Chapitre II : Les outils Mathématiques et le formalisme de la Mécanique Quantique.

II-1) Les postulats de la Mécanique Quantique.

1-1) Le premier postulat.

A un instant t0 fixé, l’état d’un système physique est défini par la donnée d’un ket appartenant à l’espace des états E.)( 0t

L’espace des états à une structure d’espace vectoriel Hilbertien. (On verra ce que cela implique) . Le fait d’appeler les vecteurs d’états « ket » (en Français on devrait dire « chet »)a été introduit par P. Dirac. Cette notation simplifie considérablement le formalisme de la Mécanique Quantique.

Remarque : Jusqu’à nouvel ordre, nous omettrons la dépendance en temps d’un vecteur d’état. On retrouvera cette dépendance lorsque l’on étudiera le sixièmePostulat.

1-1-a) La structure de l’Espace vectoriel des états.

L’espace des états est linéaire

21 et Si sont deux vecteurs d’état pouvant représenterle système, ceci implique que tout combinaison linéaire de ces deux kets est encore un vecteur d’état du système.

C 212211 ,

On doit pouvoir définir la norme d’un ket.

Ce problème est délicat car il nous faut définir un produit scalaire, car par définition, la norme d’un vecteur est le produit scalaire de ce vecteur parlui-même. Cette norme est nécessairement réelle.Dans l’espace Hilbertien, il faut nécessairement définir un espace dual de Eque l’on note E* dans lequel les vecteurs s’appellent les « bras » (en français on dirait les « crocs ») . On note ces bras de la façon suivante :

*

Le carré de la norme d’un ket est défini par : RN 0.2

1-1-b) Le produit scalaire.

On vient du « même coup » de définir le produit scalaire.

Celui-ci est défini par le produit d’un bra par un ket (un braket en anglais, en français un crochet). Les règles de constitution de ce produit scalaire doivent être comprises :

-Le produit scalaire du ket par le ket est donné par le produit du bra par le ket que l’on note :

C ,

-Le produit scalaire du ket par le ket est donné par le produit du bra par le ket que l’on note :

C *,

On constate que : , ceci nous permet pour la premièrefois de définir la conjugaison hermitique notée (*) :-Le conjugué hermitique d’un nombre est, tout simplement, son complexe conjugué. -Le conjugué hermitique d’un ket est un bra :- Le conjugué hermitique d’un bra est un ket:-Dans les expressions de la mécanique quantique, et lors d’une conjugaison hermitique : Les kets prennent la place des bras , les bras prennent la place des kets.

*

* * *

Ainsi : * * *

Exemples de calculs de produits scalaires :

Soit à calculer : , où , 2211

2211

22*

11**

Propriété très importante : La norme d’un ket est nécessairement réelle :

Si la norme d’un ket est nulle ceci signifie que est le ket du vide, le ket zéro :

0

*

1-1-c) Les bases de l’Espace des Etats E .

Un ket, représentant l’état d’un système physique, a une existence propre. Cependant, pour faire des calculs il est nécessaire de le représenter dans une base.

Autrement dit, on doit définir ses coordonnées c’est-à-dire ses composantes.

Rappel :Vous êtes tous habitués à faire ceci pour l’espace vectoriel

Dans cet espace à 3 dimensions, nous définissons 3 vecteurs de basetel que :

3

ijji

yzxzzz

zyxyyy

zxyxxx

zyx

uu

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

uuu

.

0. ; 0. ; 1.

0. ; 0. ; 1.

0. ; 0. ; 1.

,,: Base

ii

ii

izzyyxx

zz

yy

xx

z

y

x

uVc

ucuVuVuVV

uVV

uVV

uVV

V

V

V

V

VV

.

...

.

.

.

3

1

3

Globalement nous allons retrouver ces propriétés dans l’espace des états E à Ndimensions de la Mécanique Quantique .

On peut cependant définir deux types de bases :

) Bases discrètes.

Ces bases sont formées de N vecteurs orthonornés. iu

ijji uu

; 1

ii

N

iii ucuc

N

ijiji

N

iiji

N

iiijj ccuucucuu

111

Ces relations simples nous permettent de définir une relation importante :

La relation de Fermeture définissant une base.

11

N

iii

N

iii uuuc

N

iiii

N

ii

N

iii uuuuuu

111

N

iii Iuu

1

ˆ Opérateur Unité.I

) Bases continues.

