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Le travail a été exécuté par les élèves de 5ème 6h math et 6ème 4h math.Pour chacun, ce fut une motivation pour apprendre et appliquer de nouvelles connaissances mathématiques figurant dans le programme. Chaque groupe a du expliquer ses réalisations à ses condisciples afin de pouvoir fournir les explications au public en l’absence de certains élèves.Un échange entre les connaissances des élèves des deux niveaux a montré les liens entre les études d’une année à l’autre et l’importance de la maîtrise à long terme des notions rencontrées.La présentation à un public varié, a obligé les élèves à adapter leur discours, à rechercher une pédagogie, à dégager les éléments essentiels de leur travail et a donné un sens naturel à la restitution des apprentissages.Ce dossier permet, si vous disposez du logiciel Cabri-géomètre TM de visualiser les figures réalisées en cliquant sur les images.

L’EAU MONTE!

ATHENEE ROYAL GATTI DE GAMOND 65, rue du MARAIS 1000 Bruxelles

Parrain du projet: JEAN DRABBE Professeur Emérite de l’ULBProfesseur: CHANTAL RANDOUR-GABRIEL

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La démarche

Dans un premier temps, les élèves de 5ème 6h math cherchent à simuler le remplissage du cylindre et de 2 cônes (un sur pointe et l’autre sur sa base) afin d’observer le comportement de fonctions indiquant la hauteur du niveau de l’eau.Le problème a sa place dans le cours d’analyse, mais la partie dessin fera appel à des notions de géométrie. Le logiciel Cabri-Géomètre IItm est choisi pour réaliser une animation.Ces élèves n’ayant pas la connaissance du logiciel Cabri ni le concept de dérivée, la première partie du travail consiste en l’apprentissage des concepts et la familiarisation avec le logiciel.

Un des objectifs est de remplir un icosaèdre et de le représenter en perspective oblique.Jean Drabbe développe les calculs pour résoudre ce problème.Pour commencer la recherche, il propose de remplir un octaèdre.Les formules sont calculées en classe et quelques notions de géométrie descriptive et de géométrie dans l’espace permettent de représenter l’octaèdre se remplissant en perspective oblique.Le remplissage de l’icosaèdre demande trop de calculs et donc trop de temps pour être développé dans la classe. Il pourrait se faire avec quelques élèves plus tard.

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Les élèves de 6ème 4h math, déjà familiarisés avec Cabri, simulent le remplissage de la sphère après avoir appris les notions de calcul intégral.Les formules démontrées, se pose le problème de résoudre une équation du 3ème degré.Jean Drabbe propose de résoudre ce problème par une trisection d’angle.Les élèves de 5ème et de 6ème sont amenés à faire une construction Cabri pour résoudre géométriquement l’équation et la tester dans divers cas.Une démonstration utilisant la trigonométrie et nécessitant de nouvelles formules pas encore découvertes par la classe est faite et montre la pertinence de la construction.

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Les acquis des élèves liés au projet

L’observation de la croissance des fonctions et du comportement des dérivées dessinées par approximation, est une belle application des notions d’analyse que doivent maîtriser les élèves du secondaire avec l’avantage d’un support lié à une réalité.

La comparaison des dérivées dans le cas du remplissage de la sphère et de l’octaèdre fait mieux comprendre aux élèves le rôle de la dérivée seconde.

La représentation en perspective oblique de l’octaèdre est un bon exercice pour appliquer les théorèmes vus en géométrie et une introduction aux changements de base si l’on veut travailler avec des systèmes de coordonnées.

Le travail des élèves réalisé, ils doivent présenter le problème au public. Ils proposent un jeu de devinettesconsistant à présenter une fonction, le spectateur devanttrouver le récipient correspondant au dessin.

Afin d’attirer le spectateur ils doivent concevoir le dessin de manière à simuler le remplissage des récipients avec une animation et jouer alors avec des paramètres.

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L’EAU MONTE!Le développement mathématique détaillé

Introduction

A la Cité des Sciences de Paris, des robinets de même débit remplissent des récipients de même volume et de même hauteur.Des graphiques indiquant la hauteur de l’eau et la vitesse de remplissage pour chaque récipient, en fonction du temps sont dessinés. Le spectateur est invité à associer un graphique à un récipient.Voici une simulation de cette expérience réalisée avec le logiciel Cabri-Géomètre.

