172665_prof_ch8

© N

atha

n 20

12 –

Tra

nsm

ath

Term

. ES-

L

d) Pour n = 7 on a la loi suivante :

xi 0 1 2 3 4 5 6 7

p(X = xi) ≈ 0,03 ≈ 0,13 ≈ 0,26 ≈ 0,29 ≈ 0,19 ≈ 0,08 ≈ 0,02 ≈ 0,001

x10

0,1

y

2 3 4 5

0,2

0,3

6 7

2. La courbe semble devenir plus « symétrique ».

Activité 2

1 a) p(A) = 1.

b) p(A) = 14

.

c) p(A) = 0 (l’aire d’un cercle est nulle, ne pas confondre avec l’aire du disque).d) p(A) = b2 – a2.

2 a) p1{X < 1}2 = p(A) = 1 (avec A disque D).

b) p15X < 12 62 = p(A) = 1

4 (avec A disque de centre O et

de rayon 12 2.

c) p1{X = k}2 = p(A) = 0 (avec A cercle du 1. c).d) p15X ∈ [a ; b]62 = p(A) (avec A couronne de 1. d).

3 a) 0

1

2x dx = [x2]1

0 = 1 = p1{X < 1}2.

b) 0

12 2x dx = [x2]

120 = 1

4 = p15X < 1

2 62.c)

k

k

2x dx = [x2]k

k = 0 = p1{X = k}2.

d) a

b

2x dx = [x2]b

a = b2 – a2 = p1{a < X < b}2.

Activité 1

1 1. a) Pour n = 4 on a la loi suivante :

xi 0 1 2 3 4

p(X = xi)(0,6)4

≈ 0,129 64 × 0,4 × (0,6)3

≈ 0,345 66 × (0,4)2 × (0,6)2

≈ 0,345 64 × (0,4)3 × 0,6

≈ 0,153 6(0,4)4

≈ 0,025 6

x10

0,1

y

2 3 4

0,2

0,3

b) Pour n = 5 on a la loi suivante :

xi 0 1 2 3 4 5

p(X = xi) ≈ 0,078 ≈ 0,259 ≈ 0,346 ≈ 0,230 ≈ 0,076 ≈ 0,010 2

x10

0,1

y

2 3 4 5

0,2

0,3

c) Pour n = 6 on a la loi suivante :

xi 0 1 2 3 4 5 6

p(X = xi) ≈ 0,047 ≈ 0,187 ≈ 0,311 ≈ 0,276 ≈ 0,138 ≈ 0,036 ≈ 0,004

x10

0,1

y

2 3 4 5

0,2

0,3

6

ACTIVITÉS (page 216)

8CHAP

ITRE

1Chapitre 8 ● Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité

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Tra

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Term

. ES-

L

2 Chapitre 8 ● Lois de probabilité à densité

14 3. b) L’intégrale est ici :

1,2

1,8

f(x) dx = p1{m – s < X < m + s}2.

4. a) L’intégrale est inchangée.b) On constate que quels que soient m et s, l’intégrale est inchangée, égale à environ 0,95.c) On constate que quels que soient m et s l’intégrale est inchangée, égale à environ 0,997.

22 On veut 0

a

2x dx = 1 soit [x2]a

0 = 1 d’où a = 1.

On a bien, de plus, f positive et continue sur [0 ; 1].

23 On veut 0

a

x2 dx = 1 soit 3 x3

3 40

a

= 1, d’où : a = 3 soit

a = 313. On a bien, de plus, f continue et positive sur 30 ; 3

134.

24 On veut –a

a

(x + 1) dx = 1 soit [x2 + x]a

–a = 2a, d’où : 2a = 1

soit a = 12

. On a bien, de plus, f continue et positive

sur 3– 12

; 12 4.

25 On veut 0

4

a dx = 1 soit [ax]4

0 = 1, d’où : a = 1

4.

On a bien alors f continue et positive sur [0 ; 4].

26 On veut 0

3

ax dx = 1 soit 3ax2

2 40

3

= 1, d’où : a = 29

. On

a bien alors f continue et positive sur [0 ; 3].

27 On veut 0

2

ax2 dx = 1 soit 3ax3

3 40

2

= 1, d’où a = 38

. On

a bien alors f continue et positive sur [0 ; 2].

