1. g om trie plane et transforma...

1. GÉOMÉTRIE PLANE ET TRANSFORMATIONS

GÉOMÉTRIE PLANE ET GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

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1.1. Langage géométrique : notations et vocabulaire

Le langage géométrique est un langage technique : les mots, expressions, locutions y ont souvent un sens précis (par exemple, segment, droite, perpendiculaire, milieu…). Les objets géométriques (points, droites, figures) sont désignés à l’aide de lettres.

Étant donné deux points A et B distincts, par convention :- [AB] désigne le segment d’extrémités A et B ;- AB désigne la longueur du segment [AB] (ou parfois, la distance de A à B) ;- (AB) désigne la droite passant par les points A et B ;- [AB) désigne la demi-droite d’origine A passant par B.

Il existe aussi une notation conventionnelle pour les droites parallèles ou perpendiculaires :(AB) // (CD) signifie : la droite (AB) est parallèle à la droite (CD).(AB) (CD) signifie : la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (CD).

Nous invitons les candidats au concours à utiliser les notations correctes car les correcteurs sont vigilants sur cet aspect.

ExemplesLorsqu’on parle des côtés opposés d’un carré ABCD qui sont parallèles, on écrit (AB) // (CD).Lorsqu’on parle des côtés opposés d’un carré ABCD qui sont de même longueur, on écrit AB = CD.On écrit : AB = 4cm et pas [AB] = 4cm.On écrit : (AB) (BC) et pas [AB] [BC].


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GÉOMÉTRIE PLANE ET TRANSFORMATIONS

Remarque Certains mots n’existent pas ou peu dans la langue courante (« segment », « parallèle »…) alors que d’autres sont employés dans la langue courante avec des sens parfois différents (« sommet » pour une montagne, « milieu » pour une ronde, « arête » pour un poisson…).

NB. Dans ce chapitre, les mots ou expressions du vocabulaire de base – point, ligne droite, demi-droite, segment, ligne brisée, sommet, demi-plan, triangle (quelconque, équilatéral, isocèle, rectangle), droites parallèles, sécantes ou concourantes, droites perpendiculaires, angle (droit, plat, nul, aigu, obtus), cercle, rayon, diamètre, corde, arc de cercle – vous sont assez familiers pour qu’ils ne soient pas redéfinis.

1.2. Segments, droites, distance, orthogonalité, parallélisme

1.2.1. Généralités

La mesure de la longueur du segment [AB] s’appelle la distance de A à B. Elle est notée AB. Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est à égale distance de ses extrémités.

Inégalité triangulaireSi un point M appartient au segment [AB], alors AM + MB = AB.Inversement, si AM + MB = AB, alors le point M appartient au segment [AB].Si un point M n’appartient pas au segment [AB], alors AM + MB > AB.Inversement, si AM + MB > AB, alors le point M n’appartient pas au segment [AB].

1.2.2. Orthogonalité, parallélisme

Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point commun qui est leur point d’intersection.

d

d’

A

d

d’ A

d’’

d

d’

Étant donné une droite d et un point A, il passe par A une seule droite d’ qui soit perpendiculaire à d.

Étant donné une droite d et un point A extérieur à d, il existe une droite parallèle à d et une seule qui passe par A (axiome d’Euclide).

Si une droite d est parallèle à une droite d’ et si d’ est parallèle à une droite d” alors la droite d est parallèle à la droite d” (pour évoquer cette propriété, on parle de la transitivité du parallélisme).

dd’

d’

d

d

d’

d’’

GÉOMÉTRIE PLANE ET GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE GÉOMÉTRIE PLANE ET TRANSFORMATIONS

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RemarqueOn dit aussi :• deux droites qui n’ont aucun point commun sont (strictement) parallèles ;• deux droites qui ont tous leurs points confondus sont parallèles.

d

d’

d’’’’

d

d’

A

I

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.En d’autres termes, si d’ d et si d’ d” alors d // d’’.

Réciproquement, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Distance d’un point à une droite La distance du point A à la droite d est la distance de A à I, point d’intersection de d avec d’ qui est la perpendiculaire à d passant par A.

1.2.3. Médiatrice d’un segment

• Définition

La médiatrice du segment (@GL.) [AB] est l’ensemble des points M du plan équidistants de A et de B, c’est-à-dire tels que MA = MB.

• Propriétés (admises)

- La médiatrice du segment [AB] est une droite perpendiculaire au segment [AB] en son milieu.- Si un point est équidistant des extrémités A et B d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de [AB] (cas ici du point M).

Comme toute droite, la médiatrice d du segment [AB] partage le plan en deux demi-plans P1 et P2. Soit A un point de P1 et B un point de P2, Pour tout point P de P1, on a PA < PB, c’est-à-dire que P est plus proche de A que de B, et pour tout point Q de P2, on a QA > QB, c’est-à-dire que Q est plus proche de B que de A.

d’

d

P1

P2

d’’

d

d’

A


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RemarqueLes médiatrices des côtés d’un carré ou d’un rectangle son aussi appelés axes médians (@GL.) du carré ou du rectangle. Les segments joignant les milieux des côtés parallèles sont alors appelés médianes du carré ou du rectangle.

1.3. Angles

1.3.1. Généralités N.B. Nous avons décidé dans cet ouvrage de ne pas distinguer les concepts de

secteur angulaire et d’angle.

Un angle du plan est une région du plan délimitée par des demi-droites [Ox) et [Oy) de même origine. Ces demi-droites sont les côtés de l’angle. Le sommet de l’angle est l’origine commune aux demi-droites.

En fait, comme la figure ci-dessus permet de le comprendre, les demi-droites [Ox) et [Oy) délimitent deux angles dont la réunion recouvre le plan tout entier. L’angle hachuré est dit saillant, noté . C’est celui qui contient le segment [AB]. L’autre angle est dit rentrant, il est noté xOy. C’est celui qui ne contient pas le segment [AB]. Sauf indication contraire, on considèrera l’angle saillant.

La mesure des angles s’effectue en degrés ( ° ). Pour exprimer la mesure de l’angle ci-dessus, on écrira = 30° ou = 30°.

• Quand les demi-droites [Ox) et [Oy) sont confondues, on a un angle saillant réduit à la demi-droite qu’on appelle « angle nul » et un angle rentrant recouvrant tout le plan qu’on appelle « angle plein ».


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La mesure de l’angle nul est 0° et la mesure de l’angle plein est 360°.

O

B

A

O

B

A

La mesure d’un angle saillant est comprise entre 0° et 180°.

La mesure d’un angle rentrant est comprise entre 180° et 360°.

Lorsqu’un angle mesure 180°, on dit qu’il est plat.

• Deux angles x yO∑ et sont opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et si les angles et sont plats. Leurs mesures sont égales.

O

B

A

C

B

A

C

O

B

A

C

Des angles sont adjacents s’ils ont le même sommet et s’ils ont un côté commun.

Des angles sont complémen-taires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.

Des angles sont supplémen-taires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.

1.3.2. Bissectrice d’un angle

• Définition

La bissectrice d’un angle (@GL.) est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.


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• Propriétés (admises)

La bissectrice d’un angle est aussi l’ensemble des points équidistants des côtés de cet angle. Par exemple, dans la figure ci-dessous, [Oz) est la bissectrice de . Tout point M de [Oz) est équidistant de [Ox) et de [Oy), côtés de l’angle (on a déjà défini la distance d’un point à une droite) (§ 1.2.2.).

1.3.3. Droites parallèles et angles

Théorème 1 Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes internes égaux.

Théorème réciproque Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.

Théorème 2 Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes externes égaux

Théorème réciproqueSi deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes externes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.


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Théorème 3Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles correspondantségaux.

Théorème réciproque Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles

1.4. Cercle, disque

RappelLe cercle (@GL.) de centre O est l’ensemble des points situés à égale distance du point O. Cette distance s’appelle le rayon du cercle. Un cercle est donc défini par son centre O et son rayon R.Le disque (@GL.) de centre O et de rayon R est l’ensemble des points du cercle et ceux intérieurs au cercle.Vocabulaire : corde, arc, rayon, diamètre, secteur circulaire.

1.4.1. Positions relatives d’une droite et d’un cercle

Soient C le cercle de centre O et de rayon R, d une droite et I le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur d. Le nombre de points d’intersection du cercle C avec la droite d dépend de la distance du centre O à la droite d, la distance OI.

Trois cas sont possibles :- si OI > R, la droite d et le cercle C ne sont pas sécants ;- si OI = R, la droite d est tangente au cercle C en I ;- si OI < R, la droite d et le cercle C sont sécants en deux points distincts.

