbillons ne peut être conservée dans un vecteur puisqu'elle varie selon l'étendue et la position de la région séparée. Pour le calcul des vitesses ailleurs dans l'écoulement, les coefficients d'idiuence doivent tous être recalculés.

En plus de se distinguer par sa simplicité, le modèle de séparation développé pour les corps prof3és représente en partie les phénomènes physiques qui expliquent l'existence de la portance. En effet, celle-ci provient de la viscosité du fluide qui entraîne la formation de la couche limite sur Ies parois du corps. L'écoulement rotationnel à l'intérieur de la couche limite renferme une certaine quantité de vorticité qui est d'abord produite au bord d'attaque et qui évolue par la suite avec la distribution de vitesse sur le corps. Pour une plaque plane soumise a un écoulement uniforme et parallèle à celle-ci, une quantité de vorticité égale mais de signe opposé est produite de chaque côté de façon à ce que la portance totale soit nulle. Pour la même plaque disposée avec un certain angle d'incidence. ou pour tout autre corps profilé portant, la quantité de vorticité produite de part et d'autre du point de stagnation differe ce qui explique l'apparition de la portance. L'épaisseur de la couche limite est déterminée par un processus de compétition entre la diffusion de la vorticité et sa convection. Pour la majorité des applications aérodynamiques où les nombres de Reynolds sont assez élevés, la convection l'emporte sur la diffusion et la couche limite est relativement mince (g « 1). Bien qu'elle évolue, la distribution de la circulation en surface du corps est relativement bien représentée par le présent modèle où l'intensité des panneaux de tourbillon est constante partout dans la région non séparée. Pour un écoulement séparé, la vorticité de la couche limite est diffusée dans le sillage ce qui fait diminuer son intensité dans la région séparée. Selon les résultats obtenus avec le code, l'intensité nette3 des panneaux de tourbillons dans la région séparée est effectivement réduite et peut même devenir négative. Ceci peut s'expliquer par la formation d'une couche limite inversée provoquée par le renversement de I'écoulement près de la surface dans la région séparée.

4.2.3 Hypothèses

L'utilisation. d'éléments potentiels pour modéliser la région séparée d'un écoulement requiert certaines hypothèses. La première concerne la pression statique à l'intérieur du sillage où l'équation de Bernoulli ne s'applique plus à cause de la turbulence de l'écoulement et des effets visqueux. Ainsi, pour des corps soumis à un écoulement uniforme et incompressible, un grand nombre de tests expérimentaux menés par le passé ont montré que la pression statique dans la région séparée est relativement constante et se rapproche de celle au point de séparation. Par ailleurs, pour des corps en rotation (ou corps fixes soumis à un écoulement en rotation) comme dans le cas des aubes de roues de ventilateurs centrifuges, on peut s'attendre à ce que cette même pression statique augmente à cause du gradient de pression radial associé au repère en rotation. Par l'équation de Bernoulli en rotation (équation 3.7), on a pour une roue de ventilateur centrifuge :

3L'intensité nette des tourbilions constitue la somme de la circulation sur les deux côtés du corps.

En soustrayant, on trouve :

Psillage

Le gradient de pression souhaité est donc obtenu en imposant la même vitesse partout dans le sillage, celle-ci étant égde à la vitesse potentielle calculée au point de séparation. La même méthode peut d'ailleurs être utilisée pour des profils en utilisant l'équation de Bernoulli dans un repère fixe. La pression statique est alors constante. -4insi' pour les deux types de situation (écoulement uniforme ou en rotation), l'écoulement potentiel cal- culé à l'intérieur du sillage est simplement ignoré et la pression statique h~o thé t i que est utilisée pour le calcul des forces de pression sur le corps. Il est à noter que l'utilisation de cette hypothèse affecte les performances d'une roue centrifuge puisque la puissance à l'arbre est calculée par l'intégration de Ia pression statique sur Ies pales de la roue (voir section 4.5). Bien qu'elle soit justifiable, cette hypothèse semble n'avoir jamais été vérifiée expérimentalement sur une roue de ventilateur centrifuge.

La seconde hypothèse concerne l'influence du sillage sur l'écoulement externe. L'utilisation du présent modèle suppose que le sillage est confiné à l'intérieur d'une région précise du champ d7écou1ement7 qu'il est stable et qu'il n'y a pas de difision près de la roue. Ainsi, bien qu'il devienne généralement instable en aval et qu'il disparaisse éventuellement par difision visqueuse, on peut supposer que son influence soit bien représentée près de la roue-

4.2.4 Limites

Les modèles de séparation développés pour les cylindres et les corps profilés présentent certaines limites. D'abord, ils ne peuvent être utilisés que pour certains régimes d'écoulement où les bulles de séparation sont absentes ou de dimension négligeable. Pour les corps pro- filés, la région de validité se situe approximativement à des nombres de Reynolds inférieurs à environ 50 000 et supérieurs à 1 000 000. Entre ces deux limites, des bulles de séparation peuvent survenir et ne peuvent être simulées par le présent modèle. Ces bulles sont ca- ractérisées par une séparation laminaire de l'écoulement, la transition laminaire-turbulente du silage et par rattachement de l'écoulement. Sous Re, N 50 000, la distance requise pour la transition laminaire-turbulente de l'écoulement est généralement assez élevée pour empêcher le rattachement de I'écoulement à la surface du profil. Au-delà de Re, x 106, la

séparation laminaire de l'écoulement est généralement suivie par un rattachement rapide. Les dimensions de la bulle sont alors suffisamment faibles pour que le point de séparation laminaire puisse être considéré comme un point de transition. 11 est à noter que ces limites sont approximatives et dépendent de Ia géométrie des corps ainsi que de leur angle d'incidence.

Par ailleurs, Ie modèle de séparation développé pour des corps profilés ne peut pas être utilisé pour d'autres types de corps. Par exemple, selon les résultats obrenus avec des cylindres, la distribution de pression statique obtenue était trop élevée et la traînée trop faible. ..k l'inverse: pour des corps profilés, la distribution de pression était généralement excellente à tous les angles d'incidence et la traînée un peu trop élevée aux angles d'attaque élevés (chapitre 5).

Finalement, le modèle de séparation est susceptible de donner des résultats erronés pour des corps profilés avec une séparation prononcée sur les deux côtés. En pratique? ce genre de situation suvient surtout pour des corps en rotation comme des aubes de roues centrifuges. Le modèle permet alors à l'écoulement de traverser le prof3 puisqu'il n'existe plus de condition de glissement dans sa dernière portion.

4.3 Modèles de couche limite

Les modèles de couche limite utilisés dans le code numérique sont ceux présentés à la section 3.2.3. Le modèle de couche limite laminaire de Thwaites (1949) et Cebeci & Bradshaw (1977) est d'abord utilisé pour débuter le calcul à partir du point de stagnation. L'intégrale pour le calcul de e2(z) est effectuée numériquement à chaque pas. Le critère de Michel (1951) pour la transition laminaire-turbulente est aussi vérifié à chaque pas. Le modèle de couche limite turbulente de Head (1958) et Cebeci & Bradshaw (1977) est ensuite utilisé suite à la transition. Les équations différentielles aux valeurs initiales sont résolues numériquement par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4. La figure 4.7 illustre le schéma de fonctionnement du modèle de couche limite utilisé pour les différents codes développés.

4.4 Couplage écoulement potentiel - couche limite - séparation

Qu'il s'agisse d'un profil soumis à un écoulement uniforme ou une cascade 2-D d'aubes de roue centrifuge, la structure du code reste la même. Le code se divise en trois parties principales soit l'initialisation, la résolution et l'analyse des résultats. La figure 4.8 illustre le schéma de fonctionnement utilisé.

L'initialisation consiste à lire les données d'entrées, à initialiser divers paramètres et à

Point de stagnation '-4

COUCHE L I M E TURBULENTE

bord d e fuite 4 ,

Pas de séparation Point de séparation

FIG. 4.7: Modèle de couche limite laminaireturbulente utilisé pour les différents codes développés (cylindres, profils, roues de ventilateur).

1

CûUCHEUMiTE LAMlNAfRE

calculer les matrices de coefficients d'influence pour les panneaux de sources constantes, et de tourbillons constants et linéaires.

* p a m ~ n

Pour la résolution, le code permet d'utiliser ou non le schéma itératif associé au calcul de la couche limite- Dans le cas où il n'est pas utilisé, l'écoulement est calculé avec ou sans points de séparation imposés p u l'utilisateur. Dans le cas contraire, le schéma itératif débute. La solution potentielle est initialement obtenue et le développement de couche limite est calculé sur les deux côtés du profil à partir du point de stagnation jusqu'aux points de séparation (s'il y a lieu). Aux itérations subséquentes, l'écoulement est calculé en utilisant le modèle de sillage e t est suivi par le calcul des deux couches limites. Ceci se poursuit jusqu'à la convergence de la solution, c'est-à-dire lorsque les points de séparation sont identiques pour deux itérations successives. Généralement, la convergence se fait assez rapidement pour des profils (3-5 itérations approximativement) mais est plus difficile pour des aubes de ventilateur où la séparation survient fréquemment sur les deux côtés simultanément. Pour les cas où la solution oscille entre plusieurs solutions, le nombre d'itérations est limité et l'utilisateur peut décider de continuer le calcul où de l'arrêter en imposant les points de séparation qu'il désire.

Finalement, l'analyse des résultats consiste à calculer les forces aérodynamiques sur le profil ou les aubes, à calculer les lignes de courant et dans le cas d'une roue de ventilateur centrifuge, à calculer les performances de ventilation (pression et efficacité) en ajoutant les diverses pertes associées aux effets 3-D, à Ia couche limite et au sillage.

- Lecture des donnnëes d'entrée

1 - bitialisation des param8tms de calculs 1 - Calcul des rna!rices principales de I

Résolution avec points de séparation MIw

de i'itération précédente -..-.ciri

I

I Calcul de la couche limite et des nouveaux points de séparation 1

t O C

l'utilisateur

Solution finale connue

- Calcul des forces a8rodynamiques

- Calcul des perormances et des pertes

-Calcul des lignes de courant

- Eaiture des rhsultats

FIG. 4.8: Schéma de fonctionnement utilisé pour les diffkrents codes développés (cylindres, profils, roues de ventilateur).

4.5 Calcul des performances

LE calcul des performances differe pour les profils et les roues centrifuges. Pour les profils. elles sont exprimées en terme de portance, de traînée et de moment de tangage. Pour les roues centrifuges, elles sont plutôt exprimées en terme de d'augmentation de pression totale et d'efficacité de ventilation. Cependant, dans les deux cas, elles sont le résultat de l'intégration des forces perpendiculaires (pression) et tangentielles (cisaillement) agissant sur la surface des corps soumis à l'écoulement-

4-5.1 Profils 2-D

Les coefficients aérodynamiques qui définissent la peIformance des profils peuvent être calculés directement à partir des coefficients adimensionnels de pression et de friction définis par :

Pstat - Poo et Tw c, = L v2 Cf =

2 P 00 l v2 5 P 00

Les coefficients de portance et de traînée sont obtenus par :

COS QI

-sin CY COS CY

où a! est l'angle d'incidence de l'écoulement.

Dans le calcul des coefkients de performance, il est à noter que les contraintes de pression sont toujours positives. Quant à elles, les contraintes de cisaillement r, peuvent être positives ou négatives selon la direction de l'écoulement par rapport à celle des panneaux qui définissent la géométrie. ,4insi, pour un profil défini dans le sens horaire, les contraintes de cisaillement seront généralement négatives à l'intrados et positives à l'extrados, Ie signe changeant au point de stagnation.

D'autre part, comme mentionné à la section 4.2.3, les pressions obtenues par la solution potentielle dans la région séparée de l'écoulement sont ignorées lors de l'intégration. Une pression constante, égale à celle au(x) point(s) de séparation, est plutôt utilisée. Ainsi, puisque les efforts calculés tiennent compte de différents phénomènes tels la friction et la séparation de l'écoulement, ces derniers ne correspondent pas à ceux qui seraient obtenus par la solution potentielle. On a donc :

4.5 -2 Roues centrifuges 2-D

Pour le calcul des performances des roues centrifuges, au lieu d'utiliser des coefficients adimensionnels de pression et de fkiction, il est préférable d'intégrer directement les efforts en surface des aubes. Ainsi on a :

cos p

{ :} = [ -si.. d f y a t + d f p t

COS ""'II 9 dfPstat Y + d f p

50

où cp est la position angulaire par rapport au centre de la roue du point (qy) situé en surface du profil, df, et df, les efforts infinitésimaux en coordonnées cartésiennes par unité d'épaisseur de la roue, d f , et dft les efforts correspondants en coordonnées cylindriques. Le couple effectué par les forces aérodpamiques est donné par :

Aussi: il peut être démontré que :

avec : ~n~~~~ = aubes - w [ - jI r pstat sinp d z + f r p,tal cosy dy]

La puissance développée à l'arbre est simplement donnée par Pd, = T - 0.

