172665_prof_ch8
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© N
atha
n 20
12 –
Tra
nsm
ath
Term
. ES-
L
d) Pour n = 7 on a la loi suivante :
xi 0 1 2 3 4 5 6 7
p(X = xi) ≈ 0,03 ≈ 0,13 ≈ 0,26 ≈ 0,29 ≈ 0,19 ≈ 0,08 ≈ 0,02 ≈ 0,001
x10
0,1
y
2 3 4 5
0,2
0,3
6 7
2. La courbe semble devenir plus « symétrique ».
Activité 2
1 a) p(A) = 1.
b) p(A) = 14
.
c) p(A) = 0 (l’aire d’un cercle est nulle, ne pas confondre avec l’aire du disque).d) p(A) = b2 – a2.
2 a) p1{X < 1}2 = p(A) = 1 (avec A disque D).
b) p15X < 12 62 = p(A) = 1
4 (avec A disque de centre O et
de rayon 12 2.
c) p1{X = k}2 = p(A) = 0 (avec A cercle du 1. c).d) p15X ∈ [a ; b]62 = p(A) (avec A couronne de 1. d).
3 a) 0
1
2x dx = [x2]1
0 = 1 = p1{X < 1}2.
b) 0
12 2x dx = [x2]
120 = 1
4 = p15X < 1
2 62.c)
k
k
2x dx = [x2]k
k = 0 = p1{X = k}2.
d) a
b
2x dx = [x2]b
a = b2 – a2 = p1{a < X < b}2.
Activité 1
1 1. a) Pour n = 4 on a la loi suivante :
xi 0 1 2 3 4
p(X = xi)(0,6)4
≈ 0,129 64 × 0,4 × (0,6)3
≈ 0,345 66 × (0,4)2 × (0,6)2
≈ 0,345 64 × (0,4)3 × 0,6
≈ 0,153 6(0,4)4
≈ 0,025 6
x10
0,1
y
2 3 4
0,2
0,3
b) Pour n = 5 on a la loi suivante :
xi 0 1 2 3 4 5
p(X = xi) ≈ 0,078 ≈ 0,259 ≈ 0,346 ≈ 0,230 ≈ 0,076 ≈ 0,010 2
x10
0,1
y
2 3 4 5
0,2
0,3
c) Pour n = 6 on a la loi suivante :
xi 0 1 2 3 4 5 6
p(X = xi) ≈ 0,047 ≈ 0,187 ≈ 0,311 ≈ 0,276 ≈ 0,138 ≈ 0,036 ≈ 0,004
x10
0,1
y
2 3 4 5
0,2
0,3
6
ACTIVITÉS (page 216)
8CHAP
ITRE
1Chapitre 8 ● Lois de probabilité à densité
Lois de probabilité à densité
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2 Chapitre 8 ● Lois de probabilité à densité
14 3. b) L’intégrale est ici :
1,2
1,8
f(x) dx = p1{m – s < X < m + s}2.
4. a) L’intégrale est inchangée.b) On constate que quels que soient m et s, l’intégrale est inchangée, égale à environ 0,95.c) On constate que quels que soient m et s l’intégrale est inchangée, égale à environ 0,997.
22 On veut 0
a
2x dx = 1 soit [x2]a
0 = 1 d’où a = 1.
On a bien, de plus, f positive et continue sur [0 ; 1].
23 On veut 0
a
x2 dx = 1 soit 3 x3
3 40
a
= 1, d’où : a = 3 soit
a = 313. On a bien, de plus, f continue et positive sur 30 ; 3
134.
24 On veut –a
a
(x + 1) dx = 1 soit [x2 + x]a
–a = 2a, d’où : 2a = 1
soit a = 12
. On a bien, de plus, f continue et positive
sur 3– 12
; 12 4.
25 On veut 0
4
a dx = 1 soit [ax]4
0 = 1, d’où : a = 1
4.
On a bien alors f continue et positive sur [0 ; 4].
26 On veut 0
3
ax dx = 1 soit 3ax2
2 40
3
= 1, d’où : a = 29
. On
a bien alors f continue et positive sur [0 ; 3].
27 On veut 0
2
ax2 dx = 1 soit 3ax3
3 40
2
= 1, d’où a = 38
. On
a bien alors f continue et positive sur [0 ; 2].
