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343

Chapitre XV Détermination des champs électriques et magnétiques statiques par la méthode de séparation de variables

Chapitre XV

La méthode de séparation de variables joue un rôle important dans la solution des

problèmes aux limites en prospection électrique et magnétique. Cette méthode peut-être

appliquée dans le cas où les fonctions de séparation sont confondues avec les coordonnées de

surface d'un quelconque système orthogonal de coordonnées. Une étape importante dans la

réalisation de la séparation des variables est de trouver les solutions partielles (particulières)

de l'équation de Laplace.

XV.1 Système de coordonnées sphériques

Dans le système de coordonnées sphériques la position d'un point est caractérisée par les

coordonnées r,, (fig.XIII.7):

dl1 = dr

dl 2=rdθ

dl 3=rsinθd

Ainsi, les coefficients métriques h1=1, h2= r, h3= r sin , ce qui permet d'écrire

l’équation (XIII.67) sous la forme:

∇ ²U=1r ²

∂∂ r (r 2∂ U

∂ r )+1r ²sin θ

∂∂ θ (sin

∂U∂ θ )+

+1r ²sin2θ

∂ ²U∂ ψ ² (XV.1)

Solution de l’équation de Laplace pour une fonction potentielle à symétrique axiale

Dans le cas d'une symétrie axiale l'équation (XV.1) prend la forme:

∂∂ r (r ²

∂ U∂ r )+ 1

sin θ∂∂θ (sin θ ∂ U

∂ θ )=0 (XV.2)

La méthode de Fourier de séparation de variables permet de déduire une solution

particulière de l'équation de Laplace:

U (r , θ )= f 1 (r ) f 2(θ ) (XV.3)

En substituant l'égalité (XV.3) dans l'équation (XV.2) et après transformation, on

obtient:

Détermination des champs électriques et magnétiques statiques par la méthode de séparation

344


Les deux parties de cette équation peuvent être égales à une même constante k, ce qui

conduit à deux équations différentielles:

(XV.4)

(XV.5)

Les solutions particulières de l'équation (XV.4) sont les fonctions et à

condition que:

n(n+1)=k (XV.6)

La solution générale de (XV.4) est une combinaison linéaire de ces deux solutions

linéaires indépendantes:

, (XV.7)

où an et bn sont des coefficients indépendants des coordonnées, mais qui peuvent être fonction

de n.

En substituant l'expression (XV.6) dans l'équation (XV.5), pour la détermination de la

fonction f2, on obtient l'équation de Legendre:

1f 2sin θ

ddθ (sin θ

df 2dθ )+n(n+1 )=0

(XV.8)

qui peut être présentée sous forme:

Il est plus facile d'utiliser le changement de variable x= cos qui varie sur l'intervalle

[-1, 1] lorsque décroît de à 0:

ddx [(1−x ²) df 2

dx ]+n (n+1 ) f 2=0 (XV.9)

Si l’on cherche la solution de l'équation de Legendre (XV.9) sous forme d'une série

infinie:

345


alors pour n un nombre non entier, les deux solutions seront des séries infinie sur [-1,1].

Si n est un nombre entier, l’une des séries se transforme en polynôme sur [-1,1]. La

fonction de Legendre de deuxième ordre est une solution pour n entier.

Afin d'obtenir l'expression de ce polynôme, soit la fonction:

u = (x²-1)n (XV.10)

Sa dérivée est:

du /dx=2nx ( x ²−1)n −1 ,

et la fonction elle même satisfait l'équation:

Le calcul de sa dérivée par rapport à x donne:

(XV.11)

Après le calcul de la première différentielle, on obtient:

(1−x ² )d ²dx ²

dudx

+(−2 x−2x+2nx )ddx

dudx

+

+(2n+2n−2)dudx

=0 ,

Après le calcul de la seconde différentielle, on a:

Le calcul de la n-ieme différentielle donne:

(1−x ² )d ²dx ²

dnudxn

+(−2 x−2 xn+2xn )ddx

dnudxn

+

+[2n+(2n−2)+(2n−4 )+…+(2n−2n )]dnu

dxn=0 ,

c’est à dire;

. (XV.12)

La comparaison des formules (XV.12) et (XV.9) montre que dnu /dxn est un polynôme

du n-ième degré qui satisfait l'équation de Legendre.

346


Afin d'obtenir cette dérivée sur les limites de l’intervalle [-1 , 1], réalisons les

transformations suivantes:

La n-ième différentielle donne:

dn

dxn( x ²−1 )n=n !2n xn+( x ²−1) Q ,

où Q est un polynôme de degré inférieur à (n-2)

Ainsi, les valeurs de composent sur les limites de l’intervalle considéré

et .