Encore ici. il est important de noter que les contraintes de cisaillement T . peuvent être positives ou négatives selon la direction de l'écoulement par rapport à celle des panneaux qui définissent la géométrie. Aussi, comme pour les profils, la pression statique à l'intérieur de la région séparée est fixée. Cependant, contrairement aux profils, celle-ci augmente avec le rayon à cause du gradient de pression radial associé au repère en rotation (voir section 4.2-3).

D'autre part, l'augmentation de pression totale dptOt effectué par la roue est donnée par :

dptot = =(sortie, hors sillage) - ptOt (entrée) - pertes

À l'entrée, la pression totale peut être fixée arbitrairement. À la sortie, la valeur moyenne de Ia pression totale hors sillage est calculée à une position radiale supérieure à Rd. Cette position radiale a relativement peu d'effet sur la valeur moyenne calculée avant le calcul des pertes. Cependant, son effet sur les pertes de sillages est très important (voir annexe A). Celle-ci doit donc être choisi de façon judicieuse. Les autres pertes associées aux effets 3-D et à la présence de la volute doivent également être soustraites.

Finalement, les performances des roues de ventilateurs centrifuges peuvent être exprimées de différentes façons. D'abord, les courbes de pression totale et d'efficacité de ventilation (7) = Qt$df~tOt) peuvent être tracées en fonction du débit. Elles peuvent également être tracées sous forme adimensionneIle en utilisant les coefficients suivants :

Coefficient de débit volumique :

Coefficient de pression totale :

Coefficient de puissance :

Chapitre 5

Ce chapitre discute de la validité des modèles développés au chapitre 4 pour les cylindres, corps profilés ainsi que pour les roues de ventilateurs centrifuges. Pour ce faire, les résultats obtenus sont présentés et comparés à ceux obtenus expérimentalement ou par d'autres modèles théoriques.

5.1 Modèle numérique pour cylindres

Le modèle de sillage développé pour les cylindres utilise la théorie présentée à la section 4.2. Comme mentionné, le sillage est modélisé par l'élimination de panneaux de sources disposés à l'intérieur de la région séparée ainsi que par l'ajout de deux sources ponctuelles dont l'intensité est déterminée de façon à satisfaire la condition de glissement aux points de séparation. La position radiale optimale de ces sources a été déterminée de manière empirique de façon à ce que les coefficients de pression de séparation soient en accord avec ceux obtenus expérimentalement. Le tableau 5.1 permet de comparer les résultats du présent modèle avec ceux obtenus expérimentalement par Roshko (1934 et 1961) et Bear- man (1968). La position des points de séparation a été fixée afin de valider le modèle de sillage indépendamment du modèle de couche limite. Les coeficients de trainée, obtenus par intégration des distributions de pression de surface, se rapprochent de ceux mesurés expérimentalement. La figure 5.1 permet de comparer les distributions de pression obtenues. Les résultats de la méthode semi-empirique de Parkinson & Jandali (1970) sont également montrés. Cette méthode, basée sur l'utilisation de transformation conformes, requiert l'imposition de la position des points de séparation et de la valeur des coefficients de pression de séparation.

La figure 5.2 montre les lignes de courant obtenues avec le présent modèle de sillage. Ce dernier, engendré par l'ajout d'un débit, ne permet pas de représenter la nature turbulente et instable d'un sillage réel. Cependant, près du cylindre, l'écoulement à l'extérieur

Roshko (1954), ReD = 14 500

TAB. 5-1: Comparaison des résultats obtenus avec le présent modèle et ceux obtenus expérimentalement (approximations). Les résultats numériques ont été obtenus en imposant la position des points de séparation et en utilisant un cylindre défini par 240 panneau.

I Bsep (deg) CPS~P Cd

80 -0.96 1.09 Présente méthode Roshko (1961), ReD = 8 400 000 Présente méthode Bearman (1968), ReD = 213 000 Présente méthode

du sillage est similaire à celui obtenu expérimentalement et permet donc d'obtenir des distributions de pression représentatives en surface.

81.75 -0.967 1.057 104 -0.86 0.79 104-25 -0.859 0.810 120 -0.38 0.33 120.75 -0.382 0.350

Étant comparables aux résultats expérimentaux, ceux obtenus à l'aide du présent modèle de sillage permettent de confirmer sa validité. Cependant, ce dernier n'est valide que pour des angles de séparation allant de 80 à 120 degrés. Cette région couvre pratiquement la totalité des cas retrouvés expérimentalement. Aussi, ce dernier ne permet pas de représenter la présence de bulles de séparation et ne doit être utilisé que pour des écoulements dont le sillage est entièrement séparé ou pour des régimes où la dimension des bulles de séparation est relativement faible. Ainsi, le modèle s'apprête bien aux régimes souscritique (ReD = 104 - 2 x los), et postcritique (ReD 2 3 x 106 approx.) initialement nommé transcritique par Roshko (1961).

Le régime souscritiques est caractérisé par le développement entièrement laminaire de la couche Iimite jusqu'à l'atteinte du point de séparation toujours situé à environ ,B,, = 80 degrés à partir du point de stagnation. Après la séparation de l'écoulement, le sillage formé devient turbulent et ne se referme pas. Pour ce régime, les caractéristiques de I'écoulement sont relativement constantes. f ar ailleurs, contrairement au régime précédent, le régime postcritique est caractérisé par une transition laminaire-turbulente complète de la couche limite survenant avant son décollement à ,û,, N 110 - 120 deg. Encore ici, les caractéristiques de l'écoulement sont relativement constantes. Entre ces deux régîmes, on retrouve les régimes critique et supercritique caractérisés par la présence de bulles de séparation stables ou instables. Il est à noter que les conditions expérimentales, telles le niveau de turbulence de l'écoulement incident et la rugosité de surface, peuvent déplacer les nombres de Reynolds définissant les limites de chaque régime et semblent également modifier les caractéristiques de l'écoulement. Ainsi, les résultats expérimentaux obtenus par Bearman dans la région critique (figure 5.1) ne permettent pas de détecter la présence de bulles de séparation. Le niveau de turbulence élevé de l'écoulement incident semble expliquer partiellement ceci.

D'autre part, le modèle de couche limite décrit au chapitre 4.3 a été couplé au modèle de sillage développé pour les cylindres. Pour des nombres de Reynolds souscn'tiques, où le

développement de couche limite est entièrement laminaire, le modèle couplé donne de bons résultats. La figure 5.3 compare la distribution de pression obtenue à ReD = 14500 avec les résultats expérimentaux de Roshko (1954). On peut constater que l'angle de séparation calculé (74.3 deg) est inférieur à celui mesuré par Roshko. Ceci peut s'expliquer par modèle de Thwaites qui tend à prédire un décollement légèrement avancé par rapport aux autres modèles ainsi qu'aux conditions expérimentales de Roshko (rugosité de surface. niveau de turbulence de l'écoulement incident, etc.) qui peuvent retarder la séparation. Le tableau 5-2 permet de comparer la position des points de séparation prédite par le modèle de Thwaites utilisé (1949) avec celui de Pohlhausen et la solution exacte de Teml1 (1960). pour l'écoulement potentiel (incompressible et non visqueux) autour d'un cylindre. 11 est à noter que ces modèles ne tiennent pas compte la courbure du corps à partir duquel la distribution de vitesse est obtenue.

Modèle Thwaites (1949)

TAB. 5 -2: Angles de séparation prédits pour l'écoulement potentiel autour d'un cylindre. Résultats indépendants du nombre de Reynolds.

Psep (ded 104.2

Solution numérique, 240 panneaux Thwaites (1949) Solution analytique à partir de U / U , = 2 sin0 Pohlhausen [SCHLICHTING , 19791 Terril1 (1960) Solution exacte obtenue numériquement à partir d'une série d'expansion de U/U, = 2 sine

Pour des nombres de Reynolds critiques et supercritiques, les résultats sont beaucoup moins satisfaisants. Ceci s'expliquer par la présence de bulles de séparation qui ne peuvent être simulée par le présent modèle de sillage. Ainsi, la séparation laminaire qui survient pour ces deux régimes ne s'accompagne pas d'un rattachement de l'écoulement, d'où un sillage trop étendu et une traînée élevée- Par ailleurs, aux nombres de Re-vnolds postcritiques où la transition laminaire-turbulente survient avant la séparation de l'écoulement, le modèle de Head (1958) et Cebeci & Bradshaw (1977) utilisé prédit des points de séparation significativement en aval de ceux obtenus expérimentalement. Par exemple, pour ReD = 8 400 000, la solution convergée du présent modèle donne une séparation à P,, = 124 deg. et un coefficient de traînée de 0.254 comparativement à &, - 104 deg. et Cd = 0.79 pour Roshko (1961). Aussi, selon le modèle, une augmentation du nombre de Reynolds retarde la séparation de l'écoulement et fait diminuer le coefficient de traînée alors que les résultats expérimentaux présentés dans la littérature tendent plutôt à montrer une augmentation du coefficient de traînée [Roshko 1961, Schewe 1983, Shih et al. 19931. Les raisons qui expliquent ces écarts significatifs obtenus entre les résultats théoriques et expérimentaux ne sont pas cIaires. Ceux-ci proviennent possiblement des effets de courbure qui sont négligés dans Le modèle de couche limite. Il est également possible que les relations empiriques uti- lisées dans le modèle de couche limite turbulente ne soient pas applicables à des nombres

103.1

109.5 104.5

de Re-vnolds aussi élevés.

Comme tout modèle numérique, la discrétisation de la géométrie peut affecter considé- rablement les résultats. Ici, le nombre de panneaux utilisés influence à la fois la solution potentielle avec et sans sillage ainsi que le calcul numérique des paramètres de couche limite. Cependant, selon les résultats obtenus, le présent modèle couplé converge t-ers une solution stable lorsque le nombre de panneaux augmente. Selon la figure 5.4. environ 100 panneaux sont suflisants puur obtenir un coefficient de trainée stable alors que le coefficient de pression et l'angle de séparation sont relativement constants à partir de 200 panneaus.

Les figures 5 .5, 5-6, 5.7 permettent de comparer les coefficients de traînée, les coefficients de pression de séparation ainsi que les angles de séparation expérimentaux avec ceux prédits le présent modèle. Les résultats du modèle couplé ne sont montrés que dans la région souscritique et sont en excellent accord avec ceux obtenus expérimentalement. Pour des fins d'illustration, les résultats de Roshko (1954) et de Bearman (1968) qui sont très similaires à ceux obtenus numériquement (voir tableau 5.1) ne sont pas montrés.

- Écoulement potentiel

Roshko (1954), ReD=14 500 A Roshko (1 961 ), ReD=8 400 000 x Bearman (1 968). ReD=213 000

----- Parkinson and Jandali (1 970). PSep=80 deg, CpSep=0-96 ----- Parkinson and Jandali (1 970), PSep=1 04 deg, CpSep=-0.86 ----- Parkinson and Jandali (1 970). PSep=1 17.5 deg, CpSep=-0.38 - Présente méthode, points de séparation imposés: PSep=80.25 deg - Présente méthode, points de séparation imposés: PSep=104.25 deg

Présente méthode, points de séparation imposés: BSep=1 20.75 deg

FIG. 5.1: Comparaison des dist~butions de pression expérimentales, théoriques et obtenues numériquement pour un cylindre lisse à O,, cz 80, 104 et 120 deg. La position des points de séparation a été imposée pour la validation indépendante du modèle de sillage. Cylindre défini par 240 panneaux.

-1 4 5 O 05 1 1s

O,, = 80 deg.

I -05 O 05 1 IS

O,, zz 104 deg.