(@DOC. Compléments sur le cercle).


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1.4.2. Positions relatives de deux cercles

Soient deux cercles C et C’, de centres respectifs O et O’, de rayons respectifs R et R’.

Trois cas peuvent se produire :- les cercles n’ont pas de points communs ; - les cercles ont un seul point commun ; - les cercles ont deux points communs.

(@DOC. Compléments sur le cercle).

1.4.3. Angle au centre, angle inscrit

A

C

B Définition préalable Dans un cercle, une corde est un segment reliant deux points du cercle. À noter qu’un diamètre du cercle est une corde de plus grande mesure possible. Un angle inscrit dans un cercle est un angle formé par deux cordes issues d’un même point du cercle.Ici, est un angle inscrit, interceptant l’arc .

(@DOC. Compléments sur le cercle)

1.5. Polygones

• n désignant un entier naturel supérieur ou égal à 3, un polygone à n côtés est une ligne brisée fermée constituée de n segments et n’ayant pas trois sommets consécutifs alignés.Les segments formant la ligne brisée sont les côtés du polygone. Les extrémités des côtés sont les sommets du polygone. Chaque sommet définit ainsi un angle du polygone : il y a autant d’angles que de côtés. Une diagonale d’un polygone est un segment joignant deux sommets non consécutifs.

• Un polygone est dit croisé si deux côtés non consécutifs sont sécants.

• Un polygone est convexe si quels que soient les points P et Q intérieurs au polygone le segment [PQ] est entièrement à l’intérieur du polygone.

Dans le cas contraire, le polygone n’est pas convexe : on peut trouver deux points P et Q intérieurs au polygone ABCD tels que le segment [PQ] ne soit pas entièrement intérieur

B

A

C


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au polygone. Notamment, une diagonale du polygone est extérieure au polygone. Par exemple, dans le polygone non convexe ci-dessous, [AC] est une diagonale extérieure du polygone ABCD.

Polygone convexe Polygone non convexe

Remarque Dans un polygone convexe, tous les angles sont saillants et dans un polygone non convexe, il y a au moins un angle rentrant.

! Somme des angles d’un polygone n étant le nombre de côtés d’un polygone, la somme de ses angles en degrés, est (n ! 2) " 180.ExemplePour un pentagone, n = 5. La somme des angles est (5 ! 2) " 180 = 3 " 180 = 540. La somme des angles d’un pentagone est de 540°.(@AI. Déterminer la valeur d’un angle).

! Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont même longueur et lorsque ses angles saillants formés par deux côtés consécutifs sont tous égaux. C’est le cas du triangle équilatéral et du carré.

! Si un polygone est régulier, il existe un cercle qui passe par tous ses sommets, on l’appelle cercle circonscrit (@GL.) au polygone et on dit que le polygone est inscrit dans le cercle. Le centre de ce cercle est aussi appelé centre du polygone régulier. (@DOC. Compléments sur le cercle)

1.5.1. Triangles

• Propriété

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.

• Théorème (« inégalité triangulaire »)


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A, B, C étant 3 points quelconques, on a : AC AB + BC.Droites particulières dans un triangle

! Médianes et centre de gravité

a. Définition

La médiane (@GL.) issue de A dans le triangle ABC est la droite qui joint le sommet A au milieu A’ du côté opposé [BC]. Ce nom désigne à la fois la droite (AA’), le segment [AA’] et parfois aussi la longueur AA’.

b. Propriétés (admises)

Les trois médianes d’un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d’intersection G est le centre de gravité (@GL.) du triangle ABC.

Le centre de gravité G du triangle ABC est situé aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet :AG = 2/3 AA’ ; BG = 2/3 BB’ ; CG = 2/3 CC’.

! Hauteurs et orthocentre

Les trois hauteurs d’un triangle (@GL.) quelconque ABC sont concourantes. Leur point d’intersection H est l’orthocentre (@GL.) du triangle ABC. Les deux figures correspondent au cas où le triangle a un angle obtus, cas dans lequel l’orthocentre est extérieur au triangle, et à celui où le triangle n’a que des angles aigus.

! Médiatrices et centre du cercle circonscrit


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Les trois médiatrices d’un triangle (@GL.) quelconque ABC sont concourantes. Leur point d’intersection O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, c’est-à-dire de l’unique cercle passant par les trois points A, B et C.(@DOC. Compléments sur le triangle)

! Bissectrices et centre du cercle inscrit

Les trois bissectrices d’un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d’intersection est le centre du cercle inscrit (@GL.) dans le triangle ABC, c’est-à-dire intérieur au triangle ABC et tangent aux trois côtés. Le point est à l’intérieur du triangle ABC.

Remarque Le centre du cercle inscrit d’un triangle est équidistant des côtés de ce triangle.

Cas d’égalité de trianglesIl existe trois cas d’égalité des triangles qui reposent sur des égalités de côtés et d’angles. (@DoC. Compléments sur le triangle)

Triangles particuliers


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Triangle isocèle (@GL.) Propriétés (admises)DéfinitionUn triangle est isocèle s’il a deux côtés de même longueur. Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A si AB = AC.

* Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A si et seulement si les angles adjacents à la base sont égaux.* Si le triangle ABC est isocèle de sommet principal A alors les quatre droites : hauteur issue de A, médiane issue de A, bissectrice de l’angle et médiatrice de la base [BC] sont confondues.* Inversement, dans un triangle ABC, si deux des quatre droites citées ci-dessus sont confondues alors il est isocèle de sommet principal A.

Triangle équilatéral (@GL.) Propriétés (admises)Définition Un triangle est équilatéral si ses trois côtés ont même longueur

* Un triangle est équilatéral si et seulement si ses angles mesurent tous 60°.* Un triangle est équilatéral si et seulement si il est isocèle et a un angle de 60°* Si le triangle ABC est équilatéral alors les points, centre de gravité, orthocentre, centre du cercle circonscrit et centre du cercle inscrit, sont confondus.* Inversement, si dans un triangle ABC deux des points cités ci-dessus sont confondus, le triangle est équilatéral.

Triangle rectangle (@GL.) Propriétés (admises)Définition Un triangle est rectangle s’il a deux côtés perpendiculaires. Si le triangle ABC est rectangle en A, le côté opposé à A, c’est-à-dire [BC], s’appelle l’hypoténuse.

Si un triangle ABC est rectangle en A alors le cercle de diamètre [BC] passe par A ou, ce qui revient au même, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de [BC].Réciproquement : tout triangle inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés est rectangle.Cette propriété permet de construire un triangle rectangle dont on connaît l’hypoténuse. Elle peut aussi permettre de démontrer qu’un angle est droit ou qu’un point appartient à un cercle.Triangle rectangle isocèleLes angles à la base valent chacun 45°.

A

C

B

C

C


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Théorème de Pythagore et sa réciproque

Énoncé du théorème de Pythagore Théorème réciproqueSi un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :

BC2 = AB2 + AC2

Si dans un triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, ce triangle est un triangle rectangle.

Ce théorème permet de prouver qu’un triangle est rectangle ou non. (@DOC. Compléments sur le triangle).

! Exemple Soit ABC, triangle rectangle en A, avec AB=3 et AC= 4. Calculer AC. Solution Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, on a : BC2 = AB2 + AC2 soit BC2 = 9 + 16 = 25. On en déduit que BC = = 5

! Applications du théorème de Pythagore La mesure de la longueur de la diagonale d’un carré de côté a (a étant un nombre réel strictement positif)) est . La mesure h de la hauteur d’un triangle équilatéral de côté a (a étant un nombre réel

strictement positif)) est égale à .

(@DOC. Démonstration de théorèmes et exemples ; @DOC. Synthèse et sujets de concours)

Le théorème de Pythagore permet de justifier la construction à la règle et au compas de certains segments dont la mesure s’exprime par un nombre irrationnel comme , ,

.

(@AI. Énoncer le théorème de Pythagore ; @AI. Utiliser le théorème de Pythagore ; @AI. Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ; @AI. Utiliser le théorème


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de Pythagore dans l’espace).Théorème de Thalès et sa réciproque

! Théorème de Thalès

Soit un triangle ABC, un point B’ sur (AB) et un point C’ sur (AC) tels que (B’C’) soit parallèle à (BC). On considère donc les trois cas de figures suivantes :

A

C

’

’

B

’

C

B

’ B’ [AB)C’ [AC)

B’ [AB)C’ [AC)

B’ [AB)C’ [CA)

Alors on a :

Propriété complémentaire

Soit un triangle ABC et une parallèle à (BC) coupant (AB) en B’ et (AC) en C’. Les deux

triangles ABC et AB’C’ ont leurs côtés correspondants proportionnels :

Le théorème de Thalès permet le calcul de certaines longueurs dans un triangle. Il permet également de justifier la construction du partage d’un segment dans un rapport donné.