En normalisant par rapport à sa valeur au point x =1, on obtient le polynôme:

(XV.13)

Ce polynôme satisfait l'équation (XV.9) et il est égal sur les limites de l'intervalle à:

(XV.14)

De la formule (XV.13), on a:

(XV.15)

Les graphes des polynômes de Legendre sont montrés par la figure (XV.1).

Fig XV.1

347


Sur la base des fonctions (XV.3), (XV.7), en posant 2 = P1(cos), on trouve la solution

particulière de l'équation de Laplace (XV.2):

;

La somme de toutes les solutions particulières donne:

U (r , q )=∑n=0

¥

an rnPn (cosq )+∑

n=0

¥

bn1rn+1

Pn (cosq ) (XV.16)

Calcul de la fonction 1/R par le polynôme de Legendre

La distance inverse entre un point fixe (r', ′,=0) situé sur l'axe z et le point (r, ) est

exprimée par:

1R

= 1

√r '²+r ² −2 r ' r cos θ (XV.17)

en raison du caractère harmonique de la fonction 1/R, celle ci doit être présentée sous

forme de la première ou la seconde série (XV.16); donc:

(XV.18)

Afin de déterminer les coefficients an et bn, on pose = 0 et on tient compte de la

première égalité (XV.14) :

(XV.19)

L’expression (XV.17) pour = 0 peut être représentée sous forme d'une progression

géométrique:

(XV.20)

Les égalités (XIV.19) et (XIV.20) convergent si an = 1/r'n+1; bn = r'n. Donc, la

décomposition pour la distance inverse a la forme:

348


1R

=¿¿¿¿¿ (XV.21)

XV.2 Système de coordonnées cylindriques

L'équation de Laplace (XIII.67) en coordonnées cylindriques est:

∇ ²U=1r

∂∂ r (r ∂ U

∂ r )+ 1r ²

∂ ² U∂ ψ ²

+ ∂ ² U∂ z ²

=0 (XV.22)

Fig XV. 2

La solution particulière de cette équation est cherchée sous forme:

U=f 1 (r ) f 2 (ψ ) f 3 ( z ) (XV.23)

On divise ensuite l'équation (XV.22) par f1 f2 f3/r² :

rf 1

ddr (r df 1

d r )+ 1f 2

d ² f 2

dψ ²+ r ²

f 3

d ² f 3

d z ²=0

(XV.24)

(d²f2/df²)/f2 et d²f3 / dz² /f3 ne dépendent pas des coordonnées, d'où:

(XV.25)

Où etξ sont les paramètres de séparation.

Si on transforme l'égalité (XV.25) en (XV.24) et en pose v =ξ r, on obtient de la

fonction f1 l'équation de Bessel:

349


d ² f 1

dv ²+ 1v

df 1dv

+ (1− ν ²v ² ) f 1=0 ,

(XV.26)

dont la solution est f 1ν pour le paramètreν .

Sur la base des formules (XV.23), (XV.25) et (XV.26) les solutions particulières de

l'équation de Laplace sont:

U=¿ {f 1ν (ξ r ) sin ( νψ ) e± ξ z ; ¿ ¿¿¿ (XV.27)

Fonction de Bessel

Soit f1 = y et v =x. L'équation de Bessel (XV.26) devient:

x ²=d ² ydx ²

+x dydx

+(x ²−ν ² ) y =0 . (XV.28)

dont la solution est cherchée à l’aide de la série:

y=x s ∑j=0

∞

a j x j , (XV.29)

en posant a0 0. Après avoir remplacé la formule (XV.29) dans l'équation (XV.28) on

obtient:

∑j=0

∞

[ ( j+s ) ²+( x ²−ν ² )] a j x j+s =0 , (XV.30)

qui reste satisfaisante x. Celui-ci est possible si:

(XV.31)

Sachant que a -1 = a -2 = ... = 0, pour j = 0 et 1, on obtient pour a0 et a1:

. (XV.32)

Etant donné que a 00, il suit de l’équation (XV.32) que s=; toutefois de la seconde

équation on a a1=0. Ainsi, tous les coefficients impairs de la série sont nuls. Pour s= 0, la

formule de récurrence prend la forme:

a j=− a j−2

/ [ j(2 ν+ j) ], (XV.33)

350


c’est à dire;