4~ -3.5 05 1s

& = 120 deg. FIG. 5.2: Lignes de courant obtenues numériquement pour un cylindre lisse à différents

angles de séparation. Celles-ci correspondent aux résultats du tableau 5.1 et aux distributions de pression montrées à la figure 5.1.

Roshko (1954), Reo=14 500 - Présente méthode, modèle couplé: ReD=i4 500

FIG. 5 -3: Comparaison des distributions de pression expérimentale et obtenue numérique- ment avec le modèle couplé pour un cylindre lisse à ReD = 14 500. Cylindre défini par 240 panneaux.

FIG. 5.4: Effet du nombre de panneaux sur les résultats du présent modèle couplé pour un cylindre lisse à ReD = 14 500.

- - - - - - Re,

Relf (1 924) Wieseisberger (1 921 )

A Delany and Sorensen (1 953) Roshko(l961) Güven, Farell and Patel (1980)

A Farell and Blessmann (1983) 0 Schewe (1 986) + Shih,Wang,ColesandRoshko(1993)

Présente méthode, points de séparation imposés - Présente méthode, modèle couplé

FIG . 5.5: Coefficients de traînée expérimentaux et obtenus numériquement en fonction du nombre de Reynolds pour un cylindre lisse.

Flash bart (1 929) Roshko (1 961) Gerrard (? 965) Bearrnan (1 969) Güven, Farell and Patel (1980) Farell and Blessmann (1 983) Shih. Wang, Coles and Roshko (1 993) Présente méthode, points de séparation imposés Présente méthode, modèle couplé

FIG. 5.6: Coefficients de pression de séparation expérimentaux et obtenus numériquement en fonction du nombre de Reynolds pour un cylindre lisse.

x Achenbach (1 968) Güven, Farell and Patel(1980) - Présente méthode, modèle couplé

FIG. 5.7: Position des points de séparation expérimentaux et obtenue numériquement en fonction du nombre de Reynolds pour un cylindre lisse. = O correspond au bord d'attaque = 180 au bord de fuite.

5.2 Modèles numériques pour corps profilés

A la section 4.1, deux modèles de base ont été présentés, chacun possédant ses avantages et inconvénients. Le premier, qui utilise une distribution de sources et de tourbillons constants. permet la simulation d'un silIage par l'élimination de panneaux de sources (ou de puits). Cependant, à cause de la nature des éléments utilisés et des erreurs numériques inhérentes aEx méthodes de panneaux, la masse peut ne pas être parfaitement conservée. Ceci rend la méthode moins appropriée pour le calcul d'écoulements internes comme celui à l'intérieur de ventilateurs centrifuges. Quant à lui: le second modèle utilise uniquement des panneaux de tourbillons linéaires ce qui lui permet de satisfaire la conservation de la masse. +-ussi. il permet de réduire les erreurs numériques présentes pour des profils dont le bord de fuite est très mince ou modélisé par une série de panneaux dZsposés sur une même ligne droite. En effet, les matrices de coefficients obtenues sont alors mieux conditionnées pour la résolution. La figure 5.8 permet de comparer les distributions de pression obtenues avec les deux méthodes présentées pour un profil Joukowsky (cambrure=2.4!%, épaisseur=ll%, 72 panneaux, a=10.0 deg). La solution de la méthode de panneaux de sources montre une boucle irréaliste dans la distribution de pression de surface. Par contre, les meilleurs résultats obtenus avec la méthode de tourbillons linéaires s'expliquent par l'utilisation d'une condition de Kutta plus appropriée pour ce type de prom.

Tout comme le modèle de sillage développé pour les cylindres, celui développé pour les corps profilés se distingue par sa skplicité et par les bons résultats obtenus même au-delà du décrochage. Comme mentionné à la section 4-2, le sillage est encore ici modélisé en éliminant les panneaux de sources (ou de puits) disposés à l'intérieur de la région séparée. De plus, une distribution de tourbillons est ajoutée en surface et son intensité est ajustée judicieusement de manière à satisfaite la condition de Kutta e t la condition de glissement aux points de séparation. Autour des points de séparation, une transition graduelle de l'intensité des panneaux de tourbillons est imposée pour adoucir les caractéristiques locales de l'écoulement. Il est important de noter que, contrairement au modèle développé pour les cylindres, le coefficient de pression de séparation est déterminé de manière intrinsèque à la méthode et aucun ajustement empirique n'a été fait pour l'imposer. Seule la transition des panneaux de tourbiUons a été ajustée autour des points de séparation dans le but d'améliorer localement la distribution de pression. Ceci constitue un avantage important sur plusieurs autres modèles présentés dans la littérature.

Plusieurs résultats obtenus avec le présent modèle sont ici présentés, en partant de distributions de pression jusqu'aux courbes de performances complètes pour différents profils connus. D'abord, la figure 5.9 montre la distribution de pression et les lignes de courant obtenues avec le modèle de sillage pour un profil Joukowsky disposé à grand angle d'incidence. La position du point de séparation a été imposée de manière à évaluer indépendamment le modèle de sillage. Les résultats expérimentaux de Yeung & Parkinson (1993) sont également montrés pour fins de comparaison. On peut remarquer l'excellent accord entre ces résultats malgré la valeur légèrement trop élevée du coefficient de pression dans la région séparée. De même, le bord de fuite mince du profil Joukowsky ne semble pas avoir d'effet néfaste

sur la distribution de pression.

Les figures 5.10 à 5.13 présentent une série de distributions de pression et de lignes de courant obtenues pour le profil GA(W)-1 développé pour l'aviation générale. Pour chaque angle d'incidence- la solution potentielle est donnée ainsi que les résultats du modèle de sillage couplé et non couplé avec le modèle de couche limite. Les résultats expérimentaux non cor- rigés' obtenus par McGhee & Beasley (1973) sont également montrés. Selon ces résultats. on peut remarquer que le modèle de couche limite utilisé tend à prédire une séparation turbulente de l'écoulement trop en aval aux angles d'incidence élevés (figures 5.1 2 et 5 - 13). Ce même problème a d'ailleurs été rencontré à la section précédente pour le modèle couplé développé pour des cylindres aux nombres de Reynolds élevés où Ia séparation se faisait également de manière turbulente. Par contre, les distributions de pression obtenues en imposant la position du point de séparation sont en excellent accord avec celles obtenues expérimentalement et ceci, même au-delà de l'angle de décrochage.

Malgré la difficulté rencontrée pour prédire avec bonne précision la position du point de séparation aux grands angles d'incidence, le modèle couplé permet tout de même d'obtenir des courbes de performance en excellent accord avec celles obtenues expérimentalement (voir figures 5.14, 5-15 et 5.16). On peut en effet remarquer l'allure très représentative des courbes obtenues et ceci, bien au-delà du point de décrochage des profils. Ainsi, à des nombres de Reynolds suffisamment élevés pour éviter la présence de bulles de séparation, la majorité des profils testés ont mené à des résultats en bon accord avec ceux mesurés expérimentalement. Il est important de noter qu'un modèle de couche limite turbulente supérieur permettrait d'améliorer encore davantage la précision des courbes obtenues.

Finalement, il est important de noter que le modèle de sillage développé présente un in- convénient majeur. Bien qu'il mène à de bons résultats, ces derniers varient selon le nombre de panneaux utilisés. En effet: comme montré précédemment à la figure 4.6, la transition d'intensité des panneaux de tourbillons autour des points de séparation se fait sur 9 panneaux. Puisque la longueur des panneaux varie avec le nombre de points décrivant un profil, la longueur géomét~que de la transition varie également. Une augmentation du nombre de panneaux fait donc diminuer la longueur de la transition ce qui affecte les résultats. Ainsi, comme montré à la figure 5.16, les coefficients de performance du profil NACA 4412 sont affectés par une augmentation du nombre de panneaux et ceci, aux angles d'attaque élevés où la région séparée est plus importante. De même, la figure 5.17 illustre la variation des coefficients de performance pour ce même profil en fonction du nombre de panneaux. Le coefficient de portance semble être le plus affecté. Ce problème de convergence pourrait être éliminé en fixant la longueur géométrique pour la région de transition selon la position du point de séparation uniquement, indépendamment du nombre de panneaux utilisés pour définir le profil. Ceci demanderait cependant un effort supplémentaire de développement. Par contre, puisque le modèle a été développé en utilisant des profils définis par environ de 100 panneaux, il est probable que l'utilisation d'un nombre similaire de panneaux mène généralement à de bons résultats.

lMcGhee & Beasley (1973) ont évalué les corrections de frontière sur les coefficients mesurés à environ 2 pour-cent ce qui est négligeable.

- Méthode de sources et tourbillons constants +- Méthode de tourbillons linéaires

FIG. 5.8: Comparaison des distributions de pression obtenues avec les deux modèles de base développés pour un profil Joukowsky (cambrure=2.4%, épaisseur=ll%, 72 panneaux) à ol=10.0 deg. Méthode de sources et tourbillons contants : Cl=1.344, Cd=-0.0214, Cm=-0.0133 ; méthode de tourbillons linéaires : C1=1.491, Cd=0.0167, Cm-0.0839.

O 0.1 0.2 0.3 0-4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xfc

Résultats expérimentaux [Yeung and Parkinson 19931 --- Présent modèle, points de séparation imposés

FIG. 5.9: Lignes de courant et distribution de pression pour un profil Joukowsky (cambnire=2.4%, épaisseur=ll%, 72 panneaux) pour <y=14.0 deg et Re, = 5.0 x 105.

Résultats expérimentaux - Solution potentielle --- Présent modèle, points de séparation imposés - Présent modèle couplé

FIG. 5.10: Lignes de courant et distribution de pression pour le profil NASA GA(W)-1 [McGhee & Beasley 19731 : a, = 12.2 deg, Re, = 6.3 x 106, (x/c) , , = 0.08, 90 panneaux.

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x/c Résultats expérimentaux - Solution potentielle

---- Présent modèle, points de séparation imposés - Présent modèle couplé

FIG. 5.11: Lignes de courant et distribution de pression pour le profil NASA GA(W)-1 [McGhee & Beasley 19731 : a,, = 16.2 deg, Re, = 6.3 x 106, ( x / c ) ~ , = 0.08, 90 panneaux.

x/c Résultats expérimentaux - Solution potentielle

---- Présent modèle, points de séparation imposés - Présent modèle couplé

FIG. 5.12: Lignes de courant et distribution de pression pour le profil NASA GA(W)-1 [McGhee & Beasley 19731 : a,, = 20.25 deg, Re, = 6.3 x 106, (x/c)t , , = 0.08, 90 panneaux.

x/c Résultats expérimentaux - Solution potentielle --- Présent modèle, points de séparation imposés

- Présent modèle couplé

FIG. 5.13: Lignes de courant et distribution de pression pour le profil NASA GA(W)-1 [McGhee & Beasley 19731 : a,, = 21.34 deg, Re, = 6.3 x 106, (x&, = 0.08, 90 panneaux.

Expérimental --x- Présent modèle, points de séparation imposes - Présent modèle couplé

Expérimental -x- Présent modèle, points de séparation imposes - Présent modèle couplé

FIG. 5.14: Coefficients de performance pour le profil NASA GA(W)-1, Re, = 6.3 x 106, (x/&, = 0.08, 90 panneaux. Coefficients expérimentaux [McGhee & Beasley 19731 corrigés pour les effets de blocage.

Expérimental Présent modèle couplé

Expérimental Présent modèle couplé

FIG. 5.15: Coefficients de performance pour le profil NASA GA(W)-1, Re, = 1.9 x IO6, ( x / c ) ~ ~ , , = 0.08, 90 panneaux. Coefficients expérimentaux [McGhee & Beasley 19731 non comgés pour les effets de blocage.

Expérimental Présent modèle couplé, 90 panneaux

-+- Présent modèle couplé, 180 panneaux

0

1.6

FIG. 5.16: Coefficients de performance pour le profil NACA 4412, Re, = 3.0 x 106, transition libre, 160 panneaux. Coefficients expérimentaux [Miley 19821 non corrigés pour les effets de blocage.

............. ....................... .................. -........... I.- -.----... ; ..-

......... -.--.. ................... - - -- ....-...--

-0.8 1 1 I 1 1 t I 1 I

-12 -8 -4 O 4 8 12 16 20 24

a (deg) Expérimental

-O- Présent modèle couplé, 90 panneaux -- Présent modèle couplé, 180 panneaux

FIG. 5-17: Effet du nombre de panneaux sur les résultats du présent modèle couplé pour un profil NACA 4412 à a=lO deg., Re, = 3.0 x 106, 160 panneaux. Les coefficients expérimentaux mesurés [Miley 19821 sont : Cl = 1.35, C d = 0.OL69, Cm = -0.0600.