Exemple d’application du théorème de Thalès

Tracer un triangle ABC tel que AB = 4 cm, BC = 6 cm et CA = 5 cm.Soit D [AB] tel que AD = 3 cm.Soit E (AC) tel que (ED) // (BC).Soit F (BC) tel que (EF) // (AB).Calculer ED, AE, EF, BF.

Le corrigé de cet exercice est disponible dans le document « Démonstrations de théorèmes et exemples » (@DOC.).

(@AI. Résolution d’équations présentant des fractions ; @AI. Énoncer le théorème de Thalès ; @AI. Utiliser le théorème de Thalès ; @AI. Utiliser le théorème de Thalès dans l’espace).

C’

A

B’

BC


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! Réciproque du théorème de Thalès

Soient un triangle ABC, des points alignés A, B, B’ et des points A, C, C’, alignés dans le même ordre.

Si , alors les droites (BC) et (B’C’)

sont parallèles.

A

C

B’

C’

B

La réciproque du théorème de Thalès permet de montrer que des droites sont parallèles.

! Exemple d’application de la réciproque du théorème de Thalès

On considère un triangle IJK dans lequel IJ = 3 et IK = 4,5 et JK = 5,8. On place le point L sur la demi-droite [JI) tel que IL = 4 et le point M sur la demi-droite [KI) tel que IM = 6. Que peut-on dire des droites (JK) et (ML) ?

Le corrigé de cet exercice est disponible dans le document « Démonstrations de théorèmes et exemples » (@DOC.).

(@DOC. Synthèse et sujets de concours ; @AI. Utiliser la réciproque du théorème de Thalès).

! Cas particulier du théorème de Thalès : le théorème de la droite des milieux dans un triangle

Théorèmes • Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. • Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. • Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté.

Exemple :ABC est un triangle. La parallèle à (AB) passant par le milieu A’ de [BC] coupe [AC] en son milieu. (@DOC. Compléments sur le triangle)


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1.5.2. Quadrilatères particuliers

Les Trapèzes

! Définition

Un quadrilatère convexe est un trapèze s’il a deux côtés opposés parallèles. Le plus grand de ces deux côtés est appelé « grande base » et le plus petit, « petite base ».

Remarque Les parallélogrammes, les rectangles, les losanges, les carrés sont des trapèzes particuliers.

! Trapèze isocèle

DéfinitionUn trapèze de bases [AB] et [CD] est un trapèze isocèle si ses côtés non parallèles sont de même longueur.Remarque Les rectangles et les carrés sont des trapèzes isocèles particuliers.

Propriété (admise)Les angles à la base d’un trapèze isocèle ont la même mesure.Si ABCD est un trapèze isocèle de bases [AB] et [CD] alors = et = .

! Trapèze rectangle

DéfinitionUn trapèze est dit « trapèze rectangle » s’il a un angle droit.

Propriété (admise)Si un quadrilatère est un trapèze rectangle, il a au moins deux angles droits (l’un des côtés est perpendiculaire aux bases).


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Les Parallélogrammes

! Définition

Un quadrilatère ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Le point d’intersection des diagonales est appelé centre du parallélogramme.

! Propriétés (admises)

- Propriété 1 : un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles. Propriété réciproque : un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles est un

parallélogramme. - Propriété 2 : un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur. Propriété réciproque : un quadrilatère convexe ayant ses côtés opposés de même

longueur est un parallélogramme. - Propriété 3 : un quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles et de même

longueur est un parallélogramme.

! Parallélogrammes particuliers

Le losange, le rectangle et le carré sont des parallélogrammes particuliers.

(@DOC. Propriétés des quadrilatères)

Exemple d’utilisation des propriétés des quadrilatères On considère un quadrilatère ABCD non croisé. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA].a. Montrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.b. Quelle condition doit vérifier le quadrilatère ABCD pour que IJKL soit un rectangle ?

Vous trouverez la correction de cet exercice dans le document « Propriétés des quadrilatères » (@DOC.).

(@AI. Propriétés des quadrilatères particuliers ; @AI. Déterminer la nature d’un quadrilatère).


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1.6. Transformations du plan

Définitions

- On appelle transformation plane (@GL.) ou transformation du plan dans lui-même tout procédé qui, à partir de n’importe quel point M du plan, permet de construire un point M’ du plan. On dit que M’ est l’image de M par cette transformation. M’ est unique. On dit que M est un antécédent du point M’ par cette transformation.- On dit qu’un point M est invariant par une transformation ou qu’il est fixe si son image M’ est confondue avec lui.- Les isométries (@GL.) du plan sont les transformations qui conservent les distances : une figure et la figure transformée ont les mêmes dimensions. En particulier, deux points du plan M et N ont pour images M’ et N’ tel que MN = M’N’. C’est le cas des translations, des symétries (orthogonale et centrale) et des rotations. Il existe aussi des transformations qui ne conservent pas les distances, comme par exemple les homothéties qui seront également étudiées dans ce chapitre.

1.6.1. Les isométries du plan

a. Translations

! Définition

Étant donné des points (fixes) A et A’, la translation t transformant A en A’ associe à tout point M le point M’ tel que les segments [AM’] et [A’M] aient même milieu.

On peut écrire t (M) = M’. On dit que M’ est l’image de M par la translation t.Lorsque M n’appartient pas à la droite (AA’), M’ est l’image de M par la translation t si et seulement si AA’M’M est un parallélogramme.

b. Symétries centrales

! Définition

Étant donné un point (fixe) O, la symétrie SO de centre O associe à tout point M le point M’ tel que O soit le milieu du segment [MM’].


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On peut écrire SO (M) = M’. On dit que M’ est l’image de M par la symétrie SO de centre O ou que M’ est le symétrique de M par rapport à O.O est son propre symétrique par rapport à O. C’est d’ailleurs le seul point invariant par la symétrie de centre O.

! Centre de symétrie d’une figure

On dit qu’une figure possède un centre de symétrie si elle est globalement invariante par la symétrie par rapport à ce centre. (@DOC. Transformations)

c. Symétries axiales ou symétries orthogonales par rapport à un axe

! Définition

Étant donné une droite d, la symétrie S(d) d’axe d associe à tout point M :- le point M’ tel que d soit la médiatrice du segment [MM’] si M n’appartient pas à d ;- le point M lui-même si M est sur d.S(d) est appelée symétrie d’axe d ou symétrie orthogonale par rapport à d.

On peut écrire S(d)(M) = M’. On dit que M’ est l’image de M par la symétrie S(d) d’axe (d) ou que M’ est le symétrique de M par rapport à d.Remarque : M est le symétrique de M’ par rapport à d. Les points de l’axe (d) sont les seuls points invariants par la symétrie axiale S d’axe (d).

! Axes de symétrie des figures usuelles

On dit qu’une figure possède un axe de symétrie si elle est globalement invariante par la symétrie orthogonale par rapport à cet axe.(@DOC. Transformations)

d. Rotations

! Orientation du plan

Soit O un point et C un cercle de centre O. On considère un point M variable se déplaçant sur C sans changer de sens. On dit que M effectue une rotation autour de O sur C. Il y a deux manières de déplacer M illustrées par les deux figures ci-dessous, donc deux sens de rotation :


90


Sur la première figure, M se déplace dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Ce sens est appelé « sens direct » ou « sens trigonométrique ».Sur la deuxième figure, M se déplace dans le sens des aiguilles d’une montre. Ce sens est appelé « sens indirect ou rétrograde ».

! Définition des rotations

- Étant donné un sens de rotation, un point O et un angle a, la rotation r de centre O et d’angle a associe à tout point M le point M’ tel que OM’ = OM et = a (le sens de rotation de M à M’ autour de O étant le sens choisi). - Le centre O d’une rotation r d’angle a non nul est le seul point invariant par cette rotation.