28 1. 0
2
x2
dx = 1 et la fonction f est continue et positive
sur [0 ; 2].
2. E(X) = 0
2
x × x2
dx = 0
2
x2
2 dx = 3 x3
2 40
2
= 43
.
V(X) = E11X – 43 222 =
0
2
1x – 43 22
× x2
dx
= 0
2
x3
2 – 4
3 x2 + 8
9 x dx = 3 x4
8 – 4
9 x3 + 4
9 x24
0
2
= 29
.
29 E(X) = 0 + 12
= 12
.
V(X) = E11X – 12 222 =
0
1
1x – 12 22
× 1 dx
= 0
1
1x2 – x + 14 2 dx = 3 x3
3 – x2
2 + 1
4 x4
0
1
= 112
.
13 A 1. a) s = 0,6, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,000 43.b) s = 1, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,022 75.c) s = 2, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,158 66.d) s = 3, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,252 49.e) s = 4, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,308 54.2. Lorsque s augmente, la probabilité de l’événement {X > 2} semble augmenter.b 3. La probabilité est égale à 0,5. Ce résultat est dû à la symétrie de la courbe de la fonction de densité par rapport à l’axe des ordonnées.
De tête
15 a) p15X ∈ [0 ; 0,25]62 = 14
.
b) p15X ∈ [0,3 ; 0,7]62 = 0,4.
16 a) p15X ∈ [0 ; 1]62 = 15
.
b) p15X ∈ [2 ; 4]62 = 25
.
17 f(0) = 1
42p (≈ 0,39).
f(–1) = f(1) car dans l’expression de f(x) est au carré.
18 p1{80 < X < 120}2 = p1{m – 2s < X < m + 2s}2 ≈ 0,95.
Lois à Densité sur un intervALLe
19 1. f est continue et positive sur [0 ; 1].
0
1
f(x) dx = 0
1
3x2 dx = [x3]1
0 = 1.
2. a) p15X ∈ 30 ; 12 462 =
0
12 3x2 dx = [x3]
120 = 1
8.
b) p15X ∈ [0,4 ; 0,6]62 = 0,4
0,6
3x2 dx = 0,152.
20 1. f est continue et positive sur [0 ; 2].
0
2
f(x) dx = 0
2
x2
dx = 3 x2
4 40
2
= 1.
2. a) p15X ∈ [0 ; 1]62 = 0
1
x2
dx = 3 x2
4 40
1
= 14
.
b) p15X ∈ [1 ; 2]62 = 0
2
x2
dx = 34
.
21 1. f est continue et positive sur [–1 ; 1].
–1
1
34
(1 – x2) dx = 3 34
1x – x3
3 24–1
1
= 34
11 – 13 2 – 3
4 1–1 + 1
3 2 = 1.
2. a) p15X ∈ [–1 ; 0]62 = –1
0
34
(1 – x2) dx = 12
.
b) p15X ∈ 3– 12
; 12 462 =
– 12
12 3
4 (1 – x2) dx = 11
16.
EXERCICES Entraînement (page 230)
EXERCICES Travaux dirigés (page 228)
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3Chapitre 8 ● Lois de probabilité à densité
3. p(C) = p15X ∈ [0,19 ; 0,20[ ∪ [0,28 ; 0,29[ ∪ … ∪ [0,91 ; 0,92]62. On a neuf intervalles disjoints de longueur 0,01, donc p(C) = p15X ∈ [0,19 ; 0,20[62 + p15X ∈ [0,28 ; 0,29[62 + … + p15X ∈ [0,91 ; 0,92[62 = 9 × 0,01 = 0,09.
38 1. On a la loi suivante :
xi 0 1 2 3 4 5
p(X = xi)15
15
15
15
15
0
En effet si on note Y la variable aléatoire qui prend la valeur du nombre choisi ; Y suit la loi uniforme sur [0 ; 5].
On a alors p1{X = 0}2 = p15Y ∈ [0 ; 1[62 = 15
, etc.
2. p(X < 2) = p1{X = 0} ∪ {X = 1}2 = 25
.
39 1. On note Y la variable aléatoire qui prend la valeur du nombre choisi ; Y suit la loi uniforme sur [0 ; 5,5].