REMPLISSAGE DE 2 CONES ET D’UN CYLINDRE

Les données suivantes sont choisies mais peuvent être modifiées:

H la hauteur des récipientsV le volume des récipientsD le débit des robinets

Temps nécessaire pour remplir entièrement les récipients T = V/DLe temps t varie de 0 à TVolume obtenu au temps t V(t) =t.D

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AH3

1 V

H HAUTEUR DE ETA BASE DE PYRAMIDEUNE D'VOLUME

)HR3(H3

1 V

H HAUTEUR DE ET RAYON R DESPHERIQUE CALOTTE UNE D'VOLUME

R3

4V

RAYON R DESPHERE UNE D' VOLUME

)BABA(H3

1 V

H HAUTEUR DE ET B ET A BASES DE RAYONS DE DROIT CIRCULAIRE CONE DE VOLUME

HR 3

1 V

HHAUTEUR DE ET RRAYON DE DROIT CIRCULAIRE CONEUN D' VOLUME

HR V

H HAUTEUR DE ET RRAYON DE DROIT CYLINDREUN D' VOLUME

2

3

22

2

2

PETIT FORMULAIRE

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Remplissage d’un cylindre et de 2 cônes.Le volume V et la hauteur H étant déterminés, les bases sont obtenues par calcul.

Hvide(t)- vaut Heremplissag duhauteur la à ant correspond H(t)

ide(t)hauteur Hv uneà ,précédente formulela utilisant en ,correspond vide volumeceet

V(t)-V Vvide(t) delaisser vià revient V(t) avecremplir base,sa sur est cône le quand

3

2

2R

2H)t(V32R

2DH)t('H

32R

2H)t(V3 H(t)doncet 3))t(H(

3

1)t(H2))t(R(

3

1)t(V

)t(HH

R R(t)encore ou

H

R

H(t)

R(t) queet )t(H2)t(R

3

1V(t) comme

H

V3 cône du basela de rayon le R

2R

D)t('H

2R

)t(V H(t) cylindre le dans t tempsau eaul' dehauteur la

H

V cylindre du basela de rayon le R

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Dessin du cylindre et des 2 cônes en projection verticale

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Calcul de H(t) pour chaque récipient

dans le cas ci-dessous t =2.46

Figure Cabri de El Madyouni A.M.

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Graphique des hauteurs en fonction du temps pour chaque récipient

Hauteur

temps

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Figure Cabri de Sarout J.

Hauteur

temps

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Graphique des fonctions hauteur et de leur dérivée en fonction du temps obtenues par calcul approchéChoisir un nombre p, calculer dans les 3 cas le rapport (h(t+p)-h(t) ) / p et diminuer p le plus possible (p=0.0001 donne une bonne approximation )

temps

HauteurCliquer sur la figure pour voir l’image Cabri

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REMPLISSAGE DE L’OCTAEDRE données V et D

3 6V Hdoncet 6

3HV ou 3H

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1

2

H2c3

1

2

V

)H2

2

2

Hcet (

2

2H

4

2H22c orepar Pythag

2hauteur H/ uneet V/2 volumeuna pyramide Chaque

pyramides 2 en octaèdrel' sDécomposon

et D V Fixons

liés!sont et H V cas, ce Dans

Sur la projection verticale, on voit en vraie grandeur la hauteur des faces et d ’un côté, les segments roses sur cette figurereprésentons l’octaèdre en perspective oblique

c2

3est face uned ’hauteur La

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34

2H2c

)1t(V3)1t(H

3))1t(H(2H

42c3

1)1t(V

)1t(H2H

42))1t(H(2c3

1)1t(H

2H

42))1t(H(2c3

1)1t(H2))1t(c(

3

1)1t(V

H

2)1t(H.c)1t(c

2

H)1t(c)1t(H.c

)1t(H

)1t(c

2

Hc

T/2,et 0 entre Pour t1

Appelons c(t1) le côté du carré à la hauteur h(t1)

*

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)2t(HvideH)2t(H

32c4

2H)2t(Vvide3)2t(Hvide

)2t(VV)2t(Vvide

Quand t parcourt le segment T/2 à T, il suffit de laisser vide Vvide(t2) = V-V(t2)Ce volume correspont à une hauteur Hvide(t2) en utilisant la formule * pour ce volume

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Voici la simulation du remplissage d’un octaèdre et d’un cylindre de volume V et de hauteur HLa tangente à la fonction h(t) en t est représentée par un segment. Pour le construire on dessine la droite comprenant les points( t,h(t)) et (t+p,h(t+p)) avant de donner à p une valeur très petite.

Hauteur

temps

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Voici le niveau d’eau atteint pour 2 temps différents dans l’octaèdre représenté en perspective oblique avec Cabri.

rem:le logiciel ne permet pas de mettre en bleu tout le volume rempli.