(XV.34)

a6=−a0

24 (ν+2 ) ( ν+1) . 2! 6(2 ν+6 )=−

a0

25( ν+3 ) ( ν+2) (ν +1) . 3!;⋯

Donc, pour un nombre entier et positif , la solution de l’équation différentielle (XV.28)

est sous forme de la série:

y= α 0 xν [ 1−

( x2 )2

( ν+1 ) . 1!+

( x2 )4

( ν+2 ) (ν+1 ) .2 !−

( x2 )6

( ν+3 ) ( ν+2 ) (ν+1 ) .3 !+. .. ]

(XV.35)

Afin de déterminer la solution, le coefficient constant est choisi égal à :

a0= 1/ [2ν Γ ( ν+1 ) ] , (XV.36)

où Γ ( v+1 ) est la fonction gamma, dont la courbe

1Γ ( x+1 ) est illustrée par figure (XV.3).

Fig XV. 3

La fonction gamma est exprimée par la formule récurrente :

(XV.37)

Si ν=n avec n un nombre entier, on a l’égalité :

351


Γ (n+1 )=n ! (XV.38)

Puisque Γ (2 )=Γ (1 )=1.

Ainsi la solution de (XV.35), avec l’aide de l’égalité (XV.37) se transforme en fonction

de Bessel de premier type d’ordre v :

Jν ( x )= ( x2 )ν

∑m=0

∞ (−x ²4 )

m

m! Γ (m+ν+1 ). (XV.39)

par exemple, si ν =0

J0=1− x ²/ 4(1! ) ²

+( x ²/ 4 )²

(2 ! )²−

(x ²/ 4 )3

(3 !) ²+. ..

(XV.40)

La série (XV.39) converge ∀×. En remplaçant v par −v dans l’équation (XV.28) on

obtient une autre solution J−ν . les deux solutions Jν et J−ν sont linéairement

indépendantes sauf dans le cas quand v est un nombre entier.

Par ailleurs, on a :

Jn ( x )= (−1 )n J−n (x ) . (XV.41)

La relation

N ν=cos ( νπ ) J ν ( x ) − J− ν ( x )sin (νπ )

.(XV.42)

Est la fonction de Bessel de deuxième type, appelée aussi la fonction de Neumann. Les

fonctions Jν (x )

et N ν (x ) sont linéairement indépendantes ∀ v .

Si ν= n (entier) ; on a une indétermination de (XV.42) .Afin de l’éliminer il faut

calculer des dérivées du numérateur et du dénominateur

Nn = [−π sin (νπ ) J ν + cos (ν π ) (∂ J ν / ∂ ν ) − ∂ J−ν / ∂ ν

π cos (ν π ) ]ν=n

=

¿ 1π (∂ J ν

∂ ν )ν=n

−(−1 )n

π (∂ J−ν

∂ ν )ν=n (XV.43)

352


Il faut déterminer aussi les dérivées des fonctions :

(XV.44)

et la dérivée de la fonction inverse gamma :

∂∂ ν [ 1

Γ (m+ ν + 1 ) ]ν=n =− Γ '

Γ 2=

ψ (η )Γ (η )

, (XV.45)

où Ψ= Γ ' /Γ− est la fonction ψ égale à la dérivée de la fonction ln

Pour un argument entier et positif, on a Γ (η)= (η−1)! et

∂∂ v ( 1

Γ )v=n

=−ψ (η )

( η−1)! (XV.46)

alors que ;

(XV.47)

où γ= 0 ,57721 .. . .. .− la constante d’Euler

Les fonctions Γ et ψ aux points extrêmes p= 0,-1,-2,… sont déterminées par les relations :

Γ (η) ≃(−1 )|p|

|p|! (η−p); ψ (η )=−

1η−p

.

La dérivée (XV.45) à ces points a donc l’expression

(XV.48)

En remplaçant les expressions de J ν ( x )et J−ν ( x )dans la fonction (XV.43) et en

utilisant les relations (XV.44), on obtient :

353


Nn ( x )=2π

lnx2

J n( x )−1π (x2 )

−n

∑m=0

n−1 (n−1−m )!m! (x2

4 )m

− 1π (x2 )

n

∑m=0

∞

[ψ (m+1 )+ψ (n+m+1 ) ] (−x ²/ 4 )m

m! (n+m ) ! (XV.49)

En particulier,

N0 ( x )=2π [Ln (x2 )+γ ]J 0( x )+

2π

[x ²/ 4(1! ) ²

− (1+12 ) ( x ²/ 4 ) ²

(2 ! ) ²+

+ (1+12+ 1

3 ) ( x ²/ 4 )3

(3 ! ) ²]

(XV.50)