Dans l’exemple ci-contre, A’ est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle a = 115°, dans le sens indirect.Remarque La symétrie centrale apparaît comme un cas particulier de rotation d’angle 180°, dans le sens direct ou indirect. Pour cette raison, les symétries centrales sont parfois appelées « demi-tours ».

e. Principaux théorèmes sur les isométries

Le tableau présent dans le document « Transformations » reprend un ensemble de propriétés importantes qui concernent : l’image d’une droite, les images de deux droites sécantes en un point I, l’image d’un cercle de centre I et de rayon R, l’image d’un triangle par une translation t, par une symétrie centrale So, par une symétrie axiale Sd et par la rotation d’angle a respectivement.

Propriétés communes aux isométries du plan

Les isométries décrites ci-dessus comportent un certain nombre de propriétés communes, notamment : la conservation de l’alignement, des angles, des aires, des milieux, du parallélisme et de l’orthogonalité. (@DOC. Transformations). Ceci entraîne des conséquences sur les figures usuelles.

Exemples- L’image d’un rectangle par une translation est un rectangle puisque deux segments perpendiculaires sont transformés en deux segments perpendiculaires. De plus, les deux rectangles ont même longueur et même largeur. On dit qu’ils sont isométriques (@GL.).


91

- L’image d’un losange par une symétrie centrale est un losange puisque les symétries centrales conservent les distances.- L’image d’un trapèze par une symétrie axiale est un trapèze puisque deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles.

1.6.2. Homothétie

! Définition

- Étant donné un point O et un réel strictement positif k, l’homothétie h de centre O et de rapport k associe à tout point M le point M’ tel que OM’ = k OM et tel que si M O, M’ appartient à la demi-droite [OM). On dit que M’ est l’image de M par l’homothétie h de centre O et de rapport k ou que M’ est l’homothétique de M par h.

Pour la figure, on a pris k = 4.

! Image d’une droite ou d’un cercle par une homothétie

- L’image d’une droite par une homothétie h est une droite qui lui est parallèle. - Les images de deux droites sécantes en I par une homothétie h sont deux droites sécantes en I’ = h (I). - L’image du cercle de centre I et de rayon R par l’homothétie h est le cercle de centre I’ = h (I) et de rayon R’ = k " R. (@DOC. Transformations).

! Propriétés des homothéties

- Étant donné un point O et un nombre réel strictement positif k différent de 1, O est le seul point invariant par l’homothétie de centre O et de rapport k. - Les homothéties de rapport k > 0 multiplient les distances par k : . si k > 1, l’effet d’une homothétie de rapport k sur une distance est celui d’un agrandissement ; . si 0 < k < 1, l’effet d’une homothétie sur une distance est celui d’une réduction ; . les homothéties de rapport k 1 ne sont donc pas des isométries.(@DOC. Transformations).

! Exemples de conséquence pour des figures usuelles

Exemple 1 : l’image d’un rectangle par une homothétie est un rectangle puisque deux segments perpendiculaires sont transformés en deux segments perpendiculaires. Exemple 2 : l’image d’un losange par une homothétie est un losange parce que c’est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même longueur, toutes les distances étant multipliées par le même nombre.


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Exemple d’exercice utilisant les transformations

Soit ABC un triangle équilatéral de centre O. On considère les trois carrés ACDE, ABFG et BCHI extérieurs au triangle ABC.

a. Montrer de deux manières différentes que les triangles OCD et OEA sont isométriques.b. Démontrer que le carré CBIH est l’image du carré AGFB par une rotation à déterminer.c. Prouver que les six points E, G, F, I, H et D sont situés sur un même cercle.Vous trouverez la correction de cet exercice dans le document « Transformations ».

1.7. Problèmes géométriques Il existe plusieurs types de problèmes géométriques. Il peut s’agir de reproduire (@GL.) une figure, de la décrire (@GL.), de la construire (@GL.), de représenter (@GL.) un objet dans le plan, d’agrandir une figure plane ou un solide, de démontrer une affirmation. (@DOC. Problèmes géométriques : reproduire, décrire, construire, démontrer ; @DOC. Des méthodes pour démontrer que… ; @METH. Construction d’un segment dont la longueur est une fraction). "

2. ESPACE ET GÉOMÉTRIE


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2.1. Droites et plans de l’espace

Pour décrire les positions relatives de droites et de plans de l’espace, nous utiliserons l’exemple du cube.

2.1.1. Notations et vocabulaire

Dans cet exemple, les 8 sommets du cube sont codés : A, B, C, D, E, F, G, H.Ainsi les 12 arêtes sont [AB], [BC], [CD], [DA], [EH], [HG], [GF], [FE], [AE], [DH], [CG], [BF].Les 6 faces sont les carrés ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE, BCGF.On notera (ABFE) le plan qui contient les 4 points A, B, F et E.

2.1.2. Propriétés générales

• Points coplanaires (@GL.)

Définition

Quatre points non alignés sont coplanaires si et seulement si ils appartiennent à un même plan.

une arête vue [HG]

une arête cachée [DC]


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ESPACE ET GÉOMÉTRIE

Remarques- Étant donné quatre points dans l’espace, il n’est pas certain qu’ils soient coplanaires, alors que trois points le sont toujours.- Quatre points sont coplanaires : • si trois d’entre eux sont alignés ; • ou si deux sont sur une droite d et deux autres sur une droite d’ parallèle à d ; • ou si deux sont sur une droite d et deux autres sur une droite d’ sécante avec d.

# Droites coplanaires

Deux droites sont coplanaires s’il existe un plan qui contient à la fois ces deux droites. Sur les deux figures suivantes, les droites d et d’ sont coplanaires.

# Positions relatives de droites et de plans dans l’espace

Nous vous invitons à prendre connaissance du document « Positions relatives de droites et de plans dans l’espace » (@DOC.). Il propose des représentations sur : - la position de deux plans ; - la position d’un plan et d’une droite ; - la position de deux droites de l’espace.(@AI. Voir dans l’espace)

2.2. Les solides

On distingue les polyèdres des non-polyèdres. Les polyèdres sont les solides qui sont délimités par des surfaces planes. Il en résulte que pour un solide qui n’est pas un polyèdre, certaines des faces peuvent ne pas être planes (par exemple, le cylindre) voire aucune (par exemple, la sphère).

Intéressons-nous d’abord à quelques exemples de solides qui ne sont pas des polyèdres, comme le cylindre de révolution, le cône de révolution, la sphère.

GÉOMÉTRIE PLANE ET GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE ESPACE ET GÉOMÉTRIE

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2.2.1. Les non-polyèdres

CylindreUn cylindre de révolution peut être considéré comme le solide engendré par la révolution d’un rectangle, autour d’un de ses côtés. Il est délimité par deux disques appelés les bases et une surface latérale non plane. Les plans des bases sont parallèles. Son axe est orthogonal aux plans de bases.

Ici,le rectangle ACDK tourne autour

de son côté [CD].

CôneUn cône de révolution est un solide engendré par la révolution d’un triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit.Il est délimité par un disque appelé base et une surface non plane.Son axe est orthogonal à la base.Les segments qui joignent le sommet du cône à un point quelconque du cercle de base s’appellent les génératrices du cône et ont tous la même longueur.

SphèreLa sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M tels que OM = R.On peut concevoir une sphère comme le solide engendré par la révolution d’un demi-cercle autour de son diamètre ; ce diamètre est alors appelé axe de la sphère et ses extrémités, pôles de la sphère.

2.2.2. Les polyèdres

Un polyèdre est un solide délimité par des surfaces planes. Ces surfaces planes sont des polygones et sont appelées « faces du polyèdre ». L’intersection de deux faces adjacentes est une arête du polyèdre et les extrémités des arêtes sont les sommets du polyèdre. On peut classer les polyèdres en convexes et non convexes.

# Polyèdres convexes

Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont à l’intérieur du polyèdre. On dit aussi que tout point d’un segment de droite qui joint deux points quelconques de sa surface appartient au solide.Exemples : tous les solides de Platon, toutes les pyramides, le cube…(@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)

M


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Relation d’Euler

Si A est le nombre d’arêtes, S le nombre de sommets, F le nombre de faces, on a : S + F – A = 2. Cette relation, appelée relation d’Euler, est valable pour tous les polyèdres convexes.

Il faut noter que l’on peut classer les polyèdres suivant leur nombre de faces, en utilisant les suffixes grecs. (@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)

Polyèdres réguliers

Un polyèdre est dit régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers superposables et s’il existe une sphère tangente à chaque face en son centre. Il n’existe que cinq polyèdres convexes qualifiés de réguliers : ce sont les solides de Platon. Le cube en fait partie. (@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)

Remarque Attention ! La connaissance des 5 polyèdres réguliers est admise sans démonstration. Ainsi, un polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers de même type n’est pas forcément régulier. Par exemple, l’hexaèdre ci-contre possède des faces qui sont toutes des triangles équilatéraux mais ce n’est pas un polyèdre régulier. La seule justification attendue est qu’il ne fait pas partie des solides de Platon.