5.3 Modèle numérique pour roues de ventilateurs centrifuges

Cette section présente les résultats obtenus à l'aide du modèle numérique développé pour les roues de ventilateur centrifuge. Les caractéristiques de l'écoulement et les courbes de performances prédites sont comparées à celles obtenues en laboratoire et utilisées pour discuter de la validité du modèle,

5.3.1 Vdidation

La première étape pour la validation du modèle développé a consisté à vérifier les bilans de masse et d'énergie entre l'entrée et la sortie de la roue. D'abord, pour un gaz parfait évoluant de manière adiabatique, isothermique et incompressible à l'intérieur d'un tube de courant, les bilans sont donnés par :

a) conservation de la masse :

= 7k2 avec : h = p Qtot Qtotl = Qtot2

b) conservation de l'énergie :

avec : e

où m et Qtot représentent les débits massique et volumique à l'intérieur du tube de courant, u et p les vitesses et pressions statiques, h et e les enthalpies et énergies massiques internes du gaz parfait, p la densité du gaz, et finalement Pd, le travail mécanique fait sur le tube de courant par unité de temps.

Pour une roue de ventilateur: on a en coordonnées cylindriques dQtot = b Vrad. r dB et les bilans s'écrivent maintenant :

a) conservation de la masse :

b) conservation de l'énergie :

Entre 2 aubes :

Et finalement pour IVaubes :

Ici: b est l'épaisseur de la roue, Vrad les vitesses radiales et Acp l'angle entre deux aubes consécutives (égal à 2?r/Lbes) . est à noter que ce bilan d'énergie n'est valide que dans le repère inertiel. En accord avec l'équation de Bernoulli en rotation (équation 3.7), la quantité R x r doit donc être ajoutée aux termes de pression totale pl + $pu2 si les vitesses u sont définies dans le repère en rotation. Par ailleurs, la puissance mécanique développée, Pdeu7 est obtenue par l'intégration des forces de pression statique sur les aubes. Aussi, il est à noter que les rayons TI et r2 doivent être choisis de manière à ce que les aubes ne fournissent plus de travail. Selon quelques tests effectués, pour r l / h t 5 0.98 et r 2 / a t 2 1.02, l'énergie du fluide à l'entrée et à la sortie de la roue restait stable. Des valeurs plus conservatrices de = 0.95 et î2/& = 1.05 ont cependant été utilisées pour vérifier les bilans de masse et d'énergie.

L'analyse des bilans sur une roue opérant dans diverses conditions a permis de constater le problème de la méthode de panneaux basée sur l'utilisation de sources et tourbillons constants- Comme mentionné précédemment, cette méthode peut créer ou absorber une certaine quantité de débit et par le fait même, engendrer un supplément ou une perte importante d'énergie. Les erreurs numériques et de discrétisation ainsi que la nature des panneaux utilisés explique ces résultats. Cette méthode ne pourrait donc pas être utilisée pour le calcul d'écoulements internes. Par conséquent, à moins d'augmenter significativement le nombre de panneaux, elle ne pourrait pas être couplée au calcul de l'écoulement à l'intérieur d'une volute. Ceci est également vrai pour le modèle de sillage développé qui ajoute un certain débit à l'écoulement. Par contre, pour les écoulements externes. comme pour une roue sans volute, le non-respect de la conservation de la masse et de l'énergie ne constitue pas un problème réel. -4 l'inverse- la méthode de panneaux de tourbillons linéaires satisfait parfaitement la conservation de la masse et de l'énergie et pourrait être utilisée pour des écoulements internes.

Comme mentionné à la section 1.2, la validation expérimentale de la méthode a été effectuée à l'aide d'un modèle générique de roue 2-D (voir figure 1.4). -4iusi. pour une variété de conditions, le champ de vitesse bidimensionnel a été mesuré dans le plan de la roue par la méthode PW (Particle Image Velocimetry ou vélocimétrie par imagerie des particules). De même, une exposition proiongée des particules a permis de photographier l'allure les lignes de courant et de visualiser la structure générale de l'écoulement. Une description plus détaillée du montage expérimental et des tests effectués est présentée dans Bonneville (2000).

Les résultats expérimentaux ici présentés ont été obtenus à l'aide d'une roue générique plongée dans un bassin d'eau et conçue de manière à ce que les nombres de R e ~ o l d s : basés sur la corde des aubes, soient comparables à ceux obtenus pour des roues de ventilateurs centrifuges résidentiels (Re, = 10 000 - 20 000). De même, en plus de devoir satisfaire aux exigences de la méthode PIV pour la prise de photographies et l'analyse des résultats, la roue devait être capable d'opérer sous différents régimes d'écoulement, c'est-à-dire avec une séparation de l'écoulement à l'intrados, à l'extrados ou inexistante. La roue obtenue, conçue avec le présent modèle, est montrée la figure 5.18 et possède les caractéristiques suivant es :

ais

Caractéristique Diamètre intérieur Diamètre extérieur Épaisseur Nombre d'aubes Profil

Position angulaire

Corde Débit Vitesse de rotation

FIG. 5.18: Roue expérimentale conçue pour la validation du présent modèle par la méthode PIV.

Valeur 0-30 m 0-40 m 0.20 m 12 NACA 0018, cambrure modifiée (O1=-20 deg, 02=-20 deg) -79 deg (B1=31.0 deg, P2=22.6 deg) 107 mm 80-120 gpm (5.0-7-6 l/s) 0-6 rpm

Les figures 5.20 à 5.22 montrent la structure de l'écoulement photographié pour un débit d'environ 100-120 gpm et pour des vitesses de rotation de O à 6 rpm. Il est à noter qu'il existe une certaine incertitude sur le débit à cause du fait que celui-ci n'était pas parfaitement distribué sur toute l'épaisseur de la roue. En effet, la présence d'une région de recirculation près de la paroi inférieure du bassin ainsi que la distribution non uniforme de l'eau par le tuyau poreux central empêchait de connaître avec précision le débit au niveau de la tranche laser où les mesures ont été prises-

D'abord, pour la roue immobile, on peut remarquer la nature irrégulière de l'écoulement. En eEet, bien que la séparation s u ~ e n n e environ toujours au même endroit au bord d'attaque des aubes, le sillage semble pouvoir se développer suivant deux schèmes différents et stables. Selon le premier, le sillage est prononcé alors que pour le deuxième, il tend à se refermer sur la surface des aubes. Les raisons qui expliquent ces deux régimes sont incertaines. Si on compare ces résultats expérimentaux à ceux obtenus avec le présent modèle (avec et sans sillage), on remarque le bon accord entre les deux (voir figure 5.23). La solution numérique

avec sillage est la solution convergée obtenue en utilisant le modèle couplé aus modèles de couche limite et de sillage.

De la même façon, les résultats expérimentaux obtenus à 2 et 6 rpm peuvent être com- parés à ceux obtenus numériquement (figures 3.24 et 5.25). -4 2 rpm. le modèle couplé prédit une séparation prématurée de l'écoulement à l'extrados des aubes ce qui modifie considérablement sa structure. La solution potentielle sans sillage est alors en meilleur accord avec les résultats. Cependant, il est à noter que les résultats calculés à 3 rpm (non montrés ici): sont en meilleur accord avec ceux obtenus expérimentalement. la séparation étant beaucoup plus près du bord de fuite. Il est possible qu'un modèle de couche limite tenant compte de la courbure de la surface et des gradients de pression associés au repère en rotation permettrait de calculer des points de séparation plus représentatifs à 2 rpm. -4 6 rpm. L'allure générale de l'écoulement calculée avec le modèle couplé est en bon accord avec les résultats expérimentaux. Cependant, ceci est vrai uniquement près des aubes puisque le sillage calculé est simulé par la génération d'un débit alors que le sillage réel se referme sur lui-même en aval. De plus, on peut remarquer la nature turbulente et instable du sillage qui ne peut être reproduite avec le présent modèle.

D'autre part, l'analyse des photographies par la méthode PlV a permis de mesurer avec une bonne précision le champ de vitesse de l'écoulement dans le repère de la roue, près de la surface et entre les aubes. Les résultats obtenus ne sont présentés que pour la roue tournant à 2 et 6 rpm, ceux-ci étant trop irréguliers pour la roue immobile. Aussi, les résultats numériques ne sont montrés que pour le code non couplé uniquement, ces derniers étant en meilleur accord que ceux obtenus avec le modèle couplé. Par exemple, à la sortie de la roue, il ne semble pas exister de frontière précise entre le sillage et le reste de l'écoulement. Ceci peut être causé par l'instabilité du sillage et par sa diffusion rapide avec le reste de l'écoulement. Par conséquent, iI est possible que le débit créé par le modèle numérique ne soit pas une bonne représentation du sillage réel.

D'abord, les distributions de vitesse de surface sont montrées aux figures 5.26 et 5.27. Les résultats théoriques sont montrés pour des débits de 100 et 120 gpm et sont en très bon accord avec les résultats expérimentaux pour 100 gpm à 2 rpm, et 120 gpm à 6 rpm. -4 6 rpm, seuls les résultats à l'extrados sont montrés étant donné que le sillage couvre une région importante de l'intrados. À 2 rpm, on observe bien I'accélération de l'écoulement à l'intrados et sa décélération à l'extrados. Les vitesses mesurées à l'extrados près du bord d'attaque sont inférieures à celles calculées et celles mesurées à l'intrados près du bord de fuite sont supérieures à celles calculées. Ceci provient probablement du fait que !es mesures ont été effectuées à une légère distance de la surface de l'aube où les gradients de vitesse sont plus faibles.

La figure 5.28 montre un exemple de champ de vitesse obtenu par P N à 2 rpm. Cette figure donne une bonne idée du nombre de points expérimentaux obtenus et de la précision de mesures effectuées. Une ligne médiane entre deux aubes consécutives est également montrée. Celle-ci a été utilisée pour donner des mesures plus précises du développement de l'écoulement entre les aubes comparativement à celles prises en leur surface. Les figures 5.29

et 5.30 montrent les résultats expérimentaux et théoriques obtenus sur cette ligne médiane. Encore ici, les vitesses sont en meilleur accord pour 100 gpm à 2 rpm et pour 120 gpm à 6 rpm. On remarque que le modèle numérique prédit bien l'accélération de l'écoulement entre les aubes à 2 rpm ainsi que la stabilité relative des vitesses à 6 rpm. De même. la direction de l'écoulement est bien prédite par le présent modèle pour les deus de s se s de rotation. Il est à noter que les angles montrés représentent la direction de Yécoulement par rapport à la ligne circonférentielle aux points de mesure (angles 0) et non par rapport à la ligne médiane.

De la même façon, les figures 5.31 et 5.32 permettent de comparer la distribution des vitesses et de la direction de l'écoulement entre les aubes à l'entrée et à la sortie de la roue. Les rayons intérieur et extérieur de la roue ont été utilisés pour les mesures e,xpérirnentales. Pour les résultats théoriques, il sont de r/&,, = 0.98 et TIRezt = 0.98. Les résultats théoriques à 2 rpm sont en bon accord avec ceux du présent modèle et ce, particulièrement à l'entrée de la roue. À la sortie, les vitesses expérimentales sont légèrement plus faibles que celles prédites pour > 0.5 alors que les angles de sortie sont plus élevés. Ceci laisse supposer la présence d'un faible sillage à l'extrados des aubes qui fait diminuer les vitesses de sortie. Bien qu'il semble relativement stable et peu turbulent, ce sillage est perceptible à la figure 5.21. À 6 rpm, malgré la séparation de l'écoulement à l'intrados des aubes, les résultats obtenus avec le modèle théorique non couplé sont également en bon accord avec ceux obtenus expérimentalement. Le sillage résultant explique la distribution dif ise des mesures expérimentales à la sortie.