28 1. 0

2

x2

dx = 1 et la fonction f est continue et positive

sur [0 ; 2].

2. E(X) = 0

2

x × x2

dx = 0

2

x2

2 dx = 3 x3

2 40

2

= 43

.

V(X) = E11X – 43 222 =

0

2

1x – 43 22

× x2

dx

= 0

2

x3

2 – 4

3 x2 + 8

9 x dx = 3 x4

8 – 4

9 x3 + 4

9 x24

0

2

= 29

.

29 E(X) = 0 + 12

= 12

.

V(X) = E11X – 12 222 =

0

1

1x – 12 22

× 1 dx

= 0

1

1x2 – x + 14 2 dx = 3 x3

3 – x2

2 + 1

4 x4

0

1

= 112

.

13 A 1. a) s = 0,6, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,000 43.b) s = 1, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,022 75.c) s = 2, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,158 66.d) s = 3, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,252 49.e) s = 4, alors p1{X > 2}2 ≈ 0,308 54.2. Lorsque s augmente, la probabilité de l’événement {X > 2} semble augmenter.b 3. La probabilité est égale à 0,5. Ce résultat est dû à la symétrie de la courbe de la fonction de densité par rapport à l’axe des ordonnées.

De tête

15 a) p15X ∈ [0 ; 0,25]62 = 14

.

b) p15X ∈ [0,3 ; 0,7]62 = 0,4.

16 a) p15X ∈ [0 ; 1]62 = 15

.

b) p15X ∈ [2 ; 4]62 = 25

.

17 f(0) = 1

42p (≈ 0,39).

f(–1) = f(1) car dans l’expression de f(x) est au carré.

18 p1{80 < X < 120}2 = p1{m – 2s < X < m + 2s}2 ≈ 0,95.

Lois à Densité sur un intervALLe

19 1. f est continue et positive sur [0 ; 1].

0

1

f(x) dx = 0

1

3x2 dx = [x3]1

0 = 1.

2. a) p15X ∈ 30 ; 12 462 =

0

12 3x2 dx = [x3]

120 = 1

8.

b) p15X ∈ [0,4 ; 0,6]62 = 0,4

0,6

3x2 dx = 0,152.

20 1. f est continue et positive sur [0 ; 2].

0

2

f(x) dx = 0

2

x2

dx = 3 x2

4 40

2

= 1.

2. a) p15X ∈ [0 ; 1]62 = 0

1

x2

dx = 3 x2

4 40

1

= 14

.

b) p15X ∈ [1 ; 2]62 = 0

2

x2

dx = 34

.

21 1. f est continue et positive sur [–1 ; 1].

–1

1

34

(1 – x2) dx = 3 34

1x – x3

3 24–1

1

= 34

11 – 13 2 – 3

4 1–1 + 1

3 2 = 1.

2. a) p15X ∈ [–1 ; 0]62 = –1

0

34

(1 – x2) dx = 12

.

b) p15X ∈ 3– 12

; 12 462 =

– 12

12 3

4 (1 – x2) dx = 11

16.

EXERCICES Entraînement (page 230)

EXERCICES Travaux dirigés (page 228)

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3. p(C) = p15X ∈ [0,19 ; 0,20[ ∪ [0,28 ; 0,29[ ∪ … ∪ [0,91 ; 0,92]62. On a neuf intervalles disjoints de longueur 0,01, donc p(C) = p15X ∈ [0,19 ; 0,20[62 + p15X ∈ [0,28 ; 0,29[62 + … + p15X ∈ [0,91 ; 0,92[62 = 9 × 0,01 = 0,09.

38 1. On a la loi suivante :

xi 0 1 2 3 4 5

p(X = xi)15

15

15

15

15

0

En effet si on note Y la variable aléatoire qui prend la valeur du nombre choisi ; Y suit la loi uniforme sur [0 ; 5].

On a alors p1{X = 0}2 = p15Y ∈ [0 ; 1[62 = 15

, etc.

2. p(X < 2) = p1{X = 0} ∪ {X = 1}2 = 25

.

39 1. On note Y la variable aléatoire qui prend la valeur du nombre choisi ; Y suit la loi uniforme sur [0 ; 5,5].