On a alors p1{X = 0}2 = p15Y ∈ [0 ; 1[62 = 15,5
, etc.On a pour X la loi suivante :
xi 0 1 2 3 4 5
p(X = xi)1
5,51
5,51
5,51
5,51
5,50,55,5
2. p1{X < 2,5}2 = p1{X = 0} ∪ {X = 1} ∪ {X = 2}2 = 35,5
.
40 1. p(X > 11 h 15 min) = 4560
= 34
.
2. On veut {X > 11 h 30 min} car Emma va rester 15 minutes.
Donc la probabilité cherchée est égale à 12
.
41 1. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de minutes entre le départ du dernier bus et l’arri-vée de l’usager. X suit la loi uniforme sur [0 ; 15], où 0 cor-respond au départ du dernier bus, car l’arrivée de l’usager est aléatoire.
On veut p15X ∈ [10 ; 15]62 = 13
.
2. On veut ici p15X ∈ [0 ; 5]62 = 13
.
42 1. On note X la variable aléatoire « heure d’arrivée d’Olivier ». X suit la loi uniforme sur [7 ; 7,75] donc de
densité 10,75
= 43
.
2. • On veut ici p1{X > 7,5}2 = p15X ∈ [7,5 ; 7,5]62 = 13
.
• On a p15X < 7 + 16 62 =
1634
= 29
.
• On a p15X ∈ 37 + 13
; 7 + 2260462 =
13034
= 245
.
• On a p1{X = 7,5}2 = 0.
30 E(X) = 0 + 52
= 52
.
V(X) = E11X – 52 222 =
0
5
1x – 52 22
× 15
dx
= 0
5
1 x2
5 – x + 5
4 2 dx = 3 x3
15 – x2
2 + 5x
4 40
5
= 2512
.
31 E(X) = a + b2
.
V(X) = E11X – a + b2 222 =
a
b
1x – a + b2 22
× 1b – a
dx
= 1b – a
a
b
1x – a + b2 22
dx
= 1b – a
3 1x – a + b2 23
34
a
b
= 1b – a
3(b – a)3
24 – (a – b)3
24 4
= 1b – a
1(b – a)3
12 2 = (b – a)2
12.
32 1. p15X ∈ [0 ; 1]62 = 0
1
le–lx dx = [–e–lx]1
0 = 1 – e–l.
2. On veut 1 – e–l = 0,18, d’où e–l = 0,82.l = – ln 0,82 ≈ 0,198 45.
33 1. p1{0 < X < 10}2 = 0
10
2x e–x2 dx
= [–e–x2]0
10
= 1 – e–100 ≈ 1.
2. p1{X < t}2 = 0,8 équivaut à 0
t
2x e–x2 dx = 0,8,
soit 1 – e–t2 = 0,8, ou encore e–t2 = 0,2.On obtient t2 = 1,61 soit t ≈ 1,26.
Lois uniformes sur [a ; b]
34 1. a) p15X ∈ [0 ; 1]62 = 14
.
b) p15X ∈ [1 ; 3]62 = 12
.
2. E(X) = 2.
35 1. a) p15X ∈ [0 ; 1]62 = 15
.
b) p15X ∈ [–1 ; 2]62 = 35
.
2. E(X) = – 12
.
36 1. a) p15X ∈ [0 ; 9]62 = 910
.
p15X ∈ [9 ; 10]62 = 110
.
2. E(X) = 5.
37 On pose X la variable aléatoire qui donne la valeur du nombre choisi. X suit la loi uniforme sur [0 ; 1].
1. p(A) = p15X ∈ [0 ; 0,1[62 = 110
.
2. p(B) = p15X ∈ [0,1 ; 1]62 = 910
.
4 Chapitre 8 ● Lois de probabilité à densité
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49 On cherche p1{23 < X < 31}2, soit p1{m – 2s < X < 2s}2 ≈ 0,95.
50 On cherche p1{X < 0,1}2.Or m = 0,148 donc, p1{X < 0,1}2 = p1{X < 0,148}2 – p1{0,1 < X < 0,148}2 = 0,5 – p1{0,1 < X < 0,148}2.On obtient avec la calculatrice : p1{X < 0,1}2 ≈ 0,4.
51 1. On cherche p1{X < 44,2}2.p1{X < 44,2}2 = p1{X < 44}2 + p1{44 < X < 44,2}2
≈ 0,5 + 0,34 ≈ 0,84.