Pour les besoins de la Physique, il est indispensable de définir desbases continues : On remplace les sommes sur les indices discrets (i)par des intégrales sur une variable continue que l’on appelle

dN

i

1

' ' www

dwc

''' ' cdcdwwcw

On peut également définir une Relation de Fermeture :

Idww ˆ

1-1-d) La représentation des kets et des bras .

Là encore, on retrouve des notions connues :

Ni

N

N

uuuuu

c

c

c

c

c

c

c

..................,,./.

.

.

.

.

.

où ./. : colonnes Vecteurs : kets

321

2

1

2

1

N

i

Ni

Ni

u

u

u

u

u

ccccc

c

ccccc

.

.

.....................,,

....................ou

....................,, : lignes Vecteurs : bras

3

2

1

***3

*2

*1

*

***3

*2

*1

On retrouve également : i

ii

ii ccc2*.

1-2) Le Second Postulat.

Toute Grandeur physique mesurable A est décrite par un opérateur agissant dans E ; cet opérateur est une observable.

2-1) Définition de l’action d’un opérateur dans E.

De façon générale, on définit l’action d’un opérateur, noté Â, par son action sur un ket quelconque appartenant à E.

E 'ˆ

On se restreint toujours à ne considérer que l’action d’opérateur linéairedéfini par :

E

'

22112211ˆˆˆ

2-2) Commutativité des opérateurs.

En règle générale, l’action d’un produit d’opérateur définit par n’est pas commutatif.BAC ˆ.ˆˆ

Ceci signifie concrètement que :

'''''' ˆˆ.ˆˆˆ.ˆˆ BABABAC

'''' Si , on dira que les deux opérateurs ne commutent pas.

La condition de commutation implique que nous ayons :

BAABBA

ABBAABBA

ˆ,ˆˆ.ˆˆ.ˆ

0 ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

, ce commutateur est lui-même un opérateur.

2-3) La définition de l’adjoint d’un opérateur linéaire  agissant dans E.

Etant donnée la structure Hilbertienne de l’espace des états, il est indispensablede pouvoir définir l’action de « Â » dans l’espace dual E*, c’est-à-dire l’action d’opérateurs sur des bras.

Ceci se fait grâce à la définition suivante : AA ˆˆ ''

Â+ est l’opérateur adjoint de Â, c’est l’opérateur conjugué hermitique de Â.

Lorsque Â+ est identique à Â, on dira que l’opérateur  est un opérateur hérmitiqueCes opérateurs jouent un rôle absolument primordial dans le formalisme de la Mécanique Quantique.

Ce sont ces opérateurs qui vont fournir les observables décrivant les grandeurs physiques mesurables d’un système physique quel qu’il soit.

Nous allons maintenant établir quelques propriétés très importantes de tels opérateurs.

Si Â=Â+, on a :

'*' ˆˆˆet ˆ AAAA

Considérons le produit d’opérateur suivant :

CABAABAC ˆˆ.ˆˆˆˆˆˆ ''''''

BAC ˆ.ˆˆ

Nous obtenons : B.AABCABC ˆˆ ˆ.ˆ : siseulement et si ˆ à égalest n'et ˆ.ˆˆ

Deux conditions doivent donc être remplies :

- Les deux opérateurs doivent être hermitiques :

- Les deux opérateurs doivent commuter :

BBAA ˆˆ;ˆˆ

0ˆ,ˆ BA

Conclusion très importante : Le produit de deux opérateurs hermitiques n’est hermitique que si ils commutent.Conséquence : Deux grandeurs physiques mesurables associées à des opérateursqui ne commutent pas ne pourront jamais être déterminées simultanément.

2-4) La représentation des Opérateurs de la Mécanique Quantique.