On a alors p1{X = 0}2 = p15Y ∈ [0 ; 1[62 = 15,5

, etc.On a pour X la loi suivante :

xi 0 1 2 3 4 5

p(X = xi)1

5,51

5,51

5,51

5,51

5,50,55,5

2. p1{X < 2,5}2 = p1{X = 0} ∪ {X = 1} ∪ {X = 2}2 = 35,5

.

40 1. p(X > 11 h 15 min) = 4560

= 34

.

2. On veut {X > 11 h 30 min} car Emma va rester 15 minutes.

Donc la probabilité cherchée est égale à 12

.

41 1. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de minutes entre le départ du dernier bus et l’arri-vée de l’usager. X suit la loi uniforme sur [0 ; 15], où 0 cor-respond au départ du dernier bus, car l’arrivée de l’usager est aléatoire.

On veut p15X ∈ [10 ; 15]62 = 13

.

2. On veut ici p15X ∈ [0 ; 5]62 = 13

.

42 1. On note X la variable aléatoire « heure d’arrivée d’Olivier ». X suit la loi uniforme sur [7 ; 7,75] donc de

densité 10,75

= 43

.

2. • On veut ici p1{X > 7,5}2 = p15X ∈ [7,5 ; 7,5]62 = 13

.

• On a p15X < 7 + 16 62 =

1634

= 29

.

• On a p15X ∈ 37 + 13

; 7 + 2260462 =

13034

= 245

.

• On a p1{X = 7,5}2 = 0.

30 E(X) = 0 + 52

= 52

.

V(X) = E11X – 52 222 =

0

5

1x – 52 22

× 15

dx

= 0

5

1 x2

5 – x + 5

4 2 dx = 3 x3

15 – x2

2 + 5x

4 40

5

= 2512

.

31 E(X) = a + b2

.

V(X) = E11X – a + b2 222 =

a

b

1x – a + b2 22

× 1b – a

dx

= 1b – a

a

b

1x – a + b2 22

dx

= 1b – a

3 1x – a + b2 23

34

a

b

= 1b – a

3(b – a)3

24 – (a – b)3

24 4

= 1b – a

1(b – a)3

12 2 = (b – a)2

12.

32 1. p15X ∈ [0 ; 1]62 = 0

1

le–lx dx = [–e–lx]1

0 = 1 – e–l.

2. On veut 1 – e–l = 0,18, d’où e–l = 0,82.l = – ln 0,82 ≈ 0,198 45.

33 1. p1{0 < X < 10}2 = 0

10

2x e–x2 dx

= [–e–x2]0

10

= 1 – e–100 ≈ 1.

2. p1{X < t}2 = 0,8 équivaut à 0

t

2x e–x2 dx = 0,8,

soit 1 – e–t2 = 0,8, ou encore e–t2 = 0,2.On obtient t2 = 1,61 soit t ≈ 1,26.

Lois uniformes sur [a ; b]

34 1. a) p15X ∈ [0 ; 1]62 = 14

.

b) p15X ∈ [1 ; 3]62 = 12

.

2. E(X) = 2.

35 1. a) p15X ∈ [0 ; 1]62 = 15

.

b) p15X ∈ [–1 ; 2]62 = 35

.

2. E(X) = – 12

.

36 1. a) p15X ∈ [0 ; 9]62 = 910

.

p15X ∈ [9 ; 10]62 = 110

.

2. E(X) = 5.

37 On pose X la variable aléatoire qui donne la valeur du nombre choisi. X suit la loi uniforme sur [0 ; 1].

1. p(A) = p15X ∈ [0 ; 0,1[62 = 110

.

2. p(B) = p15X ∈ [0,1 ; 1]62 = 910

.


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49 On cherche p1{23 < X < 31}2, soit p1{m – 2s < X < 2s}2 ≈ 0,95.

50 On cherche p1{X < 0,1}2.Or m = 0,148 donc, p1{X < 0,1}2 = p1{X < 0,148}2 – p1{0,1 < X < 0,148}2 = 0,5 – p1{0,1 < X < 0,148}2.On obtient avec la calculatrice : p1{X < 0,1}2 ≈ 0,4.

51 1. On cherche p1{X < 44,2}2.p1{X < 44,2}2 = p1{X < 44}2 + p1{44 < X < 44,2}2

≈ 0,5 + 0,34 ≈ 0,84.