52 1. Les choix des personnes sont indépendants, on a alors une répétition de 100 000 épreuves de Bernoulli (avec une probabilité de succès égale à 0,35).Les paramètres sont alors 100 000 et 0,35.2. On cherche x tel que p(X > x) = 0,05 ou encore p(X < x) = 0,95.À l’aide de la calculatrice, on obtient x ≈ 35 266,5.Il faut donc bien commander au moins 35 267 doses.
53 1. On cherche p1{246 < M < 254}2.À l’aide de la calculatrice, on obtient environ 0,96.2. On cherche p1{147 < N < 153}2.À l’aide de la calculatrice, on obtient environ 0,95.
54 1. a) On cherche p1{X < 5 800}2.On a p1{X < 5 800}2 + p1{5 800 < X < 6 000}2 = 0,5.Avec la calculatrice, on obtient p1{5 800 < X < 6 000}2 ≈ 0,191 5, d’où : p1{X < 5 800}2 ≈ 0,308 5.b) p1{5 900 < X < 6 100}2 ≈ 0,197 4.c) p1{X > 6 250}2 = p1{X > 6 000}2 – p1{6 000 < X < 6 250}2
≈ 0,5 – 0,234 0 ≈ 0,266 0.2. a) On cherche x tel que p1{X < x}2 = 0,3.On obtient, avec la calculatrice, x ≈ 5 790.b) On cherche x tel que p1{X > x}2 = 0,2, soit p1{X < x}2 = 0,8.On obtient, avec la calculatrice, x ≈ 6 337.
en pAssAnt pAr LA Loi (0 ; 1)
55 1. a) X suit la loi normale (10 ; s2) si Y = X – 10s
suit la loi normale (0 ; –1).
b) X > 12 équivaut à X – 10s
> 12 – 10s
(car s > 0),
soit X – 10s
> 2s
ou encore Y > 2s
.
2. On cherche s tel que p15Y > 2s 62 = 1
3 ou encore
p15Y < 2s 62 = 2
3.
La calculatrice donne 2s
≈ 0,43 soit s ≈ 4,65.
56 1. On cherche p1{39,6 < D1 < 40,4}2 c’est-à-dire
p1{m – 2s < D1 < m + 2s}2 donc cette probabilité est égale
à environ 0,95.
Loi normALe
43 1. a) Le choix d’un trajet est une épreuve de Bernoulli ; soit il passe par C avec une probabilité de 0,08 soit il n’y passe pas.On a donc une répétition d’épreuves de Bernoulli indépen-dantes. Si n est le nombre de trajets X suit la loi binomiale de paramètre n et 0,8 (en 2013, n = 50).
b) p(X = 5) = 1 n5 2 (0,08)5 × (0,92)n–5.
Si n = 50, on a 1505 2 × (0,08)5 × (0,92)45 ≈ 0,000 001 63.
2. a) Z a les mêmes paramètres que la loi binomiale corres-pondante, c’est-à-dire m = 50 × 0,4 = 20 et s = 050 × 0,6 × 0,4 = 412 = 213 ≈ 3,46.b) À l’aide de la calculatrice, on obtient p1{16,5 < Y < 23,6}2 ≈ 0,687.Remarque : on peut aussi obtenir une valeur approchée sans calculatrice en remarquant que p1{16,5 < Y < 23,5}) ≈ p1{m – s < Y < m + s}2.Par conséquent, la probabilité que le commercial utilise le trajet le plus court 17, 18, 19, 20, 21, 22 ou 23 fois est égale à environ 0,687.
44 1. p1{110 < X < 130}2 = p1{m – s < X < m + s}2 ≈ 0,68.2. p1{X < 100}2 + p1{100 < X < 140}2 + p1{X > 140}2 = 1 et par symétrie p1{X < 100}2 = p1{X > 140}2.De plus p1{100 < X < 140}2 = p1{m – 2s < X < m + 2s}2
= 0,95.D’où : p1{X < 100}2 ≈ 0,025.