Figure Cabri de Sarout J.

Cliquer sur la figure pour voir l’image Cabri

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REMPLISSAGE DE LA SPHERE données Vet D

1/Calcul du volume v d’une calotte de hauteur h dans une sphère de rayon r

)²rx(²r²y ou

²ry²r)²-(x

(r,0) centre der rayon de cercle du Equation

r²h³h3

1v

r²h³h3

1³r

3

1³r

3

1²hrr²h³h

3

1h²rv

³r3

1³r²hr3r²h3³h(

3

1h²r³r

3

1)³rh(

3

1h²rv

)³r0(3

10²r)³rh(

3

1h²r)³rx(

3

1x²rdx)²rx(²rdx²y v

hhauteur de sphérique calottela de Volumeh

0

h

0

h

0

r²h³h

3

1v

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0³r

v32cos3³cos

que tel coser faut trouv il

2cos3³cos³r

v3

)2cos3³(cos3

³rv

3cos6²cos3²1cos 3

1cos2²cos²1cos

1cos3²cos3³cos³1cos

)²)1(cos3³1(cos3

³rv

)²cos1²(r(r3

)³cos1³(rv

donné pour v cos cherchonset rcos-r h posons

2/Calcul de la hauteur h d’une calotte sphérique de volume v, r étant le rayon de la sphèred ’après les calculs de Jean Drabbe

0³r

v32cos3³cos

0³r

v32cos3³cos résoudrefaut il

rcos-r h comme

20

2r³

3v2

2r³

3v22

42r³

3v22

4r³

3v-0

4 r³

3v0

r³4v3

0

r³ 4v30

r³ 3

4v0

2b avec 0b-3x-x³

typedu équation une résoudre devons nous xcossi

rcos-r h

remarque

21

3/Résolution de x³-3x-b=0 avec b[-2;2]

a/Dessinons une de ces fonctions

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b/Représentons des fonctions de ce type et faisons varier b entre -2 et 2Observons les divers zéros de ces fonctions.

Cliquer sur la figure pour voir l’image cabri

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cosa 3-4cos³a

cos³a 3cosa 3-cos³a

cos²a)-cosa(1 3-cos³a

cosa3sin²a -cos³a

cosa2sin²a -cosa sin²a -cos³a

cosa2sin²a -sin²a)cosa-cos²a(

asin(2a)sin-sacos(2a).coa)cos(2acos(3a)car

3cosa-cos³a4cos(3a) or

)3cos(2cos6³cos8bx3³x

cos6x3

³cos8³x

)3cos(2cos2b et

2cos 3

2cos x donc

3 posons

0b-3x-x³ de solutionest 2

bcos que tel avec

32cos x que c/montrons

0

cos6³cos8cos6³cos8

)cos3³cos4(2cos6³cos8

)3cos(2cos6³cos8bx3³x

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d/vérifions le résultat sur un exemple

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2b avec 0b-3x-x³ résoudrefaut il

2b :remarque

b- par ³r

v32et x par cosremplaçons

0³r

v32cos3cos³

que telcoschercher càd

cos déterminer desuffit il

rcos-rhor

h déterminerfaut il ,r et connaît v on

e/résumons ...

2

bcos que tel avec )

32cos( solution commeadmet 2b avec 0b-3x-x³ équation'L

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f/Les solutions construites et calculées !

Figure de El Boulahli S.


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cos21rh3

2

)2

barccos(

1³r2

v3

2

br³

3v-2b -calculer

donnésétant r et v

4/Formule pour la hauteur h d’une calotte de volume v dans une sphère de rayon r

3

1r2

v3arccos2

cos21rh3

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Voici la simulation du remplissage de 3 récipients de même volumeLe cylindre a le même diamètre que celui de la sphère.Les unités de ce dessin sont les mêmes que sur le dessin suivant.

Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A.

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Voici les fonctions donnant les hauteurs de l’eau en fonction du temps et la dérivée de ces hauteurs par rapport au temps dans les 3 récipients.

Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A.temps

Hauteur

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Voici le graphique des fonctions dérivées lorsqu’on modifie l’échelle des y pour le remplissage du cylindre, de la sphère et de l’octaèdre.

Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A.

temps

Hauteur


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Associe une courbe à un des 4 récipients!


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SOURCES

Textes et correspondance de Jean Drabbe

Citésdocs Explora n°46, MathématiquesEditions de la Cité des Sciences et de l’Industrie Paris 2001

1 le travail a été exécuté par les élèves de 5ème 6h math et 6ème 4h math. pour chacun, ce...

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