52 1. Les choix des personnes sont indépendants, on a alors une répétition de 100 000 épreuves de Bernoulli (avec une probabilité de succès égale à 0,35).Les paramètres sont alors 100 000 et 0,35.2. On cherche x tel que p(X > x) = 0,05 ou encore p(X < x) = 0,95.À l’aide de la calculatrice, on obtient x ≈ 35 266,5.Il faut donc bien commander au moins 35 267 doses.

53 1. On cherche p1{246 < M < 254}2.À l’aide de la calculatrice, on obtient environ 0,96.2. On cherche p1{147 < N < 153}2.À l’aide de la calculatrice, on obtient environ 0,95.

54 1. a) On cherche p1{X < 5 800}2.On a p1{X < 5 800}2 + p1{5 800 < X < 6 000}2 = 0,5.Avec la calculatrice, on obtient p1{5 800 < X < 6 000}2 ≈ 0,191 5, d’où : p1{X < 5 800}2 ≈ 0,308 5.b) p1{5 900 < X < 6 100}2 ≈ 0,197 4.c) p1{X > 6 250}2 = p1{X > 6 000}2 – p1{6 000 < X < 6 250}2

≈ 0,5 – 0,234 0 ≈ 0,266 0.2. a) On cherche x tel que p1{X < x}2 = 0,3.On obtient, avec la calculatrice, x ≈ 5 790.b) On cherche x tel que p1{X > x}2 = 0,2, soit p1{X < x}2 = 0,8.On obtient, avec la calculatrice, x ≈ 6 337.

en pAssAnt pAr LA Loi (0 ; 1)

55 1. a) X suit la loi normale (10 ; s2) si Y = X – 10s

suit la loi normale (0 ; –1).

b) X > 12 équivaut à X – 10s

> 12 – 10s

(car s > 0),

soit X – 10s

> 2s

ou encore Y > 2s

.

2. On cherche s tel que p15Y > 2s 62 = 1

3 ou encore

p15Y < 2s 62 = 2

3.

La calculatrice donne 2s

≈ 0,43 soit s ≈ 4,65.

56 1. On cherche p1{39,6 < D1 < 40,4}2 c’est-à-dire

p1{m – 2s < D1 < m + 2s}2 donc cette probabilité est égale

à environ 0,95.

Loi normALe

43 1. a) Le choix d’un trajet est une épreuve de Bernoulli ; soit il passe par C avec une probabilité de 0,08 soit il n’y passe pas.On a donc une répétition d’épreuves de Bernoulli indépen-dantes. Si n est le nombre de trajets X suit la loi binomiale de paramètre n et 0,8 (en 2013, n = 50).

b) p(X = 5) = 1 n5 2 (0,08)5 × (0,92)n–5.

Si n = 50, on a 1505 2 × (0,08)5 × (0,92)45 ≈ 0,000 001 63.

2. a) Z a les mêmes paramètres que la loi binomiale corres-pondante, c’est-à-dire m = 50 × 0,4 = 20 et s = 050 × 0,6 × 0,4 = 412 = 213 ≈ 3,46.b) À l’aide de la calculatrice, on obtient p1{16,5 < Y < 23,6}2 ≈ 0,687.Remarque : on peut aussi obtenir une valeur approchée sans calculatrice en remarquant que p1{16,5 < Y < 23,5}) ≈ p1{m – s < Y < m + s}2.Par conséquent, la probabilité que le commercial utilise le trajet le plus court 17, 18, 19, 20, 21, 22 ou 23 fois est égale à environ 0,687.

44 1. p1{110 < X < 130}2 = p1{m – s < X < m + s}2 ≈ 0,68.2. p1{X < 100}2 + p1{100 < X < 140}2 + p1{X > 140}2 = 1 et par symétrie p1{X < 100}2 = p1{X > 140}2.De plus p1{100 < X < 140}2 = p1{m – 2s < X < m + 2s}2

= 0,95.D’où : p1{X < 100}2 ≈ 0,025.