5.3.2 Prédiction des performances de ventilateurs centrifuges

Bien que le présent modèle ait été validé pour des écoulements strictement bidimensionnels, il ne doit être utilisé qu'avec précaution pour prédire les performances de ventilateurs centrifuges réels où les effets tridimensionnels sont très importants. Cependant, grâce à l'utilisation de certaines hypothèses ainsi qu'à l'ajout de pertes associées aux effets 3-D, au sillage sur les aubes et à la présence d'une volute? le modèle a permis de prédire les performances de deux ventilateurs centrifuges. Les roues utilisées sont montrées à la figure 5.19 et leurs caractéristiques sont données au tableau 5.3. La première est une roue commerciale typique caractérisée par ses aubes minces et la seconde, un prototype développé avec le présent modèle qui a été construit et testé en laboratoire. Ces deux roues possèdent des dimensions similaires, mais le prototype se différencie par ses aubes épaisses et profilées.

Avant de présenter les courbes de performances des deux roues en incluant toutes les pertes, leur solution potentielle sans sillage ni pertes ajoutées a été calculée. La figure 5.33 permet de comparer les courbes de pression totale obtenues avec le présent modèle avec celles obtenues par la théorie 1-D. Pour tenir compte des effets associés au nombre fini d'aubes (voir section 3.1.1), les courbes théoriques corrigées par l'application d'un facteur de glissement sont également montrées. D'abord, on peut remarquer que les deux méthodes de panneaux développées donnent des résultats légèrement différents et ceci, principalement

4 1 l ' 1 -0.1' -ai -am -am -aw a a z O o.@ aor OJX o.ce a; -0.1 aoa -a& a m -a@ O O.OZ aw am 0.œ at

a) Roue commerciale b) Prototype développé

Fm. 5.19: Roues utilisées pour la validation des performances prédites par le présent modèle-

pour la roue commerciale dont les aubes sont très minces et fortement cambrées. Comme il a été discuté précédemment, les erreurs numériques associées à la méthode de panneaux de sources entraînent une absorption ou génération d'un certain débit2 ce qui modifie les performances, Par ailleurs, on peut ccnstater que les résultats du présent modèle different significativement de ceux prédit par la théorie 1-D corrigée. D'abord, il est à noter que le facteur de glissement de Eck (1973) n'est fonction que de la géométrie de la roue. Selon les résultats obtenus pour la roue commerciale, ce facteur devrait également varier avec le débit, allant d'environ 0.5 jusqu'à 10 1/s et 0.8 à 100 Ils au lieu de p = 0.64 selon la formule de Eck. Pour le prototype, le facteur de glissement équivalent calculé est relativement constant ( p = 0.84 - 0.89) comparativement à 0.71 pour Eck. Puisque les effets associés au nombre fini d'aubes sont inclus de manière intrinsèque au présent modèle, on peut croire qu'ils sont beaucoup mieux représentés par ce dernier. Il pourrait d'ailleurs être utilisé pour obtenir une corrélation améliorée pour le facteur de glissement.

Les figures 5.34 et 5.35 permettent de comparer les courbes de performance expérimentales avec celles du présent modèle. Pour chacune des deux roues, les résultats numériques ont été obtenus avec l'épaisseur de base ainsi qu'avec une épaisseur de roue réduite. Ceci a été fait pour tenir compte du fait que le débit n'est pas uniformément distribué sur toute l'épaisseur de la roue. Les pressions obtenues avec le présent modèle correspondent à l'augmentation de pression totale entre l'entrée et la sortie de la roue corrigée pour les pertes d'entrée, de sillage, de friction et de volute (section 3.1). Puisque la pression totale varie différemment sur chaque ligne de courant entre les aubes, l'augmentation de pression totale pour l'ensemble de la roue est obtenue en calculant la valeur moyenne à un rayon

*Pour des conditions d'opération normales, le débit généré (ou absorbé) varie généralement entre O et 5% du débit nominal. Ce rapport peut augmenter dans des conditions d'opération extrêmes (débit nominal nul ou vitesse de rotation trés élevée).

Caractéristique Roue commerciale Diamètre intérieur 1 133 mm

TAB. 5.3: Caractéristiques des roues et de la volute utilisées.

Prototype développé

110 mm

i

donné et ceci, pour l'écoulement à l'extérieur du sillage uniquement. Puisque la roue effectue un travail sur l'écoulement, la variation de pression totale calculée n'est valable que si les rayons choisis se situent à l'extérieur de celle-ci. Selon plusieurs essais effectués, la pression totale cesse d'évoluer pour r / h t 5 0.98 et r/Rmt 2 1.02. Cette pression est ensuite ajustée pour tenir compte des pertes de sillage selon la méthode présentée à l'annexe -4. Comme mentionné, le choix du rayon extérieur influence également l'importance de ces pertes, celles-ci étant maximales à environ r/Rat = 1.05. Cette valeur, ici utilisée pour le calcul de la pression totale de sortie ainsi que pour celui des pertes de sillage, a donné les meilleurs résultat S.

Pour la roue commerciale, il est à noter que l'angle d'entrée des aubes (PL = 90 deg) ainsi que leur bord d'attaque très emé entraînent une séparation immédiate de l'écoulement à tous les débits. Le sillage calculé sur chaque aube est alors très important et peu représentatif puisqu7il accélère considérablement l'écoulement à l'extérieur. En réalité, on peut croire qu'il existe une certaine diffusion du sillage avant la sortie de la roue. Ceci est d'ailleurs en accord avec les mesures expérimentales effectuées pour la validation du présent modèle, ce dernier menant aux meilleures distributions de vitesse lorsque l'effet d'aucun sillage n'était pris en compte. Ainsi, pour améliorer l'écoulement, le point de séparation a été fié à l'extrados à x / c = 0.20. Ce point de séparation correspond à une région où la pression produite par la roue, corrigée pour les pertes de sillage, atteint un plateau. En effet, pour la plupart des débits, la région comprise entre x / c = 0.20 et x / c 21 0.50 mène à des résultats similaires et beaucoup plus représentatifs des résultats expérimentaux. La figure 5.36 montre l'iduence de la position du point de séparation sur l'augmentation de pression totale et l'efficacité de ventilation. La courbe de pression corrigée pour les pertes de sillage montre bien l'existence du plateau mentionné. Aussi, on peut remarquer que l'utili-

Diamètre extérieur Épaisseur Nombre d'aubes Aubes

Kombre de panneaux Position angulaire Angle d'entrée, Angle de sortie, Corde Débit de design Vitesse de rotation Epaisseur de volute Aire de sortie I

160 mm 41 mm 38 arc de cercle (90 deg) 160 45 deg 90.0 171.0 17.7 mm inconnu 1450 rpm 70 mm 7000 mm2 i

160 mm I 38 mm

I

30 NACA 0030, cambrure modifiée (&=80 deg, &=6O deg) 80 30 deg 40.0 170.1 27.5 mm 62 l/s 1450 rpm 70 mm 7000 mm2 I

sation d'un point de séparation trop près du bord d'attaque mène à des résultats irréalistes. L'augmentation de la pression totale avec un rapprochement du point de séparation vers le bord d'attaque est causée par l'accélération prononcée de l'écoulement à l'extérieur du sillage, ce dernier occupant une section importante entre les aubes. Or, il peut être démontré que le travail effectué sur l'écoulement est proportionnel à la vitesse tangentielle dans le repère en rotation.

Les résultats prédits par le présent modèle pour la roue commerciale sont en bon accord avec ceux obtenus expérimentalement. Cependant, aux faibles débits. le modèle ne permet pas d'obtenir l'augmentation de pression typique pour ce type de roue. De même. a u débits les plus élevés, les pertes prédites sont trop faibles- On peut remarquer que l'utilisation d'une épaisseur réduite de la roue améliore s i ~ c a t i v e m e n t l'allure de la courbe de pression. Bien que la pression non corrigée soit alors plus élevée, les pertes prédites sont également plus importantes et la courbe h a l e semble mieux représenter la réalité. La figure 5.37 montre Ia distribution des différentes pertes en fonction du débit pour les deux épaisseurs de roue. On peut remarquer que les pertes ont toutes le même ordre de grandeur sauf les pertes de Ection qui sont relativement faibles. Aussi, on peut remarquer que les pertes d'entrée sont les mêmes pour les deux épaisseurs de roue. En effet, la relation utilisée (équation 3.2) n'est fonction que de l'épaisseur de la volute et non de la roue- D'autres mesures expérimentales devraient être effectuées en laboratoire pour améliorer cette corrélation empirique. Finalement, une bonne prédiction des courbes de pression ne signifie pas que l'efficacité de ventilation sera également bien prédite. En effet, puisqu'elle dépend de la puissance à l'arbre et de la distribution de pression statique sur les aubes, l'efficacité de ventilation est plus difficile à prédire numériquement. Pour le cas présent, I'utilisation d'un point de séparation fixe à tous les débits n'est pas totalement justifiable et les courbes d'efficacité de ventilation prédites sont directement affectées par les hypothèses effectuées. L'ordre de grandeur des efficacités prédites est néanmoins en bon accord avec les résultats expérimentaux -Aux débits les plus faibles, l'utilisation d'un point de séparation plus près du bord d'attaque des aubes aurait contribué à réduire l'efficacité de ventilation. -4ussi' on peut remarquer que les efficacités de ventilation avant l'ajout des pertes dépassent 100% aux debits supérieurs. Ceci provient du fait que la puissance à l'arbre est calculée à partir de la distribution de pression statique sur les aubes, celle-ci étant corrigée à l'intérieur de la région séparée. Pour un écoulement séparé, l'efficacité de ventilation n'a donc une signification que si les pertes de sillage sont prises en compte. Pour le cas présent, si seules les pertes de sillage sont soustraites, l'efficacité de ventilation demeure inférieure à 100% a tous les débits ce qui vérifie en partie la validité du présent modèle.

Pour le prototype développé, Ia forme profilée des aubes s'apprête beaucoup mieux à l'utilisation du modèle de couche limite et au calcul des points de séparation. Ainsi, aux débits les plus élevés, le point de séparation calculé se situe toujours à l'extrados à x/c = 0.65 - 0.70. La discontinuité présente dans les courbes de performance correspond au déplacement du point de séparation d'un panneau à l'autre. L'utilisation d'un nombre plus élevé de panneaux aurait permis d'éliminer cette discontinuité. Aussi, pour des débits entre 30 et 50 l/s, le présent modèle devient instable et le point de séparation oscille entre le bord d'attaque et d'autres positions plus en aval. Sous 30 l/s, le modèle converge mais les solutions

obtenues donnent des pressions généralement trop &levées. f ar conséquent, pour les débits inférieurs, le point de séparation a été fixé à la position calculée aux débits supérieurs, soit x / c = 0.65.

Malgré la bonne d u r e de la courbe de pression obtenue pour le prototype: celle-ci est en moins bon accord avec les résultats expérimentaux, les pressions prédit es étant trop élevées. Malgré l'augmentation des pertes obtenues par une réduction de l'épaisseur de la roue. la pression totale développée est augmentée davantage. Comme mentionné précédemment. la pcsition des points de séparation aux débits supérieurs a été calculée de manière itérative avec le modèle de couche limite. Il est possible que la prise en compte des accélérations normales à la surface des aubes (courbure des aubes, accélérations centripètes et de Coriolis) aurait modifié ces positions. Encore ici, l'effet de la position du point de séparation à l'extrados a été évalué. La figure 5.36 montre l'évolution de la pression et de l'efficacité de ventilation pour le débit de design. On peut remarquer que la pression totale. avant et après les pertes, ainsi que l'efficacité de ventilation sont minimales au point de séparation calculé par le modèle couplé. L'utilisation d'un modèle de couche limite plus précis n'aurait donc pas permis de diminuer la pression développée par la roue. On peut donc croire que les autres pertes (d'entrée, de friction et de volute) devraient être plus élevées. La figure 5.38 permet de comparer l'importance de chacune des pertes en fonction du débit pour les deux épaisseurs de roue. D'autre part, bien que l'efficacité de ventilation prédite au débit de design (62 11s) soit bonne, la courbe obtenue est en moins bon accord avec les résultats expérimentaux Ainsi, comme pour la roue commerciale, I'efficacité est beaucoup trop élevée a u faibles débits.