45 On cherche p1{1 000 < X < 1 500}2.Avec la calculatrice, on obtient environ 0,775.
46 1. On cherche p1{X < 50}2.On a p1{X < 50}2 = p1{X < 40}2 + p1{40 < X < 50}2.Or p1{X < 40}2 = 0,5 et avec la calculatrice on obtient p1{40 < X < 50}2 ≈ 0,45.Donc p1{X < 50}2 ≈ 0,95.2. p1{X > x}2 = 1 – p1{X < x}2.Donc p1{X > x}2 = 0,01 équivaut à p1{X < x}2 = 0,99.À l’aide de la calculatrice, on obtient x ≈ 54,4. D’où k = 54.
47 1. p1{Y < 6,5}2 + p1{Y > 6,5}2 = 1.De plus p1{Y < 6,5}2 = p1{Y < 3,5}2 + p1{3,5 < Y < 6,5}2.On a p1{Y < 3,5}2 = p1{Y > 6,5}2 et p1{3,5 < Y < 6,5}2 = p1{m – s < Y < m + s}2 ≈ 0,68,
d’où : p1{Y < 6,5}2 ≈ 0,68 + 0,322
≈ 0,84.
2. La probabilité que l’eau d’une bouteille soit calcaire est égale à p(Y > 6,5) ≈ 0,16.
48 1. On cherche p1{28,6 < D < 29,4}2 = p1{m – 2s < D < m + 2s}2. On a donc une probabilité d’environ 0,95.2. On cherche p1{1,9 < E < 2,1}2.La calculatrice donne environ 0,987 6.
5Chapitre 8 ● Lois de probabilité à densité
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c) On sait que p1{– a < Z < a}2 = 0,95 pour a = m + 2s avec m = 0 et s = 1 car Z suit la loi (0 ; 1). Donc a = 2.
d) On a donc m – h – 500
41,6 = –2 et m + h – 500
41,6 = 2.
D’où : m – h ≈ 497,47 et m + h ≈ 502,52.
60 1. On veut que p1{X < 100}2 < 0,001.
Si on pose Y = X – m2
, Y suit la loi (0 ; 1).
On veut alors p15Y < 100 – m2 62 < 0,001. La calculatrice
donne alors 100 – m2
≈ –3,09. D’où : m ≈ 106,18.
2. On calcule p1{X > 110}2.p1{X > 110}2 = 0,5 – p1{m < X < 110}2 avec m ≈ 106,18.On obtient, avec la calculatrice, p1{X > 110}2 ≈ 0,028.3. a) On veut maintenant p1{X > 110}2 < 0,01.On va chercher m tel que p1{X < 110}2 = 0,99 ; ce qui
équivaut à p15Y < 110 – m2 62 = 0,99.
La calculatrice donne alors 110 – m2
≈ 2,326.
D’où : m ≈ 105,348.b) On cherche ici p1{X < 100}2 = 0,5 – p1{100 < X < 104,652}2 ≈ 0,01.
c) On veut 5 p1{X < 100}2 < 0,001p1{X > 110}2 < 0,01
.
On va résoudre 5 p1{X < 100}2 = 0,001p1{X < 110}2 = 0,99
.
Ce qui équivaut à 5 p15Y < 100 – ms 62 = 0,001
p15Y < 100 – ms 62 = 0,99
.
On obtient avec la calculatrice 5 100 – m
s ≈ –3,09
110 – ms
≈ 2,326.
D’où : m ≈ 105,78. s ≈ 1,87.
61 1. Soit X la variable aléatoire de moyenne m et d’écart-type s qui donne la durée de vie.
On pose Y = X – ms
, donc Y suit la loi normale (0 ; 1).
On veut p1{120 < X < 200}2 = 0,8 et p1{X < 120}2 = 0,05.
Ce qui équivaut à p15 120 – ms
< Y < 200 + ms 62 = 0,8 et
p15Y < 120 – ms 62 = 0,05.
Ou encore à 5 p15Y < 200 – ms 62 = 0,85
p15Y < 120 – ms 62 = 0,05
.
On obtient alors, avec la calculatrice, 5 200 – m
s ≈ 1,036
120 – ms
≈ 1,645.
On obtient 5 m ≈ 169,09s ≈ 29,84
.
2. On veut p1{39,6 < D2 < 40,4}2 = 0,99.
Or 39,6 < D2 < 40,4 équivaut à –0,4
s < Y < 0,4
s.
On cherche donc p15 –0,4s
< Y < 0,4s 62 = 0,99.