45 On cherche p1{1 000 < X < 1 500}2.Avec la calculatrice, on obtient environ 0,775.

46 1. On cherche p1{X < 50}2.On a p1{X < 50}2 = p1{X < 40}2 + p1{40 < X < 50}2.Or p1{X < 40}2 = 0,5 et avec la calculatrice on obtient p1{40 < X < 50}2 ≈ 0,45.Donc p1{X < 50}2 ≈ 0,95.2. p1{X > x}2 = 1 – p1{X < x}2.Donc p1{X > x}2 = 0,01 équivaut à p1{X < x}2 = 0,99.À l’aide de la calculatrice, on obtient x ≈ 54,4. D’où k = 54.

47 1. p1{Y < 6,5}2 + p1{Y > 6,5}2 = 1.De plus p1{Y < 6,5}2 = p1{Y < 3,5}2 + p1{3,5 < Y < 6,5}2.On a p1{Y < 3,5}2 = p1{Y > 6,5}2 et p1{3,5 < Y < 6,5}2 = p1{m – s < Y < m + s}2 ≈ 0,68,

d’où : p1{Y < 6,5}2 ≈ 0,68 + 0,322

≈ 0,84.

2. La probabilité que l’eau d’une bouteille soit calcaire est égale à p(Y > 6,5) ≈ 0,16.

48 1. On cherche p1{28,6 < D < 29,4}2 = p1{m – 2s < D < m + 2s}2. On a donc une probabilité d’environ 0,95.2. On cherche p1{1,9 < E < 2,1}2.La calculatrice donne environ 0,987 6.


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c) On sait que p1{– a < Z < a}2 = 0,95 pour a = m + 2s avec m = 0 et s = 1 car Z suit la loi (0 ; 1). Donc a = 2.

d) On a donc m – h – 500

41,6 = –2 et m + h – 500

41,6 = 2.

D’où : m – h ≈ 497,47 et m + h ≈ 502,52.

60 1. On veut que p1{X < 100}2 < 0,001.

Si on pose Y = X – m2

, Y suit la loi (0 ; 1).

On veut alors p15Y < 100 – m2 62 < 0,001. La calculatrice

donne alors 100 – m2

≈ –3,09. D’où : m ≈ 106,18.

2. On calcule p1{X > 110}2.p1{X > 110}2 = 0,5 – p1{m < X < 110}2 avec m ≈ 106,18.On obtient, avec la calculatrice, p1{X > 110}2 ≈ 0,028.3. a) On veut maintenant p1{X > 110}2 < 0,01.On va chercher m tel que p1{X < 110}2 = 0,99 ; ce qui

équivaut à p15Y < 110 – m2 62 = 0,99.

La calculatrice donne alors 110 – m2

≈ 2,326.

D’où : m ≈ 105,348.b) On cherche ici p1{X < 100}2 = 0,5 – p1{100 < X < 104,652}2 ≈ 0,01.

c) On veut 5 p1{X < 100}2 < 0,001p1{X > 110}2 < 0,01

.

On va résoudre 5 p1{X < 100}2 = 0,001p1{X < 110}2 = 0,99

.

Ce qui équivaut à 5 p15Y < 100 – ms 62 = 0,001

p15Y < 100 – ms 62 = 0,99

.

On obtient avec la calculatrice 5 100 – m

s ≈ –3,09

110 – ms

≈ 2,326.

D’où : m ≈ 105,78. s ≈ 1,87.

61 1. Soit X la variable aléatoire de moyenne m et d’écart-type s qui donne la durée de vie.

On pose Y = X – ms

, donc Y suit la loi normale (0 ; 1).

On veut p1{120 < X < 200}2 = 0,8 et p1{X < 120}2 = 0,05.

Ce qui équivaut à p15 120 – ms

< Y < 200 + ms 62 = 0,8 et

p15Y < 120 – ms 62 = 0,05.

Ou encore à 5 p15Y < 200 – ms 62 = 0,85

p15Y < 120 – ms 62 = 0,05

.

On obtient alors, avec la calculatrice, 5 200 – m

s ≈ 1,036

120 – ms

≈ 1,645.

On obtient 5 m ≈ 169,09s ≈ 29,84

.

2. On veut p1{39,6 < D2 < 40,4}2 = 0,99.

Or 39,6 < D2 < 40,4 équivaut à –0,4

s < Y < 0,4

s.

On cherche donc p15 –0,4s

< Y < 0,4s 62 = 0,99.