Les Prismes

Définitions et propriétés

• Un prisme est un polyèdre délimité par deux faces polygonales isométriques situées dans des plans parallèles, ce sont ses bases. Les autres faces, appelées faces latérales, sont des parallélogrammes. Selon la nature de la base, on parle de prisme à base triangulaire, à base carrée, à base losange etc. L’exemple ci-dessous est un prisme à base pentagonale.

• Un prisme est droit (@GL.) si les faces latérales sont des rectangles. (voir ci-contre)


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Propriété des prismes droits : les faces latérales sont orthogonales aux bases.Dans l’exemple ci-contre, les bases sont les pentagones ABCDE et A’B’C’D’E’. Les faces latérales sont les rectangles CDD’C’, BCC’B’, ABB’A’, AEE’A’, EDD’E’.Attention, la « base » d’un prisme n’est pas obligatoirement la face sur laquelle il semble posé.

Cas particuliers

• Si les faces d’un prisme sont toutes des parallélogrammes, le prisme est un parallélépipède. Un parallélépipède a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. Deux faces opposées sont isométriques donc superposables.• Si les faces d’un prisme droit sont toutes des rectangles, le prisme est appelé parallélépipède rectangle ou pavé droit.• Si les faces d’un parallélépipède rectangle sont toutes carrées, c’est un cube. Remarque : notons ainsi que le cube est un hexaèdre mais également un prisme.

Les Pyramides

Définitions générales

• Une pyramide (@GL.) est un polyèdre dont une face, la base, est un polygone. Ses autres faces sont des triangles.Selon la nature de la base, on parle de pyramide à base triangulaire ou carrée ou pentagonale, etc. Si S est le sommet de la pyramide et H le pied de la perpendiculaire issue de S sur le plan de la base, on appelle hauteur de la pyramide indifféremment le segment [SH] ou sa longueur.


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• Une pyramide est régulière si sa base est un polygone régulier et si la droite joignant le centre de sa base à son sommet est perpendiculaire à sa base en son centre. Ci-contre un exemple de pyramide régulière dont la base est un pentagone.

Rappel Parmi les pyramides régulières à base triangulaire, le tétraèdre régulier est celle dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. (@DOC. Synthèse et sujets de concours)

# Représentations planes de solides

Une représentation plane est un procédé graphique qui permet d’évoquer un solide. Il existe plusieurs types de représentations planes, nous étudierons les représentations en perspective.

a. Représentations en perspective

Parlons d’abord de « reproduction ». Pour faire la reproduction d’un cube donné, on peut utiliser du matériel, comme par exemple de la pâte à modeler. On fait une copie de l’objet de départ : on ne modifie pas ses propriétés. Les faces, qui sont des carrés sur le modèle, sont des carrés isométriques sur la reproduction. Si par contre, on fait une représentation en perspective du même cube, certaines de ses propriétés sont modifiées : par exemple, certaines faces du cube, qui sont des carrés, apparaissent comme des parallélogrammes sur la représentation en perspective. Sur la représentation ci-dessous, la face BCHG qui est un carré apparaît comme un parallélogramme.

Représentation en perspective cavalière : exemple d’un cube Conventions

On place l’objet sur un plan horizontal, de façon que l’une de ses faces soit devant l’observateur qui le dessine. Seule cette face, ainsi que celles qui lui sont parallèles, conservent leur forme et peuvent être représentées en vraie grandeur. Les droites perpendiculaires à la face avant sont appelées les arêtes fuyantes, leur longueur est réduite. Elles sont représentées par des droites faisant un angle fixé a avec l’« horizontale ». Ici, on a choisi a = 35° ; le coefficient de réduction des arêtes fuyantes est 0,7. Remarque : on peut choisir un autre angle et pour les fuyantes, un autre coefficient de réduction, inférieur à 1.

a


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Il existe d’autres types de représentations en perspective, par exemple la perspective axonométrique. Dans ce dernier cas, on place l’objet de façon que l’une de ses arêtes soit devant l’observateur qui le dessine. (@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)

b. Patrons de solides

Un patron de solide (@GL.) est une figure plane d’un seul tenant qui permet de reconstituer le solide par pliage (sans superposition). On parle aussi de « développement du solide ». La condition « d’un seul tenant » signifie que les diverses figures constituant les faces ne peuvent être accolées par un sommet. Pour un même solide, il existe plusieurs patrons. Ainsi, il existe 11 patrons non superposables pour le cube. (@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations).

Lorsqu’on réalise effectivement sur papier le solide à partir d’un de ses patrons, il faut rechercher les couples de segments qui, après pliage, vont constituer une même arête. Ces segments peuvent être repérés sur les patrons en les coloriant d’une même couleur. On respecte ainsi les relations d’incidence ou les relations d’adjacence entre les faces du solide. Cette recherche permettra ensuite de placer correctement le nombre exact de « languettes » qui permettront de fermer le solide.

RemarqueOn emploie le terme « patron de cône », bien que celui-ci ne soit pas d’un seul tenant. En effet, il est constitué de deux surfaces : un secteur circulaire et un disque.De même, le « patron » d’un cylindre de révolution est constitué de 3 surfaces (un rectangle et deux disques), ce qui distingue d’un patron de pyramide à base hexagonale où les faces se tiennent par des segments.

Patron d’un cône Patron d’un cylindre Pyramide à base hexagonale

Le périmètre du cercle est égal à la longueur de l’arc du secteur circulaire.

Le périmètre du cercle est égal à la largeur du rectangle.

RemarqueLors d’une représentation plane d’un solide, certaines propriétés du solide sont conservées, d’autres sont perdues. (@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)


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2.3. Enseignement

2.3.1. Enseigner l’espace et la géométrie

Les objectifs relatifs à la géométrie, tels qu’ils sont proposés dans les programmes 2008 à tous les niveaux de la scolarité, concernent la connaissance des propriétés des formes ou figures dites géométriques, et la maîtrise des instruments de géométrie, mais ils décrivent aussi des compétences que nous qualifierons de spatiales aux cycles 1 et 2. Des connaissances relatives à la géométrie doivent être acquises comme, par exemple, celles qui concernent les figures planes et les solides.(@DOC. Synthèse et sujets de concours)

# Enseigner l’espace

De quoi s’agit-il ? Deux tâches doivent pouvoir être réalisées par les élèves dès la maternelle selon une progression spécifique (voir programmes 2008) : - décrire une organisation spatiale, donner des indications sur la position d’un objet, un lieu, une personne par rapport à des repères spatiaux ; - reconstituer une organisation spatiale à partir d’une description, retrouver la position d’un objet, d’un lieu, d’une personne à partir de renseignements.

Ces tâches nécessitent l’utilisation d’un ou plusieurs outils combinés : les indicateurs spatiaux du langage (à côté de, près de, loin de, au dessus, au dessous, devant, derrière, à droite, à gauche…), des plans de toutes sortes, des cartes, des maquettes, parfois des mesures (distances, angles), des calculs (échelle), des codages (coordonnées).

# Enseigner la géométrie

L’enseignement de la géométrie à l’école primaire se distingue de celui pratiqué au collège.

À l’école élémentaire, il s’agit de tenir compte de deux aspects en géométrie, aspects devant être travaillés progressivement :

- une géométrie pragmatique du faire, de l’action où la précision des tracés est importante car la validation se fait avec les instruments. L’essentiel du travail consiste à passer progressivement d’une géométrie où les objets (figures dessinées, solides, …), sont reconnus par la vue à une géométrie instrumentée où les objets sont identifiés par leurs propriétés. L’élève doit non seulement être capable de reconnaître ces propriétés de manière perceptive mais aussi de les vérifier avec une technique ou un instrument. Le recours à la perception demeure nécessaire pour faire des hypothèses et des anticipations sur la nature des objets et sur l’existence de propriétés ; - une géométrie au sens mathématique qui consiste à réfléchir sur les propriétés des objets, à mettre en œuvre le raisonnement déductif. Au cycle 3, l’exigence de vérification est


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évidemment généralisée et doit conduire les élèves à débattre, argumenter sur les solutions qu’ils ont trouvées.

Au collège les élèves ne pourront tirer leurs affirmations à propos d’un objet (figure ou solide) de ce qu’ils voient, mais devront raisonner de façon déductive à partir des renseignements donnés dans l’énoncé et à partir des théorèmes connus.