Pour terminer, la figure 5.39 montre les lignes de courant pour la roue commerciale à 80 l/s et le prototype développé à 60 11s. On peut y remarquer l'importance de la région séparée à la sortie de la roue ainsi que la position du point de stagnation situé à l'intrados pour Ia roue commerciale. Les figures 5.40 et 5.41 montrent les distributions de vitesse et de pression statique de surface correspondantes. Comme mentionné à la section 4.2.3, la vitesse obtenue à l'intérieur de la région séparée est constante et la pression statique y augmente de façon linéaire avec la position radiale. Cette augmentation de pression statique correspond au gradient de pression radial associé au repère en rotation. De même, la vitesse constante obtenue n'est pas représentative de la réalité mais correspond plutôt à la vitesse qui serait obtenue en utilisant l'équation de Bernoulli dans un repère en rotation. Par ailleurs, on peut aussi remarquer que le gradient de pression adverse est beaucoup plus élevé pour la roue commerciale,

À la lumière des résultats expérimentaux obtenus, il est difficile d'expliquer les raisons pour lesquelles les performances de la roue commerciale sont légèrement supérieures. Pourtant, la meilleure structure de l'écoulement pour le prototype développé ainsi que les bonnes performances prédites par le présent modèle pourraient laisser croire que cette roue devrait donner de meilleures pedormances. Cependant, malgré les résultats acceptables obtenus avec le présent modèle pour les deux roues à l'étude, l'importance des effets tridimensionnels rend très complexe Ia prédiction de leurs performances et ceci, particulièrement avec un modèle 2-D.

FIG. 5.20: Lignes de courant obtenues expérimentalement à O rpm, 100-120 gpm [BonneviIle 20001.

FIG. 5.21: Lignes de courant obtenues expérimentalement à 2 rpm, 100-120 gpm [Bonneville 20001.

FIG. 5.22: Lignes de courant obtenues expérimentalement à 6 rpm, 100-120 gpm [Bonneville 20001.

a) solution potentielle (modèle non-couplé)

b) solution convergée du modèle couplé

FIG. 5.23: Lignes de courant obtenues numériquement à O rpm, 100 gpm.

xiRext



FIG. 5.24: Lignes de courant obtenues numériquement à 2 rpm, 100 gpm.



FIG. 5.25: Lignes de courant obtenues numériquement à 6 rpm, 100 gpm.

Expérimental - extrados x Expérimental - intrados - Présente méthode, 100 gpm

----- Présente méthode, 120 gprn

FIG. 3.26: Distributions des vitesses de surface pour la roue expérimentale à 2 rpm, 100- 120 gpm. Comparaison des résultats expérimentaux [Bonneville 20001 et obtenus numériquement sans sillage.

Expérimental - extrados - Présente méthode, 100 gprn ----- Présente méthode, 120 gpm

FIG. 5.27: Distributions des vitesses de surface pour la roue expérimentale à 6 rpm, 100- 120 gpm. Comparaison des résultats expérimentaux [Bonneville 2000j et obtenus numériquement sans sillage.

FIG. 5.28: Exemple de résultats obtenus par PlV (Particle Image Velocimetry) pour la roue expérimentale à 2 rpm, 100-120 gpm [Bonneville 20001. La ligne médiane entre deux aubes consécutives, utilisée pour tracer les figures 5.29 et 5.30, est ici montrée.

( s p ) assaj!A

7

, j I

1

1

j I f '

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j

1 1

1

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[ j i

I

j

1

i

Expérimental - Présenle mkthode, 100 gpm ----- Prbsente méthode, 120 gpm

Expbrimental - Prbsente méthode, 100 gpm ----- Prbsenle méthode, 120 gpm

FIG. 5.30: Distributions des vitesses et angles de I'écoiileiricnt, passaiit par lil ligne inCtliiuic ciii,rci tlciix iliil)t!s B G rpiii, 100-120 gpm. Comparaison des résultats exphimentaux [Bonncville 20001 et ol)teniis niiiii6rit~iiciiic!ii1, saris silliigc!. Eii nl~seissc, x/c est utilisé puisque la ligne médiane possétlc la iriênie géoniétric qiic la ligiic tlc c:aiiil)riirti ths iiiiI)(!s.

Expérimental - entrée x Expérimental - sortie - Prbsenle mbthode - entrbe, 100 gprn

----- Présente méthode - entrée, 120 gprn - Prbsenle mbthode - sortie, 100 gprn ----- Prbsente mbthode - sortre, 120 gprn

Wcp Expbrirnental - entrée

x Expérimental - sortie - Prbsenle mbthode - entrée, 100 gprn ----- Présente mbthode - entrbe, 120 gprn - Prbsenle mbthode - sortie, 100 gprn ----- Prbsente mbthode - sortie, 120 gprn

FIG. 5.31: Distributions des vitesses ct angles (l'entrée et tic sortie à 2 rprn, 100-120 gprii. Coiii j~i~raisoii (las r6siil!.rts expérimentaux [Boniieville 2000) et obtenus numériquement saris sillagc. En al~scissc, p/Ap i.c!pi.il;ciit,c! In posi.ioii angulaire adimensionnelle d'une aube à l'autre par rapport au centre dc la roiic?.

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cpl Acp Expérimental - entrée

x Expérimental - sortle - Prbsente méthode - entrée, 100 gprn ----- Prbsente mbthode - entrbe, 120 gprn - Prbsente methode - sortie, 100 gprn ----- Présente mgthode - sortie, 120 gprn

Expbrlmental - entrbe x Expérimental - sortie - Présenle mbthode - entrée, 100 gprn ----- Prbsente mgthode - entrbe, 120 gprn - Présente mbthode - sortie, 100 gpm ----- Prbsente méthode sortie, 120 gprn

FIG. 5.32: Distributions des vitesses ct anglcs d'cntrée et de sortie B 6 rpiri, 100-1 20 gpin. Coiiil);miisoii tlcs 1.6siil hi1s expérimentaux [Boiineville 20001 et obteniis niimériqiienieiit, salis sillngc. Eii nl~scissc, <p/A<p rcl)r6s(sc!iitlc I;r ~)osit,ioii angulaire adimensionnelle d'une aube B l'autre par rapport, ail ccntrc do la roiie.

O 20 40 60 80 100 120

Debit ( I ls)

Exphimental -+ b=38 mm, Code sans pertes -+ b=38 mm, Code + ensemble des pertes -a- b=28 mm, Code sans pertes -e- b=28 mm, Code + ensemble des pertes

a) Courbes de pression totale

O 20 40 60 80 100 120

Debit (Ils)

Expérimental ..M.. b=38 mm, Code sans pertes +- b=38 mm, Code + pertes de sillage * b=38 mm, Code + ensemble des perles .-o.. b=28 mm, Code sans pertes * b=28 mm, Code + pertes de sillage * b=28 mm, Code + ensemble des pertes

b) Efficncité tlc vciitilstioii

FIG. 5.35: Comparaison des courbes de performance iiiesiirées et prédites avec le pr6sciit, iiiotliilc polir Io prot,ot,ypc tlbv(!loppb. Point de séparation à I'extrados iniposé à ( x / c ) E 0.65 pour QtOt 5 50 11s.

V ) V ) V ) V ) a a a a r r r r ULUi

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CONCLUSION

L'ensemble du projet de recherche mené en collaboration avec Venrnar visait la simulation de l'aérodynamique interne de ventilateurs centrifuges de type « cage d'écureuil ». Les objectifs principaux de la compagnie consistaient à améliorer les performances aérodynamiques et acoustiques de leurs ventilateurs et à améliorer sa compétitivité sur le marché des appareils de ventilation résidentielle. Panni les moyens entrepris pour la réalisation de ces objectifs, un modèle numérique a d'abord été créé et validé pour la simulation de l'aérodynamique interne de la roue. La réalisation de cet outil numérique, adapté a m ressources de calcul dont dispose Venmar, a constitué le sujet du présent document.

Le modèle développé, basé sur la théorie des écoulements potentiels, utilise les hypothèses principales suivantes : i) écoulement incompressible, ii) bidimensionnel et iii) axisymétnque par rapport à l'axe de rotation de la roue. Les deux dernières hypothèses ont été faites dans le but de simplifier les calculs- Cependant, étant donné les effets tridimensionnels importants présents à l'intérieur des ventilateurs centrifuges ainsi que l'influence mutuelle entre la roue et la volute, les résultats donnés par le présent modèle ont dû être interprétés avec précaution.

Le modèle consiste en une méthode de panneaux couplée à une méthode intégrale de couche limite et à un modèle de sillage, et modifiée pour tenir compte de la périodicité circonférentielle des aubes et de la rotation de la roue. Par un processus itératif, le modèle incorpore pour la première fois le couplage du calcul potentiel, de la couche limite et du sillage dans ane formulation axisyrnétrique pour une turbomachine ce qui étend le domaine d'application des écoulements potentiels. De façon plus détaillée, le débit est modélisé par une source centrale et la rotation de la roue est représentée par la superposition d'un champ de vitesse correspondant à celui d'un corps rigide en rotation. Cette formulation qui rend l'écoulement rotationnei dans le repère de la roue élimine la nécessité d'introduire un facteur de glissement pour rendre l'écoulement irrotationnel dans le repère fixe. Les effets causés par le nombre h i d'aubes sont alors mieux représentés que par la théorie 1-D corrigée par les corrélations empiriques pour le facteur de glissement. Selon les résultats obtenus, le facteur de glissement serait non seulement fonction de la géométrie de la roue, mais également des conditions d'opération données par la vitesse de rotation de la roue et le débit. D'autre part, une formulation modifiée de l'équation de Bernoulli a été utilisée pour tenir compte de l'accélération centripète du repère en rotation dans le calcul du champ de pression. Un gradient de pression linéaire est ainsi ajouté dans la direction radiale. Comme

hypothèse, ce même gradient de pression a aussi été utilisé pour représenter ltévolution de la pression statique en surface des aubes à l 'inté~eur du sillage. Cependant, bien qu'elle soit justifiable, cette hypothèse n'a jamais été vérifiée expérimentalement.

Pour le calcul de l'évolution de la couche limite sur les aubes, l'équation intégrale de von K5rmAn a été dérivée en coordonnées ciurvilignes dans un repère en rotation à partir des équations de consemation de la masse et &de la quantité de mouvement de Navier-Stokes, En négligeant les termes d'ordre inférieur e t d'accélération normale, les équations de couche limite obtenues possèdent la même forme que celles dérivées en coordonnées cartésiennes dans un repère fixe. L'équation Intégral+e de von K W h correspondante étant elle-aussi la même, les méthodes intégrales développées dans le passé ont pu être appliquées au cas présent. Ainsi, les modèles Thwaites (1949) et de Head (1968)' pour les couches limites laminaires et turbulentes respectivement, cint été couplés au calcul potentiel de l'écoulement. Cependant, certains résultats obtenus laassent croire que les termes d'accélération normale de courbure, de Coriolis et centripète ruonnde ne seraient pas toujours négligeables. Le calcul de la position des points de séparation en serait modifié affectant ainsi l'étendue de la région séparée et les performances d e s roues centrifuges. Pour la simulation du sillage. un nouveau modèle basé sur l'utilisation~ judicieuse d'éléments potentiels a été développé. Ce dernier a d'abord été testé pour des corps profilés simples soumis à un écoulement uniforme. Les résultats obtenus, en bon accord avec ceux obtenus expérimentalement même au-delà du décrochage, ont permis de vér-rifier la validité du modèle. Celui-ci a ensuite été incorporé au calcul de l'écoulement autour des aubes à l'intérieur de ventilateurs centrifuges. Lorsque comparé aux autres modènes développés dans le passé, le présent modèle de sillage se distingue par sa simplicité et p a r les excellents résultats obtenus pour plusieurs profils. -4ussi' de par sa nature, il représeate bien physiquement la distribution de la circulation sur les corps profilés, celle-ci étant. relativement constante à l'intérieur de la couche limite lors de son développement, et plus ffaible à l'intérieur de la région séparée. Par contre. puisqu'il génère un certain débit, le modèle est également limité au calcul d'écoulements

- e-xternes uniquement. De même, le sillage engendré ne peut pas se refermer sur lui-même et les bulles de séparation ne peuvent ê t r e représentées. Ces bulles, généralement présentes à des nombres de Reynolds d'environ 50, x 103 à 106, peuvent modifier significativement la structure de l'écoulement ce qui limite l'utilisation du présent modèle à des nombres de Reynolds à l'extérieur de ce régime.