On sait que

p15Y < – 0,4s 62 + p15– 0,4

s < Y < 0,4

s 62 + p15Y > 0,4s 62 = 1

et que p15Y < – 0,4s 62 = p15Y > 0,4

s 62, donc p15Y < 0,4

s 62 = 0,005.

Or Y suit la loi normale (0 ; 1).La calculatrice permet alors d’obtenir 0,4

s ≈ 2,576 ; d’où

s ≈ 0,155.

57 1. On cherche p1{1,35 < X < 1,65}2. La calculatrice donne p1{1,35 < X < 1,65}2 ≈ 0,967 9.2. On veut p1{1,35 < X

1 < 1,65}2 = 0,99. On ne connaît pas

s et on ne peut pas utiliser la calculatrice ; on va donc se

« ramener » à la loi (0 ; 1) en posant Y = X

1 – 1,5s . Y suit

alors bien la loi (0 ; 1).

1,35 < X1 < 1,65 équivaut à – 0,15

s < Y < 0,15

s.

On a p15Y < – 0,15s 62 + p15– 0,15

s < Y < 0,15

s 62 +

p15X > 0,15s 62 = 1

et p15Y < – 0,15s 62 = p15Y > 0,15

s 62, donc p15Y < – 0,15

s 62 = 0,005.

La calculatrice donne 0,15s

≈ 2,576 ; d’où : s ≈ 0,058.

58 1. On cherche p1{7,495 < X < 7,505}2. Avec la calculatrice, on obtient p1{7,495 < X < 7,505}2 ≈ 0,261 1.2. On veut p1{7,495 < X < 7,505}2 = 0,99, ce qui équivaut

à p15–0,005s

< Y < 0,005s 62 = 0,99.

On a alors p15Y < –0,005s 62 = p15Y > 0,005

s 62 = 0,005, avec Y

qui suit la loi (0 ; 1).La calculatrice permet alors d’obtenir 0,005

s ≈ 2,576, soit

s ≈ 0,001 9.3. On cherche p1{7,495 < X < 7,505}2 avec maintenant m = 7,502 et s = 0,002.La calculatrice donne une probabilité d’environ 0,645.

59 1. La probabilité qu’une boîte soit conforme est égale à p1{497,5 < X < 502,3}2 soit environ p1{m – 2s < X < m + 2s}2 ≈ 0,95 (la calculatrice donne ≈ 0,941 4).La probabilité qu’une boîte soit non conforme est donc égale à environ 0,05.2. a) Z suit la loi (0 ; 1).b) m – h < X < m + h équivaut à m – h – 500

41,6 < X – 500

41,6 < m + h – 500

41,6, car 41,6 > 0,

c’est-à-dire à m – h – 500

41,6 < Z < m + h – 500

41,6.

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. ES-

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64 Vraie. La fonction de densité f vérifie f(– x) = f(x).

65 On sait que p1{X > 0}2 = 0,5.Si a < 0 alors p15X ∈ [a ; 0]62 > 0.D’où : p(X > a) > 0,5.

69 1. p1{X > 0}2 = 0,5 – a.2. p1{–6 < X < –3}2 = p1{–3 < X < 0}2 = a.3. p1{X < –6}2 = 0,5 – a.4. p1{X < 0}2 = 0,5 + a.

70 1. p1{–1 < X < 1}2 = 0,5 – a.2. p1{X > 3}2 = p1{X < –1}2 = a.3. p1{1 < X < 3}2 = 0,5 – a.4. p1{X > –1}2 = 1 – a.

71 Soit X la variable aléatoire qui mesure la glycémie, on note m la moyenne et s son écart-type.

La variable aléatoire Y = X – ms

suit la loi (0 ; 1).

On veut 5 p(X < 0,82) = 0,15p(X > 0,95) = 0,20

.

Soit 5 p(X < 0,82) = 0,15p(X < 0,95) = 0,8

.

Ce qui correspond à 5 p15Y < 0,82 – ms 62 = 0,15

p15Y < 0,95 – ms 62 = 0,8

.

On obtient avec la calculatrice 5 0,82 – m

s ≈ –1,036

0,95 – ms

≈ 0,842.

D’où : s ≈ 0,07. m ≈ 0,89.