Des formules (XV.39), (XV.40), (XV.49) et (XV.50) pour les très petites valeurs de

l’argument, on a :

Afin de représenter la fonction de Bessel dans l’intervalle des grandes valeurs du

module de l’argument, posons dans l’équation (XV.28) :

d ²udx ²

+ [1− ν ²−1/4x ² ] u=0

Pour |x| ¿¿ 1 ,¿ la fonction u doit satisfaire l’équation approximative :

d ²u/dx ²+u≃0 , (XV.53)

Dont la solution est :

u= y ( x ) √x= c1 cos x+ c2 sin x

Ainsi, pour les grandes valeurs de |x|, l’équation de Bessel satisfait la fonction :

y=c1cos x

√x+ c2

sin x

√x.

354


On peut déterminer les constantes c1 et c2 et obtenir l’expression asymptotique pour

deux solutions linéaires indépendantes avec ν=n (entier) :

La figure (XV.4) donne les fonctions de Bessel de premier et seconde type et d’ordre entier.

Les fonctions de Bessel Jn et Nn peuvent être introduit dans la relation (XV.27) et on

peut écrire la solution particulière de l’équation de Laplace sous forme :

U= [cJ 0 (ξr ) + dNn (ξr ) ] (a eξz+ be−ξz ) ( p sin nψ+ g cos nψ ) , (XV.56)

où a, b, c, d, g, p – sont les constantes d’intégration. Si U et l’angle ψ sont indépendants,

c'est-à-dire dans le cas d’une symétrie axiale du champ, n =0 et on a :

(XV.57)

Fonction de Bessel modifiée

Un autre type de solution particulière de l’équation de Laplace peut être déduit si l’on

pose le paramètre de séparationξ=iξ . Donc, les solutions de l’équation (XV.64) pour f3 sont

des fonctions sinus et cosinus de l’argumentξ z . Après avoir remplacé l’égalité (XV.64) dans

l’équation de Laplace (XV.63), on a :

d ² f 1

dv ²1v

df 1dv

− (1+ ν ²v ² ) f 1=0 ,

(XV.58)

où v=ζr

Par conséquent, les solutions particulières de l’équation de Laplace ont la forme :

(XV.59)

355


Fig XV. 4

Si l’on utilise f 1 = y ; v = x , l’équation (III.58) s’écrit sous forme :

x ²d ² ydx ²

+ xdydx

− (x2 + ν ² ) y = 0 (XV.60)

Si l’on remplace x par ix on obtient l’équation de Bessel (XV.28).

Par conséquent, la fonction est l’une des solutions de l’équation (XV.39) .Ainsi au

lieu de JV ( ix ) on utilise ;

I ν ( x ) = i−ν Jν (ix ) , (XV.61)

qui s’appelle la fonction de Bessel modifiée de premier type. Des formules (XV39) et

(XV.61) il s’en suit que :

I ν ( x ) = ( x2 )ν

∑m=0

∞ ( x ² / 4 )m

m! Γ ( ν+m+1 ) (XV.62)

Si ν =0

I 0 ( x ) = 1+ x ² /4(1! ) ²

+(x ²/ 4 ) ²(2! ) ²

+( x ²/ 4 )3

(3 ! ) ²+ .. ..

(XV.63)

356


En général on obtient :

K ν( x )=π2

I−ν( x )−I ν( x )sin (vπ )

Qui s’appelle la fonction de Bessel de deuxième type. Si v=n (entier), on :

Kn ( x )=(−1)n

2 [∂ I−ν( x )∂ ν

−∂ I ν( x )

∂ν ]ν=n (XV.64)

Des formules (XV.62) et (XV.64) et en utilisant les relations (XV.44)-(XV.48), on obtient :

(XV.65)

En particulier, pour

K0( x )=−[ ln ( x /2) +γ ] I 0( x ) +x ²/ 4(1)!

+ (1+12 ) ( x ²/ 4 )²

(2) ²!+

+ (1+12+

13 ) ( x ²/ 4 )3

(3 ! ) ²+ .. .

(XV.66)

pour les petites valeurs de l’argument des fonctions de Bessel modifiées, on obtient des

formules (XV.62), (XV.63), (XV.65) et (XV.66) ce qui suit :

I 0( x ) ≃ 1 ; I n( x )≃ xn / (2n n! ) , n≥1 , | x| ¿¿ (XV.67)

K0 ( x )≃−ln ( x2 ); Kn( x )≃ ( n−1) 2n−1/ xn , n≥1 , | x | ¿¿ (XV.68)

Pour les grandes valeurs de | x |, l’équation (XV.60) en posant y=u /√x , conduit à l’équation

approximative :

u( x ) = y ( x ) √ x = c1ex + c2 e

−x ,

357


c'est-à-dire

y ( x ) = c1ex /√x + c2e

− x/√ x .