Nous avons vu comment représenter les kets et les bras de l’espace des états, en utilisant des bases discrètes ou continues.Il est facile donc de voir que pour représenter un opérateur  quelconque, agissant dans E, il suffit de représenter le ket :

A'

Soit :

:

ˆ:

ˆ

ˆ

:

:2

1

'

'2

'1

Au

Au

Au

u

u

u

ii

Mais chacun des nombres, peuvent être exprimés comme : Auuc iii

ˆ''

1

ˆˆ

1

11

N

jjj

ij

N

jjji

N

jji

uc

AcuAucAu

Finalement :

NNN

ij

N

N

N c

c

c

A

A

AAA

AAA

c

c

c

:

:

::::

:::::

::::

::

::

:

:2

1

22221

11211

'

'2

'1

En conclusion, dans une base donnée : iu , un opérateur sera représenté

par une matrice NxN , dont les éléments de matrice s’écrivent :

jiij uAuA ˆ

Les matrices NxN représentant les opérateurs hermitiques ont des caractéristiquesqu’il est indispensable de connaître.

ji

AuAuAuAuAA ijijji ˆˆˆˆ **

Si  est un opérateur hermitique nous avons :

Si un opérateur est hermitique, la matrice le représentant présente des éléments symétriques par rapport à la diagonale qui sont complexes conjugués les uns des autres. De même sur la diagonale les éléments de matrice sont nécessairement réels.

*iiii AA

2-5) Les règles de conjugaison hermitique( notée: *).

Les règles sont simples :

AA ˆˆ adjoints. leurspar remplaçéssont opérateurs Les

kets. des place laprennent et ketsen ent transformse bras Les

bras. des place laprennent et brasen ment transforse kets Les

conjugué. complexeleur par remplaçéssont nombres Les *

A cela, il convient d’ajouter la remarque suivante :

-Dans une expression de la mécanique quantique, la conjugaison hermitique changel’ordre des kets et des bras : les kets prennent la place des bras et les bras prennent la place des kets. La place des nombres n’a aucune importance (en accord cependantavec l’arithmétique élémentaire!)

Considérons un exemple général, soit à écrire le conjugué hermitique de l’expression suivante :

CBA ˆˆˆ *ˆˆˆ CBADonc il nous faut calculer :

*** ˆˆˆˆˆˆ CBACBA

BCA ˆˆˆ **

BCA ˆˆˆ **

En notation de Dirac, le produit scalaire est représenté comme le produit d’unbra et d’un ket., soit , c’est un nombre.

2-6) Des opérateurs très particuliers : Les projecteurs.

On peut s’interroger sur la signification physique du produit d’un ket par un bra, tel:

Cette expression est nécessairement un opérateur linéaire agissant dans E.En effet faisons « agir » cette expression sur un ket quelconque appartenant à E.

car ; E

Cet opérateur n’est cependant pas hermitique car :

ˆ ˆ *OO

Il existe une exception. Soit l’opérateur :

PPP ˆ ˆ ˆ *

P On a projeté le ket ‘’ sur le ket ‘’

On retrouve la propriété des projecteurs :

)1 (si ˆ ˆ 2 PP

1-3) Le troisième Postulat

La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observable correspondante.A

3-1) Valeurs Propres et Vecteurs Propres d’un opérateur

ˆ A

De façon plus générale cette équation aux valeurs propres s’écrit :

kkkA ˆ

Ici k=1,…………p (Nb de valeurs propres différentes =1…………….gk est la dégénérescence de la valeur propre k

3-2) Propriétés importantes des vecteurs propres d’un opérateur.

Considérons le ket suivant :

S’écrivant : , combinaison linéaire de deuxvecteurs propres d’un même opérateur

'

' kk ba

La question est la suivante : le ket est-il vecteur propre de ? A

'

''

'

'

kk

ˆ ˆ ˆ

kk

kk

ba

AbAaA

La réponse est Non sauf si k=k’

Le résultat précédent a des conséquences importantes en Mécanique Quantique.

En effet, nous pouvons construire un ket en effectuant une superposition linéaire detous les gk kets associés à la même valeur propre k.

Démontrons qu’un tel état reste vecteur propre de l’opérateur A

On considère

k

g

k

k

c

1

,

Ce ket appartient au sous-espace k associée à la valeur propre k de dimension gk

Il est encore vecteur propre de l’opérateur  avec la même valeur propre k , en effet :

k

k

g

kkkk

g

kk

g

kk

g

k

kkkk

ccAccAA

ˆ ˆˆ1

,1

,1

,1

,

Une conséquence importante est la suivante :

L’ensemble des vecteurs propres associés à la même valeur propre, d’un opérateur  quelconque, forment une base possible du sous-espacevectoriel Ek de dimension gk associée à cette valeur propre k

Mathématiquement, nous traduirons cette conséquence par :

1 1

k

g

k

k

On peut démontrer assez simplement (voir polycopié) que cette propriété segénéralise à tout l’espace des états E dans le cas d’une observable

Les vecteurs propres d’une observable doivent pouvoir former une base possible de l’espace des états E.