74 a) Vrai. Car ici on a p1{m – 2s < X < m + 2s}2.b) Faux. Elle est inférieure à 0,68.c) Faux. On a p1{X < 983,6}2 ≈ 0,05.d) Faux. Ici on a p1{m – s < X < m + s}2 ≈ 0,6.e) Vrai. La calculatrice donne 0,924 5.

75 A. 1. On répète 50 fois de façon indépendante une

épreuve de Bernoulli. Les paramètres sont n = 5 et p = 13

.

2. p(X = 15) = 150152 × 1 1

3 215 × 1 2

3 235 ≈ 1,1.

3. p(X = 15, 16 ou 17) = p(X = 15) + p(X = 16) + p(X = 17) ≈ 0,34.

pour LA Logique

62 1. Vraie. La calculatrice donne a ≈ 0,84.2. Fausse. On sait que p15X ∈ [0 ; a[62 < 0,5.

63 1. Vraie. En effet p1{X = a}2 = p1{X = – a}2 = 0.2. Fausse. Par exemple si a = 3 et b = 0,1.

soutien

66 2. a) On a 30 ; 32 4 ∪ 3 3

2 ; + ∞3 = [0 ; + ∞[.

p15X ∈ [0 ; + ∞[62 = 0,5 et p15X ∈ 30 ; 32 4 ∪ 4 3

2 ; + ∞362

= p15X ∈ 30 ; 32 462 + p15X ∈ 4 3

2 ; + ∞362

car les deux intervalles sont disjoints.b) D’où : p1{X > 3}2 ≈ 1 – 0,433 ≈ 0,066.

67 1. p1{X > 0}2 = 0,5.p1{X < 0}2 = 0,5.2. Ces deux nombres sont égaux car la courbe représentative de la densité est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 0.

ApprofonDissement

68 p1{X < 3}2 + p1{3 < X < 7}2 + p1{X > 7}2 = p1X ∈ ]– ∞ ; + ∞[2 = 1. (Les trois événements sont disjoints.)

On a aussi p1{X < 3}2 = p1{X > 7}2 = 13

car la courbe

représentative de la densité est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 5.

D’où : p1{3 < X < 7}2 = 13

.

qCm

73 1. a) Vrai. On a p1{m – s < X < m + s}2.b) Vrai. Par définition.c) Faux. V(X) = s2 = 100.2. a) Faux. On a p1{X > 100}2 = 0,5 donc p15X ∈ [115 ; 125]62 < 0,5.b) Faux. Voir a).c) Vrai. Par symétrie par rapport à 100.

3. a) Faux. p(0 < X < 120) > 12

car m = 100 et s = 10.

b) Faux. Voir a).c) Vrai. Par symétrie et car p1{X < 80}2 = p1{X < 80}2.

EXERCICES Accompagnement personnalisé (page 237)

EXERCICES Le jour du BAC (page 238)


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. ES-

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On pose Y = X – 80s

, Y suit la loi (0 ; 1).

On cherche donc s tel que :

p1579,8 – 80s

< Y < 80,2 – 80s 62 = 0,99,

soit p15– 0,2s

< Y < 0,2s 62 = 0,99 ou encore :

2 × p150 < Y < 0,2s 62 = 0,99.

D’où : p150 < Y < 0,2s 62 = 0,495

et p15Y < 0,2s 62 = 0,5 + 0,495 = 0,995.

La calculatrice donne 0,2s

≈ 2,576.D’où : s ≈ 0,077.

b. 1. La loi normale a la même moyenne et le même écart-

type que la loi binomiale, c’est-à-dire m = 50 × 13

= 503

et

pour écart-type 050 × 13

× 23

= 61009

= 103

.

2. La probabilité p(Y > 17,5) est une approximation de p(X > 17,5). X prend donc les valeurs entières 18, 19, …, 50. On a alors une approximation de p(X = 18 ou 19 ou 20, … ou 50).3. p(Y > 17,5) = 0,5 – p150

3 < Y < 17,52 ≈ 0,4.

4. p(X = 15, 16 ou 17) ≈ p(14,5 < Y < 17,5) ≈ 0,34.

76 1. On cherche p1{79,8 < L < 80,2}2. La calculatrice nous donne environ 0,965.2. On veut maintenant p1{79,8 < X < 80,2}2 = 0,99.

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