La validation du modèle couplé a d'abord été effectuée à partir d'une roue générique de roue 2-D, conçue pour permettre l'analyse qualitative et quantitative des caractéristiques de l'écoulement par la méthode de vélocimétrie par imagerie des particules. Pour différentes conditions d'opération, le champ de vitesse bidimensionnel mesuré a été comparé à celui calculé. Les meilleurs résultats prédits p a r le présent modèle ont été obtenus lorsque le sillage n'était pas simulé. Ensuite, les pedormances de deux roues de ventilateurs centrifuges réels ont été mesurées et comparées à celles prédites par le présent modèle. Pour ce faire, la puissance développée à l'arbre a é-té calculée par l'intégration des forces de pression statique sur les aubes. De même, l'augmerntation de pression totale de l'écoulement traver- sant la roue a été corrigée pour les pertes d'entrée, de friction entre les aubes, de sillage et de volute. Pour les pertes d'entrée, une corrélation expérimentale a été développée et

utilisée. Celle-ci pourrait cependant être améliorée davantage en tenant compte à la fois de l'épaisseur de la roue, de la volute et de la disposition de l'une par rapport à l'autre. Pour les pertes de sillage, un modèIe théorique basé sur les vitesses de sortie de l'écoulement et sur l'étendue du sillage a été développé-

Les résultats obtenus avec la première roue testée, de type commercial, sont en très bon accord avec ceux obtenus en laboratoire sauf aux très faibles débits et aux débits élevés où l'efficacité de ventilation prédite est trop élevée. A cause des aubes très minces de la roue? le point de décollement prédit par le modèle de couche limite était toujours situé au bord d'attaque entraînant ainsi un sillage très étendu et des résultats irréalistes. Dans la réalité, il est probable que la séparation de l'écoulement survienne au bord d'attaque mais que le sillage résultant soit instable et se dissipe par diffusion à l'intérieur de la roue. Par conséquent, la position du point de séparation à l'extrados a dû être fixée. 11 a été trouvé que les performances de la roue étaient peu affectées par cette position pour une région couk~ant environ 30% de la corde des aubes. Les meilleurs résultats ont été obtenus pour un point de séparation situé à l'intérieur de cette région. Aussi, une diminution de l'épaisseur de la roue pour tenir compte de la distribution non uniforme du débit à son entrée a permis d'améliorer l'allure des courbes de performances prédites. D'autre part, la deuxième roue testée est un prototype qui a été développé dans le but d'améliorer les performances de la roue commerciale. Pour cette roue, le modèle couplé a été utilisé pour les débits moyens et élevés et le point de séparation a été imposé aux faibles débits à cause des résultats instables ou irréalistes obtenus. L'augmentation de pression totale prédite pour cette roue était trop élevee à tous les débits. Un déplacement du point de séparation n'a pas aidé à abaisser les pressions et il semble que les modèles de pertes utilisés sont la cause des écarts obtenus. Malgré les efforts importants apportés pour concevoir un prototype aux performances supérieures, l'utilisation d'aubes épaisses et la nette amélioration de la structure de l'écoulement prédite par le code n'ont cependant pas mené aux résuitats escomptés. Les raisons exactes qui expliquent les performances inférieures obtenues restent à être clarifiées.

Lors du développement du présent modèle, les recherches entreprises ont également apporté certaines contributions qui n'ont pas été utilisées directement. Parmi les principales, on retrouve la prédiction de l'écoulement séparé autour d'un cylindre à l'aide d'une méthode de panneaux de sources couplée à un modèle de couche limite et de sillage. Cette méthode a permis d'obtenir de bons résultats pour tous les cas où la position des points de séparation était bien prédite. Ce modèle, initialement développé pour le calcul de l'écoulement autour de profils par une série de transformations conformes, s'est avéré être dacilement applicable pour une cascade d'aubes en rotation. D'autre part, une formulation modifiée de l'équation de von Khan a été dérivée en coordonnées cylindriques pour un écoulement divergent dans un repère k e . La relation trouvée possède la même forme que celle obtenue pour une couche limite se développant sur un corps de révolution. À partir de cette équation, la méthode intégrale de Thwaites (1949) a pu être modifiée et utilisée pour le calcul du développement de Ia couche limite laminaire sur une plaque plane soumise à un écoulement divergent. La position du point de décollement a été comparée à celle donnée par d'autres modèles cartésiens. Les résultats obtenus montrent que la nature divergente

de l'écoulement retarde le décollement de la couche limite par rapport à un écoulement cartésien similaire possédant le même champ de vitesse.

Les principaies difficultés rencontrées pour la réalisation du présent modèle se sont situées au niveau de la modélisation des écoulements dans un repère en rotation: de la validité des modèles de couche limite pour ce repère non inertiel, de la simulation du sillage et de la prédiction des pertes inhérentes aux ventilateurs centrifuges. Ainsi. des recherches plus approfondies pourraient être menées afin d'inclure les termes d'accélération normale dans les méthodes intégrales de couche limite. Ceci permettrait d'améliorer la prédiction de la position des points de décollement dans un repère en rotation et sur des aubes fortement cambrées- De même, les modèles de pertes utilisés devraient être améliorés. En plus d'améliorer les performances des ventilateurs centrifuges, une réduction de ces pertes faciliterait également leur prédiction. Par exemple, une conception mieux adaptées au changement de direction et à la divergence de I'écoulement devrait permettre de réduire les pertes de recirculation et d'améliorer les performances de la roue. Aussi, le couplage du présent modèle avec un modèle de volute devrait également permettre de concevoir des volutes mieux adaptées et d'améliorer davantage les performances,

Annexe A

Modèle théorique de pertes de sillage

FIG. A.1: Schéma utilisé pour le développement du modèle théorique de pertes de sillage. Les vitesses zi i et u; sont les vitesses moyennes absolues (repère fixe).

1- Conservation de la masse

=O par symétrie

où ERP signifie « écoulement en régime permanent ». On trouve halement :

2- Conservation de la quantité de mouvement

FIG. A.2: Pressions sur la frontière du volume de contrôle.

=O (ERP)

On obtient alors :

avec : a = sin (9) - sin (+ + 0,)

b = cos (2) - cos (+ + 9,)

Jusqu'à maintenant, il a été supposé que tout l'écoulement à l'intérieur du de contrôle était connu. Cependant, l'évolution entre les fkontières 1 et 2 n'est pas connue de même que les distributions de vitesse et de pression sur les frontières 3 et 4. Par conséquent, le seul moyen d'éliminer les intégrales inconnues est de faire l'hypothèse que l'évolution de l'état 1 à 2 se fait instantanément à une certaine position radiale R = R1 = R2. 11 est à noter que ult # ~2~ et ule # même si la position radiale est la même. Dans ce cas, les équations A 2 et -4.3 s'écrivent :

~ ~ 2 1 % = 2 sin (%) R hl p 2 )

go p ü ( ü - ~ ) dS[ = -p R ul,(a-ul,+b-u16) + p R ub - 2 sin 3 ($ )

Aussi, par Bernoulli, on a :

On obtient finalement :

1 2 2 l 2 2 sin ($) - R [@totl - ptot2) - 5 ~ ( ~ i i - uz.) - 5 ~ ( ~ i e - Gh )]

1 1 2 sin ($) [(ptotl - ptot2) - -p(u:, + u ~ , ) - Zp(u:e - u%)]

2

C F ; ~ ~ ~ = O (parsymétrie)

ptotl - ptot2 = - ~ ~ r ( a - U l r + b - 2110)

2 si. (+) + (Gr + &) + - 2 ~ ; ~ ) 1

= - p Rl u1, (-b - ui, + a U ~ O ) + p Rî ua - 2 2120 sin ( %) + 2 p s i n (2) ky u3r a39 d~

(-4.4)

Comme précédemment, si R = Ri = &, on obtient :

p ü(iï - i ï ) d~ = - p R ul, (4 ui, + a - ulo) + p R u~~ - 2 uîa sin Y ($) ( A G )

En combinant A.5 et A.6, et en utilisant la conservation de la masse (équation -4.1)- on obtient pour 2 ~ 2 0 :

3- Relation finale La relation h a l e pour la perte de sillage s'obtient à partir de l'équation A.4 en y substituant les relations trouvées pour u2, et u29 (équations A.1 et A.7) :

a = sin (2) - sin (2 + es) b = cos (5) - cos (9 + O,)

Rappelons que cette dernière relation est valide pour R = R1 = R2 en utilisant pour ul, et uio les composantes moyennes de la vitesse absolue de l'écoulement à la position R.

Annexe B

Équation de Bernoulli en rotation

Rc = rayon de courbure de la ligne de courant au point P

FIG. B.1: Schéma du déplacement d'un élément fluide sur une ligne de courant dans un repère inertiel.

Soit un élément fluide se déplaçant le long d'une ligne de courant dans un écoulement irrotationnel, incompressible, et où les forces de volume sont négligeables. L'équation d'Euler s'écrit :

Dans les directions tangente et normale, on a :

- direction « s » : dU - d p Px - -- ds U2 ap - direction « n » : p- = -- & an

Pour la direction tangente, on a en régime permanent (repère inertiel) :

et on obtient :

FIG. B.2: Schéma du déplacement d'un élément fluide sur une ligne de courant dans un repère en rotation.

Maintenant, si ce repère curviligne ou tangentiel-normal est dans un repère en rotation avec une vitesse angulaire constante (figure B.2), on doit ajouter des * pseudo-forces . à cause des accélérations centripète et de Coriolis :

- accélération centripète : fi x (6 x f') = R e; x (Q e i x Te;)

= -Q2 T e; = -Q2 r cos0 e; + R2 T sin9 en

- accélération de Coriolis : 2 A x ü = 2Re;xUe; = 2RUe",

Pour l'écoulement à proximité d'une paroi, il est à noter que le vecteur en peut être dirigé vers l'intérieur ou I'extérieur du corps selon le côté de I'écoulement. Dans I'équation d'Euler, on a donc :

dp - direction u s x : p - n2 r m s ~ ] = -- ds

- direction « n » : P [ ~ + C12rsini9 + Rc

L'équation de Bernoulli se trouve à partir de la relation dans la directien . s * après quelques manipulations :

dU ii) U - =

ds

Finalement, on trouve :

Ceci est la forme alternative de l'équation de Bernoulli pour un élément fluide circulant dans un repère en rotation.

Annexe C

Couches limites

C . 1 Équation de von K h m h en coordonnées curvilignes dans un repère en rotation

C.1.1 Développement

Pour des écoulements incompressibles, 2-D, en régime permanent, où les forces de volume exxéx-ieures sont négligeables et où la courbure des lignes de courant est faible, les équations de conservation de Navier-Stokes

Cons. masse :

en coordonnées curvilignes s'écrivent :

( " an a '+p (??+ !? ) ds dn2 Cons. qtédernvt : e n s + p u- + ve) = --

avec u et v les vitesses tangente et normale au repère curviligne positionné sur la surface du corps où se développe la couche limite. En éliminant les termes d'ordre inférieur1, on obtient les équations de couche limite :

lLes termes d'ordre inférieur sont ceux qui peuvent être négiigés quand la couche limite est relativement mince par rapport à la longueur du corps sur lequel elle se développe- Ceci est uniquement vrai pour des nombres de Reynolds suffisamment élevés pour que le concept de couche limite ne soit pas remis en cause. Dans le cas contraire, tout l'écoulement devrait être considéré comme entièrement visqueux.

Cons. masse :

( " Cons-qtédemvt : e n s * p U- + a2u

3~ e n n - - - O d n

Maintenant, si on tient compte de la courbure des lignes de courant, on doit ajouter le terme d'accélération normale correspondant. Aussi, si le repère curviligne est situé dans un repère en rotation, on doit ajouter les accélération centripète et de Coriolis. On obtient :

d u d p + V- - R2 r COSB) = -a; d2u e n s +

dn + P a n 2

Comme me~tionné à l'annexe B, pour l'écoulement à proximité d'une paroi, il est à noter que le vecteur peut être dirigé vers l'intérieur ou l'extérieur du corps selon le côté de l'écoulement. Une accélération normale positive n'est donc pas nécessairement dirigée vers I'elrtérieur du corps. De même, le rayon de courbure R, peut être positif ou négatif selon la direction du centre de courbure par rapport à celle du vecteur e;. D'autre part, si on néglige tous les termes d'accélération dans la direction normale à l'écoulement et si on utilise l'identité p R2 T W S B = $($ p R2 r2)! on obtient :

e n s + du a2u +

Ainsi, en posant p* = p - $ p R2 r2, les équations de couche limite obtenues en coordonnées curvilignes dans un repère en rotation correspondent exactement à celles développées en coordonnées cartésiennes dans un repère fixe. Pour des couches limites laminaires ou turbulentes, l'équation intégrale de von Karman (1921) correspondante s'écrit :

où Ue est la vitesse relative au corps à l'extérieure de la couche limite et :

facteur de forme

épaisseur de déplacement

épaisseur de quantité de mouvement

coefficient de friction

contrainte de cisaillement à la paroi

L'ensemble des modèles de couche limite développés dans le passé et basé sur l'équation de von K&m& peuvent donc être utilisés à condition de respecter l'ensemble des h*vpothèses effectuées.