On sait que
p15Y < – 0,4s 62 + p15– 0,4
s < Y < 0,4
s 62 + p15Y > 0,4s 62 = 1
et que p15Y < – 0,4s 62 = p15Y > 0,4
s 62, donc p15Y < 0,4
s 62 = 0,005.
Or Y suit la loi normale (0 ; 1).La calculatrice permet alors d’obtenir 0,4
s ≈ 2,576 ; d’où
s ≈ 0,155.
57 1. On cherche p1{1,35 < X < 1,65}2. La calculatrice donne p1{1,35 < X < 1,65}2 ≈ 0,967 9.2. On veut p1{1,35 < X
1 < 1,65}2 = 0,99. On ne connaît pas
s et on ne peut pas utiliser la calculatrice ; on va donc se
« ramener » à la loi (0 ; 1) en posant Y = X
1 – 1,5s . Y suit
alors bien la loi (0 ; 1).
1,35 < X1 < 1,65 équivaut à – 0,15
s < Y < 0,15
s.
On a p15Y < – 0,15s 62 + p15– 0,15
s < Y < 0,15
s 62 +
p15X > 0,15s 62 = 1
et p15Y < – 0,15s 62 = p15Y > 0,15
s 62, donc p15Y < – 0,15
s 62 = 0,005.
La calculatrice donne 0,15s
≈ 2,576 ; d’où : s ≈ 0,058.
58 1. On cherche p1{7,495 < X < 7,505}2. Avec la calculatrice, on obtient p1{7,495 < X < 7,505}2 ≈ 0,261 1.2. On veut p1{7,495 < X < 7,505}2 = 0,99, ce qui équivaut
à p15–0,005s
< Y < 0,005s 62 = 0,99.
On a alors p15Y < –0,005s 62 = p15Y > 0,005
s 62 = 0,005, avec Y
qui suit la loi (0 ; 1).La calculatrice permet alors d’obtenir 0,005
s ≈ 2,576, soit
s ≈ 0,001 9.3. On cherche p1{7,495 < X < 7,505}2 avec maintenant m = 7,502 et s = 0,002.La calculatrice donne une probabilité d’environ 0,645.
59 1. La probabilité qu’une boîte soit conforme est égale à p1{497,5 < X < 502,3}2 soit environ p1{m – 2s < X < m + 2s}2 ≈ 0,95 (la calculatrice donne ≈ 0,941 4).La probabilité qu’une boîte soit non conforme est donc égale à environ 0,05.2. a) Z suit la loi (0 ; 1).b) m – h < X < m + h équivaut à m – h – 500
41,6 < X – 500
41,6 < m + h – 500
41,6, car 41,6 > 0,
c’est-à-dire à m – h – 500
41,6 < Z < m + h – 500
41,6.
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atha
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Tra
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Term
. ES-
L
6 Chapitre 8 ● Lois de probabilité à densité
64 Vraie. La fonction de densité f vérifie f(– x) = f(x).
65 On sait que p1{X > 0}2 = 0,5.Si a < 0 alors p15X ∈ [a ; 0]62 > 0.D’où : p(X > a) > 0,5.
69 1. p1{X > 0}2 = 0,5 – a.2. p1{–6 < X < –3}2 = p1{–3 < X < 0}2 = a.3. p1{X < –6}2 = 0,5 – a.4. p1{X < 0}2 = 0,5 + a.
70 1. p1{–1 < X < 1}2 = 0,5 – a.2. p1{X > 3}2 = p1{X < –1}2 = a.3. p1{1 < X < 3}2 = 0,5 – a.4. p1{X > –1}2 = 1 – a.
71 Soit X la variable aléatoire qui mesure la glycémie, on note m la moyenne et s son écart-type.
La variable aléatoire Y = X – ms
suit la loi (0 ; 1).
On veut 5 p(X < 0,82) = 0,15p(X > 0,95) = 0,20
.
Soit 5 p(X < 0,82) = 0,15p(X < 0,95) = 0,8
.
Ce qui correspond à 5 p15Y < 0,82 – ms 62 = 0,15
p15Y < 0,95 – ms 62 = 0,8
.
On obtient avec la calculatrice 5 0,82 – m
s ≈ –1,036
0,95 – ms
≈ 0,842.
D’où : s ≈ 0,07. m ≈ 0,89.