11 1

k

p

k

g

k

k Définition d’une observable.

3-3) Etude du cas spécifique des opérateurs hermitiques.

Les valeurs propres d’un opérateur hermitique sont nécessairement réelles.

CQFDAA

AA

kkkkkk

kkkkkkkkk

ˆ ˆ

ˆ ˆ

**

Le nombre de vecteurs propres d’un opérateur hermitique est nécessairement identique à la dimension de l’espace des états..

Vous devez retenir que deux vecteurs propres quelconques d’une observable sont nécessairement orthogonaux :

,'',

'' kkkk

3-4) Matrice représentant une observable dans la base formée par ses vecteurs propres .

Si nous utilisons la base formée par les vecteurs propres d’une observable, Il est très facile de mettre en évidence un résultat tout à fait primordial.

k

Il suffit pour cela de calculer les éléments de matrice de cette observable Â.

',','

''

'ˆ

kkkkkkkk A

La matrice représentant une observable est diagonale dans la base formée par ses vecteurs propres.

::00

::::

::::

00:0

00001

k

3-5) Méthodes de Recherche des Valeurs Propres et Vecteurs Propres d’une observable.

Supposons que l’on utilise une base quelconque (mais discrète) de l’espace des états.Soit cette base.Dans cette base les éléments de matrice de l’observable  s’écrivent :

iu

jiij uAuA ˆLes équations aux valeurs propres de  s’écrivent :

,

,

1

,

ˆ

ˆˆ

kikki

kikij

N

j

kjk

kikkikkk

cAu

cuoùucet

uAuA

Nous utilisons la relation de Fermeture

0

,

ˆ 1

,

1

,,

1

,

11

kj

N

jijkij

kik

kj

N

jij

kikkj

N

jjij

N

jj

cA

kccA

cuuAuuu

Nous aurons donc à résoudre toujours un système de N équation à N inconnues.

Les solutions générales sont donc les solutions données par :

0 IADet k

1-4) Le Quatrième Postulat.

Nous devons envisager plusieurs situations :

-a) Cas où le spectre des valeurs propres est discret et non- dégénéré Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état normé, la probabilité P(n) d’obtenir comme résultat de la mesure la valeur proprenon-dégénérée n de l’observable  correspondante est :

2)( nn uP

où un est le vecteur propre normé de  associé à la valeur propre n.

-b) Cas où le spectre des valeurs propres est discret et dégénéré.

Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état normé, la probabilité P(n) d’obtenir comme résultat de la mesure la valeur propredégénérée n de l’observable  correspondante est :

ng

nn uP1

2

)(

où gn est le degré de dégénérescence de la valeurpropre n et l’ensemble des kets u n

forme unebase orthonormée du sous-espace propre En ,associé à la valeur propre n.

-c) Cas où le spectre des valeurs propres est continu et non- dégénéré.

Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état normé, la probabilité dP() d’obtenir comme résultat de la mesure la valeur proprecomprise entre et d s’écrit :

dvdP2

)( où v est le vecteur propre correspondant à la valeurPropre de l’observable  associée à A

1-5) Le Cinquième Postulat (dit de réduction du paquet d’ondes)

Si la mesure de la grandeur physique A sur le système dans l’état a donné le résultat n, l’état du système immédiatement après la mesure est la projection normée :

de

ˆ

ˆ

n

n

P

P

Sur le sous-espace associé à n et où :

n

g

nn uuPn

1

ˆ

On peut écrire :

n

n

n

n PP

P

P ˆˆ

ˆ

ˆ

2

nn

g

nn

g

n uCuunn

11

1-6) Le sixième Postulat.

L’évolution dans le temps d’un vecteur d’état (t) est donnée par l’équation deSchrödinger :

)()(ˆ)(ttH

dt

tdi

Où est l’observable associée à l’énergie totale du système. )(ˆ tH

Les conséquences de ce postulat sont très importantes pour la suite.a) Conservation de la norme d’un ket.

constanteest 0

)()(ˆ)(1

)()(ˆ)(1

))((.)()(.

))((

))()(()(

)()()(

N

ttHti

ttHti

dt

tdtt

dt

tddt

ttd

dt

tdN

tttN

b) Le Théorème d’Ehrenfest.