Observer, énoncer, vérifier les propriétés d’un objet, ni même en tracer quelques-uns, pourrions-nous ajouter, ne suffit pas pour pouvoir les posséder véritablement, c’est-à-dire penser à les utiliser pour résoudre des problèmes. Les activités proposées doivent être finalisées et avoir un but clairement identifié par les élèves, en particulier dans des problèmes où il s’agit de comparer, reproduire, construire, identifier ou décrire des objets géométriques. L’accent est donc mis sur la résolution de problèmes, au travers desquels des savoirs et savoir-faire doivent émerger : - un certain nombre de figures planes et de solides doivent être étudiées : triangle, carré, rectangle, cercle, losange, cube, parallélépipède rectangle ; - mais aussi des propriétés : points alignés, présence d’angles droits, parallélisme, égalité de longueurs, présence d’axe de symétrie ; - des instruments doivent être maîtrisés : gabarits, règle, équerre, compas, papier calque pour la symétrie axiale, papier quadrillé ou uni pour reproduire des figures.

# Les différents types d’espaces

Une grande partie des objets utilisés dans les séances de géométrie sont de petite taille. Ce sont des figures tracées sur des feuilles A4, des emballages, des solides que l’on peut manipuler. Plusieurs chercheurs en didactique des mathématiques ont déploré que l’enseignement de la géométrie soit si confiné dans l’espace de la feuille de papier. Or, on peut aussi travailler dans des espaces plus grands, la cour de récréation ou des terrains aménagés pour y conduire non pas forcément des activités d’orientation mais aussi des activités de géométrie. Il semble utile de faire un peu « sortir les élèves de la feuille de papier », de leur faire « oublier le double décimètre », de les faire travailler sur des supports plus grands : tableau, cour de récréation, etc. Nous faisons l’hypothèse que les conceptions, par exemple, de la droite par les élèves peuvent être enrichies par une tâche comme celle qui consiste à aligner dans la cour des piquets distants de 2 mètres…

Guy Brousseau distingue ainsi trois tailles d’espace : le micro-espace, le méso-espace et le macro-espace. (@DOC. Espace et géométrie - enseignement)

2.3.2. Exemples d’activités visant à développer des compétences spatiales

• Dans le méso-espace

Activité en GS de maternelle : parcours dans la salle de motricité. Matériel : des objets, comme quelques bancs, chaises, tapis, cerceaux, quilles, etc. sont disposés sur le sol de la salle.


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Déroulement : deux élèves E1 et E2 mettent au point un parcours au travers de ces objets : ils passent sur un banc, sous un autre, devant une chaise, à droite d’une autre, à côté d’un cerceau, dans un autre, le long d’un tapis, etc. Ensuite, l’un d’eux, E1, pilote d’autres camarades qui n’ont pas participé à l’élaboration du parcours, sans les accompagner, parmi les objets de façon à ce qu’ils effectuent le parcours préparé, de la même manière, dans le même ordre. L’autre élève, E2, s’assure que le parcours est bien « dicté ». Les camarades assis autour du parcours, qui sont déjà passés ou qui attendent leur tour, vérifient que les instructions sont bien respectées par celui qui effectue le trajet.(@DOC. Espace et géométrie - enseignement)

• Dans le micro-espace

- Activités de repérage sur quadrillage

a. Repérage sur quadrillage à l’aide de coordonnées au CP.

Les programmes pour le cycle 2 demandent aux élèves de savoir repérer une case ou un nœud sur un quadrillage. On définit deux types de repérage sur quadrillage : le repérage absolu et le repérage relatif. (@DOC. Espace et géométrie - enseignement) Dans ces activités, les élèves auront donc à :- coder une case ou un nœud pour indiquer la position d’un objet, ou le déplacement d’un objet ;- décoder, c’est-à-dire traduire en langage naturel ou à l’aide d’un autre code la position d’un objet sur une case ou son déplacement d’une case à une autre.

b. Tableau à double entrée Un type de repérage sur quadrillage important, mais limité aux cases, est l’utilisation de tableaux à double entrée. Un travail est fait dans ce sens dès la MS de maternelle et est poursuivi pendant plusieurs années. En maternelle, on se repère dans un tableau à double entrée, on en complète, on en remplit, on en produit. Le repérage amène à s’exprimer, comme on le fait, avec des cases sur quadrillage de façon relative ou absolue. Ce travail sur les tableaux à double entrée constitue donc une étape du repérage de cases sur quadrillage. Les activités sur papier viennent après de nombreuses activités de repérage ou de déplacement sur des quadrillages tracés sur le sol de la cour de récréation ainsi que des jeux de communication entre élèves semblables au jeu de la bataille navale.

- Réalisation et lecture de plans ou de cartes aux cycles 2 et 3

Il y a plusieurs difficultés : quand nous tenons un plan, ce qui est représenté à gauche (ou à droite) sur le plan n’est pas forcément à notre gauche dans l’espace réel (ni respectivement à notre droite). De même ce qui est en haut du plan (le nord en général) ne


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représente pas forcément ce qui est devant nous dans l’espace réel. Il faut que les élèves se rendent compte qu’ils doivent d’abord placer convenablement leur plan par rapport à l’espace environnant et qu’ils doivent se mettre du même côté.

Conclusion

• Toutes les expressions spatiales ne sont pas maîtrisées en même temps. La distinction « gauche/droite » n’est pas toujours claire en fin de cycle 2, la distinction « devant/derrière » vient en général après la distinction « haut/bas ». Par ailleurs, l’expression « au milieu de » est souvent employée à la place d’autres expressions comme « entre » ou « au centre de ».• La lecture de plans ou de cartes pose des problèmes à bien des adultes, a fortiori aux élèves, car il faut gérer l’éventuelle différence d’orientation de l’espace et du plan. • De même la prise de conscience par un élève que son propre point de vue sur une situation n’est pas le même que celui d’un autre élève placé ailleurs demande, en maternelle et tout au long du cycle 2, des mises en situations concrètes, vécues.

2.3.3. Activités de reproduction de figures

Nous étudierons successivement les reproductions d’assemblages, les reproductions sur papier quadrillé puis sur papier uni.

• Reproduction d’assemblages plans

Il en est de plusieurs types : les puzzles dont les tangrams, les mosaïques, très utilisés en maternelle et bien intéressants à l’école élémentaire.

Les puzzles sont bien connus de tous. Une fois la reconstitution amorcée, on prend des indices autant sur le modèle, ce qu’il représente, que sur le contour des pièces déjà placées. C’est dire que la reconnaissance de formes, dans n’importe quelle position, est très sollicitée. Pour aider les élèves de maternelle, le contour des pièces est parfois dessiné sur le support du jeu, il ne s’agit plus alors que d’une situation de reconnaissance de forme géométrique. Les puzzles sont utilisés à tous les niveaux de maternelle, c’est le cas notamment du Tangram. (@DOC. Espace et géométrie - enseignement)

• Reproduction sur quadrillage d’un figure donnée sur quadrillageExemple :


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Vous pouvez consulter l’analyse de cette activité dans le document « Espace et géométrie – enseignement » (@DOC.).

• Reproduction de figure sur papier uni sans lignesExemple : reproduire cette figure sur papier uni (niveau cycle 3, plutôt CM1, CM2 en raison de la complexité de la figure).

Il s’agit d’une figure complexe (@GL.) constituée de deux figures simples (@GL.) Vous pouvez consulter l’analyse de cette activité dans le document « Espace et géométrie – enseignement » (@DOC.). Ce document permet notamment de présenter certaines difficultés rencontrées par les élèves dans des activités de reproduction.

2.3.4. Activités de description et de construction (@GL.)

• Activité de type messager-récepteur au cycle3.

Analysons le projet de séance suivant. Le maître choisit deux dessins parmi les trois suivants :

Figure 1 Figure 2 Figure 3

Voici le déroulement prévu par le maître : le maître met à disposition des élèves des feuilles de papier uni, des règles graduées, des équerres, des compas. Il répartit les élèves en deux groupes A et B, chaque élève du groupe A étant associé à un élève du groupe B.


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Phase 1 : chaque élève du groupe A reçoit l’un des deux dessins (le groupe associé reçoit l’autre). Puis chaque élève écrit un message pour que l’élève du groupe associé puisse construire à partir du message un dessin exactement superposable au modèle.Phase 2 : les paires associées échangent ensuite leurs messages et construisent la figure décrite dans le message reçu.Phase 3 : les paires associées se rassembleront pour confronter les réalisations aux modèles. En cas de désaccord, ils doivent proposer des modifications sur les messages permettant d’obtenir la figure attendue. Phase 4 : mise en commun des productions et synthèse par le professeur.