74 a) Vrai. Car ici on a p1{m – 2s < X < m + 2s}2.b) Faux. Elle est inférieure à 0,68.c) Faux. On a p1{X < 983,6}2 ≈ 0,05.d) Faux. Ici on a p1{m – s < X < m + s}2 ≈ 0,6.e) Vrai. La calculatrice donne 0,924 5.
75 A. 1. On répète 50 fois de façon indépendante une
épreuve de Bernoulli. Les paramètres sont n = 5 et p = 13
.
2. p(X = 15) = 150152 × 1 1
3 215 × 1 2
3 235 ≈ 1,1.
3. p(X = 15, 16 ou 17) = p(X = 15) + p(X = 16) + p(X = 17) ≈ 0,34.
pour LA Logique
62 1. Vraie. La calculatrice donne a ≈ 0,84.2. Fausse. On sait que p15X ∈ [0 ; a[62 < 0,5.
63 1. Vraie. En effet p1{X = a}2 = p1{X = – a}2 = 0.2. Fausse. Par exemple si a = 3 et b = 0,1.
soutien
66 2. a) On a 30 ; 32 4 ∪ 3 3
2 ; + ∞3 = [0 ; + ∞[.
p15X ∈ [0 ; + ∞[62 = 0,5 et p15X ∈ 30 ; 32 4 ∪ 4 3
2 ; + ∞362
= p15X ∈ 30 ; 32 462 + p15X ∈ 4 3
2 ; + ∞362
car les deux intervalles sont disjoints.b) D’où : p1{X > 3}2 ≈ 1 – 0,433 ≈ 0,066.
67 1. p1{X > 0}2 = 0,5.p1{X < 0}2 = 0,5.2. Ces deux nombres sont égaux car la courbe représentative de la densité est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 0.
ApprofonDissement
68 p1{X < 3}2 + p1{3 < X < 7}2 + p1{X > 7}2 = p1X ∈ ]– ∞ ; + ∞[2 = 1. (Les trois événements sont disjoints.)
On a aussi p1{X < 3}2 = p1{X > 7}2 = 13
car la courbe
représentative de la densité est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 5.
D’où : p1{3 < X < 7}2 = 13
.
qCm
73 1. a) Vrai. On a p1{m – s < X < m + s}2.b) Vrai. Par définition.c) Faux. V(X) = s2 = 100.2. a) Faux. On a p1{X > 100}2 = 0,5 donc p15X ∈ [115 ; 125]62 < 0,5.b) Faux. Voir a).c) Vrai. Par symétrie par rapport à 100.
3. a) Faux. p(0 < X < 120) > 12
car m = 100 et s = 10.
b) Faux. Voir a).c) Vrai. Par symétrie et car p1{X < 80}2 = p1{X < 80}2.
EXERCICES Accompagnement personnalisé (page 237)
EXERCICES Le jour du BAC (page 238)
7Chapitre 8 ● Lois de probabilité à densité
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. ES-
L
On pose Y = X – 80s
, Y suit la loi (0 ; 1).
On cherche donc s tel que :
p1579,8 – 80s
< Y < 80,2 – 80s 62 = 0,99,
soit p15– 0,2s
< Y < 0,2s 62 = 0,99 ou encore :
2 × p150 < Y < 0,2s 62 = 0,99.
D’où : p150 < Y < 0,2s 62 = 0,495
et p15Y < 0,2s 62 = 0,5 + 0,495 = 0,995.
La calculatrice donne 0,2s
≈ 2,576.D’où : s ≈ 0,077.
b. 1. La loi normale a la même moyenne et le même écart-
type que la loi binomiale, c’est-à-dire m = 50 × 13
= 503
et
pour écart-type 050 × 13
× 23
= 61009
= 103
.
2. La probabilité p(Y > 17,5) est une approximation de p(X > 17,5). X prend donc les valeurs entières 18, 19, …, 50. On a alors une approximation de p(X = 18 ou 19 ou 20, … ou 50).3. p(Y > 17,5) = 0,5 – p150
3 < Y < 17,52 ≈ 0,4.
4. p(X = 15, 16 ou 17) ≈ p(14,5 < Y < 17,5) ≈ 0,34.
76 1. On cherche p1{79,8 < L < 80,2}2. La calculatrice nous donne environ 0,965.2. On veut maintenant p1{79,8 < X < 80,2}2 = 0,99.