On considère la valeur moyenne, dans le temps, d’une observable  qui ne dépend pas explicitement du temps.

)(ˆ)(ˆ tAtAt

Calculons :

dt

tAtd

dt

Adt

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ.)()(ˆ.)(

tAdt

dttA

dt

td

)()(ˆˆ)(1

)(ˆ)(ˆ)(1

ttHAti

tAtHti

)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ)(1

tAtHtHAti

)()(ˆ,ˆ)(1

ttHAti

Ainsi, lorsqu’une observable  commute avec l’observable hamiltonienne du système, on dira que  représente une grandeur A qui est une constante du mouvement.

Les vecteurs propres d’une observable associée à une constant du mouvement sont eux-mêmes indépendants du temps. Ainsi, si on considère un système physique isolé dont l’énergie est nécessairement constante, les vecteurs propresde l’hamiltonien du système sont indépendants du temps : ce sont des étatsstationnaires.Ces états propres doivent continuer à pouvoir fournir une base de l’espace des états.

Au temps t=0, on a par exemple.

k

p

k

g

k

k

C

1 1

,)0(

Supposons qu’au temps t=0, on rajoute de l’énergie au système? On va garder les vecteurs propres précédents comme base!

k

p

k

g

k

k

tCt

1 1

, )()(

k

p

k

g

kkk

p

k

gk

kk

tCEdt

tCdi

dt

tdi

1 1,

1 1

, )()()(

Si au temps t=0, le système se trouve dans un des états alors : k

n

tiEn

et

)( Il restera dans cet état quelque soit le temps.

k

p

k

g

kkk

p

k

gk

kk

tCEdt

tCdi

1 1

,1 1

, )()(

dtE

tC

tCdEtC

dt

tCdk

k

kkk

k )(

)()(

)(

,

,,

,

tiE

kk

k

eCtC

)0()( ,,

k

p

k

g tiE

k

k k

eCt

1 1, )0()(

II-2 : Les Ensembles Complets d’Observables qui Commutent. (E.C.O.C.)

2-1) Théorèmes généraux sur les opérateurs et observables qui communtent.

Si deux observables commutent, on peut toujours constituer unenouvelle base orthonormée de l’espace des états en utilisant l’ensemble des vecteurs propres commun à . BA ˆet ˆ

BA ˆet ˆ

kkk aA ˆ On voit que l’on peut identifier un vecteur proprepar sa valeur propre :

kka

kk a On dira, dans ce cas particulierque l’observable forme unECOC à elle toute seule.

A

2-2) La définition d’un ECOC.

On dira qu’un ensemble d’observables qui commutent est complet dès l’instant où l’ensemble des valeurs propres associées à un vecteur proprecommun permet d’identifier ce vecteur propre de façon unique.

Dans le cas général, il nous faudra un certain nombre d’observables pour obtenirce résultat.

Soit un vecteur propre commun à l’ensemble des observables qui commutent.

.....,.........ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ FEDCBA

;ˆ ;ˆ ;ˆ

;ˆ ;ˆ ;ˆ

iii

iii

fFeEdD

cCbBaA

Etc……..Lorsque l’ensemble d’observables est commun, ceci signifie donc que :

.......iiiiii fedcba

Il existe un ECOC spécialement important, c’est celui qui contientl’observable Hamiltonienne : dans ce cas, toutes les observables de cet ECOC sont les constantes du mouvement : Les résultats des mesures sont indépendantes du temps.

Il est important de comprendre qu’un problème de Mécanique Quantique sera « très facile » à résoudre dès l’instant où l’ECOC sera connu. En effet,il sera possible de prévoir très vite les résultats des mesures des grandeursphysiques associées aux observables qui commutent.

II-3. Les relations de commutation canoniques.

3-1) Position du problème.

Il existe des grandeurs physiques simples d’un système physique.Parmi elles, on peut citer la position d’une particule et son impulsion.

z

y

x

p

p

p

p

z

y

x

r

et

A l’évidence des observables vectorielles doivent être associées à ces deux grandeurs physiques mesurables.

z

y

x

P

P

P

P

Z

Y

X

Rˆ

ˆ

ˆˆ et

ˆ

ˆ

ˆˆ

Les vecteurs propres de ces deux observables doivent donc pouvoir fournir des basesde l’espace des états E.