Dans le document « Espace et géométrie – enseignement » (@DOC.), vous trouverez une analyse de ce projet de séance, ainsi que des difficultés rencontrées par les élèves dans les activités de description. Un exemple de production d’élève dans une activité de description est aussi présenté.

• Le jeu du portrait

Le jeu du portrait est une situation de communication particulière visant à aider les élèves à comprendre qu’une figure plane (ou un solide) est caractérisée par ses propriétés. Elle vise également à favoriser la mise en place et l’emploi d’un vocabulaire approprié et à développer des compétences en argumentation. L’élève doit résoudre un problème dont le but est d’identifier une figure plane (ou un solide). Pour cela, il cherche à élaborer un questionnement pertinent et à déduire des informations obtenues la solution à ce problème. En même temps, il doit élaborer une stratégie pour choisir une figure plane et poser des questions auxquelles on ne peut répondre que par oui ou non, éliminer les figures qui ne conviennent pas, ce qui l’oblige à analyser les figures, mais aussi les réponses aux questions posées par lui-même et par les autres élèves. Une fois la figure trouvée, le professeur peut reprendre avec les élèves l’ensemble des stratégies ayant conduit à cette réponse (questions posées, aspects méthodologiques). Deux variantes de ce jeu sont couramment utilisées au cycle 3 :* Variante 1 : le maître ou un élève décrit oralement ou par écrit à un élève une figure parmi un stock pour que les autres élèves la découvrent.* Variante 2 : le maître ou un élève pense à une figure ; les autres élèves tentent d’identifier la figure choisie. Les questions posées ne doivent porter que sur les propriétés de la figure.

2.3.5. Activités de construction de figures

• à partir d’un dessin à main levée

Construire à partir d’un dessin à main levée.Voici un dessin à main levée d’une figure. Le dessin n’est pas en vraie grandeur.Construis cette figure en vraie grandeur sur papier uni, avec les instruments de géométrie.


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Cette activité est préparatoire au changement de statut de la figure dans les activités géométriques qui s’opère au collège. Il s’agit d’une situation de résolution de problème. On initie les élèves à l’argumentation, on les amène à prendre des indices sur le schéma à partir de ce qu’ils savent et non à partir seulement de ce qu’ils voient. Par exemple, l’élève doit connaître les codages notamment celui de l’angle droit, déduire des informations données sur la figure et leur nature (ainsi, il doit savoir qu’un quadrilatère ayant 4 angles droits et 4 côtés égaux est un carré), repérer le milieu d’un segment, utiliser ses instruments (règle, équerre compas) pour construire la figure.

• à partir d’un texte géométrique accompagné d’une figure

Une telle activité peut avoir deux buts : soit le texte est long et la figure est donnée pour guider ses pas à condition qu’il le lise – il se pourrait, en effet, que l’élève reproduise la figure sans se servir du texte et dans ce cas, l’objectif ne serait pas atteint – soit la figure est complexe, impossible à reproduire par les élèves sans la lecture du texte et dans ce cas, texte et figure se complètent bien en un ensemble cohérent.

2.3.6. Problèmes concernant les transformations

Les programmes9 indiquent, dès le CE1, que les élèves doivent « percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques : alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs ».

• La symétrie axiale

Parmi toutes les transformations, seule la symétrie axiale est citée dans les programmes. Mais son étude systématique sera faite en 6e : en particulier, la construction du symétrique d’un point avec règle et équerre relève du collège.

Deux aspects complémentaires caractérisent la symétrie axiale :

- l’aspect statique ou aspect « invariant » : il s’agit de chercher les axes de symétrie d’une figure, ou de rechercher des figures invariantes par certaines symétries ;- l’aspect « dynamique » ou « transformation » : il s’agit de construire le symétrique d’une figure. En effet, la symétrie axiale est une transformation ponctuelle qui transforme une figure en une autre.

Les activités la concernant se partagent de la façon suivante :

- au cycle 2, approche allant de la perception à vue ou instrumentée d’axes de symétrie jusqu’au début de la construction de la symétrique d’une figure sur quadrillage, l’axe étant une ligne du quadrillage ;

9 Cycle des apprentissages fondamentaux - progressions pour le cours préparatoire et le cours élémentaire première année.


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- au cycle 3, poursuite de ce travail jusqu’à quelques cas où l’axe coupe la figure et extension au papier uni avec des techniques comme le pliage et l’utilisation de papier calque ou d’un miroir. (@DOC. Étude des transformations)

Cependant, ceci ne signifie pas que les autres transformations ne sont pas rencontrées à l’école mais simplement qu’aucune compétence n’est attendue les concernant. C’est ainsi que les activités liées aux pavages permettent de rencontrer des rotations et des translations, transformations qu’il ne sera même pas nécessaire de nommer. Les élèves, au cours de manipulations, en resteront au niveau d’observations et de constatations. À l’école, il n’est donc question ni de translation, ni de symétrie centrale, ni de rotation.

Dans les programmes, il n’est nulle part question des homothéties. En revanche, au cycle 3, les programmes demandent de travailler l’ « agrandissement et réduction de figures planes, en lien avec la proportionnalité ». Les procédés d’agrandissement ou de réduction ne reposent donc pas sur l’utilisation des homothéties. Nous verrons un peu plus loin en quoi ils consistent pratiquement. Des exemples analysés d’activités sur quadrillage visant à compléter une figure par symétrie axiale ou à trouver des axes de symétrie vous sont proposés dans le document « Étude des transformations » (@DOC.).

• Problèmes d’agrandissement ou de réduction de figures planes (en relation avec la proportionnalité)

Ces problèmes peuvent être résolus dans un cadre numérique ou dans un cadre géométrique :

- cadre numérique : toutes les dimensions du modèle doivent être multipliées par le coefficient d’agrandissement (ou de réduction) ;- cadre géométrique : utilisation implicite de certaines propriétés des homothéties, par exemple l’image d’un rectangle est un rectangle.(@DOC. Étude des transformations)

2.3.7. Exemples d’activités en géométrie dans l’espace

Les compétences attendues en fin de cycle 3 ne concernent que quelques solides (cube, parallélépipède rectangle). Cependant, les activités sont nombreuses (reproduction, construction, descriptions, représentations planes) et ne se limitent évidemment pas à ces deux solides.

• Utilisation de matériels divers dès la maternelle : jeux de construction, solides, emballages

Des matériels divers sont utilisés en maternelle afin d’aider les élèves à développer des compétences spatiales et à acquérir le vocabulaire adapté. (@DOC. Exemples d’activités en géométrie dans l’espace)


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• Activités de reproduction d’assemblages de solides

C’est une tâche souvent proposée en maternelle ou au cycle 2 à partir de jeux de construction. Les élèves disposent donc d’une construction modèle. Ils doivent bien repérer les étapes de la construction, dénombrer les blocs nécessaires, bien les ajuster pour que la construction tienne en équilibre, respecter l’orientation des blocs les uns par rapport aux autres pour qu’elle soit ressemblante. Ils doivent regarder derrière ou sur le côté, autrement dit changer de point de vue pour prendre le maximum d’informations. On remarquera que, même en changeant de point de vue certains blocs peuvent demeurer cachés car ils sont sous les autres. Il ne faut toutefois pas les oublier dans la réalisation.On comprend qu’il ne faille pas mettre trop de blocs dans de telles constructions et qu’une progression soit nécessaire, basée sur la présence ou non de blocs cachés.

• Activités de description de solides

Classement de solides (dès la moyenne section)

En géométrie, les élèves sont souvent amenés à effectuer des classements de figures ou de solides, c’est-à-dire à trouver des critères pour mettre ensemble des objets proposés, ces critères devant être pertinents. Classer des éléments d’un ensemble, c’est donc constituer une partition de cet ensemble, c’est-à-dire fractionner cet ensemble en sous-ensembles disjoints deux à deux. Si le critère est pertinent, tout objet peut être mis dans un sous-ensemble.