C . 1.2 Discussion sur les hypothèses

cause des termes accélération dans la direction normale à l'écoulement (courbure, cent- ripète normale et Coriolis), il est possible que le gradient de pression à travers la couche limite ne soit pas négligeable. Si tel est le cas, l'évolution de la couche limite et la position du point de séparation sont modifiées. En effet, une accélération normale dirigée vers l'extérieur du corps retarde la séparation de l'écoulement alors qu'une accélération dirigée vers l'intérieur nuit au développement de la couche limite et à la stabilité de l'écoulement. La figure C.1 présente de façon schématique les trois types d'accélération normale sur une aube de roue centrifuge et permet de visualiser leur effet.

a) Courbure de la paroi ($$)

La premère hypothèse effectuée concerne l'effet de la courbure de la paroi sur laquelle se développe la couche limite. L'accélération normale est dirigée vers le centre de courbure et pour des profils cambrés, celle-ci est en grande partie positive à l'intrados et négative à l'extrados. De plus, les aubes fortement cambrées accélèrent davantage l'écoulement à l'extrados ce qui augmente pour autant l'effet défavorable de la courbure de la paroi sur le développement de la couche limite.

Selon les équations de conservation, les effets de courbure peuvent être négligés si l'épaisseur de la couche limite est faible comparativement au rayon de courbure local, i.e. si 6 « Rc. Pour des roues de ventilateurs centrifuges de type 4 cage d'écureuil où les aubes sont fortement cambrées, le ratio 6 reste inférieur à environ 5% sur la plus grande portion de la surface. Par contre, pour des aubes minces où le rayon de courbure au bord d'attaque

est très faibIe, le rapport & peut y prendre des valeurs de l'ordre de 10-35%. Dans ce cas, malgré le fait que ce rapport soit élevé, l'effet sur la position du point de séparation reste faible puisque la séparation survient généralement tout juste après le bord d'attaque. Aussi, pour des points de séparation situés ailleurs qu'au bord d'attaque. l'épaisseur de la couche limite devient plus élevée mais reste généralement inférieur à 10%~.

Malgré que les valeurs prisent par le rapport 6 soient faibles. plusieurs essais effectués sur des aubes de roues de ventilateurs centrifuges de type u cage d'écureuil » ont montrés que les effets de courbure ne peuvent être négligés. En effet: le terme d'accélération associé est généralement de l'ordre de ceux dans la direction de l'écoulement- Ainsi. il est probable que la position des points de séparation calculée avec les modèles de couche limite habituels soient significativement modifiée. S'il y a lieu, ces derniers se situeraient plus en amont à l'extrados et plus en a d à l'intrados.

b) Accélération centripète en a n » (R2 r sine)

L'accélération centripète est toujours dirigée vers le centre de rotation. Sa composante normale est montrée à Ia figure C.1 et peut être inférieure, égale ou supérieure à sa composante tangentielle donnée par Q2 r cos@. Pour une aube fortement cambrée, son effet est généralement favorable à l'extrados dans sa portion avant et devient défavorable dans sa portion arrière. Inversement pour l'intrados, son effet est défavorable dans la portion avant et devient favorable dans la portion arrière. L'étendue des portions avant et arrière peut varier selon la géométrie des aubes et leur incidence mais la portion arrière est généralement plus importante.

Les essais effectués sur des aubes de roues de ventilateurs centrifuges de type 9 cage d'écureuil » montrent que le terme d'accélération centripète nomale est de l'ordre de ceux dans la direction de l'écoulement. Ce dernier ne peut donc pas être négligé et est susceptible modifier la position des points de séparation.

c) Accélération de Coriolis (2 fi x Û)

L'accélération de Coriolis se dirige toujours dans la direction normale à l'ecoulement. Par le fait même, pour un écoulement potentiel ou non séparé, elle est toujours normale à la paroi (figure C.1). Ainsi, pour des aubes en rotation, l'effet est toujours favorable à l'intrados à partir du point de stagnation et défavorable à l'extrados. Comme précédemment, les essais effectués ont montré que le terme d'accélération de Coriolis ne peut être négligé.

2Ces résultats ont été obtenus à partir du calcul de l'écoulement sur deux roues de type u cage d'écureuil*, l'une ayant des aubes minces et l'autre des aubes épaisses et profilées. Les conditions d'opération et les dimensions utilisées étaient les suivantes : Qt,t = 80 Ils, R = 1450 rpm, Dint 120 mm, DeZt = 160 mm, b = 40 mm.

a) Courbure ( u ~ / R = )

+- b) Centripète normale (R2 r sine)

C) Coriolis (2 A x U )

FIG. C.l: Schéma des différents types d'accélération normale pour un écoulement non séparé sur une aube de roue centrifuge.

Équation de von Kiirrn5.n en coordonnées cylindriques pour un écoulement divergent dans un repère fixe

Développement

Pour une couche limite se développant sur une paroi d m un écoulement divergent. 2-D dans le plan r - 0, incompressible, en régime permanent et où les forces de volume extérieures sont négligeables, Ies équations de conservation de Navier-Stokes en coordonnées cylindriques s'écrivent :

Cons. masse :

avec u, et ue les vitesses radiale et tangentielle. En éliminant les termes d'ordre inférieur3, on obtient les équations de couche limite en cylindrique :

Cons. masse :

Cons-qtédemvt: e n r + -- r2 dû2 (C-2)

3Comme mentionné à la section C.1, les termes d'ordre inférieur sont ceux qui peuvent être négligés quand la couche limite est relativement mince par rapport à la iongueur du corps sur lequel elle se développe. Ceci est uniquement vrai pour des nombres de Reynolds sutfisamment éievés pour que le concept de couche Iimite ne soit pas remis en cause.

I

l

Pour la conservation de la quantité de mouvement en 8. l'influence des termes éliminés sur le gradient de pression 2 est négligeable par rapport au gradient de pression dans la direction radiale. Pour cette raison, la pression à travers la couche limite peut être considérée constante.

Maintenant, si on considère une couche limite se développant de façon radiale sur une plaque située à O = O? on a comme conditions limites :

d - dur & d2ur écoulement irrotationnel * -(r ue) - + - - - - - - O dr - d e ae de2

3~ par la cons. qté de mvt en r : - - - d K e dr - P U r e F

L'équation intégrde de von K h a n en coordonnées cylindriques pour un écoulement divergent est obtenue en effectuant l'opération suivante :

1 (Ur, - a,) [C-11 - -[C.2]

P

On obtient :

us a U r au, ug au, + [ e ) ] r a0 + u ~ ~ - ) - - r

- dr - -- r a8

- sure i ar - -Ur,- - -- - Cc au, 6~

avec T = -- P a@ r ae

Multiplions par r dB et intégrons de 0 = O à 0 = Os :

Finalement, on trouve :

6* avec : N = -

O

On peut constater que l'équation de von K h i h en coordonnées cylindriques pour des écoulements divergents contient un terme supplémentaire par rapport à la même équation en coordonnées cartésiennes. Aussi, remarquablement, cette équation est pratiquement identique à celle obtenue pour une couche limite qui se développe sur un corps de révoIution profilé et mène, par le fait même, à des modèle de couche limite équivalents. L'équation de von K&rn&n pour des corps de révolution est donnée par :

où r0 est le rayon déhîssant la géométrie du corps autour de son axe de révolution.

C.2.2 Application

Une application directe de l'équation de von K h a n en coordonnées cylindriques consiste à calculer la couche limite laminaire sur une plaque plane mince soumise à un écoulement divergent, 243, incompressible et en régime permanent (figure C.2).

1

1 a- \ séparation

FIG. C.2: Développement d'une couhe limite sur une plaque plane et mince soumise à un écoulement divergent.

Malgré la simplicité de ce problème, Pohlhausen (1921) semble être le seul à avoir calculé le développement de la couche limite et la position du point de séparation. Pour ce faire, ce dernier a utilisé un modèle de couche limite cartésien et la distribution de vitesse provenant d'une source ponctuelle. L'utilisation d'un modèle basé sur l'équation de von Kzbm&n en coordonnées cylindriques est donc plus appropriée puisqu'elle tient compte de la nature de l'écoulement divergent.

a) Modèle de Thwaites en coordonnées cvlindriaues

Les hypothèses et relations utilisées par Thwaites (1949)' dans son modèle développé à partir de l'équation de von K A m h cartésien, peuvent être utilisées pour développer un modèle similaire en coordonnées cylindriques.

Posons : G e 0 Ree = - 1

V

En multipliant L'équation C.4 par Ree, on obtient :

où S et H sont des fonctions de X seulement. En effet, Thwaites a remarqué à partir de plusieurs solutions exactes des équations de couche limite laminaires, que ces variables suivent une courbe très peu dispersée Iorsqu'elles sont tracées en fonction de A. De plus, la fonction 3 ( X ) = 2 [S - (2 + H ) A] est pratiquement une droite, celle-ci étant bien approximée par :

En substituant 3 ( X ) dans L'équation précédente, on trouve :

dz 2 2 - + - = - I [0.45 - 6 A] d r r Ur e

2 d z r2 dure r - + 2 Z r = -[O.& - 6Z- ] dr G e d r

d r2 -(r2 2) = - b.45 - 6 2 b-] dr Ure d r

d dU,e = 0.45 r2 u:,= u,!~-(r2 2) + 6 u;= r2 Z -

dr d r

d -(r2 Z ~ f : ) = 0.45 r2 Li,: dr

r2 r2 Z U& = 0.45 r2 u:~ dr + cte - où cte = O

et finalement,

b) Résultats

Le développement de couche limite laminaire de l'écoulement divergent sur une plaque plane peut être calculé avec le modèle de Thwaites modifié. En utilisant une source centrale d'intensité O et en se référant à la figure C.2, on trouve :

Selon le modéle de Thmaites, il y a séparation quand X = -0.09 et on obtient :

Le tableau C.1 permet de comparer ce résultat avec celui de Pohlhausen (1921) et d'autres modèles cartésiens. On constate que la position du point de séparation est plus en amont pour le modèle de Thwaites cartésien que celui de Pohlhausen. Aussi, si on compare les modèles de Thwaites cartésien et cylindrique, on remarque que la nature divergente de l'écoulement retarde la position du point de séparation.

Position du point de séparation sur une plaque plane soumise à un écoulement divergent- Comparaison des résultats obtenus avec différents modèles de couche limite.

Modèle Pohlhausen cartésien (192 1) Pohlhausen cartésien, F(X) = 0.47 i 6X Thwait es cartésien Thwait es cvlindriaue

( ~ / a ) . e p ,

1214 1.236 1.158 1.183

Annexe D

Principaux éléments potentiels

- a

Élément ponctuel Distn'butian constante

Élément

Tourbillon ponctuel r' Y - Y0 2~ (5 - d2 + (Y - Yo12 Il - -

u

Écoulement uniforme

Source ponctuelle

U, cosa

A -. 2 - 2, 2~ (2 - z0l2 + (Y - ~ 0 ) ~

Tourbillons constants II 'Y - - (02 -81) 27r

Sources constantes

Sources linéaires

X 47r

Distribution linéaire

Tourbillons Iinéaires

TAB. D.l: Vitesses induites par les principaux éléments potentiels.

132

-2 - [E - (5) - 4 0 . - el)] 2nL

Lorsque le démontrer

point P(x, y) est situé sur le centre des panneaux distribués: on peut aisément que les vitesses se ramènent à :

1 Élément

Tourbilions constants II Sources constantes

Tourbillons linéaires Tl II YL

O

I I f

Sources linéaires

TAB. D.2: Vitesses induites au centre des panneaux distribués, P($, Of ).

X f-

2

A l --

Le signe + se rapporte à la vitesse induite directement au-dessus du panneau alors que le signe se rapporte à celle directement au-dessous.

X 1

II I

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