On peut déterminer les constantes c1 et c2 et obtient la représentation asymptotique :

ln (x )≃ ex /√2 πx ; Kn( x )≃ √ π e−x /√2 x , x¿¿1 .¿ (XV.69)

Les graphes des fonctions de Bessel modifiées sont représentés par (fig. XV.5)

En se basant sur la formule (XV.59), la solution particulière de l’équation de Laplace

est exprimée par :

U = [aI n (ξr )+bkn( ξr )] [ c cos (ξz )+ d sin (ξz )] (p sin nψ+g cosnψ ) (XV.70)

Dans le cas d’une symétrie axiale du champ U et le paramètre n =0, on a :

U = [aI 0 (ξr )+bk0 (ξr )] [c cos (ξz )+ d sin (ξz )] (XV.71)

Fig XV.5

Relation entre les fonctions de Bessel de différents ordres.

Les relations entre les fonctions de Bessel de différents ordres et leurs dérivées sont :

358


x J n' =−nJn+xJn−1 ; xI 'n=−nI n+ xIn−1 ; x Kn

' =−nKn−xK n−1 ; (XV.72)

(XV.73)

J '0=−J1 ; N '0=−N1 ; I '0=I 1 ; K '0=−K1 (XV.74)

ddx (x−n J n)=−x−n Jn+1 ;

ddx

( x−n I n )=x−n I n+1

ddx

( x−n Kn )=−x−n Kn+1 ;

(XV.75)

(XV.76)

La dépendance déterminée entre deux solutions de l’équation de Bessel permet alors

d’écrire :

(XV.77)

Calcul de 1/R par la fonction de Bessel

Soit la distance R de l’origine des coordonnées ou entre un point fixe sur l’axe z et un

point de coordonnées r ,ψ , z . la fonction harmonique 1/R, dépendant seulement de r et z

doit être une superposition des solutions (XV.57) avec le paramètre ξ variable de 0 à ∞ . En

tenant compte de décroissance 1/R avec l’augmentation de r et | z |, on peut avoir :

1

√(r ²+z ² )=¿ {∫

0

∞

a (ξ ) J 0 (ξr ) e−ξz dξ , z≥0 ¿ ¿¿¿

(XV.78)

puisque cette fonction est limitée pour r =0 et z≠0 .

359


On pose r =0 et en tenant compte de la première formule (XV.51). Ainsi les deux

expressions (XV.78) convergent lorsqu’on pose ξ= t /| z | vers l’égalité :

Qui est conservée pour a=1. Par conséquent :

1

√(r ²+z ² )=¿ {∫

0

∞

e−ξz J0 (ξr ) dξ , z≥0 . ¿ ¿¿¿(XV.79)

On peut aussi calculer la distance inverse en utilisant les solutions particulières de

l’équation de Laplace (XV.71) et la superposition est solution par rapport à z, qui diminuent

quand r→∞ :

1

√(r ²+z ² )=∫

0

∞

bK0 (ξr ) cos ( ξz ) dξ (XV.80)

Si l’on pose b= const et après intégration par parties, on obtient :

(XV.81)

Selon les formations asymptotiques (XV.68), (XV.69), seule l’expression intégrale dans

l’égalité (XV.71) reste respectée. On peut avoir, ainsi :

Cette expression se transforme pour r=0 en :

(XV.82)

De plus, selon la deuxième formule (XV.68) la fonction quandr→0 .

La condition (XV.82) est respectée pour b= 2/ π . En la remplaçant dans la formule (XV.80),

on obtient :

360


1

√(r ²+z ² )= 2

π∫0

∞

K 0 (ξr ) cos (ξz ) dξ (XV.83)

L’expression générale de 1/R entre le point (r ', ψ ', z ' ) et(r , ψ , z ) est donnée par les

formules :

1R

= ∑n=0

∞δn[∫0

∞

e−ξ|z−z '| J n( ξ r' ) dξ ] cos [n (ψ−ψ ' ) ];

(XV.84)

1R

= 2π∑n=0

∞δn [∫0

∞

Kn (ξr ) I n (ξr ' ) cos [ξ ( z−z ' ) dξ] cos [n (ψ−ψ ' ) ] , r≥r ' ( III .85 )

où δ0=1 et δn=2 pour n≥1. Dans le cas où r < r′ on remplace r par r ' .

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