Exemple de déroulement

Les élèves sont mis, en groupe de trois ou quatre élèves de préférence, devant un ensemble de solides divers. Ils doivent mettre ensemble « ceux qui se ressemblent », ou « ceux qui vont ensemble », ou encore « ceux qui ont une même propriété », la consigne variant selon le niveau de scolarité, et dire ou écrire (toujours selon le niveau) pour quelle raison.Cette activité permet d’analyser les propriétés des solides – présence de faces planes, de faces qui ne sont pas planes, de faces arrondies, isométrie de certaines faces, présence d’angles droits, etc.– et d’utiliser ou préciser du vocabulaire. Les propriétés mises en avant, le lexique travaillé, dépendent évidemment des solides réunis par l’enseignant ; dans les premiers niveaux de scolarité, on prendra des solides très contrastés. Par la suite, on pourra choisir, par exemple, des pavés droits se différenciant uniquement par le nombre de faces carrées qu’ils possèdent, c’est-à-dire six, deux ou aucune.C’est aussi dans des activités de type jeu du solide caché (cycles 2 et 3) que les élèves développent des compétences en description de solides. Ce jeu est identique au jeu de la figure cachée avec des figures planes (voir § 2.3.4) ; son objectif est l’utilisation du vocabulaire géométrique à propos des solides.


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Difficultés des élèves

Bien des activités de description reposent sur le dénombrement des faces, des sommets et des arêtes de divers polyèdres. Les élèves font souvent des erreurs parce qu’ils dénombrent deux fois le même élément (face, sommet ou arête) ou l’oublient faute d’avoir pris des repères sur le solide, tournant et retournant le solide dans leurs mains et finissant par ne plus savoir ce qu’ils ont déjà dénombré.D’autres difficultés relèvent du langage géométrique. Les jeunes élèves désignent souvent les formes des solides à l’aide de termes tirés de la géométrie plane : carré pour cube, rond pour cylindre, etc.En fait, l’emploi d’un vocabulaire technique dans ce domaine ne leur est pas familier. Leur vocabulaire spontané, à propos des formes de solides qu’on leur montre, est fortement dépendant de l’usage fait des solides montrés ainsi que de leurs dimensions. Ainsi pour des cylindres dont la hauteur est petite par rapport au diamètre, les élèves parleront de « bague, bracelet, anneau, rond », alors que pour des cylindres dont la hauteur est grande par rapport au diamètre, ils parleront plutôt de « tube, tuyau, rouleau ».De plus, il faut faire abstraction, si on utilise des emballages du commerce, du matériau, de la couleur, des inscriptions, pour ne voir que le solide « idéal ».

• Activités sur les patrons (cycle 3)

Deux types de tâches peuvent être proposés :• Tâche n°1 : construire le (ou les) patron(s) d’un solide donné. Cette tâche peut être complétée par la recherche des languettes nécessaires pour fermer le solide et par la réalisation effective de l’objet en papier Canson, par exemple. • Tâche n°2 : reconnaître si une figure plane donnée est ou n’est pas le patron d’un solide donné.

Dans la tâche n°1, une variable didactique importante est la possibilité de manipuler ou non le solide. Si l’élève peut manipuler le solide, il peut le poser sur la feuille de papier et prendre l’empreinte de chaque face en le faisant pivoter. Il devra s’assurer qu’il a bien tracé l’empreinte de toutes les faces une fois et une seule.S’il ne peut pas manipuler le solide, il doit en connaître les propriétés : nature et nombre de faces.La tâche n°2 n’est réalisable que si l’élève connaît déjà le solide concerné. Là encore, la possibilité de le manipuler constitue une variable didactique importante.

• Représentations planes de solides

Lecture de certaines représentations graphiques : les représentations en perspective ou les photographies.Les élèves savent très tôt lire et utiliser de telles représentations planes. Dès le CP (même avant),


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ils savent réaliser des assemblages de cubes à partir de photographies ou de perspectives (@DOC. Exemples d’activités en géométrie dans l’espace). On peut aussi leur demander d’associer un solide à sa représentation ou à sa photographie. Il est intéressant de varier les points de vue.Notons, cependant, que la production de représentation en perspective ne figure pas au programme de l’école primaire.

2.3.8. Instruments de géométrie plane

La construction de figures nécessite de savoir utiliser les instruments de géométrie. On dit qu’elle nécessite des compétences manipulatoires. Nous allons passer en revue les divers instruments ainsi que les rôles qu’ils peuvent avoir dans la construction des figures mais aussi dans d’autres activités. (@DOC. Utilisation du matériel et difficultés associées)

• Règle et règle graduée

Comme outil d’investigation, la règle peut servir à confirmer des alignements que la vue a permis de déceler ou d’en découvrir de nouveaux. Elle sert aussi à : - tracer des droites ou des demi-droites ou des segments ;- prolonger des droites ;- mesurer la longueur d’un segment ;- tracer un segment dont la mesure de longueur est donnée ;- comparer des longueurs.

• Compas

Le compas sert à :- tracer des cercles ou des arcs de cercles ;- comparer des longueurs ;- reporter des longueurs.

• Équerre

Utilisée seule, l’équerre a deux fonctions principales : - elle sert à construire des angles droits et donc des droites perpendiculaires ; - elle sert à vérifier qu’un angle est droit ou non.Utilisée conjointement avec une règle, elle peut servir à tracer des droites parallèles.

• Papier calque

Il permet de vérifier que deux figures sont superposables. Dans les problèmes de construction de figure, le maître peut fabriquer un calque « modèle » de la figure qu’il faut obtenir. Ce calque, mis à la disposition de l’élève, lui permet de constater lui-même si


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sa production est conforme aux attentes. Il permet la reproduction de figures simples ou complexes, et dans ce cas, c’est le support le plus pauvre car la reproduction ainsi effectuée ne nécessite aucune analyse de figure. Le papier calque permet aussi la reproduction d’angles soit pour les comparer, soit pour effectuer des reports, ce qui, à l’école primaire, ne peut être fait grâce au rapporteur puisque l’utilisation de cet instrument commence au collège.Par retournement, il permet la construction de la figure symétrique d’une figure donnée ou de vérifier que deux figures sont symétriques, ou qu’une figure possède un axe de symétrie.(@AI. Niveau et première utilisation des instruments mathématiques)

2.3.9. Les supports : papier quadrillé, papier pointé en réseau carré, papier millimétré, papier uni

- Le papier quadrillé, comme le papier pointé en réseau carré, constituent une aide pour de nombreux tracés rectilignes, pour la production d’angles droits, de parallèles, de perpendiculaires. Il sert à la reproduction de figures simples (comme des rectangles) ou complexes, elles-mêmes données sur quadrillage…

Papier pointé à réseau carré

- Le papier millimétré n’est pas utilisé en géométrie. Il permet la construction de graphiques, et sert aussi dans des activités relatives aux fractions et décimaux, ou dans le cadre de la mesure des aires.

Niveau : le papier quadrillé, papier pointé en réseau carré est utilisé aux cycles 2 et 3, le papier millimétré en fin de cycle 3. Le papier uni est utilisé au cycle 3. Il permet d’amener les élèves à se détacher des procédures reposant sur le repérage que permet le papier quadrillé, pour une meilleure maîtrise des instruments et il aide à l’analyse des figures. Pour les difficultés d’utilisation du papier quadrillé, nous vous conseillons de vous reporter, par exemple, au § 2.3.3.

2.3.10. Gabarits

Des gabarits de forme sont présents dès l’école maternelle. Au cycle 2, les programmes mentionnent le gabarit d’angle droit, et au cycle 3, les gabarits d’angle.Les premiers exemples (« boîte à formes », puzzle à encastrement) servent en maternelle. Dans ces deux cas, il s’agit d’apparier une forme en relief à une forme en creux, la forme en


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creux jouant le rôle de gabarit pour la forme en relief. (@DOC. Utilisation du matériel et difficultés associées)

Au cycle 2, les élèves réalisent des empreintes à partir de solides pour lesquels le travail consiste à en isoler les faces et pour lesquels ce sont donc les faces qui jouent le rôle de gabarit. Ce travail permet des aller-retour entre l’espace et le plan. Par exemple, les élèves apprennent ainsi à associer solides et empreintes, à comprendre que l’on ne peut prendre les empreintes de toutes les faces que pour un polyèdre, à comprendre qu’une empreinte ne permet pas d’identifier à coup sûr un polyèdre. En effet, plusieurs solides peuvent avoir la même empreinte. (@DOC. Synthèse et sujets de concours)

2.3.11. Le recours aux TICE

Les programmes 2008 indiquent que « les technologies de l’information et de la communication sont utilisées dans la plupart des situations d’enseignement. ». Dans le domaine géométrique, les programmes n’apportent pas de précision supplémentaire. (@DOC. Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique) "

(@AE.) (@BIB.)

1. g om trie plane et transforma...

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