????ˆ ??ˆ

????ˆ ??ˆ

????ˆ ??ˆ

z

y

x

z

y

x

pPzZ

pPyY

pPxX

Nous devons donc avoir :

Le problème est que nous ne connaissons pas les kets ??et ?

D’ailleurs ces kets n’appartiennent pas à E mais ils existent

3-2) Les bases . pet r

On devrait écrire :

zzzZ

yyyY

xxxX

ˆ

ˆ

ˆ

Mais, 0ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ XZZYYX

En conséquence, nous pouvons écrire :

xyzzxyzZ

Z

Y

X

RxyzrxyzyxyzY

xyzxxyzX

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ

Nous obtenons des relations similaires pour l’impulsion p

z

y

x

zyxzzyxz

zyxzyxyzyxy

zyxxzyxx

P

P

P

PpppppppP

pppppppppppP

pppppppP

ˆ

ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ

ˆ

pr et

Les kets doivent former des bases de l’espace des états. pr et

1

1

3

3

pdpp

rdrr

3-3) La signification physique des kets

Ecrivons que :

pdpp

rdrr

3

3

1

On pose : )( ; )( pprr

3-4) Les représentations des observables. pr et

Nous allons d’abord nous poser une question.Quelle peut-être la signification physique de :

xPX ˆet ˆ

Simple…….. ''ˆet 'ˆ xPX

Calculons maintenant

''et ' que ainsi ''et ' pprr

)(')(' rxXrrr simple

?')(' Xppp

?ˆ'')('' xPrrr

)(ˆ'')('' ppPppp xx

compliqué

compliqué

simple

?ˆ'')('' xPrrr

La démonstration exacte se trouve dans le polycopié. Nous admettronsIci que :

x

riPrrr x

(ˆ'')(''

De façon générale :

2

2

2

2

2

2222 ˆ.ˆˆ.ˆ

zyxPP rrr

z

y

x

où r

De même :

riP

ˆˆ

3-5) Les relations de commutation canoniques.

Nous allons maintenant calculer le commutateur suivant :

?ˆ,ˆ xPX

XPrPXr

PXr

xx

x

ˆˆˆˆ

?ˆ,ˆ

XPrPrx xxˆˆˆ

x

rxi

x

rxi

)( )(

)( )(

)())((

)()(

)(ˆ,ˆ rix

rxi

x

rxiPXr x

)(ˆ,ˆ riPXr x

1.ˆ,ˆ

1)(ˆ,ˆ

iPX

ririPXr

x

x

On démontre sans aucune difficulté que :

0ˆ,ˆˆ,ˆ ;1.ˆ,ˆ

0ˆ,ˆˆ,ˆ ;1.ˆ,ˆ

0ˆ,ˆˆ,ˆ

yxz

zxy

zy

PZPZiPZ

PYPYiPY

PXPX

On peut résumer ces relations de commutation dites canoniques par laseule relation suivante :

zy, x,:ji,où 1.ˆ,ˆijji iPR

Voilà l’origine des relations d’incertitude d’Heisenberg……….et l’explication du fait Qu’une onde semple être associée à une particule!

II-4 : Les produits tensoriel d’Espace.

Supposons qu’un système physique n°1 soit associé à un espace des étatsque nous notons : E1 de dimension N1, de même un système physique n°2 est associé à un espace E2 de dimension N2.

Si on considère maintenant la réunion physique des deux systèmes physiques 1 et 2, on constitue un nouvel espace des états :

21 Où : 21 dimdimdim

Les propriétés du produit tensoriel sont simples :

- 21212211 ;

- 21 et de bases desforment et Si ji vu

. de base uneforment jivu

- :écrits' scalaireproduit le et Si 2121

2211 .

- Action des opérateurs dans le produit tensoriel d’espace

1221

211222122

22

212112111

1121

''

: importance aucune an' ordeL'

'ˆˆˆ

: dans queagit n' ˆ si même De

'ˆˆˆ

:par E dansagissant ˆopérateur un d'action l'écrit on

AAA

A

AAA

A

Conséquence importante :

- 111

111

ˆ

: de base uneforment ˆ de propres vecteurs Si

kkk

k

A

A

kkkkkk

k

A

A

2)1(2)1(2)1(1

12)1(

)(ˆ

ˆ de propre vecteur encoreest