01 cours de mécanique - rappels mathématiques

7/22/2019 01 Cours De Mcanique - Rappels Mathmatiques

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Cours de Mcanique - Rappels Mathmatiques

L'objectif de ce chapitre est de rappeler succintement les notions

mathmatiques ncessaires la comprhension de la suite de ce cours.

Chap.1: RAPPELS DE CALCULS

1- VECTEURS

2- OPERATIONS SUR LES VECTEURS

21- Produit Scalaire

22- Produit Vectoriel

23- Produit Mixte

3- NOTIONS SUR LES TORSEURS

31- Dfinition

32- Application des torseurs la reprsentation d'un champ de force

4- CHANGEMENTS DE BASES

41- Projection des vecteurs de bases

42- Changements de bases d'un vecteur quelconque

5- RELATIONS DE TRIGONOMETRIE

1- VECTEURS

On associe l'espace ponctuel euclidien trois

dimensions E, l'espace vectoriel trois dimensions E

sur le corps des rels R:

E3E3

(A,B,C)

On associe au couple ordonne de points (A,B) de E2

un lment dfinissant un vecteur libre

http://isabtp.univ-pau.fr/~maron/mecanique/ch1.htm (1 sur 9)14/09/2005 16:54:52


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2- OPERATIONS SUR LES VECTEURS

1- Produit Scalaire

ER

Dans une base , si et , alors on aura

Remarque:

Le rsultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE.

Proprits:

Commutativit:

Distributivit droite et gauche: et

Multiplication par un rel:

Normes:

Calcul pratique d'un produit scalaire:

si on dfinit l'angle , alors

Calculs sur les vecteurs d'une base orthonorme directe:

http://isabtp.univ-pau.fr/~maron/mecanique/td1.htm#td1-1


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2- Produit Vectoriel

EE

Dans une base , si et , alors on aura

Mthode de calcul:

Calcul effectuer:

Premire composante: On barre la premire ligne et on calcule le dterminant 2*2 restant:

Deuxime composante: On barre la deuxime ligne et on calcule l'oppos du dterminant 2*2

estant:

Troisime composante: On barre la troisime ligne et on calcule le dterminant 2*2 restant:



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Remarque:

Le rsultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un VECTEUR perpendiculaire aux deux

vecteurs .

Proprits:

Anticommutativit:

Distributivit droite et gauche: et

Multiplication par un rel:

Calcul pratique du produit vectoriel:

si on dfinit l'angle , alors

, et forme un tridre

direct, quelque soit le point O.

Calculs sur les vecteurs d'une base orthonorme directe:

, ,

3- Produit Mixte

E3R



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Remarque:

Le rsultat du produit mixte de trois vecteurs est un SCALAIRE.

Proprits:

si l'un des vecteurs est une combinaison linaire des deux autres.

3- NOTIONS SUR LES TORSEURS

1- Dfinition

Un torseur est un champ de vecteurs, antisymtrique de E. Un torseur en un point estfini par:

Un vecteur libre appelRsultante du torseur

Un vecteur libre appel Momentdu torseur en A et vrifiant:

Remarque:

La rsultante du torseur est indpendante du point o est dfini untorseur.



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2- Application des torseurs la reprsentation d'un champ de force

Soit un champ de force dfini dans l'espace trois

imensions de base orthonorme directe par la

onne de la force applique en un point :

ou

e moment de la force en son point d'application est

ul d'o: .Si on veut calculer le moment de la

orce au point , on obtient

(intensit de la force multipli

ar le bras de levier , sens ngatif).

En appliquant la notion de torseur, on peut dfinir le torseur force au point A, associ par:

la rsultante du torseur force gale la force

le moment en du torseur force gal

e moment au point est dfini par la formule de transport donne plus haut soit:

u:



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Remarques:

La notion de torseur de force permet donc de parler globalement d'une force et de son moment

en tout point de l'espace.

Les deux vecteurs dfinis dans un torseur sont de natures diffrentes. Pour un torseur de force,

le vecteur rsultant est une force ayant des composantes dont les units sont des (N), alors que

le moment en un point est un moment dont les composantes ont des units en (N.m).

Attention quand l'on demande de dfinir un torseur, il est ncessaire de donner une rponse

pour la rsultante et une rponse pour le moment.

4- CHANGEMENTS DE BASES

Soient deux bases orthonormes directes et

et telles que

41- Projection des vecteurs de bases

Si on exprime les vecteurs de la base dans , on obtient:



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nversement, si on exprime les vecteurs de la base dans , on obtient:

42- Changements de bases d'un vecteur quelconque

Soit un vecteur exprim dans la base . L'expression de dans la base

sera:

'o:

5- RELATIONS DE TRIGONOMETRIE



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Philippe MARON

.S.A. B.T.P.

, Alle du parc Montaury

64600 ANGLET

el: 05 59 57 44 29

ax: 05 59 57 44 39

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Mis jour le: 11/